К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами
Построены вариационные формулы в классах регулярных решений вырожденного уравнения Бельтрами с ограничениями интегрального и теоретико-множественного типа на комплексный коэффициент. На этой основе, для широкого круга дифференцируемых по Гато функционалов доказаны вариационные принципы максимума и д...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124433 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами / В.Я. Гутлянский, Т.В. Ломако, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 513-536. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124433 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244332017-09-27T03:02:55Z К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами Гутлянский, В.Я. Ломако, Т.В. Рязанов, В.И. Построены вариационные формулы в классах регулярных решений вырожденного уравнения Бельтрами с ограничениями интегрального и теоретико-множественного типа на комплексный коэффициент. На этой основе, для широкого круга дифференцируемых по Гато функционалов доказаны вариационные принципы максимума и другие необходимые условия экстремума. Вариационным методом решена задача о представлении слабых решений обобщенной системы Коши–Римана с логарифмическими особенностями и вырождением условия строгой эллиптичности через регулярные решения уравнения Бельтрами. 2011 Article К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами / В.Я. Гутлянский, Т.В. Ломако, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 513-536. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C65, 30C75. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124433 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построены вариационные формулы в классах регулярных решений вырожденного уравнения Бельтрами с ограничениями интегрального и теоретико-множественного типа на комплексный коэффициент. На этой основе, для широкого круга дифференцируемых по Гато функционалов доказаны вариационные принципы максимума и другие необходимые условия экстремума. Вариационным методом решена задача о представлении слабых решений обобщенной системы Коши–Римана с логарифмическими особенностями и вырождением условия строгой эллиптичности через регулярные решения уравнения Бельтрами. |
| format |
Article |
| author |
Гутлянский, В.Я. Ломако, Т.В. Рязанов, В.И. |
| spellingShingle |
Гутлянский, В.Я. Ломако, Т.В. Рязанов, В.И. К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами Український математичний вісник |
| author_facet |
Гутлянский, В.Я. Ломако, Т.В. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Гутлянский, В.Я. |
| title |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами |
| title_short |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами |
| title_full |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами |
| title_fullStr |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами |
| title_sort |
к теории вариационного метода для уравнений бельтрами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124433 |
| citation_txt |
К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами / В.Я. Гутлянский, Т.В. Ломако, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 513-536. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT gutlânskijvâ kteoriivariacionnogometodadlâuravnenijbelʹtrami AT lomakotv kteoriivariacionnogometodadlâuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi kteoriivariacionnogometodadlâuravnenijbelʹtrami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:25:49Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:25:49Z |
| _version_ |
1837130684497395712 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 4, 513 – 536
К теории вариационного метода
для уравнений Бельтрами
Владимир Я. Гутлянский, Татьяна В. Ломако,
Владимир И. Рязанов
Аннотация. Построены вариационные формулы в классах регу-
лярных решений вырожденного уравнения Бельтрами с ограниче-
ниями интегрального и теоретико-множественного типа на компле-
ксный коэффициент. На этой основе, для широкого круга дифферен-
цируемых по Гато функционалов доказаны вариационные принципы
максимума и другие необходимые условия экстремума. Вариацион-
ным методом решена задача о представлении слабых решений обоб-
щенной системы Коши–Римана с логарифмическими особенностями
и вырождением условия строгой эллиптичности через регулярные
решения уравнения Бельтрами.
2010 MSC. 30C65, 30C75.
Ключевые слова и фразы. Уравнения Бельтрами, вариация, ре-
гулярные решения, классы Соболева, необходимые условия экстре-
мума.
1. Введение
Пусть D — область в комплексной плоскости C и C = C∪ {∞}. В
области D рассмотрим уравнение Бельтрами
fz = µ(z) · fz, (1.1)
с комплексным измеримым коэффициентом µ(z) : D → C, удовлетво-
ряющим условию эллиптичности |µ(z)| < 1 почти всюду в D. Здесь,
как обычно, fz = ∂f = (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+iy,
fx и fy — частные производные отображения f по x и y, соответствен-
но. Всюду ниже
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1 − |µ(z)|
. (1.2)
Статья поступила в редакцию 06.08.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
514 К теории вариационного метода...
Заметим, что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f :
D → C класса W 1, 1
loc удовлетворяет уравнению Бельтрами с µ = µf ,
где п.в. µf = fz/fz при fz 6= 0 и µf = 0 при fz = 0. В этом слу-
чае функцию µf принято называть комплексной характеристикой, а
Kµf
— дилатацией отображения f .
Отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈
D, если f в этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан
Jf (z) = |fz|
2 − |fz|
2 6= 0 (см., напр., I.1.6 в [20]). В дальнейшем го-
меоморфизм f класса W 1, 1
loc называется регулярным, если Jf (z) > 0
п.в. Наконец, регулярным решением уравнения Бельтрами (1.1) в D
называется регулярный гомеоморфизм, который удовлетворяет (1.1)
п.в. в D. Понятие регулярного решения впервые введено в работе [4].
Вариационный метод исследования экстремальных задач для ква-
зиконформных отображений был впервые применен Белинским П. П.
(см. [3]). Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах
Крушкаля С. Л., Кюнау Р., Ренельта Г., Шиффера М., Шобера Г. и
др. При построении вариаций в классах регулярных решений выро-
жденного уравнения Бельтрами с ограничениями интегрального и
теоретико-множественного типа на комплексный коэффициент мы
будем придерживаться подхода, предложенного в работах [10–13, 15,
16,30]). Упомянутый подход к построению вариаций использует выпу-
клость множества комплексных коэффициентов, что оказалось об-
щим свойством компактных классов регулярных решений уравне-
ния Бельтрами. Критерии существования и компактности классов
регулярных решений и дальнейшие ссылки можно найти в работах
[4, 5, 16–18,21,22,24,28–31].
Всюду далее D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}, D(r) = D(0, r),
D = D(0, 1), dist (E, F ) = supx∈E, y∈F |x− y| — евклидово расстояние
между множествами E и F в C, mesE — мера Лебега множества E ⊂
C, dm(z) отвечает мере Лебега в C, а через dS(z) =
(
1 + |z|2
)−2
dm(z)
обозначается элемент сферической площади в C.
2. К теории композиционных операторов
Пусть D — область в R
n. Напомним, что пространство Соболева
L1
p(D), p ≥ 1, состоит из локально интегрируемых функций ϕ : D →
R с обобщенными производными и полунормой
‖ϕ‖L1
p(D) = ‖ ▽ ϕ‖Lp(D) =
(
∫
D
| ▽ ϕ|p dm
)1/p
<∞, (2.1)
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 515
где m — мера Лебега в R
n, ▽ϕ — обобщенный градиент функции ϕ,
▽ϕ =
(
∂ϕ
∂x1
, . . . , ∂ϕ
∂xn
)
, x = (x1, . . . , xn), определяемый условиями
∫
D
ϕ ·
∂η
∂xi
dm = −
∫
D
∂ϕ
∂xi
· η dm ∀ η ∈ C∞
0 (D), i = 1, 2, . . . , n. (2.2)
Здесь через C∞
0 (D) обозначается пространство всех бесконечно глад-
ких функций с компактным носителем в D. Аналогично говорят, что
вектор-функция принадлежит классу Соболева L1
p(D), если каждая
ее координатная функция принадлежит L1
p(D). Классы W 1,p(D) =
L1
p(D) ∩ Lp(D) отличаются только нормой ‖ϕ‖W 1,p(D) = ‖ϕ‖Lp(D) +
‖ ▽ ϕ‖Lp(D). Известен следующий факт (см. [7] и [33]).
Лемма 2.1. Пусть f — гомеоморфизм между областями D и D′ в
R
n. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) композиция f∗ϕ = ϕ ◦ f порождает ограниченный оператор
f∗ : L1
p(D
′) → L1
q(D), 1 ≤ q ≤ p <∞, (2.3)
2) отображение f принадлежит классу W 1,1
loc (D) и функция
Kp(x, f) := inf
{
k(x) : |Df |(x) ≤ k(x)|Jf (x)|
1
p
}
(2.4)
принадлежит Lr(D), где r определяется из равенства 1
r = 1
q −
1
p .
