Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром

Рассмотрена эллиптическая задача с параметром, возникающая при рассмотрении широкого класса нелинейных эллиптико-параболических задач и эволюционных эллиптических задач, в частности, эллиптико-параболических и эволюционных эллиптических задач со свободной границей. Доказано существование и коэрцитив...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Дегтярев, С.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124446
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 15-48. — Бібліогр.: 45 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124446
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244462017-09-27T03:03:06Z Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром Дегтярев, С.П. Рассмотрена эллиптическая задача с параметром, возникающая при рассмотрении широкого класса нелинейных эллиптико-параболических задач и эволюционных эллиптических задач, в частности, эллиптико-параболических и эволюционных эллиптических задач со свободной границей. Доказано существование и коэрцитивные оценки гладкого решения указанной задачи, включая гладкую зависимость решения от параметра. 2014 Article Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 15-48. — Бібліогр.: 45 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35R35, 35K65. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124446 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена эллиптическая задача с параметром, возникающая при рассмотрении широкого класса нелинейных эллиптико-параболических задач и эволюционных эллиптических задач, в частности, эллиптико-параболических и эволюционных эллиптических задач со свободной границей. Доказано существование и коэрцитивные оценки гладкого решения указанной задачи, включая гладкую зависимость решения от параметра.
format	Article
author	Дегтярев, С.П.
spellingShingle	Дегтярев, С.П. Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром Український математичний вісник
author_facet	Дегтярев, С.П.
author_sort	Дегтярев, С.П.
title	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром
title_short	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром
title_full	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром
title_fullStr	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром
title_full_unstemmed	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром
title_sort	эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей i: эллиптическая задача с параметром
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124446
citation_txt	Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 15-48. — Бібліогр.: 45 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT degtârevsp élliptikoparaboličeskoeuravnenieisootvetstvuûŝaâzadačasosvobodnojgranicejiélliptičeskaâzadačasparametrom
first_indexed	2025-07-09T01:26:38Z
last_indexed	2025-07-09T01:26:38Z
_version_	1837130738522128384
fulltext	Український математичний вiсник Том 11 (2014), № 1, 15 – 48 Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром Сергей П. Дегтярев (Представлена А. Е. Шишковым) Аннотация. Рассмотрена эллиптическая задача с параметром, воз- никающая при рассмотрении широкого класса нелинейных эллипти- ко-параболических задач и эволюционных эллиптических задач, в частности, эллиптико-параболических и эволюционных эллиптиче- ских задач со свободной границей. Доказано существование и ко- эрцитивные оценки гладкого решения указанной задачи, включая гладкую зависимость решения от параметра. 2010 MSC. 35R35, 35K65. Ключевые слова и фразы. Эллиптическая задача с параметром, классы Гельдера, гладкое решение, априорная оценка. 1. Введение Данная работа посвящена изучению разрешимости и получению коэрцитивных априорных оценок решения некоторой эллиптической краевой задачи с параметром t и с правой частью специального ви- да. При этом задача будет изучаться в некотором специальном классе функций, непрерывных по Гельдеру вместе со своими производными до определенного порядка, включая производную по параметру t и гладкость всех производных по этому параметру. Указанный класс функций описан ниже и очень близок к обычному параболическому анизотропному классу Гельдера — хотя рассматриваемая задача яв- ляется эллиптической. Необходимость изучения такой задачи вызва- на тем, что она естественным образом связана с изучением в классах гладких функций эллиптико-параболических задач вида [1]. Кроме Статья поступила в редакцию 3.06.2013 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 16 Эллиптико-параболическое уравнение... того, такая задача естественным образом возникает при изучении в классах гладких функций многих других эллиптико-параболических и эволюционных эллиптических задач, в том числе задач со свобо- дной границей. Не ставя своей целью дать обзор результатов и ли- тературы по всем таким задачам, поясним сказанное на простейшей квазилинейной эллиптико-параболической задаче вида [1]. Пусть Ω — область в RN , T > 0, ΩT = Ω × (0, T ). Пусть, далее, g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ], u0(x), x ∈ Ω, f(x, t), (x, t) ∈ ΩT — задан- ные функции, и пусть заданная функция c(u), u ∈ R1 — такова, что c(u) ≡ 0 при u ≤ 0 и c′(u) > 0 при u ≥ 0. Рассмотрим в области ΩT следующую начально-краевую задачу для неизвестной функции u(x, t): ∂ ∂t c(u) − ∆u = 0, (x, t) ∈ ΩT , (1.1) c(u(x, 0)) = c(u0(x)), (1.2) u(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ]. (1.3) Задача подобного типа возникает, в частности, в теории фильтра- ции — см. по этому поводу [1–22] и имеющуюся там библиографию, а также в некоторых других областях. В частности, уравнение (1.1) представляет собой простейший вариант уравнения Ричардса (см., например, [19–22]). Так как в той области, где u > 0, уравнение (1.1) является параболическим, а в области, где u < 0, оно эллиптично, то задача (1.1)–(1.3) представляет собой эллиптико-параболическую задачу. При этом уравнение (1.1) естественным образом порождает задачу со свободной границей — ключевыми неизвестными в рассма- триваемой задаче являются сами области, где u < 0 или u > 0, а также граница раздела между ними, которая и представляет собой свободную (неизвестную) границу. В случае одной пространственной переменной, когда Ω представ- ляет собой отрезок прямой, Ω = (a, b), задача вида (1.1)–(1.3) изу- чалась в [2–10], где, при определенных предположениях на данные задачи, было получено существование слабого решения, а также су- ществование регулярной функции x = s(t) ∈ (a, b), разделяющей области u > 0 и u < 0. В работе [11] рассматриваемая задача изучалась в случае двумер- ной фильтрации, когда Ω ⊂ R2, и при некоторых условиях типа моно- тонности на данные задачи было установлено, что свободная граница является непрерывной. В многомерном же случае, когда Ω ⊂ RN , N ≥ 2, уравнение (1.1) и задача (1.1)–(1.3) в обобщенной постановке рассматривались, в частности, в [1, 12–19], причем в [18, 19] задача рассматривалась в С. П. Дегтярев 17 терминах вязких решений и была доказана корректность задачи в такой обобщенной постановке. Классические решения многомерной задачи (1.1)–(1.3), включа- ющие гладкость свободной границы, рассматривались в работе [23]. При этом в указанной работе решение уравнения (1.1) и неизвестная поверхность раздела изучались в классах гладких функций, являю- щихся модификациями анизотропных пространств Гельдера. В этих пространствах для всех производных рассматриваемых функций предполагались конечными двойные полунормы вида (1.6). Кроме того, в эллиптической области уравнения (1.1) не доказывалась глад- кость производной по времени от решения. Кроме указанных работ, касающихся задач, подобных задаче (1.1)–(1.3), не претендуя на полноту обзора, отметим также рабо- ты [24–33]. Поясним кратко, в чем заключается одна из основных трудно- стей изучения рассматриваемой задачи в классах гладких функций на примере работы [23]. В данной работе для изучения нелинейной задачи (1.1)–(1.3) был применен, по существу, метод Ньютона реше- ния нелинейных уравнений, подобно [36–38]. Исходным приближен- ным решением служили некоторые продолжения начальных данных задачи в область t > 0. Метод Ньютона требует исследования обрати- мости производной Фреше нелинейного оператора исходной задачи, то есть исследования некоторой линейной задачи, получающейся ли- неаризацией исходной задачи на выбранном приближенном решении. Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что в результате ли- неаризации задачи (1.1)–(1.3), получается некоторая линейная зада- ча сопряжения для неизвестных функций u+(x, t) и u−(x, t), причем первая из них удовлетворяет неоднородному параболическому урав- нению в одной цилиндрической области, а вторая — неоднородному (и это важное обстоятельство!) эллиптическому уравнению с параме- тром t в другой цилиндрической области. На общей же границе двух указанных областей выполнены некоторые условия сопряжения, одно из которых, в частности, имеет вид ∂u+ ∂−→n − ∂u− ∂−→n = f(x, t), (1.4) где −→n — нормаль к поверхности сопряжения. Это условие возни- кает после линеаризации исходной задачи из условия вида (1.4) с f(x, t) ≡ 0 на неизвестной границе раздела областей эллиптично- сти и параболичности. Последнее же, в свою очередь, связано с тем, что уравнение (1.1) является однородным и, следовательно, гладкое его решение должно иметь непрерывный градиент по пространствен- 18 Эллиптико-параболическое уравнение... ным переменным — иначе в правой части (1.1) должна появиться дельта-функция, сосредоточенная на поверхности разрыва градиен- та. Пространство, которому принадлежит f(x, t) в (1.4), существенно зависит от выбора пространств для u+(x, t) и u−(x, t). При этом, как показывает изучение задачи, для получения коэрцитивных оценок решения (обратимость упомянутой производной Фреше) этот выбор должен быть таков, чтобы градиенты функций u+(x, t) и u−(x, t) по пространственным переменным имели бы одинаковую гладкость по всем переменным (x, t). Однако функция u−(x, t) удовлетворяет не- однородному эллиптическому уравнению, которое, для своего реше- ния, не только не повышает гладкость правой части по параметру t, но даже не сохраняет эту гладкость для вторых производных ре- шения (это связано с хорошо известным фактом отсутствия обрати- мости эллиптического оператора из W 2 ∞ в L∞). Ситуацию спасает то обстоятельство, что правая часть эллиптического уравнения для u−(x, t) имеет специальный вид, связанный с линеаризацией исходной задачи, который, при специальном выборе пространств для функций u+(x, t) и u−(x, t), позволяет получить коэрцитивные оценки решения линейной задачи. Если же условия на границе областей эллиптично- сти и параболичности являются более сложными, чем в (1.4) (как, например, в некоторых задачах со свободной границей), то выбор со- ответствующих гладких пространств становится еще более сложным. Целью данной работы является рассмотреть в классах Гельдера эллиптическую задачу с параметром, которая возникает не только при изучении задачи (1.1)–(1.3), но и при изучении в гладких классах функций широкого класса других эллиптико-параболических задач. При этом для соответствующей неизвестной функции u−(x, t) введен такой класс Гельдера, близкий к обычному параболическому анизо- тропному пространству Гельдера, который позволяет рассматривать u+(x, t) в обычном параболическом анизотропном классе Гельдера. Для задачи (1.1)–(1.3) это будет продемонстрировано во второй ча- сти данной статьи. Однако, этот же класс функций и результаты данной статьи могут быть использованы в широком классе других эллиптико-параболических задач. Отметим, что специальный вид правых частей рассматриваемых нами линейных эллиптических уравнений связан с тем простым об- стоятельством, что изучаемые линейные задачи получаются после выделения главной линейной части в квазилинейном эллиптическом операторе общего вида. Пусть, например, рассматривается уравнение N∑ i,j=1 aij(x, v,∇v) ∂2v ∂xi∂xj + a(x, v,∇v) = f(x), С. П. Дегтярев 19 и задано некоторое “приближенное” решение w(x). Вводя новую иско- мую функцию в виде u(x) = v(x)−w(x), как отклонение неизвестной v(x) от w(x), выделяя в квазилинейном уравнении линейную по u(x) часть и перенося все нелинейности в правую часть уравнения, мы по- лучим уравнение, у которого в правой части находится сумма выра- жений, линейных по вторым производным, которые и изучаются в данной работе, см. (4.1), (4.36) ниже. Более подробно этот процесс предполагается описать в последующей статье, посвященной нели- нейной задаче. Определим теперь нужные нам пространства гладких функций. Для l > 0 нецелого H l(Ω) ≡ C l(Ω) означает стандартное пространс- тво функций u(x), непрерывных в Ω по Гельдеру с показателем α = l− [l] вместе со своими частными производными до порядка [l] вклю- чительно с нормой \|u\|(l) Ω , H l,l/2(ΩT ) ≡ C l,l/2(ΩT ) — аналогичное про- странство гладких функций u(x, t) с гладкостью до порядка l по пе- ременным x и с гладкостью до порядка l/2 по переменной t с нормой \|u\|(l) ΩT , см. определение этих пространств, например, в [34]. Для произвольной функции f(x, t) и для двух точек (x, t), (y, τ) обозначим ∆x,yf(x, t) = f(x, t) − f(y, t), ∆t,τf(x, t) = f(x, t) − f(x, τ) — (1.5) разности от функции f(x, t) по переменным x и t, соответственно. Следуя работе [35], введем следующую полунорму для α, β ∈ (0, 1) и функции u(x, t): [u] (α,β) ΩT = sup (x,t),(y,τ)∈ΩT \|u(x, t) − u(y, t) − u(x, τ) + u(y, τ)\| \|x− y\|α \|t− τ \|β = sup (x,t),(y,τ)∈ΩT \|∆t,τ∆x,yu(x, t)\| \|x− y\|α \|t− τ \|β . (1.6) Определим банахово пространство гладких функций C3+α;3/2,α(ΩT ) как пространство, в котором конечна норма (α ∈ (0, 1)): \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≡ \|u\|C3+α;3/2,α(ΩT ) ≡ \|u\|(α) ΩT + ∑ \|s\|=1 \|Ds xu\| (2+α) ΩT + ∑ \|s\|=2 \|Ds xu\| (1+α) ΩT + ∑ \|s\|=3 \|Ds xu\| (α) ΩT + \|ut\|(α) ΩT + ∑ \|s\|=1 \|Ds xut\|(α) ΩT + 〈ut〉(1/2) t,ΩT + [ut] (α,1/2) ΩT , (1.7) 20 Эллиптико-параболическое уравнение... где 〈v〉(γ) t,ΩT ≡ sup (x,t),(x,t)∈ΩT \|v(x, t) − v(x, t)\| \|t− t\|γ , 〈v〉(γ) x,ΩT ≡ sup (x,t),(x,t)∈ΩT \|v(x, t) − v(x, t)\| \|x− x\|γ , — константы Гельдера от функции v(x, t) по переменным t и x, соответ- ственно. Мы используем также обозначение \|v\|(0) ΩT = max ΩT \|v(x, t)\|. Отметим, что пространство C3+α;3/2,α(ΩT ) шире пространства C3+α, 3+α 2 (ΩT ). Оно отличается от пространства C3+α, 3+α 2 (ΩT ) тем, что не содержит 〈ut〉 ( 1+α 2 ) t,ΩT с показателем 1+α 2 , а содержит только 〈ut〉(1/2) t,ΩT с показателем 1/2, но вместо этого дополнительно содер- жит [ut] (α,1/2) ΩT (для функций из пространства C3+α, 3+α 2 (ΩT ) после- дняя полунорма также конечна). По поводу свойств пространства C3+α;3/2,α(ΩT ) см. следующий параграф, здесь же отметим, что ва- жное свойство этого пространства состоит, в частности, в том, что производные по пространственным переменным от функций этого пространства принадлежат в точности тем же классам, что и соо- тветствующие производные от функций из обычного пространства C3+α, 3+α 2 (ΩT ). Простейшим примером функции из C3+α;3/2,α(ΩT ) \ C3+α;3/2,α(ΩT ) может служить функция u(x, t) = t3/2f(x), где f(x) ∈ C3+α(Ω). Аналогично, стандартным образом с использованием локальной параметризации определяются поверхности классов C l,l/2 и C3+α;3/2,α и соответствующие классы функций, определенных на этих поверх- ностях. Кроме того, аналогично [34], мы используем пространства с “ну- лем внизу”, то есть пространства C l,l/2 0 и C 3+α;3/2,α 0 . Эти пространс- тва определяются как собственные