Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации

Рассмотрена схема высокоточного параллельного решения задачи о дифракции упругих волн на системе цилиндрических полостей некруговой формы. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений, которая реализована численно. Приведены зависимости напряжений на границе полостей от динами...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Панченко, Б.Е., Сайко, И.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Программно-технические комплексы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124915
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации / Б.Е. Панченко, И.Н. Сайко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 139-148. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124915
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1249152017-10-12T03:02:42Z Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации Панченко, Б.Е. Сайко, И.Н. Программно-технические комплексы Рассмотрена схема высокоточного параллельного решения задачи о дифракции упругих волн на системе цилиндрических полостей некруговой формы. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений, которая реализована численно. Приведены зависимости напряжений на границе полостей от динамических и геометрических характеристик. Впервые приведены высокоточные значения максимальных напряжений на контурах отверстий от воздействия P- и SV -волн. Запропоновано схему високоточного паралельного розв’язування задачі про дифракцію пружних хвиль на системі циліндричних порожнин некругової форми. Задачу зведено до розв’язування системи сингулярних інтегральних рівнянь, яку реалізовано чисельно. Наведено залежності напружень на границі порожнини від динамічних та геометричних характеристик. Вперше наведено високоточні значення максимальних напружень на контурах отворів від впливу P- і SV-хвиль. A scheme of high-precision parallel computing of the problem of diffraction of elastic waves on a system of cylindrical non-circular cavities is proposed. The problem is reduced to the solution of singular integral equations realized numerically. The dependences of stresses at the boundaries of cavities on dynamic and geometric characteristics are presented. The high-precision values of maximum stresses at the boundaries of cavities due to the impact of P- and SV-waves are presented for the first time. 2015 Article Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации / Б.Е. Панченко, И.Н. Сайко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 139-148. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124915 004.652, 539.3 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Программно-технические комплексы Программно-технические комплексы
spellingShingle	Программно-технические комплексы Программно-технические комплексы Панченко, Б.Е. Сайко, И.Н. Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации Кибернетика и системный анализ
description	Рассмотрена схема высокоточного параллельного решения задачи о дифракции упругих волн на системе цилиндрических полостей некруговой формы. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений, которая реализована численно. Приведены зависимости напряжений на границе полостей от динамических и геометрических характеристик. Впервые приведены высокоточные значения максимальных напряжений на контурах отверстий от воздействия P- и SV -волн.
format	Article
author	Панченко, Б.Е. Сайко, И.Н.
author_facet	Панченко, Б.Е. Сайко, И.Н.
author_sort	Панченко, Б.Е.
title	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
title_short	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
title_full	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
title_fullStr	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
title_full_unstemmed	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
