Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях
Вводятся простые концы на двумерных, односвязных, липшицевых, непараметрических поверхностях в R^m, аналогичные простым концам Каратеодори областей плоскости. Даются оценки искажения относительного расстояния М. А. Лаврентьева при конформных отображениях таких поверхностей и их обобщениях....
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124623 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 3. — С. 349-372. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124623 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246232017-10-01T03:03:14Z Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях Миклюков, В.М. Вводятся простые концы на двумерных, односвязных, липшицевых, непараметрических поверхностях в R^m, аналогичные простым концам Каратеодори областей плоскости. Даются оценки искажения относительного расстояния М. А. Лаврентьева при конформных отображениях таких поверхностей и их обобщениях. 2004 Article Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 3. — С. 349-372. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35J70, 30C55, 30C60. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124623 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Вводятся простые концы на двумерных, односвязных, липшицевых, непараметрических поверхностях в R^m, аналогичные простым концам Каратеодори областей плоскости. Даются оценки искажения относительного расстояния М. А. Лаврентьева при конформных отображениях таких поверхностей и их обобщениях. |
| format |
Article |
| author |
Миклюков, В.М. |
| spellingShingle |
Миклюков, В.М. Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях Український математичний вісник |
| author_facet |
Миклюков, В.М. |
| author_sort |
Миклюков, В.М. |
| title |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| title_short |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| title_full |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| title_fullStr |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| title_full_unstemmed |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| title_sort |
относительное расстояние м. а. лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124623 |
| citation_txt |
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева и простые концы на непараметрических поверхностях / В.М. Миклюков // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 3. — С. 349-372. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT miklûkovvm otnositelʹnoerasstoâniemalavrentʹevaiprostyekoncynaneparametričeskihpoverhnostâh |
| first_indexed |
2025-07-09T01:44:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:44:31Z |
| _version_ |
1837131862264250368 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 1 (2004), № 3, 349 – 372
Светлой памяти Учителя —
Георгия Дмитриевича Суворова
Относительное расстояние М. А. Лаврентьева
и простые концы на непараметрических
поверхностях
В. М. Миклюков
Представлена В. Я. Гутлянским
Аннотация. Вводятся простые концы на двумерных, односвязных,
липшицевых, непараметрических поверхностях в R
m, аналогичные
простым концам Каратеодори областей плоскости. Даются оценки
искажения относительного расстояния М. А. Лаврентьева при кон-
формных отображениях таких поверхностей и их обобщениях.
2000 MSC. 35J70, 30C55, 30C60.
Ключевые слова и фразы. Относительное расстояние, квазикон-
формные отображения с вырождением, уравнение Бельтрами, кон-
формные отображения поверхностей, простые концы, теорема Кара-
теодори.
1. Основные результаты
1.1. Условимся в терминологии. Пусть X — метрическое про-
странство, расстояние между точками p и q которого обозначается
символом dX(p, q). Отображение f : X → Y называется липшице-
вым, если найдется постоянная C > 0, такая, что для любых p, q ∈ X
выполнено
dY (fp, fq) ≤ C dX(p, q) .
Пусть ∆ ⊂ R2 — область и F — двумерная непараметрическая
поверхность в Rm, m ≥ 3, заданная посредством вектор-функции
y = f(x) = (x1, x2, f1(x1, x2), . . . , fm−2(x1, x2)) : ∆ → Rm , (1.1)
Статья поступила в редакцию 5.05.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
350 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
реализующей гомеоморфное липшицево отображение области ∆ на
поверхность F = f(∆) с метрикой, индуцированной из Rm.
Согласно теореме Радемахера вектор-функция (1.1) дифферен-
цируема почти всюду в области ∆ (см., например, [1, теорема 3.1.6]).
Если воспользоваться стандартными обозначениями
g11 =
∣∣∣∣
∂f
∂x1
∣∣∣∣
2
= 1 +
m−2∑
i=1
∣∣∣∣
∂fi
∂x1
(x)
∣∣∣∣
2
,
g12 = g21 =
〈
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
〉
=
m−2∑
i=1
∂fi
∂x1
(x)
∂fi
∂x2
(x) ,
g22 =
∣∣∣∣
∂f
∂x2
∣∣∣∣
2
= 1 +
m−2∑
i=1
∣∣∣∣
∂fi
∂x2
(x)
∣∣∣∣
2
,
(1.2)
то квадрат линейного элемента F имеет вид
ds2 =
2∑
i,j=1
gij dxi dxj . (1.3)
Далее находим
g = g11(x)g22(x) − g2
12(x) = 1 +
m−2∑
i=1
|∇fi(x)|2 +
+
m−2∑
i=1
∣∣∣∣
∂fi
∂x1
(x)
∣∣∣∣
2 m−2∑
i=1
∣∣∣∣
∂fi
∂x2
(x)
∣∣∣∣
2
−
(
m−2∑
i=1
∂fi
∂x1
(x)
∂fi
∂x2
(x)
)2
.
1.2. Пусть D ⊂ F — односвязная область и O ∈ D — фиксиро-
ванная точка. Если точки a, b ∈ D, то пусть
ρ(a, b;O,D) = min{ρ1(a, b), ρ2(a, b)}, (1.4)
где ρ1 есть точная нижняя грань длин (в метрике Rm) замкнутых
кривых γ ⊂ D \ {O}, отделяющих a и b от точки O и границы ∂D;
ρ2 есть точная нижняя грань длин дуг, лежащих в D \ {O} и отделя-
ющих a и b от O на поверхности D. Величина ρ называется относи-
тельным расстоянием между точками a, b ∈ D \{O}. Относительное
расстояния от точки a ∈ D \ {O} до точки O вводится соотношением
ρ(a,O;O,D) = lim
b→O
b6=O
ρ(a, b;O,D).
В. М. Миклюков 351
(Существование предела в правой части легко следует из аксиомы
треугольника для метрики ρ.)
Для плоской поверхности F ⊂ Rm, очевидно, имеем
ρ(a, b;O,D) = min{2ρ∗1(a, b), ρ2(a, b)}, (1.5)
где ρ∗1 — точная нижняя грань длин дуг γ ⊂ D \ {O}, соединяющих
точки a и b в D.
Относительное расстояние (1.5) (без множителя 2 перед ρ∗1) было
введено М. А. Лаврентьевым в [2]. Г. Д. Суворов [3] нашел контр-
пример, показывающий, что расстояние М. А. Лаврентьева не удов-
летворяет аксиоме треугольника и предложил заменить длины диа-
метрами (для относительного расстояния на графиках монотонных
вектор-функций1 см. в [4]). Ниже предлагается другое исправление
расстояния М. А. Лаврентьева.
