Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов
Рассматривается задача об описании пространства L(P) минимальных дифференциальных полиномов Q, подчиненных в L∞(Rⁿ)-норме произведению P = P₁P₂ операторов P₁ и P₂, действующих по разным переменным. Доказано, что если операторы P₁ и P₂ эллиптичны и однородны, то пространство L(P) - минимально возмож...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124413 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов / Д.В. Лиманский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 101-111. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124413 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244132017-09-26T03:02:42Z Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов Лиманский, Д.В. Рассматривается задача об описании пространства L(P) минимальных дифференциальных полиномов Q, подчиненных в L∞(Rⁿ)-норме произведению P = P₁P₂ операторов P₁ и P₂, действующих по разным переменным. Доказано, что если операторы P₁ и P₂ эллиптичны и однородны, то пространство L(P) - минимально возможное, т. е. включение Q ∊ L(P) эквивалентно равенству Q = c₁P + c₂. 2011 Article Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов / Д.В. Лиманский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 101-111. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35B45, 47F05 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124413 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается задача об описании пространства L(P) минимальных дифференциальных полиномов Q, подчиненных в L∞(Rⁿ)-норме произведению P = P₁P₂ операторов P₁ и P₂, действующих по разным переменным. Доказано, что если операторы P₁ и P₂ эллиптичны и однородны, то пространство L(P) - минимально возможное, т. е. включение Q ∊ L(P) эквивалентно равенству Q = c₁P + c₂. |
| format |
Article |
| author |
Лиманский, Д.В. |
| spellingShingle |
Лиманский, Д.В. Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов Український математичний вісник |
| author_facet |
Лиманский, Д.В. |
| author_sort |
Лиманский, Д.В. |
| title |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| title_short |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| title_full |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| title_fullStr |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| title_full_unstemmed |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| title_sort |
об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124413 |
| citation_txt |
Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических операторов / Д.В. Лиманский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 101-111. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT limanskijdv obocenkahdlâtenzornogoproizvedeniâdvuhodnorodnyhélliptičeskihoperatorov |
| first_indexed |
2025-07-09T01:23:42Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:23:42Z |
| _version_ |
1837130554618675200 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 1, 101 – 111
Об оценках для тензорного произведения двух
однородных эллиптических операторов
Дмитрий В. Лиманский
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Рассматривается задача об описании пространства
L (P ) минимальных дифференциальных полиномов Q, подчиненных
в L∞(Rn)-норме произведению P = P1P2 операторов P1 и P2, дей-
ствующих по разным переменным. Доказано, что если операторы P1
и P2 эллиптичны и однородны, то пространство L (P ) — минималь-
но возможное, т. е. включение Q ∈ L (P ) эквивалентно равенству
Q = c1P + c2.
2010 MSC. 35B45, 47F05.
Ключевые слова и фразы. Дифференциальный оператор, элли-
птичность, априорная оценка, мультипликатор, преобразование Фу-
рье–Стилтьеса.
1. Введение
Пусть Ω — область в R
n, p ∈ [1,∞]. Рассмотрим в Lp(Ω) систему
дифференциальных операторов порядка l:
Pj(x,D) =
∑
|α|6l
aα(x)Dα, j ∈ {1, . . . , N}, (1.1)
с измеримыми коэффициентами ajα(·). Рассматривается задача об
описании линейного пространства L 0
p,Ω(P1, . . . , PN ) минимальных
дифференциальных полиномов Q(D), удовлетворяющих оценке
‖Q(D)f‖Lp(Ω) 6 C1
N∑
j=1
‖Pj(x,D)f‖Lp(Ω) + C2‖f‖Lp(Ω), f ∈ C∞
0 (Ω),
(1.2)
с некоторой константой C > 0, не зависящей от выбора f .
Статья поступила в редакцию 13.01.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
102 Об оценках для тензорного произведения...
