Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов
Найден точный при любом p ≥ 1 порядок роста норм p-сильных средних сферических частичных сумм Фурье в пространстве измеримых ограниченных почти всюду на n-мерном (n ≥ 3) торе Tⁿ = [−π, π)ⁿ функций. Доказаны неулучшаемые оценки интегральных норм линейных средних сферических ядер Дирихле через коэффиц...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124541 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов / О.И. Кузнецова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 46-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124541 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245412017-09-30T03:03:36Z Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов Кузнецова, О.И. Найден точный при любом p ≥ 1 порядок роста норм p-сильных средних сферических частичных сумм Фурье в пространстве измеримых ограниченных почти всюду на n-мерном (n ≥ 3) торе Tⁿ = [−π, π)ⁿ функций. Доказаны неулучшаемые оценки интегральных норм линейных средних сферических ядер Дирихле через коэффициенты этих средних (неравенства типа неравенства Сидона). Для кратных тригонометрических рядов с радиальной симметрией коэффициентов получены условия, при выполнении которых рассматриваемые ряды являются рядами Фурье, и необходимые и достаточные условия сходимости таких рядов по сферам в L(Tⁿ). 2006 Article Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов / О.И. Кузнецова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 46-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 42B08, 42B15. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124541 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найден точный при любом p ≥ 1 порядок роста норм p-сильных средних сферических частичных сумм Фурье в пространстве измеримых ограниченных почти всюду на n-мерном (n ≥ 3) торе Tⁿ = [−π, π)ⁿ функций. Доказаны неулучшаемые оценки интегральных норм линейных средних сферических ядер Дирихле через коэффициенты этих средних (неравенства типа неравенства Сидона). Для кратных тригонометрических рядов с радиальной симметрией коэффициентов получены условия, при выполнении которых рассматриваемые ряды являются рядами Фурье, и необходимые и достаточные условия сходимости таких рядов по сферам в L(Tⁿ). |
| format |
Article |
| author |
Кузнецова, О.И. |
| spellingShingle |
Кузнецова, О.И. Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов Український математичний вісник |
| author_facet |
Кузнецова, О.И. |
| author_sort |
Кузнецова, О.И. |
| title |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов |
| title_short |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов |
| title_full |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов |
| title_fullStr |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов |
| title_full_unstemmed |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов |
| title_sort |
сильные сферические средние и сходимость в l кратных тригонометрических рядов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124541 |
| citation_txt |
Сильные сферические средние и сходимость в L кратных тригонометрических рядов / О.И. Кузнецова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 46-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kuznecovaoi silʹnyesferičeskiesrednieishodimostʹvlkratnyhtrigonometričeskihrâdov |
| first_indexed |
2025-07-09T01:35:54Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:35:54Z |
| _version_ |
1837131325292675072 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 1, 46 – 63
Сильные сферические средние и сходимость в
L кратных тригонометрических рядов
Ольга И. Кузнецова
(Представлена В. П. Моторным)
Аннотация. Найден точный при любом p ≥ 1 порядок роста норм
p-сильных средних сферических частичных сумм Фурье в пространс-
тве измеримых ограниченных почти всюду на m-мерном (m ≥ 3) то-
ре T m = [−π, π)m функций. Доказаны неулучшаемые оценки инте-
гральных норм линейных средних сферических ядер Дирихле через
коэффициенты этих средних (неравенства типа неравенства Сидо-
на). Для кратных тригонометрических рядов с радиальной симмет-
рией коэффициентов получены условия, при выполнении которых
рассматриваемые ряды являются рядами Фурье, и необходимые и
достаточные условия сходимости таких рядов по сферам в L(T m). В
частности, для рядов
∑
k∈Zm
b(|k|)
|k|α
e
ikx
,
где α > 0, b(t) — медленно меняющаяся (по Зигмунду) функция,
доказан критерий сходимости по сферам в L(T m).
2000 MSC. 42B08, 42B15.
Ключевые слова и фразы. Сферические частичные суммы, силь-
ные средние, сходимость в среднем.
1. Основные определения и результаты
Пусть Zm — целочисленная решетка в m-мерном евклидовом про-
странстве Rm, элементы Zm будем обозначать через k = (k1, k2, . . . ,
km), kx = k1x1 + k2x2 + · · ·+ kmxm при x ∈ Rm, |k| = (k2
1 + k2
2 + · · ·+
k2
m)1/2. Пусть функция f принадлежит пространству L∞(Tm) изме-
римых ограниченных почти всюду на m-мерном торе Tm = [−π, π)m
функций,
∑
k∈Zm
f̂(k)eikx — (1.1)
Статья поступила в редакцию 21.02.2005
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
О. И. Кузнецова 47
ее ряд Фурье с коэффициентами Фурье
f̂(k) =
1
(2π)m
∫
T m
f(u)e−iku du.
