О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары
Рассматривается начально-краевая задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары. В случае нерегулярной начальной функции устанавливаются результаты о повышении внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания начальной функции на бесконечности. Эти результаты используют...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124464 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары / М.А. Опритова, А.В. Фаминский // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 312-339. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124464 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244642017-09-27T03:02:50Z О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары Опритова, М.А. Фаминский, А.В. Рассматривается начально-краевая задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары. В случае нерегулярной начальной функции устанавливаются результаты о повышении внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания начальной функции на бесконечности. Эти результаты используются для доказательства убывания решений при больших временах. 2014 Article О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары / М.А. Опритова, А.В. Фаминский // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 312-339. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35Q53, 35B40. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124464 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается начально-краевая задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары. В случае нерегулярной начальной функции устанавливаются результаты о повышении внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания начальной функции на бесконечности. Эти результаты используются для доказательства убывания решений при больших временах. |
| format |
Article |
| author |
Опритова, М.А. Фаминский, А.В. |
| spellingShingle |
Опритова, М.А. Фаминский, А.В. О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары Український математичний вісник |
| author_facet |
Опритова, М.А. Фаминский, А.В. |
| author_sort |
Опритова, М.А. |
| title |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары |
| title_short |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары |
| title_full |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары |
| title_fullStr |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары |
| title_full_unstemmed |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары |
| title_sort |
о начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения кавахары |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124464 |
| citation_txt |
О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары / М.А. Опритова, А.В. Фаминский // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 312-339. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT opritovama onačalʹnokraevojzadačevpolupolosedlâobobŝennogouravneniâkavahary AT faminskijav onačalʹnokraevojzadačevpolupolosedlâobobŝennogouravneniâkavahary |
| first_indexed |
2025-07-09T01:28:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:28:32Z |
| _version_ |
1837130857967517696 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 3, 312 – 339
О начально-краевой задаче в полуполосе для
обобщенного уравнения Кавахары
Мария А. Опритова, Андрей В. Фаминский
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Рассматривается начально-краевая задача в полу-
полосе для обобщенного уравнения Кавахары. В случае нерегуляр-
ной начальной функции устанавливаются результаты о повышении
внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости
убывания начальной функции на бесконечности. Эти результаты ис-
пользуются для доказательства убывания решений при больших вре-
менах.
2010 MSC. 35Q53, 35B40.
Ключевые слова и фразы. Уравнение Кавахары, начально-крае-
вая задача, внутренняя регулярность решений, убывание при боль-
ших временах.
1. Введение
В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача
для обобщенного уравнения Кавахары
ut − ∂5xu+ b∂3xu+ uux + g1(t, x)ux + g0(t, x)u = f(t, x) (1.1)
при t ≥ 0, x ≥ 0 с граничными условиями
u
∣∣
t=0
= u0(x), u
∣∣
x=0
= µ(t), ux
∣∣
x=0
= ν(t) (1.2)
(b — вещественная константа). Уравнение Кавахары
ut − ∂5xu+ b∂3xu+ aux + uux = 0 (1.3)
Статья поступила в редакцию 26.02.2014
Работа выполнена в рамках Проекта 333 государственного задания Минобрнауки
РФ в сфере научной деятельности
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 313
описывает распространение длинных нелинейных волн в средах со
слабой дисперсией (см., например, [1–3]) и является модификацией
уравнения Кортевега–де Фриза
ut + uxxx + aux + uux = 0 (1.4)
на случай дисперсионного соотношения более высокого порядка.
Переход от уравнения (1.3) к уравнению (1.1) позволяет учесть до-
полнительные эффекты, в частности, связанные с неоднородностью
среды. Другой причиной рассмотрения именно уравнения (1.1) явля-
ется его инвариантность относительно замены
ũ(t, x) ≡ u(t, x)− ψ(t, x) (1.5)
для некоторой заданной функции ψ. Действительно для функции ũ
уравнение (1.1) переходит в уравнение
ũt − ∂5xũ+ b∂3xũ+ ũũx + g̃1(t, x)ũx + g̃0(t, x)ũ = f̃(t, x), (1.6)
где
g̃1 ≡ g1 + ψ, g̃0 ≡ g0 + ψx,
f̃ ≡ f − ψt + ∂5xψ − b∂3xψ − ψψx − g1ψx − g0ψ.
(1.7)
В свою очередь, преобразование (1.5) является вполне естественным
и широко используется, например, для обнуления краевых условий.
С точки зрения вопросов разрешимости и корректности для урав-
нения Кавахары наиболее изученной является задача Коши (см., на-
пример, [4–9]). Для начально-краевой задачи при x ≥ 0 с граничными
условиями (1.2) подобные результаты были получены в [10,11,13,16,
17,22]. Начально-краевая задача на ограниченном интервале рассма-
тривалась в [11,12,14,15,18–23].
Целью настоящей работы является, во-первых, изучение вопросов
повышения внутренней регулярности слабых решений задачи (1.1),
(1.2) в зависимости от скорости убывания нерегулярной начальной
функции u0 при x → +∞. Получены результаты о существовании
как обобщенных, так и непрерывных производных, причем в после-
днем случае установлены оценки этих производных в нормах Гель-
дера. При этом, рассматриваются решения, построенные ранее в ста-
тье [16]. Другой круг вопросов состоит в изучении поведения данных
решений при больших временах. Установлены результаты об их эк-
споненциальном убывании в нормах L2 при t → +∞. При этом, в
доказательстве используются полученные результаты о повышении
внутренней гладкости.
314 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Подчеркнем, что говоря здесь об обобщении уравнении Кавахары,
мы не затрагиваем вопрос о повышении степени нелинейности (см.,
например, [23]).
Символы j, k, l,m, n везде в дальнейшем обозначают неотрица-
тельные целые числа.
Для любых T > 0, δ ∈ (0, T ) и x0 ∈ R или x0 = −∞ положим
Πδ,x0T = (δ, T )× (x0,+∞), пусть ΠT = Π0,−∞
T , Π+
T = Π0,0
T .
Для p ∈ [1,+∞] положим Lp,x0 = Lp(x0,+∞), Hk
x0 = Hk(x0,+∞),
W k
p,x0 = W k
p (x0,+∞); пусть Lp = Lp,−∞, Lp,+ = Lp,0, Hk
+ = Hk
0 ,
W k
p,+ =W k
p,0.
Определим специальное весовое пространство. Для α ∈ R и x0 ∈ R
положим
Lαp,x0 = {f(x) : (1 + x− x0)
αf ∈ Lp,x0}
и введем на нем естественную норму; пусть Lαp,+ = Lαp,0, пусть Lαp =
Lp ∩ Lαp,+. Положим
λ(f ;T, δ, x0) = sup
m≥0
T∫
δ
x0+m+1∫
x0+m
f2(t, x) dx dt,
пусть λ+(f ;T ) = λ(f ;T, 0, 0).
Для α ≥ 0 введем пространство Xα(Πδ,x0T ), состоящее из функций
f(t, x) таких, что
f ∈ Cw([δ, T ];L
α
2,x0), λ(fxx;T, δ, x0) < +∞
и, если α > 0, то дополнительно
fxx ∈ L2(δ, T ;L
α−1/2
2,x0
)
(символ Cw обозначает пространство слабых отображений) с есте-
ственной нормой.
Через Ckb (I) для любого интервала I ⊂ R обозначим пространство
непрерывных ограниченных на I функций, обладающих на I непре-
рывными ограниченными производными до порядка k включительно.
Положим Ckb,+ = Ckb (R+).
Через Cb(Π
δ,x0
T ) обозначим пространство непрерывных ограничен-
ных на Π
δ,x0
T функций.
Дадим определение слабого решения рассматриваемой задачи.
Определение 1.1. Функция u(t, x) из пространства L∞(0, T ;L2,+)
называется слабым решением задачи (1.1), (1.2), если для любой
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 315
функции ϕ(t, x) такой, что ϕ ∈ L2(0, T ;H
5
+), ϕt ∈ L2(0, T ;L2,+),
ϕ|t=T = 0, ϕ|x=0 = ϕx|x=0 = ϕxx|x=0 = 0, выполняется интеграль-
ное тождество∫∫
Π+
T
[
u
(
ϕt − ∂5xϕ+ b∂3xϕ+ (g1ϕ)x − g0ϕ
)
+
1
2
u2ϕx + fϕ
]
dx dt
+
+∞∫
0
u0(x)ϕ(0, x) dx+
T∫
0
(
ν(t)∂3xϕ(t, 0)− µ(t)∂4xϕ(t, 0)
)
dt = 0. (1.8)
В работе [16] был установлен следующий результат.
Теорема 1.1. Пусть для некоторых T > 0 и α ≥ 0
g0 ∈ L1(0, T ;L∞,+), g1 ∈ L2(0, T ;W
1
∞,+),
u0 ∈ Lα2,+, f ∈ L1(0, T ;L
α
2,+),
µ ∈ H2/5(0, T ), ν ∈ H1/5(0, T ).
Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (1.2) из пространс-
тва Xα(Π+
T ). Если α ≥ 3/8, то решение из этого пространства
единственно.
Следует отметить, что условия гладкости краевых функций µ и
ν в данной теореме являются оптимальными в следующем смысле:
если v(t, x) — решение задачи Коши для линейного уравнения
vt − ∂5xv = 0, v
∣∣
t=0
= v0 ∈ L2,
то (см., например, [24]) для любого x ∈ R
∥D2/5
t v(·, x)∥L2(Rt) = ∥D1/5
t vx(·, x)∥L2(Rt) = ∥v0∥L2 .
Приведем результат настоящей статьи о повышении гладкости ре-
шения вплоть до границы x = 0 при t > 0.
Теорема 1.2. Пусть для некоторых T > 0 и α ≥ 1/2
g0 ∈ L2(0, T ;L∞,+), g1 ∈ L2(0, T ;W
1
∞,+),
u0 ∈ Lα2,+, f ∈ L2(0, T ;L
α
2,+),
µ ∈ H4/5(0, T ), ν ∈ H3/5(0, T )
и пусть для некоторого a0 > 0 и любого δ ∈ (0, T )
g0, g1 ∈ L1(δ, T ;W
2
∞,a0), fxx ∈ L1(δ, T ;L
α−1/2
2,a0
).
Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ Xα(Π+
T ) обладает следу-
ющим свойством: uxx ∈ Xα−1/2(Πδ,0T ) для любого δ ∈ (0, T ).
316 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Следующая теорема относится к повышению гладкости решения
при t > 0, x > 0.
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 для некото-
рого α ≥ 3/4 и, дополнительно, существует m ∈ [3, 4α] такое, что
для любых δ ∈ (0, T ) и x0 > 0
g0, g1 ∈ L∞(δ, T ;Wm
∞,x0), ∂lxf ∈ L1(δ, T ;L
α−l/4
2,x0
) при 3 ≤ l ≤ m.
Тогда слабое решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ Xα(Π+
T ) обладает сле-
дующим свойством: ∂lxu ∈ Xα−l/4(Πδ,x0T ) при 3 ≤ l ≤ m для любых
δ ∈ (0, T ), x0 > 0.
В случае задачи Коши результаты аналогичные теоремам 1.2 и 1.3
для самого уравнения Кавахары (1.3) получены в [25]. Ранее при бо-
лее сильных предположениях повышение гладкости решения задачи
Коши для уравнения Кавахары с ростом убывания начальной фун-
кции u0 при x→ +∞ было установлено в [26].
Перейдем к вопросу существования непрерывных производных.
Теорема 1.4. Пусть для некоторых T > 0, m, ε ∈ (0, 1) и α =
m/4+ 1/8+ ε/4 выполнены условия теоремы 1.1, а если m ≥ 2, то и
теоремы 1.2. Пусть известно, что для любых δ ∈ (0, T ), x0 > 0
g0 ∈ L∞(δ, T ;Wmax(0,m−1)
∞,x0 ), g1 ∈ L∞(δ, T ;Wmax(1,m−1)
∞,x0 ),
∂lxf ∈ L∞(δ, T ;L
α−l/4
2,x0
) при l ≤ m.
Предположим также, что для некоторой константы a функция g1
представляется в виде
g1(t, x) ≡ a+ g̃1(t, x), g̃1 ∈ L∞(δ, T ;Lβ2,x0) ∀δ ∈ (0, T ) ∀x0 > 0,
где β = −1/8− ε/4 при α < 1/4, β = −1/4 при α ≥ 1/4. Тогда слабое
решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ Xα(Π+
T ) непрерывно в Π+
T (возможно,
после изменения на множестве нулевой меры) и ∂lxu ∈ Cb(Π
δ,x0
T ) при
l ≤ m для любых δ ∈ (0, T ), x0 > 0. Более того, для любых t, τ ∈ [δ, T ],
x, y ∈ [x0,+∞) ∣∣∂mx u(t, x)− ∂my u(t, y)
∣∣ ≤ c(δ, x0)|x− y|ε (1.9)
и при j ≤ 4 если m ≥ j, то∣∣∂m−j
x u(t, x)− ∂m−j
x u(τ, x)
∣∣ ≤ c(δ, x0)|t− τ |(ε+j)/5. (1.10)
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 317
В случае задачи Коши аналогичный результат для уравнения Ка-
вахары был ранее установлен в [25].
Следует заметить, что для обобщенного уравнения Кортевега–
де Фриза в случае начально-краевой задачи в полуполосе Π+
T резуль-
таты о повышении внутренней гладкости решений аналогичные тео-
ремам 1.2–1.4 были получены в работе [27], а в случае задачи Коши —
в работах [28,29].
При рассмотрении вопроса о поведении решений уравнения Ка-
вахары при больших временах прежде всего необходимо отметить,
что для решений задачи Коши для уравнения (1.3) справедлив закон
сохранения в L2:
∥u(t, ·)∥L2 = ∥u0∥L2 , (1.11)
что исключает возможность убывания по этой норме. Аналогичный
закон сохранения справедлив и для уравнения Кортевега–де Фриза.
Чтобы построить убывающие при t→ +∞ решения в уравнение вво-
дится дополнительное “демпфирование”. В работе [30] в левую часть
уравнения (1.4) было добавлено слагаемое вида g0(x)u, где неотри-
цательная функция g0 предполагалась строго положительной только
при больших значениях x, то есть демпфирование было эффективно
только на бесконечности. В этом случае для решений задачи Коши
было получено экспоненциальное убывание в норме L2 при t→ +∞.
В случае начально-краевой задачи при x ≥ 0 с однородным крае-
вым условием Дирихле для такого же уравнения, как в [30] аналоги-
чный результат был ранее установлен в статье [31].
В настоящей работе результат аналогичный [31] получен для рас-
сматриваемой задачи.
Теорема 1.5. Пусть u0 ∈ L2,+, g0, g1 ∈ L∞(Rt+;W 2
∞,+), µ = ν ≡ 0,
f ≡ 0. Предположим также, что
2g0(t, x)− g1x(t, x) ≥ 0 ∀ t > 0 ∀x > 0, (1.12)
существуют R > 0, α0 > 0 такие, что
2g0(t, x)− g1x(t, x) ≥ α0 ∀ t > 0 ∀x > R. (1.13)
Тогда существуют положительные константы c и c0, зависящие
от ∥u0∥L2,+ , ∥g0∥L∞(Rt
+;W 2
∞,+), ∥g1∥L∞(Rt
+;W 2
∞,+) такие, что для сла-
бого решения задачи (1.1), (1.2) u ∈ Xα(Π+
T ) ∀T > 0, построенного в
теореме 1.1, справедливо неравенство
∥u(t, ·)∥L2,+ ≤ ce−c0t ∀ t ≥ 0. (1.14)
318 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Для α ≥ 0 введем вспомогательную функцию ρα:
ρα(x) ≡ (1 + x)2αe
x
1+x . (1.15)
Заметим, что 0 < ρ′α(x) ≤ cρα(x), |ρ(l)α (x)| ≤ c(l)ρ′α(x) ∀ l ≥ 2 для
любого x ≥ 0.
Через η(x) обозначим некоторую неубывающую бесконечно глад-
кую функцию такую, что η(x) = 0 при x ≤ 0, η(x) = 1 при x ≥ 1,
η(x) + η(1− x) ≡ 1.
Будем использовать следующее интерполяционное неравенство.
Пусть ψ1(x), ψ2(x) — две положительные бесконечно гладкие при
x ≥ 0 функции такие, что ψ1(x) ≤ cψ2(x), |ψ(l)
j (x)| ≤ c(l)ψj(x) ∀ l,
j = 1 и 2, для любого x ≥ 0. Пусть k – натуральное, p ∈ [2,+∞],
0 ≤ m < k. Тогда существует такая константа c = c(k, p), что для
любой функции v(x), для которой v(k)ψ1/2
1 , vψ
1/2
2 ∈ L2,+, справедливо
неравенство∥∥v(m)ψs1ψ
1/2−s
2
∥∥
Lp,+
≤ c
∥∥v(k)ψ1/2
1
∥∥2s
L2,+
∥∥vψ1/2
2
∥∥1−2s
L2,+
+
∥∥vψ1/2
2
∥∥
L2,+
,
(1.16)
где s = 2m+1
4k − 1
2kp .
Для функций, заданных на всей прямой неравенство (1.16) было
доказано в [5] (на самом деле там был рассмотрен многомерный слу-
чай). На полуоси для значений k = 1 и k = 2 оно было выведено
в [10]. В общем случае доказательство полностью аналогично.
