Построение множества инерционных управлений
Рассмотрена задача допустимого синтеза управления для автономной системы с r-мерным управлением с ограничениями на управление и его производные до заданного порядка l. Исследования проводятся на основе метода функции управляемости. Вначале задача решена для линейной системы, затем, для нелинейной си...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124557 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Построение множества инерционных управлений / В.И. Коробов, В.А. Скорик // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 331-351. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124557 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245572017-09-30T03:03:23Z Построение множества инерционных управлений Коробов, В.И. Скорик, В.А. Рассмотрена задача допустимого синтеза управления для автономной системы с r-мерным управлением с ограничениями на управление и его производные до заданного порядка l. Исследования проводятся на основе метода функции управляемости. Вначале задача решена для линейной системы, затем, для нелинейной системы по ее первому приближению в случае l = 1. Показано, что любой набор из r функций, каждая из которых является неотрицательной монотонно невозрастающей на неотрицательной полуоси функцией и удовлетворяющей некоторому условию, порождает множество функций управляемости и соответствующее множество управлений, которые решают рассматриваемую задачу. Результаты проиллюстрированы примером. 2006 Article Построение множества инерционных управлений / В.И. Коробов, В.А. Скорик // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 331-351. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 93B50. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124557 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача допустимого синтеза управления для автономной системы с r-мерным управлением с ограничениями на управление и его производные до заданного порядка l. Исследования проводятся на основе метода функции управляемости. Вначале задача решена для линейной системы, затем, для нелинейной системы по ее первому приближению в случае l = 1. Показано, что любой набор из r функций, каждая из которых является неотрицательной монотонно невозрастающей на неотрицательной полуоси функцией и удовлетворяющей некоторому условию, порождает множество функций управляемости и соответствующее множество управлений, которые решают рассматриваемую задачу. Результаты проиллюстрированы примером. |
| format |
Article |
| author |
Коробов, В.И. Скорик, В.А. |
| spellingShingle |
Коробов, В.И. Скорик, В.А. Построение множества инерционных управлений Український математичний вісник |
| author_facet |
Коробов, В.И. Скорик, В.А. |
| author_sort |
Коробов, В.И. |
| title |
Построение множества инерционных управлений |
| title_short |
Построение множества инерционных управлений |
| title_full |
Построение множества инерционных управлений |
| title_fullStr |
Построение множества инерционных управлений |
| title_full_unstemmed |
Построение множества инерционных управлений |
| title_sort |
построение множества инерционных управлений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124557 |
| citation_txt |
Построение множества инерционных управлений / В.И. Коробов, В.А. Скорик // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 331-351. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT korobovvi postroeniemnožestvainercionnyhupravlenij AT skorikva postroeniemnožestvainercionnyhupravlenij |
| first_indexed |
2025-07-09T01:37:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:37:52Z |
| _version_ |
1837131448760401920 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 3, 331 – 351
Построение множества инерционных
управлений
Валерий И. Коробов, Василий А. Скорик
(Представлена И. А. Луковский)
Аннотация. Рассмотрена задача допустимого синтеза управления
для автономной системы с r-мерным управлением с ограничения-
ми на управление и его производные до заданного порядка l. Ис-
следования проводятся на основе метода функции управляемости.
Вначале задача решена для линейной системы, затем, для нелиней-
ной системы по ее первому приближению в случае l = 1. Показано,
что любой набор из r функций, каждая из которых является неот-
рицательной монотонно невозрастающей на неотрицательной полу-
оси функцией и удовлетворяющей некоторому условию, порождает
множество функций управляемости и соответствующее множество
управлений, которые решают рассматриваемую задачу. Результаты
проиллюстрированы примером.
2000 MSC. 93B50.
Ключевые слова и фразы. Задача допустимого синтеза, инерци-
онные управления, метод функции управляемости.
1. Введение
Рассмотрим задачу синтеза ограниченных инерционных управле-
ний для системы дифференциальных уравнений
ẋ = ϕ(x, u), x ∈ R
n, u ∈ R
r, (1.1)
с ограничениями на управление и его производные в силу замкнутой
системы до заданного порядка l ≥ 1, состоящую в построении управ-
ления u = u(x), которое переводит произвольную начальную точку
x0 = x(0) из некоторой окрестности Q начала координат в начало
координат по траектории x(t) ∈ Q системы
ẋ = ϕ(x, u(x)), (1.2)
Статья поступила в редакцию 7.08.2006
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
332 Построение множества инерционных управлений
за конечное время T (x0) и удовлетворяет заданным ограничениям
‖u(k)(x)‖ ≤ dk, k = 0, 1, . . . , l, x ∈ Q, (1.3)
где d0, . . . , dl — заданные числа, u(k)(x) — производная k-го порядка
в силу системы (1.2).
В статье вначале решена задача синтеза инерционных управле-
ний для линейной полностью управляемой системы с ограничениями
на управление вида (1.3), а затем для нелинейной системы путем
использования ее первого приближения с ограничениями на управ-
ление и его первую производную. Показано, что любой набор фун-
кций f1, . . . , fr, где fi(s) — произвольная неотрицательная монотонно
невозрастающая на неотрицательной полуоси функция, удовлетво-
ряющая условию 0 <
∫ ∞
0 s2ni−2fi(s) ds < ∞, порождает множество
функций управляемости {Θf,α(x)}α≥1 и соответствующее множество
управлений {uα
f (x)}α≥1, которые решают рассматриваемую задачу
при α ≥ α0. Результаты проиллюстрированы примером.
Данная работа является развитием результатов работ [1–3]. Оно,
прежде всего, заключается в рассмотрении не одной функции, а не-
скольких функций. Это позволяет расширить класс управлений, ре-
шающих задачу синтеза инерционных управлений.
2. Решение задачи синтеза инерционных
управлений для линейной системы
Рассмотрим линейную систему
ẋ = Ax + Bu, x ∈ R
n, u ∈ R
r. (2.1)
Не ограничивая общности, будем считать, что rang B = r. Предполо-
жим, что ранг матрицы (B AB . . . An−1B) равен n и реализуется на
векторах
b1, . . . , An1−1b1, b2, . . . , An2−1b2, . . . , br, . . . , Anr−1br, (2.2)
где bi – i-й столбец матрицы B, n1 ≥ · · · ≥ nr ≥ 1, n1 + · · · + nr = n.
