Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае

В статье исследуется управляемое движение плоской механической системы, состоящей из твердого тела-носителя и произвольного числа упругих балок, прикрепленных к нему. Получены условия приближенной управляемости такой модели в терминах спектра соответствующей однородной задачи о колебаниях упругой ба...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Зуев, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2006
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124545
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае / А.Л. Зуев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 134-148. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124545
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245452017-09-30T03:03:51Z Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае Зуев, А.Л. В статье исследуется управляемое движение плоской механической системы, состоящей из твердого тела-носителя и произвольного числа упругих балок, прикрепленных к нему. Получены условия приближенной управляемости такой модели в терминах спектра соответствующей однородной задачи о колебаниях упругой балки. Доказано, что линейная система управляема с помощью скалярного управления при отсутствии резонансов. В нерезонансном случае построено управление с обратной связью, обеспечивающее сильную асимптотическую устойчивость тривиального решения нелинейной системы. 2006 Article Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае / А.Л. Зуев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 134-148. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 93D15, 93B05, 37L15, 34G10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124545 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье исследуется управляемое движение плоской механической системы, состоящей из твердого тела-носителя и произвольного числа упругих балок, прикрепленных к нему. Получены условия приближенной управляемости такой модели в терминах спектра соответствующей однородной задачи о колебаниях упругой балки. Доказано, что линейная система управляема с помощью скалярного управления при отсутствии резонансов. В нерезонансном случае построено управление с обратной связью, обеспечивающее сильную асимптотическую устойчивость тривиального решения нелинейной системы.
format	Article
author	Зуев, А.Л.
spellingShingle	Зуев, А.Л. Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае Український математичний вісник
author_facet	Зуев, А.Л.
author_sort	Зуев, А.Л.
title	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
title_short	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
title_full	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
title_fullStr	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
title_full_unstemmed	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
title_sort	управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124545
citation_txt	Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае / А.Л. Зуев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 134-148. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT zueval upravleniesistemojsuprugimikomponentamivnerezonansnomslučae
first_indexed	2025-07-09T01:36:28Z
last_indexed	2025-07-09T01:36:28Z
_version_	1837131360276316160
