О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера

Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для эллиптического уравнения (задача Hele-Shaw) в случае нерегулярных начальных данных. Доказано существование и единственность решения в малом по времени в весовых классах Гельдера....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Васильева, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124593
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера / Н.В. Васильева // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. X318-344–XX . — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124593
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1245932017-09-30T03:04:01Z О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера Васильева, Н.В. Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для эллиптического уравнения (задача Hele-Shaw) в случае нерегулярных начальных данных. Доказано существование и единственность решения в малом по времени в весовых классах Гельдера. 2005 Article О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера / Н.В. Васильева // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. X318-344–XX . — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35J25, 35B40, 35Q35, 35R35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124593 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для эллиптического уравнения (задача Hele-Shaw) в случае нерегулярных начальных данных. Доказано существование и единственность решения в малом по времени в весовых классах Гельдера.
format	Article
author	Васильева, Н.В.
spellingShingle	Васильева, Н.В. О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера Український математичний вісник
author_facet	Васильева, Н.В.
author_sort	Васильева, Н.В.
title	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера
title_short	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера
title_full	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера
title_fullStr	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера
title_full_unstemmed	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера
title_sort	о разрешимости задачи hele-shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах гельдера
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124593
citation_txt	О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера / Н.В. Васильева // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. X318-344–XX . — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT vasilʹevanv orazrešimostizadačiheleshawvslučaeneregulârnyhnačalʹnyhdannyhvvesovyhklassahgelʹdera
first_indexed	2025-07-09T01:41:02Z
last_indexed	2025-07-09T01:41:02Z
_version_	1837131642280345600
fulltext	Український математичний вiсник Том 2 (2005), № 3, 318 – 344 О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера Наталья В. Васильева (Представлена А. Е. Шишковым) Аннотация. Рассмотрена нестационарная задача со свободной гра- ницей для эллиптического уравнения (задача Hele-Shaw) в случае нерегулярных начальных данных. Доказано существование и един- ственность решения в малом по времени в весовых классах Гельдера. 2000 MSC. 35J25, 35B40, 35Q35, 35R35. Ключевые слова и фразы. Эллиптическая краевая задача, весо- вые функциональные пространства, коэрцитивные оценки, нелиней- ные задачи со свободной границей. Введение Задача Hele-Shaw является математической моделью плоского движения вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Кроме того, ее можно рассматривать как вариант известной задачи Стефана для эллиптического уравнения, поскольку условия на сво- бодной (искомой) границе в обеих задачах имеют одинаковую фор- му [1, 2]. Несмотря на то, что впервые такая задача ставилась и об- суждалась еще в конце 19-го века, наиболее значительные резуль- таты были получены за последние несколько десятилетий, причем эти успехи были достигнуты благодаря общему развитию краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. К настоящему времени разработана теория корректной разрешимости этой задачи в классе слабых решений. Так С. М. Эллиот, В. Яновс- кий [3], Де Бенедетто, А. Фридман [4] с помощью вариационных не- равенств доказали существование и единственность слабого решения. Статья поступила в редакцию 26.04.2004 Работа выполнена при поддержке гранта НАН Украины для молодых ученых и гранта 01.07/00130 ГКНТ Украины. ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України Н. В. Васильева 319 В работах С. Д. Ховисона и Ю. Е. Хохлова [5–7] с помощью аппара- та теории функций комплексного переменного построен ряд точных решений. Проблеме классической разрешимости задачи Hele-Shaw в малом по времени для регулярных начальных данных посвящены работы [8–12]. В работе [13] с помощью качественных методов иссле- дована задача Hele-Shaw в случае, когда начальная область является бесконечным плоским углом. В частности, показано, что в случае расширяющихся областей тупые углы мгновенно сглаживаются, в то время как острые углы при некоторых условиях могут сохраняться на свободной границе в течение некоторого времени. В данной работе исследуется разрешимость задачи Hele-Shaw в случае, когда начальная свободная граница содержит угловую точ- ку. При доказательстве разрешимости этой задачи используется ме- тод, предложенный Б. В. Базалием в работе [14], который состоит в последовательном сведении задачи со свободной границей к зада- че в фиксированной области; выделении линейной части в получен- ных нелинейных соотношениях; исследовании разрешимости линей- ной задачи и доказательстве существования неподвижной точки для некоторого нелинейного оператора. Применение этого метода пред- полагает изучение соответствующих модельных задач и построение регуляризатора — оператора, обращающего главную часть линейной краевой задачи (см. [15, гл. 4]). 1. Постановка задачи и основной результат Исследование разрешимости задачи Hele-Shaw будет проводиться в весовых классах Гельдера Ek+α,β,δ s . Пусть D — заданная область в Rn c угловой точкой O в начале ко- ординат, DT = D×(0, T ). Обозначим через r(y) расстояние от начала координат до точки y ∈ D и положим r = min{r(y), r(x)}, x, y ∈ D. Введем следующие весовые полунормы: 〈 Dl yv 〉(α) y,s,DT = sup DT r\|l\|−s+α \|Dl yv(y, t) −Dl xv(x, t)\| \|x− y\|α , 〈 Dl yv 〉(β) t,s,DT = sup DT r\|l\|−s(y) \|Dl yv(y, t) −Dl yv(y, τ)\| \|t− τ \|β , (1) [ Dl yv ](δ,β) s,DT = sup DT r\|l\|−s+δ \|Dl yv(y, t) −Dl xv(x, t) −Dl yv(y, τ)+D l xv(x, τ)\| \|x− y\|δ\|t− τ \|β , (2) 320 О разрешимости задачи Hele-Shaw... где l = (l1, . . . , ln), Dl y = ∂\|l\| ∂y l1 1 ...