О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений
В работе изучается задача Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и анизотропным вырождением, когда начальные данные представляют собой локально конечные меры Радона, растущие, вообще говоря, на бесконечности. Слабое решение задачи получено как предел регулярных решений со сглажен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124426 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 356-380. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124426 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244262017-09-27T03:02:58Z О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. В работе изучается задача Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и анизотропным вырождением, когда начальные данные представляют собой локально конечные меры Радона, растущие, вообще говоря, на бесконечности. Слабое решение задачи получено как предел регулярных решений со сглаженными начальными данными. 2011 Article О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 356-380. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35K65, 35K55. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124426 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе изучается задача Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и анизотропным вырождением, когда начальные данные представляют собой локально конечные меры Радона, растущие, вообще говоря, на бесконечности. Слабое решение задачи получено как предел регулярных решений со сглаженными начальными данными. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. |
| spellingShingle |
Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений Український математичний вісник |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| title_short |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| title_full |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| title_fullStr |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| title_full_unstemmed |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| title_sort |
о разрешимости задачи коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124426 |
| citation_txt |
О разрешимости задачи Коши с растущими начальными данными для одного класса анизотропных параболических уравнений / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 356-380. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp orazrešimostizadačikošisrastuŝiminačalʹnymidannymidlâodnogoklassaanizotropnyhparaboličeskihuravnenij AT tedeevaf orazrešimostizadačikošisrastuŝiminačalʹnymidannymidlâodnogoklassaanizotropnyhparaboličeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-09T01:25:03Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:25:03Z |
| _version_ |
1837130638839250944 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 3, 356 – 380
О разрешимости задачи Коши с растущими
начальными данными для одного класса
анизотропных параболических уравнений
Сергей П. Дегтярев, Анатолий Ф. Тедеев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. В работе изучается задача Коши для параболическо-
го уравнения с двойной нелинейностью и анизотропным вырождени-
ем, когда начальные данные представляют собой локально конечные
меры Радона, растущие, вообще говоря, на бесконечности. Слабое
решение задачи получено как предел регулярных решений со сгла-
женными начальными данными.
2010 MSC. 35K65, 35K55.
Ключевые слова и фразы. Анизотропное параболическое урав-
нение, нестандартные условия роста, начальные данные меры, ра-
стущие начальные данные, слабое решение.
1. Постановка задачи и основной результат
В области RN
T = R
N × [0, T ] рассмотрим следующую задачу Коши
для неизвестной функции u(x, t):
∂
∂t
(
|u|β−1u(x, t)
)
−
N∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣
∂u
∂xi
∣∣∣
pi−1 ∂u
∂xi
)
+ |u|λ−1u(x, t) = 0,
(x, t) ∈ R
N × (0, T ), (1.1)
|u(x, 0)|β−1u(x, 0) = |u0|
β−1u0(x), x ∈ R
N . (1.2)
Здесь β, pi, i = 1, N , λ — заданные положительные постоянные,
|u0|
β−1u0(x) — заданная неотрицательная функция, которая может
быть локально конечной мерой Радона.
Статья поступила в редакцию 10.05.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 357
Уравнение (1.1) представляет собой параболическое уравнение с
двойной нелинейностью, нелинейной абсорбцией и анизотропным вы-
рождением. Вырожденность уравнения по каждому из направлений
Oxi выражается в ограничении на параметры задачи β и pi:
0 < β < pi − 1, i = 1, N, (1.3)
причем, не ограничивая общности, мы будем считать, что
p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pN .
Кроме того, мы налагаем следующее ограничение на степень абсорб-
ции λ
0 < λ < p
(
1 +
β
N
)
, (1.4)
где
p =
(
1
N
N∑
i=1
1
pi
)−1
— (1.5)
среднее гармоническое показателей pi.
Отметим, что в работе [1] было показано, что при нарушении
условия (1.4) задача (1.1)–(1.2) с мерой Радона в качестве началь-
ных данных, вообще говоря, неразрешима даже в простейшем изо-
тропном случае pi = p, i = 1, N . В указанном изотропном случае
pi = p, i = 1, N , задача вида (1.1)–(1.2) для различного типа началь-
ных данных и для более общих, чем (1.1), уравнений (сохраняющих,
однако, модельную структуру уравнения (1.1)), рассматривалась ра-
нее в ряде работ, см. [1–11]. При этом в работах [2,4,6,10] рассмотрены
параболические уравнения с абстрактным монотонным оператором,
обобщающим оператор эллиптической части уравнения (1.1). Однако
начальные данные в этих работах предполагались достаточно регу-
лярными.
В работах [12, 13] исследовались тонкие локальные свойства ре-
шений уравнений с двойной нелинейностью даже более общих, чем
уравнение (1.1). При этом в указанных работах были найдены, в
частности, критерии устранимости особенности решений. Среди ра-
бот, посвященных анизотропным уравнениям, отметим также рабо-
ты [11,14,15].
Целью данной работы является доказательство существования
слабого решения задачи (1.1)–(1.2) при начальных данных, являющи-
хся локально конечными мерами Радона, растущими, вообще говоря,
на бесконечности. Кроме того, и это очень важно для приложений в
качественной теории нелинейных уравнений, мы покажем, что сла-
бое решение задачи (1.1)–(1.2) может быть получено, как локальный
358 О разрешимости задачи Коши...
предел более регулярных решений со сглаженными начальными дан-
ными.
Под слабым решением задачи (1.1)–(1.2) на интервале времени
[0, T ] мы понимаем функцию u(x, t), определенную в RN
T = R
N×[0, T ],
и обладающую свойствами:
u(x, t) ∈ Lβ,loc(R
N × [0, T ]) ∩ Lλ,loc(R
N × [0, T ]),
∂u
∂xi
∈ Lpi−1,loc(R
N × [0, T ]);
(1.6)
для любой функции η(x, t) ∈ C∞(RN × [0, T ]) финитной по x непре-
рывно отображение
t →
∫
RN
|u(x, t)|β−1u(x, t)η(x, t) dx ∈ C([0, T ]); (1.7)
для любой пробной функции ζ(x, t) ∈ C1.1(RN × [0, T ]), финитной по
x, выполнено интегральное тождество
∫
RN
|u(x, t)|β−1u(x, t)ζ(x, t) dx
+
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
|uxi
|pi−2uxi
(x, τ)ζxi
(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
|u(x, τ)|λ−1u(x, τ)ζ(x, τ) dx dτ =
∫
RN
|u0(x)|β−1u0(x)ζ(x, 0) dx
+
t∫
0
∫
RN
|u(x, τ)|β−1u(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ. (1.8)
В данной работе мы существенно опираемся на работу [16], по-
этому, как и в указанной работе, мы предполагаем, что показатели
pi имеют “не слишком большой” разброс сверху, а именно, мы пред-
полагаем, что
pi ≤ p
(
1 +
β
N
)
, (1.9)
Далее, для доказательства разрешимости задачи Коши (1.1)–(1.2)
со сглаженными начальными данными мы применяем известный ме-
тод Галеркина (см., например, [4,5,17]) вместе с регуляризацией урав-
нения. Наше доказательство разрешимости регуляризованой задачи
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 359
Коши почти дословно следует доказательству теорем существования
из [4, 5], где рассматривалось изотропное уравнение, и, по существу,
были отдельно рассмотрены случаи β ≥ 1 и β < 1. Однако, наша
регуляризация уравнения несколько отличается от указанных работ.
