Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов

Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2004
1. Verfasser: Махно, С.Я.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Schriftenreihe:Український математичний вісник
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-124618
record_format dspace
spelling irk-123456789-1246182017-10-01T03:02:49Z Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов Махно, С.Я. Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений возмущаются функциями, также зависящими от малого параметра. Установлены условия слабой сходимости решений стохастических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же самому предельному процессу. 2004 Article Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1810-3200 1991 MSC. 60H10, 60F17. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений возмущаются функциями, также зависящими от малого параметра. Установлены условия слабой сходимости решений стохастических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же самому предельному процессу.
format Article
author Махно, С.Я.
spellingShingle Махно, С.Я.
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
Український математичний вісник
author_facet Махно, С.Я.
author_sort Махно, С.Я.
title Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
title_short Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
title_full Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
title_fullStr Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
title_full_unstemmed Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
title_sort сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2004
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618
citation_txt Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series Український математичний вісник
work_keys_str_mv AT mahnosâ sohranenieshodimostirešenijstohastičeskihuravnenijprivozmuŝeniiihkoéfficientov
first_indexed 2025-07-09T01:43:58Z
last_indexed 2025-07-09T01:43:58Z
_version_ 1837131828420411392
fulltext Український математичний вiсник Том 1 (2004), № 2, 244 – 258 Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов С. Я. Махно Аннотация. Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от ма- лого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению сто- хастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных урав- нений возмущаются функциями, также зависящими от малого па- раметра. Установлены условия слабой сходимости решений стоха- стических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же самому предельному процессу. 1991 MSC. 60H10, 60F17. Ключевые слова и фразы. Стохастические уравнения, предель- ные теоремы, достаточные условия сходимости. 