Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов
Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений...
Gespeichert in:
Datum: | 2004 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-124618 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1246182017-10-01T03:02:49Z Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов Махно, С.Я. Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений возмущаются функциями, также зависящими от малого параметра. Установлены условия слабой сходимости решений стохастических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же самому предельному процессу. 2004 Article Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1810-3200 1991 MSC. 60H10, 60F17. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Рассматриваются решения стохастических уравнений Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от малого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для сходимости этих решений в смысле распределений к решению стохастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных уравнений возмущаются функциями, также зависящими от малого параметра. Установлены условия слабой сходимости решений стохастических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же самому предельному процессу. |
format |
Article |
author |
Махно, С.Я. |
spellingShingle |
Махно, С.Я. Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов Український математичний вісник |
author_facet |
Махно, С.Я. |
author_sort |
Махно, С.Я. |
title |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
title_short |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
title_full |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
title_fullStr |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
title_full_unstemmed |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
title_sort |
сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2004 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124618 |
citation_txt |
Сохранение сходимости решений стохастических уравнений при возмущении их коэффициентов / С.Я. Махно // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 244-258. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Український математичний вісник |
work_keys_str_mv |
AT mahnosâ sohranenieshodimostirešenijstohastičeskihuravnenijprivozmuŝeniiihkoéfficientov |
first_indexed |
2025-07-09T01:43:58Z |
last_indexed |
2025-07-09T01:43:58Z |
_version_ |
1837131828420411392 |
fulltext |
Український математичний вiсник
Том 1 (2004), № 2, 244 – 258
Сохранение сходимости решений
стохастических уравнений при возмущении
их коэффициентов
С. Я. Махно
Аннотация. Рассматриваются решения стохастических уравнений
Ито, коэффициенты которых зависят нерегулярным образом от ма-
лого параметра при стремлении его к нулю. Приводятся условия для
сходимости этих решений в смысле распределений к решению сто-
хастического уравнения Ито. Затем коэффициенты исходных урав-
нений возмущаются функциями, также зависящими от малого па-
раметра. Установлены условия слабой сходимости решений стоха-
стических уравнений с возмущенными коэффициентами к тому же
самому предельному процессу.
1991 MSC. 60H10, 60F17.
Ключевые слова и фразы. Стохастические уравнения, предель-
ные теоремы, достаточные условия сходимости.
1. Введение
Рассмотрим решения стохастических уравнений Ито с коэффици-
ентами, зависящими от малого параметра ǫ > 0. Исследуем их сходи-
мость при ǫ → 0, не предполагая при этом сходимости самих коэф-
фициентов. Известны [6, 7] условия, при которых эти решения сходя-
тся при ǫ → 0 в слабом смысле (смысле распределений) к решению
стохастического уравнения Ито. Возмутим теперь исходные коэффи-
циенты функциями, так же зависящими от параметра ǫ, "малыми" в
некотором смысле, и рассмотрим решения стохастических уравнений
с возмущенными коэффициентами. Что можно сказать о сходимости
их решений? При достаточной гладкости коэффициентов и равномер-
ной сходимости к нулю возмущающих функций ответ на этот вопрос
Статья поступила в редакцию 27.01.2004
Работа выполнена при поддержке гранта INTAS 99-0059.
С. Я. Махно 245
следует из теоремы об интегральной непрерывности решений по па-
раметру [8, теорема 5, стр. 100] — предельный процесс будет удовле-
творять тому же уравнению, что и для процесса с невозмущенными
коэффициентами. В статье рассматривается аналогичная задача без
предположений о гладкости коэффициентов и при нерегулярной их
зависимости от малого параметра. Более того, возмущающие фун-
кции в отдельных точках могут быть совсем не малыми, а стремится
к бесконечности при ǫ→ 0 или не иметь предела вообще.
Работа построена по следующему плану. В этом параграфе вво-
дятся предположения. Доказательство теоремы проводится в пара-
графе 1. Вспомогательные результаты доказываются в параграфе 2,
а в параграфе 3 рассмотрен класс случайных процессов с возмущен-
ными периодическими коэффициентами и исследуется их поведение,
основываясь на полученных результатах.