title_sort	высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Программно-технические комплексы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124915
citation_txt	Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации / Б.Е. Панченко, И.Н. Сайко // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 139-148. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT pančenkobe vysokotočnyemaksimalʹnyenaprâženiâvzadačeovzaimodejstviiuprugihvolnssistemojcilindričeskihpolostejvusloviâhploskojdeformacii AT sajkoin vysokotočnyemaksimalʹnyenaprâženiâvzadačeovzaimodejstviiuprugihvolnssistemojcilindričeskihpolostejvusloviâhploskojdeformacii
first_indexed	2025-07-09T02:15:39Z
last_indexed	2025-07-09T02:15:39Z
_version_	1837133821403725824
fulltext	Á.Å. ÏÀÍ×ÅÍÊÎ, È.Í. ÑÀÉÊÎ ÓÄÊ 004.652, 539.3 ÂÛÑÎÊÎÒÎ×ÍÛÅ ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÛÅ ÍÀÏÐßÆÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×Å Î ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÈ ÓÏÐÓÃÈÕ ÂÎËÍ Ñ ÑÈÑÒÅÌÎÉ ÖÈËÈÍÄÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÎËÎÑÒÅÉ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÏËÎÑÊÎÉ ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ñõåìà âûñîêîòî÷íîãî ïàðàëëåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î äèôðàê- öèè óïðóãèõ âîëí íà ñèñòåìå öèëèíäðè÷åñêèõ ïîëîñòåé íåêðóãîâîé ôîðìû. Çàäà÷à ñâåäå- íà ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ðåàëèçîâàíà ÷èñ- ëåííî. Ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå ïîëîñòåé îò äèíàìè÷åñêèõ è ãåî- ìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Âïåðâûå ïðèâåäåíû âûñîêîòî÷íûå çíà÷åíèÿ ìàêñèìàëüíûõ íàïðÿæåíèé íà êîíòóðàõ îòâåðñòèé îò âîçäåéñòâèÿ P- è SV -âîëí. Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè, èçîòðîïíûå ñðåäû ñ ïðîèç- âîëüíûìè îòâåðñòèÿìè, âîëíû ïëîñêîé äåôîðìàöèè, ñèíãóëÿðíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíå- íèÿ, ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Êîíöåíòðàöèè äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé âáëèçè ðàçëè÷íîãî ðîäà ïðåïÿòñò- âèé [1] ïðåäñòàâëÿþò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñîâðåìåííûõ êîíñòðóêöèé, ðàáîòàþùèõ â óñëîâèÿõ äèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê. Çàäà÷è äèôðàêöèè ïëîñêèõ ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí íà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíî- ðîäíîñòÿõ ïðîèçâîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ èçó÷àëèñü ìíîãèìè àâòîðàìè. Â ðàáîòå [2] èñïîëüçîâàí ìåòîä ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì. Â [3] ïîñòðîåíû èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ óïðóãèõ ïîòåíöèàëîâ, ÷åðåç êîòîðûå âûðàæàþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèé è òåíçîðà íàïðÿæåíèé. Â íàñòîÿ- ùåé ñòàòüå ðàçâèâàåòñÿ ìåòîäèêà, ïðåäëîæåííàÿ â [4, 5], ãäå îñíîâíîé õàðàêòåðèñ- òèêîé íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ âûñòóïàåò âåêòîð ïåðåìåùåíèé. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÄÈÔÐÀÊÖÈÈ Ðàññìîòðèì â íåîãðàíè÷åííîé èçîòðîïíîé ñðåäå D ñèñòåìó áåñêîíå÷íûõ âäîëü îñè OZ ïîëûõ öèëèíäðîâ, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðûõ îãðàíè÷åíî çàìêíóòûìè (áåç îáùèõ òî- ÷åê) êîíòóðàìè L j lj , ,�1 , òèïà Ëÿïóíîâà; L — ñîâîêóïíîñòü êîíòóðîâ (ðèñ. 1). Ïóñòü èç áåñêîíå÷íîñòè íàáåãàåò íà öèëèíäðû ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ Ð-âîëíà (Ð-ñëó÷àé) U U e c c i y 1 0 2 0 1 1 10 2 1( ) ( ), , ,� � � � �� (1) èëè SV -âîëíà (SV -ñëó÷àé) U e U c c i y 1 0 2 0 2 2 2 2 0( ) ( ), , ,� � � �� . (1à) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 139 © Á.Å. Ïàí÷åíêî, È.