Кроме того, мы покажем, что при любом β > 0 на самом деле можно
ограничиться лишь схемой доказательства работы [4].
В данной статье мы используем вложения анизотропных прост-
ранств Соболева вида
‖v‖Lp∗(Ω) ≤ C
N∏
i=1
‖vxi
‖
1
N
Lpi
(Ω) , (1.10)
где p∗ = Np/(N − p), справедливые при p < N для любой функции
v(x), для которой конечна правая часть (1.10) и которая равна ну-
лю на границе области Ω, а также неравенство Ниренберга–Гальярдо
вида
‖v‖Lq(Ω) ≤ C
(
N∏
i=1
‖vxi
‖
1
N
Lpi
(Ω)
)α
‖v‖1−α
Lε(Ω)
≤ C
(
N∑
i=1
∫
Ω
|vxi
|pi dx
)α
p
‖v‖1−α
Lε(Ω) , (1.11)
справедливое для q < p∗ при p < N и для любого q при p ≥ N . При
этом константы C в неравенствах (1.10), (1.11) не зависят от размера
области Ω, а параметр α ∈ (0, 1) определяется из условия
1
q
= α
(1
p
−
1
N
)
+ (1 − α)
1
ε
. (1.12)
Отметим, что здесь и всюду ниже мы будем обозначать одними и теми
же символами C, γ, δ все абсолютные константы, либо константы,
зависящие от раз и навсегда зафиксированных данных задачи.
Кроме того, мы используем параболическое вложение вида
‖v‖Lq∗(ΩT ) ≤ C
(
N∑
i=1
∫
ΩT
|vxi
|pi dx dt
) 1
p
+ C sup
0≤t≤T
‖v(·, t)‖Lε(Ω) , (1.13)
где q∗ = p(1 + ε/N) и функция v(x, t) такова, что для нее конечна
правая часть (1.13) и обращается в ноль на боковой границе области.
Обозначим
Bρ =
{
x ∈ R
N : |x| ≤
ραi
2
}
, ρ > 0, (1.14)
360 О разрешимости задачи Коши...
где здесь и ниже мы используем обозначения
αi =
pdi
pid
, d = p − 1 − β, di = pi − 1 − β. (1.15)
При этом несложно проверить, что показатели αi и мера |Bρ| парал-
лелепипеда Bρ удовлетворяют соотношениям
N∑
i=1
αi = N, |Bρ| = ρN .
Мы предполагаем, что начальная функция u0(x) неотрицательна, и
для нее конечна величина
|||uβ
0 |||r = sup
ρ≥r
ρ−
k
d
∫
Bρ
uβ
0 (x) dx < ∞, r > 0, (1.16)
где
k = N(p − 1 − β) + βp = Nd + βp. (1.17)
Определим положительные числа
κi =
k − Ndi
pdi
> 0, i = 1, N,
причем положительность этих чисел следует из условия (1.3). Введем
строго монотонно возрастающую непрерывную функцию
ω(t) =
{
tκN , t ≤ 1,
tκ1 , t ≥ 1,
заметив при этом, что κN = min {κi}, κ1 = max {κi} и при равенстве
всех pi = p выполнено κi = β/d.
Определим также величины
M∞ = lim
r→∞
|||uβ
0 |||r,
T∗ =
{
ω−1
(
γ
M∞
)
, M∞ 6= 0,
∞, M∞ = 0,
(1.18)
где γ — некоторая положительная постоянная, которая будет опре-
делена позднее.
Сформулируем теперь теорему о разрешимости задачи (1.1), (1.2)
(ср. теорема 1 в [16]).
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 361
Теорема 1.1. Пусть для задачи (1.1), (1.2) выполнены предположе-
ния (1.3)–(1.9), (1.16), u0(x) ≥ 0. Тогда существует положитель-
ная постоянная γ = γ(pi, N, β, λ) такая, что на интервале време-
ни [0, T∗] (где T∗ определено в (1.18)) существует неотрицательное
слабое решение u(x, t) задачи (1.1), (1.2), для которого справедливы
оценки ∣∣∣∣∣∣uβ(·, t)
∣∣∣∣∣∣
r
≤ C
∣∣∣∣∣∣uβ
0
∣∣∣∣∣∣
r
, (1.19)
‖u(·, t)‖∞,Br
≤ Cr
p
d t−
N
k
∣∣∣∣∣∣uβ
0
∣∣∣∣∣∣ p
k
r
, (1.20)
для всех 0 < t < t ≤ T∗
N∑
i=1
t∫
0
∫
Br
|uxi
(x, τ)|pi−1 dx dτ ≤ C(r, t), (1.21)
N∑
i=1
t∫
t
∫
Br
|uxi
(x, τ)|pi dx dτ ≤ C(r, t, t). (1.22)
Кроме того, указанное решение u(x, t) является пределом более
регулярных решений задачи (1.1), (1.2) со сглаженными начальными
данными в следующем смысле. Существует последовательность не-
отрицательных функций u0n(x) ∈ C∞
0 (RN ) такая, что для любого
шара KR = {x : |x| < R}
∫
KR
uβ
0n(x)ζ(x) dx →
∫
KR
uβ
0 (x)ζ(x) dx, (1.23)
для любой непрерывной в KR функции ζ(x), а также выполнено не-
равенство ∫
KR
uβ
0n(x) dx ≤ C
∫
KR
uβ
0 (x) dx. (1.24)
При этом соответствующие решения un(x, t) ≥ 0 задачи Коши
(1.1), (1.2) с начальными функциями u0n(x) дополнительно к свой-
ствам (1.19)–(1.22) обладают свойствами:
N∑
i=1
t∫
0
∫
KR
|unxi
(x, τ)|pi dx dτ ≤ Cn(R, t), n ≥ N(R), (1.25)
362 О разрешимости задачи Коши...
