О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями
В работе рассматривается задача Дирихле для дивергентных нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью f класса L¹. Устанавливается точное условие на функцию f, обеспечивающее принадлежность решений рассматриваемой задачи некоторому предельному соболевскому пространству. Это усл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124602 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями / А.А. Ковалевский // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 502-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124602 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246022017-09-30T03:04:07Z О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями Ковалевский, А.А. В работе рассматривается задача Дирихле для дивергентных нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью f класса L¹. Устанавливается точное условие на функцию f, обеспечивающее принадлежность решений рассматриваемой задачи некоторому предельному соболевскому пространству. Это условие формулируется в терминах определенного поведения интегралов функции |f| по множествам {|f| > k} для достаточно больших k. 2005 Article О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями / А.А. Ковалевский // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 502-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35J25, 35J60, 35J65. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124602 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается задача Дирихле для дивергентных нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью f класса L¹. Устанавливается точное условие на функцию f, обеспечивающее принадлежность решений рассматриваемой задачи некоторому предельному соболевскому пространству. Это условие формулируется в терминах определенного поведения интегралов функции |f| по множествам {|f| > k} для достаточно больших k. |
| format |
Article |
| author |
Ковалевский, А.А. |
| spellingShingle |
Ковалевский, А.А. О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями Український математичний вісник |
| author_facet |
Ковалевский, А.А. |
| author_sort |
Ковалевский, А.А. |
| title |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями |
| title_short |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями |
| title_full |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями |
| title_fullStr |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями |
| title_full_unstemmed |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями |
| title_sort |
о точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с l¹-правыми частями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124602 |
| citation_txt |
О точном условии предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с L¹-правыми частями / А.А. Ковалевский // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 502-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevskijaa otočnomusloviipredelʹnojsummiruemostirešenijnelinejnyhélliptičeskihuravnenijsl1pravymičastâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:42:07Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:42:07Z |
| _version_ |
1837131714930933760 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 4, 502 – 540
О точном условии предельной суммируемости
решений нелинейных эллиптических
уравнений с L
1-правыми частями
Александр А. Ковалевский
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. В работе рассматривается задача Дирихле для ди-
вергентных нелинейных эллиптических уравнений второго порядка
с правой частью f класса L1. Устанавливается точное условие на
функцию f , обеспечивающее принадлежность решений рассматри-
ваемой задачи некоторому предельному соболевскому пространству.
Это условие формулируется в терминах определенного поведения
интегралов функции |f | по множествам {|f | > k} для достаточно
больших k.
2000 MSC. 35J25, 35J60, 35J65.
Ключевые слова и фразы. Нелинейные эллиптические уравнения
второго порядка, задача Дирихле, слабые и энтропийные решения,
суммируемость решений.
1. Введение
Пусть Ω — ограниченное открытое множество в R
n (n > 2) и p ∈
(1, n). Пусть c1, c2 — положительные постоянные, g – неотрицатель-
ная функция из Lp/(p−1)(Ω), и пусть для любого i ∈ {1, . . . , n} ai —
функция Каратеодори на Ω×R
n. Будем предполагать, что для почти
всех x ∈ Ω и любых ξ ∈ R
n имеют место неравенства
n∑
i=1
|ai(x, ξ)| 6 c1|ξ|p−1 + g(x), (1.1)
n∑
i=1
ai(x, ξ)ξi > c2|ξ|p . (1.2)
Кроме того, будем считать, что для почти всех x ∈ Ω и любых ξ, ξ′ ∈
R
n, ξ 6= ξ′, справедливо неравенство
Статья поступила в редакцию 25.08.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
А. А. Ковалевский 503
n∑
i=1
[ ai(x, ξ) − ai(x, ξ
′)](ξi − ξ′i) > 0. (1.3)
Пусть f ∈ L1(Ω). Рассмотрим следующую задачу Дирихле:
−
n∑
i=1
∂
∂xi
ai(x,∇u) =f в Ω,
u =0 на ∂Ω.
(1.4)
Изучению разрешимости и свойств решений задачи (1.4) посвя-
щено достаточно большое число работ (см., например, [1–4]).
Приведем ряд определений и результатов относительно этой за-
дачи, которые будут использованы в дальнейшем.
Определение 1.1. Слабым решением задачи (1.4) будем называть
функцию u ∈
◦
W 1,1(Ω) такую, что выполняются условия:
1) для любого i ∈ {1, . . . , n} ai(x,∇u) ∈ L1(Ω);
2) для любой функции ϕ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x,∇u)Diϕ
}
dx =
∫
Ω
f ϕ dx.
По поводу этого определения см., например, [2].
Далее, пусть для любого k > 0 Tk — функция на R такая, что
Tk(s) =
{
s, если |s| 6 k,
k sign s, если |s| > k.
Известно, что если λ > 1, u ∈
◦
W 1,λ(Ω) и k > 0, то Tk(u) ∈
◦
W 1,λ(Ω) и для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем
DiTk(u) = Diu · 1{|u|<k} п.в. на Ω. (1.5)
Через
◦
T 1,p(Ω) обозначим множество всех функций u : Ω → R
таких, что для любого k > 0 Tk(u) ∈
◦
W 1,p(Ω).
Очевидно, что
◦
W 1,p(Ω) ⊂
◦
T 1,p(Ω). (1.6)
Для произвольных u : Ω → R и x ∈ Ω положим
k(u, x) = min { l ∈ N : |u(x)| 6 l }.
504 О точном условии предельной суммируемости...
Определение 1.2. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω) и i ∈ {1, . . . , n} . Тогда δiu —
функция на Ω такая, что для любого x ∈ Ω
δiu (x) = DiTk(u,x)(u) (x).
Предложение 1.1. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω) и i ∈ {1, . . . , n} . Тогда для
любого k > 0
DiTk(u) = δiu · 1{|u|<k} п.в. на Ω. (1.7)
Доказательство. Зафиксируем произвольное k > 0. Покажем, что
DiTk(u) = δiu п.в. на { |u| < k }. (1.8)
Положим l0 = min { l ∈ N : k 6 l }. Так как Tl0(u) = Tk(u) на { |u| <
k }, то существует множество El0 ⊂ Ω меры нуль такое, что для
любого x ∈ { |u| < k }\El0
DiTl0(u) (x) = DiTk(u) (x). (1.9)
Если l0 = 1, то для любого x ∈ {|u| < k} имеем k(u, x) = l0. Тогда
из (1.9) выводим (1.8). Пусть теперь l0 > 1. Легко видеть, что если
l ∈ N, l < l0, то существует множество El ⊂ Ω меры нуль такое, что
для любого x ∈ {|u| 6 l}\El
DiTl(u) (x) = DiTk(u) (x). (1.10)
Пусть x ∈ { |u| < k }\ l0∪
l=1
El. Положим l1 = k(u, x). Имеем l1 6 l0.
Если l1 < l0, то x ∈ { |u| 6 l1}\El1 и в силу (1.10) DiTk(u) (x) =
δiu (x). Если же l1 = l0, то значения функций DiTk(u), δiu в точке
x равны в силу (1.9). Таким образом, можно заключить, что (1.8)
верно и в случае l0 > 1.
Ясно, что если meas { |u| > k } > 0, то DiTk(u) = 0 п.в. на { |u| >
k }. Отсюда и из (1.8) вытекает (1.7). Предложение доказано.
Из (1.5), (1.6) и предложения 1.1 следует, что если u ∈
◦
W 1,p(Ω),
то для любого i ∈ {1, . . . , n} δiu = Diu п.в. на Ω.
Введем обозначение: если u ∈
◦
T 1,p(Ω), то δu — отображение Ω в
R
n такое, что для любых x ∈ Ω и i ∈ {1, . . . , n} (δu (x))i = δiu (x).
Для любого λ ∈ [ 1, n) положим λ∗ = nλ/(n− λ).
А. А. Ковалевский 505
Напомним (см., например, [5]), что если λ ∈ [ 1, n), то
◦
W 1,λ(Ω) ⊂
Lλ
∗
(Ω) и существует положительная постоянная cn,λ, зависящая толь-
ко от n и λ , такая, что для любой функции u ∈
◦
W 1,λ(Ω)
( ∫
Ω
|u|λ∗dx
)1/λ∗
6 cn,λ
( ∫
Ω
|∇u|λ dx
)1/λ
. (1.11)
Предложение 1.2. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω), λ ∈ [ 1, p ], |δu| ∈ Lλ(Ω).
Тогда u ∈
◦
W 1,λ(Ω) и для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем Diu = δiu п.в.
на Ω.
Доказательство. В силу предложения 1.1, (1.11) и условий данного
предложения для последовательности функций Tk(u), k ∈ N, име-
ем: Tk(u) ∈
◦
W 1,λ(Ω), Tk(u) → u сильно в Lλ(Ω) и DiTk(u) → δiu
сильно в Lλ(Ω), i = 1, . . . , n. Тогда для любого i ∈ {1, . . . , n} суще-
ствует обобщенная производная Diu, Diu = δiu п.в. на Ω, и можно
заключить, что u ∈W 1,λ(Ω) и Tk(u) → u сильно в W 1,λ(Ω). Следо-
вательно, u ∈
◦
W 1,λ(Ω). Предложение доказано.
Заметим, что если u ∈
◦
T 1,p(Ω), ϕ ∈ C∞
0 (Ω), k > 0 и i ∈ {1, . . . , n},
то функция ai(x, δu)(δiu− δiϕ) суммируема на множестве { |u−ϕ| <
k }. Это вытекает из (1.1) и предложения 1.1.
Определение 1.3. Энтропийным решением задачи (1.4) будем на-
зывать функцию u ∈
◦
T 1,p(Ω) такую, что для любых ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и
k > 0 имеет место неравенство
∫
{|u−ϕ|<k}
{ n∑
i=1
ai(x, δu)(δiu− δiϕ)
}
dx 6
∫
Ω
f Tk(u− ϕ) dx. (1.12)
Понятие энтропийного решения задачи (1.4) введено и детально
изучено в [3].
В силу сделанных выше предположений относительно функций
ai, i = 1, . . . , n, и теоремы 6.1 работы [3] справедливо следующее
утверждение.
