Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124452 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент / М.Г. Волкова, Е.И. Олефир // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 127-140. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124452 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244522017-09-27T03:03:18Z Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент Волкова, М.Г. Олефир, Е.И. 2014 Article Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент / М.Г. Волкова, Е.И. Олефир // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 127-140. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 46Е40. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124452 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Волкова, М.Г. Олефир, Е.И. |
| spellingShingle |
Волкова, М.Г. Олефир, Е.И. Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент Український математичний вісник |
| author_facet |
Волкова, М.Г. Олефир, Е.И. |
| author_sort |
Волкова, М.Г. |
| title |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| title_short |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| title_full |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| title_fullStr |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| title_full_unstemmed |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| title_sort |
критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124452 |
| citation_txt |
Критерий безусловной базисности семейств векторных экспонент / М.Г. Волкова, Е.И. Олефир // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 1. — С. 127-140. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT volkovamg kriterijbezuslovnojbazisnostisemejstvvektornyhéksponent AT olefirei kriterijbezuslovnojbazisnostisemejstvvektornyhéksponent |
| first_indexed |
2025-07-09T01:27:14Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:27:14Z |
| _version_ |
1837130775337631744 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 1, 127 – 140
Критерий безусловной базисности семейств
векторных экспонент
Мария Г. Волкова, Елена И. Олефир
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В статье доказывается критерий безусловной бази-
сности семейств вектор-функций
Ek(t) := cke
iλkt
, ck ∈ C
n
, λk ∈ Λ
в декартовом произведении n экземпляров пространства L2(0, a) без
ограничительного условия infk Im λk > −∞
2010 MSC. 46Е40.
Ключевые слова и фразы. Безусловные базисы, несамосопряжен-
ные операторы, векторные экспоненты.
Обозначим через L
(n)
2 (0, a) декартово произведение n экземпляров
пространства L2(0, a) со стандартным скалярным произведением и
рассмотрим в нем семейство функций
En(t) := cne
iλnt, λn ∈ Λ, (1)
где cn — постоянные векторы из Cn, Λ = {λk}+∞
−∞ — комплексная
последовательность с единственной предельной точкой ∞. Критерии
безусловной базисности семейств вида (1) в пространстве L
(n)
2 (0, a)
находят ряд важных приложений в теории управления системами с
распределенными параметрами [1]. В этой монографии доказан ряд
критериев безусловной базисности векторных экспонент при допол-
нительном условии
inf
λn∈Λ
Imλn > −∞. (2)
Статья поступила в редакцию 5.05.2013
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
128 Критерий безусловной базисности...
Операторный подход к изучению базисных свойств семейств (1)
приводит к необходимости исследовать спектральную структуру ко-
нечномерных возмущений специального вида оператора интегриро-
вания в пространстве L
(n)
2 (0, a). Действительно, пусть семейство (1)
образует безусловный базис пространства L
(n)
2 (0, a). Тогда существу-
ет ограниченный в L
(n)
2 (0, a) оператор K такой, что (KEn)(t) =
λ−1
n En(t), λn ∈ Λ (без ограничения общности, считаем, что 0 /∈ Λ).
Оператор K будем искать в виде
K = B∗ + Γ,
где оператор B задается формулой
(Bh)(t) = col
(
(Ihk)(t)
)n
k=1
, h = col(hk), (Ihk)(t) = i
t∫
0
hk(s) ds,
(3)
а оператор Γ подлежит определению. Из того, что λ−1
n суть собствен-
ные числа оператора K, следуют равенства
(ΓEp)(t) = −λ−1
p eiλpacp, λp ∈ Λ, (4)
то есть образ Γ натягивается на стандартные орты ek = col(δkj)
n
j=1
пространства Cn. Это означает, что оператор K −K∗ конечномерен
и потому сходится ряд [2]
∞∑
p=−∞
∣∣Imλ−1
p
∣∣ <∞,
что, в свою очередь, влечет однозначную разрешимость для каждого
k, 1 ≤ k ≤ n проблемы моментов
(Ep, fk) = −λ−1
p eiλpackp, cp = col(ckp)
n
k=1, λp ∈ Λ, (5)
где скобки обозначают скалярное произведение в L
(n)
2 (0, a). Действи-
тельно, правые части равенств (5) после деления их на ‖Ep‖ прина-
длежат l2 в силу сходимости указанного ряда. Теперь равенства (4)
с помощью найденных векторов fk можем переписать в виде
ΓEp =
n∑
k=1
(Ep, fk)ek, p ∈ Z,
и, таким образом, приходим к формуле для оператора K:
Kh = B∗h+
n∑
k=1
(h, fk)ek, h ∈ L
(n)
2 (0, a), (6)
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 129
где оператор B задается формулой (3), fk — векторы из пространства
L
(n)
2 (0, a), 1 ≤ k ≤ n.