для любого R > 0; функции un(x, t) имеют почти всюду производную
по t, причем
t∫
0
∫
KR
uβ−1
n (unτ )
2 dx dτ ≤ Cn(R, t), n ≥ N(R) (1.26)
для любого R > 0.
Кроме того, последовательность регуляризованных решений
un(x, t) сходится к решению u(x, t) в следующем смысле. Пусть 0 <
h < T ≤ T∗ — произвольны, KR,h,T = KR × [h, T ], p = {p1, . . . , pN},
Lp(KR × [h, T ]) = Lp1(KR × [h, T ]) × · · · × LpN
(KR × [h, T ]). Тогда
un(x, t) → u(x, t) в L1+β(KR,h,T ),
un(x, t) → u(x, t) п.в. в KR,h,T
∇xun(x, t) → ∇xu(x, t) слабо в Lp(KR,h,T )
{|unxi
|pi−2unxi
} → {|uxi
|pi−2uxi
} слабо в (Lp(KR,h,T ))∗ .
2. Задача Коши–Дирихле в ограниченной области.
Задача Коши с гладкими финитными
начальными данными
Пусть KR — шар радиуса R с центром в нуле, определенный выше,
T > 0, KR,T = KR × [0, T ]. Рассмотрим в KR,T начально-краевую за-
дачу, соответствующую задаче (1.1), (1.2) для неизвестной функции,
которую мы также будем обозначать u(x, t), чтобы не загромождать
обозначения:
∂
∂t
(
|u|β−1u(x, t)
)
−
N∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣
∂u
∂xi
∣∣∣
pi−1 ∂u
∂xi
)
+ |u|λ−1u(x, t) = 0,
(x, t) ∈ KR,T , (2.1)
|u(x, 0)|β−1u(x, 0) = |u0|
β−1u0(x), x ∈ KR, (2.2)
u(x, t) = 0, (x, t) ∈ KR × [0, T ]. (2.3)
Здесь β, pi, λ — такие же, как и в параграфе 1, а функция u0(x) ∈
C∞
0 (KR), u0(x) ≥ 0.
Слабое решение задачи (2.1)–(2.3) определяется полностью ана-
логично (1.8). А именно, под слабым решением задачи (2.1)–(2.3) мы
понимаем функцию u(x, t) такую, что
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 363
sup
0<t<T
∫
KR
|u|1+β (x, t) dx +
N∑
i=1
t∫
0
∫
KR
|uxi
(x, τ)|pi dx dτ
+
t∫
0
∫
KR
|u|1+λ dx dτ < ∞;
отображение
t →
∫
KR
|u|β−1 (x, t)u(x, t)ζ(x) dx
непрерывно на [0, T ] для любой функции ζ(x) ∈ Lβ+1
β
(KR); для любой
функции ζ(x, t) такой, что
ζ(x, t) ∈ C
(
[0, T ], Lβ+1
β
(KR)
)
∩ Lλ+1
λ
(KR,T ), ζt ∈ Lβ+1
β
(KR,T ),
N∑
i=1
t∫
0
∫
KR,T
|ζxi
|pi dx dτ < ∞
выполнено интегральное тождество
∫
KR
|u(x, t)|β−1u(x, t)ζ(x, t) dx
+
N∑
i=1
t∫
0
∫
KR
|uxi
|pi−2uxi
(x, τ)ζxi
(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
KR
|u(x, τ)|λ−1u(x, τ)ζ(x, τ) dx dτ =
∫
KR
|u0(x)|β−1u0(x)ζ(x, 0) dx
+
t∫
0
∫
KR
|u(x, τ)|β−1u(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ. (2.4)
Теорема 2.1. При любых R > 1 и T > 0 задача (2.1)–(2.3) име-
ет неотрицательное ограниченное слабое решение u(x, t) ≡ uR(x, t),
имеющее почти всюду производную по t, для которого справедливы
оценки
sup
0<t<T
∫
KR
|u|1+β (x, t) dx +
N∑
i=1
T∫
0
∫
KR
|uxi
(x, τ)|pi dx dτ
364 О разрешимости задачи Коши...
+
T∫
0
∫
KR
|u|1+λ dx dτ ≤ C(u0), (2.5)
T∫
0
∫
KR
|u|β−1 u2
t dx dt ≤ C(u0), (2.6)
для любого h ∈ (0, T )
T−h∫
0
∫
KR
|u(x, t + h) − u(x, t)|1+β dx dt ≤ C(u0)h
δ, (2.7)
где δ > 0 — некоторая постоянная, а константа C(u0) в неравен-
ствах (2.5)–(2.7) не зависит от R > 1.
Замечание 2.1. Отметим, что оценка (2.6) означает, что на мно-
жествах вида {(x, t) : 0 < ε ≤ u(x, t) ≤ M} производная ut принадле-
жит L2.
Доказательство. Мы не приводим подробного доказательства этой
теоремы, так как оно, по существу, повторяет доказательство соответ-
ствующей теоремы существования решения из работы [4] с использо-
ванием формулы интегрирования по частям в параболических слага-
емых, доказанной в [2]. Отметим только те отличия и изменения, ко-
торые необходимо сделать в рассуждениях работы [4]. Прежде всего,
в [4] рассмотрен случай β ≥ 1 (случаю β < 1, по существу, посвяще-
на другая работа того же автора [5] с несколько измененным видом
уравнения). Поэтому регуляризация задачи, сделанная в [4] должна
быть несколько изменена: выражение |u|β−1u под производной по вре-
мени в уравнении (2.1) заменяется регуляризованным выражением
(|u| + ε)β−1u.
Следуя методу Фаэдо–Галеркина, примененному в [4] (ср. [17]),
как и в указанной работе, пусть
e1(x), e2(x), . . . , en(x), . . . ∈ C1
0 (KR) —
счетная полная система линейно независимых функций в пространс-
тве C1
0 (KR) (которая полна также в пространстве Lp(KR), p ≥ 1).
Приближенные решения un(x, t) задачи (2.1)–(2.3) ищутся в виде
un(x, t) =
n∑
k=1
cnk(t)ek(x), (2.8)
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 365
где неизвестные функции cnk(t) определяются из системы соотноше-
ний (εn → 0 при n → ∞)
β
(
(|un| + εn)β−1unt, em
)
+
N∑
i=1
(
|unxi
|pi−2unxi
, emxi
)
+
(
|un|
λ−1 un, em
)
= 0, m = 1, n, (2.9)
где
(v, w) =
∫
KR
v(x)w(x) dx,
а начальные данные cnk(0) определяются из условий
(un(x, 0), em) = (u0(x), em) , m = 1, n.
