О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью
В статье изучается проблема статической устойчивости равновесного состояния и устойчивости малых (линейных) движений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в открытом сосуде, в днище которого имеется несколько отверстий. При этом учитываются поле гравитационных сил и силы поверхностного натяжен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124465 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью / Н.Д. Копачевский, З.З. Ситшаева // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 340-365. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124465 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244652017-09-27T03:03:12Z О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью Копачевский, Н.Д. Ситшаева, З.З. В статье изучается проблема статической устойчивости равновесного состояния и устойчивости малых (линейных) движений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в открытом сосуде, в днище которого имеется несколько отверстий. При этом учитываются поле гравитационных сил и силы поверхностного натяжения. Рассматривается случай, когда равновесная поверхность жидкости является криволинейной, т.е. отвечает произвольному углу смачивания. На основе операторного подхода в работе получены достаточные условия как статической, так и динамической устойчивости, а также предлагается способ нахождения равновесной поверхности жидкости. 2014 Article О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью / Н.Д. Копачевский, З.З. Ситшаева // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 340-365. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35Q35, 76B45, 76E99. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124465 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье изучается проблема статической устойчивости равновесного состояния и устойчивости малых (линейных) движений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в открытом сосуде, в днище которого имеется несколько отверстий. При этом учитываются поле гравитационных сил и силы поверхностного натяжения. Рассматривается случай, когда равновесная поверхность жидкости является криволинейной, т.е. отвечает произвольному углу смачивания. На основе операторного подхода в работе получены достаточные условия как статической, так и динамической устойчивости, а также предлагается способ нахождения равновесной поверхности жидкости. |
| format |
Article |
| author |
Копачевский, Н.Д. Ситшаева, З.З. |
| spellingShingle |
Копачевский, Н.Д. Ситшаева, З.З. О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью Український математичний вісник |
| author_facet |
Копачевский, Н.Д. Ситшаева, З.З. |
| author_sort |
Копачевский, Н.Д. |
| title |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| title_short |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| title_full |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| title_fullStr |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| title_full_unstemmed |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| title_sort |
о спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124465 |
| citation_txt |
О спектральном признаке устойчивости в проблеме малых движений идеальной капиллярной жидкости с несвязной свободной поверхностью / Н.Д. Копачевский, З.З. Ситшаева // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 3. — С. 340-365. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kopačevskijnd ospektralʹnompriznakeustojčivostivproblememalyhdviženijidealʹnojkapillârnojžidkostisnesvâznojsvobodnojpoverhnostʹû AT sitšaevazz ospektralʹnompriznakeustojčivostivproblememalyhdviženijidealʹnojkapillârnojžidkostisnesvâznojsvobodnojpoverhnostʹû |
| first_indexed |
2025-07-09T01:28:38Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:28:38Z |
| _version_ |
1837130863753560064 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 3, 340 – 365
О спектральном признаке устойчивости
в проблеме малых движений идеальной
капиллярной жидкости с несвязной
свободной поверхностью
Николай Д. Копачевский, Зера З. Ситшаева
Аннотация. В статье изучается проблема статической устойчивос-
ти равновесного состояния и устойчивости малых (линейных) дви-
жений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в открытом
сосуде, в днище которого имеется несколько отверстий. При этом
учитываются поле гравитационных сил и силы поверхностного на-
тяжения. Рассматривается случай, когда равновесная поверхность
жидкости является криволинейной, т.е. отвечает произвольному уг-
лу смачивания. На основе операторного подхода в работе получены
достаточные условия как статической, так и динамической устойчи-
вости, а также предлагается способ нахождения равновесной поверх-
ности жидкости.
2010 MSC. 35Q35, 76B45, 76E99.
Ключевые слова и фразы. Несжимаемая жидкость, поверхно-
стное натяжение, операторный подход, статическая устойчивость,
динамическая устойчивость.
Введение
Проблемы, связанные с поведением жидкости в условиях слабого
поля гравитационных сил, интенсивно изучаются с 60-х годов прош-
лого века. Результаты этих исследований приведены в монографиях
по гидромеханике невесомости, см. например, [1, 14], а также [5,12].
В последние годы усилился интерес к задачам статики и дина-
мики гидросистем, находящихся в условиях, близких к невесомости.
Появились работы, в которых исследуются как способы нахождения
состояния покоя гидросистемы, так и вопросы динамической устой-
чивости этого состояния. В поле зрения исследователей, кроме став-
ших традиционными проблем нахождения равновесной поверхности
Статья поступила в редакцию 3.03.2014
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 341
жидкости в открытом или закрытом сосудах сложных форм (см.,
например, [6]), попали также более сложные проблемы, связанные
с влиянием внешних сил различной природы (работы [7, 17]) и эво-
люцией гидросистем в контейнерах с отверстиями (задачи капель-
ного орошения и др.), когда жидкость имеет несвязную свободную
поверхность (cм. [15, 16]). Актуальными для решения этих проблем
является разработка методов их исследования, в частности, вариа-
ционных и функционально–операторных методов (например, рабо-
ты [3,4, 8, 10,11,13]).
Настоящая работа инициирована беседами авторов с Л. А. Слобо-
жаниным, который указал на новый класс проблем, связанных с за-
дачами статики и устойчивости системы капель, свисающих с днища
контейнера. Первые результаты авторов по этой тематике отраже-
ны в статье [2], где изучен случай горизонтальной верхней свободной
поверхности и одной капли, свисающей с днища цилиндрического со-
суда с произвольным поперечным сечением. Там же рассмотрены ва-
рианты осесимметричной и плоской (двумерной) проблем.
В данной работе изучается более сложная задача, когда верхняя
свободная поверхность жидкости не является горизонтальной (и по-
тому угол смачивания на этой границе не равен прямому), а с днища
свисают несколько (произвольное число) капель. Для простоты рас-
смотрена лишь плоская задача, причем с днища свисают две одина-
ковые капли. Однако подход, развитый здесь, пригоден и для про-
странственной проблемы с любым числом свисающих капель и него-
ризонтальной свободной поверхностью, а капли могут быть разного
размера.
В работе обоснован спектральный признак устойчивости гидро-
системы и доказано, что в изучаемой задаче устойчивость теряется
на сдвиговых возмущениях верхней свободной поверхности, отвеча-
ющих общим возмущениям лишь одной из подвешенных капель.
1. О статическом состоянии гидросистемы
1.1. Постановка плоской задачи о нахождении равновесной
свободной поверхности жидкости
Рассмотрим в плоскости Oxz канал с вертикальными стенками и
шириной 2l. В днище канала имеется ряд отверстий, и если в такой
сосуд налить жидкость, то в состoянии равновесия получим жидкост-
ную конфигурацию, имеющую верхнюю свободную поверхность Γ0,
а также свисающие из отверстий капли Γ1, . . . ,Γm. При этом предпо-
лагаем, что ускорение силы тяжести g⃗ действует сверху вниз, и будем
342 О спектральном признаке устойчивости...
Рис. 1: Конфигурация гидросистемы
учитывать капиллярные (поверхностные) силы. Тогда возникает за-
дача о равновесии, устойчивости и малых колебаниях жидкости в
решете (плоская проблема, см. рис. 1).
Будем считать, что днище канала расположено на оси Ox, причем
ось Oz является осью его симметрии. Тогда вертикальные стенки
описываются уравнениями x = ±l, где l — полуширина канала. Далее
для простоты рассмотрим лишь случай двух отверстий, расположен-
ных на отрезке [−l, l], и, соответственно, двух свисающих капель, хотя
общие построения, которые проводятся ниже, можно использовать и
для произвольного количества m капель.
