О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка y′′ + A(t)y = 0 на полуоси с комплекснозначным потенциалом A(·). Получены достаточные условия на потенциал, при которых все решения этого уравнения стремятся к нулю на бесконечности. Показано, что условия, накладываемые на потенциал...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124436 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом / А.А. Лунёв, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 580-595. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124436 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244362017-09-27T03:02:53Z О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом Лунёв, А.А. Оридорога, Л.Л. Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка y′′ + A(t)y = 0 на полуоси с комплекснозначным потенциалом A(·). Получены достаточные условия на потенциал, при которых все решения этого уравнения стремятся к нулю на бесконечности. Показано, что условия, накладываемые на потенциал, близки к необходимым. По-видимому, один из результатов является новым даже в случае вещественного потенциала. 2011 Article О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом / А.А. Лунёв, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 580-595. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34D05, 34E20. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124436 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка y′′ + A(t)y = 0 на полуоси с комплекснозначным потенциалом A(·). Получены достаточные условия на потенциал, при которых все решения этого уравнения стремятся к нулю на бесконечности. Показано, что условия, накладываемые на потенциал, близки к необходимым. По-видимому, один из результатов является новым даже в случае вещественного потенциала. |
| format |
Article |
| author |
Лунёв, А.А. Оридорога, Л.Л. |
| spellingShingle |
Лунёв, А.А. Оридорога, Л.Л. О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом Український математичний вісник |
| author_facet |
Лунёв, А.А. Оридорога, Л.Л. |
| author_sort |
Лунёв, А.А. |
| title |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| title_short |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| title_full |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| title_fullStr |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| title_full_unstemmed |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| title_sort |
о стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124436 |
| citation_txt |
О стремлении к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка с комплекснозначным потенциалом / А.А. Лунёв, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 580-595. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT lunëvaa ostremleniiknulûrešenijdifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaskompleksnoznačnympotencialom AT oridorogall ostremleniiknulûrešenijdifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaskompleksnoznačnympotencialom |
| first_indexed |
2025-07-09T01:26:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:26:08Z |
| _version_ |
1837130705524490240 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 4, 580 – 595
О стремлении к нулю решений
дифференциального уравнения второго
порядка с комплекснозначным потенциалом
Антон А. Лунёв, Леонид Л. Оридорога
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Рассматривается линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка y′′ + A(t)y = 0 на полуоси с комплекснозна-
чным потенциалом A(·). Получены достаточные условия на потен-
циал, при которых все решения этого уравнения стремятся к нулю
на бесконечности. Показано, что условия, накладываемые на потен-
циал, близки к необходимым. По-видимому, один из результатов яв-
ляется новым даже в случае вещественного потенциала.
2010 MSC. 34D05, 34E20.
Ключевые слова и фразы. Дифференциальное уравнение, стре-
мящееся к нулю решение, монотонная функция, признак Дирихле,
ВКБ-оценки.
1. Введение
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
y′′ + A(t)y = 0, (1.1)
где A(t) : [0, +∞) → C — дифференцируемая функция. Если A(t) > 0,
то это уравнение описывает колебание материальной точки едини-
чной массы под действием восстанавливающей силы −A(t)x. Фун-
кция A(t) играет роль изменяющегося во времени коэффициента эла-
стичности.
Для неубывающей функции A(t) известно [9, XIV.I.3], что лю-
бое решение уравнения (1.1) является осциллирующим и последова-
тельные амплитуды осцилляции убывают. М. Бирнацкий [6] поставил
Статья поступила в редакцию 14.11.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 581
вопрос о существовании нетривиального решения, амплитуды осцил-
ляции которого стремятся к нулю, то есть решение y(t), для которого
lim
t→∞
y(t) = 0. (1.2)
Миллу [16] ответил на этот вопрос, доказав, что такое решение
существует, если limt→∞ A(t) = ∞. Он также привел пример сту-
пенчатой функции A, для которой не все решения уравнения (1.1)
исчезают на бесконечности.