Дальнейшая схема рассуждений и оценок в точности такая же,
как в [4]. В частности, оценка (2.5) получается точно так же, как и
в [4, 17]. Единственное отличие присутствует в доказательстве рав-
номерной по n непрерывности в смысле пространства Lβ+1(KR,T ) по
переменной t. Это отличие состоит в том, что при β < 1 мы, в отличие
от [4], не имеем неравенства
(B(u) − B(v)) (u − v) ≥ ν |u − v|1+β ,
где
B(u) = β
u∫
0
(|ξ| + εn)β−1dξ,
Вместо этого неравенства в общем случае β > 0 мы имеем только
неравенства
(B(u) − B(v)) (u − v) ≥ ν
|u − v|1+β , β ≥ 1,
|u−v|2
(|u|+|v|+εn)1−β , β < 1.
(2.10)
Однако, в то же время в случае β < 1 мы имеем интегральное не-
равенство (мы применяем неравенство Гельдера с показателями p =
2/(1 + β) p′ = 2/(1 − β))
T∫
0
∫
KR
|u − v|1+β dx dt
=
T∫
0
∫
KR
[
|u − v|1+β
(|u| + |v| + εn)
(1−β)(1+β)
2
] [
(|u| + |v| + εn)
(1−β)(1+β)
2
]
dx dt
366 О разрешимости задачи Коши...
≤
[ T∫
0
∫
KR
|u − v|2
(|u| + |v| + εn)(1−β)
dx dt
] 1+β
2
×
[ T∫
0
∫
KR
(|u| + |v| + εn)1+β dx dt
] 1−β
2
≤
[ T∫
0
∫
KR
(B(u) − B(v)) (u − v) dx dt
] 1+β
2 [
C(u0) + Cε1+β
n |KR|
] 1−β
2
,
где мы воспользовались оценкой (2.5) для функции
u = un(x, t + h), v = un(x, t).
Точно так же, как в [4], с учетом (2.5), получается оценка
T∫
0
∫
KR
(B(un(x, t + h)) − B(un(x, t))) (un(x, t + h) − un(x, t)) dx dt
≤ C(u0)h
δ.
Поэтому, равномерно по n имеем оценку
T∫
0
∫
KR
|un(x, t + h) − un(x, t)|1+β dx dt ≤
[
C(u0) + Cε1+β
n |KR|
] 1−β
2
hδ.
(2.11)
Эта оценка, как и в [4], дает компактность в пространстве Lβ+1(KR,T )
последовательности un при фиксированных T и R, а также предель-
ную оценку (2.7), так как εn → 0.
Что же касается оценки (2.6), то она получается стандартным
образом. Умножим уравнение (2.9) для индекса m на c′m(t), сложим
по m от 1 до n. В результате получим
β
∫
KR
(|un|+ ε)β−1(unt)
2 dx +
d
dt
N∑
i=1
1
pi
∫
KR
|unxi
|pi dx +
∫
KR
|un|
λ+1 dx = 0.
Интегрируя это равенство по t от 0 до T , получаем
β
T∫
0
∫
KR
(|un| + ε)β−1(unt)
2 dx dt + sup
0<t<T
N∑
i=1
1
pi
∫
KR
|unxi
|pi dx
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 367
+
T∫
0
∫
KR
|un|
λ+1 dx dt =
N∑
i=1
1
pi
∫
KR
|u0nxi
|pi dx ≤ C(u0). (2.12)
Таким образом,
T∫
0
∫
KR
(|un| + ε)β−1(unt)
2 dx dt ≤ C(u0). (2.13)
Следовательно, функции
wn(x, t) =
un(x,t)∫
0
(|ξ| + ε)
β−1
2 dξ (2.14)
обладают тем свойством, что
T∫
0
∫
KR
w2
n dx dt ≤ C(u0), (2.15)
T∫
0
∫
KR
w2
nt dx dt ≤ C(u0), (2.16)
причем неравенство (2.16) — это неравенство (2.13), а неравенство
(2.15) следует из оценки
|wn| ≤ C
(
|un|
1+β
2 + ε
1+β
2
n
)
,
которая получается разбиением интеграла в определении wn на две
части, то есть
|un(x,t)|∫
0
(|ξ| + εn)
β−1
2 dξ =
εn∫
0
(|ξ| + εn)
β−1
2 dξ +
|un(x,t)|∫
εn
(|ξ| + εn)
β−1
2 dξ.
Из (2.15) и (2.16) следует, что из последовательности wn может
быть выбрана подпоследовательность такая, что
wn → w, wnt → wt
слабо в пространстве с нормой, являющейся суммой левых частей
(2.15) и (2.16). Поскольку к тому же un → u сильно в L1+β(KR,T ) и
368 О разрешимости задачи Коши...
почти всюду (см. [4]), то последовательность wn почти всюду сходится
к функции
w(x, t) =
u(x,t)∫
0
|ξ|
β−1
2 dξ = C|u(x, t)|
β−1
2 u(x, t).
Следовательно, функция w(x, t) имеет производную по переменной t
почти всюду, принадлежащую пространству L2(KR,T ). Так как при
этом
u = f(w) =
{
|w|
1−β
1+β , w 6= 0,
0, w = 0,
то u(x, t) также имеет производную по t почти всюду, и, следователь-
но,
wt(x, t) = C|u(x, t)|
β−1
2 ut(x, t) ∈ L2(KR,T ),
что доказывает (2.6) в пределе при n → ∞. Отметим, что переход к
пределу при n → ∞ для получения решения рассматриваемой задачи
осуществляется точно так же, как в [1, 4].
Покажем неотрицательность полученного слабого решения. Для
0 < ε < M рассмотрим функцию
ϕ(x, t) ≡ ωε,M (u(x, t)) =
0, −ε ≤ u(x, t),
u(x, t) + ε, −M − ε ≤ u(x, t) ≤ −ε,
−M, u(x, t) ≤ −M − ε.
