Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях
В работе изучается асимптотическое поведение решений весового уравнения Лапласа-Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях, обобщающих как модельные многообразия, так и искривленные римановы произведения. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий получены оценки размерностей...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124617 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 230-243. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124617 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246172017-10-01T03:02:49Z Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях Лосев, А.Г. В работе изучается асимптотическое поведение решений весового уравнения Лапласа-Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях, обобщающих как модельные многообразия, так и искривленные римановы произведения. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий получены оценки размерностей пространств гармонических функций предписанного роста в терминах внутренних характеристик данных многообразий. 2004 Article Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 230-243. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30F15, 31A05. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124617 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе изучается асимптотическое поведение решений весового уравнения Лапласа-Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях, обобщающих как модельные многообразия, так и искривленные римановы произведения. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий получены оценки размерностей пространств гармонических функций предписанного роста в терминах внутренних характеристик данных многообразий. |
| format |
Article |
| author |
Лосев, А.Г. |
| spellingShingle |
Лосев, А.Г. Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях Український математичний вісник |
| author_facet |
Лосев, А.Г. |
| author_sort |
Лосев, А.Г. |
| title |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| title_short |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| title_full |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| title_fullStr |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| title_full_unstemmed |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| title_sort |
гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124617 |
| citation_txt |
Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 230-243. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT losevag garmoničeskiefunkciipredpisannogorostanakvazimodelʹnyhrimanovyhmnogoobraziâh |
| first_indexed |
2025-07-09T01:43:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:43:52Z |
| _version_ |
1837131822821015552 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 1 (2004), № 2, 230 – 243
Гармонические функции предписанного роста
на квазимодельных римановых многообразиях
А. Г. Лосев
(Представлена Гутлянским В. Я.)
Аннотация. В работе изучается асимптотическое поведение реше-
ний весового уравнения Лапласа-Бельтрами на некомпактных рима-
новых многообразиях, обобщающих как модельные многообразия,
так и искривленные римановы произведения. На основе спектраль-
ных свойств рассматриваемых многообразий получены оценки ра-
змерностей пространств гармонических функций предписанного ро-
ста в терминах внутренних характеристик данных многообразий.
2000 MSC. 30F15, 31A05.
Ключевые слова и фразы. Оператор Лапласа-Бельтрами, рима-
ново многообразие, теорема Лиувилля.
1. Введение
В данной работе изучается поведение решений уравнения Лапласа-
Бельтрами на некомпактных римановых многообразиях некоторого
специального вида, обобщающих сферически-симметричные. Клас-
сическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая
ограниченная гармоническая в Rn функция является тождественной
постоянной. Хорошо известна справедливость следующих утвержде-
ний, носящих название теорем типа Лиувилля.
1. Если гаpмоническая функция u в Rn имеет коне-
чный интегpал Диpихле, то u ≡ const.
2. Если u ∈ Lp(Rn) является гаpмонической функцией
и 1 ≤ p <∞, то u ≡ 0.
3. Если функция u — гаpмоническая в Rn и удовлетво-
pяет неpавенству |u(x)| ≤ C(1 + |x|)m, то u — гаpмониче-
ский полином степени, не пpевышающей m.
Статья поступила в редакцию 5.01.2004
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 03-01-
00304)
А. Г. Лосев 231
В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам
типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии M задан класс
функций A и эллиптический опеpатоp L. Будем говоpить, что на M
выполнено обобщенное (A,L)-лиувиллево свойство, если любое pе-
шение уpавнения Lu = 0, пpинадлежащее функциональному клас-
су A, имеет конечную размерность. Оценки размерностей различных
пространств гармонических функций на некомпактных римановых
многообразиях были получены в работах ряда математиков (см., на-
пример, [2]–[8], [12], [13], [18], [19]).
Ряд работ был посвящен изучению гармонических функций на
модельных, или сферически-симметричных многообразиях. В частно-
сти, были получены точные условия разрешимости задачи Дирихле
с непрерывными граничными данными на "бесконечности", условия
выполнения теорем типа Лиувилля для ограниченных и положитель-
ных гармонических функций, а также найдены точные оценки ра-
змерности пространств гармонических функций, некоторого предпи-
санного роста (см., например, [8], [9], [12], [14]). Опишем данные мно-
гообразия подробнее.
