Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов

В этой работе рассматривается сильная усеченная матричная проблема моментов Гамбургера, что означает: индексы k меняются в диапазоне − 2μ− ≤ k ≤ 2μ+, а моменты Sk являются самосопряженными матрицами. Мы находим условия разрешимости и единственности решения этой задачи и даем описание всех решений в...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Симонов, К.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124518
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов / К.К. Симонов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 235-264. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124518
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245182017-09-29T03:03:13Z Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов Симонов, К.К. В этой работе рассматривается сильная усеченная матричная проблема моментов Гамбургера, что означает: индексы k меняются в диапазоне − 2μ− ≤ k ≤ 2μ+, а моменты Sk являются самосопряженными матрицами. Мы находим условия разрешимости и единственности решения этой задачи и даем описание всех решений в терминах самосопряженных расширений некоторого модельного симметрического оператора. Кроме того, мы строим последовательность двухточечных диагональных аппроксимаций Паде, соответствующих сильной проблеме моментов, и исследуем сходимость этой последовательности. Наконец, мы факторизуем резольвентную матрицу сильной усеченной проблемы моментов. 2007 Article Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов / К.К. Симонов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 235-264. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 44A60, 47A57, 42C05, 41A21. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124518 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В этой работе рассматривается сильная усеченная матричная проблема моментов Гамбургера, что означает: индексы k меняются в диапазоне − 2μ− ≤ k ≤ 2μ+, а моменты Sk являются самосопряженными матрицами. Мы находим условия разрешимости и единственности решения этой задачи и даем описание всех решений в терминах самосопряженных расширений некоторого модельного симметрического оператора. Кроме того, мы строим последовательность двухточечных диагональных аппроксимаций Паде, соответствующих сильной проблеме моментов, и исследуем сходимость этой последовательности. Наконец, мы факторизуем резольвентную матрицу сильной усеченной проблемы моментов.
format	Article
author	Симонов, К.К.
spellingShingle	Симонов, К.К. Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов Український математичний вісник
author_facet	Симонов, К.К.
author_sort	Симонов, К.К.
title	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
title_short	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
title_full	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
title_fullStr	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
title_full_unstemmed	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
title_sort	рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124518
citation_txt	Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов / К.К. Симонов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 235-264. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT simonovkk racionalʹnyeapproksimaciiisilʹnaâmatričnaâproblemamomentov
first_indexed	2025-07-09T01:33:29Z
last_indexed	2025-07-09T01:33:29Z
_version_	1837131215001354240
fulltext	Український математичний вiсник Том 4 (2007), № 2, 235 – 264 Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов Кирилл К. Симонов (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. Проблема моментов Гамбургера — это задача, в кото- рой по заданной последовательности моментов {Sk} требуется найти меру dΣ, удовлетворяющую тождествам Sk = ∫ +∞ −∞ tk dΣ(t). Если ин- дексы k принимают не только положительные, но и отрицательные значения, то проблема моментов называется сильной. С сильной про- блемой моментов тесно связаны двухточечные аппроксимации Па- де — рациональные аппроксимации, приближающие одновременно два заданных ряда в точках λ = ∞ и λ = 0, соответственно. В этой работе рассматривается сильная усеченная матричная проблема моментов Гамбургера, что означает: индексы k меняю- тся в диапазоне −2µ− ≤ k ≤ 2µ+, а моменты Sk являются само- сопряженными матрицами. Мы находим условия разрешимости и единственности решения этой задачи и даем описание всех реше- ний в терминах самосопряженных расширений некоторого модель- ного симметрического оператора. Кроме того, мы строим последо- вательность двухточечных диагональных аппроксимаций Паде, соо- тветствующих сильной проблеме моментов, и исследуем сходимость этой последовательности. Наконец, мы факторизуем резольвентную матрицу сильной усеченной проблемы моментов. 2000 MSC. 44A60, 47A57, 42C05, 41A21. Ключевые слова и фразы. Сильная матричная проблема момен- тов, двухточечные аппроксимации Паде. 1. Введение В этой работе мы рассматриваем так называемую сильную ма- тричную проблему моментов Гамбургера. Пусть задана последова- тельность самосопряженных N×N -матриц {Sk} +∞ −∞ и некоторый на- бор целых чисел K ⊂ Z. Требуется найти самосопряженные матри- Статья поступила в редакцию 22.02.2007 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 236 Рациональные аппроксимации... чные меры dΣ на R такие, что выполнены условия: +∞∫ −∞ tk dΣ(t) = Sk (k ∈ K). (1.1) При K = {0, 1, 2, . . .} (K = {0, 1, . . . , 2µ+}), эта задача является клас- сической полной (усеченной) проблемой моментов. Выбирая разли- чные наборы индексов K, мы будем получать следующие классы за- дач: 1. Усеченная сильная проблема моментов (общий случай) SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+): K = {−2µ−,−2µ− + 1, . . . , 2µ+} (µ− ≥ 1, µ+ ≥ 0). 2. Усеченная сильная проблема моментов (четный случай) SHMP({Sk} +∞ −∞, 2µ): K = {−2µ,−2µ+ 1, . . . , 2µ} (µ ≥ 0). 