Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса

Решение уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса задается набором особых точек решения вместе с его асимптотикой в этих точках.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Беляев, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124592
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 297-317. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124592
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245922017-09-30T03:04:11Z Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса Беляев, А.В. Решение уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса задается набором особых точек решения вместе с его асимптотикой в этих точках. 2005 Article Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 297-317. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 55R55, 34M30, 34M45, 74H05, 74H10, 74H40. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124592 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Решение уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса задается набором особых точек решения вместе с его асимптотикой в этих точках.
format	Article
author	Беляев, А.В.
spellingShingle	Беляев, А.В. Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса Український математичний вісник
author_facet	Беляев, А.В.
author_sort	Беляев, А.В.
title	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса
title_short	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса
title_full	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса
title_fullStr	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса
title_full_unstemmed	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса
title_sort	аналитические свойства решений уравнений эйлера-пуассона в случае гесса
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124592
citation_txt	Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 297-317. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT belâevav analitičeskiesvojstvarešenijuravnenijéjlerapuassonavslučaegessa
first_indexed	2025-07-09T01:40:53Z
last_indexed	2025-07-09T01:40:53Z
_version_	1837131633712431104
fulltext	Український математичний вiсник Том 2 (2005), № 3, 297 – 317 Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса Александр В. Беляев (Представлена А. Е. Шишковым) Аннотация. Решение уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса задается набором особых точек решения вместе с его асимптотикой в этих точках. 2000 MSC. 55R55, 34M30, 34M45, 74H05, 74H10, 74H40. Ключевые слова и фразы. Уравнения Эйлера-Пуассона, случай Гесса, первый интеграл, особые точки, аналитические функции, асимптотика, однозначные решения. Введение Случай Гесса [1] задачи о движении тяжелого твердого тела инте- ресен тем, что несмотря на наличие четвертого интеграла для клас- сических уравнений Эйлера-Пуассона, его решения в квадратурах не удалось получить никому. Тем не менее и без явного решения их свой- ства исследованы достаточно полно. Геометрическое истолкование искомого движения было дано Жуковским [2], а Некрасов и Млодзе- евский [3,4] доказали, что при некоторых ограничениях решения мо- гут быть асимптотическими. Представляет интерес также тот факт, что случай Гесса был переоткрыт Аппельротом [5], использовавшим идею Ковалевской [6] исследования на однозначность особых точек решений уравнений Эйлера-Пуассона. Отметим также, что Некрасо- вым [7] показано, что решения в случае Гесса являются, вообще го- воря, неоднозначными. Случай Гесса позднее изучали Чаплыгин [8], Брессан [9], Ковалев [10]. В настоящей статье мы представляем решения уравнений Эйлера- Пуассона в случае Гесса как аналитические функции времени с задан- ными асимптотиками в окрестностях заданных особых точек. Этот результат отличается от результатов классических исследований тем, Статья поступила в редакцию 10.12.2003 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 298 Аналитические свойства решений... что в них не ставилась, а значит, и не решалась задача полного описа- ния асимптотик всех особых точек данного решения вместе с указа- нием координат самих особых точек на комплексной временной пло- скости. Более того, асимптотика особых точек имеет свободные па- раметры, однако для фиксированного решения они свободны лишь в одной, заранее выбранной, особой точке, а в остальных — не являю- тся свободными и связаны некоторой зависимостью. Эта зависимость может быть описана в терминах отображения, которое мы называем параметрическим отображением последования. Мы полагаем, что можно считать, что найдено аналитическое ре- шение