Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге
В статье рассматриваются линейные нормированные пространства функций, определенных в единичном круге, с нормой, удовлетворяющей условию инвариантности относительно поворота аргумента. Для таких пространств при естественных условиях на рассматриваемые функции получены обобщения теоремы Адамара о трех...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124556 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 315-330. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124556 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245562017-09-30T03:03:22Z Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге Двейрин, М.З. В статье рассматриваются линейные нормированные пространства функций, определенных в единичном круге, с нормой, удовлетворяющей условию инвариантности относительно поворота аргумента. Для таких пространств при естественных условиях на рассматриваемые функции получены обобщения теоремы Адамара о трех окружностях, неравенства Бернштейна и некоторые неравенства для наилучших приближений с точными постоянными. 2006 Article Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 315-330. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30E10, 41A17, 41A65, 41A50. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124556 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье рассматриваются линейные нормированные пространства функций, определенных в единичном круге, с нормой, удовлетворяющей условию инвариантности относительно поворота аргумента. Для таких пространств при естественных условиях на рассматриваемые функции получены обобщения теоремы Адамара о трех окружностях, неравенства Бернштейна и некоторые неравенства для наилучших приближений с точными постоянными. |
| format |
Article |
| author |
Двейрин, М.З. |
| spellingShingle |
Двейрин, М.З. Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге Український математичний вісник |
| author_facet |
Двейрин, М.З. |
| author_sort |
Двейрин, М.З. |
| title |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| title_short |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| title_full |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| title_fullStr |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| title_full_unstemmed |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| title_sort |
неравенство адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124556 |
| citation_txt |
Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 315-330. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT dvejrinmz neravenstvoadamarainailučšeepribliženiefunkcijanalitičeskihvediničnomkruge |
| first_indexed |
2025-07-09T01:37:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:37:47Z |
| _version_ |
1837131440795418624 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 3, 315 – 330
Неравенство Адамара и наилучшее
приближение функций, аналитических
в единичном круге
Михаил З. Двейрин
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В статье рассматриваются линейные нормированные
пространства функций, определенных в единичном круге, с нормой,
удовлетворяющей условию инвариантности относительно поворота
аргумента. Для таких пространств при естественных условиях на
рассматриваемые функции получены обобщения теоремы Адамара
о трех окружностях, неравенства Бернштейна и некоторые неравен-
ства для наилучших приближений с точными постоянными.
2000 MSC. 30E10, 41A17, 41A65, 41A50.
Ключевые слова и фразы. Приближение в линейных нормиро-
ванных пространствах, наилучшее приближение в единичном круге,
точные неравенства для наилучшего приближения, теорема Адама-
ра о трех окружностях.
1. Введение
Рассмотрим линейное нормированное пространство X, образован-
ное функциями, определенными в D := {z : |z| < 1} и имеющими
конечную норму ‖ · ‖D. Будем считать, что ‖ · ‖D помимо обычных
свойств нормы удовлетворяет также условию
‖f(zeit)‖D ≡ ‖f(z)‖D (1.1)
для t ∈ R и f ∈ X.
Этому требованию удовлетворяет норма в целом ряде функцио-
нальных пространств, являющихся объектом многочисленных иссле-
дований. Приведем некоторые из них:
Статья поступила в редакцию 11.08.2006
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
316 Неравенство Адамара...
1) пространство B функций, аналитических в круге D и непре-
рывных на его замыкании D с нормой
‖f‖D = max
z∈D
|f(z)| <∞;
2) пространства Харди Hp функций, аналитических в круге D при
p ≥ 1 с нормой
‖f‖D = sup
0<r<1
Mp (f, r), Mp (f, r) :=
(
1
2π
2π∫
0
|f(reit)|p dt
) 1
p
,
p ∈ [1;∞);
‖f‖D = sup
z∈D
|f(z)|, p = ∞;
3) пространства Бергмана H ′
p функций, аналитических в круге D
при p ∈ [1;∞) с нормой
‖f‖D =
(
1
π
∫∫
z∈D
|f(x+ iy)|p dx dy
) 1
p
;
4) пространства Bp, p ∈ (0; 1) функций, аналитических в круге D
с нормой
‖f‖D =
1∫
0
2π∫
0
(1 − r)
1
p
−2|f(reit)|p dt dr,
введенные Ромбергом, Дюреном и Шилдсом [1];
5) пространства Bp, q, λ, 0 < p < q ≤ ∞, min(λ, q) ≥ 1, функций,
аналитических в круге D с нормой
‖f‖D =
{ 1∫
0
(1 − r)λ pq (q−p)−1
Mλ
p (f, r) dr
} 1
λ
, λ <∞,
‖f‖D = sup
0<r<1
{
(1 − r)λ p q (q−p)−1
Mp (f, r)
}
, λ = ∞,
введенные в работе [2];
6) пространства As
p(D) функций, аналитических в D, введенные
Е. М. Дынькиным [3] и являющиеся аналогами классов О. В. Бесова
Bs
p[−1; 1], BMOA [14] и другие.
