Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными
Вводится и обсуждается понятие почти-решения уравнения в частных производных.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124437 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 596-606. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124437 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244372017-09-27T03:03:03Z Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными Миклюков, В.М. Вводится и обсуждается понятие почти-решения уравнения в частных производных. 2011 Article Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 596-606. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34A45. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124437 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Вводится и обсуждается понятие почти-решения уравнения в частных производных. |
| format |
Article |
| author |
Миклюков, В.М. |
| spellingShingle |
Миклюков, В.М. Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными Український математичний вісник |
| author_facet |
Миклюков, В.М. |
| author_sort |
Миклюков, В.М. |
| title |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| title_short |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| title_full |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| title_fullStr |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| title_full_unstemmed |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| title_sort |
специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124437 |
| citation_txt |
Специальная аппроксимация решений нелинейных уравнений с частными производными / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 596-606. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT miklûkovvm specialʹnaâapproksimaciârešenijnelinejnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:26:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:26:15Z |
| _version_ |
1837130711934435328 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 4, 596 – 606
Р. М. Тригубу в знак доброй памяти
о днях молодости в ДонГУ
Специальная аппроксимация решений
нелинейных уравнений с частными
производными
Владимир М. Миклюков
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Вводится и обсуждается понятие почти-решения урав-
нения в частных производных.
2010 MSC. 34A45.
Ключевые слова и фразы. Обобщенное решение, почти-решение.
Почти-решения
В большинстве приложений дифференциальных уравнений в ес-
тествознании на самом деле мы имеем дело не с (идеальными) ре-
шениями уравнений, но с функциями, “близкими” к истинным ре-
шениям. В процессе приближенного вычисления мы также находим
лишь функцию, “близкую” к истинному решению. Ниже приводится
описание работ, посвященных почти-решениям уравнений в частных
производных с дивергентной главной частью, представляющим собой
специальную аппроксимацию решений (краткий обзор см. в [1]).
Пусть D ⊂ R
n — область и пусть k(x) : D → R — измеримая по
Лебегу функция такая, что для всякой подобласти D′ ⊂⊂ D выпол-
нено
0 < ess inf
D′
k(x) ≤ ess sup
D′
k(x) < ∞.
Пусть A : D × R
n → R
n — отображение, удовлетворяющее следу-
ющим предположениям:
Статья поступила в редакцию 30.08.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
В. М. Миклюков 597
(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R
n → A(x, ξ) определено
и непрерывно,
(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R
n;
(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R
n выполняются следующие
структурные ограничения
µ1 k(x) |ξ|p ≤ 〈ξ, A(x, ξ)〉, |A(x, ξ)| ≤ µ2 k(x) |ξ|p−1,
где µ1, µ2 > 0 и p ≥ 1 — некоторые постоянные.
Рассмотрим уравнение
div A(x,∇h) = 0. (1)
Данное уравнение содержит как частный случай уравнение для
p-гармонических функций, где предполагается p > 1 [2]. Допущение
p = 1 позволяет включить в рассмотрения уравнение минимальной
поверхности, уравнение максимальной поверхности в пространстве
Минковского, а также уравнение газовой динамики.
Фиксируем ε > 0. Будем говорить, что непрерывная функция h
класса W 1,p
loc (D) является почти-решением уравнения (1), если для
всякой непрерывной функции
ϕ(x) ∈ W 1,q(D), 0 ≤ |ϕ(x)| ≤ 1,
с компактным носителем suppϕ ⊂ D выполнено:
∣
∣
∣
∣
∣
∫
D
〈∇ϕ, A(x,∇h)〉 dx
∣
∣
∣
∣
∣
< ε.
Величину ε > 0 будем называть уклонением почти-решения h.
Нетрудно видеть, что всякая C2-функция h : D → R
1 такая,
что |div A(x,∇h)| ≤ ε1, является почти-решением (1) с уклонением
ε1 mesn (D).
Понятие почти-решения было введено в нашей работе [3] в связи
с изучением решений с особенностями уравнения (1). Показано, что
при определенных условиях решение (1), даже имеющее неустрани-
мые особенности, может являться почти-решением. Даны оценки его
уклонения.
В работе [4] устанавливаются связи почти-квазиконформных ото-
бражений в смысле Каллендера с почти-решениями уравнений вида
(1).
В [5, гл. 14] вводится понятие почти-решения системы Бельтрами.