Бирнацкий [6] поставил также следующую проблему: какие до-
полнительные условия, кроме монотонного стремления к бесконечно-
сти при t → ∞, надо наложить на функцию A(t), чтобы все реше-
ния уравнения (1.1) исчезали на бесконечности? Первые результаты в
этом направлении были получены самим Бирнацким [6], Миллу [16],
Дж. Армеллини [4] и Дж. Сансоне [17]. Наиболее сильным с теорети-
ческой точки зрения является результат Сансоне.
Teорема [Дж. Сансоне]. Пусть A ∈ C1[0,∞), A(t) ր ∞ при t →
∞ и для любой последовательности {tn}∞n=1 такой, что
tn ր ∞ при n → ∞ и tn+1 − tn ≤ tn − tn−1, n > 1, (1.3)
имеет место соотношение
∞
∑
n=1
(tn+1 − tn) min
tn≤t≤tn+1
A′(t)
A(t)
= +∞. (1.4)
Тогда все решения уравнения (1.1) стремятся к нулю при t → ∞.
Л. А. Гусаров [1] доказал, что все решения уравнения (1.1) стре-
мятся к нулю при t → ∞ если A(t) ր ∞ при t → ∞ и A′ — функ-
ция ограниченной вариации на некоторой полупрямой [t0,∞]. При
этих ограничениях A′(t) имеет конечный неотрицательный предел
при t → ∞.
В работе [11] утверждается, что, если A(t) неубывающая неогра-
ниченная функция класса C1, то все решения уравнения (1.1) исче-
зают на бесконечности. Однако сразу же после опубликования ра-
боты автор признал свое доказательство неверным [12]. И вскоре во
многих работах появились примеры, опровергающие это утвержде-
ние [2, 7, 8, 18].
Различные достаточные условия на функцию A, обеспечивающие
стремление к нулю на бесконечности всех решений уравнения (1.1),
получены также в работах [5, 10, 14, 15]. Отметим, что все получен-
ные результаты такого рода требуют, чтобы потенциал A стремился
582 О стремлении к нулю...
к бесконечности регулярно. Грубо говоря, это значит, что весь рост
функции A не может быть сосредоточен на малом в каком-то смысле
множестве. Хороший обзор и сравнение различных понятий регуляр-
ного роста сделал Дж. Маки [13].
Отметим также, что в работе В. Б. Лидского, Б. В. Федосова [2]
рассматривается уравнение вида (1.1), где A(t) — положительно опре-
деленная монотонно возрастающая оператор-функция в гильберто-
вом пространстве H, а y(t) — вектор-функция со значениями в H.
Были найдены достаточные условия на потенциал A(t), при кото-
рых все решения этого уравнения стремятся к нулю по норме при
t → ∞. В скалярном случае эти условия имеют вид: A(0) > 0 и
A′(t) ≥ α(t)A(t), где α(t) ց 0 при t → ∞ и
∫∞
0 α(t) dt = ∞. Другими
словами, кроме монотонного стремления потенциала к бесконечно-
сти, его логарифмическая производная должна иметь несуммируе-
мую на полуоси монотонно стремящуюся к нулю неотрицательную
миноранту.
Целью данной работы является получение достаточных условий
на комплекснозначный потенциал A(t), при которых все решения
уравнения (1.1) стремятся к нулю на бесконечности.
При этом получено два существенно различных результата. Один
из них обобщает результат работы [2], второй же основан на ВКБ-
оценках (см. [3, II.2]). В доказательстве первого результата мы следо-
вали схеме доказательства результата В. Б. Лидского, Б. В. Федосова.
Показано, что ни один из них не является следствием другого. Также
приводятся примеры функций, показывающие, что дополнительные
условия, накладываемые на потенциал в обеих теоремах, близки к
необходимым.
Перейдем к формулировке основных результатов.
Положим AR := Re A, AI := Im A.