Теорема 1.1. Существует единственное энтропийное решение за-
дачи (1.4).
Кроме того, из следствия 4.3 работы [3] и предложения 1.2 выте-
кает такой результат.
506 О точном условии предельной суммируемости...
Теорема 1.2. Пусть u — энтропийное решение задачи (1.4), и пусть
|δu| ∈ L1(Ω). Тогда u — слабое решение задачи (1.4).
Положим
r =
n(p− 1)
n− 1
.
Теорема 1.3. Пусть u — энтропийное решение задачи (1.4). Тогда
для любого λ ∈ (0, r) имеем |δu| ∈ Lλ(Ω).
Эта теорема является следствием лемм 3.1 и 4.2 статьи [3].
Из теорем 1.3, 1.2 и предложения 1.2 вытекает следующее утверж-
дение.
Теорема 1.4. Пусть p > 2−1/n, и пусть u — энтропийное решение
задачи (1.4). Тогда u — слабое решение задачи (1.4), и для любого
λ ∈ [ 1, r) имеем u ∈
◦
W 1,λ(Ω).
Наконец, следствием теорем 1.1 и 1.4 является такой результат.
Теорема 1.5. Пусть p > 2−1/n. Тогда существует слабое решение
задачи (1.4), принадлежащее
◦
W 1,λ(Ω) для любого λ ∈ [ 1, r).
Замечание 1.1. Если p 6 2 − 1/n, то задача (1.4), вообще говоря,
может не иметь слабых решений. По этому поводу см. пример в [3].
Замечание 1.2. Слабые решения задачи (1.4), вообще говоря, могут
не принадлежать пространству
◦
W 1,r(Ω). Это обстоятельство отме-
чено еще в [2], хотя соответствующие примеры и не были указаны.
Некоторые примеры, показывающие, что энтропийные и слабые ре-
шения задачи (1.4) могут не принадлежать
◦
W 1,r(Ω), мы даем в § 4
данной работы.
В связи с последним замечанием возникает вопрос о дополнитель-
ных условиях на функцию f , обеспечивающих принадлежность рас-
сматриваемых типов решений задачи (1.4) пространству
◦
W 1,r(Ω).
Приведем известные на этот счет результаты. Так, в [2] существо-
вание слабого решения задачи (1.4), принадлежащего пространству
◦
W 1,r(Ω), доказано при условиях p > 2 − 1/n и f ln (1 + |f |) ∈ L1(Ω),
а в [4] это сделано при более слабых предположениях, а именно, при
p > 2 − 1/n и f [ln (1 + |f |)]σ ∈ L1(Ω), где σ ∈ ((n − 1)/n, 1). По-
следние условия, как следует из [4], обеспечивают принадлежность
пространству
◦
W 1,r(Ω) энтропийного решения задачи (1.4).
А. А. Ковалевский 507
Сформулируем один результат относительно слабых решений за-
дачи (1.4), являющийся усилением соответствующего результата ра-
боты [4].
Определим последовательность чисел sj следующим образом:
s1 = 1,
sj = esj−1 , j = 2, 3, . . . .
Пусть теперь для любого j ∈ N bj : [sj ,+∞) → [0,+∞) — функ-
ция такая, что
bj(s) = ln . . . ln ln︸ ︷︷ ︸
j
s, s ∈ [sj ,+∞).
Теорема 1.6. Пусть p > 2 − 1/n, и пусть выполняется условие:
существуют m ∈ N и σ > (n− 1)/n такие, что
f
[ m∏
j=1
bj(sj + |f |)
](n−1)/n
[ bm+1(sm+1 + |f |) ]σ ∈ L1(Ω). (1.13)
Тогда существует слабое решение задачи (1.4), принадлежащее
◦
W 1,r(Ω).
Эта теорема доказана автором в [6]. Она также опубликована с
доказательством в препринте [7] и анонсирована в [8].
Как показывает один из примеров, приведенных в [6], и как мы
убедимся далее, слабое решение задачи (1.4), принадлежащее про-
странству
◦
W 1,r(Ω), может существовать и при более слабом ограни-
чении на правую часть уравнения по сравнению с условием (1.13).
Поэтому естественно поставить вопрос о наиболее общем условии на
функцию f , гарантирующем принадлежность решений рассматрива-
емой задачи пространству
◦
W 1,r(Ω). Решение этого вопроса и являе-
тся целью настоящей работы.
Основной результат статьи заключается в следующем утвержде-
нии.
Теорема 1.7. Пусть p > 2 − 1/n, и пусть выполняется условие:
существуют c > 0, m ∈ N и σ > (n − 1)/n такие, что для любого
k > sm+1 справедливо неравенство
∫
{|f |>k}
|f | dx 6 c
[ m∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
[ bm+1(k) ]−σ . (1.14)
Пусть u — энтропийное решение задачи (1.4). Тогда u ∈
◦
W 1,r(Ω).
508 О точном условии предельной суммируемости...
Из теорем 1.1, 1.2, 1.7 и (1.5), (1.7) вытекает такое утверждение.
Теорема 1.8. Пусть p > 2 − 1/n, и пусть существуют c > 0,
m ∈ N и σ > (n−1)/n такие, что для любого k > sm+1 справедливо
неравенство (1.14). Тогда существует слабое решение задачи (1.4),
принадлежащее
◦
W 1,r(Ω).
Заметим, что эта теорема анонсирована автором в [7].
Доказательство теоремы 1.7 излагается в § 3 данной работы. Оно
использует некоторые вспомогательные результаты общего характе-
ра, которые устанавливаются в § 2. Наконец, в § 4 рассматриваются
некоторые результаты и примеры, связанные с основными условия-
ми теорем 1.6 и 1.7. В частности, там устанавливается, что условие
теоремы 1.7 на функцию f является неулучшаемым условием, обе-
спечивающим принадлежность энтропийного решения задачи (1.4)
пространству
◦
W 1,r(Ω). А именно, если для произвольных фиксиро-
ванных c > 0 и m ∈ N и любого k > sm+1 справедливо неравенство,
получающееся из (1.14) заменой σ на (n− 1)/n, то такое условие на
f уже не гарантирует принадлежность энтропийного решения зада-
чи (1.4) пространству
◦
W 1,r(Ω). При этом может существовать слабое
решение задачи (1.4), не принадлежащее
◦
W 1,r(Ω).
Заключая Введение отметим, что аналоги основного результата
статьи могут быть получены и в отношении решений задачи Дирихле
для классов уравнений высокого порядка, рассмотренных в работах
[7, 9, 10].
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 2.1. Пусть u — измеримая функция на Ω. Пусть M > 0,
τ > 0, ε > 1, m ∈ N. Пусть для любого k > sm+1 справедливо
неравенство
meas { |u| > k } 6 Mk−τ
[ m∏
j=1
bj(k)
]−1
[ bm+1(k) ]−ε . (2.1)
Тогда u ∈ Lτ (Ω).
Доказательство. Ограничимся предположением, что m > 2. Случай
m = 1 рассматривается аналогично.
Зафиксируем k0 ∈ N такое, что k0 > sm+1. Для любого k ∈
N, k > k0 положим
А. А. Ковалевский 509
βk =
[
k
m−1∏
j=1
bj(k)
]−1
[ bm(k) ]−ε .
Поскольку ε > 1, имеем
∞∑
k=k0
βk 6
2m+ε
ε− 1
[ bm(k0) ]1−ε . (2.2)
Пусть k ∈ N, k > k0. В силу (2.1) имеем
meas { |u| > ek } 6 Me−τk βk .
Тогда ∫
{ek6|u|<ek+1}
|u|τ dx 6 Meτβk .
Теперь, учитывая (2.2), заключаем, что u ∈ Lτ (Ω). Лемма дока-
зана.
Замечание 2.1. Если в лемме 2.1 условие ε > 1 заменить на усло-
вие ε = 1, то заключение леммы, вообще говоря, не будет верным.
Действительно, пусть B — открытый единичный шар в R
n с центром
в нуле, τ > 0, m ∈ N, и пусть v — функция на B такая, что
v(x) =
|x|−n/τ
[ m∏
j=1
bj
(
1
|x|
)]−1/τ
, если 0 < |x| 6
1
sm+1
,
0, если |x| > 1
sm+1
.
Тогда существует положительная постоянная M1, зависящая только
от n, τ и m, такая, что для любого k > sm имеет место неравенство
meas { |v| > k } 6 M1k
−τ
[ m∏
j=1
bj(k)
]−1
.
Вместе с тем функция v не принадлежит Lτ (B).
Лемма 2.2. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω), k > 0. Тогда
( ∫
Ω
|Tk(u)|p
∗
dx
)1/p∗
6 cn,p
( ∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx
)1/p
, (2.3)
meas { |u| > k } 6 (cn,p/k)
p∗
( ∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx
)p∗/p
. (2.4)
510 О точном условии предельной суммируемости...
Доказательство. Неравенство (2.3) является следствием включения
Tk(u) ∈
◦
W 1,p(Ω) и (1.11). Далее, заметим, что { |u| > k } = { |Tk(u)| =
k }. Следовательно,
kp
∗
meas { |u| > k } 6
∫
Ω
|Tk(u)|p
∗
dx.
Отсюда и из (2.3) выводим (2.4). Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω), k, k1 > 0. Тогда
meas { |δu| > k } 6 (cn,p/k1)
p∗
( ∫
Ω
|∇Tk1(u)|p dx
)p∗/p
+
+ k−p
∫
Ω
|∇Tk1(u)|p dx. (2.5)
Доказательство. Положим G = { |u| < k1, |δu| > k }. Ясно, что
meas { |δu| > k } 6 meas { |u| > k1 } + measG. (2.6)
Если measG 6= 0, то в силу (1.7) имеем k 6 |∇Tk1(u)| п.в. на G и,
следовательно,
measG 6 k−p
∫
Ω
|∇Tk1(u)|p dx. (2.7)
Очевидно, что это неравенство верно и в случае measG = 0.
Из (2.6), (2.7) и леммы 2.2 выводим (2.5). Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы 1.7
Пусть условия теоремы 1.7 выполняются.
Через ci, i = 3, 4, . . . , будем обозначать положительные постоян-
ные, зависящие только от n, p, c2, c,m, σ и meas Ω.