Пусть ǫ — малый параметр, Ed —d-мерное евклидово пространс-
тво и (·, ·) — скалярное произведение в нем. Будем считать, что за-
даны d-мерная вектор функция bǫ(t, x) и симметричная невырожден-
ная d × d-матричная функция aǫ(t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ Ed. Обозначения
Lp([0, T ] ×D), W 1,2
p [0, T ] ×D) (пространство Соболева), Lp,loc, W
1,2
p,loc
имеют обычный смысл [5], || · ||p,loc — норма в пространстве Lp,loc.
Для слабой сходимости в L2,loc используем символ ⇀. Через C будут
обозначатся различные постоянные, с указанием зависимости, если
это необходимо. Далее, (C[0, T ], Ct), t ∈ [0, T ] — пространство функ-
ций f(t) непpеpывных на интервале [0, T ], C∞
0 (A) — пространство
бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем
на множестве A. Для слабой сходимости мер используется обозначе-
ние =⇒ . Слабая сходимость случайных процессов понимается как
слабая сходимость соответствующим им мер. Обозначим (Ω,F,Ft, P )
основное вероятностное пространство с потоком σ-алгебр Ft, t ≥ 0,
(w(t),Ft) d-мерный стандартный винеровский процесс, E — символ
математического ожидания. Определим случайный процесс ξǫ(t) как
решение уравнения
ξǫ(t) = xǫ+
t∫
0
bǫ(s, ξǫ(s))ds+
t∫
0
(aǫ(s, ξǫ(s)))
1
2 dw(s), t ∈ [0, T ]. (1.1)
Пусть λ,Λ постоянные такие, что 0 < λ ≤ Λ < ∞. Будем гово-
рить, что пара измеримых функций (f(x), g(x)) принадлежит клас-
су L(λ,Λ), если f(t, x) — d-мерная вектор функция, g(t, x) — d×d-
симметричная непрерывная (при d = 1 — лишь измеримая) матри-
246 Сохранение сходимости решений...
чная функция и выполнены неравенства
|fi(t, x)| + |gij(t, x)| ≤ Λ, i, j ∈ 1, . . . , d,
(g(t, x)θ, θ) ≥ λ|θ|2, θ ∈ Ed.
Введем условия (I), (V), (N).
Условие (I). При любом ǫ > 0 пара (bǫ, aǫ) ∈ L(λ,Λ).
Условие (V). Существует последовательность функций V ǫ
k (t, x) ∈
∈W 1,2
d+1,loc, k = 1, . . . , d, такая, что
V1) b̂ek
def
= : bǫk +
1
2
(aǫkl∇,∇)V ǫ
k ⇀ 0;
V2) lim
ǫ→0
sup
t∈[0,T ],x∈D
|V ǫ
k (t, x)| = 0, для любой ограниченной области
D ∈ Ed;
V3) lim
ǫ→0
∣∣∣∣
∣∣∣∣
∂V e
k
∂t
+ (bǫ,∇V ǫ
k ) + b̂ǫk − bk
∣∣∣∣
∣∣∣∣
d+1,loc
= 0.
Условие (N). Существует последовательность функций N ǫ
kl(t, x) ∈
∈W 1,2
d+1,loc, k, l = 1, . . . , d, такая, что N ǫ
kl = N ǫ
lk и :
N1) âekl
def
= : aǫkl + (aǫkl∇,∇)N ǫ
kl ⇀ 0;
N2) lim
ǫ→0
sup
t∈[0,T ],x∈D
|N ǫ
kl(t, x)| = 0, для любой ограниченной области
D ∈ Ed;
N3) lim
ǫ→0
∣∣∣∣
∣∣∣∣
∂N e
kl
∂t
+ (bǫ,∇N ǫ
kl) + âǫkl − akl
∣∣∣∣
∣∣∣∣
d+1,loc
= 0.
