О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами
Пусть G = H × B - прямое произведение конечных групп H и B (H - силовская p-подгруппа группы G), K полное дискретно нормированное кольцо с полем вычетов характеристики p, KG групповое кольцо группы G над кольцом K. Под KG-модулями будем понимать KG-модули, являющиеся свободными K-модулями конечн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124582 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами / П.М. Гудивок // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 65-73. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124582 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245822017-09-30T03:03:38Z О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами Гудивок, П.М. Пусть G = H × B - прямое произведение конечных групп H и B (H - силовская p-подгруппа группы G), K полное дискретно нормированное кольцо с полем вычетов характеристики p, KG групповое кольцо группы G над кольцом K. Под KG-модулями будем понимать KG-модули, являющиеся свободными K-модулями конечного ранга. Выясняется, когда произвольный неразложимый KG-модуль представляется в виде внешнего тензорного произведения неразложимого KH-мoдуля и неприводимого KB-модуля. Отметим, что случай, когда K - поле характеристики p, был рассмотрен в [2], [3], [8]. 2005 Article О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами / П.М. Гудивок // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 65-73. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 16G20, 20C20. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124582 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Пусть G = H × B - прямое произведение конечных групп H и B (H - силовская p-подгруппа группы G), K полное дискретно нормированное кольцо с полем вычетов характеристики p, KG групповое кольцо группы G над кольцом K. Под KG-модулями будем понимать KG-модули, являющиеся свободными K-модулями конечного ранга. Выясняется, когда произвольный неразложимый KG-модуль представляется в виде внешнего тензорного произведения неразложимого KH-мoдуля и неприводимого KB-модуля. Отметим, что случай, когда K - поле характеристики p, был рассмотрен в [2], [3], [8]. |
| format |
Article |
| author |
Гудивок, П.М. |
| spellingShingle |
Гудивок, П.М. О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами Український математичний вісник |
| author_facet |
Гудивок, П.М. |
| author_sort |
Гудивок, П.М. |
| title |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| title_short |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| title_full |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| title_fullStr |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| title_full_unstemmed |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| title_sort |
о представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124582 |
| citation_txt |
О представлениях прямого произведения конечных групп над полными дискретно нормированными кольцами / П.М. Гудивок // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 65-73. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT gudivokpm opredstavleniâhprâmogoproizvedeniâkonečnyhgruppnadpolnymidiskretnonormirovannymikolʹcami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:39:39Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:39:39Z |
| _version_ |
1837131558198181888 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 1, 65 – 73
О представлениях прямого произведения
конечных групп над полными дискретно
нормированными кольцами
Петр М. Гудивок
Аннотация. Пусть G = H × B — прямое произведение конечных
групп H и B (H — силовская p-подгруппа группы G), K — полное
дискретно нормированное кольцо с полем вычетов характеристики
p, KG — групповое кольцо группы G над кольцом K. Под KG-
модулями будем понимать KG-модули, являющиеся свободными K-
модулями конечного ранга. Выясняется, когда произвольный нераз-
ложимый KG-модуль представляется в виде внешнего тензорного
произведения неразложимого KH-мoдуля и неприводимого KB-мо-
дуля. Отметим, что случай, когда K — поле характеристики p, был
рассмотрен в [2], [3], [8].
2000 MSC. 16G20, 20C20.
Ключевые слова и фразы. Прямое произведение конечных групп,
представление конечной группы над кольцом, полное дискретно нор-
мированное кольцо K, неразложимый модуль над групповым коль-
цом KG, внешнее тензорное произведение KG1- и KG2-модулей.
