Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями
В работе некоторые положения теории операторов Штурма–Лиувилля с локальными точечными взаимодействиями на дискретном множестве переносится на операторы 4-го порядка....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124522 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями / Н.И. Голощапова, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 355-369. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124522 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245222017-09-30T03:03:14Z Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями Голощапова, Н.И. Оридорога, Л.Л. В работе некоторые положения теории операторов Штурма–Лиувилля с локальными точечными взаимодействиями на дискретном множестве переносится на операторы 4-го порядка. 2007 Article Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями / Н.И. Голощапова, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 355-369. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1810-3200 2001 MSC. 47A10, 34L40. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124522 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе некоторые положения теории операторов Штурма–Лиувилля с локальными точечными взаимодействиями на дискретном множестве переносится на операторы 4-го порядка. |
| format |
Article |
| author |
Голощапова, Н.И. Оридорога, Л.Л. |
| spellingShingle |
Голощапова, Н.И. Оридорога, Л.Л. Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями Український математичний вісник |
| author_facet |
Голощапова, Н.И. Оридорога, Л.Л. |
| author_sort |
Голощапова, Н.И. |
| title |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| title_short |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| title_full |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| title_fullStr |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| title_full_unstemmed |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| title_sort |
дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124522 |
| citation_txt |
Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными точечными взаимодействиями / Н.И. Голощапова, Л.Л. Оридорога // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 355-369. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT goloŝapovani differencialʹnyjoperatorčetvertogoporâdkaslokalʹnymitočečnymivzaimodejstviâmi AT oridorogall differencialʹnyjoperatorčetvertogoporâdkaslokalʹnymitočečnymivzaimodejstviâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:33:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:33:52Z |
| _version_ |
1837131220279885824 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 3, 355 – 369
Дифференциальный оператор четвертого
порядка с локальными точечными
взаимодействиями
Наталья И. Голощапова, Леонид Л. Оридорога
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В работе некоторые положения теории операторов
Штурма–Лиувилля с локальными точечными взаимодействиями на
дискретном множестве переносится на операторы 4-го порядка.
2001 MSC. 47A10, 34L40.
Ключевые слова и фразы. Точечные взаимодействия, симметри-
ческий оператор, индексы дефекта, граничные тройки, скобки Ла-
гранжа.
1. Введение
Операторам с точечными взаимодействиями посвящено достато-
чно много работ ( [1–3,5,10,13,14]). Cреди них следует выделить опе-
раторы задаваемые формальными дифференциальными выражени-
ями
lM,α = − d2
dx2
+
n∑
k=1
αkδ(x− pk)
и
lM,β = − d2
dx2
+
n∑
k=1
βkδ
′(x− pk),
где δ(·) — функция Дирака, и M = {pk}nk=1, n ≤ ∞.
В настоящей работе мы распространяем часть результатов из [5]
на случай дифференциального оператора четвертого порядка.
А именно, рассмотрим дифференциальную операцию d4
dx4 как опера-
тор в гильбертовом пространстве
⊕
i L
2(Ii), где
⋃
i Ii = (a, b) \ {pi}.
Статья поступила в редакцию 25.06.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
356Оператор с локальными точечными взаимодействиями
Максимальный TmaxM и минимальный TminM операторы определяются
следующим образом:
domTmaxM = {f ∈ L2(a, b) : f, f ′, f ′′, f ′′′ ∈ ACloc((a, b) \M),
f IV ∈ L2(a, b)},
TmaxM f = f IV , f ∈ domTmaxM ,
domT ′
M = {f ∈ domTminM : supp f компактен в (a, b) \M},
TminM = TmaxM ↾ domT ′
M .