подпространства соответствую- щих пространств, состоящие из функций, обращающихся в ноль при t = 0 вместе со всеми своими производными по переменной t, допу- скаемым соответствующим пространством. Важно то обстоятельство, что для таких классов с нулем имеют место следующие неравенства. Если u, v ∈ C l,l/2 0 , то \|u\|(l ′) ΩT ≤ CT l−l′ 2 \|u\|(l) ΩT , l′ < l, \|uv\|(l) ΩT ≤ C { \|u\|([l]) ΩT \|v\|(l) ΩT + \|u\|(l) ΩT \|v\|([l]) ΩT } ≤ CT l−[l] 2 \|u\|(l) ΩT \|v\|(l) ΩT . (1.8) С. П. Дегтярев 21 Отметим, что второе из этих соотношений верно и для пространств C 3+α;3/2,α 0 (ΩT ). Доказательство этих неравенств можно найти в [34, 39]. Статья построена по следующему плану. В параграфе 2 изучены некоторые свойства пространства C3+α;3/2,α(ΩT ), которые использу- ются в последующих параграфах и которые предполагается исполь- зовать при изучении нелинейной эллиптико-параболической задачи. Параграф 3 посвящен оценкам типа оценок Шаудера для решения линейной эллиптической краевой задачи (без параметра) с правой частью специального вида. Основным результатом данного парагра- фа является лемма 3.3. Наконец, в параграфе 4, на основании резуль- татов предыдущих двух параграфов, изучена эллиптическая задача с параметром и с правой частью специального вида. В теоремах 4.1– 4.3 данного параграфа получены разрешимость и оценки Шаудера рассматриваемой задачи, включая оценки гладкости решения по па- раметру, что и является основным результатом данной статьи. В дальнейшем, Ω — область в RN с границей Γ = ∂Ω класса C3+α, α ∈ (0, 1), ΩT = Ω × [0, T ], ΓT = Γ × [0, T ]. 2. Некоторые свойства пространства C 3+α;3/2,α(ΩT ) В данном параграфе мы приведем некоторые свойства прост- ранств C3+α;3/2,α(ΩT ). В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства пространств Гельдера, которые вытекают из работ [40–42]. Пусть U ⊂ Rk — область в пространстве Rk, u(x) — произвольная функция, опреде- ленная в U , h ∈ Rk, ∆hu(x) = u(x+ h) − u(x) — оператор взятия разности от функции u(x) с шагом h, m — целое положительное число, ∆m h u(x) —m-я степень этого оператора, то есть разность m-го порядка, l — целое положительное число, β ∈ (0, 1). Тогда, как следует из [40,41], следующие полунормы эквивалентны 〈u〉(β) x,U = sup x,h \|∆hu(x)\| \|h\|β ∼ sup x,h \|∆m h u(x)\| \|h\|β . (2.1) Более того, если u(x) ∈ C l+β(U), то при m > l + β следующие полу- нормы эквивалентны ∑ \|s\|=l 〈Ds xu〉 (β) x,U = ∑ \|s\|=l sup x,h \|∆hD s xu(x)\| \|h\|β ∼ sup x,h \|∆m h u(x)\| \|h\|l+β . (2.2) 22 Эллиптико-параболическое уравнение... Кроме, того, норма \|u\|(l+β) U в пространстве C l+β(U) эквивалентна нор- ме \|u\|(l+β) U ∼ max U \|u(x)\| + ∑ \|s\|=l 〈Ds xu〉 (β) x,U . (2.3) Далее, если 0 ≤ l′′ < l′ < l+β, то, как доказано в [42], справедливо следующее интерполяционное неравенство: \|u\|(l ′) U ≤ C ( \|u\|(l+β) U ) l′−l′′ l+β−l′′ ( \|u\|(l ′′) U ) l+β−l′ l+β−l′′ . (2.4) Перейдем к рассмотрению пространства C3+α;3/2,α(ΩT ). Как уже отмечалось в параграфе 1, пространство C3+α;3/2,α(ΩT ) шире про- странства C3+α, 3+α 2 (ΩT ), то есть, справедливо следующее утвержде- ние. Лемма 2.1. Справедливо непрерывное вложение C3+α, 3+α 2 (ΩT ) ⊂ C3+α;3/2,α(ΩT ), (2.5) то есть, для функции u(x, t) ∈ C3+α, 3+α 2 (ΩT ) \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C \|u\|(3+α) ΩT . (2.6) Доказательство. В силу стандартного определения нормы в про- странстве C3+α, 3+α 2 (ΩT ) и определения (1.7) нормы в пространстве C3+α;3/2,α(ΩT ), достаточно проверить только выполнение оценки [ut] (α,1/2) ΩT ≤ C \|u\|(3+α) ΩT . (2.7) Далее, ввиду определения полунормы [ut] (α,1/2) ΩT , достаточно пока- зать, что для τ > 0 и для функции vτ ≡ ut(x, t+ τ) − ut(x, t) τ1/2 равномерно по τ > 0 конечна константа Гельдера 〈vτ 〉(α) x,ΩT ≤ C \|u\|(3+α) ΩT . (2.8) Иными словами, учитывая эквивалентность полунорм (2.1), достато- чно показать, что если h ∈ RN и x, x+ h, x+ 2h ∈ Ω, то ∣∣∣∆2 h vτ ∣∣∣ = ∣∣vτ (x+ 2h) − 2vτ (x+ h) + vτ (x) ∣∣ ≤ C \|u\|(3+α) ΩT ∣∣h ∣∣α . (2.9) С. П. Дегтярев 23 Действительно, рассмотрим два случая. Пусть сначала τ ≤ \|h\|2. То- гда, так как 〈ut〉 ( 1+α 2 ) t,ΩT ≤ C \|u\|(3+α) ΩT , то ∣∣∣∆2 h vτ ∣∣∣ ≤ 4 \|vτ \|(0)ΩT ≤ 4 〈ut〉 ( 1+α 2 ) t,ΩT τ 1+α 2 τ1/2 = 4 〈ut〉 ( 1+α 2 ) t,ΩT τα/2 ≤ 4 \|u\|(3+α) ΩT ∣∣h ∣∣α . Если же τ > ∣∣h ∣∣2, то (в силу (2.2)) ∣∣∣∆2 h vτ ∣∣∣ ≤ C \|vτ \|(1+α) ΩT ∣∣h ∣∣1+α = C \|ut(x, t+ τ) − ut(x, t)\|(1+α) ΩT ∣∣h ∣∣1+α τ1/2 ≤ 2C \|ut\|(1+α) ΩT ∣∣h ∣∣α ≤ C \|u\|(3+α) ΩT ∣∣h ∣∣α . Таким образом, неравенство (2.9) доказано, а, следовательно, до- казана оценка (2.8), а вместе с ней и (2.7), что завершает доказатель- ство леммы. Отметим, далее, что аналогично (2.3), при нецелом l норма \|u\|(l) ΩT в пространстве C l, l 2 (ΩT ), как показано в [41], эквивалентна норме \|u\|(l) ΩT ∼ \|u\|(0) ΩT + ∑ \|s\|=[l] 〈Ds xu〉 (l−[l]) x,ΩT + 〈ut〉 ( l 2 −[ l 2 ]) t,ΩT . (2.10) Аналогичным свойством обладает и пространство C3+α;3/2,α(ΩT ). Лемма 2.2. Норма \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT в пространстве C3+α;3/2,α(ΩT ) эк- вивалентна норме \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ∼‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT ≡\|u\|(0) ΩT + ∑ \|s\|=3 〈Ds xu〉 (α) x,ΩT +〈ut〉 ( 1 2 ) t,ΩT +[ut] (α,1/2) ΩT . (2.11) Кроме того, [ uxixj ](α,1/2) ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT , i, j = 1, N. (2.12) Доказательство. Отметим, во-первых, что, ввиду определения нор- мы \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT , неравенство ‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C\|u\|(3+α;3/2,α) ΩT 24 Эллиптико-параболическое уравнение... очевидно с константой C = 1. Чтобы показать обратное неравенство, необходимо оценить все слагаемые в определении нормы \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT через норму ‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT . При этом все такие оценки аналогичны, по- этому мы продемонстрируем доказательство на примере одной оцен- ки, которая будет непосредственно использована нами в дальнейшем, и из которой, в частности, следует (2.12). А именно, мы покажем, что \|uxi \| (2+α) ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT , i = 1, N, (2.13) Отметим, далее, что, если (2.13) доказано, то из (2.13) следует, что uxixj ∈ C1+α, 1+α 2 (ΩT ), причем ∣∣uxixj ∣∣(1+α) ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT . (2.14) С учетом (2.14) доказательство (2.12) дословно повторяет доказатель- ство (2.7) в лемме 2.1 с заменой ut на uxixj . Поэтому, достаточно доказать только (2.13). Что же касается (2.13), то, ввиду (2.10), до- статочно доказать, что 〈uxit〉 (α/2) t,ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT , i = 1, N, (2.15) 〈 uxixjxk 〉(α) x,ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT , i, j, k = 1, N, (2.16) причем последнее очевидно, так как следует непосредственно из опре- деления нормы ‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT . Докажем (2.15). Пусть τ > 0, h ∈ RN . Для того, чтобы доказать (2.15), достаточно показать, что (ввиду (2.2)) ∣∣∆2 τuxi ∣∣ ≤ C \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT τ1+α/2. (2.17) Чтобы доказать (2.17), рассмотрим функции v(τ)(x, t) = ∆2 τu(x, t) = u(x+ 2τ) − 2u(x, t+ τ) + u(x, t), w(h)(x, t) = ∆hu(x, t)∣∣h ∣∣α = u(x+ h, t) − u(x, t)∣∣h ∣∣α . Рассмотрим сначала функцию w(h)(x, t). Очевидно, w (h) t (x, t) = ∆hut(x, t)∣∣h ∣∣α = ut(x+ h, t) − ut(x, t)∣∣h ∣∣α . С. П. Дегтярев 25 Ввиду того, что конечна величина [ut] (α,1/2) ΩT , мы имеем равномерно по h оценку 〈 w (h) t (x, t) 〉(1/2) t,ΩT ≤ C [ut] (α,1/2) ΩT . (2.18) Из (2.18) следует, что (ввиду (2.2)) ∣∣∣∆2 τw (h)(x, t) ∣∣∣ ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+1/2 (2.19) равномерно по h. Учитывая определение функции v(τ)(x, t), (2.19) можно записать