Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу

Розглянуто обернену задачу для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомим старшим коефiцiєнтом, що залежить вiд часу, в областi, невiдома межа якої слабко вироджується в початковий момент часу. Встановлено умови iснування та єдиностi класичного розв’язку вказаної задачi....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Іванчов, М.І., Савіцька, Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124427
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу / М.І. Іванчов, Т. Савіцька // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 381-403. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124427
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244272017-09-27T03:02:59Z Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу Іванчов, М.І. Савіцька, Т. Розглянуто обернену задачу для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомим старшим коефiцiєнтом, що залежить вiд часу, в областi, невiдома межа якої слабко вироджується в початковий момент часу. Встановлено умови iснування та єдиностi класичного розв’язку вказаної задачi. 2011 Article Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу / М.І. Іванчов, Т. Савіцька // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 381-403. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35R30, 35R35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124427 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглянуто обернену задачу для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомим старшим коефiцiєнтом, що залежить вiд часу, в областi, невiдома межа якої слабко вироджується в початковий момент часу. Встановлено умови iснування та єдиностi класичного розв’язку вказаної задачi.
format	Article
author	Іванчов, М.І. Савіцька, Т.
spellingShingle	Іванчов, М.І. Савіцька, Т. Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу Український математичний вісник
author_facet	Іванчов, М.І. Савіцька, Т.
author_sort	Іванчов, М.І.
title	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
title_short	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
title_full	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
title_fullStr	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
title_full_unstemmed	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
title_sort	обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124427
citation_txt	Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу / М.І. Іванчов, Т. Савіцька // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 381-403. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT ívančovmí obernenazadačadlâparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeûâkavirodžuêtʹsâvpočatkovijmomentčasu AT savícʹkat obernenazadačadlâparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeûâkavirodžuêtʹsâvpočatkovijmomentčasu
first_indexed	2025-07-09T01:25:09Z
last_indexed	2025-07-09T01:25:09Z
_version_	1837130645675966464
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 3, 381 – 403 Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею, яка вироджується в початковий момент часу Микола I. Iванчов, Тетяна Савiцька (Представлена А. Є. Шишковим) Анотацiя. Розглянуто обернену задачу для одновимiрного парабо- лiчного рiвняння з невiдомим старшим коефiцiєнтом, що залежить вiд часу, в областi, невiдома межа якої слабко вироджується в поча- тковий момент часу. Встановлено умови iснування та єдиностi кла- сичного розв’язку вказаної задачi. 2010 MSC. 35R30, 35R35. Ключовi слова та фрази. Параболiчне рiвняння, обернена задача, вiльна межа з виродженням. Вступ При вивченнi багатьох практично важливих процесiв виникають оберненi задачi для рiвнянь з частинними похiдними в областях з вiльними межами. Деякi типи таких задач було розглянуто в пра- цях [1–4]. Дослiдження цих задач в окремих випадках ускладню- ється виродженням рiвняння або вiльної межi [5]. Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням вивчались, зокрема, у пра- цях [6–8]. Аналогiчнi задачi в областях з вiльними межами дослiдже- но в [9]. Крайову задачу для рiвняння теплопровiдностi в областi з вiльною межею, яка вироджується в початковий момент часу, роз- глянуто в [10]. У данiй роботi дослiджується обернена задача для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомим залежним вiд часу старшим кое- фiцiєнтом в областi з вiльною межею, що вироджується в початковий момент часу. Показано, що у випадку степеневого виродження межi цю задачу можна звести до рiвняння зi степеневим виродженням у Стаття надiйшла в редакцiю 15.12.