Про обмеженість l-індексу канонічних добутків
Дослiдженi умови на нулi канонiчного добутку, за яких вiн є обмеженого l-iндексу.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | обмеженість l-індексу канонічних добутків / А.А. Гольдберг, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 52-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124581 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245812017-09-30T03:04:08Z Про обмеженість l-індексу канонічних добутків Гольдберг, А.А. Шеремета, М.М. Дослiдженi умови на нулi канонiчного добутку, за яких вiн є обмеженого l-iндексу. 2005 Article обмеженість l-індексу канонічних добутків / А.А. Гольдберг, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 52-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 30D15, 30B50. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124581 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiдженi умови на нулi канонiчного добутку, за яких вiн є обмеженого l-iндексу. |
| format |
Article |
| author |
Гольдберг, А.А. Шеремета, М.М. |
| spellingShingle |
Гольдберг, А.А. Шеремета, М.М. Про обмеженість l-індексу канонічних добутків Український математичний вісник |
| author_facet |
Гольдберг, А.А. Шеремета, М.М. |
| author_sort |
Гольдберг, А.А. |
| title |
Про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| title_short |
Про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| title_full |
Про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| title_fullStr |
Про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| title_full_unstemmed |
Про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| title_sort |
про обмеженість l-індексу канонічних добутків |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124581 |
| citation_txt |
обмеженість l-індексу канонічних добутків / А.А. Гольдберг, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 52-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT golʹdbergaa proobmeženístʹlíndeksukanoníčnihdobutkív AT šeremetamm proobmeženístʹlíndeksukanoníčnihdobutkív |
| first_indexed |
2025-07-09T01:39:33Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:39:33Z |
| _version_ |
1837131550932598784 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 1, 52 – 64
Про обмеженiсть l-iндексу канонiчних добуткiв
Анатолiй А. Гольдберг,
Мирослав М. Шеремета
Анотацiя. Дослiдженi умови на нулi канонiчного добутку, за яких
вiн є обмеженого l-iндексу.
2000 MSC. 30D15, 30B50.
Ключовi слова та фрази. цiлi функцiї, канонiчнi добутки, функцiї
обмеженого iндексу.
1. Вступ
Нехай Λ — клас додатних неперервних на [0,+∞) функцiй l, аQ—
клас таких функцiй l ∈ Λ, що l(r +O(1/l(r))) = O(l(r)), r → +∞.
Для l ∈ Λ цiла функцiя f називається функцiєю обмеженого
l-iндексу [4, c. 5] якщо iснує N ∈ Z+ таке, що для всiх n ∈ Z+ i
z ∈ C
|f (n)(z)|
n!ln(|z|) ≤ max
{
|f (k)(z)|
k!lk(|z|) : 0 ≤ k ≤ N
}
.
Нехай (ak) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть додатних чисел,
для якої
∞∑
n=1
(1/an) = +∞ i
∞∑
n=1
(1/a2
n) < +∞. Тодi канонiчний добуток
першого роду
π(z) =
∞∏
n=1
(
1 − z
an
)
exp
{
z
an
}
є цiлою функцiєю. В [1] i [3] висловлена така
Гiпотеза.Якщо (a2
n) — опукла послiдовнiсть, то функцiя π є обме-
женого l-iндексу для кожної функцiї l ∈ Q такої, що
∑
ak≤r
1
ak
≍
l(r), r → +∞.
Стаття надiйшла в редакцiю 8.10.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 53
В [1] вона доведена за додаткових умов
n lnn = O
(
an
n∑
k=1
1
ak
)
, n→ ∞, (1)
та
an
∞∑
k=n
1
a2
k
= O
(
n∑
k=1
1
ak
)
, n→ ∞. (2)
В загальному випадку гiпотеза неправильна, її спростування на-
ведемо в п. 2. В тому ж пунктi ми покажемо, що з умови (1) випливає
умова (2). Умову (1) задовольняє досить вузький клас послiдовностей
(an). Вона виконується, наприклад, коли an = n lnα1
1 n lnα2
2 n . . . lnαk
k n,
де lnk x — k-а iтерацiя логарифма, а αj < 1. Якщо, наприклад, an =
nα, 1/2 < α < 1, або an = n1/2 lnn, то умова (1) не виконується.