Теорема 1.1. Пусть A(t) удовлетворяет условиям
AR(0) > 0, (1.5)
A′
R(t) ≥ α(t)AR(t), (1.6)
где
α(t) ց 0 при t → ∞ и
∞
∫
0
α(t) dt = ∞, (1.7)
|AI(t)| ≤ C
A′
R(t)
AR(t)
(1.8)
для некоторой константы C > 0,
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 583
Тогда все решения уравнения (1.1) стремятся к нулю при t → ∞,
и
∞
∫
0
α(t)|y(t)|2 dt < ∞ (1.9)
для любого решения y(t) уравнения (1.1).
Замечание 1.1. По лемме 2.1 из условий (1.5), (1.6) и (1.7) следует,
что AR(t) ր +∞ при t → ∞. Поэтому условие (1.8) корректно.
Теорема 1.2. Пусть A(t) удовлетворяет условиям
(i) A(t) ∈ C2(0, +∞);
(ii) AR(t) > 0 при t > 0 и AI(t) не меняет знак на (0,∞);
(iii) сходятся интегралы
+∞
∫
0
|A′′(t)|
|A(t)|5/2
dt и
+∞
∫
0
|A′(t)|2
|A(t)|7/2
dt (1.10)
(iv) A(t) → ∞ при t → +∞;
(v)
+∞
∫
0
|AI(t)|
√
AR(t)
dt < +∞. (1.11)
Тогда все решения уравнения (1.1) стремятся к нулю на бесконечнос-
ти.
2. Доказательство теоремы 1.1
Лемма 2.1. Пусть дифференцируемая функция f : [0, +∞) → R
удовлетворяет условиям
f(0) > 0, (2.1)
f ′(t) ≥ α(t)f(t), (2.2)
где
α(t) ց 0 и
∞
∫
0
α(t) dt = ∞, (2.3)
Тогда f(t) ր +∞ при t → ∞.
584 О стремлении к нулю...
Доказательство. Пусть существует t0 такое, что f(t0) = 0. Возьмем
минимальное такое t0. Ясно, что тогда f(t) > 0 при t < t0. Значит,
из условия (2.2) следует, что f ′(t) ≥ α(t)f(t) > 0 при t < t0. Но по
теореме Лагранжа найдется точка ξ ∈ (0, t0) такая, что f ′(ξ)(t0−0) =
f(t0) − f(0) = −f(0) < 0. Противоречие.
Значит, f(t) 6= 0 при t > 0. Откуда f(t) > 0 при t > 0. Тогда
f ′(t) ≥ α(t)f(t) > 0 при t > 0. Поэтому f(t) возрастает на [0,∞).
Далее, в силу положительности f(t) мы можем поделить на него в
неравенстве (2.2). Проинтегрируем полученное неравенство от 0 до x
x
∫
0
f ′(t)
f(t)
dt ≥
x
∫
0
α(t) dt
или
ln f(x) − ln f(0) ≥
x
∫
0
α(t) dt.
А так как
∫∞
0 α(t) dt = ∞, то f(x) → ∞ при x → ∞.
Пусть M > 1 — некоторое положительное число. Мы выберем
его позже. По лемме 2.1 найдется t0 > 0 такое, что AR(t) ≥ 2M при
t ≥ t0. Рассмотрим при t ≥ t0 функцию
B(t) :=
1
AR(t) − M
. (2.4)
Ясно, что
1
AR(t)
≤ B(t) ≤ 2
AR(t)
(2.5)
при t ≥ t0, B(t) ограничена, limt→∞ B(t) = 0 и B′(t) < 0.
Теорему достаточно доказать для базисных решений, т.е. для y1,
удовлетворяющего начальным условиям
y1(t0) = 0, y′1(t0) = 1, (2.6)
и для y2, удовлетворяющего начальным условиям
y2(t0) = 1, y′2(t0) = 0. (2.7)
Все остальные решения являются линейной комбинацией базисных,
и для них теорема также выполнится.
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 585
Лемма 2.2. Пусть y(t) — базисное решение уравнения (1.1). Тогда
функции B|y′|2 и ARB|y|2 ограничены. Кроме того, сходятся инте-
гралы
∞
∫
t0
B′|y|2 dt,
∞
∫
t0
B′|y′|2 dt и
∞
∫
t0
B′|yy′| dt.
