Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка
Основная часть работы посвящена исследованию разрешимости задач сопряжения для неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. В дополнении приводятся дальнейшие обобщения и усиления полученных результатов....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124456 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка / А.И. Кожанов, Е.Ф. Шарин // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 181-202. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124456 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244562017-09-27T03:03:13Z Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка Кожанов, А.И. Шарин, Е.Ф. Основная часть работы посвящена исследованию разрешимости задач сопряжения для неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. В дополнении приводятся дальнейшие обобщения и усиления полученных результатов. 2014 Article Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка / А.И. Кожанов, Е.Ф. Шарин // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 181-202. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35М99. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124456 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Основная часть работы посвящена исследованию разрешимости задач сопряжения для неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. В дополнении приводятся дальнейшие обобщения и усиления полученных результатов. |
| format |
Article |
| author |
Кожанов, А.И. Шарин, Е.Ф. |
| spellingShingle |
Кожанов, А.И. Шарин, Е.Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка Український математичний вісник |
| author_facet |
Кожанов, А.И. Шарин, Е.Ф. |
| author_sort |
Кожанов, А.И. |
| title |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| title_short |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| title_full |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| title_fullStr |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| title_full_unstemmed |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| title_sort |
задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124456 |
| citation_txt |
Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка / А.И. Кожанов, Е.Ф. Шарин // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 181-202. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kožanovai zadačasoprâženiâdlânekotoryhneklassičeskihdifferencialʹnyhuravnenijvysokogoporâdka AT šarinef zadačasoprâženiâdlânekotoryhneklassičeskihdifferencialʹnyhuravnenijvysokogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-09T01:27:43Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:27:43Z |
| _version_ |
1837130804230094848 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 2, 181 – 202
Задача сопряжения для некоторых
неклассических дифференциальных
уравнений высокого порядка
Александр И. Кожанов, Евгений Ф. Шарин
(Представлена А. Е. Шишковим)
Аннотация. Основная часть работы посвящена исследованию ра-
зрешимости задач сопряжения для неклассических дифференциаль-
ных уравнений высокого порядка. В дополнении приводятся даль-
нейшие обобщения и усиления полученных результатов.
2010 MSC. 35М99.
Ключевые слова и фразы. Неклассические дифференциальные
уравнения высокого порядка, задача сопряжения, задача сопря-
жения-дифракции, регулярное решение, существование, единствен-
ность.
1. Постановка задачи
Пусть Ω есть интервал (−1, 1) оси Ox, Q есть прямоугольник
Ω× (0, T ), 0 < T < +∞. Далее, пусть h(x), c(x, t) и f(x, t) есть задан-
ные функции, определенные при x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], причем функция
h(x) строго положительна при x ∈ Ω, αi, βi, i = 1, 4 — заданные дей-
ствительные числа такие, что векторы (α1, α2, α3, α4) и (β1, β2, β3, β4)
линейно независимы. Обозначим Dk
t = ∂k
∂tk
. Пусть L есть дифферен-
циальный оператор, действие которого на заданной функции u(x, t)
определяется равенством
Lu = (−1)p+1D2p
t u− h(x)uxx + c(x, t)u
(здесь p ≥ 1 — натуральное число).
Обозначим Q1 = (−1, 0) × (0, T ), Q2 = (0, 1) × (0, T ).
Статья поступила в редакцию 8.01.2014
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
182 Задача сопряжения...
Задача сопряжения I : найти функцию u(x, t), являющуюся в пря-
моугольниках Q1 и Q2 решением уравнения
Lu = f(x, t) (1.1)
и такую, что для нее выполняются условия
Dk
t u(x, t)
∣∣
t=0
= 0, x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), k = 0, . . . , p, (1.2)
Dk
t u(x, t)
∣∣
t=T
= 0, x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), k = 1, . . . , p− 1 (1.3)
(в случае p = 1 данное условие отсутствует),
α1u(−0, t) + α2u(+0, t) + α3ux(−0, t) + α4ux(+0, t) = 0, t ∈ (0, T ),
(1.4)
β1u(−0, t) + β2u(+0, t) + β3ux(−0, t) + β4ux(+0, t) = 0, t ∈ (0, T ),
(1.5)
u(−1, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ). (1.6)
Уравнение (1.1) в случае p = 1 представляет собой волновое урав-
нение, в случае же p > 1 эти уравнения условно можно назвать “ква-
зигиперболическими” (авторы не настаивают на таком названии, но в
тоже время какого-либо другого названия, кроме обобщенного “урав-
нения неклассического типа”, авторы не знают). Краевые задачи для
таких уравнений — именно в случае p > 1 — изучались в работах
В. Н. Врагова [2, 9], И. Е. Егорова и В. Е. Федорова [3]. Задачи со-
пряжения для уравнения (1.1) в случае p = 1 изучались многими
авторами, из работ последнего времени отметим работы [4–11], одна-
ко в случае p > 1 подобные задачи не рассматривались.
В целом различные задачи с условиями сопряжения для тех или
иных классов дифференциальных уравнений изучаются с довольно
давних времен — они изучаются как задачи сопряжения-дифракции
[12–17], как краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-
составного типов [18–29]. Для неклассических уравнений задачи со-
пряжения изучены сравнительно мало — отметим лишь работы [30–
32].
При выполнении условия линейной независимости векторов (α1,
α2, α3, α4) и (β1, β2, β3, β4) один из миноров второго порядка матрицы
(
α1 α2 α3 α4
β1 β2 β3 β4
)
,
а именно, одно из чисел α1β2−α2β1, α1β3−α3β1, α1β4−α4β1, α2β3−
α3β2, α2β4 −α4β2, α3β4 −α4β3 — должен быть отличен от нуля. Сле-
довательно, задачу сопряжения I можно преобразовать к одному из
следующих видов.
