Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124603 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса / О.С. Посіко, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 541-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124603 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246032017-09-30T03:04:07Z Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса Посіко, О.С. Шеремета, М.М. 2005 Article Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса / О.С. Посіко, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 541-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 33Б50, 44А10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124603 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Посіко, О.С. Шеремета, М.М. |
| spellingShingle |
Посіко, О.С. Шеремета, М.М. Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса Український математичний вісник |
| author_facet |
Посіко, О.С. Шеремета, М.М. |
| author_sort |
Посіко, О.С. |
| title |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса |
| title_short |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса |
| title_full |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса |
| title_fullStr |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса |
| title_sort |
асимптотичні оцінки інтегралів лапласа--стільтьєса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124603 |
| citation_txt |
Асимптотичні оцінки інтегралів Лапласа--Стільтьєса / О.С. Посіко, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 541-549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT posíkoos asimptotičníocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa AT šeremetamm asimptotičníocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa |
| first_indexed |
2025-07-09T01:42:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:42:15Z |
| _version_ |
1837131720781987840 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 4, 541 – 549
Асимптотичнi оцiнки iнтегралiв
Лапласа–Стiльтьєса
Олена С. Посiко, Мирослав М. Шеремета
Анотацiя. Нехай F — невiд’ємна, неспадна, необмежена i неперерв-
на справа на [0, +∞) функцiя, а функцiя f невiд’ємна на [0, +∞).
Отримано асимптотичнi оцiнки ln
∫∞
0
f(x)exσdF (x) через ln µ(σ) =
sup{ln f(x) + xσ : x ≥ 0}, σ ∈ R.
2000 MSC. 33Б50, 44А10.
Ключовi слова та фрази. Iнтеграл Лапласа-Стiльтьєса, ряди Дi-
рiхле, максимальний член.
Нехай F — невiд’ємна, неспадна, необмежена i неперервна спра-
ва на [0,+∞) функцiя, а f — така невiд’ємна на [0,+∞) функцiя,
що для кожних σ ∈ R i A > 0 iснує iнтеграл Лебега–Стiльтьєса∫ A
0 f(x)exσdF (x). Iнтегралом Лапласа–Стiльтьєса будемо називати
I(σ) =
∞∫
0
f(x)exσdF (x). (1)
Нехай σµ — абсциса максимуму пiдiнтегральної функцiї µ(σ) =
= sup{f(x)exσ : x ≥ 0}, σ ∈ R, тобто σµ — таке дiйсне число,
що µ(σ) < +∞ для всiх σ < σµ i µ(σ) = +∞ для всiх σ > σµ.
Якщо µ(σ) = +∞ для всiх σ, то приймаємо σµ = −∞, а якщо
µ(σ) < ∞ для всiх σ, то вважаємо σµ = +∞. Неважко показати,
що σµ = lim x→+∞
1
x ln 1
f(x) . Надалi будемо вважати, що σµ = +∞,
але f(x) 6≡ 0 на кожному промiжку [x0,+∞).
Якщо (λn) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть невiд’ємних чисел
(λ0 = 0), F (x) = n(x), де n(t) =
∑
λn≤t
1 — лiчильна функцiя цiєї
Стаття надiйшла в редакцiю 3.03.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
542 Асимптотичнi оцiнки iнтегралiв...
послiдовностi, а f — така невiд’ємна на [0,+∞) функцiя, що f(λn) =
an ≥ 0 для всiх n ≥ 0, то
I(σ) =
∞∑
n=0
ane
λnσ (2)
є рядом Дiрiхле з невiд’ємними показниками та коефiцiєнтами, а
µ(σ) = max{|an|eλnσ : n ≥ 0} є його максимальним членом.
Через Ω(+∞) позначимо клас додатних, необмежених на (−∞,
+∞) функцiй Φ, для яких похiдна Φ′ є додатною, неперервно дифе-
ренцiйовною i зростаючою до +∞ на (−∞,+∞) функцiєю. Для Φ ∈
Ω(+∞) нехай ϕ — функцiя, обернена до Φ′, а Ψ(σ) = σ−Φ(σ)/Φ′(σ) —
функцiя, асоцiйована з Φ за Ньютоном. Тодi [1, 2] функцiя Ψ є не-
перервно диференцiйовною i зростаючою до +∞ на (−∞,+∞), а
функцiя ϕ є неперервно диференцiйовною i зростаючою до +∞ на
(0,+∞).