Доказательство. Умножим (1.1) на By′ и проинтегрируем от t0 до t
t
∫
t0
By′y′′ ds +
t
∫
t0
ABy′y ds = 0.
Интегрируя по частям, получим
B|y′|2
∣
∣
∣
t
t0
−
t
∫
t0
By′′y′ ds −
t
∫
t0
B′|y|2 ds
+ AB|y|2
∣
∣
∣
t
t0
−
t
∫
t0
AByy′ ds −
t
∫
t0
(AB)′|y|2 ds = 0. (2.8)
Учитывая (1.1), имеем
t
∫
t0
By′′y′ ds +
t
∫
t0
AByy′ ds =
t
∫
t0
By′(y′′ + Ay) ds
=
t
∫
t0
By′(−Ay + Ay) ds = 2i
t
∫
t0
AIByy′ ds. (2.9)
Далее, умножим (1.1) на y и проинтегрируем от t0 до t
t
∫
t0
y′′y ds +
t
∫
t0
A|y|2 ds = 0.
Интегрируя по частям, получим
y′y
∣
∣
∣
t
t0
=
t
∫
t0
(
|y′|2 − A|y|2
)
ds.
586 О стремлении к нулю...
Так как y(t) — базисное решение, то y′(t0)y(t0) = 0. С учетом этого
умножим полученное равенство на i и возьмем действительную часть
Re iy′y =
t
∫
t0
AI |y|2 ds. (2.10)
Подставляя (2.9) в (2.8), извлекая действительную часть из получен-
ного равенства и учитывая (2.10) и тот факт, что
(ARB)′ = MB′,
получим
B|y′|2 + ARB|y|2 −
t
∫
t0
B′|y′|2 ds
−
t
∫
t0
B′|y′|2 ds −
t
∫
t0
(M − 1)B′|y|2 ds
− 2
t
∫
t0
AI(s)B(s)
s
∫
t0
AI(τ)|y(τ)|2 dτ ds = const . (2.11)
Первые четыре слагаемых в (2.11) положительны. Покажем, что
при соответствующем выборе M сумма двух последних слагаемых
также положительна. Обозначим для удобства N = M − 1. Имеем
−
t
∫
t0
NB′|y|2 ds − 2
t
∫
t0
AI(s)B(s)
s
∫
t0
AI(τ)|y(τ)|2 dτ ds
= −
t
∫
t0
NB′|y|2 ds − 2
t
∫
t0
AI(s)|y(s)|2
t
∫
s
AI(τ)B(τ) dτ ds
= −
t
∫
t0
|y|2
(
NB′(s) + 2AI(s)
t
∫
s
AI(τ)B(τ) dτ
)
ds.
Достаточно показать, что выражение в скобках отрицательно. В силу
неравенств (1.8) и (2.5) имеем
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 587
∣
∣
∣
∣
∣
2AI(s)
t
∫
s
AI(τ)B(τ) dτ
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 2 |AI(s)|
t
∫
s
|AI(τ)|B(τ) dτ
≤ 4C2 A′
R(s)
AR(s)
∞
∫
s
A′
R(τ)
A2
R(τ)
dτ = 4C2 A′
R(s)
AR(s)
(
− 1
AR
∣
∣
∣
∣
∞
s
)
= 4C2 A′
R(s)
A2
R(s)
≤ 4C2 A′
R(s)
(AR(s) − M)2
= −4C2B′(s).
Так как B′(s) < 0, то при N > 4C2 выражение в скобках отрицатель-
но.
Мы получили в (2.11) сумму пяти положительных слагаемых, ко-
торые в сумме дают константу. Значит, они ограничены.
Рассмотрим теперь
∫ t
t0
B′|yy′| ds. Применяя неравенство Коши–
Буняковского, получим
t
∫
t0
|B′yy′| ds ≤
(
−
t
∫
t0
B′|y|2 ds
)
1
2
·
(
−
t
∫
t0
B′|y′|2 ds
)
1
2
.
Откуда и следует сходимость интеграла в левой части. Лемма дока-
зана.
