О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой

Для отображений f : D → D′, D, D′ ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, удовлетворяющих определённым геометрическим условиям в фиксированной области D, установлены оценки вида KI (x, f) ≤ Q(x) п.в., где KI (x, f) - внутренняя дилатация f в точке x, а Q(x) - фиксированная вещественнозначная функция, отвечающая за “контроль”...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Севостьянов, Е.А., Салимов, Р.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124415
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 129-143. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124415
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244152017-09-26T03:02:44Z О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. Для отображений f : D → D′, D, D′ ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, удовлетворяющих определённым геометрическим условиям в фиксированной области D, установлены оценки вида KI (x, f) ≤ Q(x) п.в., где KI (x, f) - внутренняя дилатация f в точке x, а Q(x) - фиксированная вещественнозначная функция, отвечающая за “контроль” искажения семейств кривых в D при отображении f. 2011 Article О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 129-143. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30С65, 30С62. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124415 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для отображений f : D → D′, D, D′ ⊂ Rⁿ, n ≥ 2, удовлетворяющих определённым геометрическим условиям в фиксированной области D, установлены оценки вида KI (x, f) ≤ Q(x) п.в., где KI (x, f) - внутренняя дилатация f в точке x, а Q(x) - фиксированная вещественнозначная функция, отвечающая за “контроль” искажения семейств кривых в D при отображении f.
format	Article
author	Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р.
spellingShingle	Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой Український математичний вісник
author_facet	Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р.
author_sort	Севостьянов, Е.А.
title	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
title_short	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
title_full	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
title_fullStr	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
title_full_unstemmed	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
title_sort	о внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124415
citation_txt	О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 129-143. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT sevostʹânovea ovnutrennihdilataciâhotobraženijsneograničennojharakteristikoj AT salimovrr ovnutrennihdilataciâhotobraženijsneograničennojharakteristikoj
first_indexed	2025-07-09T01:23:54Z
last_indexed	2025-07-09T01:23:54Z
_version_	1837130568131674112
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 1, 129 – 143 О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой Евгений А. Севостьянов, Руслан Р. Салимов (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. Для отображений f : D → D′, D, D′ ⊂ R n, n ≥ 2, удовлетворяющих определённым геометрическим условиям в фикси- рованной области D, установлены оценки вида KI(x, f) ≤ Q(x) п.в., где KI(x, f) — внутренняя дилатация f в точке x, а Q(x) — фикси- рованная вещественнозначная функция, отвечающая за “контроль” искажения семейств кривых в D при отображении f . 2010 MSC. 30С65, 30С62. Ключевые слова и фразы. Отображения с ограниченным и ко- нечным искажением, модули, емкости. 