Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием
В работе для дифференциального уравнения произвольного порядка, как четного, так и нечетного, с операторными коэффициентами строится фундаментальное решение с краевым условием на сингулярном конце. Это решение является аналитическим по λ в некоторой окрестности в комплексной плоскости множества на д...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124419 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием / А.М. Холькин // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 2. — С. 203-219. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124419 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244192017-09-27T03:02:41Z Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием Холькин, А.М. В работе для дифференциального уравнения произвольного порядка, как четного, так и нечетного, с операторными коэффициентами строится фундаментальное решение с краевым условием на сингулярном конце. Это решение является аналитическим по λ в некоторой окрестности в комплексной плоскости множества на действительной оси, являющегося дополнением предельного спектра самосопряженного расширения минимального оператора. 2011 Article Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием / А.М. Холькин // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 2. — С. 203-219. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34K10, 34G10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124419 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе для дифференциального уравнения произвольного порядка, как четного, так и нечетного, с операторными коэффициентами строится фундаментальное решение с краевым условием на сингулярном конце. Это решение является аналитическим по λ в некоторой окрестности в комплексной плоскости множества на действительной оси, являющегося дополнением предельного спектра самосопряженного расширения минимального оператора. |
| format |
Article |
| author |
Холькин, А.М. |
| spellingShingle |
Холькин, А.М. Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием Український математичний вісник |
| author_facet |
Холькин, А.М. |
| author_sort |
Холькин, А.М. |
| title |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| title_short |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| title_full |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| title_fullStr |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| title_sort |
фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124419 |
| citation_txt |
Фундаментальное решение операторно-дифференциального уравнения с сингулярным краевым условием / А.М. Холькин // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 2. — С. 203-219. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT holʹkinam fundamentalʹnoerešenieoperatornodifferencialʹnogouravneniâssingulârnymkraevymusloviem |
| first_indexed |
2025-07-09T01:24:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:24:19Z |
| _version_ |
1837130592245776384 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 2, 203 – 219
Фундаментальное решение
операторно-дифференциального уравнения с
сингулярным краевым условием
Александр М. Холькин
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В работе для дифференциального уравнения прои-
звольного порядка, как четного, так и нечетного, с операторными ко-
эффициентами строится фундаментальное решение с краевым усло-
вием на сингулярном конце. Это решение является аналитическим
по λ в некоторой окрестности в комплексной плоскости множества
на действительной оси, являющегося дополнением предельного спе-
ктра самосопряженного расширения минимального оператора.
2010 MSC. 34K10, 34G10.
Ключевые слова и фразы. Фундаментальное решение, оператор,
сингулярное краевое условие.
Исследование осцилляционных задач для бесконечных систем
дифференциальных уравнений приводит к необходимости построе-
ния фундаментального решения (ф.р.), удовлетворяющего самосо-
пряженному краевому условию на сингулярном конце. Это опера-
торное решение является аналогом полной системы линейно незави-
симых решений в конечномерном случае. Оно оказывается удобным
и при описании самосопряженных расширений дифференциальных
операторов, в частности, при постановке краевых условий на бесконе-
чности. (Для скалярного дифференциального уравнения второго по-
рядка решение, подчиненное краевому условию на сингулярном кон-
це, получено в [1].) Явное построение решения конечного при x = 0
и целого по λ дано в [2, 3] для скалярного уравнения Шредингера с
Статья поступила в редакцию 5.01.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
204 Фундаментальное решение...
высокосингулярным при x = 0 потенциале, и аналогично для опера-
торного потенциала в [4]. Существование ф.р. для дифференциально-
операторных уравнений произвольного порядка, как четного, так и
нечетного, установлено в [5, 6] (см. также монографии [7, 8]) . Там
же доказана самосогласованность этого решения. В абсолютно нео-
пределенном случае (см. определение в [9]) для системы дифферен-
циальных уравнений произвольного порядка решение задачи Коши с
начальными данными в (−∞), а тем самым и ф.р., получено в [10,11].
В работе [12] ф.р. построено для собственного расширения (не обя-
зательно самосопряженного) симметрического дифференциального
оператора четного порядка с произвольными индексами дефекта.
В настоящей работе для дифференциальных уравнений произ-
вольного порядка с операторными коэффициентами другим способом
строится фундаментальное решение краевой задачи и изучаются его
свойства. Результаты работы анонсированы в [13].
Пусть H сепарабельное гильбертово пространство со скалярным
произведением (·, ·) и нормой | · |, dimH ≤ ∞. Обозначим
H(a, b) = L2{H; (a, b);W (x) dx}
гильбертово пространство вектор-функций y(x) со значениями в H,
скалярным произведением
〈y, z〉(a,b) =
b∫
a
(W (x)y(x), z(x)) dx, −∞ ≤ a < b ≤ ∞
и соответствующей нормой ‖ ·‖(a,b), где W (x) = W ∗(x) ≫ 0 — ограни-
ченный оператор в H с положительной нижней гранью при каждом
x ∈ (a, b), зависимость от x непрерывна в равномерном смысле. Там,
где это не вызывает недоразумений, интервал (a, b) в определении
скалярного произведения и нормы в H(a, b) будем опускать.