Í. Ñàéêî, 2015 Çäåñü c ñ1 2, — ñêîðîñòè ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé âîëí ñîîòâåòñòâåííî, � — ÷àñòîòà êîëåáàíèé, t — âðåìÿ, � è � — ïîñòîÿííûå Ëÿìý, � — ïëîòíîñòü ñðå- äû, i — ìíèìàÿ åäèíèöà (i2 1� � ), çà- âèñèìîñòü îò âðåìåíè âûðàæàåòñÿ ìíîæèòåëåì e i t� � . Â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè- õîäÿùåé âîëíû ñ êàæäîé öèëèíäðè÷åñ- êîé ïîëîñòüþ âîçíèêàåò ñëîæíîå âîë- íîâîå ïîëå. Àìïëèòóäû îòðàæåííûõ ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé âîëí ïåðåìåùåíèé îáîçíà÷èì U 1 è U 2 . Òîãäà îáùåå ïîëå àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé èìååò âèä U U U V U U� � � � 1 0 1 2 0 2 ( ) ( ), . Â ñëó÷àå óñòàíîâèâøèõñÿ âîëíîâûõ äâèæåíèé àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ êîì- ïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèé óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì ( ) ( )� � � � � �� 2 0 2 2 2 2 2 2U x U y V x y U , � � � � � �� 2 2 2 2 2 22 0 V x V y U x y V( ) ( ) . (2) Àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé ñâÿçàíû ñ àìïëèòóäàìè ïåðåìåùåíèéU è V ôîðìóëàìè, ïðè ýòîì z x i y z x i y� � � �, : � � � �11 22 2� � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( )U iV z U iV z , � � � � � � � �22 11 12 22 11 122 4 2 4� � � � � � � � � � � � � i U iV z i U iV( ) , ( ) �z . (3) Êàê óêàçàíî âûøå, L j lj , ,�1 , — íåêîòîðàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè êàæäîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè. Äëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèé èíäåêñ j îïóñòèì. Îáîçíà÷èì S1 è S 2 àìïëèòóäû òàíãåíöèàëüíîé è íîðìàëüíîé êîìïî- íåíò âåêòîðà íàïðÿæåíèé íà L, ò.å. íà ëþáîé êðèâîé èç L-ñîâîêóïíîñòè. Òîãäà â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå � 0 0 0� � �i L ýòè íàïðÿæåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîì- ïîíåíòû òåíçîðà àìïëèòóä íàïðÿæåíèé ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 21 2 11 22 22 11 12 0 0i S iS e i e i i ( ) ( ) ( )� � � � � � �� , � � � � � � �� 2 21 2 11 22 22 11 12 0 0i S iS e i e i i ( ) ( ) ( )� � � � �� , ãäå �0 — óãîë ïîëîæèòåëüíîé êàñàòåëüíîé ê L â òî÷êå � 0 �L ñ îñüþ Îõ . Íà ãðàíèöå ëþáîãî èíîðîäíîãî âêëþ÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ðàñïðåäå- ëåíèÿ êîìïîíåíò � � �s n n s0 0 0 0 , , òåíçîðà àìïëèòóä íàïðÿæåíèé ïî ôîðìóëàì � � � � � � �n s nS S 0 0 01 0 2 0 11 22� � � � �sin cos , ( ) , � � �n s S S 0 0 1 0 2 0� �cos sin . (4) Îäíàêî íà ãðàíèöå îòâåðñòèé íåíóëåâûìè áóäóò òîëüêî íàïðÿæåíèÿ �s0 . Çàïè- øåì èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé âîçìóùåííîãî ïîëÿ, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ áóäåì ðåøàòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó äèôðàêöèè. Íà îá- ùåì êîíòóðå L-ñîâîêóïíîñòè îíè èìåþò âèä (ñóììèðîâàíèå ïî j) 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 Ðèñ. 1 L0 L1 Lj D n s s0 n0 U x y U x y f s dsm L m k k( , ) ( , , , ) ( )( )� , � � mn mn k k L x y x y f s ds m n k( , ) ( , , , ) ( ) , , , ,( )� � 1 2. (5) Çäåñü f sk ( ) — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, U m k( ) — ôóíêöèè Ãðèíà, ïðåäñòàâëÿþ- ùèå ñîáîé àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé â ñðåäå ïðè äåéñòâèè ãàðìîíè÷åñêîé ñî- ñðåäîòî÷åííîé ñèëû, ïðèëîæåííîé â òî÷êå � � � �i L è íàïðàâëåííîé âäîëü îñè Îõ (k �1) èëè Oy (k � 2). Ñ ó÷åòîì óñëîâèé èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè (óñëîâèé Çîììåðôåëüäà) äëÿ àìïëèòóä ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: U iU U iU w ñ 1 1 2 1 1 2 2 2 20 00 4 ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � , U iU w e i 1 1 2 1 2 22 4 ( ) ( )� � � � , U iU w e i 1 2 2 2 2 22 4 ( ) ( )� � � , w i c� � � � � � � � � � 4 1 3 4 1 2 2 2 � � � � � � ( ) , , , z re r r i kj k j k j � � � � � � � � � � � � , ( ) ( )( ) ( ) � 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 H H , (6) ãäå H j x( ) ( )1 — ôóíêöèÿ Õàíêåëÿ 1-ãî ðîäà j-ãî ïîðÿäêà, � — êîýôôèöèåíò Ïó- àññîíà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ (5) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ (2). Êðîìå òîãî, çà ñ÷åò âûáîðà ôóíêöèè U m k( ) (6) îíè âûïîëíÿþò óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, ò.å. ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñõîäÿùèåñÿ âîëíû. Îñòàåòñÿ óäîâ- ëåòâîðèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êîíòóðå êàæäîé ïîëîñòè (íà L), êîòîðûå çàïèøåì â âèäå S iS1 2 0� � . (7) Âûïèøåì íåîáõîäèìûå äëÿ (7) ïðîèçâîäíûå e z U iU e z U iU wi i � � � � � � � � � ��( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 2 2 3 8 � 1 114� c� ) , e z U iU e z U iU wi i � � � � � � � ��( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 2 2 31 8 � . (8) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÿäðî �11 ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, à ÿäðî �31 (êàê è ÿä- ðî �33) ñèíãóëÿðíî. Èìååì �31 31 2 � � i r F � , �33 33 2 � � i r F � , ãäå F31 è F33 — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäíûå (8), ìîæíî âû÷èñëèòü ÿäðà èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (5) �mn k( ) — àìïëèòóä òåíçîðà íà- ïðÿæåíèé âîçìóùåííîãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (3), ïîäñòàâëÿÿ â íèõ âìåñ- òî U è V ôóíêöèè Ãðèíà U m k( ) . Âûäåëÿÿ â ÿäðàõ ïîëó÷åííûõ èíòåãðàëîâ ñèí- ãóëÿðíûå ÷ëåíû è èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè [6], ïðèâîäèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (7) ê ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 141 � � � � 1 2 1 0 1 11 0 2 12 0 1 0f s f s E s s f s E s s ds K s( ) ( ( ) ( , ) ( ) ( , )) ( ) L , (9) � � � � 1 2 2 0 1 21 0 2 22 0 2 0f s f s E s s f s E s s ds K s( ) ( ( ) ( , ) ( ) ( , )) ( ) L , E h w w F w11 1 2 31 3 11 1 4 � � � � � � �� , E h w F e F e i i 12 4 31 2 2 11 33 31 4 4 1 4 0 0� � � � � � � � � � �� ( ) ( 0 0� � � � �� ) , E h w F e F e i i 21 4 31 2 2 11 33 31 4 4 1 4 0 0� � � � � � � � � �� ( ) ( �0 0� � � � �� ) , E h w w F w22 1 2 31 3 11 1 4 � � � � � � � �� , w i e e w e e i i i 1 0 0 2 1 2 0 0 0 0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ( ) � �i( )� 0 0 , w e ce w i e ei i i i 3 2 2 4 2 4 1 2 0 0 0 0 0 0 � � � �� ( ) ( ) ( , � � � 0 0 ) � , h r e i� � � � 1 4 1 0 0 0 ( ) , � � � , K s S iS K s S iS1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 0( ) , ( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � , S iS e i i 1 0 2 0 1 0 1 2 11 0( ) ( ) ( / ) [ ( )cos sin� � � � � �� 0 ] äëÿ Ð-ñëó÷àÿ, S iS i e e i i 1 0 2 0 2 2 0 0( ) ( )� � � �� äëÿ SV -ñëó÷àÿ. Çäåñü w — âåëè÷èíà, ñîïðÿæåííàÿ c êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé w, ÿäðà E11 è E22 ÿâëÿþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè, E12 è E21 — íåïðåðûâíû. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíå- íèÿ (9) ÿâëÿþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè 2-ãî ðîäà. ×ÈÑËÅÍÍÀß ÐÅÀËÈÇÀÖÈß Ñõåìà âû÷èñëåíèé. Â öåëÿõ èññëåäîâàíèÿ äîñòîâåðíîñòè ïðåäëîæåííîãî àë- ãîðèòìà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ âîëí íà ñèñòåìó ýëëèïòè- ÷åñêèõ èëè ðîìáè÷åñêèõ (ñî ñêðóãëåíèÿìè) îòâåðñòèé, ðàñïîëîæåííûõ âäîëü îäíîé ëèíèè íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè d îäèí îò äðóãîãî (ðèñ. 2). Â ðàáîòå ïðîâîäèëèñü âû÷èñëåíèÿ êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé � � âäîëü êîíòóðîâ öåíòðàëü- íîãî L0 è êðàéíåãî Lq îòâåðñòèé â ñëó÷àå ðåøåòêè, èìåþùåé íå÷åòíîå ÷èñëî íåîäíîðîäíîñòåé, ïðè ýòîì p q� . Â îáùåì íåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå ÷èñëî îòâåðñòèé ñîñòàâëÿåò l q p� � �1. Îòñ÷åò óãëà � âåäåòñÿ îò íóëÿ (òåíåâàÿ òî÷êà) äî � (ëîáîâàÿ òî÷êà) äëÿ öåí- òðàëüíîãî îòâåðñòèÿ (ó÷èòûâàåòñÿ ñèììåòðèÿ â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ âîë- íû) è îò 0 äî 2� — äëÿ êðàéíèõ îòâåðñòèé (â ñèëó ñèììåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà- ïðÿæåíèé íà êîíòóðàõ Lq è L q� çåðêàëüíû). ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà ïðîâîäèëàñü ìåòîäîì, òåîðåòè÷åñêè îáîñíî- âàííûì â ðàáîòå [6]. Ïðîâåäåì ïàðàìåòðèçàöèþ êàæäîãî êîíòóðà L ïî ôîðìóëàì � � � � � � � � �� ( ), ( ), ,0 0 00 2 . 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 Òîãäà èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí [6] äëÿ íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòåé èíòåã- ðàëüíûõ óðàâíåíèé (9) èìååò âèä f N f N g k N k k k N k( ) ( )sin ( ) ( ) ,� � � � � � � � � � � � � 1 2 1 2 1 , (10) ãäå g k( ) sin� � � � � 2 , ïîñêîëüêó â àëãîðèòìå èñïîëüçîâàíî íå÷åòíîå N n� �2 1. Ïðè ïîäñòàíîâêå (10) â èíòåãðàëû ñ ñèíãóëÿðíûìè ÿäðàìè èìååì f R d N f Rm k k m k N ( ) ( , ) ( ) ( , )� � � � � � � � � 0 0 10 2 2 � � � , � �0 2 1 1 2m m N m N� � �, , , ... , , (11) åñëè R ( , )� � 0 — íåïðåðûâíîå ÿäðî, è 0 2 0 0 12 2 2 � � � � � � � � � � � � � � f d N f m k k m k N ( ) ( )ctg ctg (12) â ñëó÷àå ÿäðà Ãèëüáåðòà. Êàê è â ðàáîòàõ [3–6], ôîðìóëà (12) ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ðåãóëÿðíûõ èíòåãðàëîâ (11). Ïîýòîìó ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëîâ ÿäðî Ãèëüáåðòà íå âûäåëÿëîñü. Êàê äëÿ ðåãóëÿðíûõ, òàê è äëÿ ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëîâ èñïîëüçîâàëàñü êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà (11). Â êà- ÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìàòðèâàëàñü ñðåäà, ñîäåðæàùàÿ ñèñòåìó öèëèíäðè÷åñêèõ ïî- ëîñòåé ýëëèïòè÷åñêîãî è ðîìáè÷åñêîãî ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé: � � � �� a bsin , cos , 0 2 . Íà êîíòóðå ïîëîñòåé ïðîâîäèëîñü âû÷èñëåíèå íàïðÿæåíèé � �� \| \| /s Q 0 , ãäå êîìïîíåíòû òåíçîðà àìïëèòóä íàïðÿæåíèé �s0 íàõîäèëèñü ïî ôîðìóëå (4), Q — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ â ïàäàþùåé âîëíå, ðàâíîå � � � �1 2( )� â ñëó÷àå èçëó÷åíèÿ Ð-âîëíû (1) è � ��2 — â ñëó÷àå èçëó÷åíèÿ SV -âîëíû (1à). Ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïðèìåíÿëîñü ðàñïàðàëëåëèâàíèå [7] àëãîðèòìà ïî ñõåìå èç ðàáîòû [5]. Òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé ïðîâåðÿëàñü ïóòåì ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòà- òîâ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ N . Äëÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷ ýòîãî êëàññà äîñòàòî÷íî 1000 òî÷åê êîëëîêàöèè êîíòóðà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé ñ òî÷íî- ñòüþ 10 8� . Îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèö ïðè ýòîì ïðîâåðÿëàñü íà îñíîâàíèè àëãî- ðèòìà, îïèñàííîãî â [8]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 143 Ðèñ. 2 L p� L�1 L0 L1 Lq X Y d d � a a0 Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé, ïðîâåäåííûõ íà êëàñòåðå «Èíïàðêîì-256», ïîäòâåðæäàåò âûâîä î òîì, ÷òî ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ÑÈÓ ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò ÷èñëà îòðàæàòåëåé. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ îäèíî÷íîãî îòâåðñòèÿ. Ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå íîâûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïðèâåäåííûìè â [4], äëÿ ñëó÷àÿ îäèíî÷íîãî ýë- ëèïòè÷åñêîãî îòâåðñòèÿ, ïîëó÷åííîãî óäàëåíèåì ýëåìåíòîâ ñèñòåìû íà çíà÷èòåëü- íîå ðàññòîÿíèå îäèí îò äðóãîãî — äî 10 6� . Ñðàâíåíèÿ ñ ðåçóëüòàìè ðàáîòû [4] ïî- êàçàëè õîðîøóþ äîñòîâåðíîñòü èñïîëüçóåìûõ âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ. Êàê è â ðàáîòå [4], êðèâûå 1, 2 è 3 íà ðèñ. 3, à (P-ñëó÷àé) è 3, á (SV -ñëó÷àé) îòâå÷àþò çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà b à/ , ðàâíûì 0.5, 2.0 è 5.0 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ñðåäû � � 0.3. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñëó÷àå b à/ � 1, ò.å. êîãäà ôîêóñû ýëëèïñà íàõîäÿòñÿ íà îñè, ïàðàëëåëüíîé ôðîíòó ïàäà- þùåé âîëíû, âáëèçè òî÷êè ñîñêàëüçûâàíèÿ (� �� / 2) íàïðÿæåíèå � � èìååò ëî- êàëüíûé ìàêñèìóì ïðè èçëó÷åíèè P-âîëíû è ëîêàëüíûé ìèíèìóì — â ñëó÷àå SV -âîëíû. Åñëè b à/ �1, ò.