Из равенства (2.11) следует, что
f(t) = B|y′|2 + ARB|y|2 — (2.12)
монотонно убывающая положительная функция. Следовательно, су-
ществует
lim
t→∞
f(t) = a ≥ 0.
Мы докажем, что a = 0.
Лемма 2.3. Интеграл
∞
∫
0
ϕ(t) dt,
где
ϕ(t) = B|y′|2 − ARB|y|2, (2.13)
сходится.
588 О стремлении к нулю...
Доказательство. Умножим (1.1) на By и проинтегрируем от t0 до t
t
∫
t0
Byy′′ ds +
t
∫
t0
AB|y|2 ds = 0.
Интегрируя первое слагаемое по частям и перенося часть слагаемых
влево, получим
Byy′
∣
∣
∣
t
t0
−
t
∫
t0
B′yy′ ds =
t
∫
t0
B|y′|2 ds −
t
∫
t0
AB|y|2 ds. (2.14)
Интеграл
∫ t
t0
B′|yy′| ds имеет предел при t → ∞ в силу леммы 2.2.
Далее,
2B|yy′| ≤
√
ARB|y|2 +
B|y′|2√
AR
=
f(t)√
AR
→ 0,
так как f(t) → a, а
√
AR(t) → ∞.
Следовательно, левая часть в (2.14) имеет предел при t → ∞.
Извлекая реальную часть из обеих частей, получим, что интеграл
t
∫
t0
(
B|y′|2 − ARB|y|2
)
ds
имеет предел при t → ∞. Что и требовалось доказать.
Теперь закончим доказательство теоремы 1.1.
Из (2.12) и (2.13) следует, что
B|y′|2 =
1
2
(f(t) + ϕ(t)) .
В силу (1.6)
−B′(t) =
A′
R(t)
(AR(t) − M)2
≥ α(t)
AR(t) − M
= α(t)B(t).
Таким образом,
−
t
∫
t0
B′|y′|2 ds ≥
t
∫
t0
α(t)B|y′|2 ds
=
1
2
t
∫
t0
α(t)f(t) ds +
1
2
t
∫
t0
α(t)ϕ(t) ds. (2.15)
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 589
Интеграл
∞
∫
t0
α(t)ϕ(t) dt
сходится по признаку Дирихле. Интеграл
−
∞
∫
t0
B′|y′|2 dt
сходится по лемме 2.2. Но тогда из (2.15) следует сходимость инте-
грала
∞
∫
t0
α(t)f(t) dt.
Так как f(t) — монотонно убывает, то f(t) ≥ a, и, значит,
∞
∫
t0
α(t)f(t) dt ≥ a
∞
∫
t0
α(t) dt,
что возможно только при a = 0 в силу (1.7).
Таким образом, f(t) → 0. В силу (2.12) выполнено неравенство
ARB|y|2 ≤ f(t). Откуда ARB|y|2 → 0. Но ARB = AR
AR−M → 1, следо-
вательно |y|2 → 0. Кроме того, из (2.12) и сходимости интеграла
∞
∫
t0
α(t)f(t) dt
следует сходимость интеграла
∞
∫
t0
ARBα(t)|y|2 dt,
что эквивалентно сходимости интеграла
∞
∫
t0
α(t)|y|2 dt,
так как подынтегральная функция положительная и ARB → 1. Тео-
рема полностью доказана.
590 О стремлении к нулю...
3. Доказательство теоремы 1.2
Для доказательства воспользуемся ВКБ-оценками — приближен-
ными решениями уравнения (1.1). Для их применимости необходимо
показать, что ветвь
√
−A(t) такая, что Re
√
−A(t) ≥ 0, t > 0, являе-
тся функцией класса C2. Ясно, что для этой ветви
Re
√
−A =
√
1
2
(
√
A2
R + A2
I − AR
)
=
|AI |
√
2
(
√
A2
R + A2
I + AR
)
, (3.1)
Im
√
−A = SI
√
1
2
(
√
A2
R + A2
I + AR
)
, (3.2)
где число SI = 1, если AI(t) ≥ 0, t > 0, и SI = −1 в противном
случае.