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 183
Задача сопряжения I1 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(−0, t) = a1ux(−0, t) + b1ux(+0, t), t ∈ (0, T ), (1.7)
u(+0, t) = c1ux(−0, t) + d1ux(+0, t), t ∈ (0, T ). (1.8)
Задача сопряжения I2 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(−0, t) = a2u(+0, t) + b2ux(+0, t), t ∈ (0, T ), (1.9)
ux(−0, t) = c2u(+0, t) + d2ux(+0, t), t ∈ (0, T ). (1.10)
Задача сопряжения I3 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(−0, t) = a3u(+0, t) + b3ux(−0, t), t ∈ (0, T ), (1.11)
ux(+0, t) = c3u(+0, t) + d3ux(−0, t), t ∈ (0, T ). (1.12)
Задача сопряжения I4 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(+0, t) = a4u(−0, t) + b4ux(+0, t), t ∈ (0, T ), (1.13)
ux(−0, t) = c4u(−0, t) + d4ux(+0, t), t ∈ (0, T ). (1.14)
Задача сопряжения I5 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(+0, t) = a5u(−0, t) + b5ux(−0, t), t ∈ (0, T ), (1.15)
ux(+0, t) = c5u(−0, t) + d5ux(−0, t), t ∈ (0, T ). (1.16)
Задача сопряжения I6 : найти функцию u(x, t), являющуюся в
прямоугольниках Q1 и Q2 решением уравнения (1.1) и такую, что
для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
ux(−0, t) = a6u(−0, t) + b6u(+0, t), t ∈ (0, T ), (1.17)
ux(+0, t) = c6u(−0, t) + d6u(+0, t), t ∈ (0, T ). (1.18)
Уточним, что в задачах I1–I6 числа ai, bi, ci и di вычисляются
через числа αi и βi.
184 Задача сопряжения...
Предметом исследования в настоящей работе будут задачи сопря-
жения I1, I3, I4 и I6 (причины будут пояснены ниже). Заметим, что
задачи I3 и I4 соответствуют известным задачам, в которых задаются
условия сопряжения решения и градиента решения.
Определим пространство, в котором будут изучаться свойства ед-
инственности и существования решений поставленных выше задач.
Именно, положим
Vm = {v(x, t) : v(x, t) ∈W 2,m
2,x,t(Q1), v(x, t) ∈W 2,m
2,x,t(Q2)};
норму в пространстве Vm определим равенством
‖v‖Vm = ‖v‖
W 2,m
2,x,t(Q1)
+ ‖v‖
W 2,m
2,x,t(Q2)
(здесь m ≥ 0 есть целое число).
2. Единственность решений
Условиями, достаточными для единственности решений задачи
сопряжения I, являются следующие:
(E1): α1β2 − α2β1 6= 0;
(E2): α1β4 − α4β1 6= 0;
(E3): α2β3 − α3β2 6= 0;
(E4): α3β4 − α4β3 6= 0;
(E5): функция h(x) непрерывна всюду на отрезке [−1, 1], за исклю-
чением, быть может, точки 0, в которой она имеет разрыв
первого рода, и строго положительна на этом отрезке;
(E6): c(x, t) ∈ C1(Q), c(x, T ) ≥ 0 при x ∈ [−1, 1], существует число
λ0 такое, что λ0 > T , ((λ0 − t)c(x, t))t ≤ 0 при (x, t) ∈ Q;
(E7): a1 ≤ 0, b1c1 ≤ 0, d1 ≥ 0;
(E8): если b1 6= 0, c1 6= 0, то выполняется одно из неравенств
a1b1d1
c1
− b21 ≥ 0 или
a1c1d1
b1
− c21 ≥ 0;
(E9): c3 ≥ −1, b3 ≤ 0, a3d3 ≥ 0;
(E10): c4 ≤ 1, b4 ≥ 0, a4d4 ≥ 0;
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 185
(E11): a6 ≤ 0, d6 ≥ 0, b6c6 ≤ 0;
(E12): если b6 6= 0, c6 6= 0, то одна из квадратичных форм (1 −
b6d6
c6
)ξ2 − 2b6ξη+(1−a6)η
2 или (1+ a6c6
b6
)ξ2 +2c6ξη+(1+ d6)η
2
является неотрицательно определенной.
Теорема 2.1. Пусть выполняется одна из групп условий (E1), (E5),
(E6), (E7), (E8), либо (E2), (E5), (E6), (E9), либо (E3), (E5), (E6),
(E10), либо (E4), (E5), (E6), (E11), (E12). Тогда задача сопряжения I
не может иметь в пространстве V2p более одного решения.
Доказательство. Необходимо установить, что если f(x, t) ≡ 0, то
при выполнении соответствующих условий решение задачи сопряже-
ния I из пространства V2p есть тождественно нулевая функция.
Пусть выполняются условия (E1), (E5), (E6), (E7) и (E8). В этом
случае задача сопряжения I сводится к задаче I1. Прежде всего за-
метим, что если b1 = c1 = 0, то условия (1.7) и (1.8) становятся
независимыми друг от друга условиями, и тем самым задача I1 ра-
спадается на две независимые задачи в прямоугольниках Q1 и Q2,
для каждой из этих задач в случае f(x, t) ≡ 0 из условий (E5), (E6)
и (E7) следует u(x, t) ≡ 0 (см. [3]).
Пусть выполняется b1 6= 0, c1 = 0. В этом случае задача I1 поро-
ждает обычную краевую задачу (без условий сопряжения) в прямо-
угольнике Q2, и если f(x, t) ≡ 0, то вследствие условий (E5), (E6) и
(E7) имеем u(x, t) ≡ 0 в Q2. Но тогда условие (1.7) преобразуется в
условие
u(−0, t) = a1ux(−0, t), t ∈ (0, T );
тем самым вновь получаем задачу в прямоугольнике Q1, для которой
выполняется u(x, t) ≡ 0 — вновь вследствие условий (E5), (E6) и (E7).
Итак, в случае b1 6= 0, c1 = 0 решение задачи I1 при f(x, t) ≡ 0
есть тождественно нулевая в Q функция.
Очевидно, что в случае b1 = 0, c1 6= 0 при выполнении усло-
вий (E5), (E6) и (E7) в случае f(x, t ≡ 0) также будет выполняться
u(x, t) ≡ 0 в Q.
Пусть теперь b1 6= 0, c1 6= 0, выполняются условия (E1), (E5),
(E6), (E7), и пусть выполняется первое неравенство условия (E8).
Рассмотрим равенство
∫
Q1
λ0 − t
h(x)
Lu · ut dx dt+ γ
∫
Q2
λ0 − t
h(x)
Lu · ut dx dt = 0, (2.1)
186 Задача сопряжения...
