Строгие и бистрогие плюс-операторы

Статья посвящена теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Изучаются строгие плюс-операторы, действующие из одного пространства Крейна в другое. Приведена конструкция, показывающая, что при определенных условиях строгий плюс-оператор можно, не ограничивая, общности считать бистрогим...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Азизов, Т.Я., Сендеров, В.А., Хацкевич, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124445
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Строгие и бистрогие плюс-операторы / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 1-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124445
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244452017-09-27T03:03:17Z Строгие и бистрогие плюс-операторы Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. Статья посвящена теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Изучаются строгие плюс-операторы, действующие из одного пространства Крейна в другое. Приведена конструкция, показывающая, что при определенных условиях строгий плюс-оператор можно, не ограничивая, общности считать бистрогим. 2014 Article Строгие и бистрогие плюс-операторы / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 1-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 47B50, 47A52. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124445 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Статья посвящена теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Изучаются строгие плюс-операторы, действующие из одного пространства Крейна в другое. Приведена конструкция, показывающая, что при определенных условиях строгий плюс-оператор можно, не ограничивая, общности считать бистрогим.
format	Article
author	Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А.
spellingShingle	Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. Строгие и бистрогие плюс-операторы Український математичний вісник
author_facet	Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А.
author_sort	Азизов, Т.Я.
title	Строгие и бистрогие плюс-операторы
title_short	Строгие и бистрогие плюс-операторы
title_full	Строгие и бистрогие плюс-операторы
title_fullStr	Строгие и бистрогие плюс-операторы
title_full_unstemmed	Строгие и бистрогие плюс-операторы
title_sort	строгие и бистрогие плюс-операторы
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124445
citation_txt	Строгие и бистрогие плюс-операторы / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 1-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT azizovtâ strogieibistrogieplûsoperatory AT senderovva strogieibistrogieplûsoperatory AT hackevičva strogieibistrogieplûsoperatory
first_indexed	2025-07-09T01:26:32Z
last_indexed	2025-07-09T01:26:32Z
_version_	1837130731162173440
fulltext	Український математичний вiсник Том 11 (2014), № 1, 1 – 14 Строгие и бистрогие плюс-операторы Томас Я. Азизов, Валерий А. Сендеров, Виктор А. Хацкевич (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. Статья посвящена теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Изучаются строгие плюс-операторы, дей- ствующие из одного пространства Крейна в другое. Приведена кон- струкция, показывающая, что при определенных условиях строгий плюс-оператор можно, не ограничивая, общности считать бистро- гим. 2010 MSC. 47B50, 47A52. Ключевые слова и фразы. Индефинитная метрика, строгий плюс- оператор, G-пространства, J-пространства. 