Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції

Доведено апроксимацiйнi властивостi та умови збiжностi обчислювальної схеми узагальненого методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй для розв’язування задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Зведення задачi Кошi для рiвняння адвекцiї до системи лiнiйних алгебричних рiвнянь забезпечує факто...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Кіндибалюк, А.А., Притула, М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124455
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції / А.А. Кіндибалюк, М.М. Притула // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 158-180. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124455
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1244552017-09-27T03:02:54Z Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції Кіндибалюк, А.А. Притула, М.М. Доведено апроксимацiйнi властивостi та умови збiжностi обчислювальної схеми узагальненого методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй для розв’язування задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Зведення задачi Кошi для рiвняння адвекцiї до системи лiнiйних алгебричних рiвнянь забезпечує факторiальну збiжнiсть за усiма змiнними, що входять до рiвняння. 2014 Article Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції / А.А. Кіндибалюк, М.М. Притула // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 158-180. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35L03, 35L67, 41A05, 41A10, 41A25, 41A65, 65M06, 65M15, 65M70. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124455 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Доведено апроксимацiйнi властивостi та умови збiжностi обчислювальної схеми узагальненого методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй для розв’язування задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Зведення задачi Кошi для рiвняння адвекцiї до системи лiнiйних алгебричних рiвнянь забезпечує факторiальну збiжнiсть за усiма змiнними, що входять до рiвняння.
format	Article
author	Кіндибалюк, А.А. Притула, М.М.
spellingShingle	Кіндибалюк, А.А. Притула, М.М. Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції Український математичний вісник
author_facet	Кіндибалюк, А.А. Притула, М.М.
author_sort	Кіндибалюк, А.А.
title	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції
title_short	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції
title_full	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції
title_fullStr	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції
title_full_unstemmed	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції
title_sort	застосування узагальненого методу лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі коші для рівняння адвекції
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124455
citation_txt	Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції / А.А. Кіндибалюк, М.М. Притула // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 158-180. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT kíndibalûkaa zastosuvannâuzagalʹnenogometodulíalgebričnihdiskretnihaproksimacíjdorozvâzuvannâzadačíkošídlârívnânnâadvekcíí AT pritulamm zastosuvannâuzagalʹnenogometodulíalgebričnihdiskretnihaproksimacíjdorozvâzuvannâzadačíkošídlârívnânnâadvekcíí
first_indexed	2025-07-09T01:27:36Z
last_indexed	2025-07-09T01:27:36Z
_version_	1837130797267550208
fulltext	Український математичний вiсник Том 11 (2014), № 2, 158 – 180 Застосування узагальненого методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй до розв’язування задачi Кошi для рiвняння адвекцiї Аркадiй A. Кiндибалюк, Микола М. Притула (Представлена А. Є. Шишковим) Анотацiя. Доведено апроксимацiйнi властивостi та умови збiжностi обчислювальної схеми узагальненого методу Лi-алгебричних дискре- тних апроксимацiй для розв’язування задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Зведення задачi Кошi для рiвняння адвекцiї до системи лiнiйних алгебричних рiвнянь забезпечує факторiальну збi- жнiсть за усiма змiнними, що входять до рiвняння. 2010 MSC. 35L03, 35L67, 41A05, 41A10, 41A25, 41A65, 65M06, 65M15, 65M70. Ключовi слова та фрази. Узагальнений метод Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй, апроксимацiйна схема, дискретизацiя, рiв- няння адвекцiї, факторiальна збiжнiсть. 1. Вступ Багато важливих явищ природознавства, задач технiки та фiзи- ки описують диференцiальними рiвняннями, в тому числi диферен- цiальними рiвняннями у частинних похiдних (ДРЧП). Незважаючи на потужний математичний апарат, багато з таких рiвнянь ми не можемо розв’язати точно. Звiдси випливає необхiднiсть застосува- ння наближених методiв або аналiтично-числових методiв. Одним з таких пiдходiв є метод Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй [2, 5, 6, 9, 11–22]. Цей метод вперше застосував Ф. Калоджеро у 1983 роцi для обчи- слення власних значень диференцiальних операторiв для спектраль- ної задачi [15,16]. У методi використовуються алгебри Лi та їх квазi- зображення. Стаття надiйшла в редакцiю 22.12.2013 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 159 У 1988 роцi Митропольський