Теорема 1.1. Если F — поверхность, заданная вектор-функцией
(1.1), то функция (1.4) определяет метрику в области D ⊂ F , удов-
летворяющую аксиомам симметрии, тождества и треугольника.
Данное утверждение позволяет рассматривать метрическое про-
странство (D, ρ) и по известной схеме [8]) определять простые концы
области D на поверхности F , аналогичные простым концам Карате-
одори [5], как элементы пополнения D̃ области D по относительной
метрике (1.4).
1.3. Пусть D ⊂ F — область и U, V ⊂ D — непересекающиеся
подмножества, замкнутые относительно D. Тройка (U, V ; D) опре-
деляет конденсатор на поверхности F . Рассмотрим множество
F(U, V ;D) всевозможных липшицевых функций ϕ : D → R, таких,
что ϕ|U = 0, ϕ|V = 1 и
|∇Fϕ(x)| > 0 почти всюду в D \ (U ∪ V ) . (1.6)
(Здесь градиент ∇Fϕ берется в метрике (1.3).)
Величину
cap1 (U, V ; D) = inf
ϕ∈F(U,V ;D)
∫
D
|∇Fϕ| dF. (1.7)
будем назывть 1-емкостью (или, просто, емкостью) конденсатора
(U, V ; D).
1вектор-функция вида (1.1) является монотонной, если для любой подобласти
U ⊂⊂ ∆ выполнено osc (f, U) ≤ osc (f, ∂U) .
352 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Здесь символом ∇Fϕ обозначен градиент функции ϕ в метрике
поверхности F .
Пусть
(
gij
)
= (gij)
−1 — обратная матрица. Так как
g ≥ 1 +
m−2∑
i=1
|∇fi(x)|2 ,
то обратная матрица определена для почти всех x ∈ ∆.
Почти всюду в ∆ ∩ f−1(D) мы имеем
|∇Fϕ|2 =
2∑
i,j
gijϕxi
ϕxj
(1.8)
и элемент площади поверхности F дается выражением
dF =
√
g dx1dx2 . (1.9)
1.4. Пусть F1 ⊂ Rm, F2 ⊂ Rn — липшицевы поверхности ви-
да (1.1). Пусть D1 ⊂ F1, D2 ⊂ F2 — области и пусть h : D1 → D2 —
гомеоморфное отображение D1 на D2. Зададим измеримую функцию
Q : D1 → (0,∞). Гомеоморфное отображение h будем называть Q∗-
гомеоморфизмом, если для всякого конденсатора (U, V ;D1) выполне-
но
cap2
1 (hU, hV ;D2) ≤ inf
ϕ∈F(U,V ;D1)
∫
D1
Q |∇F1ϕ|2 dF1 . (1.10)
При Q ≡ areaD2 соотношение (1.10) следует из условия кон-
формности отображения h. Действительно, пусть z = x1 + ix2, w =
u1 + iu2 и отображение w = h(z) : D1 → D2 является однолистным
конформным соответствием между областямиD1, D2 ∈ C. Конформ-
ное отображение h оставляет инвариантным интеграл Дирихле в том
смысле, что
∫
D2
|∇ϕ(w)|2du1du2 =
∫
D1
|∇ϕ∗(z)|2 dx1dx2 , (1.11)
где ϕ∗ = ϕ ◦ h. Поэтому для произвольного конденсатора (U, V ;D2)
и произвольной функции ϕ ∈ F(U, V ;D2) выполнено
cap2
1(U, V ;D2) ≤
(∫
D2
|∇ϕ(w)| du1du2
)2
≤
≤ areaD2
∫
D2
|∇ϕ(w)|2 du1du2 =
В. М. Миклюков 353
= areaD2
∫
D1
|∇ϕ∗(z)|2 dx1dx2 .
Переходя здесь к точной нижней грани по всем функциям ϕ∗ ∈
F(h−1U, h−1V ;D1), приходим к соотношению (1.10).
В точности так же проверяется, что при Q ≡ const ≥ 0 класс
Q∗-гомеоморфизмов h : D1 ⊂ C → C, содержит квазиконформные
отображения.
В общем случае неравенство (1.10) может быть истолковано как
специальный вариант принципа длины и площади для отображения
h (см., например, [7, теорема 1.4.b], [9, глава X, теорема 1], [10], [11]).
В случае областей D1, D2 из R2 данный класс тесно связан с, так
называемыми, Q-гомеоморфными отображениями, активно изучае-
мыми О. Мартио, В. И. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым в
[12]–[14], а также радиальными Q-гомеоморфизмами [22], [23]. Мы
не будем здесь останавливаться на указанных связях более детально.
Вместе с тем следует отметить, что конформные отображения не-
регулярных поверхностей изучены лишь в весьма специальных слу-
чаях. Х. А. Шварцем показано, что всякий тетраэдр и куб могут
быть отображены конформно на сферу (К. Каратеодори [6, глава
VII]). Относительно конформных отображений общих многогранных
поверхностей, как примере отображений общего объекта — много-
образий ограниченной кривизны — см. Ю. Г. Решетняк [15], а так-
же Т. Торо [16] и С. Мюллер, В. Шверяк [17]. Обобщенная форму-
ла Кристоффеля-Шварца для кусочно-конформных изоморфизмов и
близкие вопросы рассматривались И. М. Грудским [18], [19].
В рассматриваемом здесь случае липшицевых поверхностей мы,
строго говоря, вправе требовать конформность отображения h толь-
ко лишь в точках его дифференцируемости или конформность ото-
бражения h : D1 → D2 почти всюду. С другой стороны, достаточно
эффективное определение конформности h мы получаем из условия
(1.11) инвариантности интеграла Дирихле. Как и выше, непосред-
ственно проверяется, что такие отображения принадлежат классуQ∗-
гомеоморфизмов с Q ≡ const > 0.
Вопросы существования конформных отображений между доста-
точно общими нерегулярными поверхностями изучались автором
в [20].
1.5. Рассмотрим еще один пример. Пусть F1 = F2 = С и пусть
σ : D1 → R — положительная измеримая функция. Рассмотрим сис-
тему
ux1 = σ vx2 , ux2 = −σ vx1 . (1.12)
354 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Каждое гомеоморфное отображение h : D1 → D2, h ∈W 1,2
loc , являет-
ся Q∗
1−гомеоморфизмом с Q1 = Q(x) areaD2, где
Q(x) = max
(
σ(x),
1
σ(x)
)
.