Сферическая частичная сумма SR(f, x) ряда (1.1) определяется чи-
слом R > 0 и имеет вид
SR(f, x) =
∑
|k|≤R
f̂(k)eikx. (1.2)
Пусть p > 0, n ∈ N . Назовем p-сильными сферическими средними
ряда (1.2) следующие величины:
Hn,p(f, x) :=
(
1
n+ 1
n
∑
j=0
|Sj(f, x)|p
)
1
p
. (1.3)
При m = 1 ограниченность по n последовательности
Hn,p := sup
|f |≤1
Hn,p(f, x) = sup
|f |≤1
Hn,p(f, 0) = sup
|f |≤1
(
1
n+ 1
n
∑
j=0
|Sj(f, 0)|p
)
1
p
равносильна p-сильной суммируемости рядов Фурье непрерывных пе-
риодических функций ( [1, стр. 488]): при любом p > 0 для любой
функции f ∈ C(T ) равномерно по x
1
n+ 1
n
∑
j=0
|Sj(f, x) − f(x)|p → 0 при n→ ∞.
При m = 2 и 0 < p ≤ 2 вопрос об ограниченности последователь-
ности Hn,p открыт, известна лишь оценка сверху [2] ( [3] при p = 1)
Hn,p ≤ c
√
ln(n+ 1), (1.4)
где c > 0 — абсолютная постоянная.
При m = 2 и p > 2 в [4] доказано, что
Hn,p ≤ c(p)n
1
2
− 1
p , (1.4.1)
где постоянная c(p) → ∞ при p→ 2 + 0. Там же показано, что снизу
имеет место противоположное неравенство
Hn,p ≥ c1n
1
2
− 1
p
с абсолютной постоянной c1.
При m>2 последовательность Hn,p заведомо неограничена. Спра-
ведлив следующий результат.
48 Сильные сферические средние...
Теорема 1.1. Пусть m ≥ 3, p ≥ 1. Тогда
Hn,p ≍ n
m−1
2
−min
(
1
2
, 1
p
)
. (1.5)
Константы, входящие в знак ≍, зависят лишь от m.
Напомним, что ϕ(n) ≍ ψ(n) означает, что существуют постоянные
c1, c2 > 0, не зависящие от n, что c1ϕ(n) ≤ ψ(n) ≤ c2ϕ(n).
Так как Hn,p не убывает с ростом p, верхняя оценка в (1.5) спра-
ведлива и при 0 < p < 1. В предельном случае p = ∞ из верхней
оценки в (1.5) получаем верхнюю оценку в хорошо известном дву-
стороннем неравенстве для констант Лебега сферических частичных
сумм [5] ( [6], оценка снизу)
sup
|f |≤1
‖SR(f)‖∞ = sup
|f |≤1
|SR(f, 0)| ≍ R
m−1
2 . (1.6)
Прямым следствием теоремы 1.1 является аналог неравенства Си-
дона [7] для сферических ядер Дирихле
DR(x) =
∑
|k|≤R
eikx.
Теорема 1.2. Пусть m ≥ 3, n ∈ N . Для любого набора действи-
тельных чисел aj , j = 0, 1, . . . , n, справедливо неравенство
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
ajDj(u)
∣
∣
∣
∣
du ≤ c(m)n
m−1
2
( n
∑
j=0
a2
j
)
1
2
. (1.7)
Точность данного неравенства, невозможность замены в нем
‖{aj}‖l2 на норму ‖{aj}‖lq при q > 2 следует из теоремы 1.1. Кро-
ме того, при любом n существуют наборы {aj}n
j=0, для которых име-
ет место противоположное (1.7) неравенство. Достаточно положить,
например, aj = 0, j = 0, . . . , n− 1, an 6= 0.
При m = 2 имеет место оценка [2]
∫
T 2
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
ajDj(u)
∣
∣
∣
∣
du ≤ cn
1
2
√
ln(n+ 1)
( n
∑
j=0
a2
j
)
1
2
, (1.8)
c — абсолютная постоянная.
Неравенства (1.7) и (1.8) используются при исследовании условий
интегрирования и сходимости m-кратных тригонометрических рядов
∑
k∈Zm
cke
ikx (1.9)
О. И. Кузнецова 49
с радиальными, т.е. зависящими только от |k|, коэффициентами в
пространстве L(Tm), m ≥ 2, интегрируемых по Лебегу на Tm функ-
ций.
Тригонометрический ряд (1.9) сходится по сферам в L(Tm), если
существует функция f ∈ L(Tm) такая, что
lim
R→∞
∫
T m
|SR(x) − f(x)| dx = 0,
где SR(x) — сферическая частичная сумма ряда (1.9), определяемая
подобно (1.2).
Пусть λn — сходящаяся к нулю последовательность действитель-
ных чисел. Рассмотрим сначала тригонометрический ряд
λ0 +
∞
∑
l=1
λl
∑
l−1<|k|≤l
eikx. (1.10)
Полагаем ∆λl = λl − λl+1, l = 1, 2, . . .
Теорема 1.3. Если последовательность λn, определяющая коэффи-
циенты ряда (1.10) сходится к нулю и, кроме того, удовлетворяет
условию
∞
∑
l=0
√
l + 1
[
2l
2l+1−1
∑
j=2l
(∆λj)
2
]
1
2
<∞ при m = 2 (1.11)
или условию
∞
∑
l=0
2
m−1
2
l
[ 2l+1−1
∑
j=2l
(∆λj)
2
]
1
2
<∞ при m ≥ 3, (1.12)
то ряд (1.10) есть ряд Фурье некоторой функции f ∈ L(Tm), кото-
рый сходится по сферам к f в L(Tm) тогда и только тогда, когда
lim
n→∞
λnn
m−1
2 = 0. (1.13)
Данная теорема есть один из m-мерных аналогов хорошо изве-
стной теоремы Фомина [8].
