Численный анализ системы обслуживания с обратной связью
Предложена математическая модель многоканальной системы массового обслуживания с обратной связью, в которой обратная связь с системой осуществляется благодаря возвращению части первичных вызовов для повторного обслуживания. При этом вероятность возврата зависит от текущего числа занятых каналов сист...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124839 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численный анализ системы обслуживания с обратной связью / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, Х.Н. Кулиева // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 82-89. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124839 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1248392017-10-07T03:03:36Z Численный анализ системы обслуживания с обратной связью Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Кулиева, Х.Н. Системный анализ Предложена математическая модель многоканальной системы массового обслуживания с обратной связью, в которой обратная связь с системой осуществляется благодаря возвращению части первичных вызовов для повторного обслуживания. При этом вероятность возврата зависит от текущего числа занятых каналов системы. Изучены модели с конечным и бесконечным размерами орбита для пребывания повторных вызовов. Разработаны точный и приближенный методы расчета характеристик рассматриваемой модели. Запропоновано математичну модель багатоканальної системи масового обслуговування зі зворотним зв’язком, в якій зворотний зв’язок із системою здійснюється завдяки поверненню частини первинних викликів для повторного обслуговування. При цьому ймовірність повернення залежить від поточного числа зайнятих каналів системи. Вивчено моделі зі скінченими та нескінченими розмірами орбіту для перебування повторних викликів. Розроблено точний та наближений методи розрахунку характеристик розглянутої моделі. A mathematical model of the multichannel queueing system with pure losses and feedback is proposed. The feedback occurs as returning a part of serviced calls to get a new service. The probability of returning to orbit depends on the number of busy channels. Both models with finite and infinite orbits are examined. Both exact and approximate methods to calculate characteristics of the system are developed. The results of numerical experiments are given. 2015 Article Численный анализ системы обслуживания с обратной связью / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, Х.Н. Кулиева // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 82-89. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124839 519.872 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Кулиева, Х.Н. Численный анализ системы обслуживания с обратной связью Кибернетика и системный анализ |
| description |
Предложена математическая модель многоканальной системы массового обслуживания с обратной связью, в которой обратная связь с системой осуществляется благодаря возвращению части первичных вызовов для повторного обслуживания. При этом вероятность возврата зависит от текущего числа занятых каналов системы. Изучены модели с конечным и бесконечным размерами орбита для пребывания повторных вызовов. Разработаны точный и приближенный методы расчета характеристик рассматриваемой модели. |
| format |
Article |
| author |
Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Кулиева, Х.Н. |
| author_facet |
Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Кулиева, Х.Н. |
| author_sort |
Меликов, А.З. |
| title |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| title_short |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| title_full |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| title_fullStr |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| title_full_unstemmed |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| title_sort |
численный анализ системы обслуживания с обратной связью |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124839 |
| citation_txt |
Численный анализ системы обслуживания с обратной связью / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, Х.Н. Кулиева // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 82-89. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT melikovaz čislennyjanalizsistemyobsluživaniâsobratnojsvâzʹû AT ponomarenkola čislennyjanalizsistemyobsluživaniâsobratnojsvâzʹû AT kulievahn čislennyjanalizsistemyobsluživaniâsobratnojsvâzʹû |
| first_indexed |
2025-07-09T02:07:44Z |
| last_indexed |
2025-07-09T02:07:44Z |
| _version_ |
1837133339030454272 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.872
À.Ç. ÌÅËÈÊÎÂ, Ë.À. ÏÎÍÎÌÀÐÅÍÊÎ, Õ.Í. ÊÓËÈÅÂÀ
×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÑÈÑÒÅÌÛ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß
Ñ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÑÂßÇÜÞ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëó-
æèâàíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðîé îáðàòíàÿ ñâÿçü ñ ñèñòåìîé îñóùåñòâëÿåòñÿ áëàãîäàðÿ
âîçâðàùåíèþ ÷àñòè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ äëÿ ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü
âîçâðàòà çàâèñèò îò òåêóùåãî ÷èñëà çàíÿòûõ êàíàëîâ ñèñòåìû. Èçó÷åíû ìîäåëè ñ êîíå÷íûì è
áåñêîíå÷íûì ðàçìåðàìè îðáèòà äëÿ ïðåáûâàíèÿ ïîâòîðíûõ âûçîâîâ. Ðàçðàáîòàíû òî÷íûé
è ïðèáëèæåííûé ìåòîäû ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, îáðàòíàÿ ñâÿçü, ÷èñëåííûé àíàëèç.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ÑÌÎ), â êî-
òîðûõ îáñëóæåííûå âûçîâû òðåáóþò ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ â çàâèñèìîñòè
îò íåêîòîðûõ ôàêòîðîâ (íàïðèìåð, îò êà÷åñòâà îáñëóæèâàíèÿ, îò âðåìåíè ïðå-
áûâàíèÿ â ñèñòåìå è ò.ä.). Òàêèå ñèòóàöèè ïðèâû÷íû â ìóëüòèàãåíòíûõ ñèñòå-
ìàõ (ÌÀÑ), ãäå çàïðîñû, ïîëó÷èâøèå óäîâëåòâîðèòåëüíîå îáñëóæèâàíèå, ÷åðåç
íåêîòîðîå âðåìÿ ìîãóò îïÿòü ïîòðåáîâàòü ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ ó ýòèõ
àãåíòîâ. Ôóíêöèîíèðîâàíèå òàêèõ ÌÀÑ äîñòàòî÷íî òî÷íî îïèñûâàåòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ ìîäåëåé ÑÌÎ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, òî÷íåå ìîäåëåé ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè
âûçîâàìè. Ïîäðîáíûé ñïèñîê ðàáîò ïî äàííîìó íàïðàâëåíèþ ïðèâåäåí â [1–3].