1. Введение Рассмотрим решения стохастических уравнений Ито с коэффици- ентами, зависящими от малого параметра ǫ > 0. Исследуем их сходи- мость при ǫ → 0, не предполагая при этом сходимости самих коэф- фициентов. Известны [6, 7] условия, при которых эти решения сходя- тся при ǫ → 0 в слабом смысле (смысле распределений) к решению стохастического уравнения Ито. Возмутим теперь исходные коэффи- циенты функциями, так же зависящими от параметра ǫ, "малыми" в некотором смысле, и рассмотрим решения стохастических уравнений с возмущенными коэффициентами. Что можно сказать о сходимости их решений? При достаточной гладкости коэффициентов и равномер- ной сходимости к нулю возмущающих функций ответ на этот вопрос Статья поступила в редакцию 27.01.2004 Работа выполнена при поддержке гранта INTAS 99-0059. С. Я. Махно 245 следует из теоремы об интегральной непрерывности решений по па- раметру [8, теорема 5, стр. 100] — предельный процесс будет удовле- творять тому же уравнению, что и для процесса с невозмущенными коэффициентами. В статье рассматривается аналогичная задача без предположений о гладкости коэффициентов и при нерегулярной их зависимости от малого параметра. Более того, возмущающие фун- кции в отдельных точках могут быть совсем не малыми, а стремится к бесконечности при ǫ→ 0 или не иметь предела вообще. Работа построена по следующему плану. В этом параграфе вво- дятся предположения. Доказательство теоремы проводится в пара- графе 1. Вспомогательные результаты доказываются в параграфе 2, а в параграфе 3 рассмотрен класс случайных процессов с возмущен- ными периодическими коэффициентами и исследуется их поведение, основываясь на полученных результатах. Пусть ǫ — малый параметр, Ed —d-мерное евклидово пространс- тво и (·, ·) — скалярное произведение в нем. Будем считать, что за- даны d-мерная вектор функция bǫ(t, x) и симметричная невырожден- ная d × d-матричная функция aǫ(t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ Ed. Обозначения Lp([0, T ] ×D), W 1,2 p [0, T ] ×D) (пространство Соболева), Lp,loc, W 1,2 p,loc имеют обычный смысл [5], || · ||p,loc — норма в пространстве Lp,loc. Для слабой сходимости в L2,loc используем символ ⇀. Через C будут обозначатся различные постоянные, с указанием зависимости, если это необходимо. Далее, (C[0, T ], Ct), t ∈ [0, T ] — пространство функ- ций f(t) непpеpывных на интервале [0, T ], C∞ 0 (A) — пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на множестве A. Для слабой сходимости мер используется обозначе- ние =⇒ . Слабая сходимость случайных процессов понимается как слабая сходимость соответствующим им мер. Обозначим (Ω,F,Ft, P ) основное вероятностное пространство с потоком σ-алгебр Ft, t ≥ 0, (w(t),Ft) d-мерный стандартный винеровский процесс, E — символ математического ожидания. Определим случайный процесс ξǫ(t) как решение уравнения ξǫ(t) = xǫ+ t∫ 0 bǫ(s, ξǫ(s))ds+ t∫ 0 (aǫ(s, ξǫ(s))) 1 2 dw(s), t ∈ [0, T ]. (1.1) Пусть λ,Λ постоянные такие, что 0 < λ ≤ Λ < ∞. Будем гово- рить, что пара измеримых функций (f(x), g(x)) принадлежит клас- су L(λ,Λ), если f(t, x) — d-мерная вектор функция, g(t, x) — d×d- симметричная непрерывная (при d = 1 — лишь измеримая) матри- 246 Сохранение сходимости решений... чная функция и выполнены неравенства |fi(t, x)| + |gij(t, x)| ≤ Λ, i, j ∈ 1, . . . , d, (g(t, x)θ, θ) ≥ λ|θ|2, θ ∈ Ed. Введем условия (I), (V), (N). Условие (I). При любом ǫ > 0 пара (bǫ, aǫ) ∈ L(λ,Λ). Условие (V). Существует последовательность функций V ǫ k (t, x) ∈ ∈W 1,2 d+1,loc, k = 1, . . . , d, такая, что V1) b̂ek