Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений
Изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения, возникающая, в частности, при изучении движения жидкости в морях или озерах. Указаны естественные весовые пространства Гельдера и Соболева, в которых оператор задачи является фредгольмовым и получены точные коэрцитивные оце...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124563 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 4. — С. 443-466. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124563 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245632017-09-30T03:03:24Z Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений Дегтярев, С.П. Изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения, возникающая, в частности, при изучении движения жидкости в морях или озерах. Указаны естественные весовые пространства Гельдера и Соболева, в которых оператор задачи является фредгольмовым и получены точные коэрцитивные оценки решения в указанных классах. Отмечено, в частности, что задача обладает свойством предельной гладкости решения даже при бесконечно гладких данных. 2006 Article Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 4. — С. 443-466. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35J25, 35J70. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124563 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения, возникающая, в частности, при изучении движения жидкости в морях или озерах. Указаны естественные весовые пространства Гельдера и Соболева, в которых оператор задачи является фредгольмовым и получены точные коэрцитивные оценки решения в указанных классах. Отмечено, в частности, что задача обладает свойством предельной гладкости решения даже при бесконечно гладких данных. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| spellingShingle |
Дегтярев, С.П. Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений Український математичний вісник |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| title_short |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| title_full |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| title_fullStr |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| title_sort |
об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124563 |
| citation_txt |
Об оптимальной регулярности решений первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 4. — С. 443-466. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp oboptimalʹnojregulârnostirešenijpervojkraevojzadačidlâodnogoklassavyroždaûŝihsâélliptičeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-09T01:38:34Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:38:34Z |
| _version_ |
1837131488522403840 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 4, 443 – 466
Об оптимальной регулярности решений
первой краевой задачи для одного класса
вырождающихся эллиптических уравнений
Сергей П. Дегтярев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Изучается первая краевая задача для вырождающе-
гося эллиптического уравнения, возникающая, в частности, при изу-
чении движения жидкости в морях или озерах. Указаны естествен-
ные весовые пространства Гельдера и Соболева, в которых оператор
задачи является фредгольмовым и получены точные коэрцитивные
оценки решения в указанных классах. Отмечено, в частности, что
задача обладает свойством предельной гладкости решения даже при
бесконечно гладких данных.
2000 MSC. 35J25, 35J70.
Ключевые слова и фразы. Вырождающееся эллиптическое урав-
нение, предельная регулярность, точные оценки.
1. Введение
При изучении геофизической модели, описывающей движение
жидкости в морях или озерах (Lake equation — см. [1,2] и имеющуюся
там библиографию) для функции тока Ψ(x), x ∈ Ω ⊂ R2 возникает
эллиптическая краевая задача вида
∇
( 1
h(x)
∇Ψ(x)
)
= g(x), x ∈ Ω; Ψ = 0, x ∈ ∂Ω, (1.1)
где Ω — заданная область, ∇ = ( ∂
∂x1
, ∂
∂x2
), g(x), h(x) — заданные фун-
кции, причем функция h(x) ≥ 0 моделирует глубину моря или озера
в соответствующей точке с координатой x. Ранее в ряде работ по
изучению математических моделей в океанографии предполагалось,
что h(x) > 0 в Ω, чтобы избежать изучения уравнений с особенно-
стью. В работах [1,2] впервые был рассмотрен тот естественный слу-
чай, когда, в соответствии с реальным физическим смыслом, глубина
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
444 Об оптимальной регулярности решений...
h(x) → 0 при x→ ∂Ω. При этом коэффициенты в уравнении (1.1) ста-
новятся неограниченными при x → ∂Ω. В работе [2] было доказано
существование решения задачи (1.1) в пространстве W 1
2 (Ω) с весом,
а именно в пространстве
H(Ω) = {Ψ ∈ L2(Ω) : h−1/2∇Ψ ∈ L2(Ω); Ψ = 0, x ∈ ∂Ω}. (1.2)
Функция h(x) предполагалась имеющей порядок расстояния до
∂Ω в окрестности ∂Ω.
В работе [1] рассмотрено, в частности, более общее уравнение вида
−∇(ϕ−a(x)∇Ψ(x)) = f(x), x ∈ Ω; Ψ = 0, x ∈ ∂Ω; a > 0,
(1.3)
где ϕ(x) — достаточно гладкая функция, имеющая порядок рассто-
яния до границы в окрестности ∂Ω, ϕ = 0, x ∈ ∂Ω, а функция
f ∈ Lp(Ω).
Легко видеть, что уравнение в этой задаче можно записать в виде
−ϕ△Ψ + a∇ϕ∇Ψ = g(x) ≡ ϕa+1f, a > 0. (1.4)
В соответствии с этим в упомянутой работе рассмотрена задача
Дирихле с нулем на границе для более общего уравнения вида
ϕ(x)
n∑
i,j=1
pij
∂2Ψ
∂xi∂xj
+ a
n∑
i=1
pi
∂Ψ
∂xi
= ϕa+1f, (1.5)
где коэффициенты уравнения (1.5) удовлетворяют условиям типа
(2.5), (2.6) и имеющим тот же смысл, f ∈ Lp(Ω). Для p > 2 была по-
лучена априорная оценка решения в некотором весовом пространстве
Соболева в терминах функции f(x) из (1.5). При этом принципиаль-
ным моментом в изучении уравнения (1.5) являлось то, что правая
часть уравнения имеет специальный вид g = ϕa+1f и, следователь-
но, имеет определенный (достаточно большой) порядок обращения в
нуль на границе ∂Ω. Это позволило произвести замену неизвестной
функции Ψ(x) = ϕa+1Φ(x), что сводит уравнение (1.5) локально вбли-
зи границы области к уравнению типа
−ϕ△Φ − b∇ϕ∇Φ = f, (1.6)
где b = a+ 2 > 0.
Уравнение типа (1.6), отличающееся от (1.4) знаком коэффициен-
та при ∇ϕ∇Ψ, изучалось в [3]. Отметим, что уравнения (1.4) и (1.6),
С. П. Дегтярев 445
хотя и аналогичны по виду, принципиально отличаются по постанов-
ке краевых задач: для уравнения (1.6) нельзя задавать краевые усло-
вия Дирихле на ∂Ω, тогда как их необходимо задавать для уравнения
(1.4) (см. условия Фикеры в [4]).
Другим важным отличием краевых задач для уравнений (1.4) и
(1.6) является то, что, как оказалось, уравнение (1.4) не может, вооб-
ще говоря, повысить гладкость решения выше, чем до H1+a(Ω) (a —
константа из (1.3), (1.4)) даже при бесконечно дифференцируемой
границе, граничных данных и правой части уравнения, если эта пра-
вая часть не имеет указанного выше специального вида. (Здесь и
ниже H l(Ω), l > 0 — обычные пространства Гельдера.)
Целью данной работы является систематическое изучение свойств
задачи Дирихле для уравнений типа (1.1), (1.4), (1.5) в классах глад-
ких функций (весовых классах Гельдера) и весовых классах W k
p , p >
1, при общей правой части уравнения (не имеющей специального вида
(1.4), (1.5)), при которой решения краевой задачи сохраняют регуляр-
ность. Для уравнения (1.1) это, в частности, означает, что мы рассма-
триваем правую часть, удовлетворяющей условию h2(x)g(x) ∈ L2(Ω),
а для уравнения (1.3) мы рассматриваем правую часть f(x) такой,
что ϕa+1(x)f(x) ∈W k
p (Ω), k ≥ 0 или ϕa+1(x)f(x) ∈ Hk+α(Ω).
2. Постановка задачи и основной результат
Пусть Ω — ограниченная область в Rn с границей класса Hk+2+α.