Фиксируем начало координат O ∈ Rn и некоторую гладкую фун-
кцию q на интервале [0, R0) (R0 может быть ∞) такую, что q(0) = 0
и q′(0) = 1. Определим модельное риманово многообразие Mq следу-
ющим образом:
1) множество точек Mq является открытым шаром в Rn радиуса
R0 с центром в O (если R0 = ∞ то все Rn);
2) в полярных координатах (r, θ) (где r ∈ (0, R0) и θ ∈ Sn−1)
риманова метрика на Mq \ {O} определяется как
ds2 = dr2 + q2(r)dθ2, (1.1)
где dθ — стандартная риманова метрика на сфере Sn−1;
3) риманова метрика в O является гладким продолжением (1.1).
Примерами таких многообразий могут служить евклидово про-
странство Rn, гиперболическое пространство Hn, поверхности вра-
щения и т. д.
В данной работе изучаются несколько более общие многообразия.
А именно, рассмотрим тройки (Si, dθ
2
i , fi), где i = 1, · · · , k, Si — ком-
пактное риманово многообразие без края, dθ2
i — метрика на Si, fi —
положительная гладкая функция на Si.
Многообразие D будем называть скрещенным произведением по-
рядка k, если D изометрично прямому произведению [r0,∞) × S1×
232 Гармонические функции предписанного роста
× · · · × Sk с метрикой
ds2 =
k∏
i=1
f2
i (θi)dr
2 +
k∑
i=1
q2i (r)
∏
j 6=i
f2
j (θj)dθ
2
i .
Здесь qi(r) — положительные гладкие на [r0,∞) функции.
Многообразия, представимые в виде M = B∪D, где B — компакт,
а D — скрещенное произведение, будем называть квазимодельными
многообразиями.
Заметим, что в поведении решений эллиптических уравнений на
данных многообразиях и на модельных, есть отличия. Например,
на модельных многообразиях из выполнения теоремы Лиувилля для
ограниченных гармонических функций следует стохастическая пол-
нота (см. [10]), или, что тоже самое, справедливость теоремы Лиувил-
ля для ограниченных решений уравнения
∆u− u = 0.
На произвольных квазимодельных многообразиях данное свойство не
выполняется (см. [11]).
Поведению гармонических функций на различных квазимодель-
ных многообразиях посвящен ряд работ (см., например, [4], [11], [13],
[17]). Данная работа посвящена изучению неограниченных гармони-
ческих функций на данных многообразиях.
2. Гармонические функции на квазимодельных много-
образиях
В данном параграфе изучается поведение гармонических фун-
кций на квазимодельных многообразиях. Рассмотрим весовой опе-
ратор Лапласа-Бельтрами
∆σ = σ−1div(σ∇),
где σ — положительная гладкая функция, на квазимодельных мно-
гообразиях. Здесь ∇ и div, соответственно, градиент и дивергенция
в римановой метрике на M .
Будем предполагать, что на скрещенном произведении D выпол-
нено
σ(r, θ) = δ(r)
k∏
i=1
hi(θi).
А. Г. Лосев 233
Здесь δ(r) и hi(θi) — положительные гладкие на [r0,∞) и Si функции.
Решения уравнения
∆σu = 0 (2.2)
являются гармоническими функциями на соответствующем весовом
многообразии. В дальнейшем будем называть их σ-гармоническими.
Пусть λij - j-е собственное число, заданного на Si оператора −Li,
где
Li = div(f
2n−4
ni
i (θ)h
2
ni
i (θ)∇),
а dim Si = ni, dim D = n = n1 + n2 + · · · + nk + 1. Будем считать,
что собственные числа пронумерованы в порядке возрастания, т.е.
выполнено 0 = λi0 < λi1 ≤ λi2 ≤ . . . .