Итак, задача сводится к нахождению условий, при которых се-
мейства собственных векторов произвольного оператора K вида (6)
образуют безусловный базис пространства L
(n)
2 (0, a). Такой подход
позволяет понять происхождение последовательностей {cn}+∞
−∞,Λ в
задаче о безусловной базисности семейств вида (1). В самом деле,
введем в рассмотрение целую матрицу-функцию Φ с элементами
Φkj(z) = δkj − ze−iza
a∫
0
eiztf j
k(t) dt, fk(t) = col(f j
k(t))n
j=1. (7)
Легко проверяется, что фредгольмов спектр оператора K совпа-
дает с последовательностью Λ, которая, в свою очередь, совпадает с
множеством нулей целой функции ∆(z) := detΦ(z). Далее, последо-
вательность cp определяется из систем линейных уравнений:
Φ(λp)cp = 0, rank Φ(λp) = n− 1, λp ∈ Λ, (8)
причем вторые равенства (8) равносильны тому, что размерность всех
собственных подпространств оператора вида (6) равна 1.
Для исследования операторов K, задаваемых формулами (6),
применяется метод интегральных оценок норм резольвент [3, 4]. Это
было проделано в работе [5], причем условие (2) предполагалось
выполненным.
В настоящей статье мы рассматриваем задачу о безусловной бази-
сности векторных экспонент без довольно сильного ограничения (2).
Отметим, что отказ от этого ограничения существенно усложняет до-
казательства.
В дальнейшем мы будем предполагать, что существует прямая
R + ib, b ∈ R такая, что
dist(Λ,R + ib) > 0. (9)
Для определенности будем считать, что b ≥ 0, и введем обозначения
Λ+
b = {λk ∈ Λ : Imλk > b}, Λ−
b = {λk ∈ Λ : Imλk < b}.
Далее из формулы (7) следует, что имеют место факторизации [6]:
Φ(z + ib)eiza = W+(z)Q+(z), z ∈ C+,
Φ(z + ib) = W−(z)Q−(z), z ∈ C−,
(10)
130 Критерий безусловной базисности...
где W± — внешние матрицы-функции в полуплоскостях C±, Q± —
внутренние матрицы-функции в C±.
Кроме последовательности cn рассмотрим также векторы dn, ко-
торые удовлетворяют условиям
Φ∗(λn)dn = 0, λn ∈ Λ. (11)
Напомним также обозначение ∆(z) = det Φ(z) Сформулируем теперь
основной результат этой статьи.
Теорема 1. Пусть K — произвольный оператор вида (6), причем
имеют место равенства (8), (9). Для того, чтобы семейство соб-
ственных векторов оператора K было безусловным базисом про-
странства L(n)
2 (0, a), необходимо и достаточно выполнение совоку-
пности условий:
1) вес W 2
b (x) := Φ(x+ ib)Φ∗(x+ ib), x ∈ R удовлетворяет матри-
чному (A2)-условию Макенхаупта;
2) lim
y→+∞
sup y−1 log |∆(iy)| = na, lim
y→−∞
sup |y|−1 log |∆(iy)| = 0;
3) справедливы неравенства
inf
λk∈Λ+
b
(Imλk − b) exp(Imλka) |(Φ′(λk)ck, dk)|
‖ck‖‖W ∗
+(λk − ib)dk‖
> 0,
inf
λk∈Λ−
b
(b− Imλk) |(Φ′(λk)ck, dk)|
‖ck‖‖W ∗
−(λk − ib)dk‖
> 0.
Уместно напомнить [7], что матричное (A2)-условие для веса W 2
b
состоит в том, что
sup
l
‖
(
M(W−2
b )
) 1
2
(
M(W 2
b )
) 1
2 ‖ <∞;
M(W±
b ) := |l|−1
∫
l
W±2
b (x) dx,
где l — произвольный интервал на R, |l| — его длина.
