Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси
В статье рассматриваются матричные полиномы Лорана первого и второго рода, соответствующие сильной матричной проблеме моментов на вещественной оси. Для этих полиномов устанавливаются рекуррентные соотношения и формулы типа Кристоффеля–Дарбу и Остроградского–Лиувилля. Определяется и факторизуется на...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124554 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси / К. Симонов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 275-299. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124554 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245542017-09-30T03:03:37Z Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси Симонов, К. В статье рассматриваются матричные полиномы Лорана первого и второго рода, соответствующие сильной матричной проблеме моментов на вещественной оси. Для этих полиномов устанавливаются рекуррентные соотношения и формулы типа Кристоффеля–Дарбу и Остроградского–Лиувилля. Определяется и факторизуется на элементарные множители обобщенная матрица Неванлинны. 2006 Article Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси / К. Симонов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 275-299. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 42C05, 44A60, 42C05. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124554 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье рассматриваются матричные полиномы Лорана первого и второго рода, соответствующие сильной матричной проблеме моментов на вещественной оси. Для этих полиномов устанавливаются рекуррентные соотношения и формулы типа Кристоффеля–Дарбу и Остроградского–Лиувилля. Определяется и факторизуется на элементарные множители обобщенная матрица Неванлинны. |
| format |
Article |
| author |
Симонов, К. |
| spellingShingle |
Симонов, К. Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси Український математичний вісник |
| author_facet |
Симонов, К. |
| author_sort |
Симонов, К. |
| title |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси |
| title_short |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси |
| title_full |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси |
| title_fullStr |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси |
| title_full_unstemmed |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси |
| title_sort |
ортогональные матричные полиномы лорана на вещественной оси |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124554 |
| citation_txt |
Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси / К. Симонов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 275-299. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT simonovk ortogonalʹnyematričnyepolinomylorananaveŝestvennojosi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:37:33Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:37:33Z |
| _version_ |
1837131428933926912 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 275 – 299
Ортогональные матричные полиномы Лорана
на вещественной оси
Кирилл Симонов
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В статье рассматриваются матричные полиномы Ло-
рана первого и второго рода, соответствующие сильной матричной
проблеме моментов на вещественной оси. Для этих полиномов уста-
навливаются рекуррентные соотношения и формулы типа Кристоф-
феля–Дарбу и Остроградского–Лиувилля. Определяется и фактори-
зуется на элементарные множители обобщенная матрица Неванлин-
ны.
2000 MSC. 42C05, 44A60, 42C05.
Ключевые слова и фразы. Сильная матричная проблема момен-
тов, ортогональные полиномы Лорана.
1. Введение
Сильной матричной проблемой моментов Гамбургера называет-
ся следующая задача: дана последовательность самосопряженных
N×N -матриц {Sk}+∞
−∞, которые называются моментами, найти все
самосопряженные неубывающие N×N -матрицы-функции Σ(t) на ве-
щественной оси такие, что выполнены тождества
+∞∫
−∞
tk dΣ(t) = Sk (k = 0,±1,±2, . . .). (1.1)
Также рассматривают сильную усеченную матричную проблему мо-
ментов Гамбургера: дана конечная последовательность {Sk}m−m, най-
ти все неубывающие матрицы-функции Σ(t) такие, что выполнены
тождества (1.1) при k = 0,±1, . . . ,±m. Напомним, что в классической
проблеме моментов даны моменты только неотрицательных степе-
ней {Sk}∞0 , соответственно требуется выполнение тождеств (1.1) при
k > 0.
Статья поступила в редакцию 29.04.2005
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
276 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Как известно, с классической проблемой моментов (см. [1]) тес-
но связаны такие объекты, как ортогональные полиномы и якоби-
ева матрица. При исследовании сильной проблемы моментов (1.1)
естественно возникают так называемые полиномы Лорана, т. е. раци-
ональные функции вида f(z) =
∑m
k=−m fkz
k. В этой работе опреде-
ляются и изучаются матричные полиномы Лорана первого и второ-
го рода, соответствующие задаче (1.1). В последующих работах мы
намерены применить полученные результаты для описания решений
сильной проблемы моментов (1.1).
В скалярном случае, исследования сильной проблемы моментов
были начаты в работах [3–5]. Описание решений скалярной сильной
проблемы моментов было получено в [8] и [9] для проблемы Гамбур-
гера и в [7] для проблемы Стилтьеса. Детальную библиографию по
сильной проблеме моментов можно найти в обзоре [6].
Всюду в этой работе мы предполагаем, что заданная последова-
тельность моментов {Sk}+∞
−∞ нормирована, т. е. S0 = I, и позитивна,
т. е. все квадратичные формы вида
m∑
i,j=−m
ξ∗jSi+jξi
(
{ξk}m−m ⊂ CN , m = 0, 1, 2, . . .
)
(1.2)
положительно определены и невырождены.
Заметим, что в работе [8] при описании всех решений пробле-
мы (1.1) в скалярном случае кроме невырожденности и положитель-
ной определенности форм (1.2) требуется дополнительно невырож-
денность всех квадратичных форм вида
m∑
i,j=−m
ξ∗jSi+j−1ξi,
m+1∑
i,j=−m
ξ∗jSi+j−1ξi (m = 0, 1, 2, . . .). (1.3)
В нашей работе условие невырожденности форм (1.3) не использу-
ется, что позволяет получить новые результаты даже в скалярном
случае.
В пространстве N -мерных векторных полиномов Лорана опреде-
лим скалярное произведение по формуле
(f, g) =
m∑
i,j=−m
g∗jSi+jfi,
где
f(z) =
m∑
i=−m
fiz
i, g(z) =
m∑
j=−m
gjz
j (fi, gj ∈ CN , m = 0, 1, 2, . . .).
К. Симонов 277
Обозначим через L гильбертово пространство, полученное в резуль-
тате пополнения пространства полиномов Лорана относительно этого
скалярного произведения.
Опишем кратко содержание этой работы.
В разделе 2 определяются матричные полиномы Лорана {Pk(z)}∞0
и {Qk(z)}∞0 первого и второго рода (определения 2.1 и 2.3) и устанав-
ливается явный вид полиномов Лорана {Pk(z)}∞0 (предложение 2.1).
В разделе 3 мы находим пятичленные рекуррентные соотноше-
ния для полиномов Лорана первого и второго рода (теорема 3.1). Из
коэффициентов этих соотношений мы составляем обобщенную яко-
биеву матрицу, соответствующую проблеме моментов (1.1) (опреде-
ление 3.1)
В разделе 4 доказываются аналоги формул Кристоффеля–Дарбу
и Остроградского–Лиувилля для сильной матричной проблемы мо-
ментов (теоремы 4.1 и 4.2). В этом же разделе определяется и факто-
ризуется на элементарные множители обобщенная матрица Неван-
линны Wm(λ, µ) (определение 4.1 и теорема 4.3)
В разделе 5 изучается вполне неопределенный случай сильной
проблемы моментов (1.1) (определение 5.1, теорема 5.2). В этом слу-
чае существует предельная матрица Неванлинны
W∞(λ, µ) = lim
m→∞
Wm(λ, µ).
Матрица W∞(·, µ) аналитична в C \ {0} и имеет минимальный экспо-
ненциальный тип в своих особых точках (теорема 5.3).
2. Полиномы первого и второго рода
Определение 2.1. Последовательность N×N -матричных полино-
мов Лорана P·(z) = {Pk(z)}∞0 вида
P2k(z) =
k∑
j=−k
P
(j)
2k z
j , P2k+1(z) =
k∑
j=−k−1
P
(j)
2k+1z
j (P
(j)
k ∈ CN×N )
называется последовательностью полиномов Лорана первого рода,
если выполнены условия:
(A) Коэффициенты P
(k)
2k и P (−k−1)
2k+1 являются невырожденными са-
мосопряженными положительными матрицами.
(B) Полиномы Лорана {Pk}∞0 ортонормированы, т. е.
(Pi(z)ξ, Pj(z)η) = 0, (Pk(z)ξ, Pk(z)η) = η∗ξ
(ξ, η ∈ CN , i, j, k = 0, 1, 2, . . . , i 6= j).
278 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Условия (A) и (B) однозначно определяют полиномы Лорана
{Pk(z)}∞0 .
Определение 2.2. Индекс n = 2k называется регулярным для по-
следовательности полиномов Лорана {Pk(z)}∞0 , если коэффициент
P
(−k)
2k является невырожденным. Индекс n = 2k+1 называется регу-
лярным, если коэффициент P
(k)
2k+1 является невырожденным. В про-
тивном случае соответствующие индексы называются сингуляр-
ными.
Определение 2.3. Последовательность N×N -матричных полино-
мов Лорана Q·(z) = {Qk(z)}∞0 , определенная формулами
η∗Qk(z)ξ = (Rk(·, z)ξ, η) (ξ, η ∈ CN , k = 0, 1, 2, . . .),
где
Rk(ζ, z) =
Pk(ζ)− Pk(z)
ζ − z (k = 0, 1, 2, . . .),
называется последовательностью полиномов Лорана второго рода.
В дополнение к определениям 2.1 и 2.3, положим
P−2(z) = 0, P−1(z) = 0, Q−2(z) = −I, Q−1(z) = 0.
Полиномы Лорана первого рода можно представить и в явном
виде.
Предложение 2.1. Полиномы Лорана первого рода имеют вид
Pk(z) = Zk(z)H
−1
k ΩkDk (k = 0, 1, 2, . . .),
где
Z2k(z) =
(
z−kI · · · zkI
)
, Z2k+1(z) =
(
z−k−1I · · · zkI
)
,
H2k = (Si+j)
k
i,j=−k , H2k+1 = (Si+j)
k
i,j=−k−1 ,
Ω2k =
(
0 0 · · · 0 I
)∗
, Ω2k+1 =
(
I 0 · · · 0 0
)∗
,
D2k =
(
H−1
2k
)− 1
2
2k,2k
, D2k+1 =
(
H−1
2k+1
)− 1
2
0,0
.
Доказательство. Покажем, что для полиномов Лорана Pk(z) =
Zk(z)H
−1
k ΩkDk выполнены условия (A) и (B). Коэффициенты P
(k)
2k
и P (−k−1)
2k+1 равны соответственно
P
(k)
2k = D−1
2k , P
(−k−1)
2k+1 = D−1
2k+1. (2.1)
К. Симонов 279
Ясно, что эти коэффициенты строго положительны, значит усло-
вие (A) выполнено.
Далее, верны тождества
(P2k(z)ξ, z
jη) = η∗
(
Sj−k Sj−k+1 . . . Sj+k
)
×
S−2k S−2k+1 . . . S0
S−2k+1 S−2k+2 . . . S1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S0 S1 . . . S2k
−1
0
0
...
I
D2kξ
=
{
0 (j = −k,−k + 1, . . . , k − 1),
η∗D2kξ (j = k),
(2.2)
(P2k+1(z)ξ, z
jη) = η∗
(
Sj−k−1 Sj−k . . . Sj+k
)
×
S−2k−2 S−2k−1 . . . S−1
S−2k−1 S−2k . . . S0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S−1 S0 . . . S2k
−1
I
0
...
0
D2k+1ξ
=
{
η∗D2k+1ξ (j = −k − 1),
0 (j = −k,−k + 1, . . . , k),
(2.3)
из которых следует, что полиномы Лорана {Pk}∞0 ортогональны
(Pi(z)ξ, Pj(z)η) = 0 (ξ, η ∈ CN , i, j = 0, 1, 2, . . . , i 6= j)
и нормированы
(P2k(z)ξ, P2k(z)η) =
(
P2k(z)ξ, z
kD−1
2k η
)
= η∗ξ,
(P2k+1(z)ξ, P2k+1(z)η) =
(
P2k+1(z)ξ, z
−k−1D−1
2k+1η
)
= η∗ξ
(ξ, η ∈ CN , k = 0, 1, 2, . . .),
т. е. выполнено условие (B).
3. Рекуррентные соотношения
Если обозначить через {ǫj}N1 стандартный базис в пространстве
CN , то последовательность
{Pi(z)ǫj} = {P0(z)ǫ1, . . . , P0(z)ǫN , P1(z)ǫ1, . . . , P1(z)ǫN , . . .}
280 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
образует ортонормированный базис в пространстве L. Поэтому каж-
дый элемент f ∈ L однозначно представляется в виде ряда Фурье
f(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)ϕk, (3.1)
где коэффициенты Фурье ϕk ∈ CN определяются из равенств
ǫ∗jϕk = (f(z), Pk(z)ǫj) (j = 1, . . . , N).
Вектор вида (3.1) принадлежит пространству L тогда и только тогда,
когда выполнено условие
‖f‖2 =
∞∑
k=0
‖ϕk‖2CN <∞.
Теорема 3.1. Полиномы Лорана {Pk(z)}∞0 и {Qk(z)}∞0 удовлетворя-
ют системе рекуррентных соотношений (для k = 0, 1, 2, . . .)
zP2k(z) = P2k−2(z)C
∗
2k−2 + P2k−1(z)B
∗
2k−1
+ P2k(z)A2k + P2k+1(z)B2k + P2k+2(z)C2k,
zQ2k(z) = Q2k−2(z)C
∗
2k−2 +Q2k−1(z)B
∗
2k−1
+Q2k(z)A2k +Q2k+1(z)B2k +Q2k+2(z)C2k,
zP2k+1(z) = P2k(z)B
∗
2k + P2k+1(z)A2k+1 + P2k+2(z)B2k+1,
zQ2k+1(z) = Q2k(z)B
∗
2k +Q2k+1(z)A2k+1 +Q2k+2(z)B2k+1
(3.2)
с начальными условиями
P−2(z) = 0, P0(z) = I, Q−2(z) = −I, Q0(z) = 0, (3.3)
где коэффициенты {Ak}∞0 , {Bk}∞−1 , {Ck}∞−2 — некоторые N ×N -
матрицы.
