Про одну дискретну модель магнітного лапласіана

Побудовано дискретну модель магнiтного лапласiана, яка зберiгає геометричну структуру вiдповiдного континуального об’єкту. Доведено теорему iснування i єдиностi розв’язку задачi Дiрiхле для рiзницевого рiвняння типу Пуассона. В двовимiрному евклiдовому випадку детально дослiджено властивостi дискрет...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Сущ, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124605
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана / В.Н. Сущ // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 583-599. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124605
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1246052017-09-30T03:03:56Z Про одну дискретну модель магнітного лапласіана Сущ, В.Н. Побудовано дискретну модель магнiтного лапласiана, яка зберiгає геометричну структуру вiдповiдного континуального об’єкту. Доведено теорему iснування i єдиностi розв’язку задачi Дiрiхле для рiзницевого рiвняння типу Пуассона. В двовимiрному евклiдовому випадку детально дослiджено властивостi дискретної моделi, включаючи апроксимацiю i граничний перехiд. 2005 Article Про одну дискретну модель магнітного лапласіана / В.Н. Сущ // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 583-599. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 35Q60, 39A12, 39A70. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124605 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Побудовано дискретну модель магнiтного лапласiана, яка зберiгає геометричну структуру вiдповiдного континуального об’єкту. Доведено теорему iснування i єдиностi розв’язку задачi Дiрiхле для рiзницевого рiвняння типу Пуассона. В двовимiрному евклiдовому випадку детально дослiджено властивостi дискретної моделi, включаючи апроксимацiю i граничний перехiд.
format	Article
author	Сущ, В.Н.
spellingShingle	Сущ, В.Н. Про одну дискретну модель магнітного лапласіана Український математичний вісник
author_facet	Сущ, В.Н.
author_sort	Сущ, В.Н.
title	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана
title_short	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана
title_full	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана
title_fullStr	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана
title_full_unstemmed	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана
title_sort	про одну дискретну модель магнітного лапласіана
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124605
citation_txt	Про одну дискретну модель магнітного лапласіана / В.Н. Сущ // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 583-599. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT suŝvn proodnudiskretnumodelʹmagnítnogolaplasíana
first_indexed	2025-07-09T01:42:30Z
last_indexed	2025-07-09T01:42:30Z
_version_	1837131736613388288
fulltext	Український математичний вiсник Том 2 (2005), № 4, 583 – 599 Про одну дискретну модель магнiтного лапласiана Володимир Н. Сущ (Представлена Л. А. Пастуром) Анотацiя. Побудовано дискретну модель магнiтного лапласiана, яка зберiгає геометричну структуру вiдповiдного континуального об’єкту. Доведено теорему iснування i єдиностi розв’язку задачi Дi- рiхле для рiзницевого рiвняння типу Пуассона. В двовимiрному ев- клiдовому випадку детально дослiджено властивостi дискретної мо- делi, включаючи апроксимацiю i граничний перехiд. 2000 MSC. 35Q60, 39A12, 39A70. Ключовi слова та фрази. Магнiтний лапласiан, дискретнi опера- тори, рiзницевi рiвняння. 