дифференциальных уравнений, в данном случае задачи Гесса, если для данного решения или класса решений указаны координаты особых точек, асимптотики всех особых точек и соотношения, свя- зывающие свободные параметры особых точек. Отметим, что пред- ставление такого же типа с тождественным отображением последо- вания имеют и классические эллиптические функции [11] и оно по- зволяет получить все известные, как локальные, так и глобальные свойства. Хотя классическим решением дифференциального уравне- ния считается решение в квадратурах, однако оно менее эффективно с точки зрения исследования свойств полученного решения, если ин- тегралы явно не берутся. В соответствии с изложенным подходом, основной результат ста- тьи сформулируем следующим образом. Теорема 1. Решение уравнений Эйлера-Пуассона { A . p= Ap× p+ γ × r, . γ= γ × p, здесь p = (p1, p2, p3) ∈ C3, γ = (γ1, γ2, γ3) ∈ C3, A = diag(A1, A2, A3), A : R3 → R3, r = (r1, r2, r3) ∈ R3, в случае Гесса, задаваемого усло- вием A1B23r 2 1 = A2B31r 2 2, r3 = 0, Bij = Ai −Aj (индексы можно циклически переставлять), имеет следующее опи- сание:    pi = ki √ F θ1θ2 θ2 1 + θ2 2 , i = 1, 2, p3 = k3 √ F θ2 2 − θ2 1 θ2 2 + θ2 1 , γ1 = 1 R(r1(H−F) + r2(A3ṗ3 −B12p1p2)), γ2 = 1 R(r2(H−F) − r1(A3ṗ3 −B12p1p2)), γ3 = 1 r2 (B23p2p3 −A1ṗ1), А. В. Беляев 299 здесь k2 = −A1r1 A2r2 k1, k1 = 2 √ 2B23 −B12A1 , k3 = √ 2 A3 , A1 < A3 < A2, Aij = Ai −Aj . Функция F является в общем случае эллиптической и задается уравнением A2 3(Ḟ)2 = 2A3T RF − 2A3F(F −H)2 −M2R, здесь H = 1 2 〈Ap, p〉 + 〈γ, r〉 , M = 〈Ap, γ〉 , T = 〈γ, γ〉 — первые ин- тегралы исходной системы уравнений Эйлера-Пуассона, R = 〈r, r〉 , 〈x, y〉 = ∑3 i=1 xiyi — C-скалярное произведение в C3. Функции θ1, θ2 задаются линейными дифференциальными урав- нениями    θ̇1 = (ν/2) √ Fθ1 − κ F θ2, θ̇2 = κ F θ1 − (ν/2) √ Fθ2, ν = − √ 2B23B31√ A1A2A3 , κ = M √ R 4A3 , в силу которых все особые точки θ1, θ2 совпадают с нулями и осо- быми точками функции F , которые в общем случае соответствен- но равны {t0+m1τ1+m2τ2i}, { − t0 +m1τ1 +m2τ2i} и {t∞+m1τ1+m2τ2i}, mi ∈ Z, τi ∈ R. В окрестностях особых точек функции θ1, θ2 имеют асимпто- тику следующего вида: в окрестности одной из сопряженных точек F = 0 { θ1 = −ic1t−1/4 + ic2t 1/4 + . . . , θ2 = c1t −1/4 + c2t 1/4 + . . . , где c1, c2 — свободные параметры; в окрестности точки F = ∞    θ1 = c1t νλ/2 + c1 νH 12λ t2+νλ/2 + c2 κ 2A3(3 − νλ) t3−νλ/2 + . . . , θ2 = c2t −νλ/2 − c2 νH 12λ t2−νλ/2 − c1 κ 2A3(3 + νλ) t3+νλ/2 + . . . . где c1, c2 — свободные параметры. В пределах одного или двух соседних параллелограммов перио- дов эллиптической функции F свободные параметры асимптотик 300 Аналитические свойства решений... c1, c2 различных особых точек связаны линейными преобразования- ми, которые назовем базисными, и которые, вообще говоря, не ком- мутируют друг с другом в силу неоднозначности решений. Линей- ные преобразования, связывающие свободные параметры асимпто- тик произвольных особых точек, представляют собой произведения базисных линейных преобразований. Доказательство теоремы 1 составляет основное содержание ста- тьи, которую мы разбиваем на разделы следующим образом. В пер- вом разделе изложены классические результаты, характеризующие случай Гесса. Во втором разделе уравнения (1) случая Гесса сводят- ся к уравнению Риккати и к системе линейных уравнений. Сам факт возможности такого сведения является хорошо известным классиче- ским результатом (см. [7]). Однако виды уравнений Риккати и, соо- тветственно, линейных систем, могут быть самыми различными. По- этому мы приводим соответствующий вывод. В третьем и четвертом разделах мы излагаем идею доказательства теоремы 1 и некоторый взгляд на исследование случая Гесса. В разделе 5 приводится асимп- тотика функции F , а непосредственное доказательство теоремы 1 со- держится в разделах 6 и 7. В разделе 10 доказаны предложения, фи- ксирующие соответствие особых точек для различных представлений решения задачи Гесса. Собственно говоря, взятые в отдельности факты, которые мы ис- пользуем или доказываем, вполне просты; однако мы полагаем, что является нетривиальным, во-первых, сам подход к решению зада- чи Гесса, а во-вторых, подбор вспомогательных представлений, кото- рый не может быть произвольным. Так, например, для классического представления (1) задачи Гесса весьма не просто найти координаты особых точек. Для уравнений (11), наоборот, особые точки очевид- ны, но представляет собой нетривиальную задачу непосредственное, то есть без использования дополнительных замен переменных, нахо- ждение в этих особых точках асимптотик, поскольку правая часть уравнений (11) зависит от времени. Чтобы подчеркнуть содержательность основной теоремы 1, мы приводим два ее следствия — теоремы 2 и 3, доказанные, соответ- ственно, в разделах 11 и 12. В теореме 2 указывается полный набор однозначных решений случая Гесса, а в теореме 3 доказывается, что почти все комплексные решения этого же случая предельнопериодич- ны. Оба доказательства выглядят как простые следствия теоремы 1, однако без ее использования доказать теорему 3 достаточно сложно, а теорему 2, пожалуй, и невозможно. Кроме того, выбор теорем 2 и 3 представляется принципиальным А. В. Беляев 301 для сравнения эффективности предлагаемого в статье подхода к ис- следованию случая Гесса с классическими методами исследования. Так, теорема 2 является комплексным аналогом теоремы Некрасо- ва [4] о квазипериодических и предельнопериодических решениях, о которой мы уже упоминали, а теорема 3 подобна теореме Ляпу- нова [12] о полном наборе случаев для уравнений Эйлера-Пуассона, имеющих однозначные решения при всех начальных данных. Наконец, в разделах 8 и 9 мы приводим результаты [13], необхо- димые для доказательства теорем 2, 3 и предложения 8. 1. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае Гесса Классические уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движе- ние тяжелого твердого тела, имеют вид: { A . p= Ap× p+ γ × r, . γ= γ × p, (1) здесь p = (p1, p2, p3) ∈ C3, γ = (γ1, γ2, γ3) ∈ C3, A = diag(A1, A2, A3), A : R3 → R3, r = (r1, r2, r3) ∈ R3. Система (1) имеет первые интегралы H(z) = 1 2 〈Ap, p〉 + 〈γ, r〉 , M(z) = 〈Ap, γ〉 , T (z) = 〈γ, γ〉 ; здесь 〈x, y〉 = ∑3 i=1 xiyi — C-скалярное произведение в C3. Далее в обозначениях мы будем также использовать циклическую перестановку индексов σ = (1, 2, 3) для записи произведений или сумм (например, ∑ σ A1A2 = A1A2+ A2A3+ A3A1, ∏ σ A1 = A1A2A3), а также соотношений, получающихся друг из друга перестановкой индексов (γ̇ = γ × p, можно записать в виде γ̇1 = p3γ2 − p2γ3, σ). Кроме того, будем использовать обозначение Bij = Ai −Aj . Случай Гесса определяется наличием четвертого интеграла I(z) = 〈Ap, r〉 = 0. (2) Заметим, что четвертый интеграл является таковым только на нулевой поверхности уровня самого интеграла, и именно эта его осо- бенность приводит к целому ряду необычных свойств случая Гесса. 302 Аналитические свойства решений... Существование интеграла (2) порождает зависимость параметров твердого тела и координат точки закрепления тела. С точностью до перестановки индексов эти соотношения имеют вид: A1B23r 2 1 = A2B31r 2 2, r3 = 0. (3) Для определенности будем считать, что A1 < A3 < A2. Введем функции F = 1 2 〈Ap, p〉 , G = 1 2 〈Ap,Ap〉 , для которых Ḟ = 〈Ap× p, p〉 + 〈γ × r, p〉 = 〈γ × r, p〉 , Ġ = 〈Ap× p,Ap〉 + 〈γ × r,Ap〉 = 〈γ × r,Ap〉 . Используя соотношения 〈a, b〉〈c, d〉 = 〈a, c〉〈b, d〉 + 〈a× d, b× c〉 , (4) (a× b) × c = 〈a, c〉 b− 〈b, c〉 a, (5) получим ḞG = 〈Ap,Ap〉〈γ × r, p〉 = FĠ + 〈Ap× (γ × r), Ap× p〉 = = FĠ −M〈Ap× p, r〉 = FĠ −M〈Ap, r〉. = FĠ. Из последнего соотношения следует, что G F = const. Найдем зна- чение этой константы. A1p1r1 +A2p2r2 = 0 ⇒ p2 = −A1p1r1 A2r2 ⇒ p2 2 = A2 1p 2 1r 2 1 A2 2r 2 2 ⇒    2G = A2 1p 2 1 ( 1 + r21 r22 ) +A2 3p 2 3, 2F = A1p 2 1 ( 1 + A1r 2 1 A2r22 ) +A3p 2 3. Используя соотношение (3), получим { 2GB23 = A1p 2 1(A1B23 +A2B31) +A2 3B23p 2 3, 2FB23 = A1p 2 1(B23 +B31) +A3B23p 2 3, откуда следует, что G = A3F . А. В. Беляев 303 Введем обозначение R = 〈r, r〉 и воспользуемся соотношениями (4), (5). (Ġ)2 = 〈Ap, γ × r〉〈Ap, γ × r〉 = 2G 〈γ × r, γ × r〉− − 〈Ap× (γ × r), Ap× (γ × r)〉 = 2G 〈(γ × r) × γ, r〉 −M2R = = 2G(T R − 〈γ, r〉2) −M2R = 2GT R− 2G(F −H)2 −M2R. Итак, мы можем найти функции F ,G из уравнения A2 3(Ḟ)2 = 2A3T RF − 2A3F(F −H)2 −M2R. (6) 2. Сведение уравнений Эйлера-Пуассона к уравнению Риккати и системе линейных уравнений Рассмотрим следующее представление для p(t) :    pi = ki √ F ϕ 1 + ϕ2 , i = 1, 2, p3 = k3 √ F 1 − ϕ2 1 + ϕ2 , (7) где k2 = −A1r1 A2r2 k1, k1 = 2 √ 2B23 −B12A1 , k3 = √ 2 A3 . Представление (7) мы выбираем таким образом, чтобы тожде- ственно выполнялись условия 〈Ap, r〉 = 0, 〈Ap, p〉 = 2F . При этом естественно, что общее количество свободных переменных уменьша- ется на 2. Используя имеющиеся интегралы, получим дифференциальное уравнение для ϕ : A1ṗ1 = B23p2p3 − r2γ3 ⇒ γ3 = 1 r2 (B23p2p3 −A1ṗ1). (8) Из следующей системы { γ1r1 + γ2r2 = H−F , γ1r2 − γ2r1 = A3ṗ3 −B12p1p2 найдем γ1 и γ2 : { γ1 = 1 R(r1(H−F) + r2(A3ṗ3 −B12p1p2)), γ2 = 1 R(r2(H−F) − r1(A3ṗ3 −B12p1p2)). (9) 304 Аналитические свойства решений... Заметим, что A1p1r2 −A2p2r1 = A1p1r2 +A2r1 A1r1 A2r2 p1 = A1p1 r2 R, и подставим представление (7)–(9) в интеграл момента