Рассмотрим самосопряженное дифференциальное уравнение по-
рядка r ≥ 1 с операторными коэффициентами из B(H)
l[y] =
r∑
k=0
ik lk[y] = λW (x)y, (1)
где
l2j = Djpj(x)D
j , p∗j (x) = pj(x),
l2j−1 =
1
2
Dj−1{Dqj(x) + q∗j (x)D}Dj−1, D = d/dx
операторные коэффициенты pj(x), qj(x) непрерывно в равномерном
смысле зависят от x вместе со своими производными до порядка j
А. М. Холькин 205
включительно, коэффициент при старшей производной (pn(x) при
r = 2n и Re qn(x) := 1
2(qn(x) + q∗n(x)) при r = 2n− 1) в уравнении (1)
имеет ограниченный обратный во всем H при x ∈ (a, b) и a является
сингулярной точкой, т.е. либо a = −∞ либо в точке a нарушены
условия гладкости коэффициентов.
Предположим, что для минимального оператора L, порожденного
выражением lW [y] = W−1(x)l[y] в гильбертовом пространствеH(α, β)
существуют распадающиеся граничные условия на любом интервале
(α, β) ⊆ (a, b), а поэтому r · dimH = ∞ или четно (см. [14,15]).
Пусть в точке a ≥ −∞ задано самосопряженное краевое условие
Ua[y] = 0 (2)
Самосопряженность условия (2) означает, что минимальный отно-
сительно точки ξ оператор Lξ, порожденный в H(a, ξ), a < ξ ≤ b
выражением lW [y] и условием (2), является симметрическим и фун-
кции y ∈ D(L∗
ξ) также удовлетворяют этому условию.
Описание расширений симметрических операторов в терминах аб-
страктных граничных условий содержится в [1, 16–19].
Для задачи на бесконечном интервале (полуоси или оси) в абсо-
лютно неопределенном случае описание распадающихся граничных
условий приводится в [10,11], а в работе [20] получен критерий суще-
ствования и дано описание всех распадающихся самосопряженных
граничных условий для выражения четного порядка на полуоси.
Определение 1. Фундаментальным решением задачи (1), (2) на-
зываем такое решение уравнения (1) Y (x, λ) ∈ B(H, H), где H —
какое-либо гильбертово пространство, что:
1) ∀h ∈ H, ξ ∈ (a, b) y = Y (x, λ)h ∈ H(a, ξ) и удовлетворяет
краевому условию (2);
2) любое решение y ∈ H(a, ξ) задачи (1), (2) представимо в виде
y(x, λ) = Y (x, λ)h. (3)
При этих условиях самосопряженный оператор
MY (x, λ) :=
r−1∑
k=0
Y (k)∗(x, λ) · Y (k)(x, λ) ≫ 0 (4)
позитивен и имеет ограниченный обратный во всем H при любом x
(ср. с определением 4.2. [12])
206 Фундаментальное решение...
Условия (3), (4) означают полноту и линейную независимость оп-
ределяемой по фундаментальному решению Y (x, λ) системы решений
задачи (1), (2).
Для задачи (1), (2) с краевым условием в регулярной точке a ф.р.
Y (x, λ) аналитическое по λ можно построить, как решение уравнения
(1) с операторными данными Коши.
Если a = −∞ или является конечной сингулярной точкой, то по-
строение фундаментального решения задачи (1), (2) не сводится к
задаче Коши. Однако в ряде случаев фундаментальное решение мо-
жно построить явно (см. [2–4]).
Определение 2. Решение Y (x, λ) ∈ B(H, H) уравнения (1) при
λ ∈ R называем самосогласованным, если при ξ ∈ (a, b) существу-
ет самосопряженное краевое условие
Uξ,λ[y] := cosAξ,λ y
∨(ξ) − sinAξ,λ y
∧(ξ) = 0, (5)
которому при x = ξ удовлетворяют все функции вида y(x, λ) =
Y (x, λ)h, Aξ,λ — самосопряженный оператор в H̃, где при r = 2n
H̃ = Hn = H ⊕H ⊕ · · · ⊕H
y ∧(x) = col{y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x)} ∈ H̃
y ∨(x) = col{y[2n−1], y[2n−2], . . . , y[n]} ∈ H̃,
y[k](x) — квазипроизводные, отвечающие операции l[y] и определен-
ные в соответствии с [14,15], при r = 2n− 1 y∧(x), y∨(x), H̃ опре-
деляются сложнее (см. [14, 15]).
В совместных работах Ф. С. Рофе-Бекетова и автора [5, 6] (см.
также монографии [7,8]) доказано существование фундаментального
решения задачи (1), (2).