Здесь и всюду ниже k ∈ N ∪ {0}, α ∈ (0, 1). В области Ω рассмотрим
следующую краевую задачу для нахождения неизвестной функции
u(x) (x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω):
Lu ≡ ϕ(x)
n∑
i,j=1
aij(x)
∂2u
∂xi∂xj
+
n∑
i=1
ai(x)
∂u
∂xi
+ c(x)u(x) = f(x), x ∈ Ω,
(2.1)
u(x) = ψ(x), x ∈ ∂Ω. (2.2)
Здесь f(x) и ψ(x) — заданные функции. Коэффициенты оператора L
из (2.1) предполагаются принадлежащими классу Hk+α(Ω),
n∑
i,j=1
|aij |
(k+α)
Ω +
n∑
i=1
|ai|
(k+α)
Ω + |c|
(k+α)
Ω ≤ C,
C−1ξ2 ≤
n∑
i,j=1
aijξiξj ≤ Cξ2, ξ ∈ Rn,
446 Об оптимальной регулярности решений...
где здесь и ниже через C мы обозначаем все константы, которые либо
являются абсолютными, либо зависят от параметров задачи (2.1),
(2.2), но не зависят от f и ψ.
Функция ϕ(x) предполагается имеющей следующие свойства:
ϕ ∈ Hk+2+α(Ω); ϕ = 0, x ∈ ∂Ω; ϕ > 0, x ∈ Ω; |∇ϕ| > 0, x ∈ ∂Ω,
(2.3)
то есть, в частности, функция ϕ(x) имеет порядок расстояния до гра-
ницы ∂Ω.
Введем следующую функцию, определенную в окрестности гра-
ницы ∂Ω:
Z(x) =
∑n
i=1 ai(x)ϕxi
(x)∑n
i,j=1 aij(x)ϕxi
(x)ϕxj
(x)
. (2.4)
Относительно коэффициентов уравнения (2.1) мы предполагаем,
что выполнены условия (ср. [1, 3])
max
x∈∂Ω
Z(x) = −a0 < 0, (2.5)
aj(x) − Z(x)
n∑
i=1
aji(x)ϕxi
(x) = O(dist(x, ∂Ω)) = O(ϕ). (2.6)
Отметим, что эти условия инвариантны относительно гладкой за-
мены координат в уравнении (2.1) и их смысл состоит в том, что
оператор L в (2.1) локально вблизи границы ∂Ω после подходящей
замены переменных близок к более простому оператору вида опера-
тора уравнения (1.4) (для оператора в (1.4) Z(x) ≡ −a), и который в
каждой данной точке границы в соответствующих локальных коор-
динатах в этой точке близок к оператору L0 из (5.1). Отметим также
и то, что, поскольку уравнение (2.1) вырождается на всей границе ∂Ω
ввиду свойств функции ϕ(x), то выражения типа (2.4) с необходимо-
стью должны быть приняты во внимание при постановке краевой
задачи (см. [4]). В нашем случае, когда выполнено (2.5) с a0 > 0, мы
задаем условие Дирихле на всей границе ∂Ω.
Определим теперь весовые пространства функций, в которых мы
будем рассматривать оператор L из (2.1). Пусть Hk+2+α
ϕ (Ω) — бана-
хово пространство непрерывных в Ω функций, для которых конечна
норма
|u|
(k+2+α)
ϕ,Ω ≡ |u|
(k+1+α)
Ω + |ϕu|
(k+2+α)
Ω , (2.7)
где |u|lΩ — обычная норма в пространстве Гельдера H l(Ω). Пусть,
далее, W k+2
p,ϕ (Ω) — банахово пространство измеримых в Ω функций с
конечной нормой
‖u‖
(k+2)
p,ϕ,Ω = ‖u‖
(k+1)
p,Ω + ‖ϕu‖
(k+2)
p,Ω , (2.8)
С. П. Дегтярев 447
где ‖u‖
(k)
p,Ω и ‖u‖p,Ω — обычные нормы в пространствахW k
p (Ω) и Lp(Ω).
Через Ḣk+2+α
ϕ (Ω) и Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) мы будем обозначать замкнутые под-
пространства пространств Hk+2+α
ϕ (Ω) и W k+2
p,ϕ (Ω) соответственно, со-
стоящие из функций, обращающихся в нуль на границе ∂Ω.
Примем также следующее соглашение. Символом L в зависимости
от контекста мы будем обозначать как дифференциальное выражение
в (2.1), так и оператор, определенный на функциях из функциональ-
ных пространств (2.7) или (2.8), и ставящий им в соответствие значе-
ние выражения (2.1) и их граничные значения на ∂Ω. Легко видеть,
что L является линейным непрерывным оператором в пространствах
W k+2
p,ϕ (Ω) →W k
p (Ω) ×W k+1−1/p
p (∂Ω),
Hk+2+α
ϕ (Ω) → Hk+α(Ω) ×Hk+1+α(∂Ω).
Сужение оператора L на Ḣk+2+α
ϕ (Ω) и на Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) мы будем рас-
сматривать как оператор из Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) в W k
p,ϕ(Ω) и из Ḣk+2+α
ϕ (Ω) в
Hk+α
ϕ (Ω) соответственно.
Сформулируем теперь основные утверждения.
Теорема 2.1. Пусть выполнены сформулированные выше условия
на коэффициенты оператора L из (2.1), в том числе условия (2.5),
(2.6). Пусть α ∈ (0, 1) ∩ (0, a0), где a0 — число из условия (2.5).
Пусть, далее, выполнено условие на коэффициент c(x) в уравнении
(2.1):
c(x) ≤ −c0 < 0, x ∈ Ω. (2.9)
Тогда, если k таково, что k < a0, то при любой правой части
f ∈ W k
p (Ω) в (2.1) и любых граничных данных ψ ∈ W
k+1−1/p
p (∂Ω) в
(2.2) задача (2.1), (2.2) имеет единственное решение из пространс-
тва W k+2
p,ϕ (Ω), причем справедлива оценка
‖u‖
(k+2)
p,ϕ,Ω ≤ C
(
‖f‖
(k)
p,Ω + ‖ψ‖
(k+1−1/p)
p,∂Ω
)
. (2.10)
Если же k ≥ a0, то последнее утверждение неверно.
Далее, если k и α таковы, что k+α < a0, то при любой правой ча-
сти f ∈ Hk+α(Ω) в (2.1) и любых граничных данных ψ ∈ Hk+1+α(∂Ω)
в (2.2) задача (2.1), (2.2) имеет единственное решение из пространс-
тва Hk+2+α
ϕ (Ω), причем справедлива оценка
|u|
(k+2+α)
ϕ,Ω ≤ C
(
|f |
(k+α)
Ω + |ψ|
(k+1+α)
∂Ω
)
. (2.11)
Если же k + α ≥ a0, то это утверждение неверно.
448 Об оптимальной регулярности решений...
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 за исключени-
ем условия (2.9), и пусть k + α < a0. Тогда существует такой не
более чем счетный набор комплексных чисел λi, λi → ∞ при i→ ∞,
что при λ 6= λi задача
Lu− λu = f, x ∈ Ω; u = ψ, x ∈ ∂Ω (2.12)
однозначно разрешима в описанных выше пространствах при f и
ψ из соответствующих классов, причем справедливы оценки (2.10),
(2.11).
Если же λ = λi, то оператор L − λI является фредгольмовым
в описанных выше пространствах, то есть имеет нетривиальное
конечномерное ядро и конечномерное коядро, причем их размерности
совпадают.
При этом сам набор чисел λi, а также размерности ядра и ко-
ядра оператора L−λI не зависят от того, в каком из пространств
W k+2
p,ϕ (Ω) или Hk+2+α
ϕ (Ω) мы его рассматриваем (в частности, они
не зависят от k, p и α).