Ю. А., Прикарпатський А. К., Са- мойленко В. Г. запропонували розширення Лi-алгебричного мето- ду [6,9] для розв’язування диференцiальних рiвнянь у частинних по- хiдних, даючи нову назву, а саме “Лi-алгебрична дискретна апрокси- мацiя”. Iдея методу полягає у редукцiї ДРЧП до системи звичайних диференцiальних рiвнянь (ЗДР) з використанням квазiзображень ал- гебри Лi [6,9]. У [6] представлено метод без доведення збiжностi алго- ритму. Збiжнiсть обчислювальної схеми для лiнiйного еволюцiйного ДРЧП доведена у [9] шляхом дослiдження еволюцiї похибки. У 1996 роцi Казас [17] запропонував розв’язування задач Кошi для ДРЧП на основi алгебр Лi, проте за допомогою такого методу можна розв’язати лише обмежений клас диференцiальних рiвнянь. У працi [20] знайдено оцiнку порядку збiжностi для диференцi- ального оператора другого порядку при виборi полiномiв Лагранжа. З погляду прикладного чисельного аналiзу нас цiкавлять два ас- пекти: побудова обчислювальної схеми та визначення ознак, якi га- рантують збiжнiсть схеми. Основною задачею дослiдження у роботах [6, 13] є задача Кошi для системи еволюцiйних рiвнянь iз частинними похiдними { ut = K(t, x, ∂)u+ f(t, x), x ∈ Ω ⊂ R q, t > 0, u\|t=0 = ϕ ∈ B, (1.1) де B — деякий простiр Банаха. До розгляду введена алгебра Гайзенберга–Вейля G = q⊕ j=1 {xj , ∂/∂xj , 1} , яка є алгеброю Лi. Як i в методi, що використовував Калоджеро, запропоновано роз- глядати лiнiйнi оператори X (n) j , Z (n) j , I(n) ∈⊗q j=1 R nj як “квазiзобра- ження” операторiв алгебри Гайзенберга–Вейля: xj , ∂/∂xj , 1, вiдповiд- но. Шляхом побудови квазiзображення диференцiального оператора K у просторi лiнiйних операторiв над R N , N ∈ Z+ задачу (1.1) зво- дять до задачi Кошi для системи ЗДР { du(n)/dt = K(n)(t)u(n) + f(n)(t), u(n)\|t=0 = ϕ(n) ∈ B(n), (1.2) де B(n) — скiнченновимiрний простiр, iзоморфний R N , N = n1 · n2 · · · · · nq. Подiбно до методу Калоджеро, редукцiя (1.2) задачi (1.1) на 160 Застосування узагальненого методу... простiр B(n) отримана шляхом q-вимiрної алгебричної iнтерполяцiї на q-вимiрному кубi D ⊃ Ω. При використаннi цього методу зроблено важливе припущення, що диференцiальний оператор K належить до унiверсальної огор- туючої алгебри U(G) алгебри G Гайзенберга–Вейля. На практицi це означає, що оператор K можна представити як суму деяких суперпо- зицiй операторiв xj , ∂/∂xj , 1. Це зокрема означає, що для безпосере- днього застосування схеми Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй необхiдно, щоб диференцiальний оператор K був лiнiйним операто- ром. У [3] запропоновано узагальнений метод розв’язування задачi Ко- шi для ДРЧП (1.1) та зредукованої задачi для системи ЗДР (1.2) шляхом зведення задач до системи лiнiйних алгебричних рiвнянь. З цiєю метою введено додатково тривимiрну алгебру Лi Gt := {t, ∂/∂t, 1}, для якої побудовано скiнченновимiрнi квазiзображення X (n) t , Z (n) t , I (n) t . Оскiльки оператор K є лiнiйним оператором, то роз- в’язок задач (1.1) та (1.2) можна отримати як розв’язок системи лiнiй- них алгебричних рiвнянь. Якщо коефiцiєнти диференцiального опе- ратора не змiнюються при змiнi обчислювального експерименту, а змiнюються початковi умови чи функцiя вiльного члена, то зберiгаю- чи у пам’ятi обернену матрицю, розв’язування задачi Кошi зводиться до перемножування оберненої матрицi на вектор [3]. Завданням статтi є застосування такого пiдходу для рiвняння адвекцiї, оскiльки числовi експерименти з використанням методу Лi- алгебричних апроксимацiй не були проведенi, а також з’ясування пи- тання збiжностi обчислювальної схеми i встановлення ознак збiжно- стi. Зазначимо, що у працi [6] схему Лi-алгебричних апроксимацiй за- пропоновано розглядати у контекстi загальної апроксимацiйної схе- ми, викладеної у Треногiна, хоча вiдповiднi умови теореми про збi- жнiсть загальної апроксимацiйної схеми не були перевiренi. У [18] для збiжностi припускали, що оператор Ah такий, що ∃α > 0 : ‖Ahuh‖Ch ≥ α‖uh‖Bh , де Bh, Ch — деякi скiнченновимiрнi простори, а в [5] умовою збiжно- стi було iснування обмеженого оберненого оператора задачi, i оцiнка норми похибки залежала вiд норми оберненого оператора задачi. Окреслимо мету даної роботи: 1. Узагальнення методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй для розв’язування задач Кошi для еволюцiйних рiвнянь шляхом А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 161 дискретизацiї як за просторовими змiнними, так i за часовою змiнною. 2. Дослiдження апроксимацiйних властивостей узагальненого ме- тоду Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй та доведення йо- го збiжностi. 3. Проведення числових тестiв розв’язування задачi Кошi узагаль- неним методом Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй та по- рiвняння з методом скiнченних рiзниць та методом Лi-алгебрич- них дискретних апроксимацiй. Структура роботи вiдповiдає сформульованiй метi, а саме у друго- му пунктi сформульовано модельну задачу Кошi для рiвняння адвек- цiї, у третьому пунктi на пiдставi введеної алгебри Лi та побудованих квазiзображень елементiв алгебри Лi побудовано схему наближеного вiдшукання розв’язку задачi. Дослiджено ранг скiнченновимiрного квазiзображення задачi, а в четвертому пунктi наведено оцiнки тако- го квазiзображення. У п’ятому пунктi доведено збiжнiсть побудованої схеми. Порiвняння чисельних схем наведено у шостому пунктi. 