å. êîãäà ýëëèïòè÷åñêàÿ ïîëîñòü âûòÿíóòà âäîëü îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ôðîíòó ïàäàþùåé âîëíû, òî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà b à/ õàðàêòåð èçìåíåíèÿ � � óñëîæíÿåòñÿ, ïðè÷åì ÷èñëî òî÷åê ìàêñèìóìà è ìèíèìó- ìà óâåëè÷èâàåòñÿ. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû îòâåðñòèé. ×èñëåí- íîå èññëåäîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî ïðè âîçäåéñòâèè èç áåñêîíå÷íîñòè P- è SV -âîëí â îïèñàííîé ñèñòåìå òàêæå íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò íàñûùåíèÿ [9], îäíàêî íå ñòðîãî (êàê è â [5, 10]). È õîòÿ ïðè ëèíåéíîì è ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî íàãðóçêè ðàñïîëîæåíèè ãåîìåòðè÷åñêè îäèíàêîâûõ îòâåðñòèé äëÿ óñðåäíåííîãî èññëåäî- âàíèÿ äîñòàòî÷íî íå áîëåå 20 îòðàæàòåëåé, ïðè äàëüíåéøåì íàðàùèâàíèè èõ ÷èñëà â ðàñïðåäåëåíèè íàïðÿæåíèé íàáëþäàþòñÿ íåçíà÷èòåëüíûå ïóëüñàöèè. Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðè íàñûùåíèè ðåøåòêè íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàí- íîå ñîñòîÿíèå èññëåäóåìîé ñèñòåìû ñòðåìèòñÿ ê àíàëîãè÷íîìó ñîñòîÿíèþ â ïåðè- îäè÷åñêîì ñëó÷àå [5, 9], â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïðèâåäåííûìè â [11] äëÿ ñëó÷àÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñèñ- òåìû ýëëèïòè÷åñêèõ îòâåðñòèé. Ñðàâíåíèå ñ ðåçóëüòàòàìè èç ðàáîòû [11] òàêæå ïîêàçàëî õîðîøóþ äîñòîâåðíîñòü èñïîëüçóåìûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé � � íà êîíòóðå ýëëèïòè÷åñêîé ïîëîñòè, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè ñèììåòðèè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç 17 îòâåðñòèé, â ñëó- ÷àå P -âîëíû (ðèñ. 4, à) è SV -âîëíû (ðèñ. 4, á). Êðèâûå 1, 2 è 3 ïðèâåäåíû äëÿ � � 03. , � 1 2 1 0, .a � è ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì a d/ .� 03, 0.5 è 0.7 ïðè b a/ .� 05, ãäå d (ðàññòîÿíèå ìåæäó îòâåðñòèÿìè) ñîîòâåòñòâóåò ïåðèîäó ðåøåòêè â [11]. 144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 Ðèñ. 3 � / 2 � � � P 1 2 3 à 3 2 1 � � SV � �� / 2 á Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñâèäåòåëüñòâóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ êîíòóð- íûõ íàïðÿæåíèé äëÿ P- è SV -ñëó÷àåâ ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îäíî îò äðóãîãî. Òàê, ïðè b a/ � 1 âáëèçè òî÷êè ñîñêàëüçûâàíèÿ (� �� / 2) íàïðÿæåíèå � � èìååò ìàêñèìóì ïðè èçëó÷åíèè P-âîëíû è ëîêàëüíûé ìèíèìóì â ñëó÷àå SV -âîëíû. Ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà b a/ (b a/ �1) õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ � � óñëîæíÿåòñÿ, ïðè÷åì ÷èñëî òî÷åê ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà âîçðàñòàåò. Â SV -ñëó÷àå íàïðÿæåíèå � � â ëîáîâîé (� �� ) è òåíåâîé (� � 0) òî÷êàõ ðàâíî íóëþ, ÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäà- åò ñ ðåçóëüòàòàìè àíàëîãè÷íûõ èññëåäîâàíèé, ïðèâåäåííûìè â ðàáîòå [11]. Ñèñòåìà îòâåðñòèé. Äëÿ òðåõ îòâåðñòèé ýëëèïòè÷åñêîãî èëè ðîìáè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ âðåìÿ âû÷èñëåíèé êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé (äëÿ îäíîãî âàðèàíòà) íà 15 ïðîöåññîðàõ êëàñòåðà òèïà «Èíïàðêîì» ñîñòàâëÿåò îêîëî òðåõ ÷àñîâ. Ðåøåíèå àíàëîãè÷íîé çàäà÷è ïðîöåäóðíûì ìåòîäîì ñ èñïîëüçîâàíèåì òèïîâûõ âû÷èñëè- òåëüíûõ ñðåäñòâ ñ òî÷íîñòüþ äî 10 6� (700 òî÷åê êîëëîêàöèè) îñóùåñòâëÿëîñü íåñêîëüêî ñóòîê. Ïðèâåäåì ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé � � íà êîíòóðå êðàéíåãî (ðèñ. 5, à–8 ,à) è öåíòðàëüíîãî (ðèñ. 5, á–8, á) îòâåðñòèé ýëëèïòè÷åñêîé (ðèñ. 5, 6) è ðîìáè÷åñêîé (ðèñ. 7, 8) ôîðì. Íà ðèñ. 5, 7 ïîêàçàí ñëó÷àé P-âîëí, à íà ðèñ. 6, 8 — ñëó÷àé SV -âîëí. Âåçäå íà ðèñóíêàõ êðèâûå 1, 2 ïîëó÷åíû äëÿ ñèñòåì íå- îäíîðîäíîñòåé, êîòîðûå ñâîåé áîëüøåé îñüþ ïàðàëëåëüíû (âûòÿíóòû âäîëü) îñè îðäèíàò è íàáåãàþùåé âîëíå, à êðèâûå 3, 4 ïîëó÷åíû äëÿ ñèñòåì, âûòÿíóòûõ âäîëü îñè àáñöèññ. Çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà � 1 2, a ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 1.5 äëÿ êðèâûõ 1, 3 è 2.5 äëÿ êðèâûõ 2, 4. Ñîîòíîøåíèå îñåé íåîäíîðîäíîñòåé ñî- îòâåòñòâóåò b a/ .