Из теоремы 1.3 легко получить следующий результат для более
общих тригонометрических рядов.
Пусть функция λ(t) определена при t ≥ 0. Ее колебание ωt(λ) на
отрезке [l − 1, l] есть
ωl(λ) = sup
l−1≤t1, t2≤l
|λ(t1) − λ(t2)|.
50 Сильные сферические средние...
По функции λ(t) определим тригонометрический ряд
∑
k∈Zm
λ(|k|)eikx. (1.14)
Теорема 1.4. Если функция λ(t), определяющая коэффициенты ряда
(1.14), стремится к нулю при t→ ∞ и выполнено условие
∞
∑
l=0
√
l + 1
[
2l
2l+1−1
∑
j=2l
ω2
j (λ)
]
1
2
<∞ при m = 2 (1.15)
или условие
∞
∑
l=0
2
m−1
2
l
[ 2l+1−1
∑
j=2l
ω2
j (λ)
]
1
2
при m ≥ 3, (1.16)
то ряд (1.14) есть ряд Фурье некоторой функции f ∈ L(Tm), сходя-
щийся по сферам к f в L(Tm) тогда и только тогда, когда
lim
t→∞
λ(t)t
m−1
2 = 0. (1.17)
Одно из возможных применений теоремы 1.4 есть доказательство
критерия сходимости по сферам в L(Tm) рядов
∑
k 6=0
b(|k|)
|k|α eikx, (1.18)
где α > 0, а b(u) — медленно меняющаяся (по Зигмунду) функция, т.е.
положительная функция, определенная при u > 0, и такая, что при
любом δ > 0 функция b(u)uδ при достаточно больших u возрастает,
а b(u)u−δ убывает. Одномерную теорию таких рядов см. в [9, гл. 5],
m-мерную при более узком классе бесконечно дифференцируемых
функций b(u) — в [10].
Из результатов работы [5] следует, что ряд
∑
k 6=0
eikx
|k|α ,
(b(u) ≡ 1) расходится по сферам в L(Tm), если α < m−1
2 . Очевидно,
что при α > m
2 ряд (1.18) сходится в L2(T
m), следовательно, и в
L(Tm). Другие случаи сходимости или расходимости рядов данного
вида нам не были известны.
Теорема 1.5. Для того чтобы ряд (1.18) сходился по сферам в
L(Tm), необходимо и достаточно, чтобы
lim
u→∞
b(u)u
m−1
2
−α = 0.
О. И. Кузнецова 51
2. Оценки сильных средних
В этом пункте приведем доказательство теоремы 1.1 и некоторые
следствия. Нам потребуется следующий результат Э. С. Белинского
( [12, теорема 1, верхняя оценка]).
Пусть Λ(x) — измеримая ограниченная функция на Rm, имею-
щая компактный носитель. Рассмотрим последовательность линей-
ных операторов (n ∈ N)
LΛ
n : f →
∑
k∈Zm
Λ
(
k
n
)
f̂(k)eikx.
Теорема А.
‖LΛ
n‖L1(T m)→L1(T m) = ‖LΛ
n‖L∞(T m)→L∞(T m)
=
1
(2π)m
∫
T m
∣
∣
∣
∣
∑
k
Λ
(k
n
)
e−ikx
∣
∣
∣
∣
dx ≤
∫
nT m
m
∏
i=1
xi
2n sin xi
2n
|Λ̃(x)| dx
+ c(m)
∫
1
2π
T m
[
∑
k
∣
∣
∣
Λ
(k
n
)
− Λ
(k + u
n
)∣
∣
∣
2
]
1
2
du,
где
Λ̃(x) =
1
(2π)m
∫
Rm
Λ(u)e−iux du —
преобразование Фурье функции Λ(x).
Доказательство теоремы 1.1 Оценка снизу. При p ≥ 2 достаточ-
но в правой части (1.3) оставить одно слагаемое (n + 1)
1
p |Sn(f, x)| и
применить нижнюю оценку из двустороннего неравенства (1.6). При
p = 1 воспользуемся приемом Салема [13]. Пусть {ε} = {εj}n
0 , εj = ±1.
Тогда
Hn,1 = sup
|f |≤1
sup
{ε}
1
n+ 1
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
εjSj(f, 0)
∣
∣
∣
∣
= sup
{ε}
1
n+ 1
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
εjDj(u)
∣
∣
∣
∣
du
≥ 1
n+ 1
∫
T m
1
∫
0
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
rj(t)Dj(u)
∣
∣
∣
∣
dt du, (2.1)
52 Сильные сферические средние...
