Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R

Мы изучаем свойства предкасательных пространств, описывающих инфинитезимальную геометрию общих метрических пространств. Найдены необходимые и достаточные условия, характеризующие птолемеевы предкасательные пространства и предкасательные пространства, любые три точки которых расположены “на одной пря...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Билет, В.В., Довгошей, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124432
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 493-512. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124432
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244322017-09-27T03:03:02Z Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R Билет, В.В. Довгошей, А.А. Мы изучаем свойства предкасательных пространств, описывающих инфинитезимальную геометрию общих метрических пространств. Найдены необходимые и достаточные условия, характеризующие птолемеевы предкасательные пространства и предкасательные пространства, любые три точки которых расположены “на одной прямой”. Как следствие мы получаем критерий вложимости предкасательных пространств в множество R действительных чисел, наделенное естественной метрикой. 2011 Article Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 493-512. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 54E35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124432 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Мы изучаем свойства предкасательных пространств, описывающих инфинитезимальную геометрию общих метрических пространств. Найдены необходимые и достаточные условия, характеризующие птолемеевы предкасательные пространства и предкасательные пространства, любые три точки которых расположены “на одной прямой”. Как следствие мы получаем критерий вложимости предкасательных пространств в множество R действительных чисел, наделенное естественной метрикой.
format	Article
author	Билет, В.В. Довгошей, А.А.
spellingShingle	Билет, В.В. Довгошей, А.А. Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R Український математичний вісник
author_facet	Билет, В.В. Довгошей, А.А.
author_sort	Билет, В.В.
title	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R
title_short	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R
title_full	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R
title_fullStr	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R
title_full_unstemmed	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R
title_sort	отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в r
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124432
citation_txt	Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 493-512. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT biletvv otnošenieležatʹmežduptolemeevyprostranstvaiizometričeskievloženiâpredkasatelʹnyhprostranstvvr AT dovgošejaa otnošenieležatʹmežduptolemeevyprostranstvaiizometričeskievloženiâpredkasatelʹnyhprostranstvvr
first_indexed	2025-07-09T01:25:42Z
last_indexed	2025-07-09T01:25:42Z
_version_	1837130677350301696
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 4, 493 – 512 Отношение “лежать между”, птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R Виктория В. Билет, Алексей А. Довгошей (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. Мы изучаем свойства предкасательных пространств, описывающих инфинитезимальную геометрию общих метрических пространств. Найдены необходимые и достаточные условия, хара- ктеризующие птолемеевы предкасательные пространства и предка- сательные пространства, любые три точки которых расположены “на одной прямой”. Как следствие мы получаем критерий вложимости предкасательных пространств в множество R действительных чисел, наделенное естественной метрикой. 2010 MSC. 54E35. Ключевые слова и фразы. Метрические пространства, предкаса- тельные пространства, изометрические вложения, метрическое отно- шение “лежать между”, птолемеевы пространства. 