Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V*
В статье предельно усилена одна теорема Sz.-Nagy и установлена еще одна связь между рядами и интегралами Фурье.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124461 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 274-286. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124461 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244612017-09-27T03:03:10Z Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* Тригуб, Р.М. В статье предельно усилена одна теорема Sz.-Nagy и установлена еще одна связь между рядами и интегралами Фурье. 2014 Article Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 274-286. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 42A38, 42A16, 42B35, 26B30. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124461 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье предельно усилена одна теорема Sz.-Nagy и установлена еще одна связь между рядами и интегралами Фурье. |
| format |
Article |
| author |
Тригуб, Р.М. |
| spellingShingle |
Тригуб, Р.М. Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* Український математичний вісник |
| author_facet |
Тригуб, Р.М. |
| author_sort |
Тригуб, Р.М. |
| title |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* |
| title_short |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* |
| title_full |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* |
| title_fullStr |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* |
| title_full_unstemmed |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* |
| title_sort |
преобразование фурье квазивыпуклых функций и функций класса v* |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124461 |
| citation_txt |
Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса V* / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 274-286. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT trigubrm preobrazovaniefurʹekvazivypuklyhfunkcijifunkcijklassav |
| first_indexed |
2025-07-09T01:28:12Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:28:12Z |
| _version_ |
1837130838305669120 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 2, 274 – 286
Преобразование Фурье квазивыпуклых
функций и функций класса V ∗
Роальд М. Тригуб
Аннотация. В статье предельно усилена одна теорема Sz.-Nagy и
установлена еще одна связь между рядами и интегралами Фурье.
2010 MSC. 42A38, 42A16, 42B35, 26B30.
Ключевые слова и фразы. Квазивыпуклость и условие V ∗, пре-
образование и ряд Фурье, алгебра абсолютно сходящихся интегралов
Фурье.
1. Введение
Положим, как обычно, для функций f : R → C (L = L1)
A(R) =
{
f : f(x) =
∞∫
−∞
g(t)e−itxdt, ‖f‖A = ‖g‖L(R) <∞
}
,
A∗(R) =
{
f : f(x) =
∞∫
−∞
g(t)e−itxdt,
‖f‖A∗ =
∞∫
0
ess sup
|t|≥x
|g(t)| dx <∞
}
.
Принадлежность A(R) существенна для мультипликаторов интегра-
лов и рядов Фурье в пространстве C и L (см. [1, гл. I и VII]). См.
также ниже теорему 5.1. Достаточные и необходимые условия при-
надлежности банаховой алгебре A(R) см. в обзорной статье [2]. Свой-
ства и применение алгебры A∗(R) см. в [3].
Статья поступила в редакцию 14.11.2013
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Р. М. Тригуб 275
Будем писать f ∈ L∗(R+), R+ = [0,+∞), если f измерима и
‖f‖L∗ =
∞∫
0
ess sup
t≥x
|f(t)| dx <∞,
и f ∈ V ∗(R+), если f ∈ ACloc(0,+∞), а
‖f‖V ∗ = ‖f ′‖L∗ =
∞∫
0
ess sup
t≥x
|f ′(t)| dx <∞.
Если еще f(+∞) = limx→+∞ f(x) = 0, то пишем f ∈ V ∗
0 (R+). Функ-
ция f ∈ V ∗(R−), если f(−x) ∈ V ∗(R+), а f ∈ V ∗(R), если f ∈
V ∗(R+) ∩ V ∗(R−) ∩ C(R) и
‖f‖V ∗(R) =
∞∫
0
ess sup
t≥x
|f ′(t)| dx <∞.
Если еще f(∞) = lim|x|→+∞ f(x) = 0, то f ∈ V ∗
0 (R).