где rj(t) = sign sin 2j+1πt — функции Радемахера. В силу известного
соотношения ( [1, стр. 314])
8
1
∫
0
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=1
cjrj(t)
∣
∣
∣
∣
dt ≥
( n
∑
j=1
c2j
)
1
2
, справедливого для любых cj ,
получаем, что
1
∫
0
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
rj(t)Dj(u)
∣
∣
∣
∣
dt≫
( n
∑
j=0
|Dj(u)|2
)
1
2
≥ 1√
n+ 1
n
∑
j=0
|Dj(u)|.
Тогда из (2.1) и нижней оценки в (1.6) следует, что
Hn,1 ≫ 1
(n+ 1)
3
2
n
∑
j=[n
2
]
∫
T m
|Dj(u)| du≫ n
m−2
2 .
Так как Hn,p монотонна по p, при 1 < p < 2 имеем ту же оценку
Hn,p ≫ n
m−2
2 .
Оценка сверху. Верхнюю оценку достаточно доказать для p ≥ 2.
Hn,p = (n+ 1)
− 1
p sup
|f |≤1
sup
{ε}
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
εjSj(f, 0)
∣
∣
∣
∣
≪ (n+ 1)−
1
p sup
{ε}
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
εjDj(u)
∣
∣
∣
∣
du, (2.2)
где supremum берется по всевозможным наборам {ε} = {εj}n
0 дей-
ствительных чисел εj , удовлетворяющих условию
∑n
j=0 |εj |q ≤ 1, q =
p
p−1 — показатель, сопряженный к p. Преобразуем сумму под знаком
интеграла в (2.2). Пусть
λl = (n+ 1)
− 1
p
n
∑
j=l
εj при 0 ≤ l ≤ n, λn+1 = 0.
Тогда (∆λl = λl − λl+1)
Hn,p ≪ sup
{ε}
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
∆λj
∑
|k|≤j
eiku
∣
∣
∣
∣
du
= sup
{ε}
∫
T m
∣
∣
∣
∣
λ0 +
n
∑
l=1
λl
∑
l−1<|k|≤l
eiku
∣
∣
∣
∣
du. (2.3)
О. И. Кузнецова 53
Определим, исходя из последовательности λl, непрерывную на отрез-
ке [0, n+ 1] функцию ϕn(t) следующим образом:
ϕn(0) = λ0, ϕn(1) = λ1, ϕn(t) = λl
при l − 1 + 1
2(n+1) ≤ t ≤ l, 2 ≤ l ≤ n + 1, и линейная на оставшихся
промежутках. По функции ϕn(t) определим функцию λn(t), полагая
λn
(
t
n+1
)
= ϕn(t). Функция λn(t) определена и непрерывна на отрезке
[0, 1], λn(1) = 0.
Пусть Λn(x) — радиальная функция, заданная на единичном шаре
|x| ≤ 1 в Rm равенством Λn(x) = λn(|x|) и равная нулю вне этого
шара.
Если точка k ∈ Zm принадлежит шаровому слою l < |x| ≤ l + 1
и 1 ≤ l ≤ n, то |k| − l > 1
2(l+1) ≥ 1
2(n+1) . Это означает, что шаровые
слои l < |x| ≤ l+ 1
2(n+1) , 1 ≤ l ≤ n, не содержат точек из Zm. Поэтому
можно записать, учитывая (2.3) и определение функции Λn(x), что
Hn,p ≪ sup
{ε}
∫
T m
∣
∣
∣
∣
∑
|k|≤n+1
Λn
(
k
n+ 1
)
eiku
∣
∣
∣
∣
du. (2.4)
Для оценки интеграла в правой части (2.4) применим теорему А.
Hn,p ≪ sup
{ε}
{
∫
(n+1)T m
|Λ̃n(u)| du
+
∫
1
2π
T m
[
∑
k
∣
∣
∣
∣
Λn
( k
n+ 1
)
− Λn
(k + u
n+ 1
)
∣
∣
∣
∣
2]1/2
du
}
. (2.5)
Оценим сначала второй интеграл.
[
∑
k
∣
∣
∣
∣
Λn
( k
n+ 1
)
− Λn
(k + u
n+ 1
)
∣
∣
∣
∣
2]1/2
=
[
∑
k
∣
∣
∣
∣
λn
( |k|
k + 1
)
− λn
( |k + u|
n+ 1
)
∣
∣
∣
∣
2]1/2
=
{[
λn(0) − λn
( |u|
n+ 1
)
]2
+
n
∑
l=1
∑
l−1<|k|≤l
[
λn
( |k|
n+ 1
)
− λn
( |k + u|
n+ 1
)
]2}1/2
. (2.6)
При l − 1 < |k| ≤ l λn
( |k|
n+1
)
= λl. Так как |u| ≤
√
m
2 при u ∈ 1
2πT
m,
54 Сильные сферические средние...
то при некотором натуральном p = p(m) и l − 1 < |k| ≤ l
∣
∣
∣
∣
λn
( |k|
n+ 1
)
− λn
( |k + u|
n+ 1
)
∣
∣
∣
∣
≤ 1
(n+ 1)1/p
l+p
∑
j=(l−p)+
|εj |
≪ 1
(n+ 1)1/p
( l+p
∑
j=(l−p)+
|εj |2
)1/2
, (2.7)
где a+ = a при a ≥ 0 и нулю при a < 0.