Отсюда, в частности, при n = 2, p = 2 и q = 1 имеем:
Предложение 2.1. Пусть f — сохраняющий ориентацию гомео-
морфизм между областями D и D′ в C класса W 1,1
loc с Kµf
∈ L1
loc.
Тогда g ◦ f ∈W 1,1
loc для любого отображения g : D′ → C класса W 1,2
loc .
Как хорошо известно, любое квазиконформное отображение g в
C принадлежит классу W 1,2
loc (см., напр., теорему IV.1.2 в [20]).
Следствие 2.1. Для любого сохраняющего ориентацию гомеомор-
физма f : D → D′ класса W 1,1
loc с Kµf
∈ L1
loc и квазиконформного
отображения g : C → C, композиция g ◦ f принадлежит W 1,1
loc .
Совершенно аналогично теореме 5.4.6 в [9, c. 244], доказывается:
Лемма 2.2. Пусть f — гомеоморфизм между областями D и D′ в
R
n, композиционный оператор f∗ : L1
p(D
′) → L1
q(D), 1 ≤ q ≤ p < ∞,
ограничен и f обладает N−1-свойством. Тогда, для g ∈ L1
p(D
′), п.в.
∂(g ◦ f)
∂xi
(x) =
n
∑
k=1
∂g
∂yk
(f(x)) ·
∂fk
∂xi
(x), i = 1, . . . , n. (2.5)
516 К теории вариационного метода...
Комбинируя леммы 2.1 и 2.2, аналогично IC(1) в [1], получаем.
Предложение 2.2. Пусть f — сохраняющий ориентацию регуляр-
ный гомеоморфизм между областями D и D′ в C с Kµf
∈ L1
loc. Тогда,
для g ∈W 1,2
loc , п.в.
(g◦f)z = (gw◦f)fz +(gw◦f)fz, (g◦f)z = (gw◦f)fz +(gw◦f)fz. (2.6)
Следствие 2.2. В частности, формулы (2.6) имеют место для
квазиконформных отображений g.
3. Построение вариаций
Теорема 3.1. Пусть M выпуклый класс измеримых функций µ(z) :
C → D и пусть H — класс всех регулярных решений f : C → C
уравнения Бельтрами (1.1) с комплексными коэффициентами из M
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞. Далее, пусть µ0 ∈
M — характеристика f ∈ H с Kµ0
∈ L1
loc, а ν ∈ M такова, что
κ = (ν − µ0)/(1 − |µ0|
2) (3.1)
принадлежит открытому единичному шару в L∞(C). Тогда суще-
ствует вариация fε, ε ∈ [0, 1/2], отображения f в классе H c ком-
плексными коэффициентами
µε = µ0 + ε(ν − µ0) = (1 − ε)µ0 + εν, ε ∈ [0, 1/2], (3.2)
такая, что
fε(ζ) = f(ζ)−
ε
π
∫
C
(ν(z)−µ0(z))ϕ(f(z), f(ζ)) f2
z dm(z)+o(ε, ζ), (3.3)
где o(ε, ζ)/ε→ 0 локально равномерно относительно ζ ∈ C и
ϕ(w, w′) =
1
w − w′
·
w′
w
·
w′ − 1
w − 1
. (3.4)
Доказательство. Обозначим через B (борелево) множество всех z ∈
C, где отображение f имеет полный дифференциал и Jf (z) 6= 0. То-
гда по определению класса H и по теореме Меньшова mes{C\B} = 0
(см. [25]). Кроме того, по лемме 3.2.2 в [34] множество B можно ра-
збить на счетное число (борелевских) множеств Bl, на каждом из
которых отображение f является билипшицевым. По теореме Кирс-
брауна (см., напр., теорему 2.10.43 в [34]) сужения f |Bl
допускают
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 517
продолжение до липшицевых отображений C. Таким образом, f обла-
дает (N)-свойством на множестве B и мы можем делать замену пе-
ременных под интегралом (см., напр., теорему 3.2.5 в [34]). Пусть
κε =
εκ
1 − εκµ0
= εκ
∞
∑
n=0
(εκ µ0)
n , ε ∈ [0, 1]. (3.5)
Поскольку по условию ‖κ‖∞ = k < 1, то при ε ∈ [0, 1/2] ‖κε‖∞ ≤
εk/(1 − εk) ≤ k/(2 − k) = q < 1. Далее, пусть
γε(w) :=
{
(
κε ·
fz
fz
)
◦ f−1(w), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B).
(3.6)
Без ограничения общности можем считать, что |κ(z)| ≤ k и |κε(z)| ≤
q для всех z ∈ C и, таким образом, γε(z) ≤ q также для всех z ∈ C.
Кроме того, поскольку mes{C \B} = 0,
п.в. γε ◦ f = κε · fz/fz (3.7)
Рассмотрим семейство Q-квазиконформных (Q=(1 + q)/(1 − q))
отображений gε : C → C, ε ∈ [0, 1/2], с комплексными характеристи-
ками γε, ε ∈ [0, 1/2], и нормировками gε(0) = 0, gε(1) = 1 и gε(∞) = ∞
(см., напр., теорему V.3 в [1]). По теореме V.5 в [1]:
gε(w
′) = w′ −
ε
π
∫
f(B)
γ(w)ϕ(w, w′) dm(w) + o(ε, w′), (3.8)
где o(ε, w′)/ε→ 0 при ε→ 0 локально равномерно по w′ ∈ C и
γ(w) =
{
(
κ · fz
fz
)
◦ f−1(w), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B).
(3.9)
Теперь рассмотрим семейство отображений fε = gε◦f , ε ∈ [0, 1/2].
Покажем, что fε ∈ H. Во-первых, по следствию 2.1, fε ∈W 1, 1
loc . Далее,
заметим, что регулярный гомеоморфизм f обладает N−1-свойством
по теореме Пономарева (см. [26]). Поэтому, аналогично IC(6) в [1],
поскольку Jf (z) 6= 0 п.в. и fz 6= 0 п.в., получаем, что п.в.
µgε ◦ f =
fz
fz
·
µfε
− µf
1 − µf · µfε
. (3.10)
Здесь мы воспользовались (2.6) (см. следствие 2.2). Разрешая (3.10)
относительно µfε
, заключаем, что п.в.
µfε
=
µgε ◦ f + fz
fz
· µf
fz
fz
+ µf · µgε ◦ f
=
µ0 + fz
fz
· γε ◦ f
1 + µ0 ·
fz
fz
· γε ◦ f
. (3.11)
518 К теории вариационного метода...
Подставляя в (3.11) выражения из (3.5) и (3.7), имеем п.в.
µfε
=
µ0 + κε
1 + µ0κε
=
µ0 + εκ
1−εκµ0
1 + µ0 ·
εκ
1−εκµ0
= µ0 + εκ
(
1 − |µ0|
2
)
. (3.12)
Из (3.12) и (3.1) получаем, что µfε
= µε, где µε задано в (3.2). Таким
образом, µfε
∈ M, ε ∈ [0, 1/2], ввиду выпуклости M.
Заметим, что гомеоморфизм fε является регулярным при любом
ε ∈ [0, 1/2]. Действительно, допустим, что fε не регулярен при не-
котором ε ∈ [0, 1/2]. Поскольку |µfε
| < 1 п.в., это бы означало,
что (fε)z = 0 = (fε)z на некотором множестве E ⊆ C положитель-
ной меры, где отображение fε дифференцируемо, а f регулярно. То-
гда аналогично IC(2) в [1], получаем, что всюду на E: (gε)w ◦ f =
[
(fε)zfz − (fε)z fz
]
/Jf = 0 (см. предложение 2.2). Однако, множе-
ство E := f(E) имеет нулевую меру, поскольку gε — квазиконформ-
ное отображение. Таким образом, мы приходим к противоречию с
N−1-свойством отображения f (см. [26]). Следовательно, fε ∈ H,
ε ∈ [0, 1/2].
Наконец, после замен переменных в (3.8), приходим к (3.3), по-
скольку mes{C \B} = 0.
Ядро (3.4) из вариационной формулы (3.3) принято называть ва-
риационной производной в классе гомеоморфизмов f : C → C с нор-
мировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞ (см. [37]).
