Точные константы в неравенствах для промежуточных производных
Найдены точные константы в неравенствах типа Колмогорова для промежуточных производных, используя теорему Ф. Рисса.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124526 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точные константы в неравенствах для промежуточных производных / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 421-433. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124526 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245262017-09-30T03:03:26Z Точные константы в неравенствах для промежуточных производных Лунёв, А.А. Найдены точные константы в неравенствах типа Колмогорова для промежуточных производных, используя теорему Ф. Рисса. 2007 Article Точные константы в неравенствах для промежуточных производных / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 421-433. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 26D10 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124526 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены точные константы в неравенствах типа Колмогорова для промежуточных производных, используя теорему Ф. Рисса. |
| format |
Article |
| author |
Лунёв, А.А. |
| spellingShingle |
Лунёв, А.А. Точные константы в неравенствах для промежуточных производных Український математичний вісник |
| author_facet |
Лунёв, А.А. |
| author_sort |
Лунёв, А.А. |
| title |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| title_short |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| title_full |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| title_fullStr |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| title_full_unstemmed |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| title_sort |
точные константы в неравенствах для промежуточных производных |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124526 |
| citation_txt |
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 421-433. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT lunëvaa točnyekonstantyvneravenstvahdlâpromežutočnyhproizvodnyh |
| first_indexed |
2025-07-09T01:34:14Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:34:14Z |
| _version_ |
1837131227786641408 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 3, 421 – 433
Точные константы в неравенствах для
промежуточных производных
Антон А. Лунёв
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Найдены точные константы в неравенствах типа Кол-
могорова для промежуточных производных, используя теорему
Ф. Рисса.
2000 MSC. 26D10.
Ключевые слова и фразы. Соболевское пространство, линейный
функционал, дифференциальное уравнение, матрица типа Вандер-
монда, обратная матрица, элементарный симметрический многочлен.
1. Введение
Будем рассматривать соболевское пространство Wn
2 (R+), n ∈ N,
состоящее из всех (комплекснозначных) функций f(x), определенных
на положительной полуоси x ≥ 0, имеющих абсолютно непрерывную
на любом отрезке [0, b], b > 0, производную f (n−1)(x) порядка n− 1 и
обладающих конечной нормой
‖f‖ = ‖f‖Wn
2 (R+) :=
( +∞∫
0
(
|f(x)|2 + |f (n)(x)|2
)
dx
)1/2
. (1.1)
Нашей целью является вычисление точных, т.е. наименьших во-
зможных, констант в неравенствах типа Колмогорова
|f (k)(0)| ≤ An,k‖f‖Wn
2 (R+), k ∈ {0, . . . , n− 1} . (1.2)
Известные результаты о константах в неравенствах для промежу-
точных производных в различных случаях содержатся, например, в
Статья поступила в редакцию 26.03.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
422 Точные константы в неравенствах...
монографии [10, §2.4]. Так, для пространства Wn
2 (R) точные констан-
ты в подобных неравенствах нашел Л. В. Тайков [9] (см. также [10,
п. 2.4.4]). Именно он получил простую явную формулу:
A∗
n,k =
(
2n sin
(2k + 1)π
2n
)−1/2
,
где A∗
n,k — наименьшая константа в неравенствах
|f (k)(0)| ≤ A∗
n,k‖f‖Wn
2 (R).
Случай полуоси оказался значительно труднее для исследования.
В частности, В. Н. Габушин [1] (см. также [10, п. 2.4.5]) нашел фун-
кции (в виде линейных комбинаций убывающих экспонент), экстре-
мальные для неравенств (1.2). Однако неявно определяемые этим ре-
зультатом числа An,k не были вычислены эффективно.
Г. А. Калябин исследовал эту задачу в работах [2, 3]. В недавней
работе [4] он полностью решил проблему и нашел явные формулы
для констант An,k. Именно, он доказал следующий результат.
Теорема 1.1 ([4]). Для каждого k ∈ {0 . . . , n− 1} наименьшая кон-
станта An,k в (1.2) дается формулой
An,k =
(
sin
π(2k + 1)
2n
)−1/2 k∏
s=1
ctg
πs
2n
. (1.3)
Формулы (1.3) позволяют исследовать многие свойства констант
An,k. Например, из них очевидно следует симметричность: An,k =
An,n−1−k и общие свойства констант при фиксированном n: они ве-
дут себя так же регулярно, как биномиальные коэффициенты Ckn,
которые монотонно возрастают по k при k < n/2 (см. [4]). Отметим
также некоторые асимптотические формулы для этих констант, по-
лученные в [4]:
An,k ≈
enK(α)
2
√
n sin(πα)
, при k →∞, (n− k)→∞,
где α = 2k+1
2n и K(α) = 2
π
∫ πα/2
0 ln(ctg x)dx. Из них, в частности сле-
дует, что maxk An,k ≈ enK0/2
√
n, где K0 = 4
π
∫ π/4
0 ln(ctg x)dx.
