Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации
Рассмотрено использование мер риска, позволяющее объединить в рамках общего подхода задачи стохастического программирования и робастной оптимизации. Описаны конструкции для класса полиэдральных когерентных мер риска. Показано, как задачи линейной оптимизации с неопределенностью при применении таких...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124927 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 46-59. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124927 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1249272017-10-13T03:03:13Z Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации Кирилюк, В.С. Системный анализ Рассмотрено использование мер риска, позволяющее объединить в рамках общего подхода задачи стохастического программирования и робастной оптимизации. Описаны конструкции для класса полиэдральных когерентных мер риска. Показано, как задачи линейной оптимизации с неопределенностью при применении таких мер сводятся к детерминированным задачам линейного программирования. Розглянуто використання мір ризику, що дозволяє об єднати задачі стохастичного програмування і робастної оптимізації у рамках загального підходу. Описано конструкції для класу поліедральних когерентних мір ризику. Показано, як задачі лінійної оптимізації з невизначеністю при застосуванні таких мір зводяться до детермінованих задач лінійного програмування. The author considers the use of risk measures that allows combining stochastic programming and robust optimization problems within the overall approach. Constructions for the class of polyhedral coherent risk measures are described. It is shown how the use of such measures can reduce problems of linear optimization under uncertainty to deterministic linear programming problems 2015 Article Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 46-59. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124927 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Кирилюк, В.С. Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрено использование мер риска, позволяющее объединить в рамках общего подхода задачи стохастического программирования и робастной оптимизации. Описаны конструкции для класса полиэдральных когерентных мер риска. Показано, как задачи линейной оптимизации с неопределенностью при применении таких мер сводятся к детерминированным задачам линейного программирования. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| title_short |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| title_full |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| title_fullStr |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| title_full_unstemmed |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| title_sort |
меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124927 |
| citation_txt |
Меры риска в задачах стохастического программирования и робастной оптимизации / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 46-59. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs meryriskavzadačahstohastičeskogoprogrammirovaniâirobastnojoptimizacii |
| first_indexed |
2025-07-09T02:16:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T02:16:31Z |
| _version_ |
1837133877674508288 |
| fulltext |
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
ÓÄÊ 519.21 ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ  ÇÀÄÀ×ÀÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß È ÐÎÁÀÑÒÍÎÉ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíî èñïîëüçîâàíèå ìåð ðèñêà, ïîçâîëÿþùåå îáúåäèíèòü â ðàìêàõ
îáùåãî ïîäõîäà çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ðîáàñòíîé îïòèìèçàöèè.
Îïèñàíû êîíñòðóêöèè äëÿ êëàññà ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà. Ïîêàçàíî, êàê
çàäà÷è ëèíåéíîé îïòèìèçàöèè ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ïðè ïðèìåíåíèè òàêèõ ìåð ñâîäÿòñÿ
ê äåòåðìèíèðîâàííûì çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ðîáàñòíàÿ îïòèìèçàöèÿ, ïîëèýä-
ðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, conditional value-at-risk, ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà
ðèñêà, íåòî÷íûå âåðîÿòíîñòè, ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîïûòêà îïèñàòü ìåðû ðèñêà â êà÷åñòâå ýô-
ôåêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèé â óñëîâèÿõ ðèñ-
êà è íåîïðåäåëåííîñòè.