Если xǫ → x, выполнены условия (I), (V), (N) и пара (b, a) ∈
∈ L(λ,Λ), в работе [ 6, теорема 2 ] доказано, случайный процесс ξǫ
слабо сходится к процессу ξ, являющимся решением стохастического
уравнения
ξ(t) = x+
t∫
0
b(s, ξ(s))ds+
∫ t
0
(a(s, ξ(s)))
1
2dw(s). t ∈ [0, T ]. (1.2)
Коэффициенты в (1.2) определяются условиями (V) и (N) однозна-
чно. В статьях [6, 7] имеются примеры применения этого результата,
в которых для конкретных классов процессов определяются вспомо-
гательные функции V ǫ
k , N ǫ
kl и устанавливается вид коэффициентов
С. Я. Махно 247
предельного процесса. Отметим, что в некоторых случаях, в частно-
сти, при d = 1, 2, условия (N) и (V) являются также и необходимыми
условиями слабой сходимости решений стохастических уравнений [6,
теорема 3].
2. Возмущенные уравнения
Рассмотрим поставленную во введении задачу о возмущении.
Пусть при каждом ǫ > 0, t ∈ [0, T ], x ∈ Ed заданы измеримые d-
вектор функция Bǫ(t, x) и d × d-симметричная матричная функция
Aǫ(t, x). Определим случайный процесс ηǫ(t) как решение стохасти-
ческого уравнения, t ∈ [0, T ],
ηǫ(t) = xǫ +
t∫
0
(bǫ(s, ηǫ(s)) +Bǫ(s, ηǫ(s)))ds+
+
t∫
0
(aǫ(s, ηǫ(s) +Aǫ(s, ηǫ(s)))
1
2dw(s). (2.1)
Для коэффициентов уравнения (2.1) введем условие (II).
Условие (II).
II1. При любом ǫ > 0 решение уравнения (2.1) существует в слабом
смысле.
II2. Пара (bǫ, aǫ) ∈ L(λ,Λ).
II3. Матрица Aǫ(t, x) неотрицательно определена.
II4. Сущуствуют функции αǫ(t), hǫ(t, x) такие, что
|Bǫ
k(t, x)| + |Aǫkl(t, x)| ≤ αǫ(t) + hǫ(t, x) и
lim
ǫ→0
(
||hǫ||d+1 +
T∫
0
αǫ(t)dt
)
= 0.
Теорема 2.1. Пусть xǫ → x, выполнено условие (II). Для функций
be(t, x), ae(t, x) справедливы условия (V), (N), пара (b, a) ∈ L(λ,Λ).
Кроме того, предположим, что для любой ограниченной области
D ∈ Ed, i, j, k, l = 1, . . . , d выполняются условия:
V4) lim
ǫ→0
sup
t∈[0,T ],x∈D
|∇V ǫ
k | = 0;
V5) sup
t∈[0,T ],x∈D
∣∣∣∣
∂V ǫ
k
∂xi∂xj
∣∣∣∣≤ Λ;
248 Сохранение сходимости решений...
N4) lim
ǫ→0
sup
t∈[0,T ],x∈D
|∇N ǫ
kl| = 0;
N5) sup
t∈[0,T ],x∈D
∣∣∣∣
∂N ǫ
kl
∂xi∂xj
∣∣∣∣≤ Λ.
Тогда ηǫ =⇒ ξ - решению уравнения (1.2).
Доказательство. Из леммы 3.3 следует, что семейство мер µǫη, поро-
жденное процессами ηǫ на пространстве (C[0, T ], Ct) слабо компактно.
Обозначим µ одну из ее предельных точек. Докажем, что для прои-
звольного непрерывного ограниченного Cs-измеримого функционала
φs(x) и любой функции Φ(x) ∈ C∞
0 (Ed)
Eµφs(x)
[
Φ(x(t)) − Φ(x(s)) −
t∫
s
[(b(v, x(v))),∇Φ(x(v)))+
+
1
2
(a(v, x(v))∇,∇)Φ(x(v))]
]
dv = 0 (2.2)
Отсюда и [9] будет следовать утверждение теоремы. Применим к фун-
кции Φ(x) ∈ C∞
0 (Ed) и процессу (2.1) формулу Ито:
Eφs(η
ǫ)
{
Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s))−
−
t∫
s
[(
bǫ(v, ηǫ(v)) +Bǫ(v, ηǫ),∇Φ(ηǫ(v))
)
+
+
1
2
(
(aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇
)
Φ(ηǫ(v))
]
dv
}
= 0.