M. Мы получим M = A1p1 r2 (A3ṗ3 −B12p1p2) + A3p3 r2 (−A1ṗ1 +B23p2p3) = = A1A3 r2 (p1ṗ3 − ṗ1p3) + p2 r2 (A3B23p 2 3 −A1B12p 2 1) = = A1A3 r2 ( p3 p1 ). p2 1 + 2B23 r2 Fp2 = = A1A3 r2 k1k3F ( 1 − ϕ2 ϕ ). ϕ2 (1 + ϕ2)2 + 2B23 r2 k2F 3 2 ϕ 1 + ϕ2 . Наконец, поскольку ( 1−ϕ2 ϕ ). = −ϕ̇1+ϕ2 ϕ2 , мы получаем ϕ̇ = ν √ Fϕ− κ F (1 + ϕ2), ν = − √ 2B23B31√ A1A2A3 , κ = M √ R 4A3 . (10) Замечание 1 ([1]). Если M = 0, то κ = 0 и уравнения (10) явно интегрируются. Полагая ϕ = θ1 θ2 , получим линейную систему для θ = (θ1, θ2) : 1 θ2 2 (θ̇1θ2 − θ1θ̇2) = ν √ F θ1 θ2 − κ F ( 1 + θ2 1 θ2 2 ) ⇒ θ̇1θ2 − θ1θ̇2 = ν √ Fθ1θ2 − κ F (θ2 1 + θ2 2) = = (ν 2 √ Fθ1 − κ F θ2 ) θ2 − ( −ν 2 √ Fθ2 + κ F θ1 ) θ1 ⇒    θ̇1 = (ν/2) √ Fθ1 − κ F θ2, θ̇2 = κ F θ1 − (ν/2) √ Fθ2 (11) Замечание 2. В работе [7] Некрасов свел динамические уравнения в случае Гесса к уравнению Риккати, для которого записал линей- ную систему дифференциальных уравнений. Однако мы предпочи- таем не пользоваться этим результатом, поскольку неизвестная вели- чина этой линейной системы связана с исходными переменными (p, γ) дифференциальными соотношениями. А. В. Беляев 305 3. Способ нахождения асимптотик решений (p, γ), θ1, ϕ Нахождение координат особых точек на временной плоскости C решений нелинейных дифференциальных уравнений не является за- дачей, имеющей стандартный способ решения. Также заранее не оче- виден способ нахождения асимптотик в таких точках. В работе [13] приведена асимптотика особых точек решений урав- нений Эйлера-Пуассона. По своему характеру все особые точки обра- зуют два класса: α и β-точки. Асимптотика α-точек в случае Гесса может быть однозначной ([14]), но, вообще говоря, имеет слагаемые вида ti lnj t, i, j ∈ Z. Все коэффициенты α-точки эффективно вычисляются как функции ис- ходных параметров тела Ai, ri, i = 1, 2, 3. При этом общий вид асим- птотики имеет 5 свободных параметров αi, i = 1, . . . 5, что законо- мерно для системы (1) с 6 переменными. Асимптотика β-точек также может быть однозначной ( [14]), но может и иметь ветвление за счет слагаемых вида tν , ν ∈ C. Коэф- фициенты при tν эффективно вычисляются не всегда, в частности, когда асимптотика β-точки является частью ряда Лорана. К сожале- нию, именно такая ситуация имеет место в случае Гесса. Этим обстоя- тельством объясняется необходимость рассмотрения случая Гесса и с помощью уравнения Риккати для ϕ, и с помощью линейной системы уравнений относительно θ1, θ2. Координаты особых точек особенно просто находятся для функ- ции θ, а асимптотика соответствующих особых точек — для функции ϕ. Определяя соответствие особых точек для различных представле- ний решения задачи, мы можем получить необходимые нам свойства решения для каждого из представлений. 4. Компактификация фазового пространства решений ϕ, θ Поскольку функция F является эллиптической, то можно счи- тать, что уравнение (10) для ϕ и система (11) для θ заданы на R- двумерном торе T 2, являющимся голоморфным компактным много- образием. Однако в правой части (10), (11) вместе с F присутствует и √ F , что требует рассмотрения минимального накрытия, для кото- рого правые части уравнений (10), (11) становятся однозначными. Функция F имеет полюс второго порядка, значит, в окрестно- сти точки F = ∞ функция √ F однозначна. Точки F = 0 не могут 306 Аналитические свойства решений... принадлежать вещественной прямой, так как при F = 0 A2 3(Ḟ)2 = −M2R < 0, если M 6= 0. Как было отмечено в замечании 1, случай M = 0 явно интегри- руется, поэтому в данном случае не интересен для рассмотрения. Точки, в которых F = 0, в силу вещественности F имеют сопря- женные координаты, значит они отличны друг от друга и не являют- ся кратными. Риманова поверхность функции √ F согласно формуле Римана-Гурвица является поверхностью S2 рода 2 (см. [11]; это мож- но видеть и из геометрии разветвленного накрытия). Наконец, благодаря линейности уравнений для θ соответствую- щий им поток можно профакторизовать по однородному растяже- нию, после чего мы получаем голоморфное слоение с особенностями на компактном голоморфном многообразии S2×CP 1 (см. также [15]). При этом очевидно соответствие между (θ1 : θ2) ∈ CP 1 и ϕ = θ1/θ2. 