Пусть f1(s), . . . , fr(s) — произвольные неотрицательные монотон-
но невозрастающие на полуоси [0, +∞) функции, удовлетворяющие
условиям
0 <
∞∫
0
s2ni−2fi(s) ds < ∞, i = 1, . . . , r. (2.3)
Для фиксированного набора таких функций f1(s), . . . , fr(s) обо-
значим через f(s) диагональную (n×n)-матрицу вида f(s) =
В. И. Коробов, В. А. Скорик 333
diag
(
fi(s)Ei
)r
i=1
, где Ei — единичная (ni×ni)-матрица, и рассмотрим
семейство
{
F−1
f,α(Θ)
}
α≥1
положительно определенных матриц вида
F−1
f,α(Θ) =
∞∫
0
f
(
t/Θ
1
α
)
e−A0tB0B
∗
0e−A∗
0t dt, (2.4)
где A0 = diag (A01, . . . , A0r) — (n×n)-матрица, в которой A0i —
(ni×ni)-матрица с равными единице элементами первой наддиагона-
ли и равными нулю остальными элементами, B0 = (es1 , . . . , esr) —
(n×r)-матрица, в которой esi — si-й орт пространства R
n, si =
n1 + · · · + ni, i = 1, . . . , r. Здесь и далее символ * означает транспо-
нирование. Обозначим матрицы Dα(Θ) = diag(Dα,1(Θ), . . . , Dα,r(Θ)),
Hα = diag(Hα
1 , . . . , Hα
r ), где
Dα,i(Θ)=diag
(
Θ−
2ni−2k+1
2α
)ni
k=1
, Hα
i =diag
(
−2ni−2k+1
2α
)ni
k=1
,
i = 1, . . . , r.
Поскольку
Θ
1
α e−A0Θ
1
α sB0B
∗
0e−A∗
0Θ
1
α s = D−1
α (Θ)e−A0sB0B
∗
0e−A∗
0sD−1
α (Θ),
то из (2.4) получаем равенство F−1
f,α(Θ) = D−1
α (Θ)F−1
f D−1
α (Θ), где
матрица F−1
f =
∫ ∞
0 f(s)e−A0sB0B
∗
0e−A∗
0sds. Следовательно, матрица
Ff,α(Θ) представима в виде
Ff,α(Θ) = Dα(Θ)FfDα(Θ). (2.5)
Выберем векторы c1, . . . , cr из решения систем
K∗ci = esi , i = 1, . . . , r, (2.6)
где матрица K имеет вид
K = (b1 . . . An1−1b1 b2 . . . An2−1b2 . . . br . . . Anr−1br),
и образуем невырожденную матрицу
L =
(
c1 A∗c1 . . . A∗n1−1c1 . . . cr A∗cr . . . A∗nr−1cr
)∗
. (2.7)
Пусть a0 — пока произвольное положительное число, которое бу-
дет определено далее. Для фиксированного α ≥ 1 рассмотрим фун-
кцию
Φf,α(Θ, x) = 2a0Θ − (L∗Ff,α(Θ)Lx, x). (2.8)
334 Построение множества инерционных управлений
Выберем число Θ > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство
Φf,α(Θ, x) > 0, (2.9)
и положим Rα = δ
√
2a0Θ/‖Ff,α(Θ)‖ /‖L‖, δ ∈ (0, 1). Тогда нера-
венство (2.9) будет выполнено в области Q1
α = {x : ‖x‖ ≤ Rα}.
Определим функцию управляемости Θα(x) из уравнения
Φf,α(Θ, x) = 0, x ∈ Q1
α \ {0}. (2.10)
Утверждение 2.1. Для каждого α ≥ 1 уравнение (2.10) и равенство
Θα(0) = 0 определяют неотрицательную функцию Θ = Θα(x), не-
прерывную в области Q1
α и непрерывно дифференцируемую в Q1
α\{0}.
Доказательство. Действительно, из соотношения (2.8) в силу нера-
венства
(L∗Ff,α(Θ)Lx, x) ≥ ‖x‖2/(‖L‖2‖F−1
f,α(Θ)‖), x ∈ Q1
α \ {0}, (2.11)
и представления (2.5) имеем
lim
Θ→+0
Φf,α(Θ, x) = −∞, x ∈ Q1
α \ {0}. (2.12)
Поскольку в силу (2.5) ∂
∂ΘFf,α(Θ) является отрицательно определен-
ной матрицей, то из (2.8) вытекает, что ∂Φf,α(Θ, x)/∂Θ ≥ 2a0 > 0,
и, следовательно, Φf,α(Θ, x) является возрастающей по Θ функци-
ей для всех x ∈ Q1
α \ {0}. Отсюда в силу соотношений (2.9), (2.12)
получаем, что уравнение (2.10) имеет единственное положительное
решение Θ = Θα(x), x ∈ Q1
α \ {0}. Поскольку Φf,α(Θ, x) непрерывно
дифференцируемая функция по Θ и по x, причем ∂Φf,α(Θ, x)/∂Θ 6= 0
при x ∈ Q1
α \ {0}, то по теореме о неявной функции Θα(x) является
непрерывной и непрерывно дифференцируемой в области Q1
α \ {0}
функцией.
Из соотношения (2.10) в силу представления (2.5) для Θα(x)≤1
получаем неравенство 2a0Θα(x) ≤ ‖L‖2‖Ff‖Θ
−
2n1−1
α
α (x). Отсюда в си-
лу равенства Θα(0) = 0 следует непрерывность функции Θα(x) в
нуле.
Утверждение 2.2. Для каждого α ≥ 1 существует постоянная
cα > 0 такая, что область Qα = {x : Θα(x) ≤ cα} является ограни-
ченной и Qα ⊂ intQ1
α.
В. И. Коробов, В. А. Скорик 335
Доказательство. Поскольку (L∗Ff,α(Θ)Lx, x) является невозраста-
ющей по Θ функцией, то из (2.10) в силу неравенства (2.11) имеем
Θα(x) ≥ ‖x‖2
2a0‖F−1
f,α(Θ)‖‖L−1‖2
, x ∈ Q1
α.
Отсюда, учитывая выражение для числа Rα, получаем, что для
0 < cα ≤ σδ2Θ
‖L−1‖2‖L‖2‖Ff,α(Θ)‖‖F−1
f,α(Θ)‖
, σ ∈ (0, 1), (2.13)
множество Qα является ограниченным и Qα ⊂ intQ1
α.
Зададим управление uα
f (x) в области Q1
α \ {0} формулой
uα
f (x) = −M−1B∗
0
(1
2
f(0)Ff,α(Θα(x))L + LA
)
x, (2.14)
где M — верхнетреугольная (r×r)-матрица, элементы главной диа-
гонали которой равны единице, а mij = c∗i A
ni−1bj для j = i+1, . . . , r,
i = 1, . . . , r. Ограниченность этого управления и его производных бу-
дет показана далее.