Пусть K — область главных идеалов с единицей, F — поле ча-
стных кольца K, G = G1 × G2 — прямое произведение конечных
групп G1 и G2,KG – групповое кольцо группы G над кольцомK. Под
KG-модулями в дальнейшем будем понимать KG-модули, являющи-
еся свободными K-модулями конечного ранга. Интересной является
задача о связи между KG- и KGi-модулями (i = 1, 2). Пусть Mi —
KGi-модуль (i = 1, 2). Обозначим через M1 #M2 внешнее тензор-
ное произведение модулей M1 и M2. Хорошо известно [7], что если F
– алгебраически замкнутое поле, характеристика которого не делит
порядок группы G = G1 × G2, то произвольный неприводимый FG-
модуль однозначно с точностью до изоморфизма представляется в
виде внешнего тензорного произведения неприводимых FGi-модулей
(i = 1, 2). Джонс [10] получил следующий результат.
Статья поступила в редакцию 1.04.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
66 О представлениях прямого произведения...
Лемма 1. Пусть K — поле характеристики p > 0 либо дискретно
нормированное кольцо, F — поле частных кольца K, P — макси-
мальный идеал кольца K, K/P — поле характеристики p,
G = G1 × G2 и (p, |G2|) = 1 (|G2| – порядок группы G2). Если F
является полем разложения группы G2, то произвольный неразло-
жимый KG-модуль является внешним тензорным произведением
неразложимого KG1-модуля и неприводимого KG2-модуля.
Н. Блоу [8] и мной [2], [3] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F — поле характеристики p > 0 и G = H ×G2,
где H — силовская p-подгруппа конечной группы G. Произвольный
неразложимый FG-модуль тогда и только тогда представляется
однозначно с точностью до изоморфизма в виде внешнего тензорно-
го произведения неразложимого FH-модуля и неприводимого FG2-
модуля, когда F является полем разложения группы G2 либо группа
H циклична.
Теорема 2 ([3]). Пусть Zp — кольцо целых рациональных p- адиче-
ских чисел и G = H × G2, где H — силовская p-подгруппа конечной
группы G. Произвольный неразложимый ZpG-модуль тогда и толь-
ко тогда однозначно с точностью до изоморфизма представляется в
виде внешнего тензорного произведения неразложимого ZpH-модуля
и неприводимого ZpG2-модуля, когда поле рациональных p-адических
чисел Qp является полем разложения группы G2 либо H — цикли-
ческая группа порядка pr (r ≤ 2).
Основные результаты этой работы опубликованы без доказате-
льства в [4].
Лемма 2 ([11]). Пусть K — полное дискретно нормированное коль-
цо и G — конечная группа. KG-модуль M неразложим тогда и толь-
ко тогда, когда E(M) = HomKG(M,M) — локальное кольцо.
Лемма 3. Пусть K — полное дискретно нормированное кольцо с
полем вычетов характеристики p > 0, G = G1 × G2, (|G2|, p) = 1.
Следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждый неразложимый KG-модуль является внешним тен-
зорным произведением неразложимого KG1-модуля и неприводимого
KG2-модуля;
2) Внешнее тензорное произведение неразложимого KG1-модуля
и неприводимого KG2-модуля является неразложимым KG-модулем.
П. М. Гудивок 67
Доказательство. Докажем сначала, что из 2) следует 1). Пусть M —
неразложимый KG-модуль. Тогда, как известно [9], существует такой
неразложимый KG1-модуль M1, что
MG
1 = KG⊗KG1 M1
∼= M ⊕W, (1)
где W — некоторый KG-модуль. С другой стороны, очевидно,
MG
1
∼= M1#KG2
∼= M1#V1 ⊕ · · · ⊕M1#Vr, (2)
гдеKG2 = V1⊕· · ·⊕Vr (Vj – неприводимый KG2-модуль, j = 1, . . . , r).
Так как M1#Vj — неразложимый KG-модуль, то из формул (1) и (2),
учитывая справедливость теоремы Крулля-Шмидта дляKG-модулей
[1], находим, что для некоторого i (1 ≤ i ≤ r) M ∼= M1#Vi. Итак, из
2) следует 1).