Зв’язок мiж зростанням lnµ(σ) i поводженням f(x) як для iнтег-
ралу (1), так i для ряду Дiрiхле (2) вивчений у статтях [1, 2], де,
зокрема, доведено таке твердження.
Твердження 1. Нехай σµ = +∞ i Φ ∈ Ω(+∞). Для того, щоб
lnµ(σ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0, необхiдно i досить, щоб ln f(x) ≤
−xΨ(ϕ(x)) для всiх x ≥ x0.
Для рядiв Дiрiхле (2) зв’язок мiж зростанням ln I(σ) i lnµ(σ) до-
слiджувався в працях багатьох авторiв; вкажемо тут тiльки на стат-
тi [3–5], присвяченi дослiдженню умов на (λn), за яких ψ(ln I(σ)) ∼
ψ(lnµ(σ)), σ → +∞, де ψ — додатна, неперервна i зростаюча до
+∞ на [x0, +∞) функцiя. У загальному випадку iнтегралiв Лапласа–
Стiльтьєса (1) зв’язок мiж зростанням ln I(σ) i lnµ(σ) дослiджувався
у статтi [6], де вказано достатню умову на F , за якої асимптотична не-
рiвнiсть ψ(ln I(σ)) ≤ (1 + o(1))ψ(lnµ(σ)) правильна при 0 ≤ σ → +∞
зовнi деякої виняткової множини скiнченної мiри.
Деякi оцiнки I(σ) через µ(σ) зверху отримано в [7]. Зокрема, до-
ведено, що якщо σµ = +∞ i limx→+∞(lnF (x))/x = τ < +∞, то для
кожного ε > 0 i всiх σ ≥ σ0(ε) правильна нерiвнiсть I(σ) ≤ µ(σ+τ+ε)
за умови limx→+∞(lnF (x))/x = τ < +∞, i I(σ) ≤ K(ε)(µ(σ/(1 −
h − ε)))1−h−ε для кожного ε ∈ (0, 1 − h) i всiх σ ≥ σ0(ε) за умови
limx→+∞(lnF (x))/ ln(1/f(x)) = h < 1. Якщо σµ = 0, то для кожного
ε > 0 i всiх σ ∈ [σ0(ε), 0) правильна нерiвнiсть I(σ) ≤ K(ε)(µ(σ/(1 +
h+ ε)))1+h+ε, за умови limx→+∞(lnF (x))/ ln f(x) = h < +∞ .
О. С. Посiко, М. М. Шеремета 543
Позначимо через S∞(Λ,Φ) — клас рядiв Дiрiхле (2) зi заданою
послiдовнiстю показникiв Λ = (λn), для яких σµ = +∞ i lnµ(σ) ≤
Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0. З теореми 1 з [4] i наведеного вище твердження
1 випливає наступне твердження.
Твердження 2. Нехай σµ = +∞ i Φ ∈ Ω(+∞). Для того, щоб для
кожного ряду Дiрiхле (2) з класу S∞(Λ,Φ) правильною була асимп-
тотична нерiвнiсть ln I(σ)) ≤ (1 + o(1)) lnµ(σ), σ → +∞, необхiдно
i досить, щоб lnn = O(Ψ(ϕ(λn))), n→ ∞.
Метою даної замiтки є узагальнення цього твердження на випадок
iнтегралiв (1).
Позначимо через V клас невiд’ємних, неспадних, необмежених
i неперервних справа на [0,+∞) функцiй, а через LS∞(F,Φ) клас
iнтегралiв (1) зi заданою функцiєю F ∈ V , для яких σµ = +∞ i
lnµ(σ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0.