В настоящей работе мы предлагаем элементарное доказательст-
во теоремы 1.1, базирующееся на другой идее. Именно, наше дока-
зательство существенно опирается на теорему Рисса об общем ви-
де линейного функционала в гильбертовом пространстве. Мы вычи-
сляем норму функционала Lk
(
Lk(f) = f (k)(0)
)
, реализуя его в виде
А. А. Лунёв 423
Lk(f) = (f, gk), gk ∈ Wn
2 (R+) и вычисляя норму ‖gk‖Wn
2 (R+) элемен-
та gk. Более того, теорема Рисса позволяет заменить квадрат нормы
этого элемента значением функционала на нём, то есть вместо инте-
грала в (1.1) вычислять k-тую производную в нуле g
(k)
k (0).
2. Доказательство теоремы 1.1
Рассмотрим в Wn
2 (R+) линейный функционал Lk(f) := f (k)(0).
Тогда искомая константа An,k является, очевидно, нормой этого фун-
кционала. Как известно, Wn
2 (R+) — гильбертово пространство со ска-
лярным произведением
(f, g) = (f, g)Wn
2 (R+) :=
+∞∫
0
(
f(x)g(x) + f (n)(x)g(n)(x)
)
dx. (2.1)
По теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гиль-
бертовом пространстве существует единственная функция
gk ∈Wn
2 (R+) такая, что
Lk(f) = (f, gk), f ∈Wn
2 (R+), (2.2)
при этом, ‖Lk‖ = ‖gk‖. Используя равенство (2.2), получим
A2
n,k = ‖Lk‖2 = ‖gk‖2 = (gk, gk) = Lk(gk) = g
(k)
k (0). (2.3)
2.1. Реализация функционала Lk(f)
Найдем функцию g(x) = gk(x), реализующую функционал Lk(f)
по формуле (2.2). Согласно (2.2), учитывая определение Lk(f) и ра-
венство (2.1), получим:
f (k)(0) =
+∞∫
0
(
f(x)g(x) + f (n)(x)g(n)(x)
)
dx
=
+∞∫
0
(
f(x)h(x) + f (n)(x)h(n)(x)
)
dx, (2.4)
424 Точные константы в неравенствах...
где h(x) = g(x). Предположим вначале, что h ∈ W 2n
2 (R+). Преобра-
зуем второе слагаемое в интеграле, интегрируя по частям:
+∞∫
0
f (n)(x)h(n)(x)dx
=
( n−1∑
p=0
(−1)pf (n−p−1)(x)h(n+p)(x)
)∣∣∣∣
+∞
0
+ (−1)n
+∞∫
0
f(x)h(2n)(x) dx.
Учитывая поведение на бесконечности функций из соболевского про-
странства на полупрямой и их производных, подставим полученное
соотношение в (2.4). В результате получим:
f (k)(0) =
+∞∫
0
f(x)(h(x) + (−1)nh(2n)(x)) dx
+
n−1∑
p=0
(−1)p+1f (n−p−1)(0)h(n+p)(0). (2.5)
Равенство (2.5) выполняется для всех функций f ∈ Wn
2 (R+) тогда и
только тогда, когда функция h — решение задачи
h(2n) + (−1)nh = 0, h ∈W 2n
2 (R+), (2.6)
h(n+p)(0) = (−1)n−kδn−1−k
p , p ∈ {0, . . . , n− 1}, (2.7)
где δji — символ Кронекера.
Общее решение уравнения (2.6), исчезающее на бесконечности
имеет вид
h(x) =
n−1∑
p=0
cpe
λpx, (2.8)
где λp — корни уравнения λ2n = (−1)n+1, лежащие в левой полупло-
скости Cl = {λ ∈ C : ℜλ < 0},
λp = eiπ
2p+n+1
2n = εp+
n+1
2 , p ∈ {0, . . . , n− 1}, (2.9)
ε = e
iπ
n , εr := e
iπr
n . Из (2.8) имеем
h(s)(0) =
n−1∑
p=0
cpλ
s
p. (2.10)
А. А. Лунёв 425
Используя (2.7) и (2.10), приходим к системе линейных уравнений
для {cp}n−1
p=0 :
A−→c =
−→
b , (2.11)
где A :=
(
λn+p
q
)n−1
p,q=0
и
−→
b =
(
(−1)n−kδn−1−k
p
)n−1
p=0
.