Ìíîãî ïðèêëàäíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ ñîäåðæàò ðàçëè÷íûå íåîïðåäå-
ëåííûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè ïîèñêå èõ îïòèìàëüíûõ
(ýôôåêòèâíûõ) ðåøåíèé. Íåîïðåäåëåííîñòè ìîãóò ïîðîæäàòüñÿ íåäîñòàòî÷íîñòüþ
èëè çàøóìëåííîñòüþ äàííûõ, íåòî÷íîñòüþ îöåíîê, íåïðåäñêàçóåìîñòüþ áóäóùå-
ãî è ò.ä. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ ïðîáëåì èñïîëüçóþòñÿ øèðîêî èçâåñòíûå äâà
ïîäõîäà: îäèí ïðèìåíÿåòñÿ â ñòîõàñòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè (ÑÏ), êîãäà èç-
âåñòíî âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ è îïòèìèçèðó-
åòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå öåëåâîé ôóíêöèè [1], äðóãîé ïîäõîä ïðåäëîæåí
â ðîáàñòíîé îïòèìèçàöèè (ÐÎ), ãäå èñïîëüçóåòñÿ ìèíèìàêñíûé êðèòåðèé, ïðè êî-
òîðîì öåëåâàÿ ôóíêöèÿ îïòèìèçèðóåòñÿ ïðè íàèõóäøåì ñöåíàðèè [2]. Ïðè ýòîì
âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ çíàòü íå îáÿçàòåëüíî,
äîñòàòî÷íî ëèøü ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ.
Îáà ýòèõ ïîäõîäà îáúåäèíÿþòñÿ â ðàìêàõ èñïîëüçîâàíèÿ àïïàðàòà ìåð ðèñêà
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìåðà ðèñêà îïèñûâàåòñÿ êàê îïòèìóì (õóäøèé) ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû (ñ.â.), ïî îïðåäåëåííîìó ìíîæåñòâó Q âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. Ïîñëåäíåå îäíî-
çíà÷íî ïðåäñòàâëÿåò òó èëè èíóþ ìåðó ðèñêà. Îïèñûâàÿ òàêîå ìíîæåñòâî Q
â âèäå åäèíñòâåííîé (èçâåñòíîé) ìåðû { }P0 , ïîëó÷àåì â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñëó÷àé ÑÏ). Ïðåäñòàâëÿÿ Q â âèäå ìíîæåñòâà âñåõ âîç-
ìîæíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ïîëó÷àåì â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ìèíèìàêñ, ïîñêîëüêó
òîãäà ìåðà ðèñêà ðåàëèçóåòñÿ ïðè íàèõóäøåì ñöåíàðèè (ñëó÷àé ÐÎ).
Îòìåòèì, ÷òî îáà ïîäõîäà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåêîòîðûå êðàéíîñòè
(extreme cases): ñëó÷àé ÑÏ ïðèâîäèò ê ïðîñòûì äëÿ ïîèñêà, íî íåíàäåæíûì ðå-
46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
Ó Â.Ñ. Êèðèëþê, 2015
øåíèÿì, ñëó÷àé ÐÎ îáåñïå÷èâàåò íàäåæíûå, íî ñëèøêîì êîíñåðâàòèâíûå ðåøå-
íèÿ. Ê òîìó æå óñëîâèÿ ïîëíîé èíôîðìàöèè î âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ
èëè àáñîëþòíîãî åå îòñóòñòâèÿ íå îïèñûâàþò îáøèðíîãî ìíîæåñòâà ïðàêòè÷åñ-
êè âàæíûõ çàäà÷, â êîòîðûõ äîñòóïíà ëèøü ÷àñòè÷íàÿ èíôîðìàöèÿ. Àïïàðàò ìåð
ðèñêà ïîçâîëÿåò íå òîëüêî îáúåäèíèòü ýòè äâà êðàéíèõ ñëó÷àÿ, íî è ïðåäëîæèòü
íåêîòîðûé íàáîð ïðîìåæóòî÷íûõ âàðèàíòîâ ìåð ðèñêà, ïðåäñòàâëåííûõ â óïî-
ìÿíóòîé ðàíåå êîíñòðóêöèè ñîîòâåòñòâóþùèìè ìíîæåñòâàìè âåðîÿòíîñòíûõ
ìåð Q. Ïî ìíåíèþ àâòîðà ñòàòüè, ó÷åò èìåííî òàêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ âàðèàíòîâ
ìåð ðèñêà ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèé íàèáîëåå èíòåðåñåí.
1. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÈ ÇÀÄÀ× ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß
È ÐÎÁÀÑÒÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Ðàññìîòðèì îïòèìèçàöèîííóþ çàäà÷ó, â êîòîðîé èìååòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü
â âèäå íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà Y :
"min"{ ( , ): ( , ) , , , , }f x Y f x Y i m x M Ri
k
0 0 1£ = Î ÍK ,
ãäå ñìûñë "min" è íåðàâåíñòâ â îãðàíè÷åíèÿõ â ñâÿçè ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ
ïàðàìåòðà Y áóäåò óòî÷íÿòüñÿ ïî ìåðå èçëîæåíèÿ, à ìíîæåñòâî M èìååò ïðî-
ñòóþ ñòðóêòóðó, íàïðèìåð ìíîãîãðàííèê.
Ïóñòü èìååòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )W F P , íà êîòîðîì çàäàíî âå-
ðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà Y , ò.å. Y R s(. ) :W ® , òîãäà äëÿ êàæäîãî
ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ (ñöåíàðèÿ) w ÎW îïèñàíî çíà÷åíèå f x Yi ( , ( ))w ,
i m= 0, ,K . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè èçìåðåíèè f x Y i mi ( , ( )), , ,w = 0 K , çàäàíî èõ ðàñ-
ïðåäåëåíèå. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå Y Y= ( )w ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñöåíàðèåì w,
äëÿ ñîêðàùåíèÿ îáîçíà÷åíèé âìåñòî f x Yi ( , ( ))w áóäåì ïèñàòü f xi ( , )w .  äàííûõ
îáîçíà÷åíèÿõ ïðèâåäåííàÿ ðàíåå çàäà÷à îïòèìèçàöèè èìååò âèä
"min"{ ( , ) : ( , ) , , , , }f x f x i m x M Ri
k
0 0 1w w £ = Î ÍK . (1)
Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû àíàëîãà ïðîáëåìû (1). Íàïðè-
ìåð, ïîñòàâèòü çàäà÷ó îïòèìèçàöèè, â êîòîðîé â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ è îãðàíè÷å-
íèé èñïîëüçóþòñÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé
min { [ ( , )] : [ ( , )] , , , , }E f x E f x i m x M Ri
k
0 0 1w w £ = Î ÍK . (2)
Äàííàÿ îïòèìèçàöèÿ â ñðåäíåì ïðîñòà, íî íåíàäåæíà, à ó÷åò îãðàíè÷åíèé
â ñðåäíåì ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåîáîñíîâàííûì [3]. Áîëåå ðàçóìíîé
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïîñòàíîâêà ÑÏ [4]:
min { [ ( , )]: sup ( , ) , , , , }E f x f x i m x M Ri
k
0 0 1w w
wÎ
£ = Î Í
W
K , (3)
â êîòîðîé, êàê è â (2), îïòèìèçèðóåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ, íî ïðè
ýòîì ãàðàíòèðóåòñÿ äîïóñòèìîñòü ðåøåíèé (â ñìûñëå îãðàíè÷åíèé) äëÿ âñåõ
âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ w.
