Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням

Розв’язується задача про побудову нарiзно неперервних функцiй на добутку n топологiчних просторiв з даним звуженням. Зокрема, показано, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R (n − 1)-го класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xⁿ → R така, що f(x, x, . . . , x) = g(x) д...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Михайлюк, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124559
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 374-381. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124559
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245592017-09-30T03:04:00Z Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням Михайлюк, В.В. Розв’язується задача про побудову нарiзно неперервних функцiй на добутку n топологiчних просторiв з даним звуженням. Зокрема, показано, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R (n − 1)-го класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xⁿ → R така, що f(x, x, . . . , x) = g(x) для кожного x ∊ X. 2006 Article Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 374-381. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 54C08, 54C30. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124559 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розв’язується задача про побудову нарiзно неперервних функцiй на добутку n топологiчних просторiв з даним звуженням. Зокрема, показано, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R (n − 1)-го класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xⁿ → R така, що f(x, x, . . . , x) = g(x) для кожного x ∊ X.
format	Article
author	Михайлюк, В.В.
spellingShingle	Михайлюк, В.В. Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням Український математичний вісник
author_facet	Михайлюк, В.В.
author_sort	Михайлюк, В.В.
title	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
title_short	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
title_full	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
title_fullStr	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
title_full_unstemmed	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
title_sort	побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124559
citation_txt	Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 374-381. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT mihajlûkvv pobudovanaríznoneperervnihfunkcíjvídnzmínnihzdanimzvužennâm
first_indexed	2025-07-09T01:38:07Z
last_indexed	2025-07-09T01:38:07Z
_version_	1837131462051102720
fulltext	Український математичний вiсник Том 3 (2006), № 3, 374 – 381 Побудова нарiзно неперервних функцiй вiд n змiнних з даним звуженням Володимир В. Михайлюк (Представлена М. М. Маламудом) Анотацiя. Розв’язується задача про побудову нарiзно неперервних функцiй на добутку n топологiчних просторiв з даним звуженням. Зокрема, показано, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R (n − 1)-го класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xn → R така, що f(x, x, . . . , x) = g(x) для кожного x ∈ X. 2000 MSC. 54C08, 54C30. Ключовi слова та фрази. Нарiзно неперервнi функцiї, функцiї n-го класу Бера. 1. Для довiльної множини X i натурального числа n ≥ 2 