В работе [6] доказывается специальная форма принципа макси-
мума для разности почти-решений.
598 Специальная аппроксимация решений...
Теорема 1. Пусть h1, h2 — почти-решения уравнения (1) в ограни-
ченной области D ⊂ R
n, имеющие уклонения ε1 > 0, ε2 > 0, соот-
ветственно, и удовлетворяющие на границе области предположе-
нию
lim sup
x→x0
x∈D,
x0∈∂D
(h1(x) − h2(x)) ≤ 0 ∀x0 ∈ ∂D.
Тогда либо h1(x) ≤ h2(x) всюду в D, либо открытое множество
O = {x ∈ D : (h1(x) − h2(x)) > 0}
не пусто и
∫
{|x|<r}∩O
k(x) |∇(h2 − h1)|2 dHn ≤ 2M
µ1
(ε1 + ε2),
M = sup
D
|h2(x) − h1(x)|.
В работах [7–9] указываются размеры зон стагнации почти-реше-
ний уравнений эллиптического и параболического типов.
В работе [10] приводится некоторая специальная версия неравен-
ства Гарнака для почти-решений. Именно, доказана следующая
Теорема 2. Пусть D — область в R
n и U, V — ее подобласти, V ⊂⊂
U ⊂⊂ D. Пусть h — положительное почти-решение в D уравнения
(1) с k ≡ 1, p > n − 1 и
A(x, λξ) = λ |λ|p−2 A(x, ξ) ∀x ∈ D и ∀λ ∈ R
1. (2)
Тогда
inf
OC
max{h(x) : x ∈ V \ OC}
≤ exp{ θp(V, U, D)} sup
OC
min{h(x) : x ∈ V \ OC},
где точная нижняя и точная верхняя грани берутся по всевозмо-
жным непустым открытым подмножествам OC ⊂ D, D \OC 6= ∅,
таким, что h|∂OC
= C, C = const, и θp(V, U, D) — некоторая посто-
янная (вид которой указывается).
В случае, когда почти-решение монотонно в смысле Лебега, от-
крытые подмножества OC указанного вида отсутствуют и теорема 2
принимает стандартный вид.
В работе [11] устанавливается связь решений уравнений парабо-
лического типа с почти-решениями подходящих уравнений эллипти-
ческого типа. Именно, доказана
В. М. Миклюков 599
Теорема 3. Пусть h = h(x, t) : D × (τ0, τ1) → R
1 — обобщенное
решение уравнения
div A(x,∇h) = B(t, h, h′
t),
где A(x, ξ) удовлетворяет условию (2),
B(t, h, h′
t) = b0(t) |h|p−2 h + b1(t) |h|p−2 h
∂h
∂t
(x, t)
и
b0(t) > 0, b1(t) : (τ0, τ1) ⊂ R
1 → R
1 —
локально липшицевы на (τ0, τ1) функции.
Тогда h(x, t) является почти-решением некоторого уравнения ви-
да (1), а уклонение s(τ0, τ1) почти-решения определяется выражени-
ем
s(τ0, τ1) =
∫
D
dHn
τ1
∫
τ0
∣
∣
∣
b0 |h|p−2h + b1 |h|p−2hh′
t −
d
dt
(
b1 |h′
t|p−2h′
t
)
∣
∣
∣
dt.
Близкие утверждения имеют место и для решений уравнений ги-
перболического типа.
Некоторые приложения к вопросам устранения особенностей ре-
шений уравнения газовой динамики и отображений с ограниченным
искажением см. в главе 7 нашей книги [12].
Рассмотрим уравнение
div(|∇h|p−2∇h) = 0, p > 1. (3)
Почти-решения с уклонением ε = 0 являются обобщенными ре-
шениями. Обобщенные решения h уравнения (3) называются также
p-гармоническими функциями, а само уравнение (3) — p-гармоничес-
ким (см. [2]).
В работе [13] доказывается аналог теоремы Адамара о трех окру-
жностях для почти p-гармонических функций, определенных в обла-
стях типа шарового слоя. Доказательство базируется на принципе
максимума для разности почти p-гармонических функций.
Пусть D ⊂ R
n — область и пусть k(x) : D → R
1 — измеримая по
Лебегу, неотрицательная и почти всюду конечная функция.
