О проблеме моментов дискретного соболевского типа
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124594 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О проблеме моментов дискретного соболевского типа / С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 345-361. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124594 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245942017-09-30T03:04:06Z О проблеме моментов дискретного соболевского типа Загороднюк, С.М. 2005 Article О проблеме моментов дискретного соболевского типа / С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 345-361. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 44A60. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124594 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Загороднюк, С.М. |
| spellingShingle |
Загороднюк, С.М. О проблеме моментов дискретного соболевского типа Український математичний вісник |
| author_facet |
Загороднюк, С.М. |
| author_sort |
Загороднюк, С.М. |
| title |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| title_short |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| title_full |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| title_fullStr |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| title_full_unstemmed |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| title_sort |
о проблеме моментов дискретного соболевского типа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124594 |
| citation_txt |
О проблеме моментов дискретного соболевского типа / С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 345-361. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zagorodnûksm oproblememomentovdiskretnogosobolevskogotipa |
| first_indexed |
2025-07-09T01:41:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:41:11Z |
| _version_ |
1837131651960799232 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 3, 345 – 361
О проблеме моментов дискретного
соболевского типа
Сергей М. Загороднюк
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В данной работе изучается следующая проблема мо-
ментов: найти неубывающую на вещественной оси, непрерывную сле-
ва функцию σ(λ), σ(0) = 0, и вещественную, симметрическую, нео-
трицательную матрицу M , такие, что
∫
R
λ
n+m
dσ(λ)+ (λn
, (λn)′, . . . , (λn)(N−1))M
λm
(λm)′
...
(λm)(N−1)
∣∣∣∣∣
λ=0
= sn,m,
n, m ∈ Z+, где {sn,m}∞n,m=0 — заданная последовательность веще-
ственных чисел, N ∈ N. Получены необходимые и достаточные усло-
вия разрешимости этой задачи и описаны все решения задачи. Для
того случая, когда N = 2, получены более простые условия разреши-
мости. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости
этой задачи и описаны все решения задачи для произвольного N в
том случае, когда матрица M ищется диагональной.
2000 MSC. 44A60.
Ключевые слова и фразы. Проблема моментов, блочная матри-
ца.
В последнее время интенсивно изучаются системы ортогональ-
ных многочленов относительно скалярного произведения соболевско-
го типа [1]. В частности, рассматриваются системы, ортогональные
относительно скалярного произведения дискретного соболевского ти-
па (см. [2,3]), т.е. системы многочленов {pn(λ)}∞n=0 (deg pn = n), такие,
что
∫
R
pn(λ)pm(λ) dσ(λ)+(pn(0), p′n(0), . . . , p(N−1)
n (0))M
pm(0)
p′m(0)
...
p
(N−1)
m (0)
=δnm,
(1)
Статья поступила в редакцию 29.03.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
346 О проблеме моментов...
n,m ∈ Z+, где σ(λ) — неубывающая функция на R, M = M∗ ≥ 0 —
вещественная симметрическая матрица порядка N , N ∈ N. С такими
многочленами мы связываем следующую проблему моментов: най-
ти неубывающую на вещественной оси, непрерывную слева функцию
σ(λ), такую, что σ(0) = 0, и вещественную, симметрическую, неотри-
цательную матрицу M порядка N , такие, что
∫
R
λn+m dσ(λ) + (λn, (λn)′, . . . , (λn)(N−1))M
λm
(λm)′
...
(λm)(N−1)
∣∣∣∣∣
λ=0
= sn,m,
(2)
n,m ∈ Z+, где {sn,m}∞n,m=0 — заданная последовательность вещест-
венных чисел.
Задача (2) представляет собой естественное обобщение проблемы
моментов Гамбургера [4]. В работе [5] изучалась задача нахождения
позитивной матрицы µ = (µi,j)
N−1
i,j=0 комплексных борелевских мер на
R, такой, что
N−1∑
i,j=0
∫
R
(xm)(i)(xn)(j)µi,j(dx) = sm,n, (3)
m,n ∈ Z+, где {sm,n}∞m,n=0 — заданная последовательность комп-
лексных чисел, N ≤ +∞, и при N = +∞ позитивность матрицы
понимается специальным образом. Для этой задачи получены усло-
вия разрешимости [5, Theorem 5, p. 2312–2313]. Процедура проверки
этих условий, однако, осталась неясной. Также в работе [5] изучается
случай соболевской проблемы моментов на T = {z ∈ C : |z| = 1} и C.
В работах [6, 7] изучалась задача (3) в диагональном случае, т.е.
тогда, когда ищется µ : µi,j = 0, i, j = 0, 1, . . . , N−1 : i 6= j. В работе
[6] установлены условия разрешимости этой задачи в более общей
формулировке, когда требуется supp µi,i ⊆ Σi ⊆ R, i = 0, 1, . . . , N − 1
[6, Corollary 2, p. 374]. В работе [7] предложен матричный алгоритм
решения этой задачи, причем порядок N не обязательно фиксирован
заранее.
Заметим также, что если задана система многочленов {pn(λ)}∞n=0
класса (1) и требуется найти σ и вещественную матрицу M , то дейст-
вуя по известной схеме [8], можно определить билинейный функци-
онал σ(
∑r
i=0 aipi(λ),
∑r
j=0 bjpj(λ)) =
∑r
i=0 aibi, где ai, bi ∈ C, r ∈ Z+,
и затем положить по определению sn,m = σ(λn, λm), n,m ∈ Z+.
Тогда данная задача сведется к проблеме моментов (2) с данными
{sn,m}∞n,m=0.