2. Формулювання задачi Введемо область Ω = (0, 1), часову межу T < +∞, цилiндр QT = Ω × (0, T ], простори Банаха у виглядi V = C1,1 x,t (QT ) ∩ C ( QT ) та C = C (QT ), причому V ⊂ L2(QT ), C ⊂ L2(QT ). Формулюємо задачу Кошi для одновимiрного рiвняння адвецiї:    задано коефiцiєнт адвекцiйного переносу c ∈ R, c > 0, початковий розподiл шуканої величини ϕ = ϕ(x)∈C1 x(Ω) знайти функцiю u = u(x, t) ∈ V таку, що: ∂u ∂t + c ∂u ∂x = 0, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = ϕ. (2.1) Здiйснивши пiдстановку u(x, t) = v(x, t) +ϕ(x) у (2.1), отримаємо задачу Кошi для функцiї v(x, t) з однорiдною початковою умовою    задано коефiцiєнт адвекцiйного переносу c ∈ R, c > 0, знайти функцiю v = v(x, t) ∈ V таку, що: ∂v ∂t + c ∂v ∂x = −cdϕ dx , ∀ (x, t) ∈ QT , v\|t=0 = 0. (2.2) 162 Застосування узагальненого методу... Розв’язок задачi (2.2) шукаємо у просторi функцiй, якi в поча- тковий момент часу набувають нульового значення, тобто у просторi B = {v ∈ V : v\|t=0 = 0} . Ввiвши для задачi (2.2) позначення A := ∂ ∂t + c ∂ ∂x , f := −cdϕ dx ∈ C(QT ), (2.3) отримаємо задачу для операторного рiвняння { задано оператор A : B → C та елемент f ∈ C, знайти елемент v ∈ B такий, що Av = f. (2.4) Задачу Кошi зведено до задачi для операторного рiвняння, яку розв’яжемо узагальненим методом Лi-алгебричних дискретних апро- ксимацiй. 3. Побудова обчислювальної схеми Введемо алгебру Гайзенберга–Вейля G := {x, ∂/∂x, 1}⊕{t, ∂/∂t, 1}, яка є алгеброю Лi. Оскiльки оператор A належить до унiверсальної огортуючої алгебри алгебри U(G), то вiн є лiнiйною комбiнацiєю еле- ментiв алгебри Гайзенберга–Вейля. Квазiзображення Ah оператора A побудуємо як лiнiйну комбiнацiю скiнченновимiрних квазiзображень алгебри G. З цiєю метою зафiксуємо два натуральнi числа Nx та Nt, де Nx — кiлькiсть вузлiв за змiнною x, Nt — кiлькiсть вузлiв за змiн- ною t. Згiдно з теоремою Вейєрштрасса [4, 10], множина довiльних полiномiв з дiйсними коефiцiєнтами є щiльною множиною в просторi C(QT ), тому розв’язок (2.4) шукатимемо у виглядi iнтерполяцiйного полiнома. Для кожного вузла за змiнною x асоцiйовано полiном Лагранжа lj(x), який задовольняє умову lj(xi) = δij , де δij = { 1, i = j, 0, i 6= j. Для кожного вузла за змiнною t асоцiйовано полiном Лагранжа lj(t) такий, що lj(ti) = δij , Нехай Mj = (xjx, tjt) — вузли областi QT , де jx — номер вузла на осi x, jt — номер вузла на осi t. Набiр таких вузлiв позначимо QT,h = {xi}Nx i=1 × {tj}Nt j=1 . Вузли занумеруємо у спосiб j = (jt−1)Nx+jx, тодi полiном Лагранжа асоцiйований з вузлом Mj , має вигляд lj(x, t) = ljx(x)ljt(t). Отже, А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 163 апроксимацiя розв’язку (2.4) набуде вигляду vh(x, t) = Nt∑ jt=1 Nx∑ jx=1 vjljx(x)ljt(t) = v (l(t) ⊗ l(x)) , (3.1) де v = {vj}NxNt j=1 — вiдповiдний вектор значень апроксимацiї, символ ⊗ позначає тензорний добуток, l(x) = {l1(x), l2(x), . . . , lNx(x)}⊤ , l(t) = {l1(t), l2(t), . . . , lNt(t)}⊤ — вiдповiднi набори полiномiв Лагранжа за змiнними x, t, ⊤ — знак траспонування. Для побудови обчислювальної схеми розв’язування задачi (2.2), пiдставимо (3.1) у операторне рiвняння (2.4) i отримаємо v ( l′(t) ⊗ l(x) + cl(t) ⊗ l′(x) ) = f(x, t), якщо послiдовно для кожної змiнної вибрати ix, jx = 1, Nx, it, jt = 1, Nt, то отримаємо систему лiнiйних алгебричних рiвнянь (СЛАР) вигляду A1,hvh = Fh, де A1,h := Zt ⊗ Ix + cIt ⊗ Zx, Fh = {f(xix , tjt)}Nx,Nt ix=1,jt=1, скiнченновимiрнi квазiзображення Zx, Zt, Ix, It побудованi за такими правилами Zx,ij = l′j(xi), i, j = 1, Nx, Zt,ij = l′j(ti), i, j = 1, Nt, Ix,ij = lj(xi) = δij , i, j = 1, Nx, It,ij = lj(ti) = δij , i, j = 1, Nt. На пiдставi теореми про ранг скiнченновимiрного зображення [14] ранги вiдповiдних квазiзображень мають значення: rank(Zt) = Nt − 1, rank(Ix) = Nx, rank(It) = Nt, rankZx = Nx − 1. Ранги матриць Zt ⊗ Ix, It ⊗ Zx набудуть значень: rank (Zt ⊗ Ix) = (Nt − 1)Nx, rank (It ⊗ Zx) = (Nx − 1)Nt Так як при побудовi матрицi ми врахували всi вузли, то кiлькiсть рядкiв матрицi становить NxNt. Оскiльки початковi умови вже є вiдомими i однорiдними, то вва- жатимемо, що базисом простору апроксимацiї є множина полiномiв Лагранжа, без полiномiв асоцiйованих з початковим моментом ча- су. Тобто множина полiномiв Лагранжа для часової змiнної є l̃(t) = {l2(t), l3(t), . . . , lNt(t)} , причому ∀ li ∈ l̃(t) : li\|t=0 = 0 ⇒ ∀ li ∈ l̃(t) : li ∈ B, i = 2, Nt. 164 Застосування узагальненого методу... Розмiрнiсть dim l̃(t) = Nt − 1. Оскiльки система функцiй lx ⊗ l̃t ∈ B є лiнiйно незалежна, то вважатимемо, що саме вона формує базис простору апроксимацiй Bh. Вилучивши вузли, асоцiйованi з початковим моментом часу, отри- маємо нову систему вузлiв: Q̃T,h = {xi}Nx i=1 × {tj}Nt j=2 . Отже, скiнченновимiрнi квазiзображення в просторi Bh мають ви- гляд: Zx,ij = l′j(xi), i, j = 1, Nx, Z̃t,ij = l′j(ti), i, j = 2, Nt, Ix,ij = lj(xi) = δij , i, j = 1, Nx, Ĩt,ij = lj(ti) = δij , i, j = 2, Nt. Ранги скiнченновимiрних квазiзображень Z̃t⊗ Ix, It⊗Zx набули зна- чень: rank ( Z̃t ⊗ Ix ) = (Nt − 1)Nx, rank ( Ĩt ⊗ Zx ) = (Nx − 1)(Nt − 1). Скiнченновимiрне квазiзображення