fulltext	Український математичний вiсник Том 3 (2006), № 1, 134 – 148 Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае Александр Л. Зуев (Представлена Н. Д. Копачевским) Аннотация. В статье исследуется управляемое движение плоской механической системы, состоящей из твердого тела-носителя и прои- звольного числа упругих балок, прикрепленных к нему. Получены условия приближенной управляемости такой модели в терминах спе- ктра соответствующей однородной задачи о колебаниях упругой бал- ки. Доказано, что линейная система управляема с помощью скаляр- ного управления при отсутствии резонансов. В нерезонансном случае построено управление с обратной связью, обеспечивающее сильную асимптотическую устойчивость тривиального решения нелинейной системы. 2000 MSC. 93D15, 93B05, 37L15, 34G10. Ключевые слова и фразы. Приближенная управляемость, стаби- лизация, система с распределенными параметрами, балка Эйлера– Бернулли, функционал Ляпунова. Введение Теория управления системами с распределенными параметрами имеет широкий круг приложений в области механики роботов-мани- пуляторов с гибкими звеньями, спутников с упругими элементами, процессов теплообмена [5,16,17]. В частности, задачи управления мо- делью гибкого манипулятора в виде твердого тела с балкой Эйлера– Бернулли исследовались в работах [8–10,14,16,22]. Как отмечено в статье [23], положение равновесия твердого те- ла с несколькими одинаковыми балками Эйлера–Бернулли не явля- тся стабилизируемым с помощью скалярного управляющего момен- та, приложенного к телу. При этом возможна лишь частичная ста- билизация (резонансный случай). В конечномерной постановке зада- Статья поступила в редакцию 22.11.2004 Partially supported by the Alexander von Humboldt Foundation. ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України А. Л. Зуев 135 чи наблюдаемости и стабилизации по части переменных решены в статье [2] для системы с двумя упругими балками. В настоящей работе предложена явная схема сильной стабилиза- ции при выполнении условий управляемости для системы, состоящей из твердого тела и произвольного числа балок Эйлера–Бернулли. 1. Движение твердого тела с упругими балками Рассмотрим твердое тело, совершающее плоское вращение око- ло неподвижной точки O под действием управляющего момента M (рис. 1). К телу прикреплены k упругих балок (число k ≥ 1 может быть произвольным). Рис. 1. Предположим, что каждая балка закреплена на расстоянии d от то- чки O, и что li — длина i-й балки. Обозначим, соответственно, через θ(t) и w̃i(ξ, t) угол поворота тела и отклонение центральной линии i-й балки от оси Oξi в точке ξ ∈ [d, d + li] в момент времени t ≥ 0. Бу- дем предполагать, что в недеформированном состоянии центральная линия i-й балки лежит на оси Oξi. Обозначим wi(x, t) = w̃(ξi − d, t), тогда движение рассматриваемой механической системы определяет- ся функциями θ(t), wi(x, t), x ∈ [0, li], t ≥ 0, i = 1, k. 136 Управление системой с упругими компонентами... Для вывода уравнений движения рассмотрим сначала случай θ(t) ≡ const. В этом случае wi(x, t) удовлетворяет однородному уравне- нию Эйлера–Бернулли (см., напр., [16]): ∂2wi ∂t2 + c2 i ∂4wi ∂x4 = 0, x ∈ (0, li), t > 0, (1.1) с граничными условиями wi ∣ ∣ ∣ x=0 = ∂wi ∂x ∣ ∣ ∣ x=0 = ∂2wi ∂x2 ∣ ∣ ∣ x=li = ∂3wi ∂x3 ∣ ∣ ∣ x=li = 0, i = 1, k, (1.2) где c2 i = EiIi/ρi. Величины Ii, Ei и ρi обозначают, соответственно, момент инерции сечения, модуль Юнга и плотность (массу на еди- ницу длины) i-й балки. Будем считать все ci и ρi