Заметим, что условия на функции ψj выполнены для ψ1 ≡ ρ′α,
ψ2 ≡ ρα. В частности, тогда из неравенства (1.16) следует, что при
α ≥ 0, a > 0, m ≤ 1
sup
x∈[0,a]
∣∣v(m)(x)
∣∣ ≤ c
∥∥v′′(ρ′α)1/2∥∥(2m+1)/4
L2,+
∥∥vρ1/2α
∥∥(3−2m)/4
L2,+
+
∥∥vρ1/2α
∥∥
L2,+
.
(1.17)
В случае интегрирования по полуоси R+ пределы интегрирования
будем опускать. Символом χI будем обозначать характеристическую
функцию интервала I ⊂ R.
Положим x+ = max(x, 0), x− = max(−x, 0).
Статья организована следующим образом. Вопросы существова-
ния обобщенных производных рассмотрены в части 2, а непрерывных
производных — в части 3. Убывание решений при больших временах
изучается в части 4.
2. Обобщенные производные
Для доказательства теорем 1.2 и 1.3 в следующих двух леммах
установим оценки решения задачи (1.1), (1.2) при однородных крае-
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 319
вых условиях и гладких функциях f , u0, g0, g1, но зависящие только
от норм этих функций, входящих в условия теорем.
Пусть Sexp,+ — пространство бесконечно гладких при x ≥ 0 фун-
кций f(x) таких, что enxf (j)(x) ∈ L2,+ для любых n и j. Тогда если
u0 ∈ C∞
0 (R+), f ∈ C∞
0 (ΠT ), µ = ν ≡ 0, g0, g1 ∈ C∞
b (Π
+
T ) (пространс-
тво бесконечно гладких и ограниченных вместе с производными фун-
кций), то как показано в [10], существует решение задачи (1.1), (1.2)
из пространства C∞([0, T ];Sexp,+).
Лемма 2.1. Пусть α ≥ 1/2, µ = ν ≡ 0. Тогда для любых δ ∈ (0, T ),
δ′ ∈ (0, δ)
∥uxx∥Xα−1/2(Πδ,0
T )
≤ c, (2.1)
где константа c зависит от T , δ, δ′, α, a0, b, нормы u0 в Lα2,+, норм
f в L2(0, T ;L
α
2,+) и fxx в L1(δ
′, T ;L
α−1/2
2,a0
), нормы g0 в L2(0, T ;L∞,+),
нормы g1 в L2(0, T ;W
1
∞,+) и норм g0, g1 в L1(δ
′, T ;W 2
∞,a0).
Доказательство. Прежде всего заметим, что, как показано в [16],
∥u∥Xα(Π+
T ) ≤ c, (2.2)
где константа c зависит от тех же констант (кроме a0 и δ′) и норм
функций u0, f , g0, g1 в пространствах из условия теоремы 1.1.
Положим ρ(x) ≡ ρα−1/2(x), φ(t) ≡ η
(
(t−δ′)/(δ−δ′)
)
(тогда φ(t) = 0
при t ≤ δ′, φ(t) = 1 при t ≥ δ).
Умножим равенство (1.1) на 2
(
uxx(t, x)ρ(x)
)
xx
φ(t) и проинтегри-
руем по R+, тогда
d
dt
∫
u2xxρφ dx−
∫
u2xxρφ
′ dx+ 5
∫
u2xxxxρ
′φdx
+
∫
u2xxx · (3bρ′ − 5ρ′′′)φdx+
∫
u2xx · (ρ(5) − bρ′′′)φdx
+
(
u2xxxxρ+ 4uxxxxuxxxρ
′ − 3u2xxxρ
′′ + 2uxxxxuxxρ
′′ − 2uxxxuxxρ
′′′
+ u2xxρ
(4) − bu2xxxρ− bu2xxρ
′′)∣∣
x=0
φ+ 2
∫
(g1ux + g0u)(uxxρ)xxφdx
+ 2
∫
uux(uxxρ)xxφdx = 2
∫
f(uxxρ)xxφdx. (2.3)
Второй интеграл в левой части (2.3) оценивается в силу (2.2), для
оценки внеинтегральных слагаемых можно использовать неравенство
(1.17) (для v ≡ uxx и, например, a = 1). Далее, с использованием
320 О начально-краевой задаче в полуполосе...
неравенства (1.16) и свойств функции ρ (в частности, ρ′(x) ≥ const >
0 при x ∈ [0, a0]) находим, что
2
∫
g1ux(uxxρ)xxφdx = 2
∫
g1ux(uxxρ)xxη(a0 + 1− x)φdx
+ 2
∫ (
g1η(x− a0)
)
xx
uxuxxρφ dx+ 3
∫ (
g1η(x− a0)
)
x
u2xxρφ dx
−
∫
g1η(x− a0)u
2
xxρ
′φdx
≥ −c
( a0+1∫
0
(u2xxxx + u2xx)φdx
)1/2
sup
x≥0
|g1|
( a0+1∫
0
(u2xx + u2)φdx
)1/2
− c sup
x≥a0
(
|g1|+ |g1x|+ |g1xx|
) +∞∫
a0
(u2xx + u2)ρφ dx
≥ −ε
∫
u2xxxxρ
′φdx− c(ε)
(
∥g1∥2L∞,+
+ ∥g1∥W 2
∞,a0
) ∫
(u2xx + u2)ρφ dx,
(2.4)
где ε > 0 может быть выбрано сколь угодно малым. Интегралы от
функций g0(uxxρ)xxφ и f(uxxρ)xxφ оцениваются аналогично. Далее,
2
∫
uux(uxxρ)xxφdx = 5
∫
uxu
2
xxρφ dx−
∫
uu2xxρ
′φdx. (2.5)
Используя неравенство (1.16) при p = +∞, k = 2, m = 1 и уже
известную оценку (2.2) находим, что∣∣∣∫ uxu
2
xxρφ dx
∣∣∣ ≤ sup
x≥0
|ux|
∫
u2xxρφ dx
≤ c
(∫
u2xx dx
)3/8(∫
u2 dx
)1/8 ∫
u2xxρφ dx
= γ(t)
∫
u2xxρφ dx, (2.6)
где ∥γ∥L1(0,T ) ≤ c. Аналогично оценивается интеграл от функции
uu2xxρ
′φ.
Таким образом, из неравенства (2.3) следует, что
∥uxxφ1/2∥
L∞(0,T ;L
α−1/2
2,+ )
+ ∥uxxxx(ρ′)1/2φ1/2∥L2(Π
+
T ) ≤ c. (2.7)
В частности,
∥uxxxxφ1/2∥
L2
(
(0,T )×(0,a0+3)
) ≤ c (2.8)
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 321
и, если α > 1/2, то поскольку ρ′α−1/2 ∼ ρα−1
∥uxxxxφ1/2∥L2(0,T ;L
α−1
2,+ ) ≤ c. (2.9)
Осталось оценить величину λ(uxxxx;T, δ, 0). Для любого m ≥ a0+
2 положим ρ(x) ≡ ρ0(x − m) при x > m − 1 и ρ(x) ≡ 0 при x ≤
m − 1 (заметим, что ρ — бесконечно гладкая функция). Тогда из
соответствующих аналогов равенств (2.3) и (2.5) находим, что
d
dt
∫
u2xxρφ dx−
∫
u2xxρφ
′ dx+ 5
∫
u2xxxxρ
′φdx
+
∫
uxxxxuxx · (5ρ′′′ − 3bρ′)φdx+
1
2
∫
u2xx · (bρ′′′ − 3ρ(5))φdx
+
∫
(3g1xρ− g1ρ
′)u2xxφdx+ 2
∫
g1xxuxuxxρφ dx
+ 2
∫
(g0u)xxuxxρφ dx+ 5
∫
uxu
2
xxρφ dx−
∫
uu2xxρ
′φdx
= 2
∫
fxxuxxρφ dx. (2.10)
Поскольку |ρ′′′(x)| ≤ c(ρ′(x))1/2 (проверяется непосредственно), то
для сколь угодно малого ε > 0∣∣∣∫ uxxxxuxxρ
′′′φdx
∣∣∣ ≤ ε
∫
u2xxxxρ
′φdx+ c(ε)
∫
u2xxφdx (2.11)
и тогда с учетом оценок (2.2) и (2.7) при α = 1/2 аналогично (2.8)
находим, что равномерно по m
∥uxxxxφ1/2∥
L2
(
(0,T )×(m,m+1)
) ≤ c. (2.12)
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть α ≥ 3/4, 3 ≤ m ≤ 4α. Тогда для любых δ ∈ (0, T ),
δ′ ∈ (0, δ), x0 > 0, x′0 ∈ (0, x0) если 3 ≤ l ≤ m, то
∥∂lxu∥Xα−l/4(Π
δ,x0
T )
≤ c, (2.13)
где константа c зависит от тех же величин, что в (2.1), а также
m, x0, x′0, норм ∂lxf в L1(δ
′, T ;L
α−l/4
2,x′0
) при l ≤ m и норм g0, g1 в
L∞(δ′, T ;Wm
∞,x′0
).