Пусть далее имеет место 1). Обозначим через Mi произвольный
неразложимый KGi-модуль (i = 1, 2). Допустим, что KG-модуль
M = M1#M2 разложим:
M = M1#M2
∼= N1 ⊕ · · · ⊕Ns, (3)
где Ni — неразложимый KG-модуль (i = 1, . . . , s). В силу 1) Ni
∼=
Wi#Ti, где Wi — неразложимый KG1-модуль, а Ti — неприводимый
KG2-модуль (i = 1, . . . , s). Тогда из (3) получаем:
M = M1#M2
∼= W1#T1 ⊕ · · · ⊕Ws#Ts. (4)
Отсюда следует, что
MG1
∼= M
(m1)
1
∼= W
(n1)
1 ⊕ · · · ⊕W (ns)
s , (5)
MG2
∼= M
(m2)
2
∼= T
(n1)
1 ⊕ · · · ⊕ T (ns)
s (6)
где MGi — модуль M , рассматриваемый как KGi-модуль (i = 1, 2), а
W (n) — прямая сумма n экземпляров модуля W . Ввиду справедливо-
сти теоремы Крулля-Шмидта для KG-модулей, из (5) и (6) вытекает,
что Wj
∼= M1, Tj
∼= M2 (j = 1, . . . , s). Следовательно, формула (4) бу-
дет иметь вид:
M = M1#M2
∼= (M1#M2)
(s).
Таким образом, s = 1, то есть M = M1#M2 — неразложимый KG-
модуль. Значит, из 1) следует 2). Лемма доказана.
68 О представлениях прямого произведения...
Лемма 4. Пусть K — полное дискретно нормированное кольцо с
полем вычетов характеристики p > 0, G = G1 × G2, (p, |G2|) = 1,
Mj — неразложимый KGj-модуль (j = 1, 2). Тогда
E(M1#M2) ∼= E(M1) ⊗ E(M2) , (7)
где E(M) = HomKG(M,M) и E(M) = E(M)/RadE(M) (M — KG-
модуль, RadE(M) — радикал Джекобсона кольца E(M)).
Доказательство леммы следует из [3] и [8].
Теорема 3. Пусть K — полное дискретно нормированное кольцо ха-
рактеристики p > 0, F — поле частных кольца K и G = H×G2, где
H — силовская p-подгруппа конечной группы G и |H| > 1. Произволь-
ный неразложимый KG-модуль тогда и только тогда представля-
ется в виде внешнего тензорного произведения неразложимого KH-
модуля и неприводимого KG2-модуля, когда F — поле разложения
группы G2 либо H — группа порядка 2.
Доказательство. Пусть H = 〈a〉 — группа порядка 2. Из [5] следует,
что все неэквивалентные неразложимые матричные K-представления
группы H = 〈a〉 исчерпываются такими представлениями:
∆ : a→ 1, ∆j : a→
(
1 tj
0 1
)
(j = 0, 1, 2, . . .), (8)
где t — простой элемент кольца K.
Пусть M — неразложимый KH-модуль. Из (8) получаем, что
E(M) = E(M)/RadE(M) ∼= K = K/tK.
Отсюда и из лемм 1–4 вытекает доказательство достаточности тео-
ремы.
Пусть далее |H| > 2 и F не является полем разложения группы
G2. Очевидно, достаточно рассмотреть случаи, когда H либо цикли-
ческая группа порядка pr > 2, либо H — абелева группа типа (2, 2).