Замечание 3.1. Вариационные производные для других нормиро-
вок можно найти, напр., в [3, с. 60–74] и [19, с. 40–45, 96, 101]. Наи-
более простую вариационную производную имеет нормировка вида
f(z) = z + o(1), где o(1) → 0 при z → ∞ для отображений, характе-
ристика которых равна нулю в окрестности ∞ (см., напр., [2]):
ϕ(w, w′) =
1
(w − w′)
. (3.13)
4. О классах отображений с ограничениями
теоретико-множественного типа
Функция f : D → C называется абсолютно непрерывной на ли-
ниях, пишут f ∈ ACL, если для любого замкнутого прямоугольни-
ка R в D, стороны которого параллельны координатным осям, f |R
является абсолютно непрерывной на почти всех линейных сегмен-
тах в R, параллельных сторонам R (см., напр., [1, c. 27]). Пусть
Q(z) : D → [1,∞] — измеримая функция. Сохраняющий ориентацию
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 519
гомеоморфизм f : D → C класса ACL называется Q(z)-квазикон-
формным (Q(z)-к.к.) отображением, если Kµf
(z) ≤ Q(z) п.в.
В работах Андриян-Казаку К., Волковыского Л .И., Гутлянско-
го В. Я., Иоффе М. С., Крушкаля С. Л., Кюнау Р., Летинена М.,
Ренельта Г., Тейхмюллера О., Шиффера М., Шобера Г. и других
авторов исследовались классы Q(z)-к.к. отображений, для которых
µ(z) ∈ ∆q(z) п.в., где ∆q(z) = {ν ∈ C : |ν| ≤ q(z)}, q(z) = (Q(z) − 1) /
(Q(z) + 1) , а также классы с дополнительными ограничениями вида
F(µ(z), z) ≤ 0 п.в., где F(µ, z) : C×C → R. Наконец, одна из постано-
вок Шиффера М. – Шобера Г. [37] привела к рассмотрению классов
с ограничениями общего теоретико-множественного вида:
µ(z) ∈M(z) ⊆ ∆q(z) п.в. (4.1)
Однако, это развитие долгое время происходило в рамках Q-к.к. ото-
бражений, поскольку предполагалось, что Q ∈ L∞.
Обозначим через MM класс всех измеримых функций, удовлетво-
ряющих условию (4.1), где, вообще говоря, Q /∈ L∞. Через H∗
M обо-
значим совокупность всех регулярных гомеоморфизмов f : C → C с
комплексными характеристиками из MM и нормировками f(0) = 0,
f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Говорят, что семейство компактных множеств в M(z) ⊆ D, z ∈ C,
измеримо по параметру z, если для любого замкнутого множества
M0 ⊆ C множество E0 = {z ∈ C : M(z) ⊆M0} измеримо по Лебегу.
4.1. Вариационный принцип максимума
Функционал Ω : H → R именуется дифференцируемым по Гато,
если
Ω(fε) = Ω(f) + εRe
∫
C
g dκ + o(ε) (4.2)
для любой вариации fε = f + εg + o(ε) в классе H, где κ = κf —
некоторая конечная комплексная борелевская мера (Радона) с ком-
пактным носителем и o(ε)/ε → 0 при ε → 0 локально равномерно в
C (см. [38, с. 138–139]). Другими словами, существует непрерывный
и линейный по первой переменной функционал L(g; f) такой, что
Ω(fε) = Ω(f) + εReL(g; f) + o(ε) . (4.3)
Говорим, что Ω дифференцируем по Гато без вырождения на клас-
се H, если функция ϕ(w, f(ζ)) локально интегрируема для любого
520 К теории вариационного метода...
f ∈ H относительно произведения мер dm(w) ⊗ dκ(ζ), где ϕ — вари-
ационная производная в классе H и
A(w) :=
1
π
∫
C
ϕ(w, f(ζ)) dκ(ζ) 6= 0 для п.в. w ∈ C. (4.4)
Теорема 4.1. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных выпу-
клых множеств в D, измеримое по параметру z, такое что QM ∈
L1
loc и пусть функционал Ω : H∗
M → R дифференцируем по Гато
без вырождения. Если на отображении f ∈ H∗
M достигается max Ω
по классу H∗
M , то его комплексная характеристика удовлетворяет
включению µ(z) ∈ ∂M(z) для п.в. z ∈ C.
Доказательство. Поскольку µ ∈ MM , без ограничения общности
считаем, что µ(z) ∈ M(z) для всех z ∈ C. Допустим, что множе-
ство E = {z ∈ C : µ(z) 6∈ ∂M(z)} имеет положительную меру Лебега.
Пусть Em = {z ∈ C : QM (z) ≤ m}, m = 1, 2, . . . , χ, χm, χz0,r — ха-
рактеристические функции множеств E, Em, D(z0, r), z0 ∈ C, r > 0,
соответственно. Далее, пусть αn, n = 1, 2, . . . , — перенумерация всех
рациональных чисел из [0, 2π) и ρn(z), n = 1, 2, . . . , — расстояния от
µ(z) до точек пересечения лучей µ(z) + teiαn , t > 0, c ∂M(z).
Покажем, что функции ρn(z), n = 1, 2, . . . , являются измеримыми
по z. Действительно, пусть Λn(z) = {ν ∈ C : ν = µ(z) + teiαn , 0 ≤
t ≤ 2} — отрезок луча, исходящего из точки µ(z) в направлении
eiαn длины 2. Измеримость семейств множеств Λn(z) по z следует,
напр., из предложения 3.1 в [29] и общих свойств элементарных опе-
раций над измеримыми функциями (см., напр., [32, c. 29–31]). Следо-
вательно, измеримы также семейства множеств Mn(z) = M(z)∩Λn(z)
и {ηn(z)} = ∂D ∩ Λn(z), где ∂D = {η ∈ C : |η| = 1} — едини-
чная окружность (см. лемму 3.3 в [29]). Таким образом, функции
ηn(z), n = 1, 2, . . . , измеримы. По предложению 3.1 в [29] измеримы
также функции расстояния rn(z) = minν∈Mn(z) |ν−ηn(z)|. После этого
остается заметить, что ρn(z) = |µ(z) − ηn(z)| − rn(z).
Рассмотрим функции µn(z) = µ(z) + ρn(z)eiαn . По построению
µn ∈ MM . Поскольку множества M(z) выпуклы, то функции νn(z) :=
µ(z) + λ(z)(µn(z) − µ(z)) = (1 − λ(z))µ(z) + λ(z)µn(z) также при-
надлежат классу MM для произвольной измеримой функции λ(z) :
C → [0, 1]. В частности, классу MM принадлежат функции νm,n
z0,r (z) :=
µ(z)+λm(z)χz0,r(z)(µn(z)−µ(z)), где λm(z)= χ(z)χm(z)(1−|µ(z)|2)/2.
Заметим, что |µn(z) − µ(z)| = ρn(z) ≤ 2qM (z) и
κ
m,n
z0,r (z) :=
νm,n
z0,r (z) − µ(z)
1 − |µ(z)|2
=
µn(z) − µ(z)
2
χ(z)χm(z)χz0,r(z)
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 521
принадлежат шару радиуса qm := (m− 1)/(m+ 1) < 1 в L∞(C).
Применяя вариацию теоремы 3.1 с ν = νm,n
z0,r , получаем, что
Re
∫
C
[
∫
|z−z0|≤r
ϕm,n(z, ζ) dm(z)
]
dκ(ζ) ≥ 0, (4.5)
где ϕm,n(z, ζ) = λm(z)(µn(z) − µ(z))f2
zϕ(f(z), f(ζ)). Пусть
ψm,n
z0,r (w, ζ) =
{
(
κ
m,n
z0,r · fz
fz
)
◦ f−1(w) ϕ(w, f(ζ)), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B),
где B обозначает (борелево) множество всех точек плоскости C, где
f имеет полный дифференциал и Jf (z) 6= 0. ψm,n
z0,r (w, ζ) интегрируе-
мы относительно произведения мер dm(w) ⊗ dκ(ζ) (см. [6, с. 215]).
Заметим, что Jf−1(w) =
[
Jf
(
f−1(w)
)]−1
=
[
(1 − |µ|2)f2
z
]−1 (
f−1(w)
)
для w ∈ f(B) (ср. IC(3) в [1]). Кроме того, регулярный гомеомор-
физм f обладает N−1-свойством и после замены переменной (см.