Доказательство. Докажем сперва, что рекуррентные соотношения
(3.2) выполнены для полиномов Лорана первого рода Pk(z). Равенст-
во P0(z) = S
− 1
2
0 = I выполнено в силу предложения 2.1. Далее, каж-
дый вектор zPk(z)ξ разлагается в ряд Фурье
zPk(z)ξ =
∞∑
j=0
Pj(z)Φ
(j)
k ξ (k = 0, 1, 2, . . .), (3.4)
К. Симонов 281
где коэффициенты Φ
(j)
k определяются из равенств
η∗Φ(j)
k ξ = (zPk(z)ξ, Pj(z)η).
Ясно, что Φ
(j)
k =
(
Φ
(k)
j
)∗
. Кроме того, из равенств (2.2) и (2.3) следует,
что
Φ
(j)
2k = 0 (j 6∈ {2k − 2, 2k − 1, 2k, 2k + 1, 2k + 2}),
Φ
(j)
2k+1 = 0 (j 6∈ {2k, 2k + 1, 2k + 2}).
Поэтому, если обозначить
Ak = Φ
(k)
k , Bk = Φ
(k+1)
k , Ck = Φ
(k+2)
k ,
то из разложений (3.4) получатся в точности формулы (3.2) и (3.3)
для полиномов Лорана Pk(z).
Теперь покажем, что соотношения (3.2) выполнены и для полино-
мов Qk(z). Для этого нужно лишь доказать, что
(
ζPk(ζ)− zPk(z)
ζ − z ξ, η
)
ζ
=
{
η∗ξ (k = 0),
η∗zQk(z)ξ (k = 1, 2, 3, . . .)
(в этой формуле скалярное произведение берется относительно пере-
менной ζ). Действительно, ζPk(ζ)− zPk(z) = (ζ − z)Pk(ζ) + z(Pk(ζ)−
Pk(z)). Поэтому
(
ζPk(ζ)− zPk(z)
ζ − z ξ, η
)
ζ
= (Pk(ζ)ξ, η)ζ + η∗zQk(z)ξ.
При k = 0 имеем (P0(ζ)ξ, η)ζ = η∗ξ и Q0(z) = 0, а при k > 0 имеем
(Pk(ζ)ξ, η)ζ = 0.
Замечание 3.1. В работах [4,5,8] используются трехчленные рекур-
рентные соотношения вида
z(−1)k+1
Pk(z) = Pk−1(z)βk−1 +Pk(z)αk +Pk+1(z)βk (k = 0, 1, 2, . . .),
которые, однако, верны тогда и только тогда, когда все индексы k =
0, 1, 2, . . . регулярны.
В пространстве L на множестве полиномов Лорана определим опе-
ратор Å умножения на z
Åf(z) = zf(z)
(
f(z) =
m∑
−m
fkz
k, m = 0, 1, 2, . . .
)
.
282 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Замыкание этого оператора в пространстве L обозначим A. Из тео-
ремы 3.1 следует, что в базисе {Pi(z)ǫj} матрица оператора A прини-
мает следующий блочно-матричный вид
A0 B∗
0 C∗
0 · · ·
B0 A1 B∗
1 · · ·
C0 B1 A2 B∗
2 C∗
2 · · ·
B2 A3 B∗
3 · · ·
C2 B3 A4 B∗
4 C∗
4 · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (3.5)
Определение 3.1. Матрица (3.5) называется обобщенной матри-
цей Якоби, соответствующей сильной матричной проблеме момен-
тов (1.1).
Конечно, можно аналогичным образом разложить полиномы Ло-
рана z−1Pk(z). В этом случае рекуррентные соотношения примут вид
(для k = 0, 1, 2, . . .)
z−1P2k(z) = P2k−1(z)B̃
∗
2k−1 + P2k(z)Ã2k + P2k+1(z)B̃2k,
z−1P2k+1(z) = P2k−1(z)C̃
∗
2k−1 + P2k(z)B̃
∗
2k + P2k+1(z)Ã2k+1
+ P2k+2(z)B̃2k+1 + P2k+3(z)C̃2k+1.
(3.6)
Матрица, составленная из коэффициентов этого разложения
Ã0 B̃∗
0 · · ·
B̃0 Ã1 B̃∗
1 C̃∗
1 · · ·
B̃1 Ã2 B̃∗
2 · · ·
C̃1 B̃2 Ã3 B̃∗
3 C̃∗
3 · · ·
B̃3 Ã4 B̃∗
4 · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
, (3.7)
является обратной к матрице (3.5). Коэффициенты B̃0 и C̃2k+1 раз-
ложения (3.6) фигурируют в следующей теореме.
Предложение 3.1. Коэффициенты {Ak}∞0 , {Bk}∞−1 , {Ck}∞−2 рекур-
рентных соотношений (3.2) удовлетворяют следующим условиям
(для k = 0, 1, 2, . . .):
(i) C−2 = I, B−1 = 0, C2k−1 = 0;
(ii) существуют и корректно определены матрицы
C−1
2k , B̃0 = (B∗
0 −A0C
−1
0 B1)
−1,
C̃2k+1 = −
[
(
B2k B∗
2k+1
)(C2k A2k+2
0 C2k+2
)−1(
B∗
2k+2
B2k+3
)]−1
;
К. Симонов 283
(iii) верны неравенства
C2kC2k−2 · · ·C0 > 0, C̃2k+1C̃2k−1 · · · C̃1B̃0 > 0;
(iv) матрицы Ak самосопряжены и верны тождества
A2k+1 = B2kC
−1
2k B2k+1. (3.8)
При этом старшие и младшие коэффициенты полиномов Лорана
первого рода выражаются следующим образом:
P
(0)
0 = I,
P
(−1)
1 = B̃−1
0 ,
P
(−k−1)
2k+1 = P
(−k)
2k−1C̃
−1
2k−1 = B̃−1
0 C̃−1
1 C̃−1
3 · · · C̃−1
2k−1,
P
(k)
2k+1 = P
(k)
2k C
−1
2k B2k+1 = C−1
0 C−1
2 · · ·C−1
2k B2k+1,
P
(k+1)
2k+2 = P
(k)
2k C
−1
2k = C−1
0 C−1
2 · · ·C−1
2k ,
P
(−k−1)
2k+2 = −P (−k−1)
2k+1 B2kC
−1
2k = −B̃−1
0 C̃−1
1 C̃−1
3 · · · C̃−1
2k−1B2kC
−1
2k .
Доказательство. Сравнивая коэффициенты при zk+1 и z−k−1 в тож-
дестве
zP2k(z) = P2k−2(z)C
∗
2k−2 + P2k−1(z)B
∗
2k−1 + P2k(z)A2k
+ P2k+1(z)B2k + P2k+2(z)C2k, (3.9)
получим
P
(k)
2k = P
(k+1)
2k+2 C2k, 0 = P
(−k−1)
2k+1 B2k + P
(−k−1)
2k+2 C2k.
Следовательно, матрица C2k невырождена. Сравнивая коэффициен-
ты при zk+1 в равенстве
zP2k+1(z) = P2k(z)B
∗
2k + P2k+1(z)A2k+1 + P2k+2(z)B2k+1, (3.10)
получим
P
(k)
2k+1 = P
(k+1)
2k+2 B2k+1.