Как правило, оператор с точечными взаимодействиями в точках pi ∈
M определяют (см., например, [1]) как самосопряженное расширение
минимального оператора TminM , добавляя для каждого i граничные
условия, связывающие pi+ и pi−. Однако, в случае бесконечного чи-
сла точек минимальный оператор имеет бесконечные индексы дефе-
кта, что усложняет задачу построения самосопряженных расширений
минимального оператора. В [5] для одномерного оператора Шредин-
гера приводится конструкция, позволяющая обойти эту трудность и
показывается, что классическая теория Штурма–Лиувилля (см., на-
пример, [9,11]) может быть обобщена на случай локальных точечных
взаимодействий. В настоящей работе мы распространяем метод, пре-
дложенный в [5] на случай оператора четвертого порядка. Основ-
ная идея состоит в рассмотрении специального симметрического ра-
сширения T0,{Up} (cм. (2.6)) минимального оператора TminM . Оператор
T0,{Up} имеет конечные индексы дефекта, что значительно упрощает
задачу построения самосопряженных расширений минимального опе-
ратора. Именно, мы показываем, что n−(T0,{Up}) = n+(T0,{Up}) ≤ 4,
и описываем дифференциальные операторы с точечными взаимодей-
ствиями как самосопряженные расширения вспомогательного опера-
тора T0,{Up}.
В предложении 3.1 мы указываем граничные условия в точках
взаимодействия, при которых справедлива оценка n±(T0,Up) ≤ 3. В
предложении 3.2 для оператора Шредингера с локальными точечны-
ми взаимодействиями указаны условия, при которых индексы дефе-
кта n±(T0,Up) не являются максимальными, то есть принимают зна-
чения 0, либо 1.
2. Минимальный и максимальный операторы
Пусть I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞ — открытый конечный, или
бесконечный интервал, I ⊆ R. Минимальный T I0 и максимальный
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 357
операторы T I , действующие в гильбертовом пространстве L2(I) и со-
ответствующие дифференциальному выражению d4
dx4 , определяются
стандартным образом:
domT I =
{
f ∈ L2(I) : f, f ′, f ′′, f ′′′ ∈ ACloc(I), f IV ∈ L2(I)
}
,
T If = f IV , f ∈ domT I ; (2.1)
T I0 = T I ↾ domT ′, (2.2)
где
domT ′ = {f ∈ domT I : supp f компактен в I}.
Отметим очевидное равенство (T I0 )∗ = T I .
Нашей основной целью является описание точечных взаимодей-
ствий, сосредоточенных на дискретном множестве M ⊂ I. А имен-
но, нас интересует случай, когда точки множества M накапливаются
только к концам интервала I. Случаю, когда M имеет предельные
точки внутри I (например, M — канторово множество) посвящены
работы [3,13] (см. также библиографию к ним).
Рассмотрим следующие дифференциальные операторы
domTmaxM = {f ∈ L2(I) : f, f ′, f ′′, f ′′′ ∈ ACloc(I \M), f IV ∈ L2(I)},
TmaxM f = f IV , f ∈ domTmaxM ; (2.3)
domT ′
M = {f ∈ domTminM : supp f компактен в I \M},
TminM = TmaxM ↾ domT ′
M , (2.4)
TminM ⊂ TmaxM .
Разбивая I \M =
⋃
Ii на интервалы, получим соотношения
TmaxM =
⊕
i
T Ii , TminM =
⊕
i
T Ii0 , (TminM )
∗
= TmaxM .
В случае бесконечного множества M симметрический оператор TminM
имеет равные бесконечные индексы дефекта n±(TminM ) =∞. Мы обой-
дем эту проблему, расширяя вначале TminM до симметрического опе-
ратора с конечными индексами дефекта и затем изучая самосопря-
женные расширения полученного оператора.
Заметим, что для f ∈ domTmax функции f ,f ′,f ′′,f ′′′ имеют ко-
нечные правый и левый пределы во всех точках интервала I и, в
358Оператор с локальными точечными взаимодействиями
частности, в точках множества M , хотя они не обязаны быть непре-
рывными в этих точках. Для f, g ∈ TmaxM и t ∈ I определим скобки
Лагранжа
[f, g]t := f(t)g(3)(t)− f (3)(t)g(t) + f ′(t)g(2)(t)− f (2)(t)g′(t). (2.5)
Отметим, что скобки Лагранжа могут быть непрерывными в точках
множества M даже для разрывных функций f , g и их производных.
Мы выберем свойство непрерывности скобок Лагранжа в качестве
определяющего при поиске самосопряженных расширений оператора
TminM .
Определение 2.1. Самосопряженный оператор T̃ (TminM ⊂ T̃ ⊂
TmaxM ) будем называть оператором с точечными взаимодействия-
ми на множестве M , если скобки Лагранжа [f, g] непрерывны на
интервале I для любой пары f, g ∈ dom T̃ .