М. З. Двейрин 317
Обозначим En(f)D ≡ En(f, Ln)D наилучшее приближение фун-
кции f ∈ X элементами линейного подпространства Ln:
En(f)D := inf
p∈Ln
‖f − p‖D.
В качестве аппроксимирующего подпространства Ln мы будем пре-
имущественно рассматривать совокупность Pn алгебраических поли-
номов комплексной переменной степени не выше (n−1) или линейное
пространство Hn, образованное действительными частями полиномов
из Pn.
Нахождение точных значений En(f)D и наилучших аппроксими-
рующих полиномов для индивидуальных функций представляет тру-
дную задачу. В настоящее время известно сравнительно немного при-
меров точного вычисления или точных неравенств для En(f)D (см.,
например, [4–8]). При этом зачастую аналогичные факты устанав-
ливают отдельно для различных пространств аналитических фун-
кций. В настоящей работе предпринята попытка некоторой система-
тизации, состоящая в рассмотрении задач наилучшей аппроксимации
аналитических функций в линейном нормированном пространстве X
с нормой, удовлетворяющей условию (1.1). Это позволило распро-
странить некоторые результаты, уже известные для отдельных из
вышеприведенных функциональных пространств, на широкую сово-
купность пространств, включающую случаи 1)–6). Примененный под-
ход позволил также охватить случай аппроксимации гармонических
в D функций при тех же требованиях к норме, в которой осуществ-
ляется аппроксимация.
Для функции f ∈ X положим fζ(z) := f(zζ) и введем семейство
норм ‖f(·)‖Dr
для r ∈ (0; 1) соотношением
‖f‖Dr
:= ‖fr‖D.
Всюду в статье, специально не оговаривая, будем считать, что ‖f‖D
удовлетворяет условию (1.1).
2. Формулировка результатов
Лемма 2.1. Пусть функция f ∈ X аналитическая или гармониче-
ская в D. Тогда ‖f‖Dr
есть неубывающая функция от r ∈ (0; 1].
Теорема 2.1. Пусть f ∈ X аналитическая или гармоническая в D,
r1, r, r2 — произвольные числа, для которых 0 < r1 < r < r2 ≤ 1.
Тогда
‖f‖Dr
≤ ‖f‖α1
Dr1
‖f‖α2
Dr2
, (2.1)
318 Неравенство Адамара...
где здесь и далее в статье
α1 =
ln r2 − ln r
ln r2 − ln r1
, α2 = 1 − α1 =
ln r − ln r1
ln r2 − ln r1
.
В случае, когда f аналитическая и ‖f‖D = supz∈D |f(z)|, теоре-
ма 2.1 превращается в теорему Адамара о трех окружностях [9]. При
‖f‖D = sup
0<r<1
(
1
2π
2π∫
0
|f(reit)|p dt
) 1
p
, p ≥ 1
получаем ее распространение на пространство Hp, принадлежащее
Г. Харди (историю вопроса и известные результаты можно найти в
[9, 10]). Из теоремы 2.1 следует справедливость теоремы Адамара о
трех окружностях в виде (2.1) в пространствах H ′
p , Bp,q,λ, As
p(D) и
многих других.
Теорема 2.2. Пусть f ∈ X аналитична в D, Pn ⊂ X, r1, r, r2 —
произвольные числа, для которых 0 < r1 < r < r2 ≤ 1. Тогда для
En(f)Dr
≡ En(f, Pn)Dr
справедливо неравенство
En(f)Dr
≤ Eα1
n (f)Dr1
Eα2
n (f)Dr2
. (2.2)
Неравенство (2.2) является точным в том смысле, что оно обра-
щается в равенство для функций f(z) = zn0 c n0 ≥ n.
Утверждение теоремы 2.2 является аналогом неравенства Ада-
мара для наилучших приближений. Впервые неравенство вида (2.2)
получено в работе С. Б. Вакарчука [4], в которой рассмотрен случай
пространств Hp с p ≥ 1.