Функция ϕ(x, t) = ωε,M (x, t) обладает свойствами
|ϕ(x, t)| ≤ M,
по построению, и
ϕt(x, t) ∈ L2(KR,T ), ϕxi
(x, t) ∈ Lpi
(KR,T )
в силу (2.6) и по построению. Кроме того, ϕt ≡ 0 при u ≥ −ε и
при u ≤ −M − ε. Из указанных свойств следует, что функция ϕ(x, t)
может быть использована в интегральном тождестве (2.4) в каче-
стве пробной функции (указанное тождество может быть расширено
на такие пробные функции по непрерывности). Отметим также, что
ϕ(x, 0) ≡ 0 и ϕ|∂KR
≡ 0, так как u0(x) ≥ 0. Подставляя ϕ(x, t) в (2.4),
получим
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 369
∫
KR
|u(x, t)|β−1u(x, t)ϕ(x, t) dx −
∫
RN
|u0(x)|β−1u0(x)ϕ(x, 0) dx
−
t∫
0
∫
KR
|u(x, τ)|β−1u(x, τ)ϕτ (x, τ) dx dτ +
N∑
i=1
∫∫
QεM
|uxi
(x, τ)|pi dx dτ
+
∫∫
QεM
|u(x, τ)|λ+1 dx dτ + M
∫∫
{u≤−M−ε}
|u(x, τ)|λ dx dτ
≡ I1 − I2 − I3 + I4 + I5 + I6 = 0, (2.17)
где Qε,M = {(x, τ) : −M − ε ≤ u(x, t) ≤ −ε}, а второй интеграл слева
в (2.17) равен нулю, так как ϕ(x, 0) ≡ 0.
Рассмотрим интеграл I3, который равен
I3 =
T∫
0
∫
KR
|u(x, τ)|β−1u(x, τ)ϕτ (x, τ) dx dτ
=
T∫
0
∫
KR
|u|β−1uω′
ε,M (u)uτ dx dτ =
T∫
0
∫
KR
Φ(u(x, τ)) dx dτ, (2.18)
где
Φ(u) =
u∫
0
|ξ|β−1ξω′
ε,M (ξ) dξ. (2.19)
Интегрируя в (2.18) по t и подставляя в (2.17), получим, учитывая,
что Φ(u0(x)) ≡ 0 в силу свойств функции ωε,M и того, что u0(x) ≥ 0,
∫
KR
|u|β−1u(x, T )ωε,M (u(x, T )) dx −
∫
KR
Φ(u(x, T )) dx
+ I4 + I5 + I6 = 0. (2.20)
Рассмотрим функцию Φ(u), совершая в (2.19) интегрирование по
частям
Φ(u) = |ξ|β−1ξωε,M (ξ)|u0 − β
u∫
0
|ξ|β−1ωε,M (ξ) dξ
= |u|β−1uωε,M (u) − f(u),
370 О разрешимости задачи Коши...
где
f(u) = β
u∫
0
|ξ|β−1ωε,M (ξ) dξ.
Подставляя полученное выражение для Φ(u) в (2.20), получаем
∫
KR
f(u(x, T )) dx + I4 + I5 + I6 = 0. (2.21)
Непосредственным вычислением соответствующего интеграла нетру-
дно убедиться, что
f(u) =
0, u ≥ −ε,
β |u|β+1
β+1 + εβ+1
β+1 − ε|u|β, −M − ε ≤ u ≤ −ε,
M
[
|u|β+1 − (M + ε)β+1
]
+ C0, u ≤ −M − ε,
где
C0 = β
M+ε∫
ε
|η|β−1(η − ε) dη.
В силу неравенства Юнга с p = β+1
β
и q = β + 1,
ε|u|β ≤
1
p
|u|βp +
1
q
εq =
β
β + 1
|u|β+1 +
εβ+1
β + 1
,
причем равенство достигается только, если |u| = ε. Таким образом,
f(u) ≥ 0; f(u) > 0, u < −ε. (2.22)
Так как все слагаемые в (2.21) неотрицательны, то все они равны
нулю, откуда, с учетом (2.22), следует, что u(x, t) ≥ −ε почти всюду
в KR,T . В силу произвольности ε > 0, получаем, что u(x, t) ≥ 0 почти
всюду в KR,T .
Совершенно аналогично доказывается, что
u(x, t) ≤ max
KR
u0(x)
почти всюду в KR,T . Этим мы завершим доказательство теоремы 2.1.
Пусть теперь задана функция u0(x) ≥ 0 такая, что u0(x) ∈
C∞
0 (RN ). Рассмотрим последовательность задач (2.1)–(2.3) с расши-
ряющимися радиусами R = Rn → ∞ при n → ∞ и с начальными
функциями u0(x) = u0(x)|KRn
.
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 371
Так как константы C(u0) в (2.5)–(2.7) не зависят от Rn, то пользу-
ясь этими оценками, полностью аналогично [1, 2, 4] можно показать,
что из полученной последовательности решений un(x, t) задач Коши–
Дирихле (2.1)–(2.3) можно выделить подпоследовательность, которая
на каждом компактном подмножестве множества R
N ×[0, T ] сходится
в некоторых пространствах Соболева (см. [1, 2, 4]) к функции u(x, t),
дающей неотрицательное ограниченное слабое решение задачи (1.1),
(1.2). При этом сходимость решений носит такой характер, что для
полученного решения u(x, t) справедливы те же оценки (2.5)–(2.7).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2. Если в задаче (1.1), (1.2) неотрицательная началь-
ная функция u0(x) ∈ C∞
0 (RN ), то эта задача имеет неотрицатель-
ное ограниченное слабое решение, для которого справедливы оценки
(2.5)–(2.7) для любого R > 0.
3. Схема доказательства теоремы 1.1
Решение задачи (1.1), (1.2) получается как предел задач Коши со
сглаженными начальными данными u0n(x) ∈ C∞
0 (RN ) такими, что
uβ
0n(x) → uβ
0 (x) в пространстве мер, то есть
∫
RN
uβ
0n(x)η(x) dx →
∫
RN
uβ
0 (x)η(x) dx, n → ∞, (3.1)
для любой непрерывной функции η(x) с компактным носителем.
Пусть ζ(x) ∈ C∞
0 (RN ), ζ(x) ≡ 1 при |x| ≤ 1, s > max{2, 1/β} + 2.
Для заданной функции uβ
0 (x) ≥ 0, которая может быть локально
конечной мерой Радона, положим
u0n(x) = ζs(hnx)
[
(ζs(hnx)uβ
0 (x))hn
+ hn
] 1
β , (3.2)
где hn > 0, hn → 0 при n → ∞, (f(x))hn
— усреднение функции
f(x) с каким-либо гладким неотрицательным ядром с параметром
hn. Непосредственная проверка показывает, что u0n(x) ∈ C2
0 (RN ) и
выполнено соотношение (3.1). Ключевым моментом доказательства
существования решения является получение независящих от номе-
ра n локальных интегральных оценок решений задачи (1.1), (1.2) с
заданными начальными функциями uβ
0n(x). Получение этих оценок
подробно изложено в работе [16], поэтому здесь мы только продемон-
стрируем получение из интегрального тождества (1.8) необходимых
372 О разрешимости задачи Коши...