Действительно, пусть (U, V ;D2) — произвольный конденсатор и
ϕ ∈ F(U, V ;D2). Мы имеем
cap2
1 (U, V ;D2) ≤ areaD2
∫
D2
|∇ϕ|2 du1 du2.
Согласно теореме Радемахера, функция ϕ дифференцируема поч-
ти всюду в областиD2, а в соответствии с теоремой Геринга-Лехто [25]
отображение h также дифференцируемо почти всюду в D1. Поэтому
мы вправе записать
∫
D2
|∇ϕ|2du1du2 =
∫
D1
(ϕ2
u1
+ ϕ2
u2
)(u1x1u2x2 − u1x2u2x1) dx1 dx2 .
Пользуясь (1.12), получаем
cap2
1 (U, V ;D2) ≤ areaD2
∫
D1
σ (ϕ2
u1
+ ϕ2
u2
) |∇u2|2 dx1 dx2.
На основании формулы замены переменных (см. [24, теорема 11])
заключаем, что функция ϕ∗ = ϕ ◦ h имеет почти всюду полный диф-
ференциал. Таким образом,
(ϕ∗)2x1
+ (ϕ∗)2x2
= (σϕu1u2x2 + ϕu2u2x1
)2+
+ (−σϕu1u2x1
+ ϕu2u2x2
)2 = (σ2ϕ2
u1
+ ϕ2
u2
)|∇u2|2 .
Однако, почти всюду в D1 выполнено
(σ2ϕ2
u1
+ ϕ2
u2
) ≤ σQ (ϕ2
u1
+ ϕ2
u2
)
и, таким образом,
cap2
1 (U, V ;D2) ≤ areaD2
∫
D1
Q
(
(ϕ∗)2x1
+ (ϕ∗)2x2
)
dx1 dx2 ,
что доказывает (1.10).
В. М. Миклюков 355
Решения уравнения (1.12) называются σ-гармоническими отобра-
жениями и изучаются в значительном числе новейших работ (см.
статью [26] и ссылки в ней).
1.6. Пусть F1 ⊂ Rm — липшицева поверхность вида (1.1). Обозна-
чим через dF1(a, b) = d(a, b) геодезическое расстояние между точками
a, b ∈ F1, другими словами, точную нижнюю грань длин дуг γ ⊂ F1,
соединяющих точки a и b. Так как поверхность F1 липшицева, то
dF1(a, b) <∞ для любых a, b ∈ F1. Дальнейшие обозначения:
S(y0, r) = {y ∈ F1 : dF1(y0, y) = r} —
геодезическая окружность радиуса r > 0,
B(y0, r) = {y ∈ F1 : dF1(y0, y) < r} —
геодезический круг, и
K(y0, r, R) = {y ∈ F1 : r < dF1(y0, y) < R} —
геодезическое кольцо.
Зафиксируем односвязную область D ⊂ F1 и точку y0 ∈ D. Выбе-
рем r и R так, чтобы
0 < r < R < sup
y∈D
dF1(y0, y) , (1.13)
и выберем произвольно компоненту связности K = KD(y0, r, R) мно-
жества K(y0, r, R) ∩D. Положим
U = U(y0, r) = D ∩B(y0, r), V = V (y0, R) = D \B(y0, R).
Так как y0 ∈ D, то из соотношения (1.13) следует, что множества U
и V непусты.
Теорема 1.2. Пусть F1 ⊂ Rm, F2 ⊂ Rn — липшицевы поверхности
вида (1.1). Если
h : KD(y0, r, R) ⊂ F1 → F2
есть Q∗-гомеоморфизм, то
L2 ≤
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
. (1.14)
Здесь L — точная нижняя грань длин дуг или кривых, разделяющих
множества hU , hV в hK, и SD(y0, t) = S(y0, t) ∩D.
356 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
1.7. Наряду с Q∗-гомеоморфизмами мы рассматриваем их обоб-
щения. Именно, зафиксируем односвязную область D1 ⊂ F1 и точку
O1 ∈ D1. Пусть
0 < µ < d(O1) = d(O1, ∂D1) — (1.15)
некоторое число. Будем говорить, что гомеоморфное отображение
h : D1 ⊂ F1 → D2 ⊂ F2
является Q∗(µ))-гомеоморфизмом, если для всякой точки y0 ∈ D1 и
любых 0 < r < R < µ найдется измеримая функцияQ = Q(y; y0, r, R),
для которой
cap2
1(hU(y0, r), hV (y0, R);D2) ≤ inf
ϕ
∫
KD1
(y0,r,R)
Q |∇F1ϕ|2 dF1, (1.16)
где точная нижняя грань берется по всем функциям
ϕ ∈ F(U(y0, r), V (y0, R); KD1(y0, r, R)).
Теорема 1.3. Пусть F1 ⊂ Rm, F2 ⊂ Rn — липшицевы поверхности
вида (1.1). Пусть D1 ⊂ F1, D2 ⊂ F2 — односвязные области и O1 ∈
D1, O2 ∈ D2 — фиксированные точки. Пусть h : D1 → D2 — Q∗(µ))-
гомеоморфизм, h(O1) = O2, такой, что для некоторой монотонной
функции ω(t) = ω(t;µ) : (0, µ) → (0,∞), ω(+0) = 0, произвольной
точки y0 ∈ D1, и любых 0 < t < µ, выполнено
( µ∫
t
dτ
/ ∫
SD1
(y0,τ)
Q(y) |dy|
)−1
≤ ω(t). (1.17)
Тогда, если areaD2 < ∞, то для произвольной пары точек a, b ∈
D̃1, удовлетворяющей условию
2 max{d(a, ∂D1), d(b, ∂D1), ρ(a, b;O1, D1)} <
< min{d(O1, ∂D1) − µ, 2µ} (1.18)
справедливо неравенство
ρ(ha, hb;O2, D2) ≤ [areaD2 ω(ρ(a, b;O1, D1))]
1/2 . (1.19)
В частности, всякий Q∗(µ))-гомеоморфизм h : D1 → D2, облада-
ющий свойством (1.17), продолжим по непрерывности до гомеоморф-
ного отображения h̃ : D̃1 → D̃2 и мы имеем обобщение известной те-
оремы Каратеодори о конформных отображениях плоских областей
[5] на случай отображений поверхностей.
В. М. Миклюков 357
Следствие 1.1. Если Q∗(µ)-гомеоморфизм h : D1 → D2 удовле-
творяет (1.17) и все простые концы поверхности D2 первого рода,
то отображение h продолжимо по непрерывности до гомеоморфного
отображения h̃ : D̃1 → D2.