С. М. Загороднюк 347
Нашей целью будет получить условия разрешимости и описать все
решения задачи (2) в общем случае, а также в диагональном случае,
т.е. тогда, когда ищется M вида M = diag (m0,m1, . . . ,mN−1), mi ≥
0, i = 0, 1, . . . , N − 1.
1. Рассмотрим задачу (2) для произвольного N . Проводя диффе-
ренцирование во втором слагаемом левой части (2), получаем
∫
R
λn+m dσ(λ) + (δn,0, 1!δn,1, 2!δn,2, . . . , (N − 1)!δn,N−1)M×
× (δm,0, 1!δm,1, 2!δm,2, . . . , (N − 1)!δm,N−1)
T = sn,m, (4)
∫
R
λn+m dσ(λ) + ∆n,NDNMDN∆T
m,N = sn,m, (5)
где DN =diag (1, 1!, 2!, . . . , (N −1)!), ∆n,N =(δn,0, δn,1, δn,2, . . . , δn,N−1).
Обозначим M0 = DNMDN . Рассмотрим задачу: найти неубыва-
ющую на R, непрерывную слева функцию σ(λ), такую, что σ(0) = 0,
и вещественную, симметрическую, неотрицательную матрицу M0 по-
рядка N , такие, что
∫
R
λn+m dσ(λ) + ∆n,NM0∆
T
m,N = sn,m, n,m ∈ Z+. (6)
Разрешимость задачи (6) равносильна разрешимости задачи (2) и
отображение (σ(λ),M0) → (σ(λ), D−1
N M0D
−1
N ), обратным к которому
является отображение (σ(λ),M) → (σ(λ), DNMDN ), устанавливает
взаимно-однозначное соответствие между решениями задач (6) и (2).
Равенства (6) можно записать в виде
∫
R
λn+m dσ(λ) +M0;n,m = sn,m, n,m ∈ Z+ : n,m ≤ N − 1, (7)
где M0;n,m — элемент матрицы M0 в n-й строке, m-м столбце;
∫
R
λn+m dσ(λ) = sn,m, n,m ∈ Z+ : max(n,m) > N − 1. (8)
Обозначим S = (sn,m)∞n,m=0, S
(k) = (sn,m)k−1
n,m=0 — матрицы, состав-
ленные из моментов sn,m.
Предположим, что задача (6) имеет решение σ(λ),M0. Определим
числа sk:
sk =
∫
R
λk dσ(λ), k ∈ Z+. (9)
348 О проблеме моментов...
Положим Γ = (sn+m)∞n,m=0 — бесконечная ганкелева матрица, обозна-
чим Γi;j,k любую часть матрицы Γ размера (j × k) с элементом si в
левом, верхнем углу (они все равны). Из равенств (7), (8) заключаем,
что
S = Γ +
(
M0 0
0 0
)
, (10)
S(N+k) =
(
Γ0;N,N +M0 ΓN ;k,N
ΓN ;N,k Γ2N ;k,k
)
. (11)
Докажем вспомогательную лемму:
Лемма 1. Пусть D =
(
A B
B∗ C
)
— блочная матрица, где A ∈ (r×r),
B ∈ (r × l), C ∈ (l × l), r, l ∈ N. Матрица D неотрицательна тогда
и только тогда, когда
1) C ≥ 0;
2) существует матричное решение X уравнения CX = B∗;
3) A ≥ X∗CX.
Если условия 1)–3) выполнены, тогда X∗CX не зависит от выбо-
ра X.
Доказательство. Рассмотрим матрицу T =
(
0l×r Il
Ir 0r×l
)
, где Ip — еди-
ничная матрица порядка p, и обозначим D1 = TDT ∗. Заметим, что
D1 =
(
C B∗
B A
)
. Поскольку T невырождена, то D ≥ 0 тогда и только
тогда, когда D1 ≥ 0. Применяя к D1 обычную лемму о блок-матрице
(см. например [9, Лемма о блок-матрице 1.1, с. 223]), получаем утвер-
ждение леммы.
Лемма доказана.
Применяя критерий разрешимости проблемы моментов Гамбур-
гера [10, Теорема А, с. 77] к (9) имеем:
Γ0;N+k,N+k =
(
Γ0;N,N ΓN ;k,N
ΓN ;N,k Γ2N ;k,k
)
≥ 0, k ∈ N. (12)
Отсюда
S(N+k) =
(
Γ0;N,N +M0 ΓN ;k,N
ΓN ;N,k Γ2N ;k,k
)
≥ 0, k ∈ N. (13)
Применяя к блочным матрицам в (12), (13) лемму 1 получаем, что
(12), (13) эквивалентно следующим условиям:
1) Γ2N ;k,k ≥ 0;
2) уравнение Γ2N ;k,kXk = ΓN ;N,k имеет решение Xk;
С. М. Загороднюк 349
3) выполнены соотношения:
S(N) = Γ0;N,N +M0 ≥ X∗
kΓ2N ;k,kXk; (14)
Γ0;N,N ≥ X∗
kΓ2N ;k,kXk. (15)
Обозначим G
(A)
k матрицу, полученную из матрицы в (12) заме-
ной Γ0;N,N на произвольную квадратную матрицу A порядка N . При
выполнении условий 1), 2) матричный отрезок Ik := [X∗
kΓ2N ;k,kXk,∞)
описывает все матрицы A, при которых блочная матрица G
(A)
k не-
отрицательна. Если l ≤ k, то G
(A)
k ≥ 0 влечет G
(A)
l ≥ 0. Значит Ik
содержится в множестве матриц A при которых Gl неотрицательна,
т.е. Ik ⊆ Il. Отсюда следует, что
Yk := X∗
kΓ2N ;k,kXk ≤ X∗
k+1Γ2N ;k+1,k+1Xk+1 ≤ S(N).
Неубывающая последовательность матриц, ограниченная сверху,
имеет предел.