положительными константами. Задача (1.1) (1.2) ставится в классе wi ∈ Hi (см. [10]), Hi = { w ∈ L2 loc([0, li] × R+) : w(·, t) ∈ H2(0, li), wt(·, t) ∈ L2(0, li), w(0, t) = wx(0, t) = 0, ∀ t ≥ 0 } . Подставляя wi(x, t) = ui(x)qi(t) в (1.1), (1.2), получим следующую задачу Штурма–Лиувилля относительно ui(x): L[ui] ≡ d4 dx4 ui(x) = λui(x), x ∈ (0, li), ui(0) = u′ i(0) = u′′ i (li) = u′′′ i (li) = 0. Эта задача имеет счетный набор собственных значений λin ∈ R, обла- дающих свойством 0 < λi1 < λi2 < · · · < λin → ∞ при n → ∞, а соответствующие собственные функции {uin(x)}∞n=1 образуют полную ортогональную систему в L2(0, li) для всех i ∈ {1, 2, . . . , k} (см. [4, 16]). Без ограничения общности будем считать, что li ∫ 0 u2 in(x)ρi dx = 1. Таким образом, всякая функция wi(·, ·) ∈ Hi допускает представление wi(x, t) = ∞ ∑ n=1 uin(x)qin(t), где коэффициенты Фурье qin(t) будем называть обобщенными коор- динатами, соответствующими n-й моде колебаний. А. Л. Зуев 137 Для вывода уравнений движения в случае переменного угла θ, воспользуемся лагранжевым формализмом в обобщенных коорди- натах θ, qin. Эквивалентность уравнений Лагранжа второго рода и принципа Гамильтона–Остроградского обоснована для широкого класса упругих систем (см., напр., [5,6]). Лагранжиан рассматривае- мой механической системы имеет вид 2L = Jθ̇2 + 2θ̇ ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 Jinq̇in + ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 q̇2 in + θ̇2 ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 qin 2 − 2U, где J = J0 + k ∑ i=1 li ∫ 0 (x + d)2ρi dx, Jin = li ∫ 0 (x + d)uin(x)ρi dx, J0 > 0 — момент инерции твердого тела-носителя, U — потенциал упругих сил: 2U = ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 c2 i λinqin 2. Уравнения Лагранжа запишутся следующим образом: d dt ∂L ∂θ̇ − ∂L ∂θ = { J + ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 qin 2 } θ̈ + 2 { ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 qinq̇in } θ̇ + ∞ ∑ n=1 k ∑ i=1 Jinq̈in = M ; d dt ∂L ∂q̇in − ∂L ∂qin = Jinθ̈ + q̈in + (λinc2 i − θ̇2)qin = 0, (i = 1, k; n = 1, 2, . . .). (1.3) Здесь M — управляющий момент, приложенный к телу. С целью упрощения уравнений движения, перейдем от момента M к новому управляющему параметру v посредством следующего преобразова- ния: v = M + ∑∞ n=1 ∑k i=1 Jin(λinc2 i − θ̇2)qin − 2θ̇ ∑∞ n=1 ∑k i=1 qinq̇in J + ∑∞ n=1 ∑k i=1(qin 2 − Jin 2) . (1.4) Отметим, что знаменатель выражения (1.4) положителен. Действи- тельно, используя определения J , Jin и равенство Парсеваля для функций uin(x), получим 138 Управление системой с упругими компонентами... k ∑ i=1 li ∫ 0 (x + d)2ρi dx = k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 J2 in. Отсюда J − k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 J2 in = J0 > 0. (1.5) Условие конечности полной энергии системы накладывает следу- ющее ограничение на упругие координаты и их производные: k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 λin(qin)2 < ∞, k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ˙qin 2 < ∞. Чтобы удовлетворить этим неравенствам, совершим замену перемен- ных Qin = ci √ λinqin, Pin = q̇in, ω = θ̇ и будем предполагать, что k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ( Qin 2 + Pin 2 ) < ∞. В новых переменных система (1.3) запишется следующим образом: θ̇ = ω, ω̇ = v, Q̇in = ci √ λinPin, Ṗin = − ci √ λinQin + ω2Qin√ λin − Jinv, (i = 