Поскольку в шаровом слое l − 1 < |k| ≤ l не более чем c(m)lm−1
точек из Zm, получаем, учитывая (2.6) и (2.7), что второй интеграл
в (2.5) не превосходит
c1(m)
(n+ 1)1/p
( p
∑
j=0
|εj |2 +
n
∑
l=1
lm−1
l+p
∑
j=(l−p)+
|εj |2
)1/2
≪ n
m−1
2
− 1
p
( n
∑
j=0
|εj |2
)1/2
= O
(
n
m−1
2
− 1
p
)
. (2.8)
Оценим первый интеграл в (2.5). Обозначим его через In,p. По теореме
Коши–Пуассона [14, стр. 263]
Λ̃n(x) =
∫
|u|≤1
Λn(u)e−iux du =
(2π)
m
2
α
m−2
2
1
∫
0
λn(ρ)ρ
m
2 Jm−2
2
(αρ) dρ,
где α = |x|, а Jν(t) — функция Бесселя ν-го порядка. Увеличим
область интегрирования в In,p и перейдем к сферическим коорди-
натам. Получаем, что
In,p ≪
π
√
m(n+1)
∫
0
α
m
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
0
λn(ρ)ρ
m
2 Jm−2
2
(αρ) dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα.
Проинтегрируем по частям во внутреннем интеграле, используя рек-
курентное соотношение для функций Бесселя ( [15, п.7.2.8(50)])
d
dz
(zJν(z)) = zνJν−1(z).
По построению λn(1) = 0, а ( [15], п.7.2.1(2) )
Jν(z) =
(z
2
)ν 1
Γ(ν + 1)
+O(zν+2) при z → 0, ν ≥ 0,
О. И. Кузнецова 55
поэтому внеинтегральный член равен нулю. Тогда
In,p ≪
π
√
m(n+1)
∫
0
α
m−2
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
0
λ′(ρ)ρ
m
2 Jm
2
(αρ) dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα
=
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−2
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
0
λ′(ρ)ρ
m
2 Jm
2
(αρ) dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα+O(1),
т.к. полная вариация функции λn(t)
V (λn) = (n+ 1)
− 1
p
n
∑
j=0
|εj | ≤
( n
∑
j=0
|εj |q
)
1
q
≤ 1, (2.9)
а Jν(t) ограничены на каждом конечном промежутке. Кроме того,
при 0 ≤ ρ ≤ 1
n+1 |λ′(ρ)| ≤ |ε0| (n+ 1)
1− 1
p и
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−2
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
n+1
∫
0
λ′n(ρ) ρ
m
2 Jm
2
(αρ)
∣
∣
∣
∣
∣
dρ≪ 1
(n+ 1)
1
p
,
следовательно,
In,p ≪
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−2
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
1
n+1
λ′(ρ) ρ
m
2 Jm
2
(αρ) dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα+O(1). (2.10)
Для дальнейших оценок воспользуемся следующей формулой для
Jν(t), ν ≥ 0,
Jν(t) =
√
2
πt
cos
(
t− νπ
2
− π
4
)
+O
( 1
t3/2
)
при t→ ∞.
Подставим в (2.10). Остаточный член есть (см. (2.9) )
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−5
2
1
∫
1
n+1
|λ′(ρ)| dρ dα =
{
O
(
n
m−3
2
)
при m > 3,
O(lnm), при m = 3.
Следовательно,
In,p ≪
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−3
2
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
1
n+1
λ′n(ρ) ρ
m−1
2 cos
(
αρ− mπ
4
− π
4
)
dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα
+O
(
(n+ 1)
m−2
2
)
.
56 Сильные сферические средние...
Обозначим qn = 1
2(n+1)2
. Производная λ′n(t) равна −2εl(n + 1)
2− 1
p на
интервале
(
l
n+1 ,
l
n+1 +qn
)
, 1 ≤ l ≤ n, и нулю на смежных интервалах.
Поэтому
In,p ≪ (n+ 1)
2− 1
p
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−3
2
×
∣
∣
∣
∣
∣
n
∑
l=1
εl
l
n+1
+qn
∫
l
n+1
ρ
m−1
2 cos
(
αρ− mπ
4
− π
4
)
dρ
∣
∣
∣
∣
∣
dα. (2.11)
Заменим подынтегральную функцию в каждом внутреннем интегра-
ле в (2.11) ее значением в левом конце промежутка интегрирования.
При l
n+1 ≤ ρ ≤ l
n+1 + qn
∣
∣
∣
ρ
m−1
2 cos
(
αρ− πm
4
− π
4
)
−
( l
n+ 1
)
m−1
2
cos
( αl
n+ 1
− πm
4
− π
4
)∣
∣
∣
≤
[
( l
n+ 1
+ qn
)
m−1
2 −
( l
n+ 1
)
m−1
2
]
+ 2
( l
n+ 1
)
m−1
2
sin
αqn
2
≪ qn(1 + α) ≪ qnα.
Поэтому погрешность такой замены не превосходит
q2n(n+ 1)
m+5
2
− 1
p = O
(
(n+ 1)
m−3
2
)
.