1. Введение Недавние достижения в теории метрических пространств тесно связаны с обобщениями дифференцирования. Есть несколько подхо- дов к построению таких обобщений. Вкладывая метрическое прост- ранство в подходящее линейное нормированное пространство, полу- чаем линейную структуру и, таким образом, дифференцирование. На основе такого подхода довольно полная теория спрямляемых мно- жеств и потоков на метрических пространствах развита в [3,4]. Дру- гим путём построения метрического дифференцирования является введение некоторых инфинитезимальных касательных пространств к метрическому пространству. Сходимость Громова–Хаусдорфа и уль- трасходимость являются, на сегодня, наиболее применяемыми спосо- бами изучения инфинитезимальной геометрии метрических прост- Статья поступила в редакцию 14.02.2011 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 494 Отношение “лежать между”... ранств [7,16]. Исходное для данной работы понятие “предкасательно- го” пространства к общему метрическому пространству предложено в [11] (см. также [12]). Критерий компактности и ограниченности предкасательных про- странств найден в [1], а критерий их единственности в [2]. В работе [9] получены необходимые и достаточные условия, при которых пред- касательные пространства являются ультраметрическими. Полезный критерий совпадения предкасательных пространств к метрическому пространству и к подпространству этого пространства доказан в [8]. В недавней работе Д. Дордовского [14] доказано, что предкасатель- ные пространства в невырожденных точках гладких параметриче- ских n-мерных поверхностей изометричны евклидову пространству R n. В данной работе найдены критерии: птолемеевости предкасатель- ных пространств и того, что любые три точки в таких пространствах удовлетворяют метрическому варианту тернарного отношения “ле- жать между” (точные определения этих понятий приведены ниже). Это дает новые необходимые и достаточные условия изометрической вложимости предкасательных пространств в евклидово пространство R 1 = R. К. Менгер в [17] доказал следующий результат: метрическое пространство X с cardX ≥ n+4 изометрично вкладывается в евкли- дово пространство R n, если любое A ⊆ X с cardA = n + 2 имеет это свойство. Монография Л. М. Блюменталя [6] содержит этот знамени- тый результат и продолжает оставаться классическим руководством для изучения изометрических вложений метрических пространств. В настоящей работе мы будем использовать результат Менгера только для n = 1. Элементарное доказательство “одномерного” результата вместе с анализом исключительного случая cardA = n+3 = 4 можно найти в [10]. Напомним необходимые определения. Пусть (X, d) — метрическое пространство и пусть p — точка из X. Зафиксируем некоторую последовательность r̃ положительных веще- ственных чисел rn, стремящихся к нулю. Назовём r̃ нормирующей (или масштабирующей) последовательностью. Будем обозначать че- рез X̃ множество всех последовательностей точек из X. Определение 1.1. Две последовательности x̃, ỹ ∈ X̃, x̃ = {xn}n∈N и ỹ = {yn}n∈N, взаимностабильны относительно нормирующей по- следовательности r̃ = {rn}n∈N, если существует конечный предел lim n→∞ d(xn, yn) rn := d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃(x̃, ỹ). (1.1) Cемейство F̃ ⊆ X̃ самостабильное, если любые две последова- тельности x̃, ỹ ∈ F̃ взаимностабильны, F̃ ⊆ X̃ — максимальное са- В. В. Билет, А. А. Довгошей 495 мостабильное, если F̃ самостабильное и для произвольной z̃ ∈ X̃ \ F̃ существует x̃ ∈ F̃ такая, что x̃ и z̃ не взаимностабильны. Из леммы Цорна легко следует Утверждение 1.1. Пусть (X, d) — метрическое пространство и пусть p ∈ X. Тогда для каждой нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N существует максимальное самостабильное семейство X̃p,r̃ такое, что постоянная последовательность p̃ = {p, p, . . . } ∈ X̃p,r̃. Рассмотрим функцию d̃ : X̃p,r̃ × X̃p,r̃ → R, где d̃(x̃, ỹ) = d̃r̃(x̃, ỹ) определена через (1.1). Очевидно, d̃ симметрична и неотрицательна. Кроме того, из неравенства треугольника для d, имеем d̃(x̃, ỹ) ≤ d̃(x̃, z̃) + d̃(z̃, ỹ) для всех x̃, ỹ, z̃ из X̃p,r̃. Следовательно, (X̃p,r̃, d̃) − псевдометрическое пространство. Определим отношение эквивалентности ∼ на X̃p,r̃ как x̃ ∼ ỹ то- гда и только тогда, когда d̃r̃(x̃, ỹ) = 0. Обозначим через Ωp,r̃ = ΩX p,r̃ множество всех классов эквивалентности на X̃p,r̃, порождённых отно- шением ∼ . Для α, β ∈ ΩX p,r̃ положим ρ(α, β) = d̃(x̃, ỹ), где x̃ ∈ α и ỹ ∈ β, тогда ρ − метрика на Ωp,r̃. Переход от псевдометрического пространства (X̃p,r̃, d̃) к метрическому пространству (Ωp,r̃, ρ) будем называть метрической идентификацией (X̃p,r̃, d̃). Обозначим через π естественную проекцию X̃p,r̃ на ΩX p,r̃. Определение 1.2. Пространство (ΩX p,r̃, ρ) называется предкасате- льным к X в точке p относительно нормирующей последователь- ности r̃. Будем использовать символ Ω X p для обозначения множества всех пространств, предкасательных к (X, d) в точке p. Определение 1.3. Пусть (X, d) — метрическое пространство, x, y и z — различные точки из X. Точка y лежит между x и z, если d(x, z) = d(x, y) + d(y, z). (1.2) Тернарное отношение “лежать между” в явной форме было опре- делено Д. Гильбертом в его знаменитых “Основаниях геометрии”. В теории метрических пространств понятие “metric betweenness” было введено К. Менгером в приведенной выше форме. 