О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями
Для ряда однородных процессов с независимыми приращениями получены интегральные преобразования распределений суммарного времени пребывания в интервале. Для симметричного процесса Винера получено распределение суммарного времени пребывания процесса в интервале....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124550 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 212-241. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124550 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245502017-09-30T03:03:27Z О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. Для ряда однородных процессов с независимыми приращениями получены интегральные преобразования распределений суммарного времени пребывания в интервале. Для симметричного процесса Винера получено распределение суммарного времени пребывания процесса в интервале. 2006 Article О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 212-241. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 60G40, 60K20 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124550 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для ряда однородных процессов с независимыми приращениями получены интегральные преобразования распределений суммарного времени пребывания в интервале. Для симметричного процесса Винера получено распределение суммарного времени пребывания процесса в интервале. |
| format |
Article |
| author |
Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| spellingShingle |
Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями Український математичний вісник |
| author_facet |
Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| author_sort |
Каданков, В.Ф. |
| title |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| title_short |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| title_full |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| title_fullStr |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| title_full_unstemmed |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| title_sort |
о суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124550 |
| citation_txt |
О суммарном времени пребывания в интервале однородных процессов с независимыми приращениями / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 212-241. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kadankovvf osummarnomvremeniprebyvaniâvintervaleodnorodnyhprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmi AT kadankovatv osummarnomvremeniprebyvaniâvintervaleodnorodnyhprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:37:03Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:37:03Z |
| _version_ |
1837131398809387008 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 212 – 241
О суммарном времени пребывания
в интервале однородных процессов
с независимыми приращениями
Виктор Ф. Каданков и Татьяна В. Каданкова
(Представлена В. С. Королюком)
Аннотация. Для ряда однородных процессов с независимыми при-
ращениями получены интегральные преобразования распределений
суммарного времени пребывания в интервале. Для симметричного
процесса Винера получено распределение суммарного времени пре-
бывания процесса в интервале.
2000 MSC. 60G40, 60K20.
Ключевые слова и фразы. Процессы с независимыми прираще-
ниями, двухграничные функционалы, выход из интервала, суммар-
ное время пребывания в интервале, последовательные итерации.
Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — однородный процесс с независимыми
приращениями [1] и кумулянтой
k(p) =
1
2
p2σ2−αp+
∞
∫
−∞
(
e−px−1+
px
1 + x2
)
Π(dx), Re(p) = 0. (0.1)
Будем предполагать, что выборочные траектории процесса непрерыв-
ные справа и ξ(0) = 0. Отметим, что процесс ξ(t), t ≥ 0 является
строго марковским и однородным по пространству [2]. Зафиксируем
B > 0, пусть IA = IA(ω) — индикатор события A, и для всех y ∈ R
введем случайную величину
σy(t) =
t
∫
0
I{y+ξ(u)∈(0,B)} du, y ∈ R —
Статья поступила в редакцию 18.05.2006
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 213
суммарное время пребывания процесса y + ξ(·) в интервале (0, B) на
временном отрезке [0, t]. Через νs обозначим независимую от процес-
са, показательно распределенную c параметром s > 0 случайную ве-
личину: P [ νs > t ] = exp{−st}. В этой работе, для ряда однородных
процессов с независимыми приращениями, мы определим двухгра-
ничный функционал
C s
a (y) = E exp{−aσy(νs)} =
s
∞
∫
0
e−st E exp{−aσy(t)} dt, y ∈ R, a ≥ 0 —
преобразование Лапласа суммарного времени пребывания процесса
y + ξ(·) в интервале (0, B) на показательно распределенном времен-
ном отрезке [0, νs]. Для этого нам понадобятся распределения ряда
случайных величин, к определению которых мы переходим.
1. Выход процесса из интервала
Для x ≥ 0 введем случайные величины:
τx = inf{t : ξ(t) ≥ x }, T x = ξ(τx)− x,
τx = inf{t : ξ(t) ≤ −x }, Tx = −ξ(τx)− x
—
момент и величина первого пересечения верхнего уровня x процессом,
и момент и величина первого пересечения процессом нижнего уров-
ня −x. На событии {τx = ∞}, ({τx = ∞}) положим по определению
T x = ∞, (Tx = ∞). Для интегральных преобразований совместных
распределений { τx, T x }, { τx, Tx } при всех s ≥ 0, Re(p) ≥ 0 выпол-
няются следующие равенства:
E
[
exp{−sτx − pT x}; τx <∞
]
=
(
E e−pξ+(νs)
)−1
E
[
e−p(ξ+(νs)−x); ξ+(νs) ≥ x
]
,
E[exp{−sτx − pTx}; τx <∞]
=
(
E e pξ−(νs)
)−1
E
[
ep(ξ−(νs)+x); −ξ−(νs) ≥ x
]
,
(1.1)
где: ξ+(t) = supu≤t ξ(u), ξ
−(t) = infu≤t ξ(u) — supremum, infimum
процесса ξ(·) на интервале [0, t],
E exp{−p ξ±(νs) } = exp
{ ∞
∫
0
1
t
e−st E [ e−pξ(t) − 1; ± ξ(t) > 0 ] dt
}
,
± Re(p) ≥ 0.
214 О суммарном времени...
Равенства (1.1) получены Е. А. Печерским и Б. А. Рогозиным [3].
Простое доказательство этих равенств приведено в [12].
Пусть y ∈ (0, B), x = B−y, ξ(0) = 0 и введем случайную величину
χ(y) = inf{ t : y + ξ(t) /∈ (0, B) } —
момент первого выхода процесса y + ξ(t) из интервала (0, B). Слу-
чайная величина χ(y) является марковским моментом процесса ξ(t),
t ≥ 0 [2, c. 194], и P [χ(y) < ∞ ] = 1. Выход процесса из интервала
(0, B) может произойти либо через верхнюю границу B, либо через
нижнюю 0. Введем события:
Ax = { ξ(χ(y)) ≥ B } — выход процесса из интервала произошел
через верхнюю границу;
Ay = { ξ(χ(y)) ≤ 0 } — выход процесса из интервала произошел
через нижнюю границу.
Определим случайную величину
X(y) = (ξ(χ(y))−B) IAx + (−ξ(χ(y))) IAy
, P [Ax +Ay ] = 1,
величину пересeчения границы процессом в момент первого выхода
из интервала. Для всех x ≥ 0 введем обозначения
fs
+(x, du) = E
[
e−sτx
; T x ∈ du, τx <∞
]
,
fs
−(x, du) = E
[
e−sτx ; Tx ∈ du, τx <∞
]
.
Преобразования Лапласа этих функций определены равенствами (1.1).
Для y ∈ (0, B), x = B − y введем функции
F s
+(x, du) = fs
+(x, du)−
∞
∫
0
fs
−(y, dv) fs
+(v +B, du)
F s
−(y, du) = fs
−(y, du)−
∞
∫
0
fs
+(x, dv) fs
−(v +B, du).