Этот класс функций V ∗
0 (R) появился в статье A. Beurling [4], а
также в статье С. А. Теляковского [5] (при переформулировке одной
теоремы S. Sidon). Условие f ∈ V ∗ более слабое (более общее), чем
условия типа выпуклости, но более сильное, чем конечность полной
вариации (f ∈ V ). Принадлежность A(R) кусочно-выпуклых фун-
кций и разности выпуклых функций изучали B. Sz.-Nagy [6] (случай
чётных функций) и W. Trebels [7] (см. также [2, 5.6, 5.7]).
Приведем для примера теорему Секефальви–Надя.
Пусть чётная функция f ∈ C0(R) ∩ ACloc, а f ′ ∈ Vloc (исключая
точки 0 = x0 < x1 < · · · < xs). Если для некоторых 0 < δ < N < ∞
сходятся интегралы
δ∫
0
x|df ′(x)|,
∞∫
N
x|df ′(x)|,
xk+δ∫
xk−δ
|x− xk| ln
1
|x− xk|
|df ′(x)| (1 ≤ k ≤ s),
то f ∈ A(R).
В настоящей статье эта теорема обобщается и уточняется так, что
достаточные условия уже совпадают с необходимыми.
276 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
Теорема 1.1. Пусть {xk}s1 такие точки из R, что функции f(x+xk)
(1 ≤ k ≤ s) допускают продолжение с некоторой окрестности нуля,
а f — с некоторой окрестности ∞ (|x| ≥ N) до функций из V ∗
0 (R).
Тогда для того чтобы f ∈ A(R), необходимо и достаточно, чтобы
при некотором δ > 0 и N > max1≤k≤s |xk|
s∑
k=1
δ∫
0
|f(xk + t) − f(xk − t)|
t
dt+
∞∫
N
|f(t) − f(−t)|
t
dt <∞.
Сначала приведем свойства класса V ∗(R+) в сравнении с классом
функций из ACloc(R+) с условием
f ∈W (R+) = Wconv(R+) =
{
f : ‖f‖W =
∞∫
0
x|df ′(x)| <∞
}
,
которое в разных вариантах использовалось в [7] (см. также, напр.,
[2]).
2. Пространство L∗(R+)
Три свойства нормы очевидны. Проверим полноту пространства.
Очевидно, что при x > 0
x ess sup
t≥x
|f(t)| ≤
x∫
0
ess sup
t≥u
|f(t)| du, (2.1)
и значит, при любом δ > 0
‖f‖L∞[δ,+∞) = ess sup
t≥δ
|f(t)| ≤ 1
δ
‖f‖L∗ .
Если при m ≥ n и εn → 0
‖fm − fn‖L∗ ≤ εn,
то
‖fm − fn‖L∞[δ,+∞) ≤
1
δ
εn.
Но пространство L∞, как сопряженное к L, полное. Существует f ∈
L∞[δ,+∞):
‖f − fn‖L∞[δ,+∞) ≤
1
δ
εn.
Р. М. Тригуб 277
Используя лемму Фату, в неравенстве
‖fm(· + δ) − fn(· + δ)‖L∗ ≤ εn
переходим к пределу при m→ ∞, а затем δ устремляем к нулю.
Полнота доказана.
Банахово пространство L∗(R+) не является сепарабельным, т.к.
расстояние между любыми двумя функциями fy (fy(x) = 1 при x ≤
1 + y и fy(x) = 0 при x > 1 + y) не меньше единицы,если y > 0.
В этом пространстве функции, равные нулю в некоторых окре-
стностях нуля и ∞ и принимающие конечное число значений, обра-
зуют плотное множество (см. (2.1)). Но уже функцию f1, равную 1
на [0, 1] и нулю при x > 1, нельзя приблизить непрерывными, а фун-
кцию f2, равную sin 1
x−1 на (1, 2) и нулю вне (1, 2), нельзя приблизить
ступенчатыми функциями.
В отличие от L пространство L∗ рефлексивное, т.к.
sup
g:‖g‖L∗≤1
∣∣∣∣∣
∞∫
0
fg
∣∣∣∣∣ = sup
x>0
1
x
x∫
0
|f(t)| dt =: ‖f‖L0 ,
sup
f :‖f‖L0
≤1
∣∣∣∣∣
∞∫
0
fg
∣∣∣∣∣ = ‖g‖L∗ ,
(дискретный случай см. в [8, 6.4.11]).