Пусть A, B — непустые, замкнутые относительно D, непересека-
ющиеся подмножества. Обозначим через
capk (A, B) = inf
u
∫
D
k(x) |∇u|2 dHn, u ∈ C1(D), u|A ≡ 0, u|B ≡ 1,
600 Специальная аппроксимация решений...
взвешенную k-емкость конденсатора (A, B; D) и через
λk(O) = inf
u
∫
O k(x) |∇u|2dHn
∫
O k(x)u2dHn
, u ∈ C1(O) ∩ C0(O), u|∂O = 0, —
взвешенную основную частоту открытого множества O ⊂ R
n.
Будем говорить, что неограниченная область D ⊂ R
n является k-
узкой в окрестности бесконечно удаленной точки R
n, если при всяком
r > 0 выполнено
lim
R→∞
capk (Dr, D \ DR) = 0,
где Dt = {|x| < t} ∩ D.
Ниже приводится обобщение теоремы о трех окружностях на слу-
чай p-гармонических функций v : Ω → R
1, заданных в j-шарах в R
n,
определяемых следующим образом. Зафиксируем целое j, 1 ≤ j ≤ n
и вещественное число t ≥ 0. Множества
Bj(t) = {x ∈ R
n : dj(x) < t} и Σj(t) = ∂Bj(t),
где
dj(x) =
( j
∑
i=1
x2
i
)1/2
,
мы будем называть соответственно j-шаром и j-сферой в R
n. При j =
n шар Bj(t) совпадает со стандартным евклидовым шаром Bn(0, t)
и сфера Σj(t) есть евклидова сфера Sn−1(0, t). В частности, символ
Σj(0) определяет j-сферу радиуса 0, т.е.
Σj(0) = {x = (x1, . . . , xj , . . . , xn) : x1 = · · · = xj = 0}.
Пусть 0 < α < β < ∞ — фиксированные числа и пусть
Dj
α,β = {x ∈ R
n : α < dj(x) < β}.
При j = 1 множество Dj
α,β есть слой, расположенный между двумя
параллельными гиперплоскостями. При 1 < j < n граница области
Dj
α,β состоит из двух цилиндрических поверхностей.
Пусть v ∈ C0(Dj
r,R), и пусть
M(r) = lim sup
x→Σj(r)
v(x).
Рассмотрим функцию
vr,R(x) =
v(x) − M(r)
M(R) − M(r)
, r < R.
В. М. Миклюков 601
Теорема 4. Пусть 1 < p < ∞, 0 < r < R ≤ ∞. Пусть v(x) ∈
Liploc(D
j
r,R) — неотрицательное почти-решение уравнения (3) в об-
ласти Dj
r,R, 1 ≤ j ≤ n, с уклонением ε > 0 и пусть M(t) =
supΣi(t) v(x). Тогда при всех t ∈ (r, R) таких, что
Σj(t) ∩ O = ∅, O = {x ∈ Dj
r,R : vr,R(x) − u(x) > 0},
выполнено
M(t) ≤
(
M(R) − M(r)
)
uj,p
0 (t) + M(r),
При этом, если открытое множество O не пусто, то
1
2
∫
{|x|<r}∩O
k(x) |∇(vr,R(x) − u(x))|2 dHn
≤ A
µ1
ε + 2
(µ2
µ1
)2
A2 capk (Or,O \ OR),
где
A = sup
Dj
r,R
|vr,Q(x) − u(x)|
и
k(x) =
1
∫
0
|λ∇v(x) + (1 − λ)(M(R) − M(r))∇u(x)|p−2 dλ.
В случае j = p = n имеем
ξ(r, t) = ln
t
r
и un,n
0 (t) =
ln(t/r)
ln(R/r)
и, тем самым, из теоремы 4 вытекает
Следствие 1. Пусть 0 < r < R ≤ ∞ и пусть v(x) ∈ Liploc(D
n
r,R) —
неотрицательное почти-решение уравнения (3) с p = n и уклонени-
ем ε > 0 в шаровом слое
Dn
r,R = {r < |x| < R}.
Тогда при всех t ∈ (r, R) таких, что
Σn(t) ∩ O = ∅, O = {x ∈ Dn
r,R : vr,R(x) − u(x) > 0},
выполнено
M(t)ln(R/r) ≤ M(r)ln(R/t) M(R)ln(t/r),
При этом, если открытое множество O не пусто, то имеет место
указанная в теореме 4 оценка его размеров.
602 Специальная аппроксимация решений...