def = : bǫk + 1 2 (aǫkl∇,∇)V ǫ k ⇀ 0; V2) lim ǫ→0 sup t∈[0,T ],x∈D |V ǫ k (t, x)| = 0, для любой ограниченной области D ∈ Ed; V3) lim ǫ→0 ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∂V e k ∂t + (bǫ,∇V ǫ k ) + b̂ǫk − bk ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ d+1,loc = 0. Условие (N). Существует последовательность функций N ǫ kl(t, x) ∈ ∈W 1,2 d+1,loc, k, l = 1, . . . , d, такая, что N ǫ kl = N ǫ lk и : N1) âekl def = : aǫkl + (aǫkl∇,∇)N ǫ kl ⇀ 0; N2) lim ǫ→0 sup t∈[0,T ],x∈D |N ǫ kl(t, x)| = 0, для любой ограниченной области D ∈ Ed; N3) lim ǫ→0 ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∂N e kl ∂t + (bǫ,∇N ǫ kl) + âǫkl − akl ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ d+1,loc = 0. Если xǫ → x, выполнены условия (I), (V), (N) и пара (b, a) ∈ ∈ L(λ,Λ), в работе [ 6, теорема 2 ] доказано, случайный процесс ξǫ слабо сходится к процессу ξ, являющимся решением стохастического уравнения ξ(t) = x+ t∫ 0 b(s, ξ(s))ds+ ∫ t 0 (a(s, ξ(s))) 1 2dw(s). t ∈ [0, T ]. (1.2) Коэффициенты в (1.2) определяются условиями (V) и (N) однозна- чно. В статьях [6, 7] имеются примеры применения этого результата, в которых для конкретных классов процессов определяются вспомо- гательные функции V ǫ k , N ǫ kl и устанавливается вид коэффициентов С. Я. Махно 247 предельного процесса. Отметим, что в некоторых случаях, в частно- сти, при d = 1, 2, условия (N) и (V) являются также и необходимыми условиями слабой сходимости решений стохастических уравнений [6, теорема 3]. 2. Возмущенные уравнения Рассмотрим поставленную во введении задачу о возмущении. Пусть при каждом ǫ > 0, t ∈ [0, T ], x ∈ Ed заданы измеримые d- вектор функция Bǫ(t, x) и d × d-симметричная матричная функция Aǫ(t, x). Определим случайный процесс ηǫ(t) как решение стохасти- ческого уравнения, t ∈ [0, T ], ηǫ(t) = xǫ + t∫ 0 (bǫ(s, ηǫ(s)) +Bǫ(s, ηǫ(s)))ds+ + t∫ 0 (aǫ(s, ηǫ(s) +Aǫ(s, ηǫ(s))) 1 2dw(s). (2.1) Для коэффициентов уравнения (2.1) введем условие (II). Условие (II). II1. При любом ǫ > 0 решение уравнения (2.1) существует в слабом смысле. II2. Пара (bǫ, aǫ) ∈ L(λ,Λ). II3. Матрица Aǫ(t, x) неотрицательно определена. II4. Сущуствуют функции αǫ(t), hǫ(t, x) такие, что |Bǫ k(t, x)| + |Aǫkl(t, x)| ≤ αǫ(t) + hǫ(t, x) и lim ǫ→0 ( ||hǫ||d+1 + T∫ 0 αǫ(t)dt ) = 0. Теорема 2.1. Пусть xǫ → x, выполнено условие (II). Для функций be(t, x), ae(t, x) справедливы условия (V), (N), пара (b, a) ∈ L(λ,Λ). Кроме того, предположим, что для любой ограниченной области D ∈ Ed, i, j, k, l = 1, . . . , d выполняются условия: V4) lim ǫ→0 sup t∈[0,T ],x∈D |∇V ǫ k | = 0; V5) sup t∈[0,T ],x∈D ∣∣∣∣ ∂V ǫ k ∂xi∂xj ∣∣∣∣≤ Λ; 248 Сохранение сходимости решений... N4) lim ǫ→0 sup t∈[0,T ],x∈D |∇N ǫ kl| = 0; N5) sup t∈[0,T ],x∈D ∣∣∣∣ ∂N ǫ kl ∂xi∂xj ∣∣∣∣≤ Λ. Тогда ηǫ =⇒ ξ - решению уравнения (1.2). Доказательство. Из леммы 3.3 следует, что семейство мер µǫη, поро- жденное процессами ηǫ на пространстве (C[0, T ], Ct) слабо компактно. Обозначим µ одну из ее предельных точек. Докажем, что для прои- звольного непрерывного ограниченного Cs-измеримого функционала φs(x) и любой функции Φ(x) ∈ C∞ 0 (Ed) Eµφs(x) [ Φ(x(t)) − Φ(x(s)) − t∫ s [(b(v, x(v))),∇Φ(x(v)))+ + 1 2 (a(v, x(v))∇,∇)Φ(x(v))] ] dv = 0 (2.2) Отсюда и [9] будет следовать утверждение теоремы. Применим к фун- кции Φ(x) ∈ C∞ 0 (Ed) и процессу (2.1) формулу Ито: Eφs(η ǫ) { Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s))− − t∫ s [( bǫ(v, ηǫ(v)) +Bǫ(v, ηǫ),∇Φ(ηǫ(v)) ) + + 1 2 ( (aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇ ) Φ(ηǫ(v)) ] dv } = 0. Перепишем это соотношение следующим образом Eφs(η ǫ) { Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s)) − t∫ s [ (b(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))+ + 1 2 (a(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v)) ]} = Iǫ1 + Iǫ2 + Iǫ3. (2.3) С. Я. Махно 249 В равенстве (2.3) Iǫ1 = Eφs(η ǫ) t∫ s [ (Bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))+ + 1 2 (Aǫ(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v)) ] dv Iǫ2 = Eφs(η ǫ) t∫ s ( b(v, ηǫ(v)) − bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v)) ) dv Iǫ3 = 1 2 Eφs(η ǫ) t∫ s ( (a(v, ηǫ(v)) − aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇ ) Φ(ηǫ(v))dv. Оценим Iǫ1. Используя условие II4 и оценку леммы 2, получим |Iǫ1| ≤ CE T∫ 0 αǫ(v)dv + CE T∫ 0 hǫ(v, ηǫ(v))dv ≤ CE T∫ 0 αǫ(v)dv + C||hǫ||d+1. Поэтому lim ǫ→0 Iǫ1 = 0. (2.4) Согласно леммам 4, 5, lim ǫ→0 Iǫ2 = lim ǫ→0 Iǫ3 = 0. (2.5) Таким образом, из (2.3), (2.4), (2.5) имеем, lim ǫ→0 Eφs(η ǫ) { Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s)) − t∫ s [ (b(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v)))+ + 1 2 (a(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v)) ] dv } = 0 (2.6) Если функции b(t, x), a(t, x) непрерывны по x, то обоснование пре- дельного перехода в (2.6) при ǫ → 0 не вызывает трудностей. Для лишь измеримых этих функций предельный переход обосновывается как в [3, стр.127] , используя оценку Крылова (лемма 3.2). Таким образом (2.2) установлено и теорема доказана. 250 Сохранение сходимости решений... 3. Вспомогательные утверждения В этом параграфе доказываются результаты, использованные ра- нее для доказательства теоремы. Начнем с доказательства оценки Крылова для решений стохастических уравнений. Для удобства ссы- лок сформулируем лемму 5.1 из работы [4] полностью. Для этого обозначим через m(t) непрерывный локальный мартингал согласо- ванный с потоком Ft со значениями в Ed, A(t) — непрерывный во- зрастающий Ft — измеримый процесс, B(t) — непрерывный Ft — измеримый процесс со значениями в Ed, имеющий п. н. ограничен- ную вариацию на всяком ограниченном отрезке времени. Предполо- жим, что A(0) = m(0) = B(0) = 0, d〈m〉t ≪ dA(t), где 〈m〉t — ха- рактеристика мартингала m(t). Пусть заданы прогрессивно измери- мые относительно Ft неотрицательные процессы r(t), c(t). Положим x(t) = B(t) +m(t), t ∈ [0, T ] и y(t) = t∫ 0 r(s)dA(s), φ(t) = t∫ 0 c(s)dA(s), gij(t) = 1 2 d〈mi,mj〉t dA(t) (3.1) Обозначим через SR = {x : x < R}, CR = {(t, x) : t ∈ [0, T ], x < < R} и τR — момент первого выхода процесса x(t) из множества SR, γ — произвольный Марковский момент относительно Ft. Лемма 3.1. [4, лемма 5.1] Обозначим A = E γ∧τR∫ 0 e−φ(t)tr g(t) dA(t), B = E γ∧τR∫ 0 e−φ(t)|dB(t)|. Тогда для любой неотрицательной