Как будет показано в дальнейшем, условие непрерывности скобок
Лагранжа накладывается для локализации взаимодействий в отдель-
ных точках, то есть исключает зависимость условий в одной точке
от условий в других. Определим теперь симметрические расширения
T0,{Up} минимального оператора TminM следующим образом. Пусть для
каждой точки p ∈M задана унитарная 4×4-матрица {Up}. Положим
f−+ (p) :=
f(p−)− if ′′′(p−)
f(p+) + if ′′′(p+)
f ′(p−)− if ′′(p−)
f ′(p+) + if ′′(p+)
, f+
− (p) :=
f(p+)− if ′′′(p+)
f(p−) + if ′′′(p−)
f ′(p+)− if ′′(p+)
f ′(p−) + if ′′(p−)
и обозначим через T{Up} и T0,{Up} сужения оператора TmaxM на области
определения
domT{Up} = {f ∈ domTmaxM : f+
− (p) = Upf
−
+ (p), p ∈M},
domT ′
0,{Up}
= {f ∈ domT{Up} : supp f компактен в I},
T0,{Up} = T{Up} ↾ domT ′
0,{Up}
. (2.6)
Очевидны следующие соотношения TminM ⊂ T0,{Up} ⊂ T{Up} ⊂ TmaxM .
Забегая вперед, скажем, что смысл указанной конструкции заклю-
чается в том, что T0,{Up} — симметрический оператор с конечными
индексами дефекта.
Теорема 2.1. (i) Для любых f, g ∈ domT{Up} скобки Лагранжа
[f, g]t непрерывны на интервале I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞.
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 359
Кроме того, пределы [f, g]a+ и [f, g]b− существуют, и справе-
дливо тождество Лагранжа
(T{Up}f, g)− (f, T{Up}g) = [f, g]b− − [f, g]a+ =: [f, g]ba. (2.7)
(ii) T0,{Up} симметричен и
T0,{Up}
∗ = T{Up}.
Доказательство. (i) Непрерывность скобок Лагранжа в любой точке
p ∈M вытекает из следующих соотношений:
[f, g]p− − [f, g]p+ =
i
2
(f−+ (p), g−+(p))C4 − i
2
(f+
− (p), g+
−(p))C4
=
i
2
(Upf
−
+ (p), Upg
−
+(p))C4 − i
2
(f+
− (p), g+
−(p))C4 = 0. (2.8)
Пусть дан отрезок [α, β] ⊂ (a, b). Так как множество [α, β] ∩M коне-
чно, мы имеем
β∫
α
(
(T{Up}f)(t)g(t)− f(t)(T{Up}g)(t)
)
dt = [f, g]β− − [f, g]α+
+
∑
p∈[α,β]∩M
([f, g]p− − [f, g]p+) = [f, g]β− − [f, g]α+. (2.9)
Устремляя α и β к концам интервала I, убеждаемся в существова-
нии пределов [f, g]a+, [f, g]b−, а также в справедливости тождества
Лагранжа.
(ii) Пусть f ∈ domT0,{Up}. Тогда согласно (2.9), для всех g ∈
domT{Up} имеем [f, g]ab = 0, то есть
(T0,{Up}f, g) = (f, T{Up}g).
Следовательно, оператор T0,{Up} симметрический, и T{Up} ⊂ T ∗
0,{Up}
.
Остается лишь доказать включение domT ∗
0,{Up}
⊂ domT{Up}. Так как
domT ∗
0,{Up}
⊂ domTmaxM , то достаточно проверить, что любая фун-
кция f ∈ domT ∗
0,{Up}
удовлетворяет соотношению
Upf
−
+ (p) = f+
− (p), p ∈M. (2.10)
Выберем интервал [α, β] ⊂ (a, b) так, чтобы (α, β) ∩M = {p}. Для
любого ξ ∈ C
4 существует функция g ∈ domT0,{Up} с носителем в
360Оператор с локальными точечными взаимодействиями
(α, β) такая, что ξ = g+
−(p). Тогда мы имеем
0 = (T0,{Up}
∗f, g)− (f, T0,{Up}g)
=
β∫
α
(
(TmaxM f)(t)g(t)− f(t)(TmaxM g)(t)
)
= [f, g]p− − [f, g]p+
=
i
2
(Upf
−
+ (p), Upg
−
+(p))C4 − i
2
(f+
− (p), g+
−(p))C4
=
i
2
(Upf
−
+ (p)− f+
− (p), ξ)C4 . (2.11)
Полученное равенство доказывает соотношение (2.10), так как ξ ∈ C
4
выбирается произвольно.