Если, кроме того, поверхность D1 имеет простые концы только
первого рода, то h продолжимо до гомеоморфизма h̃ : D1 → D2.
Классификацию простых концов поверхности см. ниже, в разде-
ле 3.
Частично данная работа была выполнена во время пребывания
автора в г. Хайфе по приглашению Математического факультета Ин-
ститута технологий Израиля (Технион). Автор признателен декану
факультета, профессору Даниэлю Гершковичу за представленную воз-
можность.
Автор хотел бы поблагодарить также профессора Ури Сребро
(Технион) и профессора Эдуарда Якубова (Холон) за исключитель-
ную гостеприимность.
Автор глубоко благодарен своим коллегам — Владимиру Алек-
сандровичу Клячину, Борису Павловичу Куфареву и Юрию Вя-
чеславовичу Помельникову — прочитавшим работу в рукописи и сде-
лавшим ряд важных замечаний, способствующих улучшению текста.
2. Доказательство теоремы 1.1
2.1. Так как поверхность F липшицева, то для произвольной па-
ры точек a, b ∈ D выполняется ρ(a, b;O,D) <∞. Аксиома симметрии
тривиальна. Докажем, что ρ(a, b;O,D) = 0 тогда и только тогда, ко-
гда a = b.
Действительно, предположим, что a 6= b. Пусть x′ = f−1(a), x′′ =
f−1(b) — прообразы этих точек в односвязной области ∆∗ = f−1(D),
и пусть O∗ = f−1(O). Отображение f : ∆∗ → D гомеоморфно, а по-
тому x′ 6= x′′. Для плоских областей выполнение аксиомы тождества
очевидно. Тем самым, ρ(x′, x′′;O∗,∆∗) > 0.
Предположения о гомеоморфности f и односвязности D влекут
тогда, что и ρ(a, b;O,D) > 0.
2.2. Нам достаточно теперь проверить неравенство треугольника.
Фиксируем произвольно точки a, b, c ∈ F\{O}. Естественным образом
выделяются три случая.
В первом случае мы имеем
ρ(a, b;O,D) = ρ1(a, b), ρ(b, c;O,D) = ρ1(b, c).
358 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Зададим ε > 0. Выберем замкнутые кривые γ1, отделяющую a, b от
O, ∂D, и γ2, отделяющую b, c от O, ∂D так, что
length(γ1) ≤ ρ1(a, b) +
ε
2
, length(γ2) ≤ ρ1(b, c) +
ε
2
.
Если γ1 ∩ γ2 = ∅, то хотя бы одна из кривых отделяет другую, а,
значит, и точки a, c от O и ∂D. Тем самым,
ρ1(a, c) ≤ max{length(γ1), length(γ2)} ≤
≤ ρ1(a, b) + ρ1(b, c) + ε ≤
≤ ρ(a, b;O,D) + ρ(b, c;O,D) + ε
для произвольного ε > 0.
Если γ1 ∩ γ2 6= ∅, то множество γ3 = γ1 ∪ γ2 является связной
замкнутой кривой, отделяющей a, c от O и ∂D. Таким образом,
ρ1(a, c) ≤ ρ1(a, b) + ρ1(b, c) + ε ≤ ρ(a, b;O,D) + ρ(b, c;O,D) + ε.
Полагая ε→ 0, приходим к нужному неравенству.
Во втором случае пусть
ρ(a, b;O,D) = ρ2(a, b), ρ(b, c;O,D) = ρ2(b, c).
Выберем открытые дуги γ1, γ2, отделяющие a, b и b, c от O, соответ-
ственно, в D, причем так, чтобы для некоторого ε > 0 выполнялось
length(γ1) ≤ ρ2(a, b) +
ε
2
, length(γ2) ≤ ρ2(b, c) +
ε
2
.
Здесь возможны в точности те же самые два подслучая, что и выше.
В обоих вариантах мы получаем нужные неравенства.
В третьем случае достаточно рассмотреть ситуацию, в которой
ρ(a, b;O,D) = ρ1(a, b), ρ(b, c;O,D) = ρ2(b, c) ,
и выбрать
length(γ1) ≤ ρ1(a, b) +
ε
2
, length(γ2) ≤ ρ2(b, c) +
ε
2
.
Дальнейшие аргументы те же, что и выше.
В. М. Миклюков 359
3. Простые концы
Мы воспользуемся известной схемой [3] введения простых концов
Каратеодори [5] в плоских односвязных областях. Пусть F — поверх-
ность, заданная вектор-функцией вида (1.1). Рассмотрим произволь-
ную односвязную подобласть D ⊂ F с фиксированной в ней точкой
O ∈ D.
Пусть ρ — относительное расстояние в D, определенное выра-
жением (1.4). Метрическое пространство (D, ρ) может быть попол-
нено классами эквивалентности фундаментальных последовательно-
стей {ak}, ak ∈ D, не имеющих точек накопления в D. Классы экви-
валентности eρ = {ak} таких последовательностей называются про-
стыми концами области D (относительно метрики ρ). Область D
вместе с присоединенными к ней простыми концами eρ будем обозна-
чать через D̃ρ.
Пусть eρ1 = {a′k}, e
ρ
2 = {a′′k} — точки из D̃ρ. Относительное рассто-
яние между ними определяется выражением
ρ(eρ1, e
ρ
2;O, D̃
ρ) = lim
k→∞
ρ(a′k, a
′′
k;O,D).
Фиксируя вместо точки O ∈ D другие внутренние точки области
D, мы получаем различные метрики ρ в D и различные метрические
пространства Dρ. Пополнения D̃ρ \ D этих пространств совпадают.
Чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что всякая последова-
тельность {ak} точек поверхности D, не имеющая предельных точек
в D и фундаментальная в метрике ρ(a, b;O′, D), является фундамен-
тальной также в метрике ρ(a, b;O′′, D).
Если область D односвязная подобласть R2, то метрика ρ опре-
делена выражением (1.5). Легко видеть, что в этом случае простые
концы eρ области D суть простые концы Каратеодори [5], [3].
При изложении понятия тела простого конца мы следуем ориги-
нальной статье В. П. Луференко и Г. Д. Суворова [21], где данное
понятие исследуется в произвольных метрических пространствах.
Пусть e0 ∈ D̃ — простой конец и y0 ∈ Rm — точка. Если существу-
ет последовательность точек ak ∈ D, ρ(ak, e0;O,D) → 0, для которой
|ak − y0| → 0, то мы пишем y0|e0 6= ∅.