борелевской функции f(t, x) и p ≥ d E γ∧τR∫ 0 e−φ(t)c(t) p−d p+1 (r(t)det g(t)) 1 p+1 f(y(t), x(t)) dA(t) ≤ ≤ C(d)(B2 +A) d 2(p+1) ||f ||p+1,CR , где c0(t) = 1. Лемма 3.2. (Оценка Крылова) Пусть процесс z(t) является ре- шением стохастического уравнения z(t) = z0 + t∫ 0 b(s, z(s)) ds+ t∫ 0 (δ(s, z(s))) 1 2 dw, С. Я. Махно 251 где b(t, x) — вектор функция размерности d, а δ(t, x) — симметрич- ная матричная d×d функция. Предположим, что при i, j = 1, . . . , d выполнены следующие условия: 1) |bi(t, x)| + |δij(t, x)| ≤ Λ + α(t) +H(t, x), 2) (δ(t, x)θ, θ) ≥ λ|θ|2, λ > 0, 3) L = T∫ 0 α(t)dt+ ||H||d+1 <∞. Тогда существует постоянная C(d, T, λ,Λ, L) такая, что E T∫ 0 |f(t, z(t))| dt ≤ C||f ||d+1 Доказательство. Обозначим x(t) = z(t) − z0, B(t) = t∫ 0 b(s, z(s)) ds, m(t) = t∫ 0 δ(s, z(s)) dw и в (3.1) положим A(t) = t, c(t) = λ, r(t) = 1. Пусть, кроме того, f̃(t, x) = f(t, x+ z0). Из Леммы 1 при p = d имеем, E γ∧τR∫ 0 e−λt(det δ(t, z(t))) 1 d+1 |f̃(t, x(t))|dt ≤ C(d)(B2 +A) d 2(d+1) ||f̃ ||d+1,CR ≤ C(d)(B d (d+1) +A d 2(d+1) )||f ||d+1, где A = 1 2 γ∧τR∫ 0 e−λttr δ(t, z(t)) dt, B = γ∧τR∫ 0 e−λt|b(t, z(t)| dt Оценим каждую из этих величин. При предположении 1) B ≤ Λ λ + T∫ 0 α(t) dt+ + E γ∧τR∫ 0 e−λt(det δ(t, z(t)) 1 d+1 (det δ(t, z(t)))− 1 d+1 |H̃(t, x(t))| dt 252 Сохранение сходимости решений... Применяя к последнему слагаемому в правой части этого неравенства оценку леммы 3.1 и учитывая предположение 2), получим B ≤ Λ λ + T∫ 0 α(t) dt+ C(d) λd (B d (d+1) +A d 2(d+1 )||H||d+1 (3.2) Аналогичная оценка имеет место и для A: 2A ≤ Λ λ + T∫ 0 α(t) dt+ C(d) λd (B d (d+1) +A d 2(d+1 )||H||d+1 (3.3) Применяя неравенство Юнга ab ≤ αrar r + bq qαq , где a, b, α > 0, r > 1, 1 r + 1 q = 1, с α = (2(d+1) d ) d 2(d+1) , r = 2(d+1) d , получим ( напомним, что через C(. . . ) обозначаются различные постоянные) A d 2(d+1)C(d, λ)||H||d+1 ≤ A+ C(d, λ, L) Отсюда и (3.3) имеем, A ≤ C(d, λ,Λ, L) + C(d, λ)B d (d+1) ||H||d+1 (3.4) Перепишем последнее соотношение следующим образом: A ≤ C(d, λ,Λ, L)(1 +B d (d+1) ) (3.5) и подставим эту оценку в неравенство (3.2): B ≤ C(d, λ,Λ, L)(1 +B d d+1 ). (3.6) Вновь применяя неравенство Юнга с α = (d+1 d ) d d+1 , r = d+1 d , получим C(d, λ,Λ, L)B d d+1 ≤ B 2 + C(d, λ,Λ, L). (3.7) Из (3.7) и (3.6) следует ограниченность B константой, зависящей от постоянных d, λ, Λ, L. Из неравенства (3.5) следует и ограничен- ность A постоянной, зависящей от тех же величин. Таким образом, доказано следующее неравенство E γ∧τR∫ 0 e−λt(det δ(t, z(t))) 1 d+1 |f(t, z(t))|dt ≤ C(d, λ,Λ, L)||f ||d+1. (3.8) С. Я. Махно 253 Используя оценку (3.8), имеем E T∫ 0 |f(t, z(t))| dt = = T∫ 0 e−λteλt(det δ(t, z(t))) 1 d+1 (det δ(t, z(t))) −1 d+1 |f(t, z(t))| dt ≤ ≤ eλT λd C(d, λ,Λ, L)||f ||d+1 Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть |xǫ| ≤ C и выполнено условие (II). Тогда, семей- ство мер, порожденное процессами ηǫ на пространстве C[0, T ] слабо компактною Доказательство. Представим процесс ηǫ(t) в виде ηǫ(t) = γe(t)+ +κǫ(t), где γe(t) = xǫ + t∫ 0 bǫ(s, ηǫ(s)) ds+ t∫ 0 (aǫ(s, ηǫ(s))) 1 2 dw(s). κǫ(t) = t∫ 0 Bǫ(s, ηǫ(s)) ds+ + t∫ 0 [ (aǫ(s, ηǫ(s) +Aǫ(s, ηǫ(s))) 1 2 − (aǫ(s, ηǫ(s))) 1 2 ] dw(s). Т. к. функции (bǫ, aǫ) равномерно ограничены, то для процессов γe(t) справедливы неравенства [3, стр. 120], E|γe(t)|2 ≤ C(1 + |xǫ|2), E|γe(t) − γe(s)|4 ≤ C|t− s|2 и, следовательно, семейство мер, порожденное ими на пространстве C[0, T ] слабо компактно [2, стр 355]. Используя свойство стохастиче- ских интегралов ( оценку супремума его второго момента), получим E sup t∈[0,T ] |κǫ(t)| ≤ E T∫ 0 |Bǫ(t, ηǫ(t))| dt+ ( E T∫ 0 trAǫ(t, ηǫ(t)) dt ) 1 2 (3.9) 254 Сохранение сходимости решений... Пусть L — константа, ограничивающая сумму функций ∫ T 0 αǫ(t)dt+ +||hǫ||d+1, которая существует в силу условия II4. Далее, при сделан- ных предположениях и в силу леммы 3.2, имеем E T∫ 0 |Bǫ(t, ηǫ(t))| dt ≤ T∫ 0 αǫ(t) dt+ E T∫ 0 hǫ(t, η ǫ(t)) dt ≤ ≤ T∫ 0 αǫ(t) dt+ C(d, T, λ,Λ, L)||hǫ||d+1 Отсюда и условия II4, lim ǫ→0 E T∫ 0 |Bǫ(t, ηǫ(t))| dt = 0. (3.10) Аналогично доказывается, что lim ǫ→0 E T∫ 0 trAǫ(t, ηǫ(t))dt = 0. (3.11) Из (3.9)–(3.11) вытекает равенство lim ǫ→0 E sup t∈[0,T ] |κǫ(t)| = 0. (3.12) Из (3.12), слабой компактности мер, соответствующих процессам γe, следует утверждение леммы. Лемма доказана. Лемма 3.4. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любой функции Ψ(x) ∈ C∞ 0 (Ed) и любого Cs-измеримого функционала φs(x) lim ǫ→0 Eφs(η ǫ) t∫ s Ψ(ηǫ(v))[bǫk(v, η ǫ(v)) − bk(v, η ǫ(v))]dv = 0. Доказательство. Пусть V ǫ k (t, x) — последовательность функций, удовлетворяющая условию (V). Применим к функции Ψ(x)V ǫ k (t, x) и процессу ηǫ(t) формулу Ито. Имеем Eφs(η ǫ) t∫ s Ψ(ηǫ(v))[bǫk(v, η ǫ(v))−bk(v, ηǫ(v))]dv = J ǫ1 +J ǫ2 +J ǫ3 +J ǫ4 +J ǫ5, (3.13) С. Я. Махно 255 где J ǫ1 = Eφs(η ǫ) [ Ψ(ηǫ(t))V ǫ k (t, ηǫ(t)) − Ψ(ηǫ(s))V ǫ k (s, ηǫ(s)) ] , J ǫ2 = Eφs(η ǫ) t∫ s V ǫ k (v, ηǫ(v)) [( bǫ(v, ηǫ(v)) +Bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v)) ) + + 1 2 ( (aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇ ) Φ(ηǫ(v)) ] dv, J ǫ3 = Eφs(η ǫ) t∫ s [( Ψ(ηǫ(v))Bǫ(v, ηǫ(v)+ + (aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v))∇Ψ(ηǫ(v)),∇V ǫ k (v, ηǫ(v)) )] dv, J ǫ4 = 1 2 Eφs(η ǫ) t∫ s Ψ(ηǫ(v)) ( Aǫ(v, ηǫ(v))∇,∇ ) V ǫ k (v, ηǫ(v))dv, J ǫ5 = Eφs(η ǫ) t∫ s Ψ(ηǫ(v)) [ ∂V e k (v, ηǫ(v) ∂t +(bǫ(v, ηǫ(v)),∇V ǫ k (v, ηǫ(v)))+ + b̂ǫk(v, η ǫ(v)) − bk(v, η ǫ(v)) ] dv. Из свойства (V1) следует, что lim ǫ→0 J ǫ1 = 0. (3.14) Из предположений (V1), (II4) и леммы 3.2 вытекает равенство lim ǫ→0 J ǫ2 = 0. (3.15) Соотношение lim ǫ→0 J ǫ3 = 0 (3.16) есть следствие свойств (V4) и II4) и леммы 3.2. Аналогично, из свойств (V5) и (II4) следует, что lim ǫ→0 J ǫ4 = 0. (3.17) 256 Сохранение сходимости решений... На основании свойства (V3) и оценки леммы 3.2 заключаем, что lim ǫ→0 J ǫ5 = 0. (3.18) Из (3.13)–(3.18) следует утверждение леммы. Лемма доказана. Аналогично доказывается лемма 3.5. Формулу Ито необходимо применить к функции Ψ(x)N ǫ kl(t, x). Лемма 3.5. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любой функции Ψ(x) ∈ C∞ 0 (Ed) и любого Cs-измеримого функционала φs(x) lim ǫ→0 Eφs(η ǫ) t∫ s Ψ(ηǫ(v))[aǫlk(v, η ǫ(v)) − akl(v, η ǫ(v))] dv = 0. 