1. Введение Всюду далее D — область в R n, n ≥ 2, m — мера Лебега R n, запись f : D → R n предполагает, что отображение f, заданное в области D, непрерывно. Здесь и далее кривой γ мы называем непре- рывное отображение отрезка [a, b] (либо открытого интервала (a, b)) в R n, γ : [a, b] → R n. Под семейством кривых Γ подразумевается некоторый фиксированный набор кривых γ, а f(Γ) = {f ◦ γ\|γ ∈ Γ} . Напомним, что гомеоморфизм f : D → Rn в области D ⊂ R n, n ≥ 2, Rn = R n ∪ {∞}, называется квазиконформным отображением, если (1/K)M(Γ) ≤ M(f(Γ)) ≤ K M(Γ) (1.1) для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где M — кон- формный модуль семейства кривых (внешняя мера, определённая на семействах кривых в R n), а K ≥ 1 — некоторая постоянная, см. опре- деление 13.1 в [15, разд. 13, гл. II]. Другими словами, модуль любого семейства кривых искажается не более, чем в K раз. При этом, для Статья поступила в редакцию 15.06.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 130 О внутренних дилатациях отображений... квазиконформности f достаточно выполнения только одного нера- венства в правой части соотношения (1.1), именно, гомеоморфизм f есть квазиконформное отображение, как только M(f(Γ)) ≤ K M(Γ) (1.2) для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, см. теоре- му 34.3 в [15, гл. IV]. Как известно, гомеоморфизмы, удовлетворя- ющие соотношению (1.2) в D имеют почти всюду невырожденный якобиан J(x, f), см., напр., теорему 34.4 в [15]. Определим внутрен- нюю дилатацию KI(x, f) отображения f в точке x отношением KI(x, f) = \|J(x, f)\| l (f ′(x))n , если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞. В [15, гл. IV] доказано следующее утверждение, см. теорему 34.6. Утверждение 1.1. Предположим, что гомеоморфизм f : D → Rn, n ≥ 2, удовлетворяет соотношению (1.2) в области D для прои- звольного семейства кривых Γ. Тогда для п.в. x ∈ D имеет место оценка \|J(x, f)\| ≤ K · l ( f ′(x) ) , (1.3) где J(x, f) обозначает якобиан отображения f в точке x, а l (f ′(x)) := minh∈Rn\{0} \|f ′(x)h\| \|h\| . Учитывая сделанное нами выше замечание, что J(x, f) 6= 0 п.в., соотношение (1.3) может быть записано в следующем эквивалентном виде: KI(x, f) ≤ K для почти всех x ∈ D. Пусть теперь в основе определения рассматриваемого класса ото- бражений, вместо соотношения (1.1), лежит неравенство вида M(f(Γ)) ≤ ∫ D Q(x) · ρn(x) dm(x), (1.4) где ρ — произвольная неотрицательная борелевская функция, такая что произвольная кривая γ семейства Γ имеет длину, не меньшую 1 в метрике ρ, другими словами, криволинейный интеграл первого рода по кривой γ удовлетворяет условию ∫ γ ρ(x) \|dx\| ≥ 1 (1.5) Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 131 для всех кривых γ ∈ Γ, а Q : D → [1,∞] — заданная функция, измеримая по Лебегу, см., напр., [8, разд. 4.1, гл. IV]. Изучение не- равенств типа (1.4) восходит к Л. Альфорсу, см., напр., теорему 3 в [1, разд. D, гл. I], а также О. Лехто и К. Вертанену, см. неравенство (6.6) в [7, разд. 6.3, гл. V]. Неравенство (1.4) упоминалось Ю. Ф. Стру- говым в работе [13], в контексте изучения отображений, квазикон- формных в среднем. В пространственном случае, с приведением по- дробной строгой аргументации, неравенство типа (1.4) установлено В. Я. Гутлянским, совместно с К. Бишопом, О. Мартио и М. Вуори- неном, в работе [3] для квазиконформных отображений; в указанном выше случае, Q равно внутренней дилатации KI(x, f). В. М. Миклю- ков в этом контексте также исследовал некоторые подобные классы, но на основе ёмкостей, см. [9]. В случае, когда Q(x) ≤ K п.в., из (1.4) следует неравенство (1.2). В общем случае, когда Q(x) может быть неограничена, неравенство (1.4) означает, что искажение модуля исходного семейства Γ происходит, как говорят, “с некоторым весом Q(x)”, M(f(Γ)) ≤ MQ(Γ), см., напр., работы А. Казаку Каберия, [2], и М. Кристи, [4]. Отметим, что, иногда, для извлечения ряда свойств отображения f, удовлетворяющего соотношениям вида (1.4), впол- не достаточно ограничиться некоторыми конкретными семействами Γ, а не всеми семействами Γ кривых γ без исключения. Основными результатами настоящей работы являются следующие два утвержде- ния. Утверждение 1.2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение, удовлетворяющее оценке вида (1.4) в области D для произвольного семейства Γ кривых γ в области D и произвольной ρ ∈ adm Γ. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D). Тогда для почти всех x ∈ D выполнено неравенство: KI(x, f) ≤ Q(x). Пусть E, F ⊂ Rn — произвольные множества. Обозначим через Γ(E, F, D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). В [5, разд. 13], Ф. Геринг определил K-квазиконформное отображение как гомеоморфизм, изменяющий модуль кольцевой области не более, чем в K раз. Мотивируя упомянутым выше определением, введём в рассмотрение следующее понятие. Говорят, что отображение f : D → Rn является кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ D, если соотношение M (f (Γ (S1, S2, A))) ≤ ∫ A Q(x) · ηn(\|x − x0\|) dm(x) (1.6) 132 О внутренних дилатациях отображений... выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ R n : r1 < \|x − x0\| < r2}, 0 < r1 < r2 < r0, и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что r2∫ r1 η(r) dr ≥ 1. (1.7) Отметим, что условие (1.7) играет ту же роль, что и функция ρ в неравенстве (1.5), а именно, (1.7) есть просто условие допустимости для специального семейства кривых Γ (S1, S2, A) . Говорят, что ото- бражение f : D → Rn является кольцевым Q — отображением в D, если соотношения (1.6)–(1.7) выполнены в каждой точке x0 ∈ D. Утверждение 1.3. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение, удовлетворяющее соотношениям вида (1.6)–(1.7) в каждой точке x0 области D. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D) и J(x, f) 6= 0 п.в. в D. Тогда при п.в. x ∈ D выполнено соотношение KI(x, f) ≤ cn · Q(x), где константа cn зависит только от n. 2. Предварительные сведения Всюду далее B(x0, r) = {x ∈ R n : \|x − x0\| < r} . Отображение f : D → Rn называется дискретным, если прообраз f−1 (y) каждой то- чки y ∈ R n состоит из изолированных точек, и открытым, если образ любого открытого множества U ⊂ D является открытым мно- жеством в R n. Следующие определения могут быть найдены, напр., в [15, разд. 1–6, гл. I]. Борелева функция ρ : R n → [0,∞] называе- тся допустимой для семейства Γ кривых γ в R n, если соотношение (1.5) выполнено для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае мы пишем: ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства кривых Γ называется величина M(Γ) = inf ρ∈adm Γ ∫ D ρn(x) dm(x). Свойства модуля в некоторой мере аналогичны свойствам меры Ле- бега m в R n. Именно, модуль пустого семейства кривых равен нулю, M(∅) = 0, обладает свойством монотонности относительно семейств кривых Γ1 и Γ2 : Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ M(Γ1) ≤ M(Γ2), а также свойством полуаддитивности: M ( ∞⋃ i=1 Γi ) ≤ ∞∑ i=1 M(Γi), Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 133 см. теорему 6.2 в [15]. Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируе- тся семейством Γ2, пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. Хорошо известно, что Γ1 > Γ2 ⇒ M(Γ1) ≤ M(Γ2), (2.1) см. теорему 6.4 в [15]. Следующие важные определения можно найти в [11, разд. 3, гл. II]. Пусть f : D → R n, β : [a, b) → R n — некоторая кривая и x ∈ f−1 (β(a)) . Кривая α : [a, c) → D называется максимальным подня- тием кривой β при отображении f с началом в точке x, если (i) α(a) = x; (ii) f ◦ α = β\|[a, c); (iii) если c < c′ ≤ b, то не существует кривой α′ : [a, c′) → D, такой что α = α′\|[a, c) и f ◦ α ′ = β\|[a, c′). Пусть f — открытое дискретное отображение и x ∈ f−1 (β(a)) . Тогда кривая β : [a, b) → R n имеет