вiд- ображення dn : X → Xn, dn(x) = (x, . . . , x), називатимемо дiагональ- ним вiдображенням, множину ∆n = dn(X) — дiагоналлю простору X, а композицiю g = f ◦ dn : X → Y — дiагоналлю вiдображення f : Xn → Y . Нехай X — топологiчний простiр. Вiдображення f : X → R на- зивається функцiєю першого класу Бера, якщо iснує послiдовнiсть (fn)∞n=1 неперервних функцiй fn : X → R, яка поточково на X збiга- ється до функцiї f , тобто f(x) = limn→∞ fn(x) для кожного x ∈ X. Нехай 2 ≤ α < ω1. Вiдображення f : X → R називається функцiєю α-го класу Бера, якщо iснує поточково збiжна до f послiдовнiсть (fn) функцiй fn : X → R, кожна з яких належить класу Бера, меншого, нiж α. Р. Бер в [1] показав, що дiагоналi нарiзно неперервних функцiй двох дiйсних змiнних, тобто функцiй, неперервних вiдносно кожної змiнної, зокрема, є в точностi функцiями першого класу Бера. А. Ле- бег в [2] довiв, що кожна нарiзно неперервна функцiя n дiйсних змiн- них належить до (n−1)-го класу Бера, зокрема, i її дiагональ є тако- го ж класу. I навпаки, в [3, 4] показано, що довiльна дiйсна функцiя Стаття надiйшла в редакцiю 13.02.2006 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України В. В. Михайлюк 375 (n−1)-го класу Бера є дiагоналлю деякої нарiзно неперервної функцiї n дiйсних змiнних. Починаючи з другої половини ХХ столiття, берiвська класифiка- цiя нарiзно неперервних вiдображень та їх аналогiв досить активно вивчається багатьма математиками [5–10]. Зауважимо, що В. Рудiн вперше використав розбиття одиницi для встановлення належностi до першого класу Бера нарiзно неперервних вiдображень, визначених на добутку метризовного i топологiчного просторiв, зi значеннями в ло- кально опуклих просторах. Розвиток методу Рудiна на випадок неме- тризовних просторiв привiв до виникнення наступного поняття [11]. Топологiчний простiр X називається РР-простором, якщо iсну- ють послiдовностi локально скiнченних покриттiв (U(n, i) : i ∈ In) функцiонально вiдкритих в X множин U(n, i) i сiмей (x(n, i) : i ∈ In) точок x(n, i) ∈ X такi, що для для довiльних x ∈ X i околу U то- чки x iснує n0 ∈ N таке, що x(n, i) ∈ U для всiх n ≥ n0 та i ∈ In з x ∈ U(n, i). Клас РР-просторiв досить обширний. Вiн мiстить σ-метризовнi паракомпакти, топологiчнi векторнi простори, якi подаються у вигля- дi об’єднання зростаючої послiдовностi своїх метризовних пiдпросто- рiв, площину Немицького i пряму Зорґенфрея. З [12] (див. також [8, теорема 3.14]) випливає, що для довiльних n ≥ 2 i РР-простору X кожна нарiзно неперервна функцiя f : Xn → R є функцiєю (n− 1)-го класу Бера, i, зокрема, її дiагональ також є функцiєю (n−1)-го класу Бера. Обернена задача про побудову нарiзно неперервних функцiй з да- ною дiагоналлю впродовж тривалого часу залишалася поза увагою i її дослiдження було вiдновлено з iнiцiативи В. Маслюченка. Най- бiльш загальний результат для нарiзно неперервних функцiй n змiн- них одержано в [13]. Там встановлено (див. також [8, теорема 3.24]), що для довiльної функцiї g, яка належить (n−1)-му класу Бера, на то- пологiчному просторi X з нормальним n-м степенем i Gδ-дiагоналлю ∆n iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xn → R з дiагоналлю g. З iншого боку, при дослiдженнi нарiзно неперервних функцiй f : X × Y → R, визначених на добутку топологiчних