Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами

Для одного класу псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими символами, залежними вiд часу, дослiджено властивостi фундаментальних розв’язкiв; сформульовано достатнi, а для окремих рiвнянь i необхiднi умови коректної розв’язностi задачi Кошi з узагальненими початковими даними та встановлено принцип лок...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Літовченко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124542
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 64-96. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124542
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245422017-09-30T03:03:49Z Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами Літовченко, В.А. Для одного класу псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими символами, залежними вiд часу, дослiджено властивостi фундаментальних розв’язкiв; сформульовано достатнi, а для окремих рiвнянь i необхiднi умови коректної розв’язностi задачi Кошi з узагальненими початковими даними та встановлено принцип локалiзацiї їх розв’язкiв. При цьому побудовано простори основних функцiй, якi є узагальненням певних класичних просторiв. 2006 Article Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 64-96. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 35G10, 35S30. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124542 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Для одного класу псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими символами, залежними вiд часу, дослiджено властивостi фундаментальних розв’язкiв; сформульовано достатнi, а для окремих рiвнянь i необхiднi умови коректної розв’язностi задачi Кошi з узагальненими початковими даними та встановлено принцип локалiзацiї їх розв’язкiв. При цьому побудовано простори основних функцiй, якi є узагальненням певних класичних просторiв.
format	Article
author	Літовченко, В.А.
spellingShingle	Літовченко, В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами Український математичний вісник
author_facet	Літовченко, В.А.
author_sort	Літовченко, В.А.
title	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
title_short	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
title_full	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
title_fullStr	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
title_full_unstemmed	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
title_sort	задача коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124542
citation_txt	Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 64-96. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT lítovčenkova zadačakošídlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzgladkimisimvolami
first_indexed	2025-07-09T01:36:01Z
last_indexed	2025-07-09T01:36:01Z
_version_	1837131334111199232
fulltext	Український математичний вiсник Том 3 (2006), № 1, 64 – 96 Задача Кошi для одного класу псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими символами Владислав А. Лiтовченко (Представлена С. Д. Iвасишеним) Анотацiя. Для одного класу псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими символами, залежними вiд часу, дослiджено властивостi фундаментальних розв’язкiв; сформульовано достатнi, а для окре- мих рiвнянь i необхiднi умови коректної розв’язностi задачi Кошi з узагальненими початковими даними та встановлено принцип лока- лiзацiї їх розв’язкiв. При цьому побудовано простори основних фун- кцiй, якi є узагальненням певних класичних просторiв. 2000 MSC. 35G10, 35S30. Ключовi слова та фрази. Задача Кошi, псевдодиференцiальнi рiвняння, гладкi символи, узагальненi функцiї, принцип локалiзацiї, мультиплiкатор. 1. Вступ Теорiя просторiв типу S, розвинена Гельфандом I. М. i Шило- вим Г. Є. у 50-х роках минулого столiття, вiдiграла важливу роль при дослiдженнi задачi Кошi для систем рiвнянь у згортках, таких, що коефiцiєнти у вiдповiдних двоїстих за Фур’є системах є цiлими ана- лiтичними функцiями за просторовою змiнною (частковим випадком таких систем є диференцiальнi та диференцiально-рiзницевi системи з неперервними коефiцiєнтами, залежними вiд часу). Зокрема, у тер- мiнах цих просторiв вдалося описати класи єдиностi та класи коре- ктної розв’язностi задачi Кошi. При цьому з’ясувалося, що чим краще себе поводить з функцiональної точки зору фундаментальна матриця розв’язкiв системи, тим слабшi умови задовольняють початковi данi, тобто тим ширшi її класи єдиностi та коректної розв’язностi [1–3]. Стаття надiйшла в редакцiю 11.11.2004 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України В. А. Лiтовченко 65 Природнє розвинення теорiї просторiв типу S здiйснив Гуре- вич Б. Л., ввiвши так званi простори типу W [4, 5]. Данi простори дозволили точнiше описати класи єдиностi задачi Кошi для зазначе- них систем. Бурхливий розвиток теорiї псевдодиференцiальних операторiв спонукає до постановки i дослiдження задачi Кошi для псевдодифе- ренцiальних рiвнянь (систем), символи диференцiювання яких хара- ктеризуються рiзним ступенем гладкостi (не обов’язково цiлi аналi- тичнi функцiї) та зростають на нескiчненностi не лише степеневим чином. Для таких рiвнянь точний опис властивостей фундаментальних розв’язкiв завдяки просторам типу S та W не завжди є можливим. Справдi, для рiвняння ∂tu(t, x) + γ∫ −∞ ( (aE − ∂2 x) τ 2 u ) (t, x) dτ = 0, γ > 0, a > 0, (t, x) ∈ (0; +∞) × R, (1.1) де E — одиничний оператор, фундаментальний розв’язок Gt(·) збiгається з оберненим перетворенням Фур’є функцiї θt(·) = exp { −2t (a+(·)2)γ/2 ln(a+(·)2) } , t > 0. Однак [6], серед Sβ α, α > 0, β > 0 (тобто просторiв типу S) не iснує найвужчого простору, куди б при кожно- му фiксованому t > 0 потрапляла θt(·). Бiльш того, θt(·), t > 0 не належить жодному з просторiв WΩ M (просторiв типу W ), оскiльки ця функцiя не є цiлою аналiтичною. Таким чином, виникає потреба у поширеннi теорiї Гельфанда I. М., Шилова Г. Є. i Гуревича Б. Л. на випадок задач Кошi для псевдо- диференцiальних рiвнянь (систем), символи яких характеризуються обмеженим ступенем гладкостi у комплексному просторi. Доречно зазначити, що дослiдженням задачi Кошi для параболi- чних псевдодиференцiальних рiвнянь i систем з гладкими символами займалися японськi математики [7–10]. Ними описано клас нескiн- ченно диференцiйовних на R n символiв, залежних вiд просторової змiнної; наведено достатнi умови гiпоелiптичностi псевдодиференцi- альних операторiв з такими символами, побудовано фундаментальнi розв’язки вiдповiдних задач Кошi та розвинено методику дослiджен- ня їх властивостей. Проте, i у цьому випадку символи псевдодифе- ренцiювання мають степеневу поведiнку на безмежностi. У данiй роботi описується клас псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими, але не обов’язково цiлими аналiтичними символами з ча- совим параметром, поведiнка яких у околi нескiнченно вiддалених 66 Задача Кошi для одного класу... точок характеризується завдяки опуклим функцiям. Дослiджуються властивостi фундаментальних розв’язкiв таких рiвнянь. Згiдно з ци- ми властивостями, будуються простори основних i узагальнених фун- кцiй, якi є певним узагальненням просторiв типу S та W ; описується їх топологiчна структура, з’ясовується питання взаємодвоїстостi за Фур’є та формулюються достатнi умови аналiтичностi й квазiаналi- тичностi елементiв у цих просторах. Також доводяться критерiї муль- типлiкатора й встановлюється коректна розв’язнiсть задачi Кошi для таких рiвнянь у випадку, коли початковi данi є узагальненими фун- кцiями. Для окремих рiвнянь описуються максимальнi класи узагаль- нених початкових даних, при яких вiдповiдна задача Кошi не тiль- ки коректно розв’язна, а й її розв’язок володiє тими властивостями гладкостi та поведiнкою у околi нескiнченно вiддалених точок, що i фундаментальний розв’язок. Вивчається питання локального пiдсилення збiжностi розв’язку задачi Кошi при наближеннi його до початкової гiперплощини. На- водяться приклади. 