При любом λ справедливы следующие априорные оценки решения
задачи (2.12):
‖u‖
(k+2)
p,ϕ,Ω ≤ Cλ
(
‖f‖
(k)
p,Ω + ‖ψ‖
(k+1−1/p)
p,∂Ω + ‖u‖p,Ω
)
,
|u|
(k+2+α)
ϕ,Ω ≤ Cλ
(
|f |
(k+α)
Ω + |ψ|
(k+1+α)
∂Ω + |u|0,Ω
)
.
(2.13)
3. О граничных условиях (2.2)
Несложно указать такой линейный непрерывный оператор P (опе-
ратор продолжения функций с границы ∂Ω внутрь Ω), что при ∂Ω ∈
Hk+2+α и ϕ ∈ Hk+2+α(Ω)
P : W k+1−1/p(∂Ω) →W k+2
p,ϕ,Ω(Ω), Hk+1+α(∂Ω) → Hk+2+α
ϕ (Ω);
Pψ = ψ, x ∈ ∂Ω.
Действительно, для любой ψ из соответствующего класса поло-
жим по определению Pψ = w(x), где w(x) — решение следующей
задачи Дирихле
△w(x) = 0, x ∈ Ω; w = ψ, x ∈ ∂Ω.
Как хорошо известно из теории эллиптических уравнений, такая
задача имеет единственное решение, причем
‖w‖
(k+1)
p,Ω ≤ C ‖ψ‖
(k+1−1/p)
p,∂Ω , |w|
(k+1+α)
Ω ≤ C |ψ|
(k+1+α)
∂Ω . (3.1)
С. П. Дегтярев 449
Функция ϕ(x)w(x) при этом удовлетворяет задаче
△(ϕw) = F ≡ 2∇ϕ∇w + w△ϕ, x ∈ Ω; ϕw = 0, x ∈ ∂Ω,
причем
‖F‖
(k)
p,Ω ≤ C ‖w‖
(k+1)
p,Ω ≤ C ‖ψ‖
(k+1−1/p)
p,∂Ω ,
|F |
(k+α)
Ω ≤ C |w|
(k+1+α)
Ω ≤ C |ψ|
(k+1+α)
∂Ω .
Поэтому
‖ϕw‖
(k+2)
p,Ω ≤ C ‖ψ‖
(k+1−1/p)
p,∂Ω , |ϕw|
(k+2+α)
Ω ≤ C |ψ|
(k+1+α)
∂Ω .
Вместе с неравенствами (3.1) это по определению означает ограни-
ченность оператора P в указанных пространствах.
В силу наличия такого оператора P , задача (2.1), (2.2) сводится к
задаче с нулевыми граничными данными. При этом, как легко видеть,
все утверждения теорем 2.1 и 2.2 эквивалентны таким же утвержде-
ниям об операторе L, действующем в пространствах Ẇ k+2
p,φ (Ω) или
Ḣk+2+α
ϕ (Ω). Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать опера-
тор L именно в этих пространствах и считать ψ = 0 в (2.2).
4. О предельной гладкости решений задачи (2.1), (2.2)
Рассмотрим несколько примеров, моделирующих задачу (2.1),
(2.2) в простейшем случае и показывающих необходимость требова-
ния k + α < a0 в теоремах 1.1 и 1.2.
Пусть в этом пункте x — одномерная переменная (число), x ∈
[0, 1]. Рассмотрим на отрезке [0, 1] следующую краевую задачу:
xu′′(x) − au′(x) = f(x), x ∈ (0, 1); u(0) = u(1) = 0, (4.1)
где a = const > 0.
Пусть сначала f(x) = f1(x) ≡ 1. Тогда, умножая уравнение (4.1)
на x−(a+1) и интегрируя, находим соответствующее решение рассма-
триваемой краевой задачи:
u1(x) = −
x
a
+
1
a
xa+1.
Следовательно, при нецелом a > 0 и f(x) ∈ C∞([0, 1]) решение
u1(x) имеет гладкость не выше, чем H1+a([0, 1]).
Покажем теперь, что предельная гладкость H1+a([0, 1]) недости-
жима, вообще говоря, при f(x) из “соответствующего” класса
450 Об оптимальной регулярности решений...
Ha([0, 1]). Положим f(x) = f2(x) = xa. Тогда соответствующее ре-
шение u2(x) есть
u2(x) =
x∫
0
ξa ln ξdξ + C2x
a+1, C2 = −
1∫
0
ξa ln ξdξ,
u′2(x) = xa lnx+ (a+ 1)C2x
a,
и мы видим, что при правой части в (4.1) из Ha([0, 1]) решение не
принадлежит H1+a([0, 1]), но принадлежит Hk+1+α([0, 1]) при любых
k+α < a. Это справедливо независимо от того, является ли a целым
или нет. При целом a > 0 функция f2(x) ∈ C∞([0, 1]), поэтому этот же
пример показывает, что при целом a и при f(x) ∈ C∞([0, 1]) решение
задачи (4.1) принадлежит классу Hk+1+α([0, 1]) при k + α < a, но не
принадлежит, вообще говоря, даже классу H1+a([0, 1]).
Нетрудно видеть, что рассмотренные примеры могут служить так-
же примерами ограниченной параметром a гладкости решений зада-
чи (4.1) в классах W k
p ([0, 1]) (функция f1(x), например, принадлежит
W k
p ([0, 1]) при всех p и k ), хотя можно привести и другие примеры.
Таким образом, все вышесказанное показывает, что требование
k + α < a0, α ∈ (0, 1) ∩ (0, a0), в теоремах 1.1 и 1.2 является суще-
ственным и не может быть ослаблено.
5. Модельная задача в полупространстве
Обозначим Rn
+ = {x = (x′, xn) ∈ Rn : xn > 0}. Пусть a > 0
фиксировано и пусть k и α таковы, что k+α < a. Пусть, далее, f(x) —
функция с ограниченным носителем, определенная в Rn
+. Рассмотрим
в Rn
+ следующую задачу для неизвестной функции u(x):
L0u ≡ xn△u− auxn = f(x), x ∈ Rn
+; (5.1)
u(x′, 0) = 0, xn = 0,
(
x′ ≡ (x1, x2, . . . , xn−1)
)
;
|u(x)| ≤ C, |x| → ∞.
Лемма 5.1. Если f(x) ∈ C∞
0 (Rn
+), то существует решение задачи
(5.1) и оно представимо в виде
u(x) =
∫
Rn
+
G(x, y)f(y) dy, (5.2)
С. П. Дегтярев 451
где
G(x, y) = Cx1+a
n
1∫
0
[θ(1 − θ)]a/2 dθ
(
|y − x|2 + 4xnynθ
)n+a
2
. (5.3)
Доказательство этого утверждения, по существу, содержится в [3].
В этой работе получено представление решения задачи типа (5.1)
с заменой оператора L0 на оператор M0u ≡ xn△u + buxn , b > 0.
В случае, когда f ∈ C∞
0 (Rn
+), замена неизвестной функции u(x) =
xa+1
n v(x) сводит уравнение в (5.1) к уравнению M0v = fx
−(a+1)
n ∈
C∞
0 (Rn
+) с b = a+ 2. Отсюда следует представление (5.2).