Пусть V0 = (2l)h0 — общая площадь жидкой массы, где h0 —
условная высота жидкости, отвечающая ситуации, когда все дуги Γ0,
Γ1 и Γ2 горизонтальны (т.е. фактически капли не свисают из отвер-
стий). Считаем также, что свисающие капли симметричны, а их цен-
тры O1 и O2 также симметрично расположены относительно оси Oz,
т.е. в точках (−a, 0) и (a, 0). Далее, полуширины капель обозначим
через d, 0 < 2d < l, а угол смачивания, т.е. угол контакта Γ0 с верти-
кальной стенкой, обозначим через δ0, 0 < δ0 < π.
Выведем систему дифференциальных уравнений с соответствую-
щими краевыми условиями для нахождения равновесных дуг Γ0, Γ1 и
Γ2. Этот вывод аналогичен построениям, описанным в [2, с. 32–33, 84–
90]. Будем считать, что уравнение равновесной симметричной дуги Γ0
задается в параметрической форме x0 = x0(s), z0 = z0(s), −s0 ≤ s ≤
s0, где s — длина дуги вдоль Γ0, отсчитываемая от ее середины, т.е.
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 343
от точки s = 0. Считаем также, что при s = 0 выполнены условия
x0(0) = 0, z0(0) = h (0 < h < h0), x′0(0) = 1, z′0(0) = 0, (1.1)
а конечным точкам ±s0 соответствуют значения
x0(s0) = l, x0(−s0) = −l, x′0(s0) = sin δ0, x′0(−s0) = − sin δ0.
Тогда с учетом симметрии получаем, что площадь V , занятая жид-
костью, расположенной в канале, без учета площади двух капель,
равна
V = (2l)h+ 2
s0∫
0
z(s)x′(s) ds. (1.2)
Поэтому площадь △V одной из двух симметрично расположенных
капель будет равна
0 < △V = l(h0 − h)−
s0∫
0
z(s)x′(s) ds.
Будем считать для простоты, что атмосферное давление внешне-
го газа равно нулю. Давление в жидкости, находящейся в состоянии
покоя в гравитационном поле, как известно, изменяется по закону
P0 = P0(z) = −ρgz + c, (1.3)
где ρ > 0 — плотность жидкости, а c — константа. Известно также,
что на границе Γ0 должно выполняться условие Лапласа для пере-
пада давлений, учитывающее действие капиллярных сил. В данном
случае оно имеет вид
P0|Γ0 − 0 = −σk0(s),
где σ > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на границе Γ0,
а k0(s) — кривизна дуги Γ0. Поэтому с учетом (1.3) и (1.1) получаем,
что
c = ρgh− σk0(0), P0(z) = ρg(h− z)− σk0(0),
а уравнение Γ0 приобретает вид
ρg(z0(s)− h) = σ(k0(s)− k0(0)). (1.4)
Перейдем здесь к безразмерным переменным, выбрав в качестве
характерного размера полуширину l канала. Тогда в этих новых пе-
ременных, которые будем обозначать прежними символами, взамен
(1.4) приходим к уравнению
b0(z0(s)− h) = k0(s)− k0(0), b0 := ρgl2σ−1,
344 О спектральном признаке устойчивости...
где b0 — так называемое число Бонда, характеризующее отношение
гравитационных сил к капиллярным, а формула для давления прио-
бретает вид
P0(z) = b0(h− z)− q0, q0 := k0(0).
Пользуясь еще соотношениями
k0(s) = (x′0z
′′
0 − z′0x
′′
0)(s), (x′0(s))
2 + (z′0(s))
2 ≡ 1, (1.5)
получаем, что кривая Γ0 может быть найдена как решение задачи
Коши
x′′0(s) = −z′0(s)[b0(z0(s)− h) + q0]
z′′0 (s) = x′0(s)[b0(z0(s)− h) + q0]
(0 ≤ s ≤ s0), (1.6)
при следующих начальных условиях (см. (1.1)–(1.2))
x0(0) = 0, z0(0) = h, x′0(0) = 1, z′0(0) = 0, (1.7)
и дополнительных условиях
x0(s0) = 1, x′0(s0) = sin δ0,
0 < V = 2h+ 2
s0∫
0
z0(s)x
′
0(s) ds ≤ V0,
(1.8)
где V — безразмерная площадь, занятая жидкостью, за вычетом пло-
щади капель (см. (1.2)).
Аналогичные построения для правой и соответственно левой кап-
ли (с учетом условий закрепления капель на концах) приводят к двум
идентичным задачам
x′′j (s) = z′j(s)[b0(zj(s)− h) + q0]
z′′j (s) = −x′j(s)[b0(zj(s)− h) + q0] (0 ≤ s ≤ sj , j = 1, 2),
x1(0) = a, x′1(0) = 1, z1(0) = h1 < 0, z′1(0) = 0,
x2(0) = −a, x′2(0) = 1, z2(0) = h1, z′2(0) = 0,
x1(s1) = a+ d, x2(s2) = −a+ d, z1(s1) = z2(s2) = 0,
(1.9)
где s — параметр длины дуги Γj , j = 1, 2, отсчитываемая от ее сере-
дины. Кроме того, с учетом (1.8), получаем дополнительное условие
на площадь каждой капли, в частности,
2
s1∫
0
x1(s)z
′
1(s) ds = △V = V0 − V > 0. (1.10)
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 345
1.2. Об алгоритме построения равновесных свободных
поверхностей гидросистемы
Решение статической проблемы (1.6)–(1.10) зависит от заданных
фиксированных безразмерных параметров
b0, δ0, h0 = V0/2, a, d, (1.11)
от которых, в свою очередь, зависят текущие параметры h, q0, h1,
V , △V , позволяющие методом Рунге-Кутта решить задачи Коши
(1.6), (1.7) и (1.9). Для нахождения этих текущих параметров можно
использовать итерационные процессы вычислений по следующей схе-
ме, считая, что параметры (1.11) заданы.
1◦. Алгоритм нахождения равновесной дуги Γ0.
Воспользуемся тем обстоятельством, что формы равновесной ду-
ги Γ0 образуют не двухпараметрическое семейство с параметрами h0
и q0, а лишь однопараметрическое семейство (см. [1, c. 35]), так как
система уравнений (1.6) инвариантна относительно замены
z0(s) 7→ z0(s) + c/b0, q0 7→ q0 − c,
где c — произвольная постоянная. Поэтому, если h и q0 изменять так,
чтобы выполнялось условие
b0h+ q0 = q̂0 = const,
то соответствующая равновесная кривая Γ0 лишь сдвигается как це-
лое вдоль оси Oz. Значит, для нахождения формы (а не расположе-
ния) кривой Γ0 можно использовать не условия (1.7), а эти же усло-
вия при h = 0. Это позволяет найти то значение q̂0, которое отвечает
заданному углу смачивания δ0.
Таким образом, решая задачу (1.6), (1.7) при h = 0, подбираем
методом итераций такое q̂0 = q̂0(δ0), для которого в конечной точке
s = s0 выполнены условия
x0(s0) = 1, x′0(s0) = sin δ0.
При этом, очевидно, для угла смачивания δ0 = π/2 имеем значение
q̂0 = 0, которому отвечает тривиальное решение
z0(s) ≡ 0, x0(s) ≡ s, 0 ≤ s ≤ 1, s0 = 1,
а в задаче (1.6), (1.7) — решение
z0(s) ≡ h = h0 = V0/2, x0(s) ≡ s, 0 ≤ s ≤ 1, s0 = 1.
346 О спектральном признаке устойчивости...
2◦. Алгоритм нахождения равновесной формы свисающей капли.
При δ0 ̸= π/2, 0 < δ0 < π, и найденном q̂0 = q̂0(δ0) будем считать,
что параметр h является переменной величиной; тогда площадь v =
v(h) свисающей капли будет равна (см. (1.8))
v(h) = (△V )/2 = (V0 − V )/2 = −
s0∫
0
z0(s)x
′
0(s) ds+ (h0 − h). (1.12)
Итак, полагаем, что в задаче (1.9) величина h задана, а параметр
h1 < 0 можно изменять. Будем решать эту задачу Коши при некото-
ром h1 < 0 до точки s = s1, в которой выполняется условие
z1(s1) = 0.