как ∣∣∆hv (τ)(x, t) ∣∣ ∣∣h ∣∣α ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+1/2. (2.20) Беря в левой части (2.20) sup по x и h, таким, что x, x + h ∈ Ω, получаем 〈 v(τ) 〉(α) x,ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+1/2. (2.21) Кроме того, так как конечна величина 〈ut〉(1/2) t,ΩT , то (ввиду (2.2)) ∣∣v(τ) ∣∣(0) ΩT ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+1/2. (2.22) Оценки (2.21) и (2.22) означают, что равномерно по t ∣∣v(τ) ∣∣ Cα(ΩT ) ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+1/2. (2.23) Возвратимся к доказательству (2.17), которое, ввиду определения v(τ)(x, t), запишем в виде ∣∣v(τ) xi ∣∣ ≤ C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+α/2. (2.24) Пусть t и τ фиксированы. Применим к функции v(τ) по переменным x интерполяционное неравенство (2.4) в виде ∣∣v(τ) ∣∣ C1(Ω) ≤ C (∣∣v(τ) ∣∣ Cα(Ω) )(2+α)/3 (∣∣v(τ) ∣∣ C3+α(Ω) )(1−α)/3 , (2.25) Учитывая, что, ввиду (2.3), ∣∣v(τ) ∣∣ C3+α(Ω) ≤ 4‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT и учитывая оценку (2.23), из (2.25) получаем, что 26 Эллиптико-параболическое уравнение... ∣∣v(τ) ∣∣ C1(Ω) ≤ C ( ‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT )(2+α)/3+(1−α)/3 τ ((2+α)/3)(1+1/2) = C‖u‖(3+α;3/2,α) ΩT τ1+α/2. (2.26) Отсюда, очевидно, следует оценка (2.24), а вместе с ней оценки (2.17) и (2.15). Этим мы завершим доказательство леммы. 3. Некоторые оценки эллиптической краевой задачи с правой частью специального вида В данном параграфе мы получим оценки решения эллиптической задачи с правой частью специального вида, представляющей собой комбинацию производных по пространственным переменным от фун- кций из класса C3+α(Ω). Лемма 3.1. Обозначим полупространство RN + = {x = (x′, xN ) ∈ RN : xN ≥ 0}, и пусть задан радиус C1λ ≤ R ≤ C2λ, λ ∈ (0, 1). Рассмотрим в RN + следующую задачу для неизвестной функции u(x): △u(x) = a(x) ∂2f(x) ∂xi∂xj , xN > 0, (3.1) u(x)\|xN=0 = h(x′), (3.2) где i, j ∈ {1, 2, . . . , N} фиксированы, a(x), h(x′) и f(x) заданные фун- кции. Пусть функции a(x), h(x′) и f(x) обладают свойствами: a(x) ∈ C2+α(RN + ), \|Dsa(x)\| ≤M0λ 1−\|s\|, f(x) ∈ C3+α(RN + ), h(x′) ∈ C3+α(RN−1), (3.3) причем f(x) и h(x′) финитны с носителем в полушаре B+ R = RN + ∩ {\|x\| ≤ R}. Тогда для единственного решения u(x) задачи (3.1)–(3.2) справе- дливы оценки: 〈u〉(α) x,RN + ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + + C \|h\|(α) RN−1 , (3.4) 〈u〉(α) x,RN + ≤ C \|a\|(2+α) RN + 〈f〉(α) x,RN + + C \|h\|(α) RN−1 , (3.5) \|u\|(3+α) RN + ≤ C \|a\|(1+α) RN + \|f \|(3+α) RN + + C \|h\|(3+α) RN−1 . (3.6) С. П. Дегтярев 27 Доказательство. Оценка (3.6) хорошо известна (см., например, [43, 44]), поэтому остановимся только на оценках (3.4), (3.5). Переходя к оценке (3.4), отметим, что, не ограничивая общно- сти, можно считать, что h(x′) ≡ 0, так как общий случай сводится к указанному заменой неизвестной функции u = w + h(x′)ζ(xN ), где ζ ∈ C∞, ζ ≡ 1 при xN ∈ [0, 1] и ζ ≡ 0 при xN ≥ 2. При этом в правой части (3.1) появляется слагаемое вида ∑N i=1(h(x ′)ζ(xN ))xixi , которое имеет тот же вид, что и правая часть (3.1) с a(x) ≡ 1. Кроме того, не ограничивая общности, можно считать, что функция a(x) также финитна с носителем в полушаре B+ 2R, так как a(x) ∂2f(x) ∂xi∂xj = [a(x)χR(x)] ∂2f(x) ∂xi∂xj , где χR ∈ C∞, χR ≡ 1 на B+ R и χR ≡ 0 вне B+ 2R. Оценка (3.4), аналогично (3.6), доказывается с использованием явного представления решения u(x) задачи (3.1), (3.2) в виде потен- циала u(x) = ∫ RN + G(x, y)a(y) ∂2f(y) ∂yi∂yj dy, (3.7) где G(x, y) — известная функция Грина задачи Дирихле (3.1), (3.2) для полупространства G(x, y) = C {[∣∣x′ − y′ ∣∣2 + (xN − yN )2 ]−N−2 2 − [∣∣x′ − y′ ∣∣2 + (xN + yN )2 ]−N−2 2 } . (3.8) Рассмотрим для определенности случай i = j = N в (3.7), так как остальные случаи являются более простыми. Преобразуем интеграл в (3.7) интегрированием по частям по yN u(x) = − ∫ RN + GyN (x, y)a(y) ∂f(y) ∂yN dy − ∫ RN + G(x, y)ayN (y) ∂f(y) ∂yN dy, (3.9) где мы учли, что G(x, y) = 0 при yN = 0. Представим в интеграле (3.9) ∂f(y) ∂yN = ∂ [f(y) − f(x)] ∂yN и еще раз проинтегрируем в (3.9) по частям. В результате получим 28 Эллиптико-параболическое уравнение... u(x) = ∫ RN + GyNyN (x, y)a(y) [f(y) − f(x)] dy + 2 ∫ RN + GyN (x, y)ayN (y) [f(y) − f(x)] dy + ∫ RN + G(x, y)ayNyN (y) [f(y) − f(x)] dy − ∫ RN−1={yN=0} GyN (x, y)a(y) [f(y) − f(x)] dy′ ≡ I1(x) + 2I2(x) + I3(x) + I4(x). (3.10) Отметим, что произведенное интегрирование по частям законно, так как все подынтегральные выражения интегрируемы ввиду известной оценки ∣∣Dr x,yG(x, y) ∣∣ ≤ Cr \|x− y\|−(N−2)−\|r\| , (3.11) а также \|f(y) − f(x)\| ≤ 〈f〉(α) x,RN + \|x− y\|α . (3.12) Оценки интегралов I1–I4 в (3.10) вполне стандартны (см., например, [43, 44]), и главной нашей целью является получение оценки (3.4) с малым параметром λ. Оценка же (3.5) стандартно следует из (3.10). Опишем получение оценки (3.4). Пусть x, x ∈ RN . Интегралы I1 и I4 имеют тип сингулярных ин- тегралов хорошо известного вида (I4 — при xN = 0). Для них оценка разности \|I1(x) − I1(x)\| хорошо известна ( [43, 44]) и получается ра- збиением множества интегрирования с отделением особенностей ядер GyNyN (x, y), GyN (x, y). При этом, так как в плотностях этих интегра- лов присутствует множитель a(y), то, ввиду свойств функции a(y) в (3.4), \|I1(x) − I1(x)\| + \|I4(x) − I4(x)\| ≤ CM0 max RN + \|a(y)\| 〈f〉(α) x,RN + \|x− y\|α ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + \|x− y\|α . (3.13) Получим оценку \|I2(x) − I2(x)\| с малым множителем λ. Имеем I2(x) − I2(x) = ∫ RN + [GyN (x, y) −GyN (x, y)] ayN (y) [f(y) − f(x)] dy С. П. Дегтярев 29 + [f(x) − f(x)] ∫ RN + GyN (x, y)ayN (y) dy ≡ A1 +A2. (3.14) Для A2, в силу оценки (3.11), получаем \|A2\| ≤ CM0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α ∫ B+ 2R \|x− y\|−(N−1) dy ≤ CM0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α (CR) ≤ CλM0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α . (3.15) Для оценки A1 разобьем множество интегрирования B+ 2R ⊇ supp(ayN (y)) в A1 на две подобласти (одна из которых может быть пустой) Ω1 = { y ∈ B+ 2R : 1 2 \|x− y\| ≤ \|x− x\| } , (3.16) Ω2 = { y ∈ B+ 2R : 1 2 \|x− y\| > \|x− x\| } . (3.17) Интеграл в A1 по Ω1, который мы обозначим A1,Ω1 , оценим так: \|A1,Ω1 \| ≤ ∫ Ω1 (\|GyN (x, y)\| + \|GyN (x, y)\|) \|ayN \| 〈f〉(α) x,RN + \|x− y\|α dy ≤M0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α ∫ Ω1 (\|GyN (x, y)\| + \|GyN (x, y)\|) dy ≤M0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α ∫ Ω1 ( \|x− y\|−(N−1) + \|x− y\|−(N−1) ) dy ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α . (3.18) При оценке интеграла в A1 по множеству Ω2, который мы обозна- чим A1,Ω2 , заметим, что на этом множестве величины \|x− y\|, \|x− y\| и \|xθ − y\| эквивалентны , где xθ — любая точка на отрезке [x, x], то есть \|x− y\| ≤ C1 \|x− y\| ≤ C2 \|xθ − y\| ≤ C3 \|x− y\| , (3.19) где C1, C2 и C3 — абсолютные константы. Из (3.19) следует, что для любого указанного xθ \|xθ − y\|−(N−1) ≤ C \|x− y\|−(N−1) . (3.20) 30 Эллиптико-параболическое уравнение... Применяя теперь для оценки A1,Ω2 теорему о среднем, получаем \|A1,Ω2 \| ≤ CM0 〈f〉(α) x,RN + ∫ Ω2 (∇xGyN (xθ, y), x− x) \|x− y\|α dy, причем последний интеграл имеет смысл ввиду (3.11), (3.17) и (3.20). Таким образом, так как на Ω2 выполнено \|x− x\| < C\|x− y\|, \|A1,Ω2 \| ≤ CM0 〈f〉(α) x,RN + ∫ B+ 2R \|x− y\|−N+α \|x− x\| dy ≤ CM0 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α ∫ B+ 2R \|x− y\|−N+1 dy ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α . (3.21) Из оценок (3.15), (3.18), (3.21) следует, что \|I2(x) − I2(x)\| ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α . (3.22) Для интеграла I3 величина \|I3(x)− I3(x)\| оценивается полностью аналогично. Отличие от только что рассмотренного