Лемма 5.2. Для функции G(x, y) из (5.3) справедливы оценки:
|G(x, y)| ≤ Cωx
−1+ω
n |y − x|−(n−2+ω) , ω ∈ (0, 2 + a]; (5.4)
|∇xG| + |∇yG| ≤ Cωx
−1+ω
n |y − x|−(n−1+ω) , ω ∈ [0, 1 + a]; (5.5)
∣∣∣∣
∂2G
∂xj∂xi
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∇y
∂G
∂xk
∣∣∣∣ ≤ Cωx
−1+ω
n |y − x|−(n+ω) , (5.6)
i < n, j, k = 1, n, ω ∈ [0, 1 + a];
∣∣∣∣
∂2G
∂xn∂xn
∣∣∣∣ ≤ Cω1
x−2+ω1
n |y − x|−(n−1+ω1) + Cω2
x−1+ω2
n |y − x|−(n+ω2) ,
(5.7)
ω1, ω2 ∈ [0, 1 + a];
∣∣∣∣
∂3G
∂xi∂xj∂xk
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣
∂3G
∂xi∂xj∂yk
∣∣∣∣ ≤ Cωx
−1+ω
n |y − x|−(n+1+ω) , (5.8)
i, j < n, k = 1, n, ω ∈ [0, 1 + a].
Доказательство. Докажем оценку (5.4). Если 1
2xn ≤ |y − x|, то для
ω ≤ 2 + a
|G(x, y)| ≤ Cx1+a
n |y − x|−n−a
1∫
0
[θ(1 − θ)]a/2 dθ
= Cx−1+ω
n
(
x2+a−ω
n |y − x|−n−a) ≤ Cx−1+ω
n |y − x|−(n−2+ω) .
Если же |y − x| ≤ 1
2xn, то, как легко видеть, C−1 ≤ xn/yn ≤ C и
для ω ∈ (0, 2 + a] мы имеем, так как xnyn ≥ C−1x2
n:
452 Об оптимальной регулярности решений...
|G| = Cx1+a
n
∣∣∣∣∣
1∫
0
[θ(1 − θ)]a/2 dθ
(
|y − x|2 + 4xnynθ
)n−2+ω
2
(
|y − x|2 + 4xnynθ
) 2−ω+a
2
∣∣∣∣∣
≤ Cx1+a
n |y − x|−(n−2+ω) x−(2−ω+a)
n
1∫
0
θ−1+ω/2(1 − θ)a/2dθ
= Cx−1+ω
n |y − x|−(n−2+ω) .
Таким образом, оценка (5.4) доказана. Оценки (5.5)–(5.8) дока-
зываются аналогично путем непосредственного дифференцирования
функции G(x, y). Лемма доказана.
Заметим, что функция G(x, y) интегрируема по y на бесконечно-
сти. Более точно, если R > 0, то при |x| ≤ R и |y| ≥ 2R
|G(x, y)| + |∇xG(x, y)| ≤ CR |y|−(n+a) .
Заметим также, что ввиду последней оценки и в силу оценки (5.4)
с ω = 1 + α, интеграл в представлении (5.2) существует при любой
ограниченной гладкой функции f и удовлетворяет граничному усло-
вию в (5.1). Кроме того, оценка (5.5) означает, в частности, что ин-
теграл
∇u(x) =
∫
Rn
+
∇xG(x, y)f(y) dy
является интегралом со слабой особенностью при x, лежащих стро-
го внутри Rn
+. Эти обстоятельства позволяют несложными рассу-
ждениями с помощью обращения к понятию обобщенного решения
уравнения (5.1) и предельного перехода доказать, что интеграл (5.2)
с ограниченной f ∈ C∞(Rn
+) удовлетворяет уравнению (5.1) вну-
три Rn
+. Если, кроме того, функция f(x) финитна по xn, то есть
supp f ⊂ {0 ≤ xn ≤ R}, то интеграл (5.2) удовлетворяет и условию
ограниченности на бесконечности из (5.1), и, таким образом, пред-
ставление (5.2) для решения задачи (5.1) справедливо не только для
f ∈ C∞
0 , но и для ограниченных f ∈ C∞ c носителем в {0 ≤ xn ≤ R}.
Сформулируем это утверждение в виде леммы.
Лемма 5.3. Представление (5.2) для решения задачи (5.1) справе-
дливо для любой ограниченной f(x) ∈ C∞(Rn
+) такой, что suppf ⊂
{0 ≤ xn ≤ R} с некоторым R > 0.
Рассмотрим свойства потенциала (5.2) в пространствах Гельдера.
Пусть для R > 0 здесь и далее BR = {x ∈ Rn : |x| ≤ R, xn ≥ 0} —
замкнутый полушар в пространстве Rn
+ с центром в нуле.
С. П. Дегтярев 453
Лемма 5.4. Пусть в (5.1) f(x) имеет ограниченный в Rn
+ носитель,
suppf ⊂ BR0
, R0 > 0, и f ∈ Hk+α(Rn
+), k + α < a. Тогда задача
(5.1) имеет решение, которое представляется в виде (5.2), и при
любом R ≥ R0 для функции u(x), определенной потенциалом (5.2),
справедлива оценка
|u|
(k+2+α)
xn,Rn
+
∩B2R
≡ |u|
(k+1+α)
Rn
+
∩B2R
+ |xnu|
(k+2+α)
Rn
+
∩B2R
≤ CR |f |
(k+α)
Rn
+
. (5.9)
Доказательство. Ввиду леммы 5.3 и возможности предельного пе-
рехода, достаточно, очевидно, доказать оценку (5.9). Пусть сначала
k = 0, то есть f ∈ Hα(Rn
+). Оценим константы Гельдера произво-
дных uxi
(x). Ввиду оценки (5.5) мы можем дифференцировать u(x)
под знаком интеграла в (5.2), то есть
uxi
(x) =
∫
Rn
+
Gxi
(x, y)f(y) dy.
Пусть η(r) — функция класса C∞([0,∞)) такая, что η(r) ≡ 1 при
0 ≤ r ≤ R и η(r) ≡ 0 при r ≥ 2R. Тогда, так как η(yn) ≡ 1 на носителе
f(y), имеем
uxi
(x) =
∫
Rn
+
Gxi
(x, y) [f(y) − f(x)] η(yn) dy + f(x)Fi(xn) ≡ I(x) + J(x),
(5.10)
где
Fi(xn) ≡
∫
Rn
+
Gxi
(x, y)η(yn) dy =
∂
∂xi
∫
Rn
+
G(x, y)η(yn) dy ≡
∂
∂xi
Φ(xn),
так как, в силу определения G(x, y), легко видеть, что функция Φ(xn)
=
∫
Rn
+
G(x, y)η(yn) dy не зависит от “касательных” переменных x′.
В силу леммы 5.3, функция Φ(xn) является решением задачи (5.1)
с правой частью уравнения f(x) = η(xn). Поскольку эта функция за-
висит только от xn, то уравнение в (5.1) превращается в обыкновен-
ное и легко может быть проинтегрировано (умножением обеих частей
уравнения на x
−(a+1)
n ). С учетом граничных условий и условия на бе-
сконечности это дает
Φ(xn) = −
xn∫
0
ζadζ
2R∫
ζ
η(ξ)ξ−a−1dξ. (5.11)
454 Об оптимальной регулярности решений...
Следовательно, для i < n, Fi = ∂Φ/∂xi ≡ 0, а для i = n
Fn(xn) =
∂Φ
∂xn
= −
1
a
η(xn) −
xa
n
a
2R∫
xn
η′(ξ)ξ−adξ,
где было применено интегрирование по частям.