Теорема 1.1 ([12]). Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — однородный процесс с
независимыми приращениями и кумулянтой (0.1), B > 0 фиксиро-
вано, y ∈ (0, B), x = B − y, ξ(0) = 0 и
χ(y) = inf{ t : y + ξ(t) /∈ (0, B) },
X(y) = (ξ(χ(y))−B) IAx + (−ξ(χ(y))) IAy
—
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 215
момент первого выхода процесса y+ ξ(t) из интервала (0, B) и вели-
чина пересечения границы в момент первого выхода. Тогда, для пре-
образований Лапласа совместного распределения случайных величин
{χ(y), X(y) } при s ≥ 0 справедливы следующие равенства:
E [e−sχ(y); X(y) ∈ du, Ax] = F s
+(x, du) +
∞
∫
0
F s
+(x, dv)Ks
+(v, du),
E [ e−sχ(y); X(y) ∈ du, Ay] = F s
−(y, du) +
∞
∫
0
F s
−(y, dv)Ks
−(v, du),
(1.2)
где Ks
±(v, du) =
∑∞
n=1K
(n)
± (v, du, s), v ≥ 0 — ряд из последователь-
ных итераций;
K
(1)
± (v, du, s) = K±(v, du, s),
K
(n+1)
± (v, du, s) =
∞
∫
0
K
(n)
± (v, dl, s)K±(l, du, s)
— (1.3)
последовательные итерации (n ∈ N = {1, 2, . . .}) ядер K±(v, du, s),
которые определены равенствами
K+(v, du, s) =
∞
∫
0
fs
−(v +B, dl) fs
+(l +B, du),
K−(v, du, s) =
∞
∫
0
fs
+(v +B, dl)fs
−(l +B, du).
(1.4)
Пусть ξ(t), t ≥ 0, — полунепрерывный снизу однородный процесс
с независимыми приращениями и кумулянтой
k(p) =
1
2
p2σ2−αp+
∞
∫
0
(
e−px−1+
px
1 + x2
)
Π(dx), Re(p) ≥ 0. (1.5)
Мы исключаем из рассмотрения монотонные неубывающие процессы.
Тогда нижний уровень достигается процессом непрерывным образом
и для интегральных преобразований распределений нижних грани-
чных функционалов τx, ξ
−(νs) справедливы следующие формулы:
E [ e−sτx ; Tx ∈ du, τx <∞] = e−xc(s)δ(u) du,
E e−pξ−(νs) =
c(s)
c(s)− p, Re(p) ≤ 0,
216 О суммарном времени...
где c(s) > 0 — единственный корень в правой полуплоскости Re(p) >
0 уравнения k(p) − s = 0, а δ(u) — обобщенная дельта-функция.
Используя факторизационное тождество Спицера–Рoгозина
E exp{−p ξ(νs) } =
s
s− k(p)
= E exp{−p ξ+(νs) } E exp{−p ξ−(νs) }, Re(p) = 0,
и первое равенство (1.1), находим
∞
∫
0
e−px E
[
e−sτx−λξ(τx); τx <∞
]
dx
=
1
p
(
1− p+ λ− c(s)
k(p+ λ)− s
k(λ)− s
λ− c(s)
)
, (1.6)
интегральное преобразование совместного распределения { τx, ξ(τx) }
момента первого пересечения верхнего уровня x процессом ξ(t) и зна-
чения процесса в момент первого пересечения. Пусть B > 0 фикси-
ровано, y ∈ (0, B), x = B − y, ξ(0) = 0 и
χ(y) = inf{ t : y + ξ(t) /∈ (0, B) },
X(y) = (ξ(χ(y))−B) IAx + (−ξ(χ(y))) IAy
—
момент первого выхода процесса y + ξ(·) из интервала (0, B) и ве-
личина перескока процессом границы в момент выхода, где Ax =
{ξ(χ(y)) ≥ B }, Ay = {ξ(χ(y)) = 0}.
Следствие 1.1. Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — полунепрерывный снизу
однородный процесс с независимыми приращениями и кумулянтой
(1.5). Тогда
1) для интегральных преобразований совместных распределений
случайных величин {χ(y), X(y)} справедливы следующие равен-
ства
E
[
e−sχ(y); X(y) ∈ du, Ay
]
=
1−Gs
x(c(s))
1−Gs
B(c(s))
e−yc(s) δ(u) du
E
[
e−sχ(y); X(y) ∈ du, Ax
]
= E
[
e−sτx
; T x ∈ du, τx <∞
]
−E
[
e−sχ(y);Ay
]
E
[
e−sτB
; TB ∈ du, τB <∞
]
,
(1.7)
где
Gs
x(λ) = E
[
e−sτx−λξ(τx); τx <∞
]
, x ≥ 0,
и интегральное преобразование этой функции определено ра-
венством (1.6);
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 217
2) для интегральных преобразований моментов выхода из интер-
вала справедливо следующее резольвентное представление
E [e−sχ(y);Ay] =
Rx(s)
RB(s)
,
E [e−sχ(y);Ax] = 1− Rx(s)
RB(s)
− s Rx(s)
RB(s)
B
∫
0
Ru(s) du+ s
x
∫
0
Ru(s) du,
(1.8)
где [6]
Rx(s) =
1
2πi
γ+i∞
∫
γ−i∞
exp 1
k(p)− s dp, γ > c(s) — (1.9)
резольвента полунепрерывного процесса с независимыми при-
ращениями.
3) для функции Gs+a
x (c(s + b)), x ≥ 0 справедливо резольвентное
представление
Gs+a
x (c(s+ b)) = 1− a− b
c(s+ a)− c(s+ b)
Rx(s+ a) e−xc(s+b)
+ (a− b)
x
∫
0
e−uc(s+b)Ru(s+ a) du, a, b ≥ 0. (1.10)
Доказательство. Впервые интегральные преобразования распреде-
лений момента χ(y) первого выхода из интервала полунепрерывного
процесса, разными методами были получены в работах D. J. Emery [4]
и Е. А. Печерского [5]. В. М. Шуренковым предложено для опре-
деления преобразований Лапласа распределений χ(y), {χ(y), X(y)}
использовать формулы Е. Б. Дынкина. Равенства (1.8) были полу-
чены В. М. Шуренковым и В. Н. Супруном в работах [7, 8]. В рабо-
те [9] было определено преобразование Лапласа совместного распре-
деления {χ(y), X(y)} в терминах совместного распределения {ξ−(νs),
ξ(νs), ξ
+(νs)} и меры Π(A). Для процесса Пуассона с положитель-
ными скачками и отрицательным течением, равенства (1.8) приведе-
ны в [10].
Формулы (1.7), в которые входит и распределение величины пе-
ресечения процессом верхней границы, были получены в работах [13,
218 О суммарном времени...
16]. В этих формулах величина пересечения X(y) верхней границы
интервала в момент выхода выражается через величину пересечения
процессом верхнего уровня T x. Именно это обстоятельство позволи-
ло решить ряд двухграничных задач [13–16] для полунепрерывного
процесса с независимыми приращениями.
Получим равенства (1.7), исходя из равенств теоремы, которые
для полунепрерывного процесса существенно упрощаются. В этом
случае (n ∈ N)
K
(n)
− (v, du, s) = evc(s)Gs
v+B(c(s)) Gs
B(c(s))n−1 δ(u) du,
Ks
−(v, du) =
evc(s)Gs
v+B(c(s))
1−Gs
B(c(s))
δ(u) du.
Подставляя выражение для функции Ks
−(v, du) во вторую формулу
теоремы, находим
E [ e−sχ(y);X(y) ∈ du,Ay ] =
1−Gs
x(c(s))
1−Gs
B(c(s))
e−yc(s) δ(u) du — (1.11)
первое равенство (1.7). Аналогичным образом вычисляем (n ∈ N)
K
(n)
+ (v, du, s) = e−c(s)(v+B) Gs
B(c(s))n−1 E
[
e−sτB
; TB ∈ du, τB <∞
]
,
Ks
+(v, du) =
e−c(s)(v+B)
1−Gs
B(c(s))
E
[
e−sτB
; TB ∈ du, τB <∞
]
.