Обозначим
B = lim
k→∞
X∗
kΓ2N ;k,kXk. (16)
Из (14), (15) следует, что
S(N) = Γ0;N,N +M0 ≥ B; (17)
Γ0;N,N ≥ B. (18)
Значит
B ≤ Γ0;N,N ≤ S(N). (19)
Пусть теперь задана задача (6) с некоторым набором чисел
{sn,m}∞n,m=0. Положим sn = sn,0, n ∈ Z+ : n ≥ N . Из (8) следу-
ет, что для разрешимости задачи необходимо, чтобы
sn1,m1 = sn2,m2 , n1,m1, n2,m2 ∈ Z+ : max(n1,m1) ≥ N,
max(n2,m2) ≥ N, n1 +m1 = n2 +m2. (20)
Предположим, что это условие выполнено. Рассмотрим матрицу Γ =
(si+j)
∞
i,j=0, где s0, s1, . . . , sN−1 — неизвестные. Определим матрицы
Γi;j,k, S, S
(k) так, как ранее. Будем считать, что условие
S(N+k) ≥ 0, k ∈ N, (21)
необходимое, как было показано, для разрешимости задачи (6), вы-
полнено. В силу леммы 1, отсюда следует, что условия 1), 2) после (13)
выполнены. Кроме того, выполнено неравенство S(N) ≥ X∗
kΓ2N ;k,kXk,
k ∈ N, и в силу рассуждений после (15) существует конечный предел
B в (16) и выполнено неравенство S(N) ≥ B.
350 О проблеме моментов...
Рассмотрим неравенство (12) для матрицы Γ0;N+k,N+k с неизвест-
ными s0, s1, . . . , sN−1. В силу леммы 1 заключаем, что его разреши-
мость эквивалентна выполнению (15) для всех k ∈ N. Значит его
разрешимость эквивалентна выполнению (18).
Рассмотрим неравенство
B ≤ Γ0;N,N ≤ S(N), (22)
относительно неизвестных s0, s1, . . . , sN−1. Если это неравенство име-
ет решение, тогда для этого решения выполнено (12) и разрешима
проблема моментов Гамбургера (9). Положим в этом случае M0 :=
S(N) − Γ0;N,N ≥ 0, тогда выполнено (10). Записывая равенство (10)
покомпонентно и учитывая (9), получаем, что пара σ(λ), M0, где
σ(λ) — любое решение (9), является решением (7), (8).
Изучим теперь неравенство (22). Запишем его в следующем виде:
Γ0;N,N −B ≥ 0; S(N) − Γ0;N,N ≥ 0. (23)
Рассмотрим матрицу Ĩ = (ui,j)
N−1
i,j=0, ui,j = δi+j,N−1. Матрица Ĩ не-
вырождена и симметричная, поэтому (23) имеет место тогда и только
тогда, когда выполнено
Ĩ(Γ0;N,N −B)Ĩ ≥ 0; Ĩ(S(N) − Γ0;N,N )Ĩ ≥ 0. (24)
Пусть B = (bn,m)∞n,m=0. Тогда (24) равносильно выполнению следую-
щих неравенств:
C1 :=
s2N−2−bN−1,N−1 s2N−3−bN−1,N−2 ... sN−bN−1,1 sN−1−bN−1,0
s2N−3−bN−2,N−1 s2N−4−bN−2,N−2 ... sN−1−bN−2,1 sN−2−bN−2,0
...
...
. . .
...
...
sN−b1,N−1 sN−1−b1,N−2 ... s2−b1,1 s1−b1,0
sN−1−b0,N−1 sN−2−b0,N−2 ... s1−b0,1 s0−b0,0
≥ 0;
(25)
C2 :=
sN−1,N−1−s2N−2 sN−1,N−2−s2N−3 ... sN−1,1−sN sN−1,0−sN−1
sN−2,N−1−s2N−3 sN−2,N−2−s2N−4 ... sN−2,1−sN−1 sN−2,0−sN−2
...
...
. . .
...
...
s1,N−1−sN s1,N−2−sN−1 ... s1,1−s2 s1,0−s1
s0,N−1−sN−1 s0,N−2−sN−2 ... s0,1−s1 s0,0−s0
≥ 0.
(26)
Обозначим множество решений неравенств (25), (26) D. Предполо-
жим, что D 6= ∅. Мы предполагаем, что читатель знаком с основами
теории проблемы моментов Гамбургера в пределах первых трех глав
книги [4]. Пусть ~s = (s0, s1, . . . , sN−1) ∈ D. Тогда для этих sk, k =
0, 1, . . . , N −1, выполнено (22), и, следовательно, как уже отмечалось
С. М. Загороднюк 351
после (22), выполнено (12). Заметим, что Γ0;i,i ≥ 0, i = 1, 2, . . . , N , что
следует из неотрицательности матрицы Γ0;N+1,N+1. В силу критерия
разрешимости проблемы моментов Гамбургера, отсюда следует, что
задача (9) имеет решение. При этом возможны 3 случая:
(i) Γ0;k,k > 0, k ∈ N;
(ii) Γ0;k,k > 0, k = 1, l, det Γ0;l+n,l+n = 0, n ∈ N; где l ∈ N.
(iii) s0 = 0.
В случае (i), если при этом проблема моментов (9) неопределен-
ная, формула [4, Теорема 3.2.2, с. 124]
∞∫
−∞
dσ(λ)
λ− z
= −A(z)ϕ(z) − C(z)
B(z)ϕ(z) −D(z)
, (27)
где
(
A(z) C(z)
B(z) D(z)
)
— матрица Неванлинны, строящаяся по моментам,
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между функциями
ϕ(z) из класса Неванлинны N и решениями σ(λ) проблемы момен-
тов (9). Функция σ(λ) находится с помощью формулы обращения
Стилтьеса-Перрона [4, с. 155].
В случае (i), когда проблема моментов (9) определенная, σ(λ) на-
ходится с помощью формулы обращения Стилтьеса-Перрона из фор-
мулы
∞∫
−∞
dσ(λ)
λ− z
= K∞(z), (28)
где K∞(z) — предельная точка, соответствующая проблеме моментов
(см. [4, Теорема 2.2.4, с. 55]).
В случае (ii) у решения задачи не может быть более l точек роста.
Существует единственное разложение [11, Теорема 5, с. 13] вида
sk =
l∑
i=1
ρiξ
k
i , k = 0, 1, 2, . . . , 2l, (29)
где ρi > 0 — коэффициенты квадратурной формулы, и ξ1 < ξ2 <
. . . < ξl. Равенства (29) можно записать так:
sk =
∫
R
λk dσ(λ), k = 0, 1, 2, . . . , 2l, (30)
где σ(λ) — кусочно-постоянная, непрерывная слева функция, σ(0) =
0, имеющая скачки в точках ξi равные ρi, i = 1, l. В силу единствен-
ности, функция σ(λ) является решением.
352 О проблеме моментов...
В случае (iii) решением может быть лишь функция σ(λ) ≡ 0.
Поскольку задача (9) разрешима, то σ(λ) является ее решением.
В любом из рассмотренных случаев пары σ(λ), M0 := S(N) −
Γ0;N,N будут решениями задачи (6), что следует из приведенных выше
рассуждений (после (22)).
Наоборот, любое решение σ(λ), M0 задачи (6) дает решение σ(λ)
задачи (9), где s0, s1, . . . , sN−1, удовлетворяют (22), а M0 = S(N) −
Γ0;N,N (см. рассуждения от (9) до (22)).
Из приведенных рассуждений, с учетом связи между задачами
(6) и (2), следует
Теорема 1. Пусть задана проблема моментов (2) с некоторым на-
бором вещественных чисел {sn,m}∞n,m=0. Для того, чтобы задача
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло-
вия:
а) sn1,m1 = sn2,m2 , n1,m1, n2,m2 ∈ Z+ : max(n1,m1) ≥ N ,
max(n2,m2) ≥ N, n1 +m1 = n2 +m2;
б) S(N+k) ≥ 0, k ∈ N;
в) Положим sn = sn,0, n ∈ Z+ : n ≥ N , и определим B формулой
(16), где Xk — любое решение уравнения Γ2N ;k,kXk = ΓN ;N,k, здесь
Γi;j,k определяются как раньше. Пусть B = (bn,m)N−1
n,m=0, и обозначим
D — множество решений ~s = (s0, s1, . . . , sN−1) неравенств (25), (26)
относительно неизвестных s0, s1, . . . , sN−1. Тогда D 6= ∅.
В том случае, когда условия а)–в) выполнены, решения задачи
строятся следующим образом. Для каждого ~s∈D обозначим V (~s) —
набор решений проблемы моментов Гамбургера (9), которая в на-
шем случае разрешима. В случае (i), когда проблема моментов (9)
неопределенная, этот набор находится из (27) с помощью формулы
обращения Стилтьеса-Перрона. В случае (i), когда проблема момен-
тов (9) определенная, этот набор находится с помощью формулы
обращения Стилтьеса-Перрона из (28). В случае, когда выполнено
(ii), этот набор состоит из одного решения из формулы (30). В
случае (iii) набор состоит из одной функции σ(λ) ≡ 0. Положим
M(~s) = D−1
N (S(N) − Γ0;N,N )D−1
N , где DN как в (5). Пары σ(λ),M , где
σ(λ)∈V (~s), M=M(~s), ~s∈D, являются всеми решениями задачи (2).
Исследуем теперь вопрос разрешимости (25), (26). Если (25), (26)
выполнены, тогда
C1 + εIN > 0, C2 + εIN > 0, ∀ε > 0. (31)
Наоборот, если выполнено (31), то 〈Ci~x, ~x〉 = limε→+0〈(Ci+εIN )~x, ~x〉≥
0, ~x ∈ R
N , i = 1, 2. Определим матрицы:
С. М. Загороднюк 353
K1,j(ε) =
s2(N−1) − bN−1,N−1 + ε . . . sN+j−1 − bN−1,j
...
. . .
...
sN+j−1 − bj,N−1 . . . s2j − bj,j + ε
,
K2,j(ε) =
sN−1,N−1 − s2(N−1) + ε . . . sN−1,j − sN+j−1
...
. . .
...
sj,N−1 − sN+j−1 . . . sj,j − s2j + ε
,
j = N − 1, N − 2, . . . , 0;
являющиеся главными угловыми подматрицами матриц C1 + εIN и
C2 + εIN , соответственно. Если выполняется (31), то
K1,j(ε) > 0, K2,j(ε) > 0, j = N − 1, N − 2, . . . , 0; ∀ε > 0. (32)
Обратно, из (32) при j = 0 следует (31).
При j = N − 1, N − 2, . . . ,
[
N−1
2
]
+ 1, матрицы в (32) не содер-
жат неизвестных и являются условиями совместности на известные
моменты. Они эквивалентны условию
Ki,[N−1
2 ]+1(ε) > 0, ∀ε > 0, i = 1, 2. (33)
В силу рассуждений, аналогичных рассуждениям после (31), послед-
нее условие эквивалентно следующему:
Ki,[N−1
2 ]+1(0) ≥ 0, i = 1, 2. (34)
Будем далее считать условие (34) выполненным.
Применим критерий положительности блочной матрицы ([13, Тео-
рема, с. 559]) для матриц K1,j(ε), K2,j(ε), последовательно при j =[
N−1
2
]
,
[
N−1
2
]
− 1, . . . , 0; с правым нижним блоком размера (1 × 1).
Получим, что (32) эквивалентно выполнению неравенств:
s2j − bj,j + ε > B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε)B1,j , sj,j − s2j + ε > B∗
2,jK
−1
2,j+1(ε)B2,j ,
j =
[
N − 1
2
]
,
[
N − 1
2
]
− 1, . . . , 0; ∀ε > 0, (35)
где Bi,j — правый, верхний блок разбиения матрицы Ki,j(ε), i = 1, 2.
Перепишем последние неравенства в виде:
s2j > bj,j−ε+B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε)B1,j =: ϕj(ε) = ϕj(ε; sN−1, sN−2, . . . , s2j+1),
(36)
354 О проблеме моментов...
s2j<sj,j +ε−B∗
2,jK
−1
2,j+1(ε)B2,j =:ψj(ε)=ψj(ε; sN−1, sN−2, . . . , s2j+1),
j =
[
N − 1
2
]
,
[
N − 1
2
]
− 1, . . . , 0; ∀ε > 0. (37)
Зафиксируем в (36) и (37) некоторое ε > 0. Множества векторов
~s = (s0, s1, . . . , sN−1), являющиеся решениями (36) (решениями (37))
при этом ε, обозначим D1(ε) (соответственно D2(ε)). Очевидно, что
D1(ε) 6= ∅, D2(ε) 6= ∅, ∀ε > 0. Кроме того, если ε2 < ε1, то D1(ε2) ⊆
D1(ε1), D2(ε2) ⊆ D2(ε1). Действительно, выполнение (36) (выполне-
ние (37)) эквивалентно выполнению первого (соответственно второго)
неравенства в (32), при фиксированном ε. Вложенность же множеств
решений для неравенств из (32) очевидна.
Возьмем ε1, ε2 : ε2 < ε1, и некоторое ~s ∈ D1(ε2). Тогда K1,j(ε2) <
K1,j(ε1), что равносильно K−1
1,j (ε2) > K−1
1,j (ε1). Пользуясь видом обра-
тной матрицы к блочной матрице [13, с. 559] с правым нижним бло-
ком размера (1 × 1), замечаем, что правый нижний элемент K−1
1,j (εk)
есть (s2j − bj,j + εk −B∗
1,jK
−1
1,j+1(εk)B1,j)
−1, k = 1, 2. Следовательно,
(s2j − bj,j + ε2 −B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε2)B1,j)
−1 >
> (s2j − bj,j + ε1 −B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε1)B1,j)
−1;
s2j − bj,j + ε2 −B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε2)B1,j < s2j − bj,j + ε1 −B∗
1,jK
−1
1,j+1(ε1)B1,j .
Значит
ϕj(ε2) > ϕj(ε1), ε2 < ε1, ~s ∈ D1(ε2); j =
[
N − 1
2
]
,
[
N − 1
2
]
−1, . . . , 0.
(38)
Взяв ε1, ε2 : ε2 < ε1, и ~s ∈ D2(ε2), и поступая аналогично для матри-
цы K2,j(εk), k = 1, 2, приходим к неравенству:
ψj(ε2) < ψj(ε1), ε2 < ε1, ~s ∈ D2(ε2); j =
[
N − 1
2
]
,
[
N − 1
2
]
−1, . . . , 0.
(39)
Отсюда, в частности, следует, что
D1(ε2) ⊂ D1(ε1), D2(ε2) ⊂ D2(ε1), ε2 < ε1. (40)
Положим D(ε) = D1(ε)∩D2(ε), и D = ∩ε>0D(ε). В силу (40), D(ε2) ⊆
D(ε1), ε2 < ε1. Значит D = ∩k∈ND(2−k). Если (36), (37) имеют реше-
ние, то D 6= ∅, и наоборот. При этом D является множеством решений
(36), (37), а значит и (32), (31), (25), (26).
Из наших рассуждений следует
С. М. Загороднюк 355
Предложение 1. Пункт в) последней теоремы можно заменить
следующими двумя пунктами:
в) Положим sn = sn,0, n ∈ Z+ : n ≥ N , и определим B фор-
мулой (16), где Xk — любое решение уравнения Γ2N ;k,kXk = ΓN ;N,k,
здесь Γi;j,k определяются как раньше. Пусть B = (bn,m)N−1
n,m=0. Тогда
выполнено (34);
г) Обозначим D = ∩k∈ND(2−k), D(ε) = D1(ε) ∩ D2(ε), где D1(ε)
и D2(ε) являются непустыми наборами решений неравенств (36) и
(37), соответственно, при фиксированном ε > 0. Тогда D 6= ∅.
В том случае, когда N = 2, можно упростить решение неравенств
(25), (26). Итак, пусть задана задача (6) с некоторым набором чисел
{sn,m}∞n,m=0, и N = 2. Поступаем так же, как и в рассуждениях после
(19), вплоть до (25), (26) включительно. В нашем случае (25), (26)
можно записать в виде:
(
s2 − b1,1 s1 − b1,0
s1 − b0,1 s0 − b0,0
)
≥ 0;
(
s1,1 − s2 s1,0 − s1
s0,1 − s1 s0,0 − s0
)
≥ 0. (41)
Неотрицательность матриц в (41) эквивалентна [12, Теорема 4, с. 278]
неотрицательности всех ее главных миноров, т.е. выполнению нера-
венств
s2 − b1,1 ≥ 0, (s2 − b1,1)(s0 − b0,0) − (s1 − b1,0)
2 ≥ 0, s0 − b0,0 ≥ 0,
s1,1 − s2 ≥ 0, (s1,1 − s2)(s0,0 − s0)− (s1,0 − s1)
2 ≥ 0, s0,0 − s0 ≥ 0, (42)
где мы учли, что матрицы B и S(2) симметричны.
Из (42) получаем, что для разрешимости (41) необходимо, чтобы
b1,1 ≤ s2 ≤ s1,1, (43)
и множество на плоскости (s0, s1), описываемое неравенствами
b0,0 ≤ s0 ≤ s0,0, (44)
b1,0 −
√
s2 − b1,1
√
s0 − b0,0 ≤ s1 ≤ b1,0 +
√
s2 − b1,1
√
s0 − b0,0, (45)
s1,0 −
√
s1,1 − s2
√
s0,0 − s0 ≤ s1 ≤ s1,0 +
√
s1,1 − s2
√
s0,0 − s0, (46)
являющееся пересечением внутренностей двух парабол (45), (46) и
полосы (44), непусто. Оно является множеством решений (42), кото-
рые, как было сказано, эквивалентны (41). Обозначим это множество
D. Справедлива следующая теорема:
356 О проблеме моментов...
Теорема 2. Пусть задана проблема моментов (2) с некоторым на-
бором вещественных чисел {sn,m}∞n,m=0 и N = 2. Для того, чтобы
задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лись условия:
а) sn1,m1 = sn2,m2 , n1,m1, n2,m2 ∈ Z+ : max(n1,m1) ≥ 2,
max(n2,m2) ≥ 2, n1 +m1 = n2 +m2;
б) S(2+k) ≥ 0, k ∈ N ;
в) Положим sn = sn,0, n ∈ Z+ : n ≥ 2, и определим B форму-
лой (16), где N = 2, Xk — любое решение уравнения Γ4;k,kXk = Γ2;2,k,
Γi;j,k определяются как раньше. Пусть B = (bn,m)1n,m=0. Тогда выпол-
нено (43).
г) Множество D в плоскости (s0, s1), описываемое соотношени-
ями (44)–(46), непусто.
Если условия а)–г) выполнены, то описание решений проводится
так, как в теореме 1 при N = 2, с использованием определенного
выше множества D.
Доказательство. Необходимость условий а)–б) следует из теоремы 1
дляN = 2. Необходимость в), г) была показана перед формулировкой
теоремы. С другой стороны, если а)–г) выполнены, то множество D,
как было сказано выше, является множеством решений (41), т.е. (25),
(26), и значит (22). Таким образом, множество D совпадает со мно-
жеством D из теоремы 1. Поскольку оно непусто, то согласно теореме
1, проблема моментов (2) разрешима и описание решений описано в
формулировке теоремы 1.
Теорема доказана.
В работе [5] задача (3) связывалась с некоторой матричной про-
блемой моментов Гамбургера. Заметим, что в случае задачи (2) мера
µ имеет специальный вид:
µ =
σ(λ) 0 . . . 0
0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0
+ µM ,
где µM =
{
0, λ≤0
M, λ>0 . Можно выписать условия разрешимости матри-
чной проблемы моментов Гамбургера в случае, когда ищутся решения
такого специального вида.
Как для случая специальной меры, так и для общего случая, спра-
ведливо [5]:
С. М. Загороднюк 357
sm,n =
N−1∑
i,j=0
∫
R
(xm)(i)(xn)(j)µi,j(dx) =
N−1∑
i,j=0
i!j!
(
m
i
)(
n
j
)
×
×
∫
R
xm−ixn−j dµi,j =
N−1∑
i,j=0
i!j!
(
m
i
)(
n
j
)
A
(i,j)
m−i,n−j m,n ∈ Z+,
где A
(i,j)
k,l =
∫
R
xk+ldµi,j ;
sm,n =
N−1∑
i,j=0
i!j!
(
m
i
)(
n
j
)
A
(i,j)
m−i,n−j , m, n ∈ Z+. (47)
Таким образом, как задачу (3) [5], так и задачу (2) можно связать
с матричной проблемой моментов Гамбургера
∫
R
xk+l dµ = Ak,l, k, l ∈ Z+,
где Ak,l = (A
(i,j)
k,l )N−1
i,j=0.
Вопрос о разрешимости уравнений (47) относительно неизвестных
A
(i,j)
k,l , k, l ∈ Z+, i, j = 0, 1, . . . , N − 1, однако, остается открытым.
С другой стороны, диагональный случай задачи (3), который изу-
чался в [6, 7], значительно отличается от задачи (2), т.к. в нашем
случае матрица из моментов S = (sn,m)∞n,m=0 не допускает разложе-
ния в сумму вида
∑N−1
k=0 DkV
kM (k)(V T )kDk, где M (k) — ганкелевы
матрицы, V = (δn,m+1)
∞
n,m=0, Dk = diag (dk,m)∞m=0, dk,m = k! ( m
k ),
а верхний индекс T обозначает транспонирование. Поэтому методы,
предложенные в этих работах, неприменимы в нашем случае.
2. Рассмотрим теперь задачу (2) при дополнительном условии,
что матрица M ищется диагональной: M = diag (m0,m1, . . . ,mN−1),
mi ≥ 0, i = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Для решения задачи в этом случае мо-
жно было бы воспользоваться результатом [6, Corollary 2, p. 374] или
матричным алгоритмом, предложенным в работе [7], но мы предло-
жим независимый, простой способ решения.
Для рассматриваемой задачи равенства (2) примут вид:
∫
R
λn+m dσ(λ) +
N−1∑
k=0
mk(λ
n)(k)(λm)(k)|λ=0 = sn,m, n,m ∈ Z+, (48)
или
358 О проблеме моментов...
∫
R
λn+m dσ(λ) +
N−1∑
k=0
n!m!
(n− k)!(m− k)!
mkδn,kδm,k = sn,m,
n,m ∈ Z+, (49)
где (−l)! = 1, l ∈ N.
Пусть задача (48) имеет решение σ(λ),M . Тогда из (49) следует,
что
k!2mk = sk,k − sk+1,k−1, k = 1, 2, . . . , N − 1. (50)
Заметим, что если есть решение (48) σ(λ),M = (m0,m1, . . . ,mN−1)
с m0 ≥ 0, то есть решение (48) с m0 = 0, т.к. можно рассмотреть
функцию σ̃(λ) =
{
σ(λ)+m0, λ>0
σ(λ), λ≤0
, и тогда σ̃(λ) порождает решение
σ̃(λ), M̃ = (0,m1, . . . ,mN−1). Будем далее рассматривать решение с
m0 = 0, обозначая его вновь σ(λ),M . Тогда из (49) при m = 0 полу-
чаем: ∫
R
λndσ(λ) = sn,0, n = 0, 1, 2, . . . . (51)
Значит, в силу критерия разрешимости проблемы моментов Гамбур-
гера, выполнено
(sn+m,0)
k
n,m=0 ≥ 0, k ∈ Z+. (52)
Кроме того, из (49) следует, что
sn,m = sn+m,0, n,m ∈ Z+ : n 6= m или max(n,m) ≥ N ; (53)
sk,k − sk−1,k+1 ≥ 0, k = 1, 2, . . . ., N − 1. (54)
Теорема 3. Пусть дана задача (48) с некоторым набором вещест-
венных чисел {sn,m}∞n,m=0. Для того, чтобы задача имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (52)–(54).
Если эти условия выполнены, тогда обозначим V — набор ре-
шений разрешимой проблемы моментов Гамбургера (51), который
строится так же, как строились решения проблемы моментов (9).
Положим
mk =
1
k!2
(sk,k − sk+1,k−1), k = 1, 2, . . . , N − 1. (55)
Обозначим V̂ ⊆ V — множество тех решений (51), которые имеют
ненулевой скачок в точке λ = 0, а Ṽ = V \V̂ . Для любой функции
σ(λ) ∈ V̂ , имеющей скачок в нуле, равный α > 0, обозначим W (σ) —
множество функций вида
σa(λ) =
{
σ(λ) − a, λ > 0
σ(λ), λ ≤ 0
, 0 ≤ a ≤ α. (56)
С. М. Загороднюк 359
Для σ̂(λ) ∈ V̂ рассмотрим набор {σ(λ),M : σ(λ) = σ̂a(λ) ∈
W (σ̂), M = (a,m1,m2, . . . ,mN−1)} =: K(σ̂). Также рассмотрим на-
бор {σ(λ),M : σ(λ) ∈ Ṽ , M = (0,m1,m2, . . . ,mN−1)} =: L.
Тогда U := (∪σ̂∈V̂K(σ̂)) ∪ L является набором всех решений за-
дачи (48). При этом множества K(σ̂), σ̂ ∈ V̂ , L не пересекаются
между собой.
Доказательство. Необходимость условий (52)–(54) была показана
перед формулировкой теоремы. Предположим, что эти условия вы-
полнены. Тогда проблема моментов Гамбургера (51) разрешима. За-
метим, что равенства (49) равносильны следующим равенствам:
∫
R
λn+m dσ(λ) = sn,m, n,m ∈ Z+ : n 6= m или max(n,m) ≥ N ; (57)
∫
R
λ2n dσ(λ) + (n!)2mn = sn,n, n ∈ Z+ : n < N. (58)
Возьмем любую пару u = (σ1(λ),M) ∈ U, M = (m0,m1, . . . ,mN−1).
Проверим выполнение (57), (58). В силу (53), равенство (57) прини-
мает вид:
∫
R
λn+m dσ(λ) = sn+m,0, n,m ∈ Z+ : n 6= m или max(n,m)≥N. (59)
Если u ∈ L, то σ1(λ) является решением (51), и значит (59) выполне-
но. Если u ∈ K(σ̂), σ̂ ∈ V̂ , то σ1(λ) является функцией типа (56),
σ1(λ) =
{
σ̂(λ) − a, λ > 0
σ̂(λ), λ ≤ 0
, 0 ≤ a ≤ α, (60)
α — скачок в нуле функции σ̂(λ), а σ̂(λ) является решением (51).
Поэтому
∫
R
λn+m dσ1(λ) =
∫
R
λn+m dσ̂(λ) = sn+m,0,
n,m ∈ Z+ : n 6= m или max(n,m) ≥ N.
Значит (59) выполнено и в этом случае.
Учитывая определение чисел mk, k = 1, 2, . . . , N − 1, из (55), за-
ключаем, что левая часть (58) при n 6= 0 равна:
∫
R
λ2n dσ(λ) + sn,n − sn+1,n−1. (61)
360 О проблеме моментов...
В силу доказанного равенства (57), sn+1,n−1 =
∫
R
λ2n dσ1(λ). Под-
ставляя в (61) σ1(λ) и выражение для sn+1,n−1, получаем, что это
выражение равно sn,n. Значит (58) выполнено.
Если u ∈ L, то m0 = 0, и правая часть (58) при n = 0, после под-
становки σ1(λ),m0, примет вид:
∫
R
dσ1(λ). В силу (51),
∫
R
dσ1(λ) =
s0,0, и значит (58) выполнено.
Предположим теперь, что u ∈ K(σ̂), σ̂ ∈ V̂ , т.е. σ1(λ) является
функцией вида (60), где α — скачок функции σ̂ в нуле, а σ̂ является
решением (51). При этом m0 = a. Подставляя σ1(λ), m0 в правую
часть (58) при n = 0, получаем:
∫
R
dσ1(λ) + a =
∫
R
dσ̂(λ) − a+ a =
∫
R
dσ̂(λ).
Поскольку σ̂ является решением (51), то последнее выражение равно
s0,0, и (58) выполнено.
Итак для u ∈ U выполнены (59), (58), а значит (57), (58), и сле-
довательно (49). При этом, как мы видели, m0 ≥ 0. Заметим, что из
условия (54) следует, что mi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , N − 1. Значит u ∈ U
является решением проблемы моментов (48).
С другой стороны, пусть σ(λ),M = (m0,m1, . . . ,mN−1) — решение
задачи (48). Тогда числа mi, i = 1, 2, . . . , N − 1, как было показано,
удовлетворяют (50) и значит совпадают с mi, i = 1, 2, . . . , N − 1, из
(55). Обозначим скачок функции σ(λ) в нуле ∆. Тогда пара σ̃(λ), M̃ ,
где σ̃(λ) =
{
σ(λ)+m0, λ>0
σ(λ), λ≤0
, M̃ = (0,m1,m2, . . . ,mN−1), будет решени-
ем (48), а также (51), как было показано выше (после (50)). Значит
σ̃ ∈ V .
Если ∆+m0 = 0, т.е. ∆ = m0 = 0, тогда (σ̃, M̃) = (σ,M) ∈ L ⊆ U .
Пусть ∆ +m0 > 0.
Если m0 = 0, тогда ∆ > 0 и σ ∈ V̂ . Значит (σ,M) ∈ K(σ) ⊆ U .
Если m0 > 0, тогда σ̃ ∈ V̂ . Функция σ(λ) ∈W (σ̃) при a = m0, т.е.
σ = σ̃m0 . Значит (σ,M) ∈ K(σ̃) ⊆ U .
Итак U является множеством всех решений задачи (48).
Заметим, что если σ̂, σ̂1 ∈ V̂ : σ̂ 6= σ̂1, то σ̂ и σ̂1, как решения (51),
не могут отличаться лишь скачком в нуле. Значит K(σ̂)∩K(σ̂1) = ∅.
Пусть σ̂ ∈ V̂ имеет скачок α > 0. Тогда возьмем любую пару
(σa(λ),M) ∈ K(σ̂), M = (m0,m1, . . . ,mN−1). Из вида σa(λ) из (56)
следует, что σa(λ) имеет скачок в нуле равный α−a. Тогдаm0+α−a =
a+α−a = α, что следует из определения множества K(σ̂). С другой
стороны, для любой пары σ̃(λ), M̃ = (m̃0, m̃1, . . . , m̃N−1) из L, сумма
скачка σ̃(λ) в нуле и m̃0 равна нулю, что следует из определения
множества L , т.к. σ̃ ∈ Ṽ , m̃0 = 0. Значит K(σ̂) ∩ L = ∅, ∀σ̂ ∈ V̂ .
С. М. Загороднюк 361
Следовательно, множества K(σ̂), σ̂ ∈ V̂ , L попарно не пересека-
ются между собой.
Теорема доказана.
Представляет интерес дальнейшее изучение проблем моментов со-
болевского типа, в частности, задачи (3), а также проблем моментов,
связанных с ортогональными многочленами на лучах и дискретной
соболевской мерой в нуле [3].
Автор выражает благодарность рецензенту за ценные указания и
советы.
Литература
[1] F. Marcellán, M. Alfaro, M. L. Rezola, Orthogonal polynomials on Sobolev spaces;
old and new directions // J. Comp. Appl. Math. (1993), No 48, 113–131.
[2] W. D. Evans, L. L. Littlejohn, F. Marcellán, C. Markett, A. Ronveaux, On
recurrence relations for Sobolev orthogonal polynomials // SIAM J. Math. Anal.
(1995), No 26, 446–467.
[3] S. M. Zagorodnyuk, On generalized Jacobi matrices and orthogonal polynomials //
New York J. Math. (2003), No 9, 117–135.
[4] Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов и некоторые вопросы ана-
лиза, связанные с нею. Гос. изд-во физ.-мат. литературы, Москва, 1961.
[5] F. Marcellán, F.H. Szafraniec, The Sobolev-type moment problem // Proc. of the
Amer. Math. Soc. 128 (2000), No 8, 2309–2317.
[6] D. Barrios Rolania, G. López Lagomasino, H. Pijeira Cabrera, The moment
problem for a Sobolev inner product // J. Approx.Theory (1999), No 100, 364–380.
[7] F. Marcellán, F. H. Szafraniec, A matrix algorithm towards solving the moment
problem of Sobolev type // Linear Algebra and its Appl. (2001), No 331, 155–164.
[8] G. Freud, Orthogonal polynomials. Budapest, 1974.
[9] В. А. Золотарев, Аналитические методы спектральных представлений не-
самосопряженных и неунитарных операторов. Харьков, ХНУ, 2003.
[10] М. Г. Крейн, М. А. Красносельский, Основные теоремы о расширении эр-
митовых операторов и некоторые их применения к теории ортогональных
полиномов и проблеме моментов // УМН 2(1947), вып. 3(19), 60–106.
[11] Н. Ахиезер, М. Крейн, О некоторых вопросах теории моментов. Науч.-тех.
изд-во Украины, Харьков, 1938.
[12] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. Москва, Издат-во “Наука”, 1967.
[13] Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ. Москва, “Мир”, 1989.
Сведения об авторах
Сергей
Михайлович
Загороднюк
Харьковский национальный университет
им. В. Н. Каразина, пл. Свободы 4,
61077, Харьков,
Украина
E-Mail: zagorodnyuk@univer.kharkov.ua
|