Детальнiший аналiз показав, що обмеженiсть l-iндексу функцiя π ви-
гiднiше вивчати для функцiї l ∈ Q такої, що l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
, r →
+∞, а в цьому випадку правильною є наступна
Теорема 1. Нехай (a2
n) — опукла послiдовнiсть. Для того щоб функ-
цiя π була обмеженого l-iндексу для функцiї l ∈ Q такої, що l(r) ≍
n(r) lnn(r)
r
, r → +∞, необхiдно i досить, щоб
∑
ak≤r
1
ak
+ r
∞∑
ak≥r
1
a2
k
= O
(
n(r) lnn(r)
r
)
, r → +∞. (3)
Правильнiсть теореми 1 ми отримаємо як наслiдок з вiдповiдної
теореми для канонiчних добуткiв довiльного роду p ≥ 1.
2. Допомiжнi твердження та спростування гiпотези
Якщо ak ∈ C — нулi цiлої функцiї f , то позначимо n(r, z0, 1/f) =∑
|ak−z0|≤r
1, а для l ∈ Λ i q ∈ (0,+∞) нехай
Gq(f) =
⋃
k
{
z : |z − ak| ≤
q
l(|ak|)
}
.
Справедливий наступний критерiй обмеженостi l-iндексу цiлої функ-
цiї.
54 Про обмеженiсть l-iндексу...
Лема 1 ([2, 4, c. 27]). Якщо l ∈ Q, то цiла функцiя f є обмеженого
l-iндексу тодi i тiльки тодi, коли:
1) для кожного q > 0 iснує P (q) > 0 таке, що
∣∣∣∣
f ′(z)
f(z)
∣∣∣∣ ≤ P (q)l(|z|)
для всiх z ∈ C \Gq(f);
2) для кожного q > 0 iснує n∗(q) ∈ N таке, що n
(
q
l(|z0|)
, z0,
1
f
)
≤
n∗(q) для кожного z0 ∈ C.
Використовуючи цю лему, спочатку спростуємо наведену вище
гiпотезу. Оскiльки
π′(z)
π(z)
=
∞∑
k=1
z
ak(z − ak)
, то для z = −r, an ≤ r ≤
an+1, маємо
π′(−r)
π(−r) =
∞∑
k=1
r
ak(r + ak)
≥ r
2
∞∑
ak≥r
1
a2
k
. Тому, якщо вибере-
мо ak =
√
k ln k для k > 1, то
∑
ak≤r
1
ak
= a1 +
n∑
k=2
1√
k ln k
≍
√
n
ln n
, n →
∞, а an
∑
ak≥r
1
a2
k
≥ √
n lnn
∞∑
k=n+1
1
k ln2 k
≍ √
n n → ∞. Звiдси випли-
ває, що
∑
ak≤r
1
ak
= o
(
π′(−r)
π(−r)
)
, r → +∞, так що за лемою 1 функцiя
π не є обмеженого l-iндексу з l(r) ≍ ∑
ak≤r
1
ak
, r → +∞. Гiпотезу спро-
стовано.
Покажемо, що з умови (1) випливає умова (2). Переходячи до iнте-
гралу Стiльтьєса, iнтегруючи частинами i використовуючи опуклiсть
(a2
n), неважко показати, що умови (1) i (2) рiвносильнi вiдповiдно умо-
вам
n(r) lnn(r)
r
= O
( r∫
0
n(t)
t2
dt
)
, r → +∞, (4)
i
r
∞∫
r
n(t)
t3
dt = O
( r∫
0
n(t)
t2
dt
)
, r → +∞. (5)
Тому треба показати, що з (4) випливає (5). Але з (4) маємо
n(r)
r
≤
K
lnn(r)
r∫
0
n(t)
t2
dt, K = const > 0. Тому
r
∞∫
r
n(t)
t3
dt ≤ Kr
∞∫
r
dt
t2 lnn(t)
t∫
0
n(x)
x2
dx ≤
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 55
≤ Kr
lnn(r)
∞∫
r
dt
t2
t∫
0
n(x)
x2
dx ≤ Kr
lnn(r)
(
1
r
r∫
0
n(x)
x2
dx+
∞∫
r
n(t)
t3
dt
)
,
звiдки
(
1 − K
lnn(r)
)
r
∞∫
r
n(t)
t3
dt ≤ K
lnn(r)
r∫
0
n(x)
x2
dx,
тобто
r
∞∫
r
n(t)
t3
dt = o
( r∫
0
n(x)
x2
dx
)
, r → +∞,
що вказує на виконання умови (5).
