Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях

Изучаются проблемы непрерывного и гомеоморфного продолжения на границу нижних Q-гомеоморфизмов между областями на римановых многообразиях, формулируются соответствующие следствия для гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича–Соболева W1,φ/loc при условии типа Кальдерона на функцию φ и, в ч...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Афанасьева, Е.С., Рязанов, В.И., Салимов, Р.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124424
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 319-342. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124424
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244242017-09-27T03:02:57Z Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Изучаются проблемы непрерывного и гомеоморфного продолжения на границу нижних Q-гомеоморфизмов между областями на римановых многообразиях, формулируются соответствующие следствия для гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича–Соболева W1,φ/loc при условии типа Кальдерона на функцию φ и, в частности, классов Соболева W1,p/loc p > n − 1. 2011 Article Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 319-342. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C65, 30C75. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124424 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Изучаются проблемы непрерывного и гомеоморфного продолжения на границу нижних Q-гомеоморфизмов между областями на римановых многообразиях, формулируются соответствующие следствия для гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича–Соболева W1,φ/loc при условии типа Кальдерона на функцию φ и, в частности, классов Соболева W1,p/loc p > n − 1.
format	Article
author	Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р.
spellingShingle	Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях Український математичний вісник
author_facet	Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р.
author_sort	Афанасьева, Е.С.
title	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях
title_short	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях
title_full	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях
title_fullStr	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях
title_full_unstemmed	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях
title_sort	об отображениях в классах орлича--соболева на римановых многообразиях
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124424
citation_txt	Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 319-342. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT afanasʹevaes obotobraženiâhvklassahorličasobolevanarimanovyhmnogoobraziâh AT râzanovvi obotobraženiâhvklassahorličasobolevanarimanovyhmnogoobraziâh AT salimovrr obotobraženiâhvklassahorličasobolevanarimanovyhmnogoobraziâh
first_indexed	2025-07-09T01:24:52Z
last_indexed	2025-07-09T01:24:52Z
_version_	1837130626384265216
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 3, 319 – 342 Об отображениях в классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях Елена С. Афанасьева, Владимир И. Рязанов, Руслан Р. Салимов (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. Изучаются проблемы непрерывного и гомеоморфного продолжения на границу нижних Q-гомеоморфизмов между обла- стями на римановых многообразиях, формулируются соответствую- щие следствия для гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича–Соболева W 1,ϕ loc при условии типа Кальдерона на функцию ϕ и, в частности, классов Соболева W 1,p loc при p > n − 1. 2010 MSC. 30C65, 30C75. Ключевые слова и фразы. Римановы многообразия, слабо пло- ские границы, нижние Q-гомеоморфизмы, классы Орлича–Соболева, классы Соболева. 1. Введение Напомним некоторые определения, относящиеся к теории много- образий, которые можно найти, напр., в [18,26,32,34]. n-мерное топо- логическое многообразие M n — это хаусдорфово топологическое про- странство со счетной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную R n. Картой на многообразии M n на- зывается пара (U,ϕ), где U — открытое подмножество пространства M n, а ϕ — гомеоморфное отображение подмножества U на открытое подмножество координатного пространства R n, с помощью которого каждой точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответствие набор из n чисел, ее локальных координат. Гладкое многообразие — многообразие с картами (Uα, ϕα), локальные координаты которых связаны гладким (C∞) образом. Статья поступила в редакцию 1.08.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 320 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Римановым многообразием (Mn, g) называется гладкое многооб- разие вместе с заданной на нем римановой метрикой, т.е. положи- тельно определенным симметричным тензорным полем g = gij(x), которое задается в координатных картах с правилом перехода: ′gij(x) = gkl(y(x)) ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj . (1.1) Тензорное поле gij(x) в дальнейшем также подразумевается гладким. Элемент длины на (Mn, g) задается инвариантной дифференци- альной формой ds2 = gijdx idxj := ∑n i,j=1 gijdx idxj , где gij — метриче- ский тензор, xi — локальные координаты. Геодезическое расстояние d(p1, p2) определяется как инфимум длин кусочно гладких кривых, соединяющих точки p1 и p2 в (Mn, g), см. [26, с. 94]. Напомним также, что элемент объема на (Mn, g) определяется инвариантной формой dv = √ det gij dx 1 · · · dxn, см., напр., [34, §88]. Заметим, что det gij > 0 в силу положительной определенности gij , см., напр., [7, c. 277]. Для нас важны следующие фундаментальные факты, см., напр., лемму 5.10 и следствие 6.11 в [26], а также [18, с. 260–261]. Предложение 1.1. В каждой точке гладкого риманова многообра- зия существуют ее окрестности и соответствующие локальные координаты в них, в которых геодезическим сферам с центром в дан- ной точке соответствуют евклидовы сферы с теми же радиусами и с центром в начале координат, а связке геодезических, исходящих из данной точки, соответствует связка отрезков лучей, исходящих из начала координат. Окрестности и координаты, указанные в предложении 1.1, приня- то называть нормальными. Замечание 1.1. В частности, в нормальных координатах геодезиче- ские сферы имеют естественную гладкую параметризацию через на- правляющие косинусы соответствующих лучей, исходящих из начала координат. Кроме того, метрический тензор g в начале этих коорди- нат совпадает с единичной матрицей, см., напр., предложение 5.11 в [26], а ввиду его непрерывности g произвольно близок к единичной матрице в достаточно малых окрестностях нуля. Пусть далее ω — открытое множество в Rk или более общо — k- мерное многообразие, где k = 1, . . . , n− 1. Тогда k-мерной поверхно- стью S на римановом многообразии (Mn, g) называется произвольное непрерывное отображение S : ω → M n. Поверхности в M n размерно- сти k = n−1 принято называть гиперповерхностями. Функцией кра- тности N(S, y) поверхности S называется число прообразов y ∈ M n. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 321 Другими словами, символN(S, y) обозначает кратность накрытия то- чки y поверхностью S. Хорошо известно, что функция кратности яв- ляется полунепрерывной снизу, т.е., для каждой последовательности ym ∈ M n, m = 1, 2, . . ., такой, что ym → y ∈ M n при m → ∞, выпол- няется условие N(S, y) ≥ lim infm→∞ N(S, ym), см., напр., [33, с. 160]. Отсюда следует, что функция N(S, y) является измеримой по Борелю и, следовательно, измеримой относительно произвольной хаусдорфо- вой меры Hk, см., напр., теорему II (7.6) в [39]. В настоящей статье Hk, k = 1, . . . , n − 1, n обозначает k-мерную меру Хаусдорфа на римановом многообразии (Mn, g) относительно геодезического расстояния d. Точнее, если A — множество в M n, то Hk(A) := supε>0 Hk ε (A), Hk ε (A) := inf ∑∞ i=1 (diamAi) k , где инфимум берётся по всем покрытиям A множествами Ai с diamAi < ε, см., напр., [15]. Отметим, что Hk является внешней мерой в смысле Ка- ратеодори, см. [39]. Величина dimH A = supHk(A)>0 k называется ха- усдорфовой размерностью множества A. В работе [11] было показано, что для любых p и q ∈ (0, n) множе- ство A такое, что dimH A = p, может быть отображено при помощи квазиконформного отображения f пространства R n на множество B c dimH B = q. k-мерной хаусдорфовой площадью борелевского множестваB в M n (либо просто площадью B при k = n− 1), ассоциированной с поверх- ностью S : ω → M n, называем величину AS(B) = Ak S(B) := ∫ B N(S, y) dHky, (1.2) ср., напр., разд. 3.2.1 в [5]. Поверхность S называется спрямляемой (квадрируемой), если AS(Mn) <∞, см., напр., разд. 9.2 в [28]. Соответственно, для борелевской функции ρ : M n → [0,∞], её интеграл над поверхностью S определяем равенством ∫ S ρ dA := ∫ Mn ρ(y)N(S, y) dHky. (1.3) Пусть D — область на римановом многообразии (Mn, g) n ≥ 2. Для заданной выпуклой возрастающей функции ϕ : [0,∞) → [0,∞), ϕ(0) = 0, обозначим символом Lϕ пространство всех функций f : D → R, таких что ∫ D ϕ ( \|f(x)\| λ ) dv(x) <∞ (1.4) 322 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... при некотором λ > 0. Пространство Lϕ называется пространством Орлича. Классом Орлича–СоболеваW 1,ϕ loc (D) называется класс всех локаль- но интегрируемых функций f, заданных в D, с первыми обобщён- ными производными (в локальных координатах), градиент ∇f кото- рых локально в области D принадлежит пространству Орлича Lϕ. Заметим, что по определению W 1,ϕ loc ⊂ W 1,1 loc . Как обычно, мы пишем f ∈W 1,p loc , если ϕ(t) = tp, p ≥ 1. Далее, если f — локально интегрируемая вектор-функция n ве- щественных переменных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fm), fi ∈ W 1,1 loc , i = 1, . . . ,m, и на любом компакте C ⊂ D ∫ C ϕ ( \|∇f(x)\| λ ) dv(x) <∞ (1.5) для некоторого λ > 0, где \|∇f(x)\| = √∑m i=1 ∑n j=1 ( ∂fi ∂xj )2 , то мы также пишем f ∈ W 1,ϕ loc . Мы также используем обозначение W 1,ϕ loc в случае отображений f : D → D∗ между областями D и D∗ на римановых многообразиях разной размерности и для более общих функций ϕ, чем в классах Орлича, aприори всегда предполагавших выпуклость функции ϕ. Заметим, что классы Орлича–Соболева сейчас интенсив- но изучаются в самых разных аспектах, см., напр., ссылки в [21]. 2. Дифференцируемость и свойство Лузина Основные результаты данной секции в R n, теоремы 2.1 и 2.3, были впервые получены в препринте [21] и приводятся здесь с краткими доказательствами для замкнутости изложения. Нижеприведённое утверждение непосредственно следует из теоре- мы Фубини и критерия принадлежности функций классу Соболева W 1,1 loc в терминах ACL из разд. 1.1.3 в [30], ср. теорему II.5.5 в [12]. Предложение 2.1. Пусть U — открытое множество в R n, n ≥ 2, и f : U → R — непрерывная функция класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc (U), где функция ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая. Тогда для почти всех гиперплоскостей P, параллельных координатным пло- скостям, сужение f \|P∩U ∈ W 1,ϕ loc (P ∩ U). Комбинируя предложение 2.1 с результатом Кальдерона о диф- ференцируемости в [3], получаем: Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 323 Следствие 2.1. Пусть Ω — открытое множество в R n, n ≥ 3, f : Ω → R — непрерывная функция класса W 1,ϕ loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция такая, что ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ] 1 n−2 dt <∞. (2.1) Тогда на почти каждой гиперплоскости, параллельной произволь- ной фиксированной гиперплоскости, функция f имеет почти всюду полный дифференциал. Комбинируя следствие 2.1 с результатом Фаделя в [4], приходим к следующему заключению. Теорема 2.1. Пусть Ω — открытое множество в R n, n ≥ 3, f : Ω → R n — непрерывное открытое отображение класса W 1,ϕ loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция с условием (2.1). Тогда отображение f имеет полный дифференциал почти всюду в Ω. Замечание 2.1. При n = 2 заключение теоремы 2.1 имеет место для любых непрерывных открытых отображений класса W 1,1 loc по теореме Геринга–Лехто–Меньшова, см., напр., [8, 31]. Теорема 2.2. Пусть Ω — открытое множество в R k, k ≥ 2, и пусть f : Ω → R m, m ≥ 1, — непрерывное отображение класса W 1,ϕ(Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция такая, что ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ] 1 k−1 dt <∞. (2.2) Тогда для каждого измеримого множества E ⊂ Ω Hk(f(E)) ≤ γk,mAk−1 ∗ ∫ E ϕ∗ ( \|∇f \| λ ) dm(x) (2.3) для некоторого λ > 0, где γk,m = (λmαk) k, αk — постоянная, зави- сящая только от k, A∗ : = [ 1 ϕ0(1) ] 1 k−1 + ∞∫ 1 [ t ϕ0(t) ] 1 k−1 dt, (2.4) где ϕ0(t) = ϕ(t) − ϕ(0) и ϕ∗(t) ≡ ϕ0(1) при t ∈ (0, 1), ϕ∗(0) = 0 и ϕ∗(t) = ϕ0(t) при t ≥ 1. 