Отметим также, что в условии 3) фигурирует евклидово скаляр-
ное произведение в Cn и отвечающая ему норма.
Мы существенно сократим доказательство теоремы 1, если во-
спользуемся результатом работы [8], в которой изучались более общие
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 131
возмущения вольтеровых операторов. Далее, для упрощения выкла-
док ограничимся случаем, когда в формулировке теоремы параметр
b = 0.
Применим результаты работы [8] к произвольному оператору K
вида (6). Простые выкладки показывают, что
K(I − zK)−1h = B∗(I − zB∗)−1h+
n∑
k=1
fk(h, z)(I − zB∗)−1ek,
где функционалы fk(h, z) вычисляются по формулам:
fk(h, z) =
n∑
j=1
Ψkj(z)
(
(I − zB∗)−1h, fj
)
, Ψ(z) := Φ−1(z), 1 ≤ k ≤ n.
(12)
Имеет место
Лемма 1. Пусть K — произвольный оператор, действующий в
L
(n)
2 (0, a) по формуле (6). Следующие условия равносильны:
1) для всех h ∈ L
(n)
2 (0, a) существует константа M такая, что
∫
R
‖K(I − xK)−1h‖2 dx ≤ m‖h‖2;
2) вес W 2
0 (x) = Φ(x)Φ∗(x), x ∈ R удовлетворяет (A2)-условию.
Введем в рассмотрение столбец
K(h, z) = col
(
(I − zK)−1h, ej
)n
j=1
, h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Простые вычисления показывают, что
(
(I − zK)−1h, ej
)
=
(
(I − zB∗)−1h, ej
)
− i
(
1 − e−iaz
)
fj(h, z), (13)
где функционалы fj(h, z) вычисляются по формулам (12). Из лем-
мы 1 вытекает, что условие 2) этой леммы гарантирует наличие оцен-
ки сверху:
∫
R
‖K(h, x)‖2
Cn
dx ≤M1‖h‖2, h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Напомним, что Λ = Λ+ ∪ Λ−, Λ± = Λ ∩ C±. Обозначим через B+
произведение Бляшке в C с нулями на Λ+. Аналогично B− — прои-
зведение Бляшке, обращающееся в нуль на Λ−.
132 Критерий безусловной базисности...
Лемма 2. Пусть матричный вес Φ(x)Φ∗(x), x ∈ R, удовлетворяет
(A2)-условию и справедливы неравенства:
inf
Im λ>0
{|B+(λ)|+|eiλa−1|} > 0, inf
Im λ<0
{|B−(λ)|+|e−iλa−1|} > 0. (14)
Тогда существуют константы m,M > 0 такие, что для всех h ∈
L
(n)
2 (0, a)
m‖h‖2 ≤
∫
R
‖K(h, x)‖2
Cn dx ≤M‖h‖2.
Отметим, что сформулированные леммы доказаны в уже упоми-
навшейся статье [8]. В условиях леммы 2 оператор
(Sh)(x) := K(h, x), h ∈ L
(n)
2 (0, a)
отображает пространство L
(n)
2 (0, a) на подпространство пространства
L
(n)
2 (R) и осуществляет подобие SK = K̃S, где оператор K̃ на образе
оператора S действует по формуле
(K̃f)(x) = x−1(f(x) − f(0)). (15)
Для дальнейшего продвижения нам необходимо вычислить образ
L оператора S. Поскольку L ⊂ L
(n)
2 (R), то
L = L+ ⊕ L−, L+ ⊆ H2
+(Cn), L− ⊆ H2
−(Cn), (16)
где H2
±(Cn) — векторные классы Харди в C±.
Лемма 3. Если выполнены условия леммы 2, то в разложении (16)
L± являются модельными подпространствами, то есть
L+ = H2
+(Cn) ⊖ θ+H2
+(Cn), L− = H2
−(Cn) ⊖ θ−H2
−(Cn),
θ+(z) := Q∗
−(z), z ∈ C+, θ−(z) := Q∗
+(z), z ∈ C−,
где Q± — внутренние матрицы-функции из факторизации (10) при
b = 0.
Особо отметим, что из леммы 3 и равенств (15), (16) следует, что
в условиях леммы 2 оператор K подобен ортогональной сумме дис-
сипативного и антидиссипативного модельных операторов с харак-
теристическими матрицами-функциями θ+, θ−, соответственно. Это
разложение является основой доказательства теоремы о безусловной
базисности семейств векторных экспонент.