в котором γ есть число − b1
c1
. Интегрируя по частям и используя усло-
вия (1.7) и (1.8), получим следствие из (2.1):
2p− 1
2
∫
Q1
1
h(x)
(Dp
t u)
2 dx dt+
1
2
∫
Q1
u2
x dx dt
− 1
2
∫
Q1
((λ0 − t)c(x, t))t
h(x)
u2 dx dt+
γ(2p− 1)
2
∫
Q2
1
h(x)
(Dp
t u)
2 dx dt
+
γ
2
∫
Q2
u2
x dx dt+
λ0 − T
2
0∫
−1
[Dp
t u(x, T )]2 dx
+
λ0 − T
2
0∫
−1
u2
x(x, T ) dx+
λ0 − T
2
0∫
−1
c(x, T )u2(x, T ) dx
+
γ(λ0 − T )
2
1∫
0
[Dp
t u(x, T )]2 dx+
γ(λ0 − T )
2
1∫
0
u2
x(x, T ) dx
+
γ(λ0 − T )
2
1∫
0
c(x, T )u2(x, T ) dx− γ
2
∫
Q2
((λ0 − t)c(x, t))t
h(x)
u2 dx dt
+
T∫
0
[
−a1
2
u2
x(−0, t) − b1ux(−0, t)ux(+0, t) +
γd1
2
u2
x(+0, t)
]
dt
+
[
−a1(λ0 − T )
2
u2
x(−0, T ) − b1(λ0 − T )ux(−0, T )ux(+0, T )
+
γd1(λ0 − T )
2
u2
x(+0, T )
]
.
Из этого равенства и условий (E5)–(E8) и следует, что функция u(x, t)
есть тождественно нулевая в прямоугольниках Q1 и Q2 функция.
Если выполняется второе неравенство условия (E8), то вместо ра-
венства (2.1) необходимо рассмотреть равенство
γ̃
∫
Q1
λ0 − t
h(x)
Lu · ut dx dt+
∫
Q2
λ0 − t
h(x)
Lu · ut dx dt = 0,
в котором γ̃ есть число − c1
b1
. Аналогичные предыдущему выкладки
вновь дадут соотношения u(x, t) ≡ 0 в Q1, u(x, t) ≡ 0 в Q2.
Пусть теперь выполняются условия (E2), (E5), (E6) и (E9). В этом
случае задача сопряжения I сводится к задаче I3. Вновь рассмотрим
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 187
равенство (2.1), в котором число γ есть число a3
d3
(при d3 6= 0, если же
d3 = 0, то задача I3 является распадающейся). Интегрируя по частям,
используя условия (1.11) и (1.12), условия теоремы и дополнительно
неравенство
u2(y, T ) ≤
1∫
0
u2
x(x, T ) dx, 0 ≤ y ≤ 1, (2.2)
вновь получим u(x, t) ≡ 0 в Q1 и Q2.
При выполнении условий (E3), (E5), (E6) и (E10), (E4), (E5), (E6),
(E11) и (E12) доказательство требуемого факта проводится вполне
аналогично, уточним лишь, что задача I сводится к задачам I4 и I6,
соответственно, число γ есть либо d4
a4
, либо b6
c6
, дополнительно исполь-
зуется неравенство
u2(y, T ) ≤
0∫
−1
u2
x(x, T ) dx, −1 ≤ y ≤ 0. (2.3)
Теорема доказана.
Замечание 2.1. Условия на числа ai, bi, ci и di можно ослабить, если
условие (E6) заменить условием
(E′
6): c(x, t) ∈ C1(Q), c(x, t) ≥ c0 > 0, ct(x, t) ≤ 0 при (x, t) ∈ Q.
Уточним, что при выполнении этого условия число λ0 может быть
любым из промежутка (T,+∞).
3. Существование решений
Изучение разрешимости задачи сопряжения I начнем с задачи I3.
Прежде всего заметим, что если a3 = 0 или d3 = 0, то задача I3
становится полураспадающейся или же распадающейся задачей, и ее
исследование не представляется сложной проблемой.
Определим необходимое ниже пространство Ṽm:
Ṽm = {v(x, t) : v(x, t) ∈ Vm, vx(x, t) ∈ Vm, vxx(x, t) ∈ Vm}.
Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (E2), (E5), (E6), условие
a3 ≤ 0, b3 ≤ 0, c3 ≥ 0, d3 ≤ 0,
и пусть функция f(x, t) такова, что выполняются включения f(x, t)
∈ L2(Q), ft(x, t) ∈ L2(Q). Тогда задача сопряжения I3 разрешима в
пространстве V2p.
188 Задача сопряжения...
Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть ε —
положительное число, Lε есть оператор, действие которого опреде-
ляется равенством
Lεu = Lu+ ε(−1)ph(x)D2p
t uxx.
Рассмотрим задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоу-
гольниках Q1 и Q2 решением уравнения
Lεu = f(x, t) (3.1)
и такую, что для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), (1.11)
и (1.12). Покажем, что эта задача разрешима в пространстве Ṽ2p.
Воспользуемся методом продолжения по параметру.
Пусть λ есть число из отрезка [0, 1]. Рассмотрим семейство за-
дач: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольниках Q1 и
Q2 решением уравнения (3.1) и такую, что для нее выполняются
условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(−0, t) = λa3u(+0, t) + b3ux(−0, t), t ∈ (0, T ), (3.2)
ux(+0, t) = c3u(+0, t) + λd3ux(−0, t), t ∈ (0, T ). (3.3)
Как это обычно делается при использовании теоремы о методе про-
должения по параметру [33], обозначим через Λ множество тех чисел
λ из отрезка [0, 1], для которых задача (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.2),
(3.3) разрешима в пространстве Ṽ2p для любой функции f(x, t) из про-
странства L2(Q). Если окажется, что множество Λ не пусто, открыто
и замкнуто (в топологии метрического пространства X = [0, 1]), то
оно будет совпадать со всем отрезком [0, 1] (см. [33]).
Для того, чтобы установить наличие необходимых свойств у мно-
жества Λ, понадобятся априорные оценки. Покажем, что нужные
оценки имеются.