Перепишем это соотношение следующим образом
Eφs(η
ǫ)
{
Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s)) −
t∫
s
[
(b(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))+
+
1
2
(a(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v))
]}
= Iǫ1 + Iǫ2 + Iǫ3. (2.3)
С. Я. Махно 249
В равенстве (2.3)
Iǫ1 = Eφs(η
ǫ)
t∫
s
[
(Bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))+
+
1
2
(Aǫ(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v))
]
dv
Iǫ2 = Eφs(η
ǫ)
t∫
s
(
b(v, ηǫ(v)) − bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))
)
dv
Iǫ3 =
1
2
Eφs(η
ǫ)
t∫
s
(
(a(v, ηǫ(v)) − aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇
)
Φ(ηǫ(v))dv.
Оценим Iǫ1. Используя условие II4 и оценку леммы 2, получим
|Iǫ1| ≤ CE
T∫
0
αǫ(v)dv + CE
T∫
0
hǫ(v, ηǫ(v))dv
≤ CE
T∫
0
αǫ(v)dv + C||hǫ||d+1.
Поэтому
lim
ǫ→0
Iǫ1 = 0. (2.4)
Согласно леммам 4, 5,
lim
ǫ→0
Iǫ2 = lim
ǫ→0
Iǫ3 = 0. (2.5)
Таким образом, из (2.3), (2.4), (2.5) имеем,
lim
ǫ→0
Eφs(η
ǫ)
{
Φ(ηǫ(t)) − Φ(ηǫ(s)) −
t∫
s
[
(b(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v)))+
+
1
2
(a(v, ηǫ(v))∇,∇)Φ(ηǫ(v))
]
dv
}
= 0 (2.6)
Если функции b(t, x), a(t, x) непрерывны по x, то обоснование пре-
дельного перехода в (2.6) при ǫ → 0 не вызывает трудностей. Для
лишь измеримых этих функций предельный переход обосновывается
как в [3, стр.127] , используя оценку Крылова (лемма 3.2). Таким
образом (2.2) установлено и теорема доказана.
250 Сохранение сходимости решений...
3. Вспомогательные утверждения
В этом параграфе доказываются результаты, использованные ра-
нее для доказательства теоремы. Начнем с доказательства оценки
Крылова для решений стохастических уравнений. Для удобства ссы-
лок сформулируем лемму 5.1 из работы [4] полностью. Для этого
обозначим через m(t) непрерывный локальный мартингал согласо-
ванный с потоком Ft со значениями в Ed, A(t) — непрерывный во-
зрастающий Ft — измеримый процесс, B(t) — непрерывный Ft —
измеримый процесс со значениями в Ed, имеющий п. н. ограничен-
ную вариацию на всяком ограниченном отрезке времени. Предполо-
жим, что A(0) = m(0) = B(0) = 0, d〈m〉t ≪ dA(t), где 〈m〉t — ха-
рактеристика мартингала m(t). Пусть заданы прогрессивно измери-
мые относительно Ft неотрицательные процессы r(t), c(t). Положим
x(t) = B(t) +m(t), t ∈ [0, T ] и
y(t) =
t∫
0
r(s)dA(s), φ(t) =
t∫
0
c(s)dA(s), gij(t) =
1
2
d〈mi,mj〉t
dA(t)
(3.1)
Обозначим через SR = {x : x < R}, CR = {(t, x) : t ∈ [0, T ], x < < R}
и τR — момент первого выхода процесса x(t) из множества SR, γ —
произвольный Марковский момент относительно Ft.