В матричной форме система (2.11) запишется так:
λn0 λn1 · · · λnn−1
· · · · · · · · · · · ·
λ2n−2−k
0 λ2n−2−k
1 · · · λ2n−2−k
n−1
λ2n−1−k
0 λ2n−1−k
1 · · · λ2n−1−k
n−1
λ2n−k
0 λ2n−k
1 · · · λ2n−k
n−1
· · · · · · · · · · · ·
λ2n−1
0 λ2n−1
1 · · · λ2n−1
n−1
c0
· · ·
cn−2−k
cn−1−k
cn−k
· · ·
cn−1
=
0
· · ·
0
(−1)n−k
0
· · ·
0
.
Используя (2.9), получим
A =
(
λn+p
q
)n−1
p,q=0
=
(
ε(q+
n+1
2
)(n+p)
)n−1
p,q=0
=
(
εpqεp
n+1
2 εqnε
n(n+1)
2
)n−1
p,q=0
.
Обозначим V := (εpq)n−1
p,q=0. Ясно, что V — невырожденная ма-
трица Вандермонда. Пусть V −1 = (vp,q)
n−1
p,q=0. Так как, A = D1V D2,
где
D1 = diag(1, ε
n+1
2 , . . . , ε(n−1)n+1
2 ),
а
D2 = diag(ε
n(n+1)
2 , ε
n(n+1)
2
+n, . . . , ε
n(n+1)
2
+n(n−1)),
то
A−1 = D−1
2 V −1D−1
1 =
(
vp,qε
−q n+1
2 ε−pnε−
n(n+1)
2
)n−1
p,q=0
.
Из (2.11) имеем −→c = A−1−→b . Так как в столбце
−→
b только (n− 1− k)-
тый элемент отличен от нуля, то
cp = (−1)n−kvp,n−1−kε
−(n−1−k)n+1
2 ε−pnε−
n(n+1)
2 , p ∈ {0, . . . , n− 1}.
Учитывая, что εn = −1, получим
cp = εn(n−k)−(n−1−k)n+1
2
−pn−
n(n+1)
2 vp,n−1−k = ε
−n+1
2
−k n−1
2 ε−pnvp,n−1−k.
(2.12)
Таким образом, задача (2.6)–(2.7) имеет решение. Поэтому най-
денная функция g(x) = h(x) реализует функционал Lk по форму-
ле (2.2).
426 Точные константы в неравенствах...
Используя (2.10), (2.12) и (2.9), получим
h(k)(0) =
n−1∑
p=0
cpλ
k
p =
n−1∑
p=0
ε
−n+1
2
−k n−1
2 ε−pnvp,n−1−kε
pkεk
n+1
2
=
n−1∑
p=0
ε
−n+1
2
+kεp(k−n)vp,n−1−k.
Так как g(k)(0) = A2
n,k ∈ R+, то g(k)(0) = g(k)(0) = h(k)(0). Поэтому,
используя (2.3), приходим к основной формуле
A2
n,k =
n−1∑
p=0
ε
−n+1
2
+kεp(k−n)vp,n−1−k. (2.13)
2.2. Вспомогательные утверждения
Введем еще некоторые обозначения.
Пусть σq(x1, . . . , xm) — элементарный симметрический многочлен
степени q от переменных x1, . . . , xm:
σq(x1, . . . , xm) :=
∑
1≤j1<···<jq≤m
xj1 . . . xjq .
Далее (n, k)x — обобщенный биномиальный коэффициент:
(n, k)x :=
(1− xn) . . . (1− xn−k+1)
(1− x1) . . . (1− xk) =
∏n
s=n−k+1(1− xs)∏k
s=1(1− xs)
,
где x ∈ C, xp 6= 1 при p ∈ {1, . . . , n− 1}, n ∈ N, k ∈ {1, . . . , n− 1}. При
k = 0 и k = n считаем по определению (n, k)x = 1.
Нам понадобятся некоторые алгебраические утверждения.