Наведемо ще двi потрiбнi надалi леми.
Лема 2. Якщо l ∈ Q i |ak+1| − |ak| > 2q0/l(|ak|) для деякого q0 > 0 i
всiх k ≥ 1, то виконується умова 2) леми 1.
Доведення. Покладемо
λ1(q) = inf
{
l(r)
l(r0)
: |r − r0| ≤
q
l(r0)
, r0 ≥ 0
}
,
λ2(q) = sup
{
l(r)
l(r0)
: |r − r0| ≤
q
l(r0)
, r0 ≥ 0
}
.
Оскiльки l ∈ Q, то 0 < λ1(q) ≤ 1 ≤ λ2(q) < +∞ для кожного
q ∈ [0,+∞).
Припустимо тепер, що для деякого r ∈ (0,+∞)
r − q0
λ2(q0)l(r)
≤ |ak| < |ak+1| ≤ r +
q0
λ2(q0)l(r)
.
Тодi
|ak+1| − |ak| ≤
2q0
λ2(q0)l(r)
, l(|ak|) ≤ λ2
(
q0
λ2(q0)
)
l(r) ≤ λ2(q0)l(r),
тобто |ak+1| − |ak| ≤ 2q0/l(|ak|), що неможливо. Звiдси випливає, що
промiжок [r−q0/(λ2(q0)l(r)), r+q0/(λ2(q0)l(r))] мiстить щонайбiльше
один нуль. Тому n(q0/(λ2(q0)l(|z0|)), z0, 1/f) ≤ 1. Але кожний круг
радiуса q/l(|z0|), q > q0/λ2(q0), можна покрити скiнченною кiлькiстю
m = m(q0/λ2(q0), q) кругiв радiуса q0/(λ2(q0)l(|z0|)). Тому n(q/l(|z0|),
z0, 1/f) ≤ m, тобто виконується умова 2) леми 1.
56 Про обмеженiсть l-iндексу...
Лема 3. Якщо l ∈ Q, |an| ≤ |z| ≤ |an+1|, |z − an| ≥ q/l(|an|) i |z −
an+1| ≥ q/l(|an+1|), то
1
|z − an|
+
1
|z − an+1|
≤ P1(q)l(|z|), P1(q) ≡ const > 0. (6)
Доведення. Якщо |z−an| ≥ q/l(|z|) i |z−an+1| ≥ q/l(|z|), то нерiвнiсть
(6) виконується з P1(q) = 2/q. Припустимо, що |z − an| < q/l(|z|),
але |z − an| ≥ q/l(|an|). Тодi |z| − q/l(|z|) ≤ |an| ≤ |z| − q/l(|z|) i,
оскiльки l ∈ Q, то l(|an|) ≤ λ2(q)l(|z|) i тому |z − an| ≥ q/(λ2(q)l(|z|)).
Аналогiчно, якщо |z− an+1| < q/l(|z|), але |z− an+1| ≥ q/l(|an+1|), то
|z − an+1| ≥ q/(λ2(q)l(|z|)). Звiдси випливає правильнiсть нерiвностi
(6) з P1(q) = 2λ2(q)/q.
3. Обмеженiсть l-iндексу канонiчного добутку роду p
Нехай p ∈ N, а (ak) — послiдовнiсть комплексних чисел, зануме-
рованих у порядку неспадання модулiв, така, що
∞∑
k=1
1
|ak|p
= +∞,
∞∑
k=1
1
|ak|p+1
< +∞. (7)
Тодi канонiчний добуток роду p
π(z) =
∞∏
k=1
(
1 − z
ak
)
exp
{
z
ak
+
z2
2a2
k
+ · · · + zp
pap
k
}
(8)
абсолютно i рiвномiрно збiжний на кожному компактi з комплексної
площини i задає цiлу функцiю π. Легко перевiрити, що
π′(z)
π(z)
=
∞∑
k=1
(
1
z − ak
+
1
ak
+
z
a2
k
+ · · · + zp−1
ap
k
)
=
∞∑
k=1
zp
ap
k(z − ak)
. (9)
З (7) випливає, що |an|p+1/n→ ∞ (n→ ∞). Тому умова |an|p+1/nր
∞ (n → ∞), за якої ми вивчатимемо поводження π′(z)/π(z) зовнi
Gq(π), є природною. З неї випливає, що |an| ↑ ∞ (n→ ∞).