При этом, вообще говоря, x1(s1) ̸= a + d. Далее, изменяя h1, т.е.
итерируя по этому параметру, находим то значение h1, для которого
выполнено условие
|x1(s1)− (a+ d)| < ε, (1.13)
где ε — заданная точность выхода по этому условию.
Подсчитываем теперь для найденного h1 < 0 правую часть соот-
ношения (1.12) (это осуществляется по ходу нахождения h1) и срав-
ниваем ее с левой частью. Итерируем затем по параметру h, т.е. по-
вторяем процедуру нахождения h1 и выход по условию (1.13), до тех
пор, пока разность между левой и правой частями (1.12) будет по
модулю меньше заданного значения, т.е. с необходимой точностью.
Итогом вычислений по данной схеме будут таблицы значений q̂0 =
q̂0(b0, δ0), b0 > 0, 0 < δ0 < π, а также h = h(b0, δ0, h0, d) и h1 =
h1(b0, δ0, h0, d), h0 > 0, d > 0.
Отметим, что аналогичный алгоритм можно реализовать для про-
извольного конечного числа свисающих симметричных одинаковых
капель (плоская задача), а также в соответствующей пространствен-
ной проблеме (цилиндрический сосуд, осесимметричные одинаковые
капли).
2. Устойчивость равновесного состояния гидросистемы
Исследуемая гидродинамическая система при ее заданных исхо-
дных параметрах (1.11) может быть как устойчивой, так и неустойчи-
вой. Из физических соображений ясно, что если b0, h0, d достаточно
малы, то система должна быть устойчивой. Это соответствует тому,
что малы гравитационное поле, масса жидкости, а также отверстия
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 347
в днище. (Тогда можно носить воду в решете.) Если же хотя бы один
из этих параметров увеличивается до некоторого критического значе-
ния, то достигается граница области устойчивости, и при дальнейшем
увеличении этого параметра система становится неустойчивой.
2.1. Общая постановка задачи об устойчивости
гидросистемы
Вернемся к рассмотрениям п. 1.1 и рис. 1 и будем считать, что
равновесное состoяние гидросистемы определено, т.е. найдена кон-
фигурация и положение верхней свободной поверхности Γ0, а также
формы свисающих капель, количество которых для общности будем
считать равным m. (В данной работе все рассмотрения проводятся
для плоской задачи, однако аналогичный подход применим и к про-
странственной проблеме.)
Переходя к рассмотрению проблемы устойчивости, рассмотрим
малые отклонения гидросистемы относительно состояния равнове-
сия. Введем отклонения ζ0(s), s ∈ Γ0, поверхности Γ0 вдоль внешней
нормали n⃗0 к ней, а также аналогичные отклонения ζj(s), s ∈ Γj ,
для поверхностей Γj , j = 1,m. Тогда из условия сохранения общей
площади, занимаемой несжимаемой жидкостью (плоская проблема)
следует, что должно выполняться условие∫
Γ0
ζ0dΓ0 +
m∑
j=1
∫
Γj
ζjdΓj = 0. (2.1)
Как известно (см. [1, гл. 2]), вопрос об устойчивости гидросистемы
в окрестности состояния равновесия жидкости в условиях, близких
к невесомости, связан со знаком второй вариации ее потенциальной
энергии U , поскольку первая вариация в состoянии равновесия равна
нулю. В рассматриваемом случае вторая вариация δ2U может быть
найдена из ее общего представления (см. [1, c. 206, формулы (2.12.1)–
(2.12.3)])
δ2U =
m∑
j=0
{∫
Γj
[aj |ζj |2 + |∇jζj |2]dΓj +
∮
∂Γj
χj |ζj |2ds
}
, (2.2)
aj = aj(s) := b0 cos(̂⃗nj , e⃗3)− (kj(s))
2,
kj(s) = b0(zj(s)− h) + q0, s ∈ Γj , j = 0,m, (2.3)
348 О спектральном признаке устойчивости...
где |∇jζj |2 = |ζ ′j(s)|2 — квадрат градиента функции, заданной на
Γj , n⃗j — внешняя нормаль к Γj , а kj(s) — кривизны дуг Γj , j =
0,m. Кроме того, учитывая специфику задачи, т.е. тот факт, что Γ0
скользит вдоль вертикальных стенок, а свисающие капли закрепле-
ны на ∂Γj , т.е. в концевых точках, j = 1,m, приходим к краевым
условиям
ζ ′0(s0) + χ0(s0)ζ0(s0) = 0, −ζ ′0(−s0) + χ0(−s0)ζ0(−s0) = 0,
χ0(s) :=
z′0(s)
x′0(s)
[
b0(z0(s)− h) + q0
]
,
(2.4)
ζj(sj) = ζj(−sj) = 0, j = 1,m. (2.5)
Рассмотрим вопрос о минимуме функционала (2.2) при условиях
(2.3)–(2.5) и условии нормировки
m∑
j=0
∫
Γj
|ζj |2dΓj = 1. (2.6)
Как хорошо известно из вариационного исчисления, минимум за-
дачи на условный экстремум квадратичного функционала (2.2) (с
условиями (2.3)–(2.5) и дополнительными условиями (2.1), (2.6)), а
также функция ζ̂ := (ζ0; ζ1; . . . ; ζm), реализующая этот минимум,
представляют собой наименьшее собственное значение λ = λ∗ и соот-
ветствующую нормированную собственную функцию ζ̂ спектральной
задачи
M0ζ0 + µ = λζ0 (на Γ0),
ζ ′0(s0) + χ0(s0)ζ0(s0) = 0, −ζ ′0(−s0) + χ0(−s0)ζ0(−s0) = 0,
(2.7)
Mjζj + µ = λζj (на Γj), ζj(sj) = ζj(−sj) = 0, j = 1,m, (2.8)
Mjζj := −ζ ′′j + aj(s)ζj , j = 0,m, (2.9)
рассматриваемой при условии (2.1). Здесь λ и µ — не определенные
заранее множители Лагранжа.
Таким образом, приходим к следующим выводам (см. [1, с. 123]).
1◦. Если минимальное собственное значение λ = λ∗ задачи (2.7)–
(2.9), (2.1) положительно, то равновесное состояние гидросистемы
статически устойчиво.
2◦. Если λ∗ < 0, то равновесное состояние статически неустойчи-
во.
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 349
3◦. Границей области устойчивости является такая совокупность
заданных параметров (1.11), для которой выполнено условие
λ∗ = 0.
Утверждения 1◦–3◦ называют спектральным признаком статичес-
кой устойчивости гидросистемы.
2.2. Операторный подход к проблеме устойчивости
Рассмотрим спектральную проблему (2.7)–(2.9) как задачу на соб-
ственные значения некоторого неограниченного линейного операто-
ра, действующего в гильбертовом пространстве. С этой целью, опи-
раясь на соотношения (2.1) и (2.6), введем комплексное гильбертово
пространство
L2(Γ) :=
m⊕
j=0
L2(Γj)
наборов элементов (столбцов) ζ̂ := (ζ0; ζ1; . . . ; ζm)
τ (где τ — символ
транспонирования) с квадратом нормы
∥ζ̂∥2L2(Γ)
:=
m∑
j=0
∫
Γj
|ζj |2dΓj =:
m∑
j=0
∥ζj∥2L2(Γj)
и соответствующим скалярным произведением. Введем также его под-
пространство L2,Γ тех элементов из L2(Γ), для которых выполнено
условие (2.1), т.е. элементов, ортогональных к одномерному подпро-
странству, натянутому на единичную функцию
1Γ := (1Γ0 ; 1Γ1 ; . . . ; 1Γm)
τ .