Лемма 3.1. [4, лемма 5.1] Обозначим
A = E
γ∧τR∫
0
e−φ(t)tr g(t) dA(t), B = E
γ∧τR∫
0
e−φ(t)|dB(t)|.
Тогда для любой неотрицательной борелевской функции f(t, x) и
p ≥ d
E
γ∧τR∫
0
e−φ(t)c(t)
p−d
p+1 (r(t)det g(t))
1
p+1 f(y(t), x(t)) dA(t) ≤
≤ C(d)(B2 +A)
d
2(p+1) ||f ||p+1,CR
,
где c0(t) = 1.
Лемма 3.2. (Оценка Крылова) Пусть процесс z(t) является ре-
шением стохастического уравнения
z(t) = z0 +
t∫
0
b(s, z(s)) ds+
t∫
0
(δ(s, z(s)))
1
2 dw,
С. Я. Махно 251
где b(t, x) — вектор функция размерности d, а δ(t, x) — симметрич-
ная матричная d×d функция. Предположим, что при i, j = 1, . . . , d
выполнены следующие условия:
1) |bi(t, x)| + |δij(t, x)| ≤ Λ + α(t) +H(t, x),
2) (δ(t, x)θ, θ) ≥ λ|θ|2, λ > 0,
3) L =
T∫
0
α(t)dt+ ||H||d+1 <∞.
Тогда существует постоянная C(d, T, λ,Λ, L) такая, что
E
T∫
0
|f(t, z(t))| dt ≤ C||f ||d+1
Доказательство. Обозначим
x(t) = z(t) − z0, B(t) =
t∫
0
b(s, z(s)) ds, m(t) =
t∫
0
δ(s, z(s)) dw
и в (3.1) положим A(t) = t, c(t) = λ, r(t) = 1. Пусть, кроме того,
f̃(t, x) = f(t, x+ z0). Из Леммы 1 при p = d имеем,
E
γ∧τR∫
0
e−λt(det δ(t, z(t)))
1
d+1 |f̃(t, x(t))|dt ≤ C(d)(B2 +A)
d
2(d+1) ||f̃ ||d+1,CR
≤ C(d)(B
d
(d+1) +A
d
2(d+1) )||f ||d+1,
где
A =
1
2
γ∧τR∫
0
e−λttr δ(t, z(t)) dt, B =
γ∧τR∫
0
e−λt|b(t, z(t)| dt
Оценим каждую из этих величин. При предположении 1)
B ≤ Λ
λ
+
T∫
0
α(t) dt+
+ E
γ∧τR∫
0
e−λt(det δ(t, z(t))
1
d+1 (det δ(t, z(t)))−
1
d+1 |H̃(t, x(t))| dt
252 Сохранение сходимости решений...
Применяя к последнему слагаемому в правой части этого неравенства
оценку леммы 3.1 и учитывая предположение 2), получим
B ≤ Λ
λ
+
T∫
0
α(t) dt+
C(d)
λd
(B
d
(d+1) +A
d
2(d+1 )||H||d+1 (3.2)
Аналогичная оценка имеет место и для A:
2A ≤ Λ
λ
+
T∫
0
α(t) dt+
C(d)
λd
(B
d
(d+1) +A
d
2(d+1 )||H||d+1 (3.3)
Применяя неравенство Юнга ab ≤ αrar
r + bq
qαq , где a, b, α > 0,
r > 1, 1
r + 1
q = 1, с α = (2(d+1)
d )
d
2(d+1) , r = 2(d+1)
d , получим ( напомним,
что через C(. . . ) обозначаются различные постоянные)
A
d
2(d+1)C(d, λ)||H||d+1 ≤ A+ C(d, λ, L)
Отсюда и (3.3) имеем,
A ≤ C(d, λ,Λ, L) + C(d, λ)B
d
(d+1) ||H||d+1 (3.4)
Перепишем последнее соотношение следующим образом:
A ≤ C(d, λ,Λ, L)(1 +B
d
(d+1) ) (3.5)
и подставим эту оценку в неравенство (3.2):
B ≤ C(d, λ,Λ, L)(1 +B
d
d+1 ). (3.6)
Вновь применяя неравенство Юнга с α = (d+1
d )
d
d+1 , r = d+1
d , получим
C(d, λ,Λ, L)B
d
d+1 ≤ B
2
+ C(d, λ,Λ, L). (3.7)
Из (3.7) и (3.6) следует ограниченность B константой, зависящей от
постоянных d, λ, Λ, L. Из неравенства (3.5) следует и ограничен-
ность A постоянной, зависящей от тех же величин.