Подставляя выражение для функции Ks
+(v, du) в первую формулу
теоремы, находим
E
[
e−sχ(y); X(y) ∈ du, Ax
]
= E
[
e−sτx
; T x ∈ du, τx <∞
]
− e−yc(s) 1−Gs
x(c(s))
1−Gs
B(c(s))
E
[
e−sτB
; TB ∈ du, τB <∞
]
— (1.12)
второе равенство (1.7). Интегрируя равенства (1.11), (1.12) по всем
u ∈ R+, получим
E [e−sχ(y);Ay] =
1−Gs
x(c(s))
1−Gs
B(c(s))
e−yc(s),
E [e−sχ(y);Ax] = E
[
e−sτx
; τx <∞
]
− 1−Gs
x(c(s))
1−Gs
B(c(s))
e−yc(s) E
[
e−sτB
; τB <∞
]
.
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 219
Используя определение резольвенты (1.9), интегральное преобразо-
вание совместного распределения { τx, T x } (1.6), получим резольвен-
тные представления
Gs
x(c(s)) = 1− k′(c(s)) e−xc(s) Rx(s),
E
[
e−sτx
; τx <∞
]
= 1− s
c(s)
Rx(s) + s
x
∫
0
Ru(s) du
функций Gs
x(c(s)), E
[
e−sτx
; τx <∞
]
, где k′(c(s)) = d
dpk(p)
∣
∣
p=c(s)
. Под-
ставляя эти выражения в предыдущие равенства, получим
E[e−sχ(y);A y ] =
Rx(s)
RB(s)
,
E[e−sχ(y); Ax ] = 1− Rx(s)
RB(s)
− s Rx(s)
RB(s)
B
∫
0
Ru(s) du+ s
x
∫
0
Ru(s) du
равенства (1.8) следствия. Равенство (1.10) следует из определения
резольвенты (1.9) и формулы (1.6) для интегрального преобразова-
ния совместного распределения { τx, T x } (см. также [16]).
2. Вхождение процесса в интервал
Положим по определению χ(y) = 0, при y /∈ (0, B), и для всех
y ∈ R введем случайные величины
χ(y) = inf{ t > χ(y) : y + ξ(t) ∈ (0, B) },
X(y) = y + ξ(χ(y)) ∈ (0, B)
—
момент первого вхождения процесса y+ ξ(t) в интервал (0, B), и зна-
чение процесса в момент вхождения. Отметим, что момент первого
вхождения χ(y) является марковским [2]. Обозначим σy = σy(χ(y)) и
приведем следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — однородный процесс с неза-
висимыми приращениями и кумулянтой (0.1),
c(y, du, s, a) = E [ exp{−sχ(y)− aσy }; X(y) ∈ du ], y ∈ (0, B),
cv(du, s) = E [ exp{−sχ(v +B) }; X(v +B) ∈ du ], v ≥ 0,
cv(du, s) = E [ exp{−sχ(−v) }; X(−v) ∈ du ], v ≥ 0
—
интегральные преобразования совместного распределения {χ(y), σy,
X(y) } момента первого вхождения процесса в интервал, времени
220 О суммарном времени...
пребывания в интервале до момента вхождения, и значения про-
цесса в момент первого вхождения в интервал, y ∈ R. Тогда для
функций cv(du, s), cv(du, s), c(y, du, s, a) при всех s > 0, a ≥ 0, v ≥ 0
справедливы следующие равенства
cv(du, s) =
∞
∫
0
Qs
+(v, dl)E [e−sτl ;B − Tl ∈ du]
+
∞
∫
0
Qs
+(v, dl)
∫ ∞
0
E [ e−sτl ;Tl −B ∈ dν]E [ e−sτν
;T ν ∈ du],
cv(du, s) =
∞
∫
0
Qs
−(v, dl)E [e−sτ l
;T l ∈ du]
+
∞
∫
0
Qs
−(v, dl)
∞
∫
0
E [e−sτ l
;T l −B ∈dν]E [e−sτν ;B − Tν ∈du],
c(y, du, s, a) =
∞
∫
0
E [e−(s+a)χ(y);X(y) ∈ dv,Ax] cv(du, s)
+
∞
∫
0
E [e−(s+a)χ(y);X(y) ∈ dv,Ay] cv(du, s), y ∈ (0, B),
(2.1)
где Qs
±(v, du) =
∑∞
n=0 Q
(n)
± (v, du, s) — ряд Неймана из итераций
Q
(n)
± (v, du, s);
Q
(0)
± (v, du, s) = δ(u− v) du;
Q
(n)
± (v, du, s) =
∞
∫
0
Q
(n−1)
± (v, dl, s) Q±(l, du, s), n ∈ N
—
последовательные итерации ядер Q±(v, du, s), которые определены
равенствами
Q+(v, du, s) =
∞
∫
0
E [ e−sτv ; Tv −B ∈ dl ] E [ e−sτ l
; T l −B ∈ du ];
Q−(v, du, s) =
∞
∫
0
E [ e−sτv
; T v −B ∈ dl ] E [ e−sτl ; Tl −B ∈ du ].
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 221
Доказательство. Для функций cv(du, s), cv(du, s), v ≥ 0 согласно
формуле полной вероятности, однородности по пространству и свой-
ству строгой марковости процесса, справедлива следующая система
уравнений:
cv(du, s) = E [e−sτv ;B − Tv ∈ du] +
∞
∫
0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl] cl(du, s),
cv(du, s) = E [e−sτv
;T v ∈ du] +
∞
∫
0
E [e−sτv
;T v −B ∈ dl] cl(du, s).
Эта система линейных интегральных уравнений вполне аналогична
системе линейных уравнений с двумя неизвестными. Подставляя из
правой части второго уравнения выражение для функции cv(du, s) в
первое уравнение, получим
c v(du, s) = E [e−sτv ;B − Tv ∈ du]
+
∞
∫
0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl]E[e−sτ l
;T l ∈ du]
+
∞
∫
l=0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl]
∞
∫
ν=0
E [e−sτ l
;T l −B ∈ dν] c ν(du, s).
Изменяя в третьем слагаемом правой части этого уравнения порядок
интегрирования, для функции c v(du, s), v ≥ 0 получим
c v(du, s) =
∞
∫
0
Q+(v, dν, s) c ν(du, s) + E [e−sτv ;B − Tv ∈ du ]
+
∞
∫
0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl]E [e−sτ l
;T l ∈ du] (2.2)
линейное интегральное уравнение с ядром
Q+(v, du, s) =
∞
∫
0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl]E [e−sτ l
;T l−B ∈ du], v ≥ 0.
Покажем, что при всех v, u ≥ 0, s > s0, для этого ядра справедлива
оценка
Q+(v, du, s) ≤ λ = E e−s0τB E e−s0τB
< 1, s0 > 0.
222 О суммарном времени...