максимальное поднятие при отображе- нии f с началом в точке x, см. следствие 3.3 в [11, гл. II]. Конденса- тором в R n, n ≥ 2, называют пару E = (A, C) , где A — открытое множество в R n, а C — компактное подмножество A. Отображение f : D → R n называется абсолютно непрерывным на линиях, пишем f ∈ ACL, если в любом n-мерном параллелепипеде P с рёбрами, па- раллельными осям координат, и таком, что P ⊂ D, все координатные функции f = (f1, . . . , fn) абсолютно непрерывны на почти всех пря- мых, параллельных осям координат. Известно, что если f ∈ ACL, то f имеет п.в. частные производные в D. Ёмкостью конденсатора E называется величина capE = cap (A, C) = inf u∈W0(E) ∫ A \|∇u\|n dm(x), где W0(E) = W0 (A, C) — семейство неотрицательных непрерывных функций u : A → R с компактным носителем в A, таких что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и u ∈ ACL. Известно, что для произвольного конденса- тора E = (A, C) выполнено соотношение capE ≥ (inf mn−1 S)n [m(A \ C)]n−1 , (2.2) где mn−1 S — (n− 1)-мерная мера Лебега C ∞-многообразия S, явля- ющегося границей S = ∂U ограниченного открытого множества U, 134 О внутренних дилатациях отображений... содержащего C и содержащегося вместе со своим замыканием U в A; в (2.2) точная нижняя грань берется по всем таким S, см. предложе- ние 5 из [6]. Пусть E = (A, C) — произвольный конденсатор в R n тогда бу- дем обозначать через ΓE семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A с γ(a) ∈ C, таких что \|γ\| ∩ (A \ F ) 6= ∅ для произвольного компа- кта F ⊂ A. Иначе говоря, для конденсатора E = (A, C) семейство ΓE состоит из тех и только тех кривых, которые имеют начало в C, лежат в A и, в то же время, целиком не лежат ни в одном фикси- рованном компакте внутри A. В случае ограниченного множества A такие кривые обязаны “подходить” к границе A, однако, не обязаны быть спрямляемыми и, вообще говоря, к чему-то стремиться. Предложение 2.1 (см. [11, предложение 10.2 гл. II]). Имеет место равенство: capE = M (ΓE) . Для отображения f : D → R n, имеющего в D частные производ- ные почти всюду, ‖f ′(x)‖ = max h∈Rn\{0} \|f ′(x)h\| \|h\| . Внешняя дилатация отображения f в точке x есть величина KO(x, f) = ‖f ′(x)‖n \|J(x, f)\| , если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = ∞ в остальных точках. Линейная дилатация f в точке x есть величина H(x, f) = n √ KI(x, f)KO(x, f). Предположим, что отображение f : D → R n дифференцируемо в точ- ке x0 ∈ D и матрица Якоби f ′(x0) невырождена, J(x, f) = det f ′(x0) 6= 0. Тогда найдутся системы векторов e1, . . . , en и ẽ1, . . . , ẽn и по- ложительные числа λ1(x0), . . . , λn(x0), λ1(x0) ≤ · · · ≤ λn(x0), та- кие что f ′(x0)ei = λi(x0)ẽi, см. теорему 2.1 в [10, гл. I], причём λ2 1(x0), . . . , λ 2 n(x0) — собственные значения симметрического отобра- жения (f ′(x0)) ∗ f ′(x0), см. теорему 2.2 в [10, гл. I], \|J(x0, f)\| = λ1(x0) . . . λn(x0), ‖f ′(x0)‖ = λn(x0), l ( f ′(x0) ) = λ1(x0), (2.3) Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 135 KO(x0, f) = λn n(x0) λ1(x0) · · ·λn(x0) , KI(x0, f) = λ1(x0) · · ·λn(x0) λn 1 (x0) , см. соотношение (2.5) и дополнительные комментарии на с. 21 в [10, разд. 2.1, гл. I]. Кроме того, из приведённых выше формул следует, что KI(x, f) ≤ Kn−1 O (x, f), KO(x, f) ≤ Kn−1 I (x, f), см. соотношения (2.7) и (2.8) в [10, разд. 2.1, гл. I], и что KI(x, f) ≥ 1 и KO(x, f) ≥ 1 всюду, где эти величины определены корректно. Числа λ1(x0), . . . λn(x0), упомянутые выше, называются главными значениями, а векторы e1, . . . , en и ẽ1, . . . , ẽn — главными векторами отображения f ′(x0), по этому поводу см. соответствующий коммен- тарий в [10, разд. 2.1, гл. I] после доказательства теоремы 2.2 там же. Разумеется, главные векторы и главные значения зависят как от точки x0, так и от отображения f, однако, с целью упрощения за- писи, мы здесь и в дальнейшем опускаем “(x0)”, если недоразумение невозможно. 