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 382 Обернена задача для параболiчного рiвняння... вiдомiй трикутнiй областi. У випадку слабкого виродження встанов- лено умови iснування та єдиностi розв’язку. 1. Формулювання задачi В областi QT ≡ {(x, t) : 0 < x < tβh̃(t), 0 < t < T} розглянемо обернену задачу для параболiчного рiвняння ut = ã(t)uxx + b̃(x, t)ux + c̃(x, t)u + f̃(x, t) (1.1) з умовами u(0, t) = µ1(t), u(tβh̃(t), t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (1.2) ã(t)ux(0, t) = µ3(t), t ∈ [0, T ], (1.3) tβ h̃(t)∫ 0 u(x, t) dx = µ4(t), t ∈ [0, T ], (1.4) де β > 0 — задане число, (h̃(t), ã(t), u(x, t)), ã(t) > 0, h̃(t) > 0, t ∈ [0, T ] — невiдомi. Замiною y = x h̃(t) , σ = tβ зведемо задачу (1.1)–(1.4) до оберненої задачi для параболiчного рiвняння з виродженням: vσ = σ 1−β β a(σ) βh2(σ) vyy + βyh′(σ) + σ 1−β β b(yh(σ), σ) βh(σ) vy + σ 1−β β β ( c(yh(σ), σ)v + f(yh(σ), σ) ) , (y, σ) ∈ QT1 , (1.5) v(0, σ) = ν1(σ), v(σ, σ) = ν2(σ), σ ∈ [0, T1], (1.6) a(σ)vy(0, σ) = h(σ)ν3(σ), σ ∈ [0, T1], (1.7) h(σ) σ∫ 0 v(y, σ) dy = ν4(σ), σ ∈ [0, T1], (1.8) де QT1 = {(y, σ) : 0 < y < σ, 0 < σ < T1}, T1 = T β , v(y, σ) = u(yh̃(σ 1 β ), σ 1 β ), a(σ) = ã(σ 1 β ), h(σ) = h̃(σ 1 β ), b(yh(σ), σ) = b̃(yh̃(σ 1 β ), σ 1 β ), c(yh(σ), σ) = c̃(yh̃(σ 1 β ), σ 1 β ), f(yh(σ), σ) = f̃(yh̃(σ 1 β ), σ 1 β ), νi(σ) = µi(σ 1 β ), i = 1, 4. Очевидно, що задачi (1.1)–(1.4) та (1.5)–(1.8) еквi- валентнi. Зауважимо, що у випадку β > 1 2 виродження рiвняння (1.5) є слабким. Саме цей випадок розглядатимемо надалi. М. I. Iванчов, Т. Савiцька 383 2. Крайова задача для рiвняння теплопровiдностi в трикутнiй областi Розглянемо таку допомiжну задачу: ut = a(t)tγuxx + f(x, t), 0 < x < t, 0 < t < T, (2.1) u(0, t) = µ1(t), u(t, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ]. (2.2) Якщо 0 < γ < 1, a ∈ C[0, T ], a(t) > 0, t ∈ [0, T ], µi ∈ C[0, T ], i = 1, 2, µ1(0) = µ2(0), f ∈ C([0, t] × [0, T ]), причому функцiя f(x, t) задо- вольняє умову Гельдера по x, то розв’язок задачi (2.1), (2.2) з класу C2,1((0, t) × (0, T )) ∩ C([0, t] × [0, T ]) можна подати у виглядi [11] u(x, t) = t∫ 0 Gξ(x, t, 0, τ)a(τ)µ1(τ) dτ − t∫ 0 Gξ(x, t, τ, τ)a(τ)µ2(τ) dτ + t∫ 0 τ∫ 0 G(x, t, ξ, τ)f(ξ, τ) dξdτ, (2.3) де G(x, t, ξ, τ) — функцiя Грiна задачi (2.1), (2.2), яку можна знайти у виглядi G(x, t, ξ, τ) = G0(x, t, ξ, τ) + t∫ τ dσ σ∫ 0 G0(x, t, η, σ)Φ(η, σ, ξ, τ) dη. Тут G0(x, t, ξ, τ) = 1 2 √ π(θ(t) − θ(τ)) ∞∑ n=−∞ ( exp ( −(x − ξ + 2nt)2 4(θ(t) − θ(τ)) ) − − exp ( −(x + ξ + 2nt)2 4(θ(t) − θ(τ)) )) , θ(t) = t∫ 0 a(τ)τγ dτ, а функцiя Φ(x, t, ξ, τ) є розв’язком рiвняння Φ(x, t, ξ, τ) = −LG0(x, t, ξ, τ) − t∫ τ dσ σ∫ 0 LG0(x, t, η, σ)Φ(η, σ, ξ, τ) dη, в якому L = ∂ ∂t − a(t)tγ ∂2 ∂x2 . 384 Обернена задача для параболiчного рiвняння... 3. Iснування розв’язку задачi (1.1)–(1.4) Дослiдження iснування розв’язку задачi (1.1)–(1.4) проведемо ок- ремо для випадкiв 1 2 < β ≤ 1 та β > 1. Теорема 3.1. Нехай при 1 2 < β ≤ 1 виконуються наступнi припу- щення: (A1) µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 2, 4, µ3 ∈ C[0, T ], µ′ i(t) = λi(t)t β−1, λi ∈ C[0, T ], i = 1, 2; функцiї b̃, c̃, f̃ ∈ C([0,∞) × [0, T ]) задоволь- няють локально умову Гельдера по x з показником α ∈ (0, 1) рiвномiрно вiдносно t ∈ [0, T ]; (A2) µi(t) > 0, i = 1, 2, 3, µ4(t) = µ0(t)t β , µ0(t) > 0, t ∈ [0, T ], f̃(x, t) ≥ 0, c̃(x, t) ≤ 0, (x, t) ∈ [0,∞) × [0, T ], λ2(t) > λ1(t), t ∈ [0, T ]; (A3) µ1(0) = µ2(0). Тодi iснує принаймнi один розв’язок (h̃(t), ã(t), u(x, t)) задачi (1.1)– (1.4), визначений при 0 ≤ x ≤ h̃(t), 0 ≤ t ≤ T0, який належить до класу C1(0, T0] ∩ C[0, T0] × C[0, T0] × C2,1(QT0 ) ∩ C1,0(QT0 ), де число T0, 0 < T0 ≤ T визначається вихiдними даними задачi. Доведення. Внаслiдок еквiвалентностi задач (1.1)–(1.4) та (1.5)–(1.8) достатньо довести iснування розв’язку останньої задачi. Замiною не- вiдомої функцiї v(y, σ) = ṽ(y, σ)+ν1(σ)+ y σ (ν2(σ)−ν1(σ)) зведемо цю задачу до такої: ṽσ = σ 1−β β a(σ) βh2(σ) ṽyy + βyh′(σ) + σ 1−β β b(yh(σ), σ) βh(σ) ṽy + σ 1−β β β ( c(yh(σ), σ)ṽ + f(yh(σ), σ) ) − ν ′ 1(σ) − y σ (ν ′ 2(σ) − ν ′ 1(σ)) + y σ2 (ν2(σ) − ν1(σ)) + (ν2(σ) − ν1(σ))(βyh′(σ) + σ 1−β β b(yh(σ), σ)) βσh(σ) + σ 1−β β β c(yh(σ), σ) ( ν1(σ) + y σ (ν2(σ) − ν1(σ)) ) , (y, σ) ∈ QT1 , (3.1) ṽ(0, σ) = ṽ(σ, σ) = 0, σ ∈ [0, T1]. (3.2) Використовуючи функцiю Грiна задачi vσ = σ 1−β β a(σ) βh2(σ) vyy, (y, σ) ∈ QT1 , (3.3) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 385 v(0, σ) = v(σ, σ) = 0, σ ∈ [0, T1], (3.4) зведемо задачу (3.1), (3.2) до iнтегро-диференцiального рiвняння ṽ(y, σ) = σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G(y, σ, η, τ) ( βηh′(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) ṽη(η, τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)ṽ(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) + (ν2(τ) − ν1(τ))(βηh′(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ)) βτh(τ) + τ 1−β β β c(ηh(τ), τ) ( ν1(τ) + η τ (ν2(τ) − ν1(τ)) )) dη, (y, σ) ∈ QT1 . Повертаючись до функцiї v(y, σ), отримаємо: v(y, σ) = ν1(σ) + y σ (ν2(σ) − ν1(σ)) + σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G(y, σ, η, τ) ( vη(η, τ) βηh′(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)v(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) ) dη, (y, σ) ∈ QT1 . (3.5) Встановимо оцiнку функцiї v(y, σ) знизу. Позначимо через v0(y, σ) розв’язок задачi vσ = σ 1−β β a(σ) βh2(σ) vyy + βyh′(σ) + σ 1−β β b(yh(σ), σ) βh(σ) vy + σ 1−β β β c(yh(σ), σ)v, (y, σ) ∈ QT1 , (3.6) v(0, σ) = ν1(σ), v(σ, σ) = ν2(σ), 0 ≤ σ ≤ T1, (3.7) а через v̂(y, σ) — розв’язок задачi vσ = σ 1−β β a(σ) βh2(σ) vyy + βyh′(σ) + σ 1−β β b(yh(σ), σ) βh(σ) vy 386 Обернена задача для параболiчного рiвняння... + σ 1−β β β ( c(yh(σ), σ)v + f(yh(σ), σ) ) , (y, σ) ∈ QT1 , (3.8) v(0, σ) = v(σ, σ) = 0, 0 ≤ σ ≤ T1. (3.9) Тодi v(y, σ) = v0(y, σ) + v̂(y, σ). (3.10) З принципу максимуму [12, розд. 2] отримуємо v0(y, σ) ≥ C1 min { min [0,T ] µ1(t), min [0,T ] µ2(t) } = M1 > 0, (y, σ) ∈ QT1 . Оскiльки з умов теореми випливає, що v̂(y, σ) ≥ 0, то v(y, σ) ≥ M1 > 0, (y, σ) ∈ QT1 . (3.11) Зважаючи на це, рiвняння (1.8) подамо у виглядi h(σ) = ν4(σ) σ∫ 0 v(y, σ) dy , σ ∈ (0, T1]. (3.12) Позначимо w(y, σ) ≡ vy(y, σ), p(σ) ≡ σh′(σ) i зведемо рiвняння (3.5) до системи iнтегральних рiвнянь v(y, σ) = ν1(σ) + y σ (ν2(σ) − ν1(σ)) + σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G(y, σ, η, τ) (( ηp(τ) τh(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) ) w(η, τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)v(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) ) dη, (y, σ) ∈ QT1 , (3.13) w(y, σ) = ν2(σ) − ν1(σ) σ + σ∫ 0 dτ τ∫ 0 Gy(y, σ, η, τ) (( ηp(τ) τh(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) ) w(η, τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)v(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) ) dη, (y, σ) ∈ QT1 . (3.14) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 387 З умови (1.7) маємо рiвняння a(σ)w(0, σ) = h(σ)ν3(σ), σ ∈ [0, T1]. (3.15) Диференцiюючи умову (1.8) та використовуючи (1.5), отримаємо рiв- няння p(σ) = 1 ν2(σ) ( ν ′ 4(σ) − h(σ)ν2(σ) − σ 1−β β a(σ) βh(σ) (w(σ, σ) − w(0, σ)) − σ 1−β β β σ∫ 0 ( b(yh(σ), σ)w(y, σ) + h(σ)(c(yh(σ), σ)v(y, σ) + f(yh(σ), σ)) ) dy ) , σ ∈ (0, T1]. (3.16) Отже, задачу (1.5)–(1.8) зведено до системи iнтегральних рiвнянь (3.12)–(3.16) стосовно невiдомих (h(σ), a(σ), v(y, σ), w(y, σ), p(σ)). По- вторюючи мiркування, наведенi в [4], легко переконатись у тому, що задача (1.5)–(1.8) еквiвалентна задачi знаходження неперервно- го розв’язку системи iнтегральних рiвнянь (3.12)–(3.16). Встановимо iснування неперервного розв’язку системи iнтеграль- них рiвнянь (3.12)–(3.16), застосовуючи теорему Шаудера про нерухо- му точку цiлком неперервного оператора. Для цього виведемо оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (3.12)–(3.16). З (3.11) та (3.12) випливає нерiвнiсть h(σ) ≤ H1 < ∞, σ ∈ [0, T1]. (3.17) Використовуючи цю оцiнку, за принципом максимуму [12, розд. 2] маємо v(y, σ) ≤ M2 < ∞, (y, σ) ∈ QT1 . (3.18) У свою чергу, з (3.12), (3.18) та умови (A2) знаходимо h(σ) ≥ σν0(σ) σM2 ≥ H0 > 0, σ ∈ [0, T1], (3.19) де ν0(σ) = µ0(σ 1/β). З умов (A1)–(A3) випливає, що lim σ→0 ν2(σ) − ν1(σ) σ = ν ′ 2(0)− ν ′ 1(0) = 1 β (λ2(0)− λ1(0)) > 0, σ ∈ (0, T1], а тому ν2(σ) − ν1(σ) σ ≥ M3 > 0, σ ∈ (0, T1] (3.20) 388 Обернена задача