1. Введение Наша работа посвящена теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. В основном мы придерживаемся определе- ний и обозначений из [2, 3] и рассчитываем, что читатель знаком с основами общей теории операторов, в том числе, и в пространствах с индефинитной метрикой. Напомним некоторые понятия, с которыми мы будем работать. Пусть H — гильбертово пространство, а G — самосопряженный, определенный всюду в H (и потому ограниченный), оператор. Наряду со скалярным произведением (x, y) будем рассматривать в H эрми- тову полутора-линейную форму [x, y] = (Gx, y), называемую в дальнейшем G-метрикой. Спектром σ(G) оператора G может быть любое компактное подмножество вещественной оси. Поэтому по отношению к G-метрике каждый вектор x ∈ H может Статья поступила в редакцию 16.10.2012 Работа Т. Я. Азизова поддержана грантом РФФИ 12-01-00102-а ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 2 Строгие и бистрогие плюс-операторы оказаться либо положительным ([x, x] > 0), либо отрицательным ([x, x] < 0), либо нейтральным ([x, x] = 0). Линеал (≡ линейное мно- жество) L называется положительным (неотрицательным), отри- цательным (неположительным) или нейтральным, если для всех x ∈ L\{0} имеют место соотношения [x, x] > 0, ([x, x] ≥ 0), [x, x] < 0 ([x, x] ≤ 0), [x, x] = 0, соответственно. Линеал L называется равно- мерно положительным/отрицательным, если он положителен/отри- цателен и норма \|[x, x]\|1/2 эквивалентна исходной гильбертовой нор- ме. Естественным образом определяются максимальные линеалы всех перечисленных классов. Линеал L называется невырожденным, если из равенства [x0, y] = 0, справедливого для некоторого x0 ∈ L и всех y ∈ L, следует, что x0 = 0. В противном случае, L называется вырожденным линеалом. Всюду ниже подпространством будем называть замкнутый лине- ал. Пусть {Eλ}λ∈R — непрерывная слева (Eλ−0 = Eλ) спектраль- ная функция оператора G, R — вещественная ось. Введем в рас- смотрение ортопроекторы P− := E0, P+ := I − E0 (P+ + P− = I) и соответствующее разложение пространства H в ортогональную и G- ортогональную прямую сумму: H = H+ ⊕ H− (H± = P±H). (1.1) Пусть H1 и H2 — G1- и G2-пространство, соответственно. Рассмо- трим соответствующие разложения типа (1.1). Относительно таких разложений пространств всякий ограниченный оператор, действую- щий из H1 в H2 (A ∈ L(H1,H2)), естественным образом представляе- тся матрицей A = (Aij) 2 i,j=1. Особое место в теории операторов с индефинитной метрикой за- нимает случай, когда λ = 0 — регулярная точка оператора G (0 ∈ ρ(G)). Такие G-пространства называют регулярными или, что в по- следнее время чаще, пространствами Крейна. Простейшим (универ- сальным) примером регулярной G-метрики является так называе- мая J-метрика, определяемая оператором G ≡ J = P+ − P−, где ортопроекторы P 2 ± = P± = P ∗ ± задают ортогональное разложение H = H+ ⊕ H− (H± = P±H). В этом случае, если P± 6= 0, спектр оператора J состоит из двух собственных значений ±1, причем J является самосопряженным и унитарным оператором одновременно: J∗ = J = J−1. Пространства H с J-метрикой коротко называют J- пространствами. Заметим, что любое пространство Крейна может быть введением эквивалентной нормы превращено в J-пространство. Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 3 Наиболее важными и наиболее изученными являются различные классы операторов, действующих именно в J-пространствах. Пусть Hi — Ji-пространство с Ji-метрикой [·, ·]i, i = 1, 2. Ли- нейный оператор A : H1 → H2 называется плюс-оператором, если [x, x]1 ≥ 0 влечет [Ax,Ax]2 ≥ 0. Плюс-оператор A называется строгим, если µ(A) = inf [x, x]1=1 [Ax, Ax]2 > 0. В эквивалентных формулировках, плюс-оператор A строг, если су- ществует такое µ > 0, что [Ax, Ax]2 ≥ µ[x, x]1, ∀x ∈ H1, (1.2) или A∗J2A ≥ µJ1. (1.3) Строгий плюс-оператор A называется бистрогим, если его (J1, J2)- сопряженный Ac : H2 → H1 : [Ax, y]2 = [x, Acy]1, x ∈ H1, y ∈ H2, также строг. Так как Ac = J1A ∗J2, то A∗ = J1A cJ2 — также строгий плюс-оператор и µ(A) = µ(Ac) = µ(A∗). Строгий плюс-оператор A бистрог в точности, если A11: H+ 1 → H+ 2 — биекция. Теория бистрогих плюс-операторов — важная составная часть об- щей теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Ей и ее приложениям посвящены, начиная с пионерских исследова- ний М. Г. Крейна и Ю. Л. Шмульяна [9–12], многие