2. Простори основних i узагальнених функцiй Нехай C — множина комплексних чисел; R n — n-вимiрний евклi- дiв простiр, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) – його елементи (векто- ри), (x, y) = ∑n j=1 xjyj — скалярний добуток у R n, ‖x‖ = (x, x)1/2, C∞(L) — простiр усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй, визна- чених на множинi L; Ĉ(L) — сукупнiсть усiх обмежених за модулем функцiй на L; S — простiр Л. Шварца [11], а ωj(·) — зростаюча, не- перервна функцiя на [0; +∞), причому ωj(0) = 0 i limx→+∞ ωj(x) = +∞, j = 1, n. Для x ≥ 0 покладемо Ωj(x) = ∫ x 0 ωj(ξ) dξ, j = 1, n. При кожному j ∈ {1, . . . , n} функцiя Ωj(·) володiє такими власти- востями [2, 12]: 1) вона диференцiйовна, зростаюча на [0; +∞); 2) Ωj(0) = 0, limx→+∞ Ωj(x) = +∞; 3) Ωj(·) — опукла функцiя, тоб- то: а) ∀ {x1;x2} ⊂ [0; +∞): Ωj(x1) + Ωj(x2) ≤ Ωj(x1 + x2); б) ∀ δ ≥ 1 ∀x ∈ [0; +∞): Ωj(δx) ≥ δΩj(x); в) ∀ δ ∈ (0; 1) ∀x ∈ [0; +∞): Ωj(δx) ≤ δΩj(x). Довизначимо Ωj(·), j = 1, n, на (−∞; 0) парним чином i нехай −→ Ω(x) def ={Ω1(x1), . . . ,Ωn(xn)}, x ∈ R n. Поруч з −→ Ω(·) розглянемо функцiю −→ M(x) = {M1(x1); . . . ;Mn(xn)}, де M j(·) — функцiя, аналогiчна до Ωj(·), побудована за µj(·), яка має такi ж властивостi, що i функцiя ωj(·). Далi, говоритимемо, що послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} ⊂ R n задо- вольняє умову А), якщо для кожного ν ∈ {1, . . . , n}: 1) 0 < αν,kν < αν,kν+1, kν ∈ Z+; 2) limkν→∞ αν,kν = +∞; 3) ∃ cν > 0 ∃Aν > 0 В. А. Лiтовченко 67 ∀ kν ∈ Z+: αν,kν+2 αν,kν ≤ cνA kν ν ; 4) ∃Lν > 0 ∀ {kν ;mν} ⊂ Z+: αν,kναν,mν ≤ Lkν+mν ν αν,(kν+mν). Прикладом такої послiдовностi є послiдовнiсть iз загальним членом αk = (kβ1k1 1 , . . . , kβnkn n ), βν > 0, kν ∈ Z+, ν = 1, n. За вектор-функцiєю −→ Ω(·) й послiдовнiстю {αk, k ∈ Z n +} побудуємо клас L{αk}−→ Ω (L), який складається з усiх функцiй Ωj(t, x): L×R n → C, таких, що: 1) Ωj(t, ·) ∈ C∞(Rn) (∀ t ∈ L); 2) Dk xΩj(t, x) — неперервна функцiя по t на L при кожному x з R n i k ∈ Z n +; 3) ∃ bj(·) ∈ Ĉ(L) ∀k ∈ Z n + ∀x ∈ R n: \|Dk xΩj(t, x)\| ≤ \|bj(t)\|\|Aj(k, x)\|, причому функцiя Aj(k, ·) така, що для всiх −→ δ = {δ1, . . . , δn}, 0 < δν ≪ 1, ν = 1, n sup x∈Rn {\|Aj(k, x)\|e−( −→ δ , −→ Ω(x))} ≤ cjB \|k\| j n∏ ν=1 αν,kν n √ δν , де cj , Bj — додатнi сталi, незалежнi вiд k i −→ δ , а \|k\| = k1+k2+ · · ·+kn, k ∈ Z n +. Покладемо W {αk}−→ Ω = { ϕ ∈ C∞(Rn) ∣∣∣ ∃ c > 0 ∃A > 0 ∃ δ > 0 ∀ k ∈ Z n + ∀x ∈ R n : \|Dk xϕ(x)\| ≤ cA\|k\| ⌢ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(δxν) }} ; W −→ M {αk} = { ϕ ∈ C∞(Cn) ∣∣∣ ∃ c > 0 ∃B > 0 ∃ b > 0 ∀k ∈ Z n + ∀ z = x+ iy ∈ C n : \|xkϕ(z)\| ≤ cB\|k\| ⌢ αk exp { n∑ ν=1 Mν(byν) }} , ⌢ αk def = n∏ ν=1 αν,kν . Через W {αk},A−→ Ω ,a i W −→ M,b {αk},B позначимо сукупностi усiх тих функцiй ϕ з W {αk}−→ Ω i, вiдповiдно ψ з W −→ M {αk}, для яких правильнi нерiвностi: \|Dk xϕ(x)\| ≤ cÂ\|k\| ⌢ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(âxν) } , x ∈ R n; \|xkψ(z)\| ≤ cB̌\|k\| ⌢ αk exp { n∑ ν=1 Mν(b̌yν) } , z = x+ iy ∈ C n, 68 Задача Кошi для одного класу... для всiх k ∈ Z n +, де Â ≥ A, â ≤ a, B̌ ≥ B та b̌ ≥ b — деякi додатнi сталi. Якщо для ϕ ∈W {αk},A−→ Ω ,a та ψ ∈W −→ M,b {αk},B покласти ‖ϕ‖δρ = sup x∈Rn k∈Zn + { \|Dk xϕ(x)\|/ ( (A+ δ)\|k\| ⌢ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(a(1 − ρ)xν) })} , ‖ψ‖δρ = sup z=x+iy∈Cn k∈Zn + { \|xkψ(z)\|/ ( (B+δ)\|k\| ⌢ αk exp { n∑ ν=1 Mν(b(1+ρ)yν) })} , {δ, ρ} ⊂ {1/n;n ≥ 2}, то мiркуючи, як i у випадку просторiв типу S та W [1, 2] за умо- ви, що послiдовнiсть αk, k ∈ Z n + задовольняє умову А), не важко переконатися, що з цими нормами простори W {αk},A−→ Ω ,a i W −→ M,b {αk},B є пов- ними, досконалими, злiченно нормованими; W {αk}−→ Ω = ⋃ A,a>0W {αk},A−→ Ω ,a , W −→ M {αk} = ⋃ B,b>0W −→ M,b {αk},B, причому послiдовнiсть {ϕν , ν ≥ 1} ⊂ W {αk}−→ Ω збiгається до ϕ ∈ W {αk}−→ Ω при ν → +∞ у цьому просторi (позначати- мемо ϕν W {αk} −→ Ω−→ ν→+∞ ϕ) тодi i тiльки тодi, коли: а) {ϕν , ν ≥ 1} — правильно збiжна на R n (тобто для кожного k ∈ Z n + послiдовнiсть Dk xϕν(x) збiга- ється до Dk xϕ(x) при ν → +∞ рiвномiрно по x на кожному компактi з R n); б) вона обмежена у W {αk}−→ Ω . А ψν W −→ M {αk}−→ ν→+∞ ψ, де {ψ;ψν , ν ≥ 1} ⊂ W −→ M {αk}, лише тодi, коли: а) функцiї ψν рiвномiрно збiгаються до ψ в кожнiй обмеженiй областi з C n; б) {ψn, n ≥ 1} — обмежена у W {αk}−→ M . Виконання умови А) для {αk, k ∈ Z n +} гарантує iснування та не- перервнiсть операцiй додавання, вiднiмання, множення, диференцiю- вання, а також зсуву у просторах W {αk}−→ Ω , W −→ M {αk}. Бiльш того, оскiльки зазначенi простори досконалi, то операцiя зсуву у них не лише непе- рервна, а й нескiнченно диференцiйовна [1]. Очевидно, що для {αk, k ∈ Z+}, {βk, k ∈ Z+}, якi задовольняють умову А) i такi, що αν,kν ≤ βν,kν , kν ∈ Z+, ν = 1, n, правильнi наступнi вкладення: W {αk}−→ Ω ⊂W {βk}−→ Ω ⊂W−→ Ω ⊂ S ⊂W ′−→ Ω ⊂ ( W {βk}−→ Ω )′ ⊂ ( W {αk}−→ Ω )′ ; В. А. Лiтовченко 69 W −→ M {αk} ⊂W −→ M {βk} ⊂W −→ M ⊂ S ⊂ ( W −→ M )′ ⊂ ( W −→ M {βk} )′ ⊂ ( W −→ M {αk} )′ , де W−→ Ω , W −→ M , W −→ M−→ Ω — простори типу W , побудованi Б. Л. Гуревичем у [2, 4, 5] (тут через Φ′ позначено простiр, топологiчно спряжений до Φ). Слiд зазначити, що у W {αk}−→ Ω , в залежностi вiд {αk, k ∈ Z n +}, мо- жуть мiститися не лише цiлi функцiї, як це вимагається для просто- ру W −→ M−→ Ω , а infkν∈Z+ { cBkν αν,kν \|zν \|kν } не завжди є функцiєю з властивостями функцiї e−Ων(zν), ν = 1, n, що є обов’язковим для простору W −→ Ω−→ M . За- уважимо також, що якщо Mν(·) = \| · \|1/α, 0 < α < 1, а αν,kν = kβkν ν , kν ∈ Z+, ν = 1, n, β > 0, то W {αk}−→ M = Sβ α, де Sβ α — простiр типу S [1]. Має мiсце Теорема 2.1. Якщо функцiї Mν(·) i Ων(·), ν = 1, n, взаємодвоїстi за Юнгом (у сенсi [2]), а послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умову А), то F [W {αk}−→ Ω ] = W −→ M {αk}, F [W −→ M {αk}] = W {αk}−→ Ω , причому оператор Фур’є F на цих просторах є неперервним i взає- мооднозначним. У правильностi зазначеної теореми не важко переконатися, якщо дiяти аналогiчним чином, як i при її доведеннi у випадку просторiв типу S та W (див. [1, 2]). Теорема 2.2. Нехай послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умову А) i є такою, що для всiх ν ∈ {1, . . . , n} limkν→+∞ kν √ αν,kν kν = Lν < +∞, тодi всi елементи з W {αk}−→ Ω є аналiтичними функцiями, причо- му цiлими, якщо Lν ≡ 0. У випадку, коли для кожного ν ∈ {1, . . . , n} iснує β > 1 таке, що limkν→+∞ kν √ αν,kν kβ ν = +∞, то серед елементiв простору W {αk}−→ Ω є вже фiнiтнi функцiї. Доведення. Розглянемо випадок, коли n = 1. Зафiксуємо довiльним чином елемент f з простору W {αk}−→ Ω i оцiнимо його залишковий член з розкладу у формулi Тейлора: ∣∣∣∣ hq q! Dq xf(x+ θh) ∣∣∣∣ ≤ c1 \|h\|q q! Aqα1,q, q ∈ Z+, {x;h} ⊂ R, 0 < θ < 1. Звiдси, зважаючи на те, що: 1) ∀ ε > 0 ∃ q0 ∈ N ∀ q > q0: α1,q < (ε+ L1) qqq; 70 Задача Кошi для одного класу... 