Теорема 2.2. Оператор T̃ является оператором с точечными взаи-
модействиями на множестве M тогда и только тогда, когда T̃ —
самосопряженное расширение оператора T0,{Up} для некоторого на-
бора унитарных 4× 4-матриц {Up : p ∈M}.
Доказательство. В одну сторону утверждение было доказано в тео-
реме 2.1. С другой стороны, для каждой точки p ∈M из непрерыв-
ности скобок Лагранжа следует метрическая эквивалентность ото-
бражений f 7→ f−+ (p) и f 7→ f+
− (p):
0 = ([f, g]p− − [f, g]p+)
=
i
2
(f−+ (p), g−+(p))C4 − i
2
(f+
− (p), g+
−(p))C4 , f, g ∈ dom T̃ . (2.12)
Отсюда следует существование унитарной матрицы Up такой, что
Upf
−
+ (p) = f+
− (p) для всех f ∈ domT{Up}. Таким образом, T̃ ⊂ T{Up} и
справедливы соотношения
T0,{Up} = T ∗
{Up}
⊂ T̃ ∗ = T̃ . (2.13)
3. Индексы дефекта
В этой части мы займемся характеризацией индексов дефекта опе-
ратора T0,{Up}. Возьмем унитарную 4× 4-матрицу
Up =
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4
.
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 361
Равенство (2.10) перепишем следующим образом
a1 −a1 a3 −a3
b1 − 1 −b1 − 1 b3 −b3
c1 −c1 c3 −c3
d1 −d1 d3 − 1 −d3 − 1
f(p−)
if ′′′(p−)
f ′(p−)
if ′′(p−)
=
1− a2 −1− a2 −a4 −a4
−b2 −b2 −b4 −b4
−c2 −c2 1− c4 −1− c4
−d2 −d2 −d4 −d4
f(p+)
if ′′′(p+)
f ′(p+)
if ′′(p+)
. (3.1)
Ясно, что различные матрицы Up порождают различные условия в
точке p ∈M . Выделим два вида точек, для которых мы охарактери-
зуем индексы дефекта.
Определение 3.1. i) Точка p ∈ M , для которой обе матрицы в
(3.1) невырождены, называется связывающей.
ii) Точка p ∈ M , для которой обе матрицы в (3.1) имеют ранг
равный двум, называется несвязывающей.
В первом случае условия справа линейно выражаются через усло-
вия слева и наоборот. Во втором случае условия независимы. Необ-
ходимо отметить, что возможен третий тип условий. Например,
f(p−) = f ′′′(p−), f(p+) = f ′′′(p+), f ′(p∓) = f ′′(p±).
В данном случае условия в точке взаимодействия p связываются ли-
шь частично. Очевидно, что в случае оператора второго порядка по-
добная ситуация не может иметь места. Случай частично связываю-
щих точек будет исследован в другой работе.
Отметим, что оператор T0,{Up} имеет равные индексы дефекта.
Доказательство может быть получено аналогично доказательству [5,
теорема 3.1]), и мы его не приводим.
Определение 3.2. Пусть g ∈ L1
loc(I) и z ∈ C. Назовем функцию f
решением уравнения (τ{Up} ± z)f = g, если f, . . . , f ′′′ локально абсо-
лютно непрерывны в I \M , f IV − zf = g и Upf−+ (p) = f+
− (p) для всех
p ∈M .
Согласно этому определению мы имеем
ker(T{Up} ± i) ⊂ {решения уравнения (τ{Up} ± i)u = 0}. (3.2)
Таким образом, число линейно независимых решений (τ{Up} ± i)u =
0 — верхняя грань индексов дефекта оператора T0,{Up}.