Теорема 1. Для задачи (1), (2) существует фундаментальное ре-
шение Y (x, λ) ∈ B(H, H) при dimH = r
2 dimH и λ ∈ C \ σe(Lξ)
(σe(Lξ) не зависит от ξ, а при a > −∞ — пусто). Фундаменталь-
ное решение Y (x, λ) может быть построено аналитическим по λ
в некоторой окрестности Λρ множества Λ := R \ σe(Lξ) в компле-
ксной плоскости.
Ф.р., построенное в работе [12] для собственного расширения L̃ξ
симметрического дифференциального оператора четного порядка,
голоморфно на резольвентном множестве ρ̂r(L̃ξ). Это решение бу-
дет аналитическим по λ в некоторой окрестности этого множества в
комплексной плоскости.
А. М. Холькин 207
В настоящей работе для уравнений произвольного порядка (как
четного, так и нечетного) другим способом строится ф.р. Y (x, λ) за-
дачи (1), (2), которое будет аналитическим по λ в некоторой, вообще
говоря, другой окрестности Λ′
ρ ⊂ C, чем в цитируемых выше работах.
Обозначим R0
λ резольвенту самосопряженного оператора L0
ξ , яв-
ляющегося расширением в H(a, ξ) симметрического оператора Lξ ус-
ловием y∧(ξ) = 0. При λ ∈ C\σ(L0
ξ) резольвента R0
λ аналитически
зависит от λ. Зададим оператор T 0
λ : H(a, ξ) → H̃ формулой
T 0
λf = (R0
λf)∨(ξ), λ ∈ C\σ(L0
ξ).
Подобно тому, как в [6], доказывается ограниченность оператора T 0
λ
и функционала
ϕ0
λ(f) := ((R0
λf)∨(ξ), h), λ ∈ C\σ(L0
ξ), h ∈ H̃,
поэтому по теореме Рисса
((R0
λf)∨(ξ), h) =
〈
f(·), gh(·, λ̄)
〉
(a,ξ)
, (6)
где gh(·, λ̄) ∈ H(a, ξ) определяется однозначно. Это позволяет при
λ ∈ C\σ(L0
ξ) задать оператор G0
λ = G0(·, λ) : H̃ → H(a, ξ) форму-
лой G0(x, λ)h = gh(x, λ). Этот оператор аналитически зависит от λ в
равномерной операторной топологии.
Аналогично тому, как в теореме 2.1 [6], показывается, что опера-
торное решение Yξ(x, λ) ∈ B(H̃, H) уравнения (1) на интервале (a, b)
с данными Коши:
Y ∧
ξ (ξ, λ) = (G0)∧(ξ, λ), Y ∨
ξ (ξ, λ) = (G0)∨(ξ, λ)
удовлетворяет условиям 1)–2) определения 1, т.е. является фунда-
ментальным решением задачи (1), (2). При этом в доказательстве
используется, что
Y ∧
ξ (ξ, λ) = −I, ∀λ ∈ C \ σ(L0
ξ)
Докажем эту формулу. Пусть y(x, λ) = Yξ(ξ, λ)h для произвольного
h ∈ H̃ при λ ∈ C \ σ(L0
ξ). Тогда, в силу (6), для всех f ∈ H(a, ξ)
〈f(·), y( ·, λ)〉ξ = 〈f(·), Yξ(·, λ)h〉
ξ
= ((R0
λ̄
f)∨(ξ), h). (7)
Для произвольной функции f ∈ H(a, ξ) положим R0
λ̄
f = g(x, λ̄). За-
мечая, что функции g ∈ D(L0
ξ), y удовлетворяют граничному усло-
вию (2) в точке a и что l[g] − λ̄Wg = Wf , имеем
208 Фундаментальное решение...
〈f(·), y(·, λ)〉ξ =
ξ∫
a
(l[g] − λ̄Wg, y) dx
= (g∧(ξ, λ̄), y∨(ξ, λ)) − (g∨(ξ, λ̄), y∧(ξ, λ))
+
ξ∫
a
(g, l[y] − λWy) dx = (g∧(ξ, λ̄), y∨(ξ, λ)) − (g∨(ξ, λ̄), y∧(ξ, λ))
= ((R0
λ̄
f)∧(ξ), y∨(ξ, λ)) − ((R0
λ̄
f)∨(ξ), y∧(ξ, λ))
= −((R0
λ̄
f)∨(ξ), y∧(ξ, λ)). (8)
Сравнивая (7) и (8), получаем
((R0
λ̄
f)∨(ξ), h) = −((R0
λ̄
f)∨(ξ), y∧(ξ, λ)).
Отсюда
y∧(ξ, λ) = −h, Y ∧
ξ (ξ, λ)h = −h, Y ∧
ξ (ξ, λ) = −I, ∀λ ∈ C \ σ(L0
ξ).