Обозначим Aij(r) — решение уравнения
d2v(r)
dr2
+
[
k∑
i=1
ni
q′i(r)
qi(r)
+
δ′(r)
δ(r)
]
dv(r)
dr
−
λij
q2i (r)
v(r) = 0 (2.3)
с краевыми условиями v(r0) = 0, v
′
(r0) = 1.
Введем обозначения: s(t) = qn1
1 (t) · · · qnk
k (t),
Ji =
∞∫
r0
1
δ(t)s(t)
t∫
r0
δ(z)
s(t)
q2i (t)
(z)dz
dt, K =
∞∫
r0
dt
δ(t)s(t)
,
где r0 > 0, i = 1, . . . , k. Тогда, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть M — квазимодельное многообразие, такое, что
выполнены следующие условия:
1. K <∞;
2. для всех i выполнено Ji = ∞.
Тогда размерность пространства σ-гармонических функций на M ,
удовлетворяющих условию u(r, θ) = o(Ail(r)) для некоторого i при
r → ∞, не менее l.
Замечание 2.1. Выполнение первого условия теоремы эквивален-
тно непараболичности типа многообразия M (см. [13]). Некоторые
свойства многообразий непараболического типа описаны в Приложе-
нии (см. предложение 3.6.).
Замечание 2.2. Если хотя бы для одного i выполнено Ji < ∞, то
на M существует континуум линейно-независимых ограниченных
гармонических функций (см. [13]).
234 Гармонические функции предписанного роста
Замечание 2.3. Аналогичные утверждения для гармонических и
σ-гармонических функций на модельных многообразиях доказаны в
[8] и [12].
Доказательство теоремы. Введем новую метрику на Si. Пусть
dθ̃2
i = h
2
ni
i (θ)f
2(n−ni−2)
ni
i (θ)dθ2
i .
Компакт Si с вновь введенной метрикой будем обозначать S̃i. В таком
случае, метрика на D представляется следующим образом
ds2 =
k∏
i=1
f2
i (θi)dr
2 +
k∑
i=1
q2i (r)h
−2
ni
i (θ)f
2(2+ni−n)
ni
i (θ)
∏
j 6=i
f2
j (θj)dθ̃
2
i .
Непосредственно по определению оператора Лапласа-Бельтрами (см.,
например, [15], стр. 357) получаем, что оператор ∆σ на D в коорди-
натах (r, θ) имеет вид
∆σ =
1
f2(θ)
(
∂2
∂r2
+
(
n1
q′1(r)
q1(r)
+ · · · + nk
q′k(r)
qk(r)
+
δ
′
(r)
δ(r)
)
∂
∂r
)
+
+
1
f2(θ)
k∑
i=1
1
q2i (r)
Li, (2.4)
где оператор Li определен выше, а
f2(θ) =
k∏
i=1
f2
i (θi).
Обозначим {Φi
j(θi)} — ортонормированный базис в L2(S̃i) из соб-
ственных функций оператора −Li, а λij — соответствующие собствен-
ные числа.
Пусть u(r, θ) — σ-гармоническая на D функция. Тогда для любого
r справедливо следующее равенство
u(r, θ) =
∞∑
lk=0
. . .
∞∑
l1=0
Vl1...lk(r)Φ1
l1(θ1)
. . .
Φk
lk
(θk), (2.5)
где Vl1···lk(r) является решением следующего уравнения
d2v(r)
dr2
+
[
k∑
i=1
ni
q′i(r)
qi(r)
+
δ′(r)
δ(r)
]
dv(r)
dr
−
[
k∑
i=1
λili
q2i (r)
]
v(r) = 0. (2.6)
А. Г. Лосев 235
Замечание 2.4. Данное уравнение играет существенную роль при
изучении гармонических функций на квазимодельных многообразиях
(см., например, [11], [13]). В дальнейшем будем его называть спе-
ктральным. Очевидно, что Aij(r) является решением спектрально-
го уравнения в случае, когда lm = 0 для всех m 6= i. В дальнейшем
уравнение (2.3) будем называть (i,j)-спектральным.
Ясно, что функции вида Aij(r)Φ
i
j(θi) являются σ-гармоническими
на D.