для параболiчного рiвняння... Встановимо поведiнку iнтегрального доданка в формулi (3.14). Для цього припустимо, що величини w(y, σ), a(σ), p(σ) є обмежени- ми. Враховуючи оцiнки функцiї Грiна [13, c. 469], матимемо ∣∣∣∣∣ σ∫ 0 dτ τ∫ 0 Gy(y, σ, η, τ) (( ηp(τ) τh(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) ) w(η, τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)v(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) ) dη ∣∣∣∣∣ ≤ C8 σ∫ 0 dτ τ∫ 0 ∣∣Gy(y, σ, η, τ) ∣∣dη ≤ C9 σ∫ 0 dτ√ θ(σ) − θ(τ) ≤ C10 σ∫ 0 dτ√ σ1/β − τ1/β , (y, σ) ∈ QT1 . (3.21) З використанням замiни z = τ σ знаходимо σ∫ 0 dτ√ σ1/β − τ1/β = σ 1− 1 2β 1∫ 0 dz√ 1 − z1/β ≤ C11σ 1− 1 2β , (y, σ) ∈ QT1 . (3.22) Оскiльки для першого доданка з формули (3.14) правильною є оцiнка (3.20), то звiдси випливає iснування такого числа σ1, 0 < σ1 ≤ T1, що для y ∈ [0, σ], σ ∈ [0, σ1] виконується оцiнка w(y, σ) ≥ 1 2 M3 > 0. (3.23) Тодi з (3.15), (3.17) отримуємо a(σ) ≤ A1 < ∞, σ ∈ [0, σ1]. (3.24) Позначимо W (σ) ≡ max 0≤y≤σ w(y, σ), amin(σ) ≡ min 0≤τ≤σ a(τ). З (3.14), (3.16) отримуємо нерiвностi W (σ) ≤ C12 + C13 σ∫ 0 (1 + \|p(τ)\|)(W (τ) + 1)√ θ(σ) − θ(τ) dτ, σ ∈ [0, σ1], (3.25) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 389 \|p(σ)\| ≤ C14 + C15W (σ), σ ∈ [0, σ1]. (3.26) Пiдставимо (3.26) в (3.25): W (σ) ≤ C12 + C16 σ∫ 0 (W (τ) + 1)2√ θ(σ) − θ(τ) dτ. Замiною W1(σ) ≡ W (σ) + 1 надамо отриманiй нерiвностi вигляду W1(σ) ≤ C17 + C18√ amin(σ) σ∫ 0 W 2 1 (τ) dτ√ σ1/β − τ1/β . (3.27) Оскiльки τ ≤ σ i β ≤ 1, то ( τ σ )1/β−1 ≤ 1, i нерiвнiсть (3.27) зводиться до вигляду W1(σ) ≤ C17 + C18√ amin(σ)σ1/β−1 σ∫ 0 W 2 1 (τ) dτ√ σ − τ . (3.28) Пiднесемо цю нерiвнiсть до квадрата. Використовуючи нерiвностi Ко- шi та Кошi–Буняковського, отримаємо W 2 1 (σ) ≤ C19 + C20 amin(σ)σ1/β−3/2 σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ√ σ − τ . Покладемо в попереднiй нерiвностi σ = s, домножимо на 1√ σ−s i про- iнтегруємо вiд 0 до σ: σ∫ 0 W 2 1 (s) ds√ σ − s ≤ C21 √ σ + C20 σ∫ 0 ds amin(s)s1/β−3/2 s∫ 0 W 4 1 (τ) dτ√ (s − τ)(σ − s) ≤ C21 √ σ + C20 amin(σ) σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ σ∫ τ ds s1/β−3/2 √ (s − τ)(σ − s) . (3.29) Нехай 1 2 < β < 2 3 . Тодi, враховуючи рiвнiсть σ∫ τ ds√ (s − τ)(σ − s) = π, маємо σ∫ 0 W 2 1 (s) ds√ σ − s ≤ C21 √ σ + C22 amin(σ) σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ τ1/β−3/2 . 390 Обернена задача для параболiчного рiвняння... Пiдставляючи останню нерiвнiсть в (3.28), отримуємо W1(σ) ≤ C17 + C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) + C24 a 3/2 min(σ)σ 1−β 2β σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ τ1/β−3/2 ≤ C17 + C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) + C24 a 3/2 min(σ) σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ τ 3 2β −2 . (3.30) Позначимо Φ(σ) = C17 + C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) , Ψ(σ) = C24 a 3/2 min(σ) , (3.31) H(σ) = Φ(σ) Ψ(σ) + σ∫ 0 W 4 1 (τ) dτ τ 3 2β −2 . (3.32) Тодi з (3.30) отримаємо W1(σ) Ψ(σ) ≤ H(σ). (3.33) Продиференцiюємо (3.32) по σ i врахуємо (3.33): H ′(σ) ≤ ( Φ(σ) Ψ(σ) )′ + H4(σ)Ψ4(σ) σ 3 2β −2 . (3.34) Останню нерiвнiсть подiлимо на H4(σ) i проiнтегруємо її вiд 0 до σ: 1 3H3(0) − 1 3H3(σ) ≤ Φ(σ) Ψ(σ)H4(σ) − Φ(0) Ψ(0)H4(0) + 4 σ∫ 0 Φ(τ)H ′(τ) Ψ(τ)H5(τ) dτ + σ∫ 0 Ψ4(τ) dτ τ 3 2β −2 . З (3.32) випливає, що H(0) = Φ(0) Ψ(0) . Отже, H4(σ) 3H3(0) ( 4 − 3H3(0) ( 4 σ∫ 0 Φ(τ)H ′(τ) Ψ(τ)H5(τ) dτ + σ∫ 0 Ψ4(τ) dτ τ 3 2β −2 )) ≤ Φ(σ) Ψ(σ) + H(σ) 3 . (3.35) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 391 В iнтегралi ∫ σ 0 Φ(τ)H′(τ) Ψ(τ)H5(τ) dτ зробимо замiну z = H(τ), внаслiдок чого отримаємо σ∫ 0 Φ(τ)H ′(τ) Ψ(τ)H5(τ) dτ = H(σ)∫ H(0) Φ(H−1(z)) dz Ψ(H−1(z))z5 , де H−1(z) — обернена функцiя до H(σ). Оскiльки 4 H(σ)∫ H(0) Φ(H−1(z)) dz Ψ(H−1(z))z5 + σ∫ 0 Ψ4(τ) dτ τ 3 2β −2 → 0 при σ → 0, то iснує таке число σ2 : 0 < σ2 ≤ T1, що 4−3H3(0) ( 4 σ∫ 0 Φ(τ)H ′(τ) Ψ(τ)H5(τ) dτ+ σ∫ 0 Ψ4(τ) dτ τ 3 2β −2 ) ≥ 1, σ ∈ [0, σ2]. (3.36) Тодi з (3.35) випливає нерiвнiсть H4(σ) 3H3(0) ≤ Φ(σ) Ψ(σ) + H(σ) 3 , σ ∈ [0, σ2], або H4(σ) ≤ 3Φ(σ) Ψ(σ) H3(0) + H(σ)H3(0), σ ∈ [0, σ2]. Використовуючи це в (3.34), знаходимо H ′(σ) ≤ ( Φ(σ) Ψ(σ) )′ + 3Φ(σ)Ψ3(σ)H3(0) σ 3 2β −2 + H(σ)H3(0)Ψ4(σ) σ 3 2β −2 . Домножимо цю нерiвнiсть на exp ( −H3(0) ∫ σ 0 Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) i