Эта задача была исчерпывающе решена Л. Хёрмандером [10, тео-
рема 2.2] в случае одного оператора с постоянными коэффициентами,
p = 2 и ограниченной области Ω. Применяя этот критерий, Хёрман-
дер показал [10, теорема 2.5], что для оператора P , равного тензор-
ному произведению P1 ⊗ P2 двух дифференциальных операторов P1
и P2, действующих по разным переменным, т. е. оператора вида
P (D) = P1(D1, . . . , Dp1
, 0, . . . , 0) P2(0, . . . , 0, Dp1+1, . . . , Dn), (1.3)
пространство L 0
2,Ω(P ) совпадает с линейной оболочкой произведений
операторов из L 0
2,Ω(P1) и L 0
2,Ω(P2), т. е. равно тензорному произве-
дению этих пространств, L 0
2,Ω(P ) = L 0
2,Ω(P1) ⊗ L 0
2,Ω(P2).
При N > 1 пространства L 0
p,Ω(P1, . . . , PN ) описаны в ряде случа-
ев. Хорошо известно [1], что при некоторых ограничениях на коэф-
фициенты ajα(·) и область Ω система (1.1) эллиптична тогда и только
тогда, когда она коэрцитивна в пространстве Соболева
◦
W l
p(Ω) (т. е.
оценка (1.2) выполняется для всех операторов Q порядка 6 l). При
p = 1;∞ этот критерий коэрцитивности утрачивает силу. Так, при
p = 1 (и N = 1) Орнстейном [7] доказана невозможность оценки (1.2)
для конкретных дифференциальных полиномов Q и P одинакового
порядка. Далее, М.М. Маламудом в [6] показано, что из оценки (1.2)
при p = ∞ вытекает тождество
Ql(ξ) =
N∑
j=1
λj(x)P
l
j(x, ξ), x ∈ Ω, ξ ∈ R
n,
для l-главных символов операторов Q(D) и {Pj(x,D)}N
1 (в случае
операторов с постоянными коэффициентами это утверждение дока-
зано еще ранее де Лю и Миркилом [4]). Из этого результата следует,
что включение Q ∈ L 0
p,Ω(P1, . . . , PN ) для оператора Q порядка l во-
зможно лишь в исключительных случаях. Тем не менее, оценка (1.2)
при p = ∞ верна для эллиптической системы (1.1) и произвольного
оператора Q порядка < l (системы с таким свойством названы в [5]
слабо коэрцитивными в пространстве Соболева
◦
W l
∞(Ω)). Для опера-
тора порядка l > 2 с постоянными коэффициентами от n > 3 пере-
менных верно и обратное: слабая коэрцитивность этого оператора в
◦
W l
∞(Rn) эквивалентна его эллиптичности (теорема де Лю и Мирки-
ла [4]). Критерии слабой коэрцитивности для систем {Pj(D)}N
1 были
получены автором и М. М. Маламудом в [5].
В дальнейшем речь пойдет о случае p = ∞, Ω = R
n, N = 1
и операторе P (D) := P1(D) с постоянными коэффициентами; про-
странство L 0
∞,Rn(P ) будет обозначаться через L (P ) или Ln(P ). Из
Д. В. Лиманский 103
вышеупомянутых результатов М. М. Маламуда вытекает, что для эл-
липтического оператора P (D) порядка l базис пространства L (P )
образуют P (D) и дифференциальные мономы {Dα}|α|<l, т. е. про-
странство L (P ) в этом случае является максимально возможным.
В связи с упомянутым результатом Хёрмандера возникает зада-
ча об описании пространств L (P ) для операторов P (D) вида (1.3).
В этом направлении в [5, предложение 3.13] получено аналогичное
утверждение для эллиптических операторов P1 и P2, полные сим-
волы которых невырождены (т. е. не имеют вещественных нулей).
Условие невырожденности символов здесь существенно: уже в слу-
чае произведения P1⊗P2 двух однородных эллиптических операторов
пространство L (P ) не содержит ни одного нетривиального диффе-
ренциального монома, хотя каждое из пространств L (P1) и L (P2)
является максимально возможным (см. [5, предложение 3.14]). Дока-
зательство последнего результата использовало теорему Бомана [3].
В настоящей работе мы усиливаем предложение 3.13 из [5]. Сле-
дующая теорема — основной результат работы.
Теорема 1.1. Пусть P (D) — дифференциальный оператор вида
(1.3), P1(D) и P2(D) — однородные эллиптические операторы поряд-
ков l и m, соответственно. Тогда пространство L (P ) :=L 0
∞,Rn(P1⊗
P2) — минимально возможное, т. е. включение Q ∈ L (P ) эквива-
лентно равенству Q(D) = c1P (D) + c2, c1, c2 ∈ C.