Âìåñòå ñ òåì, â îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ìîäåëåé ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâà-
ìè, â ìîäåëÿõ ÑÌÎ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â íàñòîÿùåé
ñòàòüå, îðáèò (èñòî÷íèê ïîâòîðíûõ âûçîâîâ) îáðàçóåòñÿ íå âíîâü ïîñòóïèâøèìè
âûçîâàìè, à îáñëóæåííûìè âûçîâàìè.
Òåîðèÿ ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè äëÿ
ðàñ÷åòà èõ õàðàêòåðèñòèê ïîäðîáíî îïèñàíû â [4]. Èñ÷åðïûâàþùèé ñïèñîê ðà-
áîò, ïîñâÿùåííûõ ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè, ïðèâåäåí â [5].
Èç àíàëèçà óêàçàííûõ ïóáëèêàöèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè çà÷àñòóþ íå óäàåòñÿ ïî-
ëó÷èòü ÿâíûå ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû è äàæå ðàçðàáîòàòü áîëåå èëè ìåíåå ýôôåêòèâ-
íûå âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè (íàïðèìåð, â âèäå îïðåäåëåííûõ ðåêóðñèâíûõ àë-
ãîðèòìîâ) äëÿ ñèñòåì ñ ÷èñëîì êàíàëîâ áîëüøå äâóõ. Ïîýòîìó ðàçðàáîòêà íîâûõ
ïîäõîäîâ äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà ìíîãîêàíàëüíûõ ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè è
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ èõ ðàñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìîé.
Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî ìîäåëè ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè, â êîòî-
ðûõ îðáèò îáðàçóåòñÿ âûçîâàìè, ïîëó÷èâøèìè îáñëóæèâàíèå, â äîñòóïíîé ëèòå-
ðàòóðå íåäîñòàòî÷íî èññëåäîâàíû [6].  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàþòñÿ òî÷íûé è
ïðèáëèæåííûé ìåòîäû àíàëèçà õàðàêòåðèñòèê ìîäåëè ÑÌÎ äàííîãî òèïà. Îòëè-
÷èòåëüíàÿ îñîáåííîñòü ïðèáëèæåííîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿ-
åò ðàçðàáîòàòü ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê èçó÷àåìîé ñèñòåìû.
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÑÂßÇÜÞ
Ñõåìà èçó÷àåìîé ñèñòåìû ïîêàçàíà íà ðèñ. 1. Íà âõîä ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé
N >1 àâòîíîìíûõ è èäåíòè÷íûõ àãåíòîâ (êàíàëîâ), ïîñòóïàåò ïóàññîíîâñêèé ïî-
òîê âûçîâîâ ñ èíòåíñèâíîñòüþ l . Ýòè âûçîâû íàçûâàþòñÿ ïåðâè÷íûìè âûçîâàìè.
Âðåìåíà îáðàáîòêè âûçîâîâ — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àé-
íûå âåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ óêàçàííûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí äëÿ âñåõ âûçîâîâ ÿâëÿþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûìè ñ îáùèì ñðåäíèì 1/ m.
Ïî îêîí÷àíèè ïðîöåññà îáðàáîòêè âûçîâà (ïåðâè÷íîãî èëè ïîâòîðíîãî) îí ñ
âåðîÿòíîñòüþ s i òðåáóåò ïîâòîðíîé îáðàáîòêè; ýòà âåðîÿòíîñòü çàâèñèò îò ïàðàìåò-
ðà i, êîòîðûé óêàçûâàåò ÷èñëî çàíÿòûõ êàíàëîâ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ìîìåíòîì
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
© À.Ç. Ìåëèêîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, Õ.Í. Êóëèåâà, 2015
óõîäà äàííîãî âûçîâà, i N=1 2, , ... , ; ñ äî-
ïîëíèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1- si ïåð-
âè÷íûé âûçîâ îêîí÷àòåëüíî ïîêèäàåò ñèñ-
òåìó. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî si > 0
õîòÿ áû äëÿ îäíîãî i i N, , , ... ,=1 2 .
Âûçîâû, òðåáóþùèå ïîâòîðíîãî îá-
ñëóæèâàíèÿ, îðãàíèçóþò èñòî÷íèê (îðáèò)
ïîâòîðíûõ âûçîâîâ ñ ìàêñèìàëüíûì
ðàçìåðîì R R, 0< < ¥ . Îãðàíè÷åííîñòü
îáúåìà îðáèòà îçíà÷àåò, ÷òî âûçîâ ïðèíè-
ìàåòñÿ òîãäà, êîãäà â ìîìåíò åãî ïîñòóï-
ëåíèÿ îáùåå ÷èñëî ïîâòîðíûõ âûçîâîâ
ìåíüøå R , èíà÷å îí ïîêèäàåò ñèñòåìó.
