Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем
Предложены конструктивные алгоритмы эллипсоидального оценивания вектора состояния семейств линейных и достаточно широкого класса нелинейных динамических систем при измерениях с ограниченными помехами. Алгоритмы основаны на использовании аппарата опорных функций и аппроксимации в общем случае невыпук...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124760 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем / В.М. Кунцевич, В.В. Волосов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 73-84. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124760 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1247602017-10-05T03:02:42Z Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем Кунцевич, В.М. Волосов, В.В. Системный анализ Предложены конструктивные алгоритмы эллипсоидального оценивания вектора состояния семейств линейных и достаточно широкого класса нелинейных динамических систем при измерениях с ограниченными помехами. Алгоритмы основаны на использовании аппарата опорных функций и аппроксимации в общем случае невыпуклых множеств эллипсоидами. Запропоновано конструктивні алгоритми еліпсоїдального оцінювання вектора стану сімейств лінійних і досить широкого класу нелінійних динамічних систем при вимірюваннях з обмеженими завадами. Алгоритми базуються на використанні апарату опорних функцій і апроксимації у загальному випадку неопуклих множин еліпсоїдами. The constructive algorithms of ellipsoidal estimation of state vector are proposed for the families of linear dynamic systems and a wide range of nonlinear systems under bounded disturbances. The algorithms are based on the use of support functions and approximation of generally non-convex set estimates by ellipsoids 2015 Article Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем / В.М. Кунцевич, В.В. Волосов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 73-84. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124760 621.391 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Кунцевич, В.М. Волосов, В.В. Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем Кибернетика и системный анализ |
| description |
Предложены конструктивные алгоритмы эллипсоидального оценивания вектора состояния семейств линейных и достаточно широкого класса нелинейных динамических систем при измерениях с ограниченными помехами. Алгоритмы основаны на использовании аппарата опорных функций и аппроксимации в общем случае невыпуклых множеств эллипсоидами. |
| format |
Article |
| author |
Кунцевич, В.М. Волосов, В.В. |
| author_facet |
Кунцевич, В.М. Волосов, В.В. |
| author_sort |
Кунцевич, В.М. |
| title |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| title_short |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| title_full |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| title_fullStr |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| title_sort |
эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124760 |
| citation_txt |
Эллипсоидальные и интервальные оценки вектора состояния семейств линейных и нелинейных дискретных динамических систем / В.М. Кунцевич, В.В. Волосов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 73-84. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kuncevičvm éllipsoidalʹnyeiintervalʹnyeocenkivektorasostoâniâsemejstvlinejnyhinelinejnyhdiskretnyhdinamičeskihsistem AT volosovvv éllipsoidalʹnyeiintervalʹnyeocenkivektorasostoâniâsemejstvlinejnyhinelinejnyhdiskretnyhdinamičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-09T01:59:34Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:59:34Z |
| _version_ |
1837132808598847488 |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.391
Â.Ì. ÊÓÍÖÅÂÈ×, Â.Â. ÂÎËÎÑÎÂ
ÝËËÈÏÑÎÈÄÀËÜÍÛÅ È ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ
ÂÅÊÒÎÐÀ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÑÅÌÅÉÑÒ ËÈÍÅÉÍÛÕ
È ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ1
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíû êîíñòðóêòèâíûå àëãîðèòìû ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ âåê-
òîðà ñîñòîÿíèÿ ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ è äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà íåëèíåéíûõ äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì ïðè èçìåðåíèÿõ ñ îãðàíè÷åííûìè ïîìåõàìè. Àëãîðèòìû îñíîâàíû íà èñ-
ïîëüçîâàíèè àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé è àïïðîêñèìàöèè â îáùåì ñëó÷àå íåâûïóêëûõ
ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, íåëèíåéíîñòü, íåîïðåäåëåííîñòü, ïîìåõè èçìå-
ðåíèé, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ, ðîáàñòíûå ìåòîäû ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îïðåäåëåíèå îöåíêè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ïðè èçìåðåíèè åãî ïðè íàëè÷èè ïîìåõ — íåîáõîäèìûé ýòàï ðåàëèçàöèè òîãî
èëè èíîãî àëãîðèòìà óïðàâëåíèÿ èìè.  ñèëó ðÿäà ïðè÷èí äëÿ îöåíêè âåêòî-
ðà ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè èçìåðåíèÿõ ñ îãðàíè÷åííû-
ìè ïîìåõàìè â íàñòîÿùåå âðåìÿ áëàãîäàðÿ ðàáîòàì À.Á. Êóðæàíñêîãî [1, 2],
F.G. Schweppe [3], Ô.Ë. ×åðíîóñüêî [4, 5] è äðóãèõ àâòîðîâ íàèáîëüøåå ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ðàç-
ëè÷íûå êðèòåðèè âûáîðà àïïðîêñèìèðóþùèõ ýëëèïñîèäîâ, òàêèå êàê ìèíè-
ìóì îáúåìà ýëëèïñîèäà, ñëåä åãî ìàòðèöû è ò.ä.
Ñëîæíåå îáñòîèò äåëî ñ îïðåäåëåíèåì îöåíîê âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íåëèíåé-
íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè èçìåðåíèè åãî â óñëîâèÿõ íàëè÷èÿ îãðàíè÷åííûõ
ïîìåõ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ â íåìíîãèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå ýòîé
ïðîáëåìû äëÿ íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ôóíêöèé, â ÷àñòíîñ-
òè êâàäðàòè÷íûõ (ñì., íàïðèìåð, [6]).
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííîå îáîáùåíèå è äàëüíåéøåå ðàçâè-
òèå îáùåé ñõåìû îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íåëèíåé-
íûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì, èçëîæåííîé â [7], è ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ýë-
ëèïñîèäàëüíûõ è èíòåðâàëüíûõ îöåíîê ìèíèìàëüíîãî îáúåìà äëÿ ñåìåéñòâ ëèíåé-
íûõ è äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà ñåìåéñòâ íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
1. ÎÖÅÍÊÈ ÂÅÊÒÎÐÀ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÑÅÌÅÉÑÒ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Çàäàíî óðàâíåíèå ñåìåéñòâà äèñêðåòíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì
X AX BUn n n� � �1 , n � 0 1 2, , ,� , (1)
ãäå X n
m�R , X x x xn n n m n� ( , , , ), , ,1 2 �
T — âåêòîð ôàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ;
U n
k�R — âåêòîð óïðàâëåíèÿ; A — m m� -ìàòðèöà, äëÿ âåêòîðîâ-ñòðîê Ai
T
êîòîðîé çàäàíû èõ îöåíêè A i
A i mi i
T � �A , ,1 . (2)
Çäåñü A i — çàäàííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî; B — çàäàííàÿ m k� -ìàòðèöà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 73
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Öåëåâîé Êîìïëåêñíîé ïðîãðàììû ÍÀÍ Óêðàèíû
ïî íàó÷íûì êîñìè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿì íà 2012–2016 ãã.
© Â.Ì. Êóíöåâè÷, Â.Â. Âîëîñîâ, 2015
Èç (2) ñëåäóåò îöåíêà ìàòðèöû A
A m� � � � �A A A A1 2 � . (3)
Ïðèìåì, ÷òî äëÿ âåêòîðà X n çàäàíà åãî ýëëèïñîèäàëüíàÿ îöåíêà
X E X H X X X Hn n n n
m
n n� � � � �E R[ � , ] : ( , � , ){ }� 1 , (4)
ãäå �( , � , ) ( � ) ( � )X X H X X H X Xn n n n n� � ��T 1 , �X n — öåíòð ýëëèïñîèäà è H n —
ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ m m� -ìàòðèöà H Hn n
T � � 0 .