Теорема 1. Нехай F ∈ V i Φ ∈ Ω(+∞). Для того, щоб для кожно-
го iнтегралу I ∈ LS∞(F,Φ) правильною була асимптотична нерiв-
нiсть ln I(σ)) ≤ (1 + o(1)) lnµ(σ), σ → +∞, необхiдно i досить, щоб
lnF (x) = O(Ψ(ϕ(x))), x→ ∞.
Доведення. Почнемо з достатностi. За твердженням 1 ln f(x) ≤
−xΨ(ϕ(x)) для всiх x ≥ x0. Позначимо x(σ) = Φ′(Ψ−1(2σ)). Тодi
x(σ) ≥ x0 для σ ≥ σ0 i з огляду на умову lnF (x) = O(Ψ(ϕ(x))), x →
∞, маємо
I(σ) =
( x(σ)∫
0
+
∞∫
x(σ)
)
f(x)exσ dF (x) ≤
≤ µ(σ)F (x(σ)) +
∞∫
x(σ)
exp{−x(Ψ(ϕ(x)) − σ)} dF (x) ≤
≤ µ(σ)F (x(σ)) +
∞∫
x(σ)
exp
{
− xΨ(ϕ(x))
2
}
dF (x) ≤
≤ µ(σ)F (x(σ)) +
∞∫
x(σ)
F (x) exp
{
− xΨ(ϕ(x))
2
}ϕ(x)
2
dx ≤
544 Асимптотичнi оцiнки iнтегралiв...
≤ µ(σ)F (x(σ)) +
∞∫
x(σ)
exp
{
− xΨ(ϕ(x))
3
}ϕ(x)
2
dx ≤
≤ µ(σ)F (x(σ)) + o(1), σ → +∞,
тобто
ln I(σ) ≤ lnµ(σ) + lnF (x(σ)) + o(1), σ → +∞. (3)
Але, з одного боку, з огляду на умову lnF (x) = O(Ψ(ϕ(x))), x→ ∞,
lim
σ→+∞
lnF (x(σ))
σ
= lim
σ→+∞
lnF (Φ′(Ψ−1(2σ)))
σ
= 2 lim
x→+∞
ln(x)
Ψ(ϕ(x))
<+∞.
А з iншого боку, оскiльки f(x) 6≡ 0 на кожному промiжку [x0,+∞),
тобто f(xk) > 0 для деякої зростаючої до +∞ послiдовностi (xk),
то µ(σ) ≥ f(xk)e
σxk для кожного фiксованого k i всiх σ, звiд-
ки lim σ→+∞
lnµ(σ)
σ ≥ xk i, отже, lim σ→+∞
lnµ(σ)
σ = +∞. Тому з
нерiвностi (3) отримуємо асимптотичну нерiвнiсть ln I(σ)) ≤ (1 +
o(1)) lnµ(σ), σ → +∞. Достатнiсть умови lnF (x) = O(Ψ(ϕ(x))), x→
∞, доведено.
Припустимо тепер, що ця умова не виконується, тобто iснують
повiльно зростаюча до +∞ функцiя α i послiдовнiсть (xk) такi, що
lnF (xk) ≥ α(xk)Ψ(ϕ(xk))). Зрозумiло, ми можемо вважати, що по-
слiдовнiсть (xk) зростає досить швидко (швидкiсть її зростання буде
описана нижче). Нам треба побудувати невiд’ємну функцiю f так,
щоб σµ = +∞, lnµ(σ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0 i асимптотична нерiв-
нiсть ln I(σ)) ≤ (1 + o(1)) lnµ(σ), σ → +∞, була неправильною.
Крiм послiдовностi (xk) розглянемо ще двi послiдовностi (tk) i (τk)
такi, що xk < tk+1 < τk+1 < xk+1, i приймемо
f(x) =
exp{−xΨ(ϕ(x))}, xk ≤ x ≤ tk+1,
0, tk+1 < x < τk+1,
f(xk+1) exp{κk(xk+1 − x)}, τk+1 ≤ x ≤ xk+1,
де
κk :=
ln f(tk+1) − ln f(xk+1)
xk+1 − tk+1
=
=
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − tk+1Ψ(ϕ(tk+1))
xk+1 − tk+1
=
=
1
xk+1 − tk+1
xk+1∫
tk+1
ϕ(t) dt ↑ +∞, k → ∞.