Таким образом, доказано следующее неравенство
E
γ∧τR∫
0
e−λt(det δ(t, z(t)))
1
d+1 |f(t, z(t))|dt ≤ C(d, λ,Λ, L)||f ||d+1. (3.8)
С. Я. Махно 253
Используя оценку (3.8), имеем
E
T∫
0
|f(t, z(t))| dt =
=
T∫
0
e−λteλt(det δ(t, z(t)))
1
d+1 (det δ(t, z(t)))
−1
d+1 |f(t, z(t))| dt ≤
≤ eλT
λd
C(d, λ,Λ, L)||f ||d+1
Лемма доказана.
Лемма 3.3. Пусть |xǫ| ≤ C и выполнено условие (II). Тогда, семей-
ство мер, порожденное процессами ηǫ на пространстве C[0, T ] слабо
компактною
Доказательство. Представим процесс ηǫ(t) в виде ηǫ(t) = γe(t)+
+κǫ(t), где
γe(t) = xǫ +
t∫
0
bǫ(s, ηǫ(s)) ds+
t∫
0
(aǫ(s, ηǫ(s)))
1
2 dw(s).
κǫ(t) =
t∫
0
Bǫ(s, ηǫ(s)) ds+
+
t∫
0
[
(aǫ(s, ηǫ(s) +Aǫ(s, ηǫ(s)))
1
2 − (aǫ(s, ηǫ(s)))
1
2
]
dw(s).
Т. к. функции (bǫ, aǫ) равномерно ограничены, то для процессов γe(t)
справедливы неравенства [3, стр. 120],
E|γe(t)|2 ≤ C(1 + |xǫ|2), E|γe(t) − γe(s)|4 ≤ C|t− s|2
и, следовательно, семейство мер, порожденное ими на пространстве
C[0, T ] слабо компактно [2, стр 355]. Используя свойство стохастиче-
ских интегралов ( оценку супремума его второго момента), получим
E sup
t∈[0,T ]
|κǫ(t)| ≤ E
T∫
0
|Bǫ(t, ηǫ(t))| dt+
(
E
T∫
0
trAǫ(t, ηǫ(t)) dt
) 1
2
(3.9)
254 Сохранение сходимости решений...
Пусть L — константа, ограничивающая сумму функций
∫ T
0 αǫ(t)dt+
+||hǫ||d+1, которая существует в силу условия II4. Далее, при сделан-
ных предположениях и в силу леммы 3.2, имеем
E
T∫
0
|Bǫ(t, ηǫ(t))| dt ≤
T∫
0
αǫ(t) dt+ E
T∫
0
hǫ(t, η
ǫ(t)) dt ≤
≤
T∫
0
αǫ(t) dt+ C(d, T, λ,Λ, L)||hǫ||d+1
Отсюда и условия II4,
lim
ǫ→0
E
T∫
0
|Bǫ(t, ηǫ(t))| dt = 0. (3.10)
Аналогично доказывается, что
lim
ǫ→0
E
T∫
0
trAǫ(t, ηǫ(t))dt = 0. (3.11)
Из (3.9)–(3.11) вытекает равенство
lim
ǫ→0
E sup
t∈[0,T ]
|κǫ(t)| = 0. (3.12)
Из (3.12), слабой компактности мер, соответствующих процессам γe,
следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Лемма 3.4. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любой
функции Ψ(x) ∈ C∞
0 (Ed) и любого Cs-измеримого функционала φs(x)
lim
ǫ→0
Eφs(η
ǫ)
t∫
s
Ψ(ηǫ(v))[bǫk(v, η
ǫ(v)) − bk(v, η
ǫ(v))]dv = 0.