1. Вступ Нехай (M, g) — рiманiв многовид з метрикою (gij) i нехай dimM = n. Позначимо через Λp(M) множину всiх комплекснозначних дифе- ренцiальних p-форм на M , де p = 0, 1, . . . , n. Зазначимо, що Λ0(M) є C∞(M). Позначимо також через Λp(k)(M) множину всiх k-гладких (класу Ck) комплекснозначних p-форм на M . Означимо магнiтний потенцiал як дiйснозначну 1-форму A ∈ Λ1 (1)(M). Тодi в локальних координатах x1, . . . , xn вiн записується у виглядi A = n∑ j=1 Ajdx j , де Aj = Aj(x) — дiйснозначнi функцiї класу C1. Нехай ∗ — оператор метричного спряження диференцiальних форм (“зiрочка” Ходжа): ∗ : Λp(M) → Λn−p(M). Введемо iнварiант- ний скалярний добуток для p-форм з компактним носiєм так: (ϕ,ψ) = ∫ M ϕ ∧ ∗ψ, (1.1) Стаття надiйшла в редакцiю 15.10.2004 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 584 Про одну дискретну модель... де риска над ψ означає комплексне спряження, а ∧ — операцiя зов- нiшнього множення диференцiальних форм. Розглянемо поповнен- ня лiнiйних просторiв гладких форм за нормою, що породжується скалярним добутком (1.1). Утворенi гiльбертовi простори будемо по- значати через L2(M) для 0-форм (функцiй) та через L2Λp(M) для p-форм, p = 1, . . . , n. Означимо оператор d : L2Λp−1(M) → L2Λp(M) як замикання в L2-нормi операцiї зовнiшнього диференцiювання, яка задається на гладких формах, тобто як сильне розширення диферен- цiального оператора d : Λp−1(M) → Λp(M). Введемо тепер деформований диференцiал dA за правилом dA : L2(M) → L2Λ1(M), ϕ→ dϕ+ iϕA, (1.2) де i = √ −1 та A — магнiтний потенцiал. Означення iнварiантного скалярного добутку (1.1) негайно iнду- кує оператор, формально спряжений з оператором dA. Отже, маємо оператор δA : L2Λ1(M) → L2(M), який задається спiввiдношенням (dAϕ, ω) = (ϕ, δAω), ϕ ∈ L2(M), ω ∈ L2Λ1(M). Тут припускається, що одна з форм має компактний носiй. Тодi маг- нiтний лапласiан можна зобразити у виглядi −∆A ≡ δAdA : L2(M) → L2(M). (1.3) Ототожнимо магнiтний потенцiал A з операцiєю множення (див. [7]) таким чином: A : L2(M) → L2Λ1(M), ϕ→ ϕA. (1.4) Тодi формально спряжений оператор δA зображається у виглядi δAω = (δ − iA∗)ω, (1.5) де δ, A∗ — оператори формально спряженi з d, A вiдповiдно. Викорис- товуючи (1.2), (1.3), ми можемо переписати магнiтний лапласiан ∆A так: − ∆Aϕ = (δ − iA∗)(dϕ+ iAϕ) = = δdϕ− iA∗dϕ+ iδ(Aϕ) +A∗Aϕ = = −∆ϕ− iA∗dϕ+ iδ(Aϕ) +A∗Aϕ. Вiдзначимо, що оператор (1.3) є суттєво самоспряжений (див. [7, те- орема 6.1]). В. Н. Сущ 585 Головною метою даної працi є побудова такої дискретної моделi магнiтного лапласiана, яка б зберiгала геометричну структуру вихiд- ного континуального об’єкту. Це означає, що, говорячи про дискрет- ну модель, ми маємо на увазi не просто безпосередню замiну дифе- ренцiальних операторiв рiзницевими, а дискретний аналог рiманової структури над вiдповiдним чином введеним комбiнаторним об’єктом. Наш пiдхiд базується на формалiзмi, який запропонував А. А. Де- зiн в [3]. Ми розглядаємо дискретнi форми як деякi коланцюги i бу- дуємо дискретнi аналоги операторiв (1.2), (1.5), виходячи з означень дискретних аналогiв iнварiантних диференцiальних операторiв d i δ. Що стосується iнших геометричних скiнченнорiзницевих пiдходiв до теорiї Ходжа гармонiчних форм, то вони розроблялись у працях [1, 4,6] та iн. Дискретний магнiтний лапласiан на графах дослiджувався у працях [2, 5]. У данiй працi, слiдуючи [3,8,9], дослiджено самоспряженiсть маг- нiтного лапласiана i доведено, що задача Дiрiхле для дискретного рiв- няння Пуассона (з магнiтним лапласiаном (1.3)) має єдиний розв’я- зок. Також одним з формальних результатiв є побудова нестандарт- ної апроксимацiї узагальненого розв’язку рiвняння Пуассона при мi- нiмальних вимогах гладкостi правої частини рiвняння (належить до L2). У цiй статтi розглядається тiльки двовимiрний евклiдiв випадок. Слiд вiдзначити, що схема дискретизацiї легко поширюється на до- вiльний n-вимiрний евклiдiв простiр, однак комбiнаторнi спiввiдно- шення