3. Усеченная сильная проблема моментов (нечетный случай) SHMP({Sk} +∞ −∞, 2µ+ 1): K = {−2µ− 2,−2µ− 1, . . . , 2µ} (µ ≥ 0). 4. Полная сильная проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,∞): K=Z. Сильная матричная проблема моментов может быть представле- на, как интерполяционная задача в классе Неванлинны–Пика NCN N×N -матриц-функций φ(λ), голоморфных в C+ ∪ C− и удовлетво- ряющих условию ℑφ(λ)ℑλ ≥ 0 (λ ∈ C+ ∪ C−). А именно, согласно теореме Гамбургера–Неванлинны для сильной проблемы моментов (см. теорему 2.2), задача SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) эквивалентна следующей проблеме: найти функции φ ∈ NCN , удов- летворяющие условиям: φ(λ) = S−1 + S−2λ+ · · · + S−2µ− λ2µ−−1 + o(λ2µ−−1) при λ→̂0, φ(λ) = − S0 λ − S1 λ2 − · · · − S2µ+ λ2µ++1 + o ( 1 λ2µ++1 ) при λ→̂∞. (1.2) К. К. Симонов 237 Здесь и далее limλ→̂a f(λ) = A обозначает некасательный предел: для любого ǫ > 0, f(λ) → A при λ → a и ǫ < arg λ < π − ǫ. Полная сильная проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,∞) эквивалентна такой задаче: найти функции φ ∈ NCN , удовлетворяющие условиям (1.2) при любых µ− ≥ 1, µ+ ≥ 0. Всякая функция φ ∈ NCN , удовлетворяющая условию φ(λ) = O(λ−1) при λ→̂∞, однозначно представляется в виде φ(λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ (λ ∈ C \ R), (1.3) где dΣ — некоторая конечная самосопряженная N ×N -матричная мера. Согласно теореме 2.2, функция φ(λ) вида (1.3) удовлетворя- ет (1.2) тогда и только тогда, когда dΣ является решением задачи SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). φ(λ) удовлетворяет условиям (1.2) при лю- бых µ− ≥ 1, µ+ ≥ 0 тогда и только тогда, когда dΣ является решением полной проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,∞). Другим предметом исследования этой работы являются двухто- чечные рациональные аппроксимации. Обозначим через L−(λ) и L+(λ) формальные степенные ряды: L−(λ) = ∞∑ k=1 S−kλ k−1, L+(λ) = ∞∑ k=0 −Skλ −k−1. (1.4) ПустьA(λ) иB(λ) —N×N -матричные полиномы формальной степени m и F (λ) = A(λ−1)B(λ−1)−1. Функция F (λ) называется двухточечной N×N -матричной m-ой диа- гональной аппроксимацией Паде типа (m−, m+), соответствующей паре (L−(λ), L+(λ)), если выполнены условия: (i) Матрицы B(0) и λmB(λ−1)\|λ=0 невырождены. (ii) Функция F (λ) имеет асимптотические разложения: F (λ) = L−(λ) + o(λm−−1) при λ→ 0, F (λ) = L+(λ) + o(λ−m+−1) при λ→ ∞ для m− ≥ 1, m+ ≥ 0, таких, что 2m = m− +m+ + 1. 238 Рациональные аппроксимации... Классическая матричная проблема моментов рассматривалась многими авторами, включая М. Г. Крейна [20], В. П. Потапова и И. В. Ковалишину [19], H. Dym [10], В. М. Адамяна и И. М. Ткачен- ко [1]. Однако сильная проблема моментов, до появления работ [25, 26], рассматривалась лишь в скалярном случае (см. [6, 11–18, 23]). Условия разрешимости полной сильной скалярной проблемы момен- тов, как указал нам Ю. М. Березанский, можно получить, как ча- стный случай теоремы 5.1 из его книги [6, стр. 722]. Решения полной сильной скалярной проблемы моментов Гамбургера были описаны O. Nj̊astad в [23]. Заметим, что в работе [23] описание дано при допол- нительном условии регулярности проблемы моментов (см. определе- ние 4.2). Описание решений сильной скалярной проблемы моментов на полуоси [0,∞) было получено И. С. Кацем и А. А. Нудельманом в [18]. Двухточечные рациональные аппроксимации и соответствующие им непрерывные дроби рассматривались в работах W. B. Jones и W. J. Thron (см. [4, 8, 14]). Диагональные аппроксимации Паде типа (m, m− 1) были описаны в [14] при условии, что проблема моментов регулярна. Сильная матричная проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,m) рас- сматривалась в [25] и [26] для случаев m = 2µ и m = ∞, соответ- ственно. В этих работах были получены критерии разрешимости и единственности решения, а также дано описание всех решений. Приведем содержание и основные результаты этой работы. В разделе 2 получены необходимые и достаточные условия раз- решимости проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) (см. предло- жение 2.1 и следствие 2.1). В случае выполнения этих условий, мы строим модельное гильбертово пространство H(µ−,µ+) и модельный симметрический оператор A(µ−,µ+). Тогда существует взаимно-одно- значное соответствие между множеством всех решений проблемы мо- ментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) и некоторым классом самосопряжен- ных расширений оператора A(µ−,µ+) (см. теорему 2.3). В разделе 3 построены двухточечные диагональные аппроксима- ции Паде, соответствующие задаче SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) (см. тео- рему 3.1), и исследована их сходимость (см. теорему 3.2). В разделе 4 мы переходим к рассмотрению задачи SHMP({Sk} +∞ −∞, m). Здесь мы находим аппроксимации Паде типов (2µ, 2µ+1) и (2µ+ 2, 2µ+1), выраженные в явном виде через ортогональные полиномы Лорана первого и второго рода. В разделе 5 факторизуется резольвентная матрица задачи SHMP({Sk} +∞ −∞,m). К. К. Симонов 239 2. Операторная модель Напомним основные свойства линейных отношений (см. [5]). Линейным отношением в гильбертовом пространстве H называ- ется линейное многообразие в H ⊕H. Поскольку каждый линейный оператор S в H можно отождествить с его графиком {{f, Sf} ∈ H ⊕H : f ∈ domS}, то каждый линейный оператор можно считать линейным отношени- ем. Для произвольных линейных отношений S̃, T̃ в пространстве H и λ ∈ C положим: dom S̃ = {f : {f, g} ∈ S̃}, ran S̃ = {g : {f, g} ∈ S̃}, ker S̃ = {f : {f, 0} ∈ S̃}, mul S̃ = {g : {0, g} ∈ S̃}, S̃−1 = {{g, f} ∈ H ⊕H : {f, g} ∈ S̃}, S̃∗ = {{f ′, g′} ∈ H ⊕H : (g, f ′) = (f, g′) for all {f, g} ∈ S̃}, λS̃ = {{f, λg} ∈ H ⊕H : {f, g} ∈ S̃}, S̃ + T̃ = {{f, g + g′} ∈ H ⊕H : {f, g} ∈ S̃, {f, g′} ∈ T̃}, S̃T̃ = {{f, h} ∈ H ⊕H : {f, g} ∈ T̃ , {g, h} ∈ S̃}. Резольвентное множество ρ(S̃) линейного отношения S̃ в H оп- ределяется по формуле ρ(S̃) = {λ ∈ C : ker(S̃ − λ) = 0, ran(S̃ − λ) = H}. Линейное отношение называется замкнутым, если оно в самом де- ле является замкнутым подпространством в H ⊕H. Линейное отно- шение S̃ в H называется симметрическим (диссипативным), если (f ′, f) ∈ R (ℑ(f ′, f) ≥ 0) для любой пары {f, f ′} ∈ S̃. Симметри- ческое (диссипативное) отношение S̃ называется самосопряженным (максимально диссипативным), если C+ ∪ C− ⊂ ρ(S̃) (C− ⊂ ρ(S̃)). Любое максимально диссипативное отношение S̃ в H однозначно представляется в виде S̃ = S ⊕ m̂ul S̃, где S = {{f, f ′} ∈ S̃ : f ′ ⊥ mul S̃}, m̂ul S̃ = {{0, f ′} ∈ S̃}. 