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 133
Доказательство леммы 3. Для произвольного вектора
h =
n∑
k=1
bk(1 − λB∗)−1ek, bk ∈ C (17)
вычислим столбец K(h, z)). Из формулы (12) найдем
fj(h, z) =
n∑
p=1
Ψjp(z)
n∑
k=1
bk
(
(I − zB∗)−1(I − λB∗)−1ek, fp
)
=
n∑
p=1
n∑
k=1
Ψjp(z)(λ− z)−1(Φpk(z) − Φpk(λ))bk,
или в векторной форме
f(h, z) = col(fj(h, z)) =
Φ−1(z)(Φ(z) − Φ(λ))
λ− z
b, b = col(bk).
Кроме того,
(
(I − zB∗)−1h, ej
)
=
n∑
k=1
bk
(
(I − zB∗)−1(I − λB∗)−1ek, ej
)
= −i(λ− z)−1
(
e−iaz − e−iλa
)
bj .
Таким образом, из формулы (13) следует, что
K(h, z) =
−i
(
e−iaz − e−iλa
)
λ− z
b− i
(
1 − e−iaz
) E − Φ(z)−1Φ(λ)
λ− z
b
= −i1 − e−iλa
λ− z
b+ i
(1 − e−iaz)
λ− z
Φ−1(z)Φ(λ)b. (18)
Заметим, что из первой факторизации (10) при b = 0 следует равен-
ство Φ−1(x) = eixaQ−1
+ (x+ i0)W−1
+ (x+ i0), x ∈ R. Если считать, что
в формуле для K(h, x) параметр λ ∈ C−, то принимая во внимание
определение θ−, найдем
P−K(h, x) = iP−Φ−1(x)
1 − e−ixa
λ− x
Φ(λ)b
= iP−θ−(x− i0)W−1
+ (x+ i0)
eixa − 1
λ− x
Φ(λ)b,
где P− — ортопроектор из L
(n)
2 (R) на H2
−(Cn) . Если ввести обозна-
чение ϕ(x + i0) = iW−1
+ (x + i0)(eixa − 1)(λ − x)−1Φ(λ)b, λ ∈ C±, то
последнее равенство перепишется в виде
P−K(h, x) = P−θ−(x− i0)ϕ(x+ i0).
134 Критерий безусловной базисности...
Поскольку векторы ϕ ∈ H2
+(Cn), отсюда вытекает, что L− ⊆
H2
−(Cn)⊖θ−H2
−(Cn). В работе [8, лемма 2.6] доказано, что линеал L−
замкнут в L
(n)
2 (R). Поэтому мы докажем, что в указанном включении
на самом деле равенство, если установим плотность в H2
+(Cn) векто-
ров, которые отвечают линейной комбинации векторов вида (17). Из
приведенных формул следует, что речь идет о векторах вида
ϕ(x) =
∑
j
ajW
−1
+ (x+ i0)
1 − eiax
λj − x
Φ(λj)bj , Imλj < 0, aj ∈ C.
Предположим теперь, что функция f+ ∈ H2
+(Cn) ортогональна ко
всем указанным векторам, и, стало быть,
(
W−1
+ (x+ i0)(1 − eiax)
λ− x
, f+
)
= 0, Imλ < 0.
Из этих равенств легко вывести, что
∫
R
(µ− x)−1(W ∗
+(x+ i0))−1(1 − e−iax)f+(x) dx = 0, Imµ > 0. (19)
Отметим, что вектор g(x) := (W ∗
+(x + i0))−1(1 − e−iax)f+(x) прина-
длежит весовому пространству L
(n)
2 (R,W 2), W 2(x) = Φ(x)Φ∗(x):
∫
R
(
W 2(x)g(x), g(x)
)
Cn dx =
∫
R
(
W+(x+ i0)W ∗
+(x+ i0)g(x), g(x)
)
Cn
=
∫
R
‖(1 − e−iax)f+(x)‖Cn dx <∞.