Теорема 2.2′.Пусть U ∈ X гармоническая в D и Hn ⊂ X, r1, r, r2 —
произвольные числа, для которых 0 < r1 < r < r2 ≤ 1. Тогда для
En(U)Dr
≡ En(U, Hn)Dr
справедливо неравенство
En(U)Dr
≤ Eα1
n (U)Dr1
Eα2
n (U)Dr2
. (2.3)
Неравенство (2.3) обращается в равенство для функций U(z) = ℑzn0
c n0 ≥ n .
Другую оценку роста En(f)Dr
дают следующие две теоремы.
Теорема 2.3. Пусть f ∈ X аналитична в D, Pn ⊂ X, 0 < r < ρ ≤ 1.
Тогда
En(f)Dr
≤
rn
ρn
En(f)Dρ
. (2.4)
М. З. Двейрин 319
Теорема 2.4. Пусть U(z) гармонична в D, Hn ⊂ X, 0 < r < ρ ≤ 1.
Тогда
En(U)Dr
≤
4
π
arctg
rn
ρn
En(U)Dρ
. (2.5)
Заметим, что теорема 2.3 является точной в том смысле, что не-
равенство (2.4) обращается в равенство для функции f(z) = zn при
любом выборе нормы ‖ · ‖D, удовлетворяющей условию (1.1). Теоре-
ма 2.4 в этом смысле не является точной, т.к. в неравенстве En(U)Dr
≤
C(rρ−1)En(U)Dρ
наименьшее возможное значение постоянной (не за-
висящей от n и U) C(rρ−1) зависит от выбора нормы ‖ · ‖D. Действи-
тельно, из теоремы 2.4 следует, что при любом выборе ‖·‖D C(rρ−1) ≤
4
π
arctg(rρ−1)n. В случае, когда ‖U‖D = supz∈D |U(z)|, для функции
U(z) =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k
2k + 1
ℜ z(2k+1)n
неравенство (2.5) обращается в равенство и в этом смысле оно точное.
Пример функции U(z) = ℜzn показывает, что при любом выборе
‖ · ‖D C(rρ−1) ≥ rnρ−n. Нетрудно видеть, что для
‖U(z)‖D = sup
0<r<1
(
1
2π
2π∫
0
|U(reit)|2 dt
) 1
2
C(rρ−1) = rnρ−n.
Таким образом, наименьшее значение C(rρ−1) в теореме 2.4 заклю-
чено в пределах
(rρ−1)n ≤ C(rρ−1) ≤
4
π
arctg(rρ−1)n
и определяется выбором нормы ‖ · ‖D .
Теорема 2.5. Пусть n0, n1, . . . , nk — попарно разные целые неотри-
цательные числа, ϕ0(|z|), ϕ1(|z|), . . . , ϕk(|z|) — радиальные функции,
такие, что ϕi(|z|)z
ni ∈ X, i = 0; k. Тогда
inf
{ci}
‖ϕ0(|z|)z
n0 −
k∑
i=1
ciϕi(|z|)z
ni‖Dr
= ‖ϕ0(|z|)z
n0‖Dr
, r ∈ (0; 1],
где inf взят по множеству всех наборов комплексных чисел.
Замечание 2.1. Если, в частности, в теореме 2.5 взять
ϕi(|z|) ≡ 1, i = 1, k, ‖f(z)‖ = sup
z∈D
|f(z)|,
320 Неравенство Адамара...
получим утверждение теоремы 2 из работы Вейса и Ривлина [11].
Полагая далее f0(|z|) = |z|2l, мы получим точное значение наилучше-
го полиномиального приближения для zmzl при m ≥ l и наилучший
аппроксимирующий полином.
Теорема 2.5′.Пусть n0, n1, . . . , nk — попарно различные целые неот-
рицательные числа, {ϕi(|z|)}
k
i=0, {ψi(|z|)}
k
i=0 функции, определенные
на [0; 1) и такие, что
ϕi(|z|)ℜz
ni ∈ X, ψi(|z|)ℑz
ni ∈ X, i = 0, k.
Тогда
inf
{ai},{bi}
∥∥∥∥ϕ0(|z|)ℜz
n0 + ψ0(|z|)ℑz
n0
−
k∑
i=1
(aiϕi(|z|)ℜz
ni + biψi(|z|)ℑz
ni)
∥∥∥∥
Dr
= ‖ϕ0(|z|) ℜz
n0 + ψ0(|z|)ℑ zn0‖Dr
.