362Оператор с локальными точечными взаимодействиями
Теорема 3.1. Число линейно независимых решений (τ{Up} ± z)u = 0
для z ∈ C \ R равно:
(1) 4, если M содержит конечное число несвязывающих точек;
(2) 2, если несвязывающие точки накапливаются к одному из кон-
цов интервала I, но не к обоим сразу;
(3) 0, если несвязывающие точки накапливаются к обоим концам
интервала I.
Доказательство. (1) Если все точки множества M связывающие, то
решение уравнения (τ{Up} ± z)u = 0, определенное на подынтерва-
ле I0 ⊂ I, может быть единственным образом продолжено на весь
интервал I. Таким образом, мы имеем 4 линейно независимых реше-
ния. Если же в M содержится конечное число несвязывающих точек,
то обозначим через x и y наименьшую и наибольшую несвязываю-
щие точки, соответственно. Сужение решения (τ{Up} ± z)u = 0 на
интервал (x, y) дает собственную функцию самосопряженного опера-
тора, определяемого в L2(x, y) дифференциальным выражением τ{Up}
и граничными условиями {Up}, соответствующую z ∈ C \ R. Таким
образом, u ≡ 0 в (x, y).
Далее, слева от x c точностью до констант определены два линей-
но независимых решения u1− и u2−, задаваемые граничными услови-
ями в точке x. Аналогично, 2 решения u1+ и u2+ определены спра-
ва от y. Расширим теперь u1−, u2−, u1+, u2+ нулем на весь интер-
вал I. Тогда общее решение уравнения (τ{Up} ± z)u = 0 имеет вид
α1u1− + α2u2− + β1u1+ + β2u2+, что доказывает пункт (1).
(2) Доказательство вытекает из тех же соображений, причем в
этом случае либо u1− и u2−, либо u1+ и u2+ не существуют.
(3) u1−, u2−, u1+, u2+ не существуют.
Определение 3.3. Говорят, что решение (τ{Up} ± z)u = 0 лежит
слева (справа) в L2(a, b), если u интегрируемо с квадратом в неко-
торой окрестности точки a (точки b).
Теорема 3.2. Лишь одно из следующих условий выполняется:
(1) несвязывающие точки не накапливаются к b и для любого z ∈
C каждое решение (τ{Up} ± z)u = 0 лежит справа в L2(a, b);
(2) нeсвязывающие точки накапливаются к b, или для любого z ∈
C по крайней мере одно решение (τ{Up} ± z)u = 0 не лежит
справа в L2(a, b).
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 363
В первом случае мы говорим, что имеет место случай максималь-
ной размерности в точке b. Аналогичное утверждение справедливо
и для точки a.
Теорема 3.3. Индексы дефекта оператора T0,{Up} не меньше удво-
енного числа концевых точек интервала (a, b), для которых имеет
место случай максимальной размерности.
Доказательство. Если все точки связывающие, то утверждение оче-
видно. Если же точка x ∈M — несвязывающая, то T0,{Up} = T(a,x) ⊕
T(x,b). Отметим, что T(x,b) — самосопряженный оператор в L2(x, b),
если несвязывающие точки накапливаются к b. С другой стороны,
T(x,b) является ортогональной суммой конечного числа самосопря-
женных регулярных операторов и оператора T(y,b), действующего в
L2(y, b), y > x, с самосопряженными граничными условиями в то-
чке y. Таким образом, T(y,b), а значит и T(p,x), имеет индексы дефе-
кта 2, 1 или 0 (в зависимости от того, лежат ли решения справа в
L2(a, b)). Аналогично рассмотриваем оператор T(a,x). Учитывая пред-
ставление T0,{Up} в виде ортогональной суммы, получим требуемый
результат.
В следующем предложении приводится достаточное условие по-
нижения индексов дефекта оператора T0,{Up} не менее, чем на 1.
Предложение 3.1. Пусть последовательность {pk} лежит на
интервале (a, b) и монотонно возрастает, причём limk→∞ pk = b.
Пусть последовательность чисел µk такова, что выполнено усло-
вие
∞∑
k=1
∣∣∣∣
k∏
j=1
µj
∣∣∣∣
2
(pk+1 − pk) =∞. (3.3)
Пусть матрицы Upk
взаимодействий в точках pk имеют вид
Upk
=
2µk
1+|µk|2
|µk|
2−1
1+|µk|2
0 0
1−|µk|
2
1+|µk|2
2µk
1+|µk|2
0 0
0 0 c3,k c4,k
0 0 d3,k d4,k
,
где
(
c3,k c4,k
d3,k d4,k
)
— унитарные матрицы, в которых d4,k 6= 0.