Рассмотрим равенство
∫
Q1
λ0 − t
h(x)
Lεu · ut dx dt+ γ
∫
Q2
λ0 − t
h(x)
Lεu · ut dx dt
=
∫
Q1
λ0 − t
h(x)
f · ut dx dt+ γ
∫
Q2
λ0 − t
h(x)
f · ut dx dt,
в котором γ есть число a3
d3
. Из этого равенства с помощью интегри-
рования по частям, условий теоремы и неравенства Юнга нетрудно
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 189
получить первую оценку
∫
Q1
[
(Dp
t u)
2 + u2
x + ε(Dp
t ux)
2
]
dx dt
+
∫
Q2
[
(Dp
t u)
2 + u2
x + ε(Dp
t ux)
2
]
dx dt ≤ N1, (3.4)
в которой число N1 определяется лишь нормой функции f(x, t) в
пространстве L2(Q), а также числами a3, b3, c3 и d3.
Рассмотрим теперь равенство
−
∫
Q1
(λ0 − t)Lεu · uxxt dx dt− γ
∫
Q2
(λ0 − t)Lεu · uxxt dx dt
= −
∫
Q1
(λ0 − t)f · uxxt dx dt− γ
∫
Q2
(λ0 − t)f · uxxt dx dt. (3.5)
Интегрируя в этом равенстве слева по частям, справа же применяя
неравенство Юнга и далее интегральные неравенства, которые по-
зволяют оценить норму в пространстве L2 производной по t через
нормы в том же пространстве старших производных, нетрудно полу-
чить вторую оценку
∫
Q1
[
(Dp
t ux)
2 + u2
xx + ε(Dp
t uxx)
2
]
dx dt
+
∫
Q2
[
(Dp
t ux)
2 + u2
xx + ε(Dp
t uxx)
2
]
dx dt ≤ N2, (3.6)
в которой число N2 определяется лишь нормой функции f(x, t) в
пространстве L2(Q), а также функцией c(x, t), числами a3, b3, c3, d3,
T и ε.
Следующее равенство
∫
Q1
Lεu · (−1)p+1D2p
t u dx dt+
∫
Q2
Lεu · (−1)p+1D2p
t u dx dt
=
∫
Q1
f · (−1)p+1D2p
t u dx dt+
∫
Q2
f · (−1)p+1D2p
t u dx dt (3.7)
190 Задача сопряжения...
и оценка (23) дают третью оценку
∫
Q1
(D2p
t u)
2 dx dt+
∫
Q2
(D2p
t u)
2 dx dt ≤ N3, (3.8)
постоянная N3 в которой вновь определяется нормой функции f(x, t)
в пространстве L2(Q), числами a3, b3, c3, d3, T и ε, а также функцией
c(x, t).
Последняя оценка
∫
Q1
(D2p
t uxx)
2 dx dt+
∫
Q2
(D2p
t uxx)
2 dx dt ≤ N4 (3.9)
очевидна.
Оценки (3.4), (3.6), (3.8), (3.9) и дают возможность установить
наличие требуемых свойств множества Λ.
Непустота Λ следует из того, что число 0 принадлежит ему. Дей-
ствительно, при λ = 0 задача (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.2), (3.3) явля-
ется распадающейся, разрешимость же задач (3.1), (1.2), (1.3), (1.6),
(3.2) (λ = 0) и (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.3) (λ = 0) в прямоугольни-
ках Q1 и Q2, соответственно, легко устанавливается с помощью тех
же оценок (3.4), (3.6), (3.8), (3.9) (см. также [3]).
Покажем, что множество Λ открыто.
Пусть λ0 есть элемент множества Λ. Множество Λ будет откры-
тым, если при малой величине |λ̃| число λ0 + λ̃ также будет прина-
длежать Λ.
Для произвольной функции v(x, t) из пространства Ṽ2p рассмо-
трим задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольни-
ках Q1 и Q2 решением уравнения (3.1) и такую, что для нее выпол-
няются условия (1.2), (1.3), (1.6), а также условия
u(−0, t) = λ0a3u(+0, t) + b3ux(−0, t) + λ̃a3v(+0, t), t ∈ (0, T ), (3.10)
ux(+0, t) = c3u(+0, t) + λ0d3ux(−0, t) + λ̃d3vx(−0, t), t ∈ (0, T ).
(3.11)
Обозначим для краткости ϕ(t) = λ̃a3v(+0, t), ψ(t) = λ̃d3vx(−0, t) и
положим
∆1 = b3c3 − (λ0a3 − 1)(λ0d3 − 1),
w0(x, t) =
1
∆1
{[c3x3 − (λ0d3 − 1)x2 − c3x+ (λ0d3 − 1)]ϕ(t)
+ [(1 − λ0a3)x
3 + b3x
2 + (λ0a3 − 1)x− b3]ψ(t)}
(заметим, что вследствие условий теоремы выполняется ∆1 6= 0).
Определим функцию f̃(x, t):
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 191
f̃(x, t) = f(x, t) − Lεw0(x, t).
Рассмотрим задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоу-
гольниках Q1 и Q2 решением уравнения
Lεw = f̃(x, t) (3.12)
и такую, что для нее выполняются условия (1.2), (1.3), (1.6), (3.2),
(3.3) при λ = λ0. Заметим, что функция f̃(x, t) принадлежит про-
странству L2(Q) — это следует из принадлежности функции v(x, t)
пространству Ṽ2p. Согласно определению множества Λ, задача (3.12),
(1.2), (1.3), (1.6), (3.2), (3.3) при λ = λ0 имеет решение w(x, t), при-
надлежащее пространству Ṽ2p. Положим u(x, t) = w(x, t) + w0(x, t).
Очевидно, что функция u(x, t) принадлежит пространству Ṽ2p, и что
она является решением задачи (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.10), (3.11).
Следовательно, данная задача порождает оператор A, действующий
из пространства Ṽ2p в себя: A(v) = u. Покажем, что при малой вели-
чине |λ̃| этот оператор будет сжимающим.
Пусть выполняется f(x, t) ≡ 0. Оценки (3.4), (3.6), (3.8) и (3.9)
вместе с принадлежностью функции v(x, t) пространству Ṽ2p дают
для решений задачи (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.10), (3.11) неравенство
‖w‖
Ṽ2p
≤ C1|λ̃|‖v‖Ṽ2p
с постоянной C1, определяющейся лишь функцией h(x) и числами a3,
b3, c3, d3, T и ε. Из этого неравенства вытекает аналогичная оценка
для функции u(x, t):
‖u‖
Ṽ2p
≤ C
′
1 |λ̃|‖v‖Ṽ2p
.
Если теперь число λ̃ таково, что выполняется C
′
1 |λ̃| < 1, то оператор
A и будет сжимающим.