Çàäàíî óðàâíåíèå èçìåðåíèÿ
y h X zn n n� �T , n � 0 1 2, , ,� , (5)
ãäå yn — ñêàëÿðíûé èçìåðÿåìûé âûõîä ñèñòåìû, h — èçâåñòíûé âåêòîð
|| ||h 0 , zn — ïîìåõà èçìåðåíèÿ, äëÿ êîòîðîé çàäàíà îöåíêà
z z zn � � �z { }:| |
. (6)
Çäåñü
— àïðèîðíî çàäàííûé óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè ïîìåõ èçìåðåíèé.
Ñòàâèòñÿ çàäà÷à: ïî ãàðàíòèðîâàííîé îöåíêå
X X h X yn n
m
n� � �� � � � �1 1 1S R{ }T: | |
(7)
ìíîæåñòâà âåêòîðà ñîñòîÿíèé, ñîâìåñòèìûõ ñ ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèé yn�1,
è ìíîæåñòâó X n�1 ïðîãíîçíûõ îöåíîê
X AX BUn n
X
A
n n
n n
� �
�
�
� � �1 1X
E
A
� ( ) (8)
îïðåäåëèòü ãàðàíòèðîâàííóþ àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó
X n n n n� � � �� �1 1 1 1X X S� . (9)
Îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà X n�1 ñîïðÿæåíî, ïðåæäå âñåãî, ñ òðóäíîïðåîäîëèìû-
ìè ñëîæíîñòÿìè âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà, ïîðîæäàåìûìè ïðîáëåìàìè ïîñòðîå-
íèÿ ìíîæåñòâà X n�1 ïî ñîîòíîøåíèþ (8). Åñëè îöåíêà X n n�X , ãäå X n — ýëëèï-
ñîèäàëüíîå ìíîæåñòâî En âèäà (4), íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìîå â òàêîãî ðîäà èñ-
ñëåäîâàíèÿõ, òî ïðè ýòîì ìíîæåñòâî X n�1, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïóêëîå ìíîæåñòâî
äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ñòðóêòóðû. Åãî îïðåäåëåíèå ìîæåò ïîòðåáîâàòü áîëüøèõ âû-
÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò (ñì., íàïðèìåð, [8–10]), ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ â ðåæèìå «on line»
âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ çàòðóäíèòåëüíà. Íî äàæå åñëè ìíîæåñòâî X n�1 îïðåäåëåíî, òî
òðóäíîñòè âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà, ñâÿçàííûå ñ ðåàëèçàöèåé îïåðàöèè ïåðåñå÷å-
íèÿ ìíîæåñòâ X n�1 è ãèïåðïîëîñû (ñëîÿ) S Rn
m
� �1 , îñòàþòñÿ. Îäíèì èç âîçìîæ-
íûõ ñïîñîáîâ èõ ïðåîäîëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ìíîæåñòâà X n�1 ýëëèïñîè-
äîì, íî ýòà çàäà÷à íå ìåíåå ñëîæíàÿ, ÷åì îïðåäåëåíèå ñàìîãî ìíîæåñòâà X n�1.
Òî÷íîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà X n�1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðóäíóþ çàäà÷ó è ñâÿ-
çàíî ñ áîëüøèì îáúåìîì âû÷èñëåíèé. Íî äàæå åñëè ýòà çàäà÷à ðåøåíà, òî òàê êàê â
îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî X n�1, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïóêëîå, òî îíî «íåóäîáíî» äëÿ
äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ. Ïîýòîìó, îòêàçàâøèñü îò òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ìíî-
æåñòâà X n�1, ïîñòàâèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ åãî îöåíêè ñâåðõó â êëàññå ýëëèïñîè-
äàëüíûõ ìíîæåñòâ, â êàêîì-ëèáî ñìûñëå îïòèìàëüíûõ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîò-
ðåíèå èíòåðâàëüíûå ìíîæåñòâà [11], íàçûâàåìûå òàêæå ïàðàëëåëîòîïàìè [12, 13],
x i n i i n i i nx x x x i m, , ,: ; ,� � �� � � �1 1 1 1{ } , (10)
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
ãäå
x B U i mi n i n i n, , , ,� �� � �1 1 1� T ; x B U i mi n i n i n, , , ,� �� � �1 1 1� T ; (11)
� i n
X
A
i n
n n
i i
A X, min�
�
�
�1
E
AT
{ }T , � i n
X
A
i n
n n
i i
A X i m, max , ,�
�
�
� �1 1
E
AT
{ }T ; (12)
Bi
T — i-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû B.
Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà x i n i m, , ,� �1 1 , — ïðîåêöèè ìíîæåñòâà X n�1 íà ñî-
îòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòíûå îñè Oxi .
Óòâåðæäåíèå 1. Ìíîæåñòâî
� � � �� � �X x xn n m n1 1 1 1, ,� , (13)
îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèÿìè (10)–(13), åñòü èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ñâåðõó ìè-
íèìàëüíîãî îáúåìà ìíîæåñòâà ïðîãíîçíûõ îöåíîê X Xn n� �� �1 1.
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ 1 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñïîñîáà åãî
ïîñòðîåíèÿ.
Ïîëó÷èì êîíñòðóêòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñ-
òâà � �X n 1. Òàê êàê ôóíêöèè � i i nA X� T áèëèíåéíûå, à îãðàíè÷åíèÿ A i i m, ,�1 ,
âûïóêëûå, òî îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è (12) îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí � i n, �1 è � i n, �1
ÿâëÿþòñÿ êîìáèíàòîðíûìè çàäà÷àìè îïðåäåëåíèÿ (ïåðåáîðîì ïî i m�1, ) ýêñòðå-
ìóìîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ïðè âûïóêëûõ êâàäðàòè÷íûõ îãðàíè÷åíèÿõ (4).