После замены имеем
In,p ≪ 1
(n+ 1)
m−1
2
+ 1
p
π
√
m(n+1)
∫
1
α
m−3
2
×
∣
∣
∣
∣
n
∑
l=1
εll
m−1
2 cos
( αl
n+ 1
− mπ
4
− π
4
)
∣
∣
∣
∣
dα+O
(
n
m−2
2
)
или, заменяя α→ (n+ 1)α,
In,p ≪ 1
(n+ 1)
1
p
π
√
m
∫
0
∣
∣
∣
∣
n
∑
l=1
εle
m−1
2 cos
(
lα− mπ
4
− π
4
)
∣
∣
∣
∣
dα+O
(
n
m−2
2
)
≪ 1
(n+ 1)
1
p
( 2π
∫
0
∣
∣
∣
∣
n
∑
l=1
εll
m−1
2 cos
(
lα− mπ
4
− π
4
)
∣
∣
∣
∣
2
dα
)
1
2
+O
(
n
m−2
2
)
О. И. Кузнецова 57
≤ 1
(n+ 1)
1
p
( n
∑
l=1
|εl|2lm−1
)
1
2
+O
(
n
m−2
2
)
≪ n
m−1
2
− 1
p .
Верхняя оценка в (1.5) (см. (2.8)), а следовательно, и теорема 1.1
доказаны. �
Тем самым для любой f ∈ L∞(Tm) и любого p > 0 доказано
неравенство
∥
∥
∥
∥
1
n+ 1
n
∑
j=1
|Sj(f)|p
∥
∥
∥
∥
∞
≤ c(m, p)n
p[m−1
2
−min( 1
2
, 1
p
)] ‖f‖p
∞. (2.12)
Следующая аппроксимационная теорема доказывается хорошо из-
вестным методом, если есть оценки вида (2.12). Это аналог неравен-
ства, доказанного впервые в [16] для случая m = 1.
Пусть En(f) — наилучшее приближение функции f в пространст-
ве C(Tm) тригонометрическими полиномами со спектром в шаре ра-
диуса n:
En(f) = inf
T
‖f − T‖∞, где T (x) =
∑
|k|≤n
cke
ikx.
Теорема 2.1. Для любой f ∈ C(Tm), m ≥ 3, и любого p > 0
∥
∥
∥
∥
n
∑
j=0
|f − Sj(f)|p
∥
∥
∥
∥
∞
≤ c(m, p)
n
∑
j=0
j
p[m−1
2
−min( 1
2
, 1
p
)]
E
p
j (f).
Применяя многомерную теорему Джексона (см., напр., [17, с. 113]),
утверждающую, что при любом l ∈ N
En(f) ≪ ωl
(
f,
1
n
)
,
где ωl(f, t) = suph∈Rm,|h|≤t ‖
∑l
j=0(−1)l−j
(
l
j
)
f(·+ jh)‖∞ — l-тый пол-
ный модуль гладкости функции f , получаем оценку скорости при-
ближения f .
В двумерном случае аналогичное неравенство следует из оценок
(1.4) и (1.4.1).
3. Неравенство Сидона
Неравенство (1.7) теоремы 1.2 легко следует из верхней оценки
(1.5). В самом деле, пусть
In :=
1
n+ 1
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
ajDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx = sup
|f |≤1
1
n+ 1
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
Sj(f, 0)aj
∣
∣
∣
∣
.
58 Сильные сферические средние...
Тогда
In ≤ sup
|f |≤1
(
1
n+ 1
n
∑
j=0
|Sj(f, 0)|p
)
1
p
(
1
n+ 1
n
∑
j=0
|aj |q
)
1
q
при любых p, q ≥ 1, 1
p + 1
q = 1.
При p ≤ 2 In ≪ (n + 1)
m−2
2
(
1
n+1
∑n
j=0 |aj |q
)
1
q и правая часть
минимальна при q = 2.
При p ≥ 2 In ≪ n
m−1
2
−1
(
∑n
j=0 |aj |q
)
1
q и minimum также при
q = 2. Неравенство (1.7) доказано.
Если бы при некотором q > 2 для любых наборов {aj}n
0 имело
место неравенство
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
ajDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx ≤ c(m)n
m−1
2
( n
∑
j=0
|aj |q
)
1
q
,
то, полагая aj = signSj(f, 0) для любой функции f с условием |f | ≤ 1,
имели бы
n
∑
j=0
|Sj(f, 0)| ≪ n
m−1
2
+ 1
q = n
m+1
2
− 1
p
при некотором p < 2, что противоречит нижней оценке в (1.5). �
Следствие 3.1. Пусть m ≥ 3, l ∈ N . Для любого набора действи-
тельных чисел {aj}
∫
T m
∣
∣
∣
∣
2l+1−1
∑
j=2l
ajDj(u)
∣
∣
∣
∣
du≪
( 2l+1−1
∑
j=2l
jm−1a2
l
)
1
2
. (3.1)
Для доказательства этого неравенства достаточно в (1.7) поло-
жить n = 2l+1 − 1 и a0 = a1 = · · · = a2l−1 = 0.