Утверждение 2.3. Производная функции Θα(x) (α ≥ 1) в силу си-
стемы (2.1) с управлением uα
f (x) вида (2.14) удовлетворяет неравен-
ству
Θ̇α(x) ≤ −λα
minΘ
1− 1
α
α (x), λα
min > 0. (2.15)
Доказательство. Обозначим y = Dα(Θα(x))Lx, P0 = −1
2B∗
0f(0)Ff .
На основании (2.5) равенство (2.10) и управление (2.14) принимают
вид
2a0Θα(x) − (Ff y, y) = 0, (2.16)
uα
f (x) = M−1
(
Θ
− 1
2α
α (x)P0y − B∗
0LAx
)
. (2.17)
Вычислим производную y в силу системы (2.1) с uα
f (x) вида (2.17).
В силу выбора векторов c1, . . . , cr и равенства (E − B0)LAL−1 = A0
имеем
Lẋ = A0Lx + Θ
− 1
2α
α (x)B0P0y. (2.18)
Тогда на основании равенств (2.18),
Dα(Θ)A0D
−1
α (Θ) + Dα(Θ)B0P0Θ
− 1
2α = A1Θ
− 1
α , (2.19)
где A1 = (A0 + B0P0), получаем
ẏ =
(
Θ̇α(x)Θ−1
α (x)Hα + A1Θ
− 1
α
α (x)
)
y. (2.20)
336 Построение множества инерционных управлений
Из равенства (2.16) с использованием равенства (2.20) имеем
Θ̇α(x) = −(Wfy, y)
(Fα
f y, y)
Θ
1− 1
α
α (x), (2.21)
где Wf = −(FfA1 + A∗
1Ff ), Fα
f = Ff − HαFf − FfHα — положи-
тельно определенная матрица. Покажем, что Wf является положи-
тельно определенной матрицей. Поскольку в силу выбора функций
f1(s), . . . , fr(s) имеем
A0F
−1
f + F−1
f A∗
0 = −
∞∫
0
f(s) d
(
e−A0sB0B
∗
0e−A∗
0s
)
= f(0)B0B
∗
0 − F̂f ,
где F̂f =
∫ ∞
0 e−A0sB0B
∗
0e−A∗
0sd(−f(s)) — положительно определенная
матрица, то получаем равенство
FfA0 + A∗
0Ff = Fff(0)B0B
∗
0Ff − Ff F̂fFf .
Отсюда в силу равенства f(0)B0B
∗
0 = B0B
∗
0f(0) получаем, что мат-
рица Wf = Ff F̂fFf и является положительно определенной.
Тогда из соотношения (2.21) получаем неравенство (2.15), где
λα
min — наименьшее собственное значение матрицы (Fα
f )−1Wf .
Вычислим производную k-го порядка управления uα
f (x) вида (2.17)
в силу замкнутой системы ẋ = Ax + Buα
f (x). Обозначим
βα(y) =
(Wfy, y)
(Fα
f y, y)
, Pi(α, y) =
(
2i−1
2α E − Hα
)
βα(y) + A1, i = 1, . . . .
Отсюда имеем
β(k)
α (y) =
k∑
i=0
Ci
k(Wfy, y)(k−i)
( 1
(Fα
f y, y)
)(i)
, k = 0, 1, . . . , (2.22)
(Pi(α, y))(k) =
(
2i−1
2α E − Hα
)
β(k)
α (y), k = 1, 2, . . . .
Здесь и далее Ci
k — биномиальные числа.
Поскольку из (2.20) в силу равенства Θ̇α(x) = −βα(y)Θ
1− 1
α
α (x)
имеем ẏ = (A1 − Hαβα(y)) Θ− 1
α (x)y, то производная в силу замкну-
той системы квадратичной формы (V y, y) имеет вид
(V y, y)� =
(
(Vay, y) + (Vhy, y)βα(y)
)
Θ
− 1
α
α , (2.23)
В. И. Коробов, В. А. Скорик 337
где Va = V A1+A∗
1V, Vh = −(V Hα+HαV ), и, следовательно, произво-
дная p-го порядка этой квадратичной формы вычисляется по форму-
ле
(V y, y)(p) =
p−1∑
s=0
Cs
p−1
(
(Vay, y)(p−1−s)
+
p−1−s∑
l=0
C l
p−1−s(Vhy, y)(p−1−s−l)β(l)
α (y)
)(
Θ
− 1
α
α
)(s)
. (2.24)
Методом индукции устанавливается справедливость формулы
( 1
(Fα
f y, y)
)(i)
=
1
(Fα
f y, y)
i∑
j=1
(−1)j
∑
α1+...+αj=i−j
γ(i)
α1...αj
j∏
l=1
(Fα
f y, y)(αl+1)
(Fα
f y, y)
,
(2.25)
где γ
(i)
α1...αj — положительные числа, определяемые рекуррентными
соотношениями
γ
(1)
0 = 1, γ
(i)
α1...αj = γ ′(i)
α1...αj
, α1 + · · · + αj = i − j,
γ
(i)
α1...αj−10
= j γ
(i−1)
α1...αj−1 + γ ′(i)
α1...αj−10, j = 1, . . . , i, i = 2, . . . ,
здесь
γ ′(i)
α1...αj
= γ
(i−1)
α1−1α2...αj
+ · · · + γ
(i−1)
α1...αj−1αj−1
(слагаемое с отрицательным индексом равно нулю), на основании ра-
венства
(
Θ
−m+1
α
α
)
�
= m+1
α βα(y)Θ
−m+2
α
α справедливость формулы
(
Θ
− 1
α
α
)(s)
= Θ
− 1
α
α
s∑
m=1
m!
αm
∑
α1+···+αm=s−m
ζ(s)
α1...αm
β(α1)
α . . . β(αm)
α Θ−m
α ,
на основании равенства
(
Θ
− 2i+1
2α
α y
)
�
= Pi+1Θ
− 2i+3
2α
α y для k = 1, . . . спра-
ведливость формулы
(
Θ
− 1
2α
α y
)(k)
=
k∑
i=1
∑
α1+···+αi=k−i
ζ(k)
α1...αi
P
(α1)
1 . . . P
(αi)
i Θ
− 2i+1
2α
α y, (2.26)
где ζ
(k)
α1...αi — положительные числа, определяемые рекуррентными
соотношениями
ζ
(1)
0 = 1, ζ
(k)
α1...αi = ζ ′(k)
α1...αi
, α1 + · · · + αi = k − i,
ζ
(k)
α1...αi−10 = ζ
(k−1)
α1...αi−1 + ζ ′(k)
α1...αi−10, i = 1, . . . , k, k = 2, . . . ,
338 Построение множества инерционных управлений
здесь
ζ ′(k)
α1...αi
= ζ
(k−1)
α1−1α2...αi
+ · · · + ζ
(k−1)
α1...αi−1αi−1
(слагаемое с отрицательным индексом равно нулю), на основании ра-
венств (2.18), An1
0 = 0 для k = 1, . . . справедливость формулы
(Lx)(k) = δkA
k
0Lx +
mk−1∑
j=0
Amk−1−j
0 B0P0
(
Θ
− 1
2α
α y
)(j+(1−δk)(k−n1)),
(2.27)
где mk = min{k, n1}, δk = 1 для k < n1, δk = 0 для k ≥ n1.