Ïóñòü äëÿ êàæäîãî èç êîìïîíåíòîâ âåêòîðîâ-ñòðîê A a a ai i i im
T � ( , , , )1 2 � ,
i m�1, , ìàòðèöû A çàäàíû èíòåðâàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ a a a s mis is is� � �, ,1 , íà
èõ âîçìîæíûå ðåàëèçàöèè. Òîãäà Ai i�A , i m�1, , ãäå ìíîæåñòâà A i — èíòåð-
âàëüíûå ìíîæåñòâà, «îðèåíòèðîâàííûå» ïî êîîðäèíàòíûì îñÿì è èìåþùèå ÷èñ-
ëî âåðøèí N m� 2 , âåêòîðû êîîðäèíàò êîòîðûõ Ais îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè îãðàíè÷åíèÿìè a isè ais. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâà A i è ñîîòíîøåíèÿ (12) ìîãóò
áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
A i
s
is
m
A i m� �
�
conv { }
1 2
1
,
, , , (14)
� i n
X
s
is n
n n
m
A X,
,
min�
�
�
�1
1 2
E
{ }T , � i n
X
s
is n
n n
m
A X i m,
,
max , ,�
�
�
� �1
1 2
1
E
{ }T . (15)
Ýòè çàäà÷è ïðè ôèêñèðîâàííîì âåêòîðå Ais è ìíîæåñòâå-ýëëèïñîèäå En â ñî-
îòíîøåíèè (4) àíàëîãè÷íû çàäà÷àì îïðåäåëåíèÿ îïîðíûõ ôóíêöèé âûïóêëûõ
ìíîæåñòâ [14] è èìåþò àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ [4, 15]:
�
�
i s is n is n is
i s is
n A X A H A i m
n A X
,
,
( ) � , , ,
( ) �
� � � �
� �
1 1
1
T T
T
n is n isA H A i m� �T , , .1
(16)
Òàê êàê ðàçìåðíîñòü m â (16) íåâåëèêà, ìåòîäîì ïîëíîãî ïåðåáîðà âñåõ âàðè-
àíòîâ íàõîäèì âåëè÷èíû
� �i n
s
i s
m
n,
,
,min ( )�
�
� �1
1 2
1 , � �i n
s
i s
m
n i m,
,
,max ( ), ,�
�
� � �1
1 2
1 1 , (17)
è ñ ó÷åòîì ôîðìóë (10)–(13) — èñêîìûå ãðàíèöû x i n, �1 è xi n, �1 èíòåðâàëîâ
x i n, �1.  èòîãå ïîëó÷àåì èíòåðâàëüíóþ îöåíêó ñâåðõó � �X n 1 ïðîãíîçíîãî ìíî-
æåñòâà X Xn n� �� �1 1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 75
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âìåñòî ïðîãíîçíîãî ìíîæåñòâà X n�1 åãî îöåíêè ñâåðõó —
èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � � � �� � � �X xn n i n i nX x i m1 1 1 1{ : }, 1 , , , — îïåðàöèÿ ïå-
ðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ (9) çàìåíÿåòñÿ îïåðàöèåé ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ � �X n 1 è Sn�1,
â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ êîòîðîé ïî àïðèîðíîé îöåíêå X n n n� �X E ïîëó÷àåì
àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ
X n n n� � �� �1 1 1X S� . (18)
Ðåàëèçàöèÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ (18) «õîðîøèõ» ìíîæåñòâ — èíòåðâàëüíîãî
ìíîæåñòâà-ïàðàëëåëîòîïà � �X n 1 è ãèïåðïîëîñû Sn�1 — âåñüìà òðóäîåìêà è, ÷òî
òàêæå ñóùåñòâåííî, â ðåçóëüòàòå åå âûïîëíåíèÿ ïîëó÷àåì îòëè÷íîå îò èíòåð-
âàëüíîãî «óñå÷åííîå» ìíîæåñòâî ñ âàðüèðóåìûì ÷èñëîì åãî âåðøèí N , ãäå
m N m� � �1 2 , «íåóäîáíîå» äëÿ äàëüíåéøåãî åãî èñïîëüçîâàíèÿ.
Ãðîìîçäêîñòü âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà
� �X n 1 ñ ãèïåðïîëîñîé Sn�1 è ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèè ïîëó÷åííîãî «íå-
óäîáíîãî» ìíîæåñòâà èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì äåëàåò öåëåñîîáðàçíûì èñ-
ïîëüçîâàíèå ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ñâåðõó èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà
� �X n 1. Ýòî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïîëó÷åíèå îêîí÷àòåëüíîé àïîñòå-
ðèîðíîé îöåíêè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â êëàññå ýëëèïñîè-
äàëüíûõ ìíîæåñòâ. Òàê êàê çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñîèäà, îïèñàííîãî âîêðóã
èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � �X n 1, èìååò íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî ñòàâèòñÿ çà-
äà÷à: íàéòè ýëëèïñîèä ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âèäà (4), àïïðîêñèìèðóþùèé èí-
òåðâàëüíîå ìíîæåñòâî � �X n 1, çàäàííîå ñîîòíîøåíèÿìè (10)–(17), ïðè ýëëèïñîè-
äàëüíîé îöåíêå âåêòîðà X n n�E .
2. ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÉ ÝËËÈÏÑÎÈÄ, ÎÏÈÑÀÍÍÛÉ
ÂÎÊÐÓÃ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
Äëÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � �X n 1 ââåäåì òàêèå åãî õàðàêòåðèñòèêè:
~ . ( ), , ,x x xi n i n i n� � �� �1 1 10 5 è � i n i n i nx x i m, , ,. ( ), ,� � �� � �1 1 10 5 1 . (19)
Ôîðìóëû (19) îïðåäåëÿþò öåíòð ïàðàëëåëîòîïà � �X n 1 è ïîëîâèíû äëèí åãî
ðåáåð. Áóäåì èñêàòü àïïðîêñèìèðóþùèé ýëëèïñîèä
~
En�1 â âèäå
~
[
~
,
~
] : ( ,
~
,
~
)E Rn n n
m
n nE X H X X X H� � �� � � �1 1 1 1{ }� , (20)
ãäå �( ,
~
, ) (
~
)
~
(
~
)X X H X X H X Xn n n n n� � �� �
�
�1 1
1
1
T ,
~
(~ , ~ , , ~ ), , ,X x x xn i n n m n� � � ��1 1 1 2 1 1
T
� —
öåíòð ýëëèïñîèäà è ìàòðèöà
~ ~
,
~
, ,
~
, , ,H h h hn n n mm n� � � ��1 11 1 22 1 1diag { }�
~
,hii n� �1 0
�i m1, .
Íàëîæèì òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü ýëëèïñîèäà ïðîõîäèëà ÷åðåç âñå
âåðøèíû ïàðàëëåëîòîïà � �X n 1. Â ñèëó ñèììåòðèè ýòî òðåáîâàíèå áóäåò âûïîë-
íÿòüñÿ, åñëè ïîâåðõíîñòü áóäåò ïðîõîäèòü, íàïðèìåð, ÷åðåç âåðøèíó ñ êîîðäèíà-
òàìè X x x
M n n m n, , ,( , , )
� � ��
1 1 1 1
T
� . Ýòî óñëîâèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
(
~
)
~
(
~
)X X H X XM M� � ��T 1 1. (21)
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñåé òåêóùèé èíäåêñ n çäåñü è âñþäó äàëåå, ãäå ýòî íå ìî-
æåò ïðèâåñòè ê èõ íåîäíîçíà÷íîìó ïîíèìàíèþ, îïóùåí. Ïîäñòàâèâ â (21) îïðå-
äåëåííûå âûøå çíà÷åíèÿ
~
,
~
X H è X M , ïîëó÷èì óðàâíåíèå
� � �1
2
11
2
2
22
2
1~ ~ ~
h h h
m
mm
� � � �� . (22)
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
Êàê èçâåñòíî [4], ìíîãîìåðíûé îáúåì ýëëèïñîèäà âèäà (20) ïðîïîðöèîíàëåí
êâàäðàòíîìó êîðíþ èç det
~
H ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, çàâèñÿ-
ùèì îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Ïîýòîìó áóäåì èñêàòü àïïðîêñèìèðóþùèé
ýëëèïñîèä èç îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è: min det
~
min
~ ~ ~
H h h hmm� 11 22 � ïðè îãðà-
íè÷åíèè (22). Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà [16] èìååò âèä
L h h h
h h h
mm
m
mm
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
~ ~ ~
~ ~ ~11 22
1
2
11
2
2
22
2
1� ��
� � � �
�
,
ãäå � — íåîïðåäåëåííûé ìíîæèòåëü. Äèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïî
~
, ,h i mii �1 , ïðèðàâíèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå íóëþ è îïóñêàÿ ïðî-
ìåæóòî÷íûå âûêëàäêè, íàõîäèì
~ ~
,
~ ~
, ,
~ ~
h h h h h hmm
m
22
2
2
1
2 11 33
3
2
1
2 11
2
1
2 11� � �
�
�
�
�
�
�
� . (23)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ
~
, ,h i mii � 2 , èç (23) â óðàâíåíèå îãðàíè÷åíèé (22), íà-
õîäèì
~
h m11 1
2� � . Â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè
~
h m11 1
2� � â (23) äëÿ ýëåìåíòîâ ìàò-
ðèöû
~
H n�1 îïòèìàëüíîãî àïïðîêñèìèðóþùåãî ýëëèïñîèäà ïîëó÷àåì
~
,
~
, ,
~
h m h m h mmm m11 1
2
22 2
2 2� � �� � �� . (24)
Ôîðìóëû (19), (20) è (24), îïðåäåëÿþùèå öåíòð
~
(~ , ~ , , ~ ), , ,X x x x
n i n n m n� � � ��
1 1 1 2 1 1
T
�
è ìàòðèöó
~
, , ,
, , ,
H mn n n m n� � � �
�1 1 1
2
2 1
2
1
2diag{ }� � �� , ðåøàþò ïîñòàâëåííóþ çà-
äà÷ó ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ýëëèïñîèäà
~
En�1 âèäà (20), àïïðîêñèìèðóþùå-
ãî (ñîäåðæàùåãî) èíòåðâàëüíîå ìíîæåñòâî � �X n 1. Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ âûøå
îáîçíà÷åíèé ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 2. Öåíòð
~
X n�1 è ìàòðèöà
~
H n�1 ýëëèïñîèäà ìèíèìàëüíîãî
îáúåìà
~
[
~
,
~
]En n nE X H� � ��1 1 1 (20), àïïðîêñèìèðóþùåãî èíòåðâàëüíîå ìíîæåñò-
âî � �X n 1 (12) îöåíêè ñâåðõó ìíîæåñòâà ïðîãíîçíûõ çíà÷åíèé X Xn n� �� �1 1 âåê-
òîðîâ ñîñòîÿíèÿ A-ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì (1) A �A , äëÿ
A A A A� � � �1 2 � m (3) ïðè X n n�E , ãäå En n nE X H� [ � , ] — ýëëèïñîèä (4),
èìåþò âèä
~
, ( ), ( ), , (, , , , ,X x x x x xn n i n n n m n� � � � � �� � �1 1 1 1 2 1 2 10 5{ � 1 1� �x m n, )}, (25)
~
( ) , ( ) , , (, , , ,H
m
x x x xn n i n n n� � � � �� � �1 1 1 1
2
2 1 2 1
2
4
diag{ � x xm n m n, , )� ��1 1
2 }. (26)
Óòâåðæäåíèå 2 ðåøàåò çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñîèäà ìèíèìàëüíîãî îáúåìà
~
En�1, àïïðîêñèìèðóþùåãî èíòåðâàëüíîå ìíîæåñòâî � �X n 1 îöåíêè ïðîãíîçíûõ
ñîñòîÿíèé ñåìåéñòâà ñèñòåì (1) â ( )n �1 -é ìîìåíò âðåìåíè äëÿ X n n�E . Èíûìè
ñëîâàìè, äàåò ýëëèïñîèäàëüíóþ îöåíêó ñâåðõó
~
En�1 îòîáðàæåíèé ñåìåéñòâîì
ñèñòåì (1) ýëëèïñîèäà En . Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîå âûïîëíåíèå óêàçàí-
íûõ îòîáðàæåíèé áåç âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ìíîæåñòâàìè
Sn�1èç (7) îïðåäåëèò ïîñòðîåíèå äèñêðåòíûõ àíàëîãîâ ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè
èëè èíòåãðàëüíûõ âîðîíîê [17].
Ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäîâ
~
En�1 ñ ìíîæåñòâàìè Sn�1, ñîâìåñòèìûìè ñ ðå-
çóëüòàòàìè èçìåðåíèé, ìîãóò èìåòü âèä ýëëèïñîèäàëüíîãî ñåãìåíòà èëè ñëîÿ [4].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 77
Àëãîðèòìàì ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñîèäîâ, ñîäåðæàùèõ ýòè ïåðåñå÷åíèÿ
E E Sn n n� � ��1 1 1
~
� è îïòèìàëüíûõ ïî êðèòåðèÿì îáúåìà, ñëåäà ìàòðèöû è äðóãèì
êðèòåðèÿì, ïîñâÿùåíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî ðàáîò (ñì., íàïðèìåð [4, 15, 18, 19]
è áèáëèîãðàôèþ â íèõ). Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì (1) ïðè âûïîë-
íåíèè àïðèîðíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ X E X Hn n n n� �E [ � , ] ãàðàíòèðîâàííî âûïîëíÿ-
þòñÿ âêëþ÷åíèÿ-îöåíêè X E X Hn n n n� � � �� �1 1 1 1E [ � , ] . Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè,
çàìåòèì, ÷òî îáùàÿ ñòðóêòóðà óêàçàííûõ àëãîðèòìîâ èìååò âèä
� (
~
,
~
, , , , )X X H y p qn n n n� � � ��1 1 1 1�
, (27)
H X H y p qn n n n� � ��1 1 1�
(
~
,
~
, , , , ) , (28)
ãäå yn�1 — ðåçóëüòàò èçìåðåíèé (5) â ìîìåíò äèñêðåòíîãî âðåìåíè n �1,
, p
è q — àïðèîðíî çàäàííûå îãðàíè÷åíèÿ íà èíòåíñèâíîñòü ïîìåõ èçìåðå-
íèÿ (6), âåêòîðû ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ (27), (28) è ìàòåìàòè÷åñ-
êîé ìîäåëè îáúåêòà óïðàâëåíèÿ (1). Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ �X 0 è H 0 ïðåäïîëà-
ãàþòñÿ àïðèîðíî çàäàííûìè è òàêèìè, ÷òî íåèçâåñòíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ
X n0 � �E � E X H[ � , ]0 0 . Öåíòðû
~
X n�1 è
~
H n�1 ìàòðèöû ýëëèïñîèäîâ âû÷èñëÿþò-
ñÿ ïî ïðèâåäåííîé âûøå ñõåìå ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (25), (26). Ôóíêöèè �( )�
è �( )� îïðåäåëÿåòñÿ êîíêðåòíî âûáðàííûì àëãîðèòìîì îöåíèâàíèÿ èç [4, 15, 18].
Îäíàêî ïðàêòèêà ïðèìåíåíèÿ ýòèõ àëãîðèòìîâ äëÿ îöåíèâàíèÿ âåêòîðîâ ñî-
ñòîÿíèÿ è èäåíòèôèêàöèÿ âûÿâèëà ðÿä èõ íåäîñòàòêîâ, â ÷àñòíîñòè, îêàçàëèñü ÷ó-
âñòâèòåëüíûìè ê âû÷èñëèòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì. Åñëè ïåðåñå÷åíèå
D E Sn n n� � �� �1 1 1
~
ýëëèïñîèäà ïðîãíîçíûõ îöåíîê ñ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé, ñî-
âìåñòèìûõ ñ ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèé, îêàæåòñÿ «ìàëûì», òî â ðåçóëüòàòå âû÷èñëè-
òåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ìàòðèöà H n�1, âû÷èñëåííàÿ ïî ôîðìóëå (28)
ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà èç [4, 15, 18], ìîæåò íå áûòü ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå-
ëåííîé. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ îöåíèâàåìîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ X n�1 äîëæíî èìåòü
ìåñòî âêëþ÷åíèå X n n� ��1 1D .  ñèëó âû÷èñëèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ìîæåò îêà-
çàòüñÿ, ÷òî Dn�1 áóäåò ïóñòûì ìíîæåñòâîì Dn� � �1 . Ê ïîÿâëåíèþ ïóñòîãî ïåðå-
ñå÷åíèÿ ìîæåò ïðèâåñòè è ñáîé â èçìåðåíèÿõ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè «n» íàðóøèòñÿ àïðèîðíîå ïðåäïîëîæåíèå (6) î ñâîéñòâàõ ïî-
ìåõ — îêàæåòñÿ, ÷òî | |zn �
. Ïîÿâëåíèå ìàëîãî èëè ïóñòîãî ïåðåñå÷åíèÿ
Dn� � �1 ìîæåò áûòü âûçâàíî è íàðóøåíèåì àïðèîðíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì,
÷òî íåèçâåñòíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ X E X H0 0 0� [ � , ], ãäå E X H[ � , ]0 0 — çàäàâàåìûé
äëÿ ðàáîòû àëãîðèòìîâ (27), (28) íà÷àëüíûé ýëëèïñîèä.