стають дуже громiздкими. Двовимiрна дискретна модель до- зволяє детально проаналiзувати зв’язок мiж побудованими комбiна- торними об’єктами та вiдповiдними континуальними, включаючи ап- роксимацiю i граничний перехiд. Що стосується дискретизацiї на нетривiальних рiманових много- видах, то в рамках даного пiдходу в роботi [10] дослiджувались дис- кретнi моделi, якi породжуються оператором Бельтрамi-Лапласа на двовимiрнiй сферi, зокрема, зроблено детальний аналiз методу орто- гонального розкладу. Стаття [8] присвячена вивченню можливостей моделювання дискретного аналога оператора Лапласа у випадку не- евклiдової метрики. 2. Комбiнаторнi конструкцiї Будемо використовувати схему дискретизацiї, яка розроблена Де- зiним в [3]. Нехай {xk}, {ek}, k ∈ Z, є множини базисних елементiв дiйсних лiнiйних просторiв C0, C1. Будемо розглядати лiнiйнi ком- бiнацiї a = ∑ akxk, b = ∑ bkek, ak, bk ∈ R, як нульвимiрнi та 586 Про одну дискретну модель... одновимiрнi ланцюги вiдповiдно. Для зручностi введемо на множинi iндексiв оператори зсуву: τk = k + 1, σk = k − 1. Означимо одновимiрний комплекс C як пряму суму C0 ⊕ C1 введе- них лiнiйних просторiв. Граничний оператор на базисних елементах задається так: ∂xk = 0, ∂ek = xτk − xk, k ∈ Z. Означення оператора ∂ за лiнiйнiстю поширюється на довiльнi лан- цюги. Будемо вважати комплекс C комбiнаторною моделлю дiйсної прямої. Вiдзначимо, що базиснi елементи xk, ek можна геометрично iнтерпретувати як точки на прямiй та iнтервали, що з’єднують цi точки, тобто ek = (xk, xτk). Комбiнаторною моделлю n-вимiрного евклiдового простору R n бу- демо вважати тензорну степiнь вище введеного одновимiрного ком- плексу C: C(n) = ⊗n 1C. Оскiльки головним об’єктом наших дослi- джень буде дискретний аналог магнiтного лапласiана в найпростiшiй двовимiрнiй областi — прямокутнику, то приведемо означення основ- них комбiнаторних операцiй у двовимiрному випадку. Нехай C(2) — двовимiрний комплекс. Тодi базиснi елементи C(2) записуються у виглядi xk ⊗ xs = xk,s, ek ⊗ xs = e1k,s, ek ⊗ es = Vk,s, xk ⊗ es = e2k,s. Граничний оператор ∂ задається так: ∂xk,s = 0, ∂e1k,s = xτk,s − xk,s, ∂e2k,s = xk,τs − xk,s, ∂Vk,s = e1k,s + e2τk,s − e1k,τs − e2k,s. (2.1) Введемо дуальний об’єкт — спряжений з C(2) комплекс. Позначи- мо його через K(2) i нехай це буде лiнiйний простiр комплекснознач- них функцiй над C(2). З iншого боку, спряжений комплекс K(2) мо- жемо розглядати як комплекс комплекснозначних коланцюгiв, який має таку саму структуру як C(2), тобто K(2) = K ⊗K. Базиснi еле- ментиK(2) будемо позначати через {xk,s, ek,s1 , ek,s2 , V k,s}. Зазначимо, що в [3] розглядається тiльки випадок дiйснозначних коланцюгiв. Операцiю спарення для базисних елементiв комплексiв C(2) та K(2) означимо за правилом: 〈xk,s, xp,q〉 = 〈e1k,s, ep,q1 〉 = 〈e2k,s, ep,q2 〉 = 〈Vk,s, V p,q〉 = δp,qk,s, (2.2) В. Н. Сущ 587 де δp,qk,s — символ Кронекера. Надалi будемо називати коланцюги фор- мами, пiдкреслюючи їхню близкiсть з вiдповiдними континуальни- ми об’єктами — диференцiальними формами. Тодi 0-, 1-, 2-форми ϕ, ω = (u, v), η мають вигляд ϕ = ∑ k,s ϕk,sx k,s, ω = ∑ k,s (uk,se k,s 1 + vk,se k,s 2 ), η = ∑ k,s ηk,sV k,s, (2.3) де ϕk,s, uk,s, vk,s, ηk,s ∈ C для всiх k, s ∈ Z. Операцiя (2.2) на довiльнi форми (2.3) поширюється за лiнiйнiстю. Граничний оператор (2.1) iндукує в спряженому комплексi K(2) дуальну операцiю — когранич- ний оператор dc: 〈∂a, α〉 = 〈a, dcα〉, (2.4) де a ∈ C(2), α ∈ K(2). Кограничний оператор dc будемо вважати дис- кретним аналогом операцiї зовнiшнього диференцiювання d. Нижче нам знадобляться наступнi рiзницевi представлення оператора dc: 〈e1k,s, dcϕ〉 = ϕτk,s − ϕk,s ≡ ∆kϕk,s, 〈e2k,s, dcϕ〉 = ϕk,τs − ϕk,s ≡ ∆sϕk,s, (2.5) 〈Vk,s, dcω〉 = vτk,s − vk,s − uk,τs + uk,s ≡ ∆kvk,s − ∆suk,s. Введемо в K(2) операцiю множення, яку будемо вважати анало- гом зовнiшнього множення диференцiальних форм. Позначимо цю операцiю через ∪ i означимо за правилом: xk,s ∪ xk,s = xk,s, ek,s2 ∪ ek,τs1 = −V k,s, xk,s ∪ ek,s1 = ek,s1 ∪ xτk,s = ek,s1 , xk,s ∪ ek,s2 = ek,s2 ∪ xk,τs = ek,s2 , xk,s ∪ V k,s = V k,s ∪ xτk,τs = ek,s1 ∪ eτk,s2 = V k,s, (2.6) припускаючи, що добуток рiвний нулю у всiх iнших випадках. В тер- мiнах теорiї гомологiй це так зване множення Уiтнi. На форми (2.3) ∪-множення поширюється за лiнiйнiстю. Вiдомо (див. [3, с. 150]), що для довiльних форм α, β ∈ K(2) має мiсце спiввiдношення dc(α ∪ β) = dcα ∪ β + (−1)rα ∪ dcβ, (2.7) де r — порядок форми α. Формула (2.7) є аналогом вiдповiдного кон- тинуального спiввiдношення для диференцiальних форм. Позначимо через εk,s довiльний базисний елемент K(2). Тодi вве- демо операцiю “зiрочка”, покладаючи εk,s ∪ ∗εk,s = V k,s. (2.8) 588 Про одну дискретну модель... Використовуючи (2.6), отримуємо ∗xk,s = V k,s, ∗ek,s1 = eτk,s2 , ∗ek,s2 = −ek,τs1 , ∗V k,s = xτk,τs. Операцiя ∗ за лiнiйнiстю поширюється на довiльнi форми. Тепер нехай V = ∑ k,s Vk,s, k = 1, 2, . . . , N, s = 1, 2, . . . ,M (2.9) є фiксована область — множина двовимiрних базисних елементiвC(2). Тодi наступне спiввiдношення (α, β)V = 〈V, α ∪ ∗β〉 (2.10) дає нам коректне означення скалярного добутку для форм одинако- вого порядку (див. (1.1)). Для форм рiзного порядку добуток (2.10) є рiвний нулю за означенням. Використовуючи (2.6), (2.8) та (2.9), можемо (2.10) подати у виглядi (α, β)V = ∑ k,s αk,sβk,s, (2.11) де αk,s, βk,s — компоненти форм α, β ∈ K(2). В подальшому, якщо межi сумування в записi сум не вказанi, то будемо вважати, що iндекси k, s завжди приймають значення, вказане в (2.9). Враховуючи (2.7), (2.10), отримуємо для (p − 1)-форми α ∈ K(2) та p-форми β ∈ K(2) наступне спiввiдношення (dcα, β)V = 〈∂V, α ∪ ∗β〉 + (α, δcβ)V , (2.12) де δcβ = (−1)p ∗−1 dc ∗ β. (2.13) Тут ∗−1 є операцiєю, оберненою до ∗, тобто ∗−1∗ = 1. Якщо форма α∪ ∗β перетворюється в нуль на границi областi V , то спiввiдношен- ня (2.13) дає нам означення формально спряженого оператора з dc. Нехай ω = (u, v) — 1-форма вигляду (2.3). Тодi маємо δcω = ∑ k,s (−∆kuσk,s − ∆svk,σs)x k,s. (2.14) Очевидно, оператор δc можемо вважати дискретним аналогом коди- ференцiала δ. Таким чином, дискретний аналог оператора Лапласа має вигляд −∆c = δcdc + dcδc. (2.15) З означення (2.13) випливає, що для довiльної 0-форми ϕ виконується В. Н. Сущ 589 рiвнiсть δcϕ = 0. Тодi оператор (2.15) на 0-формах дiє так: −∆cϕ = δcdcϕ. (2.16) Звiдси, використовуючи рiзницевi записи (2.5), (2.14) операторiв dc та δc, рiвняння (2.16) “поточково” на елементi xk,s розписуємо таким чином: 〈xk,s,−∆cϕ〉 = 4ϕk,s − ϕτk,s − ϕk,τs − ϕσk,s − ϕk,σs. Отже, ми отримали звичайний рiзницевий оператор Лапласа. Слiд вiдзначити, що задання областi V (2.9) та скалярного добу- тку (2.10), (2.11) перетворює лiнiйнi простори форм над V в скiнчен- новимiрнi гiльбертовi простори, якi надалi будемо позначати через H0, H1, H2, з базисами {xk,s}, {ek,s1 , ek,s2 }, {V k,s}, k = 1, 2, . . . , N, s = 1, 2, . . . ,M , вiдповiдно. Отже, оператори dc, δc, ∆c над V дiють за правилом: dc : Hp → Hp+1, δc : Hp → Hp−1, ∆c : Hp → Hp, де p = 0, 1, 2. Будемо вважати, що H−1 = H3 = 0. 3. Дискретна модель магнiтного лапласiана Нехай дiйснозначна 1-форма A = ∑ k,s (A1 k,se k,s 1 +A2 k,se k,s 2 ), де A1 k,s, A 2 k,s ∈ R, є дискретним аналогом магнiтного потенцiалу. Тодi дискретний аналог деформованого диференцiала (1.2) означимо так: dcA : H0 → H1, ϕ→ dcϕ+ iϕ ∪A. (3.1) Враховуючи (2.5), (2.6), отримуємо dcAϕ = ∑ k,s ( (∆kϕk,s + iϕk,sA 1 k,s)e k,s 1 + (∆sϕk,s + iϕk,sA 2 k,s)e k,s 2 ) . (3.2) Аналогiчно, як це було зроблено вище у континуальному випадку (див. (1.4)), ототожнимо дискретний магнiтний потенцiал A з опера- цiєю множення A : H0 → H1, ϕ→ ϕ ∪A. (3.3) Тодi отримаємо Aϕ = ∑ k,s (ϕk,sA 1 k,se k,s 1 + ϕk,sA 2 k,se k,s 2 ). 