работы (см., например, обзор [3] исследований до 1979 г. и более поздние ста- тьи [1, 5–8,13–19]). Нашей целью является описание множества строгих плюс-опера- торов, близких по структуре блок-матриц и, соответственно, по свой- ствам к бистрогим плюс-операторам. Такая постановка задачи и ее решение, по-видимому, являются новыми. Приведен алгоритм “превращения” таких операторов в бистрогие. Для этого они рассматриваются как операторы, действующие уже в новое, “не сильно отличающееся” от образа прежнего оператора, пространство H̃ (см. с. 4). Изучаются общие условия таких “превращений” и связанные с ними вопросы. При этом для простоты изложения в разделе 2, не ограничивая общности, будем предполагать, что исходный оператор A действует в одном и том же J-пространстве. Общий случай, ко- гда оператор действует из одного J1-пространства в другое J2-прост- ранство, отличается лишь громоздкостью обозначений. 4 Строгие и бистрогие плюс-операторы Найдены необходимые и достаточные, а также удобные достаточ- ные условия на A, при которых индуцированный оператор Ã: H → H̃ оказывается бистрогим плюс-оператором. Определение 1.1. Пусть H1 — J-пространство, H2 — G-прост- ранство. Оператор A: H1 → H2 назовем бистрогим плюс-операто- ром, если A и Ac = JA∗G — строгие плюс-операторы, и ∗-бистрогим плюс-оператором, если A и A∗ — строгие плюс-операторы. В разделе 3 исследуются точные условия (на структуру и спектр оператора G) того, что в данной паре (H1, H2) (индефинитных либо дефинитных) пространств существуют а) строгие; b) бистрогие; с) ∗-бистрогие плюс-операторы. Также установлены включения между классами бистрогих и ∗-бистрогих плюс-операторов (при фиксированных H1 и H2). Показа- но, в частности, что всякий ∗-бистрогий плюс-оператор бистрог, одна- ко обратное включение не всегда имеет место. В терминах структуры и спектра оператора G исследуются точные условия совпадения ис- следуемых классов операторов. 2. Индуцированные бистрогие плюс-операторы Пусть A ∈ L(H) — строгий плюс-оператор, действующий в J- пространстве H. Подпространство H′ := ranA является G′-прост- ранством относительно G′ = P ′J \|H′ , где P ′ — ортопроектор на H′. Отметим, что даже в случае невырожденности пространства H′, оно не является, вообще говоря, пространством Крейна. Его операто- ром Грама G может оказаться любой ограниченный самосопряжен- ный оператор с единственным требованием, что λ = 0 — не собствен- ное значение оператора G : 0 /∈ σp(G). По G′-пространству H′ построим пространство Крейна H̃ следую- щим образом: • Если H′ невырождено, то H̃ — пополнение H′ по норме ‖ \|G′\|1/2x ‖ до пространства Крейна (см., напр., [4, Предложение 1.6.14]. В частности, H̃ = H′ (с точностью до эквивалентной нормы), если само H′ является пространством Крейна. • Если же H′ вырождено, то в качестве H̃ возьмем любое его вло- жение в пространство Крейна (см., напр., [4, c. 59]). Через Ã : H → H̃ обозначим оператор, индуцированный операто- ром A: Ã = jAx, где j : H′ → H̃ — оператор вложения. Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 5 Теорема 2.1. Пусть H = H+ ⊕ H− — J-пространство, пусть A = ‖Aij‖2 i,j=1 — матричное представление строгого плюс-оператора A : H → H. Следующие условия (A)–(D) эквивалентны. (A) Ã — бистрогий плюс-оператор. (B) AH+ — максимальное неотрицательное подпространство в H′. (C) H′ невырождено и из включения AcAf ∈ H−, f ∈ H, следует неположительность вектора Af . (D) H′ невырождено и A∗ 22A22 −A∗ 12A12 + (A∗ 12A11 −A∗ 22A21) × (A∗ 11A11 −A∗ 21A21) −1(A∗ 11A12 −A∗ 21A22) ≥ 0. (2.1) Доказательство. (A) ⇐⇒ (B). Из определения строгого плюс-опе- ратора следует, что он отображает неотрицательные подпространства на неотрицательные и при этом равномерно положительные на рав- номерно положительные. Так как строгий плюс-оператор является бистрогим тогда и только тогда, когда он отображает максимальное равномерно положительное