случая заключа- ется в том, что в I3 выполнено \|ayNyN \| ≤M0/λ, но это компенсируется тем, что ядро имеет на единицу меньшую особенность, чем в I2. Это дает \|I3(x) − I3(x)\| ≤ CM0λ 〈f〉(α) x,RN + \|x− x\|α . (3.23) Наконец, из представления (3.10) и из оценок (3.13), (3.22), (3.23) следует оценка (3.4). Из приведенных выше оценок следует также и оценка (3.5). Тем самым, лемма доказана. Рассмотрим теперь в полупространстве RN + краевую задачу вида (3.1), (3.2), но с более простой структурой правой части (без вторых производных): △u(x) = a(x) ∂f(x) ∂xi + g(x), xN > 0, (3.24) u(x)\|xN=0 = 0. (3.25) Лемма 3.2. Пусть в задаче (3.24), (3.25) функции a(x), f(x) и g(x) финитны с носителями в B+ R (как и в предыдущей лемме) и a(x) ∈ C1(RN + ), f(x) ∈ C1(RN + ), g(x) ∈ C(RN + ). (3.26) С. П. Дегтярев 31 Тогда для любого β ∈ (0, 1) существует такая константа Cβ (не зависящая от a, f , g), что 〈u〉(β) x,,RN + ≤ CR,β [ \|a\|(1) RN + \|f \|(0) RN + + \|g\|(0) RN + ] . (3.27) Эта лемма доказывается в точности по той же схеме, что и пре- дыдущая лемма. При этом, так как правая часть уравнения содержит производные не выше первого порядка, то возникающие потенциалы являются не сингулярными интегралами, а интегралами со слабыми особенностями, откуда и следует утверждение леммы. Пусть теперь Ω обозначает либо произвольную ограниченную область с границей класса C3+α, либо полупространство RN + . Рас- смотрим в области Ω задачу для неизвестной функции u(x): △u(x) = a1(x) ∂2f1(x) ∂xi∂xj + a2(x) ∂f2(x) ∂xl + f3(x), (3.28) u(x)\|∂Ω = b(x). (3.29) Относительно заданных функций ai(x), fi(x) и b(x) мы предполагаем, что a1(x), f2(x) ∈ C2+α(Ω), a2(x), f3(x) ∈ C1+α(Ω), f1(x) ∈ C3+α(Ω), b(x) ∈ C3+α(∂Ω) (3.30) причем в случае полупространства эти функции предполагаются фи- нитными. Лемма 3.3. Для решения u(x) задачи (3.28), (3.29) справедливы оценки: \|u\|(α) Ω ≤ CMα ≡ C ( \|a1\|(2+α) Ω \|f1\|(α) Ω + \|a2\|(1+α) Ω \|f2\|(0)Ω + \|f3\|(0)Ω + \|b\|(α) ∂Ω ) , (3.31) \|u\|(3+α) Ω ≤ CM3+α ≡ C ( \|a1\|(1+α) Ω \|f1\|(3+α) Ω + \|a2\|(1+α) Ω \|f2\|(2+α) Ω + \|f3\|(1+α) Ω + \|b\|(3+α) ∂Ω ) . (3.32) Доказательство. Отметим, во-первых, что если Ω представляет со- бой полупространство RN + , то утверждение данной леммы, фактиче- ски, доказано в леммах 3.1 и 3.2. Поэтому ниже в доказательстве мы считаем Ω ограниченной областью с границей класса C3+α. 32 Эллиптико-параболическое уравнение... Оценка (3.32) для оператора Лапласа (как в нашем случае) хоро- шо известна (см., например, [43,44]). Поэтому остановимся на оценке (3.31). В доказательстве же (3.31) можно, не ограничивая общности, считать, что b ≡ 0 в (3.29), так как общий случай сводится к указан- ному продолжением функции b(x) с границы ∂Ω внутрь области Ω до функции B(x) того же класса со свойствами: \|B(x)\|(α) Ω ≤ C \|b\|(α) ∂Ω , \|B(x)\|(3+α) Ω ≤ C \|b\|(3+α) ∂Ω . Способ такого продолжения указан, например, в [34]. После этого общий случай сводится к случаю b ≡ 0 заменой в (3.28), (3.29) неи- звестной функции u(x) = w(x) + B(x), причем (3.29) переходит в условие w\|∂Ω = 0, а в правой части уравнения (3.28) появляется сла- гаемое вида ∑N 1 ∂2 ∂xi∂xi B(x), то есть слагаемое такого же типа, как первое слагаемое справа в (3.28). Доказательство же самой оценки (3.31) проводится в соответ- ствии со стандартной техникой оценок Шаудера (см., например, [44]) умножением уравнения (3.28) на гладкие срезающие функции η(x) ∈ C∞ 0 (RN ) с носителем малого размера λ > 0 и последующим локаль- ным распрямлением границы (если supp(η) ∩ ∂Ω 6= ∅) и использо- ванием лемм 3.1, 3.2. Опишем кратко этот процесс применительно к нашему случаю. Пусть supp(η) ∩ ∂Ω 6= ∅. Умножая уравнение (3.28) на η(x), для функции v(x) = u(x)η(x) получаем уравнение △v(x) = (a1η) ∂2f1 ∂xi∂xj + (a2η) ∂f2 ∂xl + ηf3 + 2 N∑ k=1 ηxk ∂u ∂xk + (△η)u. Сделав, с целью локального распрямления границы, соответствую- щую замену переменных z = z(x) (см., например, [34, гл. IV]), полу- чаем задачу в полупространстве N∑ i,j=1 Aij(z) ∂2v(z) ∂zi∂zi = N∑ i,j=1 ã1,ij(z) ∂2f̃1(z) ∂zi∂zi + N∑ i=1 ã2,i(z) ∂f̃2(z) ∂zi + f̃3 + N∑ i=1 αi(z) ∂u(z) ∂zi + α(z)u(z), zN > 0, (3.33) где функции ãi, f̃i строятся по функциям ai, fi. При этом, поскольку носитель функции v(x) находился в “малой” окрестности диаметра λ границы ∂Ω класса C3+α, то, ввиду гладкости границы, которая яв- ляется локально “близкой” к плоскости, полученные коэффициенты С. П. Дегтярев 33 оператора в левой части (3.33) близки к коэффициентам оператора Лапласа, то есть (δij — символ Кронекера) \|Aij(z) − δij \| ≤ Cλ. (3.34) Запишем (3.33) в виде △v(z) = N∑ i,j=1 ã1,ij(z) ∂2f̃1(z) ∂zi∂zi + N∑ i=1 ã2,i(z) ∂f̃2(z) ∂zi + f̃3 + N∑ i=1 αi(z) ∂u(z) ∂zi + α(z)u(z) + N∑ i,j=1 (δij −Aij(z)) ∂2v(z) ∂zi∂zi , zN > 0, (3.35) v(z)\|zN=0 = 0. Теперь оценка 〈v(z)〉αz получается применением к (3.35) леммы 3.1 и леммы 3.2. При этом, применяя неравенство (3.4) с λ леммы 3.1 к слагаемым в правой части (3.35) вида (δij −Aij(z)) ∂2v(z) ∂zi∂zi , получаем, в совокупности, оценку 〈v〉(α) z,RN + ≤ CλMα + Cλ \|u\|(0)Ω + Cλ 〈v〉(α) z,RN + . (3.36) Выбирая λ достаточно малым, и перенося последнее слагаемое справа в (3.36) в левую часть, получаем 〈v〉(α) z,RN + ≤ CMα + C \|u\|(0) Ω . (3.37) Если же supp(η)∩∂Ω = ∅, то ситуация только упрощается, так как не требуется локального распрямления границы. Следовательно, стан- дартным образом, собирая оценки вида (3.37) по всем η(x) с носите- лями, покрывающими всю область Ω, получаем оценку \|u\|(α) Ω ≤ CMα + C \|u\|(0) Ω . (3.38) Далее, оценка младшей нормы \|u\|(0) Ω в (3.38) в терминах Mα следу- ет из единственности решения задачи (3.28), (3.29). Схема рассужде- ний при этом также более или менее стандартна (см., например, [45]). Мы приведем здесь доказательство оценки величины \|u\|(0) Ω в целях полноты изложения. 34 Эллиптико-параболическое уравнение... Итак, покажем, что существует такая константа C, зависящая только от области Ω, что \|u\|(0) Ω ≤ CMα. (3.39) Предположим противное. Тогда существует последовательность {a(n) 1 , f (n) 1 , a (n) 2 , f (n) 2 , f (n) 3 } такая, что для соответствующих решений u(n) выполнено \|u\|(0) Ω ≥ nM(n) α . (3.40) Заметим, во-первых, что, заменяя функции a (n) 1 , a (n) 2 и f (n) 3 на a (n) 1 /M(n) α , a (n) 2 /M(n) α и f (n) 3 /M(n) α , соответственно, (при этом u(n) за- меняется на u(n)/M(n) α ), мы можем, не ограничивая общности, счи- тать, что M(n) α = 1, (3.41) так что, в силу (3.40), ∣∣u(n) ∣∣(0) Ω ≥ n. (3.42) Ввиду доказанной оценки (3.38), ∣∣u(n) ∣∣(α) Ω ≤ CMα + C ∣∣u(n) ∣∣(0) Ω = C(1 + ∣∣u(n) ∣∣(0) Ω ). (3.43) Рассмотрим теперь функции v(n)(x) = u(n)(x)/\|u(n)\|(0) Ω . Функции v(n), очевидно, удовлетворяют задаче вида (3.28) с заменой a (n) 1 , a (n) 2 и f (n) 3 на ã (n) 1 = a (n) 1 /\|u(n)\|(0) Ω , ã (n) 2 = a (n) 2 /\|u(n)\|(0) Ω и f̃ (n) 3 = f (n) 3 /\|u(n)\|(0) Ω , соо- тветственно. Для них соответствующие величины M̃α удовлетворяют неравенству M̃α ≤ 1 ∣∣u(n) ∣∣(0) Ω ≤ 1 n . (3.44) Кроме того, по построению, ∣∣v(n) ∣∣(0) Ω = ∣∣∣∣ u(n)(x) \|u\|(0) Ω ∣∣∣∣ (0) Ω = 1, (3.45) а также, в силу (3.38) и (3.45), ∣∣v(n) ∣∣(α) Ω ≤ C ( 1 + ∣∣v(n) ∣∣(0) Ω ) ≤ C. (3.46) Пусть β ∈ (0, α). Из (3.46) следует, что, ввиду компактности вло- жения Cα(Ω) ⊂ Cβ(Ω) с β < α, из последовательности {v(n)} можно С. П. Дегтярев 35 выбрать подпоследовательность (за которой мы сохраняем то же обо- значение), сходящуюся в Cβ(Ω) к некоторой функции v(x) ∈ Cβ(Ω). При этом, очевидно, v(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (3.47) так как все v(n) удовлетворяют условию (3.29). Кроме того, из (3.45) следует, что предельная функция v(x) удовлетворяет соотношению \|v(x)\|(0) Ω = 1. (3.48) Пусть ζ(x) ∈ C∞ 0 (Ω) и имеет носитель внутри Ω. Умножим уравнение (3.28) для v(n)(x) на ζ и проинтегрируем по частям по