О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области
Устанавливается бесконечная дифференцируемость решения в областях, допускающих отражение на все пространство.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124600 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области / Р. Джафаров // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 482-489. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124600 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246002017-09-30T03:04:12Z О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области Джафаров, Р. Устанавливается бесконечная дифференцируемость решения в областях, допускающих отражение на все пространство. 2005 Article О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области / Р. Джафаров // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 482-489. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1810-3200 2001 MSC. 35G15. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124600 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Устанавливается бесконечная дифференцируемость решения в областях, допускающих отражение на все пространство. |
| format |
Article |
| author |
Джафаров, Р. |
| spellingShingle |
Джафаров, Р. О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области Український математичний вісник |
| author_facet |
Джафаров, Р. |
| author_sort |
Джафаров, Р. |
| title |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| title_short |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| title_full |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| title_fullStr |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| title_full_unstemmed |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| title_sort |
о бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124600 |
| citation_txt |
О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области / Р. Джафаров // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 482-489. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT džafarovr obeskonečnojdifferenciruemostirešenijodnojkraevojzadačidlâpoligarmoničeskogouravneniâvuglovojoblasti |
| first_indexed |
2025-07-09T01:41:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:41:52Z |
| _version_ |
1837131698000625664 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 4, 482 – 489
О бесконечной дифференцируемости решений
одной краевой задачи для полигармонического
уравнения в угловой области
Рамзет Джафаров
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Устанавливается бесконечная дифференцируемость
решения в областях, допускающих отражение на все пространство.
2001 MSC. 35G15.
Ключевые слова и фразы. Функция Грина, бесконечная диффе-
ренцируемость.
1. Введение
Хорошо известно, что наличие сингулярной точки на границе
области, в которой рассматривается задача, существенно ухудшает
дифференциальные свойства решения. Рассматривая уравнение Лап-
ласа, Е. А. Волков в [1] показал, что если величина угла сектора равна
π
m , m = 1, 2, . . . , то решение задачи Дирихле, с нулевыми гранич-
ными значениями на сторонах угла, будет принадлежать классу C∞.
При ненулевых граничных значениях, согласованных соответствую-
щим образом в угловой точке, гладкость решения будет определяться
гладкостью граничных функций.
Этот результат обобщен А. Аззамом [7] в случае следующего урав-
нения
∆u+ a(x)ux + b(x)uy + c(x)u = f.
В работе [3] рассматривалась задача Дирихле для бигармонического
уравнения с нулевыми граничными значениями на некотором участке
границы, прилегающем к угловой точке. Было доказано, что углов,
при которых решение этой задачи является бесконечно дифференци-
руемым, не существует, кроме угла π.
Статья поступила в редакцию 30.05.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Р. Джафаров 483
В плоском угле Ω будем рассматривать задачу
∆nu = f, x ∈ Ω, (1)
u = 0,
∂2iu
∂ν2i
= 0, i = 1, n− 1, x ∈ ∂Ω \ {0}, (2)
где ν — вектор нормали.
При n = 2 эта задача носит название задачи о свободно опертой
пластинке.
Используя метод построения функции Грина, развитый в [4–6],
мы покажем, что в углах π
m , m = 2, 3, . . . , эта задача имеет бесконе-
чно дифференцируемое решение, если f ∈ C∞
0 .
Будем предполагать, что решение обращается в нуль вне BR1 —
круга радиуса R1 с центром в начале координат.
Будем обозначать через CN (Ω) пространство функций непрерыв-
но дифференцируемыхN раз включительно в Ω; пространсто Гельде-
ра CN+γ(Ω) определяется как подпространство CN (Ω), состоящее из
функций, производные которых порядка N равномерно непрерывны
по Гельдеру с показателем γ ∈ (0, 1) на Ω.
2. Результат, его доказательство
Предположим, что вершина угла находится в начале координат,
стороны его совпадают с осью абсцисс и с прямой x2 = x1 tanαπ, а
сам угол расположен в положительном квадранте, т. е. α ≤ 1
2 .
Теорема 1. Пусть f ∈ C∞
0 (Ω
⋂
BR1), α = 1
m , m = 2, 3, . . . . Тогда
решение задачи (1), (2) u принадлежит C∞(Ω′), где Ω′ = Ω
⋂
BR
(BR — круг радиуса R > R1 с центром в начале координат). Кроме
того, справедлива оценка
‖u‖CN+2n−1+γ(Ω′) ≤ C ‖f‖CN+γ(Ω′),
где N — произвольное натуральное число, а C — константа, не за-
висящая от u.
Доказательство. Построим вначале функцию Грина задачи (1), (2).
В работах [4–6] предложен метод построения функции Грина для ци-
клически чередующихся в процессе отражений областей. Угол вели-
чины π
m является примером такой области. Если этот угол отложить,
к примеру, 2m + 1 раз, то угол, заключенный между лучами 2π и
2π + π
m совпадет с исходным углом. Этого же можно добиться с по-
мощью отражений.
484 О гладкости решений одной краевой задачи...
Фундаментальное решение полигармонического оператора, при-
веденное в [2], имеет вид
Γn(x, ξ) = Cn|x− ξ|2n−2 ln |x− ξ|.
Индекс n в Γn будем в дальнейшем опускать. При α = 1
2m , m =
1, 2, . . . функция Грина будет иметь такой вид
G(x, ξ) =
4m−1∑
i=0
(−1)iΓ(x, ξi),
ξi =
(
ρ,
π
2m
[
i+
1 − (−1)i
2
]
+ (−1)iφ0
)
,
где (ρ, φ0) — полярные координаты точки ξ = ξ0.
Вид оператора, определяющего функцию Грина, совпадает с опе-
ратором-эффектом (в терминологии [4]) задачи Дирихле для уравне-
ния Лапласа.
Покажем, что эта функция удовлетворяет граничным условиям
(2).
Точки ξi и ξ4m−1−i, i = 0, 2m− 1 являются сопряженными (зер-
кально отраженными) точками относительно оси x2 = 0. Поэтому
Γ(x, ξi) = Γ(x, ξ4m−1−i), при x2 = 0. i и 4m − 1 − i имеют различ-
ную четность и потому входят в сумму, опеределяющую G(x, ξ), с
разными знаками. Так,
G(x, ξ) = 0 на x2 = 0.
Точки ξi+1 и ξ4m−i mod 4m, i = 0, 2m− 1 (где p mod q — остаток от
деления p на q) сопряжены относительно x2 = x1 tan π
2m и потому
G(x, ξ) = 0 на x2 = x1 tan
π
2m
.
Условие
∂2iG
∂ν2i
= 0, i = 1, n− 1
на сторонах угла проверяется аналогично. Для этого надо заметить,
что
△i(rp ln r) = Air
p−2i ln r +Bir
p−2i,
где Ai, Bi определяются следующими рекуррентными соотношения-
ми:
A1 = p2, B1 = 2p,
Ai+1 = (p− 2i)Ai,
Р. Джафаров 485
Bi+1 = 2(p− 2i)Ai + (p− 2i)2Bi.
Заметим также, что производные по касательным к сторонам угла
направлениям равны нулю и потому ∂2iG
∂ν2i = △iG.
Далее, проводя те же рассуждения, что и при доказательстве условия
G(x, ξ) = 0, получим, что ∂2iG
∂ν2i = 0 на обеих сторонах угла.
При α = 1
2m+1 , m = 1, 2, . . . разрежем две плоскости по лучу 2π
и склеим их так, что луч 2π одной из них совпадет с нулевым лучем
другой.
Функция Грина в этом случае
G(x, ξ) =
2m+1∑
i=0
(−1)i[Γ(x, ξi) − Γ(x, ξ̃i)],
где
ξi =
(
ρ,
2π
2m+ 1
[
i+
1 − (−1)i
2
]
+ (−1)iφ0
)
,
ξ̃i =
(
ρ, 4π +
2π
2m+ 1
[
1 − i− 1 − (−1)i
2
]
− (−1)iφ0
)
, i = 0, 2m+ 1.
Проверка граничных условий в этом случае такая же, как и для угла
π
2m .
Непосредственно из формулы Грина для полигармонического опе-
ратора и определения фундаментального решения следует интеграль-
ное представление функции класса C2n в области Ω′,
u(ξ) =
∫
Ω′
G(x, ξ)∆nu(x) dx−
−
n−1∑
i=0
∫
S
△iG(x, ξ) · ∂
∂ν
∆n−i−1u(x) dS+
+
n−1∑
i=0
∫
S
∂
∂ν
△iG(x, ξ) · ∆n−i−1u(x) dS,
где S — граница области Ω′. Поэтому, в наших предположениях, по-
скольку на той части границы S, что образована дугой окружности
радиуса R, u обращается в нуль, решение задачи (1)-(2) представля-
ется следующим образом
u(ξ) =
∫
Ω′
G(x, ξ)f(x)dx.
486 О гладкости решений одной краевой задачи...
Продолжим f нулем на всю плоскость. Рассмотрим, например, про-
изводную ∂u(ξ)
∂ξ1
. Так как G зависит от разности своих аргументов, то,
не вводя новых обозначений, будем писать G(x1 − ξ1, x2 − ξ2):
∂u(ξ)
∂ξ1
=
∫
Ω′
∂G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂ξ1
f(x) dx =
=
∫
R2
∂G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂ξ1
f(x) dx =
= −
∫
R2
∂G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂(x− ξ1)
f(x) dx.
Сделаем замену y = x1 − ξ1 и проинтегрируем по частям
∫
R2
∂G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂(x1 − ξ1)
f(x) dx1 dx2 =
=
∫
R2
∂G(y, x2 − ξ2)
∂y
f(y + ξ1, x2) dy dx2 =
= −
∫
R2
G(y, x2 − ξ2)
∂f(y + ξ1, x2)
∂y
dy dx2.
Сделав обратную замену, получим
∂u(ξ)
∂ξ1
=
∫
R2
G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂f(x)
∂x1
dx.
Аналогично выражается производная ∂u(ξ)
∂ξ2
. Тогда производная s-го
порядка
∂su(ξ)
∂ξs11 ξ
s2
2
=
∫
R2
G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂sf(x)
∂xs11 x
s2
2
dx. (3)
Непосредственно из вида функции G следует оценка в ограниченной
области ∣∣∣
∂sG(ξ, x)
∂ξs11 ξ
s2
2
∣∣∣ ≤ C | x− ξ |2n−2−s . (4)
Покажем, как гельдерова полунорма u может быть выражена через
гельдерову полунорму f :
∂su(ξ)
∂ξ
s1
1 ξ
s2
2
− ∂su(ξ′)
∂ξ
s1
1 ξ
s2
2
|ξ − ξ′| =
1
|ξ − ξ′|γ
( ∫
R2
∂sG(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
∂ξs11 ∂ξ
s2
2
f(x) dx1 dx2−
Р. Джафаров 487
−
∫
R2
∂sG(x1 − ξ′1, x2 − ξ′2)
∂ξs11 ∂ξ
s2
2
f(x) dx1 dx2
)
.
Сделаем в интегралах замены: y = x1 − ξ1 и z = x2 − ξ2 в первом;
y = x1 − ξ1
′ и z = x2 − ξ2
′ во втором. После этого воспользуемся ин-
тегрированием по частям и проведем обратные замены переменных:
∂su(ξ)
∂ξ
s1
1 ξ
s2
2
− ∂su(ξ′)
∂ξ
s1
1 ξ
s2
2
|ξ − ξ′| =
1
|ξ − ξ′|γ
(
(−1)s
∫
R2
∂sG(y, z)
∂ys1∂zs2
f(y+ξ1, z+ξ2) dy dz−
− (−1)s
∫
R2
∂sG(y, z)
∂ys1∂zs2
f(y + ξ1
′, z + ξ2
′) dy dz
)
=
=
1
|ξ − ξ′|γ
∫
R2
G(x1 − ξ1, x2 − ξ2)
[ ∂s
∂xs11 ∂x
s2
2
f(x1, x2)−
− ∂s
∂xs11 ∂x
s2
2
f(x1 + ξ1
′ − ξ1, x2 + ξ2
′ − ξ2)
]
dx1 dx2. (5)
Теперь из (3),(4),(5) вытекает
‖u‖CN+2n−1+γ(Ω′) ≤ C ‖f‖CN+γ(Ω′),
откуда, в силу произвольности N следует утверждение теоремы.
Заметим, что для углов p
qπ, где p
q — несократимая дробь, функция
Грина для задачи (1)–(2) также может быть построена. Для этого
построения необходимо использовать 2p-листную риманову поверх-
ность.
В области Ω ⊂ R
3, образованной пересечением двух шаров B− и
B+
x2
1 + x2
2 + (x3 − α−)2 ≤ a− и x2
1 + x2
2 + (x3 − α+)2 ≤ a+,
рассмотрим задачу
∆u = f, x ∈ Ω,
u = 0, x ∈ ∂Ω.
Предположим, что сферы Ḃ− и Ḃ+ пересекаются под углом π
m , m =
2, 3 . . . . Случай касания исключим из рассмотрения.
Функция Грина в этом случае построена в работе [4].
G(x, ξ) = Γ(x, ξ) +
−1∑
s=−m
(AB)sΓ(x, ξs) +
m∑
s=1
(AB)sΓ(x, ξs),
488 О гладкости решений одной краевой задачи...
где Γ(x, ξ) — фундаментальное решение оператора Лапласа;
(AB)s =
bs∏
k=1
ℵ
ξ1−2k−
1+(−1)s
2
ℵ
ξ2k−
1−(−1)s
2
[ℵξs ]as−bs , при (−1)s+1s < 0;
(AB)s =
as∏
k=1
ℵ
ξ2k−
1−(−1)s
2
ℵ
ξ1−2k−
1+(−1)s
2
[ℵξs ]bs−as , при (−1)s+1s > 0;
as =
1
2
{|s| − 1
2
[1 − (−1)s] sign s};
bs =
1
2
{|s| + 1
2
[1 − (−1)s] sign s};
ξs — суперпозиция s чередующихся инверсий относительно сфер Ḃ−
и Ḃ+, причем, если s < 0, то первая инверсия в суперпозиции ото-
бражений относительно сферы Ḃ−, если s > 0, то первая инверсия
относительно сферы Ḃ+:
ℵξ−s = − a−√
S−(ξs−1)
, s > 0;
ℵξs = − a+√
S+(ξ−s+1)
, s < 0;
S±(x) = x2
1 + x2
2 + (x3 − α±)2.
По той же схеме, что и при доказательстве теоремы 1, получим
Теорема 2. Пусть f ∈ C∞
0 (Ω). Тогда u ∈ C∞(Ω) и справедлива
оценка
‖u‖CN+1+γ(Ω) ≤ C ‖f‖CN+γ(Ω),
где N — произвольное натуральное число.
Замечание 1. Хотя для углов p
qπ или в случае пересечения сфер под
углом p
qπ, где p
q — несократимая дробь, функция Грина может быть
построена, однако результат о регулярности решения, как в теоремах
1 и 2, мы доказать не можем.
Литература
[1] Е. А. Волков, О дифференциальных свойствах решений краевых задач для
уравнения Лапласа на многоугольниках // Труды математического института
им. Стеклова. 77 (1965), 113–142.
[2] И. М. Гельфанд, И. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними.
Вып. 1. М., Изд. физ.-мат. лит., 1958, 439 с.
Р. Джафаров 489
[3] В. А. Кондратьев, Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с
коническими или угловыми точками // Труды Московского математического
общества. 16 (1967), 219–292.
[4] А. Ф. Шестопал, Метод разложения по фундаментальным решениям в при-
менении к задачам математической физики. Дис. доктора физ.-мат. наук.
Киев, 1969, 394 с.
[5] А. Ф. Шестопал, Разложения по фундаментальным решениям эллиптиче-
ских операторов. Киев, “Наукова думка”, 1968, 206 с.
[6] А. Ф. Шестопал, Применение метода отражений к некоторым бигармониче-
ским задачам // Украинский математический журнал. 13 (1961), No 1, 80–90.
[7] A. Azzam, On Differentiability Properties of Solutions of Elliptic Differential
Equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 75 (1980), 431–
440.
Сведения об авторах
Рамзет Джафаров Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Р. Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: dzhafarov@ukr.net
|