оператора задачi (2.4) набуде вигляду Ah = Z̃t ⊗ Ix + cĨt ⊗ Zx. (3.2) Кiлькiсть рядкiв у матрицi (3.2) становить (Nt − 1)Nx. Лема 3.1. Матриця Z̃−1 t ⊗ Zx нiльпотентна. Доведення. На пiдставi властивостi тензорного добутку матриць A i B: (A⊗B) (A⊗B) = A2 ⊗B2 переконуємося, що справедливе спiввiдношення ( Z̃−1 t ⊗ Zx )k = ( Z̃−1 t )k ⊗ (Zx) k . Зважаючи на те, що rank(Zx) = Nx− 1, та при k = Nx маємо (Zx) k = 0, отже ∀ k ≥ Nx : ( Z̃−1 t ⊗ Zx )k = ( Z̃−1 t )k ⊗ (Zx) k = ( Z̃−1 t )k ⊗ 0 = 0, що доводить лему. Позначимо IN одиничну матрицю Ĩt ⊗ Ix. Лема 3.2. Матриця IN + cZ̃−1 t ⊗Zx має обернену матрицю i її ранг є (Nt − 1)Nx. А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 165 Доведення. Запишемо обернену матрицю (IN+cZ̃−1 t ⊗Zx)−1 у виглядi формального ряду ( IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx )−1 = +∞∑ k=0 ( − cZ̃−1 t ⊗ Zx )k . Оскiльки матриця Z̃−1 t ⊗ Zx на пiдставi леми 3.1 є нiльпотентна, то ( IN + Z̃−1 t ⊗ Zx )−1 = (Nt−1)Nx∑ k=0 ( − cZ̃−1 t ⊗ Zx )k . (3.3) Оскiльки ряд (3.3) є скiнченний, то матриця IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx має обернену матрицю i її ранг дорiвнює кiлькостi рядкiв у матрицi, тобто rank ( IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx ) = (Nt − 1)Nx, що доводить лему. Теорема 3.1. Про ранг скiнченновимiрного квазiзображення опера- тора задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Ранг скiнченновимiрного квазiзображення Ah становить Nx(Nt − 1). Доведення. Запишемо матрицю (3.2) у виглядi Ah = Z̃t ⊗ Ix ( Ĩt ⊗ Ix + c ( Z̃−1 t ⊗ I−1 x )( Ĩt ⊗ Zx )) = Z̃t ⊗ Ix ( IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx ) . У лемi 3.2 з’ясовано, що rank ( IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx ) = Nx(Nt − 1), rank ( Z̃t ⊗ Ix ) = Nx(Nt − 1). Оскiльки для двох матриць A,B виконується властивiсть rank(AB) = min {rank(A), rank(B)} , то ранг скiнченновимiрного зображення набув значення rank(Ah) = rank ( Z̃t ⊗ Ix ( IN + cZ̃−1 t ⊗ Zx )) = min {Nx(Nt − 1), Nx(Nt − 1)} = Nx(Nt − 1), що доводить теорему. 166 Застосування узагальненого методу... Апроксимацiю розв’язку (3.1) подамо у виглядi vh(x, t) = NxNt∑ j=Nx vjlj(x, t), ∀ (x, t) ∈ QT , або vh(M) = NxNt∑ j=Nx vjlj(M), ∀M ∈ QT , (3.4) де lj — вiдповiдний полiном Лагранжа, асоцiйований з вузлом Mj ∈ Q̃T,h. Зазначимо, що оскiльки vh\|t=0 = 0, то vh ∈ Bh ⊂ B. Пiдставивши (3.4) в операторне рiвняння (2.4), отримаємо рiвня- ння NxNt∑ j=1 vjA (lj(M)) = f(M), ∀M ∈ QT . Вибравши послiдновно M := Mi ∈ Q̃T,h ⊂ QT , отримаємо СЛАР: NxNt∑ j=Nx vjA (lj(M)) \|M=Mi = f(Mi), i = 1, NxNt (3.5) для визначення невiдомих компонент вектора v. Введемо позначення Ah,ij = A (lj(M)) \|M=Mi , fh,i = f(Mi) i, j = Nx, NxNt. Зазначимо, що знайдена матриця Ah спiвпадає зi скiнченновимiр- ним квазiзображенням (3.2). Отже, ми отримали дискретне форму- лювання операторного рiвняння: { задано оператор Ah : Bh → Ch та елемент fh ∈ Ch, знайти елемент vh ∈ Bh такий, що Ahvh = fh, (3.6) 4. Апроксимацiйнi властивостi схеми Нехай N — розмiрнiсть просторiв Bh, Ch, тодi введемо цилiндри- чну норму [10] у просторах Bh, Ch : ‖v‖Bh = ‖v‖Ch = √√√√ 1 N N∑ j=1 v2 j , (4.1) А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 167 причому lim N→∞ ‖v‖2 Bh = ∫ Qt v2dx dt. Нехай v ∈ Wnxnt,∞ = {v : Qt → R : Dαv ∈ L∞(Qt), ∀ \|α\| ≤ nxnt}, тобто функцiя v разом зi своїми всiма можливими похiдними до nxnt порядку належить до простору L∞(Qt). Запишемо залишковий член [1] iнтерполяцiйного полiнома Ла- гранжа vI : v(x, t) − vI(x, t) = ωnx(x) (nx)! ∂nxv(ξ, t) ∂xnx + ωnt(t) (nt)! ∂ntv(x, η) ∂tnt − ωnx(x) (nx)! ωnt(t) (nt)! ∂nx+ntv(ξ1, η1) ∂xnx∂tnt , (4.2) де ωnx(x) = ∏nx i=1 (x− xi) , ωnt(t) = ∏nt i=1 (t− ti) , ξ ∈ Ω, η ∈ (0, T ], (ξ1, η1) ∈ QT . Теорема 4.1. Про апроксимацiйнi властивостi обчислювальної схе- ми узагальненого методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй для задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адвекцiї. Скiнченновимiрне квазiзображення Ah апроксимує оператор A на елементi v ∈ B ∩ Wnxnt,∞(Qt), причому похибка апроксимацiї в нормi простору Ch характеризується оцiнкою ‖Av −Ahv‖Ch ≤ Tnt−1 (nt − 1)! ∥∥∥∥ ∂ntv ∂tnt ∥∥∥∥ ∞ + c diam(Ω)nx−1 (nx − 1)! ∥∥∥∥ ∂nxv ∂xnx ∥∥∥∥ ∞ . (4.3) Доведення. Так як норма простору Ch є векторною нормою, то пода- мо рiзницю Av −Ahv, ∀ v ∈ B у виглядi вектора. Для виразу Av ∈ C отримаємо вектор {Av(Mi)}Ni=1, де Mi ∈ Q̃T,h. Для елемента v ∈ B знаходимо вектор-стовпець {v(Mj)}Nj=1, де Mj ∈ Q̃T,h. Розглянемо i-ту компоненту вектора Ahv: (Ahv)i = (A(l1)(Mi), . . . , A(lN )(Mi)) · (v(M1), . . . , v(MN ))⊤ = N∑ j=1 v(Mj)A (lj) (Mi) = (AvI)(Mi). Отже, врахувавши отримане спiввiдношення (Ahv)i = (AvI)(Mi), у пiдсумку отримаємо: (Av −Ahv)i = (Av(M) −AvI(M)) \|M=Mi . 