3. Сравнение W и V ∗(R+)
Для того чтобы вещественная функция f ∈ W (R+)(W0(R+)), не-
обходимо и достаточно, чтобы f = f1−f2, где f1 и f2 выпуклы на R+
и ограничены, а значит, монотонны (и f1(+∞) = f2(+∞) = 0).
Достаточность следует из того, что если f1 выпукла и ограничена,
то (см. ниже (3.1) и (2.1))
N∫
0
x|df ′1(x)| =
∣∣∣∣∣
N∫
0
xdf ′1(x)
∣∣∣∣∣ = |Nf ′1(N) − f1(N) + f(0)| = O(1)
(N → ∞).
Как известно, выпуклая функция характеризуется тем, что она есть
интеграл от монотонной функции. Поэтому, для доказательства не-
обходимости можно положить
f1(x) =
∞∫
x
dt
∞∫
t
|df ′(t)|, f2(x) =
∞∫
x
[
f ′(t) +
∞∫
t
|df ′(t)|
]
dt− f(+∞).
278 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
При этом
0 ≤ f1(x) =
∞∫
x
(t− x)|df ′(t)| ≤
∞∫
x
t|df ′(t)|.
Далее, W (R+) ⊂ V ∗(R+). Точнее:
‖f‖V ∗(R+) ≤ 2‖f‖W (R+) + |f(0) − f(∞)|. (3.1)
То, что для f ∈ V ∗(R+) существует предел f(+∞), следует из следу-
ющего неравенства: при x2 > x1
|f(x1) − f(x2)| ≤
x2∫
x1
|f ′(x)| dx ≤
∞∫
x1
ess sup
t≥x
|f ′(x)|dx→ 0 (x1 → ∞).
Если f = f1 − f2 (см. выше), то
‖f‖V ∗ ≤ ‖f1‖V ∗ + ‖f2‖V ∗ =
∣∣∣∣∣
∞∫
0
df ′1(x) dx
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∞∫
0
df ′2(x) dx
∣∣∣∣∣
= |f1(0)| + |f2(∞) − f2(0)| = |f1(0)| + | − f(∞) − f1(0) + f(0)|
≤ 2|f1(0)| + |f(0) − f(∞)| = 2‖f‖W + |f(0) − f(∞)|.
Очевидно ещё, что если f и g ∈ V ∗(R+), то и f · g ∈ V ∗(R+).
Отметим, во-первых, разницу в поведении функций этих двух
классов в окрестности особых точек 0 и +∞.
При α и β > 0 функция
fα,β(x) = xα sin
1
xβ
(
x ∈
[
0,
1
π1/β
])
, fα,β(x) = 0
(
x >
1
π1/β
)
принадлежит V ∗
0 (R+) при 0 < β < α, а W0(R+) — только при 0 < β <
α
2 . А функция Бесселя
jλ(x) =
1∫
0
(1 − t2)λ−
1
2 cosxt dt,
если учесть ее асимптотику, как и ее производной, при x → +∞
(см. [1, гл. IV, 3.11]), принадлежит V ∗
0 (R+) при λ > 1
2 , а W0(R+) —
только при λ > 3
2 .
Как следует из (2.1), при почти всех x > 0 для f ∈ V ∗(R+)
f ′(x) = o
(1
x
)
(x→ 0), f ′(x) = O
(1
x
)
(x→ +∞).
Р. М. Тригуб 279
Поэтому f ∈ Lip 1 на [δ,+∞) при δ > 0.