области Ω, перебросив все производные на ζ: ∫ Ω v(n)(x)△ζ(x) dx = ∫ Ω ã (n) 1 f1 ∂2ζ(x) ∂xi∂xj dx + ∫ Ω ( ã (n) 1xi ζxj + ã (n) 1xj ζxi ) f1 dx+ ∫ Ω ã (n) 1xixj ζf1 dx− ∫ Ω ã (n) 2 ζxl f2 dx − ∫ Ω ã (n) 2xl ζf2 dx+ ∫ Ω ζf̃3 dx ≡ I(n)(ζ). (3.49) Поскольку v(n)(x) равномерно сходится к v(x), то при n → ∞ левая часть (3.49) сходится к интегралу от v(x): ∫ Ω v(n)(x)△ζ(x) dx→ ∫ Ω v(x)△ζ(x) dx, n→ ∞. (3.50) С другой стороны,для суммы интегралов I(n)(ζ) в правой части (3.49) справедлива оценка (\|Ω\| — мера области Ω) ∣∣∣I(n)(ζ) ∣∣∣ ≤ \|Ω\| M̃α \|ζ\|(2) Ω ≤ 1 n \|Ω\| \|ζ\|(2) Ω . (3.51) Из (3.50) и (3.51) следует, что для предельной функции v(x) справе- дливо соотношение ∫ Ω v(x)△ζ(x) dx = 0, ∀ζ ∈ C∞ 0 (Ω). Таким образом, v(x) удовлетворяет в области Ω уравнению △v(x) = 0 36 Эллиптико-параболическое уравнение... и одновременно удовлетворяет условию (3.47). Следовательно, v(x) ≡ 0 в Ω, что противоречит (3.48). Полученное противоречие доказывает неравенство (3.39) с некоторой константой C, зависящей только от области Ω. Тем самым лемма доказана. Замечание 3.1. Из доказательства леммы 3.3 следует, что эта лемма справедлива не только для уравнения (3.28) с оператором Лапласа, но и для более общего линейного эллиптического оператора Lu = − ∑ i,j=1 aij(x) ∂2u ∂xi∂xj + ∑ i=1 ai(x) ∂u ∂xi + a(x)u, с достаточно гладкими коэффициентами: aij(x) ∈ C2+α(Ω), ai(x) ∈ C1+α(Ω), a(x) ∈ Cα(Ω), если для этого оператора выполнены условия единственности, напри- мер, a(x) ≥ 0. Замечание 3.2. Из доказательства леммы 3.3 также следует, что, в случае неограниченной области Ω, оценка (3.38) с младшей нормой \|u\|(0) Ω в правой части справедлива и для этого случая. 4. Эллиптическая краевая задача с параметром t и правой частью специального вида В данном параграфе мы получим разрешимость и оценки реше- ния эллиптической задачи с правой частью специального вида, пред- ставляющей собой комбинацию производных по пространственным переменным от функций из класса C3+α;3/2,α(ΩT ). Рассмотрим задачу вида (3.28), (3.29), в которой заданные и неи- звестная функции зависят от переменной t ∈ [0, T ] как от параметра: △u(x, t) = a(x, t) ∂f1(x, t) ∂xi ∂2f2(x, t) ∂xk∂xl , x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (4.1) u(x, t) = g(x, t), x ∈ ∂Ω, t ∈ [0, T ]. (4.2) Предположим, что a, f1, f2 ∈ C3+α;3/2,α(ΩT ), g ∈ C3+α;3/2,α(ΓT ). (4.3) Теорема 4.1. Пусть выполнено (4.3). Тогда решение u(x, t) задачи (4.1), (4.2) принадлежит классу C3+α;3/2,α(ΩT ) и для него справедли- ва оценка С. П. Дегтярев 37 \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ CNT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT ≡ C \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT . (4.4) Если же g ∈ C 3+α′, 3+α′ 2 0 (ΓT ) с α′ ∈ (α, 1) ,а функция a(x, t) и хотя бы одна из функций f1(x, t) и f2(x, t) обращаются в тождественный ноль при t = 0, то есть a(x, 0) ≡ 0, f1(x, 0) ≡ 0 (или f2(x, 0) ≡ 0), (4.5) то справедлива также оценка \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ CTµ(NT + \|g\|(3+α′;3/2,α′) ΓT ). (4.6) Доказательство. Так как, ввиду (4.3), правая часть (4.1) при ка- ждом t ∈ [0, T ] принадлежит классу C1+α x (Ω) по переменным x, то, ввиду (3.32), max t∈[0,T ] \|u(·, t)\|(3+α) Ω ≤ CNT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT . (4.7) Кроме того, если g ∈ C 3+α′;3/2,α′ 0 (ΓT ), то \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT ≤ CTµ \|g\|(3+α′;3/2,α′) ΓT . Если к тому же a(x, 0) ≡ 0, то max t ∣∣∣∣a(·, t) ∂f1(·, t) ∂xi ∂2f2(·, t) ∂xk∂xl ∣∣∣∣ (1+α) Ω ≤ max t \|a(·, t)\|(1+α) Ω \|f1(·, t)\|(2+α) Ω \|f2(·, t)\|(3+α) Ω ≤ \|a\|(1+α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ CTµ \|a\|(1+α′) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ CTµNT . Поэтому в этом случае max t∈[0,T ] \|u(·, t)\|(3+α) Ω ≤ CTµ(NT + \|g\|(3+α′;3/2,α′) ΓT ). (4.8) Следовательно, для доказательства (4.4), (4.6), ввиду (2.11), достато- чно оценить соответствующую норму решения u(x, t) по переменной t, а именно полунормы 〈ut〉(1/2) t,ΩT и [ut] (α,1/2) ΩT . 38 Эллиптико-параболическое уравнение... Пусть h, τ > 0 фиксированы. Для произвольной функции g(x, t) обозначим ∆hg = g(x, t+ h) − g(x, t), ∆τg = g(x, t+ τ) − g(x, t), ∆h,τg = ∆h (∆τg) = g(x, t+h+τ)−g(x, t+h)−g(x, t+τ)+g(x, t), — оператор второй разности по t с шагами h и τ , gh = ∆hg h , gτ = ∆τg τ1/2 , gh,τ = ∆h,τg hτ1/2 . (4.9) Применим к обеим частям уравнения (4.1) оператор второй разности ∆h,τ и разделим обе части уравнения на hτ1/2. В результате получим соотношения: △uh,τ = ah,τ (x, t) ∂f1(x, t+ h+ τ) ∂xi ∂2f2(x, t+ h+ τ) ∂xk∂xl + aτ (x, t) ∂f1,h(x, t+ τ) ∂xi ∂2f2(x, t+ h+ τ) ∂xk∂xl + aτ (x, t) ∂f1(x, t+ τ) ∂xi ∂2f2,h(x, t+ τ) ∂xk∂xl + ah(x, t) ∂f1,τ (x, t+ h) ∂xi ∂2f2(x, t+ h+ τ) ∂xk∂xl + a(x, t) ∂f1,h,τ (x, t) ∂xi ∂2f2(x, t+ h+ τ) ∂xk∂xl + a(x, t) ∂f1,τ (x, t) ∂xi ∂2f2,h(x, t+ τ) ∂xk∂xl + ah(x, t) ∂f1(x, t+ h) ∂xi ∂2f2,τ (x, t+ h) ∂xk∂xl + a(x, t) ∂f1,h(x, t) ∂xi ∂2f2,τ (x, t+ h) ∂xk∂xl + a(x, t) ∂f1(x, t) ∂xi ∂2f2,h,τ (x, t) ∂xk∂xl ≡ 9∑ r=1 Ir(x, t), (4.10) uh,τ (x, t)\|∂Ω = gh,τ (x, t). (4.11) Теперь нашей задачей будет оценить величину \|uh,τ \|(α) Ω в терминах норм правых частей соотношений (4.10), (4.11). Для этого представим функцию uh,τ в виде суммы uh,τ (x, t) = 9∑ r=1 u (r) h,τ + u (0) h,τ , С. П. Дегтярев 39 где u (r) h,τ является решением задачи △u(r) h,τ = Ir(x, t), x ∈ Ω, u (r) h,τ \|∂Ω = 0, (4.12) с соответствующей правой частью Ir из (4.10), а u (0) h,τ — решение за- дачи △u(0) h,τ = 0, x ∈ Ω, u (0) h,τ \|∂Ω = gh,τ (x, t). Для оценки \|ur h,τ \| (α) Ω воспользуемся леммой 3.3. При этом, в опре- деленном смысле “старшими” Ir являются те, в которых вторая ра- зность по h, τ находится под знаком второй производной по перемен- ным x. Рассмотрим сначала функцию u (9) h,τ , которая удовлетворяет задаче △u(9) h,τ = g1(x, t) ∂2g2(x, t) ∂xk∂xl , x ∈ Ω, u (9) h,τ \|∂Ω = 0, (4.13) где g1(x, t) ≡ a(x, t) ∂f1(x, t) ∂xi , g2(x, t) ≡ f2,h,τ (x, t). В соответствии с леммой 3.3, равномерно по t ∈ [0, T − h− τ ] выпол- нено ∣∣∣u(9) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ C \|g1(·, t)\|(2+α) Ω \|g2(·, t)\|(α) Ω ≤ C \|a(·, t)\|(2+α) Ω \|f1(·, t)\|(3+α) Ω \|f2,h,τ (·, t)\|(α) Ω . (4.14) Учитывая, что в соответствии с теоремой о среднем f2,h,τ (x, t) = 1∫ 0 ∆τ τ1/2 ∂f2(x, t+ θh) ∂t dθ, получаем, что \|f2,h,τ (·, t)\|(α) Ω ≤ 〈∂f2 ∂t 〉(1/2) t,ΩT + [∂f2 ∂t ](α,1/2) ΩT ≤ \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . (4.15) Поэтому, из (4.14), (4.14) следует ∣∣∣u(9) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ C \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . (4.16) Если же a(x, t) удовлетворяет условию (4.5), то с некоторым α′ ∈ (α, 1) для первого множителя справа в (4.14) 40 Эллиптико-параболическое уравнение... \|a(·, t)\|(2+α) Ω = ∑ \|r\|≤2 \|Dr xa(·, t)\| (α) Ω ≤ ∑ \|r\|≤2 \|Dr xa\| (α) ΩT ≤ CTµ ∑ \|r\|≤2 \|Dr xa\| (α′) ΩT ≤ CTµ \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT , (4.17) где мы воспользовались тем, что, ввиду (2.13), axixj ∈ C1+α, 1+α 2 (ΩT ). Поэтому, в этом случае, в дополнение к (4.16) имеем ∣∣∣u(9) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ CTµ \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . (4.18) Аналогично для функции u (5) h,τ с правой частью I5 имеем задачу △u(5) h,τ = g1(x, t) ∂g2(x, t) ∂xi , x ∈ Ω, u (5) h,τ \|∂Ω = 0, где g1(x, t) = a(x, t) ∂2f2(x, t+ h+ τ) ∂xk∂xl , g2(x, t) = f1,h,τ (x, t). При этом, равномерно по t, h, τ \|g1(·, t)\|(1+α) Ω ≤ \|a(·, t)\|(1+α) Ω ∣∣∣∣ ∂2f2(·, t+ h+ τ) ∂xk∂xl ∣∣∣∣ (1+α) Ω ≤ \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT , (4.19) и, аналогично (4.15), \|g2(·, t)\|(0)Ω = \|f1,h,τ (·, t)\|(0)Ω ≤ 〈∂f1 ∂t 〉(1/2) t,ΩT ≤ \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . Таким образом, в силу леммы 