Действительно, при s > 0 из очевидного равенства
E [e−sτv+B
;T v+B ∈ du] = E [e−sτv
;T v −B ∈ du]
+
B
∫
0
E [e−sτv
;T v ∈ dl]E [e−sτB−l
;TB−l ∈ du],
следует цепочка неравенств
E [e−sτv
;T v −B ∈ du] ≤ E [e−sτv+B
;T v+B ∈ du]
≤ E e−sτv+B ≤ E e−sτB
.
Аналогичным образом устанавливаем, что
E [e−sτv ;Tv −B ∈ du] ≤ E [e−sτv+B ;Tv+B ∈ du]
≤ E [e−sτv+B ] ≤ E e−sτB .
Из этих двух цепочек неравенств, для ядра Q+(v, du, s), при всех
v, u ≥ 0, s > s0 получаем следующую оценку:
Q+(v, du, s) =
∞
∫
0
E [e−sτv ;Tv −B ∈ dl]E [e−sτ l
;T l −B ∈ du]
≤ E e−sτB E e−sτB
< λ = E e−s0τB E e−s0τB
< 1, s0 > 0.
Используя полученную оценку ядра и метод математической инду-
кции, нетрудно установить, что для последовательных итерацийQ
(n)
+ (v, du, s)
ядра Q+(v, du, s), при всех v, u ≥ 0, s > s0 справедлива оценка
Q
(n+1)
+ (v, du, s) =
∞
∫
0
Q
(n)
+ (v, dl, s)Q+(l, du, s) < λn+1, n ∈ N.
Следовательно, ряд из последовательных итераций
∑
n∈N
Q
(n)
+ (v,du,s)
< λ(1 − λ)−1 сходится равномерно по всем v, u ≥ 0, s > s0. При-
меняя для решения линейного интегрального уравнения (2.2) метод
последовательных итераций [17], получим первое равенство теоре-
мы. Справедливость второго равенства теоремы устанавливается ана-
логичным образом. Третье равенство теоремы является следствием
формулы полной вероятности и того факта, что χ(y) — марковский
момент.
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 223
Нам понадобятся также следующие распределения и математиче-
ские ожидания
cv(s) = P [χ(v +B) > νs],
cv(s) = P [χ(−v) > νs], v ≥ 0,
c(y, s, a) = E [ exp{−aσy(νs)};χ(y) > νs ], y ∈ (0, B).
Следствие 2.1. Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — однородный процесс с не-
зависимыми приращениями и кумулянтой (0.1). Тогда для функций
cv(s), cv(s), c(y, s, a) выполняются равенства
cv(s) = 1−E exp{−sχ(−v) }, v ≥ 0,
cv(s) = 1−E exp{−sχ(v +B) }, v ≥ 0,
c(y, s, a) =
s
s+ a
+
a
s+ a
E exp{−(s+ a)χ(y) }
−E exp{−sχ(y)− aσy }, y ∈ (0, B),
где
E exp{−sχ(v +B) } =
B
∫
0
cv(du, s),
E exp{−sχ(−v) } =
B
∫
0
cv(du, s), v ≥ 0,
E exp{−sχ(y)− aσy } =
B
∫
0
c(y, du, s, a), y ∈ (0, B),
а функции cv(du, s), cv(du, s), c(y, du, s, a) определены в теореме 2.1
равенствами (2.1).
Доказательство. Для функций cv(s), cv(s), v ≥ 0, согласно фор-
муле полной вероятности и свойству строгой марковости процесса,
справедлива система уравнений
cv(du, s) = 1−E e−sτv +
∞
∫
0
E[ e−sτv ;Tv −B ∈ dl] cl(du, s),
cv(du, s) = 1−E e−sτv
+
∞
∫
0
E[ e−sτv
;T v −B ∈ dl] cl(du, s).
224 О суммарном времени...
Эта система уравнений вполне аналогична системе уравнений из пре-
дыдущей теоремы. Применяя для ее решения метод последователь-
ных итераций, получим
cv(s) =
∞
∫
0
Qs
+(v, du) (1−E e−sτu)
+
∞
∫
0
Qs
+(v, dl)
∞
∫
0
E[ e−sτl ; Tl −B ∈ du ] (1−E e−sτu
),
cv(s) =
∞
∫
0
Qs
−(v, du) (1−E e−sτu
)
+
∞
∫
0
Qs
−(v, dl)
∞
∫
0
E[ e−sτ l
; T l −B ∈ du ] (1−E e−sτu).
(2.3)
Поскольку
∞
∫
0
Qs
+(v, du)−
∞
∫
0
Qs
+(v, dl)
∞
∫
0
E [ e−sτl ; Tl −B ∈ du ]E e−sτu
= 1−
∞
∫
0
Qs
+(v, du)
∞
∫
0
E [ e−sτu ; Tu −B ∈ dl ]E [ e−sτ l
; T l ∈ (0, B) ],
то из первого равенства (2.3) получим первое равенство следствия.
Аналогичным образом устанавливается справедливость второго ра-
венства следствия. Третье равенство следствия, при y ∈ (0, B), сле-
дует из соотношения
E [ exp{−aσy }; χ(y) > νs ]
=
s
s+ a
(1−E [ exp{−(s+ a)χ(y) } ])
+
∞
∫
0
E [e−(s+a)χ(y) ;X(y) ∈ dv,Ax] cv(s)
+
∞
∫
0
E [e−(s+a)χ(y) ;X(y) ∈ dv,Ay] cv(s)
и первых двух равенств следствия.
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 225
3. Время пребывания в интервале
обобщенного процесса Пуассона
Мы определили интегральные пребразования распределений
вспомогательных функционалов, и теперь приведем следующую тео-
рему.
Теорема 3.1. Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — обобщенный процесс Пуассона
с кумулянтой
k(p) = αp+ c
∞
∫
−∞
(e−px − 1) dΦ(x), α ≥ 0, c > 0, Re(p) = 0.
где Φ(x) — функция распределения величины скачка процесса. Тогда
для интегральных преобразований распределения случайной величи-
ны σy(t)
Cs
a(y) = E exp{−aσy(νs) }, y ∈ R
выполняются следующие равенства:
Cs
a(y) = 1− a
s+ a
B
∫
0
Cs
a(y, du)
(
1−E exp{−(s+ a)χ(u)}
)
, y ∈ (0, B),
Cs
a(y) = 1− a
s+ a
B
∫
0
E [e−sχ(y);X(y) ∈ du]
×
B
∫
0
Cs
a(u, dv)
(
1−E e−(s+a)χ(v)
)
, y /∈ (0, B),
где Cs
a(y, du) =
∑∞
n=0 c
(n)(y, du, s, a) — ряд Неймана из итераций
c(n)(y, du, s, a);
c(0)(y, du, s, a) = δ(y − u) du,
c(n)(y, du, s, a) =
B
∫
0
c(n−1)(y, dv, s, a) c(v, du, s, a),
—
последовательные итерации (n ∈ N) ядер
c(y, du, s, a) = E [exp{−sχ(y)− aσy};X(y) ∈ du], y ∈ (0, B),
226 О суммарном времени...
которые, вместе с функциями
E [e−sχ(y);X(y) ∈ du], y /∈ (0, B),
определены равенствами (2.1) теоремы 2.1.
Доказательство. Так как χ(y) марковский момент, то согласно фор-
муле полной вероятности, для функций Cs
a(y), y ∈ (0, B) справедливо
следующее уравнение:
Cs
a(y) = E [exp{−aσy(νs)};χ(y) > νs]
+
B
∫
0
E[exp{−sχ(y)− aσy};X(y) ∈ du]Cs
a(u).
