Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач

В настоящей статье рассматривается проблема приближенного решения жестко некорректных задач с возмущенными правыми частями. Проводится анализ аппроксимационных свойств комбинации конечномерного варианта тихоновского метода регуляризации и апостериорного выбора параметра регуляризации по принципу рав...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Солодкий, С.Г., Грушевая, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124430
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач / С.Г. Солодкий, А.В. Грушевая // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 447-457. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124430
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244302017-09-27T03:03:01Z Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач Солодкий, С.Г. Грушевая, А.В. В настоящей статье рассматривается проблема приближенного решения жестко некорректных задач с возмущенными правыми частями. Проводится анализ аппроксимационных свойств комбинации конечномерного варианта тихоновского метода регуляризации и апостериорного выбора параметра регуляризации по принципу равновесия. Установлено, что в рамках этого подхода удается достичь оптимальный порядок точности на исследуемом классе уравнений. Сравнительный анализ описанного метода с известными ранее подтверждает эффективность предлагаемого подхода. 2011 Article Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач / С.Г. Солодкий, А.В. Грушевая // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 447-457. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 47A52, 65R30. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124430 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В настоящей статье рассматривается проблема приближенного решения жестко некорректных задач с возмущенными правыми частями. Проводится анализ аппроксимационных свойств комбинации конечномерного варианта тихоновского метода регуляризации и апостериорного выбора параметра регуляризации по принципу равновесия. Установлено, что в рамках этого подхода удается достичь оптимальный порядок точности на исследуемом классе уравнений. Сравнительный анализ описанного метода с известными ранее подтверждает эффективность предлагаемого подхода.
format	Article
author	Солодкий, С.Г. Грушевая, А.В.
spellingShingle	Солодкий, С.Г. Грушевая, А.В. Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач Український математичний вісник
author_facet	Солодкий, С.Г. Грушевая, А.В.
author_sort	Солодкий, С.Г.
title	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
title_short	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
title_full	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
title_fullStr	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
title_full_unstemmed	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
title_sort	об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124430
citation_txt	Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач / С.Г. Солодкий, А.В. Грушевая // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 447-457. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT solodkijsg obaposteriornomvyboreparametraregulârizaciiprirešeniižestkonekorrektnyhzadač AT gruševaâav obaposteriornomvyboreparametraregulârizaciiprirešeniižestkonekorrektnyhzadač
first_indexed	2025-07-09T01:25:28Z
last_indexed	2025-07-09T01:25:28Z
_version_	1837130663565721600