2) q! = qq+ 1 2 e−q √ 2πEq, Eq −→ q→+∞ 1 (див. формулу Стiрлiнга), одержуємо прямування до нуля залишко- вого члена при q → +∞, для всiх \|h\| < 1 AL1e , L1 ≥ 0. Отже, у вiдповiдному околi точки x, функцiя f розвивається у збiжний до неї ряд Тейлора: f(x+ h) = ∞∑ q=0 hq q! Dq xf(x). Оскiльки цей ряд є збiжний i для комплексних значень h таких, що \|h\| < 1 AL1e , то приходимо до висновку, що функцiя f допускає аналiтичне продовження у смугу \|y\| < 1 AL1e , L1 ≥ 0 комплексної пло- щини z = x+ iy. Умова limk1→+∞ k1 √ α1,k1 kβ 1 = +∞ (при деякому β > 1) забезпечує iснування таких додатнiх сталих c i δ, що Γ(r) def = max k1 { rk1 α1,k1 } ≤ ceδr1/β , r ≥ 1. Тодi ∞∫ 1 ln Γ(r) r2 dr ≤ c1 ∞∫ 1 r1/β−2 dr < +∞. I, згiдно з теоремою Карлемана–Островського [13], серед елемен- тiв простору W {αk}−→ Ω є фiнiтнi нескiнченно диференцiйовнi функцiї. У випадку, коли n ∈ N \ {1}, твердження цiєї теореми доводиться аналогiчно. Теорему доведено. Далi дамо таке означення: послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} називається узгодженою з {k!, k ∈ Z n +}, якщо iснує така додатна стала Bν , що для всiх iν , jν , . . . , hν-цiлочисельних невiд’ємних розв’язкiв рiвняння kν = 1 · iν + 2 · jν + · · ·+Lν · hν , {Lν , kν} ⊂ Z+ виконується нерiвнiсть (αν,1 1! )iν (αν,2 2! )jν · · · ( αν,Lν Lν ! )hν ≤ Bkν ν αν,kν kν ! , kν ∈ Z+, ν∈{1, . . . , n}. Наступне твердження характеризує елементи простору W −→ M {αk} на множинi R n. Теорема 2.3. Якщо послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умову А) i узгоджена з {k!, k ∈ Z n +}, то функцiя f з C∞(Rn) належатиме В. А. Лiтовченко 71 простору W −→ M {αk} тодi i лише тодi, коли ∃ c > 0 ∃A > 0 ∃B > 0 ∀ k ∈ Z n + ∃ ρk = {ρk1 , ρk2 , . . . , ρkn}, ρkν ∈ [0, kν), ν = 1, n ∀x ∈ R n : \|Dk xf(x)\| ≤ cA\|k\|k! n∏ ν=1 ( eMν(ρkν ) ρkν kν · inf m≥0 {Bmαν,m \|xν \|m }) , (2.1) де ρkν — розв’язок рiвняння ρµν(ρ) = kν , kν ∈ Z+, ν = 1, n. Доведення. Нехай f ∈W −→ M {αk}. Покажемо, що для f виконуються умо- ви (2.1). Згiдно з теоремою 1 f(·) = F−1[f̃(ξ)](·), де f̃(·) = F [f ](·) — елемент з W {αk}−→ Ω , а −→ Ω — двоїста за Юнгом до −→ M вектор-функцiя. Отже, для всiх {k,m} ⊂ Z n +, x ∈ R n \|xmDk xf(x)\| ≤ c ∫ Rn \|Dm ξ (ξkf̃(ξ))\| dξ ≤ c1 \|m\|∑ \|l\|=0 C l m k! (k − l)! A\|m−l\| ( n∏ ν=1 (∫ R \|ξν \|kν−lνe−Ων(aξν) dξν ) αν,mν−lν ) . Скористаємося тепер нерiвнiстю Юнга [2]: ξνyν ≤ Ων(ξν) +Mν(yν), ξν ≥ 0, yν ≥ 0, завдяки якiй ∫ R \|ξν \|lνe−Ων(aξν) dξν ≤ ∫ R \|ξν \|lνe−\|ξν \|yν exp { −Ων (a 2 ξν ) +Mν (2 a yν )} dξν ≤ c0lν !e Mν( 2 a yν)/ylν ν , lν ∈ Z+, yν ≥ 0. Оскiльки yν ≥ 0 — довiльне, то ∫ R \|ξν \|lνe−Ων(aξν)dξν ≤ c0lν !( 2 a )lν inf yν≥0 { eMν(yν)/ylν ν } , lν ∈ Z+. Традицiйними засобами математичного аналiзу переконуємося у тому, що inf yν≥0 { eMν(yν)/ylν ν } = eMν(ρlν )/ρlν lν , (2.2) 72 Задача Кошi для одного класу... де ρlν — розв’язок рiвняння ρµν(ρ) = lν , lν ∈ Z+, ν = 1, n, причому якщо lν = 0, то ρ0 = 0. Звiдси вже приходимо до \|xmDk xf(x)\| ≤ c22 \|k\|A\|m\| 1 \|m\|∑ \|l\|=0 ( n∏ ν=1 ( lν !αν,mν−lν ( 2 a )kν−lν (kν − lν)! eMν(ρkν−lν ) ρkν−lν kν−lν )) , x ∈ Rn, {k,m} ⊂ Z n + (2.3) (тут c2, A1 — додатнi сталi, незалежнi вiд x, k i m). Зазначимо, що ρk — корiнь рiвняння ρµν(ρ) = k, k ∈ Z+. Тому зi збiльшенням k зростатиме також i ρkµν(ρk). Оскiльки µν(·) — мо- нотонно зростаюча функцiя така, що limρ→+∞ µν(ρ) = +∞, то таке зростання ρkµν(ρk) можливе лише завдяки зростанню ρk, причому limk→+∞ ρk = +∞. Отже, ( 2 a )k−l(k − l)!eMν(ρk−l)/ρk−l k−l ≤ BkeMν(ρk) (k − l)! ρk−l k−l ≤ BkeMν(ρk) (ρk−lµν(ρk−l) ρk−l )k−l ≤ Bk 1k! eMν(ρk) ρk k (µν(ρk−l)) k−l (µν(ρk))k ≤ Bk 1k!e Mν(ρk)/ρk k, {l, k} ⊂ Z+, l ≤ k, ν = 1, n, (2.4) де B1 — додатна стала, незалежна вiд k i l. Далi, з того, що {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умову А) й узгоджена з {k!, k ∈ Z n +}, дiстанемо: lν !αν,(mν−lν) = lν ! αν,lν αν,(mν−lν)αν,lν ≤ cB mν αν,mν , lν ≤ mν , ν = 1, n. (2.5) Враховуючи оцiнки (2.4), (2.5) з (2.3) прийдемо до умови (2.1). Доведемо тепер зворотнє. Нехай f з C∞(Rn) задовольняє умову (2.1). Тодi цю функцiю можна аналiтично продовжити на C n. Дiйсно, залишковий член з розкладу у формулi Тейлора допускає оцiнку ∣∣∣ hq q! Dq xf(x+ θh) ∣∣∣ ≤ cA\|q\| n∏ ν=1 ( eMν(ρqν ) ρqν qν \|hν \|qν · inf m≥0 { Bmαν,m \|x+ θh\|m }) , q ∈ Z n +, x ∈ R n, θν ∈ (0, 1), ν = 1, n В. А. Лiтовченко 73 (тут θ = {θ1, . . . , θn}). Оскiльки Mν(ρl) = ∫ ρl 0 µν(ξ) dξ, l ∈ N, то згiдно з теоремою про середнє значення iнтеграла, для кожного l з N знайдеться ξl ∈ (0; ρl) таке, що Mν(ρl) = ρlµν(ξl) (у випадку, коли l = 0, то Mν(ρ0) = 0, оскiльки ρ0 = 0). Звiдси, зваживши на монотонне зростання функцiї µν(·), одержуємо, що Mν(ρl) ≤ ρlµν(ρl) = l, l ∈ N. А вiдтак (A\|hν \| ρqν )qν eMν(ρqν ) ≤ (A\|hν \|e ρqν )qν . I, оскiльки ρqν → +∞ при qν → +∞, то n∏ ν=1 (A\|hν \| ρqν )qν eMν(ρqν ) −→ \|q\|→+∞ 0, для всiх \|hν \| ∈ [0; +∞). Отже, залишковий член hq q! Dq xf(x+θh) прямує до нуля при \|q\| → +∞ для всiх h ∈ R n, тобто функцiя f допускає аналiтичне продовження на C n: f(x+ iy) = ∞∑ \|q\|=0 Dq xf(x) q! (iy)q, z = x+ iy ∈ C n. Далi, з спiввiдношень (2.1), (2.2) для всiх z = x+ iy ∈ C n i k ∈ Z n + дiстанемо: \|xkf(z)\| ≤ ∞∑ \|q\|=0 \|xkDq xf(x)\| q! \|y\|q ≤ c ∞∑ \|q\|=0 ( n∏ ν=1 \|Ayν \|qν \|xν \|kν eMν(ρqν ) ρqν qν inf m≥0 {Bmαν,m \|xν \|m }) ≤ c ∞∑ \|q\|=0 ( n∏ ν=1 Bkναν,kν \|Ayν \|qν inf ρ≥0 {eMν(ρ) ρqν }) ≤ cB\|k\| ( n∏ ν=1 αν,kνe Mν(2Ayν) ) ∞∑ \|q\|=0 1 2\|q\| = cB\|k\| ⌢ αk e n∑ ν=1 Mν(2Ayν) (тут \|y\|q = ∏n ν=1 \|yν \|qν , y ∈ R n, q ∈ Z n +). Теорему доведено. 74 Задача Кошi для одного класу... 3. Задача Кошi Розглянемо рiвняння ∂tU(t, x) = m∑ j=1 (AΩjU)(t, x) + b̂(t)U(t, x), (t, x) ∈ (0;T ] × R n, (3.1) де m ∈ N, T — фiксована величина з (0; +∞], b̂(·) — обмежена фун- кцiя на [0;T ]; AΩj — псевдодиференцiальний оператор, побудований за символом Ωj з класу L{αk}−→ Ω ((0;T ]) (тобто оператор, дiя якого на достатньо “хороших” елементах f задається рiвнiстю AΩjf = F−1[Ωj(t, ξ)F [f ]] (тут F , F−1 — вiдповiдно пряме та обернене перетворення Фур’є [14])). Припустимо, що для рiвняння (3.1) виконується аналог рiвномiр- ної за t умови параболiчностi: Re ( m∑ j=1 Ωj(t, ξ) ) ≤ −( −→ δ∗ , −→ Ω(ξ)) + c∗1, (t, ξ) ∈ (0;T ] × R n, (3.2) де −→ δ∗ — фiксований n-вимiрний вектор з додатними компонентами (надалi позначатимемо −→ δ∗ > 0), а c∗1 — довiльна стала, якi не залежать вiд t i ξ. Фундаментальний розв’язок рiвняння (3.1) позначимо черезGt(x), (t, x) ∈ (0;T ] × R n. Зазначимо, що Gt(·) = F−1[θt(ξ)](·), t ∈ (0;T ], де θt(·)def = exp {∑m j=1 ∫ t 0 Ωj(τ, ·) dτ + ∫ t 0 b̂(τ) dτ } . Властивiсть функцiї θt(·) за просторовою змiннoю характеризує наступне твердження. Лема 3.1. Нехай послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умову А) й узгоджена з {k!, k ∈ Z n +}. Тодi функцiя θt(·) визначена i нескiнченно диференцiйовна на R n при кожному фiксованому t з (0;T ], причому ∃−→δ ∈R n, −→ δ > 0 ∃ c > 0 ∃B > 0 ∀ t∈(0;T ] ∀ k∈Z n + ∀ ξ∈R n : \|Dk ξ θt(ξ)\| ≤ cB\|k\| ⌢ αk e −t(( −→ δ , −→ Ω(ξ))−c∗1)e ∫ t 0 b̂(τ) dτ . (3.3) Доведення. Задля уникнення