496 Отношение “лежать между”... Замечание 1.1. Легко проверить, что для трёх различных точек x, y, z из X равенство 2 max{d(x, y), d(x, z), d(y, z)} = d(x, y) + d(x, z) + d(y, z) (1.3) выполняется тогда и только тогда, когда одна из этих точек лежит между двумя другими. Другим необходимым и достаточным усло- вием является равенство нулю определителя Кэли–Менгера (см., на- пример, [5, с. 290]), ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 d2(x, y) d2(x, z) 1 d2(y, x) 0 d2(y, z) 1 d2(z, x) d2(z, y) 0 1 1 1 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. Через M обозначим класс всех метрических пространств X таких, что (1.4) справедливо для всех x, y, z ∈ X. Следуя Шонбергу [19, 20], будем говорить, что метрическое про- странство (X, d) является птолемеевым, если неравенство d(x, y)d(z, w) ≤ d(x, z)d(y, w) + d(x, w)d(y, z) (1.4) выполняется для любых точек x, y, z, w ∈ X. Некоторые авторы на- зывают (1.4) неравенством Птолемея. Известная со времён антично- сти теорема Птолемея утверждает, что неравенство (1.4) обращается в равенство, если x, z, y, w — вершины выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность. Обозначим через P класс всех птолемее- вых метрических пространств. Определим функцию F : X × X → R правилом F (x, y) := { d(x,y)(d(x,p)∧d(y,p)) (d(x,p)∨d(y,p))2 , если (x, y) 6= (p, p) 0, если (x, y) = (p, p). (1.5) Здесь и далее d(x, p) ∧ d(y, p) := min{d(x, p), d(y, p)}, а d(x, p) ∨ d(y, p) := max{d(x, p), d(y, p)}. Для x, y, z ∈ X положим Φ(x, y, z) := F (x, y) ∨ F (x, z) ∨ F (y, z). (1.6) Справедлива следующая В. В. Билет, А. А. Довгошей 497 Теорема 1.1. Пусть (X, d) — метрическое пространство с отме- ченной точкой p. (i) Ω X p ⊆ M тогда и только тогда, когда выполнено равенство lim x,y,z→p Φ(x, y, z) ( d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) d(x, y) ∨ d(y, z) ∨ d(z, x) − 2 ) = 0, (1.7) где d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) d(x, y) ∨ d(y, z) ∨ d(z, x) := 2 при d(x, y) ∨ d(y, z) ∨ d(z, x) = 0. (ii) Ω X p ⊆ P тогда и только тогда, когда lim inf x,y,z,w→p d(x, z)d(y, w) + d(x, w)d(y, z) − d(x, y)d(z, w) (d(x, p) ∨ d(y, p) ∨ d(z, p) ∨ d(w, p))2 ≥ 0, (1.8) где считаем d(x, z)d(y, w) + d(x, w)d(y, z) − d(x, y)d(z, w) (d(x, p) ∨ d(y, p) ∨ d(z, p) ∨ d(w, p))2 := 0 при x = y = z = w = p. (iii) Любое предкасательное пространство ΩX p,r̃ изометрично вкла- дывается в R тогда и только тогда, когда выполнены предель- ные соотношения (1.7) и (1.8). В этой теореме и далее под изометрическими вложениями понима- ются отображения, сохраняющие расстояния, а множество R берётся вместе с обычной метрикой d(x, y) = \|x − y\|. Замечание 1.2. Равенство (1.3) и часть (i) теоремы 1.1 показыва- ют, что класс M инвариантен при переходе к предкасательным про- странствам, т.е. если X ∈ M, то и любое предкасательное ΩX p,r̃ при- надлежит M. Аналогично из (1.4) и части (ii) теоремы 1.1 следует, что все предкасательные к птолемееву метрическому пространству будут птолемеевыми. Наконец часть (iii) теоремы 1.1 и лемма 4.1, сформулированная и доказанная в четвёртом разделе настоящей ра- боты, гарантируют изометрическую вложимость в R всех ΩX p,r̃, если само пространство X изометрично вкладывается в R. Замечание 1.3. Теорема 1.1 остается верной, если в ней вместо предкасательных пространств ΩX p,r̃ рассматривать ультрапроизведе- ния последовательностей раздутий (X, 1 ri d, p)i∈N. 498 Отношение “лежать между”... 2. Критерий принадлежности предкасательных пространств к M Обозначим ρ1(x, y, z) := d(x, y) + d(y, z) + d(z, x); ρ2(x, y, z) := d(x, y) ∨ d(y, z) ∨ d(z, x). Тогда предельное соотношение (1.7) перепишется в виде lim x,y,z→p Φ(x, y, z) ( ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) − 2 ) = 0, (2.1) где ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) := 2 при ρ2(x, y, z) = 0. Доказательство утверждения (i) теоремы 1.1. Покажем необходи- мость. Пусть Ω X p ⊆ M, но предел в (2.1) не существует или не равен нулю. Легко видеть, что 0 ≤ Φ(x, y, z) ≤ 2 и [ρ1(x,y,z) ρ2(x,y,z) ] ∈ [2; 3], следова- тельно, существуют α > 0 и x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N, z̃ = {zn}n∈N сходящиеся к p такие, что lim n→∞ Φ(xn, yn, zn) ( ρ1(xn, yn, zn) ρ2(xn, yn, zn) − 2 ) = α > 0. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можем считать lim n→∞ ( ρ1(xn, yn, zn) ρ2(xn, yn, zn) − 2 ) =: α1, lim n→∞ Φ(xn, yn, zn) =: α2, (2.2) где α1α2 = α и α1 6= 0 6= α2. Заметим, что, по крайней мере, одно из равенств F (xn, yn) = Φ(xn, yn, zn), F (yn, zn) = Φ(xn, yn, zn), F (zn, xn) = Φ(xn, yn, zn) имеет место бесконечное число раз. Предположим этим свойством обладает равенство F (xn, yn) = Φ(xn, yn, zn), (2.3) чего всегда можно добиться, переименовав переменные. Ещё раз пе- реходя к подпоследовательности, считаем, что (2.2) выполнено при всех n ∈ N. Теперь (2.3) и второе равенство в (2.2) дают lim n→∞ F (xn, yn) = lim n→∞ d(xn, yn)(d(xn, p) ∧ d(yn, p)) (d(xn, p) ∨ d(yn, p))2 = α2 ∈ (0, 2]. (2.4) В. В. Билет, А. А. Довгошей 499 Выберем из пары xn, yn ту переменную (допустим xn), для которой бесконечное число раз достигается максимум из d(xn, p) и d(yn, p) d(xn, p) = d(xn, p) ∨ d(yn, p). (2.5) Как и раньше считаем, что последнее равенство верно для всех n ∈ N. Отметим, что (2.5) и условие α2 ∈ (0, 2] приводят к d(xn, p) 6= 0 при достаточно больших n. Положим rn := d(xn, p) ∨ d(zn, p) при всех n ∈ N. (2.6) Ещё раз переходя к подпоследовательности, считаем rn > 0 для всех n. Рассмотрим величины d(xn, p) rn , d(yn, p) rn , d(zn, p) rn , d(xn, yn) rn , d(xn, zn) rn , d(yn, zn) rn . (2.7) В силу неравенства треугольника и (2.6) они равномерно ограничены. Из ограниченности величин (2.7) следует ограниченность ρ1(xn,yn,zn) rn и ρ2(xn,yn,zn) rn , а значит существует возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}k∈N, для которой пределы lim k→∞ d(xnk , p) rnk , lim k→∞ d(ynk , p) rnk , lim k→∞ d(znk , p) rnk lim k→∞ d(xnk , ynk ) rnk , lim k→∞ d(xnk , znk ) rnk , lim k→∞ d(ynk , znk ) rnk и ρ̃1(x̃, ỹ, z̃) := lim k→∞ ρ1(xnk , ynk , znk ) rnk , ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) := lim k→∞ ρ2(xnk , ynk , znk ) rnk существуют и конечны. Переходя к подпоследовательности можем считать, что r̃ := = {rn}n∈N = {rnk }k∈N. Покажем, что ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) 6= 0. Действительно, если ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) = 0, то очевидно, что d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃r̃(ỹ, z̃) = d̃r̃(x̃, z̃) = 0. Пусть в формуле (2.6) rn = d(xn, p) на бесконечном подмножестве из N. Тогда из (2.4) следует, что lim n→∞ d(xn, yn)(d(xn, p) ∧ d(yn, p)) (d(xn, p) ∨ d(yn, p))2 = lim n→∞ d(xn, yn)d(yn, p) (d(xn, p))2 = d̃r̃(x̃, ỹ)d̃r̃(ỹ, p̃) = α2, 500 Отношение “лежать между”... где α2 6= 0. А значит d̃(x̃, ỹ) 6= 0. Теперь рассмотрим случай rn = d(zn, p). Так как d(zn, p) ≤ d(zn, xn) + d(xn, p), то либо d̃(z̃, x̃) 6= 0, либо d̃(x̃, p̃) 6= 0. В первом случае ρ̃1(x̃, ỹ, z̃) 6= 0, поэтому считаем d̃(x̃, p̃) 6= 0. Из неравенства треугольника d(xn, p) ≤ d(xn, yn) + d(yn, p) сле- дует d̃(ỹ, p̃) > 0 или d̃(x̃, ỹ) > 0. Если верно последнее неравен- ство, то всё доказано. Поэтому предполагаем d̃(ỹ, p̃) > 0. То есть верно неравенство 0 < d̃(ỹ, p̃) ≤ d̃(x̃, p̃) ≤ d̃(z̃, p̃). Далее, так как d̃(ỹ, z̃) ≥ d̃(z̃, p̃) − d̃(ỹ, p̃), можем считать 0 < d̃(ỹ, p̃) = d̃(x̃, p̃) = d̃(z̃, p̃) = 1. Теперь, в силу (2.4) выполняется d̃(x̃, ỹ) = α2 > 0, а значит ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) > 0. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, содержа- щее x̃, ỹ, z̃ и пусть Ωp,r̃ — метрическая идентификация пространства (X̃p,r̃, d̃). Так как Ωp,r̃ ∈ M, то ρ̃1(x̃, ỹ, z̃) ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) = 2. (2.8) Но в силу (2.2) и определения функций ρ1(x, y, z) и ρ2(x, y, z) ρ̃1(x̃, ỹ, z̃) ρ̃2(x̃, ỹ, z̃) = lim n→∞ ρ1(xn, yn, zn) ρ2(xn, yn, zn) = 2 + α1 > 2, что противоречит (2.8). Нетрудно проверить, что необходимость (2.1) может быть совер- шенно аналогично установлена и тогда, когда в правой части (2.5) стоит d(yn, p). Предположим, что (2.1) выполняется и докажем Ω X p ⊆ M. Доказывать будем от противного. Допустим, что существует пред- касательное пространство ΩX p,r̃ 6∈ M. Тогда cardΩX p,r̃ ≥ 3, а значит найдутся последовательности x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N такие, что величины d̃(x̃, p̃) = lim n→∞ d(xn, p) rn , d̃(ỹ, p̃) = lim n→∞ d(yn, p) rn , d̃(x̃, ỹ) = lim n→∞ d(xn, yn) rn (2.9) конечны и положительны. Действительно, так как ΩX p,r̃ 6∈ M, то су- ществуют точки β, γ, δ ∈ ΩX p,r̃ для которых 2(ρ(β, γ) ∨ ρ(γ, δ) ∨ ρ(δ, β)) < ρ(β, γ) + ρ(γ, δ) + ρ(δ, β). (2.10) В. В. Билет, А. А. Довгошей 501 Заметим, что последнее неравенство возможно только при попарно различных β, γ, δ. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное се- мейство с метрической идентификацией ΩX p,r̃ и π : X̃p,r̃ → ΩX p,r̃ — естественная проекция. Положим α = π(p̃), то есть α — точка ΩX p,r̃, со- ответствующая постоянной последовательности p̃ = (p, p, . . . ) ∈ X̃p,r̃. Так как точки β, γ, δ попарно различны, то, по крайней мере, две из них отличны от α. Полагаем β 6= α 6= γ. (2.11) Пусть x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N, z̃ = {zn}n∈N — точки из X̃p,r̃ такие, что β = π(x̃), γ = π(ỹ), δ = π(z̃). Тогда d̃(ỹ, p̃) = ρ(α, γ) > 0, d̃(x̃, p̃) = ρ(α, β) > 0 и d̃(x̃, ỹ) = ρ(β, γ) > 0, что доказывает (2.9). Рассмотрим последовательность {F (xn, yn)}n∈N, где F определена правилом (1.6). Поскольку 0 < lim n→∞ d(xn, p) ∧ d(yn, p) rn = d̃(x̃, p̃) ∧ d̃(ỹ, p̃) ≤ lim n→∞ d(xn, p) ∨ d(yn, p) rn = d̃(x̃, p̃) ∨ d̃(ỹ, p̃) < ∞, то lim n→∞ F (xn, yn) = lim n→∞ d(xn,yn) rn d(xn,p)∧d(yn,p) rn [ d(xn,p)∨d(yn,p) rn ]2 = d̃(x̃, ỹ)(d̃(x̃, p̃) ∧ d̃(ỹ, p̃)) [d̃(x̃, p̃) ∨ d̃(ỹ, p̃)]2 ∈ (0,∞). (2.12) Из определения функции Φ очевидно следует, что F (x, y) + F (y, z) + F (z, x) ≥ Φ(x, y, z) ≥ F (x, y). Таким образом, lim sup x,y,z→p Φ(x, y, z) ≥ lim n→∞ F (xn, yn) > 0. (2.13) 502 Отношение “лежать между”... Из (2.10) следует неравенство d̃(x̃, ỹ) + d̃(ỹ, z̃) + d̃(x̃, z̃) d̃(x̃, ỹ) ∨ d̃(ỹ, z̃) ∨ d̃(x̃, z̃) > 2, то есть lim n→∞ [ d(xn, yn) + d(yn, zn) + d(xn, zn) d(xn, yn) ∨ d(yn, zn) ∨ d(xn, zn) − 2 ] > 0. (2.14) Из соотношений (2.13) и (2.14) получаем: lim sup x,y,z→p Φ(x, y, z) ( ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) − 2 ) > 0, (2.15) что противоречит (2.1). Следовательно, наше предположение невер- но, т.е. Ω X p ⊆ M. Замечание 2.1. Равенство (2.1) эквивалентно тому, что функция Φ(x, y, z) ( ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) − 2 ) является непрерывной в точке (p, p, p). Приведём некоторые следствия из утверждения (i) теоремы 1.1. Следствие 2.1. Если lim supx,y,z→p Φ(x, y, z) = 0, то Ω X p ⊆ M. Следующая теорема легко получается из теоремы 2.2 работы [11] и проясняет геометрический смысл следствия 2.1. Теорема 2.1. Пусть (X, d) — метрическое пространство с отме- ченной точкой p. Неравенство card ΩX p,r̃ ≤ 2 выполняется для ка- ждого предкасательного пространства ΩX p,r̃ тогда и только тогда, когда lim sup x,y,z→p Φ(x, y, z) = 0. (2.16) Следствие 2.2. Если lim supx,y,z→p ρ1(x,y,z) ρ2(x,y,z) = 2, то Ω X p ⊆ M. Из следствия 2.2. вытекает инвариантность класса M при перехо- де от метрического пространства к его предкасательным, что уже отмечалось в замечании 1.2. Следующее утверждение показывает, что включение Ω X p ⊆ M не влечёт даже локальной, в окрестности точки p, принадлежности X к M. В. В. Билет, А. А. Довгошей 503 Утверждение 2.1. Для любого k ∈ (0, 1] существует метрическое пространство (X, d) с отмеченной точкой p ∈ X такое, что lim sup x,y,z→p ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) = k + 2, (2.17) но Ω X p ⊆ M. Доказательство. Пусть k ∈ (0, 1]. Построим метрическое пространс- тво (X, d) так, что (2.17) выполнено. Пусть r̃ = {rn}n∈N — последовательность положительных дей- ствительных чисел таких, что rn−1 > rn + rn+1 и limn→∞ rn+1 rn = 0. Рассмотрим множество X = {0} ∪ ( ⋃ n∈N {xn, yn, zn} ) (2.18) на плоскости C, где xn = rn, yn = rn + rn+1, zn = rn + rn+1 2 + i √ k 2 + k2 4 rn+1. (2.19) Рис. 1: X\{0} представляет собой объединение вершин равнобедрен- ных треугольников, сходящихся к нулю быстрее любой геометриче- ской прогрессии. Простые вычисления показывают, что \|xn − yn\| = rn+1, \|yn − zn\| = \|xn − zn\| = rn+1 2 (k + 1). (2.20) Отсюда получим ρ1(xn, yn, zn) ρ2(xn, yn, zn) = k + 2, (2.21) 504 Отношение “лежать между”... а следовательно, lim supx,y,z→0 ρ1(x,y,z) ρ2(x,y,z) ≥ k + 2. Осталось показать, что lim sup x,y,z→0 ρ1(x, y, z) ρ2(x, y, z) ≤ k + 2. (2.22) Последнее неравенство равносильно тому, что предельное множество функции ρ1 ρ2 в точке (0, 0, 0) является подмножеством сегмента [0, k + 2]. Здесь под предельным множеством мы понимаем множество всех α таких, что существует последовательность {(wm, tm, sm)}m∈N, wm, tm, sm ∈ X, сходящаяся к (0, 0, 0) для которой lim m→∞ ρ1(wm, tm, sm) ρ2(wm, tm, sm) = α. (2.23) Мы докажем, что это предельное множество состоит фактически из двух точек α = 2 и α = k+2, чего достаточно для выполнения (2.22). При доказательстве, не уменьшая общности, будем полагать d(wm, tm) ∧ d(tm, sm) ∧ d(sm, wm) > 0 (2.24) при всех достаточно больших m. Действительно, в противном случае среди трёх точек wm, tm, sm есть, по крайней мере, две совпадающие, а следовательно, ρ1(wm, tm, sm) ρ2(wm, tm, sm) = 2. Отметим, что при wm = tm = sm последнее равенство имеет место в соответствии с соглашением, принятым в теореме1.1. При вычислении предела (2.23) возможны два случая: или wm ·tm · sm 6= 0 при всех достаточно больших m, или wmj · tmj · smj = 0 для не- которой последовательности {mj}j∈N. Будем рассматривать первый случай, т.