Âûçîâû èç îðáèòà (ïîâòîðíûå âûçîâû) ïîñòóïàþò ÷åðåç ñëó÷àéíûå ìîìåíòû
âðåìåíè, êîòîðûå ïîä÷èíÿþòñÿ ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñî ñðåäíèì
1/ h. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâòîðíûå âûçîâû ÿâëÿþòñÿ íàñòîé÷èâûìè, ò.å. åñëè â ìî-
ìåíò ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîðíîãî âûçîâà âñå êàíàëû çàíÿòû, òî îí îêîí÷àòåëüíî ïî-
êèäàåò ñèñòåìó ñ âåðîÿòíîñòüþ a j , à ñ äîïîëíèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1- a j âîç-
âðàùàåòñÿ â îðáèò, ãäå j — òåêóùåå ÷èñëî âûçîâîâ â îðáèòå, j R=1 2, , ... , .
×àñòíûå ñëó÷àè. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ìîäåëè ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðà-
ìè si i N, , , ... ,=1 2 , è a j R=1 2, , ... , . Áîëåå èíòåðåñíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ÿâ-
ëÿþòñÿ ìîäåëè, â êîòîðûõ ýòè ïàðàìåòðû èìåþò ïîðîãîâûé (ðåëåéíûé) õàðàêòåð
èçìåíåíèÿ, ò.å. îíè îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
si
i n
i n
=
<
³
ì
í
î
1
0
, ,
, ;
åñëè
åñëè
a j
j r
j r
=
>
³
ì
í
î
1
0
, ,
, ,
åñëè
åñëè
(1)
ãäå n n N, 1< £ , è r r R, 1< £ , — èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
Óðàâíåíèÿ (1) îïèñûâàþò ìîäåëè, â êîòîðûõ âûçîâû ïîñòóïàþò â îðáèò ëèøü
òîãäà, êîãäà â ìîìåíò èõ óõîäà èç ñèñòåìû îáùåå ÷èñëî âûçîâîâ â êàíàëàõ ìåíüøå
îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû n n N, 1< £ , à ïîâòîðíûå âûçîâû îêîí÷àòåëüíî ïîêèäàþò
ñèñòåìó (ò.å. â äàëüíåéøåì íå ïîâòîðÿþò ïîïûòîê ïîëó÷åíèÿ îáñëóæèâàíèÿ), åñëè
â ìîìåíòû èõ ãåíåðàöèè âñå êàíàëû ñèñòåìû çàíÿòû è ÷èñëî âûçîâîâ â îðáèòå
áîëüøå íåêîòîðîé âåëè÷èíû r r R, 1< £ . Ýòè ñõåìû íàèáîëåå àäåêâàòíî ñîîòâåò-
ñòâóþò ðåàëüíîìó ïîâåäåíèþ âûçîâîâ â ÑÌÎ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ.
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû — âåðîÿòíîñòè ïîòåðè
ïåðâè÷íûõ ( )Pp è ïîâòîðíûõ ( )Pr âûçîâîâ, ñðåäíåå ÷èñëî çàíÿòûõ êàíàëîâ
( )N au , à òàêæå ïîâòîðíûõ âûçîâîâ â îðáèòå ( )L0 . Ïðîáëåìà ñîñòîèò â îïðåäåëå-
íèè óêàçàííûõ õàðàêòåðèñòèê.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ
Ñîñòîÿíèå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿ-
åòñÿ äâóìåðíûì âåêòîðîì ( , )i j , ãäå i — ñóììàðíîå ÷èñëî âûçîâîâ (ïåðâè÷íûõ è
ïîâòîðíûõ) â êàíàëàõ, i N= 0 1, , ... , , à j — ÷èñëî ïîâòîðíûõ âûçîâîâ â îðáèòå,
j R= 0 1, , ... , . Èñõîäÿ èç âèäà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ó÷àñò-
âóþùèõ â ôîðìèðîâàíèè ìîäåëè, îïðåäåëÿåì, ÷òî èçó÷àåìàÿ ñèñòåìà îïèñûâàåò-
ñÿ äâóìåðíîé öåïüþ Ìàðêîâà (ÖÌ). Ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû,
ò.å. ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ÔÏÑ) óêàçàííîé ÖÌ, çàäàåòñÿ òàê:
S i j i N j R= = ={ }( , ) : , , ... , ; , , ... ,0 1 0 1 . (2)
Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ ( , )i j â ñîñòîÿíèå ( , )m n îáîçíà÷èì
q i j m n(( , ), ( , )). Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ âåëè÷èí ñîñòàâëÿåò ïðîèçâîäÿùóþ ìàòðèöó
äàííîé ÖÌ. Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ îïðåäåëÿþòñÿ òàê (ðèñ. 2).