Доказательство. Пусть V ǫ
k (t, x) — последовательность функций,
удовлетворяющая условию (V). Применим к функции Ψ(x)V ǫ
k (t, x)
и процессу ηǫ(t) формулу Ито. Имеем
Eφs(η
ǫ)
t∫
s
Ψ(ηǫ(v))[bǫk(v, η
ǫ(v))−bk(v, ηǫ(v))]dv = J ǫ1 +J ǫ2 +J ǫ3 +J ǫ4 +J ǫ5,
(3.13)
С. Я. Махно 255
где
J ǫ1 = Eφs(η
ǫ)
[
Ψ(ηǫ(t))V ǫ
k (t, ηǫ(t)) − Ψ(ηǫ(s))V ǫ
k (s, ηǫ(s))
]
,
J ǫ2 = Eφs(η
ǫ)
t∫
s
V ǫ
k (v, ηǫ(v))
[(
bǫ(v, ηǫ(v)) +Bǫ(v, ηǫ(v)),∇Φ(ηǫ(v))
)
+
+
1
2
(
(aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v)))∇,∇
)
Φ(ηǫ(v))
]
dv,
J ǫ3 = Eφs(η
ǫ)
t∫
s
[(
Ψ(ηǫ(v))Bǫ(v, ηǫ(v)+
+ (aǫ(v, ηǫ(v)) +Aǫ(v, ηǫ(v))∇Ψ(ηǫ(v)),∇V ǫ
k (v, ηǫ(v))
)]
dv,
J ǫ4 =
1
2
Eφs(η
ǫ)
t∫
s
Ψ(ηǫ(v))
(
Aǫ(v, ηǫ(v))∇,∇
)
V ǫ
k (v, ηǫ(v))dv,
J ǫ5 = Eφs(η
ǫ)
t∫
s
Ψ(ηǫ(v))
[
∂V e
k (v, ηǫ(v)
∂t
+(bǫ(v, ηǫ(v)),∇V ǫ
k (v, ηǫ(v)))+
+ b̂ǫk(v, η
ǫ(v)) − bk(v, η
ǫ(v))
]
dv.
Из свойства (V1) следует, что
lim
ǫ→0
J ǫ1 = 0. (3.14)
Из предположений (V1), (II4) и леммы 3.2 вытекает равенство
lim
ǫ→0
J ǫ2 = 0. (3.15)
Соотношение
lim
ǫ→0
J ǫ3 = 0 (3.16)
есть следствие свойств (V4) и II4) и леммы 3.2. Аналогично, из свойств
(V5) и (II4) следует, что
lim
ǫ→0
J ǫ4 = 0. (3.17)
256 Сохранение сходимости решений...
На основании свойства (V3) и оценки леммы 3.2 заключаем, что
lim
ǫ→0
J ǫ5 = 0. (3.18)
Из (3.13)–(3.18) следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Аналогично доказывается лемма 3.5. Формулу Ито необходимо
применить к функции Ψ(x)N ǫ
kl(t, x).
Лемма 3.5. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любой
функции Ψ(x) ∈ C∞
0 (Ed) и любого Cs-измеримого функционала φs(x)
lim
ǫ→0
Eφs(η
ǫ)
t∫
s
Ψ(ηǫ(v))[aǫlk(v, η
ǫ(v)) − akl(v, η
ǫ(v))] dv = 0.
4. Возмущение уравнений с периодическими
коэффициентами
Рассмотрим стохастическое уравнение
ηǫ(t) = x+
t∫
0
(bǫ(s, ηǫ(s)) +Bǫ(s, ηǫ(s)))ds+
+
t∫
0
(aǫ(s, ηǫ(s)) +Aǫ(s, ηǫ(s)))
1
2dw(s) (4.1)
Здесь bǫ(t, x) = b
(
t, t
ǫ2
, x, xǫ
)
, aǫ(t, x) = a
(
t, t
ǫ2
, x, xǫ
)
. Предположим,
что
|Bǫ(t, x)| + |Aǫ(t, x)| ≤ C
(
ǫ3|2t− 1|
[t(t− 1) + ǫ2]2
+ nǫ(x)
)
,
где функция nǫ(x) имеет вид:
nǫ(x) =
ǫ
d
4(d+1)
(2πǫ)
d
2(d+1)
exp
{
− |x|2
2ǫ(d+ 1)
}
.