1, k, n = 1, 2, . . . ). (1.6) 2. Анализ управляемости Система линейного приближения для (1.6) в окрестности нуля имеет вид: ẋ = Ax + Bv, (2.1) где x = (θ, ω, Q11, P11, . . . , Qk1, Pk1, Q12, P12, . . .) T — вектор состоя- ния системы в гильбертовом пространстве ℓ2, v ∈ R 1 — управление. Линейный неограниченный оператор A : D(A) → ℓ2 задан блочно- диагональной матрицей A = diag (A0, A11, . . . , Ak1, A12, . . . , Ak2, . . .), А. Л. Зуев 139 A0 = ( 0 1 0 0 ) , Ain = ( 0 ci √ λin −ci √ λin 0 ) , (i = 1, k, n ∈ N), B = (0, 1, 0,−J11, 0,−J21, . . . , 0,−Jk1, 0,−J12, . . .)T . Поскольку Jin являются коэффициентами Фурье функции φ(x) = x + d ∈ L2(0, li) по полной ортонормированной системе {uin(x)}∞n=1, то B ∈ ℓ2. Легко видеть, что оператор A замкнут, его область определения D(A) = { x ∈ ℓ2 : k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 c2 i λin ( P 2 in + Q2 in ) < ∞ } плотна в ℓ2. Оператор Ã = diag (A0, 0, 0, . . .) ограничен, неограничен- ный оператор A − Ã является кососимметричным и диссипативным в ℓ2. В соответствии с теоремой Люмера–Филлипса [21, теорема 1.1 на с. 76 и следствие 4.4 на с. 15] (см. также [7]), A является гене- ратором сильно непрерывной полугруппы операторов {T (t)}t≥0 в ℓ2. Аналогичные рассуждения показывают, что сопряженный оператор A∗ также порождает сильно непрерывную полугруппу {T (t)∗}t≥0 в ℓ2. Будем называть состояние x ∈ ℓ2 системы (2.1) приближенно управляемым [1,3,20], если для любого ε > 0 найдутся такие τ > 0 и v(·) ∈ L2(0, τ), что ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ x − τ ∫ 0 T (t − s)Bv(s) ds ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ < ε. Система (2.1) называется приближенно управляемой, если множество всех ее приближенно управляемых состояний совпадает с ℓ2. Имеет место критерий управляемости. Теорема 2.1 ([20, теорема 2.1]). Для системы ẋ=Ax+Bu в гиль- бертовом пространстве H следующие два условия эквивалентны: (i) система ẋ = Ax + Bu не является приближенно управляемой; (ii) сопряженная полугруппа операторов {T (t)∗}t≥0 имеет нетри- виальное инвариантное подпространство в KerB∗. Для дальнейших рассуждений нам потребуется Лемма 2.1. Пусть c2 i λin 6= c2 jλjm (A1) 140 Управление системой с упругими компонентами... для всех (i, n) 6= (j, m). Тогда для всякого τ > 0 система функций {1, t, sin(ci √ λint), cos(ci √ λint) : t ∈ [0, τ ], i = 1, k, n = 1, 2, . . .} (2.2) линейно-независима на [0, τ ]. Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой 1.2.17 из [17], которая формулируется следующим образом: если lim sup y→∞ lim sup z→∞ n[y, y + z) z < τ 2π , (2.3) то система (2.2) минимальна в L2(0, τ). Здесь n[a, b) обозначает мо- щность множества [a, b) ∩ Λ, Λ = { ci √ λin : i = 1, k, n∈ N } . Для доказательства (2.3) заметим, что λin удовлетворяют уравне- нию (см. [16]): cos(λ 1/4 in li) ch (λ 1/4 in li) = −1. Отсюда следует следующее асимптотическое предстваление λin = ( π 2li )4 (2n − 1)4 + ∆in, n = 1, 2, . . . , (2.4) где ∆in → 0 при n → ∞. Подставляя (2.4) в (2.3), получим lim sup y→∞ lim sup z→∞ n[y, y + z) z = 0. Отсюда на основании [17] следует утверждение леммы. Докажем теперь признак управляемости системы (2.1). Теорема 2.2. Пусть выполнено предположение (A1). Тогда систе- ма (2.1) приближенно управляема. Доказательство. Нетрудно видеть, что Ker B∗ = { x∗ ∈ ℓ2∗ : ω = k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 JinPin } . (2.5) Действие