Производная k-го порядка
(
uα
f (x)
)(k)
(k = 1, 2, . . .) управления
uα
f (x) вида (2.17) в силу замкнутой системы задается формулой
(
uα
f (x)
)(k)
= M−1P0
(
Θ
− 1
2α
α y
)(k) − M−1B∗
0Ã (Lx)(k) , (2.28)
где Ã = LAL−1.
Покажем ограниченность управления и его производных.
Утверждение 2.4. Для каждого α ≥ 2l + 1 управление uα
f (x) и
его производные
(
uα
f (x)
)(1)
, . . . ,
(
uα
f (x)
)(l)
в силу замкнутой системы
(2.1) удовлетворяют ограничениям
‖
(
uα
f (x)
)(k) ‖ ≤ dk, x ∈ Qα \ {0}, k = 0, 1, . . . , l. (2.29)
Доказательство. Вначале установим, что
|β(k)
α (y)| ≤ βk(α)Θ
− k
α
α , k = 1, . . . , (2.30)
для любого y. Очевидно, что βα(y) ≤ λα
max, где λα
max — наибольшее
собственное значение матрицы (Fα
f )−1Wf . Из (2.22) в силу (2.25) име-
ем
β(k)
α (y) =
k∑
i=0
Ci
k
(Wfy, y)(k−i)
(Fα
f y, y)
i∑
j=1
(−1)j
×
∑
α1+...+αj=i−j
γ(i)
α1...αj
j∏
l=1
(Fα
f y, y)(αl+1)
(Fα
f y, y)
, (2.31)
для k = 1, . . . . По индукции, из формулы (2.31) при k = 1 имеем
β̇α(y) =
(Wfy, y)�
(Fα
f y, y)
− βα(y)
(Fα
f y, y)�
(Fα
f y, y)
.
В. И. Коробов, В. А. Скорик 339
Отсюда в силу (2.23) получаем, что |β̇α(y)| ≤ β1(α)Θ
− 1
α
α , где β1(α) =
ωα
1 + λα
maxϕ
α
1 ,
ωα
1 = max
{
|λWa
min|, |λWa
max|
}
+ λα
max max
{
|λWh
min|, |λWh
max|
}
,
ϕα
1 = max
{
|λF α
a
min|, |λF α
a
max|
}
+ λα
max max
{
|λF α
h
min|, |λ
F α
h
max|
}
,
где λWa
min, λWa
max, λWh
min, λWh
max, λ
F α
a
min, λ
F α
a
max, λ
F α
h
min, λ
F α
h
max — наименьшие и наи-
большие собственные значения матриц (Fα
f )−1(Wf )a, (Fα
f )−1(Wf )h,
(Fα
f )−1(Fα
f )a, (Fα
f )−1(Fα
f )h соответственно.
Предположим, что для любого y справедливы неравенства
|β(ν)
α (y)| ≤ βν(α)Θ
− ν
α
α , ν = 0, . . . , k − 1. (2.32)
Это означает, что выполнены неравенства
∣∣∣∣
(V y, y)(ν)
(Fα
f y, y)
∣∣∣∣ ≤ vν(α)Θ
− ν
α
α , ν = 0, . . . , k − 1, (2.33)
при V = Wf , V = Fα
f , V = Wa и V = Wh, V = (Fα
f )a ≡ Fα
f A1 +A∗
1F
α
f ,
V = (Fα
f )h ≡ −(Fα
f Hα + HαFα
f ) с vν равным, соответственно, ων , ϕν ,
ωa
ν , ωh
ν , ϕa
ν , ϕh
ν . Поэтому на основании равенства (2.24) имеем
∣∣∣∣
(Wfy, y)(k)
(Fα
f y, y)
∣∣∣∣ ≤ ωkΘ
− k
α
α ,
∣∣∣∣
(Fα
f y, y)(k)
(Fα
f y, y)
∣∣∣∣ ≤ ϕkΘ
− k
α
α , (2.34)
где
ωk =
k−1∑
s=0
Cs
k−1
(
ωa
k−1−s +
k−1−s∑
l=0
C l
k−1−sω
h
k−1−s−lβl
)
×
s∑
m=1
m!
αm
∑
α1+···+αm=s−m
ζ(s)
α1...αm
βα1
. . . βαm
,
ϕk =
k−1∑
s=0
Cs
k−1
(
ϕa
k−1−s +
k−1−s∑
l=0
C l
k−1−sϕ
h
k−1−s−lβl
)
×
s∑
m=1
m!
αm
∑
α1+···+αm=s−m
ζ(s)
α1...αm
βα1
. . . βαm
.
340 Построение множества инерционных управлений
Тогда из (2.31) в силу неравенств (2.32), (2.33), (2.34) следует нера-
венство |β(k)
α (y)| ≤ βk(α)Θ
− k
α
α , где
βk =
k∑
i=0
Ci
kωk−i
i∑
j=1
∑
α1+···+αj=i−j
γ(i)
α1...αj
ϕα1+1 . . . ϕαj+1.
Поскольку в силу (2.30) имеем
‖P (k)
i (α, y)‖ ≤
(n1 + i − 1
α
βk(α) + δ0k‖A1‖
)
Θ
− k
α
α ,
i = 1, . . . , k = 0, 1, . . . ,
где δ0k — символ Кронекера, то
∥∥∥∥
∑
α1+···+αi=k−i
ζα1...αiP
(α1)
1 . . . P
(αi)
i
∥∥∥∥ ≤ σk,i(α)Θ
−k−i
α
α ,
где
σk,i(α) =
∑
α1+···+αi=k−i
ζα1...αi
i∏
j=1
(n1 + j − 1
α
βαj
(α) + δ0αj‖A1‖
)
.