Лемма 2.1 ([6, стр. 72]). Пусть n ∈ N, x, z ∈ C\{0} и xk 6= 1 при
k ∈ {1, . . . , n− 1}. Тогда справедливо равенство
n∏
k=1
(1 + xkz) =
n∑
k=0
(n, k)xx
k(k+1)
2 zk. (2.14)
Лемма 2.2. Пусть n ∈ N, x ∈ C\{0} и xp 6= 1 при p ∈ {1, . . . , n− 1}.
Тогда для всех k ∈ {0, . . . , n} справедливо тождество
σk(1, x, . . . , x
n−1) = (n, k)xx
k(k−1)
2 . (2.15)
А. А. Лунёв 427
Доказательство. Подставив z = 1/xt в (2.14) и домножив получен-
ное равенство на tn, получим
n∏
k=1
(
t+ xk−1
)
=
n∑
k=0
(n, k)xx
k(k−1)
2 tn−k. (2.16)
Но по теореме Виета
n∏
k=1
(
t+ xk−1
)
=
n∑
k=0
σk(1, x, . . . , x
n−1)tn−k. (2.17)
Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях t в правых
частях равенств (2.16) и (2.17), получим требуемое.
Лемма 2.3. Пусть x0, . . . , xn−1 — различные комплексные числа.
Тогда матрица
V =
1 1 · · · 1
x0 x1 · · · xn−1
· · · · · · · · · · · ·
xn−1
0 xn−1
1 · · · xn−1
n−1
=
(
xpq
)n−1
p,q=0
обратима и если V −1 = (vp,q)
n−1
p,q=0, то
vp,n−1−q =
(−1)qsp,q
fp
,
где sp,q = σq(x0, . . . , xp−1, xp+1, . . . , xn−1), а fp =
∏n−1
s=0, s 6=p (xp − xs) .
Доказательство. Как известно (смотрите, например, [7, стр. 32]):
det(V ) =
n−1∏
0≤i<j<n
(xj − xi). (2.18)
Так как все xp различны, то det(V ) 6= 0. Поэтому матрица V обрати-
ма, и
V −1 =
(
(−1)p+q
det(Vp,q)
det(V )
)n−1
p,q=0
, (2.19)
где Vp,q — матрица, соответствующая алгебраическому дополнению
элемента xqp матрицы V . Согласно [7, упр. 346]
det(Vp,q) = σn−1−q(x0, . . . , xp−1, xp+1, . . . , xn−1)
n−1∏
0≤i<j<n
i,j 6=p
(xj−xi). (2.20)
Подставляя (2.18) и (2.20) в (2.19), получим требуемое.
428 Точные константы в неравенствах...
Лемма 2.4. Пусть x ∈ C\{0} и xp 6= 1 при p ∈ {1, . . . , n− 1}. Тогда
матрица V = (xpq)n−1
p,q=0 обратима и V −1 = (vp,k)
n−1
p,k=0, где
vp,n−1−k :=
k∑
j=0
(−1)k−j(σk−j)
(n− 1, p)xx
p(p+1)
2
∏n−1
s=1 (1− xs)
(
−xj−n+1
)p
,
и σq = σq(1, x, . . . , x
n−1).
Доказательство. По лемме 2.3
vp,n−1−k = (−1)k
sp,k
fp
, (2.21)
где sp,k = σk(1, x, . . . , x
p−1, xp+1, . . . , xn−1) и
fp =
n−1∏
s=0, s 6=p
(xp − xs)
= (−1)px
p(p−1)
2 x(n−1−p)p
p∏
s=1
(1− xs)
n−1−p∏
s=1
(1− xs)
=
n−1∏
s=1
(1− xs) 1
(n− 1, p)x
x−
p(p+1)
2 (−xn−1)p. (2.22)
Очевидно, что sp,0 = σ0 = 1. Заметим, что при k ∈ {1, . . . , n − 1}
выполняется соотношение
σk = σk(1, x, . . . , x
n−1) =
∑
0≤j1<···<jk≤n−1
xj1 . . . xjk
=
∑
0≤j1<···<jk≤n−1
js 6=p, 1≤s≤k
xj1 . . . xjk +
∑
0≤j1<...<jk−1≤n−1
js 6=p, 1≤s≤k−1
xpxj1 . . . xjk−1
= sp,k + xpsp,k−1.
Откуда
sp,k = σk − xpsp,k−1. (2.23)
Из (2.23) индукцией по k легко получаем, что
sp,k =
k∑
j=0
(σk−j) (−xp)j =
k∑
j=0
(−1)j(σk−j)(x
j)p. (2.24)
Используя (2.24) и (2.22), находим
sp,k
fp
=
1∏n−1
s=1 (1− xs)
(n− 1, p)xx
p(p+1)
2
k∑
j=0
(−1)j(σk−j)(−xj−n+1)p.