сопряженной полугруппы T (t)∗ на элемент x(0)∗ ∈ ℓ2∗ = ℓ2 задается следующими выражениями θ(t) = θ(0), ω(t) = θ(0)t + ω(0), Pin(t) = Qin(0) sin(ci √ λint) + Pin(0) cos(ci √ λint), Qin(t) = Qin(0) cos(ci √ λint) − Pin(0) sin(ci √ λint), i = 1, k, n ∈ N. (2.6) А. Л. Зуев 141 Предположим, что T (t)∗ имеет инвариантное подпространство S ⊆ KerB∗. Пусть x(0)∗ ∈ S, тогда из (2.5), (2.6) следует − ω(0) − θ(0)t + k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 Jin ( Qin(0) sin(ci √ λint) + Pin(0) cos(ci √ λint) ) = 0, ∀ t ≥ 0. (2.7) Если выполнено условие (A1), то на основании леммы 2.1 из (2.7) следует равенство θ(0) = ω(0) = JinPin(0) = JinQin(0) = 0. Поскольку Jin 6= 0 для всех (i, n), то x(0)∗ = 0. Это означает, что S = {0}, а значит система (2.1) приближенно управляема по теореме 2.1. 3. Стабилизация с обратной связью В данном разделе будет предложено управление с обратной свя- зью v : ℓ2 → R 1, которое обеспечивает сильную асимптотическую устойчивость особой точки x = 0 нелинейной системы (1.6). Отме- тим, что полугруппа T (t) не является сжимающей ибо резольвента R(λ : A) не удовлетворяет оценке ‖R(λ : A)‖ ≤ 1/λ при λ > 0 [21, те- орема 3.1, с. 8]. Следовательно, прямое использование известных ме- тодов стабилизации линейных сжимающих [3,20] и спектральных [11] систем не подходит для нашего случая. В работах [18, 19] решена задача стабилизации линейной модели вращающейся балки Тимошенко с помощью вспомогательного пре- образования управления и эквивалентной перенормировки фазового пространства, позволяющей использовать теорему 5 из [3]. В отличие от вышеуказанных работ, в данной статье решается задача стабилизации системы с произвольным числом балок Эйлера– Бернулли в нелинейной постановке. Для построения стабилизирую- щего управления рассмотрим следующий функционал типа Ляпуно- ва: 2V (x) = θ2 + Jω2 + 2ω k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 JinPin + k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ( Pin 2 + Qin 2 ) . (3.1) Производная функционала V в силу системы (1.6) имеет вид V̇ = ω ( θ − k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ci √ λinJinQin ) 142 Управление системой с упругими компонентами... + vω ( J − k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 Jin 2 ) + ω2 k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 (Pin + ωJin)Qin√ λin . (3.2) Из формулы (3.2) следует, что V̇ = 0 при условии ω = 0, а значит выражение V̇ (x) не может быть сделано отрицательно-определенным ни при каком выборе управления. Зададимся положительной кон- стантой h и определим линейное управление с обратной связью v = γ(x) по формуле γ(x) = −θ + hω − ∑k i=1 ∑∞ n=1 ci √ λinJinQin J − ∑k i=1 ∑∞ n=1 J2 in . (3.3) Знаменатель выражения (3.3) не обращается в нуль вследствие нера- венства (1.5). Подстановка управления (3.3) в выражение (3.2) дает V̇ (x) = − ( h − k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 (Pin + ωJin)Qin√ λin ) ω2. Из неравенства Коши–Буняковского следует, что ∑ i,n (Pin + ωJin)Qin√ λin ≤ ( max { 1√ λ11 , . . . , 1√ λk1 } + ( ∑ i,n J2 in λin )1/2) ‖x‖2. Отсюда вытекает, что функционал V имеет неположительную прои- зводную в силу системы (1.6), (3.3) в замкнутом шаре BR = { x ∈ ℓ2 : ‖x‖ ≤ R } при выполнении условия h > ( max { 1√ λ11 , . . . , 1√ λk1 } + ( ∑ i,n J2 in λin )1/2) R2. (A2) Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1. Пусть выполнено предположение (A1) и пусть h = const > 0. Тогда управление с обратной связью v = γ(x), заданное выражением (3.3), обеспечивает сильную асимптотическую устой- чивость тривиального решения системы (1.6), т.