Т. е. в точках t = 0, t = 1, x = 0, функции Bǫ(t, x), Aǫ(t, x), могут
неограниченно возрастать при стремлении ǫ к нулю. При этом, усло-
вие (II4) выполнено. Функции bi(t, s, x, y), aij(t, s, x, y) периодичны с
периодом 1 по аргументам (s, y), ограниченны, достаточно гладкие
С. Я. Махно 257
с ограниченными производными по всем аргументам. Существова-
ние, единственность, гладкость, ограниченность производных, рас-
сматриваемых ниже уравнений для функций p(t, s, x, y), Vk(t, s, x, y),
Nkl(t, s, x, y), имеется в [1].
Далее, пусть p(t, s, x, y) - единственное периодическое по (s, y) ре-
шение уравнения
− ∂
∂s
p+
1
2
∑
i,j
∂2
∂yi∂yj
(aij(t, s, x, y)p) = 0, 〈p〉s,y = 1,
зависящее от (t, x) как от параметров. Скобки 〈·〉s,y означают усре-
днение периодической функции по периоду. Положим
b̃i(t, x) = 〈(bip)(t, s, x, y)〉s,y, ãij(t, x) = 〈(aijp)(t, s, x, y)〉s,y
и определим функции Vk(t, s, x, y), Nkl(t, s, x, y), как решения урав-
нений:
∂
∂s
Vk +
1
2
∑
i,j
aij(t, s, x, y)
∂2
∂yi∂yj
Vk = b̃k(t, x)− bk(t, s, x, y), 〈Vk〉s,y = 0,
∂
∂s
Nkl +
1
2
∑
i,j
aij(t, s, x, y)
∂2
∂yi∂yj
Nkl = ãkl(t, x) − akl(t, s, x, y),
〈Nkl〉s,y = 0.
Легко проверяется, что функции
V ǫ
k (t, x) = ǫ2Vk
(
t,
t
ǫ2
, x,
x
ǫ
)
, N ǫ
kl(t, x) = ǫ2Nkl
(
t,
t
ǫ2
, x,
x
ǫ
)
,
удовлетворяют условиям (V) и (N) с функциями b(t, x) = b̃(t, x),
a(t, x) = ã(t, x) и при этом выполнены условия V4, V5, N4, N5. Из
теоремы следует, что предельный процесс для уравнения (3.1) есть
решение уравнения
ξ(t) = x+
t∫
0
b̃(s, ξ(s))ds+
t∫
0
(ã(s, ξ(s)))
1
2dw.
258 Сохранение сходимости решений...
Литература
[1] Bensoussan A., Lions P. L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis periodic
structures. Amsterdam etc. North–Holland, 1978, 700 p.
[2] Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения
и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982, 612 c.
[3] Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. Москва, Наука,
1982, 400 c.
[4] Крылов Н. В. Об оценках максимума решения параболического уравнения и
оценках распределения семимартингала // Матем. сборник 130 (172) (1986),
№2, 207–221.
[5] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа. Москва, Наука, 1967, 736 c.
[6] Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов // Украинский матем. ж.
44 (1992), №2, 284–289.
[7] Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов II // Украинский ма-
тем. ж. 44 (1992), №10, 1389–1395.
[8] Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических диффе-
ренциальных уравнений. Киев, Наукова думка, 1987, 228 c.
[9] D. V.Strook, S. R. S Varadhan Multidimensional Diffusion Processes. — Springer–
Verlag, New–York, 1979, 700 p.
Сведения об авторах
С. Я. Махно Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
ул. Р. Люксембург, 74,
83114, Донецк Украина
E-Mail: makhno@iamm.ac.donetsk.ua
|