леммы III.2.1 и III.3.2 в [20]) получаем, что функция ϕm,n(z, ζ) инте-
грируема относительно произведения мер dm(z)⊗dκ(ζ), и по теореме
Лебега–Фубини (см. [6, с. 353]) из (4.5) заключаем, что
∫
|z−z0|≤r
[
Re
∫
C
ϕmn(z, ζ) dκ(ζ)
]
dm(z) ≥ 0.
По теореме Лебега о дифференцировании неопределенного инте-
грала (см. [32, c. 180]) имеем неравенства λm(z)Re(µn(z)−µ(z))B(z)≥
0 для п.в. z ∈ C, m, n = 1, 2, . . . , где B(z) = A(f(z))f2
z и A(w) за-
дано в (4.4). Поэтому, ρn(z)ReB(z)eiαn ≥ 0 для п.в. z ∈ E ∩ Em,
n = 1, 2, . . . . Поскольку же Em, m = 1, 2, . . . , образуют исчерпа-
ние плоскости C по мере, то последнее имеет место для п.в. z ∈ C.
С другой стороны, ρn(z) > 0, n = 1, 2, . . . , на E и, таким обра-
зом, это равносильно неравенствам ReB(z)eiαn ≥ 0 для п.в. z ∈ E,
n = 1, 2, . . . . В силу произвола αn, n = 1, 2, . . . , отсюда имеем, что
ReB(z)eiα ≥ 0 ∀α ∈ [0, 2π) для п.в. z ∈ E. В частности, при α = 0
и α = π получаем: ±ReB(z) ≥ 0, т.е. ReB(z) = 0, а при α = π/2 и
α = 3π/2: ± ImB(z) ≥ 0, т.е. ImB(z) = 0. Таким образом, B(z) = 0
для п.в. z ∈ E. Однако это невозможно, т.к. A(w) 6= 0 п.в., f обладает
N−1-свойством и fz 6= 0 п.в. Полученное противоречие и показывает,
что mesE = 0, т.е. µ(z) ∈ ∂M(z) п.в.
522 К теории вариационного метода...
4.2. Другие необходимые условия экстремума
Для формулировки необходимых условий экстремума нам потре-
буется еще одно понятие. Именно, пусть µ ∈ MM . Тогда через ωµ(z)
обозначим конус допустимых направлений (см., напр., [23, с. 12]) для
множества M(z) в точке µ(z), т.е. множество всех ω ∈ C, ω 6= 0, та-
ких, что µ(z) + εω ∈ M(z) при всех ε ∈ [0, ε0] для некоторого ε0 > 0.
Почти дословно повторяя доказательство теоремы 4.1, получаем:
Теорема 4.2. При условиях теоремы 4.1, экстремаль f в задаче о
max Ω на классе H∗
M удовлетворяет неравенствам ReωB(z) ≥ 0 для
п.в. z ∈ C при всех ω из конуса допустимых направлений ωµ(z), где
B(z) = A(f(z))f2
z , A(w) задается соотношением (4.4).
Следствие 4.1. Если дополнительно при п.в. z ∈ C в каждой то-
чке ∂M(z) имеется касательная, то n(z)B(z) ≥ 0 п.в., где n(z) —
единичный вектор внутренней нормали к ∂M(z) в точке µ(z).
В частности, если M(z) = {κ ∈ C : |κ − c(z)| ≤ k(z)} ⊆ D, где
функции c(z) и k(z) измеримы, то по вариационному принципу ма-
ксимума n(z) = (c(z)−µ(z))/k(z), и соотношение из следствия 4.1 п.в.
эквивалентно тому, что (c(z) − µ(z))/k(z) = B(z)/|B(z)|, т.е. µ(z) =
c(z) − k(z)B(z)/|B(z)|. Таким образом, имеем:
Следствие 4.2. Пусть M(z), z ∈ C, — указанное семейство кругов,
а функционал Ω : H∗
M → R дифференцируем по Гато без вырожде-
ния. Тогда при Q(z) := 1+k(z)+|c(z)|
1−k(z)−|c(z)| ∈ L1
loc экстремаль задачи о max Ω
на классе H∗
M удовлетворяет уравнению
fz = c(z)fz − k(z)
A(f(z))
|A(f(z))|
fz . (4.6)
5. О классах отображений с ограничениями
интегрального типа
В данном разделе рассматриваются отображения класса Соболева
W 1, 1
loc с ограничениями на дилатацию интегрального типа. Отметим,
что различные классы отображений, квазиконформных в среднем,
изучались в работах Альфорса Л., Билуты П. А., Боярского Б. В.,
Гольберга А., Гутлянского В. Я., Кругликова В. И., Крушкаля С. Л.,
Кудьявина В. С., Кюнау Р., Перовича М., Песина И. Н., Рязано-
ва В. И. и других авторов (см., напр., ссылки к гл. 12 в моногра-
фии [24]).
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 523
Пусть Φ : R+ → R+ — неубывающая выпуклая функция. Обозна-
чим через FΦ класс всех регулярных решений f : C → C уравнения
Бельтрами с комплексными коэффициентами µ такими, что
∫
C
Φ(Kµ(z)) dS(z) ≤ 1 (5.1)
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞. Через MΦ обозначим
соответствующий класс комплексных характеристик.
Отметим, что при указанных условиях функция
D(τ) := Φ
(
1 + τ
1 − τ
)
, τ ∈ [0, 1], (5.2)
является выпуклой, а потому класс комплексных характеристик MΦ
также является выпуклым,
5.1. Вариационный принцип максимума
Теорема 5.1. Пусть Φ : R+ → R+ — неубывающая выпуклая фун-
кция с Φ(Q) 6= 0, где Q = supΦ(t)<∞ t, и функционал Ω : FΦ → R
дифференцируем по Гато без вырождения. Тогда для любого ото-
бражения f ∈ FΦ, на котором достигается max Ω по классу FΦ,
дилатация Kµ(z), µ = µf , удовлетворяет равенству:
∫
C
Φ(Kµ(z)) dS(z) = 1. (5.3)
Доказательство. Допустим, что интеграл I в (5.3) меньше 1. За-
метим, что Kµ(z) ≤ Q п.в. Если Φ(Q) = ∞, то найдется монотон-
но возрастающая последовательность Qm < Q, m = 1, 2, . . . , та-
кая, что Qm → Q при m → ∞. Если же Φ(Q) < ∞, то полагаем
Qm = Q, m = 1, 2, . . . .
Характеристика µ отображения f имеет вид µ(z) = k(z)eiϑ(z), где
k(z) = (Kµ(z) − 1)/(Kµ(z) + 1), ϑ(z) : C → R — некоторая изме-
римая функция. Рассмотрим функции µ±m(z) = µ(z) ± λm(z)χz0,r(z),
λm(z) = λ0(qm−k(z))eiϑ(z)χm(z), где λ0 ∈ (0, 1), qm = (Qm−1)/(Qm +
1), χm(z) — характеристическая функция множества Em = {z ∈ C :
Kµ(z) ≤ Qm}, m = 1, 2, . . . , a χz0,r(z) — характеристическая функция
круга D(z0, r), z0 ∈ C, r > 0.
Пусть K±
µm
(z) = (1+|µ±m(z)|)/(1−|µ±m(z)|). Тогда по монотонности
Φ(t) : R+ → R+ и t(τ) = (1 + τ)/(1 − τ) : [0, 1] → [1, ∞], получаем
неравенство Φ(K±
µm
(z)) ≤ Φ(Qm) для z ∈ Em ∩ D(z0, r) и равенство
524 К теории вариационного метода...
Φ(K±
µm
(z)) = Φ(Kµ(z)) для z ∈ C \ Em ∩ D(z0, r). Поэтому при r ≤
√
(1 − I)/(πΦ(Qm)) функция µ±m(z) принадлежит классу MΦ.
При 0 < λ0 < 1 − q2m функции
κ
±
m(z) =
µ±m(z) − µ(z)
1 − |µ(z)|2
= ±
λm(z)χz0,r(z)
1 − |µ(z)|2
принадлежат открытому единичному шару в L∞(C).
Применяя вариацию теоремы 3.1 с ν(z) = µ±m(z), получаем, что
±Re
∫
C
[
∫
|z−z0|≤r
ϕm(z, ζ) dm(z)
]
dκ(ζ) ≥ 0,
где ϕm(z, ζ) = λm(z)f2
zϕ(f(z), f(ζ)), т.е.