Решение Yξ(x, λ) — самосогласованно, кроме того
nul Y ∧
ξ (x, λ) = nul Y ∧∗
ξ (x, λ)
а при λ ∈ R\(σ(L0
ξ)
⋃
σ(L0
x)) оператор Y ∧
ξ (x, λ) фредгольмов. В отли-
чие от фундаментального решения, построенного в [6] и аналитиче-
ского по λ в некоторой окрестности Λρ ⊂ C множества Λ := R\σe(Lξ),
полученное решение регулярно по λ в верхней и нижней полуплоско-
стях, однако имеет полюсы в точках λ0
k дискретного спектра опера-
тора L0
ξ .
Операторы
V ξ
±(ξ, λ) = Y ∨
ξ (ξ, λ) ± iY ∧
ξ (ξ, λ) = Y ∨
ξ (ξ, λ) ∓ iI
имеют ограниченные обратные, определенные во всем H̃, при всех
λ ∈ R \ σ(L0
ξ). Точки λ = λ0
k являются полюсами аналитических
оператор-функций V ξ
±(ξ, λ) : H → H̃. Фундаментальное решение
Y 0(x, λ) = Yξ(x, λ) · (V ξ
+)−1(ξ, λ)
совпадает при λ ∈ R \ σ(L0
ξ) с фундаментальным решением Y (x, λ),
построенным в [6], т. к. они удовлетворяют одному и тому же грани-
чному условию в точке ξ. Это позволяет аналитически продолжить
по λ на C \ (σ(Lξ)
⋃
σ(V ξ
+(ξ, λ))) оба этих фундаментальных решения
(напомним, что σ(Lξ) от ξ не зависит).
А. М. Холькин 209
Рассмотрим оператор в H̃
Γ(λ) =
ξ∫
a
Y ∗
ξ (x, λ̄)W (x)Yξ(x, λ) dx, λ ∈ C \ σ(L0
ξ).
Оператор Γ(λ) аналитически зависит от λ. Докажем, что оператор
Γ(λ) при λ ∈ R\σ(L0
ξ) имеет ограниченный обратный. Действительно,
если при некотором λ ∈ R \ σ(L0
ξ) и h ∈ H̃ Γ(λ)h = 0, то из формулы
(Γ(λ)h, h) =
ξ∫
a
(W (x)G0(x, λ)h,G0(x, λ)h) dx (9)
имеем, что G0(x, λ)h ≡ 0 и, следовательно, h = 0. Если Γ(λ)hk → 0
при k → ∞, где |hk| = 1, то из (9) ‖G0(·, λ)hk‖ → 0, k → ∞, что
влечет (G0)∧(ξ, λ) → 0, (G0)∨(ξ, λ) → 0, но это противоречит тому,
что Y ∧
ξ (ξ, λ) = −I.
Теорема 2. Для задачи (1), (2) существует фундаментальное ре-
шение YΓ(x, λ) ∈ B(H̃, H), которое является аналитическим по λ в
некоторой окрестности Λ′
ρ ⊂ C множества R \ σe(L
0
ξ).
Доказательство. Рассмотрим разложение резольвенты R0
λ и реше-
ния Yξ(x, λ) в ряд Лорана в окрестности любого собственного значе-
ния λk оператора L0
ξ
R0
λ =
P−1
λ− λk
+
∞∑
m=0
Pm(λ− λk)
m (10)
Yξ(, λ) =
g−1(x, λk)
λ− λk
+
∞∑
m=0
gm(x, λk)(λ− λk)
m. (11)
В силу следующей ниже леммы 1 при λ ∈ C\σ(L0
ξ) получаем, что
Γ(λ) =
1
(λ− λk)2
[A+ (λ− λk)
2B(λ)],
где
A =
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)g−1(x, λk) dx,
B(λ) =
∞∑
m,n=0
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x)gn(x, λk) dx(λ− λk)
m+n.
(12)
210 Фундаментальное решение...
Оператор A в силу леммы 2 имеет κ положительных собственных
значений, а оператор B(λ) в H̃ имеет ограниченный обратный при
всех λ в некоторой окрестности каждой точки λk. Поэтому существу-
ет достаточно малая окрестность Λk точки λk такая, что при всех
λ ∈ Λk оператор Γ̃(λ) = A+ (λ− λk)
2B(λ) имеет κ собственных зна-
чений, расположенных правее некоторого β > 0. Пусть E(β, λ) разло-
жение единицы оператора Γ̃(λ). Обозначим P1(λ) = E(β, λ), P2(λ) =
I − E(β, λ) операторы проектирования на инвариантные подпро-
странства H1(λ) = P1(λ)H̃, H2(λ) = P2(λ)H̃ (dim H2(λ) = κ при
всех λ ∈ Λk ).