168 Застосування узагальненого методу... Розглянемо ‖Av −Ahv‖Ch : ‖Av −Ahv‖Ch = √√√√ 1 N N∑ i=1 ((Av(M) −AvI(M)) \|M=Mi) 2 ≤ √√√√ 1 N N∑ i=1 ( sup M∈QT \|A (v(M) − vI(M))\| )2 ≤ ‖A (v − vI) ‖∞. Отже, ми знайшли оцiнку вигляду ‖Av −Ahv‖Ch ≤ ‖A (v − vI) ‖∞. (4.4) Дiючи оператором A = ∂/∂t+ c∂/∂x на залишковий член iнтерполя- цiйного полiнома Лагранжа (4.2), отримаємо таке наближення: A (v − vI) ≈ ωnx−1(x) (nx − 1)! ∂ntv(ξ, t) ∂xnx + ωnt−1(t) (nt − 1)! ∂ntv(x, η) ∂tnt . Врахувавши, що v ∈Wnxnt,∞, отримаємо оцiнку ‖A (v − vI) ‖∞ ≤ \|ωnt−1(t)\| (nt − 1)! ∥∥∥∥ ∂ntv ∂tnt ∥∥∥∥ ∞ + c \|ωnx−1(x)\| (nx − 1)! ∥∥∥∥ ∂nxv ∂xnx ∥∥∥∥ ∞ . Оскiльки значення полiнома ωnx−1(x) залежить вiд положення ву- злiв, максимальне значення maxx∈Ω(x−xi) = diam(Ω) i deg(ωnx−1(x)) = nx − 1, то отримаємо, що \|ωnx−1(x)\| ≤ (diam(Ω))nx−1. Аналогiчну оцiнку отримуємо для ωnt−1(t), тобто \|ωnt−1(t)\| ≤ (T )nt−1. Отже, ‖A (v − vI) ‖∞ ≤ (T )nt−1 (nt − 1)! ∥∥∥∥ ∂ntv ∂tnt ∥∥∥∥ ∞ + c (diam(Ω))nx−1 (nx − 1)! ∥∥∥∥ ∂nxv ∂xnx ∥∥∥∥ ∞ . (4.5) Врахувавши (4.4) та (4.5), приходимо до оцiнки (4.3), що доводить теорему. 5. Збiжнiсть обчислювальної схеми Нехай B,C — простори Банаха. Розглянемо задачу для абстра- ктного операторного рiвняння: { задано оператор A : B → C та елемент f ∈ C, знайти елемент u ∈ B такий, що Au = f. (5.1) А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 169 Нехай побудовано скiнченновимiрне зображення задачi (5.1) { задано оператор Ah : Bh → Ch та елемент fh ∈ Ch, знайти елемент uh ∈ Bh такий, що Ahuh = fh, (5.2) де скiнченновимiрне зображення оператора A задається матрицею Ah : Bh → Ch, Bh ⊂ B, Ch ⊂ C — скiнченновимiрнi простори такi, що limh→0Bh = B, limh→0Ch = C, fh ∈ Ch — апроксимацiя елемента f ∈ C, uh ∈ Bh — апроксимацiя розв’язку задачi (5.1). Припустимо, що оператор Ah апроксимує оператор A на елементi u ∈ B у сенсi lim h→0 ‖Au−Ahu‖C = 0, ∀u ∈ B. (5.3) Для доведення збiжностi апроксимацiйної схеми, нам потрiбно по- казати, що схема Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй задоволь- няє умови теореми Канторовича (про збiжнiсть абстрактної ап- роксимацiйної схеми) та теореми про ознаку обмеженого оберненого оператора [4]. Згiдно з теоремою Канторовича [7] про збiжнiсть абстрактної ап- роксимацiйної схеми, спiввiдношення limh→0 ‖u − uh‖B = 0 справе- дливе, якщо виконується: 1. ∀ f ∈ C, ∃!u ∈ B : Au = f, 2. ∀Ah, ∃A−1 h : ‖A−1 h ‖ ≤M < +∞, 3. ∀u ∈ D(A) ⊂ B : limh→0 ‖Au−Ahu‖C = 0. Згiдно з теоремою про ознаку обмеженого оберненого оператора [4], якщо лiнiйний оператор A : B → C такий, що ∃α = const > 0 таке, що ‖Au‖C ≥ α‖u‖B ∀u ∈ D(A), (5.4) тодi iснує лiнiйний обмежений обернений оператор. У роботi [5] для доведення збiжностi припустили, що обернений оператор задачi обмежений, а в роботi [18] припущено, що апрокси- мацiя оператора задачi та й сам оператор задачi обмеженi знизу. Зрозумiло, що знаходження константи α > 0 є нетривiальною за- дачею. Крiм того, послiдовнiсть операторiв Ah є нескiнченною по- слiдовнiстю. Проте для практичного застосування методу Лi-алгеб- ричних дискретних апроксимацiй потрiбно визначити якiсь додатковi або еквiвалентнi ознаки iснування оберненого обмеженого оператора. З огляду на важливiсть сформульованої проблеми доводемо теорему: 170 Застосування узагальненого методу... Теорема 5.1. Про iснування обмеженого оберненого оператора для квазiзображення. Якщо ранг скiнченновимiрного матричного квазiзображення Ah оператора A дорiвнює розмiрностi простору апроксимацiї, тобто rankAh = dimBh, тодi iснує обмежений обернений оператор A−1 h , причому: ∀Ah, ∃M > 0, ∃A−1 h : ‖A−1 h ‖ ≤M < +∞. (5.5) Доведення. Оскiльки норма задовольняє властивостям невiд’ємностi та невиродженостi, тобто ‖Ahu‖Ch ≥ 0, ∀u ∈ D(Ah), причому ‖Ahu‖Ch = 0 ⇔ u = 0Bh , то ∀u ∈ D(Ah)\{0Bh } : ‖Ahu‖Ch > 0. Справдi, нехай ‖Ahu‖Ch = 0. Оскiльки норма задовольняє аксiому невиродженостi, то такий випадок можливий лише тодi, коли Ahu = 0Ch . Для ненульового елемента u ∈ Bh це можливо лише тодi, коли detAh = 0, тобто rankAh < dimBh. Оскiльки оператор Ah такий, що rankAh = dimBh, detAh 6= 0, тодi ‖Ahu‖Ch = 0 можливе тодi i тiльки тодi, коли u = 0Bh . Величини ‖Ahu‖Ch i ‖u‖Bh строго додатнi для ∀u ∈ D(Ah)\{0Bh }. Це означає, що можна знайти сталу α > 0, для якої виконується ‖Ahu‖Ch ≥ α‖u‖Bh . З того, що оператор Ah має обернений оператор, можемо показа- ти, що ‖Ahuh‖Ch ≥ ‖uh‖Bh ‖A−1 h ‖ , де α = 1 ‖A−1 h ‖ , а з другого боку ‖A−1 h ‖ ≤ 1 α . Вибравши сталу M > 0 як M = 1 α та з того, що α > 0, знаходимо, що ‖A−1 h ‖ ≤M < +∞, що завершує доведення теореми. А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 171 Теорема 5.2. Про збiжнiсть абстрактної схеми Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй. Якщо виконуються такi умови: 1) послiдовнiсть операторiв {Ah} апроксимує оператор A задачi (5.1), 2) усi оператори з послiдовностi {Ah} є невиродженi, 3) апроксимацiя елемента f ∈ C задовольняє гiпотезу lim h→0 ‖f − fh‖Ch = 0, (5.6) то послiдовнiсть uh визначена схемою (5.2) вiдшукання розв’язку задачi (5.1) є збiжною до точного розв’язку, тобто lim h→0 ‖u− uh‖Bh = 0. Доведення. Розглянемо ‖u− uh‖Bh : ‖u− uh‖Bh = ‖A−1 h Ah (u− uh) ‖Bh ≤ ‖A−1 h ‖‖Ah (u− uh) ‖Ch = ‖A−1 h ‖‖Ah (u− uh) +Au−Au‖Ch = ‖A−1 h ‖‖ (Ahu−Au) + (Au−Ahuh) ‖Bh ≤ ‖A−1 h ‖ (‖Au−Ahu‖Ch + ‖f − fh‖Ch ) . Так як згiдно з умовою теореми виконуються (5.5), тодi ‖u− uh‖Bh ≤M (‖Au−Ahu‖Ch + ‖f − fh‖Ch ) , а врахувавши умови апроксимацiйностi оператора (5.3) та елемента f ∈ C (5.6), то в границi отримаємо lim h→0 ‖u− uh‖Bh ≤M ( lim h→0 ‖Au−Ahu‖Ch + lim h→0 ‖f − fh‖Ch ) = 0. Оскiльки норма задовольняє аксiому невиродженостi та невiд’ємно- стi, то lim h→0 ‖u− uh‖Bh = 0, що доводить теорему. Теорема 