Äëÿ óñòðàíåíèÿ ïåðå÷èñëåííûõ íåäîñòàòêîâ â ñåðèè ðàáîò [19–22] ïðåäëîæåíû
ðîáàñòíûå ìåòîäû ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ èëè ïàðàìåòðîâ
äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì íå÷ó-
âñòâèòåëüíîñòè (ðîáàñòíîñòè) ê âû÷èñëèòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì è íàðóøåíèþ ïåðå-
÷èñëåííûõ àïðèîðíûõ ïðåäïîëîæåíèé. Ýòè ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþò ïîíÿòèþ ãðó-
áîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ââåäåííîìó àêàäåìèêàìè À.À. Àíäðîíîâûì è
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíûì â [23]. Ìîäèôèêàöèÿ íåêîòîðûõ èç âûøåíàçâàííûõ óêàçàííûõ
ðîáàñòíûõ ìåòîäîâ ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [24].
Îáùàÿ ñõåìà ïîëó÷åíèÿ ïåðå÷èñëåííûõ ðîáàñòíûõ ìåòîäîâ ýëëèïñîèäàëü-
íîãî îöåíèâàíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòàÿ è â ÿâíîì èëè íåÿâíîì âèäå çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì.  èñïîëüçóåìûõ çäåñü îáîçíà÷åíèÿõ ïðè êàæäîì n � 0 1, ,� âû÷èñ-
ëÿåòñÿ «â ìåòðèêå ýëëèïñîèäà»
~
[
~
,
~
]En n nE X H� � ��1 1 1 ðàññòîÿíèå � n�1 îò åãî
öåíòðà
~
X n�1 äî ìíîæåñòâà Sn�1. Ýòî ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ èç ïðîñòîé
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è
� �n
X
n n
n
X X H�
�
� ��
�
1 1 1
1
min ( ,
~
,
~
)
S
, (29)
ðåøåíèå êîòîðîé ïîëó÷åíî â [20] è èìååò âèä
�
n
n
n n n
y
y y
�
�
�
�
� �
�
� �
� �1
1
1
2
1
2
1
0 0ïðè
ïðè
| ~ | ,
(| ~ | ) | ~ |
�
�
�
� 0,
(30)
ãäå
n n n n nh H h y y h X
� � � � �� � �
1
2
1 1 1 1
T T~
, ~ ~
. Èç ðèñ. 1 è ôîðìóëû (20) íåïîñðåä-
ñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåñå÷å-
íèå Dn� �1 ( íà ðèñóíêå ýòî
çàøòðèõîâàííàÿ îáëàñòü) ïðè
0 11� ��� n è Dn� � �1 ïðè
� n� �1 1. Ïðè «ìàëîì» ïåðåñå÷å-
íèè, ò.å. ïðè � �n n� �� �1 11 1, ,
âñëåäñòâèå êîìïüþòåðíûõ âû-
÷èñëèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ìî-
æåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ìàòðèöà
H n�1, âû÷èñëåííàÿ ïî ñîîòâåò-
ñòâóþùèì âûøåóêàçàííûì àëãî-
ðèòìàì, íå áóäåò ïîëîæèòåëü-
íî-îïðåäåëåííîé. Ïîýòîìó, åñëè
âû÷èñëåííîå ïî ôîðìóëàì (30)
çíà÷åíèå �
n� �1 , ãäå
—
ïàðàìåòð àëãîðèòìîâ âèäà (27), (28), â ïîñëåäíèõ âìåñòî ìàòðèöû
~
H n�1 èñïîëüçóåò-
ñÿ ìàòðèöà � n nH� �1 1
~
. Âåëè÷èíà � n�1 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàññòîÿíèÿ � n�1,
� � �n n� �� �1 1 1( ) . Ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò «ðàñøèðåíèå» èñõîäíîãî ýëëèïñîèäà
~
En�1. Ðàñøèðåííûé ýëëèïñîèä èçîáðàæåí íà ðèñ. 1 òîíêîé ëèíèåé. Âûáîðîì ïà-
ðàìåòðà àëãîðèòìà
è ôóíêöèè � � �n n� ��1 1( ) óñòðàíÿåòñÿ êðèòè÷åñêîå âëèÿ-
íèå âû÷èñëèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé è ïîÿâëåíèå ïóñòîãî ïåðåñå÷åíèÿ Dn� � �1 .
3. ÎÖÅÍÊÈ ÂÅÊÒÎÐÀ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÑÅÌÅÉÑÒ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ïóñòü çàäàíî óðàâíåíèå ñåìåéñòâà óïðàâëÿåìûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì
X F X L BUn n n� � �1 ( , ) , (31)
ãäå F X L f X L f X L f X Ln n n m n( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))� 1 2 �
T — íåëèíåéíàÿ âåêòîð-
ôóíêöèÿ X n , ëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò âåêòîðà ïàðàìåòðîâ L, òàêàÿ, ÷òî ïðè
X n � 0 èìååì F L( , )0 0� , îáîçíà÷åíèÿ B è U n ñîîòâåòñòâóþò ïðèíÿòûì
â óðàâíåíèè (1). Ôóíêöèè f X L i mi n( , ), ,�1 , ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïóêëûìè.
Ïðèìåì, ÷òî äëÿ âåêòîðà X n çàäàíà åãî ýëëèïñîèäàëüíàÿ îöåíêà (4), à óðàâ-
íåíèå èçìåðåíèé, òàê æå, êàê è âûøå, èìååò âèä (5). Òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó:
ïî îöåíêàì (6), (7) è ïðîãíîçíîé îöåíêå
X F X L BUn n n
X
L
n
n n
� �
�
�
� � �1 1X
E
L
( , )� , (32)
ãäå
L l ls s
T � � � � �( , , ),1 1 2� �L l l l , l i i i i il l l l s m i s� � � � �{ }: , , , ,1 (33)
îïðåäåëèòü ãàðàíòèðîâàííóþ àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó
X n n n n� � � �� �1 1 1 1X X S� . (34)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 79
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ðîáàñòíîãî àëãî-
ðèòìà ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ
ýëëèïñîèäà
~
En�1 ñ ãèïåðïîëîñîé S n�1
xm
x1
~xn�1
~
En�1
En�1
�n�1
Sn�1
Òî÷íîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà X n�1, ïîëó÷àåìîãî îïåðàöèåé ïåðåñå÷å-
íèÿ (32), äëÿ øèðîêîãî êëàññà âåêòîð-ôóíêöèé F ( )� — òðóäíîðàçðåøèìàÿ çàäà-
÷à. Ïîýòîìó àïïðîêñèìèðóåì ìíîæåñòâî X n�1 èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì ìèíè-
ìàëüíîãî îáúåìà, âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì, ñõåìà êîòîðîãî îïèñàíà âûøå,
� � � �� � �X x xn n m n1 1 1 1, ,� , (35)
ãäå x i n i i n i i n
i n i n i n
x x x x
x B U x
, , ,
, ,
: ,
,
� � �
� �
� � �
� �
1 1 1
1 1
{ }
T� i n i n i nB U i m, , , , ,� �� � �1 1 1� T
(36)
� �i n
X
L
i n i n
X
L
i n
n n n n
f X L f X, ,min ( , ), max (�
�
�
�
�
�
� �1 1
E
L
E
L
, ), ,L i m�1 . (37)
 îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííîé ïðîöåäóðû îïðåäåëåíèÿ èíòåðâàëüíîé îöåíêè ìíî-
æåñòâà, îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèåì (10)–(13), äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí x i n, �1 è
xi n, �1 íåîáõîäèìî ðåøàòü çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìîâ íåëèíåéíûõ ôóíêöèé.
Ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé, çàäà÷è
(37) èìåþò àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, íî â îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîãóò áûòü
îïðåäåëåíû ëèøü ñ ïîìîùüþ ñóùåñòâóþùèõ ñòàíäàðòíûõ ïàêåòîâ îïòèìèçàöèè.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè èíòåðâàëüíîé àïïðîêñèìàöèè � �X n 1 ìíîæåñòâà X n�1
îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ (34) çàìåíÿåòñÿ îïåðàöèåé
X n n n n� � � �� � �1 1 1 1X X S
�
� ,
(38)
â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ êîòîðîé ïîëó÷àåì àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó X
�
n�1.
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ðåàëèçàöèÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ (38) âåñü-
ìà òðóäîåìêà è, ÷òî òàêæå ñóùåñòâåííî, â ðåçóëüòàòå åå âûïîëíåíèÿ ïîëó÷àåì
«óñå÷åííîå» èíòåðâàëüíîå ìíîæåñòâî ñ âàðüèðóåìûì ÷èñëîì åãî âåðøèí, «íå-
óäîáíîå» äëÿ äàëüíåéøåãî åãî èñïîëüçîâàíèÿ. Ãðîìîçäêîñòü âûïîëíåíèÿ îïåðà-
öèè ïåðåñå÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � �X n 1 ñ ãèïåðïîëîñîé Sn�1 è íåîáõîäè-
ìîñòü ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèè ïîëó÷åííîãî ìíîæåñòâà èíòåðâàëüíûì ìíî-
æåñòâîì îïðàâäûâàåò èñïîëüçîâàíèå ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè
èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � �X n 1, ïîçâîëÿþùåé ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïîëó÷åíèå
îêîí÷àòåëüíîé àïîñòåðèîðíîé ýëëèïñîèäàëüíîé îöåíêè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íåëè-
íåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïðîöåäóðà îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñîèäà
~
En�1 ìèíè-
ìàëüíîãî îáúåìà, îïèñàííîãî âîêðóã èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà, ïîäðîáíî ïðèâå-
äåíà âûøå. Òîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ àïîñòåðèîðíîé îöåíêè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ X n�1
âìåñòî îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ (38) ñëåäóåò âûïîëíèòü îïåðàöèþ
X n n n n� � � �� �1 1 1 1X E S
~
� , (39)
àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè êîòîðîé, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, èçëîæåíû â [19–22].
 ïðèëîæåíèÿõ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ âèä íåëèíåéíûõ ôóíêöèé f X Li n( , ) íåèç-
âåñòåí, äëÿ íèõ èçâåñòíû ëèøü òå èëè èíûå èõ àïðèîðíûå îöåíêè. Â ñâÿçè ñ ýòèì
ðàññìîòðèì îöåíêè íåëèíåéíûõ («ñåêòîðèàëüíûõ») ôóíêöèé, êîòîðûå, íà÷èíàÿ
ñ ðàáîòû À.È. Ëóðüå è Â.Í. Ïîñòíèêîâà [25], øèðîêî èñïîëüçîâàëèñü ïðè àíàëè-
çå íåëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ, à âïîñëåäñòâèè è äèñêðåòíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ.
Èòàê, ðàññìîòðèì ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà f i i n( ),� , êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì
k f k i mi i n i n i i n i i n� � � �, , , ,( ) ; ,2 2 1� � � , (40)
ãäå � i n i nC X, � T , Ci — çàäàííûé âåêòîð.
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
Ïîñòðîåíèå èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà � �X n 1 â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíèì ïî èç-
ëîæåííîé âûøå ñõåìå (ñì. ôîðìóëû (35)–(37)). Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì íåðàâåí-
ñòâà (40) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå
k f ki i i i i i� � �� �( ) , åñëè � i i m� �0 1, , , (41)
k f ki i i i i i� � �� �( ) , åñëè � i i m� �0 1, , . (42)
Ïðè ýòîì ãðàíèöû èíòåðâàëîâ x i n, �1 îïðåäåëÿòñÿ ôîðìóëàìè (36) ïðè
� � � �
�
i n
X
l
i n i n
X
l
i n
i
n n n n
l l, , , ,min , max ,�
�
�
�
�
�
� �1 1
E
L
E
L
, , , , , .n i n i iC X L k k i m� � �T { } 1
(43)
Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (4) è (16) äëÿ ìèíèìóìà � i n, è ìàêñèìóìà � i n, ôóíêöèè
� i n i nC X, � T ïðè X n n�E ïîëó÷àåì
� i n i n i n iC X C H C,
�� �T T , � i n i n i n iC X C H C,
�� �T T . (44)
Èç ôîðìóëû (43) è ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, î÷åâèäíî, ÷òî â çàâèñèìîñòè
îò êîîðäèíàò �X n è ìàòðèöû H n ýëëèïñîèäà En è âåêòîðà Ci çíàêè âåëè÷èí
� i n, è � i n, ìîãóò áûòü êàê îäèíàêîâûå (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå), òàê
è ðàçëè÷íûå. Ïðè ýòîì ñîãëàñíî (43) è (44) èìååì
� � � �
� �
i n
l
i n
l
i n
i n i n
l l, ,
,
min , max ,
, ,
�
�
�
�
�
�
� �
�
1 1
� �
�
L L
{� �i n i n i iL k k i m, ,, , , , , .} { }� �1
(45)
Ãðàíèöû èíòåðâàëîâ x i n, �1 ïîëó÷àåì ñîãëàñíî ôîðìóëå (36) ïðè ïîäñòàíîâêå
â íåå � i n, �1 è � i n, �1 èç (45).
4. ÎÖÅÍÊÈ ÂÅÊÒÎÐÀ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÑÏÅÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÊËÀÑÑÀ
ÑÅÌÅÉÑÒÂ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ðàññìîòðèì øèðîêî èññëåäóåìûé, îñîáåííî â ïðèëîæåíèÿõ, êëàññ íåëèíåéíûõ
ñèñòåì, ñîñòîÿùèé èç ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé ÷àñòåé
X AX F X L BUn n n n� � � �1 ( , ) , (46)
ãäå â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ìàòðèöû A çàäàíà åå îöåíêà (3), B — çàäàííàÿ
m k� -ìàòðèöà, à âåêòîð-ôóíêöèÿ F X Ln( , ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ îãîâîðåííûì
âûøå óñëîâèÿì, ëèíåéíî çàâèñèò îò âåêòîðà ïàðàìåòðîâ L, äëÿ êîòîðîãî çàäà-
íà åãî îöåíêà L �L, ãäå L — âûïóêëîå ìíîæåñòâî.
Äëÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì (1), (3), (46) è îöåíîê (4), (2) ïðè óðàâíåíèÿõ èçìåðå-
íèé (5)–(7) òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó âåêòîðà X n�1. Ýòó çàäà-
÷ó ìîæíî ðåøàòü äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ïåðâûé èç íèõ ñîñòîèò â òîì,
÷òîáû äëÿ âåêòîð-ôóíêöèè AX F X Ln n� ( , ) îïðåäåëÿòü ïðîãíîçíóþ îöåíêó âåê-
òîðà ñîñòîÿíèÿ X n — ìíîæåñòâî X n�1, òî÷íåå ãîâîðÿ, àïïðîêñèìèðóþùåå åãî
ìíîæåñòâî, òàê, êàê ýòî áûëî âûïîëíåíî äëÿ ñèñòåìû (31). Âòîðîé ñïîñîá
ðåøåíèÿ çàäà÷è îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ìíîæåñòâà
X
E
L
n
X
L
n n n
n n
AX F X L BU�
�
�
� � �1 � [ ( , )]
â âèäå ñóììû ìíîæåñòâ ïî Ìèíêîâñêîìó [26]
X X Xn n n� � �� � � ��1 1 1,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 81
ãäå
� � ��
�
�
X
E
A
n
X
A
n n
n n
AX BU1 � , �� ��
�
�
X
E
L
n
X
L
n
n n
F X L1 � ( , ).
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà òîò âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ
îäíîçíà÷íî çàäàííîé è áåç ïîòåðè îáùíîñòè ïîñòîÿííîé. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî
� � �� �X En n1 1 — ýëëèïñîèä âèäà (4)
� � � � � �� � �E Rn
m
n nX X X H1 1 1 1{ }: ( , � , )� ,
ãäå � � � � �� �H AH A X AX BUn n n n n1 1
T, � � [4, 22].
 ñèëó èçëîæåííûõ âûøå ïðè÷èí ìíîæåñòâî �� �X n 1 ñíà÷àëà àïïðîêñèìèðóåì
îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì — èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì âèäà (35), êîòîðîå çà-
òåì àïïðîêñèìèðóåì ýëëèïñîèäîì ìèíèìàëüíîãî îáúåìà
�� � � �� �� �� � �E Rn
m
n nX X X H1 1 1 1{ }: ( , � , )� ,
öåíòð � ���X n 1 è ìàòðèöà ���H n 1 êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (25), (26) ïî
ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëåííûì çíà÷åíèÿì xi n, �1 è x i mi n, , ,� �1 1 . Òîãäà ïðî-
ãíîçíóþ îöåíêó âåêòîðà X n�1 ïîëó÷èì â âèäå ñóììû ïî Ìèíêîâñêîìó äâóõ
ýëëèïñîèäàëüíûõ ìíîæåñòâ
X n n n n� � � �� � � � ��1 1 1 1X E E ,
êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì. Ýòà ñóììà ñîäåðæèòñÿ [3, 4]
â p-ïàðàìåòðè÷åñêîì ñåìåéñòâå ýëëèïñîèäîâ E X Hn n[ � , ]� �1 1 âèäà (4), ãäå
� � �X X Xn n n� � �� � � ��1 1 1,
H p H p Hn n n� �
�
�� � � � � ��1 1
1
11 1( ) ( )
ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà p � 0. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ýòîãî ïàðà-
ìåòðà ïîëó÷àþòñÿ îïòèìàëüíûå ýëëèïñîèäû ïî êðèòåðèþ ìèíèìóìà îïðåäå-
ëèòåëÿ ìàòðèöû H n�1(îáúåìà ýëëèïñîèäà), åå ñëåäà è äð. [3, 4, 18].
Òàê êàê ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîñòàâíàÿ ÷àñòü
� �X n 1 ìíîæåñòâà X n�1 îïðåäåëåíà àíàëèòè÷åñêè, à ïðè ïåðâîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ çà-
äà÷è ñíà÷àëà îíà ïîäâåðãàåòñÿ èíòåðâàëüíîé, à çàòåì — ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñè-
ìàöèè, ïîýòîìó âòîðîé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì.
Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ òîãî îáùåãî ñëó÷àÿ, êîãäà äëÿ ìàòðèöû A
çàäàíà ëèøü åå îöåíêà (3).  ýòîì ñëó÷àå, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, îïðåäåëåíèå
ìíîæåñòâà � �X n 1 îáùåãî âèäà ñîïðÿæåíî ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïîýòî-
ìó åãî íåîáõîäèìî ñíà÷àëà àïïðîêñèìèðîâàòü èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì ìèíè-
ìàëüíîãî îáúåìà è äàëåå àïïðîêñèìèðîâàòü åãî ýëëèïñîèäîì ìèíèìàëüíîãî îáú-
åìà.  ýòîì ñëó÷àå ïðåèìóùåñòâî âòîðîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ïðîãíîçíîé
îöåíêè âåêòîðà X n�1 òåðÿåòñÿ è ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ åãî ïðîãíîçíîé îöåí-
êè ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ îáùåé ñõåìîé ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ïðèìåíåíèåì
âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íà îñíîâå èçâåñòíîé ñõåìû, èñïîëüçóþùåé ïðîãíîçíóþ îöåíêó è ðåçóëüòàò
ïðÿìûõ èçìåðåíèé ñ îãðàíè÷åííûìè ïîìåõàìè, ïîëó÷åíû êîíñòðóêòèâíûå ðå-
øåíèÿ çàäà÷ âîññòàíîâëåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ è äîñòà-
òî÷íî øèðîêîãî êëàññà íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì ïðè åãî ïîëíûõ è íå-
ïîëíûõ èçìåðåíèÿõ.
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
Ðàññìîòðåíî èñïîëüçîâàíèå êàê èíòåðâàëüíûõ, òàê è ýëëèïñîèäàëüíûõ îöå-
íîê è ïîêàçàíà öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäëàãàåìîé äâóõýòàïíîé ïðî-
öåäóðû ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñîèäàëüíûõ ïðîãíîçíûõ îöåíîê äëÿ ñåìåéñòâ ëèíåé-
íûõ è íåëèíåéíûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùåé èç îïðåäåëåíèÿ íà ïåðâîì ýòàïå èíòåð-
âàëüíîé îöåíêè ìèíèìàëüíîãî îáúåìà ñ ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé åå íà
âòîðîì ýòàïå ýëëèïñîèäîì ìèíèìàëüíîãî îáúåìà.
Ãðîìîçäêîñòü âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà
ñ ãèïåðïîëîñîé è íåîáõîäèìîñòü ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèè ïîëó÷åííîãî ìíî-
æåñòâà èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì ìèíèìàëüíîãî îáúåìà îïðàâäûâàåò èñïîëüçî-
âàíèå ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà, ïîçâîëÿþùåé
ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïîëó÷åíèå àïîñòåðèîðíîé ýëëèïñîèäàëüíîé îöåíêè âåêòî-
ðà ñîñòîÿíèÿ ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Âïåðâûå ïîëó÷åíû àëãîðèòìû ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ âåêòîðà ñîñòî-
ÿíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííîé â òåîðèè è ïðèëîæåíèÿõ
èíòåðïðåòàöèåé ñâîéñòâ íåîïðåäåëåííîñòè èõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íåëèíåé-
íîñòÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè ñåêòîðíûì îãðàíè÷åíèÿì íà èõ âîçìîæíûå äåé-
ñòâèòåëüíûå ðåàëèçàöèè.