Ïðèâåäåì ïîñòàíîâêó ÑÏ c âåðîÿòíîñòíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, â êîòîðîé âû-
ïîëíåíèå ïîñëåäíèõ ãàðàíòèðóåòñÿ ëèøü ñ íåêîòîðûìè âåðîÿòíîñòÿìè [5]
min { [ ( , )] : : ( , ) , , , , }E f x P f x i m x M Ri i
k
0 0 1w w w a{ }£ ³ = Î ÍK . (4)
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ÐÎ. Íà÷íåì ñî ñëåäóþùåé
ìèíèìàêñíîé çàäà÷è, íàçâàííîé ñòðîãîé ÐÎ [2], êîòîðóþ ìîæíî ïîñòàâèòü ïðè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 47
íàëè÷èè ëèøü ìíîæåñòâà U Y=
Î
( )w
w W
U , ÷òî ïîäðàçóìåâàåò òàêæå îöåíêó ìíî-
æåñòâ f x i mi ( , ), , ,w
wÎ
=
W
U K0 :
min {max ( , ): sup ( , ) , , , , }
w w
w w
Î Î
£ = Î Í
W W
f x f x i m x M Ri
k
0
0 1 K . (5)
Äàííàÿ çàäà÷à, êàê è (3), ãàðàíòèðóåò äîïóñòèìîñòü ðåøåíèé ïðè âñåõ âîç-
ìîæíûõ çíà÷åíèÿõ w ÎW, íî îïòèìèçèðóåò êðèòåðèé ïðè íàèõóäøåì ñöåíàðèè
(ýëåìåíòàðíîì ñîáûòèè) ðàñïðåäåëåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 1. Ìíîæåñòâî U ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ
îöåíîê ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñ.â. Y áåç åãî ïàðàìåòðèçàöèè â ôîðìå Y ( ) .w
wÎW
U
Îäíàêî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà âñå ðàâíî íåÿâíî èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè
ýêñòðåìàëüíûõ ñöåíàðèåâ-ñîáûòèé ñ.â. Y .
 íåêîòîðûõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷ â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè èñïîëüçóþò
íàèõóäøåå îòêëîíåíèå èñõîäíîé ôóíêöèè-êðèòåðèÿ îò åå îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîáëåìà íàçâàíà çàäà÷åé ÐÎ îòêëîíåíèÿ (deviation robust) [6]
min {max( ( , ) ( )):max ( , ) , , ,*
w w
w w w
Î Î
- £ =
W W
f x f f x i mi0 0 0 1 K , }x M R kÎ Í , (6)
ãäå f f x x M0 0
* ( ) min ( , ) :w w= Î{ }.
Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ ìèíèìàêñíûé êðèòåðèé, íî ïðè ýòîì îñëàáëÿþòñÿ òðå-
áîâàíèÿ äîïóñòèìîñòè ðåøåíèÿ ïðè âñåõ âîçìîæíûõ ñöåíàðèÿõ w. Ýòî óñëîâèå
ãàðàíòèðóåòñÿ ëèøü ïðè íåêîòîðîì íîìèíàëüíîì ñöåíàðèè $w. Òàêàÿ ïðîáëåìà
íàçâàíà çàäà÷åé íàäåæíîé (reliable) â ñìûñëå ÐÎ [7]
max ( , ) min
w
w
Î
®
W
f x0 ,
f x i mi ( , $ ) , , ,w £ =0 1 K ,
(7)
max ( , ) , , ,
w
w d
Î
£ =
W
f x i mi i 1 K ,
x M R kÎ Í .
Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè di i m= =0 1, , ,K , îíà ñîâïàäàåò ñ ïîñòàíîâêîé (5).
Äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ðàññìîòðèì åùå ïîñòàíîâêó çàäà÷è, íàçâàííóþ
ïðîáëåìîé ëåãêîé (light) ÐÎ [8]
wi i
i
m
xd d
=
å ®
1
min ( , ) ,
f x i mi ( , $ ) , , ,w £ =0 1 K ,
f x z0 1( , $ ) ( ) *w g£ + , (8)
max ( , ) , , ,
w
w d
Î
£ =
W
f x i mi i 1 K ,
x R kÎ ³, d 0,
ãäå $w — íîìèíàëüíûé ñöåíàðèé; z f x x R k* min ( , $ ) := Î{ }0 w , g ³ 0 — íåêîòîðûé
ïàðàìåòð; wi ³ 0, i m=1, ,K , wii
m =
=å 1
1
— íåêîòîðûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû.
