Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков

Показана возможность применения математического аппарата теории управляемых марковских полей для моделирования катастрофических рисков, вызванных природными явлениями или террористическими угрозами. Приведены примеры постановок задач долгосрочного инвестирования в безопасность. Дан обзор методов реш...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Гайворонский, А.А., Ермольев, Ю.М., Кнопов, П.С., Норкин, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124762
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков / А.А. Гайворонский, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов, В.И. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124762
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1247622017-10-05T03:02:46Z Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков Гайворонский, А.А. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. Норкин, В.И. Системный анализ Показана возможность применения математического аппарата теории управляемых марковских полей для моделирования катастрофических рисков, вызванных природными явлениями или террористическими угрозами. Приведены примеры постановок задач долгосрочного инвестирования в безопасность. Дан обзор методов решения возникающих задач стохастического оптимального управления. Показана возможность сведения этих задач к конечномерным задачам стохастического программирования и решения их методом стохастических квазиградиентов. Показано можливість застосування математичного апарату теорії керованих марківських полів для моделювання катастрофічних ризиків, викликаних природними явищами або терористичними погрозами. Розглянуто приклади постановок задач довгострокового інвестування в безпеку. Наведено огляд методів розв’язання задач стохастичного оптимального керування, що виникають. Показано можливість зведення цих задач до скінченно-вимірних задач стохастичного програмування та розв’язання їх методом стохастичних квазіградієнтів. This paper shows the possibility of using the mathematical apparatus of the theory of controlled Markov fields to model catastrophe risks caused by natural events or terrorist threats. The examples are given for problem statements of long-term investment in safety. A survey of solution methods for stochastic optimal control problems is proposed. It is shown that these problems can be reduced to finite-dimensional stochastic programming problems and can be solved by the stochastic quasi-gradient method 2015 Article Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков / А.А. Гайворонский, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов, В.И. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124762 330.115 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Гайворонский, А.А. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. Норкин, В.И. Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков Кибернетика и системный анализ
description	Показана возможность применения математического аппарата теории управляемых марковских полей для моделирования катастрофических рисков, вызванных природными явлениями или террористическими угрозами. Приведены примеры постановок задач долгосрочного инвестирования в безопасность. Дан обзор методов решения возникающих задач стохастического оптимального управления. Показана возможность сведения этих задач к конечномерным задачам стохастического программирования и решения их методом стохастических квазиградиентов.
format	Article
author	Гайворонский, А.А. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. Норкин, В.И.
author_facet	Гайворонский, А.А. Ермольев, Ю.М. Кнопов, П.С. Норкин, В.И.
author_sort	Гайворонский, А.А.
title	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
title_short	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
title_full	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
title_fullStr	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
title_full_unstemmed	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
title_sort	математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124762
citation_txt	Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков / А.А. Гайворонский, Ю.М. Ермольев, П.С. Кнопов, В.И. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gajvoronskijaa matematičeskoemodelirovanieraspredelennyhkatastrofičeskihiterrorističeskihriskov AT ermolʹevûm matematičeskoemodelirovanieraspredelennyhkatastrofičeskihiterrorističeskihriskov AT knopovps matematičeskoemodelirovanieraspredelennyhkatastrofičeskihiterrorističeskihriskov AT norkinvi matematičeskoemodelirovanieraspredelennyhkatastrofičeskihiterrorističeskihriskov
first_indexed	2025-07-09T01:59:47Z
last_indexed	2025-07-09T01:59:47Z
_version_	1837132822668640256
fulltext	ÓÄÊ 330.115 À.À. ÃÀÉÂÎÐÎÍÑÊÈÉ, Þ.Ì. ÅÐÌÎËÜÅÂ, Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ, Â.È. ÍÎÐÊÈÍ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÊÀÒÀÑÒÐÎÔÈ×ÅÑÊÈÕ È ÒÅÐÐÎÐÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÈÑÊÎÂ1 Àííîòàöèÿ. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà òåîðèè óïðàâ- ëÿåìûõ ìàðêîâñêèõ ïîëåé äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ, âûçâàííûõ ïðè- ðîäíûìè ÿâëåíèÿìè èëè òåððîðèñòè÷åñêèìè óãðîçàìè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòàíîâîê çàäà÷ äîëãîñðî÷íîãî èíâåñòèðîâàíèÿ â áåçîïàñíîñòü. Äàí îáçîð ìåòîäîâ ðåøåíèÿ âîçíè- êàþùèõ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñâåäå- íèÿ ýòèõ çàäà÷ ê êîíå÷íîìåðíûì çàäà÷àì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ èõ ìåòîäîì ñòîõàñòè÷åñêèõ êâàçèãðàäèåíòîâ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êàòàñòðîôè÷åñêèé ðèñê, òåððîðèñòè÷åñêàÿ óãðîçà, óïðàâëÿåìîå ìàðêîâ- ñêîå ïîëå, ñëó÷àéíîå ïîëå ñ ëîêàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ãèááñîâñêîå ïîëå, ñòîõàñòè÷åñ- êîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ìåòîä ñòîõàñòè÷åñêèõ êâàçè-ãðàäèåíòîâ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïîñëåäíèå äåêàäû ïðîøåäøåãî ñòîëåòèÿ è íà÷àëî íûíåøíåãî áûëè îòìå÷åíû âîçðàñòàþùèìè, ÷àñòî íåâîñïîëíèìûìè ìàòåðèàëüíûìè ïîòåðÿìè îò çåìëåò- ðÿñåíèé, óðàãàíîâ, çàñóõ, íàâîäíåíèé, ýïèäåìèé, âûáðîñîâ ðàäèîàêòèâíûõ è õèìè÷åñêèõ çàãðÿçíèòåëåé, òåððîðèçìà, ëîêàëüíûõ âîéí, òåõíîãåííûõ è ôè- íàíñîâûõ êàòàñòðîô. Âî ìíîãîì ýòî ñâÿçàíî ñ èãíîðèðîâàíèåì èëè íåäîîöåí- êîé ðèñêîâ. Ñòðåìëåíèå ê ýêîíîìè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòû ñèñòåì áåç ó÷åòà ôàêòîðîâ ðèñêà âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óñóãóáëÿåò ïîñëåäñòâèÿ êàòàñòðîô. Cóùåñòâåííî íåëèíåéíûé õàðàêòåð âîçíèêíîâåíèÿ ðåäêèõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñîáûòèé ÷àñòî èãíîðèðóåòñÿ ïðè àíàëèçå ìíîãîêîìïîíåíòíûõ è ðàñïðåäåëåí- íûõ ñèñòåì, êîãäà äîïîëíèòåëüíûå çàòðàòû íà ïîâûøåíèå æèâó÷åñòè êîìïî- íåíòîâ êàæóòñÿ íåîïðàâäàííûìè â ñèëó íåçíà÷èòåëüíîé âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Èíòåãðèðîâàííûå ïîäõîäû ê óïðàâëåíèþ êàòàñòðîôè- ÷åñêèìè ðèñêàìè òðåáóþò íåëèíåéíûõ ìîäåëåé, â ÷àñòíîñòè ñóùåñòâåííîãî ïåðåñìîòðà ìîäåëåé ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà, îñíîâàííûõ íà ëèíåéíîé òåîðèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè. Âàæíàÿ îñîáåííîñòü êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ ñâÿçàíà ñ âîçìîæíîñòüþ áàíêðîòñòâà ôèíàíñîâûõ è ñòðàõîâûõ êîìïàíèé, èíâåñòîðîâ, çàåìùèêîâ è íåñîñòîÿòåëüíîñòüþ ïðàâèòåëüñòâ àáñîðáèðîâàòü êàòàñòðîôè÷åñ- êèå ïîòåðè íà íàöèîíàëüíîì óðîâíå. Íàïðèìåð, òðàäèöèîííîå ñòðàõîâà- íèå [1, 2] îïåðèðóåò íåçàâèñèìûìè, îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèìè ðèñêàìè, íà- ïðèìåð àâòîìîáèëüíûìè àâàðèÿìè, äëÿ êîòîðûõ ðåøåíèÿ ïî ïðåìèÿì, îöåíêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé è âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ìîãóò áûòü âû- ÷èñëåíû íà îñíîâå èñòîðè÷åñêèõ äàííûõ. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà îïðàâäûâàþò ïðîñòóþ ñòðàòåãèþ âûáîðà ïîðòôåëÿ ñòðàõî- âûõ äîãîâîðîâ — ÷åì áîëüøå ðèñêîâ, òåì ëó÷øå. Êàòàñòðîôè÷åñêèå ðèñêè òðåáóþò íîâûõ ïîäõîäîâ ê ôîðìèðîâàíèþ ïîðòôåëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Êà- òàñòðîôû ïîðîæäàþò ñèëüíîêîððåëèðîâàííûå ïîòåðè â ïðîñòðàíñòâå è âðåìå- íè, çàâèñÿùèå îò êîíöåíòðàöèè ëþäåé, êàïèòàëà è õàðàêòåðà ñòðàõîâûõ äîãî- âîðîâ. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë óæå íåïðèìåíèì ê òàêèì ðèñêàì, è òðàäèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïîðòôåëÿ (÷åì áîëüøå ðèñêîâ — òåì ëó÷øå) ìîæåò òîëüêî óâåëè÷èòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Çàäà÷à âûáîðà ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ â ýòîì ñëó÷àå òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñëîæíóþ çàäà÷ó îòáîðà ðèñêîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå ïåðñïåêòèâíûõ ïîäõîäîâ ê îöåíèâàíèþ çàâèñèìûõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå êàòàñòðîô [3–5], êîòîðîå ïîçâîëÿåò èññëåäî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 97 1Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòîì Íîðâåæñêîãî öåíòðà ïî ìåæäóíàðîäíîìó ñîòðóäíè÷åñòâó â îáëàñòè îáðàçîâàíèÿ (Norwegian Centre for International Cooperation in Education (SIU)), Íîðâåæñêî-Óêðàèí- ñêèé ïðîåêò CPEALA-2012/10052. © À.À. Ãàéâîðîíñêèé, Þ.Ì. Åðìîëüåâ, Ï.Ñ. Êíîïîâ, Â.È. Íîðêèí, 2015 âàòü âîçìîæíûå ñöåíàðèè êàòàñòðîô, ãåíåðèðîâàòü ñëó÷àéíûå ðåàëèçàöèè ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé è àíàëèçèðîâàòü âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ íà ñòàáèëüíîñòü è æèâó÷åñòü ñòðàõîâûõ êîìïàíèé. Îòìåòèì, ÷òî âñåîáúåìëþùåå âíåäðåíèå ìåð áåçîïàñíîñòè, íàïðàâëåííûõ íà ñíèæåíèå ðèñêà è ïîñëåäñòâèé òåððîðèñòè÷åñêèõ àòàê, ìîæåò ïîòðåáîâàòü âåñüìà çíà÷èòåëüíûõ çàòðàò, êîòîðûå ëÿãóò ñåðüåçíûì áðåìåíåì íà ýêîíîìèêó ñòðàíû. Òàêèå ìåðû ìîãóò âêëþ÷àòü, íàïðèìåð, óñèëåíèå âèçîâîãî, òàìîæåííîãî è ôèíàíñîâîãî êîíòðîëÿ, âíåäðåíèå äîïîëíèòåëüíûõ ìåð áåçîïàñíîñòè â àýðî- ïîðòàõ, íà òðàíñïîðòå, êëþ÷åâûõ îáúåêòàõ èíôðàñòðóêòóðû, â îáùåñòâåííûõ ìåñòàõ, äîïîëíèòåëüíûõ ìåð îáåñïå÷åíèÿ êèáåðáåçîïàñíîñòè, ðàçâåðòûâàíèÿ ñèë è ñðåäñòâ äëÿ ëèêâèäàöèè ïîñëåäñòâèé ÷ðåçâû÷àéíûõ ñèòóàöèé è ò.ä. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÄËß ÎÏÈÑÀÍÈß ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÕ ÊÀÒÀÑÒÐÎÔ Ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ óäîáíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ äëÿ îïèñàíèÿ êàòàñòðîô ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èëè ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ, çàäàííîãî íà ãðàôå ( , )V E ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V K�1 2, ,� è ìíîæåñòâîì äóã E i j� {( , )}. Åñëè ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ äèñêðåòíûì èëè íåïðåðûâíûì âðåìåíåì øèðîêî èçâåñòíî ñïåöèàëèñòàì, èñ- ïîëüçóþùèì âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, òî ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïîëÿ, çàäàííûå íà ãðàôàõ, åùå íå íàøëè ñòîëü øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ. Ïîýòîìó, íà íàø âçãëÿä, èìååò ñìûñë ïîÿñíåíèå îáîñíîâàííîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ïðè ðåøåíèè øèðîêîãî ñïåêòðà ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì, íàïðèìåð ïðè ðåøåíèè çà- äà÷ îöåíêè êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà ìî- æåò õàðàêòåðèçîâàòü îñíîâíûå èñòî÷íèêè êàòàñòðîôè÷åñêèõ ïîòåðü: ýêîíîìè- êî-ãåîãðàôè÷åñêèå ðàéîíû, ñåéñìè÷åñêèå ðàçðåçû, áàññåéíû ðåê, òàêèå âàæíûå îáúåêòû, êàê ïëîòèíû, ìîñòû, ãàçîïðîâîäû, äîìà èëè íàñåëåííûå ïóíêòû. Åñëè îïðåäåëèòü äëÿ êàæäîé âåðøèíû k åå îêðåñòíîñòü N k j k j E( ) { : ( , ) }� � , òî î÷åâèäíî, ÷òî ðàçðóøåíèÿ â âåðøèíå k áóäóò ãåíåðèðîâàòü ðàçðóøåíèÿ â îêðåñòíîñòè N k( ) . Åñëè ââåñòè ïîíÿòèå ìàðêîâîñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ðàñïðåäåëåíèå ïîòåðü â òî÷êå k áûëî çàâèñèìî ëèøü îò ïîòåðü â îêðåñòíîñòè � ( ) ( )N k k N k� � , òî ïîäîáíàÿ ìîäåëü ïðè âåñüìà îáùèõ óñëîâèÿõ îïèñûâàåò- ñÿ ãèááñîâêèì ñëó÷àéíûì ïîëåì è ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ è îöåíêè ðèñêà ñâîäÿòñÿ ê èçâåñòíûì ìåòîäàì ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè ãèááñîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Êàê äëÿ ìîäåëåé, îïèñàííûõ ìàðêîâñêèìè ñëó- ÷àéíûìè ïðîöåññàìè, òàê è äëÿ ìîäåëåé, îïèñàííûõ ìàðêîâñêèìè ñëó÷àéíû- ìè ïîëÿìè, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé, ïðè ýòîì øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè [6–8], óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ [9–16] è óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Îòìåòèì, ÷òî â òî âðåìÿ êàê òåîðèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè è òå- îðèÿ óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ äîñòàòî÷íî ïîëíî ïðåäñòàâëåíû â ìíîãî÷èñëåííîé ëèòåðàòóðå íàó÷íîãî è ó÷åáíîãî õàðàêòåðà, ñèòóàöèÿ ñ îñâå- ùåíèåì òåîðèè óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ñîâñåì èíàÿ. ×èñëî ïóáëèêà- öèé â ýòîé îáëàñòè ïîêà ñðàâíèòåëüíî íåâåëèêî. Ðÿä ðåçóëüòàòîâ, êàñàþùèõñÿ îáùåé òåîðèè óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé è, â ÷àñòíîñòè, ìàðêîâñêèõ ñëó- ÷àéíûõ ïîëåé [17–21], ïîëó÷åí â ðàáîòàõ [22–25]. Â íèõ ðàññìîòðåíû çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ òàêèìè ïîëÿìè, äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëü- íûõ ìàðêîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ñòðàòåãèé äëÿ ôóíêöèé ðèñêà äîñòàòî÷íî îá- ùåãî âèäà. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè èññëåäîâàíèÿ ìîãóò èìåòü íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ê îïèñàííûì âûøå çàäà÷àì îöåíêè ðèñêà äëÿ äîñòàòî÷íî îáùèõ ìîäåëåé ôèíàíñîâîé è ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè. Âîçâðàòèìñÿ ê îáùåé ïðîáëåìå îöåíêè êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ äëÿ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ ìàðêîâñêèìè ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè èëè ïîëÿìè. Çäåñü íå áóäåì îòäåëüíî îïèñûâàòü ñèñòåìû, ìîäåëèðóåìûå ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè èëè ïîëÿìè, ðàññìîòðèì ëèøü ñèñòåìû, îïèñûâàåìûå ñëó÷àéíûìè ïîëÿìè, ïðè ýòîì çàìåòèì, 98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 ÷òî ìîäåëü ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé ìî- äåëè, êîãäà ìíîæåñòâî âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàôà ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ xi t è ïîòåðè zi t ñèñòåìû â âåðøèíå i â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿþòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì (íàïðèìåð, ïðèðîäíîé êàòàñòðîôîé) � t ñ âîçìîæíûìè ñîñòîÿíèÿìè y Y� . Îáîçíà÷èì H x z xi i t i t N i t( , \| , � ( ) �1 z y u N i t N i t � ( ) � ( ) , ; )� �1 1 óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðû ( , )x zi t i t â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè óñëîâèè, ÷òî â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèÿ è ïîòåðè â îêðåñòíîñòè � ( )N i áûëè ( , ) � ( ) � ( ) x z N i t N i t� �1 1 , ïðîöåññ � t�1 áûë â ñîñòîÿíèè y, à òàêæå ïðèíÿòû ðåøå- íèÿ (óïðàâëåíèÿ) u N i t � ( ) . Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåò äèíàìèêó èçìåíåíèé â ñèñòåìå ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ: p t x zi t i t( , , ) � H x z x z y ui y Y i t i t N i t N i t N i t( , \| , , ; ) � ( ) � ( ) � ( ) � � � �� 1 1 1 P yt( )� � �1 , (1) ãäå p t x zi t i t( , , ) — ðàñïðåäåëåíèå ïàð ( , )x zi t i t â ìîìåíò âðåìåíè t äëÿ âåðøèíû i. Äëÿ òîãî ÷òîáû îêîí÷àòåëüíî îïðåäåëèòü äèíàìèêó èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (1), íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèé p x zi i( , , )0 äëÿ âñåõ i K�1, ..., . Óðàâíåíèå (1) âìåñòå ñ äàííûìè äëÿ íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè ïîçâîëÿ- þò ðàññ÷èòàòü p t x z( , , ) äëÿ ëþáîãî t � 0. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ñëîæíîñòü ïðåäëîæåííîé ñèñòåìû, ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèé âèä ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà p t x z( , , ) êàê ôóíêöèè îò ( , )x z (è óïðàâëåíèé u u u N i N i t� �( , ..., ) � ( ) � ( ) 0 1 ). Ñóùåñòâîâàíèå ee àíàëèòè÷åñêîãî âèäà îáåñïå÷èëî áû äîñ- òàòî÷íî ïðîñòîé èíñòðóìåíòàðèé äëÿ àíàëèçà òàêèõ ìîäåëåé. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ îöåíêè êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ íåîáõîäèìî êîíêðå- òèçèðîâàòü ïðîöåññ � t�1, ôóíêöèè ïåðåõîäà H i ( )� è îïèñàòü ìíîæåñòâà âîçìîæ- íûõ ñîñòîÿíèé xi t ïîòåðü zi t è óïðàâëåíèé ui t äëÿ âåðøèí i V� â ìîìåíò âðåìåíè t. Â òî âðåìÿ êàê ìîäåëè óïðàâëÿåìûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ õîðîøî èçâå- ñòíû è øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ, ìîäåëè è ðåçóëüòàòû ïî óïðàâëÿåìûì ìàðêîâñêèì ñëó÷àéíûì ïîëÿì íå òîëüêî ìàëî÷èñëåííû è ìàëîèçâåñòíû, íî è ñîäåðæàò ìíîãî îòêðûòûõ âîïðîñîâ, îñîáåííî îòíîñèòåëüíî ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Â íàñòî- ÿùåé ñòàòüå àâòîðû, îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàòû ñîáñòâåííûõ èññëåäîâàíèé, ïîïûòà- ëèñü îáîáùèòü îïûò ïðèìåíåíèÿ ñîâðåìåííîãî àïïàðàòà óïðàâëÿåìûõ ìàðêîâ- ñêèõ ïîëåé ê àêòóàëüíûì çàäà÷àì ìîäåëèðîâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ ðàñïðåäåëåííû- ìè êàòàñòðîôè÷åñêèìè ðèñêàìè è óãðîçàìè. ÌÎÄÅËÈ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÎËÃÎÑÐÎ×ÍÛÌÈ ÈÍÂÅÑÒÈÖÈßÌÈ Â ÁÅÇÎÏÀÑÍÎÑÒÜ Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ìîäåëåé îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äîëãîñðî÷íûìè èíâå- ñòèöèÿìè â áåçîïàñíîñòü, îïèñûâàåìûõ ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè èëè ïîëÿìè. 1. Òî÷å÷íàÿ ìîäåëü. Ðàññìîòðèì ìîäåëè ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà ñ äèñêðåò- íûì âðåìåíåì è äîëãîñðî÷íûìè èíâåñòèöèÿìè â ìåðû áåçîïàñíîñòè. Ïðåäïîëî- æèì, ÷òî ýêîíîìèêà ðàñòåò ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî, íî ñî ñëó÷àéíîé ñêîðîñòüþ. Èíîãäà ïðîèñõîäÿò (ñëó÷àéíûå) êàòàñòðîôû, êîòîðûå óìåíüøàþò äîõîäû è/èëè òåì- ïû ðîñòà ýêîíîìèêè [26, 27]. Èíâåñòèöèè â ìåðû çàùèòû (áåçîïàñíîñòè) ìîãóò ñíè- çèòü èíòåíñèâíîñòü/âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííûõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñîáûòèé (íàïðè- ìåð, òåððîðèñòè÷åñêèå àòàêè) è ñìÿã÷èòü èõ ïîñëåäñòâèÿ, íî ïðè ýòîì âûâîäÿò ðå- ñóðñû èç ýêîíîìèêè è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò çàìåäëèòü ýêîíîìè÷åñêèé ðîñò. Ðàñ- ñìîòðèì ïðîñòåéøóþ ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ìîäåëü ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà, â êîòî- ðîé òåìïû ðîñòà çàâèñÿò îò ñëó÷àéíûõ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñîáûòèé: x x u r x ut t t t t t t � � �1 1 1( )( )( ( , ))� , x x0 � , t � 0 1, , ... , (2) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 99 ãäå xt — óðîâåíü âàëîâîãî ïðîäóêòà ýêîíîìèêè; rt — ñëó÷àéíûé òåìï ðîñòà ýêîíîìèêè, ðàñïðåäåëåííûé êàê íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà r ; ut — èíâå- ñòèöèè â áåçîïàñíîñòü; � t t tx u( , ) — ñëó÷àéíûé êîýôôèöèåíò óùåðáà îò êàòà- ñòðîôè÷åñêèõ ñîáûòèé èëè òåððîðèñòè÷åñêèõ àòàê â ïåðèîä âðåìåíè t, � � t t x u p x u p x ( , ) ( , ), ( , � �0 1ñ âåðîÿòíîñòüþ ñ âåðîÿòíîñòüþ u), � � { }� t � 0 — (íåçàâèñèìûå) êîýôôèöèåíòû óùåðáà, ðàñïðåäåëåííûå êàê íåêîòî- ðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � � 0 ; p x u( , ) — âåðîÿòíîñòü êàòàñòðîôè÷åñêîãî ñîáû- òèÿ èëè àòàêè â åäèíèöó âðåìåíè ïðè óðîâíå ýêîíîìè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ x è èíâåñòèöèÿõ â áåçîïàñíîñòü u. Ïóñòü u u u� ( , , ... )0 1 — ñòðàòåãèÿ óïðàâëåíèÿ è � � � �sup{ }t x xk t k:min min0 — ìîìåíò íåïðèåìëåìîãî ïàäåíèÿ óðîâíÿ ýêîíîìèêè (íèæå óðîâíÿ ( )1 00� �� x ). Îáîçíà÷èì F x u f xk kk ( , ) ( )� ��E � � 0 , ãäå f ( )� — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè. Íàïðèìåð, åñëè f xk( ) �1 ïðè x xk � min , à f xk( ) � 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, òî F x u( , ) âûðàæàåò ñðåäíåå äèñêîíòèðîâàííîå âðåìÿ æèçíè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äî ìîìåíòà ýêîíîìè÷åñêîãî êðàõà. Îáîçíà÷èì U ìíîæåñòâî òàêèõ ñòðàòåãèé óïðàâëåíèÿ u u u� ( , , ... )0 1 , ÷òî u xk �[ , ]min0 . Çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äîëãîñðî÷íûìè èíâåñòèöèÿìè â áåçîïàñíîñòü ñîñòîèò â ìàêñèìèçàöèè êðèòåðèÿ F x u( , ) : F x u f xk kk u( , ) ( )�� E U� � 0 sup . (3) Îáîçíà÷èì V x F x uu( ) ( , )� �sup U , x x� min . Äîîïðåäåëèì V x( ) � 0 äëÿ x x� min . Óðàâíåíèå îïòèìàëüíîñòè Áåëëìàíà äëÿ çàäà÷è (2), (3), èìååò âèä V x f x p x u V x u r u x r ( ) ( ) ( ( , )) (( )( )) [ , ]min � � � � sup 0 1 1� E � � � � � � � � � ��p x u V x u rr( , ) (( )( )( ))E 1 1 , (4) ãäå Er , Er� — ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïî r è ( , )r � ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ôóíê- öèÿ p x u( , ) íåïðåðûâíà, à f x( ) ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó è f x C( ) � � , òî óðàâ- íåíèå (4) ìîæåò áûòü èññëåäîâàíî ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè òåîðèè äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [9–15]. Â ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèå (4) ïðè r R (R — êîíñòàíòà) ìîæåò áûòü ÷èñëåííî ðåøåíî ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé: V x f x p x u V x u k u x r k � � � � 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ( , )) (( )( [ , ]min sup � E r p x u V x u rr k )) ( , ) (( )( )( )) � � � � � � � �� E 1 1 , V x f x0 ( ) ( )� , k � 0 1, , ... (5) Ïðèáëèæåííî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u xk * ( ) (â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ) ìîæåò áûòü íàéäåíî, êàê ðåøåíèå çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè â ïðàâîé ÷àñòè (5). Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå èçëîæåííîãî ïîäõîä ê îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ èíâå- ñòèöèÿìè â áåçîïàñíîñòü ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè âìåñòî (2) áîëåå äåòàëüíûõ äèíà- ìè÷åñêèõ ìîäåëåé ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà, íàïðèìåð øîêîâûõ ìîäåëåé èç [26, 27], ãäå ïîêàçàíî, ÷òî òàêèå ìîäåëè ìîãóò áûòü èññëåäîâàíû ìåòîäàìè ñòðàõîâîé ìàòå- ìàòèêè. Îäíèì èç ñïîñîáîâ êóïèðîâàíèÿ ðèñêîâ ÿâëÿåòñÿ ñòðàõîâàíèå. Íàïðèìåð, èíâåñòèðîâàíèå ñðåäñòâ u â ïðîïîðöèîíàëüíûé äîãîâîð ñòðàõîâàíèÿ ìåíÿåò êîýô- ôèöèåíò óùåðáà � â ìîäåëè (2)–(5) íà � �( )u , ãäå ìíîæèòåëü �( ) [ , )u � 0 1 çàâèñèò îò âåëè÷èíû èíâåñòèðîâàííûõ ñðåäñòâ. Áîëåå äåòàëüíî ýòîò âîïðîñ îáñóæäàåòñÿ â [5]. Äðóãîé òèï öåëåâîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì F x u N f x N kk N u U ( , ) lim inf ( ) max� � �� E 1 1 0 . (6) 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 Ïðè f x C( ) � � êðèòåðèé (6) õàðàêòåðèçóåò ñðåäíþþ ïîëåçíîñòü â åäèíèöó âðåìåíè ïðè áåñêîíå÷íîì ôóíêöèîíèðîâàíèè ñèñòåìû. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êðèòåðèé (6) áîëåå ñëîæåí äëÿ èññëåäîâàíèÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îí ïî ñâîåé ñòðóêòóðå íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè è äëÿ íåãî íåëüçÿ âûïèñàòü óðàâíåíèå Áåëëìàíà. Íî â äåéñòâèòåëüíîñòè îáà ýòè êðèòåðèÿ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ âçàèìîñâÿçàíû, à óðàâíåíèå îïòèìàëüíî- ñòè ìîæíî âûïèñàòü äëÿ íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèè èñõîäíîé çàäà÷è. Ýòîò ìåòîä áûë èñïîëüçîâàí Ð. Õîâàðäîì [10], êîòîðûé ïðåäëîæèë èçÿùíûé àëãîðèòì äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé. 2. Îáîáùåíèå íà ïðîñòðàíñòâåííóþ ìîäåëü. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò ïðîñòðàíñòâåííóþ ñòðóêòóðó (ñ óðîâíÿìè áîãàò- ñòâà { , }x i Vi � ), ò.å. ïðåäñòàâèìà â âèäå ãðàôà G V E� ( , ) ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V è ñâÿçåé E. Îáîçíà÷èì N i( ) âåðøèíû j , ñîåäèíåííûå ñ i : � ( ) ( )N i N i i� � . Â ñëó- ÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè (íàïðèìåð, ñîãëàñíî ïóàññîíîâñêîìó ïîòîêó èíòåí- ñèâíîñòè � i èëè áèíîìèíàëüíîìó ïîòîêó â äèñêðåòíîì âðåìåíè ñ âåðîÿòíîñòÿìè pi ) â êàæäîé âåðøèíå i V� ìîæåò ïðîèçîéòè êàòàñòðîôè÷åñêîå ñîáûòèå èëè òåð- ðîðèñòè÷åñêàÿ àòàêà (íåçàâèñèìî îò ñîáûòèé â äðóãèõ âåðøèíàõ), êîòîðûå õà- ðàêòåðèçóþòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé � i . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðûå ðåñóðñû uij âû÷èòàþòñÿ èç xi è çàòåì èíâåñòèðóþòñÿ â ìåðû áåçîïàñíîñòè â âåðøèíó j N i� ( ) . Ïîëíûå èíâåñòèöèè â ìåðû áåçîïàñíîñòè â âåðøèíå j ñîñòàâëÿþò u uj iji N j � �� ( ) . Èíâåñòèöèè â ìåðû áåçîïàñíîñòè óìåíüøàþò èíòåíñèâíîñòü àòàê, êîòîðàÿ òåïåðü çàâèñèò îò èíâåñòèöèé, ò.å. � �i i i ix u� ( , ) (àíàëîãè÷íî äëÿ äèñêðåòíîãî âðåìåíè p p x ui i i i� ( , )). Êðîìå òîãî, èíâåñòèöèè â ìåðû çàùèòû â óçëå i ìîãóò óìåíüøàòü óùåðáû ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè � � i i i i i i i i x u p x u x u ( , ) ( , ), ( , ) � �0 1ñ âåðîÿòíîñòüþ ñ âåðîÿòíîñòüþ p x ui i( , ). � � Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåìïû ýêîíîìè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ � i t â óçëå i çàâèñÿò îò ñîáñòâåííûõ èíäèêàòîðîâ ðîñòà ( )1 ri è óùåðáà ( )1� � i è ôàêòîðîâ ðîñòà/óùåðáà â ñîñåäíèõ óçëàõ, ò.å. � � �i t i t N i t N i tr� � � � � � �� ( ) � ( ) , . Äåéñòâèòåëüíî, òåìïû ðîñòà ýêîíî- ìèêè íåáîëüøèõ ñòðàí ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò òåìïîâ ðîñòà âåäóùèõ ýêîíîìèê èëè ìèðîâîé ýêîíîìèêè â öåëîì. Òàêóþ çàâèñèìîñòü ìîæíî êîëè÷åñòâåííî îò- ñëåäèòü ýêîíîìåòðè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Íàïðèìåð, � i t ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ñðåä- íèì èíäèêàòîðîì â ñîñåäíèõ óçëàõ: � �i t j j t j t j N i w r� �� ( )( )� ( ) 1 1 , w j � 0 , w jj N i�� ( ) 1 , ìèíèìàëüíûì èíäèêàòîðîì: � �i t j N i j t j tr� � � min ( )( ) � ( ) 1 1 èëè ìàê- ñèìàëüíûì èíäèêàòîðîì: � �i t j N i j t j tr� � � max ( )( ) � ( ) 1 1 ðîñòà â ñîñåäíèõ óçëàõ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ýêîíîìèêè â äèñêðåòíîì âðåìåíè èìååò âèä x x u ri t i t i t i t N i t N i t � �1 ( ) ( , ) � ( ) � ( ) � � , x xi i 0 � , t T� �0 1, ..., , ãäå r r j N i N i t j t � ( ) ( , � ( ))� � — ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ èíäèêàòîðîâ ðîñòà â óç- ëàõ � ( )N i ; � � ( )N i t — ñîâîêóïíîñòü ïîêàçàòåëåé óùåðáà â óçëàõ � ( )N i â ïåðèîä âðå- ìåíè t îò àòàêè íà óçåë i èëè íà ñîñåäíèå óçëû j N i� ( ) ; u ui t ji t j N i � �� ( ) — èíâåñòèöèè â áåçîïàñíîñòü â óçëå i èç ñàìîãî óçëà i è èç ñîñåäíèõ óçëîâ j N i� ( ) . Çàâèñèìîñòü áëàãîñîñòîÿíèÿ äàííîãî óçëà i ñåòè îò ñîñåäåé ìîæåò ïîáóäèòü óçåë i äåëàòü èíâåñòèöèè uij � 0 â ñîñåäíèå óçëû j N i� ( ) . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 101 Öåëåâîé ôóíêöèîíàë äëÿ îïòèìèçàöèè ðàñõîäîâ íà áåçîïàñíîñòü ìîæåò èìåòü âèä � � F x u f xk i i t i Vk T u U ( , ) ( ) max� �� E � 0 (7) èëè � � F x u T f x T i i t i Vt T u U ( , ) lim ( ) max� � �� inf E 1 1 0 , (8) ãäå � f i ( )� — âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè êàïèòàëà â óçëå i ; � �( , ]0 1 — äèñ- êîíòèðóþùèé ìíîæèòåëü; E — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, x x i Vi� �{ , }, u u i V j Vij� � �{ , , } , U u u x i V j Vij ij ij N i � � � ��{ : , , }� ( ) 0 . Çàäà÷è (7), (8) ÿâëÿþòñÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûìè, ïðè÷åì êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ôóíêöèè ïî- ëåçíîñòè � f i ( )� ìîãóò îòðàæàòü ðàçëè÷íûå àñïåêòû ïîëåçíîñòè è ðèñêà â óçëå i. Ïðîáëåìà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ìíîæåñòâ äëÿ òàêèõ çà- äà÷. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ðåøàÿ, íàïðèìåð, ñåìåéñòâî îäíîêðèòåðèàëüíûõ çà- äà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ëèíåéíî-àãðåãèðîâàííûì êðèòåðèåì. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà îïòèìàëüíîãî èíâåñòèðîâàíèÿ â áåçîïàñíîñòü ñâåäåíà ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñëó÷àéíûì ïîëåì, çàäàííûì íà êîíå÷íîì ãðàôå. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ íàõîæäåíèåì óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â òîì èëè èíîì êëàññå óïðàâëåíèé, îïðåäåëå- íèåì ñàìèõ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé â ÿâíîì âèäå èëè ðàçðàáîòêîé ÷èñëåííûõ àëãî- ðèòìîâ äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ. Êàê è äëÿ òî÷å÷íîé ìîäåëè, äëÿ ñêàëÿðíûõ ñâåðòîê ïåðâî- ãî êðèòåðèÿ (7) ìîæíî âûïèñàòü óðàâíåíèå îïòèìàëüíîñòè è ðåøàòü åãî ìåòîäîì ïî- ñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Äëÿ ñâåðòîê âòîðîãî êðèòåðèÿ (8), êàê è äëÿ òî÷å÷íûõ ìîäåëåé, óðàâíåíèå Áåëëìàíà âûïèñàòü íåâîçìîæíî. Êðîìå òîãî, âîçíèêàåò ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ óñëîâèé, êîãäà â òîì èëè èíîì êëàññå óïðàâëåíèé ñóùåñòâóåò îïòèìàëü- íîå ðåøåíèå. Îñîáî èíòåðåñíû óñëîâèÿ, êîãäà îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñòàöèîíàðíî è çàâèñèò òîëüêî îò êîíå÷íîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ. Àëüòåðíàòèâíàÿ âîçìîæíîñòü ñîñòî- èò â àïïðîêñèìàöèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòðåçêîì ðÿäà ðàçëîæåíèÿ ïî íåêîòî- ðîìó áàçèñó ñ ïåðåìåííûìè (èñêîìûìè) êîýôôèöèåíòàìè. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ ôîðìó óïðàâëåíèÿ â öåëåâûå ôóíêöèè (3), (6)–(8), ñâîäèì çàäà÷è (3), (7) ê çàäà÷àì êîíå÷íîìåðíîãî íåëèíåéíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, à (6), (8) — ê ïðåäåëüíûì ýêñòðåìàëüíûì ñòîõàñòè÷åñêèì çàäà÷àì, äëÿ êîòîðûõ èìå- þòñÿ ýôôåêòèâíûå ìåòîäû êâàçèãðàäèåíòíîãî òèïà [6, 7]. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÀÊÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÎËÅÉ Âûøå áûëè èçëîæåíû ïðèìåðû è ýâðèñòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé äëÿ ìî- äåëèðîâàíèÿ ðèñêà âîçíèêíîâåíèÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ñèòóàöèé â ðàçëè÷íûõ ñôåðàõ äåÿòåëüíîñòè. Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà èçëîæåíèè ìàòåìàòè- ÷åñêîãî àïïàðàòà, êîòîðûé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííûõ âûøå ïðîáëåì. Çäåñü íå áóäåì ïðèâîäèòü ôàêòû, êàñàþùèåñÿ òåîðèè óïðàâëÿ- åìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Êàê áûëî îòìå÷åíî, îíè äîñòàòî÷íî ïîëíî èçëî- æåíû â ðàáîòàõ [9–16]. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûå óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû ñ äèñ- êðåòíûì âðåìåíåì ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì è çàäàííûõ íà âûðîæäåííîì ãðàôå, ò.