322 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Доказательство. Вначале заметим, что оценки (2.1), (2.2) справе-
дливы и в данном случае. Кроме того, поскольку α > 1/2, то из
интерполяционного неравенства (1.16) следует, что
∥ux∥Xα−1/4(Πδ,0
T )
≤ c. (2.14)
Применим индукцию по l. Пусть δ1 ∈ (δ′, δ), x1 ∈ (x′0, x0). Поло-
жим φ(t) ≡ η
(
(t − δ1)/(δ − δ1)
)
, ρ(x) ≡ ρα−l/4(x − x1 − 1) при x > x1
и ρ(x) ≡ 0 при x ≤ x1.
Умножив равенство (1.1) на 2(−1)l∂lx
(
∂lxu(t, x)ρ(x)
)
φ(t) и проин-
тегрировав по R+ получим аналогично (2.10), что
d
dt
∫
(∂lxu)
2ρφ dx−
∫
(∂lxu)
2ρφ′ dx+ 5
∫
(∂l+2
x u)2ρ′φdx
+
∫
∂l+2
x u∂lxu · (5ρ′′′ − 3bρ′)φdx+
1
2
∫
(∂lxu)
2 · (bρ′′′ − 3ρ(5))φdx
+ 2
∫
∂lx(g1ux + g0u+ uux)∂
l
xuρφdx = 2
∫
∂lxf∂
l
xuρφdx. (2.15)
Вместо (2.11) используем неравенство∣∣∣∫ ∂l+2
x u∂lxuρ
′′′φdx
∣∣∣ ≤ ε
∫
(∂l+2
x u)2ρ′φdx
+ c(ε)
∫
(∂lxu)
2ρ(x+ x1 − x′0)χ(x1,+∞)φdx.
Далее,
2
∫
∂lx(g1ux)∂
l
xuρφdx =
∫
[(2l − 1)g1xρ− g1ρ
′](∂lxu)
2φdx
+ 2
l∑
k=2
Ckl
∫
∂kxg1∂
l−k+1
x u∂lxuρφdx
и тогда∣∣∣2∫ ∂lx(g1ux)∂
l
xuρφdx
∣∣∣
≤ c∥g1∥W l
∞,x1
l∑
k=0
∫
(∂kxu)
2ρ(x+ x1 − x′0)χ(x1,+∞)φdx.
Аналогично оценивается интеграл от ∂lx(g0u)∂lxuρφ. Наконец,
∂lx(uux) = u∂l+1
x u+ (l + 1)ux∂
l
xu+
l−1∑
k=2
Ckl ∂
k
xu∂
l+1−k
x u,
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 323
где
2
∫
u∂lxu∂
l+1
x uρφdx = −
∫
(uxρ+ uρ′)(∂lxu)
2φdx
и тогда∣∣∣∫ (u∂l+1
x u+ (l + 1)ux∂
l
xu
)
∂lxuρφdx
∣∣∣
≤ c sup
x≥0
(
|ux|+ |u|
) ∫
(∂lxu)
2ρ(x+ x1 − x′0)χ(x1,+∞)φdx ≡ γ(t),
где ∥γ∥L1(0,T ) ≤ c. Кроме того, если 2 ≤ k ≤ l−1, то в силу индуктив-
ного предположения и интерполяционного неравенства (1.16)
∣∣∣∫ ∂kxu∂
l+1−k
x u∂lxuρφdx
∣∣∣
≤ c
l−1∑
k=2
(∫
(∂kxu)
4ρ2(x+x1−x′0)χ(x1,+∞)φdx
)1/2(∫
(∂lxu)
2ρφ dx
)1/2
≤ c1
l∑
k=0
∫
(∂kxu)
2ρ(x+ x1 − x′0)χ(x1,+∞)φ
1/2 dx
[ ∫
(∂lxu)
2ρφ dx+ 1
]
≡ γ(t)
[ ∫
(∂lxu)
2ρφ dx+ 1
]
,
где ∥γ∥L1(0,T ) ≤ c.
Таким образом, аналогично (2.7) из (2.15) следует, что
∥∂lxuφ1/2∥
L∞(0,T ;L
α−l/4
2,+ )
+ ∥∂l+2
x u(ρ′)1/2φ1/2∥L2(Π
+
T ) ≤ c. (2.16)
Далее, повторив проведенные рассуждения для ρ(x) ≡ ρ0(x−x1−1−
m) при x > x1 +m и ρ(x) ≡ 0 при x ≤ x1 +m находим, что
λ(∂l+2
x u;T, δ, x0) ≤ c. (2.17)
Объединяя (2.16) и (2.17) завершаем доказательство леммы.
Перейдем к доказательству основных результатов этой части.
Доказательство теорем 1.2 и 1.3. Обнулим краевые условия таким
же способом, что и в работе [16]. Для этого рассмотрим алгебраиче-
ское уравнение
r5 − br3 − iλ = 0, λ ∈ R \ {0}.
324 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Нетрудно видеть, что существует λ0(b) > 0 (без ограничения общно-
сти будем считать далее, что λ0 ≥ 1) такое, что при |λ| ≥ λ0 су-
ществуют два корня этого уравнения r0(λ) и r1(λ) такие, что они
непрерывны по λ и для некоторых положительных констант c̃ и c̃1
при k = 0 и 1
Re rk(λ) ≤ −c̃|λ|1/5, |rk(λ)| ≤ c̃1|λ|1/5, |r0(λ)− r1(λ)| ≥ c̃|λ|1/5.
Разобьем функции µ и ν на две части следующим способом: положим
µ0(t) ≡ F−1
[
µ̂(λ)χ(−λ0,λ0)(λ)
]
(t), ν0(t) ≡ F−1
[
ν̂(λ)χ(−λ0,λ0)(λ)
]
(t)
(здесь и далее символы f̂ ≡ F [f ] и F−1[f ] используются, соответ-
ственно, для обозначения прямого и обратного преобразований Фу-
рье),
µ1(t) ≡ µ(t)− µ0(t), ν1(t) ≡ ν(t)− ν0(t).
Для функций µ1 и ν1 при x > 0 построим "граничный потенциал”:
J(t, x;µ1, ν1) ≡ F−1
t
[r1(λ)er0(λ)x − r0(λ)e
r1(λ)x
r1(λ)− r0(λ)
µ̂1(λ)
]
(t)
+ F−1
t
[er1(λ)x − er0(λ)x
r1(λ)− r0(λ)
ν̂1(λ)
]
(t).
Свойства этой функции были изучены в [16]. В частности, если µ1 ∈
H4/5(R), ν1 ∈ H3/5(R), то
J ∈ Cb(Rt;H2
+) ∩ L2(Rt;C3
b,+) ∂jxJ ∈ Cb(R
x
+;L2(Rt)) при j ≤ 4
(символ Cb обозначает пространство непрерывных и ограниченных
отображений). Кроме того, функция J бесконечно гладкая при x >
0 и экспоненциально быстро убывает при x → +∞, а именно, для
некоторой константы α0 > 0 при любых α ∈ [0, α0), x0 > 0 и m, j
sup
x≥x0,t∈R
eαx|∂mt ∂jxJ(t, x)| ≤ c(α, x0,m, j).
Наконец, функция J при x > 0 удовлетворяет однородному линейно-
му уравнению
Jt − ∂5xJ + b∂3xJ = 0
и J(·, 0 + 0) ≡ µ1, Jx(·, 0 + 0) ≡ ν1.
Теперь построим вспомогательную функцию ψ следующим обра-
зом:
ψ(t, x) ≡ µ0(t)η(1− x) + ν0(t)xη(1− x) + J(t, x;µ1, ν1),
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 325
сделаем замену (1.5) и для функции ũ перейдем к начально-краевой
задаче для уравнения (1.6) с граничными данными
ũ
∣∣
t=0
= ũ0(x) ≡ u0(x)− ψ(0, x), ũ
∣∣
x=0
= ũx
∣∣
x=0
= 0.
В силу приведенных свойств граничного потенциала функции g̃0, g̃1,
f̃ , заданные формулами (1.7), и функция ũ0 обладают теми же свой-
ствами, что и функции g0, g1, f и u0 из условий рассматриваемых те-
орем. Более того, если свойства решений, сформулированные в этих
теоремах, доказать для функции ũ, то они также будут выполнены и
для функции u.
Таким образом, далее доказательство можно проводить для за-
дачи (1.1), (1.2) при µ = ν ≡ 0. Приблизим функции u0, f , g0, g1
функциями u0h ∈ C∞
0 (R+), fh ∈ C∞
0 (Π+
T ), g0h, g1h ∈ C∞
b (Π
+
T ) и для
соответствующих гладких решений uh получим равномерные по h
оценки (2.1) и (2.13). В статье [16] показано, что при h→ +0 эти ре-
шения сходятся в соответствующем смысле к слабому решению исхо-
дной задачи u ∈ Xα(Π+
T ). Тогда предельным переходом получаем
утверждения рассматриваемых теорем.