проiнтегру- ємо вiд 0 до σ: H(σ) exp ( −H3(0) σ∫ 0 Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) − H(0) ≤ Φ(σ) Ψ(σ) exp ( −H3(0) σ∫ 0 Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) − Φ(0) Ψ(0) + 4H3(0) σ∫ 0 Φ(τ)Ψ3(τ) exp ( −H3(0) τ∫ 0 Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) τ 3 2β −2 dτ. 392 Обернена задача для параболiчного рiвняння... Надамо останнiй нерiвностi вигляду H(σ) ≤ Φ(σ) Ψ(σ) + 4H3(0) σ∫ 0 Φ(τ)Ψ3(τ) exp ( H3(0) σ∫ τ Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) τ 3 2β −2 dτ. Тодi з (3.33) маємо W1(σ) ≤ Φ(σ) + 4H3(0)Ψ(σ) σ∫ 0 Φ(τ)Ψ3(τ) dτ τ 3 2β −2 exp ( H3(0) σ∫ 0 Ψ4(s) ds s 3 2β −2 ) . Враховуючи позначення (3.31), отримуємо W (σ) ≤ C17+ C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) + C25 a 3/2 min(σ) σ∫ 0 ( C17+ C23τ 2β−1 2β √ amin(τ) ) dτ a 9/2 min(τ)τ 3 2β −2 × exp ( C26 σ∫ 0 ds a6 min(s)s 3 2β −2 ) . Iснує таке число σ3 ∈ (0, T1], що C25 a 3/2 min(σ) σ∫ 0 ( C17 + C23τ 2β−1 2β √ amin(τ) ) dτ a 9/2 min(τ)τ 3 2β −2 × exp ( C26 σ∫ 0 ds a6 min(s)s 3 2β −2 ) ≤ C17, (3.37) а тому W (σ) ≤ 2C17 + C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) . (3.38) Звiдси та з (3.15) випливає нерiвнiсть 2C17amin(σ) + C23σ 2β−1 2β √ amin(σ) − C27 ≥ 0, тобто √ amin(σ) ≥ √ C2 23σ 2β−1 β + 8C17C27 − C23σ 2β−1 2β 4C17 . Отже, amin(σ) ≥ (√ C2 23σ 2β−1 β + 8C17C27 − C23σ 2β−1 2β )2 16C2 17 . (3.39) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 393 З (3.39), (3.38), (3.16) маємо a(σ) ≥ A0 > 0, \|p(σ)\| ≤ M4, σ ∈ [0, σ∗], w(y, σ) ≤ M5, (y, σ) ∈ Qσ∗ , (3.40) де σ∗ = min{σ2, σ3}, а сталi A0, M4, M5 залежать лише вiд вихiдних даних. Легко бачити, що оцiнки (3.40) зберiгаються i у випадку 2 3 ≤ β ≤ 1, оскiльки нерiвнiсть (3.29) можна продовжити, враховуючи те, що s3/2−1/β ≤ T 3/2−1/β 1 . Отже, оцiнки розв’язкiв системи (3.12)–(3.16) отриманi. Подамо систему рiвнянь (3.12)–(3.16) у виглядi ω = Pω, (3.41) де ω = (h, v, w, a, p), а оператор P визначений правими частинами рiвнянь (3.12)–(3.16), при цьому рiвняння (3.15) слiд переписати у виглядi a(σ) = h(σ)ν3(σ) w(0, σ) , σ ∈ (0, T1]. Використовуючи отриманi оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (3.12)– (3.16) та застосовуючи процедуру, детально викладену в [4], визначи- мо множину N ≡ {(h, v, w, a, p) ∈ C[0, σ0] × (C(Qσ0 ))2 × (C[0, σ0]) 2 : H0 ≤ h(σ) ≤ H1, M6 ≤ v ≤ M7, M8 ≤ w ≤ M9, \|p\| ≤ M10}, де число σ0, 0 < σ0 ≤ T, визначається вихiдними даними так, щоб опе- ратор P переводив множину N в себе. Компактнiсть оператора P на множинi N встановлено в [14]. Застосовуючи теорему Шаудера, отримуємо iснування хоча б однiєї нерухомої точки оператора P в N . Це означає, що iснує класичний розв’язок задачi (1.1)–(1.4). Теорему доведено. Зауважимо, що у випадку β = 1 рiвняння (1.5) не вироджується. Нехай β > 1 i виконується умова: (A4) µ′ 4(t) ≡ tβ−1λ4(t), f̃(x, t) ≡ tβ−1f0(x, t), b̃(x, t) ≡ tβ−1b0(x, t), c̃(x, t) ≡ tβ−1c0(x, t), де функцiї f0, b0, c0 ∈ C([0, +∞)×[0, T ]) задовольняють локально умо- ву Гельдера по x з показником α ∈ (0, 1), а функцiя λ4(t) неперервна на [0, T ]. Теорема 3.2. Нехай β > 1 i виконуються припущення (A1)–(A4). Тодi iснує хоча б один розв’язок (h̃(t), ã(t), u(x, t)) задачi (1.1)–(1.4), який належить до класу C1(0, T0] ∩ C[0, T0] × C[0, T0] × C2,1(QT0 ) ∩ C1,0(QT0 ), де T0, 0 < T0 ≤ T визначається вихiдними даними задачi. 394 Обернена задача для параболiчного рiвняння... Доведення. Доведення теорем 3.1 i 3.2 вiдрiзняються тiльки оцiнками виразiв (w(σ, σ)−w(0, σ))σ 1 β−1 , σ 1−β β b(yh(σ), σ)w(y, σ), σ 1−β β (f(yh(σ), σ)+c(yh(σ), σ)v(y, σ)). За умовою (A4) останнi два вирази обмеженi. Враховуючи (3.14), розглянемо вираз w(σ, σ) − w(0, σ) = σ∫ 0 dτ τ∫ 0 (Gy(σ, σ, η, τ) − Gy(0, σ, η, τ)) (( ηp(τ) τh(τ) + τ 1−β β b(ηh(τ), τ) βh(τ) ) w(η, τ) + τ 1−β β β ( c(ηh(τ), τ)v(η, τ) + f(ηh(τ), τ) ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) ) dη, (y, σ) ∈ QT1 . Оскiльки функцiї G(σ, σ, η, τ) i G0(σ, σ, η, τ) мають однаковi особли- востi, то достатньо оцiнити вираз σ∫ 0 dτ τ∫ 0 ∣∣G(1) 0y (σ, σ, η, τ) − G (1) 0y (0, σ, η, τ) ∣∣ dη, де використано позначення G (i) 0 (y, σ, η, τ) = 1 2 √ π(θ(σ) − θ(τ)) ∞∑ n=−∞ ( exp ( −(y − η + 2nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + (−1)i exp ( −(y + η + 2nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) , i = 1, 2, θ(σ) = σ∫ 0 