Поэтому из (19) следует [9], что g ∈ H2
−(Cn,W 2), причем весо-
вой класс Харди определяется по факторизации W 2(x) = w∗
−(x −
i0)w−(x− i0). Нетрудно видеть, что w−(z) = W ∗(z), z ∈ C−. Поэтому
w−(x − i0)g(x) ∈ H2
−(Cn) [9] и, следовательно, (1 − e−iax)f+(x) ∈
H2
−(Cn). Отсюда вытекает, что f+ = 0, то есть доказано одно из
утверждений леммы 3. Аналогично доказывается равенство для под-
пространства L+. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть фредгольмов спектр Λ оператора K вида (6) удов-
летворяет условиям (14). Если семейство {En(t)}+∞
−∞ собственных
векторов оператора K образует безусловный базис пространства
L
(n)
2 (0, a), то выполняются все условия теоремы 1.
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 135
Доказательство. Шаг 1. Если система {En(t)}+∞
−∞ образует базис, то
для любого h ∈ L
(n)
2 (0, a) имеем разложение
h(t) =
∑
n
anEn(t), an ∈ C, ‖h‖2 ≍
∑
n
|an|2‖En‖2.
Отметим, что K(I − xK)−1En = (λn − x)−1En. Поэтому
∫
R
‖K(I − xK)−1h‖2 dx =
∫
R
∥∥∥
∑
an(λn − x)−1En
∥∥∥
2
dx
≤M
∑
n
|an|2(| Imλn|)−1‖En‖2 ≤M1
∑
n
|an|2‖En‖2 ≤M2‖h‖2,
h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Таким образом, из леммы 1 следует, что вес Φ(x)Φ∗(x) удовлетворяет
матричному условию (A2).
Шаг 2. Теперь мы находимся в условиях применимости лем-
мы 3, в силу которой оператор подобен ортогональной сумме модель-
ных операторов в подпространствах L+, L−. Из полноты семейства
{En(t)}+∞
−∞ в L
(n)
2 (0, a) следует полнота обоих операторов в пространс-
твах L±. Хорошо известно [10], что это равносильно тому, что оба де-
терминанта det θ± являются произведениями Бляшке в полуплоско-
стях C±. Возвращаясь к факторизации (10) (b = 0), получаем, что
det θ±(z) есть произведениями Бляшке. Переходя к определителям в
равенствах (10), заключаем, что условие 2) выполнено.
Шаг 3. Напомним, что оператор преобразования S задается ра-
венством (Sh)(x) = K(h, x). Поскольку
Ek(t) =
n∑
k=1
eiλkacjk(I − λkB
∗)−1ek, ck = col(cjk)
n
j=1,
то из (18), с учетом равенств (8), найдем:
S(Ek)(x) = −i1 − eiλka
x− λk
ck, λk ∈ Λ. (20)
Таким образом, семейства рациональных дробей {(x− λk)
−1ck : λk ∈
Λ+} и {(x − λk)
−1ck : λk ∈ Λ−} образуют безусловные базисы про-
странств L− и L+, соответственно.
Сформулируем критерий безусловной базисности первого семей-
ства дробей в пространстве L−. Поскольку L− = H2
−(Cn)⊖θ−H2
−(Cn),
136 Критерий безусловной базисности...
то полагая Dk := W ∗
+(λk)dk, найдем
(
θ−(x)Dk
x− λk
,
cj
x− λj
)
H2
−
(Cn)
=
∫
R
(θ−(x)Dk, cj)Cn
(x− λk)(λ− λj)
dx = 0, (21)
если k 6= j. В самом деле, из равенств (10), (11) следует, что θ−(λk)Dk
= Q∗
+(λk)W
∗
+(λk)dk = e−iλkaΦ∗(λk)dk = 0 и, следовательно, (x −
λk)
−1θ−(x)Dk ∈ L− при каждом λk ∈ Λ+. Далее, (θ−(λj)Dk, cj) =
(Dk, θ
∗
−(λj)cj) = (Dk, Q+(λj)cj) = 0, откуда и вытекает равенство
(21).
Если k = j, то интеграл (21) равен (θ′−(λk)Dk, ck)Cn = (Dk,
Q′
+(λk)ck)Cn (с точностью до множителя, который не зависит от k).
Если продифференцировать первое равенство (10) при b = 0 и поло-
жить z = λk, то получим
αk := (Dk, Q
′(λk)ck)Cn = (dk,Φ
′(λk)ck)Cn exp{− Imλka}.