Телом |e0| простого конца e0 ∈ D̃ в пространстве Rm называется
множество всевозможных точек y ∈ Rm, таких, что y|e0 6= ∅. Как
показано в [21, лемма 1], мы имеем
|e0| = ∩δ>0{y ∈ D : ρ(y, e0) < δ}
(здесь замыкания берутся относительно Rm) и введенное определение
360 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
является прямым обобщением понятия тела простого конца Карате-
одори [5].
Классификация простых концов односвязной поверхностиD в Rm
возможна в точности та же, что и в теории Каратеодори. Именно,
мы называем сечением поверхности D произвольную жорданову ду-
гу γ ⊂ D с концами на (евклидовой) границе ∂D. Сечение γ разделяет
точки a, b ∈ D, если всякий путь l ⊂ D, ведущий из a в b, пересекает
сечение γ. Сечение γ ⊂ D отделяет простой конец e ∈ D̃\D от фикси-
рованной точки O ∈ D, если оно разделяет точку O и все, достаточно
близкие по относительному расстоянию, к e точки поверхности D.
Будем говорить, что последовательность сечений γk ⊂ D, отделя-
ющих простой конец e от фиксированной точки O ∈ D, стягивается
к e, если
r(γk, e;D) = inf
y∈γk
lim
yl→e
|y − yk| → 0
при k → ∞.
Главная точка тела простого конца e ∈ D̃ \D — это такая точка
y ∈ |e|, для которой найдется последовательность сечений γk, стяги-
вающаяся к e и обладающая свойством
sup
a∈γk
|a− y| → 0 при k → ∞ .
Смежная точка тела простого конца — это произвольная его точ-
ка, не являющаяся главной.
Всякий простой конец односвязной поверхости принадлежит к
одному из следующих четырех типов:
простой конец I-го типа содержит единственную главную точку и
не содержит смежных точек;
простой конец II-го типа содержит единственную главную точку и
бесконечное множество смежных точек;
простой конец III-го типа содержит континуум главных точек и не
содержит смежных точек;
простой конец IV-го типа содержит континуум главных точек и бес-
конечное множество смежных точек.
Примеры поверхностей с концами указанных типов легко строят-
ся. В частности, здесь оказываются пригодными и соответствующие
примеры плоских областей.
Будем говорить, что точка e ∈ D̃, |e| 6= ∅, является простой в Rm,
если ее тело2 в Rm состоит ровно из одной точки. Заметим, что e
есть простой конец первого рода тогда и только тогда, когда точка
e ∈ D̃ \D является простой в Rm.
2как тело простого конца e
В. М. Миклюков 361
Обозначим через I естественную проекцию поверхности D в про-
странство Rm. Имеет место следующее общее утверждение.
Теорема 3.1. Предположим, что множества D и I(D) предкомпа-
ктны в D̃ и Rm, соответственно. Для того, чтобы все точки гра-
ницы D̃ \D были простыми в Rm необходимо и достаточно, чтобы
естественная проекция I : D → Rm была равномерно непрерывна по
относительному расстоянию ρ на поверхности D.
См. доказательство в [21].
4. Доказательство теоремы 1.2
4.1. Вначале мы покажем, что
L ≤ cap1 (hU, hV ;hK). (4.1)
Пусть ϕ — произвольная функция, допустимая при вычислении 1-
емкости конденсатора (hU, hV ;hK). Предположим, что поверхность
F2 ⊂ Rn задана посредством липшицева отображения f2 : ∆∗ → Rn.
Пусть K∗ = f−1
2 (hK). Тогда на основании (1.8) и (1.9) мы вправе
записать
∫
hK
|∇F2ϕ| dF2 =
∫
K∗
(
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
)1/2
√
g dx1 dx2, (4.2)
где ϕ∗ = ϕ◦f2 и коэффициенты gij , g
ij , g определены соотношениями
(1.2), (1.8), (1.9), записанными для вектор-функции f2 : ∆∗ → F2.
Так как отображение f2 липшицево, то
ess supK∗ max{g11(x), g12(x), g22(x)} = M <∞ .
Положим
p(x) =
(
2∑
i,j=1
gij
ϕ∗
xi
|∇ϕ∗|
ϕ∗
xj
|∇ϕ∗|
)1/2
√
g .
Тогда имеем
∫
hK
|∇F2ϕ| dF2 =
∫
K∗
p(x) |∇ϕ∗(x)| dx1 dx2 .
Так как матрицы (gij) и (gij) взаимно обратны, то
g11 =
g22
g
, g12 = −g12
g
, g22 =
g11
g
. (4.3)
362 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Отсюда, почти всюду в K∗ выполнено
p(x) ≤M1/2
(
2∑
i,j=1
ϕ∗
xi
|∇ϕ∗|
ϕ∗
xj
|∇ϕ∗|
)1/2
≤ 2M1/2 .
По теореме 3.2.15 из [1] почти все линии уровня
Et = {x ∈ K∗ : ϕ∗(x) = t}
счетно спрямляемы. Тем самым, мы вправе воспользоваться изве-
стной формулой для ко-площади [1, теорема 3.2.22]. Мы имеем
∫
K∗
(
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
)1/2
√
g dx1 dx2 =
=
1∫
0
dt
∫
Et
(
2∑
i,j=1
gij
ϕ∗
xi
|∇ϕ∗|
ϕ∗
xj
|∇ϕ∗|
)1/2
√
g |dx|. (4.4)
Вектор-функция f2 абсолютно непрерывна вдоль почти всех Et.
Векторы
τ =
(
− ϕ∗
x2
|∇ϕ∗| ,
ϕ∗
x1
|∇ϕ∗|
)
суть единичные касательные к Et векторы. Таким образом, пользуясь
(1.3), для почти всех t ∈ (0, 1) находим
length(f2Et) =
∫
Et
ds =
∫
Et
(
2∑
i,j=1
gij dxi dxj
)1/2
=
=
∫
Et
(
g11
(ϕ∗
x2
)2
|∇ϕ∗|2 − 2g12
ϕ∗
x1
|∇ϕ∗|
ϕ∗
x2
|∇ϕ∗| + g22
(ϕ∗
x1
)2
|∇ϕ∗|2
)1/2
|dx|.
Подставляя выражения для gij из (4.3) в последний интеграл, полу-
чаем
length(f2Et) =
∫
Et
(
2∑
i,j=1
gij
ϕ∗
xi
|∇ϕ∗|
ϕ∗
xj
|∇ϕ∗|
)1/2
√
g |dx|, (4.5)
и (4.4) влечет
1∫
0
length(f2Et) dt =
∫
K∗
(
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
)1/2
√
g dx1 dx2.