a(τ) βτ β−1 β h2(τ) dτ. Беручи до уваги те, що G (1) 0y (0, σ, η, τ) ≥ 0, G (1) 0y (σ, σ, η, τ) ≤ 0, G (1) 0y (y, σ, η, τ) = −G (2) 0η (y, σ, η, τ), маємо М. I. Iванчов, Т. Савiцька 395 σ∫ 0 dτ τ∫ 0 \|G(1) 0y (σ, σ, η, τ) − G (1) 0y (0, σ, η, τ)\| dη = σ∫ 0 dτ τ∫ 0 (G (2) 0η (σ, σ, η, τ) − G (2) 0η (0, σ, η, τ)) dη = σ∫ 0 (G (2) 0 (σ, σ, τ, τ)−G (2) 0 (0, σ, τ, τ)−G (2) 0 (σ, σ, 0, τ)+G (2) 0 (0, σ, 0, τ)) dτ = σ∫ 0 1 2 √ π(θ(σ) − θ(τ)) ∞∑ n=−∞ ( exp ( −((2n + 1)σ − τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + exp ( −((2n + 1)σ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − exp ( − (2nσ − τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − exp ( − (2nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − 2 exp ( − ((2n + 1)σ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + 2 exp ( − (2nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) dτ = σ∫ 0 1 2 √ π(θ(σ) − θ(τ)) ∞∑ n=−∞ (−1)n+1 ( exp ( − (nσ − τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + exp ( − (nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − 2 exp ( − (nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) dτ = σ∫ 0 1√ π(θ(σ) − θ(τ)) ∞∑ n=−∞ (−1)n ( exp ( − (nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − exp ( − (nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) dτ. Зважаючи на те, що ∞∑ n=−∞ (−1)n ( exp ( − (nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) − exp ( − (nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) ≤ ∞∑ n=−∞ ( exp ( − (nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + exp ( − (nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) ≤ 2 + ∞∑ n=1 ( 2 exp ( − (nσ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + exp ( − (nσ + τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) ) + exp ( − (nσ − τ)2 4(θ(σ) − θ(τ)) )) , 396 Обернена задача для параболiчного рiвняння... та застосовуючи лему 2.1.1 [11], отримуємо σ∫ 0 dτ τ∫ 0 ∣∣G(1) 0y (σ, σ, η, τ) − G (1) 0y (0, σ, η, τ) ∣∣ dη ≤ C28 σ∫ 0 dτ√ θ(σ) − θ(τ) + C29σ або \|(w(σ, σ) − w(0, σ))σ1/β−1\| ≤ C30σ 1 2β . (3.42) За наявностi оцiнки (3.42) доведення теореми 3.2 завершується так само, як i доведення теореми 3.1. 4. Єдинiсть розв’язку задачi (1.1)–(1.4) Теорема 4.1. Нехай 1 2 < β ≤ 1 i виконується умова: (A5) b̃, c̃, f̃ ∈ C1,0([0, +∞) × [0, T ]), µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 2; µi(t) 6= 0, i = 2, 3, µ4(t) = µ0(t)t β , µ0(t) 6= 0, t ∈ [0, T ]. Тодi задача (1.1)–(1.4) не може мати бiльше одного розв’язку (h̃(t), ã(t), u(x, t)), який належить до класу C1(0, T ] ∩ C[0, T ] × C[0, T ] × C2,1(QT ) ∩ C1,0(QT ). Доведення. Оскiльки задача (1.1)–(1.4) еквiвалентна задачi (1.5)– (1.8), то достатньо довести єдинiсть розв’язку задачi (1.5)–(1.8). При- пустимо, що iснує два рiзних розв’язки (hi(σ), ai(σ), vi(y, σ)), i = 1, 2 задачi (1.5)–(1.8). Позначимо h(σ) ≡ h1(σ) − h2(σ), a(σ) ≡ a1(σ) − a2(σ), v(y, σ) ≡ v1(y, σ) − v2(y, σ). Перетворимо рiзницю b(yh1(σ), σ) − b(yh2(σ), σ) = y(h1(σ) − h2(σ)) 1∫ 0 ∂b(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+sy(h1(σ)−h2(σ)) ds. Аналогiчно можна подати рiзницi c(yh1(σ), σ)−c(yh2(σ), σ) i f(yh1(σ), σ) − f(yh2(σ), σ). Тодi з (1.5)–(1.8) отримаємо таку задачу вiдносно (h(σ), a(σ), v(y, σ)): М. I. Iванчов, Т. Савiцька 397 vσ = σ 1−β β a1(σ) βh2 1(σ) vyy + ( yh′ 1(σ) h1(σ) + σ 1−β β b(yh1(σ), σ) βh1(σ) ) vy + σ 1−β β c(yh1(σ), σ) β v + σ 1−β β (a(σ)h2 2(σ) − a2(σ)h(σ)(h1(σ) + h2(σ))) βh2 1(σ)h2 2(σ) v2yy + ( y(h′(σ)h2(σ) − h′ 2(σ)h(σ)) h1(σ)h2(σ) + σ 1−β β βh1(σ)h2(σ) × ( yh(σ)h2(σ) 1∫ 0 ∂b(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds − b(yh2(σ), σ)h(σ) )) v2y + σ 1−β β β ( h(σ)yv2 1∫ 0 ∂c(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds + yh(σ) 1∫ 0 ∂f(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds ) , (y, σ) ∈ QT1 , (4.1) v(0, σ) = v(σ, σ) = 0, σ ∈ [0, T1], (4.2) a1(σ)vy(0, σ) = ν3(σ)h(σ) − a(σ)v2y(0, σ), σ ∈ [0, T1], (4.3) h1(σ) σ∫ 0 v(y, σ) dy = −h(σ) σ∫ 0 v2(y, σ) dy, σ ∈ [0, T1]. (4.4) Використовуючи функцiю Грiна G∗(y, σ, η, τ) першої крайової за- дачi для рiвняння vσ = σ 1−β β a1(σ) βh2 1(σ) vyy + ( yh′ 1(σ) h1(σ) + σ 1−β β b(yh1(σ), σ) βh1(σ) ) vy, (y, σ) ∈ QT1 , зведемо задачу (4.1)–(4.4) до наступної системи рiвнянь: v(y, σ) = σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗(y, σ, η, τ) ( τ 1−β