240 Рациональные аппроксимации... Линейный оператор S называется операторной частью S̃, а линейное отношение m̂ul S̃ — многозначной частью S̃. Пусть S — симметрический линейный оператор в H, S̃ — его са- мосопряженное расширение в H̃ ⊃ H, L — подпространство в H. Заметим, что мы не требуем, чтобы расширение S̃ являлось операто- ром. Тогда S̃ называется L-минимальным расширением S, если H̃ = clos span{L, (S̃ − λ)−1L : λ ∈ ρ(S̃)}. Определение 2.1 (см. [21]). Говорят, что голоморфная функция τ : C+ ∪ C− → H ⊕H принадлежит классу Неванлинны–Пика ÑH , если при каждом λ ∈ C+ τ(λ) является максимально диссипатив- ным линейным отношением в H и для всех λ ∈ C+ ∪ C− выполнено тождество τ(λ) = τ(λ)∗. Говорят, что τ ∈ ÑH принадлежит классу NH , если τ(λ) — ма- ксимально диссипативный линейный оператор при всех λ ∈ C+. Перейдем теперь к рассмотрению сильной проблемы моментов. Прежде всего, покажем, что проблему моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) можно представить как некоторую интерполяционную задачу в классе NCN . Напомним классический результат Гамбургера и Неван- линны. Теорема 2.1 (см. [2]). Пусть dΣ — N×N -матричная неотрица- тельная мера на R, удовлетворяющая равенствам +∞∫ −∞ tk dΣ(t) = Sk (k = 0, 1, . . . , 2µ+). (2.1) Тогда функция F (λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ (2.2) имеет асимптотическое разложение F (λ) = − S0 λ − S1 λ2 − · · · − S2µ+ λ2µ++1 + o ( 1 λ2µ++1 ) при λ→̂∞. (2.3) Обратно, всякая функция F (λ) класса NCN , имеющая асимпто- тическое разложение (2.3), представляется в виде (2.2), где мера dΣ удовлетворяет равенствам (2.1). К. К. Симонов 241 Для сильной проблемы моментов, аналогичное утверждение мо- жет быть сформулировано следующим образом. Теорема 2.2. Если dΣ — решение сильной проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), то соответствующая функция F (λ) вида (2.2) имеет асимптотические разложения F (λ) = S−1 + S−2λ+ · · · + S−2µ− λ2µ−−1 + o(λ2µ−−1) при λ→̂0, F (λ) = − S0 λ − S1 λ2 − · · · − S2µ+ λ2µ++1 + o ( 1 λ2µ++1 ) при λ→̂∞. (2.4) Обратно, если функция F (λ) класса NCN имеет асимптотиче- ские разложения (2.4), то она представима в виде (2.2), где dΣ — некоторое решение проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Доказательство. Прежде чем перейти непосредственно к доказате- льству, сделаем одно предварительное замечание. Для всякой коне- чной и непрерывной в точке t = 0 меры dΣ определим ассоциирован- ную меру dΣ̃ по формуле Σ̃(t) =    −Σ(t−1) + Σ(−∞) (t < 0), 0 (t = 0), −Σ(t−1) + Σ(+∞) (t > 0). Тогда функции F (λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ и F̃ (λ) = +∞∫ −∞ dΣ̃(t) t− λ будут связаны тождеством F̃ (λ) = − S0 λ − 1 λ2 F (λ−1) (λ ∈ C \ R), где S0 = +∞∫ −∞ dΣ(t) = +∞∫ −∞ dΣ̃(t). Поэтому разложения (2.4) справедливы тогда и только тогда, когда F̃ (λ) = − S0 λ − S−1 λ2 − · · · − S−2µ− λ2µ−+1 + o ( 1 λ2µ−+1 ) при λ→̂∞, F (λ) = − S0 λ − S1 λ2 − · · · − S2µ+ λ2µ++1 + o ( 1 λ2µ++1 ) при λ→̂∞. (2.5) 242 Рациональные аппроксимации... Пусть теперь dΣ — решение SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Тогда верны равенства S−k = +∞∫ −∞ tk dΣ̃(t) (k = 0, 1, . . . , 2µ−), Sk = +∞∫ −∞ tk dΣ(t) (k = 0, 1, . . . , 2µ+), (2.6) и из теоремы 2.1 следует справедливость разложений (2.5), а значит и (2.4). Обратно, если имеют место асимптотические разложения (2.4), то функция F (λ) представима в виде (2.2) с некоторой конечной мерой dΣ, непрерывной в точке t = 0, и верны разложения (2.5). Применяя дважды теорему 2.1, получаем равенства (2.6). Отсюда следует, что dΣ — решение проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Теперь определим необходимые условия разрешимости проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Предложение 2.1. Если проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) разрешима, то следующие условия выполнены при любых {ξk} µ+ −µ− ⊂ C N : µ+∑ i,j=−µ− ξ∗jSi+jξi ≥ 0 (2.7) и µ+−1∑ i,j=−µ− ξ∗jSi+jξi = 0 тогда и только тогда, когда µ+−1∑ i,j=−µ− ξ∗jSi+j+2ξi = 0. (2.8) Доказательство. Пусть dΣ — решение проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Тогда µ+∑ i,j=−µ− ξ∗jSi+jξi = +∞∫ −∞ ( µ+∑ j=−µ− ξjt j )∗ dΣ(t) ( µ+∑ i=−µ− ξit i ) ≥ 0 при любых {ξk} µ+ −µ− ⊂ C N . Таким образом, выполнено (2.7). Поскольку выполнены неравенства +∞∫ −∞ tk dΣ(t) = Sk <∞ (k = −1,−2, . . . ,−µ−), К. К. Симонов 243 то точка t = 0 не принадлежит дискретному спектру dΣ. Поэтому условие +∞∫ −∞ ( µ+−1∑ j=−µ− ξjt j )∗ dΣ(t) ( µ+−1∑ i=−µ− ξit i ) = 0 выполнено тогда и только тогда, когда +∞∫ −∞ ( µ+−1∑ j=−µ− ξjt j+1 )∗ dΣ(t) ( µ+−1∑ i=−µ− ξit i+1 ) = 0, что доказывает (2.8). Далее в этом разделе мы всюду подразумеваем, что выполнены условия (2.7) и (2.8). В дальнейшем мы покажем, что (2.7) и (2.8) являются также и достаточными условиями разрешимости SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Рассмотрим пространство N -векторных полиномов Лорана Ĥ(µ−,µ+) = span{ξtk : ξ ∈ C N , k ∈ {−µ−,−µ− + 1, . . . , µ+}}. В этом пространстве введем внутреннее произведение (φzi, ψzj) = ψ∗Si+jφ (φ, ψ ∈ C N , −µ− ≤ i, j ≤ µ+). (2.9) Изотропную часть этого произведения обозначим через ◦ H(µ−,µ+) = {f ∈ Ĥ(µ−,µ+) : (f, f) = 0}. Согласно (2.7), внутреннее произведение (2.9) неотрицательно. Поэтому