Поэтому из (2.26) получаем
‖
(
Θ
− 1
α
α (x)y
)(k)‖ ≤ σk(α)Θ
− 2k+1
2α
α (x)‖y‖, k = 0, 1 . . . , x ∈ R
n, (2.35)
где σ0 = 1, σk(α) =
∑k
i=1 σk,i(α) Учитывая неравенство (2.35), из
(2.27) получаем
‖(Lx)(k)‖ ≤
(
δk‖Ak
0D
−1
α (Θα(x))‖Θ
2k+1
2α
α (x) +
mk−1∑
j=0
‖Amk−1−j
0 B0P0‖
× σj+(1−δk)(k−n1)Θ
k−j−(1−δk)(k−n1)
α
α (x)
)
Θ
− 2k+1
2α
α (x)‖y‖. (2.36)
Поскольку
‖Ak
0D
−1
α (Θ)‖Θ 2k+1
2α = Θ
γ
α , γ =
{
(n1+1) при Θ > 1,
1 при Θ ≤ 1,
и
k − j − (1 − δk)(k − n1) ≥ k − mk + 1 − (1 − δk)(k − n1) = 1,
то в области Qα \ {0} имеем оценку
В. И. Коробов, В. А. Скорик 341
δk‖Ak
0D
−1
α (Θα(x))‖Θ
2k+1
2α
α (x) +
mk−1∑
j=0
‖Amk−1−j
0 B0P0‖
× σj+(1−δk)(k−n1)(α)Θ
k−j−(1−δk)(k−n1)
α
α (x) ≤ ℓk(α), k = 0, 1, . . . ,
где
ℓk(α) = δkc
γ
α
α +
mk−1∑
j=0
‖Amk−1−j
0 B0P0‖σj+(1−δk)(k−n1)(α)c
k−j−(1−δk)(k−n1)
α
α .
Поэтому из неравенства (2.36) имеем
‖(Lx)(k)‖ ≤ ℓk(α)Θ
− 2k+1
2α
α (x)‖y‖, x ∈ Qα \ {0}. (2.37)
Из (2.28), в силу неравенств (2.35), (2.37), вытекает, что
‖ (uα(x))(k) ‖ ≤ ηk(α)Θ
− 2k+1
2α
α (x)‖y‖, x ∈ Qα \ {0}, k = 0, 1, . . . ,
(2.38)
где ηk(α) = ‖M−1P0‖σk(α) + ‖M−1B∗
0Ã‖ℓk(α). Из (2.16) имеем не-
равенство ‖y‖2 ≤ 2a0Θα(x)‖F−1
f ‖, в силу которого, из (2.38) для
α ≥ (2l+1) в области Qα \ {0} получаем
‖
(
uα
f (x)
)(k) ‖ ≤ ηk(α)
√
2a0‖F−1
f ‖ c
1
2
− 2k+1
2α
α , k = 0, 1, . . . , l. (2.39)
Выберем число a0 из условия
0 < a0 ≤ 1
2‖F−1
f ‖
min
0≤k≤l
d2
k
η2
k(α)c
1− 2k+1
α
α
. (2.40)
Тогда из (2.39) получаем справедливость неравенств (2.29).
Таким образом, имеем теорему, дающую решение задачи синтеза
инерционных управлений для системы (2.1).
Теорема 2.1. Пусть f1(s), . . . , fr(s) — произвольные неотрицатель-
ные монотонно невозрастающие на полуоси [0, +∞) функции, удов-
летворяющие условиям (2.3), число α ≥ 2l + 1, a0 удовлетворяет
условию (2.40), функция управляемости Θα(x) при x 6= 0 является
положительным решением уравнения (2.10), Θα(0) = 0, область
Q = {x : Θα(x) ≤ cα}, где cα из (2.13).
Тогда управление uα
f (x) вида (2.14) решает задачу синтеза инер-
ционных управлений в области Qα \ {0}, причем время движения
Tα(x0) из произвольной точки x0 ∈ Qα в начало координат по
траектории системы (2.1) с управлением uα
f (x) не превосходит
αΘ
1
α
α (x0)/λα
min.
342 Построение множества инерционных управлений
Доказательство. Следуя теореме 1 из [4], установлено, что для ка-
ждого α ≥ 1 уравнение (2.10) определяет единственную положитель-
ную функцию Θα(x) непрерывно дифференцируемую в Q1
α \ {0} и
непрерывную при x = 0 (утверждение 2.1); показано, что для посто-
янной cα из (2.13) область Qα является ограниченной и Qα ⊂ int Q1
α
(утверждение 2.2); управление (2.14) является липшицевым в каждом
множестве K(ρ1, ρ2) = {x : 0 < ρ1 ≤ ‖x‖ ≤ ρ2 ≤ Rα} с постоянной
Липшица Lu(ρ1, ρ2) → +∞ при ρ1 → 0; показано, что производная
функции Θα(x) (α ≥ 1) в силу замкнутой системы (2.1) с этим управ-
лением удовлетворяет неравенству (2.15) (утверждение 2.3) и, нако-
нец, установлено, что для каждого α ≥ 2l +1 и числа a0, выбранного
согласно неравенству (2.40), управление и его производные в силу
замкнутой системы (2.1) удовлетворяют ограничениям (2.29) (утвер-
ждение 2.4).
Тогда по теореме 1 из [4,5] следует утверждение данной теоремы.
Пример 2.1. Рассмотрим решение задачи синтеза инерционных уп-
равлений для управляемой системы
ẋ = Ax + Bu, x ∈ R
4, u ∈ R
2, (2.41)
где
A =
−3 2 0 2
−4 5 −3 6
−2 2 −1 2
2 −4 2 5
, B =
1 0
2 1
0 0
−1 0
, rang B = 2,
с ограничениями на управление (1.3) при l = 2 и d0 = 10, d1 = 30,
d2 = 90.
В данном случае rang(B AB A2B A3B) = 4 и реализуется, на-
пример, на вектор-столбцах b1, Ab1, b2, Ab2, где bi – i-й столбец ма-
трицы B. Отметим, что в силу условий rang(bi Abi A2bi A3bi) = 2,
i = 1, 2, система (2.41) не является полностью управляемой с одно-
мерным управлением (с управлением u1, или с управлением u2).
Выберем матрицу K в виде
K = (b1 Ab1 b2 Ab2) =
1 −1 0 2
2 0 1 5
0 0 0 2
−1 −1 0 −4
, n1 = n2 = 2.
Определяя векторы c1, c2 из систем (2.6), которые имеют вид
K∗c1 = (0, 1, 0, 0)∗, K∗c2 = (0, 0, 0, 1)∗, получаем c1 =
(
−1
2 , 0,−1
2 ,−1
2
)∗
,
c2 =
(
0, 0, 1
2 , 0
)∗
. Тогда матрица L из (2.7) имеет вид
В. И. Коробов, В. А. Скорик 343
L =
c∗1
c∗1A
c∗2
c∗2A
=
1
2
−1 0 −1 −1
3 0 −1 1
0 0 1 0
−2 2 −1 2
.