просторiв X i Y , природним чином виникають двi топологiї: топологiя нарiзної непе- рервностi σ, тобто найслабша топологiя, вiдносно якої всi функцiї f є неперервними i хрест-топологiя γ, що складається з усiх мно- жин G, для яких всi x-розрiзи Gx = {y ∈ Y : (x, y) ∈ G} та y- розрiзи Gy = {x ∈ X : (x, y) ∈ G} є вiдкритими в Y та X вiдповiдно (див. [14]). Аналогiчно вводиться топологiя нарiзної неперервностi σ i хрест-топологiя γ на добутку X1 ×X2 × · · · ×Xn топологiчних про- сторiв X1, X2, . . . , Xn. Оскiльки дiагональ ∆ = {(x, x) : x ∈ R} є зам- 376 Побудова нарiзно неперервних функцiй... кненою дискретною множиною в (R2, σ) чи (R2, γ) i далеко не кожна функцiя на ∆ продовжується до нарiзно неперервної на R 2, то на- вiть у випадку n = 2 i X1 = X2 = R топологiї σ i γ не є нормальними (бiльше того, γ не є регулярною [14,15]). Таким чином, побудова нарi- зно неперервних функцiй з даною дiагоналлю є частинним випадком наступної бiльш загальної задачi: встановити, для якої пiдмножини E добутку X1 ×X2 × · · · ×Xn топологiчних просторiв X1, X2, . . . , Xn i σ-неперервної чи γ-неперервної функцiї g : E → R iснує нарiзно не- перервна функцiя f : X ×Y → R, для якої звуження f \|E збiгається з g. В [16] вивчалося це питання для функцiй двох змiнних, i, зокре- ма, було встановлено, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R першого класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : X2 → R з дiагоналлю g. В данiй роботi ми, аналогiчно, як в [16], будемо розв’язувати за- дачу про побудову нарiзно неперервної функцiї f : X1 ×· · ·×Xn → R з даним звуженням на спецiального вигляду множину E ⊆ X1×· · ·× Xn. Переходячи до неперервного образу множини E на дiагональ n- го степеня метризовного простору, i, використовуючи вищезгадану теорему з [13], ми отримаємо результат, з якого випливає, що для довiльних топологiчного простору X i функцiї g : X → R (n − 1)-го класу Бера iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xn → R з дiагона- ллю g. 2. Спочатку нагадаємо деякi означення i доведемо допомiжне твердження. Множина A ⊆ X має властивiсть продовження в топологiчному просторi X, якщо кожна неперервна функцiя g : A → [0, 1] може бути продовжена до неперервної функцiї f : X → [0, 1]. Згiдно з теоремою Тiтце–Урисона [17, c. 116] кожна замкнена множина в нормальному просторi має властивiсть продовження. Для вiдображення f : X → Y i множини A ⊆ X через f \|A ми позначаємо звуження вiдображення f на A. Множина A в топологiчному просторi X називається функцiо- нально замкненою, якщо iснує неперервна функцiя f : X → [0, 1] така, що A = f−1(0). Топологiчний простiр X називається псевдокомпактним, якщо кожна неперервна функцiя на X є обмеженою. Множину E в добутку X1 × X2 × · · · × Xn топологiчних просто- рiв X1, X2, . . . Xn називатимемо проективно гомеоморфною, якщо для кожного 1 ≤ i ≤ n проекцiя pi : E → Xi, pi(x1, x2, . . . , xn) = xi, є го- меоморфним вкладенням. Множину E в добутку X1×X2×· · ·×Xn називатимемо проектив- В. В. Михайлюк 377 но iн’єктивною, якщо x1 6= y1, x2 6= y2, . . . , xn 6= yn для довiльних рiзних точок (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ E, тобто всi проекцiї множини E на осi Xi є iн’єктивними, i локально проективно iн’є- ктивною, якщо для