Ñëó÷àé 0 1£ £ -i N :
q i j m n
m n i j
i m ni(( , ), ( , ))
, ( , ) ( , ),
, ( , )
=
= +
=
l
ms
åñëè
åñëè
1
( , ),
, ( , ) ( , ),
i j
j m n i j
- +
= + -
ì
í
ïï
î
ï
ï
1 1
1 1
0
h åñëè
(3)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 83
Ïåðâè÷íûå
âûçoâû
1
2
.
.
.
Nh
l
Àãåíòû
Âûõîä
1 - si
si
Îðáèò
(ïîâòîðíûå
âûçoâû)
Ðèñ. 1. Ñõåìà ñèñòåìû
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ñëó÷àé i N= :
q N j m n
N m n N j
j
N
j(( , ), ( , ))
, ( , ) ( , ),
, (=
= - +ms
ha
åñëè
åñëè
1 1
m n N j, ) ( , ),= -
ì
í
ï
î
ï
1
0
(4)
Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ öåïü ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé, è ïîýòî-
ìó â íåé ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíûé ðåæèì. Ïóñòü p i j( , ) — ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿò-
íîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )i j SÎ . Ýòè âåðîÿòíîñòè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñ-
òåìå óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (ÑÓÐ), êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåòñÿ íà îñíîâå ñîîòíîøåíèé
(3), (4). Îíà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
p i j I i N i j j p i j I i I j R( , )( ( ) ) ( ) ( , ) ( ) ( )l m h h< + + = + - + > <1 1 1 0 +
+ + + + + - ++ +( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) (j p N j i N i p i j Ij i1 1 1 1 11 1ha d m s i N< +)
+ - > + + + - >+l msp i j I i i p i j I ji( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )1 0 1 1 1 01 , (5)
ãäå I A( ) — èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñîáûòèÿ A, d( , )i j — ñèìâîëû Êðîíåêåðà.
Ê ýòîé ÑÓÐ äîáàâëÿåòñÿ óðàâíåíèå íîðìèðîâêè
p i j
i j S
( , )
( , )Î
å =1 . (6)
Ðàçìåðíîñòü ÑÓÐ (5), (6) îïðåäåëÿåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿ-
íèé (2). Ê ñîæàëåíèþ, íå óäàåòñÿ íàéòè àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé, ïîýòîìó äëÿ åå ðåøåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àë-
ãåáðû, â ÷àñòíîñòè èçâåñòíûé ìåòîä Ãàóññà–Çåéäåëÿ. Ïîñëå ðåøåíèÿ ÑÓÐ õàðàêòå-
ðèñòèêè èçó÷àåìîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ êàê ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äàííîé
äâóìåðíîé öåïè. Óêàçàííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
P p N jp
j
R
=
=
å ( , )
0
, (7)
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
1,0 …
lp
m(1 - s1)
S0 0,0 2,0 N-1,0 N, 0
(N-1)m(1 - sN-1) Nm(1 - sN)
ha1h
ms1 (N-1)msN-1
1,10,1 2,1 N-1,1 N, 1
1,20,2 2,2 N-1,2 N, 2
(R-1)ha1
(R-1)h
1,R-10,R-1 2,R-1 N-1,R-1 N, R-1
1,R0,R 2,R N-1, R N, R
S1
lp lp
3m(1 - s3)2m(1 - s2)
h
lp lp
m(1 - s1)
2ms2
h
3ms3
…
2m(1 - s2) 3m(1 - s3)
S2
2h
ms1
2h
2ms2
2h
3ms3
lp lp
m(1 - s1)
3h
ms1
2m(1 - s2)
lp
3m(1 - s3)
3h
2ms2
…
lp lp
h h
SR-1
SR
lp
(N-1)m(1 - sN-1)
lp
Nm(1 - sN)
2ha1
3ha1
NmsN
2h
(N-1)msN-1
2h
NmsN
lp lp
(N-1)m(1 - sN-1) Nm(1 - sN)
3h
(N-1)msN-1
3h
NmsN
ms1
…
…
lp
(R-1)h
2ms2
lp
(R-1)h
3ms3
lp
m(1 - s1) 2m(1 - s2) 3m(1 - s3)
lp lp lp
m(1 - s1) 2m(1 - s2) 3m(1 - s3)
ms1
Rh Rh
2ms2
Rh
3ms3
lp lp
(R-1)h (R-1)h
(N-1)msN-1 NmsN
Rha1Rh Rh
(N-1)m(1 - sN-1)
(N-1)msN-1
lplp
(N-1)m(1 - sN-1) Nm(1 - sN)
NmsN
Nm(1 - sN)
Ðèñ. 2. Ãðàô ïåðåõîäîâ
P p N ir
i
R
i=
=
å ( , )
1
a , (8)
N i p i ja
j
R
i
N
u =
==
åå ( , )
01
, (9)
L j p i jo
i
N
j
R
=
==
åå ( , )
01
. (10)
Îïèñàííûé âûøå òî÷íûé ìåòîä ïîçâîëÿåò èçó÷èòü ïîâåäåíèå ïîêàçàòåëåé êà-
÷åñòâà îáñëóæèâàíèÿ (Quality of Service — QoS) (7)–(10) îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ
ñòðóêòóðíûõ è íàãðóçî÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëåé óìåðåííîé ðàçìåðíîñòè. Ñ ðîñòîì
ðàçìåðíîñòè ÔÏÑ (2) ýòîò ìåòîä ìîæåò èñïûòûâàòü íåêîòîðûå âû÷èñëèòåëüíûå
òðóäíîñòè. Äëÿ èõ óñòðàíåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà
ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà (ñì. Ïðèëîæåíèå â [7]).
Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ óêàçàííîãî ìåòîäà ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåíñèâ-
íîñòü ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò èíòåíñèâíîñòè ïîâòîðíûõ âûçî-
âîâ, ò.å. ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî l h>> . Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïîâòîðíûõ âû-
çîâîâ íå òàê ìàëà, ÷òîáû åþ ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü, èíà÷å åå ìîæíî ïðîñòî äîáà-
âèòü ê ïåðâè÷íîé èíòåíñèâíîñòè è äàëåå èññëåäîâàòü ìîäåëü áåç ïîâòîðíûõ âûçîâîâ.
 ñèëó óêàçàííîãî äîïóùåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæ-
äó ñîñòîÿíèÿìè âíóòðè ñòðîê â äèàãðàììå ïåðåõîäîâ ìîäåëè íàìíîãî ïðåâûøà-
þò èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó íèìè (ñì. ðèñ. 2). Òîãäà ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå ðàñùåïëåíèå ÔÏÑ (2):
S S j
j
R
=
=0
U , S Si jI = Æ, åñëè i j¹ , (11)
ãäå S i j S i N j Rj = Î = ={ }( , ) : , , ... , , , , ... ,0 1 0 1 . Èíûìè ñëîâàìè, ðàññìàòðèâàåò-
ñÿ ðàññëîåíèå äèàãðàììû ïåðåõîäîâ ïî ñòðîêàì (ñì. ðèñ. 2).
Ââîäèìàÿ â ÔÏÑ (2) ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâå ðàñùåïëå-
íèÿ (11) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
U i j j(( , )) = á ñ , (12)
ãäå á ñj — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå âêëþ÷àåò âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà S j .
Îáîçíà÷èì W = á ñ ={ : , , }j j R0 1 .
Ñîãëàñíî èçâåñòíîìó àëãîðèòìó ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ äâóìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà íàõîäèì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé èñ-
õîäíîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
p i j i jj( , ) ( ) ( )» á ñr p , (13)
ãäå r j i( ) — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )i j âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè
ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé S j , à p( )á ñj — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ á ñ Îj W .
Èç ñõåìû ðàçáèåíèÿ (11) âèäíî, ÷òî âñå ðàñùåïëåííûå ìîäåëè ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé èäåíòè÷íûå îäíîìåðíûå ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè, òàê êàê â êëàññå
ñîñòîÿíèé S j âòîðàÿ êîìïîíåíòà ïîñòîÿííàÿ. Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè ðàñùåïëåí-
íîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ S j ìèêðîñîñòîÿíèå ( , )i j SÎ èñõîäíîé ìîäåëè ìîæåò áûòü
çàäàíî ëèøü îäíîé êîìïîíåíòîé i i N, , , ... ,= 0 1 . Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà
ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè i è k ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ S j îáîçíà÷àåòñÿ q i k( , ),
i, k N= 0 1, , ... , . Èç ñîîòíîøåíèé (3), (4) ïîëó÷àåì, ÷òî ýòè ïàðàìåòðû äëÿ âñåõ
ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé îïðåäåëÿþòñÿ òàê (ñì. òàêæå ðèñ. 2):
q i j
j i
j ii( , )
, ,
( ), ,=
= +
- = -
ì
í
ï
î
ï
l
m s
åñëè
åñëè
1
1 1
0
(14)
Èòàê, ñòàöèîíàðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåï-
ëåííûõ ìîäåëåé ñîâïàäàþò, ò.å. èç ñîîòíîøåíèé (14) ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè
ñîñòîÿíèé âñåõ ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 85
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
r
n
s r( )
!
( ) ( ), , , ,i
i
i N
i
k
k
i
= - =
=
Õ 1 0 1 2
1
K , (15)
ãäå n l m= / , r( )0 íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ò.å. r( )i
i
N
=
å =
0
1.
Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ á ñi â äðóãîå óêðóïíåí-
íîå ñîñòîÿíèå á ñj îáîçíà÷èì q i j i j( , ), ,á ñ á ñ á ñ á ñ ÎW . Ýòè âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò-
ñÿ òàê:
q i j q k i l j k
k i S
l j S
i
j
( , ) (( , ), ( , )) ( )
( , )
( , )
á ñ á ñ =
Î
Î
å r . (16)
Òîãäà ñ ó÷åòîì (3), (4), (15) è (16) ïîñëå îïðåäåëåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
q i j
j i
i j ii( , )
, ,
, ,á ñ á ñ =
= +
= -
ì
í
ï
î
ï
L
Y
åñëè
åñëè
1
1
0
(17)
ãäå L Y= = - -
=
åm s r h a rk k Nk
k
N
i i( ) , ( ( ) ( ))
1
1 1 .