Введем еще подпространство
L2,Γ0 :=
{
η0 ∈ L2(Γ0) :
∫
Γ0
η0dΓ0 = (η0, 1Γ0)L2(Γ0) = 0
}
с соответствующим скалярным произведением.
В системе соотношений (2.7)–(2.8) можно исключить параметр µ
следующим образом. Введем оператор усреднения по Γ0 в виде
K0ζ0 := |Γ0|−1
∫
Γ0
ζ0dΓ0, (2.10)
и подействуем им на обе части первого соотношения (2.7); имеем
350 О спектральном признаке устойчивости...
K0M0ζ0 + µ = λK0ζ0. (2.11)
Находя отсюда µ и подставляя его в уравнения (2.7), (2.8), приходим
к системе уравнений, которая при m = 2 выглядит следующим обра-
зом: P0M0 0 0
−K0M0 M1 0
−K0M0 0 M2
ζ0
ζ1
ζ2
= λ
P0 0 0
−K0 I1 0
−K0 0 I2
ζ0
ζ1
ζ2
,
(2.12)
где P0 := I0 −K0 : L2(Γ0) → L2,Γ0 — ортопроектор. (Далее для опре-
деленности будем рассматривать лишь случай m = 2, т.е двух подве-
шенных к днищу капель.)
Как уже упоминалось в п. 1.2, поверхность Γ0 допускает возму-
щения сдвига, т.е. перемещения ее как целого вдоль вертикальной
оси без изменения формы. Для криволинейной поверхности Γ0 та-
кие возмущения описываются функциями вида cx′0(s), где c — любая
постоянная, а x0 = x0(s) — функция, задающая наряду с z0(s) пара-
метрические уравнения поверхности Γ0, см. задачу (1.6), (1.7).
Опираясь на эти факты, представим общее возмущение ζ̂ := (ζ0;
ζ1; . . . ; ζm)
τ свободной поверхности Γ =
∪2
j=0 Γj гидросистемы в видe
суммы возмущений, отвечающих сдвиговому возмущению поверхно-
сти Γ0 и общему возмущению лишь одной поверхности Γj , j = 1, 2;
кроме того, наряду со сдвиговыми на поверхности Γ0 учтем также
возмущения, сохраняющие общую площадь жидкости при неподвиж-
ных границах Γj , j = 1, 2. Иными словами, будем считать, что
ζ0 = η0 +
2∑
j=1
ζ0jx
′
0(s),
∫
Γ0
η0dΓ0 = 0, (2.13)
где ζ0j — некоторые постоянные, j = 1, 2. При этом потребуем (см.
(2.1)), чтобы выполнялись условия∫
Γ0
ζ0jx
′
0(s)dΓ0 +
∫
Γj
ζjdΓj = 0, j = 1, 2. (2.14)
Тогда
ζ0j = −1
2
∫
Γj
ζjdΓj =: −Kjζj , ∀ ζj ∈ L2(Γj), j = 1, 2. (2.15)
Для проведения дальнейших преобразований понадобится следу-
ющий вспомогательный факт.
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 351
Лемма 2.1. Для сдвигового возмущения x′0(s) имеют место свойс-
тва
M0x
′
0(s) = b0,
x′′0(s0) + χ(s0)x
′
0(s0) = 0, −x′′0(−s0) + χ(−s0)x′0(−s0) = 0.
(2.16)
Доказательство. Оно основано на использовании определений (2.8)
и (2.3) при j = 0, соотношений (1.5), уравнений (1.6), (1.7), определе-
нии χ0(s) из (2.4), а также свойствах четности и нечетности функций
x0(s) и z0(s).
Имеем
M0x
′
0(s) = −x′′′0 (s) + [b0x
′
0(s)− (b0(z0(s)− h) + q0)
2]x′0(s)
= (z′0[b0(z0(s)− h) + q0])
′
s + b0(x
′
0(s))
2 − [b0(z0(s)− h) + q0]
2x′0(s)
= {x′0(s)[b0(z0(s)− h) + q0]
2 + b0(z
′
0(s))
2}+ b0(x
′
0(s))
2
− [b0(z0(s)− h) + q0]
2x′0(s) = b0.
Далее,
x′′0(s0) + χ(s0)x
′
0(s0) = −z′0(s0)[b0(z0(s0)− h) + q0]
+ z′0(s0)(x
′
0(s0))
−1[b0(z0(s0)− h) + q0]x
′
0(s0) = 0.
При s = −s0 проверка последнего условия (2.16) проводится анало-
гично.
В качестве следствия из этой леммы получаем, что для функции
η0(s) из (2.13), а также из граничных условий для ζ0(s) (см. (2.5)),
должны выполняться условия
η′0(s0) + χ0(s0)η0(s0) = 0, −η′0(−s0) + χ0(−s0)η0(−s0) = 0. (2.17)
Опираясь на установленные факты, получим представление для
параметра µ в задаче (2.7)–(2.9). Подставляя связь (2.13) в (2.11),
приходим к формуле
µ =
( 2∑
j=1
ζ0j
)
(2λ|Γ0|−1 − b0)−K0(M0η0),
где K0 — оператор вычисления среднего значения (см. (2.10)).
Тогда задача (2.12) принимает вид
352 О спектральном признаке устойчивости...
B0 0 0
−K0M0 B1 + b0K1 b0K2
−K0M0 b0K1 B2 + b0K2
η0
ζ1
ζ2
= λ
I0 (2|Γ0|−1 − x′0(s))K1 (2|Γ0|−1 − x′0(s))K2
0 I1 + 2|Γ0|−1K1 2|Γ0|−1K2
0 2|Γ0|−1K1 I2 + 2|Γ0|−1K2
η0
ζ1
ζ2
,
(2.18)
где введены операторы:
B0 := P0M0P0,
D(B0)={η0∈L2,Γ0 ∩H2(Γ0) : выполнены граничные условия (2.17)},
Bj :=Mj ,
D(Bj)={ζj∈H2(Γj) : выполнены граничные условия (2.5)}, j = 1, 2.
Таким образом, задача об устойчивости исследуемой гидросисте-
мы приведена к задаче на собственные значения (2.18). Здесь слева
стоит неограниченный оператор, представленный в виде матрицы с
неограниченными операторными коэффициентами. Областью опре-
деления этого оператора является множество
D(B0)⊕D(B1)⊕D(B2) ⊂ L2,Γ0 ⊕ L2(Γ1)⊕ L2(Γ2).
Покажем, что операторная матрица слева в (2.18) представляет
собой оператор потенциальной энергии исследуемой гидросистемы.
В самом деле, левая часть в (2.18) есть преобразованная матрица
из левой части (2.12) с учетом представления (2.13) и соотношений
(2.14)–(2.16). Поэтому упомянутое свойство можно проверить по ле-
вой части (2.12). Имеем (учитывая свойство (2.1) при m = 2)
(I0 −K0)M0 0 0
−K0M0 M1 0
−K0M0 0 M2
ζ0
ζ1
ζ2
·
ζ0
ζ1
ζ2
= (M0ζ0, ζ0)L2(Γ0) + (M1ζ1, ζ1)L2(Γ1) + (M2ζ2, ζ2)L2(Γ2)
− (K0M0ζ0)
{∫
Γ0
ζ0dΓ0 +
∫
Γ1
ζ1dΓ1 +
∫
Γ2
ζ2dΓ2
}
= (M0ζ0, ζ0)L2(Γ0) + (M1ζ1, ζ1)L2(Γ1) + (M2ζ2, ζ2)L2(Γ2),
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 353
а последнее выражение с учетом свойств (2.4) и (2.5) приводится к
квадратичному функционалу δ2U из (2.2), (2.3), т.е. к удвоенной по-
тенциальной энергии малых отклонений гидросистемы от состояния
равновесия.