довiльної точки x ∈ X1 × X2 × · · · × Xn iснує такий її окiл W , що множина E ∩ W проективно iн’єктивна. Для функцiї f : X → R через suppf позначатимемо множину {x ∈ X : f(x) 6= 0}. Твердження 1. Нехай A — функцiонально замкнена множина, яка володiє властивiстю продовження в топологiчному просторi X, 1 ≤ α < ω1 i g : A → R – функцiя α-го класу Бера. Тодi функцiя f : X → R, яка означається наступним чином: f(x) = g(x) для кожного x ∈ A i f(x) = 0 для кожного x ∈ X \ A, також є функцiєю α-го класу Бера. Доведення. З означення функцiї α-го класу Бера випливає, що досить довести твердження для випадку α = 1. Нехай α = 1 i (gn)∞n=1 — послiдовнiсть неперервних функцiй gn : A → [−n, n], яка поточково збiгається до функцiї g. Оскiльки множи- на A володiє властивiстю продовження в топологiчному просторi X, то iснує послiдовнiсть (fn)∞n=1 неперервних функцiй fn : X → R така, що fn\|A = gn. Вiзьмемо неперервну функцiю ϕ : X → [0, 1] таку, що A = ϕ−1(0) i для довiльних n ∈ N i x ∈ X покладемо ϕn(x) = 1 − min{1, nϕ(x)}. Зрозумiло, що всi функцiї ϕn неперервнi на X, A = ϕ−1 n (1) i для ко- жного x ∈ X \A iснує номер m ∈ N такий, що ϕn(x) = 0 для кожного n ≥ m. Тодi послiдовнiсть неперервних функцiй fn · ϕn поточково збiгається до функцiї f . 3. Переходимо до викладу основного результату. Теорема 1. Нехай E — проективно гомеоморфна множина в до- бутку X1 × · · · × Xn топологiчних просторiв X1, . . . , Xn, причому проекцiї E1, . . . , En множини E мають властивiсть продовження в просторах X1, . . . , Xn вiдповiдно i g : E → R — функцiя (n−1)-го кла- су Бера. Тодi, якщо E псевдокомпактна або всi множини E1, . . . , En функцiонально замкненi в X1, . . . , Xn, то iснує нарiзно неперервна функцiя f : X1 × · · · × Xn → R така, що f \|E = g. Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли всi множини E1, . . . , En функцiонально замкненi в X1, . . . , Xn вiдповiдно. Нехай f (1) 0 : X1 → [0, 1], . . . , f (n) 0 : Xn → [0, 1] такi неперервнi функцiї, що Ei = (f (i) 0 )−1(0) для кожного 1 ≤ i ≤ n. Для кожного 378 Побудова нарiзно неперервних функцiй... i = 1, . . . , n i x = (x1, . . . , xn) ∈ E покладемо hi(xi) = x. Зрозумiло, що hi гомеоморфiзм множини Ei на множину E. Оскiльки g функцiя (n − 1)-го класу Бера на E, то iснує сiм’я (gk1,...,kn−1 : k1, . . . , kn ∈ N) неперервних функцiй gk1,...,kn−1 : E → [ − kn−1, kn−1] така, що g(x) = lim k1→∞ lim k2→∞ . . . lim kn−1→∞ gk1,k2,...,kn−1 (x) для кожного x ∈ E. Для довiльних k1, . . . , kn−1 ∈ N та 1 ≤ i ≤ n через g (i) k1,...,kn−1 позначимо неперервну функцiю g (i) k1,...,kn−1 : Ei → [−kn−1, kn−1], g (i) k1,...,kn−1 (xi) = gk1,...,kn−1 (hi(xi)), i виберемо неперервну функцiю f (i) k1,...,kn−1 : Xi → R таку, що f (i) k1,...,kn−1 \|Ei = g (i) k1,...,kn−1 . Покладемо S = {0} ∪N n−1. Далi для кожного s = (k1, . . . , kn−1) ∈ S та 1 ≤ i ≤ n функцiї f (i) k1,...,kn−1 , g (i) k1,...,kn−1 та gk1,...,kn−1 позначатиме- мо також f (i) s , g (i) s та gs. Розглянемо неперервнi вiдображення ϕi = ∆s∈Sf (i) s : Xi → R S , ϕi(xi) = (f (i) s (xi))s∈S . Позначимо Z = ⋃n i=1 ϕi(Xi). Зауважимо, що Z метризовний простiр, i для довiльних 1 ≤ i ≤ n, s ∈ N n−1 i x = (x1, . . . , xn) ∈ E маємо f (i) s (xi) = g (i) s (xi) = gs(x). Крiм того, для кожного 1 ≤ i ≤ n точка xi з простору Xi