Èç ñîîòíîøåíèé (17) âèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé
p( ), )á ñ á ñ Îj j W , âû÷èñëÿþòñÿ êàê âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé îäíîìåðíîãî ïðîöåññà
ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè. Èíûìè ñëîâàìè,
p p( )
!
( ), , ,á ñ = á ñ =
=
Õ
j
j
j R
j
i
i
j
L
Y
1
0 1 K , (18)
ãäå p( )á ñ0 íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ò.å. p( )á ñ =
=
å j
j
R
0
1.
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (7)–(10) ïîñëå îïðåäåëåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîá-
ðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ïðîñòûå ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà èñ-
êîìûõ õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìîé ñèñòåìû:
P Np » r( ) , (19)
P N ir i
i
R
» á ñ
=
år a p( ) ( )
1
, (20)
N i ia
i
N
u r»
=
å ( )
1
, (21)
L i io
i
R
» á ñ
=
å p( )
1
. (22)
Èç ôîðìóëû (19) âèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîòåðè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ íå çàâèñèò
îò èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîðíûõ âûçîâîâ èç îðáèòà (ò.å. îò h), à òàêæå îò
ðàçìåðà îðáèòà (ò.å. îò R). Ýòè ôàêòû îáúÿñíÿþòñÿ òåì, ÷òî ïðèáëèæåííûå ôîðìó-
ëû îñíîâàíû íà äîïóùåíèè î òîì, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ ñóùåñ-
òâåííî ïðåâûøàåò èíòåíñèâíîñòè ïîâòîðíûõ âûçîâîâ (ò.å. âûøå áûëî ïðèíÿòî, ÷òî
l h>> ). Âìåñòå ñ òåì óêàçàííàÿ âåðîÿòíîñòü çàâèñèò îò ïàðàìåòðà s i — âåðîÿòíîñ-
òè ïîñòóïëåíèÿ ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ. Èíû-
ìè ñëîâàìè, îòìå÷åííàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîñâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ
îðáèòà R è h . Àíàëîãè÷íî îáúÿñíÿåòñÿ ôîðìóëà (21).
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå a ai = äëÿ âñåõ i R=1, ,K ôîðìóëû (18)–(22) óïðî-
ùàþòñÿ åùå áîëüøå.  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåïëåí-
íûõ ìîäåëåé îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå ïî ôîðìóëàì (15), è, ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿò-
íîñòü ïîòåðè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ è ñðåäíåå ÷èñëî çàíÿòûõ êàíàëîâ îïðåäåëÿþòñÿ
èç ôîðìóë (19) è (21) ñîîòâåòñòâåííî. Âìåñòå ñ òåì â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòè
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
p p( )
( / )
!
( ), , , ... ,á ñ = á ñ =j
j
j R
jL Y
0 0 1 , (23)
ãäå Y = - -h a r( ( ) ( ))1 1 N .
Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ïîòåðè ïîâòîðíûõ âûçîâîâ è
ñðåäíåå ÷èñëî ïîâòîðíûõ âûçîâîâ â îðáèòå èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
P Nr » - á ñar p( )( ( ))1 0 , (24)
L
i
r
i
i
R
» á ñ
-=
åp( )
( / )
( )!
0
11
L Y
. (25)
Áîëåå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû è äëÿ ìîäåëè
ñ áåñêîíå÷íûì ðàçìåðîì áóôåðà, ò.å. åñëè R = ¥, òî èç ñîîòíîøåíèé (23) íàõî-
äèì, ÷òî p( ) /á ñ = -0 e
L Y . Ñëåäîâàòåëüíî, â ìîäåëè ñ áåñêîíå÷íûì ðàçìåðîì áó-
ôåðà óêàçàííûå âûøå ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ôîðìóë:
P N er » - -ar( )( )/1 L Y ; Lr » L Y/ .
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, âûïîëíåííûõ
ñ ïðèìåíåíèåì ïðèáëèæåííîãî ìåòîäà. Öåëü âûïîëíåíèÿ ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ —
èçó÷åíèå ïîâåäåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ êàê ñòðóê-
òóðíûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (ò.å. N è R), òàê è çàêîíîâ (ñõåì) èçìåíåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòåé âîçâðàùåíèÿ ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò (ò.å. s i i N, , ,=1 K ), à òàê-
æå óõîäà ïîâòîðíûõ âûçîâîâ èç îðáèòà â ñëó÷àå çàíÿòîñòè âñåõ êàíàëîâ ñèñ-
òåìû â ìîìåíòû èõ ïîñòóïëåíèÿ (ò.å. a j j R, , ,=1 K ).