3. Об оценке внутренней дилатации открытых дискретных кольцевых Q-отображений Теорема 3.1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отобра- жение, удовлетворяющее соотношениям вида (1.6)–(1.7) в каждой точке x0 области D. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D) и J(x, f) 6= 0 п.в. Тогда при п.в. x ∈ D выполнено соотношение KI(x, f) ≤ cn · Q(x), (3.1) где константа cn зависит только от n. Доказательство. Согласно теореме 3.2 в [17], f дифференцируемо п.в. в D. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ∞ /∈ D ′ = f(D). В каждой точке x ∈ D дифференцируемости ото- бражения f, где J(x, f) 6= 0, рассмотрим конденсатор Er = (Ar, Gr), где Ar = {y : \|x − y\| < 2r} и Gr = {y : \|x − y\| ≤ r} . Т.к. f — открытое и непрерывное отображение, f(Er) также является конденсатором в R n. Пусть ΓEr и Γf(Er) — семейства кривых в смысле обозначений, данных перед предложением 2.1, и Γ ∗ r — семейство максимальных поднятий Γf(Er) при отображении f с началом в Gr. Покажем, что Γ ∗ r ⊂ ΓEr . Предположим противное, т.е., что существует кривая β : [a, b) → R n семейства Γf(Er), для которой соответствующее максимальное по- днятие α : [a, c) → Ar лежит в некотором компакте K внутри Ar. 136 О внутренних дилатациях отображений... Следовательно, его замыкание α — компакт в Ar. Заметим, что c 6= b, поскольку в противном случае β — компакт в f(Ar), что противоре- чит условию β ∈ Γf(Er). Рассмотрим предельное множество кривой α(t) при t → c − 0 : G = { x ∈ R n : x = lim k→∞ α(tk) } , tk ∈ [a, c), lim k→∞ tk = c, где tk → c− 0 монотонно. Для x ∈ G, в силу непрерывности f, будем иметь f (α(tk)) → f(x) при k → ∞, где tk ∈ [a, c), tk → c при k → ∞. Однако, f (α(tk)) = β(tk) → β(c) при k → ∞. Отсюда заключаем, что f постоянна на G в Ar. С другой стороны, по условию Кантора в компакте α, см. 3.6 в [16, гл. I], G = ∞⋂ k=1 α ([tk, c)) = lim sup k→∞ α ([tk, c)) = lim inf k→∞ α ([tk, c)) 6= ∅ в виду монотонности относительно последовательности связных мно- жеств α ([tk, c)) и, таким образом, G является связным, см. [16, разд. 9.12, гл. I]. Таким образом, в силу дискретности f, множество G не может состоять более чем из одной точки, и кривая α : [a, c) → Ar продолжается до замкнутой кривой α : [a, c] → K ⊂ Ar, причём и f (α(c)) = β(c). Снова по следствию 3.3 в [11, гл. II], можно по- строить максимальное поднятие α ′ кривой β\|[c, b) с началом в точке α(c). Объединяя поднятия α и α ′, получаем новое поднятие α ′′ кри- вой β, которое определено на [a, c′), c ′ ∈ (c, b), что противоречит максимальности поднятия α. Таким образом, Γ∗ r ⊂ ΓEr . Заметим, что Γf(Er) > f(Γ∗ r), и, следовательно, по предложению 2.1 и свойству минорирования (2.1) cap f(Er) = M ( Γf(Er) ) ≤ M (f(Γ∗ r)) ≤ M (f(ΓEr )) . (3.2) Поскольку f по условию удовлетворяет условиям (1.6)–(1.7), т.е. f является кольцевым Q-отображением, из (3.2) следует, что cap f(Er) ≤ ∫ r<\|x−y\|<2r Q(y) η n(\|x − y\|) dm(y) для любой неотрицательной измеримой функции η : (r, 2r) → [0,∞], такой что ∫ 2r r η(t)dt ≥ 1. В частности, рассмотрим однопараметриче- ское семейство вещественнозначных функций ηr(t) = { 1 r , t ∈ (r, 2r), 0, t ∈ R \ (r, 2r). Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 137 Тогда cap f(Er) ≤ 2nΩn m(Ar) ∫ Ar Q(y) dm(y). (3.3) С другой стороны, по неравенству (2.2) получаем cap f(Er) ≥ (inf mn−1 S)n [m (f(Ar) \ f(Gr))] n−1 , (3.4) где inf берётся по всевозможным C ∞ — многообразиям S, являю- щихся границей S = ∂U ограниченного открытого множества U, со- держащего f(Gr) и содержащегося вместе со своим замыканием U в f(Ar). Комбинируя (3.3) и (3.4), получаем, что (inf mn−1 S)n ≤ 2nΩn [m(f(Ar) \ f(Gr))] n−1 m(Ar) ∫ Ar Q(y) dm(y). (3.5) При r → 0 множество f (Gr) с точностью до o(r) представляет собой эллипсоид f ′(Gr), являющийся образом шара Gr при линейном ото- бражении f ′. Если данный эллипсоид имеет полуоси 0 < a1r ≤ · · · ≤ anr, то m (f ′(Gr)) = Ωna1 · · · anrn = ΩnJ(x, f)rn, см. соотношения (2.3). Разместим наш эллипсоид таким образом, чтобы его центр сов- пал с началом координат, а главные направления с координатными осями e1, . . . , en. Тогда площадь его поверхности допускает нижнюю оценку: mn−1 ( ∂f ′(Gr) ) ≥ 2mn−1 ( Pr1 ( f ′(Gr) )) = 2Ωn−1 · a2 · · · anr n−1 = 2Ωn−1 · J(x, f) l (f ′(x)) r n−1, (3.6) где Pr1(·) обозначает проекцию на гиперплоскость, перпендикуляр- ную вектору e1. Следовательно, по (3.5) и (3.6), т.к. J(x, f) 6= 0, по- лучим [ 2Ωn−1 · J(x, f) l (f ′(x)) rn−1 − o(r n−1) ]n ≤ [ mn−1∂f ′ (Gr) − o ( rn−1 )]n ≤ 2nΩn [m (f(Ar) \ f(Gr))] n−1 m(Ar) ∫ Ar Q(y) dm(y). (3.7) Разделив неравенство (3.7) на r n(n−1), устремляя r к 0 и применяя теорему Лебега о дифференцируемости неопределённого интеграла, см. теорему 5.4 в [12, гл. IV], будем иметь [ J(x, f) l (f ′(x)) ]n ≤ [J(x, f)]n−1 cn · Q(x) 138 О внутренних дилатациях отображений... для п.в. x ∈ D. Следовательно, т.к. по условию J(x, f) 6= 0 п.в., KI(x, f) = J(x, f) (l (f ′(x)))n ≤ cn · Q(x) для п.в. x ∈ D. Теорема 3.1 доказана. Следствие 3.1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отоб- ражение, удовлетворяющее соотношениям вида (1.6)–(1.7) в каж- дой точке x0 области D. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D) и J(x, f) 6= 0 п.в. Тогда п.в. H(x, f) ≤ cn · Q(x), где константа cn зависит только от n. Следствие 3.2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отоб- ражение, удовлетворяющее соотношениям вида (1.6)–(1.7) в каж- дой точке x0 области D. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D) и J(x, f) 6= 0 п.в. Тогда H(x, f) ∈ L1 loc(D) и KI(x, f) ∈ L1 loc(D). 4. Об оценке внутренней дилатации открытых дискретных Q-отображений В настоящем разделе мы исследуем отображения, удовлетворяю- щие более сильной, чем (1.6), оценке вида (1.4). Ниже будет показано, что для указанных выше отображений, в неравенстве типа (3.1), та- кже имеющем место для отображений вида (1.4), можно взять cn ≡ 1. Такая оценка будет являться точной, ибо внутренняя дилатация все- гда не меньше единицы, см. раздел 2. Теорема 4.1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отобра- жение, удовлетворяющее оценке вида (1.4) в области D для прои- звольного семейства Γ кривых γ в области D и произвольной ρ ∈ adm Γ. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D). Тогда при почти всех x ∈ D выполнено соотношение KI(x, f) ≤ Q(x). (4.1) Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ∞ /∈ D ′ = f(D). Согласно теореме 3.2 и следствию 4.4 в [17], f дифференцируемо п.в. и J(x, f) 6= 0. Обозначим через Φ(A) функцию множества A ⊂ D, определённую следующим образом: Φ(A) = ∫ A Q(x) dm(x). Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 139 Т.к. по условию функция Q ∈ L1 loc(D), по теореме Лебега функция Φ обобщённо дифференцируема в почти каждой точке x0 ∈ D, см., напр., теорему 5.4 в [12, гл. IV], причём производная DΦ(x) = Q(x) для почти всех x ∈ D, см. теорему 6.3 там же. Здесь же см. поня- тие обобщённой дифференцируемости функции множества в точке. Обозначим через E1 множество всех x ∈ D, где Φ обобщённо диффе- ренцируема и DΦ(x) = Q(x), а через E2 — множество всех x ∈ D, где само отображение f дифференцируемо и невырождено. Для справе- дливости заключения теоремы достаточно показать, что (4.1) имеет место для всех x ∈ E0 = E1 ∪ E2. Фиксируем произвольную точку x0 ∈ E0. Не ограничивая общно- сти рассуждений, можно считать, что x0 = 0 и f(x0) = 0. Пусть e1, . . . , en, ẽ1, . . . , ẽn и λ1, . . . , λn, соответственно, главные векторы и главные значения отображения f ′(0), λn ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λ1 > 0. Посредством преобразования поворота в образе и прообразе, можно добиться, чтобы ei = (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸ i , 0, . . . , 0) = ẽi. Мы должны убеди- ться, что λ2 · · ·λn λn−1 1 ≤ Q(0), т.