Аналогичным образом при m = 2 из (1.8) получаем
∫
T m
∣
∣
∣
∣
2l+1−1
∑
j=2l
ajDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx≪
√
l + 1
( 2l+1−1
∑
j=2l
ja2
j
)
1
2
. (3.2)
4. Интегрирование тригонометрических рядов
Пусть
Sn(x) = λ0 +
n
∑
l=1
λl
∑
l−1<|k|≤l
eikx —
n-ая, n ∈ N , сферическая частичная сумма ряда (1.10).
О. И. Кузнецова 59
Доказательство теоремы 1.3. Покажем сначала сходимость в L(Tm)
ряда
∞
∑
j=0
∆λjDj(x). (4.1)
Из условия (1.12) (или (1.11) при m = 2) и неравенства (3.1) (соот-
ветственно, (3.2)) следует сходимость ряда из норм
∞
∑
l=0
∫
T m
∣
∣
∣
∣
2l+1−1
∑
j=2l
∆λjDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx <∞,
а следовательно, в силу полноты пространства, сходимость в L(Tm)
ряда
∆λ0 +
∞
∑
l=0
2l+1−1
∑
j=2l
∆λjDj(x).
Обозначим его сумму через f . Пусть n — произвольно, выберем l0 из
условия 2l0 ≤ n+ 1 < 2l0+1. Так как
∫
T m
∣
∣
∣
∣
n
∑
j=0
∆λjDj(x) − f(x)
∣
∣
∣
∣
dx ≤
∫
T m
∣
∣
∣
∣
2l0+1−1
∑
j=n+1
∆λjDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx
+
∫
T m
∣
∣
∣
∣
f(x) −
2l0+1−1
∑
j=0
∆λjDj(x)
∣
∣
∣
∣
dx (4.2)
и поскольку для первого слагаемого правой части (4.2) также выпол-
нена оценка (3.1) (или (3.2) ) (нужно положить aj = 0 при 2l0 ≤ j ≤
n), получаем, что правая часть (4.2) стремится к нулю при n, а зна-
чит, и l0, стремящемся к ∞. Сходимость ряда (4.1) в L(Tm) доказана.
Покажем, что ряд (1.10) есть ряд Фурье функции f . Для этого
нужно показать, что
f̂(k0) = λl при l − 1 < |k0| ≤ l. (4.3)
Пусть n > l. Тогда
f̂(k0) =
1
(2π)m
∫
T m
f(u)e−ik0u du
=
1
(2π)m
∫
T m
[ n
∑
j=0
∆λjDj(u)
]
e−ik0u du+ o(1)
60 Сильные сферические средние...
=
1
(2π)m
∫
T m
[
λ0 +
n
∑
j=1
λj
∑
j−1<|k|≤j
eiku − λnDn(u)
]
e−ik0u du
= λl − λn +O(1).
Так как n > l — произвольно, а λn → 0 при n→ ∞, получаем (4.3).
Осталось показать, что ряд (1.10) сходится к f в L(Tm) тогда и
только тогда, когда выполнено условие (1.13). Это следует из равен-
ства
Sn(x) =
n
∑
j=0
∆λjDj(x) + λnDn(x),
сходимости к f ряда (4.1) и двусторонней оценки (1.6). Теорема 1.3
доказана. �
Доказательство теоремы 1.4. Поскольку |∆λ(l)| ≤ ωl(λ), из условий
(1.15) и (1.16) следуют соответствующие условия (1.11) и (1.12) тео-
ремы 1.3 для ряда (1.10) с λl = λ(l). Поэтому достаточно показать,
что ряд
∞
∑
l=1
∑
l−1<|k|≤l
[λ(|k|) − λ(l)]eikx,
являющийся разностью рядов (1.14) и (1.10), сходится в L2(Tm), сле-
довательно, и в L(Tm). Для этого нужно показать, что
∞
∑
l=1
∑
l−1<|k|≤l
[λ(|k|) − λ(l)]2 <∞.
Но данная сумма не превосходит
∑∞
l=1ω
2
l l
m−1, которая конечна в силу
условия (1.16) или (1.15). �
5. Сходимость по сферам в L специальных
тригонометрических рядов
Чтобы доказать теорему 1.5, нам нужны следующие утверждения.
Лемма 5.1. Если b(u) — медленно меняющаяся функция, то при
любом t > 0
|b(u) − b(u+ t)| = o
( tb(u)
u
)
при u→ ∞.
Для дифференцируемых функций b(u) лемма 5.1 доказана в [10].
О. И. Кузнецова 61
Доказательство. При любом δ > 0 функция b(u)
uδ убывает при u ≥
u0(δ), поэтому при этих u
b(u)
uδ
− b(u+ t)
(u+ t)δ
≥ 0
и
b(u) − b(u+ t) > −b(u+ t)
[
(
1 +
t
u
)δ
− 1
]
.
Аналогично, поскольку при любом δ > 0 b(u)uδ возрастает при u ≥
u1(δ),
b(u) − b(u+ t) ≤ b(u+ t)
[
(
1 +
t
u
)δ
− 1
]
.
Объединяя эти два неравенства и замечая, что выражение в квад-
ратных скобках не превосходит δt
u при δ ≤ 1, получаем при u ≥
max(u0, u1)
|b(u) − b(u+ t)| ≤ δtb(u+ t)
u
≤ 2δt
u
b(u).
Лемма 5.1 доказана.