Утверждения типа теорем 2.5 и 2.5′ обобщают известные факты
[12, гл. 5] о том, что функции zn и cosnx не аппроксимируются поли-
номами в равномерной норме. Они часто бывают полезны, и на них,
в частности, основывается оценка снизу тригонометрических попе-
речников компактных классов функций, аналитических в единичном
круге (см., например, [6, 13]).
Следующие теоремы помогают находить наилучшие аппроксими-
рующие полиномы в специальных случаях.
Теорема 2.6. Пусть f ∈ X аналитична в D, Pn ⊂ X и f(ze
2π
n
i) ≡
f(z). Тогда En(f, Pn)Dr
= infc∈C ‖f(z) − c‖Dr
.
Теорема 2.6′.Пусть U ∈ X гармоническая в D, Hn⊂X и U(ze
2π
n
i)≡
U(z). Тогда En(U, Hn)Dr
= infc∈C ‖U(z) − c‖Dr
.
Теорема 2.7. Пусть f ∈ X аналитична в D, Pn ⊂ X и f предста-
вима в D степенным рядом
f(z) = a0 +
∞∑
j=1
ajz
mj , (aj 6= 0, mj ∈ N), (2.6)
где Sn−1(f, z) — частная сумма ряда порядка (n−1). Если mj+1
... mj ,
j ≥ 1, то при r ∈ (0; 1]
En(f)Dr
= inf
c∈C
‖f(z) − Sn−1(f, z) − c‖Dr
.
М. З. Двейрин 321
Теорема 2.7′.Пусть U ∈ X гармоническая в D, Hn ⊂ X и U пред-
ставима в D рядом вида
U(z) = ℜ
(
a0 +
∞∑
j=1
ajz
mj
)
, (aj 6= 0, mj ∈ N)
Sn−1(U, z) — его частная сумма порядка (n − 1). Если mj+1
... mj ,
j ≥ 1, то при r ∈ (0; 1]
En(U)Dr
= inf
c∈R
‖U(z) − Sn−1(U, z) − c‖Dr
.
В частном случае пространств с равномерной нормой условия те-
орем 2.7 и 2.7′ можно существенно ослабить (см. [11]). В пространстве
периодических функций с интегральной нормой утверждение, анало-
гичное теореме 2.7′, получено ранее (см. [19]; там же имеются ссылки
на предшествующие работы).
К вопросу о точных неравенствах для наилучших приближений
тесно примыкает неравенство Бернштейна, находящее широкие при-
менения в теории аппроксимации и в теории функций в целом. Мы
приведем его обобщение на пространства аналитических в D функций
с нормами ‖ · ‖D, удовлетворяющими (1.1).
Теорема 2.8. Пусть Pn(z) — алгебраический полином степени не
выше n. Тогда
‖zP ′
n(z)‖Dr
≤ n‖Pn(z)‖Dr
.
Неравенство, приведенное в теореме 2.8, отличается от классиче-
ского неравенства Бернштейна множителем z в левой части. Пример
f(z) = z, ‖f(z)‖ := max|z|≤ 1
2
|f(z)| показывает, что без этого мно-
жителя неравенство, вообще говоря, неверно. В то же время в клас-
сических пространствах B или Hp этот множитель несущественен и
утверждение теоремы 2.8 равносильно обычному неравенству Берн-
штейна.
3. Доказательства
Утверждение леммы 2.1 является следствием общего факта, спра-
ведливого для операторов, перестановочных с оператором поворота
(см. [18, теорема 1.8.1]). Для полноты изложения приведем элемен-
тарное доказательство леммы. Из представления
f(rz) =
1
2πi
∫
|ζ|= r
ρ
f
(rz
ζ
)(
1 + 2ℜ
∞∑
k=1
ζk
)
dζ
ζ
,
322 Неравенство Адамара...
справедливого при |z| < 1, 0 ≤ r ≤ ρ < 1 и проверяемого почленным
интегрированием, имеем ‖f‖Dr
≤ ‖f‖Dρ
для любых 0 ≤ r ≤ ρ < 1
ввиду неотрицательности ядра Пуассона
1
2
+ ℜ
∞∑
k=1
ζk
в D и свойства (1.1) нормы. Для гармонических функций доказатель-
ство аналогичное.
Доказательство теоремы 2.2. Заметим вначале, что при |ζ| = r
En(f)Dr
= En(fζ)D = En(fr)D.