Лема 4. Якщо |an|p+1/n ր ∞ (n → ∞) i |an| ≤ |z| ≤ |an+1|, n ≥ 2,
то
n−1∑
k=1
1
|z| − |ak|
+
2n+1∑
k=n+2
1
|z| − |ak|
≤ 6p n(r) lnn(r)
r
, r = |z|. (10)
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 57
Доведення. Оскiльки k−1/(p+1)|ak| ր ∞ (k → ∞), то для n > k
|an| − |ak| = n1/(p+1)n−1/(p+1)|an| − k1/(p+1)k−1/(p+1)|ak| ≥
≥ n−1/(p+1)|an|
(
n1/(p+1) − k1/(p+1)
)
= |an|
(
1 − (k/n)1/(p+1)
)
i
|an|
|an| − |ak|
≤ n1/(p+1)
n1/(p+1) − k1/(p+1)
=
=
n1/(p+1)(np/(p+1) + n(p−1)/(p+1)k1/(p+1) + · · · + kp/(p+1))
n− k
≤ pn
n− k
.
Тому
n−1∑
k=1
1
|z| − |ak|
=
1
r
n−1∑
k=1
1
1 − |ak|/r
≤ 1
r
n−1∑
k=1
1
1 − |ak|/|an|
=
=
1
r
n−1∑
k=1
|an|
|an| − |ak|
≤ 1
r
n−1∑
k=1
pn
n− k
≤ 2p n(r) lnn(r)
r
i подiбно
2n+1∑
k=n+2
1
|ak| − |z| =
1
r
2n+1∑
k=n+2
1
|ak|/r − 1
≤ 1
r
2n+1∑
k=n+2
1
|ak|/|an+1| − 1
=
=
1
r
2n+1∑
k=n+2
|an+1|
|ak| − |an+1|
≤ 1
r
2n+1∑
k=n+2
pn1/(p+1)kp/(p+1)
k − (n+ 1)
≤
≤ p2p/(p+1)(n+ 1)
r
n∑
k=1
1
k
≤ 4p n(r) lnn(r)
r
.
З двох останнiх нерiвностей отримуємо нерiвнiсть (10).
Лема 5. Якщо |an|p+1/n ր ∞ (n → ∞) i |an| ≤ |z| ≤ |an+1|, n ≥ 2,
то
rp
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p+1
≤
∞∑
k=2(n+1)
|z|p
|ak|p(|ak| − |z|) ≤
≤ rp
1 − 2−(p+1)
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p+1
. (11)
58 Про обмеженiсть l-iндексу...
Доведення. Лiва нерiвнiсть (11) очевидна. З iншого боку,
∞∑
k=2(n+1)
|z|p
|ak|p(|ak| − |z|) ≤ rp
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p(|ak| − |an+1|)
≤
≤ rp
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p+1
(
1 − ((n+ 1)/k)1/(p+1)
) ≤
≤ rp
1 − 2−(p+1)
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p+1
,
тобто отримуємо праву нерiвнiсть (11).
Лема 6. Якщо |an|p+1/n ր ∞ (n → ∞), то iснує така функцiя
l ∈ Q, що l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞).
Доведення. Нехай λn = |an|p+1, nλ(r) — лiчильна функцiя послiдов-
ностi (λn), n1(r) = r/a1 для 0 ≤ r ≤ λ1 i n1(r) = n +
r − λn
λn+1 − λn
для λn ≤ r ≤ λn+1. Тодi n/λn ց 0, n → ∞, функцiя n1(r) неперерв-
на, nλ(r) ≤ n1(r) ≤ nλ(r) + 1 i n1(r)/r ց 0 при r0 ≤ r → ∞, бо(
n1(r)
r
)′
=
1
r2
(
λn
λn+1 − λn
− n
)
≤ 0 для λn < r < λn+1.
Позначимо n∗(r) = n1(r
p+1). Оскiльки n(r) = nλ(rp+1), то з наве-
дених спiввiдношень випливає, що n∗(r) = n(r) i n∗(r)/rp+1 ց 0 при
r → ∞.
Нарештi, покладемо l(r) =
n∗(r) lnn∗(r)
r
(r ≤ r0). Оскiльки
rl(r) ր +∞, r → +∞, то для q > 0
l
(
r− q
l(r)
)
≤ r
r − q/l(r)
l(r)=
1
1 − q/(rl(r))
l(r) = (1+o(1))l(r), r → +∞.