Итак, при малой величине |λ̃| оператор A будет сжимающим в
пространстве Ṽ2p. Следовательно, оператор A имеет в пространстве
Ṽ2p неподвижную точку u(x, t): A(u) = u. Эта неподвижная точка
представляет собой решение задачи (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.2), (3.3)
при λ = λ0 + λ̃. А это и означает, что число λ0 + λ̃ принадлежит
множеству Λ и далее — что множество Λ открыто.
Покажем теперь, что множество Λ замкнуто.
Пусть {λn} есть последовательность чисел из множества Λ такая,
что λn → λ0, un(x, t) есть решение задачи (3.1), (1.2), (1.3), (1.6), (3.2),
(3.3) при λ = λn. Семейство функций {un(x, t)} равномерно ограни-
чено в пространстве Ṽ2p. Свойство рефлексивности гильбертова про-
странства, теоремы вложения и теорема о возможности выбора из
192 Задача сопряжения...
сильно сходящейся в L2 последовательности подпоследовательности,
сходящейся почти всюду (см. [34]) означают, что существуют последо-
вательность {nm} натуральных чисел и функция u(x, t) из пространс-
тва Ṽ2p такие, что при m → ∞ имеют место сходимости unm(x, t) →
u(x, t) слабо в пространстве Ṽ2p, unm(−0, t) → u(−0, t), unm(+0, t) →
u(+0, t), unmx(−0, t) → ux(−0, t), unmx(+0, t) → ux(+0, t) почти всю-
ду на [0, T ]. Из этих сходимостей следует, что для предельной фун-
кции u(x, t) будут выполняться уравнение (1.1), а также условия (1.2),
(1.3), (1.6), (3.2), (3.3) при λ = λ0. А это и означает, что число λ0 при-
надлежит множеству Λ, и далее — что множество Λ замкнуто.
Итак, множество Λ не пусто, открыто и замкнуто, и, тем самым,
совпадает с отрезком [0, 1]. Следовательно, задача (3.1), (1.2), (1.3),
(1.6), (1.11), (1.12) при фиксированном ε имеет решение u(x, t) =
uε(x, t), принадлежащее пространству Ṽ2p. Покажем, что для семей-
ства функций {uε(x, t)} имеют место равномерные по ε априорные
оценки.
Прежде всего заметим, что для семейства {uε(x, t)} имеет место
оценка (3.4). Далее, если в равенстве (3.5) в правой части дополни-
тельно выполнить интегрирование по частям (с использованием усло-
вия ft(x, t) ∈ L2(Q)), то нетрудно получить для семейства {uε(x, t)}
оценку (3.6), но теперь с постоянной N ′
2, определяющейся нормами
функций f(x, t) и ft(x, t) в пространстве L2(Q), функцией c(x, t), а
также числами T , a3, b3, c3 и d3. Используя оценку (3.6) и равен-
ство (3.7), получим, что для семейства {uε(x, t)} имеет место следу-
ющая оценка:
∫
Q1
[
(D2p
t u
ε)2 + ε(D2p
t u
ε
x)
2
]
dx dt+
∫
Q2
[
(D2p
t u
ε)2 + ε(D2p
t u
ε
x)
2
]
dx dt ≤ N ′
3,
постоянная N ′
3 в которой определяется нормами f(x, t), ft(x, t) в про-
странстве L2(Q), функцией c(x, t), а также числами T , a3, b3, c3 и d3.
Последняя оценка
ε2
∫
Q1
(D2p
t uxx)
2 dx dt+ ε2
∫
Q2
(D2p
t uxx)
2 dx dt ≤ N ′
4
очевидна.
Из доказанных оценок, вновь свойства рефлексивности гильбер-
това пространства, теорем вложения и теоремы о возможности выбо-
ра из сильно сходящейся в L2 последовательности подпоследователь-
ности, сходящейся почти всюду, следует, что существуют последо-
вательность {εn} положительных чисел и функция u(x, t) из про-
странства V2p такие, что при n→ ∞ имеют место сходимости εn → 0,
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 193
uεn(x, t) → u(x, t) слабо в пространстве V2p, εnD
2p
t u
εn
xx(x, t) → 0 слабо
в пространстве L2(Q), uεn(−0, t) → u(−0, t), uεn(+0, t) → u(+0, t),
uεn
x (−0, t) → ux(−0, t), uεn
x (+0, t) → ux(+0, t) почти всюду на [0, T ].
Очевидно, что предельная функция u(x, t) будет решением уравне-
ния (1.1) в прямоугольниках Q1 и Q2, и что для нее будут выпол-
няться условия (1.2), (1.3), (1.6), (1.11) и (1.12). Другими словами,
функция u(x, t) будет требуемым решением задачи сопряжения I3.
Теорема доказана.
Очевидно, что совершенно аналогичным образом исследуется ра-
зрешимость задачи сопряжения I4.
Теорема 3.2. Пусть выполняются условия (E2), (E5), (E7), условие
a4 ≤ 0, b4 ≥ 0, c4 ≤ 0, d4 ≤ 0,
и пусть функция f(x, t) такова, что выполняются включения
f(x, t) ∈ L2(Q), ft(x, t) ∈ L2(Q). Тогда задача сопряжения I4 ра-
зрешима в пространстве V2p.
Перейдем теперь к обсуждению условий разрешимости задач со-
пряжения I1 и I6.
Теорема 3.3. Пусть выполняются условия (E1), (E5), (E6), условие
b1 ≤ 0, d1 ≥ 0, c1 ≥ 0, a1d1 − b1c1 ≤ 0,
и пусть функция f(x, t) такова, что выполняются включения f(x, t)
∈ L2(Q), ft(x, t) ∈ L2(Q). Тогда задача сопряжения I1 разрешима в
пространстве V2p.
Доказательство. Если выполняется d1 = 0, то из условий теоремы
следует, что либо b1, либо c1 равны нулю. Но тогда задача I1 является
распадающейся задачей, и ее разрешимость легко устанавливается.
Пусть выполняется d1 6= 0. Условия (1.7) и (1.8) в этом случае можно
преобразовать к виду
u(−0, t) =
b1
d1
u(+0, t) +
(
a1 −
b1c1
d1
)
ux(−0, t),
ux(+0, t) =
1
d1
u(+0, t) − c1
d1
ux(−0, t),
т.е. к виду условий задачи I3. Поскольку условия теоремы гарантиру-
ют выполнение условий теоремы 3.1, то преобразованная задача име-
ет решение, принадлежащее пространству V2p. Но тогда и исходная
задача I1 имеет решение, принадлежащее тому же пространству.