В предложении 3.4 (см. Приложение) доказано, что если выполне-
но Ji = ∞ и λil > λim, то limr→∞
Ai
l(r)
Ai
m(r)
= ∞. Построим некоторые ба-
зисные функции искомого пространства σ-гармонических функций.
Пусть {Bp} является гладким исчерпанием многообразия M . Ре-
шим в Bp следующую краевую задачу
∆σϕ
j
p = 0 в Bp,
ϕjp
∣∣∣
∂Bp
= uj |∂Bp
,
где uj = Aij(r)Φ
i
j(θi). Пусть ϕ0 равна нулю на B и равна 1 вне неко-
торой окрестности B. Положим
U = ujϕ0, F = ∆σU.
Заметим, что suppF лежит в окрестности B. Тогда для ψjp = ϕjp−U ,
имеем
∆σψ
j
p = −F, ψjp
∣∣
∂Bp
= 0.
Следовательно,
ψjp(x) =
∫
Bp
Gp(x, y)F (y)dy,
где Gp(x, y) есть функция Грина оператора ∆σ в Bp. Из существо-
вания предела функций Грина {Gp} при p → ∞ следует, что на M
существует limp→∞ ψjp = ψj такой, что ∆σψj = −F . Из существования
функции ψj следует существование предельной функции ϕj = lim
p→∞
ϕjp,
причем ∆σϕj = 0 на M .
На M \B функция ψj(r, θ) является решением уравнения ∆σψj =
= 0. Так как ∂B компакт, то в силу непрерывности функции ψj(r, θ)
существует A = max∂B |ψj(r, θ)|. Тогда
−A ≤ ψj |∂B ≤ A
236 Гармонические функции предписанного роста
и для достаточно больших p
−(A+ 1) ≤ ψjp
∣∣
∂B
≤ A+ 1.
Покажем, что limr→∞ ψj(r, θ) = 0. Из предложения 3.2 следует, что на
M \B существует решение уравнения (2.2) v(r, θ) такое, что v|∂B = 1
и limr→∞ v(r, θ) = 0. Рассмотрим на M \B функции
ψj = (A+ 1) · v и ψj = −(A+ 1) · v.
Функции ψj и ψj являются решениями уравнения (2.2) и удовлетво-
ряют условиям
ψj
∣∣
∂B
= A+ 1, 0 ≤ ψj ≤ A+ 1, lim
r→∞
ψj(r, θ) = 0,
ψj
∣∣∣
∂B
= −(A+ 1), −(A+ 1) ≤ ψj ≤ 0, lim
r→∞
ψj(r, θ) = 0.
Тогда на M \B выполнено ψj ≤ ψj . Так как на Bp \B
∆σψj = ∆σψ
j
p = ∆σψj = 0,
ψj
∣∣∣
∂Bp
≤ ψjp
∣∣
∂Bp
≤ ψj
∣∣
∂Bp
и
ψj
∣∣∣
∂B
≤ ψjp
∣∣
∂B
≤ ψj
∣∣
∂B
,
то с учетом принципа сравнения для достаточно больших p на мно-
жестве Bp \B
ψj ≤ ψjp ≤ ψj .
Переходя к пределу при p → ∞, получаем ψj ≤ ψj ≤ ψj . А так как
limr→∞ ψj(r, θ) = limr→∞ ψj(r, θ) = 0, то и limr→∞ ψj(r, θ) = 0. Тогда
lim
r→∞
[ϕj(r, θ) − uj(r, θ)] = 0.
Точно так же мы строим li σ-гармонических функций для всех
Aij(r)Φ
i
j(θi), где j < li.
Заметим (см. предложение 3.3), что для любого решения (i, j)-
спектрального уравнения v(r), удовлетворяющего условию v(r) → ∞
при r → ∞, найдется такая константа aij , что
lim
r→∞
(v(r) − aijA
i
j(r)) = 0.
Линейная независимость построенных функций {ϕj} следует из
линейной независимости систем функций {Φi
j(θi)}. Теорема доказана.
А. Г. Лосев 237
Замечание 2.5. В зависимости от асимптотического поведения
функций qi(r), размерность исследуемого в работе пространства гар-
монических функций может быть как в точности равным l, так и
бесконечным. Доказательство сразу следует из предложения 3.5 и
формулы (2.5).