Доказательство теоремы 1.1 не апеллирует к теореме Бомана. Тем
не менее, в нем (так же, как и в доказательстве упомянутых выше ре-
зультатов из [5]) используются свойства априорных оценок для диф-
ференциальных полиномов в L∞, приведенные в §2, и связанные с
ними результаты из гармонического анализа (в частности, использу-
ются свойства мультипликаторов в L∞).
2. Обозначения и вспомогательные результаты
Обозначения. R — поле вещественных чисел, R+ — множество
вещественных положительных чисел; C — поле комплексных чисел;
N — множество натуральных чисел, Z+ := N∪{0}, Z
n
+ := Z+×· · ·×Z+
(n сомножителей). Далее, Dk := −i∂/∂xk, D = (D1, D2, . . . , Dn); для
мультииндекса α = (α1, . . . , αn) ∈ Z
n
+ полагаем |α| := α1 + · · · + αn,
Dα := Dα1
1 Dα2
2 . . . Dαn
n и ξα := ξα1
1 . . . ξαn
n , ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ R
n.
Если P (D) =
∑
|α|6l aαD
α — дифференциальный полином поряд-
ка l, degP = l, то обозначим через P (ξ) =
∑
|α|6l aαξ
α его сим-
вол, через P l(D) :=
∑
|α|=l aαD
α его главную часть, а через P l(ξ) =∑
|α|=l aαξ
α — соответствующий главный символ.
104 Об оценках для тензорного произведения...
Кроме того, P j(ξ) :=
∑
|α|=j aαξ
α будет обозначать сумму моно-
мов j-й степени, входящих в полином P (ξ), так что P (ξ)=
∑l
j=0 P
j(ξ).
Если ζ = (ζ1, . . . , ζp) ∈ R
p, p 6 n, то через degζ P будет обозначаться
степень полинома P (·) относительно переменных ζ1, . . . , ζp.
Наконец, через span{ζ1, . . . , ζp} будет обозначаться линейная обо-
лочка в R
n, порожденная символами ζ1, . . . , ζp, т.е. множество векто-
ров вида
∑p
k=1 ckζk, ck ∈ R.
Напомним [1, 2], что оператор P (D) порядка l называется элли-
птическим, если P l(ξ) 6= 0 для ξ ∈ R
n \ {0}.
Приведем некоторые сведения, касающиеся свойств априорных
оценок в L∞(Rn), а также вспомогательные утверждения, которые
нам понадобятся в дальнейшем.
Предложение 2.1 ([3, §1], [5, предложение 2.7]). Из оценки
‖Q(D)f‖L∞(Rn) 6 C1‖P (D)f‖L∞(Rn) + C2‖f‖L∞(Rn), f ∈ C∞
0 (Rn),
(2.1)
вытекает алгебраическое неравенство
|Q(ξ)| 6 C1|P (ξ)| + C2, ξ ∈ R
n, (2.2)
для символов Q(ξ) и P (ξ) операторов Q(D) и P (D).
Предложение 2.2 ([4, предложение 1], [3, лемма 1]). Оценка
(2.1) эквивалентна тождеству
Q(ξ) = M(ξ)P (ξ) +N(ξ), ξ ∈ R
n, (2.3)
где M(·) и N(·) — мультипликаторы в L∞(Rn).
Напомним [9, гл. 4, §3], что мультипликаторы в пространстве
L∞(Rn) — это преобразования Фурье–Стилтьеса конечных борелев-
ских мер в R
n. Они представляют собой равномерно непрерывные
ограниченные в R
n функции [8, ч. 2, гл. 7].
Предложение 2.3 ([4, предложение 2], [6, §5, теорема 3]).
Пусть порядок дифференциального оператора P (D) равен l. Тогда из
оценки (2.1) вытекает тождество
Ql(ξ) = cP l(ξ), ξ ∈ R
n, c ∈ C, (2.4)
где Ql(·) и P l(·) — соответствующие главные символы этих опера-
торов.
Предложение 2.4 ([5, предложение 4.5], [4]). Оценка (2.1) сох-
раняется при “сужении” операторов Q(D) и P (D) на произвольное
линейное подпространство в R
n.