Пусть ψ — функция на (sm+1,+∞) такая, что для любого s ∈
(sm+1,+∞)
ψ(s) =
[ m∏
j=1
bj(s)
]−(n−1)/n
[ bm+1(s) ]−σ .
Определим числа tj следующим образом:
t1 = 4,
tj = etj−1 , j = 2, 3, . . . ,m+ 1.
А. А. Ковалевский 511
Положим
γ =
p− 1
2p
, γ1 = max (s
1/γ
m+1, e
1/γ2
, tm+1).
Теперь зафиксируем произвольное k > γ1. Ясно, что
b1(k
γ) = γ b1(k). (3.1)
Поскольку k > e1/γ
2
, используя (3.1), устанавливаем, что
b2(k
γ) >
1
2
b2(k). (3.2)
Кроме того, в силу неравенства k > tm+1 имеем
∀ j ∈ {1, . . . ,m} bj(k) > 4. (3.3)
Из (3.2) и (3.3) следует, что
∀j ∈ {2, . . . ,m+ 1} bj(k
γ) >
1
2
bj(k). (3.4)
Используя (3.1) и (3.4), получаем, что
ψ(kγ) 6 c3 ψ(k). (3.5)
Кроме того, учитывая, что для любых λ, s > 0 имеем λ ln s < sλ ,
устанавливаем неравенство
k−1/2
6 c4 ψ(k). (3.6)
Положим
Ik =
∫
{|f |>kγ}
|f | dx.
Поскольку kγ > sm+1 , в силу условия теоремы относительно f и (3.5)
справедливо неравенство
Ik 6 c c3ψ(k). (3.7)
Далее, так как u — энтропийное решение задачи (1.4), то u ∈
◦
T 1,p(Ω)
и имеет место неравенство
∫
{|u|<k}
{ n∑
i=1
ai(x, δu)δiu
}
dx 6
∫
Ω
f Tk(u) dx.
512 О точном условии предельной суммируемости...
Отсюда, используя (1.2) и предложение 1.1, выводим, что
c2
∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx 6
∫
Ω
f Tk(u) dx. (3.8)
Очевидно, что для правой части неравенства (3.8) имеет место оценка
∫
Ω
f Tk(u) dx 6
∫
{|f |6kγ}
|f | |Tk(u)| dx+ kIk . (3.9)
Используя неравенство Гельдера, (2.3) и неравенство Юнга, получаем
∫
{|f |6kγ}
|f | |Tk(u)| dx 6 kγ
∫
Ω
|Tk(u)| dx 6
6 kγ(meas Ω)(p
∗−1)/p∗
( ∫
Ω
|Tk(u)|p
∗
dx
)1/p∗
6
6 kγ(meas Ω)(p
∗−1)/p∗ cn,p
( ∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx
)1/p
6
6
c2
p
∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx+ c5k
1/2 .
Отсюда и из (3.8), (3.9) вытекает, что
∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx 6 c6k[ k
−1/2 + Ik ].
Полученное неравенство и неравенства (3.6), (3.7) позволяют за-
ключить, что для любого k > γ1
∫
Ω
|∇Tk(u)|p dx 6 c7kψ(k). (3.10)
Далее, положим
γ2 = γ
(n−1)/(n−p)
1 [ψ(γ1) ]−1/(n−p)
и зафиксируем произвольное k > γ2. Поскольку sn−1[ψ(s) ]−1 → +∞
при s→ +∞ и γn−1
1 [ψ(γ1) ]−1 < kn−p, существует k1 > γ1 такое, что
kn−1
1 [ψ(k1) ]−1 = kn−p . (3.11)
А. А. Ковалевский 513
Отсюда следует, что
k
−n(p−1)/(n−p)
1 [ψ(k1) ]n/(n−p) = k−r[ψ(k1) ]n/(n−1) , (3.12)
k−pk1ψ(k1) = k−r[ψ(k1) ]n/(n−1) . (3.13)
Кроме того, в силу (3.11) имеем k1 < k и kn−p < kn+m+σ
1 . Используя
последнее неравенство, устанавливаем, что для любого j ∈ {1, . . . ,
m+ 1}
bj(k) <
n+m+ σ
n− p
bj(k1).
Тогда
ψ(k1) 6 c8ψ(k). (3.14)
Заметим еще, что поскольку k1 > γ1, в силу (3.10) имеем
∫
Ω
|∇Tk1(u)|p dx 6 c7k1ψ(k1).
Используя это неравенство и лемму 2.3, получаем, что
meas { |δu| > k } 6 cp
∗
n,pc
p∗/p
7 k
−n(p−1)/(n−p)
1 [ψ(k1) ]n/(n−p)+c7k
−pk1ψ(k1).
Отсюда и из (3.12)–(3.14) вытекает, что
meas { |δu| > k } 6 c9k
−r[ψ(k) ]n/(n−1) .
Полученный результат позволяет заключить, что для любого k >
sm+1
meas { |δu| > k } 6 c10k
−r
[ m∏
j=1
bj(k)
]−1
[ bm+1(k) ]−σn/(n−1) .
Отсюда, учитывая неравенство σ > (n−1)/n и используя лемму 2.1,
выводим, что |δu| ∈ Lr(Ω). Тогда, учитывая, что в силу условия p >
2−1/n справедливо неравенство r > 1, и используя предложение 1.2,
устанавливаем, что u ∈
◦
W 1,r(Ω). Тем самым теорема доказана.
4. Дальнейшие результаты и примеры,
связанные с условиями теорем 1.6 и 1.7
Прежде всего докажем два предложения о необходимом и доста-
точном условиях для того, чтобы выполнялось условие теоремы 1.7
относительно функции f .
514 О точном условии предельной суммируемости...
Предложение 4.1. Пусть выполняется условие: существуют c >
0, m ∈ N и σ > (n− 1)/n такие, что для любого k > sm+1 справед-
ливо неравенство
∫
{|f |>k}
|f | dx 6 c
[ m∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
[ bm+1(k) ]−σ .
Тогда для любого t ∈ (0, (n− 1)/n) имеем f [ ln (1 + |f |) ]t ∈ L1(Ω).
Доказательство. Пусть t ∈ (0, (n − 1)/n). Зафиксируем t1 такое,
что
t1 >
(
n− 1
n
− t
)−1
, (4.1)
и k0 ∈ N такое, что k0 > s
1/t1
m+1 .
Для любого k ∈ N, k > k0, положим
Gk = { ekt1 < |f | 6 e(k+1)t1}, G′
k = { |f | > ek
t1 }.
Заметим, что
G′
k0 =
∞⋃
k=k0
Gk . (4.2)
Зафиксируем произвольное k ∈ N, k > k0. Поскольку kt1 > sm+1,
то для любого j ∈ {1, . . . ,m+ 1} имеем
bj ( ek
t1
) > 1.
Тогда в силу условия предложения справедливо неравенство
∫
G′
k
|f | dx 6 ck−t1(n−1)/n . (4.3)
Кроме того, в силу определения множества Gk имеем
[ ln (1 + |f |) ]t 6 2(1+t1)tkt1t на Gk . (4.4)
Из (4.3) и (4.4) следует, что
∫
Gk
|f | [ ln (1 + |f |) ]t dx 6 2(1+t1)tck−t1[(n−1)/n−t] .
Полученное неравенство и (4.1) позволяют заключить, что
∞∑
k=k0
∫
Gk
|f | [ ln (1 + |f |) ]t dx <∞.
А. А. Ковалевский 515
Отсюда, учитывая (4.2) и то, что множества Gk попарно не пересе-
каются, делаем вывод, что функция f [ ln (1 + |f |) ]t суммируема на
G′
k0
и, следовательно, эта функция суммируема на Ω. Предложение
доказано.
Предложение 4.2. Пусть выполняется условие: существуют m ∈
N и σ > (n− 1)/n такие, что
f
[ m∏
j=1
bj(sj + |f |)
](n−1)/n
[ bm+1(sm+1 + |f |) ]σ ∈ L1(Ω).
Тогда существует c > 0 такое, что для любого k > sm+1 справед-
ливо неравенство
∫
{|f |>k}
|f | dx 6 c
[ m∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
[ bm+1(k) ]−σ .
Доказательство. Положим
Φ =
[ m∏
j=1
bj(sj + |f |)
](n−1)/n
[ bm+1(sm+1 + |f |) ]σ .
В силу условия предложения имеем fΦ ∈ L1(Ω). Положим
c =
∫
Ω
|f |Φ dx+ 1. (4.5)
Зафиксируем произвольное k > sm+1. Нетрудно убедиться в том,
что для любого x ∈ { |f | > k }
[ m∏
j=1
bj(k)
](n−1)/n
[ bm+1(k) ]σ < Φ(x).
Тогда
∫
{|f |>k}
|f | dx 6
[ m∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
[ bm+1(k) ]−σ
∫
Ω
|f |Φ dx.
Отсюда и из (4.5) следует неравенство, приводящее к заключению
предложения.
Замечание 4.1. Легко видеть, что теорема 1.6 является следствием
предложения 4.2 и теорем 1.1, 1.2 и 1.7.
516 О точном условии предельной суммируемости...
Замечание 4.2. Если σ1 > (n− 1)/n и f [ ln (1 + |f |) ]σ1 ∈ L1(Ω), то
для любого σ > (n−1)/n имеем f [ ln (1+|f |) ](n−1)/n[ ln ln (e+|f |) ]σ ∈
L1(Ω) и, следовательно, условие предложения 4.2, или то же, что и
условие теоремы 1.6 относительно f , выполняется. При этом m = 1.
Обозначим через B открытый единичный шар в R
n с центром в
нуле.
Пример 4.1. Пусть σ ∈ ((n − 1)/n, 1), и пусть f1 — функция на B
такая, что
f1(x) =
1
|x|n
(
ln
1
|x|
)−(2n−1)/n(
ln ln
1
|x|
)−σ
, если 0 < |x| 6 e−e ,
0, если |x| = 0 или |x| > e−e .
Нетрудно проверить, что функция f1 суммируема на B, причем
∫
B
f1 dx 6 2κn , (4.6)
где κn — площадь поверхности единичной сферы в R
n.