5. Асимптотика функций F , √ F ,F−1 в окрестностях точек F = 0, F = ∞ Функция F является в общем случае вещественной эллиптической функцией, поэтому ее периоды имеют вид ω1, iω2, ωi ∈ R. Кроме то- го, точки, в которых F = 0 или F = ∞ являются сопряженными, по- этому далее, получая асимптотики функций F , ϕ, θ в этих точках, мы будем указывать только одну из них. Из дифференциального урав- нения (6) стандартным образом получаем асимптотику особых точек F . Предложение 1. Асимптотика функций F , √ F ,F−1 в точке F = ∞ имеет вид: F = −2A3 t2 + 2 3 H + ( σ 10 − 2H2 15A3 ) t2 + . . . , σ = H2 − T R A3 , F−1 = − t2 2A3 − H 6A2 3 t4 − 1 5A2 3 ( σ 8 + H2 9A3 ) t6 + . . . , √ F = λ t + H 3λ t+ ( σ 20λ − H2 15A3λ − H2 18λ3 ) t3 + . . . , λ = i √ 2A3. Асимптотика функций F , √ F ,F−1 в одной из сопряженных то- чек F = 0 имеет вид: F = µt− σ 2 t2 + 2Hµ 3A3 t3 + . . . , µ = 4iκ = iM √ R A3 А. В. Беляев 307 F−1 = 1 µt + σ 2µ2 + ( σ2 4µ3 − 2H 3A3µ ) t+ . . . , √ F = √ µt1/2 − σ 4 √ µ t3/2 + (√ µH 3A3 − σ2 32µ3/2 ) t5/2 + . . . , Доказательство. Как уже было отмечено, асимптотика функций F ,√ F , F−1 находится из (6). 6. Асимптотика функции ϕ в окрестностях точек F = 0, F = ∞ Предложение 2. Функция ϕ в окрестности точки F = 0, F = 4iκt+ . . . при t→ 0, имеет с точностью до комплексного сопряже- ния следующие асимптотики: ϕ = −i+ ct1/2 + ic2 2 t− ( icσ 16κ + c3 4 + 2νi √ κi ) t3/2 + . . . , (12) где c — свободный параметр либо ϕ = i+ νi √ κi t3/2 + . . . (13) Доказательство. Итак, согласно условию, при t→ 0 F = 4iκt+ . . . . Предположим, что при этом 1+ϕ2 (см. (10)) не стремится к нулю, то есть ϕ не стремится к ±i. В этом случае ν √ Fϕ мало по сравнению с − κ F (ϕ2 + 1). ϕ̇ = i 4t (ϕ2 + 1) + . . . , t→ 0 ⇒ ϕ = tg( i 4 ln(ct)) + . . . = −i(ct) −1/4 − (ct)1/4 (ct)−1/4 + (ct)1/4 → −i, t→ 0. Мы получаем противоречие, значит в сопряженных точках при F = 0 ϕ→ ∓i. Пусть при t→ 0 F = 4iκt+ . . . . и ϕ→ −i. Подставим ϕ = −i+ ϕ1 в уравнение (10): ϕ̇1 = ν √ µtϕ1 + 1 2t ϕ1 + . . . , t→ 0, ϕ1 → 0 и получим приближенное решение ϕ1, а значит и ϕ : ϕ = −i+ ct1/2 + . . . , t→ 0, c — свободный параметр. Последующие итерации дают искомый ре- зультат. 308 Аналитические свойства решений... Пусть при t → 0 F = 4iκt + . . . и ϕ → i. В этом случае мы не можем найти однопараметрическое семейство асимптотик, но одна искомая асимптотика все же имеется ϕ = i+ νi √ κi t3/2 + . . . Рассмотрим возмущение этого решения. Полагая ϕ = i+ νi √ κi t3/2 + εΦ(t) и пренебрегая слагаемыми с ε порядка выше 1, получаем Φ(t) = −ct−1/2 + . . .. Это означает, что при малом возмущении рассматрива- емого решения ϕ не стремится к i при t→ 0. Как уже было показано ϕ→ −i , если ϕ не стремится к i, значит, обе приведенные асимптотики исчерпывают все возможности для ре- шения ϕ при условии F = 4iκt+ . . . , t→ 0. Предложение 3. Асимптотика функции ϕ в окрестности точки F = ∞ имеет вид ϕ = ctλν + . . .+ κt3 2A3(3 − λν) + . . . Доказательство. Предположим, что при t → 0 F → ∞, тогда ϕ̇ = ν √ Fϕ+ . . .⇒ lnϕ = νλ ln t+ . . .⇒ ϕ = ctλν + . . . и далее применяем стандартные итерации. 7. Асимптотика функций θ1, θ2 в окрестностях точек F = 0, F = ∞ Итак, функции θ1, θ2 удовлетворяют системе дифференциальных уравнений { θ̇1 = ν 2 √ Fθ1 − κ F θ2, θ̇2 = κ F θ1 − ν 2 √ Fθ2. Поскольку ϕ = θ1/θ2, то из второго уравнения этой системы сле- дует (ln θ2) . = κ F ϕ− ν 2 √ F . Необходимые асимптотики ϕ,F , √ F уже известны, поэтому не сложно получить и асимптотики θi. А. В. Беляев 309 Предложение 4. В окрестности точки F = 0 функции θi с точно- стью до сопряжения имеют асимптотику { θ1 = −ic1t−1/4 + ic2t 1/4 + . . . , θ2 = c1t −1/4 + c2t 1/4 + . . . , где c1, c2 — свободные параметры. Замечание 3. Функция ϕ в окрестности точки F = 0 имеет две раз- личные асимптотики. Обе они соответствуют асимптотике функций θi из доказанного предложения: асимптотика (12) соответствует слу- чаю c1 6= 0, асимптотика (13) — c1 = 0. Предложение 5. В окрестности точки F = ∞ функции θi имеют асимптотику    θ1 = c1t νλ/2 + c1 νH 12λ t2+νλ/2 + c2 κ 2A3(3 − νλ) t3−νλ/2 + . . . , θ2 = c2t −νλ/2 − c2 νH 12λ t2−νλ/2 − c1 κ 2A3(3 + νλ) t3+νλ/2 + . . . , где c1, c2 — свободные параметры. 8. Асимптотика α-особых точек функций (p, γ) Согласно [13, 16], (см. также [6] и [5]) асимптотика α-точек реше- ний уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса имеет вид: { p(t) = ∼ p 0t−1 + α1u1 + ∑4 2 αivit+ o(t), γ(t) = α1v1t −1 + κ0v1 + α4v ∼ p 0 + α5v−1t+ o(t), (14) где ∼ p 0 является решением системы уравнений    A ∼ p 0× ∼ p 0 +A ∼ p 0 = 0,〈 A ∼ p 0, r 〉 = 0, (15) и имеет вид ( ±i √ A2A3 −B12B31 ,±i √ A1A3 −B12B23 ,− √ A1A2 B23B31 ) , v1, v−1 — собственные векторы оператора ξ →∼ p 0 × ξ с собствен- ными значениями 1 и -1 соответственно (в силу (15) v1 = A ∼ p 0), 310 Аналитические свойства решений... {v2, v3} — собственные векторы оператора D : ξ → A−1 ( A ∼ p 0 × ξ +Aξ× ∼ p 0 ) , с собственным значением 1, v4 = −(D−E)−1A−1( ∼ p 0 × r) (в силу вырожденности оператора D вектор v4 определен по модулю пространства {v2, v3} , u1 = −D−1A−1(v1 × r), α1, . . . α5 — свободные параметры. 