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
Çàìå÷àíèå 2. Èçâåñòíû è äðóãèå áëèçêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷. Íàïðèìåð, òàê
íàçûâàåìûå ìÿãêàÿ (soft) ÐÎ [9] è îáîáùåííàÿ ëåãêàÿ (generalized light) ÐÎ [10].
Ðàçíîîáðàçèå ïîñòàíîâîê ìîæíî îáúÿñíèòü êàê ïîïûòêîé îñëàáèòü êëàññè÷åñêóþ
ïîñòàíîâêó ÐÎ â ôîðìå (5), ãåíåðèðóþùóþ ñëèøêîì êîíñåðâàòèâíûå ðåøåíèÿ,
òàê è ñïåöèôèêîé îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ.
Ïðåäñòàâèì äàëåå àïïàðàò ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà, ñ ïîìîùüþ
êîòîðîãî çàòåì îáúåäèíèì ðàññìîòðåííûå ðàíåå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ÑÏ è ÐÎ.
2. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÏÎËÈÝÄÐÀËÜÍÛÕ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÕ ÌÅÐ ÐÈÑÊÀ
Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )W S P0 çàäàíà ñ.â. X R(. ) : W ® .
 [11] äëÿ îöåíêè ðèñêà ñ.â. X , îïèñûâàþùåé íåêîòîðûé ôèíàíñîâûé ïîòîê,
ââåäåíî ïîíÿòèå êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà (ÊÌÐ), ïðåäñòàâëåííîé â âèäå
r( ) [ ] :X E X P QP= - Îsup{ }, (9)
ãäå E p [. ] — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå P, à Q — íåêîòîðîå
âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, êîòîðîå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò
r(. ). Òàêàÿ ÊÌÐ èíòåðïðåòèðóåò ïîòåíöèàëüíûå ïîòåðè ôèíàíñîâîãî ïîòîêà X .
 ñëó÷àå, êîãäà ñ.â. X îïèñûâàåò çàòðàòû, óáûòêè, ñòîèìîñòü è äðóãèå âåëè-
÷èíû, õàðàêòåðèçóåìûå â ïîðÿäêå ïðåäïî÷òåíèÿ «÷åì ìåíüøå, òåì ëó÷øå», â ñî-
îòâåòñòâóþùåé ÊÌÐ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü êîíñòðóêöèþ, àíàëîãè÷íóþ (9), íî
áåç èçìåíåíèÿ çíàêà ïðè ñ.â., ò.å.
r( ) [ ] :X E X P QP= Îsup { }. (10)
Èìåííî êîíñòðóêöèþ (10) áóäåì ïðèìåíÿòü â äàëüíåéøåì èçëîæåíèè ê êðèòåðè-
ÿì f xi ( , )w , i m= 0, ,K , èñõîäÿ èç èõ ìèíèìèçàöèè è îãðàíè÷åíèé ñâåðõó â çàäà÷å (1).
Ðàññìîòðèì êîíå÷íóþ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííóþ ñ.â. X , êîòîðàÿ õàðàêòå-
ðèçóåòñÿ êîíå÷íûì íàáîðîì ñâîèõ ïîñöåíàðíûõ çíà÷åíèé x x xn= ( , , )1 K ñ ñîîò-
âåòñòâóþùèìè ñöåíàðíûìè âåðîÿòíîñòÿìè p p pn0 1
0 0= ( , , )K . Äëÿ òàêèõ ñ.â.
â [12, 13] èçó÷àëîñü ïîíÿòèå ïîëèýäðàëüíîé ÊÌÐ (ÏÊÌÐ), â êîòîðîì â äîïîëíå-
íèå ê îïèñàíèþ (10) ïîñòóëèðîâàëàñü òàêæå ìíîãîãðàííîñòü (ïîëèýäðàëüíîñòü)
ìíîæåñòâà Q, ò.å. åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
Q p Bp c p= £ ³{ }: , 0 , (11)
ãäå B è c — ìàòðèöà è âåêòîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé.