Аналогичным образом можно проверить, проводя выкладки с пра-
вой частью (2.12), что правая часть в (2.18) после умножения на
(ζ0; ζ1; ζ2)
τ дает квадрат нормы искомого элемента ζ̂ = (ζ0; ζ1; ζ2)
τ
в пространстве L2,Γ: (I0 −K0) 0 0
−K0 I1 0
−K0 0 I2
ζ0
ζ1
ζ2
·
ζ0
ζ1
ζ2
= (ζ0, ζ0)L2(Γ0) + (ζ1, ζ1)L2(Γ1) + (ζ2, ζ2)L2(Γ2)
− (K0ζ0)
{∫
Γ0
ζ0dΓ0 +
∫
Γ1
ζ1dΓ1 +
∫
Γ2
ζ2dΓ2
}
= (ζ0, ζ0)L2(Γ0) + (ζ1, ζ1)L2(Γ1) + (ζ2, ζ2)L2(Γ2) = ∥ζ̂∥2L2,Γ
.
Таким образом, задача (2.18) есть задача на собственные значе-
ния оператора потенциальной энергии гидросистемы, преобразован-
ная с учетом проведенных выше представлений для решения ζ̂ ∈
L2,Γ. Ее особенность состоит в том, что операторная матрица потен-
циальной энергии имеет треугольный блочный вид, и это позволяет,
как будет видно из дальнейшего, определить тот класс возмущений
гидросистемы, на котором теряется ее устойчивость.
Задача (2.18) существенно упрощается, если угол смачивания δ0=
π/2, и потому свободная поверхность Γ0 горизонтальна. В этом слу-
чае имеем
cos(̂⃗n0, e⃗3) ≡ 1, k0(s) ≡ 0, |Γ0| = 2, x0(s) ≡ s, x′0(s) ≡ 1, s0 = 1,
z0(s) ≡ h = h0, z
′
0(s) ≡ 0, a0(s) ≡ b0, χ0(s0) = χ0(−s0) = 0.
Кроме того, в представлении (2.13) η0 ⊥ 1Γ0 , и потому элементы(∑2
j=1 ζ0j ; ζ1; ζ2
)τ и (η0; 0; 0)
τ ортогональны в L2(Γ). Далее, выпол-
нено также условие
K0M0η0 = 0, ∀ η0 ∈ L2,Γ0 ;
в самом деле, в этом случае
∫
Γ0
M0η0dΓ0 =
1∫
1
(−η′′0+b0η0) ds = −
1∫
1
η′′0 ds = −η′0(1)−(−η′0(−1)) = 0,
354 О спектральном признаке устойчивости...
поскольку η′0(1) = η′0(−1) = 0.
Таким образом, для горизонтальной Γ0 имеем из (2.18) проблему B0 0 0
0 B1 + b0K1 b0K2
0 b0K1 B2 + b0K2
η0
ζ1
ζ2
= λ
I0 0 0
0 I1 +K1 K2
0 K1 I2 +K2
η0
ζ1
ζ2
, (2.19)
и потому исследуемая задача об устойчивости гидросистемы расщеп-
ляется на две независимые спектральные задачи.
Определим теперь свойства операторных коэффициентов в общей
задаче (2.18) и ее частном случае (2.19). Соответствующие утвержде-
ния приведем без доказательств, поскольку эти доказательства име-
ют стандартный характер (см., например, [4]).
Лемма 2.2. Операторы K0, K1 и K2, определяемые формулами
(2.10) и (2.15) соответственно, действуют в пространствах L2,Γ0
и L2(Γj), j = 1, 2, и являются компактными одномерными неотри-
цательными операторами.
Лемма 2.3. В задаче (2.19) оператор B0 является неограниченным
положительно определенным самосопряженным оператором с дис-
кретным спектром {λk(B0)}∞k=1,
λk(B0) = b0 + (πk/2)2, k = 1, 2, . . . , (2.20)
и собственными элементами
η0,k(s) =
{
sin(πks/2), k = 1, 3, 5, . . .
cos(πks/2), k = 2, 4, 6, . . .
,
образующими ортогональный базис как в L2,Γ0 , так и в энергети-
ческом пространстве HB0 ⊂ L2,Γ0 с квадратом нормы
∥η0∥2B0
=
1∫
−1
(|η′0(s)|2 + b0|η0(s)|2) ds.
В задаче (2.18) оператор B0 является ограниченным снизу само-
сопряженным оператором с дискретным спектром {λk(B0)}∞k=1,
−∞ < λ1(B0) < λ2(B0) < · · · < λk(B0) < · · · ,
λk(B0) → +∞ (k → ∞). (2.21)
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 355
Его собственные элементы {η0,k(B0)}∞k=1, отвечающие собственным
значениям (2.21), образуют ортогональный базис как в L2,Γ0 , так и
по форме оператора B0:
(η0,k, η0,l)B0 :=
s0∫
−s0
[η′0,k(s)η
′
0,l(s) + a0(s)η0,k(s)η0,l(s)] ds
+ χ0(s0)[η0,k(s0)η0,l(s0) + η0,k(−s0)η0,l(−s0)]
= λk(B0)
∫
Γ0
η0,k(s)η0,l(s) ds = λk(B0)δkl.
2
Лемма 2.4. Операторы Bj, j = 1, 2, как в задаче (2.19), так и в
задаче (2.18), являются ограниченными снизу операторами с диск-
ретным спектром
{λk(Bj)}∞k=1, j = 1, 2, −∞ < λ1(Bj) < · · · < λk(Bj) < · · · ,
λk(Bj) → +∞ (k → ∞), j = 1, 2. (2.22)
Их собственные элементы {ζjk}∞k=1, j = 1, 2, отвечающие собствен-
ным значениям (2.22), образуют ортогональный базис как в L2(Γj),
j = 1, 2, так и по форме оператора Bj:∫
Γj
[ζ ′jk(s)ζ
′
jl(s) + aj(s)ζjk(s)ζjl(s)] ds
= λk(Bj)
∫
Γj
ζjk(s)ζjl(s) ds = λk(Bj)δkl, j = 1, 2.
2
Лемма 2.5. В задачах (2.19) и (2.18) оператор(
K1 K2
K1 K2
)
: L2(Γ1)⊕ L2(Γ2) → L2(Γ1)⊕ L2(Γ2) =: L̃2
является неотрицательным.
Доказательство. Оно основано на свойстве
2
(
K1 K2
K1 K2
)(
ζ1
ζ2
)
·
(
ζ1
ζ2
)
=
∣∣∣∣∣
∫
Γ1
ζ1dΓ1 +
∫
Γ2
ζ2dΓ2
∣∣∣∣∣
2
≥ 0.
356 О спектральном признаке устойчивости...
Рассмотрим еще вспомогательную спектральную задачу(
B1 + b0K1 b0K2
b0K1 B2 + b0K2
)(
ζ1
ζ2
)
= λ
(
I1 +K1 K2
K1 I2 +K2
)(
ζ1
ζ2
)
,
(ζ1; ζ2)
τ ∈ D(B1)⊕D(B2) ⊂ L2(Γ1)⊕ L2(Γ2) = L̃2. (2.23)
Лемма 2.6. Спектр задачи (2.23) дискретен, он состоит из конеч-
нократных собственных значений
{λk}∞k=1, −∞ < λ1 ≤ · · · ≤ λk ≤ · · · , λk → +∞ (k → ∞), (2.24)
а система его собственных элементов {ζ̃k}∞k=1, ζ̃k := (ζ1,k; ζ2,k)
τ ,
отвечающая собственным значениям (2.24), образуют ортогональ-
ный базис как по форме оператора
Ĩ + K̃ :=
(
I1 +K1 K2
K1 I2 +K2
)
, Ĩ := diag(I1; I2),
так и по форме оператора
B̃ + b0K̃ :=
(
B1 + b0K1 b0K2
b0K1 B2 + b0K2
)
, B̃ := diag(B1;B2),
т.е.