Тогда для индексов дефекта оператора T0,{Up} верна оценка
n±(T0,{Up}) ≤ 3.
364Оператор с локальными точечными взаимодействиями
Доказательство. Согласно теореме 3.2, если оператор T0,{Up} имеет
максимальный дефект, то при всех λ ∈ C (и, в частности, при λ =
0) все решения уравнения T{Up}f(x) = λf(x) лежат в пространстве
L2(a, b). Поэтому, если хотя бы одно решение уравнения T{Up}f(x) = 0
не принадлежит пространству L2(a, b), то индекс дефекта оператора
T0,{Up} не может быть равен (4, 4).
В нашем случае связь между значениями в точках pk− и pk+
имеет вид
f(pk+) = µkf(pk−), f ′′′(pk+) =
1
µk
f ′′′(pk−),
f ′(pk+) =
1
2d4,k
((1 + c4,k − d3,k − c4,kd3,k + c3,kd4,k)f
′(pk−)
+ +i(1 + c4,k + d3,k + c4,kd3,k − c3,kd4,k)f
′′(pk−)),
f ′′(pk+) =
1
2d4,k
(i(−1 + c4,k + d3,k − c4,kd3,k + c3,kd4,k)f
′(pk−)
+ +(1− c4,k + d3,k − c4,kd3,k + c3,kd4,k)f
′′(pk−)).
Поскольку значения функции и её производных в точках pk+ одно-
значно выражаются через значения функции и её производных в точ-
ках pk−, то все точки pk связывающие. При этом решение уравнения
T{Up}f(x) = 0 с начальными условиями f(a) = 1, f ′(a) = f ′′(a) =
f ′′′(a) = 0 на каждом из промежутков (pk, pk+1) постоянно и рав-
но
∏k
j=1 µj . Вследствие условия (3.3) данная функция не лежит в
L2(a, b), и, следовательно, индекс дефекта построенного оператора
T0,{Up} не равен (4, 4).
Замечание 3.1. Из предложения 3.1 следует, что для индексов де-
фекта оператора T0,{Up} справедлива оценка n±(T0,{Up}) ≤ 2, если
одновременно выполняются условия:
(i) точки последовательности {pk} накапливаются к обоим концам
интервала (a, b);
(ii) внутри интервала (a, b) найдется хотя бы одна несвязывающая
точкa;
(iii) справедливо (3.3).
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 365
Оказывается, что для дифференциального оператора второго по-
рядка − d2
dx2 с точечными взаимодействиями возможно указать доста-
точное условие, при котором его индексы дефекта равны 0 или 1 даже
в случае конечного интервала (по поводу бесконечного интервала и
оператора с δ-взаимодействиями см. работу [14]). Отметим, что общая
конструкция самосопряженных расширений для оператора −d2/dx2
с точечными взаимодействиями приведена в [5].
Предложение 3.2. Пусть последовательность {pk} лежит на
интервале (a, b) и монотонно возрастает, причём limk→∞ pk = b.
Пусть последовательность чисел µk такова, что выполнено усло-
вие
∞∑
k=1
∣∣∣∣
k∏
j=1
µj
∣∣∣∣
2
(pk+1 − pk) =∞. (3.4)
Пусть матрицы Upk
взаимодействий в точках pk имеют вид
Upk
=
(
2µk
1+|µk|2
|µk|
2−1
1+|µk|2
1−|µk|
2
1+|µk|2
2µk
1+|µk|2
)
.
Тогда индекс дефекта оператора T0,{Up} равен (1, 1).
Доказательство. Согласно [5, теореме 4.4], если оператор T0,{Up}
имеет максимальный дефект, то при всех λ ∈ C (и, в частности,
при λ = 0) все решения уравнения T{Up}f(x) = λf(x) лежат в про-
странстве L2(a, b). Поэтому, если хотя бы одно решение уравнения
T{Up}f(x) = 0 не принадлежит пространству L2(a, b), то индекс де-
фекта оператора T0,{Up} не может быть равен (2, 2).