3. Непрерывные производные
Фундаментальное решение оператора ∂t − ∂5x + b∂3x + a∂x (где a —
число из условия теоремы 1.4), очевидно, задается формулой
Ga,b(t, x) = θ(t)F−1
[
eit(ξ
5+bξ3−aξ)](x), (3.1)
где θ — функция Хевисайда (см., например, [32, стр. 200–201]).
Лемма 3.1. Функция Ga,b бесконечно дифференцируема при t > 0 и
для любых T > 0 и n при 0 < t ≤ T удовлетворяет неравенствам
|∂nxGa,b(t, x)| ≤
{
c(T, a, b, n)t−q(n)(1 + |x|)n/4−3/8, x < 0,
c(T, a, b, n)t−(n+1)/5e−c0x
5/4t−1/4
, x ≥ 0,
(3.2)
где q(n) = (n+1)/5 при n = 0 или n = 1 и q(n) = n/4+1/8 при n ≥ 2,
c(T, a, b, n), c0 — положительные константы.
Доказательство. Поскольку Ga,b(t, x) = G0,b(t, x− at), то утвержде-
ние леммы вытекает из [25, следствие 2.1], где оно было доказано для
случая a = 0.
326 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Лемма 3.2. Пусть функция F1 ∈ L∞(0, T ;Lα2 ) , где α = n/4+ 1/8+
ε/4 для некоторых T > 0, n ∈ [0, 2] и ε ∈ (0, 1). Положим
w1(t, x) ≡
t∫
0
∫
R
∂nxGa,b(t− τ, x− y)F1(τ, y) dy dτ. (3.3)
Тогда w1 ∈ Cb(Π
+
T ), причем
sup
t∈[0,T ],
x≥0
|w1(t, x)|+ sup
t∈[0,T ],
x1>x2≥0
|w1(t, x1)− w1(t, x2)|
(x1 − x2)ε
≤ c∥F1∥L∞(0,T ;Lα
2 )
, (3.4)
где c = c(T, a, b, n, ε).
Доказательство. Для x ≥ 0 и t ∈ [0, T ] в силу (3.2)
|w1(t, x)| ≤ c
t∫
0
1
(t− τ)q(n)
+∞∫
x
(y − x+ 1)n/4−3/8|F1(τ, y)| dy dτ
+ c
t∫
0
1
(t− τ)(n+1)/5
x∫
−∞
e−c0(x−y)
5/4(t−τ)−1/4 |F1(τ, y)| dy dτ
≤ c1 sup
0≤τ≤t
[( +∞∫
x
(y − x+ 1)2αF 2
1 (τ, y) dy
)1/2
+
x∫
−∞
F 2
1 (τ, y) dy
]
≤ c2∥F1∥L∞(0,T ;Lα
2 )
.
Более того, если ∆x ∈ (0, 1), то для r > 0 поскольку q(n), q(n+1) < 1
∣∣∣∣∣
t∫
0
+∞∫
x+r
∂nxGa,b(t− τ, x+ θ∆x− y)
∣∣∣θ=1
θ=0
F1(τ, y) dy dτ
∣∣∣∣∣
≤ c
t∫
0
1
(t− τ)q(n)
+∞∫
x+r
(y − x+ 1)n/4−3/8|F1(τ, y)| dy dτ
≤ c1(r + 1)n/4+1/8−α∥F1∥L∞(0,T :Lα
2 )
,
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 327
∣∣∣∣∣
t∫
0
x+r∫
−∞
∂nxGa,b(t− τ, x+ θ∆x− y)
∣∣∣θ=1
θ=0
F1(τ, y) dy dτ
∣∣∣∣∣
= ∆x
∣∣∣∣∣
1∫
0
t∫
0
x+r∫
−∞
∂n+1
x Ga,b(t− τ, x+ θ∆x− y)F1(τ, y) dy dτ dθ
∣∣∣∣∣
≤ c∆x
t∫
0
1
(t− τ)q(n+1)
x+r∫
x
(y − x+ 1)n/4−1/8|F1(τ, y)| dy dτ
+
1
(t− τ)(n+2)/5
x∫
−∞
e−c0(x−y)
5/4(t−τ)−1/4 |F1(τ, y)| dy dτ
≤ c1∆x(r + 1)n/4+3/8−α∥F1∥L∞(0,T ;Lα
2 )
и выбирая (r + 1) = (∆x)−4 завершаем доказательство леммы.
Лемма 3.3. Пусть функция F2 ∈ L∞(0, T ;Lα0
1 ), где α0 = (n/4 −
1/8 + ε/4)+ для некоторых T > 0, n ∈ [0, 1] и ε ∈ (0, 1). Положим
w2(t, x) ≡
t∫
0
∫
R
∂n+1
x Ga,b(t− τ, x− y)F2(τ, y) dy dτ. (3.5)
Тогда w2 ∈ Cb(Π
+
T ), причем
sup
t∈[0,T ],
x≥0
|w2(t, x)|+ sup
t∈[0,T ],
x1>x2≥0
|w2(t, x1)− w2(t, x2)|
(x1 − x2)ε
≤ c∥F2∥L∞(0,T ;L
α0
1 ), (3.6)
где c = c(T, a, b, n, ε).
Доказательство. Для x ≥ 0 и t ∈ [0, T ] в силу (3.2)
|w2(t, x)| ≤ c
t∫
0
1
(t− τ)q(n+1)
+∞∫
x
(y − x+ 1)n/4−1/8|F2(τ, y)| dy dτ
+ c
t∫
0
1
(t− τ)(n+2)/5
x∫
−∞
e−c0(x−y)
5/4(t−τ)−1/4 |F2(τ, y)| dy dτ
≤ c2∥F2∥L∞(0,T ;L
α0
1 ),
328 О начально-краевой задаче в полуполосе...
а для ∆x ∈ (0, 1) и r > 0 поскольку q(n+ 1), q(n+ 2) < 1
∣∣∣∣∣
t∫
0
+∞∫
x+r
∂n+1
x Ga,b(t− τ, x+ θ∆x− y)
∣∣∣θ=1
θ=0
F2(τ, y) dy dτ
∣∣∣∣∣
≤ c
t∫
0
1
(t− τ)q(n+1)
+∞∫
x+r
(y − x+ 1)n/4−1/8|F2(τ, y)| dy dτ
≤ c1(r + 1)−ε/4∥F2∥L∞(0,T :L
α0
1 ),
∣∣∣∣∣
t∫
0
x+r∫
−∞
∂n+1
x Ga,b(t− τ, x+ θ∆x− y)
∣∣∣θ=1
θ=0
F2(τ, y) dy dτ
∣∣∣∣∣
= ∆x
∣∣∣∣∣
1∫
0
t∫
0
x+r∫
−∞
∂n+2
x Ga,b(t− τ, x+ θ∆x− y)F2(τ, y) dy dτ dθ
∣∣∣∣∣
≤ c∆x
t∫
0
1
(t− τ)q(n+2)
x+r∫
x
(y − x+ 1)n/4+1/8|F2(τ, y)| dy dτ
+
1
(t− τ)(n+3)/5
x∫
−∞
e−c0(x−y)
5/4(t−τ)−1/4 |F2(τ, y)| dy dτ
≤ c1∆x(r + 1)(1−ε)/4∥F2∥L∞(0,T ;L
α0
1 )
и опять для завершения доказательства выбираем (r + 1) = (∆x)−4.
Лемма 3.4. Пусть для некоторых T > 0 и x0 > 0 функция F3 ∈
L1(ΠT ), причем F3 = 0 при x ≥ x0/2. Положим для любого n при
x ≥ x0
w3(t, x) ≡
t∫
0
∫
R
∂nxGa,b(t− τ, x− y)F3(τ, y) dy dτ. (3.7)
Тогда ∂lxw3 ∈ Cb(Π
0,x0
T ) для любого l, причем
sup
t∈[0,T ],
x≥x0
|∂lxw3(t, x)| ≤ c(T, x0, a, b, n, l)∥F3∥L1(ΠT ). (3.8)
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 329
Доказательство. Поскольку в формуле (3.7) интегрирование по y
фактически производится от −∞ до x0/2, то x− y ≥ x0/2 и тогда
∂lxw3(t, x) ≡
t∫
0
x0/2∫
−∞
∂n+lx Ga,b(t− τ, x− y)F3(τ, y) dy dτ,
где в силу (3.2)
∣∣∂n+lx Ga,b(t− τ, x− y)
∣∣ ≤ c(T, x0, a, b, n, l).
Теперь можно перейти к доказательству основной теоремы.
Доказательство теоремы 1.4. Зафиксируем δ ∈ (0, T ) и x0 > 0. По-
ложим φ(t) ≡ η(2t/δ − 1), ψ(x) ≡ η(4x/x0 − 1) (тогда φ(t) = 0 при
t ≤ δ/2, φ(t) = 1 при t ≥ δ, ψ(x) = 0 при x ≤ x0/4, ψ(x) = 1 при
x ≥ x0/2).