Теорема доказана.
194 Задача сопряжения...
Теорема 3.4. Пусть выполняются условия (E4), (E5), (E6), условие
b6 ≤ 0, c6 ≥ 0, d6 ≥ 0, a6d6 − b6c6 ≤ 0,
и пусть функция f(x, t) такова, что выполняются включения
f(x, t) ∈ L2(Q), ft(x, t) ∈ L2(Q). Тогда задача сопряжения I6 ра-
зрешима в пространстве V2p.
Доказательство этой теоремы проводится вполне аналогично до-
казательству теоремы 3.3, с тем лишь отличием, что задача I6 своди-
тся к задаче I4.
Замечание 3.1. Если в дополнение к условиям теоремы 3.3, или
же теоремы 3.4 выполняется неравенство a1d1 − b1c1 < 0, или же
соответственно неравенство a6d6 − b6c6 < 0, то задача I1 сводится
к задаче I6, соответственно задача I6 сводится к задаче I1, условия
теоремы 3.3 переходят в условия теоремы 3.4, и наоборот.
4. Дополнение
4.1. О задаче сопряжения с операторами разных порядков
Пусть p1 и p2 есть натуральные числа, L1, L2 и L — операторы,
действие которых определяется равенствами
Lju = (−1)pj+1D
2pj
t u− h(x)uxx + c(x, t)u,
Lu =
{
L1u, если (x, t) ∈ Q1,
L2u, если (x, t) ∈ Q2.
Задача сопряжения I ′: найти функцию u(x, t), являющуюся в пря-
моугольниках Q1 и Q2 решением уравнения
Lu = f(x, t) (4.1)
и такую, что для нее выполняются условия
Dk
t u(x, t)|t=0 = 0, x ∈ (−1, 0), k = 0, . . . , p1,
Dk
t u(x, t)|t=0 = 0, x ∈ (0, 1), k = 0, . . . , p2,
(4.2)
Dk
t u(x, t)|t=T = 0, x ∈ (−1, 0), k = 1, . . . , p1 − 1,
Dk
t u(x, t)|t=T = 0, x ∈ (0, 1), k = 1, . . . , p2 − 1
(4.3)
(при p1 = 1 или p2 = 1 соответствующие условия отсутствуют),
а также условия (1.4), (1.5) и (1.6).
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 195
Пусть m1 и m2 есть целые неотрицательные числа. Определим
пространство Vm1,m2 :
Vm1,m2 = {v(x, t) : v(x, t) ∈W 2,m1
2,x,t (Q1), v(x, t) ∈W 2,m2
2 (Q2)}.
Теорема 4.1. Пусть выполняется одна из групп условий (E1), (E5),
(E6), (E7), (E8), либо (E2), (E5), (E6), (E9), либо (E3), (E6), (E7),
(E10), либо (E4), (E6), (E7), (E11), (E12). Тогда задача сопряжения I ′
не может иметь в пространстве V2p1,2p2 более одного решения.
Доказательство. Рассмотрим равенство
∫
Q1
λ0 − t
h(x)
L1u · ut dx dt+
∫
Q2
λ0 − t
h(x)
L2u · ut dx dt = 0.
Интегрируя в этом равенстве по частям, используя граничные усло-
вия, а также соответствующие условия (E1), (E5), (E6), (E7), (E8) и
т.п., получим u(x, t) ≡ 0 в Q.
Теорема доказана.
4.2. О задаче сопряжения для уравнений составного типа
Фактически по ходу доказательства теорем 3.1–3.4 получены тео-
ремы существования и единственности регулярных решений для
уравнений составного типа, которые условно можно назвать “квази-
гиперболическими” — именно, для уравнений вида (3.1) при фикси-
рованном ε и для некоторых их обобщений. Как и для задачи I ′,
сформулируем и докажем лишь теорему единственности, теорему же
существования обсудим в отдельной работе.
Пусть g(x) есть определенная на отрезке [−1, 1] строго положи-
тельная функция, непрерывная на отрезках [−1, 0] и [0, 1], имеющая,
быть может, разрыв первого рода в точке 0. Далее, обозначим через
L̃ оператор, действие которого определяется равенством
L̃u = (−1)p+1D2p
t (u− g(x)uxx) − h(x)uxx + c(x, t)u,
через h̃(x), h0 и h1 обозначим соответственно функции и числа:
h̃(x) =
h(x)
g(x)
, h0 = min
−1≤x≤1
h̃(x), h11 = max
−1≤x≤0
|h̃′(x)|,
h12 = max
0≤x≤1
|h̃′(x)|, h1 = max(h11, h12).
196 Задача сопряжения...
Для функций v(x, t), принадлежащих пространству V2p и таких, что
для них выполняются условия (1.2) и (1.3), справедливы неравенства
∫
Q1
v2
t dx dt ≤ δ0
∫
Q1
(Dp
t v)
2 dx dt+M0
∫
Q1
v2 dx dt, (4.4)
∫
Q2
v2
t dx dt ≤ δ0
∫
Q2
(Dp
t v)
2 dx dt+M0
∫
Q2
v2 dx dt, (4.5)
в которых δ0 есть произвольное положительное число, число же M0
определяется числами T и δ0 [34] (см. также [3]).
Теорема 4.2. Пусть функция h̃(x) имеет ограниченную произво-
дную на отрезках [−1, 0] и [0, 1], выполняются условия
c(x, t) ∈ C1(Q), c(x, t) ≥ c0 > 0, ct(x, t) ≤ 0 при (x, t) ∈ Q, (4.6)
∃ δ0 > 0, δ1 > 0 : h0 − h1δ
2
1 > 0,
2p− 1 − h1T
2δ0
δ21
> 0, c0 −
h1T
2M0
δ21
> 0,
(4.7)
и выполняется также одна из групп условий (E1), (E5), (E7), (E8),
либо (E2), (E5), (E9), либо (E3), (E5), (E10), либо (E4), (E5), (E11),
(E12). Тогда задача сопряжения (1.2)–(1.6) для уравнения
L̃u = 0
не может иметь в пространстве Ṽ2p более одного решения.