324 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Доказательство теоремы 2.2 основано на следующей лемме. Лемма 2.1. При условиях и обозначениях теоремы 2.2 diam(f(C)) ≤ λmαk A k−1 k ∗ [ ∫ C ϕ∗ ( \|∇f \| λ ) dm(x) ] 1 k (2.5) для кубов C ⊂ Ω с рёбрами, параллельными координатным осям. Доказательство. Покажем справедливость (2.5) индукцией по m = 1, 2, . . . . Действительно, при m = 1 неравенство (2.5) следует из оцен- ки Кальдерона в [3, с. 208]. Предположим, что (2.5) справедливо при некотором m = l и докажем (2.5) при m = l + 1. Рассмотрим прои- звольный вектор ~V = (v1, v2, . . . , vl, vl+1) в R l+1, а также векторы ~V1 = (v1, v2, . . . , vl, 0) и ~V2 = (0, 0, . . . , 0, vl+1). По неравенству треугольника \|~V \| = \|~V1+~V2\| ≤ \|~V1\|+\|~V2\|. Таким образом, обозначая через Pr1 ~V = ~V1 и Pr2 ~V = ~V2 проекции векторов из R l+1 на координатную гиперпло- скость yl+1 = 0 и на (l+1)-ю координатную ось в R l+1, соответственно, мы получим, что diam f(C) ≤ diam Pr1f(C) + diam Pr2f(C), и, при- меняя (2.5) при m = l и m = 1, мы приходим к неравенству (2.5) при m = l + 1 ввиду монотонности функции ϕ. Доказательство теоремы 2.2. Ввиду счётной аддитивности меры и интеграла, не ограничивая общности рассуждений, мы можем счи- тать, что множество E ограничено и что E ⊂ Ω, т.е., что E — ком- пакт в Ω. Для каждого ε > 0 существует открытое множество ω ⊂ Ω такое, что E ⊂ ω и \|ω \ E\| < ε, см. теорему III (6.6) в [39]. Учитывая замечание, сделанное выше, мы можем считать, что ω компакт и, следовательно, отображение f равномерно непрерывно в ω. Таким образом, ω может быть покрыто счётным набором замкнутых ориен- тированных кубов Ci, внутренности которых попарно не пересекаю- тся, и таких, что diam f(Ci) < δ для каждого предписанного заранее δ > 0 и \| ⋃∞ i=1 ∂Ci\| = 0. Тогда в силу леммы 2.1 мы получим, что Hk δ (f(E)) ≤ Hk δ (f(ω)) ≤ ∞∑ i=1 [ diam f(Ci)] k ≤ γk,mA k−1 ∗ ∫ ω ϕ∗ (\|∇f \|) dm(x). Наконец, ввиду абсолютной непрерывности неопределённого инте- грала, произвольности ε и δ > 0, получаем (2.3). Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 325 Следствие 2.2. При условиях теоремы 2.2, отображение f обла- дает (N)-свойством Лузина, более того, f является абсолютно не- прерывным относительно k-мерной хаусдорфовой меры. По теореме 2.2, см. также теорему VII.3 в [15], мы получаем сле- дующее заключение типа Сарда. Следствие 2.3. При условиях теоремы 2.2, Hk(f(E)) = 0, если \|∇f \| = 0 на измеримом множестве E ⊂ Ω, и потому dimH f(E) ≤ k и dim f(E) ≤ k − 1. Комбинируя предложение 2.1 и следствие 2.2, получаем следую- щее утверждение. Теорема 2.3. Пусть U — открытое множество в R n, n ≥ 3, ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция с условием (2.1). Тогда лю- бое непрерывное отображение f : U → R m, m ≥ 1, класса W 1,ϕ loc обла- дает (N)-свойством, более того, локально абсолютно непрерывно относительно (n− 1)-мерной хаусдорфовой меры на почти всех ги- перплоскостях P, параллельных произвольной фиксированной гипер- плоскости P0. Кроме того, на почти всех таких P, Hn−1(f(E)) = 0, если \|∇f \| = 0 на E ⊂ P. Заметим, что, если условие вида (2.1) имеет место для некото- рой возрастающей функции ϕ, то функция ϕ∗ = ϕ(c t) при c > 0 также удовлетворяет (2.1). Кроме того, хаусдорфовы меры являют- ся квазиинвариантными при квазиизометриях, см., напр., разд. 1.1.7 в [30]. По свойству Линделёфа в R n, см., напр., теорему Линделёфа в разд. I.5.XI в [24], множество U \ {x0} может быть покрыто счётным числом открытых сегментов сферических колец в U \ {x0} с центром в точке x0, и каждый такой сегмент может быть отображён на пря- моугольный параллелепипед в R n посредством квазиизометрии. Сле- довательно, применяя теорему 2.3 в каждом таком параллелепипеде, мы получаем следующее заключение. Следствие 2.4. При условии (2.1) любое непрерывное отображение f ∈W 1,ϕ loc обладает (N)-свойством относительно (n−1)-мерной ме- ры Хаусдорфа, более того, локально абсолютно непрерывно на почти всех сферах S с центром в заданной предписанной точке x0 ∈ R n, n ≥ 3. Кроме того, на почти всех таких сферах S выполнено усло- вие Hn−1(f(E)) = 0 как только \|∇f \| = 0 на множестве E ⊂ S. Комментарии о точности условий в R n при n ≥ 3, особенно усло- вия (2.1), и более широкий обзор литературы по данным вопросам, см. в препринте [21]. 326 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... 3. Связь W 1,ϕ loc с нижними Q-гомеоморфизмами Пусть D — область в R n, n ≥ 2. Напомним, что отображение f : D → R n называется отображением с конечным искажением, если f ∈ W 1,1 loc , Jf (x) ∈ L1 loc и ‖f ′(x)‖n ≤ K(x) · Jf (x) для некоторой почти всюду конечной функции K(x). Здесь ‖f ′(x)‖ обозначает ма- тричную норму якобиевой матрицы f ′ отображения f в точке x ∈ D, ‖f ′(x)‖ = suph∈Rn,\|h\|=1 \|f ′(x) · h\|, Jf (x) = det f ′(x) — якобиан ото- бражения f в точке x. В дальнейшем Kf (x) обозначает наименьшую такую функцию K(x) ≥ 1, т.е., полагаем Kf (x) = ‖f ′(x)‖n/Jf (x) при Jf (x) 6= 0, Kf (x) = 1 при f ′(x) = 0 и Kf (x) = ∞ в остальных точках. Впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для f ∈ W 1,2 loc в работе [17]. В дальнейшем это условие было заменено требованием f ∈ W 1,1 loc , предполагающим до- полнительно, что Jf ∈ L1 loc, см., напр., [16]. Заметим, что упомянутое дополнительное условие Jf ∈ L1 loc излишне в случае гомеоморфизмов, поскольку ∫ C Jf (x) dm(x) ≤ \|f(C)\| (3.1) для любого компакта C в D, см., напр., пункты 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5 в [5]. Отображения с конечным искажением нашли многих последо- вателей, см. дальнейшие ссылки в [28]. Предшествующие им отобра- жения с ограниченным искажением давно стали классикой теории отображений, см., напр., [35]. Будем говорить, что гомеоморфизм f между областями D и D∗ на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 3, соответствен- но, называется гомеоморфизмом с конечным искажением, если f ∈ W 1,1 loc и Ln(x, f) ≤ K(x) · J(x, f) для некоторой почти всюду коне- чной функции K(x), где J(x, f) = lim infr→0 v∗(f(B(x, r)))/v(B(x, r)) и L(x, f) = lim supy→x d∗(f(x), f(y))/d(x, y). Здесь B(x, r) обознача- ет геодезический шар в (Mn, g) с центром в точке x радиуса r, v и v∗, d и d∗ обозначают объемы и геодезические расстояния на много- образиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), соответственно. В дальнейшем K(x, f) обозначает наименьшую такую функцию K(x) ≥ 1, т.