громiздких викладок доведення прове- демо у випадку n = 1. Нескiнченна диференцiйовнiсть θt(·) за просторовою змiнною ви- пливає зi структури цiєї функцiї i того, що Ωj ∈ L{αk}−→ Ω ((0;T ]), j = 1,m. В. А. Лiтовченко 75 Доведемо виконання умови (3.3). Для цього скористаємося вiдомою формулою Фаа де Бруно диференцiювання складеної функцiї [15] Dk xf(ϕ(x)) = k∑ p k! i!j! · · ·h! dpf(ϕ) dϕp ( dϕ(x) 1!dx )i(d2ϕ(x) 2!dx2 )j · · · ( dLϕ(x) L!dxL )h , k ∈ Z+, x ∈ R (тут знак суми поширюється на всi цiлочисельнi невiд’ємнi розв’язки рiвняння k = i+ 2j + · · · + Lh, а число p = i+ j + · · · + h) та умовою параболiчностi (3.2). Одержимо, що \|Dk ξ θt(ξ)\| ≤ e ∫ t 0 b̂(τ)dτ × k∑ p k! i!j! · · ·h!e −t(δ∗1Ω1(ξ)−c∗1) ∣∣∣∣ dP (t, ξ) 1!dξ ∣∣∣∣ i ∣∣∣∣ d2P (t, ξ) 2!dξ2 ∣∣∣∣ j · · · ∣∣∣∣ dLP (t, ξ) L!dξL ∣∣∣∣ h , t ∈ (0;T ], ξ ∈ R, k ∈ Z+, (3.4) де P (t, ξ) = ∑m l=1 ∫ t 0 Ωl(τ, ξ) dτ . Оскiльки Ωl ∈ L{αk}−→ Ω ((0;T ]), то e − 1 2L δ∗1 tΩ1(ξ) ∣∣∣∣ dLP (t, ξ) dξL ∣∣∣∣ h ≤ ( m∑ l=1 t∫ 0 \|bl(τ)\| dτ sup ξ∈R { \|Al(L, ξ)\|e− 1 h2L δ∗1 tΩ1(ξ)} )h ≤ (cBLα1,Lh) h, t ∈ (0;T ], ξ ∈ R, {L;h} ⊂ Z+, (3.5) де c, B — додатнi сталi, незалежнi вiд t, x, L i h. Далi, скориставшись тим, що 1 = ∑∞ k=1 1 2k й iijj ···hh i!j!···h! ≤ 2k, де k = i+ 2j + · · · + Lh, з нерiвностi (3.4) дiстанемо \|Dk ξ θt(ξ)\| ≤ c1B k 1e −t( δ∗1 2 Ω1(ξ)−c∗1) ( k∑ p k! (α1,1 1! )i (α1,2 2! )j · · · (α1,L L! )h ) e ∫ t 0 b̂(τ)dτ , t ∈ (0;T ], ξ ∈ R, k ∈ Z+ (тут c1, B1 — додатнi сталi, незалежнi вiд t, x i k, а δ∗1 , c ∗ 1 — вели- чини з умови параболiчностi (3.2)). Звiдси, зважаючи на узгодже- нiсть {αk, k ∈ Z+} з послiдовнiстю {k!, k ∈ Z+} та на нерiвнiсть 76 Задача Кошi для одного класу... ∑k p 1 ≤ (2e)k, де p = i + j + · · · + h, а знак суми поширюється на всi невiд’ємнi цiлочисельнi розв’язки рiвняння k = i + 2j + · · · + Lh, приходимо до твердження даної леми. У випадку довiльного n з N \ {1} доведення леми здiйснюється за вищенаведеною аналогiєю. Лему доведено. Наслiдок 3.1. Нехай функцiї Mν(·), Ων(·) — взаємодвоїстi за Юн- гом (∀ ν ∈ {1, . . . , n}), а послiдовнiсть {αk, k ∈ Z n +} задовольняє умо- ву А) i є узгодженою з {k!, k ∈ Z n +}. Тодi при кожному фiксованому t з (0;T ] фундаментальний розв’язок Gt(·) рiвняння (3.1) належить простору W −→ M {αk}. Далi, нехай Φ ∈ {W−→ Ω ;W {βk}−→ Ω , {βk, k ∈ Z n +} ≥ {αk, k ∈ Z n +}}, а по- слiдовностi {βk, k ∈ Z n +}, {αk, k ∈ Z n +} узгодженi з {k!, k ∈ Z n +} i такi, що для них виконується умова А). Наступнi допомiжнi твердження характеризують властивостi функцiї θt(·) за змiнною t. Лема 3.2. θt(·)ϕ(·) Φ−→ t→+0 ϕ(·) (∀ϕ ∈ Φ). Доведення. Нехай n = 1, а Φ = W {βk}−→ Ω , тодi досить перевiрити, чи виконуються такi умови: 1)Dk x(θt(x)ϕ(x)) −→ t→+0 Dk xϕ(x) рiвномiрно по x на кожному компактi K з R (∀k ∈ Z+); 2) ∃ δ1 > 0 ∃ c1 > 0 ∃B1 > 0 ∀ 0 < t ≪ 1 ∀ k ∈ Z+ ∀x ∈ R: \|Dk x(θt(x)ϕ(x))\| ≤ c1B k 1β1,ke −Ω1(δ1x). Зазначимо, що Dk x(θt(x)ϕ(x)) = θt(x)D k xϕ(x) + k∑ l=1 C l kD l xθt(x)D k−l x ϕ(x), k ∈ Z+, x ∈ R (3.6) i оскiльки для кожної компактної множини K з R й l ∈ {1; . . . ; k} Dl xθt(x)D k−l x ϕ(x) −→ t→+0 0, θt(x) −→ t→+0 1 рiвномiрно по x ∈ K, то умова 1) виконується. Доведемо виконання умови 2). Позаяк ϕ ∈ Φ, a послiдовнiсть {βk, k ∈ Z+} задовольняє умову А), то зваживши на (3.3), з (3.6) В. А. Лiтовченко 77 одержуємо оцiнку \|Dk x(θt(x)ϕ(x))\| ≤ c2k k∑ l=0 ( Blα1,le −tδΩ1(x) exp { tc∗1 + t∫ 0 b̂(τ) dτ }) ( Bk−l 1 β1,(k−l)e −Ω1(δ1x) ) ≤ c1 max t∈(0;T ] { exp { tc∗1 + t∫ 0 b̂(τ) dτ }} Bk 2β1,ke −Ω1(δ1x), k ∈ Z+, x ∈ R, t ∈ (0;T ], де c1, B2, δ1 — додатнi сталi, незалежнi вiд k, x i t , а c∗1 — константа з умови (3.2). Таким чином, умова 2) також виконується. У випадку, коли Φ = W−→ Ω та n ∈ N \ {1}, твердження леми 3.2 доводиться аналогiчно. Лему доведено. Лема 3.3. Функцiя θt(·) диференцiйовна по t ∈ (0;T ] у розумiннi топологiї простору Φ. Доведення. Аби уникнути громiздких викладок, доведення леми про- ведемо при n = 1 (загальний випадок здiйснюється аналогiчно). Для доведення досить переконатися у тому, що граничне спiввiд- ношення Ψ∆t(t, x) def = 1 ∆t (θ(t+∆t)(x) − θt(x)) −→ ∆t→0 ( b̂(t) + m∑ j=1 Ωj(t, x) ) θt(x) виконується у сенсi збiжностi у просторi Φ, тобто: 1) Dk xΨ∆t(t, x) −→ ∆t→0 Dk x (( b̂(t) + ∑m j=1 Ωj(t, x) ) θt(x) ) рiвномiрно по x на кожному компактi K з R, k ∈ Z+, t ∈ (0;T ]; 2) ∀ t ∈ (0;T ] ∃ c > 0 ∃B > 0 ∃ δ > 0 ∀ k ∈ Z+ ∀x ∈ R ∀∆t ∈ (−1; 1), \|∆t\| ≤ t 2 : \|Dk xΨ∆t(t, x)\| ≤ cBkα1,ke −Ω1(δx), якщо Φ = W {αk}−→ Ω . Функцiя θt(·) диференцiйовна по t ∈ (0;T ] у звичайному розумiн- нi, отже Ψ∆t(t, x) = θ(t+η∆t)(x) ( b̂(t+ η∆t) + m∑ j=1 Ωj(t+ η∆t, x) ) , {t; (t+ η∆t)} ⊂ (0;T ], η ∈ (0; 1), x ∈ R. 78 Задача Кошi для одного класу... Таким чином, для k ∈ Z+ i x ∈ R Dk xΨ∆t(t, x) = k∑ l=0 C l k ( Dl x ( b̂(t+ η∆t) + m∑ j=1 Ωj(t+ η∆t, x) ))( Dk−l x θ(t+η∆t)(x) ) , {t; (t+ η∆t)} ⊂ (0;T ], η ∈ (0; 1). (3.7) Оскiльки Dl x ( b̂(t+ η∆t) + m∑ j=1 Ωj(t+ η∆t, x) ) Dk−l x θ(t+η∆t)(x) −→ ∆t→0 Dl x ( b̂(t) + m∑ j=1 Ωj(t, x) ) Dk−l x θt(x) рiвномiрно по x на кожному компактi K з R, то з (3.7) приходимо до умови 1). Виконання умови 2) стає очевидним, виходячи з (3.7) та оцiнок типу (3.3), (3.5). У випадку, коли Φ = W−→ Ω , твердження леми 3.3 доводиться ана- логiчно. Лему доведено. Зважаючи на те, що оператор оберненого перетворення Фур’є F−1 є неперервним у просторi Φ (див. [2] та теорему 2.1) з твердження леми 3.3 приходимо до такого наслiдку. Наслiдок 3.2. F−1[∂tθt(·)] = ∂tF −1[θt(·)] (∀ t ∈ (0;T ]). Твердження леми 3.2 пiдказує, що граничними значеннями рiв- няння (3.1) при t → +0 можуть бути елементи з простору Φ̃′, де Φ̃ = {F [ϕ](·), ϕ ∈ Φ}, причому початкову умову для (3.1) u(t, ·)\|t=0 = f, (3.8) слiд розумiти як u(t, ·) Φ̃′ −→ t→+0 f (тобто як слабку збiжнiсть у просторi Φ̃′). Таким чином, пiд розв’язком задачi Кошi (3.1), (3.8) розумiтиме- мо гладку функцiю u, яка задовольняє рiвняння (3.1) у звичайному розумiннi, а початкову умову (3.8) у тому сенсi, що u(t, ·) Φ̃′ −→ t→+0 f . Наступне твердження характеризує розв’язнiсть задачi Кошi (3.1), (3.8). В. А. Лiтовченко 79 Теорема 3.1. Нехай Mν(·) — функцiя, разом з якою Ων(·) є взаємо- двоїстими за Юнгом (ν ∈ {1, . . . , n}); послiдовностi {αk, k ∈ Z n +}, {βk, k ∈ Z n +} узгодженi з {k!, k ∈ Z n +}, для яких виконується умова A), а f з Φ̃′ такий, що F [f ] — мультиплiкатор у просторi Φ. Тодi задача Кошi (3.1), (3.8) коректно розв’язна (тобто, iснує єдиний розв’язок u цiєї задачi, який неперервно залежить вiд початкових даних), причому для всiх t з (0;T ]: 1) u(t, ·) ∈ Φ̃; 2) F [∂tu(t, ·)] = ∂t(F [u(t, ·)]); 3) u(t, ·) = 〈f,Gt(· − ξ)〉. Доведення. Оскiльки нас цiкавлять розв’язки рiвняння (3.1), якi при кожному фiксованому t з (0;T ] є елементами простору Φ̃ i по t задо- вольняють умову 2) даної теореми, то зваживши на те, що вiдобра- ження F (F−1) : W {αk}−→ Ω →W −→ M {αk}, F (F−1) : W−→ Ω →W −→ M є взаємооднозначними i неперервними (див. [2] i теорему 2.1), одер- жуємо рiвносильнiсть рiвняння (3.1) з рiвнянням ∂tũ(t, ξ) = ( m∑ j=1 Ωj(t, ξ) + b̂(t) ) ũ(t, ξ), t ∈ (0;T ], ξ ∈ R n (3.9) (тут i надалi Ỹ = F [Y ]), причому початкова умова (3.8) виконувати- меться тодi i тiльки тодi, коли ũ(t, ·) Φ′ −→ t→+0 f̃ . (3.10) Отже, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (3.1), (3.8) у просторi Φ̃′ рiвносильне питанню про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (3.9), (3.10) у просторi Φ′. Зазначимо, що рiвняння (3.9) — звичайне диференцiальне рiв- няння першого порядку з вiдокремлюваними змiнними, загальний розв’язок якого ũ(t, ξ) = c(ξ)θt(ξ), (t, ξ) ∈ (0;T ] × R n. (3.11) Звiдси та з початкової умови (3.10) одержуємо, що ũ(t, ·) = f̃(·)× θt(·), t ∈ (0;T ]. Оскiльки f̃ — мультиплiкатор у просторi Φ, а функцiя θt(·) належить до Φ при кожному t з (0;T ] (див. лему 3.1), то ũ(t, ·) ∈ Φ, t ∈ (0;T ]. У тому, що розв’язок задачi Кошi (3.9), (3.10) єдиний, переконує- мося традицiйно — методом вiд протилежного. Щодо умови 2) цiєї теореми, то виконання її стає очевидним, якщо взяти до уваги наслiдок 3.2. 