О. С. Посiко, М. М. Шеремета 545
Покажемо спочатку, що σµ = +∞ i lnµ(σ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0.
Для цього за твердженням 1 досить показати, що
f(xk+1) exp{κk(xk+1 − x)} ≤ exp{−Ψ(ϕ(x))}, τk+1 ≤ x ≤ xk+1,
тобто нерiвнiсть
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − xΨ(ϕ(x))
xk+1 − x
≥ κk, τk+1 ≤ x ≤ xk+1,
яка еквiвалентна нерiвностi
s(x) :=
1
xk+1 − x
xk+1∫
x
ϕ(t) dt ≥ κk =
=
1
xk+1 − tk+1
xk+1∫
tk+1
ϕ(t) dt = s(tk+1), τk+1 ≤ x ≤ xk+1. (4)
Але для x ≤ xk+1
s′(x) =
1
(xk+1 − x)2
( xk+1∫
x
ϕ(t) dt− ϕ(x)(xk+1 − x)
)
≥ 0,
тобто функцiя s(x) неспадна i, оскiльки x ≥ τk+1 > tk+1, то нерiвнiсть
(4) правильна i, отже, σµ = +∞ i lnµ(σ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ≥ σ0.
Покажемо тепер, що для всiх x 6∈ [τk+1, xk+1]
f(x) exp{κkx} ≤ f(xk+1) exp{κkxk+1}. (5)
Справдi, якщо x ∈ [xj , tj+1] i j ≥ k + 1, то x ≥ xk+1 i нерiвнiсть
(5) еквiвалентна нерiвностi
xΨ(ϕ(x)) − xk+1Ψ(ϕ(xk+1))
x− xk+1
≥ κk =
=
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − tk+1Ψ(ϕ(tk+1))
xk+1 − tk+1
,
тобто
1
x− xk+1
x∫
xk+1
ϕ(t) dt ≥ 1
xk+1 − tk+1
xk+1∫
tk+1
ϕ(t) dt.
546 Асимптотичнi оцiнки iнтегралiв...
Оскiльки функцiя ϕ зростає i x ≥ xk+1 > tk+1, то остання нерiвнiсть
очевидна, i отже, оцiнка (5) правильна.
Якщо x ∈ [xj , tj+1] i j ≤ k, то x ≤ tk+1 < xk+1 i нерiвнiсть (5)
еквiвалентна нерiвностi
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − xΨ(ϕ(x))
xk+1 − x
≤ κk =
=
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − tk+1Ψ(ϕ(tk+1))
xk+1 − tk+1
, (6)
тобто доведенiй вище нерiвностi (4). Тому в цьому випадку оцiнка (5)
є правильною.
Якщо ж x ∈ [τj+1, xj+1] i j ≥ k + 1, то x > xk+1 i нерiвнiсть (5)
еквiвалентна нерiвностi
f(xj+1) exp{κj(xj+1 − x)} exp{κkx} ≤ f(xk+1) exp{κkxk+1},
тобто
xj+1Ψ(ϕ(xj+1) − xk+1Ψ(ϕ(xk+1) ≥ κj(xj+1 − x) + κk(x− xk+1).
Але κj(xj+1 − x) + κk(x − xk+1) ≤ κj(xj+1 − xk+1). Тому нерiвнiсть
(5) є правильною, якщо
xj+1Ψ(ϕ(xj+1)) − xk+1Ψ(ϕ(xk+1))
xj+1 − xk+1
≤ κj =
=
xj+1Ψ(ϕ(xj+1)) − tj+1Ψ(ϕ(tj+1))
xj+1 − tj+1
,
тобто
1
xj+1 − xk+1
xj+1∫
xk+1
ϕ(t) dt ≥ 1
xj+1 − tj+1
xj+1∫
tj+1
ϕ(t) dt.
Оскiльки tj+1 > xk+1, то, як видно з доведення нерiвностi (4), остання
нерiвнiсть правильна i, отже, правильною є оцiнка (5).