е., полагаем K(x, f) = Ln(x, f)/J(x, f) при J(x, f) 6= 0, K(x, f) = 1 при L(x, f) = 0 и K(x, f) = ∞ в остальных точках. Замечание 3.1. Переходя к локальным координатам, видим, что определения K(x, f) и Kf (x) согласованы в точках дифференцируе- мости отображения f . Величина Kf (x) инвариантна относительно за- мен локальных координат и по теореме 2.1 K(x, f) можно вычислять Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 327 п.в. через Kf (x) в любых локальных координатах для отображений класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1). Борелеву функцию ρ : M n → [0,∞] называем допустимой для семейства k-мерных поверхностей Γ в M n, k = 1, 2, . . . , n − 1, пишем ρ ∈ admΓ, если ∫ S ρ k dA ≥ 1 для любого S ∈ Γ. Модуль семейства Γ есть величина M(Γ) := infρ∈admΓ ∫ Mn ρ n dv. Далее говорим, что некоторое свойство P имеет место для п.в. (почти всех) S ∈ Γ, если модуль подмножества Γ∗ тех S ∈ Γ, для которых свойство P нарушается, равен нулю. Аналогично [28], измеримую относительно меры объема v фун- кцию ρ : M n → [0,∞] называем обобщенно допустимой для семей- ства Γ, состоящего из k-мерных поверхностей S в M n, пишем ρ ∈ ext admΓ, если условие допустимости выполнено для п.в. S ∈ Γ. Здесь мы говорим также, что семейство Γ1 минорируется с семей- ством Γ2, пишем Γ1 > Γ2, если для любой S ∈ Γ1 найдется S′ ∈ Γ2 такая, что AS(B) ≥ AS ′(B) для любого борелевского множества B в M n. Как известно, тогда M(Γ1) ≤M(Γ2), см., напр., [6]. Следующее понятие, мотивированное кольцевым определением Геринга для квазиконформных отображений в [10], было впервые вве- дено в R n, см. статью [19], а также монографию [28]. Всюду далее мы предполагаем, что (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗) — гладкие римановы многообразия. В дальнейшем подразумевается, что геоде- зические сферы S(x0, ε) = {x ∈ M n : d(x, x0) = ε}, геодезические шары B(x0, ε) = {x ∈ M n : d(x, x0) < ε} и геодезические кольца A(x0, ε, ε0) = {x ∈ M n : ε < d(x, x0) < ε0} лежат в нормальной окре- стности точки x0. Пусть даны области D и D∗ на (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соо- тветственно, и измеримая функция Q : D → (0,∞). Гомеоморфизм f : D → D∗ будем называть нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если существует δ0 ∈ (0, d(x0)), d(x0) = supx∈D d(x, x0) такое, что для всякого ε0 < δ0 и геодезических колец Aε = A(x0, ε, ε0), ε ∈ (0, ε0), выполнено условие M(f(Σε)) ≥ inf ρ∈ext adm Σε ∫ D∩Aε ρn(x) Q(x) dv(x), (3.2) где через Σε обозначено семейство всех пересечений с областью D геодезических сфер S(x0, r), r ∈ (ε, ε0). Говорим, что гомеоморфизм f : D → D∗ является нижним Q- гомеоморфизмом в области D, если f является нижним Q-гомео- морфизмом в каждой точке x0 ∈ D. 328 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Отображение f : X → Y между метрическими пространствами X и Y называется липшицевым, если dist (f(x1), f(x2)) ≤M · dist (x1, x2) для некоторой постоянной M <∞ и всех x1, x2 ∈ X. Говорят, что ото- бражение f : X → Y билипшицево, если, оно, во-первых, липшицево и, во-вторых, dist (x1, x2) ≤M∗ · dist (f(x1), f(x2)) для некоторой постоянной M∗ <∞ и всех x1, x2 ∈ X. Следующее важное утверждение впервые было получено в R n в препринте [21]. Его доказательство на римановых многообразиях тре- бует некоторой модификации. Теорема 3.1. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых мно- гообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 3, соответственно, ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция с условием (2.1). Тогда каждый го- меоморфизм f : D → D∗ конечного искажения класса W 1,ϕ loc (D) явля- ется нижним Q-гомеоморфизмом в D с Q(x) = Kf (x). Доказательство. Обозначим через B (борелевское) множество всех точек x ∈ D, где отображение f имеет полный дифференциал f ′(x) и Jf (x) 6= 0 в локальных координатах. Применяя теорему Кирсбрауна и используя единственность аппроксимативного дифференциала, см., напр., разд. 2.10.43 и теорему 3.1.2 в [5], заключаем, что множество B представляет собой счётной объединение борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . ., таких, что отображения fl = f \|Bl являются билипши- цевыми гомеоморфизмами, см., напр., лемму 3.2.2 и теоремы 3.1.4 и 3.1.8 в [5]. Без ограничения общности, можно считать, что множе- ства Bl попарно не пересекаются и лежат в картах многообразия M n. Обозначим также через B∗ множество всех точек x ∈ D, где f имеет полный дифференциал и f ′(x) = 0. По построению множествоB0 := D\(B ⋃ B∗) имеет нулевой объем, см. теорему 2.1 и замечание 1.1. Следовательно, по лемме 8.1 из [28] площадь B0∩Sr равна нулю для почти всех сфер Sr := S(x0, r) в нор- мальной окрестности точки x0 ∈ D. Таким образом, по следствию 2.4 и замечанию 1.1, получаем, что площади f(B0)∩S ∗ r и f(B∗)∩S ∗ r также равны нулю для почти всех таких Sr, где S∗ r = f(Sr). Здесь мы также воспользовались тем, что B0 и B∗ можно разбить на счетное число кусков, каждый из которых (и его образ) лежит в карте многообразия M n (Mn ∗ , соответственно.) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 329 Пусть Γ обозначает семейство всех пересечений сфер Sr, r∈(ε, ε0), в нормальной окрестности с областью D. Для произвольной функции ρ∗ ∈ adm f(Γ) такой, что ρ∗ ≡ 0 вне f(D), полагаем ρ ≡ 0 вне D и на B0, и ρ(x) : = ρ∗(f(x))L(x, f) при x ∈ D \B0. Рассуждая на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., согласно 1.7.6 и 3.2.1 в [5], получаем ∫ Sr ρn−1 dA = ∫ Sr ρn−1 ∗ (f(x))Ln−1(x, f) dA ≥ ∫ S∗ r ρn−1 ∗ dA∗ ≥ 1 для почти всех Sr, и, следовательно, ρ ∈ ext adm Γ. Используя замену переменных на Bl, l = 1, 2, . . . , см., напр., теоремы 2.10.43 и 3.2.5 в [5], ввиду счётной аддитивности интеграла, получаем оценку (3.2). Следствие 3.1. Каждый гомеоморфизм f : D → D∗ с конечным искажением класса W 1,p loc при p > n− 1 является нижним Q-гомео- морфизмом в D с Q(x) = K(x, f). Следствие 3.2. В частности, каждый гомеоморфизм f : D → D∗ класса W 1,1 loc такой, что K(x, f) ∈ Lq loc при q > n − 1, является ни- жним Q-гомеоморфизмом в D с Q(x) = K(x, f). Доказательство. Используя неравенства Гёльдера и (3.1) на каждом компакте C в локальных координатах получаем оценку норм первых частных производных ‖∂if‖p ≤ ‖K 1/n f ‖s · ‖J 1/n f ‖n ≤ ‖Kf‖ 1/n q · \|f(C)\|1/n <∞, где 1 p = 1 s + 1 n и s = qn, т.