3. Приложение
Опишем на множестве (r0,+∞) некоторые свойства решений спект-
рального уравнения (2.6)
∂2Vl1...lk(r)
∂r2
+
[
k∑
i=1
ni
q′i(r)
qi(r)
+
δ′(r)
δ(r)
]
∂Vl1...lk(r)
∂r
− φ(r)Vl1...lk(r) = 0,
где
φ(r) =
k∑
i=1
λili
q2i (r)
,
δ(r), qi(r) — положительные, гладкие на R+ функции, а λili — неот-
рицательные константы.
Заметим, что доказательство первых трех предложений дослов-
но повторяет доказательство аналогичных утверждений для решений
спектрального уравнения для классических гармонических функций
(см. [13]), и поэтому приводиться не будут.
Предложение 3.1. Пусть Ji = ∞ при всех i. Тогда если λ2
1 + · · ·+
+λ2
k 6= 0, то всякое ограниченное решение спектрального уравнения
Vl1...lk(r) стремится к нулю при r → ∞.
Предложение 3.2. Пусть K < ∞. Тогда на D существует огра-
ниченное решение u(r, θ) уравнения (2.2) такое, что
u(r0, θ) = 1 и lim
r→∞
u(r, θ) = 0.
Предложение 3.3. Пусть Ji = ∞ при всех i. Тогда, для любого
решения спектрального уравнения Vl1...lk(r) такого, что φ(r) > 0 и
Vl1...lk(r) → ∞ при r → ∞, существует решение этого же уравнения
V 0
l1...lk
(r) с (V 0
l1...lk
)′(r0) = 0 такое, что
lim
r→∞
(Vl1...lk(r) − V 0
l1...lk
(r)) = 0.
238 Гармонические функции предписанного роста
Предложение 3.4. Пусть K <∞, Ji = ∞ и λil > λim. Тогда выпол-
нено lim
r→∞
Ai
l(r)
Ai
m(r)
= ∞.
Доказательство. Из уравнения (2.3) получаем
[
qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r)
(
Aij(r)
)′]′
=
λij
q2i (r)
qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r)Aij(r).
Проинтегрируем последнее равенство в пределах от r0 до r. По-
лучим
(Aij(r))
′ =
1
qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r)
r∫
r0
λij
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)δ(z)Aij(z)dz,
(3.7)
откуда
Aij(r) =
r∫
r0
dt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
λij
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)δ(z)Aij(z)dz + 1,
(3.8)
где r ≥ r0 > 0 — любые.
Легко доказать, что Aij(r) будет монотонно возрастающая и по-
ложительная на (r0,+∞) функция. Действительно, возьмем макси-
мальный интервал (r0, r1), в котором Aij(r) > 0. Из (3.7) видно, что на
этом интервале Aij(r) строго возрастает. Значит, необходимо r1 = ∞.
Из расходимости интеграла Ji следует, что Aij(r) стремится к беско-
нечности при r → ∞.
Пусть λil > λim. Покажем, что для любой константы c > 0 и до-
статочно больших r, справедливо неравенство Ail(r) > cAim(r). Пос-
леднего достаточно для справедливости утверждения предложения.
Докажем, вначале, что для достаточно больших r выполнено
Ail(r) >
λil
λim
Aim(r).
Предположим противное, т. е. для всех r справедливо неравенство
λimA
i
l(r) ≤ λilA
i
m(r).
Тогда из (3.8) получаем
λilλ
i
m
r∫
r0
dt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
δ(z)
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)Ail(z)dz + λim <
А. Г. Лосев 239
< λilλ
i
m
r∫
r0
dt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
δ(z)
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)Aim(z)dz + λil.
Отсюда получаем неравенство
r∫
r0
λilλ
i
mdt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
δ(z)
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)(Ail(z) −Aim(z))dz <
< λil − λim. (3.9)
Возьмем некоторое r∗ > r0. Для него
Ail(r
∗) −Aim(r∗) = c1 > 0.