9. Асимптотика β-особых точек функций (p, γ) Согласно [13,16] (см. также [6] и [5]) асимптотика β-особых точек решений уравнений Эйлера-Пуассона имеет вид:    p(t) = ∼ p 0t−1 + β0u0t λ0−1 + β0u0tλ 0−1 + β2u2t+ β3u3t 2+ + β4u4t 3t+ . . .+ ∑ i+j≥2 βi 0(β 0)jψijt iλ0+jλ0−1 + . . . γ(t) = ∼ γ 0t−2 + β0v0t λ0−2 + β0v0tλ 0−2 + β2v2 + β3v3t+ + β4v4t 2 + . . .+ ∑ i+j≥2 βi 0(β 0)jχijt iλ0+jλ0−2 + . . . (16) здесь ∼ p 0 1 = √ (2A2 − ̺)(2A3 − ̺) B12B31 , σ, ∼ γ 0 — собственный вектор оператора ξ →∼ p 0 × ξ с собственным значением −2, ̺ находится из уравнения ∑ σ r1(A1 − ̺) √ (2A2 − ̺)(2A3 − ̺)B23 = 0, (17) (uk, υk) , k = 2, 3, 4, (u0, υ0) , ( u0, υ0 ) — собственные векторы опе- ратора H : (Ap, γ)→ ( A ∼ p 0 × p+Ap× ∼ p 0 + γ × r +Ap, ∼ γ 0 × p+ γ× ∼ p 0 + 2γ ) λ (0) 0 = 1 2 (+) − √ 1 4 − S, S = S1 S2 , (18) S1 = (2〈Aγ, δ〉 + 〈Ap, p〉)(〈Aγ, δ〉 + 〈Ap, p〉) 〈Aγ, γ〉 −3 〈p, r〉2 〈γ, r〉 −2 〈Aδ, δ〉+2 〈δ, r〉, А. В. Беляев 311 S2 = 〈p, r〉2 2 〈γ, r〉 − 〈Aγ, δ〉2 〈Aγ, γ〉 + 〈Aδ, δ〉 , в этой формуле для простоты мы заменили ∼ p 0, ∼ γ 0 на p, γ, а δ удов- летворяет соотношениям p × δ + 2δ = 0, 〈δ, γ〉 = 2 — и, наконец, β2, β3, β4, β0, β 0 — свободные параметры. Для сходимости ряда, продолжающего асимптотику (16), надо по- ложить t = ei(λ̄0−λ̄0)θ, θ → +∞. В случае Гесса уравнение (17) можно решить, но удобнее сначала рассмотреть уравнение 〈 A ∼ p 0, r 〉 = 0 : A2 1 (2A2 − ̺)(2A3 − ̺) B12B31 r21 = A2 2 (2A3 − ̺)(2A1 − ̺) B23B12 r22, корни которого равны 2A3 и 0 и удовлетворяют (17). Пусть вначале ̺ = 2A3. Опуская простые выкладки, приведем все же промежуточные результаты. Итак, в рассматриваемом слу- чае в (18) p = (0, 0,±2i), γ = γ1(1,±i, 0), γ1 = 2A3(r1 ± ir2) −1, δ = γ−1 1 (1,∓i, 0), 〈Aγ, δ〉 = A1 + A2, 〈Ap, p〉 = −4A3, 〈γ, r〉 = 2A3, 〈p, r〉 = 0, 〈Aγ, γ〉 = B12γ 2 1 , 〈Aδ, δ〉 = B12γ −2 1 , 〈δ, r〉 = R(2A3) −1, S = 2A3ν 2 ∓ iν √ 2A3. Итак, λ0 = ∓νi √ 2A3, λ0 = 1 ± νi √ 2A3. Пусть теперь ̺ = 0. В этом случае вектор ∼ p 0 равен 2 ( ±i √ A2A3 −B12B31 ,±i √ A1A3 −B12B23 ,− √ A1A2 B23B31 ) , 〈 ∼ γ 0, r 〉 = 0, формула (18) упрощается и принимает вид S = 6; соответственно, λ0 = −2, λ0 = 3. Формальный ряд, продолжающий асимптотику (16), является ря- дом Лорана, причем заранее неясно, как находить его коэффициенты и, тем более непонятно, будет ли он сходящимся. Заметим также, что в рассматриваемом случае полученный ряд для (p, γ) не имеет неод- нозначных слагаемых. 10. Соответствие особых точек решений (p, γ), θ, ϕ Определение 1. Будем называть β(̺)-особыми точками β-особые точки, соответствующие корню ̺ уравнения (17). 312 Аналитические свойства решений... Предложение 6. Решения (p, γ) имеют особые точки типа β(2A3), если и только если F → ∞. Доказательство. Необходимость. Пусть F 6→ ∞. Тогда p→ ∞ толь- ко при условии ϕ → ±i, но тогда (p1 : p2 : p3) → (±k1 : ±ik2 : 2k3), а значит, рассматриваемые особые точки не являются β(2A3)-точками. Достаточность. Пусть F → ∞. Согласно (7) (p, γ) → ∞ и при этом (p1 : p2 : p3) = (k1 : k2 : (1−ϕ2)/ϕ). Из асимптотики ϕ в точке F = ∞ следует, что если входить в особую точку по спирали t = ei(λ0−λ0)θ, θ → +∞, то ϕ → 0 или ϕ → ∞ в зависимости от знака направления вращения спирали, значит, (1−ϕ2)/ϕ→ ∞ и (p1 : p2 : p3) → (0 : 0 : 1). Ясно, что рассматриваемая особая точка не является ни α-точкой, ни β(0)-точкой, а по теореме о полной классификации особых точек ( [15]) может быть только β(2A3)-точкой. Замечание 4. Предложение можно было бы доказать и не ссылаясь на классификационную теорему, но тогда необходимо по формулам (7)–(9) более точно определить асимптотику (p, γ) при F → ∞. Дополнительным обстоятельством, подтверждающим предложе- ние является наличие ветвления одинакового вида (tν √ 2A3) и для β(2A3)-точки и для ϕ при F → ∞. Предложение 7. Пусть ϕ→ ±i, тогда если 1) F → F0 6= 0,∞, решение (p, γ) имеет α-особую точку; 2) F = 4iκt+ . . . , при t→ 0, ϕ→ −i, 1.1) c 6= 0 (c — свободный параметр представления (12)), ре- шение (p, γ) не имеет особых точек; 1.2) c = 0, решение (p, γ) имеет α-особую точку. 3) F = 4iκt + . . . , при t → 0, ϕ → i, решение (p, γ) имеет β(0)- особую точку. Для доказательства достаточно подставить асимптотики ϕ в (7)– (9). 