е., 1 p = 1 n ( 1 q + 1 ) , и если q > n− 1, то также p > n − 1. Итак, мы имеем, что f ∈ W 1,p loc , где p = nq/(1 + q) > n − 1 и по следствию 3.1 получаем следствие 3.2. 4. Связь с кольцевыми Q-гомеоморфизмами В дальнейшем мы придерживаемся стандартных соглашений, что a/∞ = 0 для a 6= ∞, a/0 = ∞, если a > 0 и 0 · ∞ = 0, см., напр., [39]. Аналог следующего критерия нижних Q-гомеоморфизмов был по- лучен ранее в R n, см. теорему 2.1 в [19]. Теорема 4.1. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых мно- гообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно, Q : D → (0,∞) — измеримая функция, и пусть x0 ∈ D. Гомеоморфизм f : D → D∗ является нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 тогда 330 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... и только тогда, когда для любой нормальной окрестности B(x0, ε0) точки x0 с ε0 < d(x0) := supx∈D d(x, x0) M(fΣε) ≥ ε0∫ ε dr ‖Q‖n−1(x0, r) ∀ ε ∈ (0, ε0), (4.1) где Σε — семейство всех пересечений с областью D геодезических сфер S(x0, r), r ∈ (ε, ε0), и ‖Q‖n−1(x0, r) = ( ∫ D(x0,r) Qn−1(x) dA ) 1 n−1 — (4.2) Ln−1-норма Q по D(x0, r) = {x ∈ D : d(x, x0) = r} = D ∩ S(x0, r). Доказательство. Для любого ρ ∈ ext admΣε Aρ(r) := ∫ D(x0,r) ρn−1(x) dA 6= 0 п.в. является измеримой функцией по параметру r, скажем по теоре- ме Фубини. Таким образом, мы можем требовать равенство Aρ(r) = 1 п.в. вместо условия допустимости и inf ρ∈ext adm Σε ∫ D∩Rε ρn(x) Q(x) dv(x) = ε0∫ ε ( inf α∈I(r) ∫ D(x0,r) αp(x) Q(x) dA ) dr, где p = n/(n− 1), Rε = {x ∈ M n : ε < d(x, x0) < ε0} и I(r) обозначает множество всех измеримых функций α на поверхностиD(x0, r) таких, что ∫ D(x0,r) α(x) dA = 1. Поэтому теорема 4.1 следует из леммы 2.1 работы [19] для X = D(x0, r) с мерой площади на D(x0, r) в качестве µ, ϕ = 1 Q \|D(x0,r) и p = n/(n− 1) > 1. Лемма 4.1. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых мно- гообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g∗), n ≥ 2, Q : D → (0,∞) — измеримая функция и f : D → D∗ — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D. Тогда M (∆(f(S1), f(S2);D∗)) ≤ cI1−n, (4.3) где Si = S(x0, ri) = {x ∈ M n : d(x, x0) = ri}, i = 1, 2, 0 < r1 < r2, B(x0, r2) — нормальная окрестность точки x0, I = I(x0, r1, r2) = r2∫ r1 dr ‖Q‖n−1(x0, r) , (4.4) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 331 ‖Q‖n−1(x0, r) определено в (4.2), а константа c произвольно близка к 1 в достаточно малых окрестностях точки x0. Здесь и далее, для произвольных множеств A,B и C в много- образии M n ∗ через ∆(A,B;C) обозначается совокупность всех кривых γ : [a, b] → M n ∗ , соединяющих A и B в C, т.е. γ(a) ∈ A, γ(b) ∈ B и γ(t) ∈ C для всех t ∈ (a, b). Доказательство. По замечанию 1.1 метрический тензор в начале нормальных координат совпадает с единичной матрицей и, следо- вательно, в достаточно малом шаре с центром в нуле равномерно близок к единичной матрице. Поэтому, согласно равенствам Хессе и Циммера, см. [14] и [43], имеем, что M (∆(f(S1), f(S2);D∗))) ≤ c/Mn−1(f(Σ)), поскольку f(Σ) ⊂ Σ(f(S1), f(S2);D∗), где Σ обозна- чает совокупность всех геодезических сфер с центром в точке x0, ра- сположенных между сферами S1 и S2, а Σ(f(S1), f(S2);D∗) состоит из всех замкнутых множеств в D∗, отделяющих f(S1) и f(S2), а c — постоянная, произвольно близкая к единице для достаточно малых окрестностей x0. Таким образом, из теоремы 4.1 получаем оценку (4.3). Замечание 4.1. В частности, ввиду гомеоморфности f , из неравен- ства (4.3) следует, что I(x0, r1, r2) 6= ∞ при 0 < r1 < r2 в нормальной окрестности точки x0. Следующая лемма доказывается совершенно аналогично лем- ме 11.6 из монографии [28], см. также статью [38]. Лемма 4.2. Пусть D — область на гладком римановом многообра- зии (Mn, g), n ≥ 2, x0 ∈ D, 0 < r1 < r2 < d(x0) := supx∈D d(x, x0), A = A(x0, r1, r2) — геодезическое кольцо, B(x0, r2) — нормальная окре- стность точки x0 и пусть Q : D → (0,∞) — измеримая функция. Полагаем, в соответствии с (4.2) и (1.11) η0(t) = 1/I · ‖Q‖n−1(x0, t). Тогда I1−n = ∫ A∩D Qn−1(x) · ηn 0 (d(x, x0)) dv(x) ≤ ∫ A∩D Qn−1(x) · ηn (d(x, x0)) dv(x) (4.5) для любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что r2∫ r1 η(r) dr = 1. (4.6) 332 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Следствие 4.1. При условиях и обозначениях лемм 4.1 и 4.2, M(∆(f(S1), f(S2);D∗)) ≤ c ∫ A∩D Qn−1(x) ηn(d(x, x0)) dv(x). (4.7) Говорим, что гомеоморфизм f между областями D и D∗ на глад- ких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g∗), n ≥ 2, называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если найдется r0 > 0 такое, что B(x0, r0) — нормальная окрестность точки x0 и M(∆(f(C1), f(C2);D∗)) ≤ ∫ A∩D Q(x) ηn(d(x, x0)) dv(x) для 0 < r1 < r2 < r0, любого кольца A = A(x0, r1, r2), любых двух континуумов C1 ⊆ B(x0, r1) и C2 ⊆ M n \B(x0, r2) и любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] с условием (2.3). Теорема 4.2. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g∗), n ≥ 2, соответственно, и пусть Q : D → (0,∞) — измеримая функция. Если f : D → D∗ — ни- жний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D, то f является кольцевым Q∗-гомеоморфизмом в точке x0 с Q∗(x) = cQn−1(x), где константа c может быть выбрана произвольно близкой к 1. Доказательство. Поскольку семейство кривых ∆(f(C1), f(C2);D∗) минорируется семейством ∆(f(S1), f(S2);D∗), где S1 = S(x0, r1) и S2 = S(x0, r2), то M(∆(f(C1), f(C2);D∗)) ≤M(∆(f(S1), f(S2);D∗)) и заключение теоремы 4.2 получается из следствия 4.1. Замечание 4.2. Комбинируя теорему 4.2 с теоремой 3.1 и следстви- ем 3.1 получаем соответствующие утверждения о гомеоморфизмах f : D → D∗ конечного искажения в классах Орлича–Соболева W 1,ϕ loc при условии типа Кальдерона (2.1) на функцию ϕ и, в частности, в классах Соболева W 1,p loc при p > n − 1 с Q(x) = K(x, f). Наконец, по следствию 3.2 все теоремы данного параграфа верны для любых гомеоморфизмов f класса W 1,1 loc с Kf ∈ Lq loc, q > n − 1, и, при этом, Q(x) = Kf (x). 