к. второй проще и может быть проанализирован аналогич- но. Каждой точке a ∈ X \ {0} соответствует натуральное число n = n(a) такое, что a ∈ {xn, yn, zn}, где точки xn, yn, zn определены в (2.19). Из условия rn−1 > rn + rn+1 и (2.19) следует, что {xn, yn, zn} ∩ {xm, ym, zm} = ∅ при m 6= n. Следовательно, отображение X \ {0} ∋ x 7−→ n(x) ∈ N определено корректно. В. В. Билет, А. А. Довгошей 505 Пусть {(wm, tm, sm)}m∈N — последовательность, сходящаяся к (0, 0, 0) и такая, что имеет место предельное соотношение (2.23). Пред- положение wm ·tm ·sm 6= 0 означает, что wm 6= 0, tm 6= 0 и sm 6= 0. Сле- довательно, при достаточно больших m определены значения n(wm), n(tm) и n(sm). В силу симметрии функций ρ1 и ρ2 будем считать, не уменьшая общности, n(wm) ≤ n(tm) ≤ n(sm) (2.25) при всех m. Если на некотором бесконечном подмножестве из N име- ем n(wm) = n(tm) = n(sm), то в силу (2.21), (2.24) и симметрии ρ1, ρ2 получаем равенство α = k + 2. Поэтому, с учётом (2.24) и (2.25), имеем n(wm) < n(sm), (2.26) начиная с некоторого m0. Последнее неравенство, определение фун- кции ρ2, соотношения (2.19) и условие limn→∞ rn+1 rn = 0 дают равен- ства lim m→∞ rn(wm) ρ2(wm, tm, sm) = 1, (2.27) lim m→∞ d(wm, sm) ρ2(wm, tm, sm) = 1. (2.28) Используя (2.27), перепишем (2.23) как lim m→∞ ρ1(wm, tm, sm) rn(wm) = α. Отсюда и из (2.28) следует, что равенство α = 2 возможно тогда и только тогда, когда lim m→∞ d(wm, tm) + d(tm, sm) rn(wm) = 1. (2.29) Докажем последнее соотношение. При доказательстве будем разли- чать два случая: или существует бесконечное A ⊆ N такое, что n(wm) = n(tm) при m ∈ A, или n(wm) < n(tm) ≤ n(sm). (2.30) Пусть имеет место первый случай. Тогда, начиная с некоторого m, считаем rn(wm) = rn(tm), и значит, lim m→∞ m∈A d(tm, sm) rn(tm) = 1 506 Отношение “лежать между”... аналогично (2.28). Последнее предельное соотношение, limn→∞ rn+1 rn = 0 и равенство rn(wm) = rn(tm) позволяют записать (2.29) в виде lim m→∞ m∈A d(wm, tm) rn(wm) = 0. (2.31) Действительно, из n(wm) = n(tm) получаем, что wm, tm ∈ {xn′ , yn′ , zn′}, где n′ = n(wm) = n(tm). Отсюда, используя (2.20) и вспоминая, что k ∈ (0, 1], имеем d(wm, tm) ≤ \|xn′ − yn′ \| ∨ \|yn′ − zn′ \| ∨ \|zn′ − xn′ \| ≤ rn′+1. Следовательно, d(wm, tm) rn(wm) ≤ rn′+1 rn′ , что и даёт (2.31). Пусть теперь (2.30) выполнено для всех достаточно больших m. В этом случае аналогично (2.28) имеем lim m→∞ d(wm, tm) rn(wm) = 1, а доказываемое соотношение (2.29) запишется как lim m→∞ d(tm, sm) rn(wm) = 0. (2.32) Для упрощения записи доказательства последнего равенства поло- жим n′ := n(wm), n′′ := n(tm), n′′′ := n(sm). Оценим d(tm, sm). Так как d(tm, sm) ≤ \|tm\|+ \|sm\|, то из n′ < n′′ ≤ n′′′, условия rn−1 > rn + rn+1, принадлежностей tm ∈ {xn′′ , yn′′ , zn′′}, sm ∈ {xn′′′ , yn′′′ , zn′′′} и (2.20) получим \|tm\| ≤ rn′′ + rn′′+1, \|sm\| ≤ rn′′′ + rn′′′+1, \|tm + sm\| ≤ 2(rn′′ + rn′′+1) ≤ 4rn′′ ≤ 4rn′+1. (2.33) Следовательно, d(tm, sm) rn(wm) ≤ 4rn′+1 rn′ , что вместе с limn→∞ rn+1 rn = 0 даёт (2.32). Равенство (2.17) доказано. В. В. Билет, А. А. Довгошей 507 Осталось проверить включение Ω X 0 ⊆ M. Очевидно достаточно установить неравенство cardΩX 0,r̃ ≤ 2 для любого предкасательного пространства ΩX 0,r̃. Известно, что последнее эквивалентно равенству lim sup x,y→0 F (x, y) = 0, (2.34) см. [11, теорема 2.2]. В нашем случае F (x, y) := { \|x−y\|(\|x\|∧\|y\|) (\|x\|∨\|y\|)2 , при (x, y) 6= (0, 0) 0, при (x, y) = (0, 0). Очевидно F (0, y) = F (x, 0) = 0. Оценим F (x, y) при x 6= 0 6= y. Полагая n′ := n(x), n′′ := n(y) и используя симметрию функции F, считаем n′ ≤ n′′. Из (2.19) и (2.20) легко получить rn′ ≤ \|x\| ≤ rn′ + rn′+1 ≤ 2rn′ , rn′′ ≤ \|y\| ≤ rn′′ + rn′′+1 ≤ 2rn′′ . (2.35) Так как n′′ ≥ n′, то rn′ ≥ rn′′ . Последнее вместе с (2.35) даёт \|x\| ∧ \|y\| (\|x\| ∨ \|y\|)2 ≤ 2rn′′ (rn′)2 . (2.36) Аналогично с учетом (2.33) получаем \|x − y\| ≤ { rn′+1, если n′ = n′′ 4rn′ , если n′ < n′′. Эта оценка и (2.36) дают F (x, y) ≤ {2rn′+1 rn′ , если n′ = n′′ 8rn′′ rn′ , если n′ < n′′. (2.37) Так как rn′′ ≤ rn′+1 при n′ < n′′, то из (2.36) и (2.37) следует F (x, y) ≤ 8rn′+1 rn′ . Вспоминая, что limn→∞ rn+1 rn = 0, получаем (2.34). 3. Птолемеевость предкасательных пространств Положим Γ(x, y, z, w) := d(x, z)d(y, w) + d(x, w)d(y, z) − d(x, y)d(z, w) (d(x, p) ∨ d(y, p) ∨ d(z, p) ∨ d(w, p))2 и Γ(p, p, p, p) := 0. 