Re
∫
C
[
∫
|z−z0|≤r
ϕm(z, ζ) dm(z)
]
dκ(ζ) = 0. (5.4)
Рассмотрим также функции
ψm(w, ζ) =
{
(
κ
+
m(z) fz
fz
)
◦ f−1(w)ϕ(w, f(ζ)), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B),
где B обозначает (борелево) множество всех z ∈ C, где f имеет
полный дифференциал и Jf (z) 6= 0. Они интегрируемы относитель-
но произведения мер dm(w) ⊗ dκ(ζ) (см. [6, с. 215]). Заметим, что
Jf−1(w) =
[
Jf
(
f−1(w)
)]−1
=
[
(1 − |µ|2)f2
z
]−1 (
f−1(w)
)
для w ∈ f(B),
ср. IC(3) в [1]. Кроме того, f обладает N−1-свойством и по замене
переменной (см. леммы III.2.1 и III.3.2 в [20]) получаем, что функция
ϕm,n(z, ζ) интегрируема относительно произведения мер dm(z) ⊗
dκ(ζ), и по теореме Лебега–Фубини (см. [6, с. 353]) из (5.4) заклю-
чаем, что
∫
|z−z0|≤r
[
Re
∫
C
ϕm(z, ζ) dκ(ζ)
]
dm(z) = 0.
Отсюда по теореме о дифференцировании неопределенного интегра-
ла (см. [32, с. 180]) λm(z) f2
z A(f(z)) = 0 п.в., где A задано соотноше-
нием (4.4). Т.к. A(w) 6= 0 п.в., f обладает N−1-свойством и fz 6= 0
п.в. имеем f2
zA(f(z)) 6= 0 п.в. Следовательно, λm(z) = 0 п.в. и потому
k(z) = qm п.в. на Em, m = 1, 2, . . . .
Заметим теперь, что множества Em исчерпывают всю плоскость
по мере и qm → q при m → ∞. Поэтому k(z) = q п.в. на C. Однако,
это противоречит принадлежности µ(z) классу MΦ, т.к. Φ(Q) 6= 0 по
условию. Полученное противоречие и доказывает (5.3).
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 525
5.2. Другие необходимые условия экстремума
Теорема 5.2. В условиях теоремы 5.1,
fz = −k(z)
A(f(z))
|A(f(z))|
fz, (5.5)
где
∫
C
D(k(z)) dS(z) = 1. (5.6)
Здесь A и D заданы соотношениями (4.4) и (5.2), соответственно.
Доказательство. (5.6) следует из теоремы 5.1. Таким образом, со-
отношение (5.5) эквивалентно неравенству ν(z)A(f(z)) ≤ 0 п.в., где
ν — коэффициент из (5.5), или
µ(z)B(z) ≤ 0 п.в., (5.7)
где µ — комплексная характеристика f , а
B(z) = A(f(z)) f2
z . (5.8)
Используем обозначения Qm, qm, Em, χm, χz0,r и D(z0, r) из до-
казательства теоремы 5.1. Пусть µ(z) = k(z)eiϑ(z). Тогда MΦ содер-
жит также ν0(z) := k(z)eiϑ0(z), где ϑ0(z) : C → R — любая измери-
мая функция. Поскольку круг является выпуклым множеством, то
µ+ λ(ν0 − µ) ∈ MΦ для любой измеримой функции λ(z) : C → [0, 1].
Класс MΦ содержит ν
(m)
z0,r(z) := µ(z) + λm(z)χz0,r(z)(ν0(z)− µ(z)), где
λm(z) = χm(z)(1 − |µ(z)|2)/2. При этом, функция
κ
(m)
z0,r =
ν
(m)
z0,r(z) − µ(z)
1 − |µ(z)|2
=
ν0(z) − µ(z)
2
χm(z)χz0,r(z)
принадлежит замкнутому шару радиуса qm < 1 в пространстве
L∞(C).
Применяя вариацию теоремы 3.1 с ν = ν
(m)
z0,r(z), получаем, что
Re
∫
C
[
∫
|z−z0|≤r
ϕm(z, ζ) dm(z)
]
dκ(ζ) ≥ 0,
где ϕm(z, ζ) = λm(z) (ν0(z) − µ(z)) f2
z ϕ(f(z), f(ζ)). Повторяя рассу-
ждения, которые использовались при доказательстве теоремы 5.1, по
теореме Фубини можем изменить порядок интегрирования:
∫
|z−z0|≤r
[
Re
∫
C
ϕm(z, ζ) dκ(ζ)
]
dm(z) ≥ 0.
526 К теории вариационного метода...
По теореме Лебега о дифференцировании неопределенного инте-
грала, λm(z) Re(ν0(z)−µ(z))B(z) ≥ 0, т.е. Reµ(z)B(z) ≤ Re ν0(z)B(z)
для п.в. z ∈ Em. Поскольку Em, m = 1, 2, . . . , исчерпывают пло-
скость C по мере, то Reµ(z)B(z) ≤ k(z) Re eiϑ0(z)B(z) для п.в. z ∈
C. При k(z)B(z) 6= 0 абсолютный минимум выражения, стоящего
справа в предыдущем неравенстве достигается только для eiϑ0(z) =
−B(z)/|B(z)|, т.е., имеет место (5.7).
6. О конформности по Белинскому
Напомним, что отображение f называется конформным в точке
z0, если f дифференцируемо в точке z0 по Дарбу–Штольцу:
f(z) − f(z0) = fz(z0)(z − z0) + fz(z0)(z − z0) + o(|z − z0|), s (6.1)
и если fz(z0) = 0, a fz(z0) 6= 0.
Как показывает пример w = z(1 − ln |z|) Шабата Б. В. (см. [3,
c. 40]), при непрерывной комплексной характеристике µ(z) отобра-
жение w = f(z) может быть недифференцируемым в этом смысле.
Если характеристика µ(z) непрерывна в точке z0, то, как по-
видимому впервые установлено Белинским П. П. (см. [3, c. 41]), отоб-
ражение w = f(z) дифференцируемо в z0 в следующем смысле:
∆w = A(ρ)
[
∆z + µ0∆z + o(ρ)
]
, (6.2)
где µ0 = µ(z0), ρ = |∆z+µ0∆z|, A(ρ) зависит только от ρ и o(ρ)/ρ→ 0
при ρ→ 0. Здесь A(ρ) может не иметь предела при ρ→ 0, однако,
lim
ρ→0
A(tρ)
A(ρ)
= 1 ∀ t > 0. (6.3)
Отображение f называется дифференцируемым по Белинскому в
точке z0, если выполнены условия (6.2)–(6.3) с некоторым µ0 ∈ D.
При этом, при разрывной µ(z), в соотношении (6.2) не обязательно
µ0 = µ(z0). Если µ0 = 0, то говорят также, что f конформно по
Белинскому в точке z0 (см., [14]).
Функция µ(z) называется аппроксимативно непрерывной в точке
z0 ∈ C, если существует измеримое множество E, на котором µ(z) →
µ(z0) при z → z0 и z0 является точкой плотности E, т.е.
lim
ε→0
mes{E ∩D(z0, ε)}
mes{D(z0, ε)}
= 1 .
Как увидим, аппроксимативная непрерывность µ остается достато-
чным условием дифференцируемости f по Белинскому с µ0 = µ(z0).
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 527
Аналог следующей теоремы для квазиконформных отображений
можно найти в статье [14].
Теорема 6.1. Пусть D — область в C, 0 ∈ D, и пусть f : D → C —
регулярное решение уравнения Бельтрами (1.1), f(0) = 0, и
lim sup
r→0
∫
−
D(r)
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞, (6.4)
для неубывающей выпуклой функции Φ : R+ → R+ такой, что
∞
∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞ (6.5)
при δ > Φ(0). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) f конформно по Белинскому в нуле;
2) для любого ζ ∈ D при τ > 0
lim
τ→0
f(τζ)
f(τ)
= ζ; (6.6)
3) для любого δ ∈ (0, 1) при |z′| < δ|z| и z ∈ C
∗ = C \ {0}
lim
z→0
{
f(z′)
f(z)
−
z′
z
}
= 0; (6.7)
4) для любого ζ ∈ D при z ∈ C
∗
lim
z→0
f(zζ)
f(z)
= ζ. (6.8)
При этом, предел в (6.8) — локально равномерный по ζ в D.