Умножая (3.9) на C−1
2k B2k+1 и вычитая из (3.10), получим
zP2k+1(z)− zP2k(z)C
−1
2k B2k+1 = −P2k−2(z)C
∗
2k−2C
−1
2k B2k+1
− P2k−1(z)B
∗
2k−1C
−1
2k B2k+1 + P2k(z)(B
∗
2k −A2kC
−1
2k B2k+1)
+ P2k+1(z)(A2k+1 −B2kC
−1
2k B2k+1).
284 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Сравнивая коэффициенты при z−k−1, имеем
P
(−k−1)
2k+1 (A2k+1 −B2kC
−1
2k B2k+1) = 0
и, следовательно,
A2k+1 = B2kC
−1
2k B2k+1.
Для коэффициента при z−k получаем
P
(−k−1)
2k+1 = −P (−k)
2k−1B
∗
2k−1C
−1
2k B2k+1 + P
(−k)
2k (B∗
2k −A2kC
−1
2k B2k+1).
При k = 0 имеем
P
(−1)
1 = B∗
0 −A0C
−1
0 B1.
При k > 0, заменяя P (−k)
2k = −P (−k)
2k−1B2k−2C
−1
2k−2, получаем
P
(−k−1)
2k+1 = P
(−k)
2k−1(B2k−2C
−1
2k−2A2kC
−1
2k B2k+1
−B2k−2C
−1
2k−2B
∗
2k −B∗
2k−1C
−1
2k B2k+1)
= P
(−k)
2k−1
[
−
(
B2k−2 B∗
2k−1
)(C2k−2 A2k
0 C2k
)−1(
B∗
2k
B2k+1
)]
.
Следствие 3.1. Индекс n = 2k + 1 является регулярным тогда и
только тогда, когда матрица B2k+1 невырождена. Индекс n = 2k +
2 является регулярным тогда и только тогда, когда матрица B2k
невырождена.
Предложение 3.2. Пусть задана последовательность N×N -мат-
риц {Ak}∞0 , {Bk}∞−1 , {Ck}∞−2 удовлетворяющих условиям (i)–(iv). То-
гда существует и единственна положительно определенная и
нормированная последовательность моментов {Sk}+∞
−∞ такая, что
соответствующие полиномы первого рода {Pk(z)}∞0 удовлетворяют
рекуррентным соотношениям (3.2) с заданными коэффициентами.
Доказательство. Покажем сперва, что тождества (3.2) и начальные
условия (3.3) однозначно определяют полиномы Лорана Pk(z). В са-
мом деле, рекуррентные соотношения для полиномов Лорана Pk(z)
можно переписать в виде
(
P2k+2(z) P2k+1(z)
)(C2k B2k+1
B2k A2k+1 − z
)
= −
(
P2k(z)(A2k − z)+P2k−1(z)B
∗
2k−1+P2k−2(z)C
∗
2k−2 P2k(z)B
∗
2k
)
,
К. Симонов 285
из которых по формуле Фробениуса получаем
(
P2k+2(z) P2k+1(z)
)
= −1
z
(
P2k(z)(A2k − z) + P2k−1(z)B
∗
2k−1 + P2k−2(z)C
∗
2k−2 P2k(z)B
∗
2k
)
×
(
zC−1
2k − C−1
2k B2k+1B2kC
−1
2k C−1
2k B2k+1
B2kC
−1
2k −I
)
. (3.11)
Кроме того, из последнего тождества следует, что
P
(k+1)
2k+2 = P
(k)
2k C
−1
2k > 0,
P
(−k−1)
2k+1 = P
(−k)
2k (B∗
2k −A2kC
−1
2k B2k+1)− P (−k)
2k−1B
∗
2k−1C
−1
2k B2k+1
= P
(−k)
2k−1
[
−
(
B2k−2 B∗
2k−1
)(C2k−2 A2k
0 C2k
)−1(
B∗
2k
B2k+1
)]
> 0.
Поэтому полиномы Лорана Pk(z) определяются однозначно, а после-
довательность {Pk(z)ǫj} образует базис в линейном пространстве по-
линомов Лорана. В этом пространстве введем скалярное произведе-
ние (·, ·), так, чтобы последовательность {Pk(z)ǫj} была ортонорми-
рованным базисом. Легко проверить, что это скалярное произведение
обладает свойством
(zf(z), g(z)) = (f(z), zg(z))
(
f(z) =
m∑
i=−m
fiz
i, g(z) =
m∑
j=−m
gjz
j
)
.
Определим моменты Sk по формуле
ǫ∗jSkǫi = (ǫi, z
kǫj) (k = 0,±1,±2, . . . , i, j = 1, . . . , N).
Последовательность {Sk}+∞
−∞ положительно определена и выполнено
равенство
(f(z), g(z)) =
m∑
i,j=−m
g∗jSi+jfi
(
f(z) =
m∑
i=−m
fiz
i, g(z) =
m∑
j=−m
gjz
j
)
.
При этом полиномы Лорана {Pk(z)}∞0 будут образовывать последова-
тельность полиномов Лорана первого рода относительно {Sk}+∞
−∞.
286 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Предложение 3.3. Пусть последовательность векторов {fk}∞0 ⊂
CN удовлетворяет рекуррентным соотношениям (для k=0, 1, 2, . . .)
λf2k = C2k−2f2k−2 +B2k−1f2k−1 +A2kf2k +B∗
2kf2k+1 + C∗
2kf2k+2,
λf2k+1 = B2kf2k +A2k+1f2k+1 +B∗
2k+1f2k+2,
(3.12)
где f−2 = f−1 = 0. Тогда верны равенства
fj = Pj(λ)∗f0 (j = 0, 1, 2, . . .). (3.13)
Доказательство. Тождество (3.13) очевидно выполнено при j = 0, а
также при j = −2 и j = −1, если считать, что f−2 = f−1 = 0. Пред-
положим теперь, что (3.13) выполнено при j ∈ {−2,−1, 0, . . . , 2k},
и покажем, что тогда (3.13) выполнено и при j ∈ {2k + 1, 2k + 2}.
Перепишем рекуррентные соотношения (3.12) в матричной форме,
подставляя при этом fj = Pj(λ)f0 для j ∈ {2k − 2, 2k − 1, 2k}
(
f2k+2
f2k+1
)∗(
C2k B2k+1
B2k A2k+1 − λ
)
=−f∗0
(
P2k(λ)(A2k−λ)+P2k−1(λ)B∗
2k−1+P2k−2(λ)C∗
2k−2 P2k(λ)B∗
2k
)
.
По формуле Фробениуса, с учетом (3.11), получаем
(
f2k+2
f2k+1
)∗
= −λ−1
× f∗0
(
P2k(λ)(A2k−λ)+P2k−1(λ)B∗
2k−1+P2k−2(λ)C∗
2k−2 P2k(λ)B∗
2k
)
×
(
λC−1
2k −C−1
2k B2k+1B2kC
−1
2k C−1
2k B2k+1
B2kC
−1
2k −I
)
=f∗0
(
P2k+2(λ) P2k+1(λ)
)
.