5.3. Про збiжнiсть схеми методу Лi-алгебричних дискре- тних апроксимацiй для задачi Кошi з одновимiрним рiвнянням адве- кцiї 172 Застосування узагальненого методу... Послiдовнiсть uh визначена схемою (3.6) вiдшукання наближе- ного розв’язку задачi (2.4) збiгається до точного розв’язку задачi (2.1), причому норма похибки характеризується величиною ‖u− uh‖Bh ≤M ( Tnt−1 (nt − 1)! ∥∥∥∥ ∂ntv ∂tnt ∥∥∥∥ ∞ + c diam(Ω)nx−1 (nx − 1)! ∥∥∥∥ ∂nxv ∂xnx ∥∥∥∥ ∞ ) , де число M > 0 таке, що ∀Ah : ‖A−1 h ‖ ≤M . Доведення. Справедливiсть теореми випливає з теореми про апро- ксимацiйнi властивостi та теореми про збiжнiсть абстрактної схеми методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй. 6. Оцiнки швидкостi збiжностi Для проведення числових експериментiв вважатимемо, що об- ласть QT := [0, 1] × (0, 1], тобто x ∈ [0, 1], t ∈ (0, 1]. Норму похибки апроксимацiї точного розв’язку u − uh = u(x, t) − uh(x, t) в просторi L2(QT ) обчислюємо за формулою ‖u− uh‖2 L2(QT ) = ∫ QT (u− uh) 2 dx dt, в просторi L∞(QT,h): ‖u− uh‖L∞(QT,h) = sup (x,t)∈QT,h \|u(x, t) − uh(x, t)\|, а в просторi Соболєва W 1,2(QT ) [4]: ‖u− uh‖2 W 1,2(QT ) = ∫ QT [ (u− uh) 2 + ( ∂u ∂x − ∂uh ∂x )2 + ( ∂u ∂t − ∂uh ∂t )2 ] dx dt. Порядок збiжностi у нормi простору L2(QT ) визначається форму- лою ph,L2(QT ) = log2 ( ‖u− uh‖L2(QT ) ‖u− uh/2‖L2(QT ) ) , порядок збiжностi у нормi простору L∞(QT,h): ph,L∞(QT,h) = log2 ( ‖u− uh‖L∞(QT,h) ‖u− uh/2‖L∞(QT,h) ) . А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 173 а порядок збiжностi у нормi простору W 1,2(QT ): ph,W 1,2(QT ) = log2 ( ‖u− uh‖W 1,2(QT ) ‖u− uh/2‖W 1,2(QT ) ) , Якщо ‖u− uh‖ = 0 i ‖u− uh/2‖ = 0, то невизначенiсть 0/0 подаємо у таблицях як NaN (not a number). Модельнi задачi для рiвняння адвекцiї дослiджено нами з вико- ристанням методу скiнченних рiзниць (МСР), методу Лi-алгебричних дискретних апроксимацiй (МЛАДА) та узагальненого методу Лi-ал- гебричних дискретних апроксимацiй (УМЛАДА). Зазначимо, що у випадку застосування методу МЛАДА, розв’язування задачi Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь здiйснено з викори- станням вбудованих функцiй пакету символьного обчислення Mathe- matica. Позначимо ∆x = 1 (nx−1) — крок дискретизацiї за просторовою змiнною, та ∆t = 1 (nt−1) — крок дискретизацiї за часовою змiнною. Якщо крок дискретизацiї за просторовою та часовою змiнними ви- бранi однаковими, то h = ∆x = ∆t. У випадку методу МЛАДА h по- значає крок дискретизацiї тiльки за просторовою змiнною, оскiльки розв’язування задачi Кошi для системи ЗДР здiйснюється з викори- станням пакету Mathematica, де кiлькiсть вузлiв за часовою змiнною вибирається автоматично. Приклад 6.1. Для модельної задачi    знайти функцiю u = u(x, t) таку, що: ∂u ∂t + ∂u ∂x = 0, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = x8. (6.1) отримано числовi результати, якi наведенi у таблицях 1–4. Точний розв’язкок задачi (6.1) має вигляд u(x, t) = (x − t)8. За- значимо, що при розв’язуваннi задачi (6.1) узагальненим методом ми розв’язували допомiжну задачу    знайти функцiю v = v(x, t) таку, що: ∂v ∂t + ∂v ∂x = −8x7, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = 0. (6.2) Отримавши наближений розв’язок vh = vh(x, t) задачi (6.2), побудо- вано наближений розв’язок uh = uh(x, t) задачi (6.1) у спосiб uh(x, t) = x8 + vh(x, t), де x8 — початкова умова задачi (6.1). 174 Застосування узагальненого методу... Табл. 1. Значення норми похибок в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0.181219 0.60862 1.50749 h = 1/4 0.0578845 2.67374 3.48162 h = 1/8 0.0156118 1.16211 · 10−6 0 h = 1/16 0.00398213 1.54474 · 10−6 0 h = 1/32 0.00100058 7.48043 · 1032 0 h = 1/64 0.000226284 1.55729 · 1097 0 Табл. 2. Значення норми похибок в просторi L∞(QT,h) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0 1.96875 8.8125 h = 1/4 0 19.0723 32.8477 h = 1/8 0 6.58327 · 10−6 0 h = 1/16 0 3.19885 · 10−5 0 h = 1/32 0 1.21148 · 1035 0 h = 1/64 0 6.68331 · 1099 0 Табл. 3. Значення норми похибок в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1.00617 2.40898 8.72005 h = 1/4 0.590412 14.9363 25.0102 h = 1/8 0.299978 0.0000831284 0 h = 1/16 0.149898 0.0000554542 0 h = 1/32 0.0747075 8.61647 · 1034 0 h = 1/64 0.03627 4.72785 · 1099 0 Табл. 4. Значення порядкiв збiжностi в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1.64649 -2.13524 -1.20762 h = 1/4 1.89054 21.1337 +∞ h = 1/8 1.97103 -0.410624 NaN h = 1/16 1.99271 -128.509 NaN h = 1/32 2.14463 -213.661 NaN Табл. 5. Значення порядкiв збiжностi в просторi L∞(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 NaN -3.27612 -1.89817 h = 1/4 NaN 21.4662 +∞ h = 1/8 NaN -2.28068 NaN h = 1/16 NaN -131.476 NaN h = 1/32 NaN -215.067 NaN А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 175 Табл. 6. Значення порядкiв збiжностi в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0.76908 -2.63233 -1.52011 h = 1/4 0.976865 17.4551 +∞ h = 1/8 1.00087 0.584045 NaN h = 1/16 1.00466 -130.191 NaN h = 1/32 1.04247 -215.059 NaN Зростання похибок у МЛАДА зумовлено тим, що ДРЧП зведене до системи ЗДР, яка є жорсткою i вимагає великої кiлькостi вузлiв за часовою змiнною для коректного розв’язання задачi. Приклад 6.2. Для модельної задачi    знайти функцiю