Как следует из соображений двойственности ( [19, гл. 4 лемма 1.1],
см. также [15])
En(f)D = sup
Λ
|〈Λ, f〉|,
где точная верхняя грань здесь и далее в доказательстве теоремы бе-
рется по всем линейным функционалам Λ из единичного шара сопря-
женного пространства, равным нулю на полиномах степени не выше
(n− 1).
Положим g(ζ) := 〈Λ, fζ〉; нетрудно видеть, что g(ζ) аналитична в
D. Далее, при |ζ| = r и r2 < 1
En(f)Dr
= sup
|ζ|=r
En(fζ)D = sup
|ζ|=r
sup
Λ
|〈Λ, fζ〉| = sup
Λ
sup
|ζ|=r
|g(ζ)|
≤ sup
Λ
(
sup
|ζ|=r1
|g(ζ)|
)α1
(
sup
|ζ|=r2
|g(ζ)|
)α2
≤ sup
Λ
(
sup
|ζ|=r1
|g(ζ)|
)α1
sup
Λ
(
sup
|ζ|=r2
|g(ζ)|
)α2
= sup
|ζ|=r1
(
sup
Λ
|g(ζ)|
)α1
sup
|ζ|=r2
(
sup
Λ
|g(ζ)|
)α2
= Eα1
n (f)Dr1
Eα2
n (f)Dr2
.
Оценка для sup|ζ|=r |g(ζ)|, примененная здесь, следует из неравенства
Адамара. Случай r2 = 1 получаем предельным переходом с исполь-
зованием леммы 2.1.
Покажем, что для функций f(z) = zn0 c n0 ≥ n неравенство (2.2)
превращается в равенство. Действительно, как показано в лемме 3
(см. [6]), при ρ ≤ 1 En(zn0)Dρ
= ‖zn0‖Dρ
. Так как при ρ ∈ (0; 1]
‖zn0‖Dρ
= ρn0‖zn0‖D,
М. З. Двейрин 323
то
Eα1
n (zn0)Dr1
Eα2
n (zn0)Dr2
= rα1n0
1 rα2n0
2 ‖zn0‖α1+α2
D
= en0(α1 ln r1+α2 ln r2)‖zn0‖D = en0 ln r ‖zn0‖D = En(zn0)Dr
.
Неравенство (2.3) в теореме 2.2′ и его точность доказываются ана-
логично с использованием следующей леммы.
Лемма 3.1. Для функции U∗(z) = ℑ zn0 при n ≤ n0
En(U∗, Hn)Dr
= ‖U∗‖Dr
.
Доказательство. Ввиду конечномерности задачи полином наилуч-
шего приближения порядка не выше (n − 1) в круге Dr очевидно
существует. Обозначим его
Tn−1(z) = ℜ
( n−1∑
k=0
ckz
k
)
.
Тогда
En(U∗)Dr
≤
∥∥∥∥
1
n0
n0−1∑
m=0
[
U∗
(
ze
2πm
n0
i)
− Tn−1
(
ze
2πm
n0
i)]
∥∥∥∥
Dr
≤ En(U∗)Dr
.
Это показывает, что полином
T̃n−1(z) =
1
n0
n0−1∑
m=0
Tn−1
(
ze
2πm
n0
i)
также является полиномом наилучшего приближения в Dr. Убедим-
ся, что T̃n−1(z) тождественная постоянная.
T̃n−1(z) =
1
n0
n0−1∑
m=0
ℜ
( n−1∑
k=0
ck
(
ze
2πm
n0
i)k
)
=
1
n0
ℜ
( n−1∑
k=0
ckz
k
n0−1∑
m=0
(
e
2πm
n0
i)k
)
= ℜc0 ≡ Const
ввиду того, что
p∑
m=0
(
e
2πm
p
i)k =
{
0, k не кратно p,
p, k кратно p.
Из нечетности по x функции U∗(z) = ρn sinx следует, что T̃n−1(z) ≡
ℜc0 ≡ 0 .
324 Неравенство Адамара...
Теорема 2.1 получается из теорем 2.2 и 2.2′ при n = 0.
Замечание 3.1. Справедливо также обобщение другого варианта те-
оремы Адамара — известной теоремы о трех прямых (см., например,
[10]). Действительно, пустьX линейное нормированное пространство,
образованное функциями, определенными в верхней полуплоскости
H := {z : ℑz > 0} и имеющими конечную норму ‖ · ‖H. Будем счи-
тать, что ‖ ·‖H помимо обычных свойств нормы удовлетворяет также
условию
‖f(z + x)‖H ≡ ‖f(z)‖H (3.1)
для x ∈ R и f ∈ X. Для f ∈ X положим fζ(z) := f(z + ζ) и введем
семейство норм ‖f(·)‖Hy для y > 0 соотношением
‖f‖Hy := ‖fy‖H.