4. Формулы Кристоффеля–Дарбу и
матрица Неванлинны
Пусть F· = {Fk}∞0 , G· = {Gk}∞0 — две последовательности N×N -
матриц. Введем обозначения
∆2k(F·, G·) = (F2k+1B2k + F2k+2C2k)G
∗
2k
− F2k(B
∗
2kG
∗
2k+1 + C∗
2kG
∗
2k+2),
∆2k+1(F·, G·) = F2k+2(C2kG
∗
2k +B2k+1G
∗
2k+1)
− (F2kC
∗
2k + F2k+1B
∗
2k+1)G
∗
2k+2
(k = 0, 1, 2, . . .).
К. Симонов 287
Положим
J = i
(
0 I
−I 0
)
,
V2k(λ) =
(
−Q2k(λ) −Q2k+1(λ)B2k −Q2k+2(λ)C2k
P2k(λ) P2k+1(λ)B2k + P2k+2(λ)C2k
)
,
V2k+1(λ) =
(
−Q2k(λ)C∗
2k −Q2k+1(λ)B∗
2k+1 −Q2k+2(λ)
P2k(λ)C∗
2k + P2k+1(λ)B∗
2k+1 P2k+2(λ)
)
(k = 0, 1, 2, . . .).
Легко проверяется тождество
Vm(λ)JVm(µ)∗J =
(
∆m(Q·(λ), P·(µ)) ∆m(Q·(λ), Q·(µ))
−∆m(P·(λ), P·(µ)) −∆m(P·(λ), Q·(µ))
)
(m = 0, 1, 2, . . .). (4.1)
Предложение 4.1. Если последовательности F· = {Fk}∞0 , G· =
{Gk}∞0 удовлетворяют соотношениям
λF2k = F2k−2C
∗
2k−2 + F2k−1B
∗
2k−1 + F2kA2k + F2k+1B2k + F2k+2C2k,
µG2k = G2k−2C
∗
2k−2+G2k−1B
∗
2k−1+G2kA2k+G2k+1B2k+G2k+2C2k,
λF2k+1 = F2kB
∗
2k + F2k+1A2k+1 + F2k+2B2k+1,
µG2k+1 = G2kB
∗
2k +G2k+1A2k+1 +G2k+2B2k+1,
то справедливы тождества
(λ− µ)F2kG
∗
2k = ∆2k(F·, G·)−∆2k−1(F·, G·),
(λ− µ)F2k+1G
∗
2k+1 = ∆2k+1(F·, G·)−∆2k(F·, G·).
Доказательство. Докажем второе тождество, первое доказывается
аналогично.
(λ− µ)F2k+1G
∗
2k+1 = (λF2k+1)G
∗
2k+1 − F2k+1(µG2k+1)
∗
= (F2kB
∗
2k + F2k+1A2k+1 + F2k+2B2k+1)G
∗
2k+1
− F2k+1(B2kG
∗
2k +A2k+1G
∗
2k+1 +B∗
2k+1G
∗
2k+2)
=
[
F2k+2B2k+1G
∗
2k+1 − F2k+1B
∗
2k+1G
∗
2k+2
]
−
[
F2k+1B2kG
∗
2k − F2kB
∗
2kG
∗
2k+1
]
288 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
=
[
F2k+2(C2kG
∗
2k +B2k+1G
∗
2k+1)
− (F2kC
∗
2k + F2k+1B
∗
2k+1)G
∗
2k+2
]
−
[
(F2k+1B2k + F2k+2C2k)G
∗
2k
− F2k(B
∗
2kG
∗
2k+1 + C∗
2kG
∗
2k+2)
]
= ∆2k+1(F·, G·)−∆2k(F·, G·)
Определение 4.1. Матрицу-функцию
Wm(λ, µ)
=
(
I + (λ− µ)
∑m
j=0Qj(λ)Pj(µ)∗ (λ− µ)
∑m
j=0Qj(λ)Qj(µ)∗
−(λ− µ)
∑m
j=0 Pj(λ)Pj(µ)∗ I − (λ− µ)
∑m
j=0 Pj(λ)Qj(µ)∗
)
(m = 0, 1, 2, . . .)
будем называть обобщенной матрицей Неванлинны.
Заметим, что в скалярном случае обобщенные матрицы Неван-
линны изучались в работе [10].
Теорема 4.1. Справедливы формулы типа Кристоффеля–Дарбу
Wm(λ, µ) = Vm(λ)JVm(µ)∗J (m = 0, 1, 2, . . .). (4.2)
Доказательство. Из теоремы 3.1 и предложения 4.1 следует, что
Wm(λ, µ) =
(
I 0
0 I
)
+
(
∆m(Q·(λ), P·(µ)) ∆m(Q·(λ), Q·(µ))
−∆m(P·(λ), P·(µ)) −∆m(P·(λ), Q·(µ))
)
−
(
∆−1(Q·(λ), P·(µ)) ∆−1(Q·(λ), Q·(µ))
−∆−1(P·(λ), P·(µ)) −∆−1(P·(λ), Q·(µ))
)
.
Очевидная проверка показывает, что
(
∆−1(Q·(λ), P·(µ)) ∆−1(Q·(λ), Q·(µ))
−∆−1(P·(λ), P·(µ)) −∆−1(P·(λ), Q·(µ))
)
=
(
I 0
0 I
)
.
Как следствие, получаем следующее утверждение.
Теорема 4.2. Справедливы тождества типа Остроградского–Лиу-
вилля
Vm(λ)−1 = JVm(λ)∗J (m = 0, 1, 2, . . .).
Следующая теорема показывает, что матрица Неванлинны факто-
ризуется на элементарные множители.
К. Симонов 289
Теорема 4.3. Справедливо представление
Wm(λ, λ0) =
y
m∏
k=0
(I − δk(λ, λ0)Sk(λ0)) (m = 0, 1, 2, . . .), (4.3)
где
Sk(λ0) =
(
−Qk(λ0)
Pk(λ0)
)(
Pk(λ0)
∗ Qk(λ0)
∗) ,
δk(λ, λ0) =
λ− λ0 (k четно),
−λ2
0
(
1
λ
− 1
λ0
)
(k нечетно)
(λ, λ0 ∈ C \ {0}).
Доказательство. Пусть последовательность N ×N -матриц {Uk}∞−2
удовлетворяет рекуррентным соотношениям (для k = 0, 1, 2, . . .)
λU2k = U2k−2C
∗
2k−2 + U2k−1B
∗
2k−1 + U2kA2k + U2k+1B2k + U2k+2C2k,
λU2k+1 = U2kB
∗
2k + U2k+1A2k+1 + U2k+2B2k+1.
В силу теоремы 4.2 существуют решения
(
αk βk
)
(k = −1, 0, 1, . . .)