Покажем, что справедливы следующие утверждения:
(i) для любого k > e имеет место неравенство
∫
{|f1|>k}
|f1| dx 6 2κnn
2e (ln k)−(n−1)/n(ln ln k)−σ ;
(ii) функция f1[ ln (1 + |f1|) ](n−1)/n не принадлежит L1(B).
Действительно, зафиксируем произвольное k > e. Предположим
сначала, что k 6 ene. Тогда
1 6 ne(ln k)−(n−1)/n , 1 6 n(ln ln k)−σ
и, следовательно, учитывая (4.6), получаем
∫
{|f1|>k}
|f1| dx 6 2κn 6 2κnn
2e(ln k)−(n−1)/n(ln ln k)−σ .
Пусть теперь k > ene. Положим
Bk = {x ∈ R
n : |x| 6 k−1/n },
и пусть для любого i ∈ N, i > k1/n ,
B
(i)
k = {x ∈ R
n : i−1
6 |x| 6 k−1/n }.
А. А. Ковалевский 517
Зафиксируем i ∈ N, i > k1/n. Для произвольного x ∈ B
(i)
k имеем
ln ln k 6 n ln ln
1
|x|
и, следовательно,
|f1(x)| 6 n(ln ln k)−σ
1
|x|n
(
ln
1
|x|
)−(2n−1)/n
.
Тогда
∫
B
(i)
k
|f1| dx 6 κnn(ln ln k)−σ
1/k1/n∫
1/i
1
ρ
(
ln
1
ρ
)−(2n−1)/n
dρ =
= κnn(ln ln k)−σ
n
n− 1
[ (ln k1/n)−(n−1)/n − (ln i)−(n−1)/n ] 6
6 2κnn
2(ln k)−(n−1)/n(ln ln k)−σ .
Отсюда вытекает, что
∫
Bk
|f1| dx 6 2κnn
2(ln k)−(n−1)/n(ln ln k)−σ .
Из этого неравенства, учитывая включение { |f1| > k } ⊂ Bk, получа-
ем соответствующую оценку для интеграла функции |f1| по множе-
ству { |f1| > k }.
Таким образом, заключаем, что утверждение (i) справедливо.
Далее, положим
α = min
{(
n− 1
n+ 1
)4
, e−e
}
,
и пусть для любого i ∈ N, i > 1/α,
Gi = {x ∈ R
n : i−1
6 |x| 6 α }.
Зафиксируем i ∈ N, i > 1/α, и возьмем x ∈ Gi. Ясно, что
1
4
ln
1
|x| + ln
n− 1
n+ 1
> 0. (4.7)
Кроме того, имеем
ln ln
1
|x| < ln
1
|x| <
n+ 1
n− 1
(
1
|x|
)(n−1)/(n+1)
. (4.8)
518 О точном условии предельной суммируемости...
Используя (4.8), находим, что
|f1(x)| >
(
n− 1
n+ 1
)3 1
|x| .
Отсюда и из (4.7) вытекает, что
ln (1 + |f1(x)|) >
1
4
ln
1
|x|
и, следовательно,
|f1(x)| [ ln (1 + |f1(x)|) ](n−1)/n >
1
4|x|n
(
ln
1
|x|
)−1(
ln ln
1
|x|
)−σ
.
Тогда
∫
Gi
|f1| [ ln (1 + |f1|) ](n−1)/n dx >
κn
4
α∫
1/i
1
ρ
(
ln
1
ρ
)−1(
ln ln
1
ρ
)−σ
dρ =
=
κn
4(1 − σ)
[
(ln ln i)1−σ −
(
ln ln
1
α
)1−σ ]
.
Отсюда выводим, что
∫
Gi
|f1| [ ln (1 + |f1|) ](n−1)/n dx→ ∞ при i→ ∞.
Следовательно, функция f1[ln(1+|f1|) ](n−1)/n не принадлежит L1(B).
Значит, утверждение (ii) справедливо.
Замечание 4.3. В силу предложения 4.2 выполнение условия тео-
ремы 1.6 относительно функции f влечет выполнение условия теоре-
мы 1.7 относительно f . Обратное, как следует из утверждений (i) и
(ii) примера 4.1, не верно. Кроме того, эти утверждения показывают,
что показатель t = (n − 1)/n в заключительном включении предло-
жения 4.1, вообще говоря, не достигается.
Докажем теперь одно полезное предложение, являющееся основой
для рассмотрения дальнейших примеров.
Для любого i ∈ {1, . . . , n} определим функцию Ai : R
n → R
следующим образом:
Ai(ξ) =
{
|ξ|p−2ξi , если ξ 6= 0,
0, если ξ = 0.
А. А. Ковалевский 519
Предложение 4.3. Пусть p > 2−1/n. Пусть h ∈ C2((0,+∞)), α ∈
(0, 1), и пусть выполняются условия:
1) h > 0 на (0, α) и h = 0 на [α,+∞);
2) h(s) → 0 при s→ 0;
3) для любого s ∈ (0, α)
n− p
p− 1
h(s) − sh′(s) > 0 ;
4) существуют M > 0, γ ∈ (0, (n−p)/(p−1)) и β ∈ (0, α) такие,
что для любого s ∈ (0, β) h(s) > Msγ ;
5) существуют M1 ∈ (0, 1) и β1 ∈ (0, α) такие, что для любого
s ∈ (0, β1)
s|h′(s)| 6
n− p
p− 1
M1h(s);
6)
α∫
0
[
n− p
p− 1
h(s) − sh′(s)
]p−2
[ |h′(s)| + s|h′′(s)| ] ds < +∞.
Пусть u — функция на B такая, что для любого x ∈ B\{0}
u(x) = |x|−(n−p)/(p−1) h(|x|).
Пусть F — функция на B такая, что для любого x ∈ B, 0 < |x| <
α,
F (x) = |x|1−n
[
n− p
p− 1
h(|x|) − |x|h′(|x|)
]p−2
×
× [ (n− 2p+ 1)h′(|x|) − (p− 1)|x|h′′(|x|) ] ,
а для любого x ∈ B, |x| > α, F (x) = 0.
Тогда F ∈ L1(B), u ∈
◦
W 1,1(B) и справедливы следующие ут-
верждения:
(∗1) для любого λ ∈ [1, r) |∇u| ∈ Lλ(B);
(∗2) для любой функции ϕ ∈ C∞
0 (B)
∫
B
{ n∑
i=1
Ai(∇u)Diϕ
}
dx =
∫
B
Fϕdx;
(∗3) для любых ϕ ∈ C∞
0 (B) и k > 0 Tk(u− ϕ) ∈
◦
W 1,p(B);
(∗4) для любых ϕ ∈ C∞
0 (B) и k > 0 функция
∑n
i=1Ai(∇u)DiTk ×
(u− ϕ) суммируема на B и
∫
B
{ n∑
i=1
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ)
}
dx =
∫
B
FTk(u− ϕ) dx;
520 О точном условии предельной суммируемости...
(∗5) если
α∫
0
1
s
hr(s) ds < +∞, то |∇u| ∈ Lr(B);
(∗6) если
α∫
0
1
s
hr(s) ds = +∞, то |∇u| 6∈ Lr(B).
Доказательство. Включение F ∈ L1(B) справедливо в силу усло-
вия 6).
Покажем, что u ∈
◦
W 1,1(B). Прежде всего заметим, что в силу
условий 2) и 5) существует положительное число M2 такое, что для
любого s ∈ (0, α)
n− p
p− 1
h(s) + s|h′(s)| 6 M2 . (4.9)
Пусть w — функция на B такая, что для любого x ∈ B\{0}
w(x) = |x|−(n−1)/(p−1) .
Поскольку p > 2 − 1/n, имеем
n− 1
p− 1
< n (4.10)
и, следовательно, функция w суммируема на B. Тогда, учитывая, что
в силу условия 1) и (4.9)
|u| 6
p− 1
n− p
M2w на B\{0},
получаем, что u ∈ L1(B).
Пусть F0 — функция на B такая, что любого x ∈ B\{0}
F0(x) =
n− p
p− 1
h(|x|) − |x|h′(|x|).
Из условий 1) и 3) вытекает, что для любого x ∈ B\{0} F0(x) > 0.
Обозначим через v сужение функции u на B\{0}. Имеем v ∈
C1(B\{0}), причем для любых i ∈ {1, . . . , n} и x ∈ B\{0}
Div (x) = −xi|x|−1w(x)F0(x). (4.11)
Положим для любого j ∈ N
Kj =
{
x ∈ R
n :
1
1 + j
< |x| < 1
}
, Sj =
{
x ∈ R
n : |x| =
1
1 + j
}
.
А. А. Ковалевский 521
Теперь зафиксируем i ∈ {1, . . . , n} и обозначим через wi какое-
либо продолжение Div на B. В силу условия 1), (4.9) и (4.11) име-
ем |wi| 6 M2w на B\{0} и, следовательно, wi ∈ L1(B). Пусть ϕ ∈
C∞
0 (B) и j ∈ N. Учитывая гладкость функции v и используя фор-
мулу интегрирования по частям, получаем
∫
Kj
uDiϕdx = −
∫
Kj
wiϕdx+
∫
Sj
uϕ cos(ν, ei) dSj , (4.12)
где ν — единичный вектор внутренней нормали к Sj , ei — орт i-й
оси. В силу определения функции u имеем
∣∣∣∣
∫
Sj
uϕ cos(ν, ei) dSj
∣∣∣∣ 6 κn
(
1
1 + j
)n−(n−1)/(p−1)
h
(
1
1 + j
)
max
x∈B
|ϕ(x)| .
Отсюда, принимая во внимание условие 2) и неравенство (4.10), за-
ключаем, что
lim
j→∞
∫
Sj
uϕ cos(ν, ei) dSj = 0.
Тогда, учитывая суммируемость функций u и wi на B и переходя в
(4.12) к пределу при j → ∞, получаем
∫
B
uDiϕdx = −
∫
B
wiϕdx.
Следовательно, существует обобщенная производная Diu, Diu = wi
п.в. на B. Тогда в силу (4.11) для почти всех x ∈ B\{0}
Diu (x) = −xi|x|−1w(x)F0(x). (4.13)
Теперь можно сделать вывод, что u ∈ W 1,1(B). А так как в силу
условия 1) suppu ⊂ B, то u ∈
◦
W 1,1(B).