Как показано в [21], операторы P1(λ) и P2(λ) аналитически зави-
сят от λ при λ ∈ Λk. Поскольку операторы проектирования P1(λ) и
P2(λ) коммутируют с Γ̃(λ), то
Γ̃(λ) = P1(λ)Γ̃(λ)P1(λ) + P2(λ)Γ̃(λ)P2(λ).
Обозначим Ω(λ, λk) эволюционный оператор [22], который следит за
поворотом инвариантных подпространств H1(λ), H2(λ) оператора
Γ̃(λ) при изменении λ в окрестности Λk. Оператор Ω(λ, λk) является
унитарным, дифференцируемым по λ и обладает свойством повора-
чивания, т.е.
Pj(λ) = Ω(λ, λk)Pj(λk)Ω
∗(λ, λk).
Поэтому Γ̃(λ) = Ω(λ, λk)[Γ1(λ) ⊕ Γ2(λ)]Ω∗(λ, λk), где Γj(λ), j = 1, 2
самосопряженные операторы в Hj(λk)
Γj(λ) = Pj(λk)Ω
∗(λ, λk)Γ̃(λ)Ω(λ, λk)Pj(λk).
Тогда
Γ
1
2 (λ) =
1
λ− λk
Ω(λ, λk)[Γ
1
2
1 (λ) ⊕ Γ
1
2
2 (λ)]Ω∗(λ, λk).
Так как
Γ
1
2
1 (λ) = (λ− λk)P1(λk)B(λk)P1(λk) + (λ− λk)
2 · Γ̃1(λ),
Γ
1
2
2 (λ) = A
1
2 + (λ− λk) · Γ̃2(λ),
где Γ̃1(λ), Γ̃2(λ) — дифференцируемые оператор-функции, то при λ 6=
λk в некоторой окрестности точки λk существует обратный оператор
Γ− 1
2 (λ). Положим
YΓ(x, λ) = Yξ(x, λ) · Γ− 1
2 (λ).
Оператор-функция Yξ(x, λ) является аналитической при λ ∈ C\σ(L0
ξ)
и имеет полюсы в точках λ = λk, поэтому оператор-функция YΓ(x, λ)
А. М. Холькин 211
в этих точках имеет либо полюс, либо устранимую особенность. Если
бы точка λ = λk являлась полюсом, то при λ → λk по любому
направлению предел был бы неограниченным. Однако при любых
λ ∈ R \ σe(L
0
ξ) и h ∈ H̃
‖YΓ(·, λ)h‖2 =
(( ξ∫
a
Y ∗
Γ (x, λ)W (x)YΓ(x, λ) dx
)
h, h
)
= |h|2.
Поэтому оператор YΓ(x, λ) : H̃ → H равномерно ограничен по λ и
тем более ограничен оператор YΓ(x, λ) : H̃ → H(a, ξ). Следовательно,
особенность в точке λ = λk устранимая. Доопределяя
YΓ(x, λk) = lim
λ→λk
YΓ(x, λ),
получим невырожденное операторное решение YΓ(x, λ), которое ана-
литически зависит от λ в некоторой окрестности Λ′
ρ ⊂ C множества
R \ σe(L
0
ξ). Теорема доказана.
Лемма 1. При всех m = 0; 1; 2; . . .
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x) gm(x, λk) dx =
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x) g−1(x, λk) dx = 0.
(13)
Доказательство. Подставляя (10) и (11) в (6) и приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях (λ− λk), получим
(Pmf)∨(ξ) =
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x) f(x) dx, m = −1, 0, 1, 2, . . . (14)
Как известно, (−P−1) является оператором проектирования на соб-
ственное подпространство Hk, отвечающее собственному значению
λk. Если
ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕæ(x) (15)
ортонормированный базис в Hk, то (−P−1) является интегральным
оператором в H(a, ξ) с ядром K(x, t) =
∑æ
j=1 ϕj(x)ϕ
∗
j (t):
(−P−1f)(x) =
ξ∫
a
K(x, t)W (t)f(t) dt.
212 Фундаментальное решение...
Тогда из (14) получаем (при m = −1)
g−1(x, λk) =
æ∑
j=1
ϕj(x)ϕ
∨
j
∗(ξ). (16)
Для разложения резольвенты замкнутого симметрического операто-
ра известно (см., например, [23]), что
P−1Pm = Pm · P−1 = 0, m = 0, 1, 2, . . . ,
Pm = Pm+1
0 , m = 1, 2, . . . , P 2
−1 = −P−1.
Поэтому для любой функции f(x) ∈ H(a, ξ)
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)Pmf(x) dx = (P−1Pmf)∨(ξ) = 0, (17)
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x)P−1f(x) dx = (PmP−1f)∨(ξ) = 0, (18)
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)P−1f(x) dx = (P−1P−1f)∨(ξ)
= −(P−1f)∨(ξ) = −
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)f(x) dx (19)
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x)P0f(x) dx = (PmP0f)∨(ξ)
= (Pm+1f)∨(ξ) =
ξ∫
a
g∗m+1(x, λk)W (x)f(x) dx (20)
Из (20) при m = 0 имеем
ξ∫
a
g∗1(x, λk)W (x) f(x) dx =
ξ∫
a
g∗0(x, λk)W (x)P0f(x) dx.