уравнений
(
U2k−2C
∗
2k−2 + U2k−1B
∗
2k−1 U2k
)
=
(
α2k−1 β2k−1
)
V2k−1(λ0), (4.4)
(
U2k U2k+1B2k + U2k+2C2k
)
=
(
α2k β2k
)
V2k(λ0), (4.5)
причем эти решения равны соответственно
(
α2k−1 β2k−1
)
=
(
U2k−2C
∗
2k−2 + U2k−1B
∗
2k−1 U2k
)
JV2k−1(λ0)
∗J
=
(
−∆2k−1(U·, P·(λ0)) −∆2k−1(U·, Q·(λ0))
)
, (4.6)
(
α2k β2k
)
=
(
U2k U2k+1B2k + U2k+2C2k
)
JV2k(λ0)
∗J
=
(
−∆2k(U·, P·(λ0)) −∆2k(U·, Q·(λ0))
)
. (4.7)
Из уравнений (4.4) и (4.5), с помощью (3.8), получаем
λU2k−1 = U2k−2B
∗
2k−2 + U2k−1A2k−1 + U2kB2k−1 = U2k−2B
∗
2k−2
+ (U2k−1B2k−2 + U2kC2k−2)C
−1
2k−2B2k−1 = (−α2k−2Q2k−2(λ0)
+ β2k−2P2k−2(λ0))B
∗
2k−2 + (−α2k−2(Q2k−1(λ0)B2k−2 +Q2k(λ0)C2k−2)
+ β2k−2(P2k−1(λ0)B2k−2 + P2k(λ0)C2k−2))C
−1
2k−2B2k−1
290 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
= −α2k−2(Q2k−2(λ0)B
∗
2k−2 +Q2k−1(λ0)A2k−1 +Q2k(λ0)B2k−1)
+ β2k−2(P2k−2(λ0)B
∗
2k−2 + P2k−1(λ0)A2k−1 + P2k(λ0)B2k−1)
= λ0(−α2k−2Q2k−1(λ0) + β2k−2P2k−1(λ0)), (4.8)
U2k = −α2k−1Q2k(λ0) + β2k−1P2k(λ0). (4.9)
С помощью предложения 4.1 и тождеств (4.8), (4.9), из формул (4.6),
(4.7) получим рекуррентные формулы для
(
αk βk
)
(
α2k−1 β2k−1
)
=
(
−∆2k−1(U·, P·(λ0)) −∆2k−1(U·, Q·(λ0))
)
=
(
−∆2k−2(U·, P·(λ0))− (λ− λ0)U2k−1P2k−1(λ0)
∗
−∆2k−2(U·, Q·(λ0))− (λ− λ0)U2k−1Q2k−1(λ0)
∗
)T
=
(
α2k−2−(λ−λ0)
λ0
λ (−α2k−2Q2k−1(λ0)+β2k−2P2k−1(λ0))P2k−1(λ0)
∗
β2k−2−(λ−λ0)
λ0
λ (−α2k−2Q2k−1(λ0)+β2k−2P2k−1(λ0))Q2k−1(λ0)
∗
)T
=
(
α2k−2 β2k−2
)
(
I −
(
λ0 − λ2
0
λ
)(−Q2k−1(λ0)
P2k−1(λ0)
)(
P2k−1(λ0)
∗
Q2k−1(λ0)
∗
)T
)
,
(4.10)
(
α2k β2k
)
=
(
−∆2k(U·, P·(λ0)) −∆2k(U·, Q·(λ0))
)
=
(
−∆2k−1(U·, P·(λ0))− (λ− λ0)U2kP2k(λ0)
∗
−∆2k−1(U·, Q·(λ0))− (λ− λ0)U2kQ2k(λ0)
∗
)T
=
(
α2k−1 − (λ− λ0)(−α2k−1Q2k(λ0) + β2k−1P2k(λ0))P2k(λ0)
∗
β2k−1 − (λ− λ0)(−α2k−1Q2k(λ0) + β2k−1P2k(λ0))Q2k(λ0)
∗
)T
=
(
α2k−1 β2k−1
)(
I − (λ− λ0)
(
−Q2k(λ0)
P2k(λ0)
)(
P2k(λ0)
∗ Q2k(λ0)
∗)
)
.
(4.11)
Применяя последовательно рекуррентные формулы (4.10), (4.11), по-
лучим
(
αm βm
)
=
(
α−1 β−1
)
y
m∏
k=0
(I − δk(λ, λ0)Sk(λ0)) . (4.12)
Теперь подставим вместо произвольной последовательности U· =
{Uk}∞−2 две последовательности матриц −Q·(λ) = {−Qk(λ)}∞−2 и
P·(λ) = {Pk(λ)}∞−2. Соответствующие решения уравнений (4.4) и (4.5)
обозначим через
(
α
(1)
k β
(1)
k
)
и
(
α
(2)
k β
(2)
k
)
. Из формул (4.6) и (4.7)
получаем равенства
К. Симонов 291
(
α
(1)
m β
(1)
m
)
=
(
∆m(Q·(λ), P·(λ0)) ∆m(Q·(λ), Q·(λ0))
)
,
(
α
(2)
m β
(2)
m
)
=
(
−∆m(P·(λ), P·(λ0)) −∆m(P·(λ), Q·(λ0))
)
,
(
α
(1)
−1 β
(1)
−1
)
=
(
I 0
)
,
(
α
(2)
−1 β
(2)
−1
)
=
(
0 I
)
.
(4.13)
Сравнивая (4.1), (4.2), (4.12) и (4.13) получаем формулу (4.3).
Следующее следствие получается из формул (4.8), (4.9), (4.12)
и (4.13).
Следствие 4.1. Справедливы тождества
(
−Q2k(λ)
P2k(λ)
)
= W2k−1(λ, λ0)
(
−Q2k(λ0)
P2k(λ0)
)
,
(
−Q2k+1(λ)
P2k+1(λ)
)
=
λ0
λ
W2k(λ, λ0)
(
−Q2k+1(λ0)
P2k+1(λ0)
) (k = 0, 1, 2, . . .).
(4.14)
5. Предельная матрица Неванлинны
Теорема 5.1. Пусть дана положительная и нормированная после-
довательность моментов {Sk}+∞
−∞. Тогда проблема моментов (1.1)
разрешима, т. е. существует самосопряженная неубывающая N×N -
матрица-функция Σ(t) такая, что все тождества (1.1) верны.
Доказательство. Рассмотрим оператор A умножения на z в про-
странстве L, который мы ввели в разделе 3. A — симметрический
оператор, поэтому A имеет некоторое самосопряженное расширение
Ã, возможно, в большем пространстве L̃ ⊃ L. Пусть E(t) — спект-
ральная мера Ã, т. е.
Ãf =
+∞∫
−∞
t dE(t)f (f ∈ dom Ã).
Рассмотрим функцию Σ(t) = PL0E(t)|L0 , где
L0 =
{
f(z) ≡ f0 ∈ CN
}
⊂ L,
а PL0 — ортогональный проектор на подпространство L0. Подпро-
странство L0 естественным образом отождествляется с пространс-
твом CN , поэтому можно считать, что Σ(t) является N×N -матрицей-
функцией на вещественной оси.
292 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Покажем, что Σ(t) является решением проблемы моментов (1.1).
Так как Ã — расширение A, то
tkϕ = Akϕ = Ãkϕ (ϕ ∈ CN , k = 0,±1,±2, . . .).
Поэтому
+∞∫
−∞
ti+j d(E(t)ϕ,ψ) = (Ãiϕ, Ãjψ) = (Aiϕ,Ajψ) = ψ∗Si+jϕ
(ϕ,ψ ∈ CN , i, j = 0,±1,±2, . . .).
Значит для Σ(t) выполнены тождества (1.1).
Замечание 5.1. В скалярном случае эта теорема получена в [2] и [5].