80 Задача Кошi для одного класу... Нарештi, зваживши на те, що u(t, ·) = F−1[ũ(t, ξ)](t, ·) = F−1[f̃(ξ)θt(ξ)](t, ·), t ∈ (0;T ] та на твердження теореми 2.1 з [16], приходимо до висновку, що u(t, ·) = f ∗ Gt(·), t ∈ (0;T ] (i оскiльки у просторi Φ̃ операцiя зсу- ву нескiнченно диференцiйовна, а f — згортувач у Φ̃, то (f ∗Gt)(·) = 〈f,Gt(· − ξ)〉 [1]). Розв’язок u задачi Кошi (3.1), (3.8) неперервно залежить вiд по- чаткових даних задачi, оскiльки вiдповiдний розв’язок ũ володiє та- кою властивiстю, а F−1 є неперервним оператором з Φ у Φ̃. Теорему доведено. Зазначимо, що при деяких додаткових припущеннях на рiвняння (3.1) та вектор функцiю −→ Ω , сформульованi умови в теоремi 3.1 є не лише достатнiми, але й необхiдними для коректної розв’язностi задачi Кошi (3.1), (3.8). Опишемо цi припущення: В) функцiї Ωj(·), j = 1, n, окрiм ранiше описаних властивостей, володiють ще i такою: Ωj(δx) ≥ f̂1j(δ)Ωj(x) + f̂2j(δ), δ ∈ (0; 1), x ∈ R, де f̂1j(·) — додатнi, а f̂2j(·) — довiльнi функцiї, обмеженi на (0; 1); С) рiвняння (3.1) задовольняє не лише умову (3.2), а є таким, що Re ( m∑ j=1 Ωj(t, ξ) ) ≥ −( −→ δ∗0 , −→ Ω(ξ)) + c∗0, (t, ξ) ∈ (0;T ] × R n, де −→ δ∗0 > 0, а c∗0 ∈ R — фiксованi величини, незалежнi вiд t i ξ. Правильне таке допомiжне твердження. Лема 3.4. Нехай виконуються припущення В), С), а послiдовностi {αk, k ∈ Z n +}, {βk, k ∈ Z n +} узгодженi з {k!, k ∈ Z n +} i задовольняють умову А). Тодi ∀ϕ ∈ Φ ∃ δ0 ∈ (0; 1) ∀ δ ∈ (0; δ0) : θ̂δ(·)ϕ(·) ∈ Φ, де θ̂δ(·)def = exp { −∑m j=1 ∫ δ 0 Ωj(τ, ·) dτ − ∫ δ 0 b̂(τ) dτ } . Доведення. Покладемо спочатку Φ = W {βk}−→ Ω i n = 1. Для довiльного l ∈ Z+ \|Dl ξ(θ̂δ(ξ)ϕ(ξ))\| ≤ l∑ k=0 Ck l \|Dk ξ θ̂δ(ξ)\| \|Dl−k ξ ϕ(ξ)\|, δ ∈ (0;T ], ξ ∈ R В. А. Лiтовченко 81 i, оскiльки ϕ ∈ Φ, то iснують такi додатнi сталi c, B i δ1 ∈ (0; 1), що \|Dl ξ(θ̂δ(ξ)ϕ(ξ))\| ≤ cBl l∑ k=0 β1,(l−k)e −Ω1(δ1ξ)\|Dk ξ θ̂δ(ξ)\|. (3.12) Мiркуючи так само, як i при встановленнi нерiвностей (3.4), (3.5), використовуючи при цьому припущення В), С), одержимо e−Ω1(δ1ξ)\|Dk ξ θ̂δ(ξ)\| ≤ c2B k 2β1,k exp { − (1 2 f̂11(δ1) − δδ∗0 ) Ω1(ξ) − δ∫ 0 b̂(τ) dτ } , δ ∈ (0;T ], ξ ∈ R, k ∈ Z+, де c2, B2 — додатнi сталi, незалежнi вiд k i ξ. Звiдси вже, при δ ∈ (0;T ] таких, що δ < f̂11(δ1) 2δ∗ 0 , а також з нерiв- ностi (3.12), приходимо до належностi θ̂δ(·)ϕ(·) простору Φ. Аналогiчним чином переконуємося у тому, що дане твердження справджується й у випадку Φ = W−→ Ω та довiльному натуральному n. Лему доведено. Наступне твердження характеризує мультиплiкатори у просто- рi Φ. Теорема 3.2 (критерiй мультиплiкатора). Нехай виконуються всi умови з леми 3.4. Тодi для того, щоб функцiя µ(·) була мульти- плiкатором у просторi Φ, необхiдно i достатньо, щоб для кожного δ, 0 < δ ≪ 1, добуток µ(·)θδ(·) належав Φ. Доведення. Необхiднiсть очевидна. Доведемо достатнiсть, тобто ви- конання таких умов: 1) µ(·)ϕ(·) ∈ Φ (∀ϕ ∈ Φ); 2) ∀ {ϕν , ν ∈ Z+} ⊂ Φ, ϕν Φ−→ ν→+∞ 0: µ(·)ϕν(·) Φ−→ ν→+∞ 0. Згiдно з твердженням леми 3.4 ∀ϕ ∈ Φ ∃ δ0 ∈ (0; 1) ∀ δ ∈ (0; δ0) : µ(·)ϕ(·) = (µ(·)θδ(·))(θ̂δ(·)ϕ(·)) ∈ Φ як добуток функцiй з Φ. Отже, умова 1) виконується. Для доведення 2) у випадку, коли Φ = W {βk}−→ Ω , досить показати, що: I) \|Dk ξ (µ(ξ)ϕν(ξ))\| −→ ν→+∞ 0 рiвномiрно по ξ на кожному компактi K з R n, для всiх k ∈ Z n +; 82 Задача Кошi для одного класу... II) ∃ δ > 0 ∃ c1 > 0 ∃B1 > 0 ∀ ν ∈ Z+ ∀ k ∈ Z n + ∀ ξ ∈ R n: \|Dk ξ (µ(ξ)ϕν(ξ))\| ≤ c1B \|k\| 1 ⌢ αk exp { −∑n j=1 Ωj(δξj) } . Зазначимо, що умова I) виконується, бо \|Dk ξ (µ(ξ)ϕν(ξ))\| ≤ \|k\|∑ \|l\|=0 C l k ( sup ξ∈K⊂Rn {\|Dl ξµ(ξ)\|} ) \|Dk−l ξ ϕν(ξ)\| −→ ν→+∞ 0 рiвномiрно по ξ на кожному компактi K ⊂ R n, k ∈ Z n + (тут враховано те, що ϕν Φ−→ ν→+∞ 0). Доведемо виконання умови II) при n = 1 (загальний випадок до- водиться аналогiчним чином). Завдяки умовi б) з критерiю збiжностi {ϕν , ν ∈ Z+} у просторi W {βk}−→ Ω та мiркуванням, проведеним при до- веденнi леми 3.4, одержимо \|Dl ξ(θ̂δ(ξ)ϕν(ξ))\| ≤ c2B l 2β1,l exp { − (1 2 f̂11(δ1)− δδ∗0 ) Ω1(ξ)− δ∫ 0 b̂(τ) dτ } , де c2, B2 — додатнi сталi, якi не залежать вiд {ν; l} ⊂ Z+ i ξ ∈ R, а 0 < δ ≪ f̂11(δ1) 2δ∗0 . Звiдси, зважаючи на те, що µ(·)θδ(·) ∈ Φ, 0 < δ ≪ 1, прийдемо до оцiнки: \|Dk ξ (µ(ξ)ϕν(ξ))\| ≤ k∑ l=0 C l k\|Dk−l ξ (µ(ξ)θδ(ξ))\| \|Dl ξ ( θ̂δ(ξ)ϕν(ξ) ) \| ≤ c3B k 3β1,k exp{−Ω1(δ3ξ)} (∀ {ν; k} ⊂ Z+ ∀ ξ ∈ R), де c3, B3, δ3 — додатнi сталi, незалежнi вiд ν, k i ξ. Отже, виконання умови II) доведено. У випадку, коли Φ = W−→ Ω виконання умови II) доводиться анало- гiчно. Теорему доведено. З попередньої теореми одержуємо очевидний Наслiдок 3.3. Нехай виконуються всi умови з леми 3.4. Тодi для того, щоб функцiя µ(·) з C∞(Rn) була мультиплiкатором у просто- рi Φ необхiдно i достатньо, щоб ∀ 0 < δ ≪ 1 ∀ k ∈ Z n + ∃ cδ,k > 0 ∀ ξ ∈ R n : \|Dk ξµ(ξ)\| ≤ cδ,k exp { n∑ j=1 Ωj(δξj) } , В. А. Лiтовченко 83 причому cδ,k = cδB \|k\| δ ⌢ βk у випадку Φ = W {βk}−→ Ω , де cδ i Bδ — додатнi сталi, залежнi лише вiд δ. Правильне таке твердження. Теорема 3.3. Нехай виконуються всi умови з леми 3.4 i Ωj ∈ L {αk}−→ Ω ((0;T ]). Тодi при кожному фiксованому t з (0;T ] функцiя Ωj(t, ·) є мультиплiкатором у просторi Φ. Доведення. Згiдно з умовою 3) з опису елементiв класу L {αk}−→ Ω ((0;T ]) одержуємо, що \|Dk xΩj(t, x)\| ≤ \|bj(x)\| sup x∈Rn { \|Aj(k, x)\|e−( −→ δ , −→ Ω(x)) } e( −→ δ , −→ Ω(x)) ≤ cj \|bj(t)\|B\|k\| j ⌢ αk e ( −→ δ , −→ Ω(x)) для всiх k ∈ Z n +, 0 < δν ≪ 1, ν = 1, n i t з (0;T ]. Звiдси вже, зважа- ючи на наслiдок 3.3, приходимо до твердження теореми 3.3. Теорему доведено. З цiєї теореми одержуємо, що якщо символ Ωj(·, ·) належить класу L {αk}−→ Ω ((0;T ]), то при кожному фiксованому t з (0;T ]: 1) псевдодиференцiальний оператор AΩj неперервно вiдображає простiр Φ̃ в себе; 2) перетворення Фур’є символу Ωj(t, ·) (позначатимемо Ω̃j(t, ·)) є згортувачем у Φ̃; 3) AΩjf = Ω̃j ∗ f , f ∈ Φ̃. Зазначимо, що трактування псевдодиференцiального оператора AΩj як оператора згортки, дозволяє здiйснити продовження його з простору Φ̃ (досить “хороших” функцiй) на простiр Φ̃′ (узагальне- них функцiй). Причому таке продовження ÂΩj оператора AΩj є ко- ректним. Дiйсно, оскiльки ÂΩjf = Ω̃j ∗ f, f ∈ Φ̃′, a (AΩjϕ) ∈ Φ̃ для всiх ϕ ∈ Φ̃, то 〈ÂΩjf, ϕ〉 = 〈Ω̃j ∗ f, ϕ〉 = 〈f, Ω̃j ∗ ϕ〉 = 〈f,AΩjϕ〉. Отже, якщо виконуються всi умови з леми 3.4 i Ωj ∈ L−→ Ω ((0;T ]), то ÂΩj : Φ̃′ → Φ̃′, 84 Задача Кошi для одного класу... причому правильна така рiвнiсть: 〈ÂΩjf, ϕ〉 = 〈f,AΩjϕ〉 (∀ϕ ∈ Φ̃). Основний результат сформулюємо у виглядi наступного тверд- ження. Теорема 3.4. Нехай виконуються припущення В), С); послiдовно- стi {αk, k ∈ Z n +}, {βk, k ∈ Z n +} задовольняють умову А) i узгодженi з {k!, k ∈ Z n +}, а функцiї M j(·) i