належить множинi Ei тодi i тiльки тодi, коли ϕi(xi)(0) = f (i) 0 (xi) = 0. Тому ϕ1(x1) = ϕ2(x2) = · · · = ϕn(xn) для кожної точки (x1, x2, . . . , xn) ∈ E, причому множина A = ϕ1(E1) = · · · = ϕn(En) функцiонально замкнена в Z. Розглянемо функцiю g̃ : A → R, g̃(z) = g(h1(x1)), де x1 ∈ E1 i z = ϕ1(x1). Зауважимо, що для довiльних x1, y1 ∈ E1 з рiвностi ϕ1(x1) = ϕ1(y1) випливає, що g (1) s (x1) = g (1) s (y1) для кожного s ∈ S. Тодi gs(h1(x1)) = gs(h1(y1)) для кожного s ∈ N n−1 i g(h1(x1)) = g(h1(y1)). Отже, означення функцiї g̃ є коректним. Для кожного s = (k1, . . . , kn−1) ∈ S функцiя f̃s : Z → R, f̃s(z) = z(s), є неперервною. Тодi для кожного z ∈ A, взявши x1 ∈ E1 так, що ϕ1(x1) = z, одержимо f̃s(z) = z(s) = f (1) s (x1) = g(1) s (x1) = gs(h1(x1)), тому lim k1→∞ . . . lim kn−1→∞ f̃s(z) = lim k1→∞ . . . lim kn−1→∞ gs(h1(x1)) = g(h1(x1)) = g̃(z). Отже, функцiя g̃ є функцiєю (n − 1)-го класу Бера на A. Згiдно з твердженням 1, якщо ми покладемо g̃(z) = 0 для кожного z ∈ Z \ A, то одержимо функцiю g̃ (n− 1)-го класу Бера на Z. З [13, теорема 2] В. В. Михайлюк 379 випливає, що iснує нарiзно неперервна функцiя f̃ : Zn → R, дiагональ якої дорiвнює g̃. Розглянемо функцiю f : X1 × · · · × Xn → R, f(x1, . . . , xn) = f̃(ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn)), яка, зрозумiло, є нарiзно неперервною. Нехай x = (x1, . . . , xn) ∈ E. Тодi ϕ1(x1) = · · · = ϕn(xn) ∈ A i f(x1, . . . , xn) = f̃(ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn)) = g̃(ϕ1(x1)) = g(h1(x1)) = g(x). Отже, g є дiагоналлю вiдображення f . У випадку, коли множина E псевдокомпактна, мiркуємо аналогiч- но. Розглядаючи множину S = N n−1, одержимо неперервнi вiдобра- ження ϕi : Ei → R S . Тодi множина A = ϕ1(E1) = · · · = ϕn(En) також буде функцiонально замкненою, оскiльки вона є псевдокомпактною в метризовному просторi Z. У випадку, коли X1 = X2 = · · · = Xn = X i E = ∆n, одержується наступний результат. Теорема 2. Нехай X — довiльний топологiчний простiр i g : X → R — функцiя (n − 1)-го класу Бера. Тодi iснує нарiзно неперервна функцiя f : Xn → R з дiагоналлю g. 4. Тепер перейдемо до розгляду випадку, коли простори X1, X2, . . . , Xn задовольняють умови типу компактностi. Теорема 3. Нехай X1, . . . , Xn — компакти, E — замкнена проек- тивно iн’єктивна множина в X1 × · · · × Xn i g : E → R — функ- цiя (n − 1)-го класу Бера. Тодi iснує нарiзно неперервна функцiя f : X1 × · · · × Xn → R, для якої f \|E = g. Доведення. Оскiльки множина E проективно iн’єктивна, то проекту- вання множини E на осi X1, X2, . . . , Xn є неперервними iн’єктивними вiдображеннями компактної множини E, а значить, є гомеоморфни- ми вкладеннями. Залишилось використати теорему 1. Теорема 4. Нехай X1, . . . , Xn — локально компактнi простори та- кi, що X = X1 × · · · × Xn — паракомпакт, E ⊆ X — замкнена локально проективно iн’єктивна множина i g : E → R — фун- кцiя (n − 1)-го класу Бера. Тодi iснує нарiзно неперервна функцiя f : X1 × · · · × Xn → R, для якої f \|E = g. Доведення. Для кожної точки p = (x1, . . . , xn) ∈ X1 × · · · × Xn вибе- ремо такi вiдкритi околи U (1) p , . . . , U (n) p точок x1, . . . , xn в просторах X1, . . . , Xn вiдповiдно, що замикання X (1) p = U (1) p , . . . , X (n) p = U (n) p є 380 Побудова нарiзно неперервних