Пусть вначале m ≤ 1. Положим v(t, x) ≡ u(t, x)φ(t)ψ(x). Тогда
согласно равенству (1.8) функция v является в ΠT слабым решением
(в смысле аналогичного интегрального тождества) задачи Коши
vt − ∂5xv + b∂3xv + avx = F1 + F2x + F31 + F32xx, (3.9)
v
∣∣
t=0
= 0, (3.10)
где
F1 ≡ (f + g1xu− g0u)φψ + uφ′ψ,
F2 ≡ −(u2/2 + g̃1u)φψ,
F31 ≡ (u2/2 + g1u)φψ
′ − 5uxxφψ
′′′ − 5uxφψ
(4) − uφψ(5)
+ 3buxxφψ
′ + 3buxφψ
′′ + buφψ′′′,
F32 ≡ −5uxxφψ
′.
С помощью фундаментального решения Ga,b (см. (3.1)) обратим ле-
вую часть равенства (3.9):
v(t, x) =
t∫
0
∫
R
Ga,b(t− τ, x− y)
(
F1(τ, y) + F31(τ, y)
)
dy dτ
+
t∫
0
∫
R
∂xGa,b(t− τ, x− y)F2(τ, y) dy dτ
+
t∫
0
∫
R
∂2xGa,b(t− τ, x− y)F32(τ, y) dy dτ (3.11)
330 О начально-краевой задаче в полуполосе...
(обоснование формулы (3.11) будет дано ниже). Тогда при t ∈ [δ, T ],
x ≥ x0
∂mx u(t, x) =
t∫
0
∫
R
∂mx Ga,b(t− τ, x− y)F1(τ, y) dy dτ
+
t∫
0
∫
R
∂m+1
x Ga,b(t− τ, x− y)F2(τ, y) dy dτ
+
t∫
0
∫
R
[
∂mx Ga,b(t−τ, x−y)F31(τ, y)+∂
m+2
x Ga,b(t−τ, x−y)F32(τ, y)
]
dy dτ
≡ w1(t, x) + w2(t, x) + w3(t, x). (3.12)
Очевидно, что для функций w1 и w3 выполнены условия лемм 3.2
(при n = m) и 3.4 соответственно. Кроме того, для α0 = (α−1/4)+ =
(m/4− 1/8 + ε/4)+
∫
|g̃1u|(1+x)α0ψ dx ≤
( +∞∫
x0/4
(1+x)2αu2 dx
)1/2( +∞∫
x0/4
(1+x)2β g̃21 dx
)1/2
(3.13)
и, следовательно, g̃1uφψ ∈ L∞(0, T ;Lα0
1 ). Поскольку очевидно, что
u2ψ ∈ L∞(0, T ;Lα0
1 ) получаем. что функция w2 удовлетворяет усло-
виям леммы 3.3 при n = m.
Заметим теперь, что если применить операцию усреднения по пе-
ременной x, то соответствующая функция vh(t, x) будет решением
задачи типа (3.9), (3.10), где правая часть (3.9) также усреднена. То-
гда в силу [25, Лемма 3.2] справедливо равенство
vh(t, x) =
t∫
0
∫
R
Ga,b(t− τ, x− y)
[
F h1 (τ, y) + F h2x(τ, y) + F h31(τ, y)
+ F h32xx(τ, y)
]
dy dτ, (3.14)
поскольку усредненная правая часть (3.9), очевидно, принадлежит
L∞(0, T ;L
1/8+ε/4
2 ). Интегрируя по частям перейдем от (3.14) к ана-
логу равенства (3.11) для функции vh и, сделав предельный переход
при h→ +0, получим (3.11).
Пусть теперьm ≥ 2. Положим v(t, x) ≡ ∂m−2
x u(t, x)φ(t)ψ(x). Тогда
функция v является в полосе ΠT слабым решением задачи Коши для
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 331
уравнения
vt − ∂5xv + b∂3xv + avx = F1 + F2 + F31 + F32xx (3.15)
с начальным условием (3.10), где
F1 ≡ ∂m−2
x (f − g0u)φψ −
[
∂m−2
x (g̃1ux)− g̃1∂
m−1
x u
]
φψ + ∂m−2
x uφ′ψ,
F2 ≡ −∂m−2
x (uux)φψ − g̃1∂
m−1
x uφψ,
F31 ≡ −5∂mx uφψ
′′′ − 5∂m−1
x uxφψ
(4) − ∂m−2
x uφψ(5)
+ 3b∂mx uφψ
′ + 3b∂m−1
x uφψ′′ + b∂m−2
x uφψ′′′ + a∂m−2
x uφψ′,
F32 ≡ −5∂mx uφψ
′.
Тогда аналогично (3.11), (3.12) получаем, что при t ∈ [δ, T ], x ≥ x0
∂mx u(t, x) =
t∫
0
∫
R
∂2xGa,b(t− τ, x− y)F1(τ, y) dy dτ
+
t∫
0
∫
R
∂2xGa,b(t− τ, x− y)F2(τ, y) dy dτ
+
t∫
0
∫
R
[
∂2xGa,b(t− τ, x− y)F31(τ, y)+∂
4
xGa,b(t− τ, x− y)F32(τ, y)
]
dy dτ
≡ w1(t, x) + w2(t, x) + w3(t, x).
Заметим, что в силу условия теоремы ∂lxu ∈ L∞(δ/2, T ;L
α−l/4
2,x0/4
) при
l ≤ m − 1. В частности, g̃1∂m−1
x uφψ ∈ L∞(0, T ;L
1/8+ε/4
1 ) аналоги-
чно (3.13). Очевидно, что таким же свойством обладает и функция
∂m−2
x (uux)φψ.
Таким образом, для функций wj выполнены условия леммы 3.2
при n = 2, леммы 3.3 при n = 1 и леммы 3.4.
В итоге получаем, что ∂mx u ∈ Cb(Π
δ,x0
T ) для любого m и справе-
дливо неравенство (1.9).
Теперь перейдем к оценке модуля непрерывности по t. После то-
го, как модуль непрерывности по x уже оценен, можно применить
результаты статьи [33], в которой рассмотрены эволюционные урав-
нения дивергентного вида.
Введем последовательности прямоугольников Qn = [δ, T ]×[x0+n,
x0 + n+ 1] и Q′
n = [δ, T ]× [x0/2 + n, 3x0/2 + n+ 1].
332 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Чтобы доказать (1.10) используем индукцию по j. Пусть сначала
j = 0. В каждом прямоугольнике Q′
n функция v ≡ ∂mx u является
обобщенным решением уравнения
vt = ∂5x(∂
m
x u)− b∂3x(∂
m
x u)−
(
∂mx (u2)/2
)
x
− ∂m−m0+1
x
[
∂m0
x (g1u)
]
+ ∂m−m0
x
[
∂m0
x (g1xu− g0u)
]
+ ∂mx f,
где m0 = 0 при m ≤ 1, m0 = m− 2 при m ≥ 2.
Тогда функции ∂mx u, ∂mx (u2), ∂m0
x (g1u), ∂m0
x (g1xu − g0u) в норме
пространства L∞(Q′
n) и ∂mx f в норме пространства L2(Q
′
n) оцени-
ваются равномерно по n. С учетом уже установленной оценки (1.9)
из результатов статьи [33, теорема 1] следует, что для любых точек
(t, x), (t+ τ, x) ∈ Qn (где τ > 0)
|v(t+ τ, x)− v(t, x)| ≤ c inf
0<h<x0/2
(hε + τhε−5 + τ1/2h−1/2),
откуда выбирая h = min(τ1/5, x0/2) выводим неравенство (1.10) для
j = 0.
Пусть теперь j ≥ 1 (тогда m ≥ 1). Функция v ≡ ∂m−j
x u является
в Q′
n обобщенным решением уравнения
vt = ∂5−jx (∂mx u)− b∂(3−j)+x (∂m−(3−j)−
x u)− ∂m−j
x (uux)
− ∂m−j
x (g1ux + g0u) + ∂m−j
x f.
Поскольку по индуктивному предположению при (t, x), (τ, x) ∈ Q′
n
справедливо неравенство
|vx(t, x)− vx(τ, x)| ≤ c|t− τ |(ε+j−1)/5,
то из [33, теорема 1, замечание 2] получаем, что для любых точек
(t, x), (t+ τ, x) ∈ Qn (где τ > 0)
|v(t+ τ, x)− v(t, x)| ≤ c inf
0<h<x0/2
(hτ (ε+j−1)/5 + τhε−5+j),
откуда выбирая h = min(τ1/5, x0/2) выводим неравенство (1.10) для
остальных значений j.
4. Убывание решений при больших временах
Основным утверждением, используемым для доказательства тео-
ремы 1.5 является следующая лемма.