11. Однозначные решения для твердого тела Гесса Теорема 2. Все однозначные решения уравнений Эйлера-Пуассона (1) в случае Гесса имеют вид:    p1(t) ≡ p2(t) ≡ γ3(t) ≡ 0, p3(t) = √ 2F A3 , γ1 = 1 R(r1(H−F) +A3r2ṗ3), γ2 = 1 R(r2(H−F) −A3r1ṗ3), (19) А. В. Беляев 313 где F есть эллиптическая функция, задаваемая уравнением A2 3(Ḟ)2 = 2A3T RF − 2A3F(F −H)2, (20) H, T — значения интегралов энергии и тривиального интеграла (при этом интеграл M момента решения (19) равен нулю) или находятся из решения линейной системы:    θ̇1 = (ν/2) √ F0θ1 − κ F0 θ2, θ̇2 = κ F0 θ1 − (ν/2) √ F0θ2, (21) где F0 — корень полинома P3(F) = 2A3T RF−2A3F(F −H)2−M2R,    pi = ki √ F0 θ1θ2 θ2 1 + θ2 2 , i = 1, 2, p3 = k3 √ F0 θ2 1 − θ2 2 θ2 1 + θ2 2 , γ1 = 1 R(r1(H−F0) + r2(A3ṗ3 −B12p1p2)), γ2 = 1 R(r2(H−F0) − r1(A3ṗ3 −B12p1p2)), γ3 = 1 r2 (B23p2p3 −A1ṗ1), (22) где k2 = −A1r1 A2r2 k1, k1 = 2 √ 2B23 −B12A1 , k3 = √ 2 A3 . Все решения, отличные от приведенных выше, имеют β(2A3)- особые точки ветвления с асимптотикой, в которой имеются с точностью до коэффициента слагаемые tn1+n2νi √ 2A3 , n1, n2 ∈ N. Доказательство. Рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого тела (1) в случае Гесса и ее представление (10) с помощью уравнения Риккати. Будем считать, что значения первых интегралов H,M, T фиксированы. Функция F может быть постоянной только, если она тождествен- но равна корню полинома правой части (20). Тогда мы получаем ли- нейную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэф- фициентами для нахождения θi и далее очевидным образом получаем однозначное решение задачи Гесса. Рассмотрим теперь случай, когда функция F не является кон- стантой. Начнем со случая общего положения, когда F — двоякопе- риодическая функция. Так функция F не является константой, то в некоторых точках она стремится в бесконечность. Как следует из Предложения 6 особые точки решения ϕ при F → ∞ соответствуют 314 Аналитические свойства решений... β(2A3)-особым точкам функций (p, γ). Почти все эти решения име- ют ветвление tn1+n2νi √ 2A3 . Исключение составляет решение (p, γ), в асимптотике которого β0 = β0 = 0, а оставшиеся параметры β2, β3, β4 однозначно определяются значениями первых интегралов H,M, T . Среди решений ϕ единственное однозначное решение имеет асимпто- тику ϕ = κt3 2A3(3−λν) + . . . как это следует из Предложения 2. Следова- тельно, мы имеем два представления одного и того же решения. Поскольку во всех β(2A3)-точках асимптотика рассматриваемого решения одинакова, то это решение — двоякопериодично. Сумма вычетов двоякопериодической вектор-функции (p, γ) в па- раллелограмме периодов равна нулю ( [11]), значит, как это следует из асимптотик (14), (16) особых точек, сумма всех векторов ∼ p 0 для всех особых точек также равна нулю. Для β(2A3)-точек это условие выполнено, так как ∼ p 0 = (0, 0,±2i). Для α и β(0)-точек это условие не выполнено, значит, таких точек не может быть в однозначном ре- шении. Но в таком случае функции p1(t), p2(t) не имеют особых точек и поэтому тождественно равны начальным значениям. С помощью представления (7) выражаем ϕ через F ϕ = κi √ F + √ κ2 iF − 4p2 i0 2pi0 , i = 1, 2. Если p10, p20 6= 0, то подставляем полученное представление в (10) и убеждаемся в том, что ни при каких значениях первых интегралов тождества нет. Если p10 = p20 = 0, то мы получаем искомое решение, но только при условии M = 0. Заметим, что при этом условии функция F однозначна, так как F = 0 ⇒ Ḟ = 0. Наконец рассмотрим случай, когда полином P3(F) = 2A3T RF − 2A3F(F −H)2−M2R в правой части (6) имеет кратные корни. Если M = 0, мы снова получаем решения (19), (20), только для F с крат- ным корнем. Пусть M 6=0. Корни полинома 2A3T RF−2A3F(F −H)2 равны 0, H+ √ T R и H− √ T R, при этом H+ √ T R ≥ 0. Поскольку ко- эффициент при F3 отрицателен, то полином P3(F) имеет один непо- ложительный некратный корень и один положительный кратный ко- рень. Физически возможно только движение, когда P3(F) = A2 3(Ḟ)2 ≥ 0 и F = 1 2〈Ap, p〉 ≥ 0. Но в таком случае F тождественно равно кратному положительному корню, и мы получаем решения (21), (22) Итак, рассмотрены все возможные случаи, значит, найдены все однозначные решения уравнений Эйлера-Пуассона. А. В. Беляев 315 Замечание 5. Все решения, полученные в теореме 1, хорошо извест- ны и приведены в конечном виде в [17]. Замечание 6. Как показал Ляпунов [12] все решения задачи о дви- жении тяжелого твердого тела являются однозначными только в слу- чаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Для других случаев движе- ния твердого тела было бы желательно не только находить одноз- начные решения, но и доказывать полноту соответствующих списков, подобно тому как это сделано выше. 12. Параметрическое отображение последования Определение 2. Рассмотрим слоение, заданное на многообразии T 2 ×CP 1 факторизацией потока уравнений Эйлера-Пуассона в слу- чае Гесса. Пусть γ — путь на T 2, соединяющий две точки (возмож- но совпадающие), в которых F = 0 или F = ∞. Путь γ в силу имеющегося слоения поднимается в расслоение T 2 × CP 1 → T 2 и задает отображение Φγ : CP 1 → CP 