Считая n = 0 и повторяя доказательство теоремы 2.2, получим
следующее утверждение.
Теорема 3.1. Пусть f ∈ X аналитическая или гармоническая в H,
y1, y, y2 — произвольные числа, для которых 0 ≤ y1 < y < y2. Тогда
‖f‖Hy ≤ ‖f‖α1
Hy1
‖f‖α2
Hy2
, (3.2)
где
α1 =
y2 − y
y2 − y1
, α2 = 1 − α1 =
y − y1
y2 − y1
.
Справедлив также аналог леммы 2.1, а именно ‖f‖Hy является
невозрастающей функцией от y при y ≥ 0.
Теорема 2.3 является частным случаем теоремы 2 из [6].
Доказательство теоремы 2.4. Пусть U(z) — гармоническая в D и
T ∗
n−1(z) — полином наилучшего приближения для U(z) в круге Dρ при
некотором ρ, ρ ∈ (0; 1). Выберем произвольно r ∈ (0; ρ). Справедливо
представление, проверяемое почленным интегрированием
U(rz) − Tn−1(rz)
=
1
2πi
∫
|ζ|= r
ρ
[
U
(rz
ζ
)
− T ∗
n−1
(rz
ζ
)]
(ζn + ζ n)
×
[
1
2(1 + |ζ|2n)
+
∞∑
k=1
1
1 + |ζ|2n
(ζk + ζ k)
]
dζ
ζ
,
М. З. Двейрин 325
где Tn−1 — некоторый гармонический полином порядка не выше (n−
1). Отсюда получаем
En(U)Dr
≤ En(U)Dρ
1
π
2π∫
0
|ϕ(
r
ρ
, x) cosnx| dx, (3.3)
где
ϕ(t, x) =
tn
2(1 + t2n)
+
∞∑
k=1
tk+n
1 + t2n
cos kx.
Поскольку последовательность коэффициентов Фурье ϕ(t, ·) убы-
вает к нулю и выпукла, то согласно [17, c. 294] ϕ(t, x) ≥ 0. Поэтому
1
π
2π∫
0
|ϕ(t, x) cosnx| dx =
1
π
2π∫
0
sign cosnx ϕ(t, x) cosnx dx.
Подставляя сюда разложение sign cosnx в ряд Фурье
sign cosnx ∼
4
π
∞∑
k=0
(−1)k cos(2k + 1)nx
2k + 1
и вычисляя интеграл, получим
1
π
2π∫
0
|ϕ(t, x) cosnx| dx =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k t
(2k+1)n
2k + 1
=
4
π
arctg tn. (3.4)
Из (3.3) и (3.4) получаем утверждение теоремы.
Доказательство теоремы 2.5. Не ограничивая общности, мы можем
считать, что ‖ϕi(|z|)z
ni‖Dr
6= 0, i = 0, k. Рассмотрим в (k+1) - мeрном
пространстве линейных комбинаций
P (z) =
k∑
i=0
ciϕi(|z|)z
ni
с нормой ‖ · ‖Dr
линейный оператор
U(P ) =
1
2π
2π∫
0
P (zeit)e−in0t dt.
Очевидно, что
U : X → X; U(ϕi(|z|)z
ni) = 0, i = 1, k;
326 Неравенство Адамара...
U(ϕ0(|z|)z
n0) = ϕ0(|z|)z
n0 ; ‖U‖ = 1 .
Согласно теореме Хана–Банаха, существует линейный функционал
I ∈ X∗ со свойствами
I(ϕ0(|z|)z
n0) = ‖ϕ0(|z|)z
n0‖Dr
, ‖I‖ = 1.
Согласно теореме В. Н. Никольского [16], для справедливости леммы
достаточно установить существование линейного функционала Ĩ(f),
определенного на X и такого, что
‖Ĩ‖ = 1; I(ϕi(|z|)z
ni) = 0, i = 1, k;
|Ĩ(ϕ0(|z|)z
n0)| = ‖ϕ0(|z|)z
n0‖Dr
.
(3.5)
Поскольку функционал I ◦U определен на X и удовлетворяет требо-
ваниям 3.5, то теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.5′ идентично предыдущему, нужно то-
лько соответствующим образом изменить оператор U .