В. М. Миклюков 363
Таким образом,
inf
0<t<1
length(f2Et) ≤
∫
K∗
(
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
)1/2
√
g dx1 dx2.
Пользуясь (4.2), приходим к неравенству (4.1).
4.2. В качестве второго шага мы докажем, что
inf
ϕ∈F(U,V,D)
∫
K
Q |∇F1ϕ|2dF1 ≤
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
. (4.6)
Предположим, что поверхность F1 ⊂ Rm задается липшицевым
отображением f1. Как и выше, пусть K∗ = f−1
1 (K), ϕ∗ = ϕ ◦ f1 и
d∗(x) = dF1(y0, f1(x)). На основании (1.6) и (1.8), (1.9) можно записать
inf
ϕ∈F(U,V ;D)
∫
K
Q |∇F1ϕ|2dF1 =
= inf
ϕ∗
∫
K∗
Q∗
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
√
g dx1 dx2, (4.7)
где Q∗ = Q ◦ f1 и коэффициенты gij , g определены выражениями
(1.2), (1.9).
Выберем ϕ∗ в виде ϕ∗ = ψ ◦ d∗(x) с некоторой липшицевой функ-
цией ψ : [r,R] → [0, 1], для которой ψ(r) = 0, ψ(R) = 1. Нам потребу-
ется следующая оценка для градиента функции расстояния, которая
будет доказана ниже, в разделе 4.3:
|∇F1d
∗(x)| =
2∑
ij=1
gijd∗xi
d∗xj
≤ 1 почти всюду в ∆. (4.8)
Таким образом, пользуясь еще раз формулой для ко-площади, в
силу (4.8) получаем
∫
K∗
Q∗
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
√
g dx1 dx2 =
=
∫
K∗
Q∗ψ′2(d∗(x))
2∑
i,j=1
gijd∗xi
d∗xj
√
g dx1 dx2 ≤
≤
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
S∗
D(y0,t)
Q∗√g |dx|, (4.9)
364 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
где S∗
D(y0, t) = f−1
1 SD(y0, t).
Легко проверяется, что
∫
S∗
D
(y0,t)
Q∗√g |dx| =
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|. (4.10)
Действительно, пользуясь (1.3), имеем
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| =
∫
S∗
D(y0,t)
Q∗
(
2∑
i,j=1
gij dxi dxj
)1/2
.
Поскольку d∗|S∗
D
(y0,t)
= t, как и в (4.5), мы устанавливаем, что для
почти всех t ∈ (0, 1) выполнено
∫
S∗
D(y0,t)
Q∗
(
2∑
i,j=1
gij dxi dxj
)1/2
=
=
∫
S∗
D(y0,t)
Q∗
(
2∑
i,j=1
gij d∗xi
d∗xj
)1/2
√
g |dx| =
=
∫
S∗
D(y0,t)
Q∗√g |dx|,
и соотношение (4.10) доказано.
Из (4.9) и (4.10) следует
∫
K∗
Q∗
2∑
i,j=1
gijϕ∗
xi
ϕ∗
xj
√
g dx1 dx2 ≤
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|.
Таким образом, соотношение (4.7) влечет
inf
ϕ∈F(U,V ;D)
∫
K
Q |∇F1ϕ|2 dF1 ≤ inf
ψ
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|. (4.11)
Найдем точную нижнюю грань интегралов в правой части (4.11).
Так как ψ(r) = 0, ψ(R) = 1, то для произвольной функции ψ мы
имeем
1 ≤
( R∫
r
ψ′(t) dt
)2
≤
В. М. Миклюков 365
≤
( R∫
r
dt∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)( R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)
,
то есть, для любой допустимой функции ψ справедливо неравенство
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
≤
R∫
r
ψ′2(t) dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| .
(4.12)
Выбирая
ψ0(t) =
t∫
r
dτ∫
SD(y0,τ)
Q(y) |dy|
/ R∫
r
dτ∫
SD(y0,τ)
Q(y) |dy|
при t ∈ (r,R) и замечая, что ψ0(r + 0) = 0, ψ0(R− 0) = 1, мы заклю-
чаем:
R∫
r
ψ′2
0 (t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| =
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
.
Таким образом, на основании (4.12) выводим
inf
ψ
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| =
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
.
(4.13)
Данные аргументы пригодны для произвольной локально ограни-
ченной на (r,R) функции
q(τ) ≡
∫
SD(y0,τ)
Q(y) |dy|,
при которой ψ0 локально липшицева. Простые аппроксимационные
аргументы влекут справедливость (4.13) в общем случае.
Действительно, для произвольного n = 1, 2, . . . положим
Qn(y) =
Q(y) при Q(y) ≤ n,
n при Q(y) > n.
366 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Тогда, для произвольной функции ψ по теореме Фату имеем
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| ≤ lim
n→∞
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Qn(y) |dy| .
Отсюда, по доказанному,
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy| ≤
R∫
r
ψ′2(t) dt
∫
SD(y0,t)
Qn(y) |dy| ≤
≤
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Qn(y) |dy|
)−1
≤
≤
( R∫
r
dt
/ ∫
SD(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
.
Переходя в левой части соотношения к точной нижней грани по до-
пустимым функциям ψ, убеждаемся в справедливости соотношения
(4.13) в общем случае.
Комбинируя (4.13) с (4.11) приходим к (4.6). На основании (4.6),
(4.1) и (1.10) приходим к (1.14).
4.3. Чтобы завершить доказательство теоремы, необходимо про-
верить справедливость неравенства (4.8), уже использованного нами
выше. Если поверхность F1 принадлежит классу C2, то это неравен-
ство хорошо известно (и, даже, в более сильном виде). Для липши-
цевой поверхности оно нуждается в доказательстве.
Пусть a ∈ ∆ — произвольная точка, в которой дифференциал
df1(a) вектор-функции y = f1(x) вида (1.1) существует. Пусть γ(a, θ)
— отрезок длины h > 0, выходящий из точки a в направлении, зада-
ваемом единичным касательным вектором θ = (θ1, θ2). Тогда
∣∣∣∣∣
2∑
i=1
∂d∗
∂xi
(a) θi
∣∣∣∣∣ ≤ lim
h→0
1
h
∫
γ(a,θ)
dsF1 ,
где
d∗(x) = d(a, f1(x)) = inf
γ
∫
γ
dsF1
и точная нижняя грань берется по всевозможным дугам γ, соединя-
ющим точки a и x.