1, которое мы будем называть параметрическим отображением последования. Замечание 7. В отличие от классического определения отображе- ния последования данное определение относится к предельному ото- бражению окрестностей особых точек. Записанное в координатах это отображение есть вектор-функция из пространства свободных пара- метров одной особой точки в соответствующее пространство другой особой точки. Очевиден следующий факт. Предложение 8. Параметрическое отображение последования яв- ляется аналитическим, в частности, для функции ϕ — это есть дробно-линейное отображение. Теорема 3. Для комплексного решения общего положения в случае Гесса существует предельное периодическое решение при t→ ∞. Доказательство. Рассмотрим параметрическое отображение после- дования за период функции F вдоль вещественной оси времени. Для функции ϕ это будет дробно-линейное отображение; пусть оно имеет вид: ϕ : c→ a11c+ a12 a21c+ a22 . Это отображение имеет две неподвижные точки, являющиеся кор- нями квадратного уравнения a21c 2 + (a22 − a11)c− a12 = 0 316 Аналитические свойства решений... и равны c∞ = a22 − a11 ± √ (a22 − a11)2 + 4a12a21 2a21 . При бесконечном итерировании отображения Φ образ Φnc, n ∈ Z+ точки c будет стремиться к c+∞. Соответственно, при итерировании Φ−1 Φ−1c → c−∞. Таким образом, предельным периодическим ре- шением функции ϕ будет периодическая функция ϕ+ с постоянным свободным параметром асимптотики (12), равным c+∞ при t→ +∞, и периодическая функция ϕ− с постоянным свободным параметром асимптотики c−∞ при t→ −∞. Литература [1] W. Hess, Über die Eulerschen Bewegungsgleichungen und über eine neue parti- kuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren schweren Körpers um einen festen Punkt // Math. Ann., 37 (1890), N 2, 153–181. [2] Н. Е. Жуковский, Локсодромический маятник Гесса // Труды отд-ния физ. наук общ-ва любит. естествознания, 5 (1893), вып. 2, 37–45. [3] Б. К. Млодзеевский, П. А. Некрасов, Об условиях существования асимпто- тических периодических движений в задаче Гесса // Труды отд-ния физ. наук общ-ва любит. естествознания, 6 (1893), вып. 1, 43–52. [4] П. А. Некрасов, Аналитическое исследование одного случая движения тя- желого твердого тела около неподвижной точки // Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 18 (1896), вып. 2, 161–274. [5] Г. Г. Аппельрот, По поводу §1 мемуара С. В. Ковалевской “Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe” // Матем. сб. Кружка любителей мат. наук, 16 (1892), вып. 3, 483–507. [6] С. В. Ковалевская, Об одном свойстве системы дифференциальных урав- нений, определяющей вращение твердого тела около неподвижной точки. Научные труды. Изд-во АН СССР, Москва, 1948. [7] П. А. Некрасов, К задаче о движении тяжелого твердого тела около не- подвижной точки // Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 16 (1892), вып. 3, 508–517. [8] С. А. Чаплыгин, По поводу локсодромического маятника Гесса // Труды отд-ния физ. наук общ-ва любит. естествознания, 7 (1894), вып. 1, 33–34. [9] А. Брессан, О прецессионных движениях твердого тела, относящихся к слу- чаю Гесса // Период. сб. перев. иностр. статей, Механика, 52 (1958), N 6, 153–158. [10] А. М. Ковалев, Подвижный годограф угловой скорости в решении Гесса зада- чи о движении тела, имеющего неподвижную точку // Прикл. математика и механика, 32 (1968), вып. 6, 1111–1118. [11] А. Гурвиц, Р. Курант, Теория функций. М.: Мир, 1979, с. 317. [12] А. М. Ляпунов, Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Со- общения Харьковского мат. общ., 4 (1894), N 3, 1123–1140. А. В. Беляев 317 [13] А. В. Беляев, Асимптотика решений уравнений Эйлера-Пуассона в особых точках решений // Математическая физика. Анализ. Геометрия. 8 (2001), N 2, 128–142. [14] A. V. Belyaev, On single-valued solutions of the Euler-Poisson’s equations // Mat. Studii, 15 (2001), N 1, 93–104. [15] A. V. Belyaev, The factorization of the flow defined by the Euler-Poisson’s equati- ons // Methods of Functional Analysis and Topology, 7 (2001), N 4, 18–30. [16] A. V. Belyaev, The characteristic system for the Euler-Poisson’s equations // Nonlinear boundary problems, National Academy of Ukraine Institute of Appl. Math and Mech., 9 (1999), 135–147. [17] А. И. Докшевич, Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона. К.: Наукова думка, 1992, с. 168. Сведения об авторах Александр Владимирович Беляев Донецкий институт рынка и социальной политики, бул. Шевченко, 4, 83050 Донецк, Украина E-Mail: dimsp@mail.donbass.com

Аналитические свойства решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае Гесса

Репозитарії

Схожі ресурси