Таким образом, биотогональная система к рассматриваемому семей-
ству дробей имеет вид(с точностью до постоянного множителя):
α−1
k
θ−(x)Dk
x− λk
, λk ∈ Λ+.
Условие равномерной минимальности семейства {(x − λk)
−1ck : λk ∈
Λ+}, то есть [10]
sup
k
{∫
R
‖(x− λk)
−1ck‖2 dx
∫
R
‖(x− λk)
−1α−1
k θ−(x)Dk‖2 dx
}
<∞
эквивалентно первому неравенству из условия 3) теоремы 1. Посколь-
ку рассматриваемое семейство дробей совпадает с множеством соб-
ственных векторов диссипативного оператора с конечномерной мни-
мой частью, то в силу теоремы Трейля [11] безусловная базисность
равносильна равномерной минимальности.
Аналогично доказывается второе неравенство из условия 3) тео-
ремы 1. Лемма доказана.
После проведенной подготовительной работы перейдем к доказа-
тельству теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Достаточность. При доказательстве
леммы 4 (шаг 3) установлено, что оба неравенства из условия 3) те-
оремы 1 означают безусловную базисность семейств функций:
{(x− λk)
−1ck : λk ∈ Λ+}, {(x− λk)
−1ck : λk ∈ Λ−}
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 137
в пространствах L−, L+, соответственно. Известно [10], что в этом
случае обе последовательности Λ+,Λ− представимы в виде объеди-
нения не более чем n подмножеств, каждое из которых удовлетворя-
ет условию Карлесона. Но тогда выполняются оба условия (14) [8], и
поэтому в силу леммы 2 отображение (Sh)(x) = K(h, x) есть изомор-
физм L
(n)
2 (0, a) на свой образ. Из равенств (20) вытекает, что семей-
ство векторных экспонент {Ek(x)}∞−∞ также образует безусловный
базис пространства L
(n)
2 (0, a).
Необходимость. Пусть семейство векторных экспонент образует
безусловный базис пространства L2(0, a). Тогда (шаг 1 из доказатель-
ства леммы 4) справедлива оценка
∫
R
‖K(I − xK)−1h‖2 dx ≤M‖h‖2, h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Из формулы (3) легко выводится, что
∫
R
‖B∗(I − xB∗)−1h‖2 dx ≤M‖h‖2, h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Поскольку
K(I − xK)−1h = B∗(I − xB∗)−1h+
n∑
k=1
fk(h, x)e
−ixaeixtek.
Из двух последних оценок следует, что
∫
R
‖f(h, z)‖2
Cndx ≤M1‖h‖2, h ∈ L
(n)
2 (0, a). (22)
Для любой линейной комбинации h =
∑
k akEk(t) можем вычислить
f(h, z) =
∑
k
akf(Ek, z) =
∑
ak
Φ−1(z)(Φ(z) − Φ(λk))
λk − z
ck
=
∑
ak(λk − z)−1ck, λk ∈ Λ, ak ∈ C.
Полагая, что λk ∈ Λ+, из (22) выводим оценку
∫
R
∥∥∥∥
∑
ak
ck
x− λk
∥∥∥∥
2
Cn
dx ≤M1
∥∥∥
∑
akEk(t)
∥∥∥
2
, λk ∈ Λ+.
138 Критерий безусловной базисности...
Поскольку
∞∫
0
e−ixtcke
iλkt dt =
ck
i(x− λk)
, λk ∈ Λ+,
справедливо обратное неравенство
∫
R
∥∥∥∥
∑
ak
ck
x− λk
∥∥∥∥
2
Cn
≥
∥∥∥
∑
akEk(t)
∥∥∥
2
L
(n)
2 (0,a)
.
Из двух последних неравенств вытекает, что семейство {(x−λk)
−1ck :
λk ∈ Λ+} образует безусловный базис в замыкании своей оболочки.
Как уже отмечалось при доказательстве достаточности условий тео-
ремы 1 отсюда вытекает [8, 10], что выполняется первое неравенство
(14).
Из леммы 1 вытекает оценка:
∫
R
‖(Sh)(x)‖2
Cn dx ≤M‖h‖2, h ∈ L
(n)
2 (0, a).