590 Про одну дискретну модель... Твердження 3.1. Формально спряжений з A оператор A∗ : H1 → H0 дiє на довiльну 1-форму ω = (u, v) за правилом A∗ω = ∑ k,s (A1 k,suk,s +A2 k,svk,s)x k,s. (3.4) Доведення. Оскiльки 1-форма A ∈ H1 є дiйснозначною за означен- ням, то маємо (Aϕ, ω)V = (ϕ ∪A, ω)V = 〈V, (ϕ ∪A) ∪ ∗ω〉 = = ∑ k,s (ϕk,sA 1 k,s)uk,s + (ϕk,sA 2 k,s)vk,s = = ∑ k,s ϕk,s(A 1 k,suk,s +A2 k,svk,s) = (ϕ,A∗ω)V . Припустимо, що компоненти αk,s довiльної r-форми α ∈ Hr, r = 0, 1, 2, задовольняють таким “граничним умовам”: α0,s = ατN,s = 0, αk,0 = αk,τM = 0 (3.5) при всiх k = 1, 2, . . . , N, s = 1, 2, . . . ,M . Твердження 3.2. Нехай компоненти форм ϕ ∈ H0, ω ∈ H1 задо- вольняють умовам (3.5). Тодi (dcAϕ, ω)V = (ϕ, δcAω)V , де δcAω = δcω − iA∗ω. (3.6) Доведення. Якщо форми ϕ ∈ H0, ω ∈ H1 задовольняють умовам (3.5), то легко переконатись [3, с. 164], що виконується рiвнiсть 〈∂V, ϕ ∪ ∗ω〉 = 0 . Тодi зi спiввiдношення (2.12) отримуємо (dcϕ, ω)V = (ϕ, δcω)V . Отже, (dcAϕ, ω)V = (dcϕ+ iϕ ∪A,ω)V = (dcϕ, ω)V + i(ϕ ∪A,ω)V = = (ϕ, δcω)V + i(ϕ,A∗ω)V = (ϕ, (δc − iA∗)ω)V . Таким чином, оператор δcA : H1 → H0 є формально спряжений з оператором dcA. Використовуючи (2.14) та (3.4), рiвнiсть (3.6) можемо записати в “поточковому” виглядi так: В. Н. Сущ 591 〈xk,s, δcAω〉 = −∆kuσk,s − ∆svk,σs − i(A1 k,suk,s +A2 k,svk,s). Тодi, враховуючи (2.6), маємо ϕ ∪ δcω = ∑ k,s ϕk,s(−∆kuσk,s − ∆svk,σs)x k,s = = ∑ k,s (ϕσk,suσk,s − ϕk,suk,s − ϕk,svk,s + ϕk,σsvk,σs)x k,s+ + ∑ k,s (ϕk,suσk,s − ϕσk,suσk,s + ϕk,svk,σs − ϕk,σsvk,σs)x k,s = = δc(ϕ ∪ ω) + ∑ k,s ( (∆kϕσk,s)uσk,s + (∆sϕk,σs)vk,σs ) xk,s. Звiдси безпосередньо випливає, що δc(ϕ ∪ ω) = ϕ ∪ δcω − ∑ k,s ( (∆kϕσk,s)uσk,s + (∆sϕk,σs)vk,σs ) xk,s. Отримана рiвнiсть дозволяє виписати дискретний аналог правила Лейбнiца для оператора δcA: δcA(ϕ ∪ ω) = (δc − iA∗)(ϕ ∪ ω) = δc(ϕ ∪ ω) − iA∗(ϕ ∪ ω) = = ϕ ∪ δcω − ϕ ∪ iA∗ω − ∑ k,s ( (∆kϕσk,s)uσk,s + (∆sϕk,σs)vk,σs ) xk,s = = ϕ ∪ δcAω − ∑ k,s ( (∆kϕσk,s)uσk,s + (∆sϕk,σs)vk,σs ) xk,s. Для порiвняння див. [7, р. 2], де наведено вiдповiдний континуальний аналог даного правила. Введемо дискретний магнiтний лапласiан так: −∆c A = δcAd c A : H0 → H0. Зазначимо, що умови (3.5) дають необхiднi доозначення форм ϕ ∈ H0 за межами V . Iншими словами, оскiльки в рiзницевому записi опера- тора −∆c A є компоненти вигляду ϕ0,s, ϕk,τM , ϕk,0, ϕτN,s, то умови (3.5) дозволяють коректно означити оператор −∆c A на довiльному елементi ϕ ∈ H0. Використовуючи (3.1), (3.6), отримуємо − ∆c Aϕ = δcA(dcϕ+ iϕ ∪A) = = (δc − iA∗)dcϕ+ (δc − iA∗)(iϕ ∪A) = = −∆cϕ− iA∗dcϕ+ iδc(ϕ ∪A) +A∗(ϕ ∪A) = = −∆cϕ− iA∗dcϕ+ iδcAϕ+A∗Aϕ. (3.7) 592 Про одну дискретну модель... Твердження 3.3. Оператор −∆c A є самоспряженим, тобто (δcAd c Aϕ,ψ)V = (ϕ, δcAd c Aψ)V . Доведення. Вiдомо (див. [3, с. 166]), що за умов (3.5) дискретний лап- ласiан −∆c = δcdc : H0 → H0 є самоспряженим. Використовуючи твердження 3.1, 3.2, отримуємо (δcAd c Aϕ,ψ)V = = (δcdcϕ,ψ)V − (iA∗dcϕ,ψ)V + (iδcAϕ,ψ)V + (A∗Aϕ,ψ)V = = (ϕ, δcdcψ)V + (dcϕ, iAψ)V − (Aϕ, idcψ)V + (Aϕ,Aψ)V = = (ϕ,−∆cψ)V + (ϕ, iδcAψ)V − (ϕ, iA∗dcψ)V + (ϕ,A∗Aψ)V = = (ϕ, (−∆c + iδcA− iA∗dc +A∗A)ψ)V = (ϕ,−∆c Aψ)V . Використовуючи (3.1), можемо записати (dcAϕ, d c Aψ)V = (dcϕ, dcψ)V + (dcϕ, iAψ)V + (iAϕ, dcψ)V + (iAϕ, iAψ)V . (3.8) Беручи до уваги (2.5) та (2.11), дiстаємо (dcϕ,Aψ)V = ∑ k,s ( ∆kϕk,s(ψk,sA 1 k,s) + ∆sϕk,s(ψk,sA 2 k,s) ) = = ∑ k,s ϕk,s ( − ∆k(ψσk,sA 1 σk,s) − ∆s(ψk,σsA 2 k,σs) ) + + ∑ s ( ϕτN,s(ψN,sA 1 N,s) − ϕ1,s(ψ0,sA 1 0,s) ) + + ∑ k ( ϕk,τM (ψk,MA 