β c(ηh1(τ), τ) β v(η, τ) + τ 1−β β (a(τ)h2 2(τ) − a2(τ)h(τ)(h1(τ) + h2(τ))) βh2 1(τ)h2 2(τ) v2ηη(η, τ) + ( η(h′(τ)h2(τ) − h′ 2(τ)h(τ)) h1(τ)h2(τ) + τ 1−β β βh1(τ)h2(τ) ( ηh(τ)h2(τ) 398 Обернена задача для параболiчного рiвняння... × 1∫ 0 ∂b(z, τ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(τ)+syh(τ) ds − b(ηh2(τ), τ)h(τ) ) v2η(η, τ) + τ 1−β β β ( h(τ)ηv2(η, τ) 1∫ 0 ∂c(z, τ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(τ)+syh(τ) ds + ηh(τ) 1∫ 0 ∂f(z, τ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(τ)+syh(τ) ds )) dη, (y, σ) ∈ QT1 , (4.5) h(σ) = − h1(σ) σ∫ 0 v(y, σ)dy σ∫ 0 v2(y, σ)dy , σ ∈ [0, T1], (4.6) a(σ) = ν3(σ)h(σ) − a1(σ)vy(0, σ) v2y(0, σ) , σ ∈ [0, T1], (4.7) p(σ) = 1 ν2(σ) ( −h(σ)ν2(σ) − σ 1−β β β ( a1(σ) h1(σ) (vy(σ, σ) − vy(0, σ)) + σ∫ 0 ( b(yh1(σ), σ)vy(y, σ) + h1(σ)c(yh1(σ), σ)v(y, σ) ) dy + a(σ)h2(σ) − a2(σ)h(σ) h1(σ)h2(σ) (v2y(σ, σ) − v2y(0, σ)) + σ∫ 0 ( yh(σ)v2y(y, σ) 1∫ 0 ∂b(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds + (h1(σ)yh(σ) 1∫ 0 ∂c(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds + h(σ)c(yh2(σ), σ))v2(y, σ) + yh(σ) 1∫ 0 ∂f(z, σ) ∂z ∣∣∣∣ z=yh2(σ)+syh(σ) ds ) dy )) , σ ∈ [0, T1]. (4.8) Якщо пiдставити (4.5) у формулу (4.6) i отриману формулу разом iз (4.5) у (4.7) та (4.8), то легко переконатись у тому, що (4.5)–(4.8) є системою iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду. Встановимо iнтегровнiсть ядер системи (4.5)–(4.8). З умови (A5) та з того, що v2(y, σ) задовольняє (1.7) та (1.8) випливає, що знаменники в (4.7), М. I. Iванчов, Т. Савiцька 399 (4.8) вiдмiннi вiд нуля. Оскiльки v2(y, σ) задовольняє (1.8), то з (4.6) та умови (A5) маємо h(σ) = − h1(σ)h2(σ) σ∫ 0 v(y, σ) dy ν4(σ) = − h1(σ)h2(σ) σ∫ 0 v(y, σ) dy σν0(σ) = −h1(σ)h2(σ)σv(ỹ, σ) σν0(σ) = −h1(σ)h2(σ)v(ỹ, σ) ν0(σ) , ỹ ∈ [0, σ], σ ∈ [0, T1]. Отже, ядро в (4.6) є iнтегровним. Дослiдимо поведiнку v2yy(y, σ) при σ → 0. Зробимо замiну v2(y, σ) = ṽ2(y, σ)+ν1(σ)+ y σ (ν2(σ)−ν1(σ)). Тодi з (1.5)–(1.8) отримаємо задачу вiдносно функцiї ṽ2(y, σ): ṽ2σ = σ 1−β β a2(σ) βh2 2(σ) ṽ2yy + ( yh′ 2(σ) h2(σ) + σ 1−β β b(yh2(σ), σ) βh2(σ) ) ṽ2y + σ 1−β β β ( c(yh2(σ), σ)ṽ2 + f(yh2(σ), σ) ) − ν ′ 1(σ) − y σ (ν ′ 2(σ) − ν ′ 1(σ)) + y σ2 (ν2(σ) − ν1(σ)) + ( yh′ 2(σ) h2(σ) + σ 1−β β b(yh2(σ), σ) βh2(σ) ) ν2(σ) − ν1(σ) σ + σ 1−β β β c(yh2(σ), σ) ( ν1(σ) + y σ (ν2(σ) − ν1(σ)) ) , (y, σ) ∈ QT1 , (4.9) ṽ2(0, σ) = ṽ2(σ, σ) = 0, σ ∈ [0, T1]. (4.10) Використовуючи функцiю Грiна G∗∗(y, σ, η, τ) першої крайової задачi для рiвняння ṽ2σ = σ 1−β β a2(σ) βh2 2(σ) ṽ2yy + ( yh′ 2(σ) h2(σ) + σ 1−β β b(yh2(σ), σ) βh2(σ) ) ṽ2y + σ 1−β β β c(yh2(σ), σ)ṽ2, знаходимо розв’язок задачi (4.9), (4.10), звiдки отримуємо v2(y, σ) = ν1(σ) + y σ (ν2(σ) − ν1(σ)) 400 Обернена задача для параболiчного рiвняння... + σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗∗(y, σ, η, τ) ( τ 1−β β β f(ηh2(τ), τ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ))+ + ( ηh′ 2(τ) h2(τ) + τ 1−β β b(ηh2(τ), τ) βh2(τ) ) ν2(τ) − ν1(τ) τ + τ 1−β β β c(ηh2(τ), τ) ( ν1(τ) + η τ (ν2(τ) − ν1(τ)) )) dη, (y, σ) ∈ QT1 . (4.11) Продиференцiюємо вираз (4.11) двiчi по y: v2yy(y, σ) = σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗∗ yy(y, σ, η, τ) ( τ 1−β β β f(ηh2(τ), τ) − ν ′ 1(τ) − η τ (ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ)) + η τ2 (ν2(τ) − ν1(τ)) + ( ηh′ 2(τ) h2(τ) + τ 1−β β b(ηh2(τ), τ) βh2(τ) ) ν2(τ) − ν1(τ) τ + τ 1−β β β c(ηh2(τ), τ) ( ν1(τ) + η τ (ν2(τ) − ν1(τ)) )) dη, (y, σ) ∈ QT1 . (4.12) Для оцiнки отриманого виразу застосуємо оцiнку других похiдних об’ємних теплових потенцiалiв [12, c. 23], яка для даного випадку матиме вигляд ∣∣∣∣∣ σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗∗ yy(y, σ, η, τ)f(η, τ) dη ∣∣∣∣∣ ≤ C31 σ∫ 0 dτ (θ2(σ) − θ2(τ))1−γ/2 . Тут f(y, σ) — неперервна в QT функцiя, яка за змiнною y задовольняє умову Гельдера з показником γ, 0 < γ < 1. Подамо η як η = ηγη1−γ . Враховуючи те, що функцiя ηγ задовольняє умову Гельдера з пока- зником γ, 0 < γ < 1, та рiвностi ν ′ i(σ) = 1 β µ′ i(σ 1/β)σ1/β−1, i = 1, 2, з (4.12) маємо ∣∣∣∣∣ σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗∗ yy(y, σ, η, τ) ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ) τ η dη ∣∣∣∣∣ ≤ C32 σ∫ 0 τ 1−β β −γ dτ (θ2(σ) − θ2(τ))1−γ/2 , (4.13) М. I. Iванчов, Т. Савiцька 401 де θ2(σ) = σ∫ 0 a2(τ)τ 1−β β βh2 