∂yln n , \|l\| = l1 + . . . + ln, α, β, δ ∈ (0, 1), s — некоторое заданное положительное число. Будем говорить, что функция v(y, t) ∈ Ek+α,β,δ s (DT ), если конечна следующая норма ‖v‖ Ek+α,β,δ s (DT ) = k∑ \|l\|=0 [ sup DT r\|l\|−s(y)\|Dl yv(y, t)\| + 〈 Dl yv 〉(α) y,s,DT + + 〈 Dl yv 〉(β) t,s,DT + [ Dl yv ](δ,β) s,DT ] , (3) здесь в правой части равенства (3) стоят полунормы, определенные соотношениями (1) и (2). Заметим, что если область D не содержит угловой точки, то опре- деление пространств Ek+α,β,δ s (DT ) сохраняется, если только в соотно- шениях (1)–(3) положить r(y) = r = 1. Отметим, что случай, когда угловая точка O области D не сов- падает с началом координат, может быть сведен к рассмотренному выше с помощью невырожденного линейного преобразования. Поэто- му в дальнейшем в работе будем считать, что угловая точка области совпадает с началом координат. Пусть θ — заданный угол из промежутка (0, π), G = {(y1, y2) : −y1 tg(θ/2) < y2 < 0, y1 > 0}, GT = G× (0, T ), g = {(y1, y2) : y2 = −y1 tg(θ/2), y1 > 0}, gT = g × (0, T ). (4) Введем в плоском угле G систему координат (x1, x2) такую, что r = e−x1 , ϕ = x2, где r, ϕ — полярная система координат на плоскости (y1, y2), r = (y2 1 +y2 2) 1/2. Тогда при заданном преобразовании образом угла G будет полоса B = {(x1, x2) : − θ 2 < x2 < 0, x1 ∈ R1}, а обра- зом границы g будет b = {(x1, x2) : x2 = − θ 2 , x1 ∈ R1}. Отметим, что в случае, когда область является бесконечным углом с вершиной в начале координат, можно дать эквивалентное определение этих про- странств, используя обычные классы Гельдера Ck+α(D) [16] и класс функций Ck+α,β,δ(DT ) со следующей нормой: ‖u‖Ck+α,β,δ(DT ) = k∑ \|l\|=0 [ sup DT \|Dl yu(y, t)\| + 〈 Dl yu 〉(α) y,DT + + 〈 Dl yu 〉(β) t,DT + [ Dl yu ](δ,β) DT ] , Н. В. Васильева 321 где 〈u〉(α) y,DT , 〈u〉(β) t,DT — постоянные Гельдера относительно переменных y и t, соответственно, а [u] (δ,β) DT — полунорма, введенная в работе [17], которая отличается от соответствующей полунормы (2) отсутствием веса: [u] (δ,β) DT = sup DT \|u(y, t) − u(x, t) − u(y, τ) + u(x, τ)\| \|x− y\|δ\|t− τ \|β . Определение 1. Будем говорить, что v(y, t) ∈ Ek+α,β,δ s (GT ) (соот- ветственно, v(y) ∈ Ek+α s (G)), если u(x, t) = esx1v(y(x), t) ∈ Ck+α,β,δ(BT ) (соответственно, u(x) = esx1v(y(x)) ∈ Ck+α(B)). Множество функций v(y, t) из класса Ek+α,β,δ s (DT)(C k+α,β,δ(DT)), удовлетворяющих нулевому начальному условию: v(y, 0) = 0, назовем пространством Ek+α,β,δ s,0 (DT ) (Ck+α,β,δ 0 (DT )). Пусть при каждом τ ∈ [0, T ] двусвязная область Ωτ ⊂ R2, и ее граница состоит из двух непересекающихся компонентов Γ1 и Γτ , где Γ1 — заданная фиксированная кривая, а Γτ — неизвестная (свободная граница). Пусть функция u(y, t) описывает давление внутри области Ωτ . Задача Hele-Shaw заключается в нахождении функции u(y, t) и свободной границы Γτ по условиям: ∆yu = 0, y ∈ Ωτ , τ ∈ [0, T ]; u\|Γ1 = 1; u\|Γτ = 0, Vn\|Γτ = −µ−1∂u/∂n; Γτ \|τ=0 = Γ, (5) где ∆y — оператор Лапласа по переменным (y1, y2), µ — положитель- ная постоянная, n — единичный вектор внешней нормали к Ωτ , Ω0 — заданная начальная область, Vn — скорость перемещения точек гра- ницы Γτ в направлении вектора нормали. Начальное распределение давления задается функцией w(y), которая является решением зада- чи Дирихле в области Ω0 : ∆yw = 0, y ∈ Ω0, w\|Γ1 = 1, w\|Γ0 = 0. (6) Условие u\|Γ1 = 1 обеспечивает расширение области Ωτ по времени (Ωτ1 ⊂ Ωτ2 , τ1 < τ2) [4]. Пусть Ω0 := Ω — заданная ограниченная область в R2, симметрич- ная относительно оси oy2, граница которой состоит из двух непе- ресекающихся компонентов Γ и Γ1 (Γ1 ∈ C3+α), причем Γ1 лежит внутри ограниченной области Ω, ΓT = Γ × (0, T ), Γ1 T = Γ1 × (0, T ), ΩT = Ω × (0, T ). Граница Γ состоит из двух частей: Γ = Σ ⋃ σ, где Σ — гладкая часть границы Γ (Σ ∈ C3+α), а σ — часть границы Γ, состоящая из прямолинейных отрезков, образующих угол θ с верши- ной в начале координат, ось oy2 является биссектрисой этого угла: 322 О разрешимости задачи Hele-Shaw... σ = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−γ2, γ2]}, γ2 — заданное положи- тельное число. Для точек кривой Γ введем координату ω, натураль- ный параметр на кривой, и зададим Γ в виде y = m̄(ω), где m̄(ω) — радиус вектор: m̄(ω) = {m1(ω),m2(ω)}. Пусть γ1, γ0 — некоторые положительные числа, 0 < γ0 < γ1 < γ2, и представим σ в виде: σ = 3⋃ i=1 σi, где σ1 = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−γ2,−γ1) ∪ (γ1, γ2]}; σ2 = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−γ1,−γ0) ∪ (γ0, γ1]}; σ3 = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−γ0, γ0]}. Пусть y1 > 0 и на границе Γ определим единичный вектор l̄(ω) : l(ω) = {l1, l2} = {− cos(α+ ϕ),− sin(α+ ϕ)}, α = { π 2 − θ 2 , y ∈ σ, arctg dm2 dω ( dm1 dω )−1 , y ∈ Σ, ϕ = ϕ(y) = { π 2 , y ∈ Σ ∪ σ1, θ 2 , y ∈ σ3, ϕ = ϕ(y) ∈ (θ/2, π/2), y ∈ σ2, ϕ(y) ∈ C3+α(σ2), (7) где заданная функция ϕ(y) монотонно возрастает при (y1, y2) ∈ σ2 и y1 > 0. При y1 < 0 вектор l̄(ω) зададим симметрично относитель- но оси oy2. Так введенный вектор l̄(ω) коллинеарен единичному ве- ктору внешней нормали к области Ω, если (y1, y2) ∈ Σ ⋃ σ1, а при (y1, y2) ∈ σ3 вектор l̄(ω) коллинеарен направляющему вектору оси oy2. Из определения вектора l̄(ω) и гладкости границы Γ следует, что l̄(ω) ∈ C2+α(Γ). Будем предполагать, что выполнено условие согласования Vn(y, 0)\|Γ = −µ−1∂w/∂n. (8) Далее, пусть γ3 — заданное положительное число такое, что поверх- ности {ȳ(y1, y2) = m̄(ω) ± 2γ′l̄(ω), 0 < γ′ < γ3} не имеют самопере- сечений и не пересекаются с Γ и Γ1. В задаче (5) будем отыскивать неизвестную границу Γτ := Γρ,T в терминах ее отклонения от началь- ной границы вдоль вектора l̄(ω) : Γρ,T = {(y, τ) : y(ω, τ) = m(ω) + ρ(ω, τ)l(ω), τ ∈ [0, T ]}, \|ρ(ω, τ)\| < γ3/4, ρ(ω, 0) = 0. (9) Обозначим через Ωρ,T область, ограниченную поверхностями Γ1 T и Γρ,T . Таким образом, задача Hele-Shaw свелась к нахождению двух Н. В. Васильева 323 неизвестных функций u(y, τ), ρ(ω, τ) в областях Ωρ,T и Γρ,T по усло- виям (5). Пусть θ ∈ (0, π/3), γ = π θ − 2, κ = [γ] + a, −1 < a < {γ}, где [γ] — целая часть числа γ, γ = [γ] + {γ}. Теорема 1. Пусть выполнены указанные выше условия на данные задачи (5), α, β ∈ (0, 1). Тогда найдется такое T0 > 0, зависящее от этих данных, что существует единственное решение (u(y,τ), ρ(ω,τ)) задачи Hele-Shaw (5), определенное на конечном интервале [0, T0] и обладающее следующими свойствами: 1) свободная граница Γρ,T задается уравнением (9), и для ∀ τ ∈ [0, T0] имеют место вложения: ρτ (ω, τ)∈E1+α,β,α κ (Γ̄τ ), ρ(ω, 0)= 0, ρ(ω, τ)rγ+1 ∈ E2+α,β,α κ+1 (Γ̄τ ), функция ρτ (ω, 0) удовлетворяет условию согласования (8); 2) функция u(y, τ) ∈ E2+α,β,α κ+1 (Ω̄τ ), и справедливо неравенство ‖u‖ E2+α,β,α κ+1 (Ωτ ) + ∥∥ρrγ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (Γτ ) + ‖ρτ‖E1+α,β,α κ (Γτ ) ≤ ≤ c ‖w‖E3+α γ+2 (Ω) , 0 ≤ τ ≤ T0. (10) Как будет видно из дальнейшего доказательства результаты тео- ремы 1 можно распространить на области более общего вида. Пусть граница σ задается уравнением: σ = {(y1, y2) : y2 = ctg(θ/2)\|y1\| + ψ(y1), y1 ∈ [−γ2, γ2]}, (11) где ψ(y1) — четная функция, ψ(y1) ∈ C3+α(−γ2, γ2), ψ(0) = ψ′(0) = 0. Из определения функции ψ(y1) следует, что ψ(y1) ∼ \|y1\|1+δ, δ > 0 при \|y1\| → 0. Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 на данные за- дачи (5), β ∈ (0, 1), граница σ определяется уравнением (11) и или a) δ ∈ (0, 1), α ∈ (0, δ), или b) δ > 1, α ∈ (0, 1), тогда существует единственное решение задачи Hele-Shaw (5), оп- ределенное на конечном интервале [0, T0] и обладающее свойствами 1) и 2) теоремы 1. 324 О разрешимости задачи Hele-Shaw... 2. Сведение задачи (5) к нелинейной задаче в фиксированной области Для доказательства разрешимости задачи со свободной границей (5) ее удобно свести к задаче в фиксированной области. Для этой цели воспользуемся некоторыми отображениями, которые аналогич- ны преобразованиям Ханзавы [18]. Пусть введенное выше число γ3 настолько малое, что отображение y(y1, y2) : Γ× [−γ3, γ3] → R2, опре- деляемое правилом: ȳ(m̄(ω), η) → m̄(ω)+ηl̄(ω), регулярное и взаимно однозначное. Пусть образ при таком отображении есть N = {ȳ(ω, η) : (ω, η) ∈ Γ × [−γ3, γ3]}, \|η\| ≤ γ3. Поскольку между m̄(ω) и ω существует взаимно однозначное соо- тветствие, то в дальнейшем соответствующие точки в R2 мы будем также обозначать через ω. Обратное отображение из N в Γ× [−γ3, γ3] определяется так: (y1, y2) → (ω(y), η(y)). Введем функцию Φρ(y, τ) = η(y) − ρ(ω(y), τ), (y, τ) ∈ N × [0, T ], тогда поверхность Γρ,τ может быть определена так: Γρ,τ = {(y, τ) ∈ N × [0, T ] : Φρ(y, τ) = 0}, а условие Стефана на Γρτ в исходной задаче (5) примет вид: ∂Φρ ∂τ − µ−1(∇yu(y, τ),∇yΦρ) = 0. Рассмотрим два экземпляра пространств R2 × [0, T ], в первом из них введем координаты (x, t) = (x1, x2, t) и обозначим его через XT , а во втором введем координаты (y, τ) = (y1, y2, τ) и обозначим его через YT . Определим отображение eρ : XT → YT по следующему правилу. Пусть χ(λ) ∈ C∞ 0 (R1) — срезающая функция такая, что χ(λ) = 1, при \|λ\| ≤ γ3 4 , χ(λ) = 0, при \|λ\| ≥ γ3, \|χ′(λ)\| ≤ 4γ−1 3 /3, тогда y(y1, y2) = y(ω(y), η(y)), ω(y) = ω(x), η(y) = λ(x) + χ(λ)ρ(ω, t), τ = t при {x(x1, x2), t} = {x(ω(x), λ(x)), t} ∈ N × [0, T ]; (12) y = x, τ = t, при {x(x1, x2), t} ∈ (R2\N) × [0, T ]. При отождествлении XT и YT такое отображение задает диффеомор- физм eρ : XT → XT , eρ(x, t) = (x, t) при {x(x1, x2), t} ∈ (R2\N) × [0, T ], eρ(x(ω, λ), t)=(x(ω, λ(x)+χ(λ)ρ(ω, t)), t) при {x(x1, x2), t}∈N×[0, T ]; Н. В. Васильева 325 при котором ΩT и ΓT переходят в Ωρ,T и Γρ,T , соответственно, точки поверхности Γ1 T остаются неподвижными, а так как ρ(ω, 0) = 0, то eρ\|t=0 есть тождественное отображение. Функция u(y,τ) при замене переменных (12) преобразуется в функ- цию u ◦ eρ, для которой мы сохраним прежнее обозначение u(x, t). При этой же замене переменных вектор ∇yu(y, τ) переходит в ве- ктор (∇yu(y, τ)) ◦ eρ = ∇ρu(x, t), так что ∇ρ = (E⋆ ρ)−1∇, где ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2) и Eρ — матрица Якоби отображения eρ(x, t) по прост- ранственным переменным, т.е. матрица с элементами ∂yi ∂xj (x, t), i, j = 1, 2, причем \|detEρ\| = 1 + χ′(λ(x))ρ(ω(x), t) ≥ 2/3. Кроме того, (∇yu,∇yΦρ) ◦ eρ = S(ω, ρ, ρω) ∂u ∂λ + S1(ω, ρ, ρω) ∂u ∂ω , при (x, t) ∈ ΓT , u(x, t) = 0, при (x, t) ∈ ΓT , (13) где S(ω, ρ, ρω) = (∇ρλ,∇ρλ), S1(ω, ρ, ρω) = (∇ρω,∇ρλ). (14) Из определения отображения (x1, x2) → (ω(x), λ(x)) и соотношений (14) следуют равенства: S(ω, 0, 0) = 1 + ctg2 ϕ, S1(ω, 0, 0) = cosϕ sin2 ϕ ; S(ω, ρ, ρω) = S(ω, 0, 0) − 2S1(ω, 0, 0) sin2 ϕ(detE1) −2ρω+ + (detE1) −2ρ2 ω+ ctg2 ϕ[sin2 ϕ− (detE1) 2](detE1) −2; S1(ω, ρ, ρω) = S1(ω, 0, 0) − (detE1) −2ρω+ + S1(ω, 0, 0)[sin2 ϕ− (detE1) 2](detE1) −2, (15) здесь E1 — матрица перехода от координат (y1, y2) к y(ω, η), причем detE1 = sinϕ(y) + ρ(ω, t)(ϕ+ α)′ > ε > 0, при достаточно малом γ3. Таким образом, после замены переменных (12) задача (5) перехо- дит в задачу определения функции u(x, t), определенной в фиксиро- ванной области ΩT переменных (x, t), и функции ρ(ω, t), определен- ной на ΓT , по условиям: 2∑ i,j=1 bij(x, t, ρ, ρω)uxixj + 2∑ i=1 bi(x, t, ρ, ρω, ρωω)uxi =0, (x, t) ∈ ΩT ; u(y(x), t)\|Γ1 T = 1; u(y(x), t)\|ΓT = 0; u(x, 0) = w(x), x ∈ ΩT ; (16) ρ(ω, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ; µρt + S(ω, ρ, ρω) ∂u ∂λ + S1(ω, ρ, ρω) ∂u ∂ω ∣∣∣ ΓT = 0. После непосредственных вычислений для коэффициентов уравнения получаются следующие представления: 326 О разрешимости задачи Hele-Shaw... b11 = a2 11 + a2 21, b22 = a2 12 + a2 22, b12 = b21 = a11a12 + a21a22; b1 = a11 ∂a11 ∂x1 + a12 ∂a11 ∂x2 + a21 ∂a21 ∂x1 + a22 ∂a21 ∂x2 , b2 = a12 ∂a12 ∂x2 + a11 ∂a12 ∂x1 + a21 ∂a22 ∂x1 + a22 ∂a22 ∂x2 ; a12 = (detE1 detEρ) −1[ρ{χ′λ∂l2 ∂ω + χ′l2 ∂m2 ∂ω − χl2 ∂l2 ∂ω } − l22χρω]; a21 = (detE1 detEρ) −1[ρ{−χ′λ∂l1 ∂ω − χ′l1 ∂m1 ∂ω + χl1 ∂l1 ∂ω } + l21χρω]; a11 = (detE1 detEρ) −1[detE1 − l1l2χρω + ρ{χ′λl2 ∂l1 ∂ω − − χ′l2 ∂m1 ∂ω − χl1 ∂l1 ∂ω }]; a22 = (detE1 detEρ) −1[detE1 + l1l2χρω + ρ{−χ′λl1 ∂l2 ∂ω + + χ′l1 ∂m2 ∂ω + χl2 ∂l1 ∂ω }]. (17) Заметим, что bi = 0, bij = δi j , i, j = 1, 2, если (x, t) ∈ ΩT \ NT , NT = N × (0, T ), здесь δi j — символ Кронекера. Поскольку область ΩT симметрична относительно оси ox2, то задачу (16) можно рассмат- ривать в области (x ∈ Ω : x1 > 0) × (0, T ) с условием симметрии на границе x1 = 0. В дальнейших рассуждениях область ΩT будем отождествлять с областью (x ∈ Ω : x1 > 0) × (0, T ). Для задачи (16) построим функцию s(ω, t), удовлетворяющую тем же начальным условиям, что и функция ρ(ω, t), а именно: s(ω, 0) = 0, µst + S(ω, 0, 0) ∂w ∂λ + S1(ω, 0, 0) ∂w ∂ω \|Γ0 = 0, (18) где функция w(x) является решением задачи (6). Асимптотическое представление для этого решения дается в следующей лемме. Лемма 1. Пусть θ ∈ (0, π/3), α ∈ (0, 1), тогда существует единст- венное решение задачи (6), для которого справедливо представление: w(y) = χ(r)r π θ sin π θ (ϕ− ϕ0) + v(y), ϕ0 = π − θ 2 , здесь функция v(y) ∈ E3+α π θ +1(Ω), χ(r) — срезающая функция: χ(r) = 0, r > a, χ(r) = 1, 0 < r < a/2, здесь a — некоторое положительное число: γ0/2 ≤ a ≤ γ2. Доказательство леммы 1 будет приведено в приложении. Отме- тим так же, что аналог леммы 1 имеет место и в случае границы σ, заданной уравнением (11) (см. лемму П.3 из приложения). Возвраща- ясь к построению функции s(ω, t), положим s(ω, t) = t∂w/∂l, тогда из леммы 1 следует справедливость неравенства ‖s‖ E2+α,1,α π θ −1 (ΓT ) + ‖st‖ E2+α,β,α π θ −1 (ΓT ) ≤ c‖w‖E3+α π θ (Ω), при 1 ≥ β > β > 0. (19) Н. В. Васильева 327 Продолжим преобразование задачи (5) и вместо искомых функций в задаче (16) введем новые неизвестные функции: ρ(ω, t) = σ(ω, t) + s(ω, t), u(x, t) = Θ(x, t) + w(x) − (∇xw, ēσ), (20) где ēσ = ∂x̄(ω,λ) ∂λ χ(λ(x))σ(ω, t). Отметим, что ēσ\|Γ1 T = 0, ēσ\|ΓT = l̄(ω)σ(ω, t). Пусть d(w(x), ω) = −(∇xw, l̄(ω)). Подставим функции (20) в граничные условия задачи (16) и после некоторых преобразований получим: Θ(y(x), t)\|Γ1 T = 0; Θ(y(x), t) + d(w(x), ω)σ(ω, t)\|ΓT = 0; (21) µσt + µst + S(ω, s+ σ, (s+ σ)ω)∂(Θ+w) ∂λ + S1(ω, s+ σ, (s+ σ)ω)∂w ∂ω + + S(ω, s+ σ, (s+ σ)ω)∂d(w(x),ω) ∂λ σ ∣∣∣ ΓT = 0. (22) Из соотношений (15) и (17) следуют представления для коэффици- ентов задачи (16): bij(x, t, s, sω) ≡ bij(x, t, ρ, ρω) − bij(x, t, σ, σω), bi(x, t, s, sω, sωω) ≡ bi(x, t, ρ, ρω, ρωω) − bi(x, t, σ, σω, σωω); bij(x, t, s, sω) = d1 ijs 2 ω + d2 ijs 2 + d3 ijsωs+ d4 ijsω + d5 ijs+ d6 ij , bij(x, t, σ, σω) = D1 ijσ +D2 ijσω +O(σ2) +O(σ2 ω) +O(σωσ); bi(x, t, s, sω, sωω) = d1 i sωω + d2 i ssωω + d3 i sωsωω + d4 i s 2 ω+ + d5 i s 2 + d6 i sωs+ d7 i sω + d8 i s+ d9 i ; bi(x, t, σ, σω, σωω) = D1 i σ +D2 i σω +D3 i σωω + 2∑ i,j=0 O(Di ωσD j ωσ); S(ω, s, sω) ≡ S(ω, ρ, ρω) − S(ω, σ, σω); (23) S(ω, s, sω) = 1 + cos2 ϕE−2(s) − 2 cosϕE−2(s)sω + E−2(s)s2ω; S(ω, σ, σω) = −2(ϕ+ α)′E−3(s){cosϕ+ sω}2σ+ + 2E−2(s){sω − cosϕ}σω + 1∑ i,j=0 O(Di ωσD j ωσ); S1(ω, s, sω) ≡ S1(ω, ρ, ρω) − S1(ω, σ, σω); S1(ω, s, sω) = cosϕE−2(s) − E−2(s)sω; S1(ω, σ, σω) = 2(ϕ+ α)′E−3(s){sω − cosϕ}σ − E−2(s)σω+ + 1∑ i,j=0 O(Di ωσD j ωσ), 328 О разрешимости задачи Hele-Shaw... здесь функция E(s) = sinϕ+(ϕ+α)′s, где ϕ и α определяются соотно- шениями (7). В представлении (23) коэффициенты Dk i,j , D l i, d n i,j , d m i , k, i, j = 1, 2, l = 1, 3, m = 1, 9, n = 1, 6, являются известными функ- циями от x и t, и их свойства определяются начальными данными. Из представления (15) и свойств функции s(ω, t) следует справе- дливость соотношений: bij(x, 0, 0, 0) = δi j , bi(x, 0, 0, 0) = 0; S(ω, s, sω)\|t=0 = 1 + ctg2 ϕ, S1(ω, s, sω)\|t=0 = cosϕ sin−2 ϕ. (24) Для коэффициентов, заданных соотношениями (23), справедливы ре- зультаты. Лемма 2. Пусть α ∈ (0, 1), β̄ ∈ (0, 1], тогда для ∀β : 0 < β < β̄ имеют место неравенства: 1) Dk i,j , D l i, d n i,j , d m i ∈ C1+α,β̄,α(ΩT ), k, i, j = 1, 2, l = 1, 3, m = 1, 9, n = 1, 6; 2) bij(x, t, s, sω) ∈ C1+α,β,α(ΩT ), bi(x, t, s, sω, sωω) ∈ Cα,β,α(ΩT ), i, j = 1, 2, S(ω, s, sω), S1(ω, s, sω) ∈ C1+α,β,α(ΓT ); 3) ‖bij(xk, 0, 0, 0) − bij(x, t, s, sω)‖Cα,β,α(Bς,T )+ + ‖d6 ij(x, t) − bij(x, t, s, sω)‖Cα,β,α(Bς,T ) ≤ ≤ c1(ς 1−α + T β−β)‖bij‖C1+α,β,α(ΩT ) , ‖S(xk, 0, 0, 0) − S(ω, t, s, sω)‖C1+α,β,α(Bς,T∩ΓT ) ≤ ≤ c4(ς 1−α + T β−β)‖S‖ C1+α,β,α(ΓT ) , ‖bi(x, t, s, sω,sωω)‖Cα,β,α(Bς,T ) ≤ c3T β−β‖bi‖Cα,β,α(ΩT ) , (25) где константы ci, i = 1, 4, зависят от норм начальных функций, Bς — шар с центром в точке xk и радиуса ς. Доказательство. Справедливость утверждения 1) следует из пред- ставления для функций Dk i,j , D l i, d n i,j , d m i , l = 1, 3, m = 1, 9, n = 1, 6, k, i, j = 1, 2, и свойств функции s(ω, t). Покажем, например, спра- ведливость этого утверждения для функции d5 11(x, t), для осталь- ных функций доказательство будет аналогичным. Непосредственно вычисляя, имеем: (detE1) −1 = c11(s(ω, t)) − c12(s(ω, t))σ +O(σ2), (detEρ) −1 = c21(s(ω, t)) − c22(s(ω, t))σ +O(σ2), Н. В. Васильева 329 где c11(s(ω, t)) = (sinϕ+ (ϕ+ α)′s)−1, c12(s(ω, t)) = (ϕ+ α)′(sinϕ+ (ϕ+ α)′s)−2, c21(s(ω, t)) = (1 + χ′(λ)s)−1, c22(s(ω, t)) = −χ′(λ)(1 + χ′(λ)s)−2. Поскольку функция s(ω, t) ∈ E2+α,1,α π/θ−1 (Γ̄T ),\|s(ω, t)\| ≤ γ3, то, применяя к функциям cij(s(ω, t)), i, j = 1, 2, результаты лемм 3.А.1– 3.А.10 из работы [18], получаем вложение cij(s(ω, t)) ∈ C2+α,1,α(Γ̄T ), i, j = 1, 2. Из представления (17) имеем: d5 11(x, t) = c21(s(ω, t)) [ χ′λl2 ∂l1 ∂ω − χ′l2 ∂m1 ∂ω − χl1 ∂l1 ∂ω ] , где функция [ χ′λl2 ∂l1 ∂ω − χ′l2 ∂m1 ∂ω − χl1 ∂l1 ∂ω ] ∈ C1+α(Ω), следователь- но, d5 11(x, t) ∈ C1+α,β̄,α(ΩT ). Второе утверждение леммы 2 следует из предыдущего утверждения и представления для коэффициентов (23). Доказательство оценок (25) следует из второго утверждения дан- ной леммы и представления (24). Так, например, покажем справедли- вость первого неравенства в (25). Имеем \|bij(xk, 0, 0, 0) − bij(x, t, s, sω)\| ≤ \|bij(xk, 0, 0, 0) − bij(x, 0, 0, 0)\|+ + \|bij(x, 0, 0, 0) − bij(x, t, 0, 0)\| + \|bij(x, t, 0, 0) − bij(x, t, s, 0)\|+ + \|bij(x, t, s, 0) − bij(x, t, s, sω)\| ≤ ≤ c‖s‖ E2+α,1,α π θ −1 (ΓT ) (ς1+α + T β)‖bij‖C1+α,β,α(ΩT ) . Совершенно аналогично можно показать справедливость подобных неравенств для констант Гельдера по x и t, а так же полунорм ви- да (2) для функции {bij(xk, 0, 0, 0) − bij(x, t, s, sω)}. Это и завершает доказательство леммы 2. Вернемся теперь к рассмотрению задачи (16). Подставим функ- ции (20) в выражения (16) и разложим последние по степеням функ- ций (Θ, σ) и их производных. Тогда с учетом соотношений (16), (21)– (23) получаем: 2∑ i,j=1 bij(x, t, s, sω)Θxixj + 2∑ i=1 bi(x, t, s, sω, sωω)Θxi + c1(x, t)σω+ +c2(x, t)σ = c3(x, t) − 2∑ i,j=1 bij(x, t, σ, σω)Θxixj − 2∑ i=1 bi(x, t, σ, σω, σωω)× ×Θxi ≡ F0(x, t), (x, t) ∈ ΩT ; Θ(x, t) + wl(x)σ(ω, t)\|ΓT = 0, (26) µσt + a1(x, t)Θλ + a2(x, t)σω + a3(x, t)σ = a4(x, t)− −S(ω, σ, σω)Θλ ≡ F (x, t), x(ω) ∈ ΓT ; Θ(x, t)\|Γ1 T = 0; Θ(x, 0) = 0, x ∈ Ω, σ(ω, 0) = 0, σt(ω, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ. 330 О разрешимости задачи Hele-Shaw... Здесь c1(x, t) := c1(x, t,Dxw,D 2 xw), c2(x, t) := c2(x, t,Dxw,D 2 xw,D 3 xw), c3(x, t) = 2∑ i,j=1 bij(x, t, s, sω)wxixj + 2∑ i=1 bi(x, t, s, sω, sωω)wxi , a1(x, t) = S(ω, s, sω), a2(x, t) = 2(sω − cosϕ)E−2(s)wλ − E−2(s)wω, a3(x, t) = −2(ϕ+ α)′(cosϕ+ sω)2E−3(s)wλ + 2(ϕ+ α)′E−3(s)× × (sω − cosϕ)wω + S(ω, s, sω)∂d(w,ω)/∂l, a4(x, t) = S(ω, s, sω)wλ + S1(ω, s, sω)wω + µst, здесь E(s) — функция, определенная в (23). Из представлений (27) и определения функций s(ω, t) и w(x) сле- дует, что ci(x, t) ∈ Cα,β̄,α(Ω̄T ), ci(x, 0) = 0, i = 1, 3, aj(x, t) ∈ C1+α,β̄,α(Γ̄T ), j = 1, 4, ci(x, t) = 0, (x, t) ∈ (Ω \N) × (0, T ), i = 1, 2. 3. Исследование линейной задачи: оценки, разрешимость Пусть ∂/∂l — производная по направлению вектора l̄(ω), заданно- го соотношениями (7). Предметом наших исследований в этом пункте является линейная краевая задача с переменными коэффициентами, в которой требуется найти функции Θ(y, t) и σ(ω, t), удовлетворяю- щие условиям: 2∑ i,j=1 bij(y, t)Θyiyj + 2∑ i=1 bi(y, t)Θyi + c1(y, t)σω+ +c2(y, t)σ = F0(y, t), (y, t) ∈ ΩT ; σt + a1(y, t)Θl + a2(y, t)σω + a3(y, t)σ = F (y, t), (y, t) ∈ ΓT ; Θ(y, t) + wl(y)σ\|ΓT = F1(y, t), Θ(y, t)\|Γ1 T = F2(y, t); Θ(y, 0) = 0, y ∈ Ω, σ(ω, 0) = 0, σt(ω, 0) = 0, y(ω) ∈ Γ. (28) Задача (28) является аналогом задачи (26) при Fi(y, t) = 0, i = 1, 2, если в правых частях последней заморозить функциональные аргу- менты. Таким образом, в задаче (28) будем предполагать такую же гладкость коэффициентов, что и в задаче (26). Однако, задачу (28) будем рассматривать при более слабых требованиях относительно гладкости границ Σ, Γ1. Пусть θ ∈ (0, π/3), γ = π θ − 2, κ = [γ] + a, −1 < a < {γ}, где [γ] — целая часть числа γ, γ = [γ] + {γ}, и выполнены следующие условия на коэффициенты и данные задачи (28): Н. В. Васильева 331 1. Σ,Γ1 ∈ C2+α, σ = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−γ2, γ2]}; 2. ai(y, t) ∈ C1+α,β,α(ΓT ), i = 1, 3; a1(ω, 0) = 1 + ctg2 ϕ; 3. bij(y, t) ∈ C1+α,β,α(ΩT ), bi(y, t) ∈ Cα,β,α(ΩT ), i, j = 1, 2; bij(y, 0) = δi j , ci(y, 0) = bi(y, 0) = 0, где δi j — символ Кроне- кера, α ∈ (0, 1), 0 < β < β < 1; 4. w(y) ∈ E3+α γ+2 (Ω), w(y) = ±χ(r)rγ+2 cos(π θ (π 2 − ϕ)) + v(y), v(y) ∈ E3+α γ+3 (Ω), w l (y) 6= 0, y ∈ Σ, 0 < χ(r) < 1, χ(r) = 0, y /∈ B γ0 2 , χ(r) = 1, y ∈ B γ0 4 , где B γ0 2 (B γ0 4 ) — шар с центром в начале координат, радиуса γ0/2 (γ0/4); 5. F0(y, t) ∈ Eα,β,α κ−1,0(ΩT ), F (y, t) ∈ E1+α,β,α κ,0 (ΓT ), F1(y, t) ∈ E2+α,β,α κ+1,0 (ΓT ), F2(y, t) ∈ E2+α,β,α κ+1,0 (Γ 1 T ). (29) Для функций F0(y, t) и F2(y, t) справедливы представления: F0(y, t) = F01(y, t)F02(y, t) + F ∗ 01(y, t)F ∗ 02(y), F2(y, t) = F21(y, t)F22(y, t) + F ∗ 21(y, t)F ∗ 22(y), где F01(y, t) ∈ Cα,β,α 0 (ΩT ), F ∗ 01(y, t) ∈ Cα,β,α 0 (ΩT ), F02(y, t) ∈ Eα,β,α κ−1,0(ΩT ), F ∗ 02(y) ∈ Eα κ−1(Ω), F21(y, t) ∈ C2+α,β,α 0 (Γ 1 T ), F ∗ 22(y) ∈ E2+α κ+1 (Γ 1 ), F22(y, t) ∈ E2+α,β,α κ+1,0 (Γ 1 T ), F ∗ 21(y, t) ∈ C2+α,β,α 0 (Γ 1 T ). Та- кое представление для правых частей в (28) является следствием линеаризации исходной нелинейной задачи Hele-Shaw в предполо- жении существования решения в классах Θ(y, t) ∈ E2+α,β,α κ+1 (ΩT ), σt(ω, t) ∈ E1+α,β,α κ (ΓT , ) σ(ω, t)rγ+1 ∈ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ). Для задачи (28) справедлив следующий результат. Теорема 3. Задача (28) при T ≤ T0 имеет единственное решение Θ(y, t), σ(ω, t), где T0 зависит от коэффициентов задачи и не зави- сит от правых частей, такое, что Θ(y, t)∈E2+α,β,α κ+1 (ΩT ), rγ+1σ(ω, t) ∈ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ), σt(ω, t) ∈ E1+α,β,α κ,0 (ΓT ), и справедлива оценка ‖Θ‖ E2+α,β,α κ+1 (ΩT ) + ∥∥σrγ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) + ‖σt‖E1+α,β,α κ (ΓT ) ≤ ≤ c(‖F‖ E1+α,β,α κ (ΓT ) + ‖F1‖E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) + ‖F2‖E2+α,β,α κ+1 (Γ 1 T ) + + ‖F0‖Eα,β,α κ−1 (ΩT ) + C1(F0) + C1(F2)), (30) где c — положительная постоянная, которая зависит от коэффи- циентов соотношений (28) и гладкости кривых Γ и Γ1, константы 332 О разрешимости задачи Hele-Shaw... C1(F0) и C1(F2) зависят от норм функций Fij(y, t), F ∗ i1(y, t), F ∗ i2(y), i = 0, 2, j = 1, 2, так что C1(F0) := ‖F01‖Cα,β,α(ΩT ) ‖F02‖Eα,β,α κ−1 (ΩT ) +‖F ∗ 01‖Cα,β,α(ΩT ) ‖F ∗ 02‖Eα κ−1(Ω) , (31) аналогичное соотношение справедливо и для C1(F2). Доказательство теоремы 3 подробно изложено в работе [19]. Здесь только напомним, что обратный оператор в задаче (28) строится с по- мощью разбиения единицы в Ω и регуляризатора по некоторой сово- купности модельных задач, которые фактически получаются из (28) удерживанием старших членов и замораживанием коэффициентов в некоторой точке yk ∈ Ω, t = 0 (см. [15, гл. 4]). Центральной в этом построении является модельная задача в плоском угле следующего вида: ∆yu = f0, (y, t) ∈ GT ; u(y, 0) = 0, y ∈ G, ∂u ∂n ∣∣∣ y2=0 = 0, ∂u ∂t (y, 0) = 0, y ∈ g, r1− π ω ∂u ∂t + ∂u ∂n − h ∂u ∂r = f(y1, t), (y, t) ∈ gT , (32) где ∆y — оператор Лапласа по переменным (y1, y2), h = − tg(π 2 − ω 2 ), f0(y, t), f(y, t) — заданные функции, f0(y, 0) = 0, y ∈ G, f(y, 0) = 0, y ∈ g, угол G и его граница g определяются соотношениями (4), в которых следует заменить угол θ на угол ω ∈ (0, π). Ранее задача (32) без сингулярного множителя при производной по времени в граничном условии исследовалась в работах В. А. Со- лонникова и Е. В. Фроловой [20,21] в весовых классах Соболева. Воп- рос о разрешимости такой задачи и получение соответствующих коэр- цитивных оценок в весовых пространствах Гельдера Ek+α,β,δ s изучен в работах [22, 23]. Для решения задачи (32) имеет место следующий результат. Теорема 4. Пусть ω ∈ (0, π/2), γ = π ω−2, κ = [γ]+a1, −1 < a1 < {γ}, α, β ∈ (0, 1), f0(y, t) ∈ Eα,β,α κ−1 (GT ), f(y, t) ∈ E1+α,β,α κ (gT ). Тогда суще- ствует единственное решение задачи (31) u(y, t) ∈ E2+α,β,α κ+1 (GT ), для которого справедлива оценка ‖u‖ E2+α,β,α κ+1 (GT ) + ∥∥∥utr −(γ+1) ∥∥∥ E1+α,β,α κ (gT ) ≤ ≤ c1(‖f0‖Eα,β,α κ−1 (GT ) + ‖f‖ E1+α,β,α κ (gT ) ). (33) Если же дополнительно для функции f0(y, t) справедливо представ- ление f0(y, t) = f01(y, t)f02(y, t) + f∗01(y, t)f ∗ 02(y), Н. В. Васильева 333 где f01(y, t) ∈ Cα,β,α 0 (GT ), f∗01(y, t) ∈ Cα,β,α 0 (GT ), f∗02(y) ∈ Eα κ−1(G), f02(y, t) ∈ Eα,β,α κ−1,0(GT ), 1 > β̄ > β > 0, и функция f(y1, t) финитна с носителем в шаре Bd(0) = {y1 : \|y1\| < d}, тогда имеет место оценка: ‖u‖ E1+α,β,α κ+1 (GT ) ≤ c2T δ1(C(f0)+ dβγ ‖f‖ E1+α,β,α κ (gT ) ), δ1 = min(β, β̄−β), здесь ci, i = 1, 2, положительные постоянные, величина C(f0) опре- деляется соотношением типа (31). Доказательство теоремы 4 изложено в работах [22, 23], поэтому здесь мы только лишь напомним основные этапы. Отметим, что при доказательстве теоремы 4 существенно используется эквивалентное определение пространств Ek+α,β,δ s (см. определение 1), поскольку с помощью стандартного преобразования: r = e−x1 , ϕ = x2, задача (32) сводится к изучению аналогичной задачи в полосе. Далее, с помощью преобразований Фурье по пространственной переменной x2 и Лапласа по временной исследование задачи (32) редуцируется к исследованию конечно-разностного уравнения специального вида, которое изучено в [20, 21]. Используя результаты этих работ, строится интегральное представление для решения. На следующем этапе получаются соо- тветствующие оценки самого решения и его производных. Отметим, что теорема 3 остается в силе и для областей более об- щего вида. А именно, рассмотрим задачу (28) в области Ω с участком границы σ, определяемым уравнением типа (11) с четной функци- ей ψ(y1) : ψ(y1) ∈ C3+α(−γ2, γ2), ψ(0) = ψ′(0) = 0. Из определения функции ψ(y1) следует, что ψ(y1) ∼ \|y1\|1+δ, δ > 0 при \|y1\| → 0. Пусть Bd(0) — шар с центром в начале координат и радиуса d, 0 < d ≤ min(1/3, γ2). Определим функцию χ̃(\|y\|) ∈ C∞ 0 (R1) : 0 ≤ χ̃(\|y\|) ≤ 1; χ̃(\|y\|) = 1, y ∈ Bd(0) ⋂ Ω; χ̃(\|y\|) = 0, y /∈ B2d(0) ⋂ Ω; χ̃′(\|y\|) ≤ c/d. В задаче (28) сделаем замену переменных: x1 = y1, x2 = y2 − χ̃(\|y\|)ψ(y1). (34) При таком преобразовании область Ω перейдет в область Ω̃ с прямо- линейными участками границы в окрестности угловой точки. Грани- ца Γ перейдет в Γ̃, так что часть границы Γ в окрестности угловой точки перейдет в {(x1, x2) : x2 = \|x1\| ctg(θ/2), x1 ∈ [−d, d]}. Задача (28) перейдет в задачу о нахождении функций Θ(y(x), t), σ(y(x), t) по условиям (здесь мы сохранили старые обозначения за искомыми 334 О разрешимости задачи Hele-Shaw... функциями): 2∑ i,j=1 b̃ij(x, t)Θxixj + 2∑ i=1 b̃i(x, t)Θxi + c̃1(x, t)σω+ +c̃2(x, t)σ = F̃0(x, t), (x, t) ∈ Ω̃T ; σt + ã1(x, t)Θl + ã2(x, t)σω + ã3(x, t)σ = F̃ (x, t), (x, t) ∈ Γ̃T ; (35) Θ(x, t) + wl(x)σ\|Γ̃T = F̃1(x, t), Θ(x, t)\| Γ̃1 