Так как A ∈ C2(0,∞) и AR(t) > 0, t > 0, то функция
√
√
A2
R + A2
I + AR
является положительной функцией класса C2 на (0,∞). Так как AI(t)
не меняет знак на (0,∞), то |AI | ∈ C2(0,∞). Из двух последних заме-
чаний и формул (3.1), (3.2) следует, что данная ветвь
√
−A является
дважды непрерывно дифференцируемой на полуоси (0,∞). Во всех
дальнейших формулах берется именно эта ветвь
√
−A.
Введем обозначения
α(t) =
1
8(−A)5/2
(
(√
−A
)′′√
−A − 5
4
(
(√
−A
)′
)2)
, (3.3)
ρ(t0, t) =
t
∫
t0
|α(s)| ds, (3.4)
ỹ1 = (−A(t))−1/4 exp
( t
∫
t0
√
−A(s) ds
)
, (3.5)
ỹ2 = (−A(t))−1/4 exp
(
−
t
∫
t0
√
−A(s) ds
)
. (3.6)
Тогда из [3] имеем, что если выполнено условие
ρ(0, +∞) < ∞, (3.7)
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 591
то уравнение (1.1) имеет решения y1 и y2 такие, что
∣
∣
∣
∣
y1(t)
ỹ1(t)
− 1
∣
∣
∣
∣
≤ 2(e2ρ(0,t) − 1), (3.8)
∣
∣
∣
∣
y2(t)
ỹ2(t)
− 1
∣
∣
∣
∣
≤ 2(e2ρ(t,+∞) − 1). (3.9)
Проверим справедливость условия (3.7) в нашем случае. Преобра-
зовав выражение (3.3), получим
α(t) =
iA′′(t)
16A5/2(t)
− 9i(A′(t))2
128A7/2(t)
. (3.10)
Подставляя это равенство в (3.4), получим
ρ(t0, t) ≤
1
16
t
∫
t0
|A′′(s)|
|A(s)|5/2
ds +
9
128
t
∫
t0
|A′(s)|2
|A(s)|7/2
ds.
Используя (1.10) получаем, что выполнено (3.7).
Покажем теперь, что ỹ1, ỹ2 → 0, при t → ∞. В силу (3.1) и (1.11)
имеем
∣
∣
∣
∣
∣
exp
( ∞
∫
0
√
−A(t) dt
)∣
∣
∣
∣
∣
= exp
( ∞
∫
0
Re
√
−A(t) dt
)
≤ exp
( ∞
∫
0
|AI(t)|
2
√
AR(t)
dt
)
< +∞.
Далее, учитывая (3.5) и (3.6), а так же то, что A(t) → ∞, получим,
что ỹ1, ỹ2 → 0 при t → ∞. Отсюда, по свойствам (3.8) и (3.9), с
учетом того, что выполнено (3.7), следует, что y1, y2 → 0 при t → ∞.
Эти решения являются базисными, поэтому теорема верна для всех
решений уравнения (1.1).
4. Независимость условий теорем
В этом разделе мы докажем, что ни одна из доказанных теорем
не является следствием другой.
Сразу отметим, что если выполнены все условия теоремы 1.1, то
условие (1.11) теоремы 1.2 выполнено автоматически. Действительно,
∞
∫
0
|AI(t)|
√
AR(t)
dt ≤ C
∞
∫
0
A′
R(t)
AR(t)3/2
dt =
−C
√
AR(t)
∣
∣
∣
∣
∞
0
=
C
√
AR(0)
< ∞,
592 О стремлении к нулю...
так как AR(t) → +∞ при t → +∞. Если A(·) ∈ C2(0, +∞) и AI не ме-
няет знак на (0,∞), то все условия теоремы 1.2, кроме условия (1.10)
также выполнены. Поэтому нарушаться может только условие (1.10).
Рассмотрим действительную функцию
A1(t) =
t
∫
0
(2 + sin es) ds.