Используя равенства теоремы 2.1 и ее следствия, из этого уравнения
получим
Cs
a(y) =
s
s+ a
+
a
s+ a
E e−(s+a)χ(y) − c s
a (y,B) +
B
∫
0
c(y, du, s, a)Cs
a(u),
(3.1)
где
c s
a (y,B) =
B
∫
0
c(y, du, s, a) = E exp{−sχ(y)− aσy}.
В условиях теоремы P [χ(y) > 0 ] = 1, при y ∈ (0, B), и для всех s > s0
sup
y∈(0,B)
E exp{−sχ(y)} ≤ λ = sup
y∈(0,B)
E exp{−s0χ(y)} < 1, s0 > 0.
Поэтому для всех y ∈ (0, B), u, a ≥ 0, s > s0
c(y, du, s, a) = E[ exp{−sχ(y)− aσy }; X(y) ∈ du ]
≤ E exp{−sχ(y) } ≤ λ.
По индукции устанавливаем, что для всех y ∈ (0, B), u, a ≥ 0, s > s0
c(n+1)(y, du, s, a) =
B
∫
0
c(n)(y, dv, s, a)c(v, du, s, a) ≤ λn+1, n ∈ N.
Положим по определению c(0)(y, du, s, a) = δ(y − u) du и введем фун-
кцию
Cs
a(y, du) =
∞
∑
n=0
c(n)(y, du, s, a), y ∈ (0, B) —
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 227
сумму равномерно сходящегося ряда. Применяя для решения инте-
грального уравнения (3.1) метод последовательных итераций, нахо-
дим
Cs
a(y) = 1− a
s+ a
B
∫
0
Cs
a(y, du) (1−E exp{−(s+ a)χ(u)}) , —
y ∈ (0, B)
первое равенство теоремы. Второе равенство теоремы является след-
ствием формулы полной вероятности.
Для полунепрерывного процесса с независимыми приращения-
ми и кумулянтой (1.5), интегральные преобразования распределения
суммарного времени пребывания процесса в интервале и предельное
распределение суммарного времени пребывания процесса в интерва-
ле, другими методами получено в работе [16]. Перейдем к примерам
применения формул, полученных в предыдущих теоремах и след-
ствиях, для конкретных процессов с независимыми приращениями.
Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — процесс Пуассона с положительными
скачками, отрицательным течением и кумулянтой
k(p) = αp+ c
(
E e−pη − 1
)
, α, c > 0, η ∈ (0,∞). (3.2)
Тогда, согласно равенствам (1.8) следствия 1.1, справедливы форму-
лы
ϕs+a
y
def
= E [e−(s+a)χ(y);Ay] =
Rx(s+ a)
RB(s+ a)
,
E e−(s+a)χ(y) = 1− (s+ a)
Rx(s+ a)
RB(s+ a)
B
∫
0
Ru(s+ a) du
+ (s+ a)
x
∫
0
Ru(s+ a) du.
(3.3)
Из равенств (1.7)–(1.10) следствия 1.1 вытекает следующая формула
(x = B − y):
Φs+a
y (c(s))
def
= E [e−(s+a)χ(y)−c(s)X(y);Ax]
= exc(s)V (x)− ϕs+a
y ec(s)B V (B), (3.4)
228 О суммарном времени...
где непрерывная функция V (x), x ∈ R определена равенствами
V (x) = 1 + a
x
∫
0
e−uc(s)Ru(s+ a) du, x ≥ 0; V (x) = 1, x < 0.
Далее, из равенств теоремы 2.1 следует, что в случае процесса Пуас-
сона с течением
Qs
±(v, du) = δ(u− v) du, cv(du, s) = e−vc(s)δ(B − u) du, v ≥ 0,
cv(du, s) = E [ e−sτv
; T v ∈ du ]
+ ec(s)BE [ e−sτv
e−c(s)T v
; T v > B ] δ(B − u) du, v ≥ 0,
c(y, du, s, a) = ϕs+a
y ms
0(du)
+
(
Φs+a
y (c(s)) + ϕs+a
y ec(s)B Ψ̂s
0(c(s))
)
δ(B − u) du, y ∈ (0, B),
где
ms
0(du) = E [ e−sτ0
; T 0 ∈ du ], Ψ̂s
0(c(s)) = E [ e−sτ0
e−c(s)T 0
; T 0 > B ].
Используя равенства следствия 2.1, находим
cv(s) = P [χ(v +B) > νs ] = 1− e−vc(s), v ≥ 0,
cv(s) = P [χ(−v) > νs ] = 1− m̌s
v − ec(s)B Ψ̂s
0(c(s)), v ≥ 0,
c(y, s, a) = E [ e−aσy(νs); χ(y) > νs ] =
s
s+ a
+
a
s+ a
E e−(s+a)χ(y)
− ϕs+a
y m̌s
0 −
(
Φs+a
y (c(s)) + ϕs+a
y ec(s)B Ψ̂s
0(c(s))
)
, y ∈ (0, B),
где m̌s
0 = E [ e−sτ0
; T 0 < B ]. Вспомогательные функции определены,
и теперь мы приведем следствие теоремы 3.1.
Следствие 3.1. Пусть ξ(t) ∈ R, t ≥ 0, — процесс Пуассона с куму-
лянтой (3.2) и
σy(t) =
t
∫
0
I{y+ξ(u)∈(0,B)} du, y ∈ R —
суммарное время пребывания процесса в интервале (0, B) до момен-
та времени t. Тогда для интегральных преобразований распределения
случайной величины σy(t) выполняются следующие равенства:
E {−aσy(νs) } = v(B − y)− C∗
B(s, a)V (B − y) e−yc(s), y ∈ (0, B),
E {−aσy(νs) } = 1− C∗
B(s, a) e−yc(s), y ≥ B,
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 229
E {−aσ−y(νs) } = 1 + a
B
∫
0
ms
y(du)
B−u
∫
0
Rv(s+ a) dv
− C∗
B(s, a)
(
Ψs
y(c(s)) + a
B
∫
0
ms
y(du) e
−uc(s)
B−u
∫
0
e−vc(s)Rv(s+ a) dv
)
,
y ≥ 0 (3.5)
где функции v(x), V (x); x ≥ 0 определены равенствами
v(x) = 1 + a
x
∫
0
Ru(s+ a) du, V (x) = 1 + a
x
∫
0
e−uc(s)Ru(s+ a) du,
а
C∗
B(s, a) =
a
c(s)
(
V (B)ec(s)B − v(B)
)
(
k′(c(s)) + a
B
∫
0
V (x) dx
)−1
,
ms
y(du) = E [ e−sτy
; T y ∈ du ],
Ψs
y(c(s)) = E exp{−sτy − c(s)T y },
y ≥ 0.
Доказательство. Согласно равенству (3.1) и предыдущим вычисле-
ниям, для функции Cs
a(y), y ∈ (0, B) справедливо уравнение
Cs
a(y) =
s
s+ a
+
a
s+ a
E e−(s+a)χ(y) − ϕs+a
y m̌s
0 − c(y)
+ ϕs+a
y
B
∫
0
ms
0(du)C
s
u(a) + c(y)Cs
B(a), y ∈ (0, B), (3.6)
где
c(y) = Φs+a
y (c(s)) + ϕs+a
y ec(s)B Ψ̂s
0(c(s)), Cs
B(a) = lim
y↑B
Cs
a(y).