А. М. Холькин 213
Возьмем f = P0h. Тогда, дважды применяя (20), получим
ξ∫
a
g∗2(x, λk)W (x)h(x) dx
=
ξ∫
a
g∗1(x, λk)W (x)P0h(x) dx
=
ξ∫
a
g∗0(x, λk)W (x)P 2
0 h(x) dx
и т.д. Таким образом, для любой функции f(x) ∈ H(a, ξ)
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x)f(x) dx =
ξ∫
a
g∗0(x, λk)W (x)Pm
0 f(x) dx.
Рассмотрим оператор T : H(a, ξ) → H̃ по формуле:
Tf =
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)f(x) dx.
Тогда для любого h ∈ H̃
(Tf, h) =
( ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)f(x) dx, h
)
=
ξ∫
a
(W (x) f(x), g−1(x, λk)h) dx = 〈f, g−1h〉.
Сопряженный оператор T ∗ : H̃ → H(a, ξ) по формуле
T ∗h = g−1(x, λ)h. (21)
Оператор T1 : H(a, ξ) → H̃ определим по формуле
T1f =
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)P−1 f(x) dx.
214 Фундаментальное решение...
Аналогично предыдущему получаем
T ∗
1 h = P ∗
−1[g
∗
−1(x, λk)h] = P−1[g−1(x, λk)h]. (22)
Так как в силу (19) T1 = −T , то из (21) получаем, что
P−1[g−1(x, λk)h] = −g−1(x, λk)h.
Аналогично доказывается, что ∀h ∈ H̃
gm(x, λk)h = Pm
0 (g0(x, λk)h). (23)
Отсюда, используя (22) и (23), для любого h ∈ H̃ имеем
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)gm(x, λk)h dx
=
ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x) g−1(x, λk)h dx = 0, (m = 0, 1, 2, . . . ),
что равносильно (13). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. 1) Пусть ϕ1(x), . . . , ϕæ(x) — ортонормированный ба-
зис собственного подпространства Hk = (−P−1)H(a, ξ). Обо-
значим Hk подпространство в H̃ натянутое на векторы
ϕ∨
1 (ξ), . . . , ϕ∨
æ(ξ), Ak — сужение оператора A на Hk. Тогда опе-
ратор Ak имеет ограниченный обратный.
2) Оператор B(λ) в H̃ имеет ограниченный обратный при всех λ
в некоторой окрестности каждой точки λk.
Доказательство. 1) В силу (16)
A =
ξ∫
a
g∗−1(x, λk)W (x)g−1(x, λk) dx
=
κ∑
i,j=0
ϕ∨
j (ξ)
ξ∫
a
ϕ∗
j (x)W (x)ϕi(x) dxϕ
∨∗
i (ξ) =
κ∑
j=1
ϕ∨
j (ξ)ϕ∨∗
j (ξ).
Векторы ϕ∨
j (x) ∈ H̃, j = 1, . . . ,æ. Поэтому A 6= 0 на подпространстве
Hk ⊂ H̃.
А. М. Холькин 215
2) Пусть при некоторых λ′ 6= λk, Imλ′ = 0 и h ∈ H̃, B(λ′)h = 0.
Так как
(B(λ′)h, h) =
ξ∫
a
|W
1
2 (x)G0(x, λ
′, λk)h|
2 dx, (24)
где G0(x, λ, λk) =
∑∞
m=0 gm(x, λk)(λ − λk)
m, то G0(x, λ
′, λk)h = 0 и
поэтому
G0(x, λ′)h =
g−1(x, λk)h
λ′ − λk
.
Так как g−1(x, λk)h — решение уравнения l[y] = λW (x)y при λ = λk,
а G0(x, λ′)h — решение того же уравнения при λ = λ′ и λ′ 6= λk,
то G0(x, λ′)h ≡ 0. Откуда h = 0. Пусть λ′ = λk. Тогда, если
B(λk)h =
∫ ξ
a
g∗0(x, λk)W (x)g0(x, λk)h dx = 0, то g0(x, λk)h ≡ 0 и в
силу (23) gm(x, λk)h ≡ 0. Поэтому B(λ)h = 0 при всех λ из некото-
рой окрестности точки λk, что противоречит доказанному выше при
Imλ = 0.