Нарештi, якщо x ∈ [τj+1, xj+1] i j ≤ k−1, то x < xk+1, а нерiвнiсть
(5) еквiвалентна нерiвностi
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − xj+1Ψ(ϕ(xj+1)) ≤ κk(xk+1 − x) − κj(xj+1 − x).
Але κk(xk+1 − x) − κj(xj+1 − x) ≥ κk(xk+1 − xj+1). Тому нерiвнiсть
(5) є правильною, якщо
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − xj+1Ψ(ϕ(xj+1))
xk+1 − xj+1
≤ κk.
О. С. Посiко, М. М. Шеремета 547
Остання нерiвнiсть збiгається з нерiвнiстю (6) x = xj+1 i, отже, є
правильною. Нерiвнiсть (5) доведено.
Зауважимо, що для x ∈ [τk+1, xk+1]
f(x) exp{κkx} =
= f(xk+1) exp{κk(xk+1 − x)} exp{κkx} =
= f(xk+1) exp{κkxk+1}.
Тому з огляду на (5) маємо рiвнiсть
µ(κk) = f(xk+1) exp{κkxk+1}, (7)
якi б не були послiдовностi (xk), (tk) i (τk) такi, що xk < tk+1 < τk+1 <
xk+1.
З iншого боку,
I(κk) ≥
xk+1∫
τk+1
f(x)exκk dF (x) =
=
xk+1∫
τk+1
f(xk+1) exp{κk(xk+1 − x)}exκk dF (x) =
= f(xk+1) exp{κkxk+1}(F (xk+1) − F (τk+1)).
Тому, якщо τk+1 таке, що F (xk+1) ≥ 2F (τk+1), то
ln I(κk) ≥ lnµ(κk) + lnF (xk+1) − 1/2 ≥
≥ lnµ(κk) + α(xk+1)Ψ(ϕ(xk+1)) − 1/2. (8)
Зрозумiло, що ми можемо вибрати послiдовностi (xk), (tk) i (τk) так,
що крiм нерiвностi F (xk+1) ≥ 2F (τk+1), правильними були також
наступнi спiввiдношення
Ψ(ϕ(tk+1))
Ψ(ϕ(xk+1))
→ 0 (k → ∞),
tk+1
xk+1
→ 0 (k → ∞),
tk+1 ≤ α(xk+1) (k ≥ k0).
Тодi
lnµ(κk) = ln f(xk+1) + κkxk+1 = −xk+1Ψ(ϕ(xk+1))+
548 Асимптотичнi оцiнки iнтегралiв...
+
xk+1Ψ(ϕ(xk+1)) − tk+1Ψ(ϕ(tk+1))
xk+1 − tk+1
xk+1 =
=
xk+1tk+1(Ψ(ϕ(xk+1)) − Ψ(ϕ(tk+1)))
xk+1 − tk+1
=
= (1 + o(1))tk+1Ψ(ϕ(xk+1)) ≤
≤ (1 + o(1))α(xk+1)Ψ(ϕ(xk+1)), k → ∞.
Звiдси i з (8) випливає, що ln I(κk) ≥ 2(1 + o(1)) lnµ(κk), k → ∞, i
отже, теорему 1 повнiстю доведено.
Перейдемо до оцiнки iнтегралу Лапласа–Стiльтьєса знизу. Оскi-
льки для ряду Дiрiхле (2) ane
σλn ≤ I(σ) для всiх n i σ < σµ, то у цьо-
му випадку µ(σ) ≤ I(σ) для всiх σ < σµ. Для iнтегралу (1) у загально-
му така нерiвнiсть не є правильною. Справдi, якщо вiзьмемо f(x) = 0
для x 6= n i f(x) = bn > 0 для x = n, то I(σ) =
∫∞
0 f(x)exσdx = 0, а
µ(σ) = sup{f(x)exσ : x ≥ 0} = sup{bneσλn : n ≥ 0} > 0 i, отже, жод-
ної оцiнки I(σ) знизу через µ(σ) подати не можна. Проте за певних
умов на функцiї f та F оцiнити I(σ) знизу через µ(σ) можна.