Полагая здесь h =
∑
akEk(t) и принимая во внимание равенство (20),
найдем
∫
R
∥∥∥∥
∑
ak
eiλka − 1
x− λk
ck
∥∥∥∥
2
Cn
dx ≤M
∥∥∥
∑
akEk(t)
∥∥∥
2
, λk ∈ Λ−. (23)
С другой стороны, поскольку
∞∫
0
eixtcke
−iλktdt = − ck
i(x− λk)
, λk ∈ Λ−,
имеет место неравенство:
∫
R
∥∥∥∥
∑
ak
eiλka − 1
x− λk
ck
∥∥∥∥
2
Cn
dx ≥
a∫
0
∥∥∥
∑
ak(e
iλka − 1)cke
−iλkt
∥∥∥
2
Cn
dt
=
a∫
0
∥∥∥
∑
ak(1 − e−iλka)Ek(t)
∥∥∥
2
Cn
dt
для произвольной комплексной финитной последовательности {ak}.
Учитывая, что семейство векторных экспонент образует безусловный
М. Г. Волкова, Е. И. Олефир 139
базис пространства L
(n)
2 (0, a), предыдущую оценку можно продол-
жить
∫
R
∥∥∥∥
∑
ak
eiλka − 1
x− λk
ck
∥∥∥∥
2
Cn
dx ≥ δ1
∑
k
∣∣∣ak(1 − eiλka)
∣∣∣
2
‖Ek(t)‖2
≥ δ2
∑
k
|ak|2‖Ek(t)‖2 ≥ δ3‖
∑
akEk(t)‖2, λk ∈ Λ−.
Вместе с оценкой (23) это означает, что семейство дробей {(x −
λk)
−1ck : λk ∈ Λ−} образует безусловный базис в замыкании своей
оболочки. Как уже отмечалось, отсюда вытекает, что выполняется
второе неравенство (14). Теперь необходимость условий теоремы 1
вытекает из леммы 4. Теорема доказана.
В случае n = 1 неравенства условия 3) равносильны тому, что
обе последовательности Λ±
b удовлетворяют условию Карлесона в C±
соответственно. Проверка этих условий при n > 1 сопряжена с те-
хническими трудностями. Эту задачу существенно облегчает теорема
Никольского–Павлова о сериях Карлесона [10].
Литература
[1] S. A. Avdonin, S. A. Ivanov, Families of Exponentials, Cambridge University
Press, Cambridge, 1995.
[2] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряжен-
ных операторов, Наука, М., 1965.
[3] Г. М. Губреев, Спектральная теория регулярных квазиэкспонент и регу-
лярных B-представимых вектор-функций // Алгебра и Анализ, 12 (2000),
вып. 6, 1–97.
[4] Г. М. Губреев, Регулярные ядра Миттаг-Леффлера и спектральное разло-
жение одного класса несамосопряженных операторов // Известия РАН, 69,
(2005), No. 1, 17–60.
[5] Г. М. Губреев, Е. И. Олефир, Безусловная базисность некотoрых семейств
функций, матричное условие Макехаупта и серии Карлесона в спектре //
Зап. научн. семин. ПОМИ, 262 (1999), 90–126.
[6] D. Z. Arov, H. Dym, J-contractive matrix valued functions and related topics,
Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
[7] S. Treil, A. Volberg, Wavelets and the angle between past and future // J. Funct.
Anal., 143 (1997), No. 2, 269–301.
[8] G. M. Gubreev, M. V. Dolgopolova, S. I. Nedobachiy, A spectral decomposition
in one class of non-selfajoint operators // Methods of Func. Anal. and Topology,
16 (2010), No. 2, 140–157.
[9] Г. М. Губреев, Ю. Д. Латушкин, Функциональные модели несамосопряжен-
ных операторов, сильно непрерывные полугруппы и матричные веса Макен-
хаупта // Изв. РАН, серия матем., 75 (2011), No. 2, 69–126.
140 Критерий безусловной базисности...
[10] Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, М. Наука: 1980.
[11] С. Р. Трейль, Пространственно-компактная система собственных ве-
ктoров образует базис Риса, если она равномерно минимальная // Докл.
АН СССР, 288 (1986), No. 2, 308–312.
Сведения об авторах
Мария Георгиевна
Волкова,
Елена Ивановна
Олефир
Южно-Украинский национальный
педагогический университет
имени К. Д. Ушинского,
ул. Старопортофранковская, 26,
Одесса 65020
Украина
E-Mail: volkovamg@mail.ru,
l.olefir@i.ua
|