Обозначим
Ψ(y, du, s, a) =
∞
∑
n=0
ψ(n)(y, du, s, a),
ψ(0)(y, du, s, a) = δ(y − u) du,
ψ(n)(y, du, s, a) =
B
∫
0
ψ(n−1)(y, dv, s, a)ϕs+a
v ms
0(du), n ∈ N.
230 О суммарном времени...
Выполняя необходимые вычисления, находим
Ψ(y, du, s, a) = δ(y − u) du+
RB−y(s+ a)
R0(s+ a)
e−c(s)B
V (B)
ms
0(du),
где
V (x) = 1 + s
x
∫
0
e−uc(s)Ru(s+ a) du, x ≥ 0.
Решая уравнение (3.6) методом последовательных итераций, получим
Cs
a(y) = v(B − y) +
a
c(s)
RB−y(s+ a)
e−c(s)B
V (B)
(
v(B)− V (B) ec(s)B
)
− C(y) + Cs
B(a)C(y), y ∈ (0, B), (3.7)
где
v(x) = 1 + a
x
∫
0
Ru(s+ a) du, x ≥ 0,
C(y) =
B
∫
0
Ψ(y, du, s, a) c(u)
= V (B − y) ec(s)(B−y) +
RB−y(s+ a)
V (B)
(
k′(c(s)) + a
B
∫
0
V (x) dx
)
.
Полагая в равенстве (3.7) y ↑ B, получим уравнение для функции
Cs
B(a), решая которое, находим
Cs
B(a) = E exp{−aσB(νs) } = 1− a
c(s)
V (B)− v(B) e−c(s)B
k′(c(s)) + a
∫ B
0 V (x) dx
Подставляя это выражение для функции Cs
B(a) в равенство (3.7),
находим
Cs
a(y) = v(B − y)− a
c(s)
V (B) e c(s)B − v(B)
k′(c(s)) + a
∫ B
0 V (x) dx
V (B − y) e−yc(s),
y ∈ (0, B)
первое равенство следствия. Два остальных равенства следуют из
первого и формулы полной вероятности.
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 231
4. Время пребывания в интервале процесса Винера
Пусть w(t) ∈ R, t ≥ 0, — симметричный процесс Винера с куму-
лянтой k(p) = 1
2 p
2. В этом случае
P[T x = Tx = 0 ] = 1,
E [e−sτx
;T x ∈ du] = e−x
√
2s δ(u) du = E [e−sτx ;Tx ∈ du],
x ≥ 0.
Из равенств теоремы 1.1 следуют формулы
K
(n)
− (v, du, s) = e−v
√
2se−2Bn
√
2s δ(u) du = K
(n)
+ (v, du, s), v ≥ 0,
Ks
−(v, du) = e−v
√
2s e−2B
√
2s
1− e−2B
√
2s
δ(u) du = Ks
+(v, du), v ≥ 0,
E [e−sχ(y);X(y) ∈ du,Ax] =
sh(y
√
2s)
sh(B
√
2s)
δ(u) du, y ∈ (0, B),
E [e−sχ(y);X(y) ∈ du,Ay] =
sh(x
√
2s)
sh(B
√
2s)
δ(u) du, x = B − y,
где sh(x) — гиперболический синус. Используя равенства теоремы 2.1,
следствия 2.1 и предыдущие формулы, находим
cv(du, s) = e−v
√
2s δ(B − u) du,
cv(du, s) = e−v
√
2s δ(u) du,
v ≥ 0,
c(y, du, s, a) =
sh(y
√
2(s+ a))
sh(B
√
2(s+ a))
δ(B − u) du+
sh(x
√
2(s+ a))
sh(B
√
2(s+ a))
δ(u) du,
cv(s) = cv(s) = 1− e−v
√
2s, v ≥ 0,
c(y, s, a) =
s
s+ a
(
1− sh(x−y
2
√
2(s+ a))
ch(B
2
√
2(s+ a))
)
, y ∈ (0, B).
где ch(x) — гиперболический косинус. Следующее следствие выпол-
няется.
Следствие 4.1. Пусть w(t) ∈ R, t ≥ 0, — симметричный процесс
Винера,
Cs
a(y) = s
∞
∫
0
e−st E exp
{
−a
t
∫
0
I{y+w(u)∈(0,B)} du
}
dt, y ∈ R —
232 О суммарном времени...
интегральное преобразование распределения суммарного времени
пребывания процесса Винера в интервале (0, B). Тогда при s > 0,
a ≥ 0 справедливы следующие равенства:
Cs
a(y) = 1− a√
s+ a
sh( B√
2
√
s+ a) exp{−(y −B)
√
2s}
√
s+ a sh( B√
2
√
s+ a) +
√
s ch( B√
2
√
s+ a)
,
y ≥ B,
Cs
a(y) =
s
s+ a
(
1 +
a√
s
ch(B−2y√
2
√
s+ a)
√
s+ a sh( B√
2
√
s+ a) +
√
s ch( B√
2
√
s+ a)
)
,
y ∈ (0, B),
Cs
a(y) = 1− a√
s+ a
sh( B√
2
√
s+ a) exp{y
√
2s}
√
s+ a sh( B√
2
√
s+ a) +
√
s ch( B√
2
√
s+ a)
,
y ≤ 0.
(4.1)
Доказательство. Используя определенные в начале этого пункта
функции c(y, du, s, a), c(y, s, a), равенство (3.1), для функций Cs
a(y),
y ∈ (0, B) получим уравнениe
Cs
a(y) =
s
s+ a
(
1−
ch(B−2y√
2
√
s+ a)
ch( B√
2
√
s+ a)
)
+
sh(y
√
2(s+ a))
sh(B
√
2(s+ a))
Cs
B(a)
+
sh(x
√
2(s+ a))
sh(B
√
2(s+ a))
Cs
0(a), y ∈ (0, B).
Для определения функций Cs
0(a), C
s
B(a) воспользуемся следующими
соображениями. Во-первых, согласно симметрии процесса Cs
0(a) =
Cs
B(a) и тогда, согласно формуле полной вероятности, выполняется
система уравнений
Cs
a(y) = 1− e−(y−B)
√
2s + e−(y−B)
√
2s Cs
B(a), y ≥ B,
Cs
a(y) =
s
s+ a
(
1−
ch(B−2y√
2
√
s+ a)
ch( B√
2
√
s+ a)
)
+
ch(B−2y√
2
√
s+ a)
ch( B√
2
√
s+ a)
Cs
B(a),
y ∈ (0, B).
(4.2)
Во-вторых, согласно [1, c. 178], функция Cs
a(y), y ∈ R имеет непре-
рывную первую производную. Дифференцируя уравнения (4.2) по
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 233
переменой y, затем полагая y → B, получим
d
dy
Cs
a(y)
∣
∣
∣
y=B
=
√
2s−
√
2s Cs
B(a),
d
dy
Cs
a(y)
∣
∣
∣
y=B
= − s
√
2√
s+ a
sh( B√
2
√
s+ a)
ch( B√
2
√
s+ a)
+
√
2(s+ a)
sh( B√
2
√
s+ a)
ch( B√
2
√
s+ a)
Cs
B(a)
систему уравнений относительно функций d
dyC
s
a(y)
∣
∣
y=B
, Cs
B(a). Ре-
шая эту систему уравнений, находим
Cs
B(a) = 1− a√
s+ a
sh( B√
2
√
s+ a)
√
s+ a sh( B√
2
√
s+ a) +
√
s ch( B√
2
√
s+ a)
.
