Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь
На основi вивчення лiнiйних крайових задач у спецiальних просторах узагальнених функцiй одержанi умови iснування розв’язку крайової задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння у просторi функцiй зi степеневим ростом бiля межi областi, а також умови, за яких цей розв’язок регулярний всерединi обла...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124596 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь / Г.П. Лопушанська // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 377-394. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124596 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1245962017-09-30T03:04:03Z Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь Лопушанська, Г.П. На основi вивчення лiнiйних крайових задач у спецiальних просторах узагальнених функцiй одержанi умови iснування розв’язку крайової задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння у просторi функцiй зi степеневим ростом бiля межi областi, а також умови, за яких цей розв’язок регулярний всерединi областi. 2005 Article Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь / Г.П. Лопушанська // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 377-394. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 35J40, 35J60. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124596 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основi вивчення лiнiйних крайових задач у спецiальних просторах узагальнених функцiй одержанi умови iснування розв’язку крайової задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння у просторi функцiй зi степеневим ростом бiля межi областi, а також умови, за яких цей розв’язок регулярний всерединi областi. |
| format |
Article |
| author |
Лопушанська, Г.П. |
| spellingShingle |
Лопушанська, Г.П. Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь Український математичний вісник |
| author_facet |
Лопушанська, Г.П. |
| author_sort |
Лопушанська, Г.П. |
| title |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| title_short |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| title_full |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| title_fullStr |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| title_sort |
узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124596 |
| citation_txt |
Узагальнені крайові задачі для лінійних та напівлінійних еліптичних рівнянь / Г.П. Лопушанська // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 3. — С. 377-394. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT lopušansʹkagp uzagalʹneníkrajovízadačídlâlíníjnihtanapívlíníjnihelíptičnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-09T01:41:25Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:41:25Z |
| _version_ |
1837131667922223104 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 3, 377 – 394
Узагальненi крайовi задачi для лiнiйних та
напiвлiнiйних елiптичних рiвнянь
Галина П. Лопушанська
(Представлена С. Д. Iвасишеном)
Анотацiя. На основi вивчення лiнiйних крайових задач у спецi-
альних просторах узагальнених функцiй одержанi умови iснування
розв’язку крайової задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння
у просторi функцiй зi степеневим ростом бiля межi областi, а також
умови, за яких цей розв’язок регулярний всерединi областi.
2000 MSC. 35J40, 35J60.
Ключовi слова та фрази. Елiптичне диференцiальне рiвняння,
нормальна система крайових диференцiальних операторiв, узагаль-
нена функцiя, спряженi оператори Грiна, ваговий функцiональний
простiр, iнтегральне рiвняння.
На основi теорем про гомеоморфiзми [1] у працi [2] вивченi крайовi
задачi для квазiлiнiйних елiптичних рiвнянь у шкалi просторiв Собо-
лєва. У [3] дослiджуються умови, за яких регулярний всерединi кулi
в R
n, n ≥ 3, додатний розв’язок рiвняння ∆u = uq може набувати на
межi кулi узагальнених значень-мiр.
У [4,5] вивченi простори функцiй iз точковими степеневими особ-
ливостями та оператори Грiна в них, дослiджено характер поведiнки
розв’язкiв лiнiйних елiптичних граничних задач з даними iз таких
просторiв. У данiй статтi вивчаємо спецiальнi простори узагальне-
них функцiй, що мiстять, зокрема, функцiї з сильними степеневими
особливостями на межi областi, спряженi оператори Грiна в них та
застосовуємо їх до розв’язностi узагальнених елiптичних крайових
задач.
На основi вивчення лiнiйних крайових задач у таких просторах
узагальнених функцiй знаходимо умови iснування розв’язку крайової
задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння у просторi функцiй
Стаття надiйшла в редакцiю 21.10.2003
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
378 Узагальненi граничнi задачi...
зi степеневим ростом бiля межi областi, а також умови, за яких цей
розв’язок регулярний всерединi областi.
Hехай Ω — область в R
n, n ≥ 3, обмежена замкненою поверхнею
S з класу C∞, d(x) = dist (x, S) — вiдстань вiд точки x ∈ Ω до S,
x̂ ∈ S, ε > 0,
h(x) =
{
1, d(x) ≤ ε
2
0, d(x) > ε
, 0 ≤ h(x) ≤ 1,
h1(x, x̂) =
{
1, |x− x̂| ≤ ε
2
0, |x− x̂| > ε
, 0 ≤ h1(x, x̂) ≤ 1,
̺(x)(̺(x, x̂)) — нескiнченно диференцiйовна в Ω функцiя, яка дорiв-
нює нулю в точках x ∈ S (x = x̂), а бiля S має порядок d(x)(|x− x̂|).
Використовуватимемо позначення ̺k
α(x) = ̺k−|α|(x) + 1 + cα| ln ̺(x)|,
̺k
α(x, x̂) = ̺k−|α|(x, x̂) + 1 + cα| ln ̺(x, x̂)|, cα 6= 0 при |α| = k.
Для k ∈ R визначимо наступнi функцiональнi простори:
Z̃k(Ω, S) = {ϕ ∈ C∞(Ω) : для довiльних x̂ ∈ S, мультиiндексу α
|Dα(h1(x, x̂)ϕ(x))| ≤ ̺k−|α|(x, x̂)ϕα(x, x̂), ϕα(·, x̂) ∈ C(Ω)},
Zk(Ω, S) = {ϕ ∈ C∞(Ω) : для довiльних x̂ ∈ S, мультиiндексу α
|Dαϕ(x)| ≤ ̺k
α(x, x̂)ϕα(x, x̂), ϕα(·, x̂) ∈ C(Ω)}.
Скажемо, що ϕν → 0 при ν → ∞ у просторi Z̃k(Ω, S), якщо
для довiльних α, точки x̂ ∈ S послiдовнiсть функцiй ϕ̃αν(x, x̂) =
̺|α|−k(x, x̂)Dα(h1(x, x̂)ϕν(x)) + (1 − h(x))Dαϕν(x) збiгається до нуля
при ν → ∞ рiвномiрно в Ω, ϕν → 0 при ν → ∞ у просторi Zk(Ω, S),
якщо для довiльних α та точки x̂ ∈ S послiдовнiсть функцiй ϕαν(x, x̂)
= 1
̺k
α(x,x̂)
Dαϕν(x) збiгається до нуля при ν → ∞ рiвномiрно в Ω. За-
уважимо, що простори Zk та Z̃k по сутi збiгаються при k < 0.
Довизначаємо функцiї (ln ̺(x))−1 та (ln ̺(x, x̂))−1 (x̂ ∈ S) за непе-
рервнiстю у точках x ∈ S.
Для k > 0 визначимо:
Z̃k(S) = {ϕ = ϕ(x) (x ∈ S) : для довiльної точки x̂ ∈ S та до-
вiльного мультиiндексу α |Dα(h1(x, x̂)ϕ(x))| ≤ ̺k−|α|(x, x̂)ϕα(x, x̂),
ϕα(·, x̂) ∈ C(S)};
Zk(S) = {ϕ = ϕ(x) (x ∈ S) : для довiльної точки x̂ ∈ S та довiль-
ного мультиiндексу α |Dαϕ(x)| ≤ ̺k
α(x, x̂)ϕα(x, x̂), ϕα(·, x̂) ∈ C(S)}.
Збiжнiсть у цих просторах визначається подiбно до збiжностi у
Z̃k(Ω, S) та Zk(Ω, S).
Позначаємо через Z ′ простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв
на Z, через (ϕ, F ) (〈ϕ, F 〉) значення узагальненої функцiї F ∈ Z ′ з
носiєм в Ω (на S) на основнiй функцiї ϕ ∈ Z.
Г. П. Лопушанська 379
Функцiї iз просторiв Z̃k та Zk мають такi спiльнi властивостi (такi
ж самi, як для просторiв Zk(Ω, x0) iз [5]):
1) D = C∞ ⊂ Z−k, Z
′
−k ⊂ D′ ⊂ Z ′
k при k > 0; Zk2 ⊂ Zk1 для
k1 < k2;
2) якщо ϕ ∈ Zk, то Dγϕ ∈ Zk−|γ|; якщо F ∈ Z ′
k, то визначено
(Dαϕ, F ) для ϕ ∈ Zk+|α| i тодi визначенi DαF ∈ Z ′
k+|α|: (ϕ,DαF )
= (−1)|α|(Dαϕ, F );
3) нехай gα ∈ L1, тодi для довiльної ϕ ∈ Zk визначенi∫
Ω(S)
Dαϕgα
̺k
α
dx i при довiльному натуральному числi N g =
∑
|α|≤N Dα
(
(−1)|α| gα
̺k
α
)
(похiднi розумiємо в узагальненому сен-
сi) є лiнiйним неперервним функцiоналом на Zk; зокрема, якщо
g0 ∈ L1, g(x) = g0(x)̺
−l(x), то g ∈ Z̃ ′
l ;
4) для довiльних ϕ ∈ Zk(Ω, S), обмежених в Ω функцiй gα та pα >
−n визначенi
∫
Ω gα̺
pα Dαϕ
̺k
α
dx; тодi g = g0̺
−l ∈ Z ′
l−n+ε(Ω, S) ⊂
Z̃ ′
l−n+ε(Ω, S) для довiльних ε > 0, g0 ∈ L∞(Ω); аналогiчно g =
g0̺
−l ∈ Z ′
l+1−n+ε(S) ⊂ Z̃ ′
l+1−n+ε(S) для довiльних ε > 0, g0 ∈
L∞(S).
Вiдзначимо ще такi властивостi функцiй iз Z̃k:
5) Z̃k ⊂ C [k], (C [k])′ ⊂ Z̃ ′
k для k > [k] ≥ 0; якщо ϕ ∈ Z̃k, l ∈ R, то
̺lϕ ∈ Z̃k+l, вiдповiдно при F ∈ Z̃ ′
k маємо ̺lF ∈ Z̃ ′
k−l;
6) Z̃−k ⊂ Z̃ ′
k.
Для цiлих невiд’ємних k та l ∈ R визначимо
Z̃k,l(Ω, S) = {ϕ ∈ C∞(Ω) : для довiльних x̂ ∈ S h(x)ϕ(x) = ̺k(x)×
ϕ0(x, x̂), ϕ0(·, x̂) ∈ Z̃l(Ω, S) ∩ Z̃l(S)};
Zk,l(Ω, S) = {ϕ ∈ C∞(Ω) : для довiльних x̂ ∈ S h(x)ϕ(x) = ̺k(x)×
ϕ0(x, x̂), ϕ0(·, x̂) ∈ Zl(Ω, S) ∩ Zl(S)}.
Скажемо, що ϕν → 0 при ν → ∞ у просторi Z̃k,l(Ω, S) (Zk,l(Ω, S)),
якщо послiдовнiсть функцiй ϕ0ν(x) = ̺−k(x)ϕν(x) збiгається до нуля
у Z̃l(Ω, S) ∩ Z̃l(S) (Zl(Ω, S) ∩ Zl(S)).
Лема 1. Якщо F — лiнiйний функцiонал на Zp(S), p ≥ 0, то F ∈
Z ′
p(S) тодi i лише тодi, коли iснують такi цiле число r, 0 ≤ r ≤ p,
стала C > 0, що для довiльної ϕ ∈ Zp(S)
|〈ϕ, F 〉| ≤ C max
y,x̂∈S,
|α|≤r
|Dαϕ(y)|
̺r
α(y, x̂)
.
380 Узагальненi граничнi задачi...
Скажемо, що така узагальнена функцiя F має порядок сингуляр-
ностi ≤ r.
Лема доводиться так само, як вiдповiдна лема Шварца [6].
Лема 2. Для довiльної F ∈ Z ′
p(S) порядку сингулярностi ≤ r < p
iснують такi натуральне число N ∈
(
r+ n−1
2 , p+ n−1
2
)
, стала C > 0,
f0 ∈ L2(S), що
〈ϕ, F 〉 =
∫
S
(1 − ∆S)
N
2 ϕ · f0 dS, ϕ ∈ Zp(S),
де ∆S — оператор Бельтрамi-Лапласа, при N
2 = s− l
2
(1 − ∆S)
N
2 ϕ = (1 − ∆S)s(1 − ∆S)−
l
2ϕ,
(1 − ∆S)−
l
2ϕ(x) =
∫
S
ω l
2
(x, y)ϕ(y) dS,
ω l
2
(x, y) (x, y ∈ S) — фундаментальна функцiя оператора (1 − ∆S)
l
2
[7].
Доведення. За лемою 1 для довiльного ε > 0 iснує таке δ = δ(ε) > 0,
що для довiльної ϕ ∈ Zp(S) з того, що |Dαϕ(y)|
̺r
α(y,x̂) ≤ δ, y, x̂ ∈ S, |α| ≤ r,
випливає | < ϕ,F > | ≤ ε.
Нехай ψ = (1 − ∆S)
N
2 ϕ. З оцiнки
DαωN
2
(x, y) ≤ C
(
|x− y|N+1−n−|α| + 1
)
, x, y ∈ S ([7])
випливає, що ψ ∈ Zp−N (S). Навпаки, для ψ ∈ Zp−N (S), ϕ = (1 −
∆S)−
N
2 ψ ∈ Zp(S),
|Dαϕ(x)| =
∣∣∣∣∣D
α
∫
S
ωN
2
(x, y)ψ(y) dS
∣∣∣∣∣≤
(∫
S
|DαωN
2
(x, y)|2dS
) 1
2
·‖ψ‖L2(S)
для всiх |α| ≤ r, якщо 2(N + 1 − n − r) > 1 − n та 2(p −N) > 1 − n,
тобто N ∈ (r + n−1
2 , p+ n−1
2 ). Крiм того,
∫
S
|DαωN
2
(x, y)|2 dS = O
(
1 + ̺2N−2|α|+1−n(x, x̂)
)
,
а тодi
|Dαϕ(y)|
̺r
α(y, x̂)
≤ ̺
N−|α|+ 1−n
2
α (y, x̂)
̺r
α(y, x̂)
· ‖ψ‖L2(S)
Г. П. Лопушанська 381
i N −|α|+ 1−n
2 > r+ n−1
2 −|α|+ 1−n
2 = r−|α|. Бачимо, що для довiль-
ного δ > 0 iснує таке η = η(δ) > 0, що при ‖ψ‖L2(S) ≤ η одержуємо
max
y,x̂∈S,|α|≤r
|Dαϕ(y)|
̺r
α(y,x̂) ≤ δ. Враховуючи сказане спочатку, маємо: для до-
вiльного ε > 0 iснує таке η > 0, що |〈ϕ, F 〉| ≤ ε при ‖ψ‖L2(S) ≤ η.
Визначимо функцiонал T : 〈ψ, T 〉 = 〈ϕ, F 〉 = 〈(1 − ∆S)−
N
2 ψ, F 〉,
ψ ∈ L2(S). T — лiнiйний та неперервний функцiонал на L2(S), а тому
iснує така f0 ∈ L2(S),що 〈ψ, T 〉 =
∫
S ψf0 dS. Тодi 〈ϕ, F 〉 =
∫
S ψf0 dS =∫
S(1 − ∆S)
N
2 ϕf0 dS.
Нехай A — елiптичний диференцiальний оператор порядку 2m <
n з нескiнченно диференцiйовними коефiцiєнтами, {Bj}m
j=1 — нор-
мальна система крайових диференцiальних виразiв з нескiнченно ди-
ференцiйовними коефiцiєнтами (порядкiв mj ≤ 2m−1), що задоволь-
няють умову Лопатинського, Tj , T̂j , B̂j — такi нормальнi граничнi ди-
ференцiальнi вирази з нескiнченно диференцiйовними коефiцiєнтами
(вiдповiдно порядкiв µj , 2m−1−mj , 2m−1−µj), що правильна фор-
мула Грiна
∫
Ω
(Au · v − u ·A∗v) dx=
m∑
j=1
∫
S
(Tju · B̂jv −Bju · T̂jv) dS, u, v∈D(Ω),
де A∗ — спряжений до A оператор. Нехай G = (G0, G1, . . . , Gm) —
вектор-функцiя Грiна [4] задачi
Au = F0 в Ω, Bju
∣∣
S
= Fj , j = 1,m. (1)
Припускаємо, що ядра N та N∗ вiдповiдно задачi (1) та спряженої
задачi нульовi. Далi також використовуватимемо позначення
m0 = 2m, (j) =
{
0, j = 0
1, j = 1,m
.
У [4] виведенi оцiнки
|DαGj(x, y)| ≤ Cα
(
1 + cα ln |x− y| + |x− y|mj−n+(j)−|α|).
Вивчимо властивостi спряжених операторiв Грiна
(Ĝjϕ)(y) =
∫
Ω
ϕ(x)Gj(x, y) dx, j = 0,m,
у введених функцiональних просторах.
382 Узагальненi граничнi задачi...
Лема 3. Ĝ0 : Z̃k(Ω, S) → Zk+2m(Ω, S), k > −n; Z̃k,l(Ω, S) →
Zk+l+2m(Ω, S), k — цiле ≥ 0, k + l > −n;
Ĝj : Z̃k(Ω, S) → Zk+mj+(j)(S), k ≥ 2m − mj − (j), Z̃k,l(Ω, S) →
Zk+l+mj+(j)(S), k — цiле ≥ 0, k + l ≥ 2m−mj − (j), j = 0,m.
Доведення. Нехай y ∈ Ω. Вибираємо таку довiльну точку x̂ ∈ S, що
h1(y, x̂) 6= 0 i розбиваємо область Ω на Ω0 = {x ∈ Ω : |x− x̂| < |y−x̂|
2 },
Ω1 = {x ∈ Ω \ Ω0 : d(x) < d(y)
2 (< |y−x̂|
2 )}, Ω2 = {x ∈ Ω \ Ω0 ∪ Ω1 :
|x− y| < |y−x̂|
2 }, Ω3 = Ω \ (Ω0 ∪ Ω1 ∪ Ω2).
Нехай y ∈ Ω, ϕ ∈ Z̃k(Ω, S), vα(y) = Dα
y
(
h1Ĝ0ϕ
)
(y). Функцiю vα(y)
подамо у виглядi суми v0α(y)+v1α(y)+v2α(y)+v3α(y) трьох доданкiв
вiдповiдно до розбиття областi Ω.
Для x ∈ Ω0 |x − y| ≥ 1
2 |y − x̂|, |x − x′| ≤ |y − x̂| при x′ ∈ S ∩ Ω0,
тому при k > −n
∫
Ω0
|h1(x, x̂)ϕ(x)|dx ≤
∫ |y−x̂|
0 rk+n−1drϕ̃0(y, x̂) ≤ |y −
x̂|k+nϕ0(y, x̂), ϕ̃0(·, x̂), ϕ0(·, x̂) ∈ C(Ω), i тодi
|v0α(y)| =
∣∣∣∣∣
∫
Ω0
ϕ(x)Dα
y
(
h1(y, x̂)G0(x, y)
)
dx
∣∣∣∣∣ ≤
≤ C(|y − x̂|2m−n−|α| + 1)
∫
Ω0
|h1(x, x̂)ϕ(x)| dx ≤
≤ (̺k+2m−|α|(y, x̂) + 1)ϕ0α(y), ϕ0α ∈ C(Ω).
Aналогiчно |v1α(y)| ≤ (|y − x̂|2m−n−|α| + 1)
∫
Ω1
|h1(x, x̂)ϕ(x)| dx. Нехай
hj (j = 1, N) — розклад одиницi вiдповiдно до покриття областi Ω1
множинами Vj , diamVj ≤ |y − x̂|. Тодi
∫
Ω
|h1(x, x̂)ϕ(x)| dx ≤
N∑
j=1
∫
|x−x′|< 1
2
|y−x̂|,
x′∈Vj∩S
hj(x)̺k(x, x′)ϕ0j(x, x
′) dx ≤
≤ |y − x̂|k+nϕ0(y, x̂), ϕ0j(·, x′), ϕ0(·, x̂) ∈ C(Ω).
Отже, |v1α(y)| ≤ (̺k+2m−|α|(y, x̂) + 1)ϕ1α(y), ϕ1α ∈ C(Ω).
Нехай x ∈ Ω2, δ > 0 — настiльки мале, що Kδ(y) = {x : |x − y|<
δ} ⊂ Ω2, Ω2δ = Ω2 \ Kδ(y), Sδ(y) = {x : |x − y| = δ}. Оскiльки
ϕ ∈ C∞(Kδ(y)), то для довiльного мультиiндексу α iснує
lim
δ→0
Dα
y
∫
Kδ(y)
ϕ(x)G0(x, y)h1(y, x̂) dx = 0.
Г. П. Лопушанська 383
Тодi
v2α(y) = lim
δ→0
∫
Ω2δ
ϕ(x)Dα
y (G0(x, y)h1(y, x̂)) dx =
= lim
δ→0
∫
Ω2δ
∑
|β|≤|α|
Cαβϕ(x)(−Dx)β(Dx +Dy)
α−β(h1(y, x̂)G0(x, y)) dx =
=
∑
|β|≤|α|
Cαβ lim
δ→0
{ ∫
Ω2δ
Dβϕ(x)(Dx +Dy)
α−β(h1(y, x̂)G0(x, y)) dx+
+
∑
|γ|≤|β|
∫
|x−y|=δ
ϕ(x)νγ(x)(Dx +Dy)
α−βDγ
x(h1(y, x̂)G0(x, y)) dS
}
.
У локальнiй розпрямляючiй системi координат на сферi {x : |x−
y| = δ}
Dγ
x =
∑
t≤|γ|
R′
γt(ξ,D
′)( ∂
∂ν )t, |γ| < 2m
∑
t≤2m−1
Rγt(ξ,D
′)( ∂
∂ν )t+MγA, 2mi≤|γ|<2m(i+1), i=1, 2, . . .
R′
γt(ξ,D
′) =
∑
|q|≤|γ|−t
R′
γtq(ξ)(D
′)q,
Rγt(ξ,D
′) =
∑
|q|≤|γ|−t−2mi
Rγtq(ξ)(D
′)q,
Rγtq, R
′
γtq ∈ C∞(Sδ), оператор Mγ має порядок γ − 2mi, MγAG0
∣∣
Sδ(y)
= 0, D′ — “дотичнi” диференцiальнi вирази. Тодi
v2α(y) =
∑
|β|≤|α|
Cαβ lim
δ→0
{ ∫
Ω2δ
Dβϕ(x)(Dx +Dy)
α−β(h1(y, x̂)×
×G0(x, y)) dx+
∑
2mi≤|γ|≤
≤|β|<2m(i+1)
min[|γ|,2m−1]∑
t=0
∑
|q|≤|γ|−
−t−2mi
∫
Sδ
(D′)∗q(ϕ(x)νγ(x))×
×Rγtq(ξ)
( ∂
∂ν
)t
(Dx +Dy)
α−β(h1(y, x̂)G0(x, y)) dS
}
. (2)
Оскiльки ϕ ∈ C∞(Ω2), а оператор (Dx + Dy)
α−β не збiльшує по-
рядку особливостi функцiї при x = y, то перша група доданкiв у
виразi для v2α(y) набуває вигляду
384 Узагальненi граничнi задачi...
∑
|β|≤|α|
Cαβ
∫
Ω2
Dβϕ(x)(Dx +Dy)
α−β(h1(y, x̂)G0(x, y)) dx ≤
≤ (̺k+2m−|α|(y, x̂) + 1)ϕ2α(y), ϕ̃2α, ϕ2α ∈ C(Ω).
Iнша група доданкiв має оцiнку δ2m−1−tµα(y), µα ∈ C(Ω), t ≤ 2m− 1,
а тому має границею при δ → 0 неперервну функцiю.
Для x ∈ Ω3 пiдiнтегральний вираз в v3α є нескiнченно диференцi-
йовною функцiєю y, тому v3α = ϕ3α ∈ C(Ω).
Зауважимо, що (1 − h1(x, x̂))h1(y, x̂) 6= 0 та (1 − h1(x, x̂))(1 −
h1(y, x̂)) 6= 0 при |x− x̂| > ε
2 , де функцiя ϕ є нескiнченно диференцi-
йовною, а тодi неперервнiсть Dα
y
(
h1(y, x̂)Ĝ0((1 − h1(x, x̂))ϕ(x)
)
(y) та
Dα
y
(
(1− h1(y, x̂))Ĝ0((1− h1(x, x̂))ϕ(x)
)
(y) випливає з вiдомих власти-
востей спряжених операторiв Грiна.
h1(x, x̂)(1−h1(y, x̂)) 6= 0 при |x−x̂| < ε, |y−x̂| ∈ ( ε
2 , ε). При |x−x̂| ∈
( ε
2 , ε) функцiя ϕ(x) є нескiнченно диференцiйовна, а при |x − x̂| <
ε
2 знову розглядаємо випадки x ∈ Ω1, x ∈ Ω2, x ∈ Ω3. Об’єднуючи,
знаходимо
|Dα(Ĝ0ϕ)| ≤
(
̺k+2m−|α|(y, x̂) + 1
)
ϕ2α(y), ϕ2α ∈ C(Ω),
для довiльних α i Ĝ0ϕ ∈ Zk+2m(Ω, S). Для ϕ ∈ Z̃k,l(Ω, S) доведення
аналогiчне.
Розглянемо випадок y ∈ S. Виберемо таку довiльну точку x̂ ∈ S,
щоб h1(y, x̂) 6= 0, i розiб’ємо область Ω на Ω1 = {x ∈ Ω : d(x) <
1
2 |y − x̂| i |x − y| > 1
2 |y − x̂|}, Ω2 = {x ∈ Ω : |x − y| < 1
2 |y − x̂|},
Ω3 = Ω\(Ω1 ∪ Ω2). Вiдповiдно v
(j)
α (y) = Dα
y
(
h1(y, x̂)Ĝjϕ
)
(y) = v
(j)
1α (y)+
v
(j)
2α (y) + v
(j)
3α (y), j = 0,m. Маємо
|v(j)
1α (y)| =
∣∣∣∣∣
∫
Ω1
h1(x, x̂)ϕ(x)Dα
y
(
h1(y, x̂)Gj(x, y)
)
dx
∣∣∣∣∣ ≤
≤ C ′
1αh1(y, x̂)(|y − x̂|mj+(j)−n−|α|(y) + 1)
∫
Ω1
h(x)|ϕ(x)| dx.
Iнтеграл
∫
Ω1
h1(x, x̂)|ϕ(x)| dx оцiнюємо так само, як при y ∈ Ω, i одер-
жуємо:
|v(j)
1α (y)| ≤ (̺k+mj+(j)−|a|(y, x̂) + 1)ϕ
(j)
1α (y, x̂) при ϕ ∈ Z̃k(Ω, S);
|v(j)
1α (y)| ≤ (̺k+l+mj+(j)−|a|(y, x̂) + 1)ϕ
(j)
1α (y, x̂) при ϕ ∈ Z̃k,l(Ω, S),
ϕ
(j)
1α (·, x̂) ∈ C(S).
Г. П. Лопушанська 385
Нехай x ∈ Ω2, Ω2δ = Ω2 \ {x ∈ Ω2 : |x − y| ≤ δ}, S′
δ = {x ∈ Ω2 :
|x−y| = δ}, S′ = {x ∈ S : |x− x̂| ≤ δ}. Тодi v
(j)
2α (y) набуває вигляду (2)
iз замiною iнтегрування по сферi |x− y| = δ iнтегруванням по S′
δ ∪S′
та G0 — на Gj , j = 0,m.
Якщо ϕ ∈ Z̃k(Ω, S), то при x ∈ Ω2
|Dβϕ| ≤ |y − x̂|k−|β|ϕ0(x, x̂), ϕ0(·, x̂) ∈ C(Ω).
Тодi перша група доданкiв у виразi для v
(j)
2α матиме оцiнку
(|y − x̂|k+mj+(j)−|α| + 1)ϕ̃
(j)
2α (y), ϕ̃
(j)
2α ∈ C(Ω).
|(D′)∗q(ϕ(x)νγ(x))| ≤ δk−|q|ϕ0(x, y) на S′
δ ∪ S′,
тому група iнтегралiв по S′
δ∪S′ у виразi для v
(j)
2α є величиною порядку
δp, де p = mj +(j)− t−n+k−|q|+n− 1. Оскiльки |q| ≤ |γ|− t− 2mi,
то p ≥ k +mj + (j) − 2m, p ≥ 0 при k ≥ 2m−mj − (j).
Якщо ϕ ∈ Z̃k,l(Ω, S), то
|Dβϕ(x)| ≤
∑
|γ|≤|β|
dk−|γ|(x)|x− y|l−|β−γ|ϕ0(x, y) ≤ C|x− y|k+l−|β|,
i одержуємо такий самий результат, як для ϕ ∈ Z̃k(Ω, S) при замiнi k
на k + l.
Для x ∈ Ω3 пiдiнтегральний вираз в v
(j)
3α є нескiнченно диферен-
цiйовною функцiєю y, тому v
(j)
3α ∈ C(Ω). У результатi одержуємо
|v(j)
α (y)| ≤
(
̺k+mj+(j)−|α|(y, x̂) + 1
)
ϕ(j)
α (y), ϕα ∈ C(S),
при ϕ ∈ Z̃k(Ω, S), k ≥ 2m−mj − (j), а тодi
Ĝjvh ∈ Zk+mj+(j)(S), j = 0,m;
|v(j)
α (y)| ≤
(
̺k+l+mj+(j)−|α|(y, x̂) + 1
)
ϕ(j)
α (y), ϕ(j)
α ∈ C(S),
при ϕ ∈ Z̃k,l(Ω, S), k + l ≥ 2m−mj − (j), а тодi
Ĝjϕ ∈ Zk+l+mj+(j)(S), j = 0,m.
Лема 4. Для довiльних r ∈ N, q ∈ R, ϕi ∈ Zq−i(S)(Z̃q−i(S)), i =
0, 2m− 1, i довiльної системи граничних диференцiальних операто-
рiв {B̃j(x,
∂
∂x)}2m
j=1 (порядку j−1) на S, що є системою Дiрiхле для A∗,
iснує така функцiя ψ ∈ Zq(Ω, S)(Z̃q(Ω, S)), що B̃jψ
∣∣
S
= ϕj−1, j =
1, 2m, i A∗ψ ∈ Zr,q−2m−r(Ω, S) (Z̃r,q−2m−r(Ω, S)).
386 Узагальненi граничнi задачi...
Доведення. Покриємо поверхню S вiдкритими множинами Vl ⊂ R
n,
l = 1, N , якi називатимемо граничними координатними околами. За-
писуючи Bj у локальнiй розпрямляючiй системi координат гранично-
го координатного околу Vl та застосовуючи їх до функцiї Φ(l), яка в
цiй системi координат має вигляд Φ(l) =
2m+r−j∑
i=0
ξi
nϕ̃
(l)
i (ξ′), за заданими
ϕ
(l)
i , i = 0, 2m− 1, знаходимо ϕ̃
(l)
j ∈ Zq−j(S), j = 0, 2m− 1.
Записуючи в локальнiй розпрямляючiй системi координат гранич-
ного координатного околу Vl оператор A∗ та прирiвнюючи до нуля
коефiцiєнти бiля ξ0n, ξ
1
n, . . . , ξ
r−1
n у виразi
(A∗Φ(l))(ξ) = A∗
(
x,
∂
∂x
)[ p∑
i=0
ξi
nϕ̃
(l)
i (ξ′)
]
,
знаходимо ϕ̃
(l)
2m(ξ′), . . . , ϕ̃(l)
2m+r−1(ξ
′). При цьому ϕ̃
(l)
2m+j , j = 0, r − 1,
виражається через ϕ̃
(l)
i , i=0, 2m− 1, та її похiднi до порядку 2m+j−i.
На пiдставi властивостей Zk(S) одержуємо ϕ̃
(l)
2m+j∈Zq−(2m+j)(S ∩ Vl),
j = 0, r, а тодi ϕ̃
(l)
j ∈ Zq−j(S ∩ Vl), j = 0, 2m+ r − 1.
Iншi доданки у виразi (A∗Φ(l))(ξ) дають ξr
nϕ
(l)(ξ′, ξn). Функцiя
ϕ(l)(ξ′, ξn) виражається через ϕ̃
(l)
i та їх похiднi до порядку 2m+r−i,
i = 0, 2m− 1, тому ϕ(l) ∈ Zq+i−(2m+r−i)(S) = Zq−(2m+r)(S). Отже, в
граничному координатному околi Vl A
∗Φ(l) = ξr
nϕ
(l)(ξ′, ξn), A∗Φ(l) ∈
Zr,q−2m−r(Ω, S) ⊂ Zq−2m(Ω, S).
Використовуючи розклад одиницi, пiдпорядкований покриттю по-
верхнi S системою координатних околiв {Vl}, знаходимо таку функ-
цiю ψ ∈ Zq(Ω, S)∩Zq(S), ψ = Φ(l)(ξ′, ξn) у Vl, що A∗ψ∈Zr,q−2m−r(Ω, S)
⊂ Zq−2m(Ω, S), а B̃jψ
∣∣
S
= ϕj−1, j = 1, 2m.
Нехай Xprq(Ω) = {ψ ∈ Zp0(Ω, S) : A∗ψ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S), T̂jψ ∈
Zpj (S), B̂jψ
∣∣
S
= 0, j = 1,m}, p = (p0, p1, . . . , pm), pj ≥ 0, j = 1,m.
Лема 5. При довiльному цiлому невiд’ємному r,
q ≥ max
(
m′, p0, max
1≤j≤m
(pj −mj − 1 + 2m)
)
, m′ = max
j
ordBj , (3)
простiр Xprq(Ω) непорожний.
Справдi, за лемою 4 для довiльних r ∈ N, q ∈ R, ϕi ∈ Z̃q−i(S),
i = 0, 2m− 1, iснують такi ϕ2m+j ∈ Z̃q−2m−j(S), j = 0, r − 1, ψ ∈
Z̃q(Ω, S) ⊂ Zq(Ω, S), що у локальнiй розпрямляючiй системi коорди-
нат ξ граничного координатного околу точки x̂ ∈ S A∗ψ = ξr
nϕ(ξ′, ξn),
Г. П. Лопушанська 387
ϕ ∈ Z̃q−2m−r(Ω, S) ∩ Z̃q−2m−r(S), а, отже, A∗ψ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S),
T̂jψ
∣∣
S
= ϕq−2m+mj+1 ∈ Z̃q−2m+mj+1(S) ⊂ Zq−2m+mj+1(S), B̂jψ
∣∣
S
=
ϕq−2m+µj+1 ∈ Z̃q−2m+µj+1(S).
Якщо q ≥ p0, то ψ ∈ Zp0(Ω, S); щоб T̂jψ ∈ Zpj (S), потрiбно q −
2m+mj +1 ≥ pj ; B̂jψ
∣∣
S
= 0 можливо при q−2m+µj +1 ≥ 0, j = 1,m.
Вибираючи q так, щоб задовольнялись усi вказанi умови, одержуємо
iснування функцiї ψ ∈ Xprq(Ω).
Лема 6. Нехай r — цiле невiд’ємне число, ε ∈ (0, 1),
q ≥ q1 = max
(
max
1≤j≤m
(4m−mj − 1), p0,
max
1≤j≤m
(pj −mj − 1 + 2m), r + 2m− n+ 1 + ε
)
. (4)
Правильнi тотожностi
Ĝ0(A
∗ψ) = ψ, Ĝj(A
∗ψ) = T̂jψ, ψ ∈ Xprq(Ω), j = 1,m. (5)
Доведення. У [8] виведенi формули (5) для ψ ∈ D(Ω). Нехай ψ̃(·, t) ∈
Xprq(Ω) для довiльних t ∈ S, µ ∈ D(S), ψ(x) =
∫
S ψ̃(x, t)µ(t) dSt.
Функцiя ψ визначена i належить до D(Ω) при q > 1 − n. A∗ψ̃ ∈
Z̃r,q−2m−r(Ω, S), а при q > 2m − n + r + 1 визначено A∗ψ(x) =∫
S A
∗ψ̃(x, t)µ(t) dt, A∗ψ ∈ D(Ω) i, згiдно з [8], Ĝ0(A
∗ ∫
S ψ̃(x, t)µ(t) dt) =∫
S ψ̃(x, t)µ(t) dt, Ĝj(A
∗ ∫
S ψ̃(x, t)µ(t) dt) = T̂j
∫
S ψ̃(x, t)µ(t) dt, j ∈ 1,m.
При q−2m≥ max
0≤j≤m
(2m−mj−(j)) за лемою 3 визначенi Ĝ0(A
∗ψ̃(·, t))
∈ Zq+1−n(Ω, S), Ĝj(A
∗ψ̃(·, t)) ∈ Zq−2m+mj+(j)+1−n(S), j = 1,m, i
Ĝj(
∫
S A
∗ψ̃(x, t)µ(t) dS)=
∫
S Ĝj(A
∗ψ̃(x, t))µ(t) dS, j=0,m. T̂jψ̃∈ Z̃pj (S)
i T̂j
∫
S ψ̃(x, t)µ(t)dS =
∫
S T̂jψ̃(x, t)µ(t)dS, j = 1,m.
З попереднiх рiвностей
∫
S
Ĝ0(A
∗ψ̃(x, t))µ(t)dt =
∫
S
ψ̃(x, t)µ(t)dt,
∫
S
Ĝj(A
∗ψ̃(x, t))µ(t)dt =
∫
S
T̂jψ̃(x, t)µ(t)dt, j = 1,m,
звiдки на пiдставi довiльностi µ маємо Ĝ0(A
∗ψ̃) = ψ̃, Ĝ0(A
∗ψ̃) = T̂jψ̃,
для довiльних t ∈ S ψ̃(·, t) ∈ Xprq(Ω).
Розв’язком задачi (1) при F0 ∈ Z ′
p0
(Ω, S), Fj ∈ Zpj (S), j = 1,m,
називається узагальнена функцiя u ∈ Z̃ ′
r,q−2m−r(Ω, S), яка задоволь-
388 Узагальненi граничнi задачi...
няє тотожнiсть
(A∗ψ, u) = (ψ, F0) +
m∑
j=1
〈T̂jψ, Fj〉, ψ ∈ Xprq(Ω). (6)
Теорема 1. Нехай F0 ∈ Z ′
p0
(Ω, S), Fj ∈ Z ′
pj
(S), pj ≥ 0, j = 1,m, r —
цiле невiд’ємне число, q ≥ q1, q1 визначається формулою (4). Iснує
єдиний розв’язок u ∈ Z̃ ′
r,q−2m−r(Ω, S) задачi (1). Вiн визначається
формулою
(ϕ, u) = (Ĝ0ϕ, F0) +
m∑
j=1
〈Ĝjϕ, Fj〉, ϕ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S). (7)
Розглянемо вiдображення (F0, F1, . . . , Fm) → u, здiйснюване фор-
мулою (7).
Якщо ϕ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S), то за лемою 3 Ĝ0ϕ ∈ Zq(Ω, S), а при
q − 2m ≥ 2m−mj − 1 також Ĝjϕ ∈ Zq−2m+mj+(j)(S), j = 1,m, Ĝ0ϕ ∈
Zp0(S), якщо q ≥ p0, Ĝjϕ ⊂ Zpj (S), якщо q ≥ pj + 2m −mj − 1, j =
1,m. Тому формулою (7) для довiльних F0 ∈ Z ′
p0
(Ω, S), Fj ∈ Z ′
pj
(S),
j = 1,m, при довiльному цiлому невiд’ємному r та q ≥ q1 визначена
u ∈ Z̃ ′
r,q−2m−r(Ω, S).
Нехай тепер ψ ∈ Xprq(Ω). Тодi A∗ψ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S) i за лемами 3
та 7 Ĝ0(A
∗ψ) = ψ ∈ Zp0(Ω, S), Ĝj(A
∗ψ) = T̂jψ ∈ Zpj (S), j = 1,m. Пiд-
ставляючи у (7) ϕ = A∗ψ, одержуємо тотожнiсть (6) для довiльної
ψ ∈ Xprq(Ω).
Якщо u1, u2 — два розв’язки задачi (1), то з (6) маємо (A∗ψ, u1 −
u2) = 0 для довiльної ψ ∈ Xprq(Ω). Розглянемо допомiжну задачу
A∗ψ = ϕ ∈ Z̃r,q−2m−r(Ω, S), B̂jψ
∣∣
S
= 0, T̂jψ ∈ Zpj (S), j = 1,m.
Для її розв’язностi необхiдно й досить, щоб
∫
Ω ϕu
0 dx = 0, u0 ∈
N . Тому при N = {0} маємо (ϕ, u1 − u2) = 0 для довiльної ϕ ∈
Z̃r,q−2m−r(Ω, S), тобто u1 = u2 у Z̃ ′
r,q−2m−r(Ω, S).
Нехай p = (p1, . . . , pm), pj ≥ 0, j = 1,m,
Xk,p(Ω) =
{
ψ ∈ Zk+2m(Ω, S) : A∗ψ ∈ Z̃k(Ω, S), T̂jψ ∈ Zpj (S),
B̂jϕ
∣∣
S
= 0, j = 1,m
}
.
Якщо ψ ∈ Xprq(Ω), то при r = 0, q = 2m + k = p0 також ψ ∈
Xk,p(Ω). З попереднiх зауважень випливає, що при
k ≥ max
(
max
1≤j≤m
(pj −mj − 1), max
1≤j≤m
(2m−mj − 1)
)
(8)
Г. П. Лопушанська 389
простiр Xk,p(Ω) непорожний i правильнi формули (5) для ψ∈Xk,p(Ω).
Далi припускаємо, що k задовольняє (8) та вводимо
M̃k(Ω) =
{
u : ‖u‖k = max
x̂∈S
∫
Ω
̺k(x, x̂)|u(x)| dx <∞
}
;
M̃k,C(Ω) = {u ∈ M̃k(Ω) : ‖u‖k ≤ C}.
Нехай Fj ∈ Z ′
pj
(S), j = 1,m, f(x, u) визначена для x ∈ Ω,
u ∈ (−∞,∞) i
∫
Ω
|ψ(x)f(x, u)| dx <∞, ψ ∈ Xk,p(Ω), u ∈ M̃k(Ω). (9)
Розв’язком задачi
A(x,D)u = f(x, u), x ∈ Ω, Bju
∣∣
S
= Fj , j = 1,m (10)
називається така u ∈ M̃k(Ω), що
∫
Ω
A∗ψudx =
∫
Ω
ψf dx+
m∑
j=1
〈T̂jψ, Fj〉, ψ ∈ Xk,p(Ω). (11)
Використовуючи (11) та формули (5), можна довести, що задача
(10) еквiвалентна iнтегральному рiвнянню
u(x) −
∫
Ω
G0(x, y)f(y, u(y)) dy =
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj〉, u ∈ M̃k(Ω). (12)
Розглянемо оператори
(K1u)(x) =
∫
Ω
G0(x, y)f(y, u(y)) dy,
(Ku)(x) = (K1u)(x) +
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj〉,
x ∈ Ω, u ∈ M̃k(Ω).
За лемою 3
∫
Ω
̺k(x, x̂)|G0(x, y)| dx ≤ (̺k+2m(y, x̂) + 1)ϕ0(y, x̂), ϕ(·, x̂) ∈ C(Ω).
Тому за теоремою Фубiнi при x̂ ∈ S
390 Узагальненi граничнi задачi...
∫
Ω
̺k(x, x̂)
∣∣∣∣∣
∫
Ω
G0(x, y)f(y, u(y)) dy
∣∣∣∣∣ dx ≤
≤
∫
Ω
(∫
Ω
̺k(x, x̂)|G0(x, y)| dx
)
|f(y, u(y))| dy ≤
≤ max
x̂∈S
∫
Ω
|f(y, u(y))| dy <∞.
Якщо оператор-функцiя fu = f(·, u(·)) : M̃k(Ω) → L1(Ω), то оператор
K1 дiє з M̃k(Ω) в M̃k(Ω). Оскiльки також
∫
Ω
̺k(x, x̂)|G0(x, y)| dx ≤ ̺k
1L0,
де ̺1 = max
x∈Ω,x̂∈S
̺(x, x̂), L0 = max
y∈Ω
∫
Ω |G0(x, y)| dx, то за умови iснуван-
ня такої додатної сталої C0, що
2̺k
1L0
∫
Ω
|f(y, u(y))| dy ≤ C, u ∈ M̃k,C(Ω), C > C0, (13)
K1 : M̃k,C(Ω) → M̃k,C(Ω).
За лемою 2 iснують такi натуральнi числа Nj , fj ∈ L2(S), що
∫
Ω
̺k(x, x̂)|〈Gj(x, y), Fj〉| dS =
=
∫
Ω
̺k(x, x̂)
∣∣∣∣∣
∫
S
(1 − ∆S)
Nj
2
y Gj(x, y)fj(y) dS
∣∣∣∣∣ dx ≤
≤
∫
S
(∫
Ω
̺k(x, x̂)|(1 − ∆S)
Nj
2
y Gj(x, y)| dx
)
fj(y) dS;
∫
Ω
̺k(x, x̂)
∣∣(1 − ∆S)
Nj
2
y Gj(x, y)
∣∣ dx ≤ c(1 + ̺mj+1+k−Nj (y, x̂))
при k ≥ 2m− 1−mj , ̺
mj+1+k−Nj (y, x̂) ∈ L2(S) при k > Nj − 1−mj +
1−n
2 , що є при k > pj −mj −1. Отож, якщо k задовольняє (8), то iснує
така додатна стала C1, що
m∑
j=1
∫
Ω
̺k(x, x̂)|〈Gj(x, y), Fj〉| dS ≤ C1,
Г. П. Лопушанська 391
x̂ ∈ S. Вибираючи C > max(C0,
C1
4 ), за умов (8) та (13) одержуємо,
що K : M̃k,C(Ω) → M̃k,C(Ω).
∫
Ω
|̺k(x+ z, x̂)(K1u)(x+ z) − ̺k(x, x̂)(K1u)(x)| ≤
≤
n∑
l=1
∫
Ω
(∫
Ω
∣∣∣∣∣
1∫
0
∂
∂xl
(̺k(x+αz, x̂)G0(x+αz, y))dα
∣∣∣∣∣dx
)
|f(y, u(y))| dy |zl|≤
≤ c
n∑
l=1
∫
Ω
(
̺k+2m−1(y, x̂) + 1
)
|f(y, u(y))| dy |zl|;
∫
Ω
∣∣̺k(x+ z, x̂)〈Gj(x+ z, y), Fj〉 − ̺k(x, x̂)〈Gj(x, y), Fj〉
∣∣ dx =
=
∫
Ω
∣∣〈̺k(x+ z, x̂)Gj(x+ z, y) − ̺k(x, x̂)Gj(x, y), Fj〉
∣∣ dx ≤
≤
∫
Ω
n∑
l=1
∣∣∣∣∣
〈 1∫
0
∂
∂xl
(̺k(x+ αz, x̂)Gj(x+ αz, y)) dα, Fj
〉∣∣∣∣∣ dx |zl|.
Знову використовуючи лему 2, доводимо обмеженiсть деякою ста-
лою C ′ > 0 останнього виразу при z ∈ Ω, |z| ≤ δ та k ≥ pj −mj − 1.
Отож, якщо k задовольняє (8), а функцiя f — умову (13), то
max
x̂∈S
∫
Ω
|̺k(x+ z)(Ku)(x+ z, x̂) − ̺k(x, x̂)(Ku)(x)| ≤ (C ′ + C ′′)δ
при z ∈ Ω, |z| ≤ δ. За теоремою Рiса [9] оператор K — компактний в
M̃k(Ω).
Для u1, u2 ∈ M̃k(Ω)
‖Ku1 −Ku2‖′k = max
x̂∈S
∫
Ω
̺k(x, x̂)|(Ku1)(x) − (Ku2)(x)| dx =
= max
x̂∈S
∫
Ω
̺k(x, x̂)
∣∣∣∣∣
∫
Ω
G0(x, y)[f(y, u1(y)) − f(y, u2(y))] dy
∣∣∣∣∣dx ≤
≤ Lmax
x̂∈S
∫
Ω
(̺k+2m(y, x̂) + 1)|f(y, u1(y)) − f(y, u2(y))| dy.
392 Узагальненi граничнi задачi...
Якщо iснують такi додатнi сталi L1, C0, α, що
∫
Ω
|f(y, u1(y)) − f(y, u2(y))| dy ≤ L1‖u1 − u2‖α
k ,
u1, u2 ∈ M̃k,C(Ω), C > C0, (14)
то ‖Ku1 −Ku2‖k ≤ LL1(̺
k+2m
1 + 1)‖u1 − u2‖α
k , а тодi K — неперервне
вiдображення M̃k,C(Ω) в себе.
За теоремою Шаудера [10] одержуємо такий результат.
Теорема 2. Нехай Fj ∈ Z ′
pj
(S), j = 1,m, число k задовольняє (8),
функцiя f(x, u) визначена для x ∈ Ω, u ∈ (−∞,∞), задовольняє умо-
ви (9), (14). Iснує розв’язок u ∈ M̃k(Ω) задачi (10).
З’ясуємо, коли цей розв’язок належить до C2m(Ω). Нехай Ω′ —
внутрiшня пiдобласть областi Ω. Оскiльки
u(x) =
∫
Ω′
G0(x, y)f
(
y, u(y)
)
dy + g1(x, u(x)), x ∈ Ω′,
де
g1(·, u) =
∫
Ω\Ω′
G0(·, y)f
(
y, u(y)
)
dy +
m∑
j=1
< Gj(·, y), Fj >∈ C∞(Ω′)
для довiльної u ∈ M̃k(Ω), то правильна
Теорема 3. Якщо виконанi умови теореми 2 i, крiм того, для до-
вiльної Ω′ (Ω′ ⊂ Ω)
∫
Ω′ |x− y|2m−n|f(y, u)| dy <∞, x ∈ Ω′, u ∈ L1(Ω
′),
fyl
u = fyl
(·, u) : u ∈ C2m−1(Ω′) → C(Ω′), l = 1, . . . , n, то iснує розв’я-
зок u ∈ M̃k(Ω) ∩ C2m(Ω) задачi (10).
Зокрема додатковi умови теореми 3 виконуються, якщо функцiї
f(x, u) та fxl
(x, u), l = 1, . . . , n, неперервнi при x ∈ Ω′, u ∈ (−∞,+∞),
функцiя f(x, u) при всiх u ∈ (∞,+∞) вимiрна за x в Ω′ i має оцiнку
[11, с. 375]: |f(x, u)| ≤ a(x) + b|u|q, x ∈ Ω′, u ∈ (−∞,+∞), де a ∈
Lq(Ω
′), b = Const, q < 2m
n .
Приклад 1. Розглянемо узагальнену задачу Дiрiхле (Fj ∈ Z ′
pj
(S),
j = 1,m) для рiвняння
∆2mu = |u|q. (15)
Г. П. Лопушанська 393
Умови теореми 2 набувають вигляду: iснують такi додатнi сталi C0,
L1, що для довiльних сталої C > C0, u, u1, u2 ∈ M̃k,C(Ω)
2̺k
1L0
∫
Ω
|u|q dy ≤ C,
∫
Ω
∣∣|u1|q − |u2|q
∣∣ dy ≤ L1‖u1 − u2‖q
k,
k ≥ max(2m− 1, max
1≤j≤m
(pj − j − 1)),
де ̺1 = max
x∈Ω,x̂∈S
̺(x, x̂), L0 = max
y∈Ω
∫
Ω |G0(x, y)| dy, i виконуються при
q ∈ (0, n
k+n).
З теореми 2 випливає iснування розв’язку u ∈ M̃k(Ω) узагальне-
ної задачi Дiрiхле для рiвняння (15) при таких k та q. Зауважимо,
що функцiя u, для якої |u|q−1 ≤ L1̺
k(y, x̂), y ∈ Ω, x̂ ∈ S, також за-
довольняє умови теореми 2. Звiдси одержуємо iснування розв’язку
u = O(̺l(·, x̂)) при ̺(x, x̂) → 0, x̂ ∈ S, де l ∈ (max{−k − n,−n
q }, −k
1−q ].
З теореми 3 випливає, що u ∈ C2m(Ω) при q ∈ (0,min[ n
k+n ,
2m
n ]).
Лiтература
[1] Ю. М. Березанский, С. Г. Крейн, Я. А. Ройтберг, Теорема о гомеоморфизмах
и локальное повышение гладкости вплоть до границы решений эллиптиче-
ских уравнений // Докл. АН СССР, 148 (1963), N 4, 745–748.
[2] С. Г. Крейн, А. С. Симонов, Теорема о гомеоморфизмах и квазилинейные
уравнения // Докл. АН СССР, 167 (1966), N 6, 1226–1229.
[3] L. Veron, The boundary traces of positive solutions of some nonlinear elliptic
equations // Book of Abstr. of Int. conf. “Nonlinear partial diff. equat”. Donetsk,
1997, p. 169.
[4] Ю. П. Красовский, Свойства функций Грина и обобщенные решения эллип-
тических граничных задач // Изв. АН СССР, 33 (1969), N 1, 109–137.
[5] H. P. Lopushanska, Generalized solutions of elliptic boundary value problems with
strong power singularities // Nonlinear boundary value problems, 9 (1999), 55–59.
[6] В. С. Владимиров, Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981,
512 с.
[7] Г. С. Гупало, Оцiнки фундаментального розв’язку рiвняння (1 − ∆S)
k
2 u =
f // Вiсник Львiв. ун-ту. Cер. фiз., хiм. i мех.-мат., (1968), 178–182.
[8] А.-В. С. Гупало, Г. П. Лопушанская, Об одном представлении решения обоб-
щенной эллиптической граничной задачи // Дифф. уравн., 23 (1087), N 3,
518–521.
[9] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального анализа. М.:
Наука, 1965, 520 с.
[10] Р. Эдвардс, Функциональный анализ (Теория и приложения). М.: Мир, 1969.
[11] П. П. Забрейко и др., Интегральные уравнения. М: Наука, 1968, 448 с.
394 Узагальненi граничнi задачi...
Вiдомостi про авторiв
Галина Петрiвна
Лопушанська
Львiвський державний унiверситет
iменi Iвана Франка,
вул. Унiверситетська 1,
79001, Львiв,
Україна
E-Mail: gp_lopushanska@franko.lviv.ua,
lhp@ukr.net
|