Легко видеть, что Fn(xn) ∈ Hα для любого α ≤ a, но показатель
a при нецелом a является предельным для гладкости Fn(xn), так как
при xn < R выполнено η′(xn) ≡ 0 и, следовательно,
Fn(xn) = −
1
a
− Cnx
a
n, Cn ≡
1
a
2R∫
R
η′(ξ)ξ−adξ. (5.12)
Таким образом, в силу свойств Fi(xn) и условия α < a, для фун-
кции J(x) в представлении (5.10), очевидно, выполнено
|J(x)|
(α)
B2R
≤ C |f(x)|
(α)
Rn
+
. (5.13)
Рассмотрим теперь I(x) из (5.10). Оценим сначала |I(x)|. Имеем
для xn > 0:
I(x) =
∫
|x−y|<xn
Gxi
(x, y) [f(y) − f(x)] η dy
+
∫
|x−y|>xn
Gxi
(x, y) [f(y) − f(x)] η dy ≡ I1 + I2.
Для I1, пользуясь оценкой (5.5) с ω = 1, ввиду свойств f(x) полу-
чаем
|I1| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
∫
|x−y|<xn
|x− y|−n+α dy ≤ C |f |
(α)
Rn
+
xα
n.
Для оценки I2 воспользуемся той же оценкой (5.5), но с ω = 1+β,
где β выберем из интервала (α,min{1, a}) (это возможно, так как
α < a). Имеем
|I2| ≤ Cxβ
n |f |
(α)
Rn
+
∫
|x−y|>xn
|x− y|−n−(β−α) dy
≤ C |f |
(α)
Rn
+
xβ
nx
−(β−α)
n = C |f |
(α)
Rn
+
xα
n.
С. П. Дегтярев 455
Из полученных оценок для I1 и I2 следует, что
|I(x)| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
xα
n. (5.14)
Пусть теперь x, x ∈ Rn
+ — две произвольные точки, причем, не
ограничивая общности, xn ≥ xn. Оценивая константу Гельдера I(x),
рассмотрим две возможности. Пусть сначала |x− x| ≥ 1
2xn. Тогда,
если xn ≥ 1
2xn, то |x− x| ≥ 1
4xn. Если же xn <
1
2xn, то xn − xn >
1
2xn
и тем более |x− x| ≥ 1
2xn. Таким образом, в этом случае |x− x| ≥ 1
4xn
и мы имеем
|I(x) − I(x)|
|x− x|α
≤
|I(x)|
|x− x|α
+
|I(x)|
|x− x|α
≤ C
(
|I(x)|
xα
n
+
|I(x)|
xα
n
)
≤ C |f |
(α)
Rn
+
в силу оценки (5.14).
Пусть теперь |x− x| < 1
2xn. Представим разность I(x) − I(x) в
следующем виде
I(x) − I(x) = [f(x) − f(x)]
∂
∂xi
∫
Rn
+
G(x, y)η dy
+
∫
|x−y|>2|x−x|
[
∂
∂xi
G(x, y) −
∂
∂xi
G(x, y)
]
[f(y) − f(x)] η dy
+ [f(x) − f(x)]
∫
|x−y|<2|x−x|
∂
∂xi
Gη dy
+
∫
|x−y|<2|x−x|
∂
∂xi
G(x, y) [f(y) − f(x)] η dy
−
∫
|x−y|<2|x−x|
∂
∂xi
G(x, y) [f(y) − f(x)] η dy
≡ I1 + I2 + I3 + I4 + I5.
Рассмотрим каждый из интегралов Ik в отдельности. Для I1, вви-
ду указанных выше свойств функции Fi(xn), выполнено
|I1| ≤ |f(x) − f(x)| |Fi(xn)| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α .
Для оценки I2 мы, в зависимости от того i 6= n или i = n, поль-
зуемся либо оценкой (5.6) с ω = 1, либо оценкой (5.7) с ω1 = 1 + β,
ω2 = 1, причем β выбираем из интервала (α,min{1, a}). В любом из
этих случаев по теореме о среднем имеем с некоторым xθ ∈ [x, x]:
456 Об оптимальной регулярности решений...
|I2| ≤ C |x− x|
∫
|x−y|>2|x−x|
∣∣∣∣∇x
∂
∂xi
G(xθ, y)
∣∣∣∣ |f(y) − f(x)| dy
≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|
∫
|x−y|>2|x−x|
{
[(xθ)n]−1+β |xθ − y|−(n+β)
+ |xθ − y|−(n+1)
}
|x− y|α dy ≡ C |f |
(α)
Rn
+
(I
(1)
2 + I
(2)
2 ).
Заметим, что, в силу условия |x− x| < 1
2xn, выполнено C−1 ≤
xθ/xn ≤ C, и на множестве
{
y ∈ Rn
+ : |x− y| > 2 |x− x|
}
величины
|xθ − y| и |x− y| эквивалентны, то есть C−1 ≤ |xθ − y| / |x− y| ≤ C.
Поэтому для I
(1)
2 справедлива оценка
I
(1)
2 ≤ Cx−1+β
n |x− x|
∫
|x−y|>2|x−x|
|x− y|−n−(β−α) dy
= Cx−1+β
n |x− x|1−(β−α) = C
(
|x− x|
xn
)1−β
|x− x|α ≤ C |x− x|α .
Аналогично для интеграла I
(2)
2
I
(2)
2 ≤ C |x− x|
∫
|x−y|>2|x−x|
|x− y|−n−(1−α) dy = C |x− x|α .
Таким образом, для I2 выполнено неравенство
|I2| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α .
Далее, для интеграла I3, в силу оценки (5.5) с ω = 1−β, β ∈ (0, 1),
имеем
|I3| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α x−β
n
∫
|x−y|<2|x−x|
|x− y|−n+β dy
= C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α
(
|x− x|
xn
)β
≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α .
Интегралы I4 и I5 оцениваются аналогично. Оценим, например,
I4:
|I4| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
∫
|x−y|<2|x−x|
|x− y|−n+α dy
С. П. Дегтярев 457
≤ C |f |
(α)
Rn
+
∫
|x−y|<3|x−x|
|x− y|−n+α dy = C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α ,
где мы воспользовались оценкой (5.5) с ω = 1.
Таким образом, объединяя полученные оценки для Ik, k = 1, 5,
получаем
|I(x) − I(x)| ≤ C |f |
(α)
Rn
+
|x− x|α ,
что означает оценку константы Гельдера функции I(x). Так как, в
силу (5.14), I(x) = 0 при xn = 0, то
|I(x)|
(α)
B2R∩Rn
+
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
,
что, вместе с неравенством (5.13) и условием u(x′, 0) = 0, означает,
что
|u(x)|0,B2R∩Rn
+
+ |uxi
(x)|
(α)
B2R∩Rn
+
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
, (5.15)
то есть оценку первого слагаемого в левой части (5.9) при k = 0.
Оценки вторых производных с весом xn также можно получить
непосредственно из потенциала (5.2), используя лемму 5.2 и пред-
ставление
uxixj
(x) =
∫
Rn
+
Gxixj
(x, y) [f(y) − f(x)] η(yn) dy + f(x)
∂
∂xj
Fi(xn),
которое следует из (5.10) дифференцированием при достаточно глад-
кой f и предельным переходом. Но проще поступить по-другому.
Пусть ζ(x) — срезающая функция, причем ζ(x) ≡ 1 на B2R, ζ(x) ≡ 0
вне B3R. Тогда, как нетрудно видеть, функция v(x) = xnu(x)ζ(x)
удовлетворяет задаче
△v = F (x) ≡ xnu△ζ + 2∇ζ∇(xnu) + (a+ 2)uxnζ + ζf, x ∈ Rn
+;
v = 0, xn = 0; |v| ≤ C, |x| → ∞;
причем F (x) финитна и
|F (x)|
(α)
Rn
+
≤ C
(
|u|
(α)
B3R∩Rn
+
+ |∇u|
(α)
B3R∩Rn
+
+ |f |
(α)
Rn
+
)
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
по доказанному в (5.15). Следовательно, как это хорошо известно для
оператора Лапласа,
|v|
(2+α)
B3R∩Rn
+
≤ CR |F (x)|
(α)
Rn
+
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
.