Заметим, что вследствие (4.13)
|∇u| = wF0 п.в. на B. (4.14)
Докажем справедливость утверждения (∗1). Пусть λ ∈ [1, r). Бла-
годаря (4.14), (4.9) и условию 1) имеем |∇u|λ 6 Mλ
2 |w|λ п.в. на B.
Отсюда, учитывая, что λ(n − 1)/(p − 1) < n и, следовательно, w ∈
Lλ(B), выводим, что |∇u| ∈ Lλ(B). Тем самым справедливость ут-
верждения (∗1) установлена.
522 О точном условии предельной суммируемости...
Далее, пусть для любого i ∈ {1, . . . , n} vi — функция на B такая,
что для любого x ∈ B\{0}
vi(x) = −xi|x|−n[F0(x) ]p−1 .
В силу (4.9) и условия 1) для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем vi ∈ L1(B).
Кроме того, для любых i ∈ {1, . . . , n} и j ∈ N имеем
|vi| 6 Mp−1
2 (1 + j)n−1 на Kj , (4.15)
|vi| 6 (1 + j)n−1
[
n− p
p− 1
h
(
1
1 + j
)
+
1
1 + j
∣∣∣∣h
′
(
1
1 + j
)∣∣∣∣
]p−1
на Sj .
(4.16)
Положим
Bα = {x ∈ R
n : 0 < |x| < α}.
Благодаря условию 3) для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем
vi|Bα ∈ C1(Bα). (4.17)
Кроме того, учитывая условие 3) и определение функции F , получа-
ем, что
−
n∑
i=1
Di(vi|Bα) = F |Bα . (4.18)
Покажем, что для любой функции ϕ ∈
◦
W 1,p(B) ∩ L∞(B)
lim
j→∞
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕ
}
dx =
∫
B
Fϕdx. (4.19)
Действительно, пусть ϕ ∈
◦
W 1,p(B) ∩ L∞(B), и пусть {ϕm} — по-
следовательность функций из C∞
0 (B) такая, что
ϕm → ϕ сильно в W 1,p(B), (4.20)
ϕm → ϕ п.в. на B, (4.21)
∀m ∈ N |ϕm| 6 ‖ϕ‖L∞(B) + 1 на B. (4.22)
Положим для любого j ∈ N
qj =
[
n− p
p− 1
h
(
1
1 + j
)
+
1
1 + j
∣∣∣∣h
′
(
1
1 + j
)∣∣∣∣
]p−1
.
В силу условий 2) и 5) имеем
lim
j→∞
qj = 0. (4.23)
А. А. Ковалевский 523
Зафиксируем j ∈ N, и пусть m ∈ N. Используя (4.17), формулу
интегрирования по частям, (4.18) и условие 1), получаем
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕm
}
dx =
∫
Kj
Fϕm dx+
∫
Sj
{ n∑
i=1
vi cos(ν, ei)
}
ϕm dSj .
(4.24)
В силу (4.16) и (4.22) имеем
∣∣∣∣
∫
Sj
{ n∑
i=1
vi cos(ν, ei)
}
ϕm dSj
∣∣∣∣ 6 ( ‖ϕ‖L∞(B) + 1 )nκnqj .
Отсюда и из (4.24) вытекает, что
∣∣∣∣
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕm
}
dx−
∫
Kj
Fϕm dx
∣∣∣∣ 6 ( ‖ϕ‖L∞(B) + 1 )nκnqj . (4.25)
Используя (4.15), устанавливаем, что
∣∣∣∣
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕm
}
dx−
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕ
}
dx
∣∣∣∣ 6
6 Mp−1
2 (1 + j)n−1
n∑
i=1
∫
B
|Di(ϕm − ϕ)| dx. (4.26)
Кроме того, вследствие (4.22) имеем
∣∣∣∣
∫
Kj
Fϕm dx−
∫
B
Fϕdx
∣∣∣∣ 6
∫
B
|F | |ϕm − ϕ| dx+
+ ( ‖ϕ‖L∞(B) + 1)
∫
B\Kj
|F | dx. (4.27)
Из (4.25)–(4.27) следует, что
∣∣∣∣
∫
Kj
{ n∑
i=1
viDiϕ
}
dx−
∫
B
Fϕdx
∣∣∣∣ 6
6 Mp−1
2 (1 + j)n−1
n∑
i=1
∫
B
|Di(ϕm − ϕ)| dx+
∫
B
|F | |ϕm − ϕ| dx+
+ ( ‖ϕ‖L∞(B) + 1 )
[
nκnqj +
∫
B\Kj
|F | dx
]
.
524 О точном условии предельной суммируемости...
Отсюда, используя (4.20)–(4.23) и то, что meas (B\Kj) → 0 при j →
∞, выводим (4.19).
Заметим, что в силу (4.13), (4.14) и условий 1), 3) для любого
i ∈ {1, . . . , n}
Ai(∇u) = vi п.в. на B. (4.28)
Отсюда и из (4.19) вытекает, что утверждение (∗2) справедливо.
Докажем справедливость утверждения (∗3). Пусть ϕ ∈ C∞
0 (B) и
k > 0. Пусть hk – функция из C1(R) со свойствами: hk(s) = s, если
|s| 6 k; hk(s) = 3
2k sign s, если |s| > 2k; 0 6 h′k 6 1 на R. Определим
функцию uk : B → R следующим образом:
uk(x) =
hk(u(x) − ϕ(x)), если x ∈ B\{0},
3
2
k, если x = 0.
Вследствие условия 4) имеем uk ∈ C1(B). Кроме того, благодаря
условию 1) имеем suppuk ⊂ Bα ∪ suppϕ. Таким образом, uk ∈ C1
0 (B)
и, следовательно, uk ∈
◦
W 1,p(B). Но тогда и Tk(uk) ∈
◦
W 1,p(B). Отсю-
да, учитывая, что Tk(u − ϕ) = Tk(uk) на B\{0}, заключаем, что
Tk(u − ϕ) ∈
◦
W 1,p(B). Тем самым справедливость утверждения (∗3)
установлена.
Докажем справедливость утверждения (∗4). Пусть ϕ ∈ C∞
0 (B) и
k > 0. Положим
γ1 =
(
n− p
p− 1
− γ
)−1
, k1 = min
{
β,
(
M
k + max
x∈B
|ϕ(x)|
)γ1}
и обозначим через B′ открытый шар в R
n с центром в нуле и радиусом
k1. В силу условия 4) имеем B′\{0} ⊂ { |u − ϕ| > k }. Используя
это включение и утверждение (∗3), получаем, что для любого i ∈
{1, . . . , n}
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ) = 0 п.в. на B′. (4.29)
Кроме того, в силу (4.9), (4.28) и условия 1) для любого i ∈ {1, . . . , n}
имеем
|Ai(∇u)DiTk(u−ϕ)| 6 Mp−1
2 k1−n
1 |DiTk(u−ϕ)| п.в. на B\B′. (4.30)
Из (4.29) и (4.30) вытекает, что для любого i ∈ {1, . . . , n} функция
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ) суммируема на B. Используя этот факт, а также
утверждение (∗3) и (4.19), (4.28), получаем
∫
B
{ n∑
i=1
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ)
}
dx =
∫
B
FTk(u− ϕ) dx.
А. А. Ковалевский 525
Следовательно, утверждение (∗4) справедливо.
Докажем справедливость утверждения (∗5). Пусть
α∫
0
1
s
hr(s) ds < +∞. (4.31)
Положим
G = {x ∈ R
n : |x| 6 β1},
и пусть для любого j ∈ N
G(j) =
{
x ∈ R
n :
β1
1 + j
6 |x| 6 β1
}
.
В силу (4.14) и условия 5) для почти всех x ∈ G\{0} имеем
|∇u|r(x) 6 (2n)r|x|−nhr(|x|).
Тогда для любого j ∈ N
∫
G(j)
|∇u|r dx 6 (2n)rκn
α∫
0
1
s
hr(s) ds.
Отсюда и из (4.31) вытекает, что функция |∇u|r суммируема на G.
Заметим еще, что в силу (4.14), (4.9) и условия 1) |∇u| < M2β
−n
1 п.в.
на B\G и, следовательно, функция |∇u|r суммируема на B\G. Те-
перь можно заключить, что |∇u| ∈ Lr(B). Тем самым справедливость
утверждения (∗5) установлена.
Наконец, докажем справедливость утверждения (∗6). Пусть
α∫
0
1
s
hr(s) ds = +∞. (4.32)
Пусть G и G(j), j ∈ N, — множества, определенные при доказа-
тельстве справедливости утверждения (∗5). В силу условия 5) для
любого x ∈ G\{0} имеем
F0(x) > (1 −M1)
n− p
p− 1
h(|x|).
Отсюда и из (4.14) следует, что для почти всех x ∈ G\{0}
|∇u|r(x) > (1 −M1)
r
(
n− p
p− 1
)r
|x|−nhr(|x|).
526 О точном условии предельной суммируемости...
Тогда для любого j ∈ N имеем
∫
G(j)
|∇u|r dx > κn(1 −M1)
r
(
n− p
p− 1
)r β1∫
β1/(1+j)
1
s
hr(s) ds.
Отсюда и из (4.32) вытекает, что
lim
j→∞
∫
G(j)
|∇u|r dx = ∞.
Следовательно, |∇u| 6∈ Lr(B), и тем самым справедливость утвер-
ждения (∗6) установлена.
Предложение доказано.
Используя предложение 4.3, приведем сравнительно простой при-
мер, в котором правая часть уравнения в задаче (1.4) имеет опреде-
ленную “логарифмическую” суммируемость, но энтропийное (и вмес-
те с тем слабое) решение этой задачи не принадлежит пространству
◦
W 1,r(Ω).
Пример 4.2. Пусть p > 2 − 1/n, σ1 ∈ (0, 1/r). Положим α1 =
e−2σ1(p−1)/(n−p) , и пусть ψ1 — функция из C2((0,+∞)) такая, что
ψ1 = 0 на (0, α1/3 ], ψ1 = 1 на [ 2α1/3, +∞), ψ1 не убывает на
(α1/3, 2α1/3). Пусть h1 — функция на (0,+∞) такая, что для лю-
бого s ∈ (0, α1)
h1(s) =
(
ln
1
s
)−σ1
[ 1 − ψ1(s) + ψ1(s)(α1 − s)3 ] ,
а для любого s > α1 h1(s) = 0.