В. М. Миклюков 367
Однако,
∫
γ(a,θ)
dsF1 =
h∫
0
[
2∑
i,j=1
gij(a+ r θ) θiθj
]1/2
dr
и для почти всех касательных направлений θ имеем
lim
h→0
1
h
∫
γ(a,θ)
dsF1 ≤
2∑
i,j=1
gij(a) θiθj .
Тем самым, в точке a выполняется соотношение
2∑
i,j=1
∂d∗
∂xi
(a)
∂d∗
∂xj
(a) θiθj ≤
2∑
i,j=1
gij(a) θiθj . (4.14)
Непосредственными вычислениями проверяется, что
max
|θ|=1
∑2
i,j=1
∂d∗
∂xi
∂d∗
∂xj
θiθj
∑2
i,j=1 gij θiθj
=
2∑
i,j=1
gij
∂d∗
∂xi
∂d∗
∂xj
. (4.15)
Действительно, на основании известных свойств квадратичных форм
(см., например, [27, стр. 289–290]), наибольшее значение отношения
двух квадратичных форм, стоящего в левой части (4.15), равно мак-
симальному из корней λ уравнения
det
(
∂d∗
∂xi
∂d∗
∂xj
− λ gij
)
= 0 .
Умножая обе части равенства на det (gij), получаем
det (aij − λ δij) = 0 ,
где
aij =
∂d∗
∂xj
2∑
k=1
gik
∂d∗
∂xk
и δij — символ Кронекера.
Отсюда находим
λmax =
2∑
i=1
2∑
k=1
gik
∂d∗
∂xj
2∑
k=1
gik
∂d∗
∂xk
,
что и требовалось.
В силу (4.15), справедливость соотношения (4.14) при всех еди-
ничных векторах θ влечет (4.8).
Таким образом, теорема 1.2 доказана полностью.
368 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
5. Локальные оценки
Теорема 1.2 приводит к некоторым локальным оценкам при Q∗-
гомеоморфных отображениях. Пусть c ∈ [1,∞) — постоянная. Вектор-
функция f : ∆ → Rm называется c-монотонной, если для всякой
подобласти ∆′, ∆′ ⊂⊂ ∆, выполнено неравенство
osc (f,∆′) ≤ c osc (f, ∂∆′). (5.1)
Заметим, к примеру, что C2-вектор-функция f , задающая поверх-
ность F неположительной гауссовой кривизны является c-монотонной
при c = 1. Если поверхность F имеет выпуклый график в R3, то она
c-монотонна с некоторой постоянной c = c(∆′) ≥ 1 на всякой под-
области ∆′ ⊂⊂ ∆.
Следствие 5.1. Пусть F1 ⊂ Rm, F2 ⊂ Rn — поверхности, заданные
вектор-функциями f1 : ∆1 → Rm, f2 : ∆2 → Rn, соответственно.
Предположим, что f2 является c2-монотонной.
Тогда для произвольного Q∗-гомеоморфного отображения h : F1 →
F2, произвольной точки y0 ∈ F1 и всякого r, c2r < d0 = dF1(y0, ∂F1),
выполняется
osc2(h, B(y0, r)) ≤ c22
( d0∫
r
dt
/ ∫
S(y0,t)
Q(y) |dy|
)−1
. (5.2)
Для доказательства достаточно воспользоваться оценкой (1.14)
и заметить, что
osc2(h,B(y0, r)) ≤ c22L
2.
Оценка (5.2) влечет серию уже известных. Мы ограничимся здесь
следующим рассмотрением. Пусть ξ(t) — неотрицательная борелева
функция на (0, d0), такая, что
I(ε) =
d0∫
ε
ξ(t) dt <∞, ε ∈ (0, d0). (5.3)
Согласно формуле для ко-площади имеем
∫
ε<dF1
(y0,y)<d0
Q(y) ξ2(dF1(y0, y)) dF1 =
d0∫
ε
ξ2(τ) dτ
∫
S(y0,τ)
Q(y) |dy|.
В. М. Миклюков 369
Отсюда, на основании неравенства Коши, получаем
I2(ε) ≤
( d0∫
ε
dτ
/ ∫
S(y0,τ)
Q(y) |dy|
)( d0∫
ε
ξ2(τ) dτ
∫
S(y0,τ)
Q(y) |dy|
)
и
( d0∫
ε
dτ
/ ∫
S(y0,τ)
Q(y) |dy|
)−1
≤
≤ 1
I2(ε)
∫
ε<dF1
(y0,y)<d0
Q(y) ξ2(dF1(y0, y)) dF1.
Таким образом, оценка (5.2) приводит к неравенству
osc2(h,B(y0, r)) ≤ c22 I
−2(r)
∫
K(r,d0;F1)
Q(y) ξ2(dF1(y0, y)) dF1 , (5.4)
справедливому для всякой функции ξ со свойством (5.3).
Для отображений плоских областей в единичную сферу, близкое
неравенство установлено В. И. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубо-
вым [23].
6. Доказательство теоремы 1.3
Пусть a, b ∈ D1 \ {O1} — пара точек, удовлетворяющая (1.18).
Фиксируем дугу или кривую γ ⊂ D1 \ {O1}, отделяющую a, b от O1 и
такую, что
length(γ) < ρ(a, b;O1, D1) + δ <
1
2
(d(O1) − µ),
где d(O1) = d(O1, ∂D1) и δ > 0 — достаточно малое число.
Выберем точку p ∈ γ и рассмотрим семейство геодезических ок-
ружностей
S(p, τ) = {y ∈ F1 : d(p, y) = τ}, ρ < τ < µ,
где ρ = ρ(a, b;O1, D1).
Предположения (1.15) и (1.18) влекут, что всякое множество S(p, τ)
∩D1 содержит компоненту связности SD(p, τ), отделяющую a, b отO1.
370 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
Действительно, пусть S(p, τ) ∩ ∂D1 6= ∅. Так как p ∈ γ, то
d(p, ∂D1) ≤ length(γ) <
1
2
(d(O1) − µ).
Далее мы замечаем, что
d(O1) ≤ d(p, ∂D1) + d(p,O1) ≤
≤ length(γ) + d(p,O1) ≤
≤ (d(O1) − µ)/2 + d(p,O1) .
Таким образом,
1
2
d(O1) +
1
2
µ ≤ d(p,O1)
и, следовательно,
d(p, ∂D1) + µ ≤ d(p,O1) .
Отсюда, µ ≤ d(p,O1), то есть, τ<d(p,O1) и каждая из дуг SD1(p, τ) 6=∅.