Предположим, что B(λ)hj → 0 при j → ∞, где |hj | = 1. Тог-
да из (12) имеем, что ‖G0(·, λ, λk)hj‖ → 0. Обозначив P⊥
−1(λ) =∑∞
m=0 Pm(λ − λk)
m, для любой функции f ∈ H(a, ξ) получаем при
j → ∞
|((P⊥
−1f)∨(ξ), hj)| =
∣∣∣∣
∞∑
m=0
((Pmf)∨(ξ), hj)(λ− λk)
m
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∞∑
m=0
( ξ∫
a
g∗m(x, λk)W (x)f(x) dx, hj
)
(λ− λk)
m
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
( ξ∫
a
∞∑
m=0
g∗m(x, λk)(λ− λk)
mW (x)f(x) dx, hj
)∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
( ξ∫
a
G∗
0(x, λ, λk)W (x)f(x) dx, hj
)∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
ξ∫
a
(W (x)f(x), G0(x, λ, λk)hj) dx
∣∣∣∣∣
≤ ‖f(·)‖ · ‖G0(·, λ, λk)hj‖ → 0. (25)
Для каждого вектора hj ∈ H̃, используя лемму 3 (см. ниже),
выберем последовательность функций fj,m ∈ H(a, ξ). Тогда, взяв в
216 Фундаментальное решение...
(25) f переменным f = fj,m, для всех m получаем
|((P⊥
−1fj,m)∨(ξ), hj)| ≤ c · |hj | · ‖G0(·, λ, λk)hj‖ → 0, j → ∞. (26)
Однако, в силу леммы 3, при достаточно больших m при всех j имеем
|((P⊥
−1fj,m)∨(ξ), hj)| = |((P⊥
−1fj,m)∨(ξ) − hj , hj) + 1|
≥ 1 − |(P⊥
−1fj,m)∨(ξ) − hj | >
1
2
(27)
Условия (26) и (27) противоречивы.
Лемма 3. Для любого вектора h ∈ H̃ можно выбрать последова-
тельность функций fm ∈ H(a, ξ) так, чтобы ‖fm‖ ≤ c · |h| при всех
m и |(P⊥
−1fm)∨(ξ) − h| → 0 при m→ ∞ равномерно по h.
Доказательство. Положим H⊥
k = D(L0
ξ) ⊖ Hk. Так как P⊥
−1 P−1 =
P−1 P
⊥
−1 = 0 и
R0
λH(a, ξ) =
( P−1
λ− λk
+ P⊥
−1
)
H(a, ξ),
то P⊥
−1H(a, ξ) ⊆ H⊥
k . Однако, так как для любого f ∈ H⊥
k
P−1L
0
ξf =
(
R0
λ −
P−1
λ− λk
)
L0
ξf = f −
1
λ− λk
P−1L
0
ξf = f,
то P⊥
−1H(a, ξ) = H⊥
k .
Аккуратно “подправим” собственные функции ϕj(x) в точке ξ так,
чтобы
ϕ∧
j,m(ξ) = ϕ∨
j,m(ξ) = 0, ‖ϕj(·) − ϕj,m(·)‖ → 0. (28)
Тогда ‖L0
ξϕj−L
0
ξϕj,m‖ → 0 при m→ ∞. Причем функции ϕj,m можно
выбрать так, чтобы при i 6= j
〈ϕj , ϕi,m〉 = 0 (29)
(Это возможно в силу леммы 3, [24, п. 6]). Заметим, что из (29) сле-
дует
〈ϕj , ϕj,m〉 → 1, m→ ∞. (30)
По вектору h ∈ H̃ построим функцию ψ(x) ∈ C∞
0 такую, что ψ∧(ξ) =
0, ψ∨(ξ) = h. Тогда P−1ψ(x) =
∑æ
j=1 cj · ϕj(x), где cj = 〈ψ,ϕj〉. При
этом
|cj | ≤ ‖ψ‖ =
( ξ∫
a
|W
1
2 (x)ψ(x)|2 dx
) 1
2
≤ C · |h| (31)
А. М. Холькин 217
Положим ym(x) = ψ(x)−
∑æ
j=1 cj ·ϕj,m(x). Тогда ym ∈ D(L0
ξ), y
∧
m(ξ) =
0, y∨m(ξ) = h и ym(x) = y⊥m +
∑æ
j=1〈y, ϕj〉ϕj(x), где y⊥m(x) проекция на
H
⊥
k функции ym(x). В силу (29) и (30)
〈ym, ϕj〉 =
〈
ψ−
æ∑
i=1
ci ·ϕi,m, ϕj
〉
= 〈ψ,ϕj〉−
æ∑
i=1
ci · 〈ϕi,m, ϕj〉 = cj ·εj,m,
где εj,m → 0 при m→ ∞. Поэтому
ym(x) = y⊥m(x) +
æ∑
j=1
εj,m cj · ϕj(x).
Так как ym(x) ∈ D(L0
ξ), то существует функция fm(x) ∈ H(a, ξ) та-
кая, что R0
λ fm = ym. При этом
(P⊥
−1fm)∧(ξ) = 0, |(P⊥
−1fm)∨(ξ) − h| ≤
æ∑
j=1
|εj,mcj · ϕ
∨
j (ξ)| → 0
при m→ ∞ равномерно по h. Кроме того, в силу (31) при всех m
‖fm‖−‖(L0
ξ−λ I)ym‖ ≤ ‖(L0
ξ−λ I)ψ‖+
æ∑
j=1
|cj |·‖(L
0
ξ−λI)ϕj,m‖ ≤ c·|h|.