3.3, ∣∣∣u(5) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ C \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . (4.20) Кроме того, при выполнении (4.5), из первого неравенства в (4.19), полностью аналогично (4.17) \|a(·, t)\|(1+α) Ω ≤ \|a\|(1+α) ΩT ≤ CTµ \|a\|(1+α′) ΩT ≤ CTµ \|a\|(3+α;3/2,α) ΩT . Так что наряду с (4.20) в этом случае получаем ∣∣∣u(5) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ CTµNT . (4.21) С. П. Дегтярев 41 Для функции u (6) h,τ имеем △u(6) h,τ = g1(x, t) ∂g2(x, t) ∂xk , x ∈ Ω, u (5) h,τ \|∂Ω = 0, (4.22) где g1(x, t) = a(x, t) ∂f1,τ (x, t) ∂xi , g2(x, t) = ∂ ∂xl f2,h(x, t+ τ). При этом, аналогично (4.15), g2(x, t) = 1∫ 0 ∂2 ∂xl∂t f2(x, t+ θh+ τ) dθ, так что, ввиду (2.13), \|g2(·, t)\|(α) Ω ≤ max t ∣∣∣∣ ∂2f2(·, t) ∂xl∂t ∣∣∣∣ (α) Ω ≤ \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . Кроме того, ввиду (2.12), ∣∣∣∣ ∂f1,τ ∂xi (·, t) ∣∣∣∣ (1+α) Ω ≤ 〈 ∂f1 ∂xi 〉(1/2) t,ΩT + N∑ k=1 〈 ∂2f1 ∂xi∂xk 〉(1/2) t,ΩT + N∑ k=1 [ ∂2f1 ∂xi∂xk ](α,1/2) ΩT ≤ \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT . Следовательно, ∣∣∣u(6) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ C \|a\|(1+α) ΩT \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT \|f2\|(3+α;3/2,α) ΩT . (4.23) Если же для a(x, t) выполнено (4.5), то полностью аналогично пре- дыдущему случаю ∣∣∣u(6) h,τ (·, t) ∣∣∣ (α) Ω ≤ CTµNT . (4.24) Остальные слагаемые u (r) h,τ рассматриваются полностью аналоги- чно. В итоге, суммирование оценок для всех u (r) h,τ дает в результате \|uh,τ (·, t)\|(α) Ω ≤ CNT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT . (4.25) Или, если выполнено условие (4.5), то \|uh,τ (·, t)\|(α) Ω ≤ CTµNT + CTµ \|g\|(3+α′) ΓT . (4.26) 42 Эллиптико-параболическое уравнение... Переходя теперь к пределу в левой части (4.25) (или (4.26)) при h→ 0, получаем ∣∣∣∣ ∂uτ (·, t) ∂t ∣∣∣∣ (α) Ω ≤ CNT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT (4.27) или ∣∣∣∣ ∂uτ (·, t) ∂t ∣∣∣∣ (α) Ω ≤ CTµNT + CTµ \|g\|(3+α′) ΓT . (4.28) Отсюда, ввиду определения нормы в Cα(Ω) и произвольности τ > 0, следует 〈∂u ∂t 〉(1/2) t,ΩT + [∂u ∂t ](α,1/2) ΩT ≤ CNT + C \|g\|(3+α;3/2,α) ΓT (4.29) или 〈∂u ∂t 〉(1/2) t,ΩT + [∂u ∂t ](α,1/2) ΩT ≤ CTµNT + CTµ \|g\|(3+α′) ΓT (4.30) Тем самым оценки (4.4), (4.6) и теорема 4.1 доказаны. Теорема 4.2. Пусть для задачи (4.1), (4.2) выполнены условия (4.3). Если g ∈ C 3+α;3/2,α 0 (ΓT ), а из трех функций a, f1, f2 либо одна при- надлежит классу с нулем C 3+α;3/2,α 0 (ΩT ), либо две из этих функций обращаются в ноль при t = 0, то решение задачи (4.1), (4.2) u(x, t) принадлежит пространству с нулем C 3+α;3/2,α 0 (ΩT ), то есть u(x, 0) ≡ ∂u ∂t (x, 0) ≡ 0. Доказательство. Во-первых, если хотя бы одна из трех функций a, f1, f2 обращается в ноль при t = 0, то, так как g(x, 0) = 0 на ΓT , то △u(x, 0) = 0, x ∈ Ω; u\|∂Ω = 0. (4.31) Следовательно, в условиях теоремы u(x, 0) ≡ 0. Далее, покажем, что производная ∂u ∂t (x, 0) также удовлетворяет задаче (4.31). Так как g ∈ C 3+α;3/2,α 0 (ΓT ), то ∂g(x, 0)/∂t ≡ 0, и, следо- вательно, ∂u ∂t (x, 0) ∣∣∣∣ ∂Ω = ∂g ∂t (x, 0) = 0. (4.32) Пусть, далее, как и в теореме 4.1, uh(x, t) = u(x, t+ h) − u(x, t) h . С. П. Дегтярев 43 Тогда функция uh(x, t) удовлетворяет уравнению △uh = ah(x, t) ∂f1 ∂xi (x, t+ h) ∂2f2 ∂xk∂xl (x, t+ h) + a(x, t) ∂f1,h ∂xi (x, t) ∂2f2 ∂xk∂xl (x, t+ h) + a(x, t) ∂f1 ∂xi (x, t) ∂2f2,h ∂xk∂xl (x, t). (4.33) Пусть η(x) ∈ C∞ 0 . Умножая (4.33) на η(x), интегрируя по области Ω, дважды применяя интегрирование по частям в левой части и в третьем слагаемом справа в (4.33), а затем переходя к пределу при h→ 0, получаем ∫ Ω △η(x) ∂u ∂t (x, t) dx = ∫ Ω η(x) ∂a(x, t) ∂t ∂f1 ∂xi (x, t) ∂2f2 ∂xk∂xl (x, t) dx + ∫ Ω η(x)a(x, t) ∂2f1 ∂xi∂t ∂2f2 ∂xk∂xl dx + ∫ Ω ∂2 ∂xk∂xl [ η(x)a ∂f1 ∂xi ] ∂f2 ∂t (x, t) dx. (4.34) В условиях теоремы из (4.34) следует, что при t = 0 правая часть (4.34) равна нулю, то есть ∫ Ω △η(x)∂u ∂t (x, 0) dx = 0. В силу произвольности η(x), из последнего соотношения следует, что △ ( ∂u ∂t (x, 0) ) = 0, x ∈ Ω. (4.35) Из (4.32), (4.35) и (4.31) следует утверждение теоремы. Рассмотрим теперь задачу вида (4.1), (4.2) с несколько более об- щей, чем в (4.1), правой частью. А именно, рассмотрим задачу для неизвестной функции u(x, t): △u(x, t) = S(x, f1(x, t),∇f1) ∂f2 ∂xi ∂f3 ∂xj ∂2f4 ∂xk∂xl ≡ F (x, t), x ∈ Ω, t ≥ 0, (4.36) 44 Эллиптико-параболическое уравнение... u(x, t)\|∂Ω = 0. (4.37) Заданная функция S(x, z, ξ) в (4.36), z ∈ [−M,M ], ξ ∈ [−M,M ]N , M > 0, предполагается принадлежащей классу C4(Ω × [−M,M ] × [−M,M ]N ), ‖S(x, z, ξ)‖C4 ≤ S0. (4.38) Функции fi(x, t) удовлетворяют условиям: fi(x, t) ∈ C3+α;3/2,α(ΩT ), i = 1, 4, \|f1\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤M, (4.39) причем или хотя бы одна из функций fi(x, t), i = 2, 3, 4, принадле- жит классу с нулем C 3+α;3/2,α 0 (ΩT ), или хотя бы две из этих функций обращаются в ноль при t = 0. Теорема 4.3. Пусть выполнены перечисленные выше условия на данные задачи (4.36), (4.37). Тогда эта задача имеет единственное решение из пространства с нулем C 3+α;3/2,α 0 (ΩT ), которое удовле- творяет оценке \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C(S0,M) 4∏ m=2 \|fm\|(3+α;3/2,α) ΩT ≡ CNT . (4.40) Если же хотя бы две из функций fi(x, t), i = 2, 3, 4, обращаются в ноль при t = 0, то справедлива также оценка \|u\|(3+α;3/2,α) ΩT ≤ C(S0,M)Tµ 4∏ m=2 \|fm\|(3+α;3/2,α) ΩT ≡ CTµNT . (4.41) Доказательство. Данная теорема доказывается в точности по той же схеме и с использованием в точности тех же рассуждений и оце- нок, что и в теореме 4.1, поэтому мы отметим только отличие, свя- занное с нелинейностью S в правой части уравнения. Как и в теореме 4.1, поскольку выражение F (x, t) в правой части (4.37) представляет собой произведение четырех величин, то выраже- ние ∆h h ∆τ τ1/2F (x, t) можно представить в виде суммы 16 выражений, в которых операторы взятия разности ∆h h и ∆τ τ1/2 действуют поочередно на каждый из сомножителей Fh,τ (x, t) ≡ ∆h h ∆τ τ1/2 F (x, t) = 16∑ m=1 Im(x, t). (4.42) В соответствии с этим, функция uh,τ разбивается на сумму функций uh,τ = 16∑ m=1 u (m) h,τ , С. П. Дегтярев 45 где △u(m) h,τ = Im(x, t), x ∈ Ω, u (m) h,τ \|∂Ω = 0. (4.43) При этом для каждого m = 1, 16 величина \|u(m) h,τ (·, t)\|(α) Ω оценивается с использованием теоремы 4.1 и оценки (3.31). При этом те выражения Im, которые соответствуют случаям, ко- гда один или оба оператора разности ∆h h и ∆τ τ1/2 действуют на функцию S(x, f1(x, t),∇f1(x, t)), рассматриваются полностью аналогично оцен- кам теоремы 4.1. Действительно, рассмотрим, например, разность ∆h h S(x, f1(x, θ),∇f1(x, θ)) = 1 h [S(x, f1(x, θ + h),∇f1(x, θ + h)) − S(x, f1(x, θ),∇f1(x, θ))] = A0(x, θ) ∆hf1(x, θ) h + N∑ i=1 Ai(x, θ) ∂ ∂xi ∆hf1(x, θ) h , (4.44) где A0(x, θ) ≡ A0(x, f1(x, θ),∇f1(x, θ), f1(x, θ + h),∇f1(x, θ + h)) = 1∫ 0 ∂S ∂z (x, f1(x, θ) + ω∆hf1(x, θ),∇f1(x, θ) + ω∇ [∆hf1(x, θ)])dω, (4.45) Ai(x, θ) ≡ Ai(x, f1(x, θ),∇f1(x, θ), f1(x, θ + h),∇f1(x, θ + h)) = 1∫ 0 ∂S ∂ξi (x, f1(x, θ) + ω∆hf1(x, θ),∇f1(x, θ) + ω∇ [∆hf1(x, θ)])dω. (4.46) Из (4.45) и (4.46) следует, что функции A0(x, z, ξ, y, η) и Ai(x, z, ξ, y, η) (y ↔ f1(x, θ+ h), η ↔ ∇f1(x, θ+ h)) по своим аргументам, принадле- жат пространству A0(x, z, ξ, y, η), Ai(x, z, ξ, y, η) ∈ C3(Ω × [−M,M ] × [−M,M ]N × [−M,M ] × [−M,M ]N ), и, так как функция f1 по пе- ременным x принадлежит пространству C3+α(Ω), то, как функции переменных x, A0, Ai ∈ C2+α(Ω). Аналогичное представление име- ет место и в том случае, когда оба оператора разности падают на нелинейность S. Ввиду таких представлений, доказательство данной теоремы полностью идентично доказательству теоремы 4.1. 