З iншого боку,
n∗
(
r − q
l(r)
)
≤ rp+1
(r − q/l(r))p+1
n∗(r) = (1 + o(1))n∗(r), r → +∞,
звiдки легко випливає, що l(r + q/l(r)) ≤ (1 + o(1))l(r), r → +∞, а
отже, l ∈ Q i l(r) ∼ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞).
Тепер ми доведемо теорему, з якої легко випливає теорема 1.
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 59
Теорема 2. Нехай |an|p+1/n ր ∞ (n → ∞), а функцiя l ∈ Q така,
що l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞). Для того щоб канонiчний
добуток (8) був обмеженого l-iндексу, досить, а у випадку додатних
нулiв i необхiдно, щоб
rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
+ rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
= O
(
n(r) lnn(r)
r
)
, r → +∞.
(12)
Доведення. Як у доведеннi леми 4, маємо
|ak+1| − |ak| ≥ |ak|
(
1 −
(
k
k + 1
)1/(p+1)
)
=
= |ak|
(
1 −
(
1 − 1
k + 1
)1/(p+1)
)
≥
≥ ak
(p+ 1)(k + 1)
=
ak
k ln k
k ln k
(p+ 1)(k + 1)
≥ q
l(|ak|)
для кожного q > 0 i всiх k ≥ k0(q). Тому за лемою 2 виконується
умова 2) леми 1.
Використовуючи (9), для |an| ≤ |z| ≤ |an+1|, n ≥ 2, запишемо
π′(z)
π(z)
=
n−1∑
k=1
1
z − ak
+
1
z − an
+
1
z − an+1
+
+
2n+1∑
k=n+2
1
z − ak
+
n∑
k=1
(
1
ak
+
z
a2
k
+ · · · + zp−1
ap
k
)
+
+
2n+1∑
k=n+1
(
1
ak
+
z
a2
k
+ · · · + zp−1
ap
k
)
+
∞∑
k=2(n+1)
zp
ap
k(z − ak)
. (13)
Оскiльки
2n+1∑
k=n+1
(
1
|ak|
+
|z|
|ak|2
+ · · · + |z|p−1
|ak|p
)
≤
2n+1∑
k=n+1
p
|ak|
≤ pn
|an+1|
≤
≤ pn(r)
r
= o
(
n(r) lnn(r)
r
)
, r → +∞,
60 Про обмеженiсть l-iндексу...
то за лемами 3 i 4 з (13) для |an| ≤ |z| ≤ |an+1| (n ≥ 2), z 6∈ Gq(π), i
l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞) отримуємо
π′(z)
π(z)
=
n∑
k=1
(
1
ak
+
z
a2
k
+ · · · + zp−1
ap
k
)
+
+
∞∑
k=2(n+1)
zp
ap
k(z − ak)
+O(l(r)), r → +∞. (14)
Але
n∑
k=1
(
1
|ak|
+
|z|
|ak|2
+ · · · + |z|p−1
|ak|p
)
=
= rp−1
n∑
k=1
1
|ak|p
(
1 +
|ak|
r
+ · · · + |ak|p−1
rp−1
)
≤ prp−1
n∑
k=1
1
|ak|p
Тому з (14) i леми 5 отримуємо
|π′(z)|
|π(z)| ≤pr
p−1
n∑
k=1
1
|ak|p
+
rp
1 − 2−(p+1)
∞∑
k=2(n+1)
1
|ak|p+1
+O(l(r)), r→+∞,
i, якщо виконується умова (12), то для всiх |z| ≥ |a2|, z 6∈ Gq(π),
звiдси маємо нерiвнiсть |π′(z)|/|π(z)| ≤ P (q)l(|z|), P (q) ≡ const > 0.
Використовуючи принцип максимуму модуля i додатнiсть функцiї l,
неважко показати, що така ж нерiвнiсть (можливо, з iншою сталою
P (q)) виконується i для |z| ≤ |a2|, z 6∈ Gq(π). Отже, умова 1) леми
1 виконується i за цiєю лемою канонiчний добуток (8) є обмеженого
l-iндексу з l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞). Достатнiсть умови (12)
доведено.