Доказательство. Рассмотрим равенство
∫
Q1
L̃u · λ0 − t
g(x)
ut dx dt+ γ
∫
Q2
L̃u · λ0 − t
g(x)
ut dx dt = 0,
в котором число γ определяется так же, как ранее — см. доказатель-
ство теоремы 2.1. Интегрируя по частям, используя условия (E1),
(E5), (E7), (E8), либо (E2), (E5), (E9), либо (E3), (E5), (E10), либо
(E4), (E5), (E11), (E12), условие (4.6) и, наконец, при оценке интегра-
лов ∫
Q1
h̃′(x)uxut(λ0 − t) dx dt,
∫
Q2
h̃′(x)uxut(λ0 − t) dx dt
применяя неравенство Юнга, неравенства (4.4), (4.5) и используя
условие (4.7), получим оценку
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 197
∫
Q1
[(Dp
t u)
2 + u2
x + u2] dx dt+
∫
Q2
[(Dp
t u)
2 + u2
x + u2] dx dt ≤ 0.
Из этой оценки и следует u(x, t) ≡ 0 в Q.
Теорема доказана.
Существование решений задачи сопряжения для соответствующе-
го уравнения с оператором L̃ нетрудно доказать, следуя схеме дока-
зательства теорем 3.1–3.4.
4.3. Примеры неединственности
Приведем несколько примеров, показывающих, что при невыпол-
нении для чисел ai, bi, ci и di, i = 1, 4, условий теоремы 2.1 может не
быть единственности.
Пусть в уравнении (1.1) выполняется p = 2, h(x) ≡ 1, c(x, t) ≡ 0,
f(x, t) ≡ 0.
Рассмотрим задачу I1 в случае a1 = b1 = c1 = 0, d1 < 0. Очевидно,
что для решения u(x, t) этой задачи выполняется
u(x, t) ≡ 0 при (x, t) ∈ Q1.
Далее, функция u(x, t) в области Q2 есть решение уравнения
D4
t u+ uxx = 0, (4.8)
и при этом для нее должны выполняться условия
Dk
t u(x, t)
∣∣
t=0
= 0, x ∈ (0, 1), k = 0, 1, 2,
Dtu(x, t)
∣∣
t=T
= 0, x ∈ (0, 1),
u(+0, t) − d1ux(+0, t) = 0, u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ).
Будем искать функцию u(x, t) при (x, t) ∈ Q2 в виде
u(x, t) = ϕ(t)w(x),
со следующей функцией ϕ(t):
ϕ(t) = C
[
e
πnt
T cos
πnt
T
− e
πnt
T sin
πnt
T
− e−
πnt
T cos
πnt
T
− e−
πnt
T sin
πnt
T
]
,
(4.9)
C = const, n— натуральное число. Тогда функция w(x) должна пред-
ставлять собой решение задачи
198 Задача сопряжения...
w′′ − µ4w = 0, µ =
√
2πn
T
, x ∈ (0, 1),
w(0) − d1w
′(0) = 0, w(1) = 0.
Функция w(x) имеет вид
w(x) = A1e
µ2x +A2e
−µ2x;
для чисел A1 и A2 должны выполняться равенства
A1e
µ2
+A2e
−µ2
= 0,
A1(1 − µ2d1) +A2(1 + µ2d1) = 0.
(4.10)
Положим
d∗1 =
e−µ
2 − eµ
2
µ2(eµ2 + e−µ2)
.
Очевидно, что выполняется d∗1 < 0, и что существуют числа A1 и A2,
не равные нулю одновременно, являющиеся решением системы (4.10).
Но тогда функция
u(x, t) =
{
0, (x, t) ∈ Q1,
ϕ(t)w(x), (x, t) ∈ Q2,
будет представлять собой искомое нетривиальное решение одноро-
дной задачи I1 в случае a1 = b1 = c1 = 0, d1 = d∗1.
Аналогичный пример можно построить и для случая b1 = c1 =
d1 = 0, a1 > 0.
Рассмотрим теперь задачу I3 для уравнения (4.8). Пусть выпол-
няется a3 = c3 = d3 = 0, b3 > 0. Тогда для решения u(x, t) задачи I3
в случае p = 2, h(x) ≡ 1, f(x, t) ≡ 0 выполняется
u(x, t) ≡ 0 при x ∈ Q2,
D4
t u+ uxx = 0 при x ∈ Q1,
Dk
t u(x, t)
∣∣∣
t=0
= 0, x ∈ (−1, 0), k = 0, 1, 2,
Dtu(x, t)|t=T = 0, x ∈ (−1, 0),
u(−0, t) − b3ux(−0, t) = 0, u(−1, t) = 0, t ∈ (0, T ).
Функцию u(x, t) при (x, t) ∈ Q1 определим равенством
u(x, t) = ϕ(t)w(x),
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 199
в котором ϕ(t) есть определенная формулой (4.9) функция, функция
же w(x) есть решение задачи
w′′ − µ4w = 0, µ =
√
2πn
T
, x ∈ (−1, 0),
w(−1) = 0, w(0) − b3w
′(0) = 0.
Положим
b∗3 =
eµ
2 − e−µ
2
µ2(e−µ2 + eµ2)
.
Функция w(x) тогда имеет вид
w(x) = A1e
µ2x +A2e
−µ2x
с числами A1 и A2, являющимися решением системы
A1e
−µ2
+A2e
µ2
= 0,
A1(1 − µ2b∗3) +A2(1 + µ2b∗3) = 0.
Поскольку существуют числа A1 и A2, не являющиеся одновременно
нулевыми и дающие решение этой системы, то определена и нену-
левая в Q1 функция u(x, t). Тем самым определено и нетривиальное
решение однородной задачи I3, дающее искомый пример.
Аналогичные примеры нетрудно построить для задач I4 и I6.
Сделаем еще несколько замечаний.
1. Очевидно, что если в задачах I2 и I5 выполняется a2 = b2 =
c2 = d2 = 0 или a5 = b5 = c5 = d5 = 0, то получим переопределенную
задачу в прямоугольнике Q1 и недоопределенную в прямоугольнике
Q2, или наоборот (заметим, что для остальных задач ситуация aj =
bj = cj = dj = 0 допускается). В то же время очевидно, что если
одно из чисел a2, b2, c2, d2, или же a5, b5, c5, d5 отлично от нуля, то
соответствующая задача сводится к одной из рассмотренных задач I1,
I3, I4 или же I6, и тем самым условия разрешимости задач I2 и I5
нетрудно указать, используя полученные выше результаты.