Âíà÷àëå èçó÷èì ïîâåäåíèå õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé âîçâðàùåíèÿ ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò ïðè åãî ôèêñèðîâàííûõ
ðàçìåðàõ. Ïðè ýòîì ðàññìîòðèì äâå ñõåìû èçìåíåíèÿ óêàçàííûõ âåðîÿòíîñòåé:
â ïåðâîé ñõåìå îíè óáûâàþò îòíîñèòåëüíî ÷èñëà çàíÿòûõ êàíàëîâ, à âî âòîðîé,
íàîáîðîò, âîçðàñòàþò ñ ðîñòîì ÷èñëà çàíÿòûõ êàíàëîâ.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè èçëîæåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïåðâîé ñõåìå
si i= +1 1/ ( ), à âî âòîðîé si i i i N= + =/ ( ), , ,1 1 K . Íàãðóçî÷íûå ïàðàìåòðû ãèïî-
òåòè÷åñêîé ìîäåëè âûáðàíû òàê: l m h= = =20 1 1, , . Ðàçìåð áóôåðà ôèêñèðóåòñÿ,
ò.å. ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî R = 20, à òàêæå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòè óõîäîâ ïî-
âòîðíûõ âûçîâîâ èç îðáèòà íå çàâèñÿò îò ÷èñëà íàõîäÿùèõñÿ òàì âûçîâîâ, ò.å
ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî a i = 0 3. äëÿ âñåõ i R=1 2, , ,K .
Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû íà ðèñ. 3–6 (íà ýòèõ ãðàôèêàõ öèô-
ðû 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþò êðèâûå, ïîëó÷åííûå ïðè èñïîëüçîâàíèè
ïåðâîé è âòîðîé ñõåì èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ si i N, , , )=1 K . Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî
äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ áëàãîïðèÿòíîé ÿâëÿåòñÿ âòîðàÿ ñõå-
ìà èçìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âîçâðàùåíèÿ ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò. Ïðè ýòîì
çíà÷åíèÿ ýòîãî ïîêàçàòåëÿ â ðàçëè÷íûõ ñõåìàõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ, îñîáåííî
ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà êàíàëîâ ñèñòåìû. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ
è äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïîâòîðíûõ âûçîâîâ (ðèñ. 4). Âìåñòå ñ òåì äëÿ ñðåäíåãî ÷èñ-
ëà çàíÿòûõ êàíàëîâ áëàãîïðèÿòía ïåðâàÿ ñõåìà èçìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âîçâðàùåíèÿ
ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò, ïðè ýòîì êàíàëû ñèñòåìû ëó÷øå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïåð-
âîé ñõåìå (ðèñ. 5). Íåñêîëüêî íåîæèäàííûì îêàçûâàåòñÿ ïîâåäåíèå ñðåäíåãî ÷èñëà
âûçîâîâ â îðáèòå (ðèñ. 6). Òàê, ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîé ñõåìû ýòîò ïîêàçàòåëü ðàñ-
òåò ñ ðîñòîì îáùåãî ÷èñëà êàíàëîâ ñèñòåìû, â òî âðåìÿ êàê ïðè ïåðâîé ñõåìå îí ðàñ-
òåò ëèøü ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà êàíàëîâ, à ñ èõ ðîñòîì óáûâàåò.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé óõîäà ïîâòîðíûõ âûçîâîâ èç îðáèòà â ñëó÷àå çàíÿòîñòè âñåõ êàíàëîâ
ñèñòåìû â ìîìåíòû èõ ïîñòóïëåíèÿ. Ïðè ýòîì, êàê è âûøå, ðàññìîòðèì äâå ñõåìû èç-
ìåíåíèÿ óêàçàííûõ âåðîÿòíîñòåé: â ïåðâîé ñõåìå îíè âîçðàñòàþò îòíîñèòåëüíî ÷èñëà
âûçîâîâ â îðáèòå, à âî âòîðîé, íàîáîðîò, óáûâàþò ñ ðîñòîì ÷èñëà âûçîâîâ â îðáèòå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 87
Êàê è âûøå, çäåñü äëÿ îïðåäåëåííîñòè èçëîæåíèÿ òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî
â ïåðâîé ñõåìå a j j= +1 1/ ( ), à âî âòîðîé a j j j j R= + =/ ( ), , ,1 1 K . Íàãðóçî÷íûå
ïàðàìåòðû ãèïîòåòè÷åñêîé ìîäåëè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Çäåñü ÷èñëî êàíàëîâ
ôèêñèðóåòñÿ, ò.å. ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî N = 20, à òàêæå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåðîÿò-
íîñòè âîçâðàùåíèÿ ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ â îðáèò íå çàâèñÿò îò ÷èñëà çàíÿòûõ êà-
íàëîâ, ò.å ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî s i = 0 3. äëÿ âñåõ i N=1 2, , ,K .
Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû íà ðèñ. 7–10 (íà ýòèõ ãðàôèêàõ öèô-
ðû 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî óêàçûâàþò êðèâûå, ïîëó÷åííûå ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåð-
âîé è âòîðîé ñõåì èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ a j j N, , ,=1 K ). Èç ðèñ. 7 âèäíî, ÷òî
âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ îäèíàêîâû ïðè îáåèõ ñõåìàõ, ò.å. çàêîí
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïåð-
âè÷íûõ âûçîâîâ îò îáùåãî ÷èñëà êàíàëîâ
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïîâòîð-
íûõ âûçîâîâ îò îáùåãî ÷èñëà êàíàëîâ
lg Pp
1
2 2
1
N N
lg Pr
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà âûçîâîâ
â îðáèòå îò îáùåãî ÷èñëà êàíàëîâ
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà çàíÿòûõ êà-
íàëîâ îò îáùåãî ÷èñëà êàíàëîâ
N
2
1
N au
N
1
2
Lo
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïåð-
âè÷íûõ âûçîâîâ îò ðàçìåðà îðáèòà
lg Pp
1
2
R
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïîâòîð-
íûõ âûçîâîâ îò ðàçìåðà îðáèòà
R
2
1
lg Pr
èçìåíåíèÿ ïîâòîðíûõ âûçîâîâ, ïîñòóïàþùèõ èç îðáèòà, ïî÷òè íå âëèÿåò íà óêà-
çàííûé ïàðàìåòð. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîð-
íûõ âûçîâîâ èç îðáèòà ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì èíòåíñèâíîñòü ïåðâè÷íûõ âû-
çîâîâ. Âìåñòå ñ òåì äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ïîâòîðíûõ âûçîâîâ áëàãîïðèÿòíîé
ÿâëÿåòñÿ ïåðâàÿ ñõåìà, ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü â îáåèõ ñõåìàõ ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ
ñ ðîñòîì ðàçìåðà îðáèòà (ñì. ðèñ. 8). Ñèòóàöèÿ, àíàëîãè÷íàÿ ïîêàçàííîé íà
ðèñ. 7, íàáëþäàåòñÿ äëÿ ñðåäíåãî ÷èñëà çàíÿòûõ êàíàëîâ, òàê êàê äëÿ âûáðàííûõ
èñõîäíûõ äàííûõ óêàçàííûé ïîêàçàòåëü ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ â ðàçëè÷íûõ ñõå-
ìàõ (ñì. ðèñ. 9). Ïî÷òè îäèíàêîâûìè â ðàçëè÷íûõ ñõåìàõ òàêæå ÿâëÿþòñÿ çíà÷å-
íèÿ ïîêàçàòåëÿ, êîòîðûé óêàçûâàåò ÷èñëî âûçîâîâ â îðáèòå (ñì. ðèñ. 10).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìíîãîêàíàëüíîé ÑÌÎ
ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðîé ýòà îáðàòíàÿ ñâÿçü ñ ñèñòåìîé îñóùåñòâëÿåòñÿ
ïîñðåäñòâîì âîçâðàùåíèÿ ÷àñòè ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîâòîðíî-
ãî îáñëóæèâàíèÿ, ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü âîçâðàùåíèÿ çàâèñèò îò òåêóùåãî ÷èñ-
ëà çàíÿòûõ êàíàëîâ ñèñòåìû. Èçó÷åíû ìîäåëè ñ êîíå÷íûìè è áåñêîíå÷íûìè
ðàçìåðàìè îðáèòà äëÿ ïðåáûâàíèÿ ïîâòîðíûõ âûçîâîâ. Ðàçðàáîòàíû òî÷íûé
è ïðèáëèæåííûé ìåòîäû ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ðàññìîòðåííîé ìîäåëè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. R e l i a b l e MAS performance prediction using queueing models / N. Gnanasambandam, S. Lee,
N. Gautam, S.R.T. Kumara, W. Peng, V. Manikonda, M. Brinn, M. Greaves // IEEE 1st Symposium
on Multi-Agent Security and Survivability. — 2004. — P. 55–64.
2. G n a n a s a m b a n d a m N . , L e e S . , K u m a r a S . R . T . An autonomous performance control
framework for distributed multi-agent systems: A queueing theory based approach // AAMAS’05. —
July 25–29, 2005. — Utrecht, Netherlands. — P. 1313–1314.
3. Q u e u e i n g model of a single-level single-mediator with cooperation of the agents / M.H. Lee,
A. Birukou, A.N. Dudin, V.I. Klimenok, O. Kostyukova, C-H. Choe // Agent and Multi-agent Systems:
Technology and Applications (Nguyen N.T., Ed). — Berlin; Heidelberg: Springer, 2007. — P. 447–455.
4. A r t a l e j o J . R . , G o m e z - C o r r a l A . Retrial queueing. A computational approach. — Berlin;
Heidelberg: Springer, 2008. — 318 p.
5. A r t a l e j o J . R . Accessible bibliography on retrial queues: Progress in 2000–2009 // Mathematical
and Computer Modeling. — 2011. — 51. — P. 1071–1081.
6. T h e q u e u e i n g model MAP/PH/1/N with feedback operating in a Markovian random environment
/ A.N. Dudin, A.V. Kazimirsky, V.I. Klimenok, L. Breuer, U. Krieger // Austrian Journal of Statistics.
— 2005. — 34, N 2. — P. 101–110.
7. P o n o m a r e n k o L . , K i m C . S . , M e l i k o v A . Performance analysis and optimization of
multi-traffic on communication networks. — Heidelberg; Dordtrecht; London; New York: Springer,
2010. — 208 p.
Ïîñòóïèëà 01.12.2014
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 89
Ðèñ. 9. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà çàíÿòûõ
êàíàëîâ îò ðàçìåðà îðáèòà
N au
2
R
Ðèñ. 10. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà âûçîâîâ
â îðáèòå îò ðàçìåðà îðáèòà
R
2
1
Lo
1
|