интегральных соотношений для решения (со сглаженными началь-
ными данными) и опишем соответствующий предельный переход при
n → ∞.
Чтобы не загромождать обозначения мы будем обозначать на-
чальные данные u0n(x) и соответствующее решение un(x, t), дава-
емое теоремой 2.2, опуская индекс n просто через u0(x) и u(x, t).
Итак, пусть в задаче (1.1), (1.2) неотрицательная начальная функция
u0(x) ∈ C2
0 (RN ). Тогда согласно теореме 2.2 существует неотрица-
тельное ограниченное слабое решение u(x, t) задачи (1.1), (1.2), для
которого справедливы оценки (2.5)–(2.7).
В силу теоремы 2.2, для k > 0 функция
(u − k)+ =
{
u − k, u − k ≥ 0,
0, u − k ≤ 0.
(3.3)
обладает свойствами (в силу замечания 2.1)
|(u − k)+| ≤ C, [(u − k)+]t ∈ L2,loc(R
N
T ), [(u − k)+]xi
∈ Lpi,loc(R
N
T ).
(3.4)
В силу того, что 0 ≤ u(x, t) ≤ C, свойства (3.4) позволяют использо-
вать функции вида (u − k)+ζs(x, t) c достаточно большим s в каче-
стве пробных функций в интегральном тождестве (1.8), где ζ(x, τ) ∈
C∞(RN × [0, T ]) имеет компактный по x носитель и равна нулю при
τ ≤ t/4. Это позволяет получить оценки, содержащиеся в леммах 1,
2 и 3 работы [16].
Для получения некоторых интегральных оценок параграфа 2.2
статьи [16] мы “умножаем” уравнение (1.1) на функции вида
taub(x, t)ζs(x), a, b > 0, ζ(x) ∈ C∞
0 . Этот процесс состоит, по существу,
в использовании в интегральном тождестве (1.8) пробных функций
вида ta[(u−k)+ +k]bζs(x), k > 0 с последующим предельным перехо-
дом при k → 0. Указанное интегральное тождество распространяется
на такие пробные функции по непрерывности, так как само решение
ограничено, 0 ≤ u(x, t) ≤ C, а кроме того
{ta[(u − k)+ + k]bζs(x)}t ∈ L1,loc(R
N × [0, T ]),
{ta[(u − k)+ + k]bζs(x)}xi
∈ Lpi,loc(R
N × [0, T ]).
При этом переход к пределу осуществляется на основании теоремы
Лебега и теоремы о монотонной сходимости под знаком интеграла, а
также используется тот факт, что при k → 0 почти всюду
[(u − k)+ + k]b → ub, [(u − k)+ + k]b ≤ C,
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 373
[(u − k)+ + k]bxi
=
{
b [(u − k)+ + k]b−1 uxi
, u > k,
0, u ≤ k
→
{
bub−1uxi
, u > 0,
0, u = 0
= bub−1uxi
.
Итак, интегральное тождество (1.8) для решений с рассматрива-
емыми свойствами может быть по непрерывности распространено на
функции ζ̃(x, t) вида
ζ̃(x, t) = ta [u − k)+ + k]b ζs(x, t),
так как такие функции обладают свойствами
ζ̃t(x, t) ∈ L1(R
N
T ), ζ̃xi
(x, t) ∈ Lpi
(RN
T ).
Следовательно, подставляя ζ̃(x, t) в интегральное тождество (1.8),
получим, обозначая uk = [(u − k)+ + k],
∫
RN
uβ(x, t)tauk(x, t)ζs(x, t) dx
+
N∑
i=1
b
t∫
0
∫
RN
τa|uxi
|pi−2uxi
(u − k)+xi
ub−1
k ζs(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
τauλub
kζ
s(x, τ) dx dτ
=
t∫
0
∫
RN
τauβ
[
ub
k
]
τ
ζs(x, τ) dx dτ + a
t∫
0
∫
RN
τa−1uβub
kζ
s(x, τ) dx dτ
+ s
t∫
0
∫
RN
τauβub
kζ
s−1(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ
− s
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
τa|uxi
|pi−2uxi
ub
kζ
s−1(x, τ)ζxi
(x, τ) dx dτ. (3.5)
Рассмотрим первый интеграл в правой части последнего соотно-
шения. Поскольку
[
ub
k
]
t
=
{
bub−1
k ut, u > k,
0, u ≤ k,
374 О разрешимости задачи Коши...
а при u ≥ k выполнено u = uk, то выполнено равенство
uβ(x, t)
[
ub
k
]
t
= buβ+b−1
k (uk)t =
b
β + b
(uβ+b
k )t.
Таким образом, производя в указанном слагаемом интегрирование по
частям по τ , получим
t∫
0
∫
RN
τauβ
[
ub
k
]
τ
ζs(x, τ) dx dτ
=
b
β + b
t∫
0
∫
RN
τa
[
uβ+b
k
]
τ
ζs(x, τ) dx dτ =
b
β + b
∫
RN
tauβ+b
k ζs(x, t) dx
−
ab
β + b
t∫
0
∫
RN
τa−1uβ+b
k ζs(x, τ) dx dτ−
sb
β + b
t∫
0
∫
RN
τauβ+b
k ζs−1ζτ dx dτ.
Следовательно, соотношению (3.5) можно придать вид
∫
RN
ta
[
uβuβ
k −
b
β + b
uβ+b
k
]
ζs(x, t) dx
+
N∑
i=1
b
t∫
0
∫
RN∩{u≥k}
τa|uxi
|piub−1
k ζs(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
τauλub
kζ
s(x, τ) dx dτ
= a
t∫
0
∫
RN
τa−1
[
uβuβ
k −
b
β + b
uβ+b
k
]
ζs(x, τ) dx dτ
+ s
t∫
0
∫
RN
τa
[
uβuβ
k −
b
β + b
uβ+b
k
]
ζs−1(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ
− s
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
τa|uxi
|pi−2uxi
ub
kζ
s−1(x, τ)ζxi
(x, τ) dx dτ. (3.6)
В силу ограниченности функции u(x, t) и, следовательно, равно-
мерной по k ограниченности функций uk(x, t), предельный переход
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 375
во всех слагаемых кроме второго слагаемого слева последнего ин-
тегрального соотношения производится очевидным образом на осно-
вании теоремы Лебега. Что же касается второго слагаемого слева в
интегральном соотношении (3.6), то этот интеграл равен
Ik =
t∫
0
∫
RN
τa|uxi
|pi−2uxi
{
[u − k)+ + k]b
}
xi
ζs(x, τ) dx dτ
= b
t∫
0
∫
KR∩{u≥k}
τa|uxi
|pi [u − k)+ + k]b−1 ζs(x, τ) dx dτ.