подпространство на максимальное рав- номерно положительное подпространство [4, теорема 2.4.17], то Ã — бистрогий оператор тогда и только тогда, когда ÃH+ — максимальное неотрицательное подпространство в H̃. Равносильность утверждений (A) и (B) следует из равенства ÃH+ = jAH+ и того, что AH+ — равномерно положительное подпространство. (B) ⇐⇒ (C). Условие (B) равносильно выполнению двух усло- вий: невырожденности H′ и отрицательности (или, что в этом слу- чае эквивалентно, неположительности) J-ортогонального дополне- ния в H′ к равномерно положительному подпространству AH+. По- следнее, при условии невырожденности H′, эквивалентно отрицатель- ности (или, что в этом случае то же, неположительности) линеа- ла L := (AH+)[⊥] ∩ ranA. Осталось заметить, что вектор z = Af принадлежит L тогда и только тогда, когда [Af, Ax+] = 0 при всех x+ ∈ H+, что эквивалентно включению AcAf ∈ H−. (C) ⇐⇒ (D). Непосредственно проверяется, что включение AcAf ∈ H− имеет место для векторов вида: f = ( −(A∗ 11A11 −A∗ 21A21) −1(A∗ 11A12 −A∗ 21A22)f− f− ) , f− ∈ H−, и только для них. Поэтому неположительность векторов Af для та- ких f эквивалентна условию (2.1) 6 Строгие и бистрогие плюс-операторы Прежде чем сформулировать признаки того, что Ã — бистрогий плюс-оператор, приведем некоторые вспомогательные утверждения. Рассмотрим условия: подпространство H′ − неположительно, (2.2) подпространство H′ − невырождено. (2.3) Ясно, что одновременное выполнение (2.2) и (2.3) эквивалентно требованию: подпространство H′ − отрицательно. (2.4) Сформулированная ниже лемма доказана по существу в [20], и потому мы опускаем ее доказательство. Лемма 2.1. Пусть A : H → H — строгий плюс-оператор. Тогда следующие условия эквивалентны: (i) A = BU , где B — строгий плюс-оператор с B12 = 0, а U — J-унитарный оператор. (ii) D+(A∗) := A11A ∗ 11 −A12A ∗ 12 ≥ 0. (2.5) (iii) ranA∗\|H+ — максимальное неотрицательное подпространст- во. (iv) ranA∗\|H+ — максимальное равномерно положительное под- пространство. (v) A∗ 12 = ΓA∗ 11, где Γ : H+ → H−, ‖Γ‖ ≤ 1. (vi) A∗ 12 = ΓA∗ 11, где Γ : H+ → H−, ‖Γ‖ < 1. 2 Ниже будем пользоваться обозначением: H′ − = AH−. Следствие 2.1. Следующие условия достаточны для бистрогости оператора Ã. (1) H′ − — отрицательное подпространство (2) H′ — невырожденное подпространство и D−(A) := A∗ 22A22 −A∗ 12A12 ≥ 0. (2.6) (3) A = BU , где, построенный по той же схеме, что и Ã, опе- ратор B̃ : H → H̃ является бистрогим и U : H → H — J- унитарный оператор. (4) A12 = 0. (5) Условия леммы 2.1. Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 7 Доказательство. (1) Так как AH+/H ′ − — положительное/отрица- тельное подпространство, то в силу [4, предложение 1.1.24] прост- ранство H′ = AH++̇ H′ − является невырожденным. Из [4, предложе- ние 1.1.25] следует, что AH+ — максимальное неотрицательное под- пространство в H′. Остается воспользоваться теоремой 2.1 (B). (2) Доказательство немедленно следует из условия (D) теоре- мы 2.1. (3) Для доказательства достаточно воспользоваться тривиальным равенством Ã = B̃U . (4) Из этого условия следует, что H′ − ⊂ H− — равномерно отри- цательное подпространство. Остается воспользоваться условием (1) доказываемой теоремы. (5) Одним из условий леммы 2.1 является то, что существует фа- кторизация оператора A = BU , где B — строгий плюс-оператор с B12 = 0 и U — J-унитарный оператор. Из условия (4) теоремы следу- ет, что B̃ — бистрогий плюс-оператор. Для завершения доказатель- ства сошлемся на уже доказанное условие (3). В заключение этого раздела приведем два примера. Пример 2.1. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {ej}∞j=−1. Положим H = H+ ⊕ H−, где H+ = з.л.о. {ej}∞j=0 и H− = л.