2(τ) dτ. Решту доданкiв в (4.12) оцiнюємо аналогiчно, використовуючи умову (A5). Беручи до уваги нерiвнiсть θ2(σ)−θ2(τ) ≥ C33(σ 1/β−τ1/β), з (4.12) i (4.13) отримуємо \|v2yy(y, σ)\| ≤ C34 σ∫ 0 τ 1−β β −γ dτ (θ(σ) − θ(τ))1−γ/2 ≤ C35 σ∫ 0 τ 1−β β −γ dτ (σ1/β − τ1/β)1−γ/2 . Звiдси пiсля замiни z = τ σ отримаємо \|v2yy(y, σ)\| ≤ C36σ γ 2β −γ 1∫ 0 z 1−β β −γ dz (1 − z1/β)1−γ/2 ≤ C37σ γ 2β −γ . З того, що γ ∈ (0, 1), випливає γ 2β − γ > −1, тому особливiсть в v2yy(y, σ) є iнтегровною. Тодi за властивостями iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду система рiвнянь (4.5–(4.8) має тiльки три- вiальний розв’язок v(y, σ) ≡ 0, h(σ) ≡ 0, a(σ) ≡ 0, p(σ) ≡ 0, y ∈ [0, σ], σ ∈ [0, T1]. Тому розв’язок задачi (1.5)–(1.8), а, отже, i задачi (1.1–(1.4) єдиний. Теорему доведено. Теорема 4.2. Нехай β > 1 i виконується умова (A6) b̃, c̃, f̃ ∈ C1,0([0,∞) × [0, T ]), µi ∈ C1[0, T ], µ′ i(t) = λi(t)t β−1, λi ∈ C[0, T ], i = 1, 2, µi(t) 6= 0, i = 2, 3, µ4(t) = µ0(t)t β , µ0(t) 6= 0, t ∈ [0, T ]. Тодi задача (1.1)–(1.4) не може мати бiльше одного розв’язку (h̃(t), ã(t), u(x, t)), який належить до класу C1(0, T ] ∩ C[0, T ] × C[0, T ] × C2,1(QT ) ∩ C1,0(QT ). Доведення. Доведення теорем 4.1 i 4.2 вiдрiзняються тiльки оцiнкою виразу σ 1−β β v2yy(y, σ). Зафiксуємо деяке γ ∈ (0, 1) i оцiнимо вираз ∣∣∣∣ σ∫ 0 dτ τ∫ 0 G∗∗ yy(y, σ, η, τ) ν ′ 2(τ) − ν ′ 1(τ) τ η dη ∣∣∣∣ ≤ C38 σ∫ 0 dτ τγ(θ2(σ) − θ2(τ))1−γ/2 , (4.14) 402 Обернена задача для параболiчного рiвняння... враховуючи при цьому, що з умови (A6) випливає ν ′ i(σ) = 1 β µ′ i(σ 1/β)σ 1−β β = 1 β λi(σ 1/β), i = 1, 2. Тодi з (4.12) i (4.14) маємо \|v2yy(y, σ)\| ≤ C39 σ∫ 0 dτ τγ(θ2(σ) − θ2(τ))1−γ/2 ≤ C40 σ∫ 0 dτ τγ(σ1/β − τ1/β)1−γ/2 ≤ C41σ 1− 1 β + γ 2β −γ . Використовуючи отриману нерiвнiсть, знаходимо оцiнку \|σ 1−β β v2yy(y, σ)\| ≤ C42σ γ 2β −γ , i доведення теореми 4.2 завершується аналогiчно до доведення тео- реми 4.1. Лiтература [1] L. Lorenzi, An identification problem for a one-phase Stefan problem // J. Inv. Ill-Posed Problems, 9 (2001), No. 6, 1–27. [2] М. I. Iванчов, Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiд- ностi // Укр. мат. журн., 55 (2003), No. 7, 901–910. [3] I. Баранська, Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiль- ною межею // Мат. методи та фiз.-мех. поля,48 (2005), No. 2, 32–42. [4] I. Баранська, М. Iванчов, Обернена задача для двовимiрного параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Укр. мат. вiсник, 4 (2007), No. 4, 467–484. [5] V. Isakov, On inverse problems in secondary oil recovery // Euro. Jounal of Appli- ed Mathematics, 19 (2008), 459–478. [6] M. Ivanchov, N. Saldina, An inverse problem for strongly degenerate heat equati- on // J. Inv. Ill-Posed Problems, 14 (2006, No. 5, 465–480. [7] М. Iванчов, Н. Салдiна, Обернена задача для параболiчного рiвняння iз силь- ним степеневим виродженням // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 11, 1487– 1500. [8] M. Ivanchov, A. Lorenzi, N. Saldina, Solving a scalar degenerate multidimensional identification problem in a Banach space // J. Inv. Ill-Posed Problems, 16 (2008), No. 4, 397–415. [9] Н. Гринцiв, Обернена задача для параболiчного рiвняння iз сильним степе- невим виродженням в областi з вiльною межею // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат., (2007), вип. 64, 84–97. М. I. Iванчов, Т. Савiцька 403 [10] М. I. Iванчов, Задача теплопровiдностi з вiльною межею, яка вироджує- ться у початковий момент часу // Мат. методи та фiз.-мех. поля, 50 (2007), No. 3, 82–87. [11] M. Ivanchov, Inverse problem for equation of parabolic type, Math. Studies: Monogr. Ser. Vol. 10, Lviv: VNTL Publ., 2003, 240 p. [12] А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Москва: Мир, 1968, 428 с. [13] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази- линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 736 c. [14] Г. А. Снiтко, Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат. методи та фiз.-мех. поля, 50 (2007), No. 4, 7–18. Вiдомостi про авторiв Микола Iванович Iванчов, Тетяна Савiцька Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка вул. Унiверситетська, 1 79001 Львiв Україна E-Mail: ivanchov@franko.lviv.ua

Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею, яка вироджується в початковий момент часу

Institution

Ähnliche Einträge