((B̃ + b0K̃)ζ̃k, ζ̃l)L̃2
= λk((Ĩ + K̃)ζ̃k, ζ̃l)L̃2
= λkδkl.
2
Опираясь на установленные свойства операторных коэффициен-
тов в задачах (2.18) и (2.19), сформулируем и докажем свойства их
решений.
Теорема 2.1. Спектр задачи (2.19) является дискретным с пре-
дельной точкой λ = +∞. Он является объединением спектров опе-
ратора B0 (см. (2.20)) и задачи (2.23) и состоит из двух ветвей соб-
ственных значений, каждая из которых имеет предельную точку
λ = +∞. Ветви {λk(B0)}∞k=1 отвечают возмущения нулевого объема
(площади) в окрестности Γ0 при неподвижных границах Γ1 и Γ2, а
ветви {λk}∞k=1, см. (2.24), — сдвиговые возмущения поверхности Γ0,
порожденные возмущениями общего вида поверхностей Γ1 и Γ2.
Теорема 2.2. Границей области устойчивости исследуемой гидро-
системы является такой набор заданных исходных параметров
(1.11), при которых минимальное собственное значение оператора
B̃ + b0K̃ равно нулю:
λ∗ = λmin(B̃ + b0K̃) = 0. (2.25)
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 357
При переходе через эту границу устойчивость гидросистемы теря-
ется на сдвиговых возмущениях, т.е. таких, когда верхняя (гори-
зонтальная) граница Γ0 перемещается как единое целое вдоль вер-
тикальной оси.
Доказательство. Как следует из леммы 2.3, при горизонтальной Γ0
оператор B0 положительно определен и λmin(B0) = λ1(B0) > 0. По-
этому условие (2.25), согласно утверждениям теоремы 2.1, может до-
стигаться лишь на сдвиговых возмущениях, т.е. на решениях задачи
(2.23), отвечающих собственному значению λ = λ∗ = 0. Однако это
соответствует тому, что существует нетривиальное решение уравне-
ния
(B̃ + b0K̃)ζ̃ = 0.
Рассмотрим теперь задачу (2.18), т.е. проблему устойчивости гид-
росистемы при криволинейной поверхности Γ0. Заметим предвари-
тельно, что в этом случае при углах смачивания δ0, близких к π/2,
когда поверхность Γ0 не сильно отличается от горизонтальной, опе-
ратор B0 в задаче (2.18) по-прежнему является положительно опре-
деленным. Из физических соображений также ясно, что он должен
обладать этим свойством во всем диапазоне 0 < δ0 < π. В самом деле,
возмущениям вида ζ̂ := (η; 0; 0)τ отвечают такие положения гидроси-
стемы, когда Γ1 и Γ2 можно считать твердой стенкой, так как на них
отклонения ζ1 и ζ2 равны нулю. Тогда при действии гравитационного
поля сверху вниз при любом числе Бонда b0 > 0 гидросистема дол-
жна быть статически устойчивой, и потому оператор потенциальной
энергии такой гидросистемы, т.е. оператор B0, должен быть поло-
жительно определенным. (Формально свойство λmin(B0) > 0 можно
подтвердить расчетами при 0 < δ0 < π.) Отсюда следует такой вывод.
Теорема 2.3. Утверждения теоремы 2.2 справедливы и в общей
спектральной задаче (2.18), т.е. границе области устойчивости ги-
дросистемы отвечает условие (2.25), причем устойчивость теря-
ется на сдвиговых возмущениях, когда верхняя (криволинейная) гра-
ница Γ0 перемещается как единое целое вдоль вертикальной оси.
Доказательство. Положим в (2.18) λ = λ∗ = 0, отвечающее границе
области устойчивости. Тогда возникает задача
B0η0 = 0, −K0M0η0 + (B1 + b0K1)ζ1 + b0K2ζ2 = 0,
−K0M0η0 + b0K1ζ1 + (B2 + b0K2)ζ2 = 0. (2.26)
358 О спектральном признаке устойчивости...
Так как оператор B0 положительно определен, то η0 = 0, а остав-
шиеся два уравнения из (2.26) переписываются в виде соотношения
(B̃ + b0K̃)ζ̃ = 0, ζ̃ := (ζ1; ζ2)
τ ,
и это уравнение должно иметь нетривиальное решение. Значит, дол-
жно выполняться условие (2.25).
Замечание 2.1. Как уже упоминалось выше (см. началo п. 2), ис-
следуемая гидросистема заведомо устойчива, если параметры (1.11)
достаточно малы. В этом случае минимальное собственное значение
λ∗ задачи (2.18) положительно. Отсюда следует, что при возрастании
любого из параметров (1.11) условие (2.25) может быть достигнуто в
процессе изменения этого параметра от малых значений к бо́льшим.
Замечание 2.2. Построения, проведенные выше, можно осущест-
вить и в задаче об устойчивости такой гидросистемы, когда к дну
сосуда подвешено любое количество m капель. При этом возникает
спектральная проблема вида (2.18), где операторные матрицы имеют
размер (m+ 1)× (m+ 1) и такую же общую структуру.
3. О собственных колебаниях гидросистемы
В монографии [1] рассмотрена проблема малых собственных ко-
лебаний гидросистемы, состоящей из нескольких несмешивающихся
идеальных капиллярных жидкостей, заполняющей некоторый сосуд.
Задача, изучаемая в данной работе, близка по физической и мате-
матической постановке к упомянутой проблеме и также может быть
исследована операторными методами на основе построений, развитых
в предыдущих параграфах.
3.1. Постановка задачи о малых колебаниях
Рассмотрим теперь проблему малых собственных колебаний жид-
кости в канале с вертикальными стенками и двумя свисающими c
днища каплями (плоский случай). Можно показать, что эта зада-
ча сводится к нахождению потенциала перемещений жидкости Φ =
Φ(t, x), x ∈ Ω, связанного с полем скоростей u⃗ жидкости соотноше-
нием
u⃗(t, x) =
∂
∂t
(
∇Φ(t, x)
)
.
Собственными колебаниями называют такие решения задачи для
потенциала Φ(t, x), которые зависят от t по закону
Φ(t, x) = exp(iωt)Φ(x), x ∈ Ω,
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 359
где ω — неизвестная частота колебаний, а Φ(x) — амплитудная фун-
кция, описывающая форму колебаний.
В принятых выше безразмерных переменных (см. п. 1.1) для на-
хождения функции Φ(x) возникает следующая спектральная задача
математической физики (см. [1, c. 293]):
∆Φ = 0 (в Ω),
∂Φ
∂n
= 0 (на S), (3.1)
M0ζ0 + µ = λΦ (на Γ0), ζ0 :=
∂Φ
∂n0
∣∣∣
Γ0
, λ = ρω2l3σ−1, (3.2)
M1ζ1 + µ = λΦ (на Γ1), ζ1 :=
∂Φ
∂n1
∣∣∣
Γ1
, (3.3)
M2ζ2 + µ = λΦ (на Γ2), ζ2 :=
∂Φ
∂n2
∣∣∣
Γ2
, (3.4)
где µ — не известная заранее константа, а λ — квадрат безразмерной
частоты собственных колебаний гидросистемы. Остальные обозначе-
ния — те же, что и в соотношениях (2.7)–(2.9), (2.3). В частности, для
функций ζ0(s), ζ1(s) и ζ2(s) должны выполняться граничные условия
(2.7), (2.8) в концевых точках кривых Γ0, Γ1 и Γ2.