Доказательство. Придерживаемся схемы 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1).
Полагаем f0(ζ) ≡ ζ в D и fz(ζ) ≡ f(ζ z)/f(z) при ζ ∈ D и z ∈ C
∗,
0 < |z| < dist(0, ∂D).
1) ⇒ 2). Непосредственно из (6.2), (6.3) следует, что fτ (ζ) → f0(ζ)
при τ → 0, τ > 0, для любого фиксированного ζ ∈ D.
2) ⇒ 3). Заметим, что fτ при τ ∈ (0,dist(0, ∂D)) — регулярное
решение уравнения Бельтрами (1.1) с комплексным коэффициентом
µτ (ζ) = µ(τζ) и с дилатацией Kµτ (ζ) = Kµ(τζ) в D. Таким образом,
Iτ :=
∫
D
Φ(Kµτ (ζ)) dS(ζ) ≤
1
τ2
∫
|z|<τ
Φ(Kµ(z)) dm(z)
528 К теории вариационного метода...
и по условию (6.4) Iτ ≤ M < ∞ для малых 0 < τ ≤ τ0 < dist(0, ∂D).
Заметим также, что fτ не принимают значение 1 и ∞ внутри D. По-
этому fτ , τ ∈ (0, τ0], образуют нормальное семейство (см. теорему 2
в [21]). Итак, fτ , τ ∈ (0, τ0], — равностепенно непрерывное семей-
ство по предложению 7.1 в [24] и условие (6.6) влечет, что fτ → f0
локально равномерно в D по теореме 7.1 в [24].
Покажем, что fz(ζ) − f0(ζ) → 0 при z → 0, z ∈ C
∗, равномерно
относительно ζ ∈ Dδ = {ζ ∈ C : |ζ| ≤ δ} для любого δ ∈ (0, 1).
Проведем рассуждение от противного и для этого отметим очевидное
тождество fz(ζ) = fτ∗(ζz/τ∗)/fτ (z/τ
∗) = f(z′)/f(z) при ζ = z′/z и
τ∗ = |z|/∆, где ∆ — произвольное фиксированное число из (0, 1).
Действительно, предположим, что наше утверждение не верно.
Тогда найдутся число ε > 0 и последовательности ζn ∈ Dδ, zn → 0,
zn ∈ C
∗, такие, что |gn(ζn) − ζn| ≥ ε, где gn(ζ) = fzn(ζ), ζ ∈ D.
Ввиду компактности замкнутого круга Dδ и окружности ∂D∆ можно
считать, что ζn → ζ0 ∈ Dδ и ηn = ∆zn/|zn| → η0 ∈ ∂D∆.
Обозначим через ϕn(ζ) отображение fτn(ζ), ζ ∈ D, где τn = |zn|/∆,
n = 1, 2, . . . . Тогда, по приведенным в первой части доказательства
этого пункта замечаниям, ϕn(ζ) → ζ при n→ ∞ равномерно на Dδ ∪
∂D∆ и, кроме того, gn(ζ) = ϕn(ηnζ)/ϕn(ηn). Следовательно, gn(ζ) → ζ
при n → ∞ равномерно на Dδ. Поэтому, gn(ζn) → ζ0 при n → ∞
(см., напр., замечание 7.1 в [24]). Однако, последнее противоречит
сделанному выше предположению.
3) ⇒ 4). Полагая в (6.7) z′ = zζ, ζ ∈ D, и выбирая произвольное δ ∈
(|ζ|, 1), немедленно получаем (6.8). Последнее означает, что fz(ζ) →
f0(ζ) при z → 0, z ∈ C
∗, поточечно в D. Аналогично импликации
2) ⇒ 3) показывается, что последнее влечет локально равномерную
сходимость fz → f0 при z → 0 в D.
4) ⇒ 1). Из (6.8) для z = ρ > 0, ζ = eiϑ, ϑ ∈ R, и w = ζz = ρ eiϑ
получаем, что f(w) = f(ρ)(ζ + α(ρ)), где α(ρ) → 0 при ρ → 0. Таким
образом, f(w) = A(ρ)(w + o(ρ)), где A(ρ) = f(ρ)/ρ и o(ρ)/ρ → 0 при
ρ → 0, т.е. имеет место (6.2). Кроме того, из (6.8) с z = ρ > 0 и
ζ = t > 0 получаем, что A удовлетворяет (6.3).
Следующая лемма доказывается совершенно аналогично теоре-
ме 3.3 из работы [31]. Поэтому мы не приводим здесь ее доказатель-
ство.
Лемма 6.1. Пусть D — область в C и пусть fn : D → C — по-
следовательность сохраняющих ориентацию ACL гомеоморфизмов
с комплексными характеристиками µn такими, что неопределен-
ные интегралы дилатаций Kµn локально равностепенно абсолютно
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 529
непрерывны. Если fn → f равномерно на каждом компакте в D, где
f — гомеоморфизм, то f ∈ ACL и ∂fn и ∂fn сходятся слабо в L1
loc(D)
к ∂f и ∂f , соответственно. Кроме того, если µn → µ п.в. или по
мере, то ∂f = µ∂f п.в.
Напомним, что функция Φ : R+ → R+ называется строго выпук-
лой, если она является выпуклой, неубывающей и limt→∞ Φ(t)/t = ∞.
Следствие 6.1. В частности, заключения леммы верны, если
∫
D
Φ(Kµn(z)) dS(z) ≤M <∞ (6.9)
для некоторой строго выпуклой функции Φ : R+ → R+.
Действительно, условие (6.9) влечет, что дилатации Kµn имеют
локально равностепенно абсолютно непрерывные интегралы (см. те-
орему 3.1.2 в [27]), и мы можем воспользоваться леммой 6.1.
Теперь приведем наиболее интересное следствие теоремы 6.1.
Теорема 6.2. Пусть D — область в C, z0 ∈ D, f : D → C —
регулярное решение уравнения Бельтрами (1.1) и
lim sup
r→0
∫
−
D(z0, r)
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞ (6.10)
для строго выпуклой функции Φ : R+ → R+ с условием (6.5). Если
µ(z) аппроксимативно непрерывна в точке z0, то отображение f
дифференцируемо по Белинскому в этой точке с µ0 = µ(z0).
Доказательство. Действительно, f дифференцируемо по Белинско-
му в точке z0 в том и только в том случае, если g = h◦ϕ−1 конформно
по Белинскому в нуле, где h(z) = f(z0 + z) − f(z0) и ϕ(z) = z + µ0z,
где µ0 взято из (6.2).
По пункту 2) теоремы 6.1 это эквивалентно тому, что gτ (ζ) →
g0(ζ) при τ → 0 для любого ζ ∈ C, где g0(ζ) ≡ ζ, gτ (ζ) = g(τζ)/g(τ),
τ > 0. Ввиду однородности ϕ и ϕ−1 относительно мультипликаторов
τ > 0, ϕ−1(τϕ(z)) = τz, последнее эквивалентно тому, что hτ (z) →
h0(z) при τ → 0 для любого z ∈ C, где hτ (z) = gτ (ϕ(z))/gτ (ϕ(1)) =
h(τz)/h(τ), τ > 0, h0(z) = ϕ(z)/ϕ(1).
Очевидно, что µh(z) = µ(z + z0) и Kµh
(z) = Kµ(z + z0). Пусть
µτ (z) — комплексная характеристика hτ (z). Тогда также очевидно,
что µτ (z) = µ(z0 + τz), Kµτ (z) = Kµ(z0 + τz), и что аппроксиматив-
ная непрерывность µ(z) в точке z0 эквивалентна сходимости по мере
530 К теории вариационного метода...
µτ → µ0 = µ(z0) при τ → 0. Таким образом, hτ → h0 при τ → 0 в
силу теоремы 2 и леммы 2 из [21] с учетом (6.10) и (6.5), а также след-
ствия 6.1, ср. оценку интеграла Iτ в доказательстве теоремы 6.1.