508 Отношение “лежать между”... Доказательство утверждения (ii) теоремы 1.1. Предположим, что выполнено Ω X p ⊆ P (3.1) и докажем lim inf x,y,z,w→p Γ(x, y, z, w) ≥ 0. (3.2) Выберем x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N, z̃ = {zn}n∈N, и w̃ = {wn}n∈N так, что lim n→∞ Γ(xn, yn, zn, wn) = lim inf x,y,z,w→p Γ(x, y, z, w) (3.3) и p = lim n→∞ xn = lim n→∞ yn = lim n→∞ zn = lim n→∞ wn. (3.4) Из (3.4) следует, что rn := (d(xn, p) ∨ d(yn, p) ∨ d(zn, p) ∨ d(wn, p)) → 0 при n → ∞. Если при всех достаточно больших n имеем rn = 0, то предел в (3.3) равен нулю и (3.2) доказано. Поэтому считаем rn > 0 при всех n ∈ N, чего всегда можно добиться переходя к подпоследовательности. Выберем последовательность r̃ := {rn}n∈N в качестве нормирующей. Так как 0 ≤ 1 rn max{d(xn, yn), d(xn, zn), d(xn, wn), d(yn, zn), d(yn, wn), d(zn, wn)} ≤ 2 rn max{d(xn, p), d(yn, p), d(zn, p), d(wn, p)} = 2, то ещё раз переходя к подпоследовательности, считаем, что x̃, ỹ, z̃, w̃ и p̃ — взаимностабильные последовательности. Используя определение функции Γ(x, y, z, w) и (3.3), получим lim inf x,y,z,w→p Γ(x, y, z, w) = d̃r̃(x̃, z̃)d̃r̃(ỹ, w̃) + d̃r̃(x̃, w̃)d̃r̃(ỹ, z̃) − d̃r̃(x̃, ỹ)d̃r̃(z̃, w̃). (3.5) Если X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, содержащее x̃, ỹ, z̃, w̃, p̃ и ΩX p,r̃ — его метрическая идентификация, то в силу (3.1) имеем ΩX p,r̃ ∈ P. Последнее соотношение и определение птолемеевости дают неотрицательность правой части в (3.5), что равносильно (3.2). Пусть теперь выполнено (3.2). Нужно доказать, что произвольное предкасательное пространство ΩX p,r̃ принадлежит P. В. В. Билет, А. А. Довгошей 509 Легко видеть, что любое метрическое пространство, содержащее не более трёх точек, является птолемеевым. Следовательно, можно считать card(ΩX p,r̃) ≥ 4. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, для которого ΩX p,r̃ является метрической идентификацией, β, γ, δ,∆ — различные точки из ΩX p,r̃ и x̃, ỹ, z̃, w̃ ∈ X̃p,r̃ — последова- тельности, для которых π(x̃) = β, π(ỹ) = γ, π(z̃) = δ, π(w̃) = ∆. Тогда в силу (3.2) имеем 0 ≤ lim inf x,y,z,w→p Γ(x, y, z, w) ≤ lim inf n→∞ d(xn,zn) rn d(yn,wn) rn + d(xn,wn) rn d(yn,zn) rn − d(xn,yn) rn d(zn,wn) rn ( d(xn,p) rn ∨ d(yn,p) rn ∨ d(zn,p) rn ∨ d(wn,p) rn )2 . (3.6) При n → ∞ числитель дроби в последней формуле стремится к ρ(β, δ)ρ(γ,∆) + ρ(β,∆)ρ(γ, δ) − ρ(β, γ)ρ(δ, ∆), а знаменатель — к (ρ(β, α) ∨ ρ(γ, α) ∨ ρ(δ, α) ∨ ρ(∆, α))2, где α = π(p̃). Заметим, что ρ(β, α) ∨ ρ(γ, α) ∨ ρ(δ, α) ∨ ρ(∆, α) > 0, так как β, γ, δ,∆ — различные точки ΩX p,r̃. Отсюда и из (3.6) получим ρ(β, δ)ρ(γ, δ) + ρ(β,∆)ρ(δ, γ) − ρ(β, γ)ρ(δ, ∆) ≥ 0, что в соответствии с (1.4) даёт птолемеевость пространства (ΩX p,r̃, ρ) и завершает доказательство утверждения. Замечание 3.1. Неравенство (3.2) эквивалентно тому, что функция Γ(x, y, z, w) полунепрерывна снизу в точке (p, p, p, p). Замечание 3.2. Известно, что любое предгильбертово пространство над полем действительных чисел является птолемеевым (см., напри- мер, [5, 9.7.3.8, 10.9.2]), а любое линейное нормированное или даже полунормированное, птолемеево пространство является предгильбер- товым [19]. В [15] было доказано, что метрическое пространство при- надлежит классу CAT(0) тогда и только тогда, когда оно птолемеево и выпукло в смысле Буземанна (Busemann convex). Положив d(x, y) = d(x, w) = d(y, z) = d(y, w) = d(z, w) = 1 и d(x, z) = 2, получаем пример птолемеева метрического пространства, невложи- мого в гильбертово [20]. 510 Отношение “лежать между”... 4. Критерий вложимости предкасательных пространств в R В силу утверждений (i) и (ii) теоремы 1.1, соотношения (2.1) и (3.2) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда Ω X p ⊆ M ∩ P. Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1.1 доста- точно установить следующее. Лемма 4.1. Пусть (Y, d) — метрическое пространство. Тогда Y изометрично вкладывается в R в том и только том случае, если Y принадлежит классу M и является птолемеевым. Доказательство. Пусть Y изометрично вкладывается в R. Докажем, что Y ∈ M∩P. Принадлежность Y ∈ M очевидна, так как она экви- валентна тому, что любое трёхточечное подмножество из Y изоме- трично вкладывается в R. Принадлежность Y ∈ P хорошо известна для Y ⊆ R. Элементарное доказательство “неравенства Птолемея” (1.4) на плоскости можно, например, найти в [18, c. 227, 246]. Пусть теперь Y ∈ M и является птолемеевым. Докажем, что су- ществует изометрическое вложение Y в R. В соответствии со зна- менитым результатом К. Менгера [17], любое Y из M изометрично либо некоторому подмножеству из R, либо — “псевдолинейному че- тырёхполюснику” A4(t, s), т.