Выберем функции f1(s), f2(s) в виде
f1(s)=
{
1−k/5, k ≤ s < k+1, k = 0, . . . , 4,
0, s ≥ 5,
f2(s)=
{
1−s/2, 0 ≤ s < 2,
0, s ≥ 2.
Тогда матрица Ff,α(Θ) имеет вид
Ff,α(Θ) =
12/(59Θ3/α) 22/(59Θ2/α) 0 0
22/(59Θ2/α) 60/(59Θ1/α) 0 0
0 0 9/(2Θ3/α) 3/(Θ2/α)
0 0 3/(Θ2/α) 3/(Θ1/α)
.
2 4 6 8 10 12
t
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x2
x3
x4
Рис. 1: Траектория x(t).
Пусть α = 5 и далее в примере этот индекс указывать не будем.
Положим Θ = 12814578. Тогда из (2.13) постоянная c = 1. Согласно
условию (2.40) выберем число a0 = 0.0889486. Определим функцию
управляемости Θ(x) при x 6= 0 из уравнения (2.10), которое прини-
мает вид
2a0Θ
8
5−12
59
z2
1−
44
59
Θ
1
5 z1z2−
60
59
Θ
2
5 z2
2−
9
2
z2
3−6Θ
1
5 z3z4−3Θ
2
5 z2
4 = 0, (2.42)
344 Построение множества инерционных управлений
2 4 6 8 10 12
t
-0.5
-0.25
0
0.25
u1
u2
Рис. 2: Управление на траектории.
где z1 = −(x1 − x3 − x4)/2, z2 = (3x1 − x3 + x4)/2, z3 = x3/2, z4 =
−x1 + x2 − x3/2 + x4.
Согласно (2.14) зададим управление u(x) формулой
u(x) =
(
1 − 11
59Θ2/5(x)
)
z1 +
(
2 − 30
59Θ1/5(x)
)
z2
(
3 − 3
2Θ2/5(x)
)
z3 +
(
2 − 3
2Θ1/5(x)
)
z4
, (2.43)
первая и вторая производные которого имеют вид
u̇(x)=
−22(−75+59β+295Θ1/5(x)
17405Θ3/5(x)
z1+ 251−354β−3540Θ1/5(x)+3481Θ2/5(x)
3481Θ2/5(x)
z2
−−45+12β+60Θ1/5(x)
20Θ3/5(x)
z3− 6β−15(1−2Θ1/5(x))2
20Θ2/5(x)
z4
,
2 4 6 8 10 12
t
-0.25
0
0.25
0.5
u
.
1
u
.
2
Рис. 3: Производная управления на траектории.
В. И. Коробов, В. А. Скорик 345
ü(x)=
1
5134475Θ4/5 (−11(62658β2+590β(−180+59Θ1/5)+15(1255
+118(−25 + 59β̇)Θ1/5))z1 + 5(179100 − 125316β2
−354β(−52 + 295Θ1/5) − 295(−251 + 1062β̇)Θ1/5)Θ1/5z2)
− 1
200Θ4/5 (9((24β2+40β(−3+Θ1/5)+5(15+(−30+8β̇)Θ1/5))z3
+(−75+8β2+10β(−1+2Θ1/5)+10(−5+2β̇)Θ1/5)Θ1/5z4))
,
2 4 6 8 10 12
t
-0.5
-0.25
0
0.25
u
..
1
u
..
2
Рис. 4: Вторая производная управления на траектории.
где
β=
5(484z2
1+1224Θ
1
5 z1z2+1004Θ
2
5 z2
2+10443(3z2
3+3Θ
1
5 z3z4+Θ
2
5 z2
4))
118(48z2
1+154Θ
1
5 z1z2+3(60Θ
2
5 z2
2+59(6z2
3+7Θ
1
5 z3z4+3Θ
2
5 z2
4)))
,
β̇ = (−16(42075 − 178475β + 125316β2)z2
1
− 16(5300 − 305325β + 268037β2)Θ1/5z1z2
− 80(−7485 − 32686β + 31329β2)Θ2/5z2
2
− 616137(3(75 − 100β + 24β2)z2
3 + (75 − 210β + 56β2)Θ1/5z3z4
+ 2β(−25 + 6β)Θ2/5z2
4))/(69620Θ1/5(48z2
1 + 154Θ1/5z1z2
+ 3(60Θ2/5z2
2 + 59(6z2
3 + 7Θ1/5z3z4 + 3Θ2/5z2
4)))).
Это управление переводит любую точку x0 ∈ Q = {x ∈ R
4 : Θ(x) ≤ 1}
в начало координат за время T (x0) ≤ 13555Θ(x0)/(870 − 10
√
2147)
и удовлетворяет вместе с первой и второй производными в области
Q \ {0} заданным ограничениям.
Найдем траекторию системы (2.41), отвечающую управлению u =
u(x) вида (2.43) и начинающуюся в точке x(0) = x0 ∈ Q. Выберем на-
чальную точку x0 =
(
−13
30 , − 7
15 , −3
5 , 1
30
)∗ ∈ Q и найдем положитель-
ный корень Θ0 уравнения (2.42) при x = x0. Имеем Θ0 = 0.98728
346 Построение множества инерционных управлений
и, следовательно, время движения удовлетворяет оценке T (x0) ≤
33.2487. Траектория x(t) = L−1z(t), где z(t) определяется из решения
задачи Коши
ż1 = z2, ż2 = − 11
59θ
2
5
z1 −
30
59θ
1
5
z2, ż3 = z4, ż4 = − 3
2θ
2
5
z3 −
3
2θ
1
5
z4,
θ̇=−(2420z2
1+52215(3z2
3+3z3z4θ
1
5 +z2
4θ
2
5 ) + 6120z1z2θ
1
5 + 5020z2
2θ
2
5 )θ
4
5
118(48z2
1 + 3(59(6z2
3 + 7z3z4θ
1
5 + 3z2
4θ
2
5 ) + 60z2
2θ
2
5 ) + 154z1z2θ
1
5 ))
,
z1(0) = 1/2, z2(0) = −1/3, z3(0) = −3/10, z4(0) = 3/10, θ(0) = Θ0.
2 4 6 8 10 12
t0
0.25
0.5
0.75
ÈuÈ
Èu È
.
È u
..
È
Рис. 5: Нормы управления, его первой и второй производных
на траектории.
На рис. 1 изображены графики компонент траектории x(t), по
которой начальная точка переводится в начало координат за время
T = 11.814. На рис. 2–4 изображены графики управления, его первой
и второй производных на этой траектории, а на рис. 5 изображены
графики их норм. Очевидно, управление, его первая и вторая произ-
водные удовлетворяют заданным ограничениям.