И функция f ∈W (R+) принадлежит Lip 1 на любом отрезке [δ,N ]
(0 < δ < N). Но разница в том, что любую функцию из Lip 1 на
таком отрезке, очевидно, можно продолжить до функции из V ∗
0 (R+),
но не обязательно — до W (R+), т.к. не любая функция из Lip 1 имеет
односторонние производные (f(x) = (x− 1)2 sin 1
x−1 , x ∈ [1, 2]).
Еще. Расширение класса W до V ∗ в асимптотической форме тео-
ремы А ведёт к потере монотонности у функции F (см. ниже заме-
чание 5.2).
4. Доказательство теоремы 1.1
Теперь можно приступить к доказательству теоремы 1.1. Оно ос-
новано на следующем предложении об асимптотике преобразования
Фурье функций из V ∗
0 (R) (здесь и далее C — некоторая абсолютная
постоянная).
Теорема A ([9], теорема 5). Если f ∈ V ∗
0 (R), то при любом y 6= 0
и некотором θ (|θ| ≤ C)
∞∫
0
f(x)e−ixydx = − i
y
f
( π
2|y|
)
+ θF(|y|),
∞∫
0
F(y)dy ≤ ‖f‖V ∗(R).
Еще ранее такая теорема доказана для выпуклых функций ([10,
теорема 3], см. также [8, 6.4.7]).
Следствие 4.1. Если f ∈ C0(R) и f ∈ ACloc (R\{x1}) при некотором
x1 ∈ R, а
‖f(· + x1)‖V ∗(R) =
∞∫
0
ess sup
|t|≥x
|f ′(t+ x1)| dx <∞,
то
∣∣∣∣∣
∫
0≤a≤|y|≤b≤∞
∣∣f̂(y)
∣∣ dy − 2
π
2a∫
π
2b
|f(x1 + t) − f(x1 − t)|
t
dt
∣∣∣∣∣
≤ C‖f(· + x1)‖V ∗(R).
280 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
Доказательство.
f̂(y) =
∞∫
−∞
f(x)e−ixydx = e−ix1y
∞∫
−∞
f(x+ x1)e
−ixydx
= e−ix1y
( ∞∫
0
f(x+ x1)e
−ixydx+
∞∫
0
f(x1 − x)eixydx
)
и в силу теоремы А при |θ| ≤ C и
∫∞
0 |F1(y)| dy ≤ ‖f(· + x1)‖V ∗
f̂(y) = − i
y
e−ix1y
(
f
(
x1 +
π
2|y|
)
− f
(
x1 −
π
2|y|
))
+ 2θF1(|y|).
Отсюда следует, что
∣∣∣
∣∣f̂(y)
∣∣∣− 1
|y|
∣∣∣
∣∣∣f
(
x1 +
π
2|y|
)
− f
(
x1 −
π
2|y|
)∣∣∣ ≤ C|F1(|y|)|
и
∣∣∣∣∣
∫
a≤|y|≤b
∣∣f̂(y)
∣∣ dy −
∫
a≤|y|≤b
|f(x1 + π
2|y|) − f(x1 − π
2|y|)|
|y| dy
∣∣∣∣∣
≤ 2C‖f(· + x1)‖V ∗ .
Осталось учесть, что
∫
a≤|y|≤b
1
|y|
∣∣∣f
(
x1 +
π
2|y|
)
− f
(
x1 −
π
2|y|
)∣∣∣ dy
= 2
π
2a∫
π
2b
|f(x1 + t) − f(x1 − t)|
t
dt.
Доказательство теоремы 1.1. В силу условий теоремы f ∈ V (R)
(ограниченной вариации), а если f ∈ C0(R)∩V (R), то для всех x ∈ R
(см., напр., лемму 3 в [11])
f(x) =
1
2π
lim
ε1→+0
lim
ε2→+0
∫
ε1≤|y|≤ 1
ε2
f̂(y)eiyxdy.
Р. М. Тригуб 281
Так что все сводится к проверке соотношения f̂ ∈ L(R).
Положим δ = 1
3 mink 6=m |xk − xm|, считая, что с окрестности ну-
ля радиуса 2δ каждую из функций f(x + xk) можно продолжить до
функции из V ∗
0 (R).