о. {e−1}. Зададим оператор Aα как замыкание по непрерывности оператора действующего, на базисе следующим образом: Aαe−1 = αe−1 + e0, Aαej = ej+1 при j = 0, 1, . . . Такой оператор является строгим плюс-оператором тогда и толь- ко тогда, когда \|α\| ≤ √ 2; при этом Ãα бистрог тогда только и тогда, когда 1 < \|α\| ≤ √ 2. Пример 2.2. Укажем пример строгого плюс-оператора A, действую- щего в J-пространстве H = H+⊕H−, и такого, что AH− — отрицатель- ный линеал, H′ — невырожденное подпространство, но H′ − вырожде- но. Более того, мы укажем бистрогий плюс-оператор с таким свой- ством. Зададим его в матричном виде A = ‖Aij‖2 i,j=1 относительно канонического разложения. Положим A11 = 2, ‖A22‖ < 1 — опера- тор с плотной областью значений, но ranA22 6= H−, A12 = ΓA22, где Γ : H− → H+ — сжатие, ядро ker(I − Γ∗Γ) = л.о. {e} одномерно и e /∈ ranA22, A21 = 0. Непосредственно проверяется, что такой опе- ратор является бистрогим, AH+ = H+, и потому ranA = H+ + AH−. Так как Γ — сжатие, то AH− — неположительный линеал. Из свой- ства e /∈ ranA22 следует, что он отрицателен. Из плотности ranA22 8 Строгие и бистрогие плюс-операторы получаем, что H′ − — график оператора Γ, в котором вектор e + Γe является изотропным, т.е. H′ − — вырожденное подпространство. С другой стороны, H′ = H+ ⊕ ranA22 — пространство Крейна, и оно невырождено. 3. Теоремы существования Всюду ниже, если не оговорено другое, H1 = H+ 1 ⊕H− 1 — J-прост- ранство, H2 = H+ 2 ⊕ H− 2 — G-пространство и 0 /∈ σp(G). Подпрост- ранства H± 2 являются спектральными для оператора G и через G± обозначим ±G\|H± 2 . В настоящем разделе исследуются точные условия (на структу- ру и спектр оператора G) того, что во множестве непрерывных опе- раторов A : H1 → H2) существуют: а) строгие; b) бистрогие; с) ∗- бистрогие плюс-операторы (см. определение 3.1). Во второй части раздела исследуются включения между классами бистрогих и ∗-бистрогих плюс-операторов (при фиксированных H1 и H2). В терминах структуры и спектра G исследуются точные условия совпадения исследуемых классов. Ниже, для простоты изложения, будем предполагать встречающиеся бесконечномерные пространства сепарабельными. Теорема 3.1. Следующие утверждения справедливы: (a) Если dimH+ 1 < ∞, то множество строгих плюс-операторов A : H1 → H2 не пусто тогда и только тогда, когда dimH+ 1 ≤ dimH+ 2 . (b) Если H+ 1 — бесконечномерное подпространство, то строгие плюс-операторы A : H1 → H2 существуют в точности при условии, что G+ /∈ S∞, где через S∞ обозначено множество компактных операторов в соответствующем пространстве. Доказательство. Сперва докажем, что 1◦. строгий плюс-оператор A : H1 → H2 существует тогда и толь- ко тогда, когда в H2 существует равномерно положительное подпро- странство той же размерности, что и H+ 1 . В самом деле, если бистрогий плюс-оператор A существует, то в качестве искомого равномерно положительного подпространства в H2 достаточно взять AH+ 1 . Равномерная дефинитность этого подпро- странства следует из следующей цепочки соотношений при x+ ∈ H+ 1 : [Ax+, Ax+]2 ≥ µ(A)[x+, x+]1 = µ(A)(x+, x+)1 ≥ µ(A) ‖A‖ (Ax+, Ax+)2. Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 9 Обратно, пусть в H2 существует равномерно положительное подпро- странство L+ 2 : dimL+ 2 = dimH+ 1 . 2◦. В качестве строго плюс-оператора A можно взять любую (J,G)-изометрию из H+ 1 на L+ 2 : [Ax+, Ax+]2 = [x+, x+]1, продолжен- ную нулем на H− 1 . Тогда [Ax,Ax]2 = [A(x+ + x−), A(x+ + x−)]2 = [Ax+, Ax+]2 = [x+, x+]1 ≥ [x, x]1, т.е. A — строгий плюс-оператор с µ(A) = 1. Далее заметим, что 3◦. равномерная дефинитность подпространства L+ 2 : [y, y]2 ≥ c (y, y)2, y ∈ L+ 2 , влечет равномерную дефинитность его проекции P+ 2 L+ 2 . В самом деле, пусть y ∈ L+ 2 , y = y+ + y−, y± ∈ H± 2 . Тогда [y+, y+]2 ≥ [y, y]2 ≥ c (y, y)2 ≥ c (y+, y+)2. Таким образом, мы доказали, что строгий плюс-оператор A : H1 → H2 существует тогда и только тогда, когда в H+ 2 существует подпро- странство той же размерности, что и H+ 1 . Отсюда прямо следует спра- ведливость утверждения (a). Пусть теперь H+ 1 бесконечномерно. Если строгий плюс-оператор существует, то в H+ 2 существует бесконечномерное равномерно поло- жительное подпространства L+ 2 . Пусть Q — ортопроектор из H+ 2 на L+ 2 . Тогда из условия равномерной положительности L+ 2 следует су- ществование числа c > 0 такого, что для y+ ∈ L+ 2 имеем: (QG+Qy+, y+)2 = [y+, y+]2 ≥ c(y+, y+)2, т.