Так как Ji = ∞, то с некоторого r1 неравенство (3.9) не выполняется,
то есть
Ail(r) >
λil
λim
Aim(r)
при r > r1.
Дальнейшее доказательство легко провести, используя метод ма-
тематической индукции. Пусть
Ail(r) >
(
λil
λim
)k
Aim(r),
начиная с некоторого rk. Докажем, что
Ail(r) >
(
λil
λim
)k+1
Aim(r),
начиная с некоторого rk+1. Предположим противное, то есть для всех
r выполнено
Ail(r) <
(
λil
λim
)k+1
Aim(r).
Отсюда, как и выше, получаем
r∫
r0
λilλ
i
mdt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
δ(z)
q2i (z)
qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)(Ail(z)−
− (
λil
λim
)kAim(z))dz < λil
(
λil
λim
)k
− λim. (3.10)
Точно также, как и выше, получаем противоречие. Учитывая, что
λil > λim получаем утверждение предложения.
240 Гармонические функции предписанного роста
Предложение 3.5. Пусть Ji = ∞ при всех i. Предположим, кроме
того, что λij > λili . Тогда любое неограниченное решение спектраль-
ного уравнения (2.6) Vl1...lk обладает следующими свойствами.
1. Пусть qi(r) = o(ql(r)) при r → ∞ для всех l 6= i. Тогда Vl1...lk =
= o(Aij(r)) при r → ∞.
2. Пусть ql(r) = o(qi(r)) при r → ∞ для всех l 6= i. Тогда Aij(r) =
= o(Vl1...lk) при r → ∞.
Доказательство. Из уравнения (2.3) получаем
[
qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r) (Vl1...lk(r))′
]′
= φ(r)qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r)Vl1...lk(r).
Проинтегрируем последнее равенство в пределах от r0 до r. Получим
(Vl1...lk(r))′ =
=
1
qn1
1 (r) . . . qnk
k (r)δ(r)
r∫
r0
φ(z)qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)δ(z)Vl1...lk(z) dz+
+ qn1
1 (r0) . . . q
nk
k (r0)δ(r0) (Vl1...lk)′ (r0)
1
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
,
откуда
Vl1...lk(r) =
=
r∫
r0
dt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
t∫
r0
φ(z)qn1
1 (z) . . . qnk
k (z)δ(z)Vl1...lk(z) dz+
+ gn1
1 (r0) . . . g
nk
k (r0)δ(r0) (Vl1...lk)′ (r0)
r∫
r0
dt
qn1
1 (t) . . . qnk
k (t)δ(t)
+
+ Vl1...lk(r0), (3.11)
где r ≥ r0 > 0 — любые.
Доказательство предложения легко получается из равенств (3.8)
и (3.11), например, с помощью правила Лопиталя. Предложение до-
казано
В работах ряда математиков исследовались связи между свой-
ствами функции Грина, емкостью и параболичностью типа римано-
вых многообразий. В частности, доказано следующее утверждение.
А. Г. Лосев 241
Предложение 3.6. (см. [1], [3], [16]) Следующие утверждения экви-
валентны:
1. M — многообpазие паpаболического типа;
2. всякая положительная супергармоническая функция на M явля-
ется тождественной постоянной;
3. M не имеет положительной функции Гpина;
4. емкость любого компакта в M pавна нулю.
Обсудим данные понятия несколько подробнее. Пусть M — прои-
звольное риманово многообразие, B — предкомпактное множество в
M , а A — компакт в B. Пару (A,B) будем называть конденсатором в
M . В этом случае емкостью множества A относительно B называется
число
cap(A,B) = inf
∫
M
|∇φ|2dµ, (3.12)
где точная нижняя грань берется по всем локально-липшецевым фун-
кциям φ таким, что 0 ≤ φ ≤ 1 и φ|A = 1, φ|M\B = 0. Функции φ,
удовлетворяющие названным выше условиям, будем называть допу-
стимыми.
Так как емкость множества A относительно B убывает при возра-
стании B, то существует величина
capA = lim
k→∞
cap(A,Bk),
где предел берется по произвольному исчерпанию многообразия пред-
компактными открытыми множествами Bk. Число capA будем на-
зывать емкостью множества A.