T = F̃2(x, t); Θ(x, 0) = 0, x ∈ Ω̃, σ(ω, 0) = 0, σt(ω, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ̃. Для коэффициентов задачи (35) справедливы представления: b̃ij(x, t) = bij(x, t)[1 + aij(x)], i, j = 1, 2, b̃1(x, t) = b1(x, t), b̃2(x, t) = b2(x, t)[1 + a2(x)] + b11(x, t)a3(x)+ + b22(x, t)a4(x) + 2b12(x, t)a5(x), c̃1(x, t) = c1(x, t)[1 + d1(x, t)], ã1(x, t) = a1(x, t)[1 + d2(x, t)], ã2(x, t) = a2(x, t)[1 + d3(x, t)], c̃2(x, t) = c2(x, t), ã3(x, t) = a3(x, t), где коэффициенты aij(x), i, j = 1, 2, a2(x) определены в лемме П.2 (см. приложение). Так же как и в лемме П.2 можно показать справе- дливость неравенства 2∑ ij=1 ‖aij(x)‖Cα(Ω̃) + ‖a2(x)\|x‖ ∣∣ Cα(Ω̃) + 5∑ i=3 ‖ai(x)‖Cα(Ω̃) + + 3∑ ij=1 ‖dij(x, t)‖C1+α,β,α(Γ̃T ) < ε, (36) где постоянная ε < 1 и зависит от d, sin(θ/2), δ, α. Отметим, что при преобразовании (34) соответствующие нормы в областях Ω̃, Γ̃ и Ω, Γ эквивалентны. Наконец, из результатов теоремы 3, леммы П.3, оценки (36) и принципа сжатых отображений получаем следующий результат. Теорема 5. Пусть участок границы σ определяется уравнением (11), выполнены указанные выше условия на функцию ψ(y1) и или a) 0 < α < δ < 1, или b) δ > 1, α ∈ (0, 1), коэффициенты и правые части задачи (28) удовлетворяют условиям теоремы 3, тогда существует единственное решение задачи (28) для ∀ t ∈ [0, T0], для которого справедлива оценка (30). Н. В. Васильева 335 4. Доказательство разрешимости нелинейной задачи Для завершения доказательства теоремы 1 вернемся к рассмо- трению нелинейной задачи (26). Пусть HΨ пространство элементов Ψ = (Θ, σ) с нормой ‖Ψ‖HΨ = ‖Θ‖ E2+α,β,α κ+1 (ΩT ) + ∥∥σrγ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) + ‖σt‖E1+α,β,α κ (ΓT ) . Введем также пространство Hh с элементами h = (F0, F ) и нормой ‖h‖Hh = ‖F0‖Eα,β,α κ−1 (ΩT ) + ‖F‖ E1+α,β,α κ (ΓT ) . В рамках введенных обозначений задачу (26) можно записать в виде AΨ = f(x, t) + F1(Ψ), (37) где A — линейный оператор, определяемый левыми частями соотно- шений (26), A : HΨ → Hh, вектор f(x, t) строится только по началь- ным условиям, F1(Ψ) содержит элементы Ψ, начиная с квадратичных членов. Поскольку оператор A удовлетворяет условиям теоремы 3, то не- линейную задачу (37) можно записать в виде: Ψ = A−1f(x, t) +A−1F1(Ψ) ≡ P (Ψ). Очевидно, что неподвижная точка нелинейного оператора P (Ψ) дает решение исходной задачи. Лемма 3. Пусть Bd — шар радиуса d с центром в нуле, Bd ⊂ HΨ. При Ψ ∈ Bd имеют место оценки: ‖F1(0)‖Hh ≤ c(w(x), s(ω, t))T β−β, (38) ‖F1(Ψ1) − F1(Ψ2)‖Hh ≤ c(w(x), s(ω, t))d‖Ψ1 − Ψ2‖HΨ , (39) где c(w(x), s(ω, t)) — постоянная, зависящая от норм функций w(x), s(ω, t), и ‖Ψ1−Ψ2‖HΨ = ‖Θ1 − Θ2‖E2+α,β,α κ+1 (ΩT ) + ∥∥(σ1 − σ2)r γ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) + + ‖(σ1 − σ2)t‖E1+α,β,α κ (ΓT ) . Доказательство. Оценка (38) следует из представления для F1(Ψ) (см. (26)) и более высокой гладкости по t элемента f(x, t), который определяется функциями w(x) и s(ω, t). При доказательстве оценки (39) нам потребуются следующие свойства весовых пространств, ко- торые следуют непосредственно из определений классов Ek+α,β,δ s и Ck+α,β,δ. 336 О разрешимости задачи Hele-Shaw... Предложение 1. Пусть Ω — ограниченная область в Rn, ΩT = Ω × (0, T ), α, β ∈ (0, 1) s > 0, k — целое неотрицательное, тогда: 1) если граница области ∂Ω ∈ C1, то существуют такие поло- жительные постоянные ci, i = 1, 2, что выполняется неравенство c1‖v‖Ek+α,β,δ s (ΩT ) ≤ ‖v‖Ck+α,β,δ(ΩT ) ≤ c2‖v‖Ek+α,β,δ s (ΩT ) ; 2) если же n = 2 и ∂Ω = Σ ⋃ σ, Σ ∈ C1, σ = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−a, a]}, тогда существуют положительные посто- янные ci, i = 3, 5, такие, что справедливы неравенства ‖v‖Ck+α,β,δ(ΩT ) ≤ c3‖v‖Ek+α,β,δ s (ΩT ) , c4‖v‖Ek+α,β,δ s (Ω′ T ) ≤ ‖v‖Ck+α,β,δ(Ω′ T ) ≤ c5‖v‖Ek+α,β,δ s (Ω′ T ) , где Ω′ ⊂ Ω, dist (∂Ω′, 0) ≥ δ > 0. Предложение 2. Пусть Ω — ограниченная область в Rn, ΩT = Ω × (0, T ), α, β ∈ (0, 1) s > 0, k — целое неотрицательное. 1) Пусть Ψ(x, t) ∈ Ek+α,β,δ s (ΩT ) и Φ(x, t) ∈ Ck+α,β,δ(ΩT ), тогда ‖ΨΦ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) ≤ c1‖Ψ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖Cα,β,δ(ΩT ), ‖ΨΦ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c1(‖Ψ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖Ck−1+α,β,δ(ΩT )+ + ‖Ψ‖ Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖Ck+α,β,δ(ΩT )), k 6= 0. 2) Пусть Ψ(x, t), Φ(x, t) ∈ Ek+α,β,δ s (ΩT ), тогда ‖ΨΦ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) ≤ c2‖Ψ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖Cα,β,δ(ΩT ) ≤ ≤ c3‖Ψ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖ Eα,β,δ s (ΩT ) , ‖ΨΦ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c4(‖Ψ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖ Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) + + ‖Ψ‖ Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ) ≤ ≤ c5‖Ψ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) ‖Φ‖ Ek+α,β,δ s (ΩT ) , k 6= 0, здесь ci,i = 1, 5, — положительные постоянные. Предложение 3. Пусть функции Ψ(y, t) и Ψt(y, t) определены в ограниченной области ΩT , Ψt(y, t) ∈ E1+α,β,δ s (ΩT ) и Dm t Ψt(y, 0) = 0, y ∈ Ω, m = 0, 1, тогда Ψ(y, t) ∈ E1+α,β,δ s (ΩT ) и справедливы неравен- ства: ‖Ψ‖ E1+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c1T‖Ψt‖E1+α,β,δ s (ΩT ) , ‖Ψ‖ E1+α,β,δ s−1 (ΩT ) ≤ c2d 1−αT 1−β‖Ψt‖E1+α,β,δ s (ΩT ) , где ci, i = 1, 2 — положительные постоянные, d = diam Ω. Н. В. Васильева 337 Вернемся к доказательству неравенства (39). Отметим, что оно есть следствием того обстоятельства, что F1(Ψ) не содержит линей- ных слагаемых относительно Ψ. Таким образом, используя представ- ления (26) и (23), оценку (30) с Fi(y, t) = 0, i = 1, 2, и результаты предложений 1–3, можно показать справедливость неравенства (39). Так, например, имеем ∥∥D1 ij(x, t)σ1Θ1xixj −D1 ij(x, t)σ2Θ2xixj ∥∥ Eα,β,α κ−1 (ΩT ) ≤ ≤ c ∥∥D1 ij(x, t) ∥∥ Cα,β,α(ΩT ) (∥∥(σ1 − σ2)r γ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) × × ‖Θ1‖E2+α,β,α κ+1 (ΩT ) + ∥∥Θ1xixj − Θ2xixj ∥∥ Eα,β,α κ−1 (ΩT ) × × ∥∥σ2r γ+1 ∥∥ E2+α,β,α κ+1 (ΓT ) ) ≤ Tdc(w(x), s(ω, t))‖Ψ1 − Ψ2‖HΨ . Для остальных слагаемых оценки получаются аналогично, это и за- вершает доказательство леммы. Таким образом, вследствие оценок (38) и (39) и ограниченности оператора A−1, отображение P переводит Bd в себя и при достато- чно малых d и T является сжимающим. Справедливость теоремы 1 следует тогда из принципа сжимающих отображений. Отметим, что доказательства теоремы 2 полностью повторяет до- казательство теоремы 1. Единственное отличие будет состоять в том, что при доказательстве разрешимости нелинейной задачи (26) (см. лемму 3) вместо теоремы 3 используется теорема 5. Из теорем 1, 2 и 4 следует, что для функции ρ(y1, t) из задачи (5) справедлива оценка с ограниченной постоянной c(T ) : \|ρy1(y1, t)\| ≤ c(T )\|y1\|[γ]+a1+δγ−1−γ . Из которой следует, что при θ < π/3, ρy1(y1, t) → 0, когда y1 → 0. Это означает, что геометрия угла в задаче Hele-Shaw в этом случае не разрушается. Более того, т.