При b ≥ 1 ввиду свойств подынтегральных функций для предельно-
го перехода достаточно воспользоваться теоремой Лебега. Если же
b < 1, то предельный переход осуществляется после оценки всех
остальных слагаемых интегрального соотношения, что дает равно-
мерную по k ограниченность интегралов Ik. Кроме того, при k → +0
неотрицательные функции
fk(x, t) =
{
bτa|uxi
|pi [u − k)+ + k]b−1 ζs(x, τ), u ≥ k,
0, u < k
монотонно возрастают и сходятся почти всюду к функции
fk(x, t) → f(x, t) =
{
bτa|uxi
|piub−1ζs(x, τ), u > 0,
0, u = 0.
Таким образом, при k → +0
Ik → I = b
t∫
0
∫
KR
τa|uxi
|piub−1ζs(x, τ) dx dτ.
Аналогичные предельные переходы в других слагаемых позволяют
получить нужные интегральные соотношения, используемые для оце-
нок в статье [16], что дает сформулированные ниже свойства реше-
ний.
Таким образом, построена последовательность функций un(x, t),
удовлетворяющих в слабом смысле задаче (1.1), (1.2) с начальными
функциями u0n(x) из (3.2) и обладающих следующими свойствами
(см. оценки статьи [16]):
sup
t1≤τ≤t2
∫
KR
u1+β
n (x, τ) dx ≤ C(t1, t2, R, µ), (3.7)
376 О разрешимости задачи Коши...
sup
0≤τ≤t2
∫
KR
uβ
n(x, τ) dx ≤ C(t2, R, µ), (3.8)
sup
t1≤τ≤t2
sup
x∈KR
un(x, τ) ≤ C(t1, t2, R, µ), (3.9)
N∑
i=1
t2∫
t1
∫
KR
|uxi
|pi(x, τ) dx dτ ≤ C(t1, t2, R, µ), (3.10)
N∑
i=1
t∫
0
∫
KR
|uxi
|pi−1(x, τ) dx dτ ≤ tδC(R, µ), (3.11)
где 0 < t1 < t2, R > 0 — произвольны, δ > 0 — некоторая посто-
янная, зависит только от β, pi, λ, µ = µr = |||uβ
0 |||r, а константы
C(t1, t2, R, µ), C(t2, R, µ), C(R, µ) в соотношениях (3.7)–(3.11) не за-
висят от номера n.
Кроме того, каждая из функций un(x, t) удовлетворяет инте-
гральному тождеству (1.8) с любой достаточно регулярной функцией
ζ(x, t) с компактным по переменным x носителем, содержащимся в
множестве KR,T .
Пусть сначала ζ(x, t) ≡ 0 при 0 ≤ t ≤ h. Тогда тождество (1.8)
имеет вид
∫
RN
uβ
n(x, t)ζ(x, t) dx +
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
|unxi
|pi−2uxi
(x, τ)ζxi
(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
uλ
n(x, τ)ζ(x, τ) dx dτ =
t∫
0
∫
RN
uβ
n(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ. (3.12)
Из тождества (3.12), формулы интегрирования по частям из [2] и
из оценок (3.7)–(3.11) следует, что на любом цилиндре KR,T в смысле
распределений выполнено равенство
∂
∂t
(
uβ
n
)
=
N∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣
∂un
∂xi
∣∣∣
pi−1 ∂un
∂xi
)
− uλ
n(x, t), (x, t) ∈ R
N × (0, T ),
то есть, в силу (3.7)–(3.11), для любого шара KR
∂
∂t
(
uβ
n
)
∈ Lp1
(
[0, T ],
(
Ẇ 1
pN
(KR)∗
))
, (3.13)
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 377
где p1 = min pi, pN = max pi, T > 0, причем нормы ∂uβ
n/∂t в этом
пространстве равномерно ограничены по n. Кроме того, если β ≥ 1,
то, в силу (3.9) и (3.10),
∣∣(uβ
n
)
xi
∣∣ = |βuβ−1
n unxi
| ≤ C(h, T, R, u0)|unxi
|,
так что
uβ
n(x, t) ∈ Lp1([0, T ], W 1
p1
(KR)), (3.14)
причем нормы uβ
n в этом пространстве равномерно ограничены по n.
Из теоремы 5.1 в [17] следует, что последовательность un пред-
компактна в пространстве Lp1([h, T ], Lp1(KR)) = Lp1(KR × [h, T ]).
Если же β < 1, то, аналогично [2], последовательность uβ
n(x, t)
ограничена в пространстве Lp1([h, T ], Hβ
p1(KR)), где Hβ
p1(KR) — со-
ответствующее пространство Никольского, которое, как и W 1
p1
(KR),
компактно вложено в Lp1(KR). Следовательно, и в этом случае на
основании теоремы 5.1 из [17] последовательность uβ
n(x, t) предком-
пактна в пространстве Lp1(KR × [h, T ]).
С учетом (3.7)–(3.11) заключаем, что из последовательности
un(x, t) можно выбрать подпоследовательность ur(x, t) такую, что
ur(x, t) → u(x, t) в L1+β(KR × [h, T ]), (3.15)
ur(x, t) → u(x, t) п.в. в KR × [h, T ], (3.16)
∇xur(x, t) →
−→
ξ (x, t) слабо в Lp(KR × [h, T ]), (3.17)
{
|urxi
|pi−1urxi
}
→ −→η (x, t) слабо в (Lp(KR × [h, T ]))∗ , (3.18)
где Lp(KR×[h, T ]) = Lp1(KR×[h, T ])×· · ·×LpN
(KR×[h, T ]). Кроме то-
го, в силу (3.9) и (3.16) подпоследовательность ur → u в пространстве
Lq(KR × [h, T ]) для любого q > 0. При этом для предельной функции
u(x, t) сохраняются все оценки (3.7)–(3.11).
Из полученных соотношений (3.15)–(3.18) следует, что мы можем
перейти к пределу при r → ∞ во всех слагаемых тождества (3.12),
что дает при почти всех t > 0
∫
RN
uβ(x, t)ζ(x, t) dx +
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
ηi(x, t)ζxi
(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
uλ(x, τ)ζ(x, τ) dx dτ =
t∫
0
∫
RN
uβ(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ. (3.19)
378 О разрешимости задачи Коши...
Так как все слагаемые в этом равенстве, кроме, возможно, первого,
непрерывны по t, то и первое слагаемое непрерывно по t при t >
0. Следовательно, по непрерывности, равенство (3.19) выполнено не
только для почти всех t > 0, но для всех t > 0.