Положим при |x− xk| ≤ δ и |x− xk| > δ, соответственно,
hk(x) = 1, hk(x) =
(
2 − 1
δ
|x− xk|
)
+
(1 ≤ k ≤ s).
Так как hk ∈ A(R) ∩ V ∗(R), как финитная функция из Lip 1, то и
fk(x) = hk(x)f(x) ∈ V ∗
0 (R) (см. п. 3).
А fk ∈ A(R) в силу следствия тогда и только тогда, когда
δ∫
0
|fk(xk + t) − fk(xk − t)|
t
dt <∞.
Но fk = f при t ∈ [0, δ], т.к. hk(xk + t) = 1. Необходимость указанных
в теореме условий в окрестностях точек {xk}, 1 ≤ k ≤ s доказана.
Представим теперь функцию f в виде
f(x) =
s∑
k=1
fk(x) + fs+1(x).
Здесь fs+1(x) = f(x) при |x| ≥ N = 2δ + maxk |xk|, а при |x| ≤ N − δ
fs+1 ∈ Lip 1. Полагаем при |x| ≥ N и |x| < N , соответственно,
hs+1(x) = 1, hs+1(x) =
1
δ
(|x| −N + δ)+.
Тогда
fs+1(x) = fs+1(x)hs+1(x) + fs+1(x)(1 − hs+1(x)).
Второе слагаемое, как финитная функция из Lip 1, принадлежит
A(R) ∩V ∗(R). А первое слагаемое в силу следствия принадлежит
A(R) тогда и только тогда, когда
∞∫
N−δ
|fs+1(x)hs+1(x) − fs+1(−x)hs+1(−x)|
x
dx <∞
или, что то же самое,
∞∫
N
|f(x) − f(−x)|
x
dx <∞.
282 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
Необходимость и достаточность указанных условий доказана.
Отметим только, что условие Lip 1 вне окрестностей точек {xk}s1
и ∞ можно заменить на Lipα, α > 1
2 , или V ∩ Lipα, α > 0 (см.,
напр., [8, 7.2]).
Замечание 4.1. Та же формула об асимптотическом поведении пре-
образования Фурье (см. теорему А) доказана в [12] для более ши-
рокого класса функций. А так как и в этом случае f ∈ V (R) и
на любом отрезке [δ,N ] f ∈ Lip 1, то теорема 1.1 справедлива и
для того класса (доказательство не меняется). В частности, получае-
тся более общий результат при замене V ∗
0 (R) на следующее условие:
f ∈ C0(R) ∩ACloc(R \ {0}) и при некотором p > 1
∞∫
0
(
1
x
∫
|t|≥x
|f ′(t)|pdt
) 1
p
<∞.
Это достаточное условие принадлежит, по сути, Г. А. Фомину
(1978) (см. [8, 7.2.9]). При p→ ∞ возвращаемся к V ∗
0 (R), а чем меньше
p, тем класс шире. Как отметил рецензент,это условие (для последо-
вательностей) появилось ранее по другому поводу в статье [14].
Замечание 4.2. Поскольку представление функции в виде абсолю-
тно сходящегося интеграла Фурье применяют для сравнения, напр.,
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, то
нужно иметь удобное достаточное условие принадлежности алгебре
A(Rd) при любой размерности d. И такие результаты есть, конечно
(см. [2]).
Например, условие f ∈ V ∗(Rd) означает, что f ∈ C0(R
d), прои-
зводные ∂f
∂x1
, ∂2f
∂x1∂2
, . . . , ∂d−1f
∂x1...∂xd−1
локально абсолютно непрерывны по
xj ∈ R (1 ≤ j ≤ d) и их пределы при |x| → ∞ равны нулю, а
‖f‖V ∗(Rd) =
∫
Rd
ess sup
|uj |≥|xj |,
1≤j≤d
∣∣∣∣
∂df(u)
∂u1 · · · ∂ud
∣∣∣∣ dx <∞.