Как известно (см. [7])
FG2
∼= (F1)n1 ⊕ · · · ⊕ (Fs)ns ,
где Fi — конечное расширение поля F (i = 1, . . . , s) и (Fj)nj — коль-
цо всех nj × nj-матриц над полем Fj (1 ≤ j ≤ ns). Так как F не
является полем разложения группы G2, то существует такое j, что
Fj 6= F (1 ≤ j ≤ s). Пусть Rj – кольцо целых величин поля Fj и
П. М. Гудивок 69
Pj — максимальный идеал кольца Rj . Легко видеть, что в Rj содер-
жится такой элемент θ, что θ /∈ K и θ /∈ Pj . Как известно, в кольце
K существует подполе K1, изоморфное полю K = K/tK. Очевидно
существует такой полином f(x) = xn +a1x
n−1 + · · ·+an (ai ∈ K), что
f(x) = xn + a1x
n−1 + · · ·+ an (ai = ai + tK; i = 1, . . . , n) будет непри-
водимым полиномом над полем K и f(θ) = 0, где θ = θ + tK. Пусть
Nj — неприводимый KG2-модуль, соответствующий алгебре (Fj)nj ,
и A — сопровождающая матрица полинома f(x). Легко проверяется,
что отображение Γ вида:
a→ Γ(a) =
E tE A
0 E tE
0 0 E
,
где E — единичная матрица порядка n, является K-представлением
циклической группы H = 〈a〉 порядка pr > 2. Покажем, что пред-
ставление Γ неразложимо. Пусть C = ‖Cik‖ (Cik — матрица порядка
n) такая матрица порядка 3n над кольцом K, что Γ(a)C = CΓ(a). Из
этого равенства вытекает, что
C21 = C31 = C32 = 0, C33 = C22 = C11,
AC11 ≡ C11A(mod tK). (9)
Обозначим через W KH-модуль, в котором реализуется представ-
ление Γ. Из (9) следует, что E(W ) ∼= K(θ). Отсюда и из леммы 2
получаем, что W — неразложимый KH-модуль. Тогда в силу леммы
4
E(W#Nj) ∼= E(W ) ⊗K E(Nj) ∼= K(θ) ⊗K Rj ,
где Rj = Rj/Pj . Очевидно, K(θ) ⊗K Rj не является полем. Значит,
ввиду леммы 2 W#Nj разложимый KG-модуль.
Пусть далее H — группа типа (2, 2):
a2 = 1, b2 = 1, ab = ba.
Очевидно, отображение Γ′ вида:
a→
(
E E
0 E
)
, b→
(
E A
0 E
)
является неразложимым K-представлением группы H. Пусть W ′ —
KH-модуль, в котором реализуется представление Γ′. Тогда
E(W ′#Nj) ∼= K(θ) ⊗K Rj .
Следовательно, W ′#Nj разложимый KG-модуль. Необходимость до-
казана. Теорема доказана.
70 О представлениях прямого произведения...
Теорема 4. Пусть K — полное дискретно нормированное кольцо
характеристики нуль с полем вычетов характеристики p, F — по-
ле частных кольца K и G = H ×G2, где H — силовская p-подгруппа
конечной группы G и |H| = pd (d > 1). Произвольный неразложимый
KG-модуль тогда и только тогда представляется в виде внешнего
тензорного произведения неразложимого KH-модуля и неприводи-
мого KG2-модуля, когда F — поле разложения группы G2 либо H —
циклическая группа порядка p2 и p — простой элемент кольца K.
Доказательство. Доказательство достаточности теоремы вытекает
из леммы 1 и теоремы 2.
Докажем далее необходимость. Пусть F не является полем разло-
жения группы G2. Тогда
FG2
∼= (S1)n1 ⊕ · · · ⊕ (Sr)nr ,
где Sj — конечное расширение поля F (j = 1, . . . , r). Так как F не
является полем разложения группы G2, то существует такое j, что
Sj 6= F (1 ≤ j ≤ r). Пусть Lj — кольцо целых величин поля Sj и Pj –
максимальный идеал кольца Lj . Тогда в Lj найдется такой элемент θ,
что θ /∈ K и θ /∈ Pj . Очевидно, существует такой полином f(x) = xn +
a1x
n−1+· · ·+an (ai ∈ K), что f(x) = xn+a1x
n−1+· · ·+an (ai = ai+tK;
i = 1, . . . , n) будет неприводимым полиномом над полем K = K/tK
и f(θ) = 0, где θ = θ + tK (t — простой элемент кольца K). Пусть
A — сопровождающая матрица полинома f(x) и Nj — неприводимый
KG2-модуль, соответствующий алгебре (Sj)nj . Рассмотрим сначала
случай, когда H — абелева группа типа (p, p):
ap = 1, bp = 1, ab = ba.