Из равенства (6.7) и неравенства треугольника получаем:
Следствие 6.2. При посылках и одном из условий 1)–4) теоре-
мы 6.1, при |z′| ≤ δ|z| для любого δ > 0, существует
lim
z→0
z ∈ C∗
{
|f(z′)|
|f(z)|
−
|z′|
|z|
}
= 0. (6.11)
Отсюда и из теоремы Штольца докажем следующее:
Теорема 6.3. При посылках и условии 1) теоремы 6.1
lim
z→0
ln |f(z)|
ln |z|
= 1. (6.12)
Доказательство. Действительно, допустим от противного, что соо-
тношение (6.12) не имеет место, т.е. для некоторых ε > 0 и zn → 0,
∣
∣
∣
∣
ln |f(zn)|
ln |zn|
− 1
∣
∣
∣
∣
≥ ε, (6.13)
для всех n = 1, 2, . . . . Для сокращения записи введем обозначения
tn = − ln |zn| и τn = − ln |f(zn)|. Тогда (6.13) перепишется в виде:
∣
∣
∣
∣
τn
tn
− 1
∣
∣
∣
∣
≥ ε. (6.14)
При необходимости переходя к подпоследовательности, можно
считать, что tn − tn−1 ≥ 1 для всех n = 1, 2, . . . . Далее, вставляя,
если нужно, между соседними членами последовательности tn, n =
1, 2, . . . , их среднее арифметическое, можно добиться, чтобы tn −
tn−1 < 2. При этом неравенство (6.14) сохраняется для бесконечного
числа членов последовательности.
Таким образом, последовательность ρn = |zn| = e−tn удовлетво-
ряет неравенствам e−2 < ρn/ρn−1 ≤ e−1. Из соотношения (6.11) полу-
чаем, что exp(τn−1−τn) = exp(tn−1− tn)+αn, где αn → 0 при n→ ∞,
или, по-другому, exp(τn−1 − τn) = (1+βn) exp(tn−1 − tn) c βn → 0 при
n→ ∞. Отсюда имеем, что (τn− τn−1) = (tn− tn−1)+γn c γn → 0 при
n → ∞ и, поскольку tn − tn−1 ≥ 1, (τn − τn−1)/(tn − tn−1) = 1 + δn,
где δn → 0 при n → ∞. Тогда по теореме Штольца τn/tn → 1 (см.,
напр., [35, с. 60]), что противоречит (6.14). Полученное противоречие
и доказывает (6.12).
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 531
Из теорем 6.2 и 6.3 немедленно получаем следующее:
Следствие 6.3. При посылках теоремы 6.2 с µ(z0) = 0,
lim
z→z0
ln |f(z) − f(z0)|
ln |z − z0|
= 1. (6.15)
7. Об одном приложении
Рассмотрим в области D ⊂ C уравнение
div(K gradu) = 0, (7.1)
которое является основным уравнением в теории стационарных пото-
ков, гидродинамике, магнито- и электростатике неоднородных сред.
Нам удобно будет интерпретировать коэффициент K как функцию
комплексной переменной z = x + iy. При этом мы будем предпо-
лагать, что коэффициент K положителен и равномерно отделен от
0, что является естественным с физической точки зрения. Кроме
того, дополнительной нормировкой всегда можно добиться, чтобы
ess infK(z) ≥ 1.
Здесь мы не предполагаем коэффициент K дифференцируемым
или хотя бы непрерывным или ограниченным. Под (слабым) реше-
нием уравнения (7.1) в этом случае понимается функция U , которая
обладает локально сопряженной функцией V такой, что пара (U, V )
обладает первыми обобщенными производными и удовлетворяет п.в.
обобщенной системе Коши–Римана
Vx = −KUy, Vy = KUx, (7.2)
в соответствующей окрестности каждой точки области D, за исклю-
чением изолированных особенностей.
Как легко видеть, система уравнений (7.2) эквивалентна одному
комплексному уравнению Бельтрами второго рода
Fz = −k(z)Fz, (7.3)
где F = U + iV, z = x+ iy и
k(z) =
K(z) − 1
K(z) + 1
. (7.4)
Аналог ниже приведенной теоремы для K ∈ L∞ впервые был
анонсирован при условиях Белинского–Виттиха–Тейхмюллера в [15],
а затем доказан при более слабых условиях аппроксимативной непре-
рывности в диссертации [30].
532 К теории вариационного метода...
Теорема 7.1. Пусть D — область в C и K : D → [1, ∞] — измери-
мая функция такая, что
∫
D
Φ(K(z)) dS(z) <∞ (7.5)
для строго выпуклой функции Φ : [1, ∞] → [0, ∞] с условием (6.5).
Тогда для любой z0 ∈ D\{∞} существует решение уравнения (7.1),
представимое в виде:
U(z, z0) = ln |f(z) − f(z0)|, (7.6)
где f — регулярное решение уравнения
fz = −k(z)
f(z) − f(z0)
f(z) − f(z0)
fz (7.7)
в C с нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞. Здесь k(z) зада-
ется (7.4) в D, k(z) ≡ 0 вне D и, при этом, само решение U(z, z0)
продолжается по непрерывности в C и в дополнительной области
C \D, где полагаем K(z) ≡ 1, является гармонической функцией.
Кроме того, если функция K(z) аппроксимативно непрерывна в
точке z0 и удовлетворяет условию
lim sup
r→0
∫
−
D(z0, r)
Φ(K(z)) dm(z) <∞, (7.8)
то
lim
z→z0
U(z, z0)
ln |z − z0|
=
1
K(z0)
. (7.9)
Замечание 7.1. Аналогично, если K(1/z) аппроксимативно непре-
рывна в 0 и удовлетворяет там (7.8), то
lim
z→∞
U(z, z0)
ln |z|
=
1
K(∞)
. (7.10)
Замечание 7.2. Заметим, что по теореме Лебега условие (7.5) вле-
чет условие (7.8) для п.в. z0 ∈ D (см., напр., теорему IV(5.4) в [32]), а
по теореме Данжуа любая почти всюду конечная измеримая функция
является почти всюду аппроксимативно непрерывной (см., напр., те-
орему IV(10.6) в [32]).
Следствие 7.1. При условии (7.5) решение уравнения (7.1) со свой-
ством (7.9) существует для п.в. z0 ∈ D.
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 533
Доказательство теоремы 7.1. 1) Существование регулярного реше-
ния уравнения (7.7) докажем, решая экстремальную задачу
max
f∈Fr, R
|f ′(z0)| = max
α∈[0, 2π]
f∈Fr, R
Re eiα · f ′(z0)
в классах Fr, R, r > 0, R > r + |z0|, всех регулярных K(z)−к.к. ото-
бражений, конформных в областях |z − z0| < r и |z| > R, с гидро-
динамической нормировкой в окрестности ∞: f(z) = z + α1
z + · · · ,
с последующей перенормировкой f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞ и
предельными переходами при r → 0 и R→ ∞.
Для экстремального случая, eiα0f ′(z0) > 0. Таким образом, исхо-
дный функционал можно заменить на линейный функционал Ω(f) =
Re eiα0 · f ′(z0) и по следствию 4.2 экстремаль f удовлетворяет урав-
нению
fz = −k(z)
A(f(z))
|A(f(z))|
· fz,
где, см. замечание 3.1,
A(w) = Af (w) =
1
π
·
eiα0 · f ′(z0)
(w − f(z0))2
=
C
(w − f(z0))2
при C > 0. Поэтому для экстремали имеем
A(f(z))/|A(f(z))| = (f(z) − f(z0))/(f(z) − f(z0)),
т.е. экстремаль удовлетворяет (7.7).
По теореме 4 из работы [22] класс Fr, R компактен через естествен-
ную связь с отображениями, нормированными условиями f(0) = 0,
f(1) = 1, f(∞) = ∞. Кроме того, по известной теореме Вейерштрас-
са о сходимости аналитических функций (см., напр., [8, с. 17]), фун-
кционал |f ′(z0)| непрерывен в Fr, R. Отсюда следует существование
экстремали в задаче о max |f ′(z0)| на указанном классе, которая яв-
ляется регулярным решением уравнения (7.7).
Отметим, что отображение (f(z)−f(0))/(f(1)−f(0)) также удов-
летворяет уравнению (7.7). Поэтому в дальнейшем предполагаем, что
f(0) = 0, f(1) = 1 и f(∞) = ∞. Соответствующий класс гомеомор-
физмов H∗
M , где M(z) := {ν ∈ C : |ν| ≤ k(z)}, компактен по теореме 4
из [22]. Поэтому найдутся последовательности rn → 0 и Rn → ∞, для
которых соответствующие отображения fn → f локально равномер-
ны при n → ∞, где f ∈ H∗
M . По лемме 6.1 предельное K(z)−к.к.