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 3, 447 – 457 Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач Сергей Г. Солодкий, Анна В. Грушевая (Представлена А. М. Самойленко) Аннотация. В настоящей статье рассматривается проблема при- ближенного решения жестко некорректных задач с возмущенными правыми частями. Проводится анализ аппроксимационных свойств комбинации конечномерного варианта тихоновского метода регуля- ризации и апостериорного выбора параметра регуляризации по прин- ципу равновесия. Установлено, что в рамках этого подхода удае- тся достичь оптимальный порядок точности на исследуемом классе уравнений. Сравнительный анализ описанного метода с известными ранее подтверждает эффективность предлагаемого подхода. 2010 MSC. 47A52, 65R30. Ключевые слова и фразы. Жестко некорректная задача, апо- стериорный выбор параметра регуляризации, принцип равновесия, оптимальный порядок точности. 1. Постановка задачи Рассмотрим проблему приближенного решения некорректной за- дачи, представимой в виде операторного уравнения I рода Ax = y, (1.1) где A : X → Y — линейный компактный инъективный оператор, действующий между гильбертовыми пространствами X и Y , причем множество Range(A) незамкнуто в Y . Для сокращения выкладок обо- значим скалярные произведения в обоих пространствах через (·, ·) и соответствующие им нормы через ‖ · ‖. Более того, тем же символом ‖ · ‖ будем обозначать стандартную операторную норму. Из контекс- та будет ясно, какое именно пространство или норма имеются ввиду. Статья поступила в редакцию 30.06.2011 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 448 Об апостериорном выборе параметра... Кроме того, будем предполагать, что вместо y доступно лишь неко- торое приближение yδ ∈ Y , ‖y − yδ‖ ≤ δ, δ > 0. Обычно уравнение (1.1) называют жестко некорректной задачей, если его решение x0 = A−1y имеет конечную в некотором смысле гладкость, а A — оператор бесконечной гладкости. Характерной чер- той таких задач является то, что решение x0 принадлежит некото- рому подпространству V , непрерывно вложенному в X, причем син- гулярные значения оператора канонического вложения JV из V в X стремятся к нулю с полиномиальной скоростью, в то время как син- гулярные значения {σl}∞l=1 оператора A стремятся к нулю экспонен- циально. Следуя [6, 14], в данном случае будем предполагать, что x0 принадлежит множеству Mp,ρ(A) := { x : x = ln−p(A∗A)−1v, ‖v‖ ≤ ρ } (1.2) при некотором неизвестном значении p > 0 и известном ρ > 0, где операторная функция ln−p(A∗A)−1 определяется спектральным ра- зложением оператора A∗A = ∞ ∑ k=1 σ2 k(Ψk, ·)Ψk, то есть ln−p(A∗A)−1v = ∞ ∑ l=1 ln−p σ−2 l (Ψl, v)Ψl. В дальнейшем без потери общности будем считать, что ‖A‖ ≤ θ ≤ e−1/2, σl ≤ θ ≤ e−1/2, l = 1, 2, . . .. Пример 1.1. В качестве примера жестко некорректной задачи рас- смотрим задачу из теории гравитационной градиентометрии спутни- ка. Если принять поверхность земли и орбиту спутника за сферы с радиусами r1 < r2, соответственно, Ωri = {u ∈ R3, \|u\| = ri}, i = 1, 2, то одна из задач в этой теории может быть описана уравнением (1.1) с оператором Ax(u) := 1 4πr1 ∫ Ωr1 d2 dr2 2 ( r2 2 − r2 1 \|u − v\|3 ) x(v) dΩr1 (v), u ∈ Ωr2 . (1.3) В градиентометрии спутника обычно считается, что точное реше- ние уравнения (1.1) с оператором (1.3) является элементом сфериче- ского пространства Соболева Hs := { f ∈ L2(Ωr1 ) : ‖f‖2 s = ∞ ∑ l=0 2l+1 ∑ k=1 ( l + 1 2 )2s \|〈Y (1) l,k , f〉\|2 < ∞ } С. Г. Солодкий, А. В. Грушевая 449 при некотором положительном индексе s. С другой стороны, так как для сингулярных значений {σl} оператора (1.3) справедливо следую- щее соотношение: lnσ−2 l ≍ ( l + 1 2 ) , то найдутся положительные константы c2 > c1 > 0 такие, что для любого элемента f ∈ Hs соболевского пространства выполняются двусторонние оценки c1‖f‖s ≤ ‖ lns(A∗A)−1f‖ ≤ c2‖f‖s. Это, в частности, означает, что каждый элемент из Hs принадлежит множеству (1.2) при p = s. Более подробную информацию об этом можно найти в [4, 9]. Поскольку Range(A) предполагается незамкнутым в Y , то не- прерывной зависимости решения x0 от входных данных нет. Следо- вательно, численное решение задачи (1.1)–(1.2) требует применения специальных методов регуляризации. Отметим, что проблема устойчивого решения жестко некорре- ктных задач стала интенсивно изучаться, начиная со статьи [6], в которой для регуляризации был использован метод Тихонова. Далее жестко некорректные задачи рассматривались в работах [1, 2, 5, 10]. Так, в частности, в [10] регуляризация жестко некорректных задач (1.1) с решениями из (1.2) проводилась методом Тихонова, а выбор параметра регуляризации α осуществлялся по принципу невязки Мо- розова. Этот подход позволил достичь оптимальную по порядку (в логарифмической шкале) точность O(ln−p 1 δ ) восстановления реше- ний из указанного множества для любого p : p > p0 > 0. Идея исполь- зования тихоновской регуляризации в сочетании с принципом невяз- ки нашла свое дальнейшее применение в работе [12], где было уста- новлено, что указанный метод обеспечивает оптимальный порядок точности также в случае возмущенного оператора в (1.1). Позднее исследования, инициированные в [10], были распространены в [13] на более широкий класс экспоненциально некорректных задач, для ко- торого также удалось добиться оптимального порядка точности вос- становления решений O((ln . . . ln 1 δ )−p). В настоящей статье, в отличие от всех упомянутых выше работ, с целью выбора параметра регуляризации α (в комбинации с мето- дом Тихонова) будет использовано другое правило останова, а имен- но, принцип равновесия, который для решения некорректных задач впервые был предложен в [8]. Ниже будет установлена оптимальность 450 Об апостериорном выборе параметра... предлагаемого подхода на классе жестко некорректных задач (1.1) с решениями из множества (1.2). Схема настоящей статьи следующая. Параграф 2 содержит вспо- могательные утверждения, необходимые для анализа аппроксимаци- онных свойств предлагаемого нами подхода. В параграфе 3 описыва- ется принцип равновесия, а в параграфе 4 доказывается оптималь- ность по порядку комбинации метода Тихонова с принципом равно- весия в качестве правила выбора параметра регуляризации. Напомним, что в рамках метода Тихонова регуляризованное ре- шение xδ α определяется как решение вариационной задачи Iα(X) := ‖Ax − yδ‖2 + α‖x‖2 → min . Поскольку для численной реализации тихоновского метода необходи- мо выполнять все вычисления с конечномерным приближением An вместо A, то вариационная задача Iα(X) → min заменяется конечно- мерным аналогом Iα,n(x) := ‖Anx − yδ‖2 + α‖x‖2 → min, где An — некоторое конечномерное приближение к A, rank(An) = n. Нахождение приближенного решения требует в этом случае решения линейного операторного уравнения αx + A∗ nAnx = A∗ nyδ, (1.4) то есть приближение ищется в виде xδ α,n = (αI + A∗ nAn)−1A∗ nyδ. Отметим, что в данной статье мы не ограничиваемся рамками какой-либо конкретной схемы дискретизации, а накладываем на дис- кретизированный оператор An только одно, предельно общее, усло- вие. А именно, конечномерное приближение An должно