46 Эллиптико-параболическое уравнение... Литература [1] H. W. Alt, S. Luckhaus, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z., 183 (1983), No. 1, 311–341. [2] C. J. Van Duyn, L. A. Peletier, Nonstationary filtration in partially saturated porous media // Arch. Rational Mech. Anal., 78 (1982), No. 2, 173–198. [3] M. Bertsch, J. Hulshof, Regularity results for an elliptic-parabolic free boundary problem // Trans. Amer. Math. Soc., 297 (1986), No. 1, 337–350. [4] E. Di Benedetto, R. Gariepy, Local behavior of solutions of an elliptic-parabolic equation // Arch. Rational. Mech. Anal., 97 (1987), No. 1, 1–17. [5] A. Fasano, M. Primicerio, Nonstationary filtration in partially saturated porous media // J. Inst. Math. Appl., 23, (1979), No. 4, 503–517. [6] J. Hulshof, An elliptic-parabolic free boundary problem: continuity of the interface // Proc. Royal Soc. Edinburg, 106A (1987), No. 3, 327–339. [7] J. Hulshof, L. A. Peletier, An elliptic-parabolic free boundary problem // Nonlinear Anal: Theory, Method Appl., 10 (1986), No. 12, 1327–1346. [8] C. J. Van Duyn, Nonstationary filtration in partially saturated porous media: contunuity of the free boundary // Arch. Rational Mech. Anal., 79 (1982), No. 3, 261–265. [9] C. J. Van Duyn, J. Hulshof, An elliptic-parabolic with a nonlocal boundary condi- tion // Arch. Rational Mech. Anal., 99 (1987), No. 1, 61–73. [10] R. Gianni, P. Mannucci, A free boundary problem for a degenerate parabolic equati- on: Regularity of the solution // Adv. Math. Sci. Appl., 9 (1999), No. 1, 557–569. [11] X. Chen, A. Friedman and T. Kimura, Nonstationary filtration in partially saturated porous media // Eur. J. Appl. Math., 5 (1994), No. 3, 405–429. [12] A. S. Kalashnikov, On continuous dependence of generalized solutions of the equation of unsteady filtration of a function determining the flow mode // J. Appl. Math. Mech., 42 (1978), No. 1, 183—185. [13] B. Andreianov, M. Bendahmane, K. H. Karlsen, S. Ouaro, Well-posedness results for triply nonlinear degenerate parabolic equations // J. Differential Equations, 247 (2009), No. 1, 277—302. [14] I. Borsi, A. Farina, R. Gianni, M. Primicerio, Continuous dependence on the constitutive functions for a class of problems describing fluid flow in porous media // Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 20 (2009), No. 1, 1—24. [15] V. Pluschke, F. Weber, The local solution of a parabolic-elliptic equation with a nonlinear Neumann boundary condition // Comment. Math. Univ. Carolin., 40 (1999), No. 1, 13—38. [16] V. Pluschke, Solution of a quasilinear parabolic-elliptic boundary value problem // Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998), 265—276, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 215 Dekker, New York, 2001. [17] J. Filo, V. Pluschke, A free boundary problem in dermal drug delivery // SIAM J. Math. Anal., 33 (2002), No. 6, 1430—1454. [18] P. Mannucci, J. L. Vazquez, Viscosity solutions for elliptic-parabolic problems // Nonlinear Differ. Equ. Appl., 14 (2007), No. 1–2, 75–90. С. П. Дегтярев 47 [19] I. C. Kim, N. Poz̆ár, Nonlinear Elliptic-Parabolic Problems // Arch. Rational Mech. Anal., 210 (2013), No. 3, 975–1020. [20] P. A. Domencio, F. W. Schwartz, Physical and Chemical Hydrogeology, Wiley, New-York, 1998. [21] W. Merz, P. Rybka, Strong solutions to the Richards equation in the unsaturated zone // J. Math. Anal. Appl., 371 (2010), 741—749. [22] L. A. Richards, Capillary conduction of liquids through porous mediums // Physi- cs, 1 (1931), 318–333. [23] B. V. Bazaliy, S. P. Degtyarev, Classical solutions of many-dimensional elliptic- parabolic free boundary problems // NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 16 (2009), No. 4, 421–443. [24] F. Andreu, N. Igbida, J. M. Mazón, J. Toledo, A degenerate elliptic-parabolic problem with nonlinear dynamical boundary conditions // Interfaces Free Bound., 8 (2006), No. 4, 447–479. [25] F. Andreu, N. Igbida, J. M. Mazón, J. Toledo, Renormalized solutions for degenerate elliptic-parabolic problems with nonlinear dynamical boundary conditi- ons and L1-data // J. Differential Equations, 244 (2008), No. 11, 2764–2803. [26] A. L. Amadori, J. L. Va’zquez, Singular free boundary problem from image processing // Math. Models Methods Appl. Sci., 15 (2005), No. 5, 689–715. [27] E. Maitre, P. Witomski, A pseudo-monotonicity adapted to doubly nonlinear elliptic-parabolic equations // Nonlinear Anal., 50 (2002), No. 2, Ser. A: Theory Methods, 223–250. [28] J. I. Díaz, M. B. Lerena, J. F. Padial and J. M. Rakotoson, An elliptic- parabolic equation with a nonlocal term for the transient regime of a plasma in a stellarator // J. Differential Equations, 198 (2004), No. 2, 321–355. [29] R. Gianni, R. Ricci, An elliptic-parabolic problem in Bingham fluid motion // Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 28 (1996), No. 1-2, 247–261. [30] F. Otto, L1-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equati- ons // J. Differential Equations, 131 (1996), No. 1, 20–38. [31] B. Andreianov, P. Wittbold, Convergence of approximate solutions to an elli- ptic–parabolic equation without the structure condition // NoDEA Nonlinear Di- fferential Equations Appl., 19 (2012), No. 6, 695–717. [32] Chang Shou Lin, Kaising Tso, On regular solutions of second order degenerate elliptic-parabolic equations // Comm. Partial Differential Equations, 15 (1990), No. 9, 1329–1360. [33] Lian Jun An, The infiltration problem with large constant surface flux in partially saturated porous media, International workshop on applied differential equations (Beijing, 1985), 177–198, World Sci. Publishing, Singapore, 1986. [34] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази- линейные уравнения параболического типа, М.: “Наука”, 1967. [35] В. А. Солонников, Разрешимость задачи о движении вязкой несжимае- мой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР, сер.мат., 41 (1977), No. 6, 1388–1424. [36] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, О классической разрешимости многомерной задачи Стефана при конвективном движении вязкой несжимаемой жидко- сти // Мат. сборник, 132(174) (1987), No. 1, 3–19. 48 Эллиптико-параболическое уравнение... [37] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, Разрешимость задачи с неизвестной грани- цей между областями определения параболического и эллиптического урав- нений // Укр. мат. журнал, 41 (1989), No. 10, 1343–1349. [38] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, О задаче Стефана с кинематическим и клас- сическим условием на свободной границе // Укр. мат. журнал, 44 (1992), No. 2, 155–166. [39] Г. И. Бижанова, Исследование разрешимости многомерных двухфазных за- дач Стефана и нестационарной фильтрации Флорина для параболических уравнений второго порядка в весовых гельдеровских пространствах фун- кций // Зап. научн. семин. ПОМИ, 213 (1994), 14–47. [40] К. К. Головкин, Об эквивалентных нормировках дробных пространств // Труды МИАН, 66 (1962), 364–383. [41] В. А. Солонников, Оценки решений нестационарной линеаризованной систе- мы уравнений Навье–Стокса // Труды МИАН, 70 (1964), 213–317. [42] A. Lunardi, Analitic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, Progress in nonlinear differential equations and their applications, 16, Birkhäuser, 1995. [43] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: “Наука”, 1973. [44] Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: “Наука”, 1989. [45] C. Goulaouic, N. Shimakura, Regularite holderienne de certains problemes aux limites elliptiques degeneres // Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa, X (1983), No. 1, 79–108. Сведения об авторах Сергей Петрович Дегтярев Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Розы Люксембург 74, Донецк, 83114, Украина E-Mail: degtyar@i.ua

Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром

Репозитарії

Схожі ресурси