отображение f удовлетворяет уравнению (7.7) во всей комплексной
534 К теории вариационного метода...
плоскости. При этом, f является регулярным решением (7.7) по тео-
реме 4 в [22]. Функция F (z) = ln(f(z)− f(z0)) локально в C \ {z0} яв-
ляется решением уравнения (7.3), а потому U(z, z0) = ln |f(z)−f(z0)|
есть решение уравнения (7.1) с особенностями только в точках z0 и
∞.
2) Докажем (7.9). Пусть G = ϕ ◦ g, где g(z) = f(z0 + z) − f(z0),
ϕ(w) = w|w|γ−1, γ = K(z0). Заметим, что ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, ϕ(∞) =
∞ и ϕ удовлетворяет уравнению Бельтрами
ϕw = k(z0)
w
w
ϕw . (7.11)
Поскольку f – регулярное решение уравнения (7.7) и K ∈ L1
loc ввиду
условия (7.5), то h := g−1 ∈ W 1,2
loc (см, теорему 1.3 в [36]). Таким
образом, по предложению 2.2 h п.в. удовлетворяет уравнению
hw = k(z0 + h(w))
w
w
hw, (7.12)
h(0) = 0, h(∞) = ∞ (ср., напр., I.C(4) в [1]). Таким образом, по
следствию 2.2 G = ϕ ◦ h−1, G(0) = 0, G(∞) = ∞, имеет комплексную
характеристику
ν(z) =
k(z0) − k(z0 + z)
1 − k(z0)k(z0 + z)
·
g(z)
g(z)
gz
gz
, (7.13)
(ср., напр., I.C(10) в [1]). Как видим, µ(z) аппроксимативно непрерыв-
на в 0 и ϕ(0) = 0 и, как известно, Kν(z) ≤ K(z0) ·K(z0 + z). Выбирая
в условии (6.10) для следствия 6.3 Φ∗(t) = Φ(ct), c = 1/K(z0), ви-
дим, что Φ−1
∗ (τ) = c−1Φ−1(τ), таким образом, Φ∗ удовлетворяет (6.5),
если Φ удовлетворяет (6.5). Наконец, по условию (7.8) получаем (7.9),
поскольку ln |G| = γ ln |g|.
Теорема 7.1 показывает, что развитая теория вариационного ме-
тода для уравнения Бельтрами применима, в частности, к задачам
математической физики.
Литература
[1] Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Мир, Москва,
1969.
[2] L. Ahlfors, L. Bers, Riemann’s mapping theorem for variable metrics // Ann.
Math., 72 (1960), 385–404.
[3] П. П. Белинский, Общие свойства квазиконформных отображений, Наука,
Новосибирск, 1974.
[4] B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, On the Beltrami equations with two
characteristics // Complex Variables and Elliptic Equations, 54 (2009), No. 10,
935–950.
В. Я. Гутлянский, Т. В. Ломако, В. И. Рязанов 535
[5] B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, On integral conditions for general
Beltrami equations // Complex Anal. Oper. Theory, 5 (2011), No. 3, 835–845.
[6] Н. Бурбаки, Интегрирование, Наука, Москва, 1967.
[7] С. К. Водопьянов, А. Ухлов, Пространства Соболева и (P, Q)-квазиконформ-
ные отображения групп Карно // Сиб. матем. журн., 39 (1998), No. 4, 665–
682.
[8] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
Наука, Москва, 1966.
[9] В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк, Введение в теорию функций с обоб-
щенными производными и квазиконформные отображения, Наука, Москва,
1983.
[10] В. Я. Гутлянский, О методе вариаций для однолистых аналитических фун-
кций с квазиконформным продолжением // Доклады АН СССР, 236 (1977),
No. 5, 1045–1048.
[11] В. Я. Гутлянский, О произведении конформных радиусов неналегающих обла-
стей // Доклады АН Укр. ССР, сер. А (1977) No. 4, 298–302.
[12] В. Я. Гутлянский, О методе вариаций для однолистых аналитических фун-
кций с квазиконформным продолжением // Сиб. матем. журн., 21 (1980),
No. 2, 61–78.
[13] V. Ya. Gutlyanskii, The product of the conformal radii of nonoverlapping domai-
ns // Ten papers on complex analysis, Amer. Math. Soc. Transl., ser. 2, 122
(1984), 65–69.
[14] В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов, К теории локального поведения квазикон-
формных отображений // Изв. РАН, Сер. матем., 59 (1995), No. 3, 31–58.
[15] В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов, О фундаментальном решении одного урав-
нения математической физики // Комплексные методы в математической
физике, Тез. док. Всесоюзной шк. мол. уч., ИМ АН СССР, ИПММ АН Укр.
ССР, ДГУ, Донецк, 1984.
[16] В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов, Геометрическая и топологическая теория
функций и отображений, Наукова думка, Киев, 2011.
[17] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On recent advances in the
Beltrami equations // Укр. мат. вестник, 7 (2010), No. 4, 467–515.
[18] G. David, Solutions de l’equation de Beltrami avec ‖µ‖∞ = 1 // Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A1. Math., 13 (1988), 25–70.
[19] С. Л. Крушкаль, Квазиконформные отображения и римановы поверхности,
Наука, Новосибирск, 1975.
[20] O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer, New
York, 1973.
[21] Т. В. Ломако, К теории сходимости и компактности для уравнений Бель-
трами // Укр. мат. журн., 63 (2011), No. 3, 341–349.
[22] Т. В. Ломако, К теории сходимости и компактности для уравнений Бель-
трами с ограничениями теоретико-множественного типа // Укр. мат.
журн., 63 (2011), No. 9, 1227–1240.
[23] П. Ж. Лоран, Аппроксимация и оптимизация, Мир, Москва, 1975.
[24] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2009.
536 К теории вариационного метода...
[25] D. Menchoff, Sur les differentielles totales des fonctions univalentes // Math.
Ann., 105 (1931), 75–85.
[26] С. П. Пономарев, N−1-свойство отображений и (N)-условие Лузина // Мат.
заметки, 58 (1995), 411–418.
[27] У. Рудин, Теория функций в поликруге, Мир, Москва, 1974.
[28] В. И. Рязанов, Некоторые вопросы сходимости и компактности для ква-
зиконформных отображений // В кн.: Теория отображений и приближение
функций (ред. Г. Д. Суворов), Наукова думка, Киев, 1983, 50–62.
[29] V. I. Ryazanov, Some questions of convergence and compactness for quasi-
conformal mappings // Amer. Math. Soc. Transl., 131 (1986), No. 2, 7–19.
[30] В. И. Рязанов, Топологические аспекты теории квазиконформных отобра-
жений. Диссертация . . . д.ф.-м.н., ИПММ НАН Украины, Донецк, 1993.
[31] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On strong solutions of the Beltrami equati-
ons // Complex Variables and Elliptic Equations, 55 (2010), No. 1–3, 219–236.
[32] С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, Москва, 1949.
[33] А. Ухлов, Отображения, порождающие вложения пространств Соболе-
ва // Сиб. матем. журн., 34 (1993), No. 1, 165–171.
[34] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва, 1987.
[35] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 1, Наука, Москва, 1970.
[36] S. Hencl, P. Koskela, Regularity of the inverse of a planar Sobolev homeomorphi-
sm // Arch. Rat. Mech. Anal., 180 (2006), No. 1, 75–95.
[37] M. Schiffer, G. Schober, A variational method for general families of quasi-
conformal mappings // J. Anal. Math., 34 (1978), 240–264.
[38] G. Schober, Univalent Functions // Lect. Notes Math., 478, Springer–Verlag,
Berlin etc., 1975.
Сведения об авторах
Владимир
Яковлевич
Гутлянский,
Татьяна
Владимировна
Ломако,
Владимир Ильич
Рязанов
Институт прикладной математики и
механики НАН Украины,
ул. Розы Люксембург 74
Донецк, 83114
Украина
E-Mail: vladimirgut@mail.ru,
tlomako@yandex.ru,
vlryazanov1@rambler.ru
|