Имеем h1 ∈ C2((0,+∞)), α1 ∈ (0, 1), h1 > 0 на (0, α1) и h1 = 0
на [α1, +∞), h1(s) → 0 при s→ 0 , для любого s ∈ (0, α1)
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s) > 0.
Кроме того, для любого s ∈ (0, α1/3) имеем
h1(s) >
(
n− p
n− 1
)σ1
s(n−p)/(n−1) ,
s|h′1(s)| 6
n− p
2(p− 1)
h1(s).
А. А. Ковалевский 527
Из указанных свойств функции h1 следует, что существуют положи-
тельные постоянные µ1, µ2 и µ3 такие, что
∀ s ∈ (0, α1)
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s) 6 µ1 , (4.33)
∀ s ∈ [α1/3, 2α1/3 ]
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s) > µ2 , (4.34)
∀ s ∈ [α1/3, α1) |h′1(s)| + s|h′′1(s)| 6 µ3 . (4.35)
Заметим еще, что для любого s ∈ (0, α1/3 ]
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s) >
n− p
2(p− 1)
(
ln
1
s
)−σ1
, (4.36)
|h′1(s)| + s|h′′1(s)| 6
2n
σ1s
(
ln
1
s
)−σ1−1
. (4.37)
Наконец, для любого s ∈ [ 2α1/3, α1) имеем
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s) > 2α1
n− p
n+ 1
(α1 − s)2 , (4.38)
|h′1(s)| + s|h′′1(s)| 6
2n3
σ2
1
(α1 − s). (4.39)
Из (4.33)–(4.39) вытекает, что
α1∫
0
[
n− p
p− 1
h1(s) − sh′1(s)
]p−2
[ |h′1(s)| + s|h′′1(s)| ] ds < +∞. (4.40)
Действительно, обозначим через z функцию под знаком интеграла
в (4.40). Предположим, что p > 2. Тогда в силу (4.33) и (4.37)
∀ s ∈ (0, α1/3 ] z(s) 6
2nµp−2
1
σ1s
(
ln
1
s
)−σ1−1
, (4.41)
а в силу (4.33) и (4.35)
∀ s ∈ [α1/3, α1) z(s) 6 µ3µ
p−2
1 . (4.42)
Используя (4.41), (4.42) и учитывая, что σ1 > 0, получаем (4.40).
Пусть теперь p < 2. Тогда в силу (4.36) и (4.37)
∀ s ∈ (0, α1/3 ] z(s) 6
4n
(n− p)2−pσ1s
(
ln
1
s
)−σ1(p−1)−1
. (4.43)
528 О точном условии предельной суммируемости...
Кроме того, вследствие (4.34) и (4.35) имеем
∀ s ∈ [α1/3, 2α1/3 ] z(s) 6 µ3µ
p−2
2 , (4.44)
а вследствие (4.38), (4.39) и неравенства 2(p− 2) + 1 > 0 имеем
∀ s ∈ [ 2α1/3, α1) z(s) 6
2n4
(n− p)2−pα2
1σ
2
1
. (4.45)
Используя (4.43)–(4.45), снова получаем (4.40).
Таким образом, относительно функции h1 и числа α1 выполняю-
тся условия 1)–6) предложения 4.3. Кроме того, в силу неравенства
σ1 < 1/r имеем
α1∫
0
1
s
hr1(s) ds = +∞. (4.46)
Пусть теперь F1 — функция на B такая, что для любого x ∈ B,
0 < |x| < α1,
F1(x) = |x|1−n
[
n− p
p− 1
h1(|x|) − |x|h′1(|x|)
]p−2
×
× [ (n− 2p+ 1)h′1(|x|) − (p− 1)|x|h′′1(|x|) ] ,
а для любого x ∈ B, |x| > α1, F1(x) = 0.
Пусть, наконец, u — функция на B такая, что для любого x ∈
B\{0}
u(x) = |x|−(n−p)/(p−1) h1(|x|).
Тогда в силу предложения 4.3 и (4.46) имеем F1 ∈ L1(B), u ∈
◦
W 1,1(B) и справедливы следующие утверждения:
(i) для любого λ ∈ [1, r) |∇u| ∈ Lλ(B);
(ii) |∇u| 6∈ Lr(B);
(iii) для любой функции ϕ ∈ C∞
0 (B)
∫
B
{ n∑
i=1
Ai(∇u)Diϕ
}
dx =
∫
B
F1ϕdx;
(iv) для любых ϕ ∈ C∞
0 (B) и k > 0 Tk(u − ϕ) ∈
◦
W 1,p(B),
функция
n∑
i=1
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ) суммируема на B и
∫
B
{ n∑
i=1
Ai(∇u)DiTk(u− ϕ)
}
dx =
∫
B
F1Tk(u− ϕ) dx.
А. А. Ковалевский 529
Пусть теперь Ω = B, и пусть коэффициенты ai, i = 1, . . . , n, и
правая часть f в задаче (1.4) такие, что:
1) для любых i ∈ {1, . . . , n} и (x, ξ) ∈ Ω × R
n ai(x, ξ) = Ai(ξ);
2) f = F1.
Тогда в силу утверждений (i) и (iii) функция u является слабым ре-
шением задачи (1.4), а в силу утверждения (iv), (1.5) и предложе-
ния 1.1 эта же функция является энтропийным решением задачи
(1.4). Вместе с тем ввиду утверждения (ii) функция u не принад-
лежит пространству
◦
W 1,r(Ω).
Заметим еще, что для любого t, 0 < t < σ1 min {1, p− 1},
f [ ln (1 + |f |) ]t ∈ L1(Ω). (4.47)
Действительно, пусть t — произвольное число такое, что 0 < t <
σ1 min {1, p− 1}. Положим
µ4 =
35n14
σ6
1α
4
1(n− p)5
(
1 + µ1 +
1
µ2
+ µ3
)2p
.
Используя (4.33)–(4.39), находим, что для любого x ∈ Ω\{0}
|f(x)| [ ln (1 + |f(x)|) ]t 6
µ4
|x|n
(
ln
1
|x|
)t−σ1 min{1, p−1}−1
.
Отсюда, учитывая, что для любого x ∈ Ω, |x| > α1 , имеет место
равенство f(x) = 0, заключаем, что функция |f | [ ln (1 + |f |) ]t сумми-
руема на Ω и, следовательно, (4.47) справедливо.
Отметим в связи с этим, что в силу условия σ1 < 1/r верно
неравенство σ1 min {1, p− 1} < (n− 1)/n.
Далее, используя предложение 4.3, рассмотрим пример, показыва-
ющий, что условие теоремы 1.7 на функцию f является неулучшае-
мым условием, обеспечивающим принадлежность энтропийного ре-
шения задачи (1.4) пространству
◦
W 1,r(Ω).
Предварительно введем и изучим некоторые функции, которые
будут использоваться в этом примере.
Пусть для любого m ∈ N gm — функция на (0, 1/sm+1) такая,
что для любого s ∈ (0, 1/sm+1)
gm(s) =
m∏
j=1
bj
(1
s
)
.
Для любого m ∈ N имеем gm ∈ C2((0, 1/sm+1)) и gm > 1 на
(0, 1/sm+1). Кроме того, если m ∈ N и s ∈ (0, 1/sm+1), то
g′m(s) = −1
s
gm(s)
m∑
i=1
1
gi(s)
. (4.48)
530 О точном условии предельной суммируемости...
Зафиксируем последовательность чисел αm такую, что для лю-
бого m ∈ N
0 < αm < min { 1/sm+1, e
−mn2/(n−p) } . (4.49)
Далее, пусть для любого m ∈ N ψm — функция из C2((0,+∞))
такая, что ψm = 0 на (0, αm/3 ], ψm = 1 на [ 2αm/3, +∞), ψm не
убывает на [αm/3, 2αm/3 ].
Для любого m ∈ N положим
τm = 1 + max
s∈(0,+∞)
ψ′
m(s) + max
s∈(0,+∞)
|ψ′′
m(s)| .
Пусть для любого m ∈ N hm — функция на (0,+∞) такая, что
для любого s ∈ (0, αm)
hm(s) = [ gm(s)]−1/r [ 1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3 ] , (4.50)
а для любого s > αm hm(s) = 0.
Используя свойства функций gm, ψm и (4.48)–(4.50), устанавлива-
ем, что если m ∈ N, то hm ∈ C2((0,+∞)) и для любого s ∈ (0, αm)
h′m(s) =
1
rs
[ gm(s)]−1/r
( m∑
i=1
1
gi(s)
)
[ 1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3 ]−
− [ gm(s)]−1/r [ψ′
m(s)(1 − (αm − s)3) + 3ψm(s)(αm − s)2 ] , (4.51)
h′′m(s) = − 1
rs2
[gm(s)]−1/r
( m∑
i=1
1
gi(s)
)
[1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3]+
+
1
r2s2
[gm(s)]−1/r
( m∑
i=1
1
gi(s)
)2
[1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3]+
+
1
rs2
[gm(s)]−1/r
( m∑
i=1
1
gi(s)
i∑
j=1
1
gj(s)
)
[1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3]−
− 2
rs
[gm(s)]−1/r
( m∑
i=1
1
gi(s)
)
[ψ′
m(s)(1− (αm− s)3)+3ψm(s)(αm− s)2]−
−[gm(s)]−1/r[ψ′′
m(s)(1−(αm−s)3)+6ψ′
m(s)(αm−s)2−6ψm(s)(αm−s)].
(4.52)
Отметим, что если m ∈ N и s ∈ (0, αm) , то
m∑
i=1
1
gi(s)
6 m
(
ln
1
s
)−1
<
n− p
n2
, (4.53)
А. А. Ковалевский 531
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s) =
=
(
n− p
p− 1
− 1
r
m∑
i=1
1
gi(s)
)
[ gm(s)]−1/r[ 1 − ψm(s) + ψm(s)(αm − s)3 ]+
+ s[ gm(s)]−1/r[ψ′
m(s)(1 − (αm − s)3) + 3ψm(s)(αm − s)2 ] . (4.54)
Неравенство (4.53) следует из определения функций gi и (4.49), а
равенство (4.54) вытекает из (4.50) и (4.51).