3. Синтез инерционных управлений для
нелинейных систем по первому приближению
Рассмотрим задачу синтеза инерционных управлений для систе-
мы (1.1) с ограничениями на управление вида (1.3) при l = 1, т.е. с
ограничениями на управление и его производную. Предположим, что
функция ϕ(x, u) такая, что ϕ(0, 0) = 0 и имеет непрерывные до второ-
го порядка производные по x и u. Тогда в окрестности нуля систему
(1.1) можно записать в виде
В. И. Коробов, В. А. Скорик 347
ẋ = Ax + Bu + g(x, u), x ∈ R
n, u ∈ R
r, (3.1)
где A = fx(0, 0), B = fu(0, 0), g(x, u) — непрерывная функция. Не
ограничивая общности, предположим, что rang B = r.
Построим функцию управляемости и на ее основе определим инер-
ционное управление, решающее рассматриваемую задачу для систе-
мы (3.1) в предположении, что функция g(x, u) удовлетворяет нера-
венству
‖g(x, u)‖ ≤ c1‖x‖s1 + c2‖x‖s2‖u‖s3 + c3‖u‖s4 , (3.2)
где c1 ≥ 0, c2 ≥ 0, c3 ≥ 0, s1 > 1, s2 + s3 > 1, s4 > 1.
Теорема 3.1. Рассмотрим управляемую систему (3.1). Пусть вы-
полнены условия (2.2), (2.3) функция g(x, u) удовлетворяет неравен-
ству (3.2) и в каждой области {(x, u) : 0 < ρ1 ≤ ‖x‖ ≤ ρ2, ‖u‖ ≤
d0} удовлетворяет условию Липшица
‖g(x′′, u′′) − g(x′, u′)‖ ≤ L(ρ1, ρ2)(‖x′′ − x′‖ + |u′′ − u′|).
Пусть α0= max
{
3, ν0,
2n1
s1
−1, 2n1−s2+s3
s2+s3
, 2n1
s4
+1
}
, где число ν0 удов-
летворяет неравенству ν0 > max
{
2n1−s1−3
s1−1 , 2n1+s3−s2−3
s2+s3−1 , 2n1+s4−3
s4−1
}
.
Тогда существуют положительные числа a0 и c̃α такие, что
при α ≥ α0 управление
uα
f (x) = −1
2
M−1B∗
0f(0)Ff,α(Θα(x))Lx, (3.3)
где функция управляемости Θα(x) при x 6= 0 определена из уравне-
ния (2.10), Θα(0) = 0, для системы (3.1) решает задачу синтеза
инерционных управлений в области Q̃α = {x : Θα(x) ≤ c̃α} и удов-
летворяет ограничениям ‖uα
f (x)‖ ≤ d0, ‖u̇α
f (x)‖ ≤ d1. Время дви-
жения Tα(x0) из точки x0 ∈ Q̃α в начало координат по траекто-
рии системы (3.1) с управлением uα
f (x) удовлетворяет неравенству
Tα(x0) ≤ αΘ
1
α
α (x0)/β̃α (β̃α > 0).
Доказательство. Доказательство основано на теореме 1 из [4]. Уп-
равление uα
f (x) вида (3.3) удовлетворяет условию Липшица в каждой
области K(ρ1, ρ2) = {x : 0 < ρ1 ≤ ‖x‖ ≤ ρ2} с постоянной L(ρ1, ρ2),
причем L(ρ1, ρ2) → 0 при ρ1 → 0.
Покажем, что производная функции Θα(x) в силу системы (3.1) с
этим управлением удовлетворяет неравенству Θ̇α(x) ≤ −β̃αΘ
1− 1
α
α (x),
и установим ограниченность управления и его производной. Перепи-
шем управление (3.3) в виде
uα
f (x) = Θ
− 1
2α
α (x)M−1P0y. (3.4)
348 Построение множества инерционных управлений
Далее будем считать, что Θ = Θα(x), D = Dα(Θα(x)), g = g(x, uα
f (x)).
Так как
Lẋ = ÃLx + B0Muα
f (x) + Lg = ÃLx + Θ− 1
2α B0P0y + Lg,
то используя равенства (E − B0B
∗
0)Ã = A0, (2.19), получаем
ẏ =
(
Θ̇Θ−1Hα + Θ− 1
α A1 + Θ− 1
2α B0B
∗
0ÃD−1
)
y + DLg.
Тогда
Θ̇ = −(Wfy, y)
(Fα
f y, y)
Θ1− 1
α +
Θ1− 1
2α (Gf (Θ)y, y) + 2Θ(Ffy, DLg)
(Fα
f y, y)
, (3.5)
где матрица Gf (Θ) имеет вид
Gf (Θ) = FfB0B
∗
0ÃD−1(Θ) + D−1(Θ)Ã∗B0B
∗
0Ff .
Следовательно, производная управления uα
f (x) вида (3.4) в силу си-
стемы (3.1) имеет вид
u̇α
f (x) = M−1P0
[
P1Θ
− 3
2α y + B0B
∗
0ÃD−1Θ− 1
α y + Θ− 1
2α DLg
+
(
Hα − 1
2α
E
)
y
Θ− 1
α (Gf (Θ)y, y) + 2Θ− 1
2α (Ffy, DLg)
(Fα
f y, y)
]
. (3.6)
Так как (Fα
f y, y)≥‖y‖2/‖(Fα
f )−1‖, ‖y‖ ≤
√
2a0Θ‖F−1
f ‖ и при Θ≤1
справедливы неравенства ‖D(Θ)‖ ≤ Θ−
2n1−1
2α , ‖D−1(Θ)‖ ≤ Θ
1
2α , то из
(3.5) и (3.6) получаем, что
Θ̇ ≤ −
(
λα
min − 2Θ
1
α ‖FfB0B
∗
0Ã‖‖(Fα
f )−1‖
− 2Θ−
2n1−3
2α ‖Ff‖‖(Fα
f )−1‖‖L‖‖g‖/‖y‖
)
Θ1− 1
α , (3.7)
‖uα(x)‖ ≤ ‖M−1P0‖
√
2a0‖F−1
f ‖ Θ
1
2
− 1
2α , (3.8)
‖u̇α(x)‖ ≤ µ0
√
a0 Θ
1
2
− 3
2α + µ1
√
a0 Θ
1
2
− 1
2α + µ2‖g‖Θ−
n1
α , (3.9)
где
µ0 = ‖M−1P0‖
(n1
α
λα
max + ‖A1‖
)√
2‖F−1
f ‖,
µ1 = ‖M−1P0‖
(2n1
α
‖FfB0B
∗
0Ã‖‖(Fα
f )−1‖ + ‖B0B
∗
0Ã‖
)√
2‖F−1
f ‖,
µ2 = ‖M−1P0‖
(2n1
α
‖Ff‖‖(Fα
f )−1‖ + 1
)
‖L‖.