фактор-пространство H(µ−,µ+) = Ĥ(µ−,µ+)/ ◦ H(µ−,µ+) является гильбертовым пространством. Обозначим через φ̂zk класс эквивалентности (φzk+ ◦ H(µ−,µ+)) ∈ H(µ−,µ+). Из условия (2.8) следует, что z(φ̂zk) = φ̂zk+1, z−1(φ̂zk+1) = φ̂zk (k = −µ−,−µ− + 1, . . . , µ+ − 1). Поэтому оператор умножения A(µ−,µ+)(φ̂z k) = φ̂zk+1, domA(µ−,µ+) = span{φ̂zk : φ ∈ C N , k = −µ−,−µ− + 1, . . . , µ+ − 1} 244 Рациональные аппроксимации... корректно определен и kerA(µ−,µ+) = 0. Заметим, что область определения оператора A(µ−,µ+), в общем случае, неплотна в H(µ−,µ+). Следовательно, в общем случае, A∗ (µ−,µ+) является линейным отношением. Выделим некоторые специальные пространства и операторы сре- ди пространств H(µ−,µ+) и операторов A(µ−,µ+): H2µ = H(µ,µ), A2µ = A(µ,µ), H2µ+1 = H(µ+1,µ), A2µ+1 = A(µ+1,µ), L = {φ̂ = φ̂z0 : φ ∈ C N}. Если условия (2.7) выполнены при всех µ− ≥ 1, µ+ ≥ 0, то можно определить гильбертово пространство H и оператор A по формулам H = clos span{φ̂zk : φ ∈ C N , k ∈ Z}, A = clos span{(φ̂zk, φ̂zk+1) ∈ H ⊕ H : k ∈ Z}. Существует прямая связь между самосопряженными расши- рениями оператора A(µ−,µ+) и решениями проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Теорема 2.3. Пусть Ã — L-минимальное самосопряженное расши- рение оператора A(µ−,µ+) в некотором пространстве H̃ ⊃ H(µ−,µ+), и пусть dEt = dEt(Ã) — разложение единицы Ã. Тогда N ×N - матричная мера dΣ(t), определенная по формуле ψ∗Σ(t)φ = (Et(Ã)φ̂, ψ̂) (φ, ψ ∈ C N ), (2.10) является решением проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) то- гда и только тогда, когда ker Ã = mul Ã = 0. Более того, если Ik = +∞∫ −∞ tk Σ(t) (−2µ− ≤ k ≤ 2µ+), то выполнены следующие условия: (i) Ik = Sk при −2µ− < k < 2µ+, I−2µ− ≤ S−2µ− и I2µ+ ≤ S2µ+ ; (ii) I−2µ− = S−2µ− тогда и только тогда, когда ker Ã = 0; (iii) I2µ+ = S2µ+ тогда и только тогда, когда mul Ã = 0. К. К. Симонов 245 Обратно, для всякого решения dΣ(t) проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) найдется L-минимальное самосопряженное расширение Ã оператора A(µ−,µ+) такое, что выполнено равенство (2.10). Замечание 2.1. Теорема 2.3 была доказана в [26] для задачи SHMP({Sk} +∞ −∞, 2µ). Доказательство. Докажем прямое утверждение теоремы. Мы огра- ничимся доказательством того, что выполнены соотношения I0 = S0, I1 = S1, . . . , I2µ+−1 = S2µ+−1, I2µ+ ≤ S2µ+ и I2µ+ = S2µ+ , только если mul Ã = 0. Тем самым мы покажем спра- ведливость условий (i) при k ≥ 0 и условия (iii). Доказательство условий (i) при k < 0 и условия (ii) мы опускаем. Прежде всего заметим, что существует следующее ограничение на многозначную часть Ã: mul Ã ⊂ mulA∗ (µ−,µ+) ⊕ (H̃ ⊖ H(µ−,µ+)) = (H ⊖ domA(µ−,µ+)) ⊕ (H̃ ⊖ H(µ−,µ+)). Поскольку расширение Ã является L-минимальным, то mul Ã = 0 тогда и только тогда, когда mul Ã ⊥ (H(µ−,µ+) ⊖ domA(µ−,µ+)). Отношение Ã однозначно представляется в виде Ã = A′ ⊕ m̂ul Ã, где A′ — операторная часть Ã. В частности, A′f ⊥ mul Ã для любого f ∈ domA′. Ортогональный проектор на многозначную часть Ã обозначим че- рез PM = P mul Ã . Покажем по индукции, что выполнены следующие равенства: (A′)kφ̂ = Ak (µ−,µ+)φ̂ = zkφ̂ (φ ∈ C N , k = 0, 1, . . . , µ+ − 1). (2.11) В самом деле, предположим, что это условие выполнено для всех k ≤ κ < µ+ − 1. Тогда (A′)κ+1φ̂ = A′Aκ (µ−,µ+)φ̂ = Aκ+1 (µ−,µ+)φ̂− PMAκ+1 (µ−,µ+)φ̂ = Aκ+1 (µ−,µ+)φ̂, поскольку Aκ+1 (µ−,µ+)φ̂ = zκ+1φ̂ ∈ domA(µ−,µ+) ⊥ mul Ã для 0 < κ+ 1 < µ+. Тем самым мы показали, что Ik = Sk при k = 0, 1, . . . , 2µ+ − 1. 246 Рациональные аппроксимации... Вектор (A′)µ+ φ̂ представляется в виде (A′)µ+ φ̂ = A′A µ+−1 (µ−,µ+)φ̂ = (1 − PM)A µ+ (µ−,µ+)φ̂. Покажем, что выполнено условие (iii). Действительно, +∞∫ −∞ t2µ+ d(Etφ̂, ψ̂) = ((A′)µ+ φ̂, (A′)µ+ψ̂) = (A µ+ (µ−,µ+)φ̂− PMA µ+ (µ−,µ+)φ̂, A µ+ (µ−,µ+)ψ̂ − PMA µ+ (µ−,µ+)ψ̂) = (A µ+ (µ−,µ+)φ̂, A µ+ (µ−,µ+)ψ̂) − (PMA µ+ (µ−,µ+)φ̂, PMA µ+ (µ−,µ+)ψ̂) = ψ∗S2µ+φ− ψ∗Xφ, где X — некоторая самосопряженная матрица, определенная тожде- ством ψ∗Xφ = (PMA µ+ (µ−,µ+)φ̂, PMA µ+ (µ−,µ+)ψ̂) (φ, ψ ∈ C N ). Теперь ясно, что 0 ≤ X ≤ S2µ+ и X = 0 тогда и только тогда, когда A µ+ (µ−,µ+)L = {φ̂zµ+ : φ ∈ C N} ⊥ mul Ã. X = 0 тогда и только тогда, когда mul Ã = 0, поскольку H(µ−,µ+) = domA(µ−,µ+) + A µ+ (µ−,µ+)L и domA(µ−,µ+) ⊥ mul Ã. Это завершает до- казательство прямого утверждения теоремы. Покажем, что справедливо обратное утверждение. Пусть dΣ(t) — решение проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Определим ли- нейный ограниченный самосопряженный оператор e(t) в пространс- тве L по формуле (e(t)φ̂, ψ̂) = ψ∗Σ(t)φ. Тогда e(t) удовлетворяет условиям e(−∞) = 0L, e(+∞) = IL, e(t− 0) = e(t) (t ∈ R). Согласно теореме Наймарка о дилатации (см. [3,7]) существует гиль- бертово пространство H̃ ⊃ L и разложение единицы Et : H̃ → H̃ такие, что e(t) = PLEt\|L, clos span{Etφ̂ : φ̂ ∈ L} = H̃. Разложение единицы Et определяет соответствующий самосопряжен- ный оператор Ã = +∞∫ −∞ t dEt К. К. Симонов 247 в пространстве H̃. По построению Ã является L-минимальным. По- кажем, что существует изометрическое вложение V : H(µ−,µ+) → H̃ такое, что V A(µ−,µ+)V −1 ⊂ Ã. В самом деле, +∞∫ −∞ t2k d(Etφ̂, φ̂) = +∞∫ −∞ t2k d(e(t)φ̂, φ̂) = φ∗S2kφ <∞ (−µ− ≤ k ≤ µ+) и, следовательно, L ⊂ dom Ãk для всех −µ− ≤ k ≤ µ+. Положим V (zkφ̂) = V (Ak (µ−,µ+)φ̂) = Ãkφ̂ (φ̂ ∈ L, −µ− ≤ k ≤ µ+). Заметим, что V отображает L на себя. Отображение V изометрично, поскольку (V (ziφ̂), V (zjψ̂)) H̃ = (Ãiφ̂, Ãjψ̂) H̃ = +∞∫ −∞ ti+j d(Etφ̂, ψ̂) = +∞∫ −∞ ti+j ψ∗dΣ(t)φ = ψ∗Si+jφ = (ziφ̂, zjψ̂) (φ, ψ ∈ C N , −µ− ≤ i, j ≤ µ+), и включение V A(µ−,µ+)V −1 ⊂ Ã выполнено по построению. Очевидно, что mul Ã = 0, поскольку Ã является оператором. Из условия (ii) следует, что ker Ã = 0. Следствие 2.1. Проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) разре- шима тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.7) и (2.8). Следствие 2.2. Проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) име- ет единственное решение тогда и только тогда, когда оператор A(µ−,µ+) является самосопряженным. 