2 k,M ) − ϕk,1(ψk,0A 2 k,0) ) = = ∑ s ( ϕτN,s(ψN,sA 1 N,s) − ϕ1,s(ψ0,sA 1 0,s) ) + + ∑ k ( ϕk,τM (ψk,MA 2 k,M ) − ϕk,1(ψk,0A 2 k,0) ) + (ϕ, δcAψ)V . Звiдси випливає, що (dcAϕ, d c Aψ)V = ∑ s [ ϕτN,s ( ψτN,s − ψN,s − iψN,sA 1 N,s )] − − ∑ s [ ϕ1,s ( ψ1,s − ψ0,s + iψ0,sA 1 0,s )] + + ∑ k [ ϕk,τM ( ψk,τM − ψk,M − iψk,MA 2 k,M )] − В. Н. Сущ 593 − ∑ k [ ϕk,1 ( ψk,1 − ψk,0 + iψk,0A 2 k,0 )] + + (ϕ,−∆cψ)V + (ϕ, iδcAψ)V − (ϕ, iA∗(dcψ))V + (ϕ,A∗Aψ)V . Отже, якщо форми ϕ,ψ ∈ H0 задовольняють умовам (3.5), то отри- муємо спiввiдношення (dcAϕ, d c Aψ)V = − ∑ s ϕ1,sψ1,s − ∑ k ϕk,1ψk,1 + (ϕ, δcAd c Aψ)V . (3.9) Теорема 3.1. Для довiльної форми f ∈ H0 розв’язок рiвняння −∆c Aϕ = f (3.10) iснує i є єдиним. Доведення. З самоспряженостi оператора −∆c A вiдразу випливає, що для доведення цiєї теореми достатньо встановити єдинiсть розв’язку. Покладаючи ϕ = ψ в рiвняннi (3.9), маємо (dcAϕ, d c Aϕ)V + ∑ s \|ϕ1,s\|2 + ∑ k \|ϕk,1\|2 = (ϕ,−∆c Aϕ)V . (3.11) Враховуючи (2.5), (2.11), отримуємо (dcϕ, dcϕ)V = ∑ k,s ( \|∆kϕk,s\|2 + \|∆sϕk,s\|2 ) , (dcϕ, iAϕ)V + (iAϕ, dcϕ)V = = i ∑ k,s [ A1 k,s ( ϕk,s(∆kϕk,s) − (∆kϕk,s)ϕk,s )] + + i ∑ k,s [ A2 k,s ( ϕk,s(∆sϕk,s) − (∆sϕk,s)ϕk,s )] , (iAϕ, iAϕ)V = ∑ k,s ( (A1 k,s) 2\|ϕk,s\|2 + (A2 k,s) 2\|ϕk,s\|2 ) . Легко переконатись, що ϕk,s(∆kϕk,s) − (∆kϕk,s)ϕk,s = = 2i ( Im (ϕk,s)Re (∆kϕk,s) − Re (ϕk,s)Im (∆kϕk,s) ) . Пiдставивши отриманi вирази у формулу (3.8) за умови, що ϕ = ψ, дiстаємо (dcAϕ, d c Aϕ)V = ∑ k,s [ \|∆kϕk,s\|2+\|∆sϕk,s\|2+(A1 k,s) 2\|ϕk,s\|2+(A2 k,s) 2\|ϕk,s\|2+ 594 Про одну дискретну модель... + 2A1 k,sRe (ϕk,s)Im (∆kϕk,s) − 2A1 k,sIm (ϕk,s)Re (∆kϕk,s)+ + 2A2 k,sRe (ϕk,s)Im (∆sϕk,s) − 2A2 k,sIm (ϕk,s)Re (∆sϕk,s) ] = = ∑ k,s [( Re (∆kϕk,s)−A1 k,sIm (ϕk,s) )2 + ( Im (∆kϕk,s)+A1 k,sRe (ϕk,s) )2 + + ( Re (∆sϕk,s) −A2 k,sIm (ϕk,s) )2 + ( Im (∆sϕk,s) +A2 k,sRe (ϕk,s) )2] . Тепер нехай у рiвняннi (3.10) f = 0. Тодi, пiдставивши вище отрима- ний вираз для (dcAϕ, d c Aϕ)V у (3.11), маємо ∑ k,s [( Re (∆kϕk,s) −A1 k,sIm (ϕk,s) )2 + + ( Im (∆kϕk,s) +A1 k,sRe (ϕk,s) )2 + + ( Re (∆sϕk,s) −A2 k,sIm (ϕk,s) )2 + + ( Im (∆sϕk,s) +A2 k,sRe (ϕk,s) )2] + + ∑ s \|ϕ1,s\|2 + ∑ k \|ϕk,1\|2 = 0. Звiдси вiдразу випливає, що ϕk,s = 0 для всiх k, s. Отже, ϕ ≡ 0. Наслiдок 3.1. Оператор −∆c A є додатним. 4. Апроксимацiя та граничний перехiд У цьому роздiлi розглянемо зв’язок мiж описаними вище комбi- наторними об’єктами та їхнiми континуальними аналогами. Зокрема, побудуємо деяку нестандартну апроксимацiю узагальненого розв’яз- ку рiвняння типу Пуассона (з магнiтним лапласiаном −∆A). Тобто розглянемо рiвняння −∆Aϕ = f, (4.1) де f ∈ L2(Ω). Для даного рiвняння зреалiзуємо схему дискретизацiї, наведену в [3, гл. 3, § 3]. Нехай область Ω∈R 2 — прямокутник з вершинами (a1, b1), (a2, b1), (a1, b2), (a2, b2), де 0 ≤ a1 < a2, 0 ≤ b1 < b2. Введемо маштаб h, покладаючи h = N−1(a2−a1) = M−1(b2−b1). Роздiлимо прямокутник Ω прямими лiнiями, якi мають вигляд x = a1 + kh, y = b1 + sh, k = 0, 1, . . . , N, s = 0, 1, . . . ,M. Позначимо через xk,s точки перетину цих лiнiй. Позначимо також через Vk,s вiдкритий квадрат, який обмежується лiнiями: x = a1 + В. Н. Сущ 595 kh, y = b1 + sh, x = a1 + τkh, y = b1 + τsh. Нехай e1k,s та e2k,s — горизонтальнi та вертикальнi сторони Vk,s, тобто e1k,s = (xk,s, xτk,s), e2k,s = (xk,s, xk,τs). Введений геометричний об’єкт — прямокутник Ω — ототожнимо з комбiнаторним об’єктом V вигляду (2.9). Тепер зiставимо кожнiй дискретнiй формi ϕ ∈ H0 ступiнчасту функцiю ϕh(x, y) за правилом: ϕh(x, y) = ϕk,s для x, y ∈ Vk,s. У випадку 1-форми ω = (u, v) ∈ H1 будемо мати пару ступiнчас- тих функцiй uh(x, y) = uk,s, v h(x, y) = vk,s, тобто ωh(, x, y) можемо зобразити у виглядi диференцiальної форми ωh(x, y) = uh(x, y) dx+ vh(x, y) dy. Нагадаємо, що ϕk,s, uk,s, vk,s ∈ C для всiх k, s. Звiдси ϕh, ωh — комп- лекснозначнi форми. Легко перевiрити, що ‖ϕh‖L2(Ω) = h‖ϕ‖H0 , ‖ωh‖L2Λ1(Ω) = h‖ω‖H1 . (4.2) Введемо рiзницевi оператори ∆h x ∆h y , якi дiють на ступiнчастi функцiї таким чином: ∆h xϕ h(x, y) = h−1 ( ϕh(x+ h, y) − ϕh(x, y) ) , ∆h yϕ h(x, y) = h−1 ( ϕh(x, y + h) − ϕh(x, y) ) . Якщо замiнити частковi похiднi ∂ ∂x , ∂ ∂y в диференцiальних операторах d, δ на вiдповiднi рiзницевi оператори ∆h x, ∆h y , то отримаємо рiзницевi оператори, якi надалi будемо позначати через dh, δh. Рiвняння dhϕh = ωh (4.3) є еквiвалентне сiм’ї рiзницевих рiвнянь вигляду ∆kϕk,s = huk,s, ∆sϕk,s = hvk,s, де k = 0, 1, . . . , N, s = 0, 1, . . . ,M. Отже, рiвняння (4.3) ми можемо переписати у виглядi dcϕ = hω, де ϕ, ω — дискретнi форми (2.3) з компонентами ϕk,s та uk,s, vk,s вiд- повiдно. Аналогiчно рiзницевому рiвнянню δhωh = ϕh зiставляється дискретне рiвняння δcω = hϕ. 596 Про одну дискретну модель... Введемо також рiзницевий оператор вигляду dhAh = dh + iAh, (4.4) де Ah = A1hdx+A2hdy та A1h, A2h — дiйснозначнi ступiнчастi функцiї, означенi як вище. З iншого боку, 1-форму Ah можемо розглядати як оператор множення Ah : L2(Ω) → L2Λ1(Ω), який дiє за правилом: Ahϕh = ϕhA1hdx+ ϕhA2hdy. Тодi формально спряжений з Ah оператор (див. для порiвняння (3.4)) дiє на ступiнчасту 1-форму ωh = (uh, vh) так: (Ah)∗ωh = uhA1h + vhA2h. Отже, рiзницевий магнiтний лапласiан (див. (3.7)) ми можемо озна- чити за формулою −∆h Ah ≡ δhAhd h Ah = δhdh − i(Ah)∗dh + iδhAh + (Ah)∗Ah. (4.5) Тепер розглянемо процедуру дискретизацiї — зiставлення конти- нуальному об’єкту дискретного (детальнiше див. [3, с. 172]). Нехай f(x, y) — комплекснозначна функцiя, задана над прямокутником Ω (або над V = ∑ Vk,s), та нехай f ∈ L2(Ω). Зiставимо f ступiнчасту функцiю fh, покладаючи fh(x, y) = h−2 ∫ Vk,s f(ξ, η) dξ dη, для x, y ∈ Vk,s. (4.6) Припишемо значення функцiї fh точцi xk,s. Тобто, як це було зро- блено вище, покладемо fh(x, y) = fk,s для всiх x, y ∈ Vk,s. Отже, ми отримали дискрету 0-форму f̂ = ∑ fk,sx k,s, яка породжується фун- кцiєю f ∈ L2(Ω). Аналогiчно, якщо f — диференцiальна 1-форма, тобто f ∈ L2Λ1(Ω), то ми кожнiй компонентi f зiставляємо ступiнча- сту функцiю вигляду (4.6) i приписуємо значення отриманих ступiн- частих функцiї iнтервалам e1k,s, e 2 k,s вiдповiдно. Тепер введемо норму ‖ϕh‖2 W (Ω) = ∫ Ω ( \|∆h xϕ h\|2 + \|∆h yϕ h\|2 ) dx dy. З огляду на введенi вище позначення легко переконатись, що ‖ϕh‖2 W (Ω) = N∑ k=0 M∑ s=0 ( \|∆kϕk,s\|2 + \|∆sϕk,s\|2 ) . (4.7) В. Н. Сущ 597 Звiдси отримуємо рiвнiсть ‖ϕh‖W (Ω) = ‖ϕ‖W (V ), де ϕ — дискретна форма. Теорема 4.1. Нехай ступiнчаста функцiя fh — дискретизацiя f ∈ L2(Ω). Тодi задача Дiрiхле: −∆h Ahϕ h = fh, (4.8) ϕh\|∂Ω = 0 (4.9) має єдиний розв’язок. Крiм того, для розв’язку ϕh виконується не- рiвнiсть ‖ϕh‖W (Ω) < c1‖Re f‖L2(Ω) + c2‖Im f‖L2(Ω). (4.10) Доведення. Використовуючи (4.5), рiвняння (4.8) можемо зобразити у виглядi δhdhϕh − i(Ah)∗dhϕh + iδhAhϕh + (Ah)∗Ahϕh = fh. (4.11) Як було описано вище, зiставимо ступiнчастiй функцiї ϕh та 1-формi Ah над Ω дискретнi форми ϕ та A над V . Замiнемо рiзницевi операто- ри dh, δh на дискретнi dc, δc. Тодi рiвняння (4.11) можемо переписати у виглядi δcdcϕ− ihA∗dcϕ+ ihδcAϕ+ h2A∗Aϕ = h2f̂ , (4.12) де f̂ — 0-форма, яка породжується ступiнчастою функцiєю fh (див. (4.6)). Очевидно, якщо ϕh задовольняє умовам (4.9), то вiдповiдна дискретна форма задовольняє умовам (3.5). Таким чином, однозна- чна розв’язнiсть задачi (4.8), (4.9) безпосередньо випливає з теореми 3.1. Тепер подамо рiвняння (4.8) у виглядi системи двох рiвнянь −∆h AhReϕh = Re fh, −∆h AhImϕh = Im fh. (4.13) Зрозумiло, що аналогiчно можемо розщепити рiвняння (4.11). Оскiльки