Решение Σ(t) проблемы моментов (1.1) определяет гильбертово
пространство L2(dΣ), элементами которого являются Σ-измеримые
вектор-функции f(t) такие, что
‖f‖2L2(dΣ) =
+∞∫
−∞
f(t)∗dΣ(t)f(t) <∞.
Пространство L естественным образом вкладывается в L2(dΣ), по-
этому векторы {Pk(t)ǫi}∞0 образуют ортонормированную систему в
L2(dΣ).
Предложение 5.1. Пусть Σ(t) — решение проблемы моментов
(1.1) и
Zλ =
+∞∫
−∞
1
t− λ dΣ(t) (λ ∈ C \ R).
Тогда верно неравенство
∞∑
k=0
∥∥Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗Zλ
∥∥2
CN 6 N
‖ImZλ‖CN
|Imλ| (λ ∈ C \ R). (5.1)
Доказательство. Пусть λ ∈ C \ R, тогда вектор-функция ǫj
t−λ при-
надлежит пространству L2(dΣ). Найдем коэффициенты разложения
этой функции по ортонормированной системе {Pk(t)ǫi}
( ǫj
t− λ, Pk(t)ǫi
)
L2(dΣ)
=
+∞∫
−∞
ǫ∗iPk(t)
∗dΣ(t)ǫj
t− λ
К. Симонов 293
= ǫ∗i
+∞∫
−∞
Pk(t)
∗ − Pk(λ)∗
t− λ dΣ(t)ǫj + ǫ∗iPk(λ)∗
+∞∫
−∞
dΣ(t)
t− λ ǫj
= ǫ∗i
(
Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗Zλ
)
ǫj .
По неравенству Бесселя получаем
∑
i,k
∣∣ǫ∗i
(
Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗Zλ
)
ǫj
∣∣2 6
∥∥∥∥
ǫj
t− λ
∥∥∥∥
2
L2(dΣ)
. (5.2)
С другой стороны,
∥∥∥∥
ǫj
t− λ
∥∥∥∥
2
L2(dΣ)
=
+∞∫
−∞
ǫ∗j
dΣ(t)
|t− λ|2
ǫj
= ǫ∗j
+∞∫
−∞
(
1
t− λ −
1
t− λ
)
dΣ(t)
λ− λ
ǫj = ǫ∗j
ImZλ
Imλ
ǫj . (5.3)
Сравнивая (5.2) и (5.3), получаем
∞∑
k=0
∥∥Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗Zλ
∥∥2
CN 6
N∑
i,j=1
∞∑
k=0
∣∣ǫ∗j
(
Qk(λ)∗ + Pk(λ)∗Zλ
)
ǫi
∣∣2
6
N∑
j=1
∥∥∥∥
ǫj
t− λ
∥∥∥∥
2
L2(dΣ)
=
N∑
j=1
ǫ∗j
ImZλ
Imλ
ǫj 6 N
‖ImZλ‖CN
|Imλ| (λ ∈ C\R).
Следствие 5.1. При любом λ ∈ C \ R ряды
∞∑
k=0
‖Pk(λ)‖2CN ,
∞∑
k=0
‖Qk(λ)‖2CN
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Это прямое следствие неравенства (5.1), нужно ли-
шь заметить, что матрица Zλ невырождена при всех λ ∈ C \ R, по-
скольку матрица Imλ · ImZλ строго положительна при λ ∈ C \R.
Предложение 5.2. Оператор A имеет индексы дефекта (N,N)
тогда и только тогда, когда хотя бы при одном λ+ ∈ C+ и при
одном λ− ∈ C− сходится ряд
∞∑
k=0
‖Pk(λ±)‖2CN . (5.4)
294 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
В этом случае ряд
∞∑
k=0
‖Pk(λ)‖2CN (5.5)
сходится при всех λ ∈ C \ R, а дефектное подространство Nλ =
L⊖ ran(A− λ) оператора A имеет вид
Nλ =
{
fλ(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)Pk(λ)∗ϕ : ϕ ∈ CN
}
(λ ∈ C \ R).
Доказательство. Оператор A — симметрический оператор, а значит
A ⊂ A∗. Найдем область определения сопряженного оператора A∗.
Вектор f ∈ L принадлежит domA∗ тогда и только тогда, когда най-
дется вектор g ∈ L такой, что
(f(z), APk(z)ǫj) = (g(z), Pk(z)ǫj) (k = 0, 1, 2, . . . , j = 1, . . . , N).
(5.6)
В этом случае f ∈ domA∗ и g = A∗f . Пусть векторы f(z) и g(z)
имеют вид
f(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)fk, g(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)gk.
Тогда равенства (5.6) можно переписать в виде
gk = Ck−2fk−2 +Bk−1fk−1 +Akfk +B∗
kfk+1 + C∗
kfk+2
(k = 0, 1, 2, . . . , f−2 = f−1 = 0).
При этом вектор g принадлежит L тогда и только тогда, когда
‖g‖2 =
∞∑
k=0
‖Ck−2fk−2 +Bk−1fk−1 +Akfk +B∗
kfk+1 + C∗
kfk+2‖2CN <∞.
(5.7)
Значит, для того, чтобы вектор f ∈ L принадлежал domA∗, необхо-
димо и достаточно, чтобы было выполнено условие (5.7).
Найдем теперь дефектное подпространство оператора A
Nλ = L⊖ ran(A− λ) = ker(A∗ − λ).
Если вектор f ∈ L вида
f(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)fk
К. Симонов 295
принадлежит ker(A∗−λ), то коэффициенты fk удовлетворяют тожде-
ствам
λfk = Ck−2fk−2 +Bk−1fk−1 +Akfk +B∗
kfk+1 + C∗
kfk+2
(k = 0, 1, 2, . . . , f−2 = f−1 = 0).
По предложению 3.3 это означает, что вектор f имеет вид
f(z) =
∞∑
k=0
Pk(z)Pk(λ)∗f0. (5.8)
Обратно, каждый вектор вида (5.8), для которого выполнено условие
‖f‖2 =
∞∑
k=0
∥∥Pk(λ)∗f0
∥∥2
CN <∞, (5.9)
принадлежит Nλ = ker(A∗ − λ). Следовательно, размерность де-
фектного подпространства оператора A не превышает N , причем
dimNλ = N тогда и только тогда, когда (5.9) выполнено при всех
f0 ∈ CN , т. е. выполнено условие (5.5). Поскольку размерность Nλ
постоянна в верхней и в нижней полуплоскости, достаточно чтобы
было выполнено условие (5.4).
Замечание 5.2. Если все матрицы {Sk}+∞
−∞ вещественны (в частнос-
ти, в скалярном случае), то оператор A является вещественным, а
значит имеет равные индексы дефекта. В этом случае, если хотя бы
в одной точке λ ∈ C \ R выполнено неравенство (5.5), то оператор A
имеет индексы дефекта (N,N).
Подытожим полученные результаты в следующей теореме.