функцiй... компактами i множина Ep = E ∩ (X (1) p × · · · × X (n) p ) є проективно iн’єктивною. Згiдно з теоремою 3 iснує нарiзно неперервна функцiя fp : X (1) p × · · · × X (n) p → R, для якої fp\|Ep = g\|Ep . Оскiльки простiр X є паракомпактом, то iснує розбиття одиницi (ϕi : i ∈ I) на X, пiд- порядковане вiдкритому покриттю (Wp = U (1) p × · · · × U (n) p : p ∈ X) простору X [17, c. 447]. Для кожного i ∈ I виберемо таке pi ∈ X, що suppϕi ⊆ Wpi , i покладемо gi(x) = { fpi (x), якщо x ∈ Wpi , 0, якщо x 6∈ Wpi . Зауважимо, що функцiї ϕi · gi є нарiзно неперервними на X i (ϕigi)\|E = (ϕi\|E)g. Тодi функцiя f = ∑ i∈I ϕigi є шуканою. Лiтература [1] R. Baire, Sur les fonctions de variables reelles // Annali di mat. pura ed appl., ser. 3 (1899), N 3, 1–123. [2] H. Lebesgue, Sur l’aproximation des fonctions // Bull. Sci. Math. 22 (1898), 278–287. [3] H. Lebesgue, Sur les fonctions representables analytiquement // Journ. de Math., ser. 6 1 (1905), 139–216. [4] H. Hahn, Reelle Funktionen. 1. Teil. Punktfunktionen. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1932, 416 p. [5] W. Moran, Separate continuity and support of measures // J. London. Math. Soc. 44 (1969), 320–324. [6] W. Rudin, Lebesgue’s first theorem // Math. Analysis and Applications, Part B. Adv. in Math. Supplem. Studies. 7B (1981), 741–747. [7] G. Vera, Baire measurability of separately continuous functions // Quart. J. Math. Oxford. 39 (1988), N 153, 109–116. [8] O. V. Maslyuchenko, V.K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk, O. V. Sobchuk, Paracompactness and separately continuous mappings // General Topology in Banach spaces, Nova Sci. Publ., Nantintong, New-York. (2001), 147–169. [9] T. O. Banakh, (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications in the theory of separately continuous functions // Mat. studii. 18 (2002), N 1, 10–28. [10] M. Burke, Borel measurability of separately continuous functions II // Top. Appl. 134 (2003), N 3, 159–188. [11] O. Sobchuk, PP -spaces and Baire classification // International Conference on Functional Analysis and its Applications, dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts (May 28–31, 2002). Lviv, 2002. P. 189. [12] О. В. Собчук, Берiвська класифiкацiя i простори Лебега // Наук. вiсн. Чер- нiвецького ун-ту. (2001), вип. 111, 110–113. [13] В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, О. В. Собчук, Побудова нарiзно непе- рервної функцiї вiд n змiнних з даною дiагоналлю // Мат. студiї. 12 (1999), N 1, 101–107. В. В. Михайлюк 381 [14] M. Henriksen, R. G. Woods, Separate versus joint continuity: A tale of four topologies // Top. Appl. 97 (1999), N 1–2, 175–205. [15] В. В. Михайлюк, Топологiя нарiзної неперервностi та одне узагальнення те- ореми Серпiнського // Мат. студiї. 14 (2000), N 2, 193–196. [16] В. В. Михайлюк, Побудова нарiзно неперервних функцiй з даним звужен- ням // Укр. мат. журн. 55 (2003), N 5, 716–721. [17] Р. Энгелькинг, Общая топология. М.: Мир, 1986, 752 с. Вiдомостi про авторiв Володимир Васильович Михайлюк Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича вул. Коцюбинського, 2 58012 Чернiвцi Україна E-Mail: mathan@chnu.cv.ua

Побудова нарізно неперервних функцій від n змінних з даним звуженням

Репозитарії

Схожі ресурси