згiдно (3.7), (3.11) для довiльної дiйснозначної форми α ∈ H0 виконується рiвнiсть (dcα, iAα)V + (iAα, dcα)V = 0, то з першого рiвняння (4.13), враховуючи (3.11) та (4.12), отримуємо ‖dcReϕ‖2 H1 + ∑ s (Reϕ1,s) 2 + ∑ k (Reϕk,1) 2+ 598 Про одну дискретну модель... + h2‖AReϕ‖2 H1 = h2(Reϕ, Re f̂)V . Звiдси випливає, що ‖Reϕ‖2 W (V ) < h2(Reϕ, Re f̂)V = h2 ∑ k,s Reϕk,sRe fk,s. Отже, використовуючи (4.2), маємо ‖Reϕh‖2 W (Ω) < ‖Reϕh‖L2(Ω)‖Re fh‖L2(Ω). (4.14) Легко перевiрити (див. [3, гл. 3, теорема 5]), що виконуються оцiнки ‖Reϕh‖L2(Ω) ≤ ‖Reϕh‖W (Ω), ‖Re fh‖L2(Ω) ≤ c1‖Re f‖L2(Ω). (4.15) Пiдставляючи (4.15) у (4.14), дiстаємо ‖Reϕh‖W (Ω) < c1‖Re f‖L2(Ω). (4.16) Дослiвно повторюючи наведенi вище мiркування, отримуємо ана- логiчну оцiнку для уявної частини ϕh: ‖Imϕh‖W (Ω) < c2‖Im f‖L2(Ω). (4.17) Нарештi, оскiльки ‖ϕh‖W (Ω) ≤ ‖Reϕh‖W (Ω) + ‖Imϕh‖W (Ω), то з оцiнок (4.16), (4.17) безпосередньо випливає оцiнка (4.10). Тепер розглянемо граничний перехiд. Як в [3, гл. 3], побудуємо за ступiнчастими функцiями ϕh гладкi (класу C1) функцiї Jhϕh наступ- ним чином. Задамо Jhϕh у виглядi Jhϕh(x, y) = h−2 x+h∫ x y+h∫ y ϕh(ξ, η) dξ dη. Зазначимо, що це є добре вiдома функцiя Стєклова з радiусом усеред- нення h. Введемо також 1-форму JhAh ∈ Λ1 (1)(Ω) так: JhAh(x, y) = JhA1h(x, y) dx+ JhA2h(x, y) dy. Позначимо через Ẇ 1(Ω) простiр Соболєва комплекснозначних функцiй, якi задовольняють однорiдним умовам Дiрiхле. Розглянемо деяку послiдовнiсть {hn}, таку, що hn → 0 при n → +∞. Надалi для зручностi будемо писати h замiсть hn. Нехай в операторi −∆A магнiтний потенцiал A ∈ Λ1 (1)(Ω). Тодi маємо В. Н. Сущ 599 Теорема 4.2. Нехай ступiнчаста функцiя ϕh — розв’язок задачi Дi- рiхле (4.8), (4.9) для довiльного f ∈ L2(Ω). Тодi послiдовнiсть {ϕh} сильно збiгається в L2(Ω) до ϕ ∈ Ẇ 1(Ω) при h→ 0, де ϕ — узагальне- ний розв’язок вiдповiдної задачi Дiрiхле для рiвняння (4.1). Водночас послiдовнiсть {Jhϕh} збiгається до ϕ в метрицi Ẇ 1(Ω). Доведення. Опираючись на теорему 4.1, доведення є дослiвним по- вторенням мiркувань з доведення теореми 6 [3, гл. 3]. Лiтература [1] G. A. Baker, Combinatorial Laplacians and Sullivan-Whitney forms, in Differenti- al geometry (Proceeding. Special year. Maryland 1981–1982), Birkhauser, 1983, 1–33. [2] J. Bellissard, H. Schulz-Baldes, A. van Elst, The Noncommutative geometry of the quantum hall effect // J. Math. Phys., 35 (1994), 5373–5471. [3] A. A. Дезин, Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990, 238 с. [4] J. Dodziuk, Finite-difference approach to Hodge theory of harmonic forms // Amer. J. Math, 98 (1976), 79–104. [5] J. Dodziuk, V. Mathai, Kato’s inequality and asymptotic spectral properties for discrete magnetic Laplacians // preprint math.SP/0312450v1. [6] J. Komorowski, On finite-dimensional approximations of the exterior differential, codifferential and Laplacian on a Riemannian manifold // Bull. Acad. Pol. Sci., Vol. 23 (1975), N 9, 999–1005. [7] M. Shubin, Essential self-adjointness for semi-bounded magnetic Schrodinger operators on non-compact manifolds // preprint math.SP/0007019. [8] В. Н. Сущ, Разностное уравнение Пуассона на криволинейной сетке // Диф- ференциальные уравнения, 32 (1996), N 5, 684–688. [9] V. N. Sushch, The discrete analog of a nonlocal boundary value problem // Доп. НАН України, (1995), N 1, 38–40. [10] В. Н. Сущ, Дискретнi моделi на двовимiрнiй сферi // Доп. НАН України, (2000), N 2, 27–32. Вiдомостi про авторiв Володимир Н. Сущ Полiтехнiка Кошалiнська, Снядецкiх 2, 75-453 Кошалiн, Польща; Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Наукова, 3-б, 79000, Львiв, Україна E-Mail: sushch@tu.koszalin.pl

Про одну дискретну модель магнітного лапласіана

Репозитарії

Схожі ресурси