Теорема 5.2. Следующие условия эквивалентны:
1) оператор A имеет индексы дефекта (N,N);
2) найдутся две точки λ+ ∈ C+ и λ− ∈ C− такие, что
∞∑
k=0
‖Pk(λ±)‖2CN <∞;
3) найдутся две точки λ+ ∈ C+ и λ− ∈ C− такие, что
∞∑
k=0
‖Qk(λ±)‖2CN <∞;
296 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
4) при всех λ ∈ C \ {0}
∞∑
k=0
‖Pk(λ)‖2CN <∞,
∞∑
k=0
‖Qk(λ)‖2CN <∞. (5.10)
Доказательство. Эквивалентность условий 1), 2), 3) и условия 4)
при λ ∈ C \ R следует из следствия 5.1 и предложения 5.2. Осталось
лишь показать, что из сходимости рядов (5.10) при λ ∈ C \R следует
их сходимость при λ ∈ C \ {0}. Для этого воспользуемся факториза-
цией (4.3) и тождествами (4.14). Зафиксируем λ0 ∈ C \ R, тогда, в
силу сходимости рядов (5.10) при λ = λ0 и λ = λ0 сходится ряд
∞∑
k=0
‖Sk(λ0)‖C2N <∞.
Положим
M(λ, λ0) = max
k∈{0,1}
|δk(λ, λ0)| . (5.11)
Тогда
∥∥Wm(λ, λ0)
∥∥
C2N 6
m∏
k=0
(1 +M(λ, λ0) ‖Sk(λ0)‖C2N )
6 exp
(
M(λ, λ0)
∞∑
k=0
‖Sk(λ0)‖C2N
)
<∞.
Поскольку M(λ, λ0) равномерно ограничена на любом компактном
множестве K в C \ {0}, то
sup
λ∈K
m=0,1,2,...
∥∥Wm(λ, λ0)
∥∥
C2N <∞. (5.12)
Из (5.12) и тождеств (4.14) следует, что ряды (5.10) сходятся равно-
мерно на компактных подмножествах в C \ {0}.
Определение 5.1. Если выполнены условия теоремы 5.2, то силь-
ная матричная проблема моментов Гамбургера (1.1) называется
вполне неопределенной.
Теорема 5.3. Пусть оператор A имеет индексы дефекта (N,N).
Тогда существует предельная матрица Неванлинны
W∞(λ, µ) = lim
m→∞
Wm(λ, µ) (λ, µ ∈ C \ {0}).
К. Симонов 297
Матрица-функция W∞(·, µ) аналитична в C \ {0} и имеет мини-
мальный экспоненциальный тип в своих особых точках, т. е.
lim
λ→∞
log ‖W∞(λ, µ)‖C2N
|λ| = 0,
lim
λ→0
|λ| log ‖W∞(λ, µ)‖C2N = 0
(µ ∈ C \ {0}).
Доказательство. Отметим, что для произвольной последовательно-
сти квадратных матриц {Xk}m0 верны неравенства
∥∥∥∥
m∏
k=0
(1 +Xk)
∥∥∥∥
Cn
6
m∏
k=0
(1 + ‖Xk‖Cn) 6 exp
( m∑
k=0
‖Xk‖Cn
)
,
∥∥∥∥
m∏
k=0
(1 +Xk)− 1
∥∥∥∥
Cn
6
m∏
k=0
(1 + ‖Xk‖Cn)− 1 6 exp
( m∑
k=0
‖Xk‖Cn
)
− 1.
Зафиксируем λ0 ∈ C\R. Из теоремы 5.2 следует, что сходится ряд
∞∑
k=0
‖Sk(λ0)‖C2N <∞.
Пусть M(λ, λ0) определена равенством (5.11). Тогда
∥∥Wm+j(λ, λ0)−Wm(λ, λ0)
∥∥
C2N
6
(
exp
(
M(λ, λ0)
m+j∑
k=m+1
‖Sk(λ0)‖C2N
)
− 1
)∥∥Wm(λ, λ0)
∥∥
C2N
6
(
exp
(
M(λ, λ0)
∞∑
k=m+1
‖Sk(λ0)‖C2N
)
− 1
)
× exp
(
M(λ, λ0)
∞∑
k=0
‖Sk(λ0)‖C2N
)
.
Следовательно, Wm(λ, λ0) сходится равномерно на компактных мно-
жествах в C\{0}. Поэтому функция W∞(λ, λ0) определена и является
аналитической при λ ∈ C \ {0}.
Далее, при достаточно больших λ,
∥∥W∞(λ, λ0)
∥∥
C2N
6
m∏
k=0
(1 + |λ− λ0| ‖Sk(λ0)‖C2N ) exp
(
|λ− λ0|
∞∑
k=m+1
‖Sk(λ0)‖C2N
)
.
298 Ортогональные матричные полиномы Лорана...
Для любого ǫ > 0 можно выбрать m так, чтобы
∞∑
k=m+1
‖Sk(λ0)‖C2N < ǫ.
Тогда ∥∥W∞(λ, λ0)
∥∥
C2N 6 Cǫ(λ− λ0) exp (ǫ |λ− λ0|) ,
где функция Cǫ(λ) имеет полиномиальный рост при λ → ∞. Значит
W∞(λ, λ0) имеет минимальный экспоненциальный тип при λ → ∞.
Аналогичным образом доказывается, что W∞(λ, λ0) имеет минималь-
ный экспоненциальный тип и при λ→ 0.
Следствие 5.2. Если оператор A имеет индексы дефекта (N,N),
то справедлива формула
W∞(λ, λ0) =
y∞∏
k=0
(I − δk(λ, λ0)Sk(λ0)) (λ, λ0 ∈ C \ {0}).
Литература
[1] Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов и некоторые вопросы ана-
лиза, связанные с нею, ГИФМЛ, Москва, 1961.
[2] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен-
ных операторов, Наукова думка, Киев, 1965.
[3] W. B. Jones, W. J. Thron, H. Waadeland, A strong Stieltjes moment problem //
Trans. Amer. Math. Soc. 261 (1980), 503–528.
[4] W. B. Jones, O. Nj̊astad, W. J. Thron, Continued fractions and strong Hamburger
moment problems // Proc. London Math. Soc. (3) 47 (1983), N 2, 363–384.
[5] W. B. Jones, W. J. Thron, O. Nj̊astad, Orthogonal Laurent polynomials and the
strong Hamburger moment problem // J. Math. Anal. Appl. 98 (1984), N 2,
528–554.
[6] W. B. Jones, O. Nj̊astad, Orthogonal Laurent polynomials and strong moment
problem: a survey // J. of Computational and Applied Math. 105 (1999), 51–91.
[7] I. S. Kats, A. A. Nudelman, Strong Stieltjes moment problem // St. Peterburg
Math. J. 8 (1997), N 6, 931–950.
[8] O. Nj̊astad, Solutions of the strong Hamburger moment problem // J. of Math.
Analysis and Appl. 197 (1996), 227–248.
[9] K. K. Simonov, Strong Hamburger moment problem // Уч. записки Тавриче-
ского нац. ун. 15 (2002), N 1, 36–38.
[10] К. К. Симонов, О функциях класса Картрайт с конечным числом особенно-
стей // Труды ИПММ НАН Украины 8 (2003), 120–127.
К. Симонов 299
Сведения об авторах
Кирилл Симонов Донецкий национальный университет
ул. Университетская 24,
83055, Донецк,
Украина
E-Mail: xi@resolvent.net,
xi@gamma.dn.ua
|