Ωj(·), j = 1, n, взаємодвоїстi за Юнгом. Тодi для того, щоб задача Кошi (3.1), (3.8) була коректно розв’язною i: 1) її розв’язок u(t, ·) при кожному фiксованому t ∈ (0;T ] належав простору Φ̃ ∈ {W −→ M ;W −→ M {βk}, {βk, k ∈ Z n +} ≥ {αk, k ∈ Z n +}}; 2) ∂tF [u] = F [∂tu], t ∈ (0;T ], необхiдно i достатньо, щоб F [f ] був мультиплiкатором у просторi Φ. При цьому завжди виконувати- меться рiвнiсть u(t, x) = 〈f,Gt(x− ξ)〉, (t, x) ∈ (0;T ] × R n. Доведення. Достатнiсть одержується з теореми 3.1. Доведемо необ- хiднiсть. Для цього досить показати, що якщо задача Кошi (3.9), (3.10) коректно розв’язна, то f̃ — мультиплiкатор у Φ. Оскiльки ũ(t, ·) = c(·)θt(·) ∈ Φ при кожному фiксованому t з (0;T ] (див. (3.11)), то згiдно з теоремою 3.2, функцiя c(·) — мультиплiка- тор у просторi Φ. Зважаючи на твердження леми 3.2, з умови (3.10) одержуємо, що 〈c(·), ϕ(·)〉 = 〈f̃(·), ϕ(·)〉 (∀ϕ ∈ Φ). Звiдси, на пiдставi єдиностi розв’язку задачi Кошi (3.9), (3.10), пе- реконуємося у тому, що f̃ — регулярний функцiонал, породжений мультиплiкатором у просторi Φ. Теорему доведено. Далi розглянемо наступнi приклади. Приклад 3.1. Нехай n = 1, m = 1, b̂(t) = 0, Ω1(t, ξ) = −2 (a+ξ2) γ 2 ln(a+ξ2) , t > 0, ξ ∈ R, a > 1, γ > 0, причому a i γ — такi, що −Ω1(t, ·) + Ω1(t, 0) є опуклою на [0; +∞) функцiєю. Тодi рiвняння (3.1) набуде вигляду (1.1). Зазначимо, що у цьому випадку Ω1(·) = −Ω1(t, ·) + Ω1(t, 0). I, як доведено в [12]: 1) для функцiї Ω1(·) виконується припущення B); 2) α1,k = k!, k ∈ Z+. Щодо припущення С), то виконання його очевидне, оскiльки Re ( m∑ j=1 Ωj(t, ξ) ) = Ω1(t, ξ) = −Ω1(ξ) + Ω1(t, 0), ξ ∈ R, t > 0, а Ω1(t, 0) — константа, незалежна вiд t i ξ. В. А. Лiтовченко 85 Приклад 3.2. Покладемо Σ(t) def = ∑l j=1 ajt γj , t ≥ 0, де l ∈ N, γj > 0, aj ≥ 0, j = 1, l; γk = max1≤j≤l{γj}, γs = min1≤j≤l{γj} i вважатимемо, що ai 6= 0, i ∈ {k; s}, γ ≡ γk. Розглянемо додатно визначену невiд’ємну функцiю Pα(·), α > 0 таку, що: 1) Pα(·) ∈ C∞((0; +∞)); 2) ∃ c0 > 0 ∃ c′0 > 0 ∀x ∈ (0; +∞): c0x α ≤ Pα(x) ≤ c′0x α; 3) ∃ cα > 0 ∃Aα > 0 ∀ k ∈ N ∀x ∈ (0; +∞): \|Dk xPα(x)\| ≤ cαA k αk!x α−k. Нехай тепер n = 1, m = 1, b̂(t) ≡ 0, Ω1(t, ξ) = Pα(Σ((a + ξ2)1/2)), a > 0. Узгодимо параметри α i γ так, щоб функцiя Ω1 була опуклою. Тодi рiвняння (3.1) буде таким: ∂tu(t, x) + Pα ( Σ(aE −D2 x)1/2 ) u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ R, (3.13) де Pα(Σ((aE −D2 x)1/2)) — псевдодиференцiальний оператор Поста з символом Pα(Σ), породжений оператором Бесселя дробового дифе- ренцiювання з додатним параметром [14,17]. У цьому випадку α1,k = k!, k ∈ Z+, Ω1(·) = −Ω1(t, ·) + Ω1(t, 0), причому виконуються припущення А), В) i С) [17]. Зазначимо також, що оскiльки для Ω1(t, ·) iснують додатнi сталi c1, c2 такi, що для всiх ξ ∈ R i t > 0 виконується нерiвнiсть c1(a+ ξ2) αγ 2 ≤ Ω1(t, ξ) ≤ c2(a+ ξ2) αγ 2 , то твердження теореми 3.4 для рiвняння (3.13) справджується у про- сторi Φ ∈ {S 1 αγ ;Sβ 1 αγ , β ≥ 1}. Задача Кошi для простiшого виду рiвняння (3.13) (при a = 1, Pα(·) = (·)1; Σ(·) = (·)γ , γ > 0) вивчалася В. В. Городецьким i О. М. Ленюком у [18]. Ними були встановленi слабшi оцiнки її фун- даментального розв’язку: Gt(·) ∈ S 1/γ ([γ]+1)/γ (тут [ · ] — цiла части- на числа) та доведено лише достатню умову коректної розв’язно- стi цiєї задачi (вiдповiдно у вужчому класi початкових даних, бо( S 1/γ ([γ]+1)/γ )′ ⊂ (S 1/γ 1 )′). 4. Принцип локалiзацiї Розв’язок задачi Кошi (3.1), (3.8) при t→ +0 прямує до узагальне- ної функцiї f у слабкому розумiннi збiжностi. Однак може трапитися, що f збiгається на деякiй частинi R n з гладкою функцiєю. Виникає запитання, чи буде в цьому випадку вiдбуватися локальне пiдсилен- ня збiжностi вказаного розв’язку? Спробуємо з’ясувати це питання (хоча б частково). 86 Задача Кошi для одного класу... Перед усiм зауважимо, що поняття “збiжнiсть узагальненої фун- кцiї f на множинi Q ⊂ R n з (деякою) функцiєю g” зазвичай вимагає наявностi фiнiтних функцiй у вiдповiдному просторi основних фун- кцiй. Тому, оскiльки W −→ M {αk} складається лише з цiлих аналiтичних функцiй, то простiр (W −→ M {αk}) ′ початкових даних задачi Кошi (3.1), (3.8) потребує звуження, яке природно здiйснити шляхом розширен- ня простору W −→ M {αk} основних функцiй завдяки поповненню його глад- кими фiнiтними функцiями. Далi, зi структури розв’язку u(t, ·) = 〈f,Gt(· − ξ)〉 задачi Кошi (3.1), (3.8) стає зрозумiло, що проблема ло- калiзацiї цього розв’язку тiсно пов’язана з питанням обмеженостi (у сенсi топологiї вiдповiдного простору основних функцiй) фундамен- тального розв’язку Gt(·) для достатньо малих значень t > 0. Проте не завжди простiр, породжений визначальними властивостями (за просторовою змiнною) фундаментального розв’язку задачi Кошi, за- безпечує таку обмеженiсть. Це добре прослiдковується на прикладi фундаментального розв’язку класичного рiвняння теплопровiдностi: ∂tu(t, x) = ∂2 xu(t, x), t > 0, x ∈ R. (4.1) У цьому випадку Gt(x) = (2 √ tπ)−1e−x2/t. I, як доведено у [1], фундаментальний розв’язок рiвняння (4.1) належить простору S 1/2 1/2 при кожному фiксованому t > 0 (причому S 1/2 1/2 — найвужчий серед просторiв типу S, куди потрапляє Gt(·)). Однак функцiя Gt(·) не- обмежена по t для 0 < t≪ 1 у просторi S 1/2 1/2 , бо \|∂k xGt(x)\| ≤ (ct−1/2)(At−1/2)kk1/2ke−δx2/t, k ∈ N, x ∈ R, t > 0, (4.2) а величини ct−1/2 та At−1/2 необмеженi на (0; 1) (тут c, A, δ — деякi додатнi сталi, не залежнi вiд t i x). Отже, розширення простору W −→ M {αk} повинно бути ще i таким, щоб у ньому був обмежений по t, 0 < t ≪ 1, фундаментальний розв’язок задачi Кошi (3.1), (3.8). Для вдалої побудови такого розширення простору основних функ- цiй вважатимемо, що похiднi фундаментального розв’язку рiвняння (3.1) задовольняють нерiвнiсть \|∂k xGt(x)\| ≤ B̂(k; t, x g(t) ), k ∈ Z n +, x ∈ R n, 0 < t≪ 1 (4.3) при деяких додатних функцiях B̂(·; ·, ·) i g(·) таких, що iснує: I) iнтегрована на R n функцiя B(·), що для всiх x ∈ R n i 0 < t≪ 1 (g(t))nB̂(0; t, x) ≤ B(x); В. А. Лiтовченко 87 II) послiдовнiсть γk, k ∈ Z n +; функцiя E(k, ρ), k ∈ Z n +, ρ ∈ [0; +∞) та додатна на (0; 1), нескiнченно мала у точцi t = 0 функцiя ĝ(·), що B̂(k; t, x g(t) ) ≤ cA\|k\| ⌢ γk ĝ(t)E(k, ‖x‖), k ∈ Z n +, 0 < t≪ 1, ‖x‖ ≥ δ > 0 (∀ δ ∈ (0; 1)), де c, A — додатнi сталi, залежнi лише вiд δ. Також припускатиме- мо, що E(k, ρ), окрiм того, що додатна, монотонно спадна по ρ на [0; +∞) (при кожному фiксованому k ∈ Z n +) й iнтегрована при k = 0 на [δ; +∞) (∀ δ > 0) функцiя, задовольняє наступнi умови: 1) ∃A1 > 0 ∀ {k,m} ⊂ Z n + ∀x ∈ R n : E(k, ‖x‖)E(m, ‖x‖) ≤ A \|k+m\| 1 × E(k +m, ‖x‖); 2) ∀ {K,K1} ⊂ R n, K ⊂ K1, inf ξ∈Rn\K1 x∈K ‖x − ξ‖ > 0 ∃ {c1, A2} ⊂ (0; +∞) ∀ k ∈ Z n + ∀x ∈ K ∀ ξ ∈ R n \K1: E(k, ‖x− ξ‖) ≤ c1A \|k\| 2 E(k, ‖ξ‖) (тут K i K1 — компактнi множинi); а послiдовнiсть γk, k ∈ Z n + така, що ∀ {A,B} ⊂ (0; +∞) ∃ {c1, A1, δ} ⊂ (0; +∞) ∀x ∈ R n ∀ k ∈ Z n + : A\|k\|k! n∏ ν=1 ( eMν(ρkν ) ρkν kν · inf m≥0 {Bmαν,m \|xν \|m }) ≤ c1A \|k\| 1 ⌢ γk E(k, δ‖x‖). (4.4) За послiдовнiстю γk, k ∈ Z n + та функцiєю E(·, ·) побудуємо простiр ŴE {γk}: ŴE {γk} def ={ϕ ∈ C∞(Rn) ∣∣∣∃ {c, A, δ1} ⊂ (0; +∞) ∀ k ∈ Z n + ∀x ∈ R n : \|Dk xϕ(x)\| ≤ cA\|k\| ⌢ γk E(k, δ1‖x‖)}. Поруч з ŴE {γk} розглянемо простiр ŴE;B,δ {γk} , де B i δ — фiксованi додатнi величини, елементами якого є всi тi функцiї ϕ з ŴE {γk}, для яких оцiнюючi константи A, δ1 з нерiвностi (що у описi простору ŴE {γk}) такi, що A > B i δ1 < δ. У цьому просторi традицiйним чином визначимо систему норм: ‖ϕ‖ρ,η def = sup x∈Rn k∈Zn + { \|Dk xϕ(x)\|/((B + ρ)\|k\| ⌢ γk E(k, δ(1 − η)‖x‖)) } , {ρ, η} ⊂ {1/n, n ≥ 2}, згiдно з якою ŴE;B,δ {γk} стає злiченно-нормованим простором; при цьому ŴE {γk} = ⋃ B,δ>0 Ŵ E;B,δ {γk} . 