В. И. Коробов, В. А. Скорик 349
Получим оценку для ‖g(L−1D−1y, uα
f (x))‖. Используя неравенство
(3.2) и вид управления uα
f (x), имеем
‖g(L−1D−1y, M−1P0Θ
− 1
2α y)‖
≤ c1‖L−1‖s1Θ
s1
2α ‖y‖s1 + c2‖L−1‖s2‖M−1P0‖s3Θ
s2−s3
2α ‖y‖s2+s3
+ c3‖M−1P0‖s4Θ−
s4
2α ‖y‖s4 ,
откуда, используя неравенство ‖y‖ ≤
√
2a0‖F−1
f ‖Θ, получаем
‖g‖ ≤ µ3a
s1
2
0 Θ
s1
2α
+
s1
2 + µ4a
s2+s3
2
0 Θ
s2+s3
2
+
s2−s3
2α + µ5a
s4
2
0 Θ
s4
2
−
s4
2α , (3.10)
‖g‖/‖y‖ ≤ 1√
2‖F−1
f ‖
(
µ3a
s1−1
2
+
s1
2α
0 Θ
s1
2α
+
s1−1
2
+ µ4a
s2+s3−1
2
0 Θ
s2+s3−1
2
+
s2−s3
2α + µ5a
s4−1
2
0 Θ
s4−1
2
−
s4
2α
)
,
где
µ3 = 2
s1
2 c1‖L−1‖s1‖F−1
f ‖
s1
2 ,
µ4 = 2
s2+s3
2 c2‖L−1‖s2‖M−1P0‖s3‖Ff‖
s2+s3
2 ,
µ5 = 2−
s4
2 c3‖M−1P0‖s4‖F−1
f ‖
s4
2 .
Тогда из (3.7) получаем неравенство
Θ̇ ≤ −
(
λα
min − 2Θ
1
α ‖FfB0B
∗
0Ã‖‖(Fα
f )−1‖
−
√
2/‖F−1
f ‖‖Ff‖‖(Fα
f )−1‖‖L‖
(
µ3a
s1−1
2
0 Θν1(α)
+ µ4a
s2+s3−1
2
0 Θν2(α) + µ5a
s4−1
2
0 Θν3(α)
))
Θ1− 1
α , (3.11)
где
ν1(α) = (α(s1−1)−2n1+s1+3) /2α
ν2(α) = (α(s2+s3−1)−2n1+s2−s3+3) /2α ,
ν3(α) = (α(s4−1)−2n1−s4+3) /2α ,
причем νi(α) > 0 при α ≥ α0, i = 1, 2, 3.
На основании неравенств ‖y‖ ≤
√
2a0Θ‖F−1
f ‖, (3.10) из нера-
венств (3.8), (3.9) получаем, что в области {x : Θα(x) ≤ 1} \ {0}
справедливы неравенства
‖uα
f (x)‖ ≤ ‖M−1P0‖
√
2a0‖F−1
f ‖, (3.12)
350 Построение множества инерционных управлений
‖u̇α
f (x)‖ ≤ (µ0 + µ1)
√
a0 + µ2
(
µ3a
s1
2
0 + µ4a
s2+s3
2
0 + µ5a
s4
2
0
)
. (3.13)
Выберем число a0, удовлетворяющее неравенствам
0 < a0 ≤ d2
0
2‖M−1P0‖2‖F−1
f ‖
,
(µ0 + µ1)
√
a0 + µ2
(
µ3a
s1
2
0 + µ4a
s2+s3
2
0 + µ5a
s4
2
0
)
≤ d1.
Тогда из (3.12), (3.13) получаем
‖uα
f (x)‖ ≤ d0, ‖u̇α
f (x)‖ ≤ d1, x ∈ {x : Θ(x) ≤ 1} \ {0}. (3.14)
Для этого числа a0 пусть положительная константа cα такова, что
при 0 < Θ ≤ cα справедливо неравенство
βα(Θ) ≡ λα
min − 2Θ
1
α ‖FfB0B
∗
0Ã‖‖(Fα
f )−1‖
−
√
2/‖F−1
f ‖‖Ff‖‖(Fα
f )−1‖‖L‖
×
(
µ3a
s1−1
2
0 Θν1(α) + µ4a
s2+s3−1
2
0 Θν2(α) + µ5a
s4−1
2
0 Θν3(α)
)
> 0.
Положим c̃α = min{cα, 1} и рассмотрим область Q̃α = {x : Θα(x) ≤
c̃α}, для которой, очевидно, справедливо включение Q̃α⊂{x : Θα(x)≤
1}. Положим β̃α = βα(c̃α), тогда из неравенства (3.11) вытекает, что
Θ̇α(x) ≤ −β̃αΘ
1− 1
α
α (x), x ∈ Q̃α,
и, как следует из (3.14), управление uα(x) удовлетворяет в области
Q̃α\{0} заданным ограничениям. В силу [4, теоремы 1] следует утвер-
ждение данной теоремы.
Литература
[1] В. И. Коробов, Г. М. Скляр, Методы построения позиционных управлений
и допустимый принцип максимума // Дифференциальные уравнения, 26
(1990), N 11, 1914–1924.
[2] В. И. Коробов, В. А. Скорик, Позиционный синтез ограниченных инерцион-
ных управлений для систем с одномерным управлением // Дифференциаль-
ные уравнения, 38 (2002), N 3, 319–331.
[3] V. I. Korobov, V. O. Skoryk, Synthesis of restricted inertial controls for systems
with multivariate control // J. Math. Anal. Appl. (USA), 275, N 1, 84–107.
[4] В. И. Коробов, Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных
управлений в задаче управляемости // Математический сборник, 109(151)
(1979), N 4(8), 582–606.
В. И. Коробов, В. А. Скорик 351
[5] В. И. Коробов, Решение задачи синтеза с помощью функции управляемос-
ти // Доклады АН СССР, 248 (1979), N 5, 1051–1055.
Сведения об авторах
Валерий Иванович
Коробов
Uniwersytet Szczecinski,
Instytut Matematyki,
ul. Wielkopolska, 15, Szczecin,
Poland
Харьковский национальный университет
имени В.Н. Каразина,
пл. Свободы, 4,
61077, Харьков,
Украина
E-Mail: korobow@sus.univ.szczecin.pl,
vkorobov@univer.kharkov.ua
Василий
Александрович
Скорик
Харьковский национальный университет
имени В. Н. Каразина,
пл. Свободы, 4,
61077, Харьков,
Украина
E-Mail: skoryk@univer.kharkov.ua
|