Нехай тепер всi ak > 0 i an ≤ |z| ≤ an+1. Оскiльки
∑
r/2≤ak≤an
(
1
ak
+
r
a2
k
+ · · · + rp−1
ap
k
)
≤
≤
∑
r/2≤ak≤an
rp−1
ap
k
(
ap
k
rp
+ · · · + 1
)
≤
≤ prp−1
∑
r/2≤ak≤an
1
ap
k
≤ prp−1n(r)
(r/2)p
=
p2pn(r)
r
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 61
i
1
ak
+
z
a2
k
+ · · · + zp−1
ap
k
=
1
ak
(z/ak)
p − 1
z/ak − 1
=
(z/ak)
p − 1
z − ak
,
то (14) можна переписати у виглядi
π′(z)
π(z)
=
∑
ak<r/2
(z/ak)
p − 1
z − ak
+
∞∑
k=2(n+1)
zp
ap
k(z − ak)
+O(l(r)), r → +∞.
Виберемо тут z = −r < 0. Тодi
π′(−r)
π(−r) =
∑
ak<r/2
(−1)p(r/ak)
p − 1
−(r + ak)
+
∞∑
k=2(n+1)
(−1)prp
−ap
k(r + ak)
+O(l(r)) =
= (−1)p−1
(
∑
ak<r/2
(r/ak)
p + (−1)p−1
r + ak
+
∞∑
k=2(n+1)
rp
ap
k(r + ak)
)
+O(l(r))
при r → +∞. Але (r/ak)
p + (−1)p−1 ≥ 2 + (−1)p−1 > 0 для ak < r/2.
Тому
|π′(−r)|
|π(−r)| ≥
∑
ak<r/2
(r/ak)
p(1 + (−1)p−1(ak/r)
p)
r + ak
+
+
∞∑
k=2(n+1)
rp
ap
k(r + ak)
+O(l(r)) ≥
≥ 1
2p
∑
ak<r/2
rp
ap
k(ak + r)
+
∞∑
k=2(n+1)
rp
ap
k(r + ak)
) +O(l(r)) ≥
≥ rp−1
3 2p−1
∑
ak<r/2
1
ap
k
+
rp
2
∞∑
k=2(n+1)
1
ap+1
k
+O(l(r)), r → +∞.
Тому, якщо умова
rp−1
∑
ak<r/2
1
ap
k
+ rp
∞∑
k=2(n+1)
1
ap+1
k
= O(l(r)), r → +∞. (15)
не виконується, то π не є обмеженого l-iндексу.
Оскiльки
rp−1
∑
r/2≤ak≤an
1
ap
k
= O
(
n(r)
r
)
, rp
2n+1∑
k=n+1
1
ap+1
k
= O
(
n(r)
r
)
при r → +∞, то умови (15) i (12) рiвносильнi i теорему 2 доведено.
62 Про обмеженiсть l-iндексу...
4. Зауваження i доповнення
Оскiльки з опуклостi послiдовностi (a2
n) випливає умова a2
n/n ր
∞ (n → ∞), то у випадку p = 1 i додатностi нулiв з теореми 2 як
наслiдок отримуємо теорему 1.
Хоч умова |an|p+1/nր ∞ (n→ ∞) є природною в теоремi 2, проте
вона не є необхiдною. Наприклад, правильним є таке
Твердження 1. Припустимо, що послiдовнiсть (an) роду p cкла-
дається зi скiнченної кiлькостi m пiдпослiдовностей (a
(j)
n ) роду p,
i нехай n(j)(r) — лiчильна функцiя послiдовновносi (a
(j)
n ). Якщо
|a(j)
n |p+1/n ր ∞ (n → ∞), i для кожного j, 1 ≤ j ≤ m, виконує-
ться умова (12) з n(j)(r) замiсть n(r), то канонiчний добуток (8) є
функцiєю обмеженого l-iндексу з l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞).
Справдi, нехай πj — канонiчнi добутки роду p, побудованi за ну-
лями (a
(j)
n ). За теоремою 2 кожний з них є обмеженого lj-iндексу з
lj(r) ≍ nj(r) lnnj(r)
r
(r0 ≤ r → +∞) i, оскiльки nj(r) ≤ n(r), то вiн
є обмеженого l-iндексу з l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞) (вiдомо
[1, c. 23], що якщо l1(r) ≤ l2(r), то з обмеженостi l1-iндексу функцiї f
випливає обмеженiсть її l2-iндексу). Але π(z) =
∏
1≤j≤m πj(z). Тому
за теоремою множення [2, 1, c. 34] добуток π є обмеженого l-iндексу
з l(r) ≍ n(r) lnn(r)
r
(r0 ≤ r → +∞).