Покажем, что A1 удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1, но при
этом не удовлетворяет условию (1.10). Ясно, что
A1(t) ր +∞ при t → ∞, t ≤ A1(t) ≤ 3t, 1 ≤ A′
1(t) ≤ 3. (4.1)
Положим
α(t) =
1
3t
ց 0. (4.2)
Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что
α(t) ≤ A′
1(t)
A1(t)
и
+∞
∫
t0
α(t) dt = +∞.
Таким образом, A1(t) действительно удовлетворяет условиям теоре-
мы 1.1. С другой стороны
+∞
∫
t0
|A′′
1(t)|
|A1(t)|5/2
dt ≥
+∞
∫
t0
et
∣
∣cos et
∣
∣
t5/2
dt =
+∞
∫
t1
|cos τ |
ln5/2 τ
dτ = +∞,
то есть условие (1.10) не выполняется.
Теперь рассмотрим функцию
A2(t) = t3 + it−1/4.
Покажем, что A2 удовлетворяет всем условиям теоремы 1.2, но при
этом не удовлетворяет условию (1.8) теоремы 1.1. В проверке нужда-
ются лишь условия (1.10) и (1.11). Заметим, что
|A′′
2(t)|
|A2(t)|5/2
=
∣
∣6t + 5i/16 · t−9/4
∣
∣
∣
∣t3 + it−1/4
∣
∣
5/2
∼ 6t
t15/2
=
6
t13/2
при t → +∞;
и
|A′
2(t)|2
|A2(t)|7/2
=
∣
∣3t2 − i/4 · t−5/4
∣
∣
2
∣
∣t3 + it−1/4
∣
∣
7/2
∼ 9t4
t21/2
=
9
t13/2
, при t → +∞;
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 593
Отсюда следует, что интегралы в (1.10) сходятся.
Далее имеем AR = Re A2 = t3 и AI = ImA2 = t−1/4. Поэтому
|AI(t)|
√
AR(t)
=
1
t5/4
,
откуда следует, что интеграл в (1.11) также сходится. С другой сто-
роны
AR(t)|AI(t)|
A′
R(t)
=
t3/4
3
→ ∞ при t → ∞,
поэтому условие (1.8) не выполнено.
Наконец, рассмотрим вещественную функцию
A3(t) = t + sin t.
Так как A′
3(t) = 1+cos t = 0 при t = π(2n+1), n ∈ N, то условия (1.6)
и (1.7) не могут выполняться одновременно, поэтому теорема 1.1 не
применима в этом случае. С другой стороны легко проверить выпол-
нимость всех условий теоремы 1.2. Отметим, что теорема Сансоне
также не применима для такой функции A(t). Действительно, если
взять tn = an, где a > 2π, то последовательность {tn} удовлетворя-
ет условию (1.3), но любой отрезок [tn−1, tn] будет содержать ноль
производной и поэтому ряд в (1.4) будет нулевым.
Из вышесказанного следует, что теоремы 1.1 и 1.2 не вытекают
одна из другой, а дополняют друг друга даже в случае вещественно-
го потенциала. При этом, теорема 1.2, по-видимому, является новой
даже в случае A = A.
5. Существенность условий теорем
Пример функции, показывающий, что условие (1.6) теоремы 1.1
является существенным, приведен в [2]. Покажем, что если заменить
условие (1.11) на очень близкое к нему условие
∞
∫
0
|AI |
A
1/2+ε
R
dt < ∞, (5.1)
где ε > 0 произвольное число, то утверждение теоремы 1.2 становится
не верным.
Пусть AR — произвольная положительная монотонно стремяща-
яся к бесконечности функция класса C3. Положим
AI = −
√
AR
′
=
−A′
R
2
√
AR
≤ 0.
594 О стремлении к нулю...
Так как AR(t) → ∞, то
∞
∫
0
|AI |
A
1/2+ε
R
dt =
∞
∫
0
A′
R
2A1+ε
R
dt =
1
−2εAε
R
∣
∣
∣
∞
0
< ∞.
Следовательно A(t) удовлетворяет условию (5.1). Ясно, что A(t) так-
же удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iv) теоремы 1.2.