Доказательство теоремы 2.6. Пусть
Pn−1(z) =
n−1∑
k=0
ckz
k
полином наилучшего приближения для f(z). Рассуждая как при до-
казательстве леммы 2.2, получим, что полином
P̃n−1(z) =
1
n0
n0−1∑
m=0
Pn−1
(
ze
2πm
n0
i)
≡ c0
также является полиномом наилучшей аппроксимации для f(z), что
и доказывает теорему.
Теорема 2.6′ доказывается аналогично.
Доказательство теоремы 2.7. Положим m0 = 0 и выберем p ∈ N
так, чтобы mp ≤ n− 1 < mp+1. Тогда
gn(z) := f(z) − Sn−1(f, z) =
∞∑
j=p+1
ajz
mj .
Для доказательства теоремы достаточно показать, что полином наи-
лучшего приближения функции gn в Dr есть постоянная. А это сле-
дует из того, что gn(eikαz) ≡ gn(z) при α = 2π
mp+1
и k = 0,mp+1 − 1, а
также теоремы 2.6.
М. З. Двейрин 327
Замечание 3.2. Если все числа
mj
mp+1
, j > p + 1 нечетны, то inf,
очевидно, достигается при c = 0.
Теорема 2.7′ доказывается аналогично.
Для доказательства теоремы 2.8 предварительно докажем вспо-
могательные утверждения.
Лемма 3.2. Пусть {bk}
n
k=0 последовательность комплексных чисел,
In(z) = |bn| +
n−1∑
k=0
(
bke
i(β+kα)zn−k + bke
−i(β+kα)zk−n
)
,
где α, β ∈ R, zl = e
πl
n
i, l = 0, 2n− 1. Тогда для любого полинома
Pn(z) =
n∑
k=0
akz
k
справедливо тождество
1
2n
2n−1∑
l=0
In(zl)z
−n
l Pn(zzl) = an|bn|z
n +
n−1∑
k=0
akbke
i(β+kα)zk. (3.6)
Доказательство.
1
2n
2n−1∑
l=0
In(zl)z
−n
l
n∑
m=0
amz
mzm
l =
n∑
m=0
amz
m 1
2n
2n−1∑
l=0
In(zl)z
m−n
l
=
n∑
m=0
amz
m 1
2n
2n−1∑
l=0
(
|bn|z
m−n
l +
n−1∑
k=0
bke
i(β+kα)zm−k
l
+
n−1∑
k=0
bke
−i(β+kα)zk+m−2n
l
)
= an|bn|z
n +
n−1∑
k=0
akbke
i(β+kα)zk,
поскольку
2n−1∑
l=0
zk
l =
{
0, l не кратно 2n,
2n, l кратно 2n.
Лемма 3.3. Если в условиях леммы 3.2 β = − arg bn и существует
α такое, что In(zl) ≥ 0, l = 0, 2n− 1, то
∥∥∥∥
n∑
k=0
akbkz
k
∥∥∥∥
Dr
≤ |bn|
∥∥∥∥
n∑
k=0
akz
k
∥∥∥∥
Dr
.
Неравенство обращается в равенство для f(z) = zn.
328 Неравенство Адамара...
Доказательство. Предварительно заметим, что ввиду свойства (1.1)
нормы
∥∥∥∥
n∑
k=0
akbkz
k
∥∥
Dr
=
∥∥∥∥
n∑
k=0
akbke
i(β+kα)zk
∥∥∥∥
Dr
=
∥∥∥∥ an|bn|z
n +
n−1∑
k=0
akbke
i(β+kα)zk
∥∥∥∥
Dr
.
С учетом этого, из представления (3.6) получаем
∥∥∥∥
n∑
k=0
akbkz
k
∥∥∥∥
Dr
≤ ‖Pn(z)‖Dr
1
2n
2n−1∑
l=0
|In(zl)z
−n
l |
= ‖Pn(z)‖Dr
1
2n
2n−1∑
l=0
|In(zl)| = |bn| ‖Pn(z)‖Dr
.
Доказательство теоремы 2.8. Положим в лемме 3.3 bk = k, k =
0, n, α = β = 0. Покажем, что в этом случае условие In(zl) ≥ 0, l =
0, 2n− 1 выполнено.
In(eix) = n+ 2
n−1∑
k=0
k cos(n− k)x = n+ 2
n−1∑
m=1
(n−m) cosmx
= 2n
(
1
2
+
n−1∑
m=1
(1 −
m
n
) cosmx
)
≥ 0,
поскольку выражение в скобках представляет собой ядро Фейера.