� 20. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 145 Ðèñ. 4 � / 2 � 1 2 3 à 32 1 � �� / 2 á � � SV� � P Ðèñ. 5 � / 2 � � � P 1 2 3 à 3 2 1 � � P � �� / 2 á 4 4 Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñëó÷àå b a/ � 1, ò.å. êîãäà ôîêóñû ýëëèïñà íàõî- äÿòñÿ íà îñè, ïàðàëëåëüíîé ôðîíòó ïàäàþùåé âîëíû, âáëèçè òî÷êè ñîñêàëüçûâà- íèÿ (� �� / 2) íàïðÿæåíèå � � èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì ïðè èçëó÷åíèè Ð-âîë- íû è ëîêàëüíûé ìèíèìóì — â ñëó÷àå SV -âîëíû. Ïðè çíà÷åíèÿõ b a/ � 1, ò.å. êîã- äà ýëëèïòè÷åñêèå ïîëîñòè âûòÿíóòû âäîëü îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ôðîíòó ïàäàþùåé âîëíû, ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà b a/ õàðàêòåð èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ � � óñëîæíÿåòñÿ, ïðè÷åì ÷èñëî òî÷åê ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà óâåëè÷èâàåòñÿ. Íà ðèñ. 9 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè ìàêñèìàëüíûõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé � � * îò ðàññòîÿíèÿ d (ñì. ðèñ. 2) â ñëó÷àå âîçäåéñòâèÿ SV -âîëí íà ñèñòåìó èç òðåõ 146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 Ðèñ. 6 � / 2 � � � SV 1 2 3 à 3 2 1 � � SV � �� / 2 á 4 4 Ðèñ. 7 à 3 2 1 � � P � �� / 2 á 4 � / 2 � 1 2 3 4 � � P Ðèñ. 8 � / 2 � � � SV 1 2 3 à á 4 4 2 3 1 � � SV � / 2 � � (ðèñ. 9, à) è ñåìè (ðèñ. 9, á) ýëëèïòè÷åñêèõ îòâåðñòèé íà êîíòóðå öåíòðàëüíîãî îòâåðñòèÿ. Ñîîòíîøåíèå îñåé ýëëèïñîâ, âûòÿíóòûõ âäîëü îñè îðäèíàò (è íàáåãà- þùåé âîëíû), ñîòâåòñòâóåò b a/ .� 20. Äëÿ êðèâûõ 1, 2 çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà � 1 2, a ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 1.5 (êðèâàÿ 1) è 2.5 (êðèâàÿ 2). Ðàçðàáîòàííàÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïîçâîëèëà ñôîðìèðîâàòü óíèêàëüíóþ òàáëèöó âûñîêîòî÷íûõ çíà÷åíèé (äî 10 8� ) ìàêñèìóìîâ êàñàòåëü- íûõ íàïðÿæåíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâûõ êîîðäèíàò íà êîíòóðå ýëëèïòè÷åñ- êèõ èëè ðîìáè÷åñêèõ öåíòðàëüíûõ èëè êðàéíèõ îòâåðñòèé (â ñèñòåìå îò òðåõ äî 13 îáúåêòîâ), àíàëîãè÷íóþ â ðàáîòå [10]. Âîçäåéñòâèå — ãàðìîíè÷åñêèå P- è SV -âîëíû äëÿ ëþáûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé îòâåðñòèé è áîëüøèíñòâà âîëíîâûõ ÷èñåë. Ïî ìíåíèþ àâòîðîâ, òàêàÿ òàáëèöà ñôîðìèðîâàíà âïåðâûå. Â òàáë. 1 ïðèâåäåí ôðàãìåíò ýòîãî ðåçóëüòàòà. Ñèñòåìà ñîñòîèò èç òðåõ ýëëèïòè- ÷åñêèõ èëè ðîìáè÷åñêèõ îòâåðñòèé ñ ñîîòíîøåíèåì îñåé b a/ .� 20 è âîëíîâûõ ÷èñåë � 1 2, a, ðàâíûõ 1.5 è 2.5 ñîîòâåòñòâåííî. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ñî÷åòàíèå ìåòîäà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùèõ íà åäèíèöó ñíèçèòü ðàçìåðíîñòü çàäà÷è, è ïàðàëëåëüíûõ àëãîðèòìîâ ñóùåñòâåííî ýêîíîìèò âðåìÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 147 Ðèñ. 9 à 2 1 � � � d á � � � 2 1 Ò à á ë è ö à 1 Òèï âîëíû Òèï êîíòóðà Ðàñïîëîæåíèå îòâåðñòèÿ �1 2, a Óãîë �, â ðàäèàíàõ Ìàêñèìóì � � SV Ýëëèïñ Öåíòðàëüíîå 1.5 0.45046764 9.20952152 SV Ýëëèïñ Êðàéíåå ñïðàâà 1.5 0.45139920 7.95555354 SV Ðîìá Öåíòðàëüíîå 1.5 6.15793145 12.48014108 SV Ðîìá Êðàéíåå ñïðàâà 1.5 0.10875301 11.55062885 P Ýëëèïñ Öåíòðàëüíîå 1.5 3.14085470 4.02922054 P Ýëëèïñ Êðàéíåå ñïðàâà 1.5 3.03160079 2.62768336 P Ðîìá Öåíòðàëüíîå 1.5 3.14085470 9.15393000 P Ðîìá Êðàéíåå ñïðàâà 1.5 3.11755021 4.98452764 SV Ýëëèïñ Öåíòðàëüíîå 2.5 0.34062599 12.40656230 SV Ýëëèïñ Êðàéíåå ñïðàâà 2.5 0.22919939 12.68570398 SV Ðîìá Öåíòðàëüíîå 2.5 6.16310674 19.21981031 SV Ðîìá Êðàéíåå ñïðàâà 2.5 0.06393689 20.42869115 P Ýëëèïñ Öåíòðàëüíîå 2.5 0 2.115216725 P Ýëëèïñ Êðàéíåå ñïðàâà 2.5 0.156298146 