выбираться таким образом, чтобы уровень дискретизации и уровень возмущения правой части были согласованными по порядку, то есть чтобы выпол- нялось неравенство ‖A − An‖ ≤ δρ−1. (1.5) Таким образом, на базе предлагаемого нами общего подхода (1.4), (1.5) к решению жестко некорректных задач, может быть разработа- на целая совокупность численных алгоритмов в зависимости от выбо- ра конкретной схемы дискретизации. Примеры проекционных схем дискретизации некорректных задач, которые позволяют сохранить оптимальную точность решения при минимально возможном объеме вычислений, можно найти, например, в работах [3, 11]. С. Г. Солодкий, А. В. Грушевая 451 2. Вспомогательные утверждения Приведем необходимые определения и факты. Общее условие истокопредставимости задается следующим обра- зом: Aϕ(ρ) := {x ∈ X, x = ϕ(A∗A)v, ‖v‖ ≤ ρ}, (2.1) где ϕ(t) — произвольная возрастающая функция такая, что ϕ(0) = 0. При этом ϕ называется индексной функцией. В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное ут- верждение (см. работу [7, предложение 1]). Лемма 2.1. Предположим, что ϕ — индексная функция и ϕ(t)/t невозрастающая. Тогда для всех 0 < s, t ≤ e−1 имеем sup 0<t≤e−1 ∣ ∣ ∣ s s − t ϕ(t) ∣ ∣ ∣ ≤ ϕ(s). Напомним, что в нашем случае индексная функция имеет вид ϕ(t) = ln−p 1 t . Очевидно, что она удовлетворяет условию леммы 2.1. Хорошо известно (см., например, [7]), что для любого ограничен- ного оператора B выполняются соотношения B(αI + B∗B)−1 = (αI + BB∗)−1B, ‖(αI + B∗B)−1‖ ≤ α−1, ‖(αI + B∗B)−1B∗‖ ≤ 1 2 √ α , ‖B(αI + B∗B)−1B∗‖ ≤ 1. (2.2) Теорема 2.1. Пусть ‖A‖ ≤ e−1/2 и x0 = A−1y ∈ Mp,ρ. Тогда имеет место следующее неравенство: ‖x0 − xδ α,n‖ ≤ ρ ln−p 1 α + 3δ 2 √ α . (2.3) Доказательство. Прежде всего воспользуемся правилом треуголь- ника ‖x0 − xδ α,n‖ ≤ ‖x0 − xα‖ + ‖xα − xα,n‖ + ‖xα,n − xδ α,n‖, где xα = (αI + A∗A)−1A∗y, xα,n = (αI + A∗ nAn)−1A∗ ny. Оценим первое слагаемое. Используя лемму 2.1, получим ‖x0 − xα‖ = ‖ ln−p(A∗A)−1v − (αI + A∗A)−1A∗A ln−p(A∗A)−1v‖ 452 Об апостериорном выборе параметра... ≤ ρ sup 0<λ≤e−1 ∣ ∣ ∣ ln−p 1 λ − λ α − λ ln−p 1 λ ∣ ∣ ∣ = ρ sup 0<λ≤e−1 ∣ ∣ ∣ α α − λ ln−p 1 λ ∣ ∣ ∣ ≤ ρ ln−p 1 α . Для оценки второго слагаемого нам потребуются предварительные выкладки. Принимая во внимание (2.2), имеем (αI + A∗A)−1A∗y − (αI + A∗ nAn)−1A∗ ny = A∗(αI + AA∗)−1y − (αI + A∗ nAn)−1A∗ ny = [A∗ − (αI + A∗ nAn)−1A∗ n(αI + AA∗)](αI + AA∗)−1y = (αI + A∗ nAn)−1[(αI + A∗ nAn)A∗ − A∗ n(αI + AA∗)](αI + AA∗)−1y = (αI + A∗ nAn)−1[αA∗ + A∗ nAnA∗ − αA∗ n − A∗ nAA∗](αI + AA∗)−1y = (αI + A∗ nAn)−1[α(A∗ − A∗ n) + A∗ n(An − A)A∗](αI + AA∗)−1Ax0. Отсюда, с учетом неравенств (2.2), получаем оценку второго слагае- мого ‖xα − xα,n‖ = ‖(αI + A∗ nAn)−1[α(A∗ − A∗ n) + A∗ n(An − A)A∗](αI + AA∗)−1Ax0‖ ≤ I1 + I2, где I1 := α‖(αI + A∗ nAn)−1(A∗ − A∗ n)(αI + AA∗)−1Ax0‖ ≤ ‖A − An‖ 2 √ α ρ ≤ δ 2 √ α , I2 := ‖(αI + A∗ nAn)−1A∗ n(An − A)A∗(αI + AA∗)Ax0‖ ≤ δ 2 √ α . И, наконец, ‖xα,n − xδ α,n‖ = ‖(αI + A∗ nAn)−1A∗ ny − (αI + A∗ nAn)−1A∗ nyδ‖ ≤ ‖(αI + A∗ nAn)−1A∗ n(y − yδ)‖ ≤ δ 2 √ α . Суммируя найденные выше оценки, получим искомую оценку. 3. Принцип равновесия Будем минимизировать правую часть (2.3), выбирая α согласно принципу равновесия. Суть этого принципа состоит в выборе параме- тра регуляризации α таким образом, чтобы уравновесить две функ- ции, задающие оценку погрешности. В рассматриваемом случае эти С. Г. Солодкий, А. В. Грушевая 453 функции (см. (2.3)) имеют вид Φ(α) := ρ ln−p 1 α , Ψ(α) := 3δ 2 √ α . Поскольку ϕ(t) = ln−p 1 t — монотонно возрастающая функция, то с ростом α Φ(α) возрастает, а Ψ(α) убывает. Теперь (2.3) можно переписать в виде ‖x0 − xδ α,n‖ ≤ Φ(α) + Ψ(α). (3.1) В силу поведения функций Φ и Ψ (а именно, их монотонности и во- гнутости) выбор значения параметра регуляризации α = α̂, миними- зирующего правую часть (3.1), будет уравновешивать величины Φ(α) и Ψ(α), т.