u = u(x, t) таку, що: ∂u ∂t + ∂u ∂x = 0, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = sinx. (6.3) отримано числовi результати, якi наведенi у таблицях 5–8. Точний розв’язкок задачi (6.3) має вигляд u(x, t) = sin(x − t). Зазначимо, що при розв’язуваннi задачi (6.3) узагальненим методом ми розв’язували допомiжну задачу    знайти функцiю v = v(x, t) таку, що: ∂v ∂t + ∂v ∂x = − cosx, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = 0. (6.4) Отримавши наближений розв’язок vh = vh(x, t) задачi (6.4), побудо- вано наближений розв’язок uh = uh(x, t) задачi (6.3) у спосiб uh(x, t) = sinx+ vh(x, t), де sin(x) — початкова умова задачi (6.3). Табл. 7. Значення норми похибок в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0.0152981 0.0849962 0.0396427 h = 1/4 0.00408866 0.00623154 0.00053962 h = 1/8 0.00103819 5.7579 · 10−6 2.87577 · 10−7 h = 1/16 0.000260541 2.16961 · 10−5 2.38063 · 10−15 h = 1/32 0.0000651094 2.18418 · 1035 3.34574 · 10−17 176 Застосування узагальненого методу... Табл. 8. Значення норми похибок в просторi L∞(QT,h) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0 0.46952 0.0660836 h = 1/4 0 0.0514178 0.00372225 h = 1/8 0 7.90058 · 10−5 4.24574 · 10−6 h = 1/16 0 4.70088 · 10−4 6.19514 · 10−14 h = 1/32 0 3.63265 · 1037 7.07336 · 10−34 Табл. 9. Значення норми похибок в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0.0815902 0.383927 0.0903126 h = 1/4 0.0394812 0.0390588 0.0027526 h = 1/8 0.0195588 0.0000578184 3.1048 · 10−6 h = 1/16 0.00975607 0.000338286 4.45453 · 10−14 h = 1/32 0.00487437 2.58733 · 1037 7.13162 · 10−17 Табл. 10. Значення порядкiв збiжностi в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1.90365 3.76974 6.19897 h = 1/4 1.97756 10.0798 10.8738 h = 1/8 1.99448 -1.91382 26.848 h = 1/16 2.00057 -132.887 6.15287 Табл. 11. Значення порядкiв збiжностi в просторi L∞(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 NaN 3.19085 4.15005 h = 1/4 NaN 9.34609 9.77594 h = 1/8 NaN -2.5729 26.0303 h = 1/16 NaN -135.827 66.2473 Табл. 12. Значення порядкiв збiжностi в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1.04723 3.29711 5.03606 h = 1/4 1.01335 9.3999 9.79208 h = 1/8 1.00344 -2.54864 26.0547 h = 1/16 1.00108 -135.812 9.28683 Розглянемо задачу Кошi для рiвняння адвекцiї, коли коефiцiєнт швидкостi адвекцiйного перемiщення набув значення c = 107. Осо- бливiстю задач з таким коефiцiєнтом є те, що для коректного розв’я- зання методом скiнченних рiзниць необхiдно, щоб крок дискретизацiї за часовою змiнною був менший, нiж 10−7 ·∆x. У прикладi 6.3 наве- денi розрахунки з однаковими кроками дискретизацiї. А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 177 Приклад 6.3. Для модельної задачi    знайти функцiю u = u(x, t) таку, що: ∂u ∂t + 107∂u ∂x = 0, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = x8. (6.5) отримано числовi результати, якi наведенi у таблицях 9–12. Точний розв’язок задачi (6.5) має вигляд u(x, t) = (x− 107t)8. Зазначимо, що при розв’язуваннi задачi (6.5) узагальненим методом ми розв’язували допомiжну задачу    знайти функцiю v = v(x, t) таку, що: ∂v ∂t + 107 ∂v ∂x = −8 · 107x7, ∀ (x, t) ∈ QT , u\|t=0 = 0. (6.6) Отримавши наближений розв’язок vh = vh(x, t) задачi (6.6), побудо- вано наближений розв’язок uh = uh(x, t) задачi (6.5) у спосiб uh(x, t) = x8 + vh(x, t), де x8 — початкова умова задачi (6.5). Табл. 13. Значення норми похибок в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 2.42536 · 1055 2.42536 · 1055 2.42536 · 1055 h = 1/4 2.42536 · 1055 1.07159 · 1085 2.42536 · 1055 h = 1/8 2.42084 · 1055 3.70179 · 10226 0 h = 1/16 3.68808 · 1095 1.65210 · 10329 0 Табл. 14. Значення норми похибок в просторi L∞(QT,h) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1056 1056 1056 h = 1/4 1056 2.85146 · 1085 1056 h = 1/8 9.97597 · 1055 1.09473 · 10227 0 h = 1/16 1.73322 · 1097 2.55192 · 10330 0 Табл. 15. Значення норми похибок в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 2.07978 · 1056 2.07978 · 1056 2.07978 · 1056 h = 1/4 2.07978 · 1056 3.98028 · 1085 2.07978 · 1056 h = 1/8 2.07366 · 1056 1.36823 · 10227 0 h = 1/16 1.9648 · 1097 1.73574 · 10331 0 178 Застосування узагальненого методу... Табл. 16. Значення порядкiв збiжностi в просторi L2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 1.36358 · 10−10 -98.4794 3.20343 · 10−16 h = 1/4 0.00269021 -470.18 +∞ h = 1/8 -133.484 -340.99 NaN Табл. 17. Значення порядкiв збiжностi в просторi L∞(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 0 -97.8476 0 h = 1/4 0.00347135 -470.333 +∞ h = 1/8 -136.996 -343.38 NaN Табл. 18. Значення порядкiв збiжностi в просторi W 1,2(QT ) Крок h МСР МЛАДА УМЛАДА h = 1/2 8.53519 · 10−10 -97.2724 −3.20343 · 10−16 h = 1/4 0.00425044 -470.173 +∞ h = 1/8 -136.121 -345.823 NaN Наведенi розрахунки показали, що для УМЛАДА достатньо ви- брати крок h = ∆x = ∆ = 1/8, щоб похибка стосовно точного розв’яз- ку дорiвнювала нулю. За таких же крокiв з використанням схем МСР та МЛАДА неможливо отримати такий результат. Висновки Запропонований нами метод УМЛАДА дозволяє розв’язувати за- дачi з великими числами адвекцiйного переносу при малих кiлько- стях вузлiв. Така перевага зумовлена дискретизацiєю як за просторо- вою, так