В свою очередь, из (4.53), (4.54) и свойств функций ψm следует,
что если m ∈ N и s ∈ (0, αm), то
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s) > 0. (4.55)
Лемма 4.1. Пусть m ∈ N и s ∈ (0, αm/3 ]. Тогда имеют место
неравенства
hm(s) >
(
n− p
m
)m/r
s(n−p)/r , (4.56)
s|h′m(s)| 6
n− p
2(p− 1)
hm(s). (4.57)
Доказательство. Из (4.50) и равенства ψm(s) = 0 вытекает, что
hm(s) = [ gm(s)]−1/r , (4.58)
а в силу определения функции gm и свойств логарифмической функ-
ции имеем
gm(s) 6
(
ln
1
s
)m
6
(
m
n− p
)m
sp−n .
Отсюда и из (4.58) выводим (4.56).
Далее, поскольку ψm(s) = 0 и ψ′
m(s) = 0 , в силу (4.51) имеем
h′m(s) =
1
rs
[ gm(s)]−1/r
m∑
i=1
1
gi(s)
.
Отсюда и из (4.58), (4.53) выводим (4.57). Лемма доказана.
Пусть для любого m ∈ N Φm — функция на (0, αm) такая, что
для любого s ∈ (0, αm)
Φm(s) =
[
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s)
]p−2
[ |h′m(s)| + s|h′′m(s)| ] .
532 О точном условии предельной суммируемости...
Лемма 4.2. Пусть p > 2 − 1/n, m ∈ N и s ∈ (0, αm/3 ]. Тогда
Φm(s) 6
3m
rs
(
n− p
p− 1
)p−2
[ gm(s)]−(n−1)/n
(
ln
1
s
)−1
. (4.59)
Доказательство. Используя (4.53), (4.54) и учитывая, что
ψm(s) = 0, ψ′
m(s) = 0, (4.60)
получаем
3(n− p)
4(p− 1)
[ gm(s)]−1/r <
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s) <
n− p
p− 1
[ gm(s)]−1/r .
Отсюда следует, что
[
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s)
]p−2
<
4
3
(
n− p
p− 1
)p−2
[ gm(s)]−(p−2)/r . (4.61)
Далее, в силу (4.51), (4.60) и (4.53) имеем
|h′m(s)| 6
m
rs
[ gm(s)]−1/r
(
ln
1
s
)−1
. (4.62)
Поскольку по предположению p > 2 − 1/n, имеем r > 1. Тогда,
используя (4.53), получаем
1
r
( m∑
i=1
1
gi(s)
)2
+
m∑
i=1
1
gi(s)
i∑
j=1
1
gj(s)
<
m∑
i=1
1
gi(s)
6 m
(
ln
1
s
)−1
.
Отсюда и из (4.52), (4.60) и равенства ψ′′
m(s) = 0 вытекает, что
s|h′′m(s)| 6
m
rs
[ gm(s)]−1/r
(
ln
1
s
)−1
. (4.63)
Из неравенств (4.61)–(4.63) выводим (4.59), и тем самым лемма
доказана.
Лемма 4.3. Пусть p > 2 − 1/n, m ∈ N и s ∈ [αm/3, αm). Тогда
Φm(s) 6
(
3
αm
)p+2
τpm . (4.64)
А. А. Ковалевский 533
Доказательство. Предположим сначала, что s 6 2αm/3. Тогда, ис-
пользуя (4.53), (4.54) и (4.49), получаем
3(n− p)
4(p− 1)
(
αm
3
)3
[ gm(s)]−1/r
6
n− p
p− 1
hm(s)−sh′m(s) 6 nτm[ gm(s)]−1/r .
Отсюда, учитывая (4.49), выводим, что
[
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s)
]p−2
6
[
(nτm)p−2 +
(
3
αm
)2 ]
[ gm(s)]−(p−2)/r .
(4.65)
Кроме того, в силу (4.51)–(4.53) и (4.49) имеем
|h′m(s)| + s|h′′m(s)| 6
5τm
αm
[ gm(s)]−1/r . (4.66)
Из (4.65) и (4.66), учитывая (4.49) и неравенства p>2−1/n, gm(s)>1,
выводим (4.64).
Пусть теперь s > 2αm/3. Тогда имеем
ψm(s) = 1, ψ′
m(s) = 0, ψ′′
m(s) = 0. (4.67)
Используя первые два из этих равенств, а также (4.53) и (4.54), уста-
навливаем, что
2αm[ gm(s)]−1/r(αm − s)2 <
n− p
p− 1
hm(s) − sh′m(s) <
<
(
n− p
p− 1
+ 9
)
αm
3
[ gm(s)]−1/r(αm − s)2 .
Отсюда, учитывая неравенства nαm < 1 и 2p > 3, получаем
[
n− p
p− 1
hm(s)− sh′m(s)
]p−2
6
(
1
αm
)p−1
[ gm(s)]−(p−2)/r(αm− s)2(p−2) .
(4.68)
Кроме того, в силу (4.51)–(4.53), (4.67) и (4.49) имеем
|h′m(s)| + s|h′′m(s)| 6 [ gm(s)]−1/r(αm − s). (4.69)
Из (4.68) и (4.69) вытекает, что
Φm(s) 6
(
1
αm
)p−1
[ gm(s)]−(p−1)/r(αm − s)2p−3 .
Отсюда, учитывая неравенства 2p > 3 и gm(s) > 1, выводим (4.64).
Лемма доказана.
534 О точном условии предельной суммируемости...
Лемма 4.4. Пусть p > 2 − 1/n и m ∈ N. Тогда
αm∫
0
Φm(s) ds 6
(
3
αm
)p+2
τpm . (4.70)
Доказательство. В силу леммы 4.2 и определения функции gm для
любого s ∈ (0, αm/3 ] имеем
Φm(s) 6
3m
r
(
n− p
p− 1
)p−2 1
s
(
ln
1
s
)−2+1/n
.
Тогда
αm/3∫
0
Φm(s) ds 6 3m(p− 1)1−p(n− p)p−2
(
ln
3
αm
)−(n−1)/n
. (4.71)
Кроме того, в силу леммы 4.3 имеем
αm∫
αm/3
Φm(s) ds 6 2
(
3
αm
)p+1
τpm . (4.72)
Заметим, что ввиду (4.49) и неравенства p > 2 − 1/n правая часть
неравенства (4.71) не превосходит α−p−1
m . Учитывая это, из (4.71) и
(4.72) выводим (4.70). Лемма доказана.
Лемма 4.5. Пусть m ∈ N. Тогда
αm∫
0
1
s
hrm(s) ds = +∞. (4.73)
Доказательство. В силу (4.50) для любого s ∈ (0, αm/3 ] имеем
hrm(s) =
1
gm(s)
.
Тогда для любого ε ∈ (0, αm/3)
αm∫
ε
1
s
hrm(s) ds >
αm/3∫
ε
1
sgm(s)
ds = bm+1
(
1
ε
)
− bm+1
(
3
αm
)
.
Отсюда, учитывая, что bm+1(1/ε) → +∞ при ε→ 0, заключаем, что
равенство (4.73) имеет место. Лемма доказана.
А. А. Ковалевский 535
Пример 4.3. Пусть p > 2 − 1/n, c > 0 и m ∈ N. Зафиксируем
положительное число µ такое, что
µp−1
6
c
κn
αp+1
m+1 , (4.74)
µp−1
6
sm+1
nτpm+1
(
αm+1
3
)n+p+1
. (4.75)
Пусть Ω = B, и пусть F — функция на Ω такая, что для
любого x ∈ Ω, 0 < |x| < αm+1 ,
F (x) = µp−1|x|1−n
[
n− p
p− 1
hm+1(|x|) − |x|h′m+1(|x|)
]p−2
×
× [ (n− 2p+ 1)h′m+1(|x|) − (p− 1)|x|h′′m+1(|x|) ] ,
а для любого x ∈ Ω, |x| > αm+1 , F (x) = 0.
В силу определения функции Φm+1 для любого x ∈ Ω, 0 < |x| <
αm+1 , имеем
|F (x)| 6 nµp−1|x|1−nΦm+1(|x|). (4.76)
Отсюда и из леммы 4.4 вытекает, что F ∈ L1(Ω).
Пусть коэффициенты ai, i = 1, . . . , n, и правая часть f уравнения
в задаче (1.4) такие, что
1) для любых i ∈ {1, . . . , n} и (x, ξ) ∈ Ω × R
n ai(x, ξ) = Ai(ξ);
2) f = F .
Пусть u — функция на Ω такая, что для любого x ∈ Ω\{0}
u(x) = µ|x|−(n−p)/(p−1)hm+1(|x|).
Покажем, что справедливы следующие предложения:
(i) функция u есть слабое решение задачи (1.4);
(ii) функция u есть энтропийное решение задачи (1.4);
(iii) функция u не принадлежит пространству
◦
W 1,r(Ω);
(iv) для любого k > sm+1
∫
{|f |>k}
|f | dx 6 c
[ m+1∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
.
Действительно, в силу (4.50), (4.55) и лемм 4.1 и 4.4 относительно
функции µhm+1 и числа αm+1 выполняются условия 1)–6) предложе-
ния 4.3. Тогда ввиду предложения 4.3, леммы 4.5 и предположений
1), 2) рассматриваемого примера имеем u ∈
◦
W 1,1(Ω), и справедливы
следующие утверждения:
536 О точном условии предельной суммируемости...
(i′) для любого λ ∈ [1, r) |∇u| ∈ Lλ(Ω);
(ii′) для любой функции ϕ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x,∇u)Diϕ
}
dx =
∫
Ω
fϕ dx;
(iii′) для любых ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и k > 0 Tk(u− ϕ) ∈
◦
W 1,p(Ω);
(iv′) для любых ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и k > 0 функция
∑n
i=1 ai(x,∇u) ×
DiTk(u− ϕ) суммируема на Ω и
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x,∇u)DiTk(u− ϕ)
}
dx =
∫
Ω
f Tk(u− ϕ) dx;
(v′) функция u не принадлежит пространству
◦
W 1,r(Ω).