к. \|J(0, f)\| = λ1 · · ·λn и l (f ′(0)) = λ1. Фиксируем произвольно пара- метр t > 0 и выберем число r > 0 так, чтобы конденсатор E := (A, C), где C = {x : x1 = 0, \|xi\| ≤ r, i = 2, . . . , n} и A = {x : \|x1\| < rtλ1, \|xi\| < r + rtλi, i = 2, . . . , n} лежал в области D. Заметим, что m(A) = 2nλ1rt n∏ i=2 (r + rtλi) (4.2) и dist (C, ∂A) = rtλ1. (4.3) Так как E = (A, C) — конденсатор в D, то f(E) = (f(A), f(C)) — кон- денсатор в D ′ = f(D) в виду открытости и непрерывности f. Пусть ΓE и Γf(E) — семейства кривых в смысле предложения 2.1 и Γ ∗ — се- мейство максимальных поднятий Γf(E) при отображении f с началом в C. Как и при доказательстве теоремы 3.1, имеем Γ ∗ ⊂ ΓE . Заме- тим, что Γf(E) > f(Γ∗), и, следовательно, т.к. по условию теоремы отображение f удовлетворяет соотношению (1.4), из соотношения cap f(E) = M ( Γf(E) ) ≤ M (f(Γ∗)) ≤ M (f(ΓE)) следует, что cap (f(A), f(C)) ≤ ∫ D Q(x) · ρn(x) dm(x) (4.4) 140 О внутренних дилатациях отображений... для любой допустимой функции ρ ∈ adm ΓE . Заметим, что функция ρ(x) = { 1 dist (C, ∂A) , x ∈ A \ C, 0, x 6∈ A \ C является допустимой для семейства ΓE и, таким образом, в силу (4.4), cap (f(A), f(C)) ≤ 1 (dist (C, ∂A))n ∫ A Q(x) dm(x). (4.5) С другой стороны, применяя неравенство (2.2), из (4.5) имеем (inf mn−1S)n [m(f(A))]n−1 ≤ 1 (dist (C, ∂A))n ∫ A Q(x) dm(x), (4.6) где mn−1 S означает (n − 1)-мерную площадь C∞-многообразия S, являющегося границей открытого множества U, содержащего f(C) и содержащегося вместе со своим замыканием U в f(A), а точная нижняя грань в (4.6) берётся по всем таким S. Произведём оценку дроби в неравенстве (4.6), опираясь на свойство дифференцируемости отображения f в нуле. Фиксируя произвольно 0 < ε < λ1, выберем r > 0 столь малым, чтобы \|f(x) − f ′(0)x\| < εr при x ∈ A. Тогда множество f(A) содержится в параллелепипеде V = { y : \|y1\| ≤ rtλ2 1 + εr, \|yi\| ≤ rλi + rtλ2 i + εr, i = 2, . . . , n } , а проекция множества f(C) на подпространство y1 = 0 содержит в себе (n − 1)-мерный параллелепипед V0 = {y : y1 = 0, \|yi\| ≤ rλi − εr, i = 2, . . . , n} . Поэтому m (f(A)) ≤ m(V ) = 2nrn ( tλ2 1 + ε ) n∏ i=2 ( λi + tλ2 i + ε ) и mn−1 S ≥ 2mn−1 V0 = 2nrn−1 n∏ i=2 (λi − ε) . Следовательно, подставляя найденные оценки указанных выше вели- чин в неравенство (4.6), учитывая (4.2) и (4.3), получаем Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 141 ( 2nrn−1 n∏ i=2 (λi − ε) )n ( 2nrn(tλ2 1 + ε) n∏ i=2 (λi + tλ2 i + ε) )n−1 ≤ 2nλ1rt n∏ i=2 (r + rtλi) rntnλn 1 1 m(A) ∫ A Q(x) dm(x), откуда ( n∏ i=2 (λi − ε) )n ( (tλ2 1 + ε) n∏ i=2 (λi + tλ2 i + ε) )n−1 ≤ n∏ i=2 (1 + tλi) tn−1λn−1 1 1 m(A) ∫ A Q(x) dm(x), и устремляя r → 0, будем иметь ( n∏ i=2 (λi − ε) )n ( (tλ2 1 + ε) n∏ i=2 (λi + tλ2 i + ε) )n−1 ≤ n∏ i=2 (1 + tλi) tn−1λn−1 1 Q(0). При ε → 0 получаем ( n∏ i=2 λi )n ( tλ2 1 n∏ i=2 (λi + tλ2 i ) )n−1 ≤ n∏ i=2 (1 + tλi) tn−1λn−1 1 Q(0), а затем умножая обе части неравенства на tn−1 и переходя к пределу при t → 0, выводим n∏ i=2 λi λn−1 1 ≤ Q(0), следовательно, теорема 4.1 полностью доказана. Следствие 4.1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отобра- жение, удовлетворяющее оценке вида (1.4) в области D для прои- звольного семейства Γ кривых γ в области D и произвольной ρ ∈ adm Γ. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D). Тогда Q(x) ≥ 1 для почти всех x ∈ D. 142 О внутренних дилатациях отображений... Следствие 4.2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отобра- жение, удовлетворяющее оценке вида (1.4) в области D для прои- звольного семейства Γ кривых γ в области D и произвольной ρ ∈ adm Γ. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D). Тогда KO(x, f) ≤ Qn−1(x) для почти всех x ∈ D. Следствие 4.3. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное ото- бражение, удовлетворяющее оценке вида (1.4) в области D для прои- звольного семейства кривых Γ в области D и произвольной ρ ∈ adm Γ. Предположим, что Q ∈ L1 loc(D). Тогда при почти всех x ∈ D H(x, f) ≤ Q(x). 5. Заключительные замечания Авторы предполагают, что неравенство KO(x, f) ≤ Cn · Qn−1(x) с Cn = 1, см., напр., [17], а также неравенство KI(x, f) ≤ cnQ(x) с cn = 1, для отображений, удовлетворяющих (1.6)–(1.7) в каждой точке x0 ∈ D, вообще говоря, неверно. Попросту говоря, мы пред- полагаем, что класс кольцевых Q-отображений шире, чем класс Q- отображений. Другой открытый вопрос заключается в присутствую- щих условиях “открытости” и “дискретности” отображения f. Иссле- дования дилатаций отображений, не являющихся открытыми и дис- кретными, требуют привлечения техники, отличной от модульной. Постскриптум. Настоящая работа выполнена в русле исследований, инициированных известным математиком Г. Д. Суворовым, считав- шим “идеалом (и целью !) в теории функций достижение такой ситуа- ции, когда мы будем располагать большим числом различных классов функций и для каждого класса иметь разработанный каталог свойств (метрических и топологических)”, см. [14, с. 325]. Литература [1] Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Москва: Мир, 1969. [2] Andreian C. Cazacu, On the length-area dilatation // Complex Var. Theory Appl., 50 (2005), No. 7–11, 765–776. [3] C. J. Bishop, V. Ya. Gutlyanskii, O. Martio, M. Vuorinen, On conformal dilatation in space // Intern. Journ. Math. and Math. Scie., 22 (2003), 1397–1420. [4] M. Cristea, Local homeomorphisms having local ACLn inverses // Compl. Var. and Ellipt. Equat., 53 (2008), No. 1, 77–99. [5] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc., 103 (1962), 353–393. Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов 143 [6] В. И. Кругликов, Ёмкости конденсаторов и пространственные отображе- ния, квазиконформные в среднем // Матем. сб., 130 (1986), No. 2, 185–206. [7] O. Lehto and K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, New York etc.: Springer, 1973. [8] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009. [9] В. М. Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения, Волгоград: Изд–во ВолГУ, 2005. [10] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искаже- нием, Новосибирск: Наука, 1982. [11] S. Rickman, Quasiregular mappings, Results in Mathematic and Related Areas (3), 26, Berlin: Springer-Verlag, 1993. [12] С. Сакс, Теория интеграла, М.: ИЛ, 1949. [13] Ю. Ф. Стругов, Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // ДАН СССР, 243 (1978), No. 4, 859–861. [14] Г. Д. Суворов, Об искусстве математического исследования, Донецк: Доне- цкая фирма наукоёмких технологий НАН Украины (Фирма ТЕАН), 1999. [15] J. Väisälä, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer-Verlag, 1971. [16] G. T. Whyburn, Analytic topology, Rhode Island: American Mathematical Soci- ety, 1942. [17] R. Salimov and E. Sevost’yanov, ACL and differentiability of the open discrete ring mappings // Compд. Var. and Ellip. Equat., 55 (2010), No. 1–3, 49–59. Сведения об авторах Евгений Александрович Севостьянов, Руслан Радикович Салимов Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Розы Люксембург, 74, Донецк, 83114 Украина E-Mail: brusin2006@rambler.ru, ruslan623@yandex.ru

О внутренних дилатациях отображений с неограниченной характеристикой

Репозитарії

Схожі ресурси