е. четырёхточечному метрическому про- странству {x, y, z, w}, расстояния между точками которого удовле- творяют соотношениям d(x, z) = d(y, w) = s, d(z, y) = d(w, x) = t, d(x, y) = d(z, w) = s + t, где t, s — положительные действительные числа. Осталось заметить, что пространство A4(t, s) не является птоле- меевым. Действительно, d(x, y)d(z, w) = (s + t)2, d(x, z)d(y, w) = s2, d(x, w)d(z, y) = t2, значит, d(x, y)d(z, w) − d(x, z)d(y, w) − d(x, w)d(z, y) = 2st > 0, что противоречит предположению Y ∈ P, см. (1.4). Следовательно, Y вкладывается в R. В. В. Билет, А. А. Довгошей 511 Замечание 4.1. A4(t, s) может быть реализовано как пространство, состоящее из четырёх диаметрально противоположных точек окру- жности с расстоянием, равным длине меньшей из двух дуг, соединя- ющих точки. Замечание 4.2. Если X — дискретное метрическое пространство, то все предкасательные к X пространства являются одноточечными, а значит изометрически вкладываются в R. Этот пример показывает, в частности, что вложимость в R всех ΩX p,r̃ не влечёт вложимости в R самого X. Псевдолинейный четырёхполюсник A4(t, s) дает пример не птолемеева пространства, предкасательные к которому являются птолемеевыми. На этом пути можно получить для птолемеевых про- странств аналог утверждения 2.1, но для этого необходимо ввести подходящую “меру нептолемеевости”. Интересно отметить, что рав- носторонний псевдолинейный четырёхполюсник A4(t, t) есть, в опре- делённом смысле, максимально не птолемеево пространство [13]. Литература [1] F. Abdullayev, O. Dovgoshey, M. Küçüaslan, Compactness and boundedness of tangent spaces to metric spaces // Beiträge Algebra Geom., 51 (2010), No. 2, 547–576. [2] F. Abdullayev, O. Dovgoshey, M. Küçüaslan, Metric spaces with unique pretangent spaces. Conditions of the uniqueness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 36 (2011), No. 2, 353–392. [3] L. Ambrosio, B. Kircheim, Currents in metric spaces // Acta Math., 185 (2000), 1–80. [4] L. Ambrosio, B. Kircheim, Rectifiable sets in metric and Banach spaces // Math. Ann., 318 (2000), 527–555. [5] М. Берже, Геометрия, Т. 1. М.: Мир, 1984. [6] L. M. Blumenthal, Theory and Applications of Distance Geometry, Clarendon Press, Oxford, 1953. [7] M. Bridson, A. Haefliger, Metric Spaces of Non-positive Curvature, Springer- Verlag, Berlin, 1999. [8] O. Dovgoshey, Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces // Ukr. Mat. Visn., 5 (2008), No. 4, 470–487. [9] O. Dovgoshey, D. Dordovskyi, Ultrametricity and metric betweenness in tangent spaces to metric spaces // P-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2 (2010), No. 2, 100–113. [10] А. А. Довгошей, Д. В. Дордовский, Отношение “лежать между” и изоме- трические вложения метрических пространств // Укр. Мат. Журнал, 61 (2009), No. 10, 1319–1328. [11] O. Dovgoshey, O. Martio, Tangent spaces to metric spaces // Reports in Math. Helsinki Univ., 480 (2008), 20 p. 512 Отношение “лежать между”... [12] O. Dovgoshey, O. Martio, Tangent spaces to the general metric spaces // Rev. Roumaine Math. Pures. Appl., 56 (2011), No. 2, 137–155. [13] А. А. Довгошей, Е. А. Петров, Птолемеевы пространства // Сиб. Мат. Жур- нал, 52 (2011), No. 2, 283–291. [14] Д. В. Дордовский, Метрические касательные к евклидовым пространс- твам // Укр. Мат. Вiсн., 8 (2011), No. 2, 159–181. [15] T. Foertsch, A. Lytchak, V. Schroeder, Non-positive curvature and the Ptolemy inequality // Int. Math. Res. Notice, 2007 (2007), 12 p. [16] A. Lytchak, Differentiation in metric spaces // Алгебра и анализ, 16 (2004), 128–161. [17] K. Menger, Untersuchungen über allgemeine Metrik. I-III // Math. Ann., 100 (1928), 75–163. [18] В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии. Часть I, М.: МЦНМО, 2006. [19] I. J. Schoenberg, A Remark on M. M. Day’s Characterization of Inner-Product Spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal // Proc. Amer. Soc., 3 (1952), No. 6, 961–964. [20] I. J. Schoenberg, On metric arcs of vanishing Menger curvature // Ann. of Math., 41(2) (1940), 719–723. Сведения об авторах Виктория Викторовна Билет, Алексей Альфредович Довгошей Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Розы Люксембург 74 Донецк, 83114 Украина E-Mail: biletvictoriya@mail.ru, aleksdov@mail.ru

Отношение "лежать между", птолемеевы пространства и изометрические вложения предкасательных пространств в R

Institution

Ähnliche Einträge