4. Возмущение уравнений с периодическими коэффициентами Рассмотрим стохастическое уравнение ηǫ(t) = x+ t∫ 0 (bǫ(s, ηǫ(s)) +Bǫ(s, ηǫ(s)))ds+ + t∫ 0 (aǫ(s, ηǫ(s)) +Aǫ(s, ηǫ(s))) 1 2dw(s) (4.1) Здесь bǫ(t, x) = b ( t, t ǫ2 , x, xǫ ) , aǫ(t, x) = a ( t, t ǫ2 , x, xǫ ) . Предположим, что |Bǫ(t, x)| + |Aǫ(t, x)| ≤ C ( ǫ3|2t− 1| [t(t− 1) + ǫ2]2 + nǫ(x) ) , где функция nǫ(x) имеет вид: nǫ(x) = ǫ d 4(d+1) (2πǫ) d 2(d+1) exp { − |x|2 2ǫ(d+ 1) } . Т. е. в точках t = 0, t = 1, x = 0, функции Bǫ(t, x), Aǫ(t, x), могут неограниченно возрастать при стремлении ǫ к нулю. При этом, усло- вие (II4) выполнено. Функции bi(t, s, x, y), aij(t, s, x, y) периодичны с периодом 1 по аргументам (s, y), ограниченны, достаточно гладкие С. Я. Махно 257 с ограниченными производными по всем аргументам. Существова- ние, единственность, гладкость, ограниченность производных, рас- сматриваемых ниже уравнений для функций p(t, s, x, y), Vk(t, s, x, y), Nkl(t, s, x, y), имеется в [1]. Далее, пусть p(t, s, x, y) - единственное периодическое по (s, y) ре- шение уравнения − ∂ ∂s p+ 1 2 ∑ i,j ∂2 ∂yi∂yj (aij(t, s, x, y)p) = 0, 〈p〉s,y = 1, зависящее от (t, x) как от параметров. Скобки 〈·〉s,y означают усре- днение периодической функции по периоду. Положим b̃i(t, x) = 〈(bip)(t, s, x, y)〉s,y, ãij(t, x) = 〈(aijp)(t, s, x, y)〉s,y и определим функции Vk(t, s, x, y), Nkl(t, s, x, y), как решения урав- нений: ∂ ∂s Vk + 1 2 ∑ i,j aij(t, s, x, y) ∂2 ∂yi∂yj Vk = b̃k(t, x)− bk(t, s, x, y), 〈Vk〉s,y = 0, ∂ ∂s Nkl + 1 2 ∑ i,j aij(t, s, x, y) ∂2 ∂yi∂yj Nkl = ãkl(t, x) − akl(t, s, x, y), 〈Nkl〉s,y = 0. Легко проверяется, что функции V ǫ k (t, x) = ǫ2Vk ( t, t ǫ2 , x, x ǫ ) , N ǫ kl(t, x) = ǫ2Nkl ( t, t ǫ2 , x, x ǫ ) , удовлетворяют условиям (V) и (N) с функциями b(t, x) = b̃(t, x), a(t, x) = ã(t, x) и при этом выполнены условия V4, V5, N4, N5. Из теоремы следует, что предельный процесс для уравнения (3.1) есть решение уравнения ξ(t) = x+ t∫ 0 b̃(s, ξ(s))ds+ t∫ 0 (ã(s, ξ(s))) 1 2dw. 258 Сохранение сходимости решений... Литература [1] Bensoussan A., Lions P. L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis periodic structures. Amsterdam etc. North–Holland, 1978, 700 p. [2] Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982, 612 c. [3] Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. Москва, Наука, 1982, 400 c. [4] Крылов Н. В. Об оценках максимума решения параболического уравнения и оценках распределения семимартингала // Матем. сборник 130 (172) (1986), №2, 207–221. [5] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квази- линейные уравнения параболического типа. Москва, Наука, 1967, 736 c. [6] Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов // Украинский матем. ж. 44 (1992), №2, 284–289. [7] Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов II // Украинский ма- тем. ж. 44 (1992), №10, 1389–1395. [8] Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических диффе- ренциальных уравнений. Киев, Наукова думка, 1987, 228 c. [9] D. V.Strook, S. R. S Varadhan Multidimensional Diffusion Processes. — Springer– Verlag, New–York, 1979, 700 p. Сведения об авторах С. Я. Махно Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Р. Люксембург, 74, 83114, Донецк Украина E-Mail: makhno@iamm.ac.donetsk.ua