Применяя лемму 3.3, получим требуемое утверждение.
Лемма 3.3 представляет собой обобщение неравенства Бернштей-
на в двух направлениях — на более широкий круг норм в пространс-
тве полиномов и на некоторый класс операторов, подобных опера-
тору дифференцирования. В подобной постановке обобщение нера-
венства Бернштейна для тригонометрических полиномов получено
в [18, § 3.3].
Отметим простое достаточное условие, обеспечивающее неотри-
цательность In(zl). В распространенной ситуации, когда все bk ве-
щественны и неотрицательны, In(eix) принимает вид In(eix) = bn +
М. З. Двейрин 329
2
∑n
k=1 bn−k cos kx. Условие монотонного убывания и выпуклости по-
следовательности
ak := bn−k, k = 0, n, an+1 = 0
обеспечивает неотрицательность In(eix) при x ∈ [0; 2π].
В заключение считаю своим приятным долгом выразить призна-
тельность М. М. Маламуду и участникам его семинара за полезные
обсуждения.
Литература
[1] P. L. Duren, B. W. Romberg, A. L. Shields, Linear functionals in Hp spaces with
0 < p < 1 // J. reine und angew. Math., 238 (1969), 4–60.
[2] М. И. Гварадзе, Об одном классе пространств аналитических функций //
Мат. заметки, 21 (1977), N 2, 141–150.
[3] Е. М. Дынькин, Конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева
и О. В. Бесова // Труды мат. ин-та АН СССР, 155 (1981), 41–76.
[4] С. Б. Вакарчук, Связь теоремы Адамара о трех кругах с некоторыми во-
просами полиномиальной аппроксимации аналитических функций // Укр.
мат. журнал, 53 (2001), N 2, 250–254.
[5] Л. В. Тайков, Поперечники некоторых классов аналитических функций //
Мат. заметки, 22 (1977), N 2, 285–295.
[6] М. З. Двейрин, И. В. Чебаненко, О полиномиальной аппроксимации в ба-
наховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и
приближение функций. Киев, Наукова думка, 1983, с. 63–73.
[7] С. Б. Вакарчук, О поперечниках некоторых классов аналитических в еди-
ничном круге функций. I // Укр. мат. журнал, 42 (1990), N 7, 873–881.
[8] С. Б. Вакарчук, О наилучшем полиномиальном приближении в некоторых
банаховых пространствах аналитических в единичном круге функций //
Мат. заметки, 55 (1994), N 4, 6–14.
[9] У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, т. 1, Москва: Мир, 1980,
304 с.
[10] E. Landau, D. Gajer, Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der
Functionentheorie. Berlin Heidelberg New-York: Springer, 1986, p. 201.
[11] T. J. Rivlin, B. Weiss, Some best polynomial approximations in the plane // Duke
Math. J., 35 (1968), N 3, 475–482.
[12] В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев, Конструктивная теория функций компле-
ксного переменного. Москва: Наука, 1964, 440 с.
[13] С. Б. Вакарчук, О некоторых экстремальных задачах теории приближений
в комплексной плоскости // Укр. мат. журнал, 56 (2004), N 9, 1155–1171.
[14] С. В. Шведенко, Классы Харди и связанные с ними пространства аналити-
ческих функций в единичном круге и шаре // Итоги науки и техники. Сер.
мат. анализ, 23, Москва, ВИНИТИ, (1985), 3–124.
[15] Г. Ц. Тумаркин, С. Я. Хавинсон, Качественные свойства экстремальных
задач некоторых типов // Исследования по современным проблемам теории
функций комплексного переменного. Москва: Физматгиз, 1960, с. 77–95.
330 Неравенство Адамара...
[16] В. Н. Никольский, Распространение теоремы А. Н. Колмогорова на банаховы
пространства // Исследования по современным проблемам конструктивной
теории функций. Москва: Физматгиз, 1961, с. 335–337.
[17] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1. Москва: Мир, 1965, 616 с.
[18] Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства
полиномов и сплайнов. Киев: Наук. думка, 1992, 304 с.
[19] Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции. Москва: Мир, 1984,
469 с.
[20] А. И. Рубинштейн, О наилучше сходящихся в Lp[0; 2π] рядах // Мат. заметки,
52 (1992), N 6, 100–108.
Сведения об авторах
Михаил Захарович
Двейрин
Донецкий национальный университет,
ул. Университетская, 24,
83055, Донецк
Украина
E-Mail: Dvejrin@tcc-online.com,
strannik35@telenet.dn.ua
|