е. для любого ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0, что каждое решение x(t) систе- мы (1.6) с v = γ(x), удовлетворяющее начальному условию ‖x(0)‖ < δ(ε), обладает свойствами: А. Л. Зуев 143 1. ‖x(t)‖ < ε, ∀ t ≥ 0; (3.4) 2. lim t→+∞ ‖x(t)‖ = 0. (3.5) Доказательство. Для доказательства свойства устойчивости (3.4) покажем, что найдутся положительные числа c1 и c2, удовлетворяю- щие неравенствам c1‖x‖2 ≤ 2V (x) ≤ c2‖x‖2, ∀x ∈ ℓ2. (3.6) Используя неравенство Коши–Буняковского, получим 2V (x) ≤ ( max{1, J} + 2 ( k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 J2 in )1/2) ‖x‖2. Для оценивания константы c1 в (3.6), представим функционал (3.1) в виде 2V (x) = 〈Qx, x〉ℓ2 , где Q — ограниченный самомопряженный оператор. Нетрудно показать, что Q имеет дискретный спектр σ(Q) ⊂ R +, σmin = minσ(Q) = min { 1, 1 2 ( J + 1 − √ (J + 1)2 − 4J0 ) } . Отсюда, с учетом неравенства (1.5), вытекает, что σmin >0 и c1 >0. Таким образом, функционал V (x) определен положительно. Его про- изводная V̇ в силу системы (1.6), (3.3) неположительна при ‖x‖ ≤ R(h), где R(h) > 0 — какое-либо решение неравенства (A2). Отсюда следует, что при δ(ε) = √ c1 c2 min{ε, R(h)} выполнено свойство (3.4) для всех решений нелинейной системы (1.6), (3.3), удовлетворяющих начальному условию ‖x(0)‖ < δ(ε). Оператор Q допускает предстваление Q = 2Π∗Π, где линейный оператор Π : l2 → l2 ограничен, 0 /∈ σ(Π). Следователь- но, стандартная норма ‖x‖ = ( θ2 + ω2 + k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ( Pin 2 + Qin 2 ) )1/2 и ‖x‖Π = ‖Πx‖ 144 Управление системой с упругими компонентами... эквивалентны в ℓ2. Запишем линейную часть системы (1.6) с v = γ(x) в виде ẋ = −Āx, x(0) = x0 ∈ ℓ2, (3.7) где область определения D(Ā) плотна в ℓ2, Ā(0) = 0. Из неравенства V̇ (x) ≤ 0 вытекает 〈 ΠĀx,Πx 〉 ≥ 0 для всех x ∈ D(Ā). Следовательно, оператор Ā аккретивен, −Ā — генератор непрерывной сжимающей полугруппы в (ℓ2, ‖ ·‖Π) на осно- вании следствия 4.4 из [21] (см. также [7]). Это означает, что сла- бые (mild) решения задача Коши корректно определены для t ∈ [0, +∞) [7, 13]. Для доказательства свойства притяжения (3.5) применим беско- нечномерный аналог теоремы Барбашина–Красовского — принцип инвариантности ЛаСалля [7,15]. Для этого необходимо доказать, что любая полутраектория управляемой системы на t ≥ 0 содержится в некотором предкомпактном подмножестве ℓ2. Рассмотрим уравнение (λĀ + I)x = y относительно x, где λ = const, x = (θ, ω, Q11, P11, . . . , Qk1, Pk1, Q12, P12, . . .) T ∈ ℓ2, y = (θ̄, ω̄, Q̄11, P̄11, . . . , Q̄k1, P̄k1, Q̄12, P̄12, . . .) T ∈ ℓ2. Непосредственные выкладки показывают, что для каждого значения λ > 0, выражение x = (λĀ + I)−1y можно записать следующим обра- зом: ( θ ω ) = ( 1 λ 0 1 ) × ( θ̄ ω̄ + λv̄(y) ) , ( Qin Pin ) = 1 1 + λ2c2 i λin ( 1 λci √ λin −λci √ λin 1 ) × ( Q̄in P̄in − λJinv̄(y) ) , i = 1, k, n ∈ N, где v̄(y) = −∆(θ̄ + (λ + h)ω̄) + ∆ ∑ i,n ci √ λinJin 1 + λ2c2 i λin ( Q̄in + λci √ λinP̄in ) , ∆−1 = J + λ(λ + h) − ∑ i,n J2 in 1 + λ2c2 i λin . А. Л. Зуев 145 Используя свойство {Jin}∞n=1 ∈ ℓ2 и представление (2.4) заключаем, что линейный функционал v̄ : ℓ2 → R ограничен: ‖v̄‖2 = ( sup ‖y‖=1 \|v̄(y)\| )2 = ∆2 ( 1 + (λ + h)2 + k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 c2 i λinJ2 in 1 + λ2c2 i λin ) < ∞. Далее, с учетом (2.4), неравенства 1 2(α + β)2 ≤ α2 + β2 и свойства {Jin}∞n=1 ∈ ℓ2, покажем, что матричная норма ‖(λĀ + I)−1‖M опера- тора (λĀ + I)−1 : ℓ2 → ℓ2 конечна при всех λ > 0: 1 2 ‖(λĀ+I)−1‖2 M ≤ 2+(1+‖v̄‖2)λ2+‖v̄‖2λ4+ k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 2 + λ2‖v̄‖2J2 in 1 + λ2c2 i λin < ∞. Таким образом, линейный оператор (λĀ + I)−1 : ℓ2 → ℓ2 компактен при любом значении λ > 0. Отсюда по теореме 3 из [12] заключа- ем, что все положительные полутраектории системы (3.7) предком- пактны в ℓ2. Представим теперь нелинейную систему (1.6) с обратной связью (3.3) следующим образом: ẋ(t) = −Āx(t) + ω2(t)Cx(t), x(0) = x0 ∈ ℓ2, (3.8) где Cx = ( 0, 0, 0, Q11√ λ11 , 0, Q21√ λ21 , . . . )T . Отметим, что инфинитезимальный генератор уравнения (3.8) являет- ся локально липшицевым возмущением оператора −Ā, следователь- но, решения (3.8) корректно определены для ‖x0‖ < δ(ε), t ≥ 0 по теореме 1.4 из [21]. Решения задачи (3.8) удовлетворяют интегральному уравнению x(t) = e−tĀx0 + t ∫ 0 e(τ−t)Āω2(t)Cx(τ) dτ. (3.9) Обозначим через WN : ℓ2 → ℓ2 линейный оператор проектирования на подпространство координат Qin, Pin с n ≥ N , WN : x 7→ (0, 0, . . . , Q1N , P1N , Q2N , P2N , . . .)T . Поскольку производная функционала V в силу системы (3.8) при ‖x‖ ≤ R(h) допускает оценку V̇ (x(t)) ≤ −h∗ω2(t), h∗ = const > 0, (3.10) 146 Управление системой с упругими компонентами... то +∞ ∫ 0 ω2(t) dt < ∞ (3.11) на решениях (3.8) c ‖x0‖ < δ(ε). Применяя оператор WN к (3.9), с учетом (3.11) получим ‖WNx(t)‖ ≤ ‖WNe−tĀx0‖ + +∞ ∫ 0 ω2(t) dt · sup s∈[0,t] ‖WNe−sĀCx(t − s)‖, t ≥ 0. По доказанному, траектории полугруппы {e−tĀ}t≥0 предкомпактны, траектории (3.8) ограничены при ‖x0‖ < δ(ε). Отсюда, используя компактность оператора Cℓ2 → ℓ2 и критерий Хаусдорфа, заключа- ем, что lim N→∞ sup t≥0 ‖WNx(t)‖ = 0 при ‖x0‖ < δ(ε). Это означает, что положительные полутраектории нелинейной системы (3.8) предкомпактны в ℓ2 по критерию Хаусдор- фа. Для завершения доказательства установим, что множество M = { x ∈ ℓ2 : V̇ (x) = 0 } не содержит нетривиальных полутраекторий системы (1.6) с v = γ(x), определенных при t ≥ 0. Поскольку V̇ (x) удовлетворяет не- равенству (3.10), то каждая полутраектория на M удовлетворяет со- отношениям ω(t) = 0, θ(t) = θ(0) + ω(0)t, γ(x(t)) = ω̇(t) = 0, θ(0) = k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ci √ λinJinQin(t), Qin(t) = Qin(0) cos(ci √ λint) + Pin(0) sin(ci √ λint), Pin(t) = −Qin(0) sin(ci √ λint) + Pin(0) cos(ci √ λint). В частности, из приведенных выше выражений следует θ(0) = k ∑ i=1 ∞ ∑ n=1 ci √ λinJin ( Qin(0) cos(ci √ λint) + Pin(0) sin(ci √ λint) ) , ∀ t ≥ 0. (3.12) А. Л. Зуев 147 Из леммы 2.1 вытекает, что тождество (3.12) выполнено на M только при x(0) = 0 в условиях предположения (A1). Поэтому множество M не содержит нетривиальных полутраекторий, а значит решение x = 0 системы (1.6) с v = γ(x) сильно асимптотически устойчиво по теореме ЛаСалля [15]. Литература [1] А. В. Балакришнан, Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980. [2] А. М. Ковалев, А. Л. Зуев, В. Ф. Щербак, Синтез стабилизирующего управ- ления твердым телом с присоединенными упругими элементами // Про- блемы управления и информатики, (2002), N 6, 5–16. [3] В. И. Коробов, Г. М. Скляр, К вопросу о сильной стабилизируемости сжи- мающих систем