458 Об оптимальной регулярности решений...
То есть, в частности,
|xnu(x)|
(2+α)
B2R∩Rn
+
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
, (5.16)
что завершает доказательство (5.9) при k = 0.
Доказательство оценки (5.9) при 0 < k < a получается по ин-
дукции. Пусть k = 1 < a, то есть f ∈ H1+α(Rn
+). Если i 6= n, то
функция uxi
(x) удовлетворяет тому же уравнению (5.1), но с правой
частью fxi
(x) (так как строго внутри Rn
+ уравнение (5.1) невыро-
ждено и гладкость решения определяется гладкостью правой части),
граничному условию uxi
= 0 при xn = 0 и ограничена на бесконе-
чности (последнее легко следует, как отмечалось выше, из свойств
потенциала (5.2) с финитной плотностью). Следовательно, по уже
доказанному, для функции vi(x) = uxi
(x) справедливы оценки (5.15)
и (5.16) с заменой f на fxi
.
Если же i = n, то функция vn(x) = uxn(x) удовлетворяет, как
легко убедиться дифференцированием, уравнению
xn△vn − (a− 1)(vn)xn = f̃ ≡ fxn −
n−1∑
i=1
(vi)xi
, (5.17)
где, по доказанному выше,
∣∣∣f̃
∣∣∣
(α)
B2R∩Rn
+
≤ CR |f |
(α)
Rn
+
.
Кроме того, из представления (5.10) с учетом (5.12) и оценки
(5.14), следует, что при xn = 0
vn(x′, 0) = −
1
a
f(x).
То есть функция vn удовлетворяет уравнению (5.17) типа (5.1) и име-
ет граничные условия при xn = 0 из класса H1+α. При этом правая
часть f̃ в (5.17), вообще говоря, не финитна. Рассматривая, как и
выше, срезку w(x) = ζ(x)vn(x) и снимая граничные условия спосо-
бом, указанным в пункте 3, мы приходим к задаче для w(x) вида
(5.1). Это дает оценки (5.15) и (5.16) для функции vn(x) = uxn(x) и,
таким образом, оценку (5.9) с k = 1.
Ясно, что шаг за шагом мы можем продолжить повышение глад-
кости в соответствии с гладкостью правой части в (5.1) пока величина
a− k > 0, то есть k < a. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь свойства потенциала (5.2) в пространствах Со-
болева. При этом отметим, что в этом случае удается воспользоваться
С. П. Дегтярев 459
теорией Кальдерона–Зигмунда и общими свойствами сингулярных
интегралов, действующих в пространстве Lp. В частности, справе-
дливо следующее утверждение.
Лемма 5.5. Рассмотрим в ограниченной области Ω ⊂ Rn сингуляр-
ный интегральный оператор K, задаваемый ядром K(x, y), x, y ∈ Ω:
u(x) =
∫
Ω
K(x, y)f(y) dy.
Пусть ядро K(x, y) является гладким при x 6= y и имеют место
оценки
|K(x, y)| ≤ C |x− y|−n , |∇xK(x, y)|+|∇yK(x, y)| ≤ C |x− y|−n−1 .
(5.18)
Тогда, если известно, что оператор K ограничен из L2(Ω) в L2(Ω),
то он ограничен как оператор из Lp(Ω) в Lp(Ω) при любом p > 1.
По поводу несложного доказательства этой леммы, основанно-
го на известной теории сингулярных интегралов, см. доказательство
предложения 6.3 в [1], а также [5].
Лемма 5.6. Пусть в (5.1) f(x) ∈ W k
p (Rn
+), k < a, p > 1, и имеет
компактный носитель в BR. Тогда потенциал (5.2) дает решение
задачи (5.1) и справедливы оценки
‖u‖
(k+1)
p,B2R∩Rn
+
+ ‖xnu‖
(k+2)
p,B2R∩Rn
+
≤ CR ‖f‖
(k)
p,Rn
+
. (5.19)
Доказательство. Ввиду плотности функций из C∞ в W k
p (Rn
+ ∩B2R)
и в силу леммы 5.3, достаточно доказать оценку (5.19) и притом на
гладких функциях. При этом достаточно рассмотреть случай k = 0,
так как на k > 0 оценка распространяется точно так же, как в лем-
ме 5.4.
Пусть K(x, y) означает одно из ядер Gxi
или xnGxixj
. Покажем,
что оператор K ограничен из L2(B2R) в L2(B2R), причем, как отме-
чено выше, оценку нормы оператора в L2(B2R) достаточно получить
для достаточно гладких плотностей f . Для такой f(x) по доказанно-
му соответствующая ей функция u(x) является некоторой произво-
дной решения задачи (5.1), поэтому достаточно получить локальные
в L2(R
n
+) оценки производных решения этой задачи. Пусть ζ(x) —
такая же, как и выше, срезающая функция полушара B2R. Тогда
функция w(x) = u(x)ζ(x) удовлетворяет в B3R следующей задаче
xn△w − awxn = F (x) ≡ fζ + 2∇ζ (xn∇u) + △ζxnu− auζxn , x ∈ B3R,
(5.20)
460 Об оптимальной регулярности решений...
w = 0, x ∈ ∂B3R.
Заметим, что, в силу оценок (5.4) с ω = 1 и оценок (5.5) с ω = 0,
потенциалы с ядрами G(x, y) и xn∇xG(x, y) являются интегралами
со слабой особенностью, и поэтому отображения f → u и f → xn∇u
непрерывны из Lp(B3R) в Lp(B3R), p > 1. Следовательно, для правой
части F (x) в (5.20) справедлива оценка
‖F‖p,B3R
≤ C ‖f‖p,Rn
+
, p > 1.
Представляя уравнение (5.20) в дивергентном виде
∇
(
x−a
n ∇w
)
= Fx−a−1
n ,
умножая обе части на xa
nw(x) и интегрируя по частям по B3R, полу-
чаем, с учетом граничных условий (все эти операции оправданы, так
как f гладкая и |w/xn| ≤ C),
−
∫
B3R
∇w∇w dx− a
∫
B3R
wxnw
xn
dx =
∫
B3R
F
w
xn
dx,
или, представляя wxnw = (1/2)(w2)xn и интегрируя по частям во
втором слагаемом слева
∫
B3R
(∇w)2 dx+
a
2
∫
B3R
(
w
xn
)2
dx = −
∫
B3R
F
w
xn
dx.
Замечая теперь, что для правой части этого соотношения в силу
неравенства Харди справедлива оценка
∣∣∣∣∣
∫
B3R
F
w
xn
dx
∣∣∣∣∣ ≤ C ‖F‖2,B3R
∥∥∥∥
w
xn
∥∥∥∥
2,B3R
≤ C ‖F‖2,B3R
‖∇w‖2,B3R
,
заключаем, что
‖∇w‖2,B3R
≤ C ‖F‖2,B3R
≤ C ‖f‖2,B3R
. (5.21)
Заметим, далее, что, как и в лемме 5.4, функция xnw(x), в силу
(5.20), удовлетворяет уравнению
△(xnw) = awxn + 2wxn + F
и нулевым граничным условиям на ∂B3R. Следовательно, в силу уже
доказанной оценки (5.21) и свойств эллиптических краевых задач,
имеем, в частности,
∥∥∥∥xn
∂2w
∂xi∂xj
∥∥∥∥
2,B3R
≤ C ‖f‖2,B3R
.
С. П. Дегтярев 461
Таким образом, все определенные выше операторы K ограничены
в L2(B2R).