Д. В. Лиманский 105
Докажем теперь две вспомогательные леммы.
Лемма 2.1. Пусть m,n ∈ N и функция F : R+ → C имеет вид
F (x) :=
n∑
k=−n
Fkx
k
m . (2.5)
Тогда функция F (·) ограничена тогда и только тогда, когда она по-
стоянна, F (·) ≡ F0.
Доказательство. Пусть j ∈ {0, . . . , n} — наибольший из индексов,
для которых Fj 6= 0. Предположим, что j > 1. Тогда
F (x) = Fjx
j
m +O(x
j−1
m ) = x
j
m (Fj + o(1)), x→ ∞,
что противоречит ограниченности функции F (·). Отсюда j 6 0 и
Fk = 0 для всех k ∈ {1, . . . , n}. Для доказательства того, что Fk = 0
при k ∈ {−n, . . . ,−1}, достаточно повторить те же рассуждения для
функции F (x−1) =
∑n
k=−n F−kx
k
m .
Лемма 2.2. Пусть m,n ∈ N и функция F : R+ → C имеет вид
F (x) :=
n∑
k=0
Fkx
k
m . (2.6)
Тогда функция F (·) ≡ 0 тогда и только тогда, когда Fk = 0 для всех
k ∈ {0, . . . , n}.
Доказательство. Из условия леммы следует, что функция
F̃ (y) := F (ym) =
n∑
k=0
Fky
k ≡ 0, y > 0. (2.7)
Поскольку F̃ (·) — полином, тождество (2.7) возможно в том и только
в том случае, когда Fk = 0 для всех k ∈ {0, . . . , n}.
3. Случай дифференциального монома (n = 2)
Следующее предложение представляет собой важный частный
случай теоремы 1.1, когда оператор P = P1 ⊗ P2 — дифференци-
альный моном, т. е. операторы P1 и P2 зависят от одной переменной
(n = 2).
106 Об оценках для тензорного произведения...
Предложение 3.1. Пусть l,m ∈ N и P (D) = Dl
1D
m
2 — дифферен-
циальный моном. Тогда пространство L (P ) — минимально возмо-
жное, т. е. включение Q ∈ L (P ) эквивалентно равенству Q(D) =
c1P (D) + c2, c1, c2 ∈ C.
Доказательство. Пусть Q ∈ L (P ), т.е. справедлива оценка (2.1).
Согласно предложению 2.2, оценка (2.1) эквивалентна равенству
Q(ξ1, ξ2) = M(ξ1, ξ2) · ξ
l
1ξ
m
2 +N(ξ1, ξ2), ξ1, ξ2 ∈ R, (3.1)
где M(·), N(·) — мультипликаторы в L∞(R2). Будем в дальнейшем
считать, что ξ1, ξ2 > 0. Так какM(·) иN(·) — ограниченные функции,
из тождества (3.1) (или из неравенства (2.2)) вытекает, что degξ1 Q 6 l
и degξ2 Q 6 m.
Обозначим через A множество мультииндексов α = (α1, α2) ∈ Z
2
+,
таких, что α1 6 l и α2 6 m. Тогда полином Q(·) можно записать в
виде
Q(ξ1, ξ2) =
∑
α∈A
bα ξ
α1
1 ξα2
2 , bα = b(α1,α2) ∈ C.
Зафиксируем произвольное τ > 0 и рассмотрим сужение полино-
ма Q(·) на кривую ξl
1ξ
m
2 = τ :
Q
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
=
∑
α∈A
bαξ
α1
1
(
τξ−l
1
)α2
m =
∑
α∈A
bατ
α2
m ξ
α1m−α2l
m
1 . (3.2)
Рассмотрим более внимательно структуру функции (3.2). Она
имеет вид (2.5), ибо |α1m−α2l| 6 lm, если α1 6 l, α2 6 m, и поэтому
дробь α1m−α2l
m принимает конечное число рациональных значений, по
модулю не превышающих l.
Обозначим через Aj множество мультииндексов α ∈ A, для кото-
рых α1m− α2l = j. Здесь j ∈ {−lm, . . . , 0, . . . , lm}. Очевидно,
A = ∪lm
j=−lmAj , причем Aj ∩ Ak = ∅, j 6= k.