в гильбертовых пространствах // Диф. уравнения, 20 (1984), N 11, 1862–1869. [4] Н. М. Крылов, О разложении в ряды по фундаментальным функциям, встречаемых при интегрировании одного дифференциального уравнения с частными производными 4-го порядка. Киев: Изд-во Киевского универси- тета, 1911, 103 с. [5] М. К. Набиуллин, Стационарные движения и устойчивость упругих спут- ников. Новосибирск: Наука, 1990. [6] Е. М. Потапенко, Устойчивость движения орбитально маневрирующего упругого КА // Космические исследования, 28 (1990), 203–211. [7] А. А. Шестаков, Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распре- деленными параметрами. М.: Наука, 1990. [8] A. M. Bloch, E. S. Titi, On the dynamics of rotating elastic beams // In New Trends in Systems Theory, Proc. Jt. Conf., Genoa/Italy (1990), volume 7 of Prog. Syst. Control Theory, P. 128–135. (1991). [9] J. Baillieul, M. Levi, Rotational elastic dynamics // Physica, 27 D (1987), 43–62. [10] J.-M. Coron, B. d’Andrea Novel, Stabilization of a rotating body beam without damping // IEEE Trans. on Autom. Control, 44 (1998), 608–618. [11] R. F. Curtain, On stabilizability of linear spectral systems via state boundary feedback // SIAM J. Control Optim. 23 (1985), 144–152. [12] C. M. Dafermos, M. Slemrod, Asymptotic behavior of nonlinear contraction semi- groups // J. Funct. Anal.13 (1973), 97–106. [13] H. O. Fattorini, Infinite dimensional optimization and control theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. [14] H. Laousy, C. Z. Xu, G. Sallet, Boundary feedback stabilization of a rotating body- beam system // IEEE Trans. on Autom. Control, 41 (1996), 241–245. [15] J. P. LaSalle, Stability theory and invariance principles in Dynamical systems. Vol. 1. Int. symp. on dyn. syst. Providence 1974 (L. Cesari, J. K. Hale, and J. P. LaSalle Eds.) New York: Academic Press, P. 211-222, 1976. [16] Z.-H. Luo, B.-Z. Guo, O. Morgul, Stability and stabilization of infinite dimensional systems with applications. London: Springer-Verlag, 1999. 148 Управление системой с упругими компонентами... [17] W. Krabs, On moment theory and controllability of one dimensional vibrating systems and heating processes. Lecture Notes in Control and Information Sci- ences, vol. 173, Springer-Verlag, Berlin, 1992. [18] W. Krabs, G. M. Sklyar, On the Stabilizability of a Slowly Rotating Timoshenko Beam // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 19 (2000), N 1, 131–145. [19] W. Krabs, G. M. Sklyar, Controllability of linear vibrations. Huntington, NY: Nova Science Publishers Inc., 2002. [20] N. Levan, L. Rigby, Strong stabilizability of linear contractive control systems on Hilbert space // SIAM J. Control Optim. 17 (1979), 23–35. [21] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1983. [22] C. Z. Xu, J. Baillieul, Stabilizability and stabilization of a rotating body-beam system with torque control // IEEE Trans. on Autom. Control, 38 (1993), 1754– 1765. [23] A. L. Zuyev, Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems // Automatica, 41, (2005) N 1, 1–10. Сведения об авторах Александр Леонидович Зуев Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Р. Люксембург 74, 83114, Донецк Украина Technical University of Ilmenau P.O.B. 100565, D-98684 Ilmenau, Germany E-Mail: al_zv@mail.ru

Управление системой с упругими компонентами в нерезонансном случае

Institution

Ähnliche Einträge