Пусть
Γ(a)=
ε̃(n) 0 0 〈A〉
0 Esn Esn 0
0 0 ε̃(n) 0
0 0 0 En
, Γ(b)=
Esn 0 Esn 0
0 ε̃(n) 0 〈En〉
0 0 ε̃(n) 0
0 0 0 En
, (10)
где ε — первообразный корень степени p из 1, En — единичная мат-
рица порядка n, ε̃ — матрица оператора умножения на ε в K-базисе
1, ε, . . . , εs−1 кольца K[ε], ε̃(n) = ε̃×̇En — кронекерово произведение
матриц ε̃ и En, 〈∆〉 = ‖〈δik〉‖ (1 ≤ i, k ≤ n), ∆ = ‖δik‖, 〈δik〉 – s × 1-
матрица над K, столбец которой состоит из координат элемента δik ∈
K[ε] в K-базисе 1, ε, . . . , εs−1 кольца K[ε]. Нетрудно проверить, что
П. М. Гудивок 71
отображение Γ : a → Γ(a), b → Γ(b) является K-представлением
группы H. Пусть C такая матрица над кольцом K, что
Γ(a)C = CΓ(a), Γ(b)C = CΓ(b). (11)
Из (10) и (11) на основании [6] получаем, что матрица C имеет вид:
C =
Θ̃1 ∗
0 Θ̃2
0 0 Θ̃3
0 0 0 Θ4
,
где Θi = ‖λ(i)
hk‖, Θ̃i = ‖λ̃(i)
hk‖, λ
(i)
hk ∈ K[ε] (i = 1, 2, 3), λ = αo+α1ε+ · · ·+
αs−1ε
s−1 (αm ∈ K;m = 0, 1, . . . , s−1), λ̃ = α0Es +α1ε̃+ · · ·+αs−1ε̃
s−1.
Используя [6] и (11), нетрудно показать, что
Θi ≡ Θ1(modP ′) (i = 2, 3, 4), AΘ1 ≡ Θ1A(modP ′), (12)
где P ′ — максимальный идеал кольца целых величин поля F (ε).
Пусть M1 — KH-модуль, в котором реализуется представление Γ.
Из (12) получаем, что E(M1) ∼= K(θ), где K = K/tK. Тогда в силу
леммы 2 M1 — неразложимый KH-модуль. Отсюда и из леммы 4
получаем, что
E(M1#Nj) ∼= K(θ) ⊗ Lj , (13)
где Lj = Lj/Pj . Следовательно, в силу леммы 2 M1#Nj – разложи-
мый KG-модуль.
Итак, необходимость доказана, если H – нециклическая p-группа.
Пусть H = 〈a〉 — циклическая группа порядка p3. Рассмотрим
следующее K-представление Γ′ группы H = 〈a〉:
Γ′(a) =
ε̃3
(n) 0 〈En〉 〈A〉
0 ε̃2
(n) 〈En〉 〈En〉
0 0 ε̃1
(n) 0
0 0 0 En
, (14)
где εh — первообразный корень степени ph из 1 (h = 1, 2, 3), 〈∆〉 =
‖〈δik〉‖, ∆ = ‖δik‖ (1 ≤ i, k ≤ n) и 〈δik〉 — матрица, у которой все
столбцы, кроме последнего, нулевые, а последний состоит из коорди-
нат элемента δik ∈ K[εm] (2 ≤ m ≤ 3) в K-базисе 1, εm, . . . , ε
rm
m кольца
K[εm]. Такими же рассуждениями, как и в случае (10), на основании
[6] из (14) получаем, что E(M ′
1)
∼= K(θ), где M ′
1 — KH-модуль, в
котором реализуется представление Γ′ группы H = 〈a〉. Отсюда и из
72 О представлениях прямого произведения...