Из утверждений (i′), (ii′) и предположения 1) вытекает, что функ-
ция u есть слабое решение задачи (1.4). Значит, предложение (i)
справедливо.
Далее, в силу утверждения (iii′) имеем u ∈
◦
T 1,p(Ω), а в силу (1.5)
и предложения 1.1 имеем ∇u = δu п.в. на Ω, и если ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и
k > 0, то для любого i ∈ {1, . . . , n}
DiTk(u− ϕ) = (δiu− δiϕ) · 1{|u−ϕ|<k} п.в. на Ω.
Эти факты и утверждение (iv′) позволяют заключить, что функция
u есть энтропийное решение задачи (1.4). Значит, предложение (ii)
справедливо.
Предложение (iii) справедливо, поскольку оно совпадает с утвер-
ждением (v′).
Перейдем к доказательству справедливости предложения (iv).
Пусть k > sm+1 . Положим
B̃ = {x ∈ R
n : |x| 6 αm+1/3 }, B̃k = {x ∈ R
n : |x| 6 k−1/2n },
и пусть H — функция на B̃k такая, что для любого x ∈ B̃k\{0}
H(x) =
1
|x|n
(
ln
1
|x|
)−2+1/n
.
Легко видеть, что функция H суммируема на B̃k и
∫
B̃k
H dx 6 3nκn(ln k)
−(n−1)/n . (4.77)
А. А. Ковалевский 537
Оценим интеграл функции |f | по множеству B̃ ∩ B̃k. Пусть x ∈
(B̃ ∩ B̃k)\{0}. Следовательно, 0 < |x| 6 αm+1/3. Тогда в силу (4.76)
и предположения 2) имеем
|f(x)| 6 nµp−1|x|1−n Φm+1(|x|),
а в силу леммы 4.2
Φm+1(|x|) 6
3(m+ 1)
r|x|
(
n− p
p− 1
)p−2
[ gm+1(|x|)]−(n−1)/n
(
ln
1
|x|
)−1
.
Из этих неравенств вытекает, что
|f(x)| 6 3n(m+ 1)µp−1(n− p)p−2|x|−n[ gm+1(|x|)]−(n−1)/n
(
ln
1
|x|
)−1
.
(4.78)
Получим подходящую оценку для gm+1(|x|). Поскольку x ∈ B̃k, име-
ем
ln ln
1
|x| > ln ln k − ln (2n). (4.79)
Кроме того, в силу (4.49) и неравенства |x| < αm+1 имеем ln 1
|x| > 2n.
Отсюда и из (4.79) вытекает, что
b2
(
1
|x|
)
>
1
2
b2(k).
Используя это неравенство и (4.49), индукцией по j устанавливаем,
что для любого j ∈ {2, . . . ,m+ 1}
bj
(
1
|x|
)
>
1
2
bj(k).
Тогда
gm+1(|x|) > 2−m
[ m+1∏
j=2
bj(k)
]
ln
1
|x| .
Отсюда и из (4.78) следует, что
|f(x)| 6 3n(m+ 1)2mµp−1(n− p)p−2
[ m+1∏
j=2
bj(k)
]−(n−1)/n
H(x).
Полученный результат и неравенство (4.77) позволяют заключить,
что
∫
B̃∩B̃k
|f | dx 6 9n2
κn(m+ 1)2mµp−1(n− p)p−2
[ m+1∏
j=1
bj(k)
]−(n−1)/n
.
(4.80)
538 О точном условии предельной суммируемости...
Покажем, что
{ |f | > k } ⊂ B̃ ∩ B̃k . (4.81)
Действительно, пусть x ∈ { |f | > k }. Значит,
k < |f(x)|. (4.82)
Если x = 0, то очевидно, что x ∈ B̃ ∩ B̃k. Пусть x 6= 0. Ясно, что
|x| < αm+1. Предположим, что |x| > αm+1/3. Тогда в силу леммы 4.3
Φm+1(|x|) 6
(
3
αm+1
)p+2
τpm+1 .
Отсюда и из (4.76) вытекает, что
|f(x)| 6 nµp−1
(
3
αm+1
)n+p+1
τpm+1 .
Из этого неравенства, учитывая (4.75) и неравенство sm+1 < k, по-
лучаем, что |f(x)| < k. Тем самым имеем противоречие с (4.82). Сле-
довательно, |x| 6 αm+1/3. Значит, x ∈ B̃. Кроме того, в силу леммы
4.2 и неравенства gm+1(|x|) > 1 имеем
Φm+1(|x|) 6 3(m+ 1)(n− p)p−2|x|−1
(
ln
1
|x|
)−1
.
Отсюда и из (4.76) вытекает, что
|f(x)| 6 3n(m+ 1)µp−1(n− p)p−2|x|−n
(
ln
1
|x|
)−1
. (4.83)
Заметим, что в силу (4.49)
ln
1
|x| >
(m+ 1)n2
n− p
. (4.84)
Из неравенств (4.82)–(4.84) выводим, что
k < 3µp−1np−2|x|−n . (4.85)
Используя (4.49) и (4.75), получаем
4(µn)2(p−1) < 4µp−1α−2p
m+1 < sm+1 < k.
Отсюда и из (4.85) вытекает, что |x|n < k−1/2. Следовательно, x ∈ B̃k ,
и окончательно получаем, что x ∈ B̃ ∩ B̃k. Тем самым включение
(4.81) установлено.
А. А. Ковалевский 539
Заметим, что в силу (4.49), (4.74) и неравенства p > 3/2 имеет
место оценка
9n2
κn(m+ 1)2mµp−1(n− p)p−2 < c. (4.86)
Из (4.80), (4.81) и (4.86) выводим оценку сверху для интеграла
функции |f | по множеству { |f | > k }, которая позволяет заключить,
что предложение (iv) справедливо.
Докажем, наконец, что справедливо следующее предложение:
(v) для любого t ∈ (0, (n− 1)/n) f [ ln (1 + |f |) ]t ∈ L1(Ω).
Действительно, пусть t ∈ (0, (n − 1)/n). Используя лемму 4.2,
(4.76), (4.75) и (4.49), устанавливаем, что для любого x ∈ B̃\{0}
|f(x)| 6
1
|x|n
(
ln
1
|x|
)−2+1/n
.
Тогда, учитывая (4.49), получаем, что для любого x ∈ B̃\{0}
|f(x)| [ ln (1 + |f(x)|) ]t 6
n
|x|n
(
ln
1
|x|
)t−2+1/n
.
Отсюда вытекает, что функция |f | [ ln (1 + |f |) ]t суммируема на B̃.
Кроме того, в силу леммы 4.3, (4.76) и (4.75) имеем |f | 6 sm+1 на
Ω\B̃. Следовательно, функция |f | [ ln (1 + |f |) ]t суммируема на Ω\B̃.
Теперь можно заключить, что f [ ln (1 + |f |) ]t ∈ L1(Ω). Тем самым
справедливость предложения (v) установлена.
Замечание 4.4. Из предложений (ii)–(iv) примера 4.3 следует, что
условие теоремы 1.7 относительно функции f , вообще говоря, нель-
зя ослабить, не нарушая свойство принадлежности энтропийного ре-
шения задачи (1.4) пространству
◦
W 1,r(Ω). Минимальное ослабление
условия теоремы 1.7 относительно функции f (т.е. допущение σ =
(n − 1)/n) приводит, как показывает пример 4.3, к ситуациям, в ко-
торых энтропийное решение задачи (1.4) (единственное в силу теоре-
мы 1.1) не принадлежит
◦
W 1,r(Ω), и существует слабое решение зада-
чи (1.4), также не принадлежащее
◦
W 1,r(Ω).
Замечание 4.5. В силу предложения 4.1 выполнение условия тео-
ремы 1.7 относительно функции f влечет справедливость свойства:
для любого t ∈ (0, (n− 1)/n) функция f [ ln (1 + |f |) ]t принадлежит
L1(Ω). Обратное, как следует из предложений (ii), (iii), (v) приме-
ра 4.3 и теоремы 1.7, вообще говоря, не верно.
540 О точном условии предельной суммируемости...
Литература
[1] L. Boccardo, T. Gallouët, Non-linear elliptic and parabolic equations involving
measure data // J. Funct. Anal. 87 (1989), 149–169.
[2] L. Boccardo, T. Gallouët, Nonlinear elliptic equations with right hand side
measures // Comm. Partial Differential Equations. 17 (1992), 641–655.
[3] Ph. Bénilan, L. Boccardo, T. Gallouët, R. Gariepy, M. Pierre, J. L. Vazquez,
An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equa-
tions // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 22 (1995), 241–273.
[4] А. А. Ковалевский, О суммируемости решений нелинейных эллиптических
уравнений с правыми частями из классов, близких к L1 // Матем. заметки.
70 (2001), 375–385.
[5] D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order.
Berlin: Springer-Verlag, 1983.
[6] А. А. Ковалевский, О суммируемости решений нелинейных эллиптических
уравнений с правыми частями из логарифмических классов // “Математи-
ческие заметки”, 74 (2003), 676–685.
[7] A. A. Kovalevsky, Summability of solutions of the Dirichlet problem for some
classes of nonlinear elliptic equations: Preprint no. 2002.02. Donetsk: IAMM,
2002.
[8] A. A. Kovalevsky, Summability of solutions of nonlinear elliptic equations with
data of logarithmic classes // Book of Abstracts. Int. Conf. on Differential and
Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 11–17, 2002. Moscow,
2002, 57–58.
[9] А. А. Ковалевский, Энтропийные решения задачи Дирихле для одного клас-
са нелинейных эллиптических уравнений четвертого порядка с L1-правыми
частями // Известия РАН. Сер. матем. 65 (2001), 27–80.
[10] A. A. Kovalevsky, Entropy solutions of Dirichlet problem for a class of nonlinear
elliptic high-order equations with L1-data // Нелинейные граничные задачи.
(2002), No 12, 119–127.
Сведения об авторах
Александр
Альбертович
Ковалевский
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Р. Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: alexkvl@iamm.ac.donetsk.ua
|