Нехай F ∈ V . Будемо говорити, що додатна функцiя f має регу-
лярну змiну вiдносно F , якщо iснують числа a ≥ 0, b ≥ 0 i h > 0 такi,
що для всiх x ≥ a
x+b∫
x−a
f(t) dF (t) ≥ hf(x). (9)
Якщо функцiя f неперервна i 0 < λ1(ξ) ≤ f(x+ ξ)/f(x) ≤ λ2(ξ) <
+∞ для всiх x ≥ 0 та ξ ≥ 0, то f має регулярну змiну вiдносно
F (x) ≡ x.
Зауважимо також, що оскiльки ряд Дiрiхле (2) можна записати у
виглядi iнтегралу (1) з f(x) = an для x = λn та f(x) = 0 для x 6= λn
i F (x) = n(x), де n(x) — лiчильна функцiя послiдовностi (λn), то
виконання умови (9) для рядiв Дiрiхле (2) є очевидним.
Теорема 2. Нехай F ∈ V , а функцiя f має регулярну змiну вiдносно
F i σµ = +∞. Тодi lnµ(σ) ≤ (1 + o(1)) ln I(σ), σ → σµ.
Доведення. Для σ ≥ 0 маємо
I(σ) ≥
x+b∫
x−a
f(t)eσt dF (t) ≥ exσ−aσ
x+b∫
x−a
f(t) dF (t) ≥ he−aσf(x)exσ,
тобто f(x)exσ ≤ eaσI(σ)/h, x ≥ a, звiдки випливає нерiвнiсть µ(σ) ≤
eaσI(σ)/h +K1, K1 = const > 0. Але, як було зауважено у доведеннi
О. С. Посiко, М. М. Шеремета 549
теореми 1, σ/ lnµ(σ) → 0, σ → +∞. Тому звiдси отримуємо спiввiдно-
шення lnµ(σ) ≤ (1 + o(1)) ln I(σ), σ → +∞. Теорему 2 доведено.
З теорем 1 i 2 випливає наступне твердження.
Наслiдок. Нехай F ∈ V , Φ ∈ Ω(+∞), а функцiя f має регуляр-
ну змiну вiдносно F . Якщо lnF (x) = O(Ψ(ϕ(x)), x → +∞, то для
кожного iнтегралу I ∈ LS∞(F,Φ) є правильною асимптотична рiв-
нiсть ln I(σ)) = (1 + o(1)) lnµ(σ), σ → +∞.
Лiтература
[1] М. Н. Шеремета, С. И. Федыняк, О производной ряда Дирихле // Cиб. матем.
журн. 39 (1998), N 1, 206–223.
[2] М. М. Шеремета, О. М. Cумик, Зв’язок мiж зростанням спряжених за Юн-
гом функцiй // Матем. студiї. 11 (1999), N 1, 41–47.
[3] М. Н. Шеремета, О полной эквивалентности логарифмов максимума модуля
и максимального члена целого ряда Дирихле // Матем. заметки. 47 (1900),
N 6, 119–123.
[4] М. Н. Шеремета, О соотношениях между максимальным членом и макси-
мумом модуля целого ряда Дирихле // Матем. заметки. 51 (1992), N 5, 141–
148.
[5] P. V. Filevych, To the Sheremeta theorem concerning relations between the maxi-
mal term and the maximum modulus of entire Dirichlet series // Matematychni
studii. 3 (2000), N 2, 140–144.
[6] О. Б. Скаскив, О некоторых соотношениях между максимумом модуля и
максимальным членом целого ряда Дирихле // Матем. заметки. 60 (1999),
N 2, 282–292.
[7] О. С. Посiко, О. Б. Скаскiв, М. М. Шеремета, Оцiнки iнтегралу Лапласа-
Стiльтьєса // Математичнi студiї. 21 (2004), N 2, 179–186.
Вiдомостi про авторiв
Олена Степанiвна
Посiко,
Мирослав
Миколайович
Шеремета
Львiвський нацiональний унiверситет,
вул. Унiверситетська 1,
79000, Львiв,
Україна
E-Mail: m_m_sheremeta@list.ru
|