(13) следует доказательство необходимости, если H — циклическая
p-группа порядка pd (d > 2).
Пусть далееH = 〈a〉 — циклическая p-группа порядка p2 и p не яв-
ляется простым элементом кольца K, т. е. p = λte (λ ∈ K∗, e > 1, t —
простой элемент кольца K, K∗ — мультипликативная группа коль-
ца K). Если группа H = 〈a〉 обладает по крайней мере четырьмя
неэквивалентными неприводимыми F -представлениями, тогда дока-
зательство необходимости аналогично случаю, когда H — цикличе-
ская группа порядка p3. Поэтому в дальнейшем будем считать, что
группа H = 〈a〉 обладает точно тремя неэквивалентными неприво-
димыми F -представлениями. Пусть p 6= 2. Рассмотрим следующее
K-представление Γ1 группы H = 〈a〉:
Γ1(a) =
ε̃2
(n) 〈t1En〉 〈A〉
0 ε̃1
(n) 〈tEn〉
0 0 En
, (15)
где t1 = 1 − ε2 (см. обозначения (14)). Аналогично, как и в случае
(14), доказывается, что
E(V ) ∼= K(θ), (16)
где V — KH-модуль, в котором реализуется представление Γ1. Сле-
довательно, V — неразложимый KH-модуль. Если p = 2, то взяв
вместо t1 в (15) t, получим также утверждение (16). Из (13) и (16)
следует доказательство необходимости в случае, когда H = 〈a〉 —
циклическая группа порядка p2. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть K — полное дискретно нормированное кольцо
характеристики нуль с полем вычетов характеристики p, p — про-
стой элемент кольца K, F — поле частных кольца K и G = H×G2,
где H — силовская p-подгруппа конечной группы G. Произвольный
неразложимый KG-модуль тогда и только тогда представляется в
виде внешнего тензорного произведения неразложимого KH-модуля
и неприводимого KG2-модуля, когда F — поле разложения группы
G2 либо H — циклическая группа порядка pr (r ≤ 2).
Доказательство следствия вытекает из теорем 2 и 4.
Литература
[1] З. И. Боревич, Д. К. Фаддеев, Теория гомологий в группах.II // Вестник
Ленингр. ун-та. (1959), No 7, 72–87.
[2] П. М. Гудивок, О модулярных и целочисленных представлениях конечных
групп // Докл. АН СССР. 214 (1974), No 5, 993–996.
П. М. Гудивок 73
[3] П. М. Гудивок, О модулярных и целочисленных P -адических представлениях
прямого произведения групп // Укр. мат. журн. 214 (1977), No 5, 580–588.
[4] П. М. Гудивок, О представлениях прямого произведения групп над полными
дискретно нормированными кольцами // Докл. АН СССР. 237 (1977), No 1,
25–27.
[5] П. М. Гудивок, Про обмеженiсть степенiв нерозкладних модулярних зоб-
ражень скiнченних груп над кiльцями головних iдеалiв // Доп. АН УРСР.
Сер. А. (1971), No 8, 683–685.
[6] П. М. Гудивок, Представления конечных групп над числовыми кольцами //
Изв. АН СССР. Сер. матем. 31 (1967), No 4, 799–834.
[7] Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциатив-
ных алгебр. Москва: Наука, 1969, 668 с.
[8] H. I. Blau, Indecomposable modules for direct products of finite groups // Pacific
J. of Math. 54 (1974), No 1, 39–44.
[9] D. G. Higman, Indecomposable representations at characteristic p // Duke Math.
J. 21 (1954), 377–381.
[10] A. Jones, Integral representations of the direct product of groups // Canad. J.
Math. 15 (1963), 625–630.
[11] I. Reiner Relations between integral and modular representations // Mich. Math.
J. 13 (1966), 357–372.
Сведения об авторах
Петр Михайлович
Гудивок
Ужгородский национальный
университет,
математический факультет,
ул. Университетская, 14,
88016 Ужгород,
Украина
E-Mail: algebra@tn.uz.ua
|