Теперь покажем, что функция
y(t) = exp
(
i
t
∫
0
√
AR(s) ds
)
является решением уравнения (1.1). Заметим, что
y′(t) = i
√
AR(t) exp
(
i
t
∫
0
√
AR(s) ds
)
= i
√
AR(t)y(t).
Поэтому
y′′ =
(
i
√
AR y
)′
=
(
i
√
AR
)2
y + i
√
AR
′
y = −ARy − iAIy = −Ay.
Но |y(t)| = 1, поэтому y(t) не стремится к нулю при t → ∞.
Таким образом, если A(t) вдобавок удовлетворяет еще и усло-
вию (1.10), то существенность условия (1.11) показана. Условие (1.10)
для A(t) выполнено, например, если AR(t) = tn, AR(t) = et или
AR(t) = log(t + 1).
Благодарность. Авторы выражают глубокую благодарность
М. М. Маламуду за постановку задачи и полезные советы при выпол-
нении работы.
Литература
[1] Л. А. Гусаров, О стремлении к нулю решений линейного дифференциального
уравнения второго порядка // ДАН СССР, 21 (1950), No. 1, 9–12.
[2] В. Б. Лидский, Б. В. Федосов, О стремлении к нулю решений дифферен-
циального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами //
Математические заметки, 2 (1967), No. 2, 307–314.
[3] М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1983.
[4] G. Armellini, Sopra un’equazione differenziale della dinamica // Rend. Accad.
Naz. Lincei, 21 (1935), 111–116.
[5] F. V. Atkinson and J. W. Macki, On regular growth and asymptotic stability //
Rocky Mountain J. Math., 16 (1986), No. 1, 111–118.
А. А. Лунёв, Л. Л. Оридорога 595
[6] M. Biernacki, Sur l’equation differentielle x′′ + A(t)x = 0 // Prace Mat. Fiz., 40
(1933), 163–171.
[7] H. A. DeKleine, A counterexample to a conjecture in second-order linear equati-
ons // Michigan Math. Joutnal, 17 (1970), No. 1, 29–32.
[8] A. Galbraith, E. J. McShane and G. Parrish, On the solutions of linear second-
order differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 53 (1965), 247–249.
[9] P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.
[10] L. Hatvani, The growth condition guaranteeing small solutions for a linear osci-
llator with an increasing elasticity coefficient // Georgian Math. Journal, 14
(2007), No. 2, 269–278.
[11] W. Leighton, Behavior of solutions of a linear differential equation of second
order // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 52 (1964), No. 3, 830–832.
[12] W. Leighton, Erratum: Behavior of Solutions of a Linear Differential Equation
of Second Order // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 52 (1964), No. 4, 1129.
[13] J. W. Macki, Regular growth and zero-tending solutions, in Ordinary Differenti-
al Equations and Operators, Proc. Symposium Dundee, Scotland, March-July
1982, Lecture Notes in Mathematics 1032, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-
New York-Tokyo, 1983, 358–374.
[14] E. J. McShane, On the Solutions of the Differential Equation y′′ + p2y = 0 //
Proc. AMS, 17 (1966), No. 1, 55–61.
[15] A. Meir, D. Willett, and J. S. W. Wong, On the asymptotic behavior of the soluti-
ons of x′′ + a(t)x = 0 // Michigan Math. Journal, 14 (1967), No. 1, 47–52.
[16] H. Milloux, Sur l’equation differentielle x′′ + A(t)x = 0 // Prace Mat. Fiz., 41
(1934), 39–54.
[17] G. Sansone, Sopra il comportamento asintotico delle soluzioni di un’equazione
differenziale della dinamica // Scritti Matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia,
(1936), 385–403.
[18] D. Willett, On an Example in Second Order Linear Ordinary Differential Equati-
ons // Proc. AMS, 17 (1966), No. 6, 1263–1266.
Сведения об авторах
Антон Андреевич
Лунёв
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Розы Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: Anton_Lunyov@mail.ru
Леонид
Леонидович
Оридорога
Донецкий национальный университет
ул. Университетская 24,
83055, Донецк,
Украина
E-Mail: vremenny-orid@mail.ru
|