Обозначим чеpез GΩ(x, y) функцию Гpина опеpатоpа Лапласа-
Бельтpами в откpытой пpедкомпактной области Ω ⊂M . Пpи pасши-
pении области Ω, последовательность {GΩ}, как следует из пpинципа
максимума, возpастает. Построим функцию Грина на всем M (см.,
например, [1]). Пусть {Bk} — исчеpпание многообpазия возpастаю-
щей последовательностью пpедкомпактных откpытых подмножеств
в M. Обозначим чеpез Gk функцию Гpина в области Bk. Возpаста-
ющая последовательность {Gk} либо пpи всех x стpемится к беско-
нечности, либо пpи некотоpом x огpаничена. В последнем случае по-
следовательность {Gk} имеет пpедел G(x, y) пpи всех x 6= y, котоpый
называют функцией Гpина опеpатоpа Лапласа-Бельтpами на много-
обpазии M.
Говорят, что многообразие M имеет параболический тип, если для
любого компакта F ⊂M существует исчерпание M открытыми мно-
242 Гармонические функции предписанного роста
жествами Bk такое, что
lim
k→∞
cap(F,Bk) = 0.
В противном случае говорят, что многообразие имеет гиперболиче-
ский (или непараболический) тип.
Как видно из формулировки предложения, возможны и другие
определения многообразий параболического типа.
Литература
[1] Григорьян А. А. О существовании положительных решений уравнения Ла-
пласа на римановых многообразиях // Мат. сб. 128 (1985), №3, 354–363.
[2] Григорьян А. А. О множестве положительных решений уравнения
Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях специального вида // Изв.
вузов. Математика. (1987), №2, 30–37.
[3] Grigor’yan A. Analitic and geometric background of recurence and non-explosion
of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 36
(1999), 135–249.
[4] Donnelly H. Harmonic functions on manifolds of nonnegative Ricci curvature //
IMRN. (2001), №8, 429–434.
[5] Colding T. H., Minicozzi II V. P. Harmonic functions with polynomial growth //
J. Diff. Geom. 461 (1997), 1–77.
[6] Li P., Tam L.-F. Linear growth harmonic functions on a complete manifold //
J. Differential Geom. 29 (1989), 421–425.
[7] Li P. Harmonic functions of polinomial growth // Math. Res. Lect. 4 (1997),
35–44.
[8] Лосев А. Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях
специального вида // Изв. вузов. Математика. (1991), №12, 15–24.
[9] Лосев А. Г. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых
многообразий специального вида // Мат. заметки. 59 (1996), №4, 558–564.
[10] Лосев А. Г. О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на римановых
многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. (1997), №10,
31–37.
[11] Лосев А. Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римано-
вых многообразиях // Сиб. мат. журн. 39 (1998), №1, 84–90.
[12] Losev A. G. Elliptic partial differential equation on the warped products of Ri-
emannian manifolds // Applicable Analysis. 71(1-4) (1999), 325–339.
[13] Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на
римановых произведениях // Алгебра и анализ. 13 (2001), вып. 1, 84–110.
[14] Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian
manifolds. Potential Theory. ed. by M. Kishi, 1992, 251–259.
[15] Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. Первое знаком-
ство. М.: Изд-во МГУ, 1990.
[16] Sario L., Nakai M., Wang C., Chung L. O. Classification theory of Riemannian
manifolds // Lect. Notes Math. 605 (1977).
А. Г. Лосев 243
[17] Светлов А.В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-
Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. журн. 43 (2002),
№6, 1362–1371.
[18] Cheng S.Y. Liouville theorem for harmonic maps // Proc. Sympos. Pure Math.,
Amer. Math. Soc. Providence. 36 (1980), 147–151.
[19] Yau S.T. Nonlinear analysis in geometry // L’Enseigenement Mathematique. 33
(1987), 109–158.
Сведения об авторах
Лосев Александр
Георгиевич
Математический факультет, Волгоградс-
кий государственный университет,
ул. 2-я Продольная 30, Волгоград,
Россия
E-Mail: alexander.losev@volsu.ru
|