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 333
Лемма 4.1. Пусть u0 ∈ L
1/2
2,+, g0, g1 ∈ L∞(0, T ;W 2
∞,+) для некоторо-
го T > 0, µ = ν ≡ 0, f ≡ 0. Предположим также, что для функций
g0, g1 при t ∈ (0, T ) выполнены условия (1.12), (1.13). Тогда для ре-
шения задачи (1.1), (1.2) u ∈ X1/2(Π+
T ) справедливо неравенство
T∫
0
R∫
0
u2 dx dt ≤ c
∫∫
Π+
T
(2g0 − g1x)u
2 dx dt+ c
T∫
0
u2xx
∣∣
x=0
dt, (4.1)
где константа c зависит от ∥u0∥L2,+ и норм функций g0, g1 в про-
странстве L∞(0, T ;W 2
∞,+).
Доказательство. Прежде всего заметим, что величина uxx|x=0 имеет
смысл, поскольку uxx ∈ X0(Πδ,0T ) для любого δ ∈ (0, T ).
Предположим, что неравенство (4.1) не имеет места. Тогда су-
ществуют последовательность начальных функций {u0k ∈ L
1/2
2,+}k∈N,
ограниченная в L2,+, и последовательности функций {g0k, g1k}k∈N,
ограниченные в L∞(0, T ;W 2
∞,+), для которых соответствующие сла-
бые решения задачи типа (1.1), (1.2) uk(t, x) ∈ X1/2(Π+
T ) удовлетво-
ряют условию
lim
k→+∞
∫∫
Π+
T
(2g0k − g1k x)u
2
k dx dt+
∫ T
0 u2k xx
∣∣
x=0
dt∫ T
0
∫
R
0 u
2
k dx dt
= 0. (4.2)
Положим
pk = ∥uk∥L2
(
(0,T )×(0,R)
), vk(t, x) ≡
uk(t, x)
pk
, v0k(x) ≡
u0k(x)
pk
.
Тогда
∥vk∥L2
(
(0,T )×(0,R)
) = 1 ∀ k ∈ N (4.3)
и функция vk является слабым решением следующей задачи:
vt − ∂5xv + b∂3xv + pkvvx + g1kvx + g0kv = 0, (4.4)
v
∣∣
t=0
= v0k. (4.5)
Заметим, что поскольку uk ∈ X1/2(Π+
T ), то uk ∈ L∞(0, T ;L2,+), uk xx ∈
L2(0, T ;L2,+) и тогда, в частности, uk x ∈ L8/3(0, T ;L∞,+). Следова-
тельно, ukuk x, g1kuk x, g0kuk ∈ L2(Π
+
T ). Из результатов работы [17,
леммы 4.3, 4.4] следует, что в таком случае для функций uk при
t ∈ [0, T ] справедливо равенство∫
u2k(t, x) dx+
t∫
0
u2k xx
∣∣
x=0
dτ +
t∫
0
∫
(2g0k − g1k x)u
2
k dx dτ =
∫
u20k dx
(4.6)
334 О начально-краевой задаче в полуполосе...
(формально оно получается умножением соответствующего равен-
ства (1.1) на 2uk(t, x) и последующим интегрированием). В частности,
из (1.12) и (4.6) следует, что функция ∥uk(t, ·)∥L2,+ не возрастает и
pk ≤ T 1/2∥u0k∥L2,+ . (4.7)
Кроме того, в силу (4.2) при k → +∞
∫∫
Π+
T
(2g0k − g1k x)v
2
k dx dt+
T∫
0
v2k xx
∣∣
x=0
dt→ 0. (4.8)
Покажем, что функции v0k равномерно по k ограничены в про-
странстве L2,+. Действительно, в силу (1.13)
∫∫
Π+
T
u2k dx dt ≤
1
α0
∫∫
Π+
T
(2g0k − g1k x)u
2
k dx dt+
T∫
0
R∫
0
u2k dx dt
и тогда из равенства (4.6) следует, что
∫
u20k dx ≤ 1
T
∫∫
Π+
T
u2k dx dt+
T∫
0
u2k xx
∣∣
x=0
dt+
∫∫
Π+
T
(2g0k − g1k x)u
2
k dx dt
≤
(
1+
1
α0T
)∫∫
Π+
T
(2g0k−g1k x)u2k dx dt+
T∫
0
u2k xx
∣∣
x=0
dt+
1
T
T∫
0
R∫
0
u2k dx dt
и, поэтому,
∫
v20k dx ≤
(
1 +
1
α0T
)∫∫
Π+
T
(2g0k − g1k x)v
2
k dx dt+
T∫
0
v2k xx
∣∣
x=0
dt+
1
T
.
Применяя (4.8) находим, что
∥v0k∥L2,+ ≤ c. (4.9)
Тогда из (4.7), (4.8) и результатов работы [16, теорема 1.1] следует,
что равномерно по k
∥vk∥X0(Π+
T ) ≤ c. (4.10)
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 335
В частности, из самого равенства (4.4) и оценки (4.10) следует, что
равномерно по k
∥vk t∥L2(0,T ;H−3(0,r)) ≤ c(r) ∀ r > 0.
Переходя к подпоследовательностям (с сохранением обозначений) по-
лучаем, что при k → +∞
pk → p,
∂jxg0k → ∂jxg0 ∗ -слабо в L∞(Π+
T ) при j ≤ 2,
∂jxg1k → ∂jxg1 ∗ -слабо в L∞(Π+
T ) при j ≤ 2,
v0k → v0 слабо в L2,+, (4.11)
vk → v ∗ -слабо в L∞(0, T ;L2,+),
vk → v слабо в L2(0, T ;H
2(0, r)) ∀ r > 0,
vk → v сильно в L2(0, T ;H
1(0, r)) ∀ r > 0.
С другой стороны, из (4.8) следует, что vk → 0 в L2(Π
0,R
T ), следова-
тельно
vk → v сильно в L2(Π
+
T ), (4.12)
где
v(t, x) = 0 для x > R. (4.13)
Пусть ϕ(t, x) — любая пробная функция из определения 1.1. Для
любой функции vk запишем соответствующий аналог равенства (1.8):∫∫
Π+
T
[
vk
(
ϕt − ∂5xϕ+ b∂3xϕ+ (g1kϕ)x − g0kϕ
)
+
pk
2
v2kϕx
]
dx dt
+
∫
v0k(x)ϕ(0, x) dx = 0. (4.14)
Заметим, что ϕ ∈ C([0, T ];H2
+) ⊂ C([0, T ];C1
b,+). Тогда переходя в
(4.14) к пределу при k → +∞ получаем с учетом (4.11), (4.12), что∫∫
Π+
T
[
v
(
ϕt − ∂5xϕ+ b∂3xϕ+ (g1ϕ)x − g0ϕ
)
+
p
2
v2ϕx
]
dx dt
+
∫
v0(x)ϕ(0, x) dx = 0,
то есть функция v ∈ X0(Π+
T ) является слабым решением задачи
vt − ∂5xv + b∂3xv + pvvx + g1vx + g0v = 0, (4.15)
v
∣∣
t=0
= v0. (4.16)
336 О начально-краевой задаче в полуполосе...
Более того, в силу (4.13) v ∈ Xα(Π+
T ) для любого α > 0. Заметим,
что для задачи (4.15), (4.16) выполнены условия теоремы 1.2. Тогда
vxx ∈ Xα(Πδ,0T ) для любых α > 0 и δ ∈ (0, T ) и, следовательно, v, vx ∈
L∞(Πδ,0T ), ∂mx v ∈ L2(Π
δ,0
T ) при m ≤ 4. Так как g0, g1 ∈ L∞(Π+
T ), то
для решения v уравнения (4.15) применимы результаты статьи [34,
теорема 1] о единственности продолжения, из которых следует, что в
силу (4.13) v(t, x) = 0 в Π+
T . Следовательно, согласно (4.12) vk → 0 в
L2(Π
+
T ), что противоречит (4.3).
Теперь можно доказать основную теорему этой части.
Доказательство теоремы 1.5. Пусть сначала u0 ∈ L
1/2
2,+, тогда u ∈
X1/2(Π+
T ) для любого T > 0. Запишем равенство (4.6) для функции
u:
∫
u2(t, x) dx+
t∫
0
u2xx
∣∣
x=0
dτ+
t∫
0
∫
(2g0−g1x)u2 dx dτ =
∫
u20 dx. (4.17)
В частности, функция ∥u(t, ·)∥L2,+ не возрастает. Зафиксируем T > 0,
тогда ∫
u2(T, x) dx+ α0
T∫
0
+∞∫
R
u2 dx dt ≤
∫
u20 dx
и, следовательно,
∫∫
Π+
T
u2 dx dt ≤ 1
α0
∫
u20 dx− 1
α0
∫
u2(T, x) dx+
T∫
0
R∫
0
u2 dx dt.
С помощью оценки (4.1) это неравенство можно переписать в виде∫∫
Π+
T
u2 dx dt ≤ 1
α0
∫
u20 dx− 1
α0
∫
u2(T, x) dx
+ c
[ ∫∫
Π+
T
(2g0 − g1x)u
2 dx dt+
T∫
0
u2xx
∣∣
x=0
dt
]
. (4.18)
Выражая величину в квадратных скобках в (4.18) с помощью (4.17)
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 337
при t = T и используя невозрастание ∥u(t, ·)∥L2,+ находим, что
T
∫
u2(T, x) dx ≤ 1
α0
∫
u20 dx− 1
α0
∫
u2(T, x) dx
+ c
(∫
u20 dx−
∫
u2(T, x) dx
)
и, следовательно,(
T +
1
α0
+ c
)∫
u2(T, x) dx ≤
( 1
α0
+ c
)∫
u20 dx,
то есть ∫
u2(T, x) dx ≤ γ(∥u0∥L2,+)
∫
u20 dx, γ ∈ (0, 1),
откуда стандартным приемом выводим оценку (1.14).
В общем случае для любого h > 0 положим u0h(x) ≡ u0(x)η(1/h−
x) ∈ L
1/2
2,+, тогда u0h → u0 в L2,+ при h → +0. Для соответствующих
решений uh задачи типа (1.1), (1.2) с начальной функцией u0h спра-
ведлива равномерная по h оценка (1.14). Боле того, слабое решение
исходной задачи u ∈ X0(Π+
T ) ∀T > 0 может быть получено на осно-
ве оценок из [16] как ∗-слабый предел, в частности, в пространствах
L∞(n, n + 1;L2,+) ∀n функций uh, и тогда оценка (1.14) останется
справедливой и в предельном случае.
Замечание 4.1. Если u0 ∈ L
3/8
2,+, то в силу теоремы единственности
можно утверждать, что любое слабое решение задачи (1.1), (1.2), при-
надлежащее пространству X3/8(Π+
T ) ∀T > 0, при выполнении усло-
вий теоремы 1.5 обладает свойством (1.14).
Замечание 4.2. Если функция g1 не зависит от x: g1 = g1(t) ∈
L∞(R+), то условия гладкости на функцию g0 можно ослабить: g0 ∈
L∞(Rt+ × Rx+). Действительно, повышенные условия гладкости фун-
кций g0, g1 использовались только в доказательстве леммы 4.1 для
обеспечения возможности применения теоремы 1.2. Однако в дан-
ном частном случае из свойства (4.8) следует, что при предельном
переходе в равенстве (4.14) интеграл от g0kϕvk стремится к нулю, то
есть предельная функция v является слабым решением задачи (4.15),
(4.16) для g0 ≡ 0. Это означает, что для справедливости леммы 4.1
достаточно условия g0 ∈ L∞(Π+
T ).
Литература
338 О начально-краевой задаче в полуполосе...
[1] T. Kawahara, Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc.
Japan, 33 (1972), No. 1, 260–264.
[2] А. В. Марченко, О длинных волнах в мелкой воде под ледяным покровом //
Прикл. матем. мех., 52 (1988), No. 2, 230–234.
[3] А. Т. Ильичев, О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения
пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дис-
персией // Труды МИАН, 186 (1989), 222–226.
[4] J.-C. Saut, Sur quelques généralizations de l’equation de Korteweg–de Vries // J.
Math. Pures Appl., 58 (1979), No. 1, 21–61.
[5] А. В. Фаминский, Задача Коши для квазилинейных уравнений нечетного по-
рядка // Матем. сб., 180 (1989), No. 9, 1183–1210.
[6] H. A. Biagioni, F. Linares, On the Benny–Lin and Kawahara equations // J.
Math. Anal. Appl., 211 (1997), No. 1, 131–152.
[7] S. Cui, S. Tao, Stricharts estimates for dispersive equations and solvability of the
Kawahara equation // J. Math. Anal. Appl., 304, (2005), 683–702.
[8] S. Cui, D. Deng, S. Tao, Global existence of solutions for the Cauchy problem of
the Kawahara equation with L2 initial data // Acta Math. Sinica (Engl. Ser.), 22
(2006), No. 5, 1457–1466.
[9] H. Wang, S. Cui, D. Deng, Global existence of solutions for the Cauchy problem
of the Kawahara equations in Sobolev spaces of negative indices // Acta Math.
Sinica (Engl. Ser.), 23 (2007), No. 8, 1435–1446.
[10] К. Сангаре, Смешанная задача в полуполосе для обобщенного уравнения
Кавахары в пространстве бесконечно дифференцируемых экспоненциально
убывающих функций // Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем., 10
(2003), No. 1, 91–107.
[11] N. A. Larkin, G. G. Doronin, Kawahara equation in a quarter-plane and in a
finite domain // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.), 25 (2007), No. 1–2, 9–16.
[12] G. G. Doronin, N. A. Larkin, Kawahara equation in a bounded domain // Discrete
Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 10 (2008), No. 4, 783–799.
[13] G. G. Doronin, N. A. Larkin, Quarter-plane problem for the Kawahara equation //
Pacific J. Appl. Math., 1 (2008), No. 3, 151–176.
[14] N. A. Larkin, Correct initial boundary value problems for dispersive equations //
J. Math. Anal. Appl., 344 (2008), No. 2, 1079–1092.
[15] G. G. Doronin, N. A. Larkin, Well and ill-posed problems for the KdV and
Kawahara equations // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.), 26 (2008), No. 1–2, 133–
137.
[16] К. Сангаре, А. В. Фаминский, Слабые решения смешанной задачи в полу-
полосе для обобщенного уравнения Кавахары // Матем. заметки, 85 (2009),
No. 1, 98–109.
[17] Р. В. Кувшинов, А. В. Фаминский, Смешанная задача в полуполосе для урав-
нения Кавахары // Дифф. уравнения, 45 (2009), No. 3, 391–402.
[18] Р. В. Кувшинов, Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары //
Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем., инф., физ., 3 (2010), 5–16.
[19] Р. В. Кувшинов, Нелокальная корректность смешанной задачи в ограничен-
ном прямоугольнике для уравнения Кавахары // Вестник Рос. ун-та дружбы
народов, сер. матем., инф., физ., 4 (2010), 35–47.
М. А. Опритова, А. В. Фаминский 339
[20] A. V. Faminskii, N. A. Larkin, Initial-boundary value problems for quasilinear
dispersive equations posed on a bounded interval // Electronic J. Differential Equ.,
2010 (2010), No. 1, 1–20.
[21] A. V. Faminskii, N. A. Larkin, Odd-order evolution equations posed on a bounded
interval // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.), 28 (2010), No. 1, 67–77.
[22] А. В. Фаминский, Р. В. Кувшинов, Начально-краевые задачи для обобщенного
уравнения Кавахары // Успехи матем. наук, 66 (2011), No. 4, 187–188.
[23] F. D. Araruna, R. A. Capistrano-Filho, G. G. Doronin, Energy decay for the
modified Kawahara equation posed in a bounded domain // J. Math. Anal. Appl.,
385 (2012), No. 2, 743–756.
[24] C. E. Kenig, G. Ponce, L. Vega, Well-posedness of the initial value problem for the
Korteweg–de Vries equation // J. Amer. Math. Soc., 4 (1991), No. 2, 323–347.
[25] А. В. Фаминский, М. А. Опритова, О задаче Коши для уравнения Каваха-
ры // Соврем. матем. Фунд. направл., 45 (2012), 132–150.
[26] O. P. V. Villagran, Gain of regularity for a Korteweg–de Vries–Kawahara type
equation // Electronic. J. Differential Equ., 71 (2004), 1–24.
[27] А. В. Фаминский, Cмешанная задача в полуполосе для уравнения Кортевега–
де Фриза и его обобщений // Труды ММО, 51 (1988), 54–94.
[28] С. Н. Кружков, А. В. Фаминский, Обобщенные решения задачи Коши для
уравнения Кортевега–де Фриза // Матем. сб., 120 (1983), No. 3, 396–425.
[29] А. В. Фаминский, Задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза и его
обобщений // Труды сем. им. И.Г. Петровского, 13 (1988), 56–105.
[30] M. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti, A. Faminskii, F. Natali, Decay
of solutions to damped Korteweg–de Vries equation // Appl. Math. Optim., 65
(2012), No. 2, 221–251.
[31] F. Linares, A. F. Pazoto, Asymptotic behavior of the Korteweg–de Vries equation
posed in a quarter plane // J. Differential Equ., 246 (2009), 1342–1353.
[32] В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, Мо-
сква, Наука, 1979.
[33] С. Н. Кружков, А. В. Фаминский, О свойствах непрерывности решений не-
которых классов нестационарных уравнений // Вестник Моск. ун-та, сер. 1
матем. мех., 3 (1983), 29–36.
[34] Н. А. Шананин, О частичной квазианалитичности обобщенных решений
слабо нелинейных дифференциальных уравнений со взвешенными произво-
дными, Матем. заметки, 68 (2000), No. 4, 608–619.
Сведения об авторах
Мария
Александровна
Опритова,
Андрей
Вадимович
Фаминский
Российский университет
дружбы народов,
ул. Миклухо-Маклая 6,
Москва, 117198,
Россия
E-Mail: upi23@mail.ru,
afaminskii@sci.pfu.edu.ru
|