Далее, ввиду оценок (5.5) с ω = 1, оценок (5.6) с ω = 0 и с ω = 1
и оценок (5.8) с ω = 0, ядра вида Gxi
и xnGxixj
при i, j = 1, n− 1
удовлетворяют условиям леммы 5.5, и, следовательно, для решения
задачи (5.20) (рассматриваемой как задачи в полупространстве с по-
следующим сужением на B2R) с f ∈ Lp(B2R) справедливы оценки
‖wxi
‖p,B3R
+
∥∥xnwxixj
∥∥
p,B3R
≤ C ‖F‖p,B3R
≤ C ‖f‖p,Rn
+
, i, j = 1, n− 1,
(5.22)
то есть часть (так как i, j = 1, n− 1) нужной оценки (5.19) с k = 0.
Однако при a < 1, как нетрудно видеть, так как оценка (5.7)
является точной, ядра Gxn и xnGxnxn не удовлетворяют условиям
(5.18). Поэтому рассмотрим снова уравнение (5.20) и представим его
в виде
xn
∂2w
∂x2
n
− a
∂w
∂xn
= Φ ≡ F −
n−1∑
i=1
xn
∂2w
∂x2
i
,
где, по уже доказанному,
‖Φ‖p,B3R
≤ C ‖f‖p,Rn
+
.
Так как w = 0 при xn = 0 и w = wxn = 0 при xn ≥ 3R, то
∂
∂xn
w(x′, xn) = −xa
n
3R∫
xn
ξ−(a+1)Φ(x′, ξ) dξ ≡ −AΦ(x′, ·).
Рассмотрим линейный оператор A. Во-первых, легко видеть, что
этот оператор ограничен из L∞(0, 3R) в L∞(0, 3R), то есть
‖Af‖∞,[0,3R] ≤ C ‖f‖∞,[0,3R] .
Далее, рассмотрим оператор A в пространстве L1(0, 3R). Пусть
f ∈ L1(0, 3R) неотрицательна и ограничена. Тогда Af ≥ 0 и интегри-
руя по частям, получаем
‖Af‖1,[0,3R] =
3R∫
0
xa
n
3R∫
xn
ξ−(a+1)f(ξ) dξ dxn
=
xa+1
n
a+ 1
3R∫
xn
ξ−(a+1)f(ξ) dξ
∣∣∣∣∣
3R
0
+
1
a+ 1
3R∫
0
f(xn) dxn =
1
a+ 1
‖f‖1,[0,3R] .
462 Об оптимальной регулярности решений...
Так как оператор A линеен и ограниченные функции плотны в
L1(0, 3R), то для любой f ∈ L1(0, 3R) выполнено ‖Af‖1,[0,3R] ≤
C‖f‖1,[0,3R], то есть оператор A ограничен из L1(0, 3R) в L1(0, 3R).
Следовательно, по интерполяционной теореме Рисса–Торина (см.
[6]), оператор A ограничен из Lp(0, 3R) в Lp(0, 3R) при любом p > 1.
Таким образом, для p > 1
3R∫
0
∣∣∣∣
∂
∂xn
w(x′, xn)
∣∣∣∣
p
dxn ≤ CR,p
3R∫
0
∣∣Φ(x′, xn)
∣∣p dxn.
Интегрируя последнее неравенство по x′, получаем
‖wxn‖p,B3R
≤ CR ‖Φ‖p,B3R
≤ CR ‖f‖p,Rn
+
.
Оценка ‖xnwxixn‖p,B3R
для i = 1, n теперь аналогична оценкам
‖xnwxixj
‖p,B3R
выше, что завершает, в силу определения w, доказа-
тельство оценки (5.19). Лемма доказана.
6. Регуляризатор для задачи (2.1), (2.2) и
доказательство теорем 2.1, 2.2
Лемма 6.1. В условиях теоремы 2.1 существуют ограниченные ли-
нейные операторы R1 и R2, действующие каждый из пространства
Hk+α(Ω) в пространство Ḣk+2+α
ϕ (Ω) и из пространства W k
p (Ω) в
пространство Ẇ k+2
p,ϕ (Ω), такие, что
R1L = I +K, LR2 = I + T, (6.1)
где I — тождественный оператор, а операторы K и T вполне не-
прерывны, K из пространства Ḣk+2+α
ϕ (Ω) в себя и из пространства
Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) в себя, а T из пространства Hk+α(Ω) в себя и из W k
p (Ω) в
себя, причем операторы T и K повышают гладкость, в частности,
оператор K можно представить в виде
Ku = S{u, ϕ∇u}, (6.2)
где S — непрерывный линейный оператор из Hk+α(Ω) ×
(
Hk+α(Ω)
)n
в пространство Ḣk+2+α
ϕ (Ω) и из пространства W k
p (Ω)×
(
W k
p (Ω)
)n
в
пространство Ẇ k+2
p,ϕ (Ω).
Мы не приводим доказательство этого утверждения, так как оно
аналогично [7, 8]. При этом операторы R1 и R2 “склеиваются” из ре-
шений модельных задач, рассмотренных в предыдущем пункте, и мо-
дельных задач во всем пространстве для невырожденного уравнения
С. П. Дегтярев 463
путем достаточно мелкого разбиения единицы на Ω. Единственное
отличие состоит в том, что разбиение единицы внутри Ω должно быть
более мелким, чем на ∂Ω. При этом условия (2.5), (2.6) обеспечива-
ют возможность локальным диффеоморфизмом привести уравнение
(2.1) с зафиксированными в некоторой граничной точке коэффици-
ентами (но не ϕ(x)) к простейшему виду (5.1).
Из представлений (6.1), (6.2) ввиду свойства повышения гладко-
сти оператором K легко выводится следующее утверждение (ср. [8]).
Лемма 6.2. В условиях теоремы 2.1 (кроме (2.9)) ядро и коядро опе-
ратора L, как оператора из Ḣk+2+α
ϕ (Ω) в Hk+α(Ω) или из Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) в
W k
p (Ω), конечномерны и их размерность не зависит от того, в ка-
ком из указанных выше пространств мы рассматриваем оператор
L (в частности, они не зависят от p, k и α).
Справедливы априорные оценки (2.13) решения задачи (2.1), (2.2),
причем, если выполнено условие (2.9), то последние слабые слагае-
мые в оценках (2.13) можно отбросить и справедливы оценки (2.10),
(2.11).
Сделаем, ради полноты изложения, несколько замечаний по по-
воду доказательства леммы 6.2.
Конечномерность ядра оператора L следует из конечномерности
ядра оператора R1L, а конечномерность коядра L следует из коне-
чномерности коядра LR2 (см. (6.1)).
Докажем еще, например, что размерности коядра L из Ḣk+2+α
ϕ (Ω)
в Hk+α(Ω) и из Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) в W k
p (Ω) совпадают. Пусть коядро в про-
странстве W k
p (Ω) имеет размерность m и задается функционалами
gi ∈ (W k
p (Ω))∗, i = 1,m. То есть для заданной f ∈ W k
p (Ω) уравнение
(2.1) разрешимо в Ẇ k+2
p,ϕ (Ω) тогда и только тогда, когда gi(f) = 0,
i = 1,m. Отметим, что gi также определены на Hk+α(Ω). Пусть
f ∈ Hk+α(Ω). Тогда, если gi(f) = 0, i = 1,m, то, так как f ∈
W k
p (Ω), уравнение (2.1) имеет решение u(x) из Ẇ k+2
p,ϕ (Ω), которое,
в силу (6.1), удовлетворяет также уравнению u = −Ku + w, где
w = R1f ∈ Ḣk+2+α
ϕ (Ω). В силу свойства повышения гладкости опе-
ратором K, пошаговым процессом убеждаемся, что решение u на са-
мом деле принадлежит Ḣk+2+α
ϕ (Ω), и, таким образом, для заданной
f уравнение (2.1) разрешимо в Ḣk+2+α
ϕ (Ω). Обратно, если для задан-
ной f ∈ Hk+α(Ω) уравнение (2.1) разрешимо в Ḣk+2+α
ϕ (Ω), то тем
самым оно разрешимо и в Ẇ k+2
p,ϕ (Ω), и, следовательно, должно быть
выполнено gi(f) = 0, i = 1,m. То есть коядро в Hk+α(Ω) задается в
точности тем же набором функционалов gi, что означает, в частности,
совпадение размерности.