88 Задача Кошi для одного класу... Зазначимо, що згiдно з теоремою 2.3 та припущенням (4.4) пра- вильнi такi вкладення: W −→ M {αk} ⊂ ŴE {γk} ⊂ ŴE {βk} ⊂ ( ŴE {βk} )′ ⊂ ( ŴE {γk} )′ ⊂ ( W −→ M {αk} )′ , {βk, k ∈ Z n +} ≥ {γk, k ∈ Z n +}. Принцип локалiзацiї сформулюємо у виглядi наступного твердже- ння. Теорема 4.1. Нехай фундаментальний розв’язок Gt(·) рiвняння (3.1) при кожному t з (0;T ] належить W −→ M {αk}; виконуються всi при- пущення, зробленi у цьому пунктi, а послiдовнiсть {βk, k ∈ Z n +} ≥ {γk, k ∈ Z n +}, окрiм того, що задовольняє умову А), така, що серед елементiв простору ŴE {βk} є фiнiтнi функцiї. Тодi, якщо узагальнена функцiя f з (ŴE {βk}) ′ збiгається на множинi Q ⊂ R n з неперервною функцiєю g, то ω(t, ·)def = 〈f,Gt(· − ξ)〉 прямує до g при t → +0 рiвно- мiрно на кожному компактi K ⊂ Q. Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли g(x) ≡ 0 на Q. Нехай K ⊂ K1 ⊂ Q, де K1 — деяка компактна в R n множина така, що ∃ a0 > 0 ∀x ∈ K ∀ ξ ∈ R n \ K1 : ‖x− ξ‖ ≥ a0. Побудуємо фiнiтну функцiю η0 ∈ ŴE {βk} з носiєм в Q так, щоб η0 = 1 на K1. Зазначимо, що завдяки припущенню 1) для функцiї E(·, ·) та умо- вi А) для {βk, k ∈ Z n +}, у просторi ŴE {βk} визначена операцiя множен- ня i, оскiльки, при кожному фiксованому t ∈ (0;T ] Gt(·) ∈ W −→ M {αk} ⊂ ŴE {βk}, а у W −→ M {αk} визначена операцiя зсуву, то {η0(·)Gt(· − ξ); (1 − η0(·))Gt(· − ξ)} ⊂ ŴE {βk}. Отже, ω(t, x) = 〈f, η0(·)Gt(x− ·)〉 + 〈f, η1(·)Gt(x− ·)〉, де η1(·) = 1 − η0(·). Зважаючи на те, що узагальнена функцiя f до- рiвнює нулевi в областi Q, а supp(η0(·)Gt(x − ·)) ⊂ Q, з попередньої рiвностi одержуємо ω(t, x) = ĝ(t)〈f, (ĝ(t))−1η1(·)Gt(x− ·)〉. Для доведення теореми (у випадку g(·) ≡ 0) досить установити, що сукупнiсть функцiй ω̂t,x(ξ) def =(ĝ(t))−1η1(ξ)Gt(x−ξ) обмежена у про- сторi ŴE {βk} рiвномiрно за змiнними t (для достатньо малих значень), x ∈ K та ξ ∈ R n, тобто \|Dk ξ ω̂t,x(ξ)\| ≤ cA\|k\| ⌢ βk E(k, δ‖ξ‖), k ∈ Z n +, (4.5) В. А. Лiтовченко 89 де сталi c, A, δ незалежнi вiд t, x i ξ. Але оскiльки ω̂t,x(ξ) = 0 для ξ ∈ K1, то оцiнку (4.5) досить встановити лише для ξ ∈ R n \ K1. Згiдно з формулою Лейбнiца диференцiювання добутку двох фун- кцiй, маємо \|Dk ξ ω̂t,x(ξ)\| = (ĝ(t))−1 ∣∣∣∣ \|k\|∑ \|l\|=0 C l kD l ξη1(ξ)D k−l ξ Gt(x− ξ) ∣∣∣∣ ≤ (ĝ(t))−1 (∣∣Dk ξGt(x− ξ) ∣∣+ \|k\|∑ \|l\|=0 C l k\|Dl ξη0(ξ)\|\|Dk−l ξ Gt(x− ξ)\| ) . Тепер, зважаючи на нерiвнiсть (4.3), припущення II), 1), 2) (з цьо- го пункту), а також на нерiвнiсть {βk, k ∈ Z n +} ≥ {αk, k ∈ Z n +} та виконання умови А) для послiдовностi βk, k ∈ Z n + i належнiсть η0 до ŴE {βk}, одержимо \|Dk ξ ω̂t,x(ξ)\| ≤ (ĝ(t))−1 ( cA\|k\| ⌢ γk ĝ(t)E(k, ‖x− ξ‖) + \|k\|∑ \|l\|=0 c12 \|k\|A\|l\| 1 ⌢ βlE(l, δ1‖ξ‖)cA\|k−l\|⌢γ k−lĝ(t)E(k − l, ‖x− ξ‖) ) ≤ c2A \|k\| 2 ⌢ βk ( E(k, ‖x− ξ‖) + \|k\|∑ \|l\|=0 E(l, δ1‖ξ‖)E(k − l, ‖ξ‖) (E(k − l; ‖x− ξ‖) E(k − l; ‖ξ‖) )) ≤ c3A \|k\| 3 ⌢ βk E(k, δ2‖ξ‖), k ∈ Z n +, 0 < t≪ 1, x ∈ K, ξ ∈ R n \ K1, де δ2 = min{1; δ1}, а c3, A3 — додатнi сталi, незалежнi вiд k, t, x i ξ. Отже, оцiнку (4.5) встановлено i тим самим доведено рiвномiрну по x на K збiжнiсть ω(t, x) до нуля при t→ +0. На пiдставi щойно встановленого факту, беручи до уваги те, що f − g = 0 на Q i η1f = 0 на K1, загальний випадок зводиться до доведення того, що It(x) def = ∫ Rn Gt(x− ξ)(η0g)(ξ) dξ −→ t→+0 (η0g)(x) (4.6) рiвномiрно по x ∈ K ⊂ Q (бо ω(t, x) = 〈η0(f − g), Gt(x − ·)〉 + 〈η1f,Gt(x− ·)〉 + 〈η0g,Gt(x− ·)〉, а η0g — регулярний функцiонал). 90 Задача Кошi для одного класу... Оскiльки згiдно з властивiстю оборотностi перетворень Фур’є∫ Rn Gt(x− ξ) dξ = θt(0), t ∈ (0;T ], то \|It(x) − (η0g)(x)\| = ∣∣∣∣∣ ∫ Rn Gt(x− ξ)((η0g)(x) − (η0g)(ξ)) dξ +O(t)(η0g)(x) ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ Rn \|Gt(ζ)\|\|(η0g)(x− ζ) − (η0g)(x)\| dζ + \|O(t)\| \|(η0g)(x)\|, t ∈ (0;T ], x ∈ R n, (4.7) де O(t) def =1 − θt(0) −→ t→+0 0. Функцiя η0g є фiнiтною (з носiєм в Q) i неперервною, тому: а) supx∈K \|(η0g)(x)\| = N1 < +∞; b) sup x∈K ζ∈Rn \|(η0g)(x− ζ) − (η0g)(x)\| = N2 < +∞; c) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ K ∀ ζ ∈ R n, ‖x − ζ + x‖ = ‖ζ‖ < δ: \|(η0g)(x− ζ) − (η0g)(x)\| < ε. Отже, ∫ Rn \|Gt(ζ)\|\|(η0g)(x− ζ) − (η0g)(x)\| dζ ≤ ε ∫ ‖ζ‖<δ \|Gt(ζ)\| dζ +N2 ∫ ‖ζ‖≥δ \|Gt(ζ)\| dζ ≤ εI1(t) +N2I2(t), x ∈ K, t ∈ (0; 1), (4.8) де I1(t) def = ∫ Rn \|Gt(ζ)\| dζ, I2(t) def = ∫ ‖ζ‖≥δ \|Gt(ζ)\| dζ. Згiдно з нерiвнiстю (4.3), припущеннями I), II), зробленими у цьо- му пунктi, та iнтегровнiстю E(0, ρ) на кожному [δ; +∞), δ > 0, дiста- немо, що I1(t) ≤ ∫ Rn B(ζ) dζ = N3 < +∞, N3 6= N3(t); I2(t) ≤ c1ĝ(t) ∫ ‖ζ‖≥δ E(0, ‖ζ‖) dζ = c1c2(δ)ĝ(t), t ∈ (0, 1), δ > 0. (4.9) Функцiя c2(δ) = ∫ ‖ζ‖≥δ>0E(0, ‖ζ‖) dζ — монотонно зростає при наближеннi δ до нуля i не обов’язково обмежена на (0; 1). Оскiльки В. А. Лiтовченко 91 ĝ(t) — додатна на множинi (0; 1), нескiнченно мала у точцi t = 0, то для кожного δ ∈ (0; 1) знайдеться таке t0 ∈ (0; 1), що для всiх t з (0; t0) виконується нерiвнiсть c2(δ) ≤ ( √ ĝ(t))−1. Зваживши при цьому на оцiнки (4.8), (4.9), з нерiвностi (4.7) одержимо, що ∀ ε ∈ (0; 1) ∃ t0 ∈ (0; ε) ∀ t ∈ (0; t0) : sup x∈K \|It(x) − (η0g)(x)\| ≤ εN1 + √ ĝ(ε)c1N2 +O1(ε)N1, O1(ε) −→ ε→+0 0, тобто виконання умови (4.6). Звiдси вже, враховуючи те, що η0g = g на K, приходимо до твер- дження даної теореми. Теорему доведено. На завершення наведемо кiлька прикладiв. Приклад 4.1. Прокоментуємо твердження теореми 4.1 у випадку розв’язку задачi Кошi для рiвняння теплопровiдностi (4.1). У [3] встановлено, що для кожного f з (S 1/2 1/2)′ iснує єдиний розв’- язок u рiвняння (4.1), диференцiйовний по t i нескiнченно диференцi- йовний по x, який задовольняє у слабкому розумiннi початкову умову u\|t=0 = f i такий, що u(t, ·) = 〈f,Gt(· − ξ)〉, t > 0. Як уже зазначалося, для похiдних фундаментального розв’язку Gt(·) рiвняння (4.1) виконуються оцiнки (4.2), з яких одержуємо, що B̂(k; t, x g(t)) = cAkt−(k+1)/2kk/2e−δx2/t, k ∈ Z+, x ∈ R, t > 0, причому g(·) = √ (·), а B(·) = ce−δ(·)2 . Оскiльки e−p ≤ m! pm (∀m ∈ Z+ ∀ p ∈ R+), то B̂ ( k; t, x g(t) ) ≤ c1A k 1tk ke− δ 2 ·x2 t , t > 0, \|x\| ≥ δ > 0, k ∈ Z+. Отже: ĝ(t) = t, t > 0; E(k, \|x\|) = e− δ 2 x2 , x ∈ R, k ∈ Z+, а γk = kk, k ∈ Z+. Не важко переконатися, що для таким чином вибраних ĝ(·), E(·, ·) i γk виконуються всi необхiднi припущення (цього пункту); простiр ŴE {γk} = S1 1/2, причому правильнi такi вкладення: S 1/2 1/2 ⊂ S1 1/2 ⊂ Sβ 1/2 ⊂ ( Sβ 1/2 )′ ⊂ ( S1 1/2 )′ ⊂ ( S 1/2 1/2 )′ , β ≥ 1. Однак у S1 1/2 не iснує фiнiтних функцiй, проте вони є у просто- рi Sβ 1/2, β > 1 [1]. I, згiдно з теоремою 4.1, принцип локалiзацiї для 92 Задача Кошi для одного класу... розв’язку рiвняння (4.1) справджується у просторi (Sβ 1/2) ′, β > 1 по- чаткових даних. Зазначимо, що вперше принцип локалiзацiї для розв’язкiв пара- болiчних за Петровським рiвнянь у просторi узагальнених функцiй повiльного зростання був встановлений Городецьким В. В. [3]. Приклад 4.2. Дослiдимо властивiсть локалiзацiї розв’язку задачi Кошi для простiшого випадку рiвняння (3.13): ∂tu(t, x) + ((aE −D2 x)α/2u)(t, x) = 0, t > 0, x ∈ R, (4.10) при a > 0 i α > 1. Як було зазначено, задача Кошi для (4.10) коректно розв’язна для початкових даних з (S 1/α 1 )′, перетворення Фур’є яких є мультиплiка- тором у просторi S1 1/α. Функцiя Gt(x) = F−1[e−t(a+ξ2)α/2 ](t, x), t > 0, x ∈ R є фундаментальним розв’язком рiвняння (4.10). З’ясуємо оцiн- ки похiдних Gt(·), 0 < t ≪ 1. Для цього здiйснимо замiну змiнної iнтегрування у iнтегралi \|Dk xGt(x)\| = 1 2π ∣∣∣∣∣ ∫ R ξke−t(a+ξ2)α/2+ixξ dξ ∣∣∣∣∣, k ∈ Z+, згiдно з правилом ζ = t1/αξ. Поклавши z = t−1/αx i зiнтегрувавши частинами m разiв, при \|z\| > 0, одержимо \|Dk xGt(x)\|≤ c \|z\|mt(1+k)/α m∑ l=0 C l m k! (k − l)! ∫ R \|ζ\|k−l ∣∣Dm−l ζ e−(t2/αa+ζ2)α/2∣∣ dζ. Безпосередньо переконуємося у тому, що ∣∣Dl ζe −(t2/αa+ζ2)α/2∣∣ ≤ cAll! ( t2/αa+ ζ2 )α−l 2 e−δ(t2/αa+ζ2)α/2 , l ∈ Z+, t > 0, ζ ∈ R, де c, A, δ — додатнi сталi, незалежнi вiд t, ζ i l. Звiдси дiстаємо \|Dk xGt(x)\| ≤ c1A k 1B mm!