Лемма 5.2. Если при некотором α0 > 0 ряд
∑
k 6=0
b(|k|)
|k|α0
eikx (5.1)
сходится по сферам в L(Tm), то так же сходится и ряд (1.18), если
α > α0.
Доказательство. При любом α0 > 0 ряд
∑
k 6=0
eikx
|k|α0
есть ряд Фурье некоторой функции gα0
∈ L(Tm) [10] (см. также [18,
с. 314]). Обозначим сумму ряда (5.1) через fα0
. Тогда ряд (1.18) при
α > α0 есть ряд Фурье свертки fα = fα0
∗ gα−α0
и
∫
T m
|fα−SR(fα)| dx =
∫
T m
∣
∣
∣
∣
∣
∫
T m
[
fα0
(x−y)−SR(fα0
)(x−y)
]
gα−α0
(y) dy
∣
∣
∣
∣
∣
dx
≤
∫
T m
|gα−α0
| dy
∫
T m
|fα0
− SR(fα0
)| dx→ 0 при R→ ∞.
Лемма 5.2 доказана.
62 Сильные сферические средние...
Доказательство теоремы 2.1. Применим теорему 1.4. Пусть m ≥ 3.
При любом α > 0 последовательность b(l)
lα при достаточно больших l
монотонно убывает. Кроме того, по лемме 5.1
ωl
(b(l)
lα
)
=
b(l)
lα
− b(l + 1)
(l + 1)α
≪ b(l)
lα+1
.
Поэтому
∞
∑
l=0
2
m−1
2
l
[ 2l+1−1
∑
j=2l
ω2
j
(
b(j)
jα
)]
1
2
≪
∞
∑
l=0
2
m−1
2
l
( 2l+1−1
∑
j=2l
b2(j)
j2(α+1)
)
1
2
≪
∞
∑
l=0
b(2l)
2l(α−m−2
2
)
.
Последний ряд сходится при α > m−2
2 (если сходится ряд
∑∞
j=1
b(j)
j ,
то и при α = m−2
2 ). Следовательно, для ряда (1.18) условие (1.16) те-
оремы 1.4 выполнено, если α > m−2
2 . При m = 2 аналогичное условие
(1.15) выполнено, если α > 0. Поэтому, если рассматривать промежу-
ток α > m−2
2 , по теореме 1.4 ряд (1.18) сходится по сферам в L(Tm)
тогда и только тогда, когда выполнено условие (1.17), которое совпа-
дает с условием теоремы 2.1. То, что нет сходимости при α ≤ m−2
2 ,
следует из леммы 5.2.
Литература
[1] Н. К. Бари, Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1960.
[2] О. И. Кузнецова, Об одном классе двумерных тригонометрических рядов //
Вiсник Харкiв. нац. ун-ту. Сер. Математика, прикл. математика i механiка,
(2000), N 475, 76–85.
[3] О. И. Кузнецова, К вопросу о сильном суммировании по кругам // Укр.
матем. ж. 48 (1996), N 5, 629–634.
[4] О. И. Кузнецова, О сильных средних круговых частичных сумм Фурье //
Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАНУ, 5 (2000), 87–91.
[5] К. И. Бабенко, О сходимости в среднем кратных рядов Фурье и асимпто-
тике ядра Дирихле сферических средних. Препринт N 52 ИПМ АН СССР
(1971), 72 с.
[6] В. А. Ильин, Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фун-
даментальным системам функций оператора Лапласа // УМН. 29 (1968),
вып. 2, 61–120.
[7] S. Sidon, Hinreichende Bedingungen fur den Fourier-Charakter einer tri-
gonometrischen Reihe // J. London Math. Soc. 14 (1939), N 2, 158–166.
[8] Г. А. Фомин, Об одном классе тригонометрических рядов // Матем. заметки.
23 (1978), вып. 2, 213–222.
О. И. Кузнецова 63
[9] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Т. 1. М.: Мир, 1965.
[10] S. Wainger, Special trigonometric series in k-dimensions // Mem. Amer. Math.
Soc. 59 (1965), 102 p.
[11] О. И. Кузнецова, Сильные сферические средние и сходимость в L кратных
тригонометрических рядов // ДАН, 391 (2003), N 3, 303–305.
[12] Э. С. Белинский, Поведение констант Лебега некоторых методов сумми-
рования кратных рядов Фурье // Метрические вопросы теории функций и
отображений. Киев: Наук. Думка, (1977), 19–39.
[13] R. Salem, On strong summability of Fourier series // Amer. J. Math. 77 (1955),
392–402.
[14] С. Бохнер, Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962.
[15] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Т. 2. М.: Наука,
1966.
[16] G. Alexits, D. Kralik, Über die Approximation mit starken de la Valle-
Poussinschen mitteln // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 16 (1965), 43–49.
[17] М. Ф. Тиман, Аппроксимация и свойства периодических функций. Днiпро-
петровськ: Полiграфiст, 2000.
[18] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про-
странствах. М.: Мир, 1974.
Сведения об авторах
Ольга Ивановна
Кузнецова
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Р. Люксембург 74,
83114, Донецк
Украина
E-Mail: kuznets@iamm.ac.donetsk.ua
|