Лемма 3, а вместе с ней и лемма 2, доказана.
Благодарности. Автор признателен В. И. Могилевскому за вни-
мание к работе.
Литература
[1] Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы. Спектральная теория,
М.: Мир, 1966.
[2] N. Limic, Theory of scattering on highly singular potential // Nuovo Cimento, 26
(1962), No. 3, 581–596.
[3] Ф. С. Рофе-Бекетов, Е. Х. Христов, Асимптотические и аналитические во-
просы, связанные с рассеянием на высокосингулярном потенциале // Сб. тр.
ФТИНТ АН УССР, Сер. матем. физика и функциональный анализ, (1971),
вып. II, 122–168.
[4] Ф. С. Рофе-Бекетов, Осцилляционные свойства решений систем дифферен-
циальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), Тр. конф.:
Конструктивная теория функций 81, София, (1983), 144–149.
[5] Ф. С. Рофе-Бекетов, А. М. Холькин, Связь спектральных и осцилляционных
свойств систем произвольного порядка // ДАН СССР, 261 (1981), No. 3,
551–555.
218 Фундаментальное решение...
[6] Ф. С. Рофе-Бекетов, А. М. Холькин, Фундаментальная система решений
операторного дифференциального уравнения с краевым условием на бесконе-
чности // Матем. заметки, 36 (1984), No. 5, 697–709.
[7] Ф. С. Рофе-Бекетов, А. М. Холькин, Спектральный анализ дифференциаль-
ных операторов. Связь спектральных и осцилляционных свойств, Мариу-
поль: ПГТУ, 2001.
[8] F. S. Rofe-Beketov, A. M. Kholkin, Spectral analysis of differential operators.
Interplay between spectral and oscillatory properties, New Jersey, London, Sin-
gapore,...: World Scientific Publishing Co., 2005.
[9] М. Л. Горбачук, О спектральных функциях дифференциального уравнения
второго порядка с операторными коэффициентами // Укр. матем. ж. 18
(1966), No. 2, 3–21.
[10] А. М. Холькин, Самосопряженные краевые условия на бесконечности для
квазирегулярной системы дифференциальных уравнений четного порядка //
В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах и ее приложения:
Сб. науч. тр., (1981), 174–183.
[11] А. М. Холькин, Описание самосопряженных расширений дифференциальных
операторов произвольного порядка на бесконечном интервале в абсолютно
неопределенном случае // Теория функций, функц. анализ и их приложения,
(1985), вып. 44, 112–122.
[12] V. I. Mogilevskii, Fundamental solutions of boundary-value problems and
resolvents of differential operators // Ukr. Math. Bull., 6 (2009), No. 4, 487–
525.
[13] А. М. Холькин, Фундаментальная система решений дифференциального
уравнения с операторнозначными коэффициентами и сингулярным краевым
условием // Вестник Приазовского гос. техн. унивеситета, (1995), No. 1, 262–
267.
[14] Ф. С. Рофе-Бекетов, Самосопряженные расширения дифференциальных опе-
раторов в пространстве вектор-функций // ДАН СССР, 184 (1969), No. 5,
1034–1037.
[15] Ф. С. Рофе-Бекетов, О самосопряженных расширениях дифференциальных
операторов в пространстве вектор-функций // Теория функций, функц.
анализ и их приложения, (1969), вып. 8, 3–24.
[16] А. Н. Кочубей, О расширении симметрических операторов и симметриче-
ских бинарных отношений // Матем. заметки, 17 (1975), No. 1, 41–48.
[17] В. М. Брук, Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в
граничном условии // Матем. сб., 100 (1976), No. 2, 210–216.
[18] В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, Граничные задачи для дифференциально-
операторных уравнений, К.: Наукова думка, 1984.
[19] V. A. Derkach, M. M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value
problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal., 95 (1991), No. 1,
1–95.
[20] V. I. Mogilevskii, Boundary triplets and Titchmarsh -Weyl functions of differential
operators with arbitrary deficiency indices // Methods Funct. Anal. Topology, 15
(2009), No. 3, 280–300.
[21] К. Иосида, Функциональный анализ, М.: Мир, 1967.
А. М. Холькин 219
[22] Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве, М.: Наука, 1970.
[23] Функциональный анализ, сер. ”Справочная математическая библиотека”, М.:
Наука, 1972.
[24] И. М. Глазман, Прямые методы качественного спектрального анализа, М.:
Физматгиз, 1963.
Сведения об авторах
Александр М.
Холькин
Приазовский государственный
технический университет
ул. Университетская, 7,
Мариуполь, 87500,
Украина
E-Mail: a.kholkin@gmail.com
|