Пусть S(p, τ) ∩ ∂D1 = ∅. Зафиксируем произвольно δ1 > 0. Пусть
l ⊂ F1 — дуга, связывающая точку a с границей ∂D1 так, что
length(l) < d(a, ∂D1) + δ1.
Но γ разделяет a и ∂D1, а потому γ ∩ l 6= ∅.
Пусть ξ ∈ γ ∩ l — произвольная точка. Мы имеем
d(O1) ≤ d(ξ, ∂D1) + d(ξ, p) + d(p,O1) ≤
≤ d(a, ∂D1) + δ1 + length(γ) + d(p,O1) ≤
≤ d(O1) − µ+ d(p,O1) + δ1.
Отсюда находим
µ ≤ d(p,O1) + δ1 .
Поскольку δ > 0 произвольно, мы получаем µ ≤ d(p,O1), и нужное
доказано.
Итак, каждая из геодезических окружностей S(p, τ) отделяет точ-
ку p от O1 при τ ∈ (ρ, µ). Тем самым, мы вправе воспользоваться
теоремой 1.2 с K = K(p, ρ, µ). Каждая из дуг (или кривых) SD1(p, τ)
отделяет точки a, b от ∂D1 и O1. Ее образ hSD1(p, τ) отделяет ha, hb
от ∂D2 и O2. Тем самым,
ρ (ha, hb;O2, D2) ≤ length (hSD1(p, τ)) .
В. М. Миклюков 371
Согласно (1.14), мы находим
ρ2(ha, hb;O2, D2) ≤
( µ∫
ρ
dt
/ ∫
SD(p,t)
Q(y) |dy|
)−1
≤ ω(ρ)
и (1.19) действительно имеeт место.
Завершая доказательство, предположим, что an, bn ∈ D1 — точки,
сходящиеся к a, b ∈ D̃1 \ D1 и удовлетворяющие (1.18). Мы вправе
записать
ρ(han, hbn;O2, D2) ≤ ω1/2(ρ(an, bn;O1, D1)) .
Полагая теперь n→ ∞, мы доказываем (1.19) в общем случае.
Литература
[1] H. Federer, Geometric Measure Theory. Springer-Ferlag, Berlin, 1969.
[2] М. А. Лаврентьев, О непрерывности однолистных функций в замкнутых
областях // ДАН СССР, 4 (1936), 207–210.
[3] Г. Д. Суворов, Замечания к одной теореме М. А. Лаврентьева // Уч. зап.
Томск. гос. ун-та, 25 (1956), 3–8.
[4] O. Martio, V. M. Miklyukov, M. Vuorinen, Relative distance and boundary
properties of nonparametric surfaces with finite area // Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 286, №2, 524–539.
[5] C. Caratheodory, Über die Begrenzung einfach zusammenhangender Gebiete //
Math. Ann., 73 (1913), 323–370.
[6] К. Каратеодори, Конформное отображение, Современная математика.
Книга пятая, ОНТИ, Государственное технико - теоретическое издательство,
Москва — Ленинград, 1934.
[7] J. Lelong-Ferrand, Représentation conforme et transformations a intégrale de Di-
richlet bornée. Gauthier–Villars, Paris, 1955.
[8] Г. Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений. СО АН
СССР, Новосибирск, 1965.
[9] Г. Д. Суворов, Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отобра-
жений. Киев: Наукова Думка, 1985.
[10] Б. П. Куфарев, Потенциалы и соответствие границ // Изв. АН СССР,
сер. матем., 41 (1977) №2, 438–461.
[11] В. И. Кругликов, Емкости конденсаторов и пространственные отображе-
ния, квазиконформные в среднем // Матем. сб., 130 (172) (1986), №2, 185–
206.
[12] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, BMO-quasiconformal mappings
and Q-homeomorphisms in space. Prep. 288, Dept. Math. of Helsinki Univ., 2001,
24 pp.
[13] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, To the theory of Q-
homeomorphisms // Dokl. Akad. Nauk, Russia, 381 (2001), №1, 20–22.
372 Относительное расстояние М. А. Лаврентьева...
[14] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On the boundary behavior of
Q-homeomorphisms. Prep. 318, Dept. Math. of Helsinki Univ., 2002, 12 pp.
[15] Ю. Г. Решетняк, Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Совре-
менные проблемы математики. Фундаментальные направления Итоги нау-
ки и техники, ВИНИТИ, М.: 70 (1989), 8–189.
[16] T. Toro, Surfaces with generalized second fundamental form in L2 are Lipschitz
manifolds // J. Differential Geometry, 39 (1994), 65–101.
[17] S. Müller, V. Sverák, On surfaces of finite total curvature // J. Differential
Geometry, 42 (1995), 229–258.
[18] И. М. Грудский, Построение внутренних координат на составных римано-
вых поверхностях. В сб. : "Дифференциальные, интегральные уравнения и
комплексный анализ", изд-во Калмыцкого ун-та, Элиста, 1986, 30–45.
[19] И. М. Грудский, Формула Кристоффеля - Шварца для полиэдральных по-
верхностей // ДАН СССР, 307 (1989) №1, 15–17.
[20] В. М. Миклюков, Изотермические координаты на поверхностях с особен-
ностями // Матем. сб., 195 (2004), №1, 69–88.
[21] В. П. Луференко, Г. Д. Суворов, О понятии тела простого конца в теории
Каратеодори, Метр. вопр. теории функций и отображений, III, Наукова
Думка, Киев, 1971, 71–79.
[22] V. Gutlyanskii, O. Martio, T. Sugava, M. Vuorinen, On the Degenerate Beltrami
Equation // Reports of the Department of Mathematics, University of Helsinki,
Preprint 282 (2001), 1–32.
[23] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Degenerate Beltrami equation and radial
Q-homeomorphisms, Preprint 369, August 2003, Department of Mathematics,
University of Helsinki.
[24] P. Hajlasz, Sobolev Mappings, Co-area Formula and Related Topics. In book
"Proceedings on Analysis and Geometry", editor S. K. Vodop’yanov, Sobolev
Institute Press, Novosibirsk, 2000, 227–254.
[25] F. W. Gehring, O. Lehto, On the total differentiability of functions of a complex
variable // Ann. Acad. Sci. Fenn. A I, 272 (1959), 9 pp.
[26] G. Alessandrini and V. Nessi, Univalent σ-harmonic mappings // Arch. Ration.
Mech. and Anal., 158 (2001), 155–171.
[27] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. Наука, М.: 1967.
Сведения об авторах
В. М. Миклюков Волгоградский государственный универ-
ситет, 2-я Продольная 30,
Волгоград 400062,
Россия
E-Mail: miklyuk@mail.ru
|