В динамической проблеме (3.1)–(3.4), как и в задаче (2.7), (2.8),
можно исключить параметр µ с помощью тех же преобразований,
которые были проделаны выше при рассмотрении проблемы устой-
чивости. Именно, введем оператор проектирования K0 (см. (2.10)) и
подействуем им на обе части первого соотношения (3.2). Будем иметь
K0M0ζ0 + µ = λK0(Φ|Γ0),
откуда находим µ. Подставляя его в (3.2)–(3.4), приходим к векторно-
матричному соотношению P0M0 0 0
−K0M0 M1 0
−K0M0 0 M2
ζ0
ζ1
ζ2
= λ
Φ|Γ0 −K0(Φ|Γ0)
Φ|Γ1 −K0(Φ|Γ0)
Φ|Γ2 −K0(Φ|Γ0)
, (3.5)
аналогичному соотношению (2.12). Здесь слева снова появляется опе-
раторная матрица потенциальной энергии изучаемой гидросистемы,
а справа, как будет выяснено ниже, — операторная матрица кинети-
ческой энергии этой системы.
360 О спектральном признаке устойчивости...
3.2. Вспомогательные краевые задачи и их операторы
Переходя к рассмотрению спектральной задачи (3.1)–(3.4), заме-
тим, что необходимым условием ее разрешимости является условие∫
Γ0
ζ0dΓ0 +
2∑
j=1
∫
Γj
ζjdΓj = 0, (3.6)
т.е. условие (2.1) при m = 2. Здесь функции ζj(s) — амплитуды сме-
щений вдоль внешних нормалей n⃗j границ Γj в процессе малых ко-
лебаний, j = 0, 2, определенные в (3.2)–(3.4).
Опираясь на условие (3.6), рассмотрим три вспомогательные за-
дачи Неймана, позволяющие выразить правую часть в (3.5) в виде
действия операторной матрицы на искомый столбец ζ̂ := (ζ0; ζ1; ζ2)
τ
либо аналогичный столбец (η0; ζ1; ζ2)
τ , как это было выше сделано в
(2.18).
Именно, представим решение задачи (3.1)–(3.4) в виде суммы фун-
кций:
Φ(x) = Φ0(x) + Φ1(x) + Φ2(x),
где слагаемые являются решениями следующих вспомогательных за-
дач.
1◦. Задача о колебаниях границы Γ0 при неподвижных границах
Γ1 и Γ2:
∆Φ0 = 0 (в Ω),
∂Φ0
∂n
= 0 (на S),
∂Φ0
∂n
= η0 (на Γ0),
∫
Γ0
η0dΓ0 = 0,
∂Φ0
∂n
= 0 (на Γ1),
∂Φ0
∂n
= 0 (на Γ2),
∫
Γ0
Φ0dΓ0 = 0. (3.7)
Здесь η0 — заданная функция, которая появилась в п. 2.2 при рас-
смотрении проблемы устойчивости (см. (2.13)).
2◦. Задача о сдвиговых колебаниях границы Γ0 при общем возму-
щении границы Γ1 и неподвижной границе Γ2:
∆Φ1 = 0 (в Ω),
∂Φ1
∂n
= 0 (на S),
∂Φ1
∂n
= ζ01x
′
0(s) (на Γ0),
∂Φ1
∂n
= ζ1 (на Γ1),
∂Φ1
∂n
= 0 (на Γ2),
∫
Γ0
Φ1dΓ0 +
∫
Γ1
Φ1dΓ1 = 0,
(3.8)
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 361
где ζ01 = −K1ζ1 (см. (2.14), (2.15)), и потому выполнено необходимое
условие разрешимости задачи (3.8).
3◦. Задача о сдвиговых колебаниях границы Γ0 при общем возму-
щении границы Γ2 и неподвижной границе Γ1:
∆Φ2 = 0 (в Ω),
∂Φ2
∂n
= 0 (на S),
∂Φ2
∂n
= ζ02x
′
0(s) (на Γ0),
∂Φ2
∂n
= 0 (на Γ1),
∂Φ2
∂n
= ζ2 (на Γ2),
∫
Γ0
Φ2dΓ0 +
∫
Γ2
Φ2dΓ2 = 0,
(3.9)
где ζ02 = −K2ζ2 (и выполнено необходимое условие разрешимости
этой задачи).
Каждая из задач (3.7)–(3.9) является краевой задачей Неймана
для уравнения Лапласа. Eсли выполнены условия
η0 ∈ L2,Γ0 , ζ1 ∈ L2(Γ1), ζ2 ∈ L2(Γ2), (3.10)
то в области Ω с липшицевой границей ∂Ω существуют единственные
обобщенные решения этих задач, принадлежащие подпространству
гармонических функций из пространства С. Л. Соболева H1(Ω), и
можно считать, что
Φ0 = T0η0, Φ1 = T1ζ1, Φ2 = T2ζ2,
где Tj — соответствующие разрешающие операторы этих задач. Тог-
да в задаче (3.1)–(3.4) функция Φ допускает представление
Φ = T0η0 + T1ζ1 + T2ζ2 ∈ H1(Ω),
и потому (по теореме Гальярдо, см. [9])
Φ|Γ0 =γ0T0η0 + γ0T1ζ1 + γ0T2ζ2 ∈ H1/2(Γ0),
Φ|Γ1 =γ1T0η0 + γ1T1ζ1 + γ1T2ζ2 ∈ H1/2(Γ1),
Φ|Γ2 =γ2T0η0 + γ2T1ζ1 + γ2T2ζ2 ∈ H1/2(Γ2),
(3.11)
где γj , j = 0, 2, — соответствующие операторы следа.
Формулы (3.11) и (2.14), (2.15) позволяют в проблеме (3.5) пе-
рейти, как и в п. 2.2, от задачи (2.12) к задаче вида (2.18). В итоге
362 О спектральном признаке устойчивости...
возникает спектральная задача вида B0 0 0
−K0M0 B1 + b0K1 b0K2
−K0M0 b0K1 B2 + b0K2
η0
ζ1
ζ2
= λ
A00 A01 A02
A10 A11 A12
A20 A21 A22
η0
ζ1
ζ2
, (3.12)
где введены обозначения
A00 := P0γ0T0P0, A01 := P0γ0T1, A02 := P0γ0T2,
A10 := γ1T0 −K0γ0T0, A11 := γ1T1 −K0γ0T1, A12 := γ1T2 −K0γ0T2,
A20 := γ2T0 −K0γ0T0, A21 := γ2T1 −K0γ0T1, A22 := γ2T2 −K0γ0T2,
(3.13)
а операторы слева в (3.12) — те же, что и в проблеме (2.18).
Лемма 3.1. Операторная матрица
A = (Ajk)
2
j,k=0
с элементами (3.13) является оператором кинетической энергии ис-
следуемой гидросистемы и представляет собой компактный опера-
тор, действующий в пространстве L2,Γ0 ⊕ L2(Γ1)⊕ L2(Γ2). В пред-
ставлении (3.5) (с учетом соотношений (3.11) и (2.13)) эта опера-
торная матрица обладает следующим свойством положительнос-
ти: Φ|Γ0 −K0(Φ|Γ0)
Φ|Γ1 −K0(Φ|Γ0)
Φ|Γ2 −K0(Φ|Γ0)
·
ζ0
ζ1
ζ2
> 0 (∇Φ ̸≡ 0). (3.14)
Доказательство. Cвойство компактности элементов (3.13) матрицы
A является следствием того факта, что операторы Tj , j = 0, 2, вспо-
могательных задач (3.7)–(3.9) ограниченно действуют из пространств
(3.10) в H1(Ω), а операторы следа γj , j = 0, 2, являются компактны-
ми операторами из H1(Ω) в пространства (3.10) (теорема Гальярдо,
см. [9]).
Убедимся теперь, что выполнено свойство (3.14). В самом деле,
левая часть неравенства (3.14) равна (см. (3.6))
(Φ|Γ0 , ζ0)L2,Γ0
+ (Φ|Γ1 , ζ1)L2(Γ1) + (Φ|Γ2 , ζ2)L2(Γ2)
−K0(Φ|Γ0){(1Γ0 , ζ0)L2(Γ0) + (1Γ1 , ζ1)L2(Γ1) + (1Γ2 , ζ2)L2(Γ2)}
=
∫
Γ0∪Γ1∪Γ2
Φ
∂Φ
∂n
dΓ =
∫
∂Ω
Φ
∂Φ
∂n
dS =
∫
Ω
|∇Φ|2dΩ.