Используя технику предельного перехода под знаком монотонно-
го оператора и (3.7)–(3.11), полностью аналогично, например, [1, 4],
получаем, что в (3.19) выполнено ηi = |uxi
|pi−2uxi
, то есть u(x, t)
удовлетворяет интегральному тождеству
∫
RN
uβ(x, t)ζ(x, t) dx +
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
|uxi
|pi−1uxi
ζxi
(x, τ) dx dτ
+
t∫
0
∫
RN
uλ(x, τ)ζ(x, τ) dx dτ =
t∫
0
∫
RN
uβ(x, τ)ζτ (x, τ) dx dτ. (3.20)
Далее, из (3.8), (3.11) и параболического вложения (1.13) с заме-
ной p на p − 1 следует, что
un ∈ Lq(KR,T ), q = (p − 1)
(
1 +
β
N
)
,
причем равномерно по n
‖un‖Lq(KR,T ) ≤ C(R, T, µ). (3.21)
Так как λ, β < q по предположению, то, в силу, также, (3.11), инте-
гральное тождество (3.20) справедливо для всех функций ζ(x, t) со-
ответствующей регулярности с компактным носителем в некотором
множестве KR,T и таких, что ζ(x, 0) ≡ 0.
Кроме того, если ζ(x, 0) 6= 0, то из интегрального тождества (1.8)
для un(x, t) и оценок (3.11), (3.21) с учетом того, что λ < q получаем
равномерно по n
∣∣∣∣∣
∫
RN
uβ
n(x, t)ζ(x, t) dx −
∫
RN
uβ
0 (x)ζ(x, 0) dx
∣∣∣∣∣ ≤ C(R, T, µ)tδ, (3.22)
с некоторым δ > 0. Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞,
получим
∣∣∣∣∣
∫
RN
uβ(x, t)ζ(x, t) dx −
∫
RN
uβ
0 (x)ζ(x, 0) dx
∣∣∣∣∣ ≤ C(R, T, µ)tδ, (3.23)
С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев 379
то есть функция
t →
∫
RN
uβ(x, t)ζ(x, t) dx
непрерывна не только при t > 0, но и при t = 0.
Выберем теперь в тождестве (3.20) в качестве пробной функции
функцию ζ(x, t) = ζ̃(x, t)ζh(t), h > 0, где ζ̃(x, t) — произвольная про-
бная функция соответствующей регулярности с компактным по пе-
ременной x носителем, а функция ζh(t) равна
ζh(t) =
{
t
h
, 0 ≤ t ≤ h,
1, h ≤ t ≤ T.
Переходя к пределу при h → +0, полностью аналогично тому, как
это сделано, например, в [20], приходим к тождеству (1.8) с функцией
ζ̃(x, t) вместо ζ(x, t). Этим мы завершаем доказательство теоремы 1.1.
Литература
[1] Fan Hui Jun, Cachy problem of some doubly degenerate parabolic equations with
initial datum a measure // Acta Mathematica Sinica, English Series, 20 (2004),
No. 4, 663–682.
[2] F. Bernis, Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations
on unbounded domain // Math. Am., 279 (1988), No. 3, 373–394.
[3] H. W. Alt, S. Luckhous, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations //
Math. Z., 183 (1983), No. 3, 311–341.
[4] Г. И. Лаптев, Слабые решения квазилинейных параболических уравнений
второго порядка с двойной нелинейностью // Матем. сб., 188 (1997), No. 9,
83–112.
[5] Г. И. Лаптев, Разрешимость квазилинейных параболических уравнений вто-
рого порядка с двойным вырождением // Сиб. мат. журнал, 38 (1997), No. 6,
1335–1355.
[6] Г. И. Лаптев, Эволюционные уравнения с монотонным оператором и фун-
кциональной нелинейностью при производной по времени // Матем. сб., 191
(2000), No. 9, 43–64.
[7] M. Tsutsumi, On solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equati-
ons with absorption // J. Math. Anal. Appl., 132 (1988), No. 1, 187–212.
[8] K. Ishige, On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonli-
near parabolic equation // SIAM J. Math. Anal., 27 (1996), No. 5, 1235–1260.
[9] С. Н. Глазатов, О некоторых задачах для дважды нелинейных параболиче-
ских уравнений и уравнений переменного типа // Математические труды, 3
(2000), No. 2, 71–110.
[10] А. В. Кузнецов, Разрешимость дважды нелинейных эволюционных уравне-
ний с монотонными операторами // Диф. уравнения, 39 (2003), No. 9, 1176–
1187.
380 О разрешимости задачи Коши...
[11] S. N. Antontsev, J. I. Diaz, S. I. Shmarev, Energy methods for free boundary
problems. Applications to nonlinear PDEs and fluid mechanics, Progr. Nonlinear
Differential Equations Appl., 48, Birkhäuser, Basel–Boston, MA, 2002.
[12] Yu. V. Namlyeyeva, A. E. Shishkov, I. I. Skrypnik, Isolated singularities of soluti-
ons of quasilinear anisotropic elliptic equations // Adv. Nonlinear Stud., 6 (2006),
No. 4, 617-–641.
[13] Yu. V. Namlyeyeva, A. E. Shishkov, I. I. Skrypnik, Removable isolated singulari-
ties for solutions of doubly nonlinear anisotropic parabolic equations // Appl.
Anal., 89 (2010), No. 10, 1559—1574.
[14] M. Bendahmane, K. H. Karlsen, Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic
equations in R
N with advection and lower order terms and locally integrable
data // Potential Anal., 22 (2005), No. 3, 207–227.
[15] M. Sango, On a doubly degenerate quasilinear anisotropic parabolic equation //
Analysis (Munich), 23 (2003), No. 3, 249–260.
[16] С. П. Дегтярев, А. Ф. Тедеев, L1-L∞ оценки решения задачи Коши для ани-
зотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелиней-
ностью и растущими начальными данными // Матем. сб., 198 (2007), No. 5,
46–66.
[17] Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.:
Мир, 1972, 588 c.
[18] А. Г. Королев, Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-
Орлича // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Матем. мех., (1983), No. 1, 32–37.
[19] M. Troisi, Teoremi di inclusione per spazi di Sobolev non isotropi // Ricerche
Mat., 18 (1969), 3–24.
[20] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1967, 736 c.
Сведения об авторах
Сергей Петрович
Дегтярев,
Анатолий
Федорович Тедеев
Институт прикладной математики и
механики НАН Украины
ул. Р. Люксембург 74,
83114 Донецк
Украина
E-Mail: tedeev@iamm.ac.donetsk.ua
|