Если f ∈ V ∗(Rd) и чётная по x1, x2, . . . , xd, то
f ∈ A∗(Rd) =
{
f : f(x) =
∫
Rd
g(y)e−i(x,y)dy,
∫
Rd
ess sup
|uj |≥|xj |
|g(u)| dx <∞
}
.
Сначала в [11, теорема 4] доказано обобщение теоремы Бёрлинга
из упомянутой в начале статьи на функции d переменных (d ≥ 2)
Р. М. Тригуб 283
(доказательство отличается от приведенного в [4]), а затем из него
получен приведенный только что результат для чётных функций.
А в статье [12] доказан и многомерный аналог теоремы А и её
обобщений.
5. Применение к рядам Фурье
Преобразования Фурье еще применяют для исследования методов
суммирования рядов Фурье: алгебру A — к вопросу сходимости и
сравнения разных линейных средних рядов Фурье, а алгебру A∗ (см.
в начале статьи) — к вопросу о сходимости в точках Лебега (см. [8, 8.1
и 7.1.11]).
Норма компактного оператора-мультипликатора {ϕ(k)} рядов
Фурье из C в C равна L(T)-норме тригонометрического ряда при
T = [−π, π] (см. [8, 7.1]).
Теорема 5.1. Если ряд
∑
k∈Zd ϕ(k)ei(k,x) является рядом Фурье фун-
кции Φ, то
1
(2π)d
∫
Td
|Φ(x)| dx = min
ϕ0
‖ϕ0‖A,
где ϕ0(k) = ϕ(k) при k ∈ Z
d.
Доказательство. Если
ϕ0(y) =
∫
Rd
g(x)e−i(x,y)dx, ‖ϕ0‖A = ‖g‖L(R) <∞,
то при k ∈ Z
d
ϕ(k) = ϕ0(k) =
∫
Rd
g(x)e−i(k,x)dx =
∑
m∈Zd
∫
Td+2πm
g(x)e−i(k,x)dx
=
∑
m∈Zd
∫
Td
g(x+ 2πm)e−i(k,x)dx =
∫
Td
e−i(k,x)g̃(x) dx,
где
g̃(x) =
∑
m∈Zd
g(x+ 2πm), ‖g̃‖L(Td) =
∫
Td
|g̃(x)| dx ≤ ‖g‖L(Rd).
Применена теорема Беппо Леви. Ряд для g̃ абсолютно сходится по-
чти всюду на T
d и возможно почленное интегрирование. У двух фун-
кций Φ и (2π)dg̃ из L(Td) одинаковые коэффициенты Фурье. Поэтому
284 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
Φ(x) = (2π)dg̃(x) почти всюду и
1
(2π)d
∫
Td
|Φ(x)| dx =
∫
Td
|g̃(x)| dx ≤
∫
Rd
|g(x)| dx = ‖ϕ0‖A.
С другой стороны, при k ∈ Z
d
ϕ(k) =
1
(2π)d
∫
Td
Φ(x)e−i(k,x)dx,
и полагаем при y ∈ R
d
ϕ0(y) =
1
(2π)d
∫
Td
Φ(x)e−i(x,y)dx, ‖ϕ0‖A =
1
(2π)d
‖Φ‖L(Td).
Теорема доказана.
Замечание 5.1. То же доказательство проходит и в более общем
случае рядов Фурье меры на торе, когда ϕ — преобразование Фурье
конечной на R
d комплекснозначной борелевской меры.
Замечание 5.2. Вернемся к сравнению V ∗ и W (R). В асимптоти-
ческой формуле теоремы А в случае выпуклых функций можно еще
считать, что F убывает на R+ (см. [8, 6.4.8.в]), а в случае более ши-
рокого класса V ∗ убывания может не быть.
Действительно. Предположим, что в теореме А можно считать,
что F всегда убывает. Тогда функции из V ∗ принадлежат A и A∗ (см.