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 363
Данное выражение для собственных колебаний гидросистемы про-
порционально ее кинетической энергии и положительно, если поле
скорости, пропорциональное ∇Φ, ненулевое.
Из леммы 3.1 и предыдущих построений следует, что задача о
собственных колебаниях гидросистемы приведена к задаче на собст-
венные значения (3.12), т.е. к задаче
Bζ̌ = λAζ̌,
ζ̌ := (η0; ζ1; ζ2)
τ ∈ D(B) ⊂ Ľ2 := L2,Γ0 ⊕ L2(Γ1)⊕ L2(Γ2), (3.15)
где B и A — операторные матрицы (3.12). Здесь оператор B, как сле-
дует из рассмотрений п. 2.2, имеет дискретный вещественный спектр,
состоящий из двух ветвей собственных значений с предельной точкой
λ = +∞. Далее, оператор A является компактным и положительным.
Эти свойства позволяют установить следующий факт.
Лемма 3.2. Задача (3.15) о собственных колебаниях гидросистемы
имеет дискретный вещественный спектр с предельной точкой λ =
∞. Если собственные значения оператора B удовлетворяют нера-
венствам:
−∞ < λ1(B) ≤ · · · ≤ λκ(B) < 0 = λκ+1(B) = · · · = λκ+q(B)
< λκ+q+1(B) ≤ · · · ≤ λk(B) ≤ · · · , λk(B) → +∞ (k → ∞),
то собственные значения λk := λk(B;A) задачи (3.15) удовлетворя-
ют аналогичным неравенствам
−∞ < λ1 ≤ · · · ≤ λκ < 0 = λκ+1 = · · · = λκ+q < λκ+q+1 ≤ · · ·
≤ λk ≤ · · · , λk → +∞ (k → ∞).
Доказательство. Для уравнений вида (3.15) с указанными свойст-
вами операторов A и B, действующих в произвольном (сепарабель-
ном) гильбертовом пространстве, доказательство можно найти в [10,
п. 1.4.2–1.4.5].
Следствием установленных фактов является такое итоговое ут-
верждение.
Теорема 3.1 (о динамической устойчивости и неустойчивости).
1◦. Если минимальное собственное значение λ1(B) оператора по-
тенциальной энергии B положительно, то исследуемая гидросисте-
ма динамически устойчива.
364 О спектральном признаке устойчивости...
2◦. Если λ1(B) < 0, то гидросистема динамически неустойчива,
причем устойчивость теряется на сдвиговых возмущениях поверх-
ности Γ0.
3◦. Границе области динамической устойчивости соответству-
ет условие (2.25).
Утверждения 1◦–3◦ этой теоремы называют спектральным приз-
наком динамической устойчивости гидросистемы.
Вместо доказательства теоремы 3.1 отметим только, что границе
области статической и динамической устойчивости отвечает условие
λ∗ = λmin(B̃ + b0K̃) = 0 как в статической задаче (2.18), так и в
динамической задаче (3.15), т.е. задаче (3.12). Поэтому справедливы
утверждения теорем 2.2 и 2.3, что приводит при горизонтальной либо
криволинейной Γ0 к условию (2.25).
Благодарности. Авторы благодарят рецензента за замечания и со-
веты, приведшие к улучшению содержания статьи.
Литература
[1] В. Г. Бабский, М. Ю. Жуков, Н. Д. Копачевский, А. Д. Мышкис, Л. А. Сло-
божанин, А. Д. Тюпцов, Методы решения задач гидромеханики для условий
невесомости, К.: Наукова думка, 1992, 592 с.
[2] Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева, О равновесии и устойчивости капилляр-
ной жидкости с несвязной свободной поверхностью в открытом сосудe //
Нелинейные колебания, 17 (2014), No. 1, 58–71.
[3] И. А. Луковский, А. В. Михайлюк, А. М. Тимоха, Об одном вариационном
критерии устойчивости псевдоравновесных форм // Украинский математи-
ческий журнал, 48 (1996), No. 11, 1688–1695.
[4] С. Г. Михлин, Вариационные методы в математической физике, М.: Наука,
1970, 512 с.
[5] Р. Финн, Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория,
М.: Мир, 1989, 310 с.
[6] M. Ya. Barnyak, Construction of solutions for the problem of free oscillations of
an ideal liquid in cavities of complex geometric form // Ukrainian Mathematical
Journal, 57 (2005), No. 12, 1853–1869.
[7] I. Gavrilyuk, I. Lukovsky, A. Timokha, Two-dimensional variational vibroequili-
bria and Faraday’s drops // Z. angew. Math. Phys., 55 (2004), 1015–1033.
[8] I. P. Gavrilyuk, I. A. Lukovsky, V. L. Makarov, A. N. Timokha, Evolutional
problems of the contained fluid, Kiev: Publishing House of the Institute of
Mathematics of NASU, (2006), 233 p.
[9] E. Gagliardo, Caratterizazioni delle trace sullo frontiera relative ad alcune classi
de funzioni in “n” variabili // Rend. d. Semin. Mat. d. Univ. di Padova, 27 (1957),
284—305.
[10] N. D. Kopachevsky, S. G. Krein, Operator Approach to Linear Problems of
Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid, Basel: Bi-
rkhauser Verlag, 128 (2001), 384 p.
Н. Д. Копачевский, З. З. Ситшаева 365
[11] N. D. Kopachevsky, S. G. Krein, Operator Approach to Linear Problems of
Hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids, Basel: Bi-
rkhauser Verlag, 146, (2003), 444 p.
[12] D. W. Langbein, Capillary Surfaces: Shape–Stability–Dynamics, in Particular
Under Weightlessness (Springer Tracts in Modern Physics), Berlin, Heidelberg:
Springer, 178, (2002), 366 p.
[13] I. A. Lukovsky, A. N. Timokha, Asymptotic and variational methods in nonlinear
problems on interaction of surface waves with acoustic field // Journal of Applied
Mathematics and Mechanics, 65 (2001), No. 3, 477–485.
[14] A. D. Myshkis, V. G. Babckii, N. D. Kopachevskii, L. A. Slobozhanin, A. D.
Tyuptsov, Low-Gravity Fluid Mechanics, Berlin, Heidelberg, New York, London,
Paris, Tokio: Springer-Verlag, 1987, 583 p.
[15] L. A. Slobozhanin, J. I. D. Alexander, The stability of two connected drops
suspended from the edges of circular holes // Journal of Fluid Mechanics, 563
(2006), 319–355.
[16] L. A. Slobozhanin, V. M. Shevtsova, J. I. D. Alexander, J. Meseguer,
J. M. Montanero, Stability of Liquid Bridges Between Coaxial Equidimensi-
onal Disks to Axisymmetric Finite Perturbations // Microgravity Science and
Technology, 24 (2012), 65–77.
[17] A. N. Timokha, Planimetry of vibrocapillary equilibria at small wave numbers //
Internаtional Journal of Fluid Mechanics. Research, 32 (2005), No. 4, 454–487.
Сведения об авторах
Николай
Дмитриевич
Копачевский
Факультет математики и информатики,
Таврический национальный университет
им. В. И. Вернадского,
пр. aкад. Вернадского 4,
Симферополь, 95007,
Россия
E-Mail: kopachevsky@list.ru
Зера Зекерьяевна
Ситшаева
Факультет информатики,
Крымский инженерно-педагогический
университет,
пер. Учебный 8, ул. Севастопольская,
Симферополь, 95015,
Россия
E-Mail: szz2008@mail.ru
|