В работе [14] рассматриваются почти-решения сильно нелиней-
ных уравнений эллиптического типа, включая уравнение минималь-
ных поверхностей. Приводится специальная версия теоремы Адамара
о трех окружностях. При этом в отличие от случая p-гармонических
функций для оценки максимума функции на внутренней окружности
достаточно знания максимума только на внешней, что является про-
явлением эффекта сильной нелинейности уравнения (см., например,
главу VI монографии [15]).
Пусть σ(τ) : [0, q2) → (0,∞) — функция, принадлежащая классу
C1 на полуинтервале [0, q2), 0 < q ≤ ∞, и такая, что существует
предел
qσ(q2)
def
= lim
τ→q
τσ(τ2) < ∞,
а функция
σ∗(τ)
def
= σ(τ) + 2τσ′(τ) > 0.
Рассмотрим уравнение
n
∑
i=1
∂
∂xi
(
σ(|∇f |2) ∂f
∂xi
)
= 0.
Функция h(τ) =
√
τσ(τ) строго монотонна. Обозначим через H =
h−1 обратную к ней функцию. Предположим, что
∫
r0
H
[qσ
(
q2
)
rn−1
0
sn−1
]
ds < ∞.
При выполнении данного условия полагаем
Φ0(r) =
r
∫
r0
H
[qσ
(
q2
)
rn−1
0
sn−1
]
ds.
Пусть f(x) — непрерывная функция, определенная в шаровом
слое
Dr0r1
= B(r1) \ B(r0), где 0 ≤ r0 < r1 ≤ ∞,
и пусть
Mf (ri) = lim sup
x→S(ri)
x∈Dr0r1
f(x) (i = 0, 1).
В описанных предположениях имеет место
В. М. Миклюков 603
Теорема 5. Пусть f(x) есть неотрицательное C1,1-решение урав-
нения
n
∑
i=1
∂
∂xi
(
σ(|∇f |2) ∂f
∂xi
)
= µ,
где µ = µ(x) — измеримая в шаровом слое Dr0r1
функция, удовле-
творяющая условию
∫
D
|µ(x)| dHn ≤ ε.
Пусть
O = {x ∈ Dr0r1
: Mf (r0) − Φ0(|x|) > f(x)} .
Тогда, если S(r0) ∩ O = ∅, то
Mf (r0) ≤ Mf (r1) − Φ0(r1).
При этом, если множество O не пусто, то
∫
O
k(x)|∇f(x) −∇Φ0(|x|)|2 dHn ≤ Mf (r1) ε,
где
k(x) =
1
∫
0
σ∗
(
|λ∇f(x) − (1 − λ)∇Φ0(|x|)|2
)
dλ.
Отметим одно следствие теоремы 5 для графиков заданной сре-
дней кривизны. Рассмотрим уравнение
div
∇f(x)
√
1 + |∇f(x)|2
= µ(x). (4)
Данное уравнение описывает графики средней кривизны µ(x)/n.
Здесь
σ(τ) = (1 + τ)−1/2 , 0 ≤ τ < q = ∞, qσ(q2) = 1,
и
σ′(τ) = −1
2
(1 + τ)−3/2 ≤ 0,
откуда находим
σ∗(τ) = σ(τ) + 2τ σ′(τ) =
1
(1 + τ)3/2
.
Тем самым, все предположения теоремы 5 выполняются.
604 Специальная аппроксимация решений...
Далее имеем
Φ0(|x|) = rn−1
0
|x|
∫
r0
ds
√
s2(n−1) − r
2(n−1)
0
и
k(x) =
1
∫
0
dλ
(1 + |λ∇f(x) + (1 − λ)∇Φ0(x)|2)3/2
≥ 1
(1 + max{|∇f(x)|2, |∇Φ0(x)|2})3/2
.
Следствие 2. Пусть f(x) — неотрицательное C2-решение уравне-
ния (4) в шаровом слое Dr0r1
.
Тогда, если S(r0) ∩ O = ∅, то
Mf (r0) + rn−1
0
r1
∫
r0
ds
√
s2(n−1) − r
2(n−1)
0
≤ Mf (r1).
При этом, если O не пусто, то имеет место указанная выше
оценка его размеров.
В случае решений уравнения минимальных поверхностей имеем
известные результаты (см. главу VI цитированной выше монографии
И. С. С. Ниче).