к. ρt ∈ E1+α,β,α κ (Γt), ∀ t ∈ (0, T0), то в случае углов θ < π/3 имеем ρt(y1, t) → 0 при y1 → 0, t ∈ (0, T1), T1 < T0, а это означает, что в течении некоторого времени угловая точка остается неподвижной. Приложение В этом пункте получим асимптотическое представление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области с угловой точкой в весовых классах с нормой, заданной соотношением (3). 338 О разрешимости задачи Hele-Shaw... Пусть Ω0 := Ω — заданная ограниченная область в R2, симметри- чная относительно оси oy2, граница которой состоит из двух непересе- кающихся компонентов Γ и Γ1 (Γ1 ∈ C3+α), причем Γ1 лежит внутри ограниченной области Ω, границей которой является Γ. Граница Γ состоит из двух частей: Γ = Σ ⋃ σ, где Σ — гладкая часть границы Γ (Σ ∈ C3+α), а σ — часть границы Γ, состоящая из прямолинейных отрезков, образующих угол θ с вершиной в начале координат, ось oy2 является биссектрисой этого угла: σ = {(y1, y2) : y2 = ctg θ 2 \|y1\|, y1 ∈ [−a, a]}, a — заданное положительное число. Рассмотрим задачу о нахождении функции w(y) по условиям ∆yw = 0, y ∈ Ω, w\|Γ1 = 1, w\|Γ = 0. (П.1) В монографии [24, гл. 6] доказана однозначная разрешимость задачи (П.1) в обычных классах Гельдера C2+α при θ ∈ (0, π/3). В рабо- те [25, гл. 1] получено асимптотическое представление решения этой задачи в случае весовых классов Соболева. Нас же в дальнейшем будет интересовать асимптотическое представление решения w(y) в классе Ek+α s . Пусть r, φ — полярная система координат на плоскости (y1, y2), r = (y1 + y2) 1/2, χ(r) — срезающая функция: χ(r) ∈ C∞(0,+∞); χ(r) = 0, r > a; χ(r) = 1, r < a/2. Решение задачи (П.1) будем искать в виде w(y) = χ(r)rπ/θ sin π θ (φ− φ0) + v(y), φ0 = π − θ 2 . (П.2) Первое слагаемое в представлении (П.2) принадлежит классу E3+α π θ (Ω). Подставим представление (П.2) в соотношения (П.1), получим ∆yv = f(y(r, φ)), y ∈ Ω, v\|Γ1 = 1, v\|Γ = 0, (П.3) здесь f(y(r, φ)) = −rπ/θ sin π θ (φ−φ0)∆yχ(r)− 2∑ i,j=1 χyi(r) ∂ ∂yj (rπ/θ sin π θ× ×(φ − φ0)). Из представления для функции f(y(r, φ)) следует, что f(y(r, φ)) ∈ E1+α π θ −2(Ω). Кроме того, поскольку слагаемые, входящие в определение функции f(y(r, φ)), финитны, то из результатов пре- дложения 1 следует принадлежность этой функции к пространству C1+α(Ω). Применение результатов монографии [24, гл. 6, теорема 6.4.2.5] к задаче (П.3) позволяет показать справедливость вложения: v(y) ∈ C3+α(Ω). Покажем, что на самом деле имеет место вложение: v(y) ∈ E3+α π θ +1(Ω). Пусть λ — достаточно малое число: 0 < ε < λ < a/2, и Bλ(0) — шар с центром в нуле и радиуса λ, Ω0 = Ω ⋂ Bλ(0), Γ0 = Γ ⋂ Bλ(0). Н. В. Васильева 339 Введем функцию ξ0(y) ∈ C∞(R2) : 0 ≤ ξ0(y) ≤ 1, ξ0(y) = 1, y ∈ Bλ/2(0), ξ0(y) = 0, y ∈ R2\Bλ(0), \|Dyξ0\| ≤ c/λ. Поскольку задача (П.3) инвариантна относительно поворота, то совершая поворот системы координат на угол π/2 и умножая соот- ношения в (П.3) на ξ0(y), для функции u0(y) = ξ0(y)v(y) получаем задачу ∆yu0 = fξ0 − 2∇yξ0∇yv − v∆yξ0 ≡ F0, y ∈ G, u0\|g = 0, ∂u0/∂y2\|y2=0 = 0. (П.4) Здесь мы сохранили старые обозначения за функцией и перемен- ными, угол G и его граница g задаются соотношениями (4). Делая замену переменных: r = e−y1 , φ = y2, в соотношениях (П.4), а затем, используя результаты работы [24, гл. 6, теорема 6.4.1.1], получим ‖u0‖E2+α 1+π/θ (Ω0) ≤ c‖F0‖Eα π/θ−2 (Ω0). (П.5) Возвращаясь к определению функции F0(y), имеем ‖F0‖Eα π/θ−2 (Ω0) ≤ c[‖fξ0‖Eα π/θ−2 (Ω0) + ‖∇yv∇yξ0‖Eα π/θ−2 (Ω0)+ + ‖v∆yξ0‖Eα π/θ−2 (Ω0)]. (П.6) Очевидно, что ‖fξ0‖Eα π/θ−2 (Ω0) ≤ c‖f‖Eα π/θ−2 (Ω0). (П.7) Получим оценку второго слагаемого в правой части неравенства (П.6), оценка для третьего слагаемого получается аналогично. Име- ем: sup Ω0 r2− π θ +α\|Dl yξ0(y)\| \|Dl yv(y) −Dl xv(x)\| \|x− y\|α ≤ c̃ λ sup Ω0 r1− π θ \|Dl+1 y v(y)\|r2 ≤ ≤ cλ‖v‖E2+α 1+ π θ (Ω0), sup Ω0 r2− π θ +α\|Dl yv(y)\| \|Dl yξ0(y) −Dl xξ0(x)\| \|x− y\|α ≤ ≤ c̃ λ1+α sup Ω0 r− π θ \|Dl yv(y)\|r2+α ≤ cλ‖v‖E2+α 1+ π θ (Ω0), sup Ω0 r2− π θ +α\|Dl yv(y)‖Dl yξ0(y)\| ≤ c̃ λ sup Ω0 r− π θ \|Dl yv(y)\|r2 ≤ cλ‖v‖E2+α 1+ π θ (Ω0). 340 О разрешимости задачи Hele-Shaw... Из полученных оценок следует справедливость неравенства ‖∇yξ0∇yv‖Eα π θ −2 (Ω0) ≤ cλ‖v‖E2+α 1+ π θ (Ω0). (П.8) Из оценок (П.5–П.8) получаем ‖u0‖E2+α π θ +1 (Ω0) ≤ c ( λ‖v‖E2+α 1+ π θ (Ω0) + ‖f‖Eα π θ −2 (Ω) ) . (П.9) Пусть теперь ξk ∈ C∞(R2) : 0 ≤ ξk ≤ 1, ξk(y) = 0, y ∈ R2\Bλ(yk), ξk(y) = 1, y ∈ Bλ/2(yk), k = 1, N, где Bλ(yk) = {y ∈ R2, yk ∈ Ω : \|y − yk\| < λ}, Ωk = Ω ⋂ Bλ(yk), Γk = Γ ⋂ Bλ(yk). Рассмотрим семейство функций uk(y) = ξk(y)v(y), v(y) = N∑ k=0 uk(y). Применение результатов работы [16, гл. 3] к функции uk, k 6= 0, позволяет полу- чить следующий результат: ‖uk‖C2+α(Ωk) ≤ c(λ, ε)‖v‖C2+α(Ωk) + c‖f‖Cα(Ω), (П.10) где c(λ, ε) ≪ 1, при достаточно малых λ и ε. Наконец, из оценок (П.9), (П.10) и результатов предложения 1 (см. пункт 5)следует неравенство ‖v‖E2+α π θ +1 (Ω) ≤ c‖f‖Eα π θ −2 (Ω). (П.11) Поскольку f(y(r, φ)) ∈ E1+α π θ −2(Ω), то дифференцируя соотношения в (П.3) и повторяя приведенные выше рассуждения, получаем: ‖v‖E3+α π θ +1 (Ω) ≤ c‖f‖E1+α π θ −2 (Ω). Таким образом, для решения задачи (П.3) справедливо утверждение. Лемма П.1. Пусть θ ∈ (0, π/3), α ∈ (0, 1) и выполнены предположе- ния на данные задачи (П.1), тогда существует единственное реше- ние задачи w(y) ∈ E3+α π θ (Ω), для которого справедливо представление (П.2) с функцией v(y) ∈ E3+α π θ +1(Ω). Заметим, что результаты леммы П.1 могут быть распространены на области с угловыми точками более общего вида. Рассмотрим за- дачу (П.1) в ограниченной области Ω̃, которая отличается от области Ω только лишь участком границы σ̃ (∂Ω̃ = Γ1 ⋃ Γ̃, Γ̃ = Σ ⋃ σ̃): σ̃ = {(y1, y2) : y2 = ctg(θ/2)\|y1\| + ψ(y1), y1 ∈ [−a, a]}, (П.12) где функция ψ(y1) — четная, ψ(y1) ∈ C3+α(−a, a), ψ(0) = ψ′(0) = 0. Из определения функции ψ(y1) следует, что ψ(y1) ∼ \|y1\|1+δ, δ > 0 при \|y1\| → 0. Н. В. Васильева 341 Пусть Bd(0) — шар с центром в начале координат и радиуса d, 0 < d ≤ min(1/3, a). Определим функцию χ̃(\|y\|) ∈ C∞ 0 (R1) : 0 ≤ χ̃(\|y\|) ≤ 1; χ̃(\|y\|) = 1, y ∈ Bd(0) ⋂ Ω; χ̃(\|y\|) = 0, y /∈ B2d(0) ⋂ Ω; χ̃′(\|y\|) ≤ c/d. В задаче (П.1) сделаем замену переменных: x1 = y1, x2 = y2 − χ̃(\|y\|)ψ(y1). (П.13) При таком преобразовании область Ω̃ перейдет в область Ω с прямо- линейными участками границы в окрестности угловой точки, а часть границы σ̃ в окрестности угловой точки перейдет в {(x1, x2) : x2 = \|x1\| ctg(θ/2), x1 ∈ [−d, d]}. Остальные точки области Ω̃\B2d(0) при преобразовании (П.13) перейдут в себя. Обозначим через σ и Γ соот- ветствующие точки σ̃ и Γ̃ при преобразовании (П.13). Функция χ̃(\|y\|) перейдет в срезающую функцию χ(\|x\|) ∈ C∞ 0 (R1) : 0 ≤ χ(\|x\|) ≤ 1; χ(\|x\|) = 1, x ∈ Bdε(0) ⋂ Ω; χ(\|x\|) = 0, x /∈ B2dε(0) ⋂ Ω; χ′(\|x\|) ≤ c̃/εd, ε ∈ (sin(θ/2)(1 + sin2(θ/2) + sin θ)−1; sin(θ/2)). В новых переменных задача (П.1) примет вид: ∆xw + a(x)wx2x2 − 2b(x)wx1x2 + c(x)wx2 = 0, x ∈ Ω, w\|Γ1 = 1, w\|Γ = 0, (П.14) где коэффициенты a(x), b(x), c(x) являются известными функциями x1, x2 и их свойства определяются свойствами функций χ̃(\|y\|) и ψ(y1) и их производных. Имеет место следующий результат для коэффи- циентов уравнения в (П.14). Лемма П.2. При преобразовании (П.13) оператор A := 2∑ ij=1 ∂2 ∂yi∂yj + 2∑ i=1 ∂ ∂yi перейдет в оператор Ã := 2∑ ij=1 (1 + bij(x)) ∂2 ∂xi∂xj + 2∑ i=1 (1 + bi(x)) ∂ ∂xi , c коэффициентами bij(x) ∈ C1+α(Ω), i, j = 1, 2, b2(x)\|x\| ∈ Cα(Ω), b1(x) = 0, где или 0 < α < δ < 1, или δ ≥ 1, α ∈ (0, 1), и имеет место неравенство 2∑ ij=1 ‖bij‖Cα(Ω) + ‖b2\|x\| ‖Cα(Ω) < ε̃ < 1, (П.15) где постоянная ε̃ зависит от d, sin(θ/2), δ, α. 342 О разрешимости задачи Hele-Shaw... Доказательство. Непосредственные вычисления дают: b1(x) = 0, b11(x) = 0, b12(x) = b21(x) = −2χψ′ − 2χ′ψ(x1 − x2 − χψ)\|y(x)\|−1, b22(x) = χ′ψ(x1 − x2 −χψ)\|y(x)\|−1, где \|y(x)\|2 = x2 1 + (x2 +χψ)2. Ана- логично можно выписать явное представление для функции b2(x) = b2(x, ψ, χ). Далее утверждение леммы следует из свойств функций ψ и χ. Покажем, например, справедливость оценки (П.15) для коэффи- циента b22(x). Из неравенств: \|χ′(\|x̄\|) − χ′(\|x̃\|)\|\|ψ(x̄1)\| ≤ c1(dε) −2\|x̄− x̃\|\|x̄1\|δ+1 ≤ c\|x̄− x̃\|α\|dε\|δ−α; \|χ′(\|x̄\|)\|\|ψ(x̄1) − ψ(x̃1)\| ≤ c\|x̄− x̃\|α\|dε\|δ−α; \|(x̄1 − x̄2 − χ(\|x̄\|)ψ(x̄1))\|y(x̄)\|−1 − (x̃1 − x̃2 − χ(\|x̃\|)ψ(x̃1))\|y(x̃)\|−1\| ≤ ≤ c\|x̄1\|\|x̄− x̃\| sin(θ/2), следует справедливость оценки: \|b22(x̄) − b22(x̃)\| ≤ \|χ′(\|x̄\|) − χ′(\|x̃\|)\|\|ψ(x̄1)\|\|x̄1 − x̄2 − χ(\|x̄\|)ψ(x̄1)\|× × \|y(x̄)\|−1 + \|χ′(\|x̃\|)\|\|ψ(x̄1) − ψ(x̃1)\|\|x̄1 − x̄2 − χ(\|x̄\|)ψ(x̄1)\|\|y(x̄)\|−1+ + \|(x̄1 − x̄2 − χ(\|x̄\|)ψ(x̄1))\|y(x̄)\|−1 − (x̃1 − x̃2 − χ(\|x̃\|)ψ(x̃1))\|y(x̃)\|−1\|× × \|χ′(\|x̃\|)\|\|ψ(x̃1)\| ≤ c\|x̄− x̃\|α(dε)δ−α ≤ C(d sin(θ/2))δ−α\|x̄− x̃\|α. Таким образом, оценка (П.15) для функции b22(x) выполняется с ε̃ ∈ (c(d sin(θ/2))δ−α, 1). Аналогично можно показать справедливость оценки для остальных коэффициентов. Это и завершает доказатель- ство леммы. Далее из лемм П.1 и П.2, используя метод продолжения по пара- метру и эквивалентность норм при преобразовании (П.13), для реше- ния задачи (П.1) в случае криволинейных участков границы в окре- стности угловой точки получаем следующий результат. Лемма П.3. Пусть функция ψ(y1) удовлетворяет указанным выше условиям и или 0 < α < δ < 1, или δ ≥ 1, α ∈ (0, 1); θ ∈ (0, π/3), и выполнены предположения на данные задачи (П.1). Тогда суще- ствует единственное решение задачи w(y) ∈ E3+α π θ (Ω̃), для кото- рого справедливо асимптотическое представление (П.2) с функцией v(y) ∈ E3+α π θ +1(Ω̃). Автор выражает признательность профессору Б. В. Базалию за постановку задачи и внимание к данной работе. Н. В. Васильева 343 Литература [1] J. M. Elliot, J. R. Ockendon, Weak and variational methods for moving boundary problem, London, Pitman, 1982. [2] S. Richardson, Hele-Shaw flow with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel // J. Fluid Mech., 56 (1972), 609–618. [3] J. M. Elliot, V. A. Janovsky, A variational inequality approach to the Hele-Shaw flow with a moving boundary // Proc. Royal Soc. Edinburgh, sect A.88 (1981), 93–107. [4] E. Di Benedetto, A. Friedman, The ill-possed Hele-Shaw and Stefan problem for suprecoold water // Trans. Amer. Math. Soc., 282 (1984), N 3, 183–203. [5] Ю. Е. Хохлов, Точные решения в задачах о течениях Hele-Shaw // Докл. АН СССР, 315 (1990), N 1, 80–83. [6] Ю. Е. Хохлов, С. Д. Ховисон, О классификации решений в задаче о течениях Hele-Shaw с неизвестной границей // Докл. АН СССР, 325 (1992), N 6, 1161– 1166. [7] Yu. E. Hohlov, Explicit solutions of time dependent free boundary problems // International Series of Num. Math., 106 (1992), 131–140. [8] Б. В. Базалий, О задаче Стефана для уравнения Лапласа // Доповiдi АН України, (1997), N 1, 11–16. [9] Б. В. Базалий, О классической разрешимости задачи Hele-Shaw со свободной границей // Укр. мат. журнал, 50 (1998), N 11, 1452–1462. [10] J. Escher, G. Simonett, Classical solutions for Hele-Shaw models with surface tension // Advances "Differ. Equation", 2 (1997), N 11, 619–642. [11] J. Escher, G. Simonett, Classical solutions for Hele-Shaw models // SIAM J. MATH. Anal., 28 (1997), N 5, 1028–1047. [12] G. Procert, Existence results for Hele-Shaw flow driven by surface tension // Euro. J. of Appl. Math., 9 (1998), 195–224. [13] J. R. King, A. A. Lacey, J. L. Vazquez, Persistence of corners in free boundaries in Hele-Shaw flow // Euro. J. of Appl. Math., 6 (1995), 445–490. [14] Б. В. Базалий, Задача Стефана // Докл. АН УССР, сер. А, (1986), N 11, 3–7. [15] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази- линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1968. [16] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973. [17] В. А. Солонников, О разрешимости второй начально-краевой задачи для линейной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса // Зап. научн. семинара ЛОМИ, (1977), N 69, 200–218. [18] Hanzava E., Classical solutions of the Stefan problem, Tohoku Math.J., 33, N.3, 1981, p.297-335. [19] Н. В. Васильева, Об одной линейной краевой задаче со старшими произво- дными в граничном условии, возникающей при исследовании задачи Hele- Shaw // Труды ИПММ НАН Украины, 7 (2002), 33–44. [20] В. А. Солонников, Е. В. Фролова, Исследование задачи для уравнения Ла- пласа с краевым условием специального вида в плоском угле // Зап. научн. семинара ЛОМИ, 182 (1990), 149–167. 344 О разрешимости задачи Hele-Shaw... [21] В. А. Солонников, Е. В. Фролова, О задаче с третьим краевым условием для уравнения Лапласа в плоском угле и ее применение к параболическим задачам // Алгебра и анализ, 2 (1990), N 4, 213–241. [22] B. V. Bazaliy, N. V. Vasylyeva, Estimates of solutions of Hele-Shaw model problems in nonsmooth domains // Preprint, Donetsk. IAMM NAS Ukraine: 99.05, 1999, 21p. [23] Б. В. Базалий, Н. В. Васильева, О разрешимости модельной задачи Hele- Shaw в весовых пространствах Гельдера в плоском угле // Укр. мат. журнал, 52 (2000), N 11, 1446–1457. [24] P. Grisvard, Elliptic problems in nonsmooth domains, London, Pitman, 1985. [25] С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей, М.: Наука, 1991. Сведения об авторах Наталья Владимировна Васильева Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Р. Люксембург, 74, 83114 Донецк, Украина E-Mail: vasylyeva@iamm.ac.donetsk.ua

О разрешимости задачи Hele-Shaw в случае нерегулярных начальных данных в весовых классах Гельдера

Institution

Ähnliche Einträge