\|z\|−mt−(1+k)/α × ∫ R ( t2/αa+ ζ2 )(k+α−m)/2 e−δ(t2/αa+ζ2)α/2 dζ (4.11) (тут сталi c, A1, B i δ — незалежнi вiд t > 0, {k,m} ⊂ Z+ та \|z\| > 0). В. А. Лiтовченко 93 Тепер оцiнимо iнтеграл I(t;m, k) = ∫ R (t2/αa+ ζ2)(k+α−m)/2e−δ(t2/αa+ζ2)α/2 dζ. Розглянемо спочатку випадок, коли m > k + α, тодi I(t;m, k) ≤ ( √ at1/α)k+α−m ∫ R e−δ\|ζ\|α dζ = c0( √ at1/α)k+α−m, c0 6= c0(t;m, k). Якщо ж m = k + α, то I(t;m, k) ≤ ∫ R e−δ\|ζ\|α dζ = c0. При m < k + α маємо I(t;m, k) ≤ (2 δ ) k+α−m α sup p≥0 { p k+α−m α e−p }∫ R e− δ 2 \|ζ\|2 dζ ≤ c2A k 2B m 1 (k + α−m)(k+α−m)/α, де c2, A2, B1 — додатнi сталi, незалежнi вiд t, m i k. Аналiзуючи одержанi оцiнки iнтеграла I(t; ·, ·), t > 0, зважаючи при цьому на нерiвнiсть (4.11), а також — залежнiсть змiнної z вiд t, приходимо до висновку, що оцiнюючий вираз з (4.11) є обмежений (у звичайному розумiннi) по t на (0; 1) у випадку, коли m ≥ k + α i необмежений при 0 ≤ m≪ k+ α. Тому надалi розглядатимемо лише натуральнi m ≥ k + α. Для таких m з N одержимо, що \|Dk xGt(x)\| ≤ c3A k 3B m 3 t γ(m)m!\|z\|−m, \|z\| > 0, t > 0, k ∈ Z+, (4.12) де c3, A3, B3 — додатнi сталi, незалежнi вiд t, z, k i m, а γ(m) def = { −(1 + k)/α, m = k + α, 1 − (1 +m)/α, m > k + α. Якщо ще зважити на те, що при z = 0 \|Dk xGt(x)\| ≤ ct−(1+k)/α ∫ R \|ζ\|ke−(t2/αa+ζ2)α/2 dζ ≤ c2k/αt−(1+k)/α sup p≥0 {pk/αe−p} ∫ R e− 1 2 \|ζ\|α dζ ≤ c4A k 4k k/αt−(1+k)/α, c4 6= c4(t, x, k), A4 6= A4(t, x, k), k ∈ Z+, x ∈ R, t > 0, (4.13) 94 Задача Кошi для одного класу... то об’єднуючи (4.12), (4.13) дiстанемо \|Dk xGt(x)\| ≤ c5A k 5B m 5 m mtγ(m)(1 + \|z\|)−m для всiх {k,m} ⊂ Z+, m ≥ k+α, \|z\| ≥ 0 i t ∈ (0; 1) (тут враховано те, що mm > k 1 α k, a γ(m) ≤ −(1 + k)/α). Звiдси, повертаючись вiд z до x, остаточно одержимо \|Dk xGt(x)\| ≤ c5A k 5B m 5 m mt1−1/α(t1/α + \|x\|)−m, m ≥ k + α, k ∈ Z+, t ∈ (0; 1), x ∈ R. (4.14) Оцiнку (4.14) можна записати компактнiше шляхом виключення параметра m. Дiйсно, оскiльки (4.14) виконується для всiх m ≥ k+α, k ∈ Z+ (або — теж саме, що m = k + α+ τ , τ ∈ Z+), то \|Dk xGt(x)\| ≤ c5A k 5t 1−1/α inf m≥k+α { Bm 5 m m (t1/α + \|x\|)m } ≤ c6A k 6 t1−1/αkk (t1/α + \|x\|)k+α inf τ∈Z+ {( bτ t1/α + \|x\| )τ} , де c6, A6 i b — додатнi сталi, незалежнi вiд t, x, k i τ . Далi, скориставшись тим, що [1] inf τ∈Z+ {( bτ \|y\| )τ} ≤ c exp { − 1 eb \|y\| } , y ∈ R, одержимо \|Dk xGt(x)\| ≤ ĉAk 6 t1−1/αkk (t1/α + \|x\|)k+α e−δ(t1/α+\|x\|), x ∈ R, t ∈ (0; 1), k ∈ Z+, (4.15) де ĉ, A6, δ — додатнi сталi, незалежнi вiд x, t i k. Тепер перейдемо до опису простору узагальнених початкових да- них, у якому, згiдно з теоремою 4.1, виконується принцип локалiзацiї розв’язку задачi Кошi для рiвняння (4.9). Для цього, виходячи з оцiн- ки (4.15), покладемо B̂(k; t, \|x\| g(t) ) = ĉAk 6t 1−1/1αkk(t1/α + \|x\|)−(k+α)e−δ(t1/α+\|x\|). Якщо при цьому за g(t) вибрати t1/α, то g(t)B̂(0; t, y) = ĉ(1 + y)−αe−δt1/α(1+y) ≤ ĉ(1 + y)−α = B(y) В. А. Лiтовченко 95 (зазначимо, що (1 + y)−α — iнтегровна функцiя на [0; +∞)). Далi, B̂ ( k; t, \|x\| g(t) ) ≤ ĉAk 6t 1−1/1αkk\|x\|−(k+α)e−δ\|x\| ≤ ĉ ρα (A6 ρ )k t1−1/αkke−δ\|x\|, \|x\| ≥ ρ (∀ ρ > 0). Звiдси одержуємо: послiдовнiсть γk = kk, k ∈ Z+; функцiя ĝ(t) = t1−1/α, t ∈ (0; 1); E(k, \|x\|) = e−δ\|x\|, k ∈ Z+, x ∈ R. Не важко перекона- тися, що зазначенi функцiї задовольняють усi припущення, зробленi на початку п. 4, при цьому ŴE {γk} = S1 1 i правильнi такi вкладення: S 1/α 1 ⊂ S1 1 ⊂ Sβ 1 ⊂ ( Sβ 1 )′ ⊂ ( S1 1 )′ ⊂ ( S 1/α 1 )′ , β ≥ 1. Оскiльки у просторi Sβ 1 , β > 1 мiстяться фiнiтнi функцiї, то згiд- но з твердженням теореми 4.1 у просторi (Sβ 1 )′, β > 1 справджується принцип локалiзацiї для розв’язкiв задачi Кошi для рiвняння (4.10). Лiтература [1] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных фун- кций. М.: Физматгиз, 1958, 307 с. [2] И. М. Гельфанд, Г.Е.Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958, 274 с. [3] В. В. Городецький, Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвняння параболiчного типу. Чернiвцi: Рута, 1998, 225 с. [4] Б. Л. Гуревич, Новые типы пространств основных и обобщенных функций и задача Коши для систем конечно-разностных уравнений // Докл. АН СССР, XCIX (1954), N 6, 893–895. [5] Б. Л. Гуревич, Новые типы пространств основных и обобщенных функций и задача Коши для дифференциально-разностных уравнений // Докл. АН СССР, 108 (1956), N 6, 1001–1003. [6] В. А. Литовченко, Корректная разрешимость задачи Коши для одного псев- додифференциального уравнения интегрального вида в пространствах типа S // Нелинейные граничные задачи, Донецк, вып. 13 (2003), 105–113. [7] M. Nagase, On the Cauchy problem for parabolic pseudodifferential equations // Osaka J. Math. 11 (1974), N 2, 239–264. [8] R. Shinkai, On symbols of fundamental solutions of parabolic systems // Proc. Japan Acad. 50 (1974), N 5–6, 337–341. [9] C. Tsutsumi, The fundamental solutions for a degenerate parabolic pseudodi- fferential operator // Proc. Japan Acad. 50 (1974), N 1, 11–15. [10] C. Tsutsumi, The fundamental solutions for a parabolic pseudo-differential operator and parametrices for degenerate operators // Proc. Japan Acad. 51 (1975), N 2, 103–108. 96 Задача Кошi для одного класу... [11] L. Schwartz, Theorie des distributions // Acra. sci industr. 1 (1950), N 1091. [12] В. А. Лiтовченко, Коректна розв’язнiсть задачi Кошi для одного рiвняння iнтегрального вигляду // Укр. мат. журн. 56 (2004), N 2, 185–197. [13] С. Мандельбройт, Квазианалитические классы функций. М.: Гостехиздат, 1937, 156 с. [14] С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 688 с. [15] Э. Гурса, Курс математического анализа. М.: Гостехиздат, 1933, Т. 1, ч. 1, 368 с. [16] В. М. Борок, Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР, 97 (1954), N 6, 949– 952. [17] В. А. Лiтовченко, Повна розв’язнiсть задачi Кошi для одного псевдодифе- ренцiального рiвняння у просторах типу S // Математичнi студiї. Львiв, 17 (2002), N 2, 189–198. [18] В. В. Городецький, О. М. Ленюк, Про дробове диференцiювання у просторах типу S ′ // Доп. НАН України, (1998), N 11, 20–24. Вiдомостi про авторiв Владислав Антонович Лiтовченко Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Юрiя Федьковича вул. Коцюбинського 2, 58012, Чернiвцi Україна E-Mail: vladlit@chnu.cv.ua

Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами

Репозитарії

Схожі ресурси