i за часовою змiнними. У той час як для коректного розв’я- зання задачi методом МСР чи МЛАДА потрiбно 9 ·107 вузлiв, то для методу УМЛАДА достатньо лише дев’яти вузлiв за часовою змiнною. Це свiдчить про те, що в методi УМЛАДА для коректного розв’яза- ння потрiбно щонайменше у 107 разiв менше вузлiв, нiж для МСР чи МЛАДА. Нами визначено ранг скiнченновимiрного квазiзображення дифе- ренцiального оператора рiвняння адвекцiї, дослiджено апроксимацiй- нi властивостi та доведено факторiальну збiжнiсть схеми узагальне- ного методу за двома змiнними. Встановлено ознаки iснування обме- женого оберненого оператора для абстрактної апроксимацiйної схе- ми. Визначено умови, якi гарантують збiжнiсть схеми УМЛАДА. Проведено порiвняння обчислювальних схем МСР, МЛАДА, УМЛА- ДА. А. A. Кiндибалюк, М. М. Притула 179 Рекурентнi методи (МСР, МЛАДА) розв’язування задачi Кошi передбачають перерахунок усiх крокiв методу при змiнi початкових умов. У методi УМЛАДА вимагається попереднє зведення задачi Ко- шi до задачi з однорiдними початковими умовами. Для того, щоб отримати розв’язок задачi Кошi з iншими початковими умовами, до- статньо перемножити обернену матрицю квазiзображення оператора задачi на вектор квазiзображення вiльного члена. Лiтература [1] И. С. Березин, Н. П. Жидков, Методы вычислений. Том. 1, М: Физматгиз, 1962. [2] О. Бiгун, М. Притула, Метод Лi-алгебричних апроксимацiй у теорiї динамi- чних систем // Мат. вiсник НТШ, 1 (2004), 24–31. [3] А. А. Кiндибалюк, М. М. Притула, Узагальнення схеми Лi-алгебричних дис- кретних апроксимацiй для задачi Кошi // XIX Всеукраїнська наукова кон- ференцiя “Сучаснi проблеми прикладної математики та iнформатики”. Тези доп., Львiв, (2013), 73–74. [4] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев Элементы функционального анализа, М.: Наука, 1965. [5] М. Люстик, А. Прикарпатський, М. Притула, М. Вовк, Функцiонально- операторний аналiз проблеми збiжностi для методу дискретних апрокси- мацiй Ф. Калоджеро в банахових просторах // Математичний вiсник НТШ, 9 (2012), 168–179 [6] Ю. А. Митропольский, А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко, Алгебраиче- ская схема дискретных аппроксимаций линейных и нелинейных динамиче- ских систем математической физики // Укр. мат. журн., 40 (1988), 453– 458. [7] Р. Рихтмайер, Разностные методы решения краевых задач, М.: Мир, 1972. [8] А. А. Самарский, А. В. Гулин, Численные методы: Учеб. пособие для вузов, М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1989. [9] В. Г. Самойленко, Алгебраическая схема дискретных аппроксимаций дина- мических систем математической физики и оценки её точности // Асим- птотические методы в задачах мат. физики. К.: Ин-т математики АН УССР, (1988), 144–151. [10] В. А. Треногин, Функциональный анализ, М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. [11] O. H. Bihun, Approximation properties of the Lie-algebraic scheme // Matematychni Studii, 20 (2003), No. 1, 85–91. [12] O. H. Bihun, Modification of the Lie-algebraic scheme and approximation error estimations // Matematychni Studii, 20 (2003), No. 2, 179–184. [13] O. H. Bihun, M. Luśtyk, Numerical tests and theoretical estimations for a Lie- algebraic scheme of discrete approximations // Visnyk of the Lviv University. Series Applied Mathematics and Computer Science, 6 (2003), 3–10. [14] O. Bihun, M. Prytula, The rank of projection-algebraic representations of some differential operators // Matematychni Studii, 35 (2011), No. 1, 9–21. [15] F. Calogero, Interpolation, differentiation and solution of eigenvalue problems in more than one dimension // Lett. Nuovo Cimento, 38 (1983), No. 13, 453–459. 180 Застосування узагальненого методу... [16] F. Calogero, E. Franko, Numerical tests of a novel technique to compute the eigen values of differential operators // Il Nuovo Cins., 89 (1985), No. 2, 161–208. [17] F. Casas, Solution of linear partial differential equations by Lie algebraic method // J. of Comp. and Appl. Math., 76 (1996), 159–170. [18] M. Luśtyk, Lie-algebraic discrete approximation for nonlinear evolution equati- ons // Journal of Mathematical Sciences, 109 (2002), No. 1, 1169–1172. [19] M. Luśtyk, The Lie-Algebraic Discrete Approximation Scheme for Evoluti- on Equations with Dirichlet/Neumann Data // Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 40 (2002), 117–124. [20] A. K. Prykarpatsky, M. M. Prytula, O. O. Yerchenko, The Lie-algebraic discrete approximations in computing analysis // Volyn Mathematical Bulletin, 3 (1996), 113–116. [21] J. Wei, E. Norman, On global representations of the solution of linear differential equations as a product of exponentials // Proc. Amer. Math. Soc., 15 (1964), 327–334. [22] F. Wolf, Lie algebraic solutions of linear Foker-Plank equations // J. math. phys., 29 (1988), 305–307. Вiдомостi про авторiв Аркадiй Анатолiйович Кiндибалюк, Микола Миколайович Притула Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка вул. Унiверситетська 1, 79000, Львiв Україна E-Mail: a.kindybaluk@mail.ru, mykola.prytula@gmail.com

Застосування узагальненого методу Лі-алгебричних дискретних апроксимацій до розв'язування задачі Коші для рівняння адвекції

Institution

Ähnliche Einträge