Èñïîëüçîâàíèå ïðåäëîæåííûõ ðîáàñòíûõ ìåòîäîâ ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîê-
ñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ñ ïîëîñîé ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî
óäîáíûå àëãîðèòìû îöåíèâàíèÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ è øèðî-
êîãî êëàññà íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïîëó÷åííûå àëãî-
ðèòìû ñîõðàíÿþò ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïðè îòëè÷èè äåéñòâèòåëüíûõ ñâîéñòâ íå-
îïðåäåëåííîñòè (ñâîéñòâ ïîìåõ èçìåðåíèÿ, ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû) îò èñïîëüçóåìûõ â àëãîðèòìàõ èõ àïðèîðíî ïðåäïîëàãà-
åìûõ ñâîéñòâ, ÷òî âñåãäà èìååò ìåñòî â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàó-
êà, 1977. — 392 ñ.
2. È ç á ð à í í û å òðóäû À.Á. Êóðæàíñêîãî. Âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. —
Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 2009 — 756 ñ.
3. S c h w e p p e F . C . Recursive state estimation: unknown but bounded error and system inputs //
IEEE Trans. Automat Control. — 1968. — AC-13, N 1. — Ð. 22–28.
4. × å ð í î ó ñ ü ê î Ô . Ë . Îöåíèâàíèå ôàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìåòîä ýëëèï-
ñîèäîâ. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 320 ñ.
5. Ê è í ¸ â À . Í . , Ð î ê è ò ÿ í ñ ê è é Ä . ß . , × å ð í î ó ñ ü ê î Ô . Ë . Ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè
ôàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìè âîçìóùåíèÿìè è íåîïðåäåëåííîé
ìàòðèöåé íàáëþäåíèé // Èçâ. ÐÀÍ. Òåîðèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. — 2002. — ¹ 1. —
Ñ. 5–15.
6. F i l i p p o v a T . F . Differential equations of ellipsoidal state estimates in nonlinear control prob-
lems under uncertainty // J. Discrete and Continuous Dynamical Systems. Supplement Volume. —
2011. — P. 410–419.
7. Â î ë î ñ î â Â . Â . , Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Îïðåäåëåíèå ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê âåêòîðà ñî-
ñòîÿíèÿ íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì ïðè èçìåðåíèÿõ ñ îãðàíè÷åííûìè ïîìåõàìè // Òð.
X Ìåæäóíàð. ×åòàåâñêîé êîíô. — Êàçàíü, 12–16 èþíÿ 2012 ã. — 2012. — 2. — Ñ. 177–184.
8. Ò þ ò þ ø ê è í À . È . , Ì î ð æ è í Î .  . ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè
íåëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2011.
— ¹ 6. — Ñ. 160–170.
9. Ì à ë û ø å â Â . Â . , Ò û ÷ è í ñ ê è é Þ . Ä . Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è îïòèìèçà-
öèÿ ìàíåâðîâ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà Çåìëè ñ äâèãàòåëÿìè ìàëîé òÿãè â ñèëüíîì ãðàâèòàöè-
îííîì ïîëå // Èçâ. ÐÀÍ Òåîðèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. — 2005. — ¹ 4. — Ñ. 124–132.
10. Ñ è ç î â à À . À . Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè äëÿ íåëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ
ñèñòåì // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. — 2009. — ¹ 7. — Ñ. 43–49.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 83
11. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Îáëàñòè äîñòèæèìîñòè ëèíåéíûõ è íåêîòîðûõ
êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì è óïðàâëåíèå èìè // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè-
÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 5–21.
12. Ê î ñ ò î ó ñ î â à Å . Ê . Âíåøíåå è âíóòðåííåå îöåíèâàíèå îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè ïðè ïîìî-
ùè ïàðàëëåëîòîïîâ // Âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè. — 1998. — 3, ¹ 2. — Ñ. 11–20.
13. Æ î ë å í Ë . , Ê è ô å ð Ì . , Ä è ä ð è Î . , Â à ë ü ò å ð Ý . Ïðèêëàäíîé èíòåðâàëüíûé àíà-
ëèç. — Ì.; Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2005. — 468 ñ.
14. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ.
15.  î ë î ñ î â  .  . Îá îäíîì ñïîñîáå ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê â çàäà÷àõ íåñòî-
õàñòè÷åñêîé ôèëüòðàöèè è èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà. —
1991. — ¹ 3. — Ñ. 24–32.
16.  à ñ è ë ü å â Ô . Ï . ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1980. —
520 ñ.
17. Ó ø à ê î â Â . Í . , Ì à ò â è é ÷ ó ê À Ð . , Ó ø à ê î â À . Â . Àïïðîêñèìàöèÿ ìíîæåñòâ äîñòè-
æèìîñòè è èíòåãðàëüíûõ âîðîíîê äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé // Âåñòí. Óäìóðò. óí-òà. —
2011. — Âûï. 4. — Ñ. 23–39.
18. Ê è ñ å ë å â Î . Í . , Ï î ë ÿ ê Á . Ò . Ýëëèïñîèäàëüíîå îöåíèâàíèå ïî îáîáùåííîìó êðèòåðèþ
// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1991. — ¹ 9. — Ñ. 133–145.
19.  î ë î ñ î â  .  . Ê ïîñòðîåíèþ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê è èõ
îïòèìèçàöèè â çàäà÷àõ íåñòîõàñòè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ è ñîñòîÿíèÿ ìíîãîìåð-
íûõ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1996. —
¹ 4. — Ñ. 37–53.
20. Â î ë î ñ î â Â . Â . , Ò þ ò þ í í è ê Ë . È . Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå ðîáàñòíûõ àëãîðèòìîâ
ãàðàíòèðîâàííîãî ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìíîãîìåðíûõ ëèíåéíûõ äèñêðåò-
íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. ×àñòü 1 // Òàì æå. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 31–43.
21. Å ô è ì å í ê î Í . Â . , Í î â è ê î â À . Ê . Ðåãóëÿðèçîâàííûå ýëëèïñîèäàëüíûå íàáëþäàòåëè è
èõ ïðèìåíåíèå â çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà // Òàì æå. — 1998.
— ¹ 6. — Ñ. 145–154.
22. Â î ë î ñ î â Â . Â . , Ò þ ò þ í í è ê Ë . È . Ðîáàñòíûå àëãîðèòìû ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ
ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ íåñòàöèîíàðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåêîíòðîëè-
ðóåìûìè âîçìóùåíèÿìè è ïîìåõàìè â êàíàëàõ èçìåðåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñë. òåõí. —
2002. — Âûï. 135. — Ñ. 3–8.
23. À í ä ð î í î â À . À . , Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Ãðóáûå ñèñòåìû // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1937. —
34, ¹ 5.
24. Ñà ë ü í è ê î â Í . Í . Îá îäíîé ìîäèôèêàöèè àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé
ðåãðåññèè ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäîâ // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëå-
ìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2012. — ¹ 2. — Ñ. 65–85.
25. Ë ó ð ü å À . È . , Ï î ñ ò í è ê î â  . Í . Ê òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ðåãóëèðóåìûõ ñèñòåì //
Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1944. — 8, ¹ 3. — Ñ. 246–248.
26. Ï î ë î â è í ê è í Å . Ñ . , Á à ë à ø î â Ì . Â . Ýëåìåíòû âûïóêëîãî è ñèëüíî âûïóêëîãî àíàëè-
çà. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. — 416 ñ.
Ïîñòóïèëà 02.09.2014
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1
|