Подставляя это выражение в (2.21), получим требуемое.
А. А. Лунёв 429
Лемма 2.5. Пусть m ∈ N и k ∈ {0, . . . ,m − 1}. Тогда для любого
допустимого x ∈ R справедливо тождество
k∑
j=0
(−1)j
∏j−1
s=0 cos sx
∏m−j−1
s=0 cos sx
∏j
s=1 sin sx
∏m−j
s=1 sin sx
= (−1)k
1
sinmx
k∏
s=1
ctg sx
m−1−k∏
s=1
ctg sx. (2.25)
(Произведение вида
∏n−1
s=n as будем считать по определению равным
1).
Доказательство. Пусть m фиксированное натуральное число. Дока-
жем равенство (2.25) индукцией по k.
При k = 0 равенство (2.25) примет вид
∏m−1
s=0 cos sx∏m
s=1 sin sx
=
1
sinmx
m−1∏
s=1
ctg sx,
и, очевидно, следует из определения ctg x.
Пусть, далее, равенство (2.25) верно для k = l−1 ∈ {0, . . . ,m−2}.
Проверим его для k = l. Имеем
l∑
j=0
(−1)j
∏j−1
s=0 cos sx
∏m−j−1
s=0 cos sx
∏j
s=1 sin sx
∏m−j
s=1 sin sx
= (−1)l−1 1
sinmx
l−1∏
s=1
ctg sx
m−l∏
s=1
ctg sx+(−1)l
∏l−1
s=0 cos sx
∏m−l−1
s=0 cos sx
∏l
s=1 sin sx
∏m−l
s=1 sin sx
= (−1)l
l−1∏
s=1
ctg sx
m−l∏
s=1
ctg sx
(
1
sin lx cos(m− l)x −
1
sinmx
)
= (−1)l
l−1∏
s=1
ctg sx
m−l∏
s=1
ctg sx
cos lx sin(m− l)x
sin lx cos(m− l)x
= (−1)l
l∏
s=1
ctg sx
m−l−1∏
s=1
ctg sx.
430 Точные константы в неравенствах...
2.3. Вывод формулы для An,k
Так как ε = e
πi
n , то ε 6= 0 и εp 6= 1 при p ∈ {1, . . . , n − 1}. Значит,
по лемме 2.4 получим
vp,n−1−k =
1∏n−1
s=1 (1− εs)
k∑
j=0
(−1)k−j(σk−j)
× (n− 1, p)εε
p(p+1)
2
(
−εj−n+1
)p
. (2.26)
Откуда по формуле (2.13)
A2
n,k = ε
−n+1
2
+k
n−1∑
p=0
(
εp(k−n) 1∏n−1
s=1 (1− εs)
k∑
j=0
(−1)k−j(σk−j)
× (n− 1, p)εε
p(p+1)
2
(
−εj−n+1
)p
)
= ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
n−1∑
p=0
(
(−1)k−jσk−j
1∏n−1
s=1 (1− εs)
× (n− 1, p)εε
p(p+1)
2 (−εj+k−2n+1)p
)
.
Так как ε2n = 1, то
A2
n,k = ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
(
(−1)k−jσk−j
1∏n−1
s=1 (1− εs)
×
n−1∑
p=0
(n− 1, p)εε
p(p+1)
2 (−εj+k+1)p
)
.
Во внутренней сумме воспользуемся леммой 2.1 при x = ε и z =
−εk+j+1, а во внешней сумме сделаем замену j → k− j. В результате
имеем
A2
n,k = ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
(
(−1)jσj
1∏n−1
s=1 (1− εs)
n−1∏
s=1
(1− εs+2k−j+1)
)
.
Из леммы 2.2 при x = ε получим, что σj = (n, j)εε
j(j−1)/2. Поэтому
A2
n,k = ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
(
(−1)j
∏n
s=n−j+1 (1− εs)
∏j
s=1 (1− εs)
ε
j(j−1)
2
× 1∏n−1
s=1 (1− εs)
n−1∏
s=1
(1− εs+2k−j+1)
)
.
А. А. Лунёв 431
Но 1− εn = 2. Поэтому
A2
n,k = 2ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
(
(−1)j
∏n−1
s=1 (1− εs+2k−j+1)
∏j
s=1(1− εs)
∏n−j
s=1 (1− εs)
ε
j(j−1)
2
)
.