5. Регулярность по Альфорсу римановых многообразий Лемма 5.1. Хаусдорфова размерность областей на гладких римано- вых многообразиях (Mn, g) относительно геодезического расстояния совпадает с топологической размерностью n. Кроме того, гладкие римановы многообразия локально n-регулярны по Альфорсу. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 333 Определение регулярности по Альфорсу в метрических прост- ранствах с мерами смотри в [36]. Доказательство. Напомним, что d(z, y) = infγ sγ где инфимум бере- тся по всем кусочно гладким кривым γ, соединяющим z и y в M n, и где sγ — длина кривой γ. Ясно, что sγ = ∫ √ gij(x(s∗)) dxi ds∗ dxj ds∗ ds∗, где s∗ — естественный параметр длины кривой γ, и что \| dx ds∗ \| = 1. Пусть η = (η1, . . . , ηn), где ηi = dxi ds∗ . Оценим геодезическое расстояние d(z, y) через евклидово расстояние ρ(z, y) в локальных координатах. Для этой цели рассмотрим функцию ϕx0 (η) = gij(x0) η iηj , заданную на единичной сфере \|η\| = 1 в R n, где x0 ∈ M n — фиксированная то- чка. По определению метрический тензор gij является положительно определенным и непрерывным. Так как непрерывная на компакте функция является ограниченной, то ϕx0 (η) достигает на нем своего максимума и минимума 0 < mx0 < ϕx0 (η) < Mx0 < ∞, где mx0 и Mx0 — константы, зависящие от x0. Более того, ввиду непрерывной зависимости ϕx(η) по совокупности переменных x и η, указанная дву- сторонняя оценка ϕx0 (η) имеет место не только в точке x0, но и во всех точках x некоторой окрестности x0. Таким образом, локально имеем двухстороннюю оценку геодези- ческого расстояния через евклидово расстояние в соответствующей системе координат m · r(z, y) ≤ d(z, y) ≤M · r(z, y), где 0 < m ≤M < ∞. С другой стороны, из тех же соображений имеем локальную двух- стороннюю оценку объема V (B) = ∫ B √ det gij dx 1 · · · dxn геодезиче- ских шаров B через их евклидов объем W (B): m̃ ·W (B) ≤ V (B) ≤ M̃ ·W (B), поскольку det gij положителен и непрерывен. Комбинируя эти две оценки, получаем, что локально c · dn ≤ V (B) ≤ C · dn, где d — геодезический радиус шаров B. Таким образом, римановы многообразия являются локально n- регулярными по Альфорсу, а значит их хаусдорфова размерность совпадает с топологической размерностью n, см. [13, c. 62]. Из леммы 2.7, в частности, получаем локальное условие удвоения меры. Следствие 5.1. Для любой точки x0 на гладком римановом много- образии (Mn, g) найдутся r0 > 0 и c ∈ (1,∞) такие, что v(B(x0, 2r)) ≤ cv(B(x0, r)) ∀ r ≤ r0. (5.1) 334 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... 6. Граничное поведение нижних Q-гомеоморфизмов Определения локальной связности областей на границе, слабо плоских и сильно достижимых границ, а также функций конечного среднего колебания, используемые в дальнейшем, см. в работе [36]. Ввиду теоремы 4.2 и леммы 2.7, здесь мы можем применить те- орию граничного поведения кольцевых Q-гомеоморфизмов в метри- ческих пространствах с мерами, которая была развита в работе [40]. Всюду в данной секции D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g∗), n ≥ 2, соответственно. Начнем со следующего простого, но очень важного результата, ср. теорему 3 в [40]. Теорема 6.1. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская. Если f : D → D∗ является нижним Q-гомео- морфизмом с Q ∈ Ln−1(D), то f−1 имеет непрерывное продолжение на D∗. Пример, приведенный при доказательстве предложения 6.3 в мо- нографии [28], показывает, что сколь угодно высокая степень инте- грируемости Q не гарантирует продолжение на границу по непрерыв- ности прямых отображений. Соответствующие условия имеют гораз- до более сложную природу, см. лемму 6.1 и следствия из нее ниже. Именно, из леммы 4 работы [40] имеем следующее утверждение. Лемма 6.1. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D∗ — ком- пакт, а f : D → D∗ — нижний Q-гомеоморфизм в x0 такой, что ∂D∗ сильно достижима хотя бы в одной точке предельного множе- ства C(x0, f) = { y ∈ M n ∗ : y = lim k→∞ f(xk), xk → x0, xk ∈ D } , (6.1) Q : D → (0,∞) — измеримая функция, удовлетворяющая условию ∫ D∩A Qn−1(x) · ψn x0,ε,ε0 (d(x, x0)) dv(x) = o(In x0,ε0 (ε)) (6.2) для всех ε0 ∈ (0, d(x0)) при ε → 0, где d(x0) = supx∈D d(x, x0), A = A(x0, ε, ε0) = {x ∈ M n : ε < d(x, x0) < ε0}, и ψx0,ε,ε0 (t) — семейство неотрицательных измеримых (по Лебегу) функций на (0,∞) таких, что 0 < Ix0,ε0 (ε) : = ε0∫ ε ψx0,ε,ε0 (t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d(x0)). (6.3) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 335 Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Комбинируя лемму 6.1 с теоремой 6.1, получаем: Лемма 6.2. Пусть D и D∗ имеют компактные замыкания, D ло- кально связна на границе, а ∂D∗ — слабо плоская. Если функция Q ∈ Ln−1(D) удовлетворяет условию (6.2) в каждой точке x0 ∈ ∂D, то любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим до го- меоморфизма f : D → D∗. Далее функция Q предполагается продолженной на все много- образие M n каким-либо способом, например, нулем вне области D. В частности, выбирая в лемме 6.1 ψ(t) = t log 1/t, и привлекая лемму 4.1 из работы [36], см. также лемму 2.7 и следствие 2.8 выше, приходим к следующему результату. Теорема 6.2. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а ∂D∗ сильно достижима и D∗ компактно. Если Qn−1 ∈ FMO(x0), то любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). По следствию 4.1 в работе [36], мы также имеем следующее зак- лючение. Следствие 6.1. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а ∂D∗ сильно достижима и D∗ компактно. Если lim ε→0 ∫ − B(x0,ε) Qn−1(x) dv(x) <∞, (6.4) то любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Комбинируя теоремы 6.1 и 6.2, имеем: Теорема 6.3. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ — слабо плоская, D и D∗ компактны и Q ∈ Ln−1(D). Если Qn−1 прина- длежит FMO в точках ∂D, то любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Далее, в качестве одного из следствий леммы 6.1 получаем: Теорема 6.4. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ силь- но достижима, D∗ компактно и δ(x0)∫ 0 dr ‖Q‖n−1(x0, r) = ∞, (6.5) 336 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... где 0 < δ(x0) < d(x0) = supx∈D d(x, x0) таково, что B(x0, δ(x0)) — нормальная окрестность точки x0 и ‖Q‖n−1(x0, r) = ( ∫ S(x0,r) Qn−1(x) dA ) 1 n−1 . (6.6) Тогда любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает про- должение по непрерывности в точку x0. Если дополнительно (6.5) выполнено для всех x0 ∈ ∂D, D локально связна во всех точках гра- ницы, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская и Q ∈ Ln−1(D), то f допускает гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Доказательство. Положим для 0 < ε < ε0 < d(x0) ψx0,ε,ε0 (t) := ψx0 (t) = 1/‖Q‖n−1(x0, t). (6.7) Тогда, по замечанию 4.1 для любых ε0 ∈ (0, d(x0)), ε ∈ (0, ε0), ∫ A∩D Qn−1(x) · ψn x0 (d(x, x0)) dv(x) = Ix0,ε0 (ε) := ε0∫ ε dr ‖Q‖n−1(x0, t) , где A = A(x0, ε, ε0). Однако, по условию (6.5) Ix0,ε0 (ε) = o(In x0,ε0 (ε)). Таким образом, по леммам 6.1 и 6.2 получаем заключение теоре- мы 6.4. Следствие 6.2. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ — слабо плоская, D и D∗ компактны, Q ∈ Ln−1(D) и Q(x) = O ( log 1 r ) ∀x0 ∈ ∂D (6.8) при r = d(x, x0) → 0. Тогда любой нижний Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Следующая лемма вытекает из ее евклидового аналога, леммы 1 в [22], ввиду предложения 1.1 и замечания 1.1. Лемма 6.3. Пусть B0 = B(x0, ε0) — нормальная окрестность то- чки x0 на римановом многообразии (Mn, g), n ≥ 2, K : B0 → (0,∞) — измеримая функция и Φ : [0,∞] → [0,∞] — возрастающая выпуклая функция. Тогда ε0∫ 0 dr rk 1 p (r) ≥ c n ∞∫ eM0 dτ τ [Φ−1(τ)] 1 p ∀ p ∈ (0,∞), (6.9) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 337 где M0 — среднее значение функции Φ ◦K над B0, k(r), r ∈ (0, ε0), — среднее значение функции K(x) над геодезической сферой S(x0, r) = {x ∈ M n : d(x, x0) = r}, c — постоянная, произвольно близкая к единице для малых ε0. Комбинируя теорему 6.4 с леммой 6.3 при p = n − 1, получаем следующий результат. Теорема 6.5. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ — сильно достижима, D∗ компактно и пусть f : D → D∗ — нижний Q-гомеоморфизм, ∫ D Φ(Qn−1(x)) dv(x) <∞ (6.10) для выпуклой возрастающей функции Φ : [0,∞] → [0,∞] такой, что ∞∫ δ dτ τ [Φ−1(τ)] 1 n−1 = ∞ (6.11) при некотором δ > Φ(0). Тогда f продолжимо в точку x0 по непре- рывности. Если дополнительно D локально связна всюду на своей границе, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская, то f допускает гомео- морфное продолжение f : D → D∗. Следствие 6.3. В частности, заключения теоремы 6.5 имеют ме- сто, если при некотором α > 0 ∫ D eαQn−1(x) dv(x) <∞. (6.12) 7. Следствия для классов Орлича–Соболева Наконец, приведем соответствующие результаты о граничном по- ведении гомеоморфизмов c конечным искажением классов Орлича– Соболева W 1,ϕ loc между областями D и D∗ на гладких римановых мно- гообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 3. Именно, ввиду теоремы 3.1, а также следствий 3.1 и 3.2, получаем следующую серию следствий из соответствующих теорем предыдущего параграфа. Теорема 7.1. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская. Если f : D → D∗ является гомеоморфизмом c конечным искажением класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и K(x, f) ∈ Ln−1(D), то f−1 имеет непрерывное продолжение на D∗. 338 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Далее функция K(x, f) предполагается продолженной нулем вне области D. Теорема 7.2. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ силь- но достижима, а D∗ компактно. Тогда любой гомеоморфизм c ко- нечным искажением f : D → D∗ класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и Kn−1(x, f) ∈ FMO(x0) продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Следствие 7.1. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ сильно достижима, а D∗ компактно. Тогда любой гомеоморфизм c конечным искажением f : D → D∗ класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и lim ε→0 ∫ − B(x0,ε) Kn−1(x, f) dv(x) <∞, (7.1) продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Теорема 7.3. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ — слабо плоская, D и D∗ компактны. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и Kn−1(x, f) ∈ FMO допускает гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Теорема 7.4. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ силь- но достижима, D∗ компактно и пусть f : D → D∗ — гомеоморфизм c конечным искажением класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1). Если δ(x0)∫ 0 dr ‖Kf‖n−1(x0, r) = ∞, (7.2) где 0 < δ(x0) < d(x0) = supx∈D d(x, x0) таково, что B(x0, δ(x0)) — нормальная окрестность точки x0 и ‖Kf‖n−1(x0, r) = ( ∫ S(x0,r) Kn−1(x, f) dA ) 1 n−1 , (7.3) то f имеет продолжение в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Если дополнительно (7.2) выполнено для всех точек x0 ∈ ∂D, D локально связна на границе, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская и K(x, f) ∈ Ln−1(D), то f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 339 Следствие 7.2. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ — слабо плоская, D и D∗ компактны. Тогда любой гомеоморфизм c конечным искажением f : D → D∗ класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и K(x, f) = O ( log 1 r ) ∀x0 ∈ ∂D (7.4) при r = d(x, x0) → 0 имеет гомеоморфное продолжение f : D → D∗. Теорема 7.5. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ силь- но достижима, D∗ компактно и пусть f : D → D∗ — гомеоморфизм c конечным искажением класса Орлича–Соболева W 1,ϕ loc с условием (2.1) и ∫ D Φ(Kn−1(x, f)) dv(x) <∞ (7.5) для выпуклой возрастающей функции Φ : [0,∞] → [0,∞] такой, что ∞∫ δ dτ τ [Φ−1(τ)] 1 n−1 = ∞ (7.6) при некотором δ > Φ(0). Тогда f продолжима в точку x0 по непре- рывности. Если дополнительно D локально связна всюду на своей границе, D компактно, ∂D∗ — слабо плоская, то f допускает гомео- морфное продолжение f : D → D∗. Замечание 7.1. Ввиду следствий 3.1 и 3.2, все результаты данного параграфа имеют место, в частности, для гомеоморфизмов c коне- чным искажением класса Соболева W 1,p loc при p > n− 1, а также для гомеоморфизмов класса W 1,1 loc с Kf ∈ Lq loc при q > n− 1. Заметим также, что условие (7.6) является не только достато- чным, но и необходимым для непрерывного продолжения на границу гомеоморфизмов класса Соболева W 1,1 loc с Kf ∈ Lq loc при q > n − 1 и с интегральными условиями (7.5) на K(x, f), см. пример в лемме 5.1 в [20]. Заметим, наконец, что все известные в настоящее время регуляр- ные области на римановых многообразиях — гладкие, липшицевы, выпуклые, квазивыпуклые, равномерные и QED-области, квазиэк- стремальной длины по Герингу–Мартио, см. [9], имеют слабо плоские и, следовательно, сильно достижимые границы, а также локально связны на своих границах, см. [1]. Таким образом, результаты рабо- ты применимы ко всем вышеперечисленным регулярным областям. 340 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Литература [1] Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Регулярные области в теории отобра- жений на римановых многообразиях // Труды ИПММ НАН Украины, 22, (2011), 21–30. [2] Ch. Bishop, V. Ya. Gutlyanskĭı. i, O. Martio, M. Vuorinen, On conformal dilatati- on in space // Int. J. Math. and Math. Sci., 22, (2003), 1397–1420. [3] A. P. Calderon, On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. Math. Univ. Parma, 2, (1951), 203–213. [4] A. G. Fadell, A note on a theorem of Gehring and Lehto // Proc. Amer. Math. Soc., 49, (1975), 195–198. [5] Г. Федерер Геометрическая теория меры, М.: Наука, 1987. [6] B. Fuglede, Extremal length and functional completion // Acta Math., 98, (1957), 171–219. [7] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, M.: Наука, 1966. [8] F. W. Gehring, O. Lehto, On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 272, (1959), 3–8. [9] F. W. Gehring, O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings // J. d’Anal. Math., 24, (1985), 181–206. [10] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc., 103, (1962), 353–393. [11] F. W. Gehring, J. Väisälä, Hausdorff dimension and quasiconformal mappings // J. London Math. Soc., 6, (1973), No. 2, 504–512. [12] В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк, Введение в теорию функций с обобщён- ными производными и квазиконформные отображения, Новосибирск: Наука, 1983. [13] J. Heinonen, Lectures on Analysis on Metric Spaces, New York: Springer, 2001. [14] J. Hesse, A p-extremal length and p-capacity equality // Ark. Mat., 13, (1975), 131–144. [15] W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension Theory, Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. [16] T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical Function Theory and Non–Linear Analysis, Oxford: Clarendon Press, 2001. [17] T. Iwaniec, V. Sverák, On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc., 118, (1993), 181–188. [18] Э. Картан, Риманова геометрия в ортогональном репере, М.: МГУ, 1960. [19] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вест., 5 (2008), No. 2, 159–184. [20] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On boundary behavior of generalized quasi- isometries // ArXiv: 1005.0247v1 [math.CV], 3 May 2010. 20 pp. [21] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On mappings in the Orlicz-Sobolev classes // ArXiv: 1012.5010v4 [math.CV], 12 Jan 2011. 69 pp. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 341 [22] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, Toward the theory of generalized quasi-isometries // Мат. Студ., 34, (2010), No. 2, 129–135. [23] М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, М.: Гос. издат. физ.-мат. лит., 1958. [24] К. Куратовский, Топология. T. 1, М.: Мир, 1966. [25] К. Куратовский, Топология. T. 2, М.: Мир, 1969. [26] J. M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, New York: Spri- nger, 1997. [27] Т. В. Ломако, О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу // Укр. мат. ж., 61, (2009), No. 10, 1329–1337. [28] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro and E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, 2009. [29] P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability, Cambridge: Cambridge University Press, 1995. [30] V. Maz’ya, Sobolev Spaces, Berlin: Springer-Verlag, 1985. [31] D. Menchoff, Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math. Ann., 105, (1931), 75–85. [32] Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин, Дифференциальная геометрия, М.: Изд-во МГУ, 1990. [33] T. Rado, P.V. Reichelderfer, Continuous Transformations in Analysis, Berlin: Springer-Verlag, 1955. [34] П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1953. [35] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искаже- нием, Новосибирск: Наука, 1982. [36] В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Слабо плоские пространства в теории ото- бражений // Укр. мат. вест., 4, (2007), No. 2, 199–234. [37] В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль- цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. мат. журн., 48, (2007), No. 6, 1361–1376. [38] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Укр. мат. вест., 4, (2007), No. 1, 97–115. [39] С. Сакс, Теория интеграла, М.: ИЛ, 1949. [40] Е. С. Смоловая, Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в ме- трических пространствах // Укр. мат. журн., 62, (2010), No. 5, 682–689. [41] J. Väisälä, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971. [42] J. Väisälä, On quasiconformal mappings in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 298, (1961), 1–36. [43] W. P. Ziemer, Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math. Soc., 126, (1967), No. 3, 460–473. 342 Об отображениях в классах Орлича–Соболева... Сведения об авторах Елена Сергеевна Афанасьева, Владимир Ильич Рязанов, Руслан Радикович Салимов Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Р. Люксембург, 74 83114 Донецк Украина E-Mail: es.afanasjeva@yandex.ru, vlryazanov1@rambler.ru, ruslan623@yandex.ru

Об отображениях в классах Орлича--Соболева на римановых многообразиях

Репозитарії

Схожі ресурси