В работе [16] приводится аналог теоремы Лиувилля для почти-
решений A-гармонических уравнений. В работе [17] доказывается
аналог теоремы Лиувилля для почти замкнутых дифференциальных
форм специального вида.
В [18] рассматривается вопрос о наследовании альтернативы
Фрагмена–Линделефа при аппроксимации решений A-гармонических
уравнений почти-решениями.
Литература
[1] В. М. Миклюков, Специальная аппроксимация решений уравнений с ча-
стными производными // International Conference in Modern Analysis,
Abstracts, Donetsk National University, Donetsk, Ukraine, June 20–23, 2011,
p. 78.
[2] J. Heinonen, T. Kilpeläinen, and O. Martio, Nonlinear potential theory of
degenerate elliptic equations, Clarendon Press, Oxford etc., 1993.
В. М. Миклюков 605
[3] В. М. Миклюков, A-решения с особенностями как почти-решения // Матем.
сб., 197 (2006), вып. 11, 31–50.
[4] В. М. Миклюков, Почти квазиконформные отображения как почти-
решения, в сб. Математический и прикладной анализ, вып. 3, изд-во Тю-
менск. гос. ун-та., 2007, 59–70.
[5] В. М. Миклюков, Функции весовых классов Соболева, анизотропные метри-
ки и вырождающиеся квазиконформные отображения, Волгоград: изд-во
ВолГУ, 2010.
[6] В. М. Миклюков, Принцип максимума для разности почти-решений не-
линейных эллиптических уравнений // Вестник Томского государственного
университета. Математика и механика, (2007), No. 1, 33–45.
[7] В. М. Миклюков, Зоны стагнации решений и почти-решений эллиптических
уравнений, Восьмая Казанск. летняя школа-конференция “Теория функций,
ее приложения и смежные вопросы”, Труды математического центра имени
Н. И. Лобачевского, т. 35, Казань: Казанское математическое общество, 2007,
174–181.
[8] В. М. Миклюков, О зонах стагнации в сверхмедленных процессах // Докл.
Акад. Наук, 418 (2008), No. 3, 304–307.
[9] В. М. Миклюков, Оценки размеров зоны стагнации почти-решений уравне-
ний параболического типа, Сибирский журнал индустриальной математики,
XI (2008), No. 3(35), 96–101.
[10] В. М. Миклюков, К неравенству Гарнака для почти-решений эллиптических
уравнений // Изв. РАН, Серия математическая, 73 (2009), No. 5, 171–180.
[11] В. М. Миклюков, Решения параболических уравнений как почти-решения
эллиптических, Математический и прикладной анализ. Тюмень: изд-во Тю-
менск. гос. ун-та, (2010), вып. 4, 96–113.
[12] В. М. Миклюков, Геометрический анализ. Дифференциальные формы,
почти-решения, почти квазиконформные отображения, Волгоград: изд-во
ВолГУ, 2007.
[13] В. М. Миклюков, Теорема о трех сферах для почти гармонических функций,
в сб. Записки семинара “Сверхмедленные процессы”, вып. 5, Волгоград: изд-
во ВолГУ, 2010, 15–24.
[14] В. М. Миклюков, Теорема о двух сферах для почти-решений уравнений типа
минимальной поверхности, в сб. Записки семинара “Сверхмедленные процес-
сы”, вып. 5, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2010, 52–62.
[15] J. C. C. Nitsche, Vorlesungen über Minimalflächen, Springer-Verlag, Berlin–
Heidelberg–New York, 1975.
[16] В. М. Миклюков, Теорема Лиувилля для почти-решений A-гармонических
уравнений, в сб. Записки семинара “Сверхмедленные процессы”, вып. 5, Вол-
гоград: изд-во ВолГУ, 2010, 162–174.
[17] В. М. Миклюков, Теорема Лиувилля для почти замкнутых дифференциаль-
ных форм специальных классов, в сб. Записки семинара “Сверхмедленные
процессы”, вып. 5, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2010, 181–187.
[18] В. М. Миклюков, Геометрический анализ, 2-е изд., 2011, www.uchimsya.co.
606 Специальная аппроксимация решений...
Сведения об авторах
Владимир
Михайлович
Миклюков
Независимая научная лаборатория
“Uchimsya.LLC”
Нью Йорк,
США
E-Mail: miklyuk@mail.ru,
miklyuk@hotmail.com
|