Подставляя выражения для функции Cs
B(a) в уравнения (4.2), полу-
чим два первых равенства следствия. Третье равенство следует из
симметрии процесса и двух предыдущих.
Обращая преообразования Лапласа в равенствах (4.1), можно оп-
ределить распределения случайной величины σy(t). В следующей те-
ореме мы приведем эти распределения для случая y ∈ (0, B).
Теорема 4.1. Пусть w(t), t ≥ 0, — симметричный процесс Винера
и
σy(t) =
t
∫
0
I{y+w(u)∈(0,B)} du,
σy(t) =
t
∫
0
I{y+w(u)/∈(0,B)} du,
y ∈ (0, B) —
суммарные времена пребывания процесса y +w(·) в интервале и вне
интервала (0, B) до момента времени t. Тогда для распределений слу-
чайных величин σy(t), σy(t) выполняются следующие равенства:
P [σy(t) < u]
=
2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
u
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
Kn
( t− u
t− v
)
dv arcsin
√
v
t
234 О суммарном времени...
+
2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
u
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
Kn
( t− u
t− v
)
dv arcsin
√
v
t
,
u ∈ (0, t),
P [σy(t) < u]
= 1− 2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t−u
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
Kn
( u
t− v
)
dv arcsin
√
v
t
− 2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t−u
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
Kn
( u
t− v
)
dv arcsin
√
v
t
,
u ∈ (0, t),
где x = B − y,
Kn(x) =
n
∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)2
xk (1− x)n−k, x ∈ [0, 1].
В частности,
P [σy(t) = 0 ]
= 1− 2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
− 2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
= P [σy(t) = t ].
Доказательство. Так как σy(t)+σy(t) = t, то справедливо равенство
E exp{−aσy(νs)}
∣
∣
s=:s+b, a=:a−b
=
s+ b
s
E exp{−aσy(νs)− bσy(νs)},
где символ =: означает соответствующую замену переменных. Вы-
полняя во втором равенстве из (4.1) замену переменных s =: s + b,
a =: a− b, находим
E exp{−aσy(νs)− bσy(νs)}
=
s
s+ a
(
1 +
a− b√
s+ b
ch(B−2y√
2
√
s+ a)
√
s+ a sh( B√
2
√
s+ a) +
√
s+ b ch( B√
2
√
s+ a)
)
,
y ∈ (0, B) (4.3)
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 235
интегральные преобразования совместного распределения {σy(t),
σy(t)}. Полагая в этом равенстве a = 0, получим
∞
∫
0
e−st E e−bσy(t) dt
=
1
s
(
1− b√
s+ b
ch(B−2y√
2
√
s)
√
s sh( B√
2
√
s) +
√
s+ b ch( B√
2
√
s)
)
. (4.4)
Поскольку
√
s sh
(
B√
2
√
s
)
+
√
s+ b ch
(
B√
2
√
s
)
=
√
b ch
(
B√
2
√
s+ ln
(
√
1 +
s
b
+
√
s
b
))
,
и
(chx)−1 = 2
∞
∑
n=0
(−1)n exp{−(2n+ 1)x},
то из (4.4) получим
∞
∫
0
e−st E e−bσy(t) dt
=
1
s
− 1
s
b√
s+ b
∞
∑
n=0
(−1)n bn
(
√
s+ b+
√
s)2n+1
e−(y+nB)
√
2s
− 1
s
b√
s+ b
∞
∑
n=0
(−1)n bn
(
√
s+ b+
√
s)2n+1
e−(x+nB)
√
2s. (4.5)
Cогласно [18], имеют место следующие соответствия между функцией-
оригиналом и ее трансформацией Лапласа
1√
πt
exp
(
−λ
2
4t
)
L←→ 1√
s
exp(−λ
√
s),
exp
(
−bt
2
)
Jn+ 1
2
(bt
2
)
L←→ 1
√
s(s+ b)
bn+ 1
2
(
√
s+ b+
√
s)2n+1
,
где Jn+ 1
2
(x) — функция Бесселя с полуцелым индексом. Используя
эти соответствия, из (4.5) находим
1
b
E e−bσy(t) =
1
b
− 1√
b
∞
∑
n=0
(−1)n
(
exp
(
−bt
2
)
Jn+ 1
2
(bt
2
)
)
236 О суммарном времени...
∗
(
1√
πt
exp
(
−(y + nB)2
2t
))
− 1√
b
∞
∑
n=0
(−1)n
(
exp
(
−bt
2
)
Jn+ 1
2
(bt
2
)
)
∗
(
1√
πt
exp
(
−(x+ nB)2
2t
))
, (4.6)
где символ ∗ означает операцию свертки соответствующих функций.
Согласно [18], справедливо соответствие
1
bn+ 1
2
exp
(
−bt
2
)
Jn+ 1
2
(bt
2
)
L←→
{
0, u > t,
1√
πt
(tu−u2)n
n! tn , 0 < u < t.
Для функции
kn(u, t) =
(tu− u2)n
n! tn
, u ∈ (0, t)
легко устанавливаются следующие свойства
dm
dum
kn(u, t)
∣
∣
∣
u=0
= 0, m = 0, 1, . . . , n− 1;
dn
dun
kn(u, t) = Kn
(u
t
)
, u ∈ [0, t],
где
Kn(x) =
n
∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)2
xk (1− x)n−k, x ∈ [0, 1],
Kn(0) = 1, Kn(1) = (−1)n.
Используя теорему о дифференцировании функции-оригинала и
свойства функции kn(u, t), получим новое соответствие
1√
b
exp
(
−bt
2
)
Jn+ 1
2
(bt
2
)
L←→
{
0, u > t,
1√
πt
Kn
(
u
t
)
, u ∈ [0, t].
Переходя в равенстве (4.6) к функциям-оригиналам и выполняя опе-
рацию свертки, получим распределение случайной величины σy(t)
P [σy(t) < u]
= 1− 1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t−u
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
Kn
( u
t− v
) dv
√
v(t− v)
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 237
− 1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t−u
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
Kn
( u
t− v
) dv
√
v(t− v)
,
u ∈ (0, t). (4.7)
Поскольку P [σy(t) < u ] = P [σy(t) > t − u ] = 1 − P [σy(t) < t − u ],
то из (4.7) получим
P [σy(t) < u ]
=
1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
u
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
Kn
( t− u
t− v
) dv
√
v(t− v)
+
1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
u
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
Kn
( t− u
t− v
) dv
√
v(t− v)
,
u ∈ (0, t).
В частности, если случайный процесс w(t), t ≥ 0 начинает эволюцию
из середины интервала (0, B), то для u ∈ (0, t)
P [σB/2(t) < u ]
= 1− 2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t−u
∫
0
exp
(
−B
2(2n+ 1)2
8v
)
Kn
( u
t− v
) dv
√
v(t− v)
,
P [σB/2(t) < u ]
=
2
π
∞
∑
n=0
(−1)n
u
∫
0
exp
(
−B
2(2n+ 1)2
8v
)
Kn
( t− u
t− v
) dv
√
v(t− v)
.