е. Φ(α̂) = Ψ(α̂) и, следовательно, ‖x0 − xδ α̂,n‖ ≤ 2Φ(α̂). (3.2) Однако, если функция ϕ неизвестна, то такой априорный выбор те- оретически наилучшего значения α̂ невозможен. Поэтому в нашей ситуации необходимо использовать какое-нибудь апостериорное пра- вило выбора α. С этой целью воспользуемся принципом равновесия. Чтобы его применить, рассмотрим дискретное множество возможных значений параметра регуляризации △N = {αi = (q2)iα0, i = 1, 2, . . . , N}, q > 1. (3.3) Здесь α0 = nδ2, N : αN ≍ 1. Используя принцип равновесия, рассмотрим множество M+(△N ) = { αi ∈ △N : ‖xδ αi,n − xδ αj ,n‖ ≤ 4Ψ(αj), j = 1, . . . , i } и выберем значение параметра регуляризации по правилу α = α+ := max{α ∈ M+(△N )}. (3.4) Ниже (см. теорему 4.1) будет показано, что выбор α = α+ дает оцен- ку погрешности, которая отличается от наилучшей возможной (3.2) только на множитель 3q. Чтобы доказать этот факт, рассмотрим вспомогательное множе- ство M(△N ) := {αi ∈ △N : Φ(αj) ≤ Ψ(αi), j = 1, . . . , i} 454 Об апостериорном выборе параметра... и вспомогательную величину α∗ := max{α ∈ M(△N )}. Без потери общности будем считать, что M(△N ) 6= ∅, △N�M(△N ) 6= ∅. Теперь можно оценить близость точного и приближенного решений для параметра регуляризации α+. 4. Основные результаты Теорема 4.1. Пусть параметр регуляризации выбирается согласно правилу (3.4). Тогда имеет место следующая оценка: ‖x0 − xδ α+,n‖ ≤ 6qΦ(α̂). Доказательство. Начнем доказательство с установления неравенст- ва α∗ ≤ α+. С учетом (3.1), поведения функций Φ(α), Ψ(α) и опре- деления множества M(△N ), при любом αj < α∗ имеем ‖xδ α∗,n − xδ αj ,n‖ ≤ ‖x0 − xδ α∗,n‖ + ‖x0 − xδ αj ,n‖ ≤ Φ(α∗) + Ψ(α∗) + Φ(αj) + Ψ(αj) ≤ 2Φ(α∗) + Ψ(α∗) + Ψ(αj) ≤ 3Ψ(α∗) + Ψ(αj) ≤ 4Ψ(αj). Таким образом, включение α∗ ∈ M+(∆N ) доказано. А значит, выпол- няется α∗ ≤ α+. Вновь используя (3.1) при α = α∗, а также определения множеств M+(△N ) и M(△N ), заключаем ‖x0 − xδ α+,n‖ ≤ ‖x0 − xδ α∗,n‖ + ‖xδ α∗,n − xδ α+,n‖ ≤ 6Ψ(α∗). (4.1) В силу монотонности Ψ легко видеть, что Ψ(q2α∗) = 3δ 2 √ q2α∗ = 1 q · 3δ 2 √ α∗ = 1 q Ψ(α∗). (4.2) С другой стороны, очевидно, что α∗ ≤ α̂ ≤ q2α∗. Вместе с (4.1) и (4.2) это дает ‖x0 − xδ α+,n‖ ≤ 6qΨ(q2α∗) ≤ 6qΨ(α̂) = 6qΦ(α̂) = 6qρ ln−p 1 α̂ . Теорема 4.1 доказана. С. Г. Солодкий, А. В. Грушевая 455 Теорема 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 4.1. Тогда спра- ведлива оценка ‖x0 − xδ α+,n‖ ≤ c̃ ln−p 1 δ , где константа c̃ в общем случае зависит только от q, ρ и p, а при ρ ≥ 3/2 c̃ = 6qρ. Более того, метод (1.4), (1.5), (3.4) гарантирует оптимальную по порядку точность приближения на классе задач (1.1)–(1.2). Доказательство. Так как при α = α̂ справедливо Φ(α̂) = Ψ(α̂), то ρ ln−p 1 α̂ = 3δ 2 √ α̂ , √ α̂ = 3δ 2ρ lnp 1 α̂ , α̂ = 9δ2 4ρ2 ln2p 1 α̂ . Поскольку для любых x > 0 и ν > 0 выполняется lnx < xν , то α̂ = 9δ2 4ρ2 ln2p 1 α̂ ≤ 9δ2 4ρ2 1 α̂ . Следовательно, для значения параметра регуляризации, теоретиче- ски минимизирующего погрешность, справедлива оценка α̂ ≤ 3δ 2ρ . В итоге получаем ‖x0 − xδ α+,n‖ ≤ 6qρ ln−p 2ρ 3δ = c̃ ln−p 1 δ . С другой стороны, в работах [6, 14] было установлено, что погре- шность восстановления произвольным приближенным методом то- чного решения x0 из множества (1.2) по yδ не может быть меньше величины O(ln−p 1 δ ). Отсюда немедленно следует, что наш метод яв- ляется оптимальным по порядку на классе жестко некорректных за- дач (1.1)–(1.2). Замечание 4.1. Проведем сравнительный анализ наших результа- тов с уже известными. Так, в статье [10] для решения уравнений (1.1) с x0 ∈ Mp,ρ(A) также использовался стандартный метод Тихонова, 456 Об апостериорном выборе параметра... при этом в качестве правила останова рассматривался принцип не- вязки. Полученные в обеих работах ([10] и настоящей) порядки то- чности совпадают, в то же время наш подход имеет существенное преимущество. А именно, при построении метода из [10] задействова- на нижняя граница для возможных значений p: p > p0, где величина p0 > 0 предполагается известной. То же самое можно сказать и о ме- тодах из работ [12, 13]. В нашей же работе это ограничение снято и все результаты справедливы при любых p > 0. Литература [1] А. Б. Бакушинский, М. Ю. Кокурин, Итеративные методы для решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами, М.: Едито- риал УРСС, 2002. [2] М. Ю. Кокурин, Н. А. Юсупова, О необходимых и достаточных условиях медленной сходимости методов решения линейных некорректных задач // Изв. вузов. Матем., (2003), No. 2, 81–84. [3] С. В. Переверзев, С. Г. Солодкий, Оптимальная дискретизация некорре- ктных задач // Укр. мат. журн., 52 (2000), No. 1, 106–121. [4] W. Freeden, F. Schneider, Regularization wavelets and multiresolution // Inverse Problems, (1998), No. 14, 225–243. [5] T. Hohage, Regularization of exponentially ill-posed problems // Numer. Funct. Anal. Optim., (2000), No. 21, 439–464. [6] B. A. Mair, Tikhonov regularization for finitely and infinitely smoothing operators // SIAM J. Math. Anal., 1 (1994), No. 25, 135–147. [7] P. Mathe, S. Pereverzev, Regularization of some linear ill-posed problems with di- scretized random noisy data // Mathematics of Computation, 75 (2006), No. 256, 1913–1929. [8] S. Pereverzev, E. Schock, On the adaptive selection of the parameter in regulari- zation of ill-posed problems // SIAM J. Numer. Anal., (2005), No. 43, 2060–2076. [9] R. Rummel, O. L. Colombo, Gravity field determination from satellite gradi- ometry // Bull. Geod., (1985), No. 59, 233–246. [10] E. Schock, S. V. Pereverzev, Morozov’s discrepancy principle for Tikhonov regularization of severely ill-posed problems in finite-dimensional subspaces // Numer. Funct. Anal. Optim., (2000), No. 21, 901–916. [11] S. G. Solodky, On a quasi-optimal regularized projection method for solving operator equations of the first kind // Inverse Problems, 21 (2005), No. 4, 1473— 1485. [12] S. G. Solodky, A. V. Mosentsova, Morozov’s discrepancy principle for the Ti- khonov regularization of exponentially ill-posed problems // Comp. Meth. Appl. Math., 8 (2008), No. 1, 86–98. [13] S. G. Solodky, A. V. Mosentsova, Unsaturable methods for solving severely ill- posed problems // Int. J. Comput. Sci. Math., 2 (2009), No. 3, 229–242. [14] U. Tautenhahn, Optimality for ill-posed problems under general source conditi- ons // Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 1 (1998), No. 19, 377–398. С. Г. Солодкий, А. В. Грушевая 457 Сведения об авторах Cергей Григорьевич Солодкий, Анна Викторовна Грушевая Институт математики НАН Украины ул. Терещенковская 3 01601, Киев Украина E-Mail: solodky@imath.kiev.ua, anna_mos@imath.kiev.ua

Об апостериорном выборе параметра регуляризации при решении жестко некорректных задач

Institution

Ähnliche Einträge