Умова (12) виконується для досить широкого класу послiдовно-
стей. Найпростiшою з таких послiдовностей є (kα), 1/(p + 1) < α <
1/p, для якої n(r) ≍ r1/α i
rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
≍ rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
≍
≍ r1/α−1 = o
(
n(r) lnn(r)
r
)
, r → +∞.
Умова (12) не виконується, якщо ak = (k ln k)1/p. Для цiєї послi-
довностi n(r) ≍ rp
ln r
,
n(r) lnn(r)
r
≍ rp−1, rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
≍ rp−1 ln ln r,
i rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
≍ rp−1
ln r
при r → +∞. Невиконання умови (12)
А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета 63
тут забезпечується швидким зростанням першого доданка у лiвому
боцi (12).
Приклад послiдовностi ak = (k ln k ln2 ln k)1/(p+1) показує, що i
другий доданок у лiвому боцi (11) може вiдiгрiвати основну роль.
Для цiєї послiдовностi n(r) ≍ rp+1
ln r ln2 ln r
,
n(r) lnn(r)
r
≍ rp
ln2 ln r
,
rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
≍ rp
ln r ln2 ln r
i rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
≍ rp
ln ln r
при r →
+∞.
Як у доведеннi леми 5, можна показати, що за умови |an|p+1/nր
∞ (n→ ∞), iснують функцiї l1 ∈ Q i l2 ∈ Q такi, що при r → +∞
l1(r) ≍ rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
, l2(r) ≍ rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
.
З iншого боку, застосовуючи методику, використану у доведеннi то-
го, що з умови (1) випливає умова (2), можна показати, що якщо
n(r) lnn(r)
r
= O(l1(r)), r → +∞, то rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
= o(l1(r)),
r → +∞, а якщо
n(r) lnn(r)
r
= O(l2(r)), r → +∞, то rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
=
o(l2(r)), r → +∞. Тому, використовуючи леми 1–5, можна довести
правильнiсть двох наступних тверджень.
Твердження 2. Нехай |an|p+1/n ր ∞ (n → ∞), а функцiя l1 ∈ Q
така, що l1(r) ≍ rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
(r0 ≤ r → +∞). Тодi, якщо
n(r) lnn(r)
r
= O(l1(r)) (r → +∞), то канонiчний добуток (8) є функцiєю обме-
женого l1-iндексу.
Твердження 3. Нехай |an|p+1/n ր ∞ (n→ ∞), а функцiя l2 ∈ Q
така, що l2(r) ≍ rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
(r0 ≤ r → +∞). Тодi, якщо
n(r) lnn(r)
r
= O(l2(r)) (r → +∞), то канонiчний добуток (8) є фун-
кцiєю обмеженого l2-iндексу.
Нарештi, з доведення теореми 2 видно, що правильним є наступне
Твердження 4. Якщо |an|p+1/nր ∞ (n→ ∞), l ∈ Q, n(r) lnn(r) =
O(rl(r)) i
rp−1
n(r)∑
k=1
1
|ak|p
+ rp
∞∑
k=n(r)+1
1
|ak|p+1
= O(l(r)), r → +∞,
64 Про обмеженiсть l-iндексу...
то канонiчний добуток (8) є функцiєю обмеженого l-iндексу.
Лiтература
[1] М. М. Шеремета, М. Т. Бордуляк, Обмеженiсть l-iндексу цiлих функцiй
Лагерра-Пойа // Укр. мат. журн. 55 (2002), No 3, 91–99.
[2] М. М. Шеремета, А. Д. Кузык, О логарифмической производной и нулях
целых функций ограниченного l-индекса // Сиб. мат. журн. 33 1992, No 2,
142–150.
[3] M. T. Bordulyak, M. M. Sheremeta, Problems in the theory of entire functions of
bounded index // Inter. conf. on complex anal. and potential theory. Kyiv, 7-12
August 2001. Abstracts. Kyiv. 2001, p. 8–9.
[4] M. M. Sheremeta, Analytic functions of bounded index. Lviv: VNTL Publishers.
1999, 141 p.
Вiдомостi про авторiв
Мирослав
Миколайович
Шеремета
Львiвський нацiональний унiверситет,
вул. Унiверситетська 1,
79000, Львiв,
Україна
E-Mail: m_m_sheremeta@list.ru
Анатолiй Асiрович
Гольдберг
Department of Mathematics,
Bar-Ilan University,
52900 Ramat Gan,
Israel
|