å èìåþùèì ëèøü îäíó âåðøèíó. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ïîäðàçóìåâàåò çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêèé êëàññ ñëó÷àéíûõ îáúåêòîâ, ÷åì ñëó÷àéíûå ïîëÿ íà ãðàôàõ. Ñëó÷àéíûì ïîëåì íàçûâàþò òàêæå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ñ ìíîãîìåðíûì àðãóìåíòîì, ïðè÷åì îí ìîæåò áûòü êàê äèñêðåòíûì, òàê è íåïðåðûâíûì. Òàêèå ñëó÷àéíûå ïîëÿ â äàííîé ñòàòüå íå ðàññìàòðèâàåì; îòìåòèì òîëüêî, ÷òî òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïîëåé êàê ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ ìíî- ãîìåðíûì àðãóìåíòîì äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíî ðàçâèâàåòñÿ, õîòÿ è â ýòîì ñëó- ÷àå òåîðèÿ óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ðàçâèòà â íåäîñòàòî÷íîé ìåðå. Ïå- ðåéäåì ê èçëîæåíèþ ðåçóëüòàòîâ. 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 Äëÿ ñèñòåì ñ ëîêàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè êîîðäèíàòàìè ñòðóêòóðà âçàè- ìîäåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ãðàôîì G V B� ( , ) ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V è ìíîæå- ñòâîì ðåáåð B. Îáîçíà÷èì { , }k j ðåáðî ãðàôà, êîòîðîå ñîåäèíÿåò âåðøèíû k è j . Îêðåñòíîñòü âåðøèíû k — ýòî ìíîæåñòâî âåðøèí N k j k j B( ) { { , }� �: } . Ïîëíàÿ îêðåñòíîñòü âåðøèíû k — ýòî ~ ( ) ( ) { }N k N k k� � , ò.å. îêðåñòíîñòü âåðøèíû k è ñàìà âåðøèíà k. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîäìíîæåñòâà âåðøèí K V� îïðåäåëèì åãî îêðåñòíîñòü N K N k k K ( ) ( )� � � è ïîëíóþ îêðåñòíîñòü ~ ( ) ( )N K N K K� � . Ïóñòü äëÿ êàæäîé âåðøèíû i V� èìååì ( , )X i iX — íåêîòîðîå êîìïàêòíîå ìåò- ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ áîðåëåâñêîé -àëãåáðîé X i . Ìíîæåñòâî X i (ñîîòâå- òñòâåííî ( , )X i iX ) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â âåðøèíå i. Äàëåå ïî- ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå X X i V i:� � � ìèíèìàëüíóþ -àëãåáðó-ïðîèçâåäåíèå X X� � � � ! "� i V i , ñãåíåðèðîâàííóþ � �i V iX . Ìíîæåñòâî X (ñîîòâåòñòâåííî ( , )X X ) íàçîâåì ãëîáàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé ñèñòåìû. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîä- ìíîæåñòâà âåðøèí K V# îáîçíà÷èì ìàðãèíàëüíûé âåêòîð xK ñîñòîÿíèÿ x: x x k K X XK k K i K i� � � � � � ( , ) . Îïðåäåëèì äëÿ K V� -ïîëå X X XK i K i i K i� � � � ! " � $ � � , ñãåíåðèðîâàííîå � �i K iX ; òàêèì îáðàçîì, X XV � . Äàëåå âåçäå ðàññìàòðèâàåì ôèêñèðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )% & P , íà êîòîðîì îïðåäåëåíû âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ââåäåì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ è ïîíÿòèÿ, èñïîëüçóåìûå â äàëüíåéøåì [17–19, 24]. Îïðåäåëåíèå 1 (ñëó÷àéíîå ïîëå). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �: ( , , )% & �P � � � $� � � � � � � � ( , ) ,X X i V i i K iX X íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ïîëåì íàä Ã V B� ( , ) (èëè ïðîñòî ñëó÷àéíûì ïîëåì íàä V ). Ìàðãèíàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî çíà÷å- íèÿìè â ïðîñòðàíñòâå X K îáîçíà÷èì �K (�k äëÿ K k� { }). Îïðåäåëåíèå 2. Ñëó÷àéíîå ïîëå � íàä ( , )V B ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k V� èìååò ìåñòî P C x P C x x X Ck k V k V k k k N k N k k( \| ) ( \| ) ,{ } { } ( ) ( )� � � �� ' �� X k , ãäå P C xk k N k N k( \| )( ) ( )� �� (ñîîòâåòñòâåííî P C xk k V k V k( \| ){ } { }� �� ) — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü íà ( , )X k kX ïðè óñëîâèè � N k N kx( ) ( )� (ñîîòâåòñòâåííî �V k V kx� ��{ } { }). Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ áèîëîãè÷åñêèìè, ýêîíîìè÷åñêèìè è èíæå- íåðíûìè ðåàëèçàöèÿìè, ñëó÷àéíûå ïîëÿ îïèñûâàþò ìãíîâåííîå ñîñòîÿíèå ñèñ- òåìû äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî âðåìåíè. Ýâîëþöèÿ òàêîé ñèñòåìû âî âðå- ìåíè îïèñûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì ïðîöåññîì � ñ îäíîìåðíûì âðåìåíåì. Â ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàåì � �� t , ÷òîáû îòìåòèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè. Ïóñòü t ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ: t � 0 1, , ... Äëÿ âåëè÷èíû � k t èíäåêñ k îáîçíà÷àåò âåðøèíó; òàêèì îáðàçîì, � k t îáîçíà÷àåò ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå äëÿ âðåìåíè t â âåðøèíå k íåêîòîðîãî âåêòîðíîçíà÷íîãî ïðîöåññà � �� { , ...}t t: 0,1 ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé ( , )X X . B ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Îïðåäåëåíèå 3 (ëîêàëüíûå ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè). Ïóñòü � �� { t , t � 01, , ...} , � t P X:( , , ) ( , )% & � X — ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì è ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé ( , )X X . Ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè � íàçûâàþòñÿ ëî- êàëüíûìè, åñëè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 103 P C x x P C x k t k t t k t k N k t N k { \| } { \| ~ ( ) ~ ( � � � � � � � ( ( � � � �1 1 � 0 0 ) }t (9) äëÿ k V� , x x Xt0 ( ( � � 1 , C Xk k� ñïðàâåäëèâî P t( )� �( (� 0 -ïî÷òè íàâåðíîå, ò.å. ïåðåõîäíàÿ âåðîÿòíîñòü â âåðøèíå k çàâèñèò òîëüêî îò ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà â åå ïîëíîé îêðåñòíîñòè â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè. Ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðî- öåññ � �� { , , , ...}t t 0 1 ñ ëîêàëüíûìè ïåðåõîäíûìè âåðîÿòíîñòÿìè, óäîâëåòâîðÿþ- ùèìè óñëîâèþ (9), áóäåì òàêæå íàçûâàòü ìàðêîâñêèì ñëó÷àéíûì ïîëåì. Â îïðåäåëåíèè 3 ïîíÿòèå ìàðêîâîñòè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ïîâåäåíèå ñëó÷àé- íîãî ïîëÿ íà íåêîòîðîì ïîäãðàôå K ãðàôà G ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïîëÿ â îêðåñòíîñòè âåðøèí N k j k j B( ) { { , }� �: } íå çàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ ïîëÿ âíå ïîäãðàôà K. Â îïðåäåëåíèè 3 ïîíÿòèå ìàðêîâîñòè ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îäèí èç àð- ãóìåíòîâ ïîëÿ èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âðåìÿ, à îñòàëüíûå àðãóìåíû ÿâëÿþòñÿ âåð- øèíàìè ãðàôà. Ýòî ïîëå äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáû÷íûé ìàð- êîâñêèé ïðîöåññ, ñîñòîÿíèå êîòîðîãî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé- íûì ïîëåì. Îäíàêî òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íå âñåãäà àäåêâàòíà ðåàëüíûì ÿâëåíèÿì. Áîëåå ïëîäîòâîðíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ïîëÿ êàê ìàðêîâñêîãî ïðîöåñ- ñà ñ ëîêàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 3. Òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ñëåäóþùàÿ: ñèñòåìà ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ÷èñ- ëà ÷àñòèö, ðàçâèòèå êîòîðûõ â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ îïèñûâàåòñÿ íå- çàâèñèìûìè öåïÿìè Ìàðêîâà. Íà ýâîëþöèþ ýòîé ñèñòåìû íàëàãàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñâÿçü. Ïîýòîìó ýâîëþöèÿ êàæäîé ÷àñòèöû íå áóäåò ìàðêîâñêîé, õîòÿ ýâîëþöèÿ âñåé ñèñòåìû èìååò ñâîéñòâî ìàðêîâîñòè, íî ýòî äîñòàòî÷íî ñëîæíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Â [18, 19] ïîêàçàíî, ÷òî ïîíÿòèå ìàðêîâîñòè â ñìûñëå îïðåäåëåíèé 2 è 3 òåñíî ìåæäó ñîáîé ñâÿçàíû è îïðåäåëåíèå ìàðêîâîñòè â ñìûñëå (9) òàê íàçûâàå- ìûì ñèììåòðè÷íûì óäâîåíèåì, îïèñàííûì â [19], ìîæíî ñâåñòè ê îïðåäåëåíèþ ìàðêîâîñòè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2. Îïðåäåëåíèå 4 (ëîêàëüíûå è ñèíõðîííûå ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè). Ðàñ- ñìîòðèì ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïîëÿ, ó êîòîðûõ ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè � ÿâëÿ- þòñÿ ñèíõðîííûìè, ò.å. îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàìè: P C x P C x K t K t t k K k t k t t{ \| } { \| }� � � � � � � � � �)1 1 P t� -ïî÷òè íàâåðíîå (10) ' �K V , x Xt � , C CK k K k K� � � � X . Åñëè ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà � óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (9) è (10), òî îí íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì ñ ëîêàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè è ñèíõðîííûìè êîìïîíåíòàìè. Ëîêàëüíûå ñòðàòåãèè. Èçëîæèì íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ, ïðèâåäåííûå â [24], îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâ ñîñòîÿíèé è óïðàâëåíèé. 1. Ïóñòü â ìîìåíòû ïåðåõîäà t � 0 1, , ... ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çà- âèñÿò îò ëîêàëüíîé èñòîðèè òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 3 è ðåøåíèÿ � i t â âåðøèíå i ïðèíèìàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âåðîÿòíîñòüþ i t , îñíîâûâàÿñü òîëüêî íà ëîêàëüíîé èñòîðèè h x a x a xi t N i i N i t i t N i t� ( (� � � � � � � � ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) , , ,0 0 1 1 � ñîñòîÿíèé îêðåñòíîñòè ~ ( )N i âåðøèíû i è íà ïðåäûäóùèõ ðåøåíèÿõ â âåðøèíå i . Åñëè i t i t i t i tA h h( ( )\| ) �1 , òî ñòðàòåãèÿ i t íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî äîïóñòèìîé è ïîñëåäî- âàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà (ðåøåíèé) i i t t N� �{ , } íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ëîêàëüíîé ñòðàòåãèåé äëÿ âåðøèíû i . Áóäåì íàçûâàòü � �( , )i i V äîïóñòèìîé ëîêàëüíîé ñòðàòåãèåé äëÿ ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. 2. Äîïóñòèìàÿ ëîêàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ � �( , )i i V íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ëîêàëüíîé ìàðêîâñêîé ñòðàòåãèåé, åñëè i t N i i N i t i t N i tx a x a x� ( (� � � � � � � � �\| , , ,~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) 0 0 1 1 � i t N i tx�� \| ~ ( ) , i V� . 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 Îòìåòèì, ÷òî ïîêà îïåðèðóåì ñ ìàðêîâñêèìè ñòðàòåãèÿìè, ìû ìîæåì äîïóñ- êàòü, ÷òî A hi t i t( ) çàâèñèò îò hi t òîëüêî ÷åðåç êîìïîíåíòó x N i t ~ ( ) ; ýòà îãðàíè÷åí- íàÿ çàâèñèìîñòü âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé A h A xi t i t i t N i t( ) ( )~ ( ) � . 3. Äîïóñòèìàÿ ëîêàëüíàÿ ìàðêîâñêàÿ ñòðàòåãèÿ � �( , )i i V íàçûâàåòñÿ äî- ïóñòèìîé ëîêàëüíîé ñòàöèîíàðíîé (ìàðêîâñêîé) ñòðàòåãèåé, åñëè i t N i x* � �( \| )~ ( ) � �** i t N i x( \| )~ ( ) , i V� , äëÿ ëþáûõ t t* *, è âñåõ x . 4. Äîïóñòèìàÿ ëîêàëüíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ñòðàòåãèÿ � �( , )i i V íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ëîêàëüíîé ñòàöèîíàðíîé äåòåðìèíèðîâàííîé (íåðàíäîìèçèðîâàí- íîé) ñòðàòåãèåé, åñëè i N i x( \| )~ ( ) � , i V� , ÿâëÿåòñÿ îäíîòî÷å÷íîé ìåðîé íà A xi t N i ( )~ ( ) , i V� , äëÿ ëþáûõ x. Êëàññ âñåõ äîïóñòèìûõ ëîêàëüíûõ ñòðàòåãèé îáîçíà÷èì LS; ïîäêëàññ äîïó- ñòèìûõ ëîêàëüíûõ ìàðêîâñêèõ ñòðàòåãèé — LS M . Êëàññ äîïóñòèìûõ ëîêàëüíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñòðàòåãèé t t� äëÿ ëþáûõ t t N, � îáîçíà÷èì LS S . Êëàññ äîïóñòèìûõ ëîêàëüíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ («÷èñòûõ») ñòðàòåãèé áó- äåì îáîçíà÷àòü LS P , êëàññ äîïóñòèìûõ ëîêàëüíûõ ñòàöèîíàðíûõ äåòåðìèíèðî- âàííûõ ñòðàòåãèé — LS D . Çàìå÷àíèå 1. Èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ LS LS LS LSD S M# # # è LS LS LSD P# # . Â äàííîì ñëó÷àå ëîãè÷íî ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòðîëü íàä çàâèñèìûì îò âðåìåíè ñëó÷àéíûì ïîëåì � âëèÿåò íà ýâîëþöèþ ñèñòåìû, êîòîðàÿ óïðàâëÿåòñÿ ïåðåõîä- íûìè âåðîÿòíîñòÿìè P C y i V a Q C y at t t i t t{ \| , ( : ) } ( \| , )� � � � � � � �1 1 1 , ãäå Q( \| , )� � � — ÿäðî ïåðåõîäà îò X A� äî X . Îïðåäåëåíèå 5. Ïàðà ( , )� íàçûâàåòñÿ óïðàâëÿåìûì ïðîöåññîì ñ ëîêàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñèíõðîííûìè êîìïîíåíòàìè ïî îòíîøåíèþ ê êîíå÷íîìó ãðàôó âçàèìîäåéñòâèÿ G V B� ( , ) , åñëè � �� ( , )t t N — ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé X X i V i� � � , � �( : )i i V — äîïóñòèìàÿ ëîêàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, à ïåðåõîäû � îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëþáîãî t P t t t t( , , , , )� � � � � �0 0 1 1( ( � � � -ïî÷òè íàâåðíîå äëÿ ëþáûõ K V C j Kj j# � �, , ,X y X a A yj j N j � �, ( )~ ( ) âûïîëíåíî óñëîâèå P C x a x a y K t K t t t t t{ \| , , , ,� � � � � � � � � �� ( ( � � �1 0 0 0 0 1 1 1 1 � � t a� �} � � � � � � ! " � � ) P C y aj t j N j t N j j t j j K � � �1 \| ,~ ( ) ~ ( ) � � � )Q C y a Q C y aj j N j j j K K K{ \| , } { \| , }~ ( ) . Åñëè K V� , òî Q C y a Q C y aV V( \| , ) ( \| , )� . Ìàðêîâñêîå ÿäðî Q Q jj V � �) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì è ñèíõðîííûì. Ðàññìîòðèì ïðåäïîëîæåíèÿ î ñòðóêòóðå óïðàâëåíèÿ [24]. 1. Ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè îò âðåìåíè, ò.å. ìíîæåñòâî A t íå çàâèñèò îò t è èìååì A x A xt ( ) ( )� # A äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t N� . 2. Äîïóñòèìûì ìíîæåñòâîì óïðàâëåíèé äëÿ âåðøèí i V� è êîíôèãóðàöèè (ñîñòîÿíèÿ) ñèñòåìû x X� ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà A xi ( ) è A x A xi i V ( ) ( )� � ) . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 105 Ââåäåì ôóíêöèþ çàòðàò. Åñëè âî âðåìÿ t N� ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè � t tx� è ïðèíÿòî ðåøåíèå îá óïðàâëåíèè � t ta� , òî ñèñòåìà èìååò ïîòåðè r x at t( , ) � 0. Òîãäà ñðåäíèå îæèäàåìûå ðàñõîäû çà âðåìÿ T ïðè íà÷àëüíîì çíà÷åíèè �0 � x 0 è ñòðàòåãèè ðàâíû îïðåäåëÿåòñÿ êàê Q x T r T x t t t T � �( ): ( , )0 0 0 1 1 � � �E , ãäå E x0 — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò óïðàâëÿåìîìó ïðîöåññó ( , )� ïðè �0 � x 0 . Ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ñòðàòåãèè +, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò ñðåäíèå îæèäàåìûå ðàñõîäû ïðè Ò� �, � ( ) inf lim ( )x R Q xLS x T TP 0 0 0 � � � � � � � �� sup . (11) Îïðåäåëåíèå 6. Ñòðàòåãèÿ + �LS P (êëàññà äîïóñòèìûõ ëîêàëüíûõ äåòåð- ìèíèðîâàííûõ («÷èñòûõ») ñòðàòåãèé) íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé, åñëè �( )x R x 0 � 0 + äëÿ ëþáîãî x X0 � . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Òåîðåìà 1 [24, òåîðåìà 3.39]. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ ( , )� � ñ ëî- êàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñèíõðîííûìè êîìïîíåíòàìè îòíîñèòåëüíî ãðàôà âçàèìîäåéñòâèÿ G V B� ( , ) ñ êîíå÷íûì ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé X äëÿ � è êî- íå÷íûì ïðîñòðàíñòâîì óïðàâëåíèé A. Ïóñòü ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé A t ( )� íå çàâèñÿò îò t. Òîãäà â êëàññå LS P äîïóñòèìûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ëî- êàëüíûõ ñòðàòåãèé ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ. Òåîðåìà 2 [24, òåîðåìà 3.60]. Ïóñòü A — êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàí- ñòâî, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A X A: 2� íåïðåðûâíî è ñóùåñòâóåò íåîòðè- öàòåëüíàÿ ìåðà � íà ( , )X X ïðè �( )X � 0 òàêàÿ, ÷òî �( ) ( \| , ), , ( ),C Q C x a C a A x x X � � �X . Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî: 1) ôóíêöèÿ r x a( , ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ( , ( ))x a A x� ; 2) âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà Q C x a x a( \| , ), ( , )��, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî a äëÿ ëþáûõ x X� è C �X. Òîãäà â LS D ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ . Ôóíêöèþ : X A� ìîæíî âûáðàòü èç ïåðâîãî êëàññà Áýðà, ò.å. ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòî÷å÷- íîãî ïðåäåëà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. ÌÅÒÎÄÛ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ Ðàññìîòðèì ìåòîäû íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, äëÿ êðèòåðèÿ ñ äèñêîíòèðîâàíèåì â ñëó÷àå íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå Áåëëìàíà è èçâåñò- íû ìåòîäû åãî ðåøåíèÿ. Êàê áûëî îòìå÷åíî, äëÿ êðèòåðèÿ (6) â ñèëó åãî íå- àääèòèâíîñòè óðàâíåíèå Áåëëìàíà íå èìååò ìåñòà, íî ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò ìåòîäû äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé. Îá îäíîì èç ýòèõ ìåòî- äîâ — ìåòîäå Õîâàðäà [11] âûøå óæå óïîìèíàëîñü. Ìåòîä ñâåäåíèÿ ê çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèìñÿ íà ìåòîäå, ïðåäëîæåííîì â [28, 29], äëÿ ñëó÷àÿ êîíå÷íîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñî- ñòîÿíèé è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé. Êàê è ðàíåå, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 P x x a y a K t K t t t{ \| , , ( ) , , , ( , , ) }� � � � � � � � � � � � �1 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � ) P x y j K j t j N j t N j j t N j N j { \| , ( , , � ( ) � ( ) � ( ) � ( � � � � �1 0 � ) ) }t ja� � � � � )Q x y a Q x y aj j K j N j j K K{ \| , } ( \| , ),� ( ) ãäå K V� , y X� , a A y� ( ) . Åñëè K V� , òî Q x y a P x yt t( \| , ) { \|� � � � �1 , � t a� } . Î÷åâèäíî, ÷òî Q x y a x X ( \| , ) � � �1 äëÿ y X� . Ñâåäåì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãàììèðîâàíèÿ. Ïóñòü P a y y at t{ \| } ( , )� � � � � è a A y a � � �( , ) .1 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � äëÿ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè ÿâëÿåòñÿ îä- íîðîäíîé ïî âðåìåíè ìàðêîâñêîé öåïüþ ñ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ p y x P x y y a Q y a x y Xt t a A � � ( , ) { , } ( , ) ( , ), ,� � � � � � �1 . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáîé ñòðàòåãèè ïåðåõîäíàÿ âåðîÿòíîñòü p y x ( , ) ìàðêîâñêîé öåïè � ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ñ íåêîòîðûì åäèíñòâåí- íûì ïîëîæèòåëüíûì ðåêóððåíòíûì ìíîæåñòâîì X . Òîãäà äëÿ ñòðàòåãèè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïðåäåëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå p p x x X � �( ( ); ) äëÿ � , êîòîðîå ìîæåò çàâèñåòü îò . Ôóíêöèÿ ñòîèìîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ ñåïàðàáåëüíîé èñõîäÿ èç îïðåäåëå- íèÿ 3.44 èç [24] îòíîñèòåëüíî îïèñàííîé âûøå ñèñòåìû îêðåñòíîñòåé. Ìàòåìà- òè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíèõ çàòðàò çà âðåìÿ T ïðè ñòðàòåãèè ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì y X� èìååò âèä E T r r x a T P x ay t T t t a A y t t t � � � � 1 1 1 10 � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) �� 0 T x X . Èç ýðãîäè÷íîñòè � äëÿ ôèêñèðîâàííîé ñòðàòåãèè ñëåäóåò, ÷òî ñîîòíîøåíèå 1 1 0T P x a p x x ay t t t T T � � , �,, � �� ( , ) ( ) ( , ) èìååò ìåñòî íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ y X� . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïðåäåëà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíèõ çàòðàò ïðè ñòðàòåãèè è íà÷àëü- íîãî ñîñòîÿíèÿ y X� èìååì � � � ( , ) lim ( , ) ( , ) ( )y E T r r x a p x T y t T t t a � � �� sup 1 1 0 Ax X x a�� ( , ). Ïðè z x a p x x a ( , ) ( ) ( , )� äàííàÿ ïðîáëåìà, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî ñî- ñòîÿíèÿ y X� , ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è min ( , ) ( , ) � �� -S r x a z x a a Ax X . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 107 Èñõîäÿ èç ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâà- íèÿ: íàéòè min ( , ) ( , ) ( , ): ,z x a x X a A a Ax X r x a z x a � � �� ïðè îãðàíè÷åíèÿõ z x a x X a A( , ) , ,� � �0 , z x a z y a Q x y a x X a A a Ay X ( , ) ( , ) ( \| , ), , � �� z y a a Ay X ( , ) . �� 1 Ëþáîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ z y a a A ( , ) � � � 0 äëÿ âñåõ y X� . Îáîçíà÷èâ ( , ) ( , ) ( , ) x a z x a z x a a A � � � äëÿ âñåõ y X� , a A� , ïîëó÷èì îïòèìàëüíîå ðåøåíèå * â êëàññå ìàðêîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ñòðàòå- ãèé. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ðåøåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé è ïðåäñòàâëÿåò äåòåðìèíèðîâàííóþ ñòðà- òåãèþ. Äàëüíåéøåå îáñóæäåíèå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðî- âàíèÿ äëÿ ïîèñêà îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé, â òîì ÷èñëå äëÿ íåýðãîäè÷åñêîãî ñëó÷àÿ, ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [16]. Ñòîõàñòè÷åñêèå êâàçèãðàäèåíòíûå ìåòîäû. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ (ñì., íà- ïðèìåð, òåîðåìó 2) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñóùåñòâóåò â âèäå äåòåðìèíèðîâàí- íîé ñòàöèîíàðíîé ñòðàòåãèè, çàâèñÿùåé òîëüêî îò ñîñòîÿíèÿ óçëà è ñîñòîÿíèÿ îêðåñòíîñòè. Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûðîæäåííûå äåòåðìèíèðî- âàííûå óïðàâëåíèÿ (ïîñòîÿííûå ôóíêöèè), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âåêòîðíûìè ïåðå- ìåííûìè, ïðèâÿçàííûìè ê êàæäîìó óçëó. Â ýòîì ñëó÷àå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (3), (6)–(8), (11) ïðåîáðàçóþòñÿ â çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàì- ìèðîâàíèÿ, ò.å. çàäà÷è îïòèìèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî íåêîòîðîé äå- òåðìèíèðîâàííîé âåêòîðíîé ïåðåìåííîé. Ê òàêèì æå çàäà÷àì ïðèõîäèì, åñëè èçâåñòíà (èëè âûáðàíà, íàïðèìåð, â âèäå îòðåçêà ðàçëîæåíèÿ óïðàâëåíèÿ â ðÿä ïî íåêîòîðîìó áàçèñó) ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé, êî- òîðàÿ çàòåì ïîäñòàâëÿåòñÿ â óêàçàííûå çàäà÷è (3), (6)–(8), (11). Íåñìîòðÿ íà çíà- ÷èòåëüíûå óïðîùåíèÿ, ïîëó÷åííûå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ âñå åùå îñòàþòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûìè, ïîñêîëüêó òðåáóþò ìèíèìèçàöèè ìíî- ãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ ïî ïàðàìåòðàì è, êðîìå òîãî, ýòè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ íåâû- ïóêëûìè è íåãëàäêèìè. Îäíàêî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììè- ðîâàíèÿ òàêîãî òèïà ñóùåñòâóåò ðÿä ìåòîäîâ, â ÷àñòíîñòè ñòîõàñòè÷åñêèå êâàçèã- ðàäèåíòíûå ìåòîäû [6, 7, 30]. Äëÿ èõ ïðèìåíåíèÿ íóæíû îöåíêè çíà÷åíèé è ñòîõàñòè÷åñêèõ ãðàäèåíòîâ öåëåâûõ ôóíêöèé çàäà÷è, à èìåííî ïîëó÷èòü ðåàëè- çàöèè çíà÷åíèé è ãðàäèåíòîâ ôóíêöèé, ñòîÿùèõ ïîä çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â (3), (6)–(8), (11). Èíûìè ñëîâàìè, íåîáõîäèìî ñèìóëèðîâàòü ñëó÷àé- íûå ðåàëèçàöèè íåêîòîðûõ ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ìàðêîâñêèõ ïîëåé. Ïîñêîëü- êó ìàðêîâñêèå ïîëÿ — ýòî, ïî ñóùåñòâó, ãèááñîâñêèå ïîëÿ, òî äëÿ ñèìóëÿöèè çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé èñïîëüçóþò ãèááñîâñêèå ñëó÷àéíûå ãåíåðàòîðû [31]. Ïîëó÷åíèå ðåàëèçàöèé ãðàäèåíòîâ ýòèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ åùå áîëåå ñëîæíîé çàäà÷åé. Äëÿ áàéåñîâñêèõ ñåòåé íà îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ, êî- òîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìàðêîâñêîãî ïîëÿ, äàííàÿ çàäà÷à ðåøåíà â ðà- áîòàõ [32, 33], ãäå ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ãðàäèåíòîâ êàê ðåà- ëèçàöèé íåêîòîðîãî âåêòîðíîãî ìàðêîâñêîãî ïîëÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ðåøåíèè âåêòîðíûõ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî îïòè- ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, íàïðèìåð (7), èëè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðíûõ íåâûïóê- ëûõ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü âñþ ïàðå- 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 òî-îïòèìàëüíóþ ãðàíèöó. Â ðàáîòå [34] ïîäîáíàÿ çàäà÷à âåêòîðíîé ñòîõàñòè÷åñ- êîé îïòèìèçàöèè ôèíàíñîâîãî ïîðòôåëÿ ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè. Ýòîò æå ïîäõîä ìîæåò áûòü ïðèìåíåí è äëÿ ðåøåíèÿ âåêòîðíîé çàäà÷è (7). ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ óïðàâëÿåìûõ ìàðêîâñêèõ ïîëåé äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ, âûçâàííûõ ïðè- ðîäíûìè ÿâëåíèÿìè èëè òåððîðèñòè÷åñêèìè óãðîçàìè. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñâåäåíèÿ ýòèõ ìîäåëåé ê êîíå÷íîìåðíûì çàäà÷àì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðî- âàíèÿ è ðåøåíèÿ ïîñëåäíèõ ìåòîäîì ñòîõàñòè÷åñêèõ êâàçèãðàäèåíòîâ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. D a y k i n C . D . , P e n t i k a i n e n Ò . , P e s o n e n M . Practical risk theory for actuaries. — London; New York: Chapman and Hall, 1993. — 576 p. 2. K a a s R . , G o o v a e r t s M . , D h a e n e J . , D e n u i t M . Modern actuarial risk theory. Using R. 2-nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — 381 p. 3. W a l k e r G . Current developments in catastrophe modelling // Finanfial Risks Management for Natural Catastrophes / Eds. N.R. Britton, J. Oliver. — Brisbane (Australia): Griffith. Univ., 1997. — P. 17–35. 4. A m e n d o l a A . e t a l . ( e d s . ) . Integrated catastrophe risk modeling: Supporting policy processes / Advances in Natural and Technological Hazards Research, 32. — Dordrecht: Springer, 2013. — 287 p. 5. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . , Å ð ì î ë ü å â à Ò . Þ . , Ì à ê ä î í à ë ü ä Ã . , Í î ð ê è í Â . È . Ïðîáëåìû ñòðàõîâàíèÿ êàòàñòðîôè÷åñêèõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2001. — ¹ 2. — Ñ. 90–110. 6. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 276 ñ. 7. E r m o l i e v Y u . , W e t s R . J . - B . ( E d s . ) Numerical techniques for stochastic optimization / Springer series in computational mathematics, 10. — Berlin: Springer-Verlag, 1988. — 592 p. 8. R u s z c z y n' s k i A . , S h a p i r o A . ( E d s . ) Stochastic programming // Handbooks in OR & MS. — Amsterdam: Elsvier, 2003. — 10. — 688 p. 9. Á å ë ë ì à í Ð . Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. — Ì.: Èíîñòð. ëèò., 1960. — 400 ñ. 10. H o w a r d R . A . Dynamic programming and Markov processes. — New York; London: Technology Press and Wiley, 1960. — 136 p. 11. D e r m a n C . Finite state Markovian decision processes. — New York; London: Akademic Press, 1970. — 159 p. 12. Ä û í ê è í Å . Á . , Þ ø ê å â è ÷ À . À . Óïðàâëÿåìûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 338 ñ. 13. Ì à é í Õ . , Î ñ à ê è Ñ . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. — Ì.: Ìèð, 1977. — 176 ñ. 14. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Êèåâ: Íàóê. äóì- êà, 1977. — 252 ñ. 15. B e r t s e k a s D . P . , S h r e v e S . E . Stochastic optimal control: The discrete-time case. — Massachusett: Athena Scientific, 2007. — 323 p. 16. Ï è ó í î â ñ ê è é À . Á . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ìåòîäû âûïóêëîãî àíà- ëèçà è çàäà÷è ñ ôóíêöèîíàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Óñïåõè ìàò. íàóê. — 1998. — 53, âûï. 6. — Ñ. 129–192. 17. Â à ñ è ë ü å â Í . Á . , Ê î ç ë î â Î . Ê . Îáðàòèìûå öåïè Ìàðêîâà ñ ëîêàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì / Ìíîãîêîìïîíåíòíûå ñëó÷àéíûå ñèñòåìû. — Ì.: Íàóêà, 1978. — Ñ. 83–100. 18. K o z l o v O . K . , V a s i l y e v N . B . Reversible Markov chains with local interactions / R.L. Dobrushin and Y.G. Sinai (Eds.). Multicomponent Random Systems. Advances in probability and related topics. — New York: Mracel Dekker, 1980. — 6. — P. 451–469. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1 109 19. À â å ð è í ö å â Ì . Á . Îïèñàíèå ìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ïðè ïîìîùè ãèááñîâñêèõ óñëîâ- íûõ âåðîÿòíîñòåé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè è åå ïðèìåíåíèå. — 1972. — 17, ¹ 1. — P. 21–35. 20. L i g e t t T . M . Interacting particle systems. — Berlin: Springer, 1985. — 496 p. 21. L i g e t t T . M . Stochastic interacting systems: contact, voter, and exclusion processes. — Berlin: Springer, 1999. — 332 p. 22. Ä à ä ó í à Ã . , Ê í î ï î â Ï . Ñ . , × î ð í å é Ð . Ê . Ëîêàëüíîå óïðàâëåíèå ìàðêîâñêèìè ïðîöåññà- ìè âçàèìîäåéñòâèÿ íà ãðàôàõ ñ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì- íûé àíàëèç. — 2001. — ¹ 3. — Ñ. 62–77. 23. D a d u n a H . , K n o p o v P . S . , C h o r n e i R . K . Controlled semi-Markov fields with graph-structured compact state space // Theory of Probability and Mathematical Statistics. — 2004. — 69. — P. 39–53. 24. C h o r n e i R . K . , D a d u n a H . , K n o p o v P . S . Control of spatially structured random processes and fields with applications. — New York: Springer, 2006. — 261 p. 25. C h o r n e i R . K . , D a d u n a H . , K n o p o v P . S . Controlled Markov fields with finite space on graphs // Stochastic Models. — 2005. — 21. — P. 847–874. 26. E r m o l i e v Y . , E r m o l i e v a Ò . , N o r k i n V . I . Economic growth under shocks: path dependencies and stabilization / Micro-Meso-Macro: Addressing Complex Systems Couplings, H. Liljenstroem, U. Svedin (eds.). — London: World Scientific, 2005. — P. 289–302. 27. Í î ð ê è í Â . È . Îá îöåíêå ðèñêà êàòàñòðîôè÷åñêîãî ñïàäà â ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ýêîíî- ìè÷åñêîãî ðîñòà / Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2007. — Ñ. 41–50. 28. M a n n e A . Linear programming and sequential decisions // Manage. Sci. — 1960. — 6. — P. 259–267. 29. D e r m a n Ñ . Markovian sequential decision processes / Stochastic Processes in Mathematical Physics and Engineering. Proceedings of symposia in applied mathematics. — Providence: AMS, 1964. — 16. — P. 281–289. 30. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . , Í î ð ê è í Â . È . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåâûïóêëûõ íåãëàäêèõ çàäà÷ ñòîõà- ñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 5. — Ñ. 89–106. 31. B r �m a u d P . Markov chains, Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues. — New York: Springer-Verlag, 1999. — 444 p. 32. E r m o l i e v Y . , G a i v o r o n s k i A . , M a k o w s k i M . Robust design of networks under risks / K. Marti et al. (eds.). Coping with Uncertainty. Lecture notes in economics and mathematical systems. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. — 633. — P. 101–137. 33. B e c k e r D . M . , G a i v o r o n s k i A . A . Stochastic optimization on social networks with application to service pricing // Comput. Manag. Sci., 2013. — P. 1–32. (Published online, DOI 10.1007/s10287–013–0201–7). 34. J e v n e H . K . , H a d d o w P . C . , G a i v o r o n s k i A . A . Evolving constrained mean-VaR efficient frontiers / Evolutionary Computation (CEC), WCCI 2012 IEEE World Congress on Computational Intelligence. — Australia: Brisbane, IEEE, 2012. — P. 1–8. Ïîñòóïèëà 30.09.2014 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 1

Математическое моделирование распределенных катастрофических и террористических рисков

Репозитарії

Схожі ресурси