Отметим, что какие-то из множеств Aj могут быть пустыми, хо-
тя множество A0 всегда непусто и содержит мультииндексы (0, 0) и
(l,m). Тогда функция (3.2) перепишется в виде
Q
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
=
lm∑
j=−lm
ξ
j
m
1
∑
α∈Aj
bατ
α2
m =
lm∑
j=−lm
ϕj(τ) ξ
j
m
1 , (3.3)
где
ϕj(τ) :=
∑
α∈Aj
bατ
α2
m , j ∈ {−lm, . . . , 0, . . . , lm}. (3.4)
Д. В. Лиманский 107
Далее, рассмотрим “сужение” тождества (3.1) на ту же кривую
ξl
1ξ
m
2 = τ . Полагая ξ2 := (τξ−l
1 )
1
m в (3.1), с учетом (3.3) имеем:
lm∑
j=−lm
ϕj(τ) ξ
j
m
1 = τ M
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
+N
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
. (3.5)
Правая часть равенства (3.5) ограничена, следовательно, ограни-
чена и левая его часть. Применяя лемму 2.1 к функции (3.3), полу-
чим, что — константа, т.е.
ϕj(τ) =
∑
α∈Aj
bατ
α2
m = 0 при j 6= 0. (3.6)
Откажемся теперь от требования постоянства параметра τ > 0
и рассмотрим функции (3.4). Все показатели степеней в конечной
сумме (3.4) неотрицательны и различны, поскольку при данных j и
α2 компонента α1 вектора α = (α1, α2) ∈ Aj однозначно определяется
равенством α1m − α2l = j. Исходя из равенств (3.6), применим к
функциям ϕj(·), j 6= 0, лемму 2.2. Получим, что
bα = 0 для всех α ∈ Aj , j 6= 0.
Поэтому полином Q(·) перепишется в виде
Q(ξ1, ξ2) =
∑
α∈A0
bα ξα1
1 ξα2
2 , (3.7)
а тождество (3.5) примет вид
∑
α∈A0
bατ
α2
m = τ ·M
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
+N
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
. (3.8)
Положим теперь ξ2 = 0 в тождестве (3.1). Поскольку компоненты
α1 и α2 вектора α ∈ A0 обращаются в нуль одновременно, получим
N(ξ1, 0) ≡ b(0,0). (3.9)
Отсюда вытекает, что
lim
ξ1→∞
N
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
= b(0,0). (3.10)
Действительно, из равномерной непрерывности функции N(·) сле-
дует, что для любого ε > 0 найдется δ > 0, такое, что из нера-
венства |ξ′ − ξ′′| 6 δ для векторов ξ′, ξ′′ ∈ R
2 следует неравенство
|N(ξ′) −N(ξ′′)| 6 ε. Зафиксируем ε > 0 и положим
ξ′ := (ξ1, 0), ξ′′ := (ξ1, (τξ
−l
1 )1/m).
108 Об оценках для тензорного произведения...
Тогда при ξ1 > (τδ−m)1/l и с учетом (3.9) имеем:
|ξ′ − ξ′′| = (τξ−l
1 )1/m
6 δ и
|N(ξ′) −N(ξ′′)| = |N(ξ1, (τξ
−l
1 )1/m) − b(0,0)| 6 ε.
Это и означает, что выполнено (3.10).
Из (3.8) и (3.10) теперь вытекает существование предела функции
M(ξ1, (τξ
−l
1 )1/m) при ξ1 → ∞ и фиксированном τ . Этот предел равен
lim
ξ1→∞
M
[
ξ1,
(
τξ−l
1
) 1
m
]
=
∑
α∈A0
bατ
α2
m
−1 − b(0,0)τ
−1 =
∑
α∈A0\{0}
bατ
α2
m
−1.
(3.11)
Покажем, что предел (3.11) не зависит от τ , т.е. что функция
ψ(τ) :=
∑
α∈A0\{0}
bατ
α2
m
−1 (3.12)
является константой. В самом деле, пусть
lim
ξ1→∞
M
[
ξ1,
(
τjξ
−l
1
) 1
m
]
= kj , j ∈ {1, 2},
для некоторых τ1, τ2 > 0. Зафиксируем ε > 0. В силу равномерной
непрерывности функции M(·) существует δ > 0, такое, что из нера-
венства |ξ′ − ξ′′| 6 δ для векторов ξ′, ξ′′ ∈ R
2 следует неравенство
|M(ξ′) −M(ξ′′)| 6 ε. Положим
ξ′ := (ξ1, (τ1ξ
−l
1 )1/m) и ξ′′ := (ξ1, (τ2ξ
−l
1 )1/m).