определение в начале статьи) одновременно. Но, как доказано ранее
(см. [8, 8.1.3]), если 0 — точка Лебега функции f ∈ L(T), f(0) = 0, а
ϕ ∈ A∗(R), то
sup
f : 1
x
x∫
0
|f(t)|dt≤1
(x 6=0)
∣∣∣∣
∑
k
ϕ
(k
n
)
f̂kek
∣∣∣∣
x=0
≤ C‖ϕ‖A∗(R).
Здесь ek = eikx, а f̂k — коэффициент Фурье f .
Это верно, в частности, для всех чётных финитных функций ϕ ∈
Lip 1:
ϕ(x) = 0 (|x| ≥ 1),
∣∣∣ϕ
(k
n
)
− ϕ
(k + 1
n
)∣∣∣ ≤ 1
n
(−n ≤ k ≤ n− 1, n ∈ N).
Р. М. Тригуб 285
Но верхняя грань по таким функциям ϕ с учётом преобразования
Абеля равна (Sk(ϕ, x) — частная сумма ряда Фурье функции ϕ)
sup
∣∣∣∣
∑
ϕ
(k
n
)
f̂kek
∣∣∣∣
x=0
= sup
∣∣∣∣
∑(
ϕ
(k
n
)
− ϕ
(k + 1
n
))
Sk(ϕ, 0)
∣∣∣∣ =
1
n
n∑
k=0
|Sk(ϕ, 0)|,
а такая сумма в точке Лебега может не быть ограниченной по n, как
доказано в [13].
Благодарности. Выражаю благодарность рецензенту за ряд заме-
чаний, учтённых в статье.
Литература
[1] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про-
странствах, Мир, Москва, 1974.
[2] E. Liflyand, S. Samko and R. Trigub, The Wiener algebra of absolutely convergent
Fourier integrals: an overview // Analysis and Math. Physis, Springer, 2 (2012),
No. 1, 1–68.
[3] E. Belinsky, E. Liflyand and R. Trigub, The Banach algebra A∗ and its properti-
es // J. Fourier Anal. Appl., 3 (1997), 103–129.
[4] A. Beurling, On spectral symthesis of bounded functions // Acta Math., 81 (1949),
No. 14, 225–238.
[5] С. А. Теляковский, О достаточном условии Сидона для интегрируемости
тригонометрических рядов // Матем. зам., 14 (1973), 317–328.
[6] B. Sz.-Nagy, Sur une classe générale de procédés de sommation pour les séries de
Fourier // Acth Math. Hung., 1 (1948), No. 3, 14–52.
[7] W. Trebels, Some Fourier multiplier criteria and the spherical Bochner–Riesz
kernel // Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 20 (1975), 1173–1185.
[8] R. Trigub, E. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions, Kluwer-
Springer, 2004.
[9] Р. М. Тригуб, Мильтипликаторы рядов Фурье и приближение функций по-
линомами в пространствах C и L // Докл. АН СССР, 306 (1989), 292–296.
[10] Р. М. Тригуб, Об интегральных нормах полиномов // Матем. сб., 101 (1976),
315–333.
[11] Р. М. Тригуб, Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость
рядов Фурье и приближение полиномами функций на торе // Изв. АН
СССР, сeр. матем., 44 (1980), No. 6, 1378–1408.
[12] E. Liflyand, On asymptotics of Fourier transform for functions of certain
classes // Analysis Math., 19 (1993), 151–168.
[13] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, On the strong summability of Fourier Series //
Duke Math. J., 2 (1936), 354–381.
286 Преобразование Фурье квазивыпуклых функций...
[14] D. Borwein, Linear functionals connected with strong Cesáro summability // J.
London Math. Soc., 40 (1965), 628–634.
Сведения об авторах
Роальд
Михайлович
Тригуб
Донецкий национальный университет,
ул. Университетская 24,
Донецк, 83001
Украина
E-Mail: roald.trigub@gmail.com
|