Вычисляя пределы в обеих частях (4.7) при u → 0 и учитывая, что
Kn(0) = 1, находим
P [σy(t) = 0 ] = 1− 1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t
∫
0
exp
(
−(y + nB)2
2v
)
dv
√
v(t− v)
− 1
π
∞
∑
n=0
(−1)n
t
∫
0
exp
(
−(x+ nB)2
2v
)
dv
√
v(t− v)
.
238 О суммарном времени...
Распределения, приведенные в теореме 4.1, являются предель-
ными для распределений суммарного времени пребывания в интерва-
ле однородных процессов с независимыми приращениями и случай-
ных блужданий (при соответствующей нормировке пространства и
времени). Такая предельная теорема доказана в [16] для полунепре-
рывного процесса с независимыми приращениями. Кроме того, из ра-
венств теоремы 4.1 легко получить распределения времени пребыва-
ния винеровского процесса в полуплоскости. Справедливо следующее
следствие.
Следствие 4.2. Пусть w(t) ∈ R, t ≥ 0 — симметричный процесс
Винера, y ≥ 0 и
αy(t) = lim
B→∞
σy(t) =
t
∫
0
I{y+w(u)>0} du,
αy(t) = lim
B→∞
σy(t) =
t
∫
0
I{y+w(u)≤0} du
—
суммарное время, проведенное процессом y + w(·) в верхней полу-
плоскости до момента t и суммарное время, проведенное процессом
y+w(·) в нижней полуплоскости до момента t соответственно. То-
гда для распределений случайных величин αy(t), αy(t) выполняются
следующие равенства:
P [αy(t) < u ] =
2
π
u
∫
0
exp
(
−y
2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
, u ∈ (0, t),
P [αy(t) < u ] = 1− 2
π
t−u
∫
0
exp
(
−y
2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
, u ∈ (0, t).
(4.8)
В частности, [11]
P [α0(t) < u ] =
2
π
arcsin
√
u
t
, u ∈ (0, t).
Доказательство. Вычисляя в равенствах теоремы 4.1 пределы при
B → ∞, получим равенства (4.8) следствия. Полагая в первой фор-
муле y = 0, находим
P [α0(t) < u ] =
2
π
arcsin
√
u
t
, u ∈ (0, t)
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 239
закон арксинуса, полученный П. Леви [11] для распределения време-
ни пребывания винеровского процесса в верхней полуплоскости. Ра-
венства (4.8) можно получить также исходя из формулы (4.3). Так,
полагая в (4.3) b = 0 и вычисляя пределы при B → ∞, для y ≥ 0
находим
∞
∫
0
e−stE exp (−aαy(t)) dt
=
1
s+ a
(
1− e−y
√
2(s+a)
)
+
1
√
s(s+ a)
e−y
√
2(s+a).
Выполняя обращение преобразований Лапласа [18], находящихся в
правой части этого равенства, получим
P [αy(t) = t ] =
2√
2πt
y
∫
0
exp
(
−u
2
2t
)
du,
P [αy(t) < u ] =
2
π
u
∫
0
exp
(
−y
2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
, u ∈ (0, t)
распределения времени пребывания процесса y+w(t), t ≥ 0 в верхней
полуплоскости. Проводя аналогичные вычисления, из формулы (4.3)
находим
P [αy(t) = 0 ] =
2√
2πt
y
∫
0
exp
(
−u
2
2t
)
du,
P [αy(t) < u ] = 1− 2
π
t−u
∫
0
exp
(
−y
2
2v
)
dv arcsin
√
v
t
, u ∈ (0, t)
распределения времени пребывания процесса y+w(t), t ≥ 0 в нижней
полуплоскости.
Литература
[1] А. В. Скороход, Случайные процессы с независимыми приращениями. Мо-
сква, Наука, 1964, 280 с.
[2] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Теория случайных процессов. Т 2. Москва:
Наука, 1973, 639 с.
[3] Е. А. Печерский, Б. А. Рогозин, О совместных распределениях случайных
величин, связанными с флуктуациями процесса с независимыми прираще-
ниями // Теория вероятностей и ее применение. 14 (1969), N 3, 431–444.
240 О суммарном времени...
[4] D. J. Emery, Exit problem for a spectrally positive process. Adv. Appl. Prob. 1973,
498–520.
[5] Е. А. Печерский, Некоторые тождества, связанные с выходом случайного
блуждания из отрезка и из полуинтервала // Теория вероятностей и ее
применения, 19 (1974), N 1, 104–119.
[6] Ю. В. Боровских, Полные асимптотические разложения для резольвенты
полунепрерывного процесса с независимыми приращениями с поглощением
и распределения вероятности разорения. В кн.: Асимптотические методы в
теории вероятностей. Киев, 1979, 10–21.
[7] В. Н. Супрун, В. М. Шуренков, О резольвенте процесса с независимыми при-
ращениями, обрывающегося в момент выхода на отрицательную полуось. В
кн.: Исследования по теории случайных процессов. Киев, Ин-т математики
АН УССР, 1975, 170–174.
[8] В. Н. Супрун. Задача о разорении и резольвента обрывающегося процесса с
независимыми приращениями // УМЖ, 1 (1976), N 28, 53–61.
[9] В. М. Шуренков, Предельное распределение момента выхода и положения в
момент выхода из широкого интервала для процессов с независимыми при-
ращениями и скачками одного знака //Теория вероятностей и ее применения,
23 (1978), N 2, 419–425.
[10] В. С. Королюк, Граничные задачи для сложных пуассоновских процессов.
Киев: Наук. Думка, 1975, 240 с.
[11] P. Levy. Sur certain processes stochastiques homogenes // Compositio math. 7
(1939), 283–339.
[12] В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова, О распределении момента первого выхода
из интервала и величины перескока границы для процессов с независимыми
приращениями и случайных блужданий // Укр. мат. журн. 57 (2005), N 10,
1359–1384.
[13] Tatiana V. Kadankova, On the distribution of the number of the intersecti-
ons of a fixed interval by the semi-continuous process with independent
increments //Theory of Stochastic Processes. (2003), N 1–2, 73–81.
[14] Т. В. Каданкова, Про сумiсний розподiл supremum’a, infimum’a та значен-
ня напiвнеперервного процесу з незалежними приростами // ТIМС, (2004),
Вип. 70, 56–65.
[15] Т. В. Каданкова, Граничные функционалы полунепрерывного процесса с не-
зависимыми приращениями в интервале // УМЖ, (2004), N 3, 381–398.
[16] V. F. Kadankov, T. V. Kadankova, On the disribution of duration of stay in an
interval of the semi-continuous process with independent increments // Random
Oper. and Stoch. Equ. (ROSE), 12 (2004), N 4, 365–388.
[17] И. Г. Петровский, Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука,
1965, 127 с.
[18] В. А. Диткин, П. И. Кузнецов, Справочник по операционному исчислению.
М.-Л. ГИТТЛ, 1951, 256 с.
В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова 241
Сведения об авторах
Виктор Федорович
Каданков
Институт математики НАН Украины,
ул. Терещенковская, 3
01601, Киев-4,
Украина
E-Mail: kadankov@voliacable.com
Татьяна
Викторовна
Каданкова
Mathematical Statistics Center
for Statistics
Limburgs Universitair Centrum,
Universitaire Campus, b.D, B-3590
Diepenbeek,
Belgium
E-Mail: tetyana.kadankova@uhasselt.be
|