(2.27)
Заметим, что
1− εs = εs/2
(
ε−s/2 − εs/2
)
= −2iεs/2
eis
π
2n − e−is π
2n
2i
= −2iεs/2 sin tx,
где x = π
2n . Подставляя полученное соотношение в (2.27), получим
A2
n,k = 2ε
−n+1
2
+k
k∑
j=0
(−1)j
(−2i)n−1
(−2i)j(−2i)n−j
ε
(2k−j+2)+...+(2k−j+n)
2
ε
1+...+j
2 ε
1+...+(n−j)
2
×
∏n−1
s=1 sin(s+ 2k − j + 1)x
∏j
s=1 sin sx
∏n−j
s=1 sin sx
ε
j(j−1)
2
=
k∑
j=0
(−1)jεkniε−n/2
∏n−1
s=1 sin(s+ 2k − j + 1)x
∏j
s=1 sin sx
∏n−j
s=1 sin sx
=
k∑
j=0
(−1)k+j
∏2k−j+n
s=2k−j+2 sin sx
∏j
s=1 sin sx
∏n−j
s=1 sin sx
=
k∑
j=0
(−1)k+j
∏2k−j+n
s=1 sin sx
∏j
s=1 sin sx
∏n−j
s=1 sin sx
∏2k−j+1
s=1 sin sx
=
k∑
j=0
(−1)k+j
∏2k−j+n
s=n−j+1 sin sx
∏j
s=1 sin sx
∏2k−j+1
s=1 sin sx
=
k∑
j=0
(−1)k+j
∏2k−j+n
s=n−j+1 cos(n− s)x
∏j
s=1 sin sx
∏2k−j+1
s=1 sin sx
=
k∑
j=0
(−1)k+j
∏j−1
s=j−2k cos sx
∏j
s=1 sin sx
∏2k−j+1
s=1 sin sx
= (−1)k
k∑
j=0
(−1)j
∏j−1
s=0 cos sx
∏2k−j
s=0 cos sx
∏j
s=1 sin sx
∏2k−j+1
s=1 sin sx
.
432 Точные константы в неравенствах...
Воспользуемся леммой 2.5 при m = 2k + 1. Тогда получим
A2
n,k = (−1)k(−1)k
1
sin(2k + 1)x
k∏
s=1
ctg sx
k∏
s=1
ctg sx
=
1
sin(2k + 1)x
( k∏
s=1
ctg sx
)2
.
Откуда получаем, что
An,k =
1√
sin(2k + 1)x
k∏
s=1
ctg sx.
Так как x = π
2n , то формула (1.3) доказана.
Автор выражает глубокую благодарность М. М. Маламуду за по-
становку задачи, а также идею доказательства (использовать теорему
Рисса). Автор также признателен М. М. Маламуду и Л. Л. Оридороге
за ряд ценных замечаний и внимание к работе.
Литература
[1] В. Н. Габушин, О наилучшем приближении оператора дифференцирования
на полуоси // Математические заметки, 6 (1969), N 5, 573–582.
[2] Г. А. Калябин, Наилучшие операторы продолжения для соболевских про-
странств на полупрямой // Функциональный анализ и его приложения, 36
(2002), вып. 2, 28–37.
[3] Г. А. Калябин, О точных константах в неравенствах Колмогорова для про-
странств Соболева W n
2 (R+) // Доклады РАН, 388 (2003), N 2, 159–161.
[4] Г. А. Калябин, Точные константы в неравенствах для промежуточных
производных (случай Габушина) // Функциональный анализ и его прило-
жения, 38 (2004), вып. 3, 29–38.
[5] Л. В. Канторович и Г. П. Акилов, Функциональный анализ в нормированных
пространствах. Физматгиз, 1961.
[6] В. А. Кречмар, Задачник по алгебре. Издание шестое. М.: Наука, 1968.
[7] И. В. Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. М.:
Наука, 1978.
[8] С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в матема-
тической физике. ЛГУ, 1950.
[9] Л. В. Тайков, Неравенства колмогоровского типа и наилучшие формулы чи-
сленного дифференцирования // Математические заметки, 4 (1968), N 2, 233–
238.
[10] В. М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений. М.: Издатель-
ство МГУ, 1976.
А. А. Лунёв 433
Сведения об авторах
Антон Андреевич
Лунёв
Донецкий национальный университет
ул. Университетская 24,
83055, Донецк,
Украина
E-Mail: Anton_Lunyov@mail.ru
|