Тогда при ξ1 > δ−m/l · |τ
1/m
1 − τ
1/m
2 |m/l имеем:
|ξ′ − ξ′′| = ξ
l/m
1 |τ
1/m
1 − τ
1/m
2 | 6 δ и
|M(ξ′) −M(ξ′′)| =
∣∣M
[
ξ1,
(
τ1ξ
−l
1
) 1
m
]
−M
[
ξ1,
(
τ2ξ
−l
1
) 1
m
]∣∣ 6 ε.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при ξ1 → ∞, получим
|k1 − k2| 6 ε. Отсюда k1 = k2 в силу произвольности ε > 0.
Применим к функции ψ(·) вида (3.12) лемму 2.1. Получим, что
bα = 0 для всех α ∈ A0 \ {0}, для которых α2 6= m. Но последнее
условие выполняется тогда и только тогда, когда α 6= (l,m).
Таким образом, доказано, что bα = 0 при всех α ∈ A, таких, что
α 6= (l,m) и α 6= (0, 0). Значит, полином Q(·) имеет вид
Q(ξ) = b(l,m)ξ
l
1ξ
m
2 + b(0,0),
что и требовалось доказать.
Д. В. Лиманский 109
4. Доказательство основной теоремы
Здесь мы докажем основной результат работы — теорему 1.1. Обо-
значим через P1(ξ), ξ = (ξ1, . . . , ξp1
) ∈ R
p1 , и P2(η), η = (η1, . . . , ηp2
) ∈
R
p2 , p2 := n− p1, символы операторов P1(D) и P2(D), соответствен-
но (для удобства изложения переменные, не участвующие в записи
символов P1 и P2, опускаются).
Будем проводить доказательство индукцией по n > 2. При n = 2
утверждения теоремы 1.1 и предложения 3.1 совпадают. Пусть n > 3,
и утверждение теоремы справедливо для всех операторов от 6 n− 1
переменных, имеющих указанный в условии теоремы вид.
Без ограничения общности можно считать, что p2 > 2. Тогда
p1 + 1 = n− p2 + 1 6 n− 1.
Пусть degP1(ξ) = l, degP2(η) = m и Q ∈ L (P ). Тогда из нера-
венства (2.2) следует, что
degQ(ξ, η) 6 degP (ξ, η) = l +m, degξ Q 6 l, degη Q 6 m.
Значит, полином Q(·) представляется в виде
Q(ξ, η) =
∑
|α|6l
ξα Qα(η), degQα := qα 6 m.
Пусть λ := (λ1, . . . , λp2
) ∈ R
p2 \{0} — фиксированный вектор. Рас-
смотрим “сужения” Q̃(·) и P̃ (·) полиномов Q(·) и P (·), соответственно,
на (p1 + 1)-мерное подпространство E := span{ξ1, . . . , ξp1
, t}, опреде-
ляемое равенством η = λt, или равенствами ηj = λjt, j ∈ {1, . . . , p2},
где t ∈ R. Имеем:
Q̃(ξ, t) := Q(ξ, λt) =
∑
|α|6l
ξα Qα(λt),
P̃ (ξ, t) := P (ξ, λt) = P1(ξ)P2(λt).
(4.1)
Представляя полиномы Qα(·) в виде суммы однородных форм Qj
α(·),
Qα(η) =
qα∑
j=0
Qj
α(η), Qj
α(λt) = tjQj
α(λ), j ∈ {0, . . . , qα},
и учитывая, что P2(·) — однородный полином степени m, P2(λt) =
tmP2(λ), перепишем равенства (4.1) в виде
Q̃(ξ, t) =
∑
|α|6l
ξα
qα∑
j=0
tjQj
α(λ), P̃ (ξ, t) = P2(λ) · tmP1(ξ), (4.2)
110 Об оценках для тензорного произведения...