2. Условия (1.6) в задачах сопряжения I, I ′ или же в соответству-
ющей задаче с оператором L̃ можно заменить условиями второй или
третьей краевых задач, или же смешанными условиями.
3. Наличие в уравнении (1.1) слагаемых с младшими произво-
дными не меняет принципиально ситуацию и вносит лишь техниче-
ские трудности.
200 Задача сопряжения...
Литература
[1] В. Н. Врагов, К теории краевых задач для уравнений смешанного типа //
Дифференц. уравнения, 13 (1977), No. 6, 1098–1105.
[2] В. Н. Врагов, О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений
смешанно-составного типа, Матем. анализ и смежные вопросы математики.
Новосибирск: Наука, 1978, c. 5–13.
[3] И. Е. Егоров, В. Е. Федоров, Неклассические уравнения математической
физики высокого порядка, Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Вычисли-
тельный Центр СО АН СССР, 1995.
[4] В. А. Ильин, П. В. Луференко, Смешанные задачи, описывающие продоль-
ные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные
плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Докл. РАН,
428 (2009), No. 1, 12–15.
[5] В. А. Ильин, П. В. Луференко, Обобщенные решения смешанных задач
для разрывного волнового уравнения при условии равенства импендансов //
Докл. РАН, 429 (2009), No. 3. 317–321.
[6] О. А. Андропова, Спектральные задачи сопряжения с поверхностной дис-
сипацией энергии // Труды ИПММ НАН Украины, 19 (2009), 10–22.
[7] В. А. Ильин, Оптимизация производимого смещением граничного управле-
ния колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков //
Дифференц. уравнения, 47 (2011), No. 7, 978–986.
[8] А. М. Рогожников, Исследование смешанной задачи, описывающей процесс
колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии сов-
падения времени прохождения волны по каждому из этих участков //
Докл. РАН, 441 (2012), No. 4. 449–451.
[9] А. А. Кулешов, Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний не-
однородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, со-
стоящего из двух участков разной плотности и упругости // Докл. РАН,
442 (2012), No. 4, 451–454.
[10] А. М. Рогожников, Исследование смешанной задачи, описывающей процесс
колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными
длинами // Докл. РАН, 444 (2012), No. 5, 488–491.
[11] И. Н. Смирнов, О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в слу-
чае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упру-
гости // Дифференц. уравн., 49 (2013), No. 5, 643–648.
[12] О. А. Ладыженская, О решении общей задачи дифракции // Докл. АН СССР,
93 (1954), 433–436.
[13] О. А. Олейник, Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и
параболического типов с разрывными коэффициентами // Известия АН СС-
СР. Серия математическая, 25 (1961), 3–20.
[14] В. А. Ильин, О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного элли-
птического оператора с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР,
137 (1961), No. 1, 28–30.
[15] В. А. Ильин, Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными
коэффициентами // Докл. АН СССР, 142 (1962), No. 1, 21–24.
А. И. Кожанов, Е. Ф. Шарин 201
[16] С. А. Терсенов, Введение в теорию уравнений параболического типа с меня-
ющимся направлением времени, Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т
математики, 1982.
[17] И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов, Неклассические дифференциально-
операторные уравнения // Новосибирск: Наука, 2000.
[18] М. М. Смирнов, Уравнения смешанного типа, М.: Наука, 1970.
[19] Т. Д. Джураев, Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-
составного типов // Ташкент: Фан, 1986.
[20] Е. И. Моисеев, Уравнения смешанного типа со спектральным параметром,
М.: МГУ, 1988.
[21] А. П. Солдатов, Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева–Бицадзе.
I. Теоремы единственности // Докл. РАН, 332 (1993), No. 6, 696–698; II.
Теоремы существования // Докл. РАН, 333 (1993), No. 1, 16–18.
[22] М. М. Хачев, Первая краевая задача для линейного уравнения смешанного
типа, Нальчик: Эльбрус, 1998.
[23] К. Б. Сабитов, Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоу-
гольной области // Докл. РАН, 413 (2007), No. 1, 23–26.
[24] О. И. Маричев, А. А. Килбас, О. А. Репин, Краевые задачи для уравнений с
частными производными с разрывными коэффициентами, Самара: Самар-
ский государственный экономический университет, 2008.
[25] О. А. Ладыженская, Л. Ступялис, Об уравнениях смешанного типа // Ве-
стник ЛГУ, (1967), No. 19, 38–46.
[26] О. А. Ладыженская, Л. Ступялис, Краевые задачи для уравнений смешанного
типа // Труды МИАН СССР, 116 (1971), No. 16, 101–136.
[27] Л. Ступялис, Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений //
Труды МИАН СССР, 125 (1973), 211–229.
[28] Е. И. Моисеев, Т. Н. Лихоманенко, Об одной нелокальной задаче для уравне-
ния Лаврентьева–Бицадзе // Докл. РАН, 446 (2012), No. 3, 256–258.
[29] К. Б. Сабитов, Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего по-
рядка в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 49 (2013), No. 2,
488–496.
[30] А. И. Кожанов, Задача сопряжения для одного класса уравнений составного
типа переменного направления, Неклассические уравнения математической
физики. Сб. научн. трудов. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002,
c. 96–109.
[31] В. В. Шубин, Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным
коэффициентом // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информа-
тика, 12 (2012), вып. 1, 126–138.
[32] S. V. Potapova, Boundary Value Problems for Pseudohyperbolic Equations with a
Variable Time Direction // TWMS. Journal of Pure and Applied Mathematics,
3 (2012), No. 1, 73–91.
[33] В. А. Треногин, Функциональный анализ, М.: Наука, 1980.
[34] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа, М.: Наука, 1973.
202 Задача сопряжения...
Сведения об авторах
Александр
Иванович
Кожанов
Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН
пр. ак. Коптюга, 4,
Новосибирский государственный
университет
ул. Пирогова, 2
630090, Новосибирск,
Россия
E-Mail: kozhanov@math.nsc.ru
Евгений
Федорович Шарин
Институт математики и информатики
Северо-Восточный федеральный
университет им. М. К. Аммосова
ул. Белинского, 58
677000, Якутск
Россия
E-Mail: eugene_sharin@mail.ru
|