1.72461236 P Ðîìá Öåíòðàëüíîå 2.5 0 8.51053409 P Ðîìá Êðàéíåå ñïðàâà 2.5 0 6.56620420 è ïîâûøàåò òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé (íåñìîòðÿ íà èñïîëüçîâàíèå óâåëè÷åííîãî ÷èñëà âàðèàíòîâ èñõîäíûõ äàííûõ). Äëÿ çàäà÷è äèôðàêöèè óïðóãèõ âîëí íà ñèñòåìå îòâåðñòèé íåêðóãîâîé ôîðìû ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû äàþò âîçìîæ- íîñòü áîëåå äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü õàðàêòåðèñòèêè âîëíîâîãî ïîëÿ — ïî- ëó÷èòü òî÷íûå âåëè÷èíû ðåçîíàíñíûõ ìàêñèìóìîâ êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé, à òàêæå îïðåäåëèòü òî÷íûå êîîðäèíàòû äèñëîêàöèè ðåçîíàíñíûõ ìàêñèìóìîâ. Ýòî ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ðàçðóøåíèé êîíñòðóêöèé, ðàáîòàþùèõ â óñëîâèÿõ äè- íàìè÷åñêèõ íàãðóçîê. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å ë å ç î â È . Ò . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , ß ê î â ë å â Â . Â . Ðàññåÿíèå âîëí ëîêàëüíûìè íå- îäíîðîäíîñòÿìè â ñïëîøíûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1985. — 136 ñ. 2. Ã ó ç ü À . Í . Î êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé îêîëî íåñêîëüêèõ îòâåðñòèé â ýëåìåíòàõ êîíñòðóê- öèé // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. — 1994. — 30, ¹ 4. — Ñ. 6–13. 3. Ô è ë ü ø ò è í ñ ê è é Ë . À . Äèôðàêöèÿ óïðóãèõ âîëí íà òðåùèíàõ, îòâåðñòèÿõ, âêëþ÷åíèÿõ â èçîòðîïíîé ñðåäå // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. — 1991. — ¹ 4. — Ñ. 119–127. 4. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Ðåøåíèå äâóìåðíûõ çàäà÷ äèôðàêöèè óïðóãèõ âîëí íà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòÿõ: Äèñ. … êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê / Ñóì. ãîñ. óí-ò. — Ñóìû, 1996. — 125 ñ. 5. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . , Í à ç à ð å í ê î À . Ì . Êàðêàñíûé àíàëèç ïðåäìåòíîé îáëàñòè: ñòàöèî- íàðíûå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ èçîòðîïíûõ ñðåä ñ ïðîèçâîëüíûìè íå- îäíîðîäíîñòÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 1. — C. 172–187. 6. Ï à í à ñ þ ê Â . Â . , Ñ à â ð ó ê Ì . Ï . , Í à ç à ð ÷ ó ê Ç . Ò . Ìåòîä ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé â äâóìåðíûõ çàäà÷àõ äèôðàêöèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1984. — 344 ñ. 7. Â å ð ò ã å é ì È . È . , Ò å ð ï ó ã î â Â . Í . Ïàðàëëåëüíûå òåõíîëîãèè âû÷èñëåíèé â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä è ÌÄÒÒ: Ó÷. ïîñîáèå. — Ïåðìü: ÏÃÓ, 2007. — 84 ñ. 8. Õ è ì è ÷ À . Í . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ï î ï î â À . Â . ×èñëåííîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå èíòåëëåêòóàëüíîãî MIMD-êîìïüþòåðà «Èíïàðêîì». — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. — 220 ñ. 9. Ê þ ð ê ÷ à í À . Ã . , Ñ ê î ð î ä ó ì î â à Å . À . Ðåøåíèå òðåõìåðíîé çàäà÷è äèôðàêöèè âîëí íà ãðóïïå îáúåêòîâ // Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. — 2007. — 53, ¹ 1. — Ñ. 5–14. 10. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . , Ñ à é ê î È . Í . Âûñîêîòî÷íàÿ ñõåìà ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé ìàêñè- ìàëüíûõ êîíòóðíûõ SH-íàïðÿæåíèé íà ñèñòåìå íåêðóãîâûõ îòâåðñòèé â áåñêîíå÷íîé óïðó- ãîé ñðåäå // Íàóêîâ³ çàïèñêè ÍÀÓÊÌÀ. Êîìï’þòåðí³ íàóêè. — 2012. — 121. — C. 10–18. 11. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ë î æ ê è í À . Ì . Äèôðàêöèÿ óïðóãèõ âîëí íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñèñòå- ìàõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïîëîñòåé è æåñòêèõ âêëþ÷åíèé // Àêóñòè÷åñêèé âåñòíèê. — 2006. — 9, ¹ 4. — Ñ. 35–42. Ïîñòóïèëà 10.11.2014 148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5

Высокоточные максимальные напряжения в задаче о взаимодействии упругих волн с системой цилиндрических полостей в условиях плоской деформации

Institution

Ähnliche Einträge