В нашем случае связь между значениями в точках pk− и pk+
имеет вид
f(pk+) = µkf(pk−), f ′(pk+) =
1
µk
.f ′(pk−)
Поскольку значения функции и её производных в точках pk+ одно-
значно выражаются через значения функции и её производных в то-
чках pk−, то все точки pk связывающие. При этом решение уравнения
T{Up}f(x) = 0 с начальными условиями f(a+b2 −) = 1, f ′(a+b2 −) = 0
(начальные условия задаются в крайней справа несвязывающей то-
чке) постоянно на каждом из промежутков (pk, pk+1) и равно
∏k
j=1 µj .
Вследствие условия (3.4) данная функция не лежит в L2(a, b), и,
следовательно, индекс дефекта построенного оператора T0,{Up} равен
(1, 1).
366Оператор с локальными точечными взаимодействиями
Замечание 3.2. Из предложения 3.2 очевидно вытекает, что опера-
тор T0,{Up} является самосопряженным, если одновременно выполня-
ются условия:
(i) точки последовательности {pk} накапливаются к обоим концам
интервала (a, b);
(ii) внутри интервала (a, b) найдется хотя бы одна несвязывающая
точкa;
(iii) справедливо (3.4).
4. Граничные тройки и операторы с точечными
взаимодействиями
Здесь мы выясняем связь техники, используемой в работе [5], с
теорией граничных троек симметрических операторов [7, 8]. Рассмо-
трим дифференцирование четвертого порядка на всей оси при допол-
нительном условии
|pk − pj | > δ > 0, k 6= j, pk, pj ∈M. (4.1)
Напомним необходимые определения и обозначения теории гра-
ничных троек (см. [7, 8]).
Определение 4.1 ([8]). Пусть A — замкнутый симметрический
оператор с равными индексами дефекта и плотной областью опреде-
ления в гильбертовом пространстве H, а A∗ — сопряженный к нему
оператор. Совокупность Π = {H,Γ0,Γ1}, в которой H — гильберто-
во пространство, Γ0 и Γ1 — ограниченные линейные отображения из
domA∗ в H, называется граничной тройкой для A∗, если выполнены
следующие условия:
i) справедлива формула Грина
(A∗f, g)− (f,A∗g) = (Γ1f,Γ0)H − (Γ0f,Γ1g)H, f, g ∈ domA∗;
(4.2)
ii) отображение Γ = {Γ0,Γ1} : domA∗ → H⊕H сюрьективно.
Отметим, что граничная тройка существует для каждого симме-
трического оператора A с конечными индексами дефекта, и выбор
граничной тройки не единственен. С каждой граничной тройкой Π =
{H,Γ0,Γ1} естественным образом связаны два самосопряженных рас-
ширения Ai := A∗ ↾ ker Γi.
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 367
Следующая теорема дает простое достаточное условие самосопря-
женности расширений симметрического оператора A в терминах гра-
ничных троек.
Теорема 4.1 ( [6]). Пусть A — симметрический оператор с рав-
ными индексами дефекта, и Π = {H,Γ0,Γ1} — граничная тройка
для A∗. Пусть также Ã — некоторое расширение симметрического
оператора A.
(1) Если для расширения Ã существуют ограниченные в H ото-
бражения C и D такие, что dom à = ker{CΓ1 − DΓ0}, и при
этом
DC∗ = CD∗, 0 ∈ ρ(CC∗ +DD∗), (4.3)
C∗D = D∗C, 0 ∈ ρ(C∗C +D∗D), (4.4)
то расширение Ã симметрического оператора A является са-
мосопряженным (Ã = Ã∗).
(2) Если дополнительно dom à ∩ ker Γ0 = domA (в этом случае
говорят, что расширения Ã и A0 дизъюнктны) и существует
самосопряженный в H оператор B = B∗ такой, что dom à =
ker{Γ1 − BΓ0}, то расширение Ã симметрического оператора
A является самосопряженным.
Замечание 4.1. Отметим, что в случае пространства H конечной
размерности эквивалентность условия (4.3) самосопряженности ра-
сширения Ã установлена Ф. С. Рофе-Бекетовым (см. [4]).