3. Двухточечные аппроксимации Паде Прежде чем перейти к рассмотрению двухточечных аппроксима- ций Паде, формальное определение которых было дано в разделе 1, нам необходимо наложить дополнительные условия невырожденно- сти на последовательность моментов {Sk} +∞ −∞. Определение 3.1. Последовательность самосопряженных N×N - матриц {Sk} +∞ −∞ называется строго положительной, если квадрати- чные формы вида m∑ i,j=−m ξ∗jSi+jξi ({ξk} m −m ⊂ C N ) 248 Рациональные аппроксимации... положительно определены и невырождены при всех m > 0. Строго положительная последовательность {Sk} +∞ −∞ называе- тся нормализованной, если S0 = I. Всякую строго положительную последовательность {S̃k} +∞ −∞ мо- жно нормализовать по формуле Sk = S̃ − 1 2 0 S̃kS̃ − 1 2 0 (k ∈ Z). В этом разделе мы будем считать, что заданная последователь- ность моментов {Sk} +∞ −∞ строго положительна. С каждой усеченной сильной проблемой моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) свяжем ассоциированную классиче- скую матричную усеченную проблему моментов Гамбургера CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), которую мы приведем в следующей фор- мулировке. Найти самосопряженные матричные меры dΣ(C) на R такие, что выполнены условия: +∞∫ −∞ tk+2µ− dΣ(C)(t) = Sk (k = −2µ−,−2µ− + 1, . . . , 2µ+). (3.1) Эта задача хорошо изучена (см. [1,10,19,20]). Скалярный случай усе- ченной проблемы моментов детально разобран в [22] (см. также [9]). Напомним некоторые хорошо известные факты. Ортогональные матричные полиномы P (C) m (z) первого рода, соо- тветствующие задаче CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), определяются по фор- муле: P (C) m (z) = Zm(z)H−1 m ΩmDm, где Zm(z) = ( I zI · · · zmI ) , Hm = ( S−2µ−+i+j )m i,j=0 , Ωm = ( 0 0 · · · 0 I )∗ , Dm = ( H−1 m )− 1 2 m,m . Заметим, что матрица P (C) m (0) невырождена тогда и только тогда, когда квадратичная форма m−1∑ i,j=0 ξ∗jSi+j−2µ−+1ξi ({ξk} m−1 0 ⊂ C N ) невырождена. К. К. Симонов 249 Ортогональные матричные полиномы Q (C) m (z) второго рода опре- деляются по формуле Q(C) m (z) = S ( P (C) m (z) − P (C) m (ζ) z − ζ ) , где S — линейный оператор со значениями в C N×N , действующий на пространстве N×N -матричных полиномов от ζ и определенный равенствами S(ζk) = S−2µ−+k (k = 0, 1, 2, . . .). Существует взаимно-однозначное соответствие между решениями dΣ(C) проблемы моментов CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ−) и множеством всех функций τ ∈ NCN , удовлетворяющих условию lim y→∞ τ(iy) y = 0. (3.2) Это соответствие выражается формулой +∞∫ −∞ dΣ(C)(t) t− λ = −(Q (C) µ−1(λ)τ(λ) +Q(C) µ (λ))(P (C) µ−1(λ)τ(λ) + P (C) µ (λ))−1, где µ = µ− + µ+ + 1. Замечание 3.1. В рамках операторного подхода к проблеме момен- тов, условие (3.2) совпадает с условием M -допустимости функции τ(λ) и получено в [9]. Функция F (C) (µ−,µ+)(λ) = −Qµ(λ)Pµ(λ)−1 является µ-ой аппроксимацией Паде формального ряда ∞∑ k=0 −S−2µ−+kλ −k−1. Это значит, что F (C) (µ−,µ+)(λ) представляется в виде F (C) (µ−,µ+)(λ) = A (C) (µ−,µ+)(λ −1)B (C) (µ−,µ+)(λ −1)−1, 250 Рациональные аппроксимации... где A (C) (µ−,µ+)(λ) и B (C) (µ−,µ+)(λ) — N×N -матричные полиномы формаль- ной степени µ, B (C) (µ−,µ+)(0) — невырожденная матрица и F (C) (µ−,µ+)(λ) = 2µ−1∑ k=0 −S−2µ−+kλ −k−1 + o ( λ−2µ ) (λ→ ∞). (3.3) Функции A (C) (µ−,µ+)(λ) и B (C) (µ−,µ+)(λ) имеют вид A (C) (µ−,µ+)(λ) = −λµQ(C) µ (λ−1), B (C) (µ−,µ+)(λ) = λµP (C) µ (λ−1). Заметим, что функция F (C) (µ−,µ+)(λ) представляется в виде F (C) (µ−,µ+)(λ) = +∞∫ −∞ dΣ (C) (µ−,µ+)(t) t− λ , (3.4) где Σ (C) (µ−,µ+) — некоторое решение проблемы моментов CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) Предложение 3.1. Всякое решение dΣ сильной проблемы момен- тов SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+) представляется в виде dΣ = t2µ− dΣ(C), (3.5) где dΣ(C) — решение ассоциированной классической проблемы момен- тов CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), непрерывное в точке t = 0. Обратно, если Σ(C) — решение CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), непре- рывное в точке t = 0, то мера Σ, определенная по формуле (3.5), является решением SHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+). Предложение 3.1 доказывается элементарной проверкой. Заме- тим, что если Σ(C) — решение CHMP({Sk} +∞ −∞, µ−, µ+), имеющее ска- чок в точке t = 0, то мера (3.5) будет удовлетворять равенствам (1.1) при −2µ− < k ≤ 2µ+, а при k = −2µ− будет выполнено неравенство +∞∫ −∞ t−2µ− dΣ(t) < S−2µ− . К. К. Симонов 251 Положим A(µ−,µ+)(λ) = λ−2µ−A (C) (µ−,µ+)(λ) + [ 2µ−∑ k=1 S−kλ −k+1 ] B (C) (µ−,µ+)(λ), B(µ−,µ+)(λ) = B (C) (µ−,µ+)(λ) и F(µ−,µ+)(λ) = A(µ−,µ+)(λ −1)B(µ−,µ+)(λ −1)−1 = λ2µ−F (C) (µ−,µ+)(λ) + 2µ−∑ k=1 S−kλ k−1. (3.6) Теорема 3.1. Если квадратичная форма µ+∑ i,j=−µ− ξ∗jSi+j+1ξi ({ξk} µ+ −µ− ⊂ C N ) (3.7) невырождена, то функция F(µ−,µ+)(λ) является (µ−+µ++1)-ой диа- гональной двухточечной аппроксимацией Паде типа (2µ−, 2µ+ + 1), соответствующей паре (1.4). Доказательство. В первую очередь заметим, что матрица B(µ−,µ+)(0) = B (C) (µ−,µ+)(0) невырождена в силу строгой поло- жительности последовательности моментов {Sk} +∞ −∞, а матрица λµ−+µ++1B(µ−,µ+)(λ −1)\|λ=0 = P (C) µ−+µ++1(0) невырождена в силу невырожденности формы (3.7). Покажем, что функция A(µ−,µ+)(λ) является полиномом формаль- ной степени (µ− + µ+ + 1). Из (3.3) следует, что верно соотношение A (C) (µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ−+2µ++1∑ k=0 −S−2µ−+kλ −k−1 ] B (C) (µ−,µ+)(λ −1) = o ( λ−2(µ−+µ++1) ) (λ→ ∞). (3.8) Поэтому также справедливо и разложение A (C) (µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ−∑ k=1 −S−kλ k−2µ−−1 ] B (C) (µ−,µ+)(λ −1) = o ( λ−2µ− ) (λ→ ∞). 252 Рациональные аппроксимации... Умножая левую и правую часть на λ2µ− и делая замену λ = λ−1, получим A(µ−,µ+)(λ) = λ−2µ−A (C) (µ−,µ+)(λ) − [ 2µ−∑ k=1 −S−kλ −k+1 ] B (C) (µ−,µ+)(λ) = o(1) (λ→ 0). Отсюда следует, что A(µ−,µ+)(λ) является полиномом и A(µ−,µ+)(0) = 0. Из определения A(µ−,µ+)(λ) ясно, что его степень не превышает µ− + µ+ + 1. Осталось показать, что выполнены соотношения A(µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ−∑ k=1 S−kλ k−1 ] B(µ−,µ+)(λ −1) = o(λ2µ−−1) (λ→ 0), (3.9) A(µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ++1∑ k=0 Skλ −k−1 ] B(µ−,µ+)(λ −1) = o(λ−2µ+−2) (λ→ ∞). (3.10) Действительно, подставим значения A (C) (µ−,µ+)(λ) = λ2µ−A(µ−,µ+)(λ) − [ 2µ−−1∑ k=0 S−2µ−+kλ k+1 ] B(µ−,µ+)(λ), B (C) (µ−,µ+)(λ) = B(µ−,µ+)(λ) в (3.8). Получим λ−2µ−A(µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ−−1∑ k=0 S−2µ−+kλ −k−1 ] B(µ−,µ+)(λ −1) = [ 2µ−+2µ++1∑ k=0 −S−2µ−+kλ −k−1 ] B(µ−,µ+)(λ −1) + o ( λ−2(µ−+µ++1) ) (λ→ ∞), откуда следует (3.10). К. К. Симонов 253 Наконец, из тождества λ−2µ−A (C) (µ−,µ+)(λ) = A(µ−,µ+)(λ) − [ 2µ−∑ k=1 S−kλ −k+1 ] B(µ−,µ+)(λ) получаем A(µ−,µ+)(λ −1) − [ 2µ−∑ k=1 S−kλ k−1 ] B(µ−,µ+)(λ −1) = λ2µ−A (C) (µ−,µ+)(λ −1) = o(λ2µ−−1) (λ→ 0), что доказывает (3.9). Теорема 3.2. Пусть заданы две последовательности целых поло- жительных чисел {µ (k) − }∞0 и {µ (k) + }∞0 , такие, что µ (k) − → ∞, µ (k) + → ∞ при k → ∞. Положим Fk(λ) = F (µ (k) − ,µ (k) + ) (λ). Тогда верны следующие утвержде- ния: 1. Последовательность {Fk(λ)}∞0 предкомпактна в пространстве голоморфных функций в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах C+. 2. Любая предельная точка {Fk(λ)}∞0 имеет вид F (λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ , где dΣ — некоторое решение полной сильной проблемы момен- тов SHMP({Sk} +∞ −∞,∞). 3. Если задача SHMP({Sk} +∞ −∞,∞) имеет единственное решение dΣ, то lim k→∞ Fk(λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ . Доказательство. Сперва заметим, что третье утверждение теоремы немедленно следует из второго. 254 Рациональные аппроксимации... Далее, из (3.4) и (3.6) следует, что Fk(λ) представляется в виде Fk(λ) = +∞∫ −∞ dΣk(t) t− λ , где мера Σk получается из некоторого решения Σ (C) k проблемы мо- ментов CHMP({Sk} +∞ −∞, µ (k) − , µ (k) + ) по формуле (3.5). Поэтому функция Fk(λ) является функцией класса NCN и при достаточно больших k удовлетворяет соотношениям Fk(λ) = M∑ k=0 −Skλ −k−1 + o(λ−M−1) при λ→̂∞, Fk(λ) = M∑ k=1 S−kλ k−1 + o(λM−1) при λ→̂0. (3.11) Поскольку выражение ∣∣∣ξ∗F (k)(λ)ξ ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ +∞∫ −∞ ξ∗dΣk(t)ξ t− λ ∣∣∣∣∣ ≤ ξ∗S0ξ \|ℑλ\| −1 (ξ ∈ C N ) ограничено на компактных множествах в C+, то последовательность {Fk(λ)}∞0 предкомпактна, т. е. выполнено первое утверждение теоре- мы. Пусть F (λ) некоторая предельная точка {Fk(λ)}∞0 . Поскольку ℑFk(λ)ℑλ ≥ 0 для любого k, то и ℑF (λ)ℑλ ≥ 0, а значит, F (λ) прина- длежит классу NCN . Кроме того, для F (λ) выполнено условие (3.11) при любом M . Поэтому, по теореме 2.2, F (λ) представляется в виде F (λ) = +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ , где мера dΣ(t) удовлетворяет тождествам +∞∫ −∞ tk dΣ(t) = Sk (k ∈ Z). Значит dΣ(t) — решение полной проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞, ∞). К. К. Симонов 255 4. Ортогональные полиномы Лорана Всюду в дальнейшем в этой статье мы предполагаем, что заданная последовательность моментов {Sk} +∞ −∞ строго положительна и норма- лизована. Определение 4.1. Проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,m) называ- ется невырожденной, если заданная последовательность моментов {Sk} +∞ −∞ строго положительна. Определение 4.2. Проблема моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,m) называе- тся регулярной, если она невырождена и квадратичные формы вида m∑ i,j=−m ξ∗jSi+j−1ξi, m∑ i,j=−m ξ∗jSi+j+1ξi ({ξk} m −m ⊂ C N ) невырождены при всех m > 0. Большинство утверждений в этом разделе были доказаны в на- ших прежних работах [24, 27]. В этом разделе мы приведем явный вид для некоторых классов двухточечных аппроксимаций Паде, свя- занных с сильной проблемой моментов. Определение 4.3 (см. [24]). Последовательность N×N -матрич- ных полиномов Лорана {Pk(z)} ∞ 0 вида P2k(z) = k∑ j=−k P (j) 2k z j , P2k+1(z) = k∑ j=−k−1 P (j) 2k+1z j (P (j) k ∈ C N×N ) называется последовательностью ортогональных полиномов Лорана первого рода, если выполнены условия: (A) Коэффициенты P (k) 2k и P (−k−1) 2k+1 строго положительны. (B) Полиномы Лорана {Pk(z)} ∞ 0 ортонормированы, т. е., (Pi(z)ξ, Pj(z)η) = 0, (Pk(z)ξ, Pk(z)η) = η∗ξ (ξ, η ∈ C N , i, j, k = 0, 1, . . . , i 6= j). Условия (A) и (B) однозначно определяют последовательность {Pk(z)} ∞ 0 . 256 Рациональные аппроксимации... Определение 4.4 (см. [24]). Последовательность N×N -матрич- ных полиномов Лорана {Qk(z)} ∞ 0 , определенная по формулам η∗Qk(z)ξ = (Rk(·, z)ξ, η) (ξ, η ∈ C N , k = 0, 1, 2, . . .), где Rk(ζ, z) = Pk(ζ) − Pk(z) ζ − z (k = 0, 1, 2, . . .), называется последовательностью полиномов Лорана второго рода. Дополняя определения 4.3 и 4.4, положим P−2(z) = 0, P−1(z) = 0, Q−2(z) = −I, Q−1(z) = 0. Если обозначить через {ǫj} N 1 стандартный базис в C N , то после- довательность {Pi(z)ǫj : i = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , N} образует ортонормированный базис в пространстве H. Поэтому ка- ждый элемент f ∈ H однозначно представляется в виде ряда f(z) = ∞∑ k=0 Pk(z)φk, (4.1) где коэффициенты разложения φk ∈ C N определяются по формулам ǫ∗jφk = (f(z), Pk(z)ǫj) (j = 1, . . . , N). Коэффициенты {φk} ∞ 0 удовлетворяют условию ‖f‖2 = ∞∑ k=0 ‖φk‖ 2 CN <∞. (4.2) Обратно, всякий вектор f вида (4.1), удовлетворяющий условию (4.2), принадлежит пространству H. Ясно, что последовательность {Pi(z)ǫj : i = 0, 1, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , N} образует ортонормированный базис в подпространстве Hm. К. К. Симонов 257 Теорема 4.1 (см. [24]). Полиномы Лорана {Pk(z)} ∞ 0 и {Qk(z)} ∞ 0 удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям: zP2k(z) = P2k−2(z)C ∗ 2k−2 + P2k−1(z)B ∗ 2k−1 + P2k(z)A2k + P2k+1(z)B2k + P2k+2(z)C2k, zQ2k(z) = Q2k−2(z)C ∗ 2k−2 +Q2k−1(z)B ∗ 2k−1 +Q2k(z)A2k +Q2k+1(z)B2k +Q2k+2(z)C2k, zP2k+1(z) = P2k(z)B ∗ 2k + P2k+1(z)A2k+1 + P2k+2(z)B2k+1, zQ2k+1(z) = Q2k(z)B ∗ 2k +Q2k+1(z)A2k+1 +Q2k+2(z)B2k+1 (k = 0, 1, 2, . . .) (4.3) с начальными условиями P−2(z) = 0, P0(z) = I, Q−2(z) = −I, Q0(z) = 0, (4.4) где {Ak} ∞ 0 , {Bk} ∞ −1, {Ck} ∞ −2 — некоторые N×N -матрицы. Предложение 4.1 ([24]). Коэффициенты {Ak} ∞ 0 , {Bk} ∞ −1, {Ck} ∞ −2 рекуррентных соотношений (4.3) удовлетворяют следующим усло- виям. (i) C−2 = I, B−1 = 0, C2k−1 = 0 (k = 0, 1, 2, . . .); (ii) Следующие матрицы корректно определены: C−1 2k , B̃0 = (B∗ 0 −A0C −1 0 B1) −1, C̃2k+1 = − [ ( B2k B∗ 2k+1 )(C2k A2k+2 0 C2k+2 )−1( B∗ 2k+2 B2k+3 )]−1 (k = 0, 1, 2 . . .); (iii) Верны неравенства: C2kC2k−2 · · ·C0 > 0, C̃2k+1C̃2k−1 · · · C̃1B̃0 > 0 (k = 0, 1, 2, . . .); (iv) Матрицы Ak самосопряженные и удовлетворяют равенствам A2k+1 = B2kC −1 2k B2k+1 (k = 0, 1, 2, . . .). 258 Рациональные аппроксимации... Крайние коэффициенты полиномов Лорана {Pk(z)} ∞ 0 выражаю- тся через коэффициенты разложения (4.3) следующим образом: P (0) 0 = I, P (−1) 1 = B̃−1 0 , P (−k−1) 2k+1 = P (−k) 2k−1C̃ −1 2k−1 = B̃−1 0 C̃−1 1 C̃−1 3 · · · C̃−1 2k−1, P (k) 2k+1 = P (k) 2k C −1 2k B2k+1 = C−1 0 C−1 2 · · ·C−1 2k B2k+1, P (k+1) 2k+2 = P (k) 2k C −1 2k = C−1 0 C−1 2 · · ·C−1 2k , P (−k−1) 2k+2 = −P (−k−1) 2k+1 B2kC −1 2k = −B̃−1 0 C̃−1 1 C̃−1 3 · · · C̃−1 2k−1B2kC −1 2k . В предыдущем разделе мы рассматривали семейство симметри- ческих операторов Am, действующих в подпространствах Hm. Обо- значим через Ãm самосопряженное расширение оператора Am в про- странстве Hm, определенное следующими тождествами. 1. При m = 2µ: Ã2µP2µ(z) = P2µ−2(z)C ∗ 2µ−2 + P2µ−1(z)B ∗ 2µ−1 + P2µ(z)A2µ. 2. При m = 2µ+ 1: Ã2µ+1P2µ(z) = P2µ−2(z)C ∗ 2µ−2 + P2µ−1(z)B ∗ 2µ−1 + P2µ(z)A2µ + P2µ+1(z)B2µ, Ã2µ+1P2µ+1(z) = P2µ(z)B∗ 2µ + P2µ+1(z)A2µ+1. В базисе {Pi(z)ǫj : i = 0, 1, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , N} оператор Ãm представляется в следующем блочно-матричном виде: Ã2µ =   A0 B∗ 0 C∗ 0 B0 A1 B∗ 1 C0 B1 A2 . . . A2µ−2 B∗ 2µ−2 C∗ 2µ−2 B2µ−2 A2µ−1 B∗ 2µ−1 C2µ−2 B2µ−1 A2µ   , К. К. Симонов 259 Ã2µ+1 =   A0 B∗ 0 C∗ 0 B0 A1 B∗ 1 C0 B1 A2 . . . A2µ−2 B∗ 2µ−2 C∗ 2µ−2 B2µ−2 A2µ−1 B∗ 2µ−1 C2µ−2 B2µ−1 A2µ B∗ 2µ B2µ A2µ+1   . Предложение 4.2. Выполнены тождества: ker Ã2µ = (P2µ−1(z) − P2µ(z)C−∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2) ker(B2µ−1 −A2µC −∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2), ker Ã2µ+1 = P2µ+1(z) kerB∗ 2µ. Доказательство. Для начала заметим, что ker Ãm ⊂ kerA∗ m = Hm ⊖ ranAm и H2µ ⊖ ranA2µ = {(P2µ−1(z) − P2µ(z)C−∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2)φ : φ ∈ C N}, H2µ+1 ⊖ ranA2µ+1 = {P2µ+1(z)φ : φ ∈ C N}. Поэтому Ã2µ(P2µ−1(z) − P2µ(z)C−∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2)φ = P2µ(z)(B2µ−1 −A2µC −∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2)φ (φ ∈ C N ) и Ã2µ+1P2µ+1(z)φ = (P2µ(z)+P2µ+1(z)B ∗ 2µ+1C −∗ 2µ )B∗ 2µφ (φ ∈ C N ). Пусть Et = Et(Ãm) — разложение единицы самосопряженного оператора Ãm. Положим Fm(λ) = +∞∫ −∞ PLEt\|L t− λ . (4.5) Функции Fm(λ) можно выразить и в явном виде. Предложение 4.3. Справедливы тождества F2µ(λ) = −(Q2µ+1(λ)B2µ +Q2µ+2(λ)C2µ)(P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ)−1, F2µ+1(λ) = −Q2µ+2(λ)P2µ+2(λ)−1. 260 Рациональные аппроксимации... Доказательство. Мы докажем первое из тождеств, второе тожде- ство доказывается аналогично. Сперва заметим, что F2µ(λ) можно представить в виде η∗F2µ(λ)ξ = ((Ã2µ − λ)−1ξ, η) (ξ, η ∈ L, λ ∈ C \ R). Возьмем произвольный вектор ξ ∈ L и положим (Ã2µ − λ)−1ξ = f = ∞∑ k=0 Pk(z)fk. (4.6) Тогда η∗fk = ((Ã2µ − λ)−1ξ, Pk(z)η) = ((Ã2µ − λ)−1ξ, (Pk(z) − Pk(λ))η) + ((Ã2µ − λ)−1ξ, Pk(λ)η) = η∗(Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗F2µ+1(λ))ξ. (4.7) Заменяя в равенстве (4.6) fk на (4.7), мы получим (Ã2µ − λ)−1 ∣∣ L = 2µ∑ k=0 Pk(z)Qk(λ)∗ + 2µ∑ k=0 Pk(z)Pk(λ)∗F2µ+1(λ). (4.8) Легко проверить, что (Ã2µ − λ) 2µ∑ k=0 Pk(z)Pk(λ)∗ = −P2µ(z)(P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ)∗, (Ã2µ − λ) 2µ∑ k=0 Pk(z)Qk(λ)∗ = I − P2µ(z)(Q2µ+1(λ)B2µ +Q2µ+2(λ)C2µ)∗. Применяя (Ã2µ − λ) к обоим сторонам равенства (4.8), получаем I = I − P2µ(z)(Q2µ+1(λ)B2µ +Q2µ+2(λ)C2µ)∗ − P2µ(z)(P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ)∗F2µ(λ). Таким образом, F2µ(λ) = F2µ(λ)∗ = −(Q2µ+1(λ)B2µ +Q2µ+2(λ)C2µ)(P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ)−1. К. К. Симонов 261 Из предложения 4.2 следует следующее утверждение. Теорема 4.2. 1. Если матрица (B2µ−1−A2µC −∗ 2µ−2B ∗ 2µ−2) невыро- ждена, то диагональная аппроксимация Паде типа (2µ, 2µ+1) для пары (1.4) существует и имеет вид −(Q2µ+1(λ)B2µ +Q2µ+2(λ)C2µ)(P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ)−1. 2. Если матрица B∗ 2µ невырождена, то диагональная аппрокси- мация Паде типа (2µ + 2, 2µ + 1) для пары (1.4) существует и имеет вид −Q2µ+2(λ)P2µ+2(λ)−1. Доказательство. В силу (4.5), теоремы 2.2 и теоремы 2.3, нам нужно лишь доказать равенства (Ã2µ+1 2µ ξ, η) = η∗S2µ+1ξ, (Ã2µ+1 2µ+1ξ, η) = η∗S2µ+1ξ (ξ, η ∈ L). Поскольку Ãm = PHm A\|Hm , то мы получим (Ã2µ+1 2µ ξ, η) = (Aµ+1ξ, Aµη) = (z2µ+1ξ, η) = η∗S2µ+1ξ, (Ã2µ+1 2µ+1ξ, η) = (Aµ+1ξ, Aµη) = (z2µ+1ξ, η) = η∗S2µ+1ξ. 5. Резольвентные матрицы Положим (см. [24]) V2µ(λ) = ( v (2µ) ij )2 1 = ( −Q2µ(λ) −Q2µ+1(λ)B2µ −Q2µ+2(λ)C2µ P2µ(λ) P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ ) , V2µ+1(λ) = ( v (2µ+1) ij )2 1 = ( −Q2µ(λ)C∗ 2µ −Q2µ+1(λ)B∗ 2µ+1 −Q2µ+2(λ) P2µ(λ)C∗ 2µ + P2µ+1(λ)B∗ 2µ+1 P2µ+2(λ) ) (µ = 0, 1, 2, . . .). (5.1) Матрица Vm(λ) называется резольвентной матрицей задачи SHMP({Sk} +∞ −∞,m), поскольку позволяет описывать решения этой за- дачи в виде дробно-линейного преобразования согласно следующему утверждению. 262 Рациональные аппроксимации... Теорема 5.1. Существует взаимно-однозначное соответствие между решениями dΣ(λ) проблемы моментов SHMP({Sk} +∞ −∞,m) и множеством всех функций τ ∈ ÑCN , удовлетворяющих условиям lim y→∞ τ(iy) y = 0, lim y→0 y(v (m) 22 (iy)(v (m) 21 (iy))−1 + τ(iy))−1 = 0. Это соответствие устанавливается формулой +∞∫ −∞ dΣ(t) t− λ = ( v (m) 11 (λ)τ(λ) + v (m) 12 (λ) )( v (m) 21 (λ)τ(λ) + v (m) 22 (λ) )−1 , (5.2) где функции (v (m) ij (λ))21 определены равенствами (5.1). Доказательство. Для случая m = 2µ это утверждение было доказа- но в [26], для случая m = 2µ + 1 оно может быть доказано тем же методом. Теорема 5.2. Справедливо представление Vm(λ) = y m∏ k=0 Tk(λ) (m = 0, 1, 2, . . .), (5.3) где T2µ(λ) = ( 0 −I I λ−A2µ ) , T2µ+1(λ) = ( C∗ 2µ + 1 λ B∗ 2µB ∗ 2µ+1 − 1 λ B∗ 2µB2µC −1 2µ 1 λ C−1 2µ B2µ+1B ∗ 2µ+1 C−1 2µ − 1 λ C−1 2µ B2µ+1B2µC −1 2µ ) = ( 1 0 0 C−1 2µ )[( C∗ 2µ 0 0 C2µ ) + 1 λ ( B∗ 2µ B2µ+1 )( B∗ 2µ+1 −B2µ )](1 0 0 C−1 2µ ) . Доказательство. Для доказательства достаточно убедиться, что V0(λ) = T0(λ), и проверить тождество Vm(λ)Tm+1(λ) = Vm+1(λ). Мы ограничимся проверкой для случая m = 2µ − 1, случай m = 2µ проверяется аналогично. Воспользовавшись соотношениями (4.3), получим К. К. Симонов 263 V2µ−1(λ)T2µ(λ) = ( −Q2µ−2(λ)C∗ 2µ−2 −Q2µ−1(λ)B∗ 2µ−1 −Q2µ(λ) P2µ−2(λ)C∗ 2µ−2 + P2µ−1(λ)B∗ 2µ−1 P2µ(λ) )( 0 −I I λ−A2µ ) = ( −Q2µ(λ) Q2µ−2(λ)C∗ 2µ−2+Q2µ−1(λ)B∗ 2µ−1+Q2µ(λ)A2µ−λQ2µ(λ) P2µ(λ) −P2µ−2(λ)C∗ 2µ−2−P2µ−1(λ)B∗ 2µ−1−P2µ(λ)A2µ+λP2µ(λ) ) = ( −Q2µ(λ) −Q2µ+1(λ)B2µ −Q2µ+2(λ)C2µ P2µ(λ) P2µ+1(λ)B2µ + P2µ+2(λ)C2µ ) = V2µ(λ). Литература [1] V. M. Adamyan and I. M. Tkachenko, Solutions of the truncated matrix Hamburger moment problem according to M.G.Krein, Operator Theory: Adv. and Appl. 118 (2000), 33–51. [2] Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов и некоторые вопросы ана- лиза, связанные с нею, ГИФМЛ, Москва, 1961. [3] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва, 1966. [4] George A. Baker, Jr. and Peter Graves-Morris, Padé approximants. Part II, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 14, Addison-Wesley Publi- shing Co., Reading, Mass., 1981. [5] Ch. Bennewitz, Symmetric relations on a Hilbert space, Conference on the Theory of Ordinary and Partial Differential Equations (Univ. Dundee, Dundee, 1972), Springer, Berlin, 1972, pp. 212–218. Lecture Notes in Math., Vol. 280. [6] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен- ных операторов, Наукова думка, Киев, 1965. [7] М. С. Бродский, Треугольные и жордановы представления линейных опера- торов, Наука, Москва, 1969. [8] A. Bultheel, Laurent series and their Padé approximations, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 27, Birkhäuser Verlag, Basel, 1987. [9] V. A. Derkach and M. M Malamud, The extension theory of Hermitian operators and the moment problem, Journal of Mathematical Sciences 73 (1995), N 2, 141– 242. [10] H. Dym, On Hermitian block Hankel matrices, matrix polynomials, the Hamburger moment problem, interpolation and maximum entropy, Integral Equations and Operator Theory 12 (1989), 757–812. [11] E. Hendriksen and C. Nijhuis, Laurent–Jacobi matrices and the strong Hamburger moment problem, Acta Appl. Math. 61 (2000), 119–132. [12] W. B. Jones, O. Nj̊astad, and W. J. Thron, Continued fractions and strong Hamburger moment problems, Proc. London Math. Soc. (3) 47 (1983), N 2, 363– 384. [13] W. B. Jones and Olav Nj̊astad, Orthogonal Laurent polynomials and strong moment theory: a survey, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), N 1–2, 51–91. [14] W. B. Jones and W. J. Thron, Continued fractions: Analytic theory and appli- cations, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980. 264 Рациональные аппроксимации... [15] W. B. Jones and W. J. Thron, Survey of continued fraction methods of solving moment problems and related topics, Analytic Theory of Continued Fractions (Loen, 1981), Lecture Notes in Math., vol. 932, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982, pp. 4–37. [16] W. B. Jones, W. J. Thron, and O. Nj̊astad, Orthogonal Laurent polynomials and the strong Hamburger moment problem, J. Math. Anal. Appl. 98 (1984), no. 2, 528–554. [17] W. B. Jones, W. J. Thron, and H. Waadeland, A strong Stieltjes moment problem, Trans. Amer. Math. Soc. 261 (1980), 503–528. [18] I. S. Kats and A. A. Nudelman, Strong Stieltjes moment problem, St. Peterburg Math. J. 8 (1997), no. 6, 931–950. [19] И. В. Ковалишина, Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач, Изв. РАН. Сер. матем. 47 (1983), N 3, 455–497. [20] М. Г. Крейн, Основные положения теории представления эрмитовых опе- раторов с индексом дефекта (m, m), Укр. мат. журнал АН УССР 1 (1949), N 2, 3–66. [21] М. Г. Крейн, Г. К. Лангер, О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Πκ , Функц. анализ и его прил. 5 (1971), N 2–3, 59–71, 54–69. [22] М. Г. Крейн, А. А. Нудельман, Проблема моментов Маркова и экстремаль- ные задачи, Наука, Москва, 1973. [23] O. Nj̊astad, Solutions of the strong Hamburger moment problem, J. of Math. Analysis and Appl. 197 (1996), 227–248. [24] K. K. Simonov, Orthogonal matrix Laurent polynomials, Mathematical Notes 79 (2006), N 1–2, 292–296. [25] K. K. Simonov, Strong matrix moment problem of Hamburger, Methods of Functi- onal Analysis and Topology 12 (2006), N 2, 183–196. [26] K. K. Simonov, Strong truncated matrix moment problem of Hamburger, Sarajevo Journal of Mathematics 2 (2006), N 2, 181–204. [27] К. К. Симонов, Ортогональные матричные полиномы Лорана на веществен- ной оси, Украинский Математический Вестник 3 (2006), N 2, 275–299. Сведения об авторах Кирилл К. Симонов Донецкий национальный университет ул. Университетская 24, 83055, Донецк, Украина E-Mail: xi@gamma.dn.ua

Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов

Репозитарії

Схожі ресурси