причем P2(λ) 6= 0 в силу эллиптичности полинома P2(·).
Так как Q ∈ Ln(P ), то, согласно предложению 2.4, Q̃ ∈ Lp1+1(P̃ ).
Далее, полином P̃ (ξ, t) степени p1 + 1 6 n − 1 переменных равен
произведению двух однородных эллиптических полиномов: tm и P1(ξ)
с ненулевым коэффициентом P2(λ). Отсюда по предположению ин-
дукции полином Q̃(ξ, t) имеет вид c̃1P̃ (ξ, t) + c̃2, т. е. из включения
Q̃ ∈ L (P̃ ) и равенств (4.2) вытекает тождество
∑
|α|6l
qα∑
j=0
ξαtjQj
α(λ) ≡ c̃1P2(λ) · tmP1(ξ) + c̃2. (4.3)
В левой части (4.3) нет подобных слагаемых, ибо все мономы ξαtj ,
|α| 6 l, j ∈ {0, . . . , qα}, попарно различны. Поскольку P1(·) — одноро-
дный полином степени l, правая часть (4.3) является линейной ком-
бинацией мономов вида ξαtm, |α| = l, и константы. Поэтому из (4.3)
вытекает, что Qj
α(λ) = 0 при |α| < l и j 6= m, кроме случая α = 0,
t = 0. Так как вектор λ 6= 0 произволен, мы заключаем, что
Qj
α(η) ≡ 0 при |α| < l, j 6= m, (α, t) 6= (0, 0).
Следовательно, полином Q(·) имеет вид
Q(ξ, η) =
∑
|α|=l
ξα Qm
α (η) + c2, c2 := Q0
0(η) ≡ Q0
0. (4.4)
Отметим, что так как degQm
α = m, то из (4.4) следует, что
Q(ξ, η) − c2 является однородным полиномом степени l +m, т.е.
Ql+m(ξ, η) = Q(ξ, η) − c2. (4.5)
Наконец, применим предложение 2.3. Из включения Q ∈ L (P ) выте-
кает, что
Ql+m(ξ, η) = c1P
l+m(ξ, η). (4.6)
Комбинируя (4.5) и (4.6), получим, что
Q(ξ, η) − c2 = Ql+m(ξ, η) = c1P
l+m(ξ, η) = c1P (ξ, η),
т.е. Q(D) = c1P (D) + c2.
Теорема 1.1 полностью доказана.
Благодарности. Я искренне признателен М. М. Маламуду за вни-
мание к работе и полезные советы.
Д. В. Лиманский 111
Литература
[1] О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления
функций и теоремы вложения, Москва, “Наука”, 1996, 480 с.
[2] Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Метод многогранника Ньютона в теории
дифференциальных уравнений в частных производных, Москва, “Эдиториал
УРСС”, 2002, 312 с.
[3] J. Boman, Supremum norm estimates for partial derivatives of functrions of
several real variables // Illinois J. Math., 16 (1972), No. 2, 203–216.
[4] K. de Leeuw, H. Mirkil, A priori estimates for differential operators in L∞
norm // Illinois J. Math., 8 (1964), No. 1, 112–124.
[5] Д. В. Лиманский, М. М. Маламуд, Эллиптические и слабо коэрцитивные си-
стемы операторов в пространствах Соболева // Матем. сборник, 199 (2008),
No. 11, 75–112.
[6] М. М. Маламуд, Оценки для систем минимальных и максимальных диффе-
ренциальных операторов в Lp(Ω) // Труды ММО, 56 (1995), 206–261.
[7] D. Ornstein, A non-inequality for differential operators in the L1 norm // Arch.
Rational Mech. Anal., 11 (1962), No. 1, 40–49.
[8] У. Рудин, Функциональный анализ, Москва, “Мир”, 1975, 448 с.
[9] И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций,
Москва, “Мир”, 1973, 344 с.
[10] Л. Хёрмандер, К теории общих дифференциальных операторов в частных
производных, Москва, “Изд-во иностранной литературы”, 1959, 131 с.
Сведения об авторах
Дмитрий
Владимирович
Лиманский
Донецкий национальный университет,
ул. Университетская, 24,
Донецк 83055,
Украина
E-Mail: lim9@telenet.dn.ua
|