Нетрудно проверить, что при условии (4.1) совокупность Π =
{l2(C4),Γ0,Γ1}, в которой
Γ0f =
⊕
k
{f(pk−), f(pk+), f ′′(pk−), f ′′(pk+)},
Γ1f =
⊕
k
{f ′′′(pk−),−f ′′′(pk+), f ′(pk−),−f ′(pk+)},
(4.5)
будет граничной тройкой для оператора TmaxM вида (2.3) (для опера-
тора второго порядка аналогичное утверждение содержится в [10]).
Пусть Ã — оператор с локальными точечными взаимодействия-
ми на M . Теория граничных троек дает достаточно “прозрачную”
интерпретацию условия непрерывности скобок Лагранжа. Именно,
условие непрерывности скобок Лагранжа накладывает ограничение
368Оператор с локальными точечными взаимодействиями
на вид матриц C иD (см. теорему 4.1(1)) — в данном случае C иD бу-
дут блочно-диагональными матрицами (не обязательно конечномер-
ными) с блоками из 4 × 4-матриц, которые удовлетворяют дополни-
тельным соотношениям (4.3)–(4.4). При этом одного условия блочно-
диагональности не достаточно для непрерывности скобок Лагранжа,
так как матрицы C и D могут задавать несамосопряженные условия
в точках pk ∈ M . Несвязывающие условия порождаются матрицами
C и D с блоками следующего вида
a1 0 a3 0
0 b2 0 b4
c1 0 c3 0
0 d2 0 d4
,
где a1, a3, b2, b4, c1, c3, d2, d4 — ненулевые действительные числа. Как
видим, терминология граничных троек оказывается очень наглядной,
однако описывает лишь частный случай общей задачи. При невыпол-
нении условия (4.1) возникают существенные трудности с построе-
нием граничной тройки в терминах граничных значений функций
f ∈ domTmaxM . В частности, если нарушено условие (4.1), то (4.5)
уже не будет граничной тройкой оператора TmaxM .
Литература
[1] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in
Quantum Mechanics. Springer, New York, 1988.
[2] S. Albeverio, P. Kurasov, Singular pertrubations of differentional operators.
London Math. Soc. Lecture Notes Ser., vol. 271, Cambridge Univ. Press, Cambri-
dge, 2000.
[3] S. Albeverio, L. Nizhnik, A Schrodinger operator with a δ′-interaction on a Cantor
set and Krein-Feller operators // Math. Nachr., 279 (2006), N 5–6, 467–476.
[4] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом
прсранстве, т. 2. М: Наука, 1978, 170 c.
[5] D. Buschmann, G. Stolz, J. Weidmann, One-dimensional Schrödinger operators
with local point interactions // J. reine Agnew. Math., (1995), 169–186.
[6] V. A. Derkach, S. Hassi, M. M. Malamud and H. S. V. de Snoo, Generalized
resolvents of symmetric operators and admissibility // Methods Funct. Anal.
Topology, 6 (2000), N 3, 24–55.
[7] V. A. Derkach, M. M. Malamud, Generalized resolvents and the boundaru value
problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal., 95 (1991), N 1,
1–95.
[8] В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, Граничные задачи для дифференциально-
операторных уравнений. Киев: Наук. думка, 1984.
[9] А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Москва: Изд-во иностр. лит., 1958.
Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога 369
[10] А. Н. Кочубей, Симметрические операторы и неклассические спектральные
задачи // Матем. Заметки, 25 (1979), N 3, 425–434.
[11] Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Введение в спектральную теорию. Москва,
1970.
[12] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы. Москва: Наука,
1968, 526 С.
[13] Л. П. Нижник, Оператор Шрёдингера с δ′-взаимодействием // Функц. ана-
лиз и его прил., 37 (2003), N 1, 85–88.
[14] C. Shubin Christ, G. Stolz, Spectral theory of one-dimensional Schrödinger
operators with point interactions // J. Math. Anal. Appl., 184 (1994), 491–516.
Сведения об авторах
Наталья Ивановна
Голощапова,
Леонид
Леонидович
Оридорога
Донецкий национальный университет
ул. Университетская 24,
83055, Донецк,
Украина
E-Mail: ng85@bk.ru,
ORIDOROGA@SKIF.NET
|