Ñëåäóÿ [14], ðàçäåëÿåì îïèñàíèå ìíîæåñòâà Q â (11) íà ñòàíäàðòíóþ è ñî-
äåðæàòåëüíóþ ÷àñòè. Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó B è âåêòîð c êàê
B
B
B
c
c
c
=
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
0
1
0
1
, , (12)
ãäå B0 è ñ0 , îïèñûâàþùèå ïðèâåäåííûå ðàíåå íåðàâåíñòâà, ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè:
B0
1 1
1 1
=
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷
K
K
, c0
1
1
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ , (13)
à B1 è ñ1 îïèñûâàþò ñîäåðæàòåëüíóþ ÷àñòü â ñîîòíîøåíèè (12), êîòîðàÿ è
îïðåäåëÿåò ñîáñòâåííî ìåðó ðèñêà â âèäå ñîîòíîøåíèé (10)–(13).
Íàëè÷èå ñòàíäàðòíîé ÷àñòè â âèäå B0 è ñ0 ñâÿçàíî ñ îïèñàíèåì â (13) ñòàí-
äàðòíîãî óñëîâèÿ äëÿ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pii
n =
=å 1
1
, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿ-
åòñÿ â âèäå äâóõ íåðàâåíñòâ: pii
n £
=å 1
1
è - £ -
=å pii
n
1
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 49
Íàïîìíèì ñëåäóþùèå ïîëåçíûå ôàêòû èç [14].
Ïðèìåð 1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü E XP0
[ ] òàêæå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëü-
íûì ïðèìåðîì ïîäîáíîé ìåðû ðèñêà, â êîòîðîé ìíîæåñòâî Q p= { }0 ñîäåðæèò
âñåãî îäíó òî÷êó p0 . Åå ìîæíî ôîðìàëüíî îïèñàòü â âèäå (10)–(13) ïðè B I1 = ,
c p1 0= , ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Ïðèìåð 2. Íàèõóäøèé ñëó÷àé (ìàêñèìàëüíûõ ïîòåðü) òàêæå ÿâëÿåòñÿ
ÏÊÌÐ, â êîòîðîé Q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ âåðîÿòíîñ-
òíûõ ìåð. Òàêèì îáðàçîì, â åãî îïèñàíèè â âèäå (10)–(13) íå èìååòñÿ ñîäåðæà-
òåëüíîé ÷àñòè, ïðåäñòàâëåííîé B1 è c1.
Çàìå÷àíèå 3. Êîíñòðóêöèþ ìåðû (10)–(13) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê íå-
êîòîðûé «ìÿãêèé» âàðèàíò ìèíèìàêñà, êîòîðûé ñòàíîâèòñÿ îáû÷íûì, êîãäà
ìíîæåñòâî Q ìàêñèìàëüíî øèðîêî, êàê â ïðèìåðå 2.
Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì ìåðó CVaR, ââåäåííóþ â [15]. Äëÿ êîíå÷íûõ äèñ-
êðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â. CVaRa ÿâëÿåòñÿ ÏÊÌÐ è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôîðìå
(10)–(13), ãäå ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä:
B I c p1 1 0
1
1
= =
-
,
a
,
ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, p0 — âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì ñïåêòðàëüíóþ êîãåðåíòíóþ ìåðó ðèñêà, ââåäåííóþ
â [16] êàê
SCRM X p VaR X dppj j( ) ( ) ( )= ò
0
1
,
ãäå VaR X z F zXa a( ) / ( )= ³inf { }, j(. ) — ôóíêöèÿ ñïåêòðà. Äëÿ êîíå÷íûõ
äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â. X îíà ÿâëÿåòñÿ ÏÊÌÐ [14] è ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â ôîðìå (10)–(13), ãäå ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä:
B I c pi
ii
n
1 1
1
0
1
= =
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
å,
l
a
, (14)
à ñîîòâåòñòâóþùèå l i è a i îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ n ñöåíàðèåâ è ñïåêòðà j(. ) ñëå-
äóþùèì îáðàçîì. Óïîðÿäî÷èì ïîñöåíàðíûå çíà÷åíèÿ ñ.â. X â ïîðÿäêå âîçðàñ-
òàíèÿ è ïåðåíóìåðóåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ñöåíàðèè ñ èõ âåðîÿòíîñòÿìè,
òîãäà l i , a i , i n=1, ,K , îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé [14]:
a i j
j
i
p i n= - =
=
å1 1
1
, , ,K , (15)
l j j1
0
1
2
1
1
1 2
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ò ò
+
( ) ( )p dp
p
p
p dp
p
p
p p
, l jn
n p p
p
p dp
n
=
+ + -
ò
1
1 1
1
( )
K
, (16)
l j ji
i
i p p
p pi
i
i p
p p
p
p dp
p
p
p dp
i
=
+ +
-
+ +
+ +
+
-
ò1
1
1
1 1 1
K
K
K
( ) ( )
+ +
+ + +
ò
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷K
K
p
p p
i
i1 1
, i n= -2 1, , .K (17)
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
Åñëè âåðîÿòíîñòè âñåõ ñöåíàðèåâ ðàâíû
1
n
, èõ íå íóæíî óïîðÿäî÷èâàòü,
è âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ l i , a i , i n=1, ,K , â (14) çíà÷èòåëüíî
óïðîùàþòñÿ:
a i
i
n
i n= - =1 1, , ,K , l j ji
i n
i n
i n
i n
i p dp p dp= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
+
ò ò( ) ( )
( )/
/
/
( )/
1
1
, i n= -1 1, ,K ,
l jn
n n
n p dp=
-
ò ( )
( )/1
1
.
Ïðèìåð 5. Ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè èíâàðèàíòíûõ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ÊÌÐ
[17] èìååò âèä
KRRM X CVaR X
n
ii
i
n
( ) max ( )
( , , )
=
Î =
å
l l
al
1 1K L
, (18)
ãäå L — âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ,
ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 1. Â [14] ïîêàçàíî, ÷òî (18) ÿâëÿåòñÿ ÏÊÌÐ è ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ â ôîðìå (10)–(13), ãäå ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä:
B I c p
n
i
ii
n
1 1
1
0
1 1
= =
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷Î =
å, max
( , , )l l
l
aK L
.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñå ÏÊÌÐ, êðîìå íàèõóäøåãî ñëó÷àÿ èç ïðèìåðà 2,
èñïîëüçóþò âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 â ÿâíîì âèäå. Äëÿ ïðèìåðà 2 íà-
ëè÷èÿ p0 íå íóæíî, äîñòàòî÷íî ëèøü îöåíêè ñâåðõó çíà÷åíèé ñ.â. X .
Ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé. Êðîìå ñëó÷àåâ ïîëíîé èí-
ôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè ñ.â. X èëè íàëè÷èÿ ëèøü åå îöåíîê ñâåðõó, âîçìîæ-
íû è äðóãèå (ïðîìåæóòî÷íûå) âàðèàíòû. Çà÷àñòóþ ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ñöåíà-
ðèè áóäóùèõ ñîáûòèé ñ ðàñïðåäåëåíèåì ïî íèì çíà÷åíèé ñ.â., îäíàêî òðóäíî
èäåíòèôèöèðîâàòü èõ ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñòè p0 , êîòîðûå ìîæíî ëèøü êàê-òî
îöåíèâàòü, íàïðèìåð ñâåðõó è ñíèçó. Äëÿ ïîäîáíûõ îáñòîÿòåëüñòâ, íàçûâàåìûõ
ñëó÷àÿìè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòåé, àïïàðàò ÏÊÌÐ ïðåäëàãàåò àäåêâàòíûå êîí-
ñòðóêöèè ìåð ