Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва
Отриманi умови еквiвалентностi в просторах аналiтичних функцiй двох рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва, а також двох операторiв, якi є правими оберненими до рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва....
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Series: | Український математичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124601 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124601 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246012017-09-30T03:04:04Z Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва Звоздецький, Т.І. Отриманi умови еквiвалентностi в просторах аналiтичних функцiй двох рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва, а також двох операторiв, якi є правими оберненими до рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва. 2005 Article Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 47B38. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124601 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отриманi умови еквiвалентностi в просторах аналiтичних функцiй двох рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва, а також двох операторiв, якi є правими оберненими до рiзних операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва. |
| format |
Article |
| author |
Звоздецький, Т.І. |
| spellingShingle |
Звоздецький, Т.І. Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва Український математичний вісник |
| author_facet |
Звоздецький, Т.І. |
| author_sort |
Звоздецький, Т.І. |
| title |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва |
| title_short |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва |
| title_full |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва |
| title_fullStr |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва |
| title_full_unstemmed |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва |
| title_sort |
про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням гельфонда--леонтьєва |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124601 |
| citation_txt |
Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій деяких операторів, пов'язаних з узагальненим інтегруванням та диференціюванням Гельфонда--Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 490-501. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zvozdecʹkijtí proekvívalentnístʹuprostorahanalítičnihfunkcíjdeâkihoperatorívpovâzanihzuzagalʹnenimíntegruvannâmtadiferencíûvannâmgelʹfondaleontʹêva |
| first_indexed |
2025-07-09T01:42:00Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:42:00Z |
| _version_ |
1837131705311297536 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 4, 490 – 501
Про еквiвалентнiсть у просторах аналiтичних
функцiй деяких операторiв, пов’язаних з
узагальненим iнтегруванням та
диференцiюванням Гельфонда–Леонтьєва
Тарас I. Звоздецький
(Представлена М. Л. Горбачуком)
Анотацiя. Отриманi умови еквiвалентностi в просторах аналiтич-
них функцiй двох рiзних операторiв узагальненого диференцiюван-
ня Гельфонда–Леонтьєва, а також двох операторiв, якi є правими
оберненими до рiзних операторiв узагальненого диференцiювання
Гельфонда–Леонтьєва.
2000 MSC. 47B38.
Ключовi слова та фрази. Простiр аналiтичних функцiй, еквiва-
лентнiсть, узагальнене диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва, уза-
гальнене iнтегрування Гельфонда–Леонтьєва.
1. Нехай G — область комплексної площини. Через H(G) позна-
чимо простiр усiх аналiтичних в областi G функцiй, надiлений топо-
логiєю компактної збiжностi, а символом L(H(G)) — множину всiх
лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторi H(G). Нехай
H′(G) — сукупнiсть усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв на H(G).
Нагадаємо, що коли G1 i G2 — областi в C, то оператор A ∈
L(H(G1)) називається еквiвалентним до оператора B ∈ L(H(G2)),
якщо iснує такий iзоморфiзм T : H(G1) → H(G2), для якого TA =
BT . У данiй роботi розглядаються двi задачi про встановлення умов
еквiвалентностi операторiв, якi пов’язанi з рiзними операторами уза-
гальненого iнтегрування чи диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва
i дiють у рiзних просторах аналiтичних функцiй.
Нехай для i = 1, 2 область Gi — зiркова вiдносно точки ai ∈ C,
а (Iif)(z) =
∫ z
ai
f(t)dt, f ∈ H(Gi). В [1] було доведено, що I1 та
I2 еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли G1 − a1 = G2 − a2. Там же
було отримано, що коли Gi — однозв’язна область в C, (Dif)(z) =
f ′(z), f ∈ H(Gi) (i = 1, 2), то оператор D1 в H(G1) еквiвалентний
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Т. I. Звоздецький 491
до D2 в H(G2) тодi i лише тодi, коли iснує таке a ∈ C, що G2 + a =
G1. У випадку, коли Gi — зiркова вiдносно нуля область, (If)(z) =∫ z
0 f(t)dt, f ∈ H(Gi), Li ∈ H′(Gi) (i = 1, 2), у [2] встановленi деякi
необхiднi умови еквiвалентностi операторiв I +L1 в H(G1) та I +L2
в H(G2), а також висловлено припущення, що для еквiвалентностi
цих операторiв необхiдно i досить, щоб при деякому a ∈ G1 областi
G1 i G2 були пов’язанi рiвнiстю G2 +a = G1, а функцiонали L1 i L2 —
спiввiдношенням L1(f) =
∫ 0
a f(t) dt+ L2(f(z + a)), f ∈ H(G1).
Для довiльних сталих ̺ > 0 i µ ∈ C (Re µ > 0) через E̺(z;µ)
позначатимемо функцiю Мiттаґ–Лефлера, яка визначається рiвнiстю
E̺(z;µ) =
∞∑
k=0
zk
Γ(k̺ + µ)
, z ∈ C,
через I̺,µ — оператор узагальненого iнтегрування Гельфонда–Леон-
тьєва [3], який лiнiйно й неперервно дiє в H(G) (G — зiркова вiдносно
нуля) за правилом
(I̺,µf)(z) =
z
Γ(1
̺)
1∫
0
(1 − t)
1
̺
−1
tµ−1f
(
zt
1
̺
)
dt, f ∈ H(G),
а через D̺,µ — оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда–
Леонтьєва [4], який на функцiях iз повної в H(G) системи {E̺(λz;µ) :
λ ∈ C} визначається спiввiдношенням
D̺,µE̺(λz;µ) = λE̺(λz;µ), λ ∈ C.
У [5] було доведено, що D̺,µ ∈ L(H(G)). Легко перевiрити, що опера-
тор I̺,µ є правим оберненим до D̺,µ. Загальний вигляд таких опера-
торiв дається формулою I̺,µ + L, де L ∈ H′(G).
Нехай для i = 1, 2 область Gi — ̺-опукла в C [6], а Li ∈ H′(Gi).
У [7] були встановленi необхiднi й достатнi умови еквiвалентностi опе-
раторiв I̺,µ + L1 в H(G1) та I̺,µ + L2 в H(G2). Якщо Gi — зiркова
вiдносно нуля область, а ̺i > 0, µi ∈ C (Reµi > 0) (i = 1, 2), то
у [8] доведено, що I̺1,µ1 в H(G1) еквiвалентний до I̺2,µ2 в H(G2) то-
дi i лише тодi, коли ̺1 = ̺2 i G1 = G2. Зауважимо, що для випадку
G1 = G2 = {z ∈ C : |z| < R} (0 < R ≤ +∞) умова ̺1 = ̺2 еквiвалент-
ностi операторiв I̺1,µ1 та I̺2,µ2 (а також D̺1,µ1 та D̺2,µ2) випливає
з результатiв роботи [1]. У данiй статтi отримуються критерiї еквi-
валентностi операторiв I̺1,µ1 + L1 в H(G1) та I̺2,µ2 + L2 в H(G2), а
також операторiв D̺1,µ1 в H(G1) та D̺2,µ2 в H(G2), у випадку, коли
Gi — ̺i-опукла область в C (i=1,2). Вiдзначимо, що в роботi [9], коли
492 Про еквiвалентнiсть у просторах...
G1 i G2 є ̺-опуклими областями в C (причому G1 ⊆ G2), було описано
множину всiх лiнiйних неперервних операторiв T : H(G1) → H(G2),
для яких TD̺,µ = D̺,µT , а в [10] було одержано зображення всiх iзо-
морфiзмiв T : H(G1) → H(G2), якi задовольняють останнє рiвняння.
2. Розглянемо для i = 1, 2 числа ̺i > 0, µi ∈ C (Re µi > 0),
̺i-опуклу область Gi в C, функцiонал Li ∈ H′(Gi). Припустимо, що
оператори I̺1,µ1 + L1 ∈ L(H(G1)) та I̺2,µ2 + L2 ∈ L(H(G2)) є еквi-
валентними, тобто iснує такий iзоморфiзм T : H(G1) → H(G2), що
T (I̺1,µ1 + L1) = (I̺2,µ2 + L2)T. (1)
Тодi цi два оператори мають однаковi власнi значення. Зафiксуємо
якесь i = 1, 2. Якщо число 1
λ0
є власним значенням оператора I̺i,µi+
Li в H(Gi), то iснує така функцiя f 6= 0 з H(Gi), для якої λ0(I̺i,µi +
Li)f = f , тобто (E − λ0I̺i,µi)f = Li(f), де E — тотожний оператор в
H(Gi). Тому
f(z) = Li(f)
∞∑
n=0
λn0In̺i,µi1 = Γ(µi)Li(f)E̺i(λ0z;µi),
тобто f(z) = CE̺i(λ0z;µi), де C ∈ C \ {0}. Крiм цього,
(I̺i,µi + Li)E̺i(λ0z;µi) =
1
λ0
E̺i(λ0z;µi)
тодi й лише тодi, коли 1
Γ(µi)
− λ0li(λ0) = 0, де li(λ) = Li(E̺i(λz;µi)),
λ ∈ C, — характеристична функцiя функцiонала Li. Отже, число
1
λ0
є власним значенням оператора I̺i,µi + Li тодi й лише тодi, коли
число λ0 є нулем функцiї 1
Γ(µi)
− λli(λ), причому це власне значення
є простим. Таким чином, функцiї 1
Γ(µ1) −λl1(λ) i 1
Γ(µ2) −λl2(λ) мають
однаковi нулi.
У [7] було доведено, що кратнiсть нуля λ0 функцiї 1
Γ(µi)
− λli(λ)
дорiвнює спектральнiй кратностi числа 1
λ0
для оператора I̺i,µi + Li,
тобто розмiрностi пiдпростору
∞⋃
n=1
Ker
(
I̺i,µi + Li − 1
λ0
E
)n
в просторi H(Gi) (i = 1, 2). В [11] було встановлено, що спектраль-
нi кратностi одного й того ж числа для еквiвалентних операторiв
збiгаються. Тому кратностi вiдповiдних нулiв функцiй 1
Γ(µ1) −λl1(λ) i
Т. I. Звоздецький 493
1
Γ(µ2) −λl2(λ) однаковi. Тодi, використовуючи теорему Адамара, одер-
жимо, що цiлi функцiї скiнченного порядку 1
Γ(µi)
− λli(λ), i = 1, 2,
задовольняють спiввiдношення
1
Γ(µ1) − λl1(λ) = exp[p(λ)]
(
1
Γ(µ2) − λl2(λ)
)
, λ ∈ C, (2)
де p(λ) — многочлен, степiнь якого не перевищує max{̺1, ̺2} (позна-
чатимемо надалi степiнь многочлена p(λ) через deg p(λ)).
У [12, §§ 2.2–2.3] було встановлено, що коли G є ̺-опуклою обла-
стю, L ∈ H′(G), то для кожного z ∈ C формулою
(f ∗ g)(z) = Λ
ζ
(
1
(2πi)2
∫
γz
∫
γz
f(t)g(τ)B̺,µ
t
B̺,µ
τ
[h(t, τ, z, ζ)] dτ dt
)
,
де Λ(f) = f(0)−L(D̺,µf), γz — деякий замкнений контур, що охоплює
z i мiститься в G, B̺,µ – оператор узагальненого перетворення Бореля
[6, с. 324], а
h(t, τ, z, ζ) =
E̺(tz;µ)E̺(τζ;µ) − E̺(τz;µ)E̺(tζ;µ)
t− τ
,
визначається неперервна згортка для оператора I̺,µ+L в H(G), тобто
бiлiнiйна, комутативна й асоцiативна операцiя ∗ : H(G) × H(G) →
H(G), для якої
(I̺,µ + L)(f ∗ g) = [(I̺,µ + L)f ] ∗ g, f, g ∈ H(G).
Там же доведено, що оператор U ∈ L(H(G)) є розв’язком опера-
торного рiвняння U(I̺,µ + L) = (I̺,µ + L)U тодi i лише тодi, коли
Uf = D̺,µ(ϕ ∗ f), де ϕ = U1 — фiксована функцiя з H(G).
Якщо тепер аналогiчним чином розв’язувати рiвняння (1) у класi
лiнiйних неперервних операторiв T : H(G1) → H(G2), то, врахову-
ючи (2), для характеристичної функцiї t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z) (E
(i)
λ (z) =
E̺i(λz;µi) i = 1, 2) оператора T матимемо
t(λ, z) = exp[p(λ)][D̺2,µ2(ϕ ∗ E(2)
λ )](z),
де ϕ = T1 — фiксована функцiя з H(G2).
Таким чином, якщо лiнiйний неперервний оператор T : H(G1) →
H(G2) є розв’язком рiвняння (1), то його характеристична функцiя
t(λ, z) подається у виглядi
t(λ, z) = exp[p(λ)]t2(λ, z), (3)
494 Про еквiвалентнiсть у просторах...
де t2(λ, z) — характеристична функцiя деякого оператора T2 ∈
L(H(G2)), переставного з оператором I̺2,µ2 + L2. При цьому, для
z ∈ G2
(T2f)(z) =
1
2πi
∫
γz
B̺2,µ2
λ
[t2(λ, z)]f(λ) dλ, f ∈ H(G2),
де γz — замкнений контур, що лежить в G2 i охоплює всi особли-
востi узагальненого перетворення Бореля по змiннiй λ вiд функцiї
t2(λ, z). Тодi, пригадуючи означення характеристичної функцiї опе-
ратора, одержимо
E̺1(λz;µ1) = exp[p(λ)]T−1T2E̺2(λz;µ2), λ ∈ C, z ∈ G1. (4)
Аналогiчно, якщо виходити з рiвняння T−1(I̺2,µ2 +L2) = (I̺1,µ1 +
L1)T
−1, отримаємо рiвнiсть
E̺2(λz;µ2) = exp[−p(λ)]TT1E̺1(λz;µ1), λ ∈ C, z ∈ G2, (5)
де T1 ∈ L(H(G1)).
Переконаємось тепер, що ̺1 = ̺2. Нехай це не так, тобто ̺1 6= ̺2.
Припустимо, що ̺1 < ̺2. Тодi або deg p(λ) < ̺2, або deg p(λ) = ̺2.
Якщо deg p(λ) < ̺2, то при фiксованому z ∈ G2 \ {0} лiва частина
(5) як цiла вiдносно λ функцiя має порядок ̺2. З iншого боку, вра-
ховуючи лiнiйнiсть i неперервнiсть операторiв T1 i T у вiдповiдних
просторах, маємо, що порядок правої частини (5) як цiлої вiдносно λ
функцiї не перевищує max{deg p(λ), ̺1} < ̺2. Отримали суперечнiсть.
Якщо deg p(λ) = ̺2, то при фiксованому z ∈ G1 \ {0} лiва частина
(4) як цiла вiдносно λ функцiя має порядок ̺1, а порядок правої
частини (4) як цiлої вiдносно λ функцiї дорiвнює ̺2. Тому i в цьому
випадку одержуємо суперечнiсть.
Отже, ̺1 = ̺2. Вважатимемо надалi, що ̺1 = ̺2 = ̺.
Нагадаємо, що для цiлої функцiї g(λ) порядку ̺ iндикатором
h(θ; g) називається функцiя [6, c. 328]
h(θ; g) = lim
r→+∞
ln |g(reiθ)|
r̺
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Розглянемо два випадки. Нехай deg p(λ) < ̺. Тодi, враховуючи
(3), отримаємо, що для кожного фiксованого z ∈ G2 iндикатори цiлих
вiдносно λ функцiй t(λ, z) i t2(λ, z) збiгаються, а тому збiгаються i
̺-опуклi оболонки особливостей узагальненого перетворення Бореля
Т. I. Звоздецький 495
цiлих вiдносно λфункцiй t(λ, z) i t2(λ, z) [6, c. 335–336]. Тому оператор
T̃ , який визначається рiвнiстю
∀ z ∈ G2 : (T̃ f)(z) =
1
2πi
∫
γz
B̺,µ2
λ
[t(λ, z)]f(λ) dλ, f ∈ H(G2), (6)
належить до множини L(H(G2)). Оскiльки для кожного λ ∈ C маємо
[6, c. 325–326]
T̃E̺(λz;µ2) = t(λ, z) = TE̺(λz;µ1), z ∈ G2,
то
E̺(λz;µ1) = T−1T̃E̺(λz;µ2), z ∈ G2. (7)
У [13] було встановлено, що коли G — зiркова вiдносно нуля об-
ласть в C, то оператор S, який на елементах повної в H(G) системи
{E̺(λz;µ1) : λ ∈ C} визначається спiввiдношенням
SE̺(λz;µ1) = E̺(λz;µ2), λ ∈ C, z ∈ G,
є iзоморфiзмом простору H(G) на себе. Тодi з (7) отримуємо
E̺(λz;µ1) = T−1T̃ SE̺(λz;µ1), λ ∈ C, z ∈ G2. (8)
Розглянемо функцiю f , для якої G2 є областю аналiтичностi, i по-
значимо g = T−1(T̃ Sf). Зрозумiло, що g ∈ H(G1). Враховуючи повно-
ту в H(G2) системи {E̺(λz;µ1) : λ ∈ C} та лiнiйнiсть i неперервнiсть
операторiв T−1, T̃ i S у вiдповiдних просторах, з (8) для z ∈ G1 ∩G2
матимемо f(z) = (T−1T̃ Sf)(z), тобто f(z) ≡ g(z), z ∈ G1 ∩ G2. Звiд-
си одержимо, що f аналiтично продовжуєтся в G1. Оскiльки G2 є
областю аналiтичностi функцiї f , то G2 ⊃ G1. Повнiстю аналогiчно,
якщо виходити з рiвняння T−1(I̺,µ2 + L2) = (I̺,µ1 + L1)T
−1, можна
отримати i включення G2 ⊂ G1. Отже, у першому випадку областi
G1 i G2 збiгаються.
Розглянемо другий випадок. Нехай deg p(λ) = ̺. Використовую-
чи (3), отримаємо, що для кожного фiксованого z ∈ G2 iндикатори
hz(θ; t) i hz(θ; t2) цiлих вiдносно λ функцiй t(λ, z) i t2(λ, z) задоволь-
няють спiввiдношення
hz(θ; t) = hz(θ; t2) + Re (aei̺θ), 0 ≤ θ ≤ 2π,
де a — це коефiцiєнт при λ̺ у p(λ). Нехай k̺(θ;G) — це ̺-опорна
функцiя ̺-опуклої областi G [6, c. 334], тобто
k̺(θ;G) = sup
z∈G,
|Arg z−θ|≤
min{π,π/(2̺)}
Re (ze−iθ)̺, 0 ≤ θ ≤ 2π.
496 Про еквiвалентнiсть у просторах...
Вiдзначимо, що кожна ̺-опорна функцiя ̺-опуклої областi є додат-
ною, 2π-перiодичною та ̺-тригонометрично опуклою, тобто
k̺(θ;G) ≤ k̺(θ1;G) sin[̺(θ2 − θ)] + k̺(θ2;G) sin[̺(θ − θ1)]
sin[̺(θ2 − θ1)]
,
де θ1 ≤ θ ≤ θ2 i 0 < θ2 − θ1 < min{2π, π̺}. I навпаки, кожна така
функцiя визначає єдину ̺-опуклу область в C.
Оскiльки для кожного z ∈ G2 замкнена ̺-опукла оболонка всiх
особливостей узагальненого перетворення Бореля функцiї t2(λ, z) мi-
ститься в G2 [12, § 2.2], то hz(−θ; t2) < k̺(θ;G2), 0 ≤ θ ≤ 2π. Тодi для
кожного ε > 0
hz(−θ; t) < k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ) <
< max{0, k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ)} + ε, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Права частина останньої нерiвностi є додатною, 2π-перiодичною та
̺-тригонометрично опуклою функцiєю, тому вона визначає деяку ̺-
опуклу областьGε. Отже, для кожного z ∈ G2 замкнена ̺-опукла обо-
лонка всiх особливостей узагальненого перетворення Бореля функцiї
t(λ, z) мiститься всерединi областi Gε. Тому оператор T̃ , який визна-
чається рiвнiстю (6), у якiй γz є замкненим контуром, що лежить в
Gε i охоплює всi особливостi функцiї B̺,µ2
λ
[t(λ, z)], дiє лiнiйно та непе-
рервно з простору H(Gε) у простiр H(G2). Оскiльки характеристичнi
функцiї операторiв T i T̃ збiгаються, то, як i в першому випадку,
матимемо, що Gε ⊃ G1, тобто
max{0, k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ)} + ε ≥ k̺(θ;G1), 0 ≤ θ ≤ 2π.
Враховуючи довiльнiсть ε > 0 i те, що k̺(θ;G1) > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π,
звiдси одержимо нерiвнiсть
k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ) ≥ k̺(θ;G1), 0 ≤ θ ≤ 2π.
Цiлком аналогiчними мiркуваннями можна отримати, що
k̺(θ;G1) − Re (ae−i̺θ) ≥ k̺(θ;G2), 0 ≤ θ ≤ 2π.
Отже, ̺-опорнi функцiї ̺-опуклих областей G1 i G2 задовольня-
ють спiввiдношення
k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ) = k̺(θ;G1), 0 ≤ θ ≤ 2π. (9)
Таким чином, встановленi необхiднi умови наступної теореми.
Т. I. Звоздецький 497
Теорема 1. Нехай для i = 1, 2 маємо числа ̺i > 0, µi ∈ C (Reµi >
0), ̺i-опуклу область Gi в C та функцiонал Li ∈ H′(Gi). Оператор
I̺1,µ1 + L1 в H(G1) еквiвалентний до оператора I̺2,µ2 + L2 в H(G2)
тодi i лише тодi, коли:
1) ̺1 = ̺2 = ̺;
2) для характеристичних функцiй li(λ) = Li(E̺(λz;µi)) функцiо-
налiв Li, i = 1, 2, виконується рiвнiсть (2), де p(λ) — многочлен, для
якого deg p(λ) ≤ ̺;
3) якщо deg p(λ) < ̺, то G1 = G2, а якщо deg p(λ) = ̺, то ̺-опор-
нi функцiї k̺(θ;G1) i k̺(θ;G2) ̺-опуклих областей G1 i G2 пов’язанi
спiввiдношенням (9), де a — це коефiцiєнт при λ̺ у p(λ).
Доведення. Достатнiсть. Нехай виконуються умови 1)–3) теореми.
Переконаємося, що iснує iзоморфiзм T : H(G1) → H(G2), який задо-
вольняє рiвнiсть (1).
Розглянемо оператор T , який визначається формулою
∀ z ∈ G2 : (Tf)(z) =
1
2πi
∫
γz
B̺,µ1
λ
[exp[p(λ)]E̺(λz;µ2)]f(λ) dλ,
f ∈ H(G1),
де γz — замкнений контур, що лежить в G1 i охоплює всi особливос-
тi функцiї B̺,µ1
λ
[exp[p(λ)]E̺(λz;µ2)]. У [12, § 2.1] було доведено, що
коли G1 i G2 — ̺-опуклi областi в C, то функцiя t(λ, z) є характе-
ристичною для деякого лiнiйного неперервного оператора, що дiє з
H(G1) в H(G2), тодi й лише тодi, коли вона аналiтична при λ ∈ C та
z ∈ G2 i
∀K2 ⊂ G2 ∀ ε > 0 ∃K1 ⊂ G1 ∃C > 0 ∀ r ≥ 0 ∀ θ ∈ (−π;π] :
max
z∈K2
|t(re−iθ, z)| ≤ C exp[(k̺(θ;K1) + ε)r̺],
де K1 i K2 — ̺-опуклi компактнi пiдмножини вiдповiдних областей.
Враховуючи 3) й оцiнки для модуля функцiї Мiттаґ–Лефлера [6,
c. 337], отримаємо, що функцiя exp[p(λ)]E̺(λz;µ2) задовольняє умови
наведеного вище твердження з [12]. Тому T лiнiйно й неперервно дiє з
H(G1) в H(G2), причому TE̺(λz;µ1) = exp[p(λ)]E̺(λz;µ2). Оскiльки
T має лiнiйний неперервний обернений оператор (його характеристи-
чна функцiя рiвна exp[−p(λ)]E̺(λz;µ1)), то T є iзоморфiзмом про-
стору H(G1) на простiр H(G2). Перевiримо, що T задовольняє (1).
Справдi, для λ ∈ C \ {0} маємо
T (I̺,µ1 + L1)E̺(λz;µ1) = 1
λT
(
E̺(λz;µ1) − 1
Γ(µ1) + λl1(λ)
)
=
= 1
λ
[
exp[p(λ)]E̺(λz;µ2) − exp[p(λ)]
(
1
Γ(µ2)
− λl2(λ)
)]
=
498 Про еквiвалентнiсть у просторах...
= exp[p(λ)] 1
λ
(
E̺(λz;µ2) − 1
Γ(µ2)
)
+ exp[p(λ)]l2(λ) =
= (I̺,µ2 + L2)[exp[p(λ)]E̺(λz;µ2)] = (I̺,µ2 + L2)TE̺(λz;µ1),
звiдки i випливає (1), оскiльки система {E̺(λz;µ1) : λ ∈ C} є повною
в H(G1), а оператори T , I̺,µi+Li, i = 1, 2 є лiнiйними i неперервними
у вiдповiдних просторах. Теорему доведено.
Зауваження. Вiдзначимо, що коли ̺ ∈ N i областi G1 та G2 є iн-
варiантними вiдносно повороту на кут 2π
̺ навколо 0, то рiвнiсть (9)
рiвносильна наступному спiввiдношенню мiж областями: G̺2+a = G̺1.
3. Розглянемо для i = 1, 2 числа ̺i > 0, µi ∈ C (Re µi > 0) та ̺i-
опуклу область Gi в C. Припустимо, що оператори D̺1,µ1 ∈ L(H(G1))
та D̺2,µ2 ∈ L(H(G2)) є еквiвалентними, тобто iснує такий iзоморфiзм
T : H(G1) → H(G2), що
TD̺1,µ1 = D̺2,µ2T. (10)
Подiємо обома частинами цiєї рiвностi на функцiю E
(1)
λ (z)=E̺1(λz;µ1)
(λ ∈ C). Тодi для характеристичної функцiї t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z) опе-
ратора T одержимо
D̺2,µ2t(λ, z) = λt(λ, z), λ ∈ C, z ∈ G2.
Звiдси, враховуючи спiввiдношення
I̺2,µ2D̺2,µ2f(z) = f(z) − f(0), f ∈ H(G2),
отримаємо
(E − λI̺2,µ2)t(λ, z) = c(λ), (11)
де E — тотожний оператор в H(G2), а c(λ) = t(λ, 0), λ ∈ C. Тодi,
використовуючи формулу
(E − λI̺2,µ2)
−1 =
∞∑
n=0
λnIn̺2,µ2
,
з (11) матимемо
t(λ, z) = c(λ)Γ(µ2)E̺2(λz;µ2), λ ∈ C, z ∈ G2.
Оскiльки оператор T є лiнiйним та неперервним, то порядок цiлої
функцiї c(λ) = t(λ, 0) = TE̺1(λz;µ1)|z=0 не перевищує ̺1. Крiм цього,
Т. I. Звоздецький 499
оператор T не має нетривiальних нулiв (бо вiн є iзоморфiзмом), а
тому функцiя c(λ) не має нулiв у C. Отже,
c(λ)Γ(µ2) = exp[p(λ)], λ ∈ C,
де p(λ) — деякий многочлен, причому deg p(λ) ≤ ̺1. Тому
t(λ, z) = exp[p(λ)]E̺2(λz;µ2), λ ∈ C, z ∈ G2. (12)
Оскiльки для фiксованого z ∈ G2 \ {0} порядок лiвої частини цiєї
рiвностi як цiлої вiдносно λ функцiї не перевищує ̺1, а порядок правої
частини як цiлої вiдносно λ функцiї дорiвнює max{deg p(λ), ̺2}, то з
(12) одержуємо, що ̺2 ≤ ̺1.
Якщо тепер замiсть рiвностi (10) виходити з рiвностi T−1D̺2,µ2 =
D̺1,µ1T
−1, то аналогiчними мiркуваннями можна отримати, що ̺1 ≤
̺2.
Таким чином, якщо оператори D̺1,µ1 ∈ L(H(G1)) та D̺2,µ2 ∈
L(H(G2)) еквiвалентнi, то ̺1 = ̺2 = ̺. Крiм цього, якщо пригада-
ти означення характеристичної функцiї t(λ, z) та iзоморфiзму S iз
попереднього пункту, то формулу (12) можна записати у виглядi
TE̺(λz;µ1) = exp[p(λ)]SE̺(λz;µ1), λ ∈ C, z ∈ G2, (13)
де p(λ) — многочлен, причому deg p(λ) ≤ ̺.
Враховуючи подiбнiсть рiвностей (13) i (3), як i в попередньо-
му пунктi отримуємо, що коли deg p(λ) < ̺, то G1 = G2, а коли
deg p(λ) = ̺, то ̺-опорнi функцiї k̺(θ;G1) i k̺(θ;G2) ̺-опуклих обла-
стей G1 i G2 задовольняють спiввiдношення
k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ) = k̺(θ;G1), 0 ≤ θ ≤ 2π, (14)
де a — це коефiцiєнт при λ̺ у p(λ).
Отже, встановленi необхiднi умови наступної теореми.
Теорема 2. Нехай ̺i > 0, µi ∈ C (Reµi > 0), Gi — ̺i-опукла область
в C (i = 1, 2). Оператор D̺1,µ1 в H(G1) еквiвалентний до оператора
D̺2,µ2 в H(G2) тодi i лише тодi, коли ̺1 = ̺2 = ̺ i або G1 = G2
(якщо ̺ 6∈ N), або iснує таке a ∈ C, що ̺-опорнi функцiї k̺(θ;G1) i
k̺(θ;G2) ̺-опуклих областей G1 i G2 пов’язанi спiввiдношенням (14)
(якщо ̺ ∈ N).
Доведення. Достатнiсть. Нехай ̺1 = ̺2 = ̺ i
∃ a ∈ C : k̺(θ;G2) + Re (ae−i̺θ) = k̺(θ;G1) (15)
500 Про еквiвалентнiсть у просторах...
(a = 0 при ̺ 6∈ N). Розглянемо оператор T , який визначається фор-
мулою
∀ z ∈ G2 : (Tf)(z) =
1
2πi
∫
γz
B̺,µ1
λ
[exp(aλ̺)E̺(λz;µ2)]f(λ) dλ,
f ∈ H(G1),
де γz — замкнений контур, що лежить в G1 i охоплює всi особливостi
функцiї B̺,µ1
λ
[exp(aλ̺)E̺(λz;µ2)]. Враховуючи (15), як i при доведен-
нi достатностi теореми 1 отримаємо, що T лiнiйно й неперервно дiє з
H(G1) в H(G2), причому TE̺(λz;µ1) = exp(aλ̺)E̺(λz;µ2). Оскiльки
T має лiнiйний неперервний обернений оператор (його характеристи-
чною функцiєю є exp(−aλ̺)E̺(λz;µ1)), то T є iзоморфiзмом просто-
ру H(G1) на простiр H(G2). Переконаємось, що T задовольняє (10).
Справдi, для λ ∈ C \ {0} маємо
TD̺,µ1E̺(λz;µ1) = λTE̺(λz;µ1) =
= λ exp(aλ̺)E̺(λz;µ2) = exp(aλ̺)D̺,µ2E̺(λz;µ2) =
= D̺,µ2 [exp(aλ̺)E̺(λz;µ2)] = D̺,µ2TE̺(λz;µ1).
Звiдси, оскiльки система {E̺(λz;µ1) : λ ∈ C} — повна в H(G1), а
оператори T , D̺,µ1 i D̺,µ2 — лiнiйнi й неперервнi у вiдповiдних прос-
торах, випливає спiввiдношення (10). Теорему доведено.
Лiтература
[1] М. К. Фаге, Н. И. Нагнибида, Проблема эквивалентности обыкновенных ли-
нейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1987, 280 с.
[2] М. I. Нагнибiда, С. С. Лiнчук, Т. I. Звоздецький, Про деякi властивостi опе-
раторiв, якi є правими оберненими до диференцiювання, в просторi аналi-
тичних функцiй // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових
задач: Зб. наук. пр. Київ, Iн-т математики НАН України, 13 (1996), 148–164.
[3] I. H. Dimovski, V. S. Kiryakova, Convolution and commutant of Gelfond-Leontiev
operator of integration // Конструктивная теория функций: Труды междунар.
конф. (Варна, 1-5 июня, 1981). София, 1983, 288–294.
[4] А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев, Об одном обобщении ряда Фурье // Матем.
сб. 29 (1951), N 3, 477–500.
[5] Н. Е. Линчук, Представление решений некоторых операторных уравнений
в аналитических пространствах и их применения. Дисс. ... канд. физ.-мат.
наук. Киев, 1987, 121 с.
[6] М. М. Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций
в комплексной области. М.: Наука, 1966, 671 с.
[7] Т. I. Звоздецький, Про еквiвалентнiсть операторiв, якi є правими обернени-
ми до узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва // Мат. студiї,
6 (1996), 105–112.
Т. I. Звоздецький 501
[8] Т. I. Звоздецький, Еквiвалентнiсть двох операторiв узагальненого iнтегру-
вання у просторi аналiтичних функцiй // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту.
Вип. 160. Математика, Чернiвцi: Рута, 2003, 73–75.
[9] В. А. Ткаченко, Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифферен-
цированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным ин-
дикатором роста // Матем. сб. 102 (144) (1977), N 3, 435–456.
[10] Т. I. Звоздецький, Про iзоморфiзми, якi є переставними з оператором уза-
гальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва // Iнтегральнi перетво-
рення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Київ, Iн-т матема-
тики НАН України, 10 (1995), 243–248.
[11] Н. Е. Линчук, Сверточное представление некоторых классов операторов,
связанных с умножением на аналитические функции, и их применения //
Укр. мат. журн. 36 (1984), N 5, 626–631.
[12] Т. I. Звоздецький, Деякi операторнi рiвняння, що пов’язанi з узагальненим
iнтегруванням, та згортки в просторах аналiтичних функцiй. Дис. ... канд.
фiз.-мат. наук. Чернiвцi, 1996, 135 с.
[13] Н. Е. Линчук, Представление коммутантов оператора обобщенного инте-
грирования Гельфонда–Леонтьева // Изв. вузов. Математика. (1985), N 5,
72–74.
Вiдомостi про авторiв
Тарас Iванович
Звоздецький
Кафедра математичного аналiзу,
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича,
вул. Коцюбинського, 2,
58012, Чернiвцi,
Україна
E-Mail: mathan@chnu.cv.ua
|