464 Об оптимальной регулярности решений...
Оценки (2.13) также следуют из представления решения задачи
(2.1), (2.2) в виде u = −Ku + R1f и интерполяционных неравенств
вида ‖Ku‖Ḣk+2+α
ϕ
≤ ε‖u‖Ḣk+2+α
ϕ
+ Cε|u|0, основанных на повышении
гладкости оператором K.
Отметим, наконец, что последнее утверждение леммы 6.2 следует
из того, что при выполнении (2.9) ядро оператора L в пространстве
Ḣk+2+α
ϕ (Ω) (а, следовательно, и в Ẇ k+2
p,ϕ (Ω)) в силу принципа макси-
мума состоит лишь из нуля (и L осуществляет взаимно-однозначное
отображение на свой образ).
Имея, далее, в виду использовать метод продолжения по пара-
метру для доказательства разрешимости в теореме 2.1, рассмотрим
следующую краевую задачу в Ω (a > a0 > 0):
L1u ≡ ψ△u− a∇ψ∇u− u = f, x ∈ Ω; u = 0, x ∈ ∂Ω, (6.3)
где функция ψ(x) определяется из задачи
△ψ = −1, x ∈ Ω; ψ = 0, x ∈ ∂Ω,
и, таким образом, ψ(x) удовлетворяет всем требованиям к ϕ(x), пре-
дъявляемым теоремой 2.1, C−1 ≤ ϕ/ψ ≤ C.
Запишем уравнение (6.3) в дивергентной форме
∇
(
ψ−a∇u
)
− ψ−a−1u = fψ−a−1.
Если v(x) ∈ Ẇ 1
2 (Ω), то умножая последнее уравнение на v(x)ψ(x)a
и интегрируя по частям по Ω, получим
M(u, v) ≡
∫
Ω
∇u∇v dx+ a
∫
Ω
∇u∇ψ
v
ψ
dx+
∫
Ω
uv
ψ
dx
= −
∫
Ω
f
v
ψ
dx ≡ l(v). (6.4)
Примем тождество (6.4) за определение обобщенного решения u(x)
задачи (6.3) из пространства Ẇ 1
2 (Ω). Нетрудно убедиться, что, в силу
неравенства Харди, функционал l(v) и билинейная форма M(u, v)
непрерывны на Ẇ 1
2 (Ω), если f ∈ L2(Ω). Кроме того, форма M(u, v)
коэрцитивна. Действительно, для второго слагаемого в определении
M(u, u) имеем, интегрируя по частям
∫
Ω
∇u∇ψ
u
ψ
dx =
1
2
∫
Ω
∇ψ
∇
(
u2
)
ψ
dx
С. П. Дегтярев 465
= −
1
2
∫
Ω
△ψ
u2
ψ
dx+
∫
Ω
(∇ψ)2
(
u
ψ
)2
dx,
и, так как △ψ = −1, это доказывает коэрцитивность M(u, v). Сле-
довательно, по теореме Лакса–Мильграма, для любой f ∈ L2(Ω) су-
ществует единственное решение задачи (6.3), (6.4) из пространства
Ẇ 1
2 (Ω), причем
‖u‖
(1)
2,Ω ≤ C ‖f‖2,Ω .
Так как уравнение (6.3) не вырождается строго внутри Ω, то, как
хорошо известно, решение u(x) из класса Ẇ 1
2 (Ω) принадлежит классу
W 2
2 строго внутри Ω, и, следовательно, функция ψu удовлетворяет в
Ω уравнению
△(ψu) = F ≡ (2 + a)∇ψ∇u+ u△ψ + u+ f
и нулевым граничным условиям на ∂Ω. Так как, по уже доказанному,
‖F‖2,Ω ≤ C ‖f‖2,Ω, то ‖ψu‖
(2)
2,Ω ≤ C ‖f‖2,Ω, а, следовательно, и
‖ϕu‖
(2)
2,Ω ≤ C ‖f‖2,Ω .
Таким образом, задача (6.3) всегда и однозначно разрешима в
Ẇ 2
2,ϕ(Ω) при любой f ∈ L2(Ω). В силу леммы 6.2 отсюда следует
однозначная разрешимость задачи (6.3) и во всех остальных рассма-
триваемых нами пространствах.
Обозначим теперь
L2u ≡ ϕ△u− a∇ϕ∇u− u, L3u ≡ ϕ△u+ Z(x)∇ϕ∇u− u,
где Z(x) — какое-либо гладкое продолжение из окрестности ∂Ω вну-
трь области Ω функции Z(x), определенной в (2.4).
Рассмотрим, наконец, при t ∈ [0, 3] однопараметрическое семей-
ство операторов
L(t) ≡
{
L1(1 − t) + L2t, 0 ≤ t ≤ 1;
L2(2 − t) + L3(t− 1), 1 ≤ t ≤ 2;
L3(3 − t) + L(t− 2), 2 ≤ t ≤ 3
}
.
Смысл такого тройного продолжения состоит в том, чтобы при ка-
ждом t оператор L(t) удовлетворял условиям (2.5), (2.6). Кроме того,
равномерно по t оператор L(t) удовлетворяет всем условиям теоремы
2.1, включая условие (2.9), а, следовательно, и условиям леммы 6.2.
Таким образом, рассматривая непрерывное по t семейство операторов
466 Об оптимальной регулярности решений...
L(t) в любом из изучаемых нами функциональных пространств, мы
получаем, что оператор L(0) обратим, а потому, ввиду равномерных
по t оценок (2.10), (2.11), обратим и оператор L(3) ≡ L. Это завершает
доказательство теоремы 2.1.
Теорема 2.2 следует из теоремы 2.1 стандартным образом путем
представления задачи (2.12), в силу теоремы 2.1, в виде операторного
уравнения
u− (λ− C0)(L− C0I)
−1u = (L− C0I)
−1f,
где C0 — достаточно большое положительное число.
Литература
[1] D. Bresch and G. Metivier, Global existence and uniqueness for the Lake equations
with vanishing topography: elliptic estimates for degenerate equations // Nonli-
nearity, 18 (2006), N 3, 591–610.
[2] D. Bresch, J. Lemoine, and F. Guillen-Gonzalez, A note on a degenerate elliptic
equations with applications for lakes and seas // Electronic Journal of Differential
Equations, (2004), N 42, 1–13.
[3] C. Goulaouic and N. Shimakura, Regularite holderienne de certains problemes aux
limites elliptiques degeneres // Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa, X
(1983), N 1, 79–108.
[4] О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицатель-
ной характеристической формой, Итоги науки и техники. Мат. анализ, 1969.
М.: ВИНИТИ. 1971, 252 с.
[5] И. М. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства фун-
кций, М.: Мир, 1976, 342 с.
[6] Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, диффе-
ренциальные операторы, М.: Мир, 1980, 664 с.
[7] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1967, 736 с.
[8] В. А. Солонников, Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в
смысле А. Даглиса–Л. Ниренберга // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова,
92 (1966), N 4, 233–284.
Сведения об авторах
Сергей Петрович
Дегтярев
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Р. Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: spdeg@yahoo.com
|