е. оператор QG+Q\|L+ 2 является равномерно положительным на бе- сконечномерном подпространстве L+ 2 . Отсюда следует, что он не ком- пактен, а потому G+ /∈ S∞. Обратно, если G+ /∈ S∞, то у оператора G+ существует бесконе- чномерное спектральное подпространство L+ 2 , на котором этот опе- ратор равномерно положителен, что эквивалентно равномерной по- ложительности L+ 2 . Теорема 3.2. Следующие условия эквивалентны: (a) Множество бистрогих операторов A : H1 → H2 непусто. (b) dim H+ 1 = dimH+ 2 и 0 ∈ ρ(G+). 10 Строгие и бистрогие плюс-операторы (c) Множество ∗-бистрогих операторов A : H1 → H2 непусто. Доказательство. (a) =⇒ (b). Так как по условию существует такой строгий плюс-оператор A : H1 → H2, что вместе с ним строгим плюс- оператором будет и его индефинитный сопряженный: Ac : H2 → H1, то из теоремы 3.1 следует равенство dimH+ 1 = dimH+ 2 . Подпространс- тво P+ 2 AH+ 1 является равномерным (см. 3◦ в доказательстве теоре- мы 3.1). Докажем, что оно совпадает с H+ 2 , что и будет означать 0 ∈ ρ(G+). Допустим противное: P+ 2 AH+ 1 6= H+ 2 . Так как P+ 2 AH+ 1 рав- номерно положительно, то в H+ 2 существует G-ортогональный к нему вектор y+ 6= 0. Следовательно, при всех x+ ∈ H+ 1 имеем [Acy+, x+] = [y+, Ax+] = [y+, P + 2 Ax+] = 0, т.е. Acy+ ∈ H− 2 — противоречие с тем, что Ac — плюс-оператор. Мы опускаем доказательство импликации (c) =⇒ (b), поскольку оно ничем принципиально не отличается от приведенного выше дока- зательства (a) =⇒ (b), надо лишь индефинитную метрику заменить на скалярное произведение. (b) =⇒ (a), (c). Рассмотрим в качестве строгого плюс-оператора тот же, что и п. 2◦ при доказательстве теоремы 3.1, положив там L+ 2 = H+ 2 . Проверим, что этот оператор является одновременно и бистрогим, и ∗-бистрогим, т.е. Ac и A∗ — строгие плюс-операторы. Последнее прямо следует из того, что Acy = { A−1y, если y ∈ H+ 2 0, если y ∈ H− 2 , A∗y = { A−1G+y, если y ∈ H+ 2 0, если y ∈ H− 2 . Если для операторов, действующих из J-пространства в J̃-прост- ранство, понятия бистрогости и ∗-бистрогости эквивалентны (см., напр., [4, предложение 2.4.10]), то для исследуемого здесь случая не всякий бистрогий плюс-оператор является ∗-бистрогим (см. ниже те- орему 3.4. Однако справедливо следующее включение. Теорема 3.3. Всякий ∗-бистрогий плюс-оператор бистрог. Доказательство. Поскольку A — ∗-бистрогий плюс-оператор, то P+ 2 AP + 1 H+ 1 = H+ 2 (см. доказательство теоремы 3.1, пояснение к им- пликации (c) =⇒ (b)). Пополним теперь пространство H2 по норме (\|G\|·, ·) 1 2 2 до J̃-прост- ранства: H̃2 = H̃+ 2 ⊕ H̃− 2 (ср. с разделом 2 настоящей статьи). Инду- цированный этим пополнением оператор Ã — ограниченный строгий плюс-оператор. Кроме того, H̃+ 2 = jH+ 2 , где j : H2 → H̃2 — оператор Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 11 вложения. Следовательно, P̃+ 2 ÃP + 1 H+ 1 = H̃+ 2 . Отсюда оператор (Ã)c — строгий плюс-оператор [1, теорема 2.4.17]. Остается заметить, что Acy = (Ã)cjy. Лемма 3.1. Пусть H — гильбертово пространство, G — ограни- ченный самосопряженный оператор, 0 ∈ ρ(G), σ(G) ∩ (0,±∞) 6= ∅. Рассмотрим два пространства Крейна G1 := {H, [·, ·]1 = (G·, ·)} и G2 := {H, [·, ·]2 = (G−1·, ·)}. Тождественный оператор j : G1 → G2 является бистрогим тогда и только тогда, когда G = αJ , α > 0. Доказательство. В самом деле, еслиG = αJ , то из равенства 1 α [x, x]1 = α[jx, jx]2 следует, что j — бистрогий плюс-оператор. Обратно, пусть j — бистрогий плюс-оператор. Тогда (см. (1.2)) существуют такие числа λ > 0, µ > 0, что λ[x, x]1 ≥ [jx, jx]2 ≥ µ[x, x]1. Отсюда, в силу индефинитности G-метрики λ = µ =: γ и [jx, jx]2 = γ[x, x]1, т.е. G−1 = γG. Поэтому G = αJ с α = 1/ √ γ. Обозначим через m± и M± нижнюю и верхнюю грани спектра оператора G± : m± ≤ G± ≤M±. Лемма 3.2. В обозначениях леммы 3.1 оператор j является (стро- гим) плюс-оператором тогда и только тогда, когда m− ≥ M+. (3.1) Доказательство. Так как пространства G1 и G2 индефинитны, то оператор j является плюс-оператором тогда и только тогда, когда он — строгий плюс-оператор, а потому из (1.2) следует существование такого µ > 0, что [jx, jx]2 ≥ µ[x, x]1 для всех x = x+ + x− ∈ G1. Прямым вычислением получаем, что это неравенство можно записать в виде: ((G−1 + − µG+)x+, x+) ≥ ((G−1 − − µG−)x−, x−). (3.2) Поскольку x± ∈ H± — произвольные векторы, то (3.2) выполнено тогда и только тогда, когда имеет место (3.1). Теорема 3.4. Пусть dimH+ 1 = dimH+ 2 , 0 ∈ ρ(G+). Множества бистрогих и ∗-бистрогих операторов совпадают то- гда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: (a) G ≥ 0. (b) m− ≥M+. 12 Строгие и бистрогие плюс-операторы Доказательство. Проверим, что при каждом из условий (a) или (b) множества бистрогих и ∗-бистрогих операторов совпадает. С учетом Теоремы 3.3 достаточно установить, что каждый бистрогий оператор является ∗-бистрогим. Пусть A — бистрогий плюс-оператор, т.е., вме- сте с A строгим плюс-оператором является и оператор Ac = JA∗G. В обоих условиях (a) или (b) теоремы с учетом 0 ∈ ρ(G+) существует и ограничен оператор G−1. Поэтому H2 — пространство Крейна. При выполнении условия (a) тривиально заключение о том, что оператор G−1 строг; при выполнении условия (b) для такого заключения надо применить лемму 3.2. Остается заметить, что A∗ = JAcG−1, и учесть строгость операторов J и Ac. Обратно, пусть множества бистрогих и ∗-бистрогих операторов совпадают, и пусть не выполнено условие (a). Докажем, что выполне- но условие (b). Допустим противное, M+ > m−. Рассмотрим полуин- тервал ∆ := (−∞,−m−]. Пусть E(∆) — спектральный проектор опе- ратора G−, соответствующий ∆. Тогда подпространство H3 := H+ 2 ⊕ E(∆) ⊂ H2 является пространством Крейна. Обозначим G3 := G\|H3. Так как для оператора G−1 3 выполнено условие (b) настоящей те- оремы, то в силу леммы 3.2 оператор j−1 является строгим плюс- оператором, но не бистрогим; в противном случае, в силу леммы 3.1 было бы невозможным неравенство M+ > m−. Поэтому в H3 суще- ствует G3-положительный вектор f = f+ + f−, f± ∈ H± 3 ⊂ H± 2 , не являющийся G−1 3 -положительным. Отметим, что этот вектор прина- длежит образу оператора G ⊃ G3. Теперь завершим доказательство построением бистрогого плюс-оператора A : H1 → H2, не являющего- ся ∗-бистрогим. Пусть e± ∈ H± 1 и ‖e±‖ = ‖f±‖. Так как вектор f является G- положительным, то α := (Gf+, f+) > −(Gf−, f−) =: β. Введем в рассмотрение оператор A0: A0 : л.о.{e+, e−} → л.о.{f+, f−}, A0e + = α−1/2f+, A0e − = β−1/2f−. Непосредственно проверяется, что такой оператор является индефи- нитно изометрическим: [A0x,A0x]2 = [x, x]1, x ∈ л.о.{e+, e−}. Так как подпространства H˜1 := л.о.{H+ 1 , e −} и H˜2 := л.о.{H+ 2 , f −} явля- ются пространствами Крейна одинаковой размерности и одинаковой сигнатуры, то оператор A0 допускает расширение до индефинитно изометрического оператора A˜, отображающего H˜1 на H˜2. В качестве оператора A : H1 → H2 возьмем следующий: Ax = A˜x1, x = x1 + x2, x1 ∈ H˜1, x2 ∈ (H˜1) ⊥. Т. Я. Азизов, В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич 13 Этот оператор по построению является бистрогим, но не ∗-бистрогим, поскольку A∗ = JAcG−1 отображает положительный вектор f = f++ f− ∈ H2 в неположительный вектор A∗f ∈ H1. Замечание 3.1. Как отмечалось в начале этого раздела, для просто- ты изложения мы ограничили себя сепарабельными пространствами. Обобщение некоторых изложенных выше положений на общий слу- чай не представляет труда, и мы оставляем это читателю. Литература [1] Т. Я. Азизов, О расширениях инвариантных дуальных пар// Укр. матем. ж., 41 (1989), 7, 958–961. [2] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Линейные операторы в гильбертовых про- странствах с G-метрикой // Успехи матем. наук, 26 (1971), No. 4 (160), 43–92. [3] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Линейные операторы в пространствах с ин- дефинитной метрикой и их приложения // Матем. анализ (Итоги науки и техники, ВИНИТИ), 17 (1979), 113–205. [4] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Основы теории линейных операторов в про- странствах с индефинитной метрикой, М.: Наука, 1986, 352 с. [5] Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, Бистрогие плюс-операторы и дробно-линейные преобразования // Укр. Мат. Вестник, 4 (2007), No. 3, 307–328. [6] Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, О параметрическом описании дробно-линейных преобразований единичного операторного шара // Ученые записки Тавриче- ского национального университета им. Вернадского, 20 (2007), No. 2, 13–20. [7] T. Ya. Azizov and V. A. Khatskevich, A theorem of existence of invariant subspaces for J-binoncontractive operators // Operator Theory: Adv. and Appl., 198 (2009), 41–48. [8] Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров, О структуре автоморфизмов единичного операторного шара // Укр. Мат. Вестник, 6, (2009), No. 2, 139– 149. [9] М. Г. Крейн, Ю. Л. Шмульян, Об одном классе операторов в пространстве с индефинитной метрикой // Докл. АН СССР, 170 (1967), No. 1, 34–37. [10] М. Г. Крейн, Ю. Л. Шмульян, О плюс-операторах в пространстве с инде- финитной метрикой // Математ. исследования (Кишинев, АН Молд.ССР), 1 (1966), No. 1, 131–161. [11] М. Г. Крейн, Ю. Л. Шмульян, J-полярное представление плюс-операторов // Математ. исследования (Кишинев, АН Молд.ССР), 1 (1966), No. 2, 172–210. [12] М. Г. Крейн, Ю. Л. Шмульян, О дробно-линейных преобразованиях с опе- раторными коэффициентами // Математ. исследования (Кишинев, АН Молд.ССР), 2 (1967), No. 3, 64–96. [13] D. Alpay, V. A. Khatskevich, Linear fractional transformations: basic properties, applications to spaces of analytic functions and Schroeder’s equation // Internati- onal Journal of Applied Math., 2 (2000), 459–476. 14 Строгие и бистрогие плюс-операторы [14] V. A. Khatskevich, L. Zelenko, Bistrict plus-operators in Krein spaces and dichotomous behavior of irreversible dynamical systems // Operator Theory: Advances and Applications, 118 (2000), 191–203. [15] V. Khatskevich, S. Reich and D. Shoikhet, Abel–Schroder equations for linear fractional mappings and the Koenigs embedding problem // Acta Sci. Math. (Szeged) 69 (2003), 67–98. [16] В. Сендеров, В. Хацкевич, Дробно-линейные отношения и проблема вложе- ния Кенигса // Докл. Росс. Акад. Наук, 403 (2005), No. 5, 607–609. [17] M. Elin and V. Khatskevich, The Koenigs Embedding Problem for Operator Affine Mappings // Contemporary Math., 382, (2005), 113–120. [18] M. Elin and V. Khatskevich, Triangular plus-operators in Banach spaces ; appli- cations to the Koenigs embedding problem // Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 6 (2005), No. 1, 173–185. [19] V. A. Khatskevich and V. A. Senderov, On the structure of semigroups of operators acting in spaces with indefinite metric // Operator Theory: Advances and Applications, 188 (2008), 205–213. [20] В. Хацкевич, В. Сендеров, О порождаемых плюс-операторами операторных множествах // Вестник Воронежского гос. университета, 2 (2010), 170–174. Сведения об авторах Томас Яковлевич Азизов Воронежский государственный университет Университетская пл., 1 Воронеж, 394006 Россия E-Mail: azizov@math.vsu.ru Валерий Анатольевич Сендеров Пятницкое шоссе, 23-2-156 Москва, 125430 Россия E-Mail: senderov.valery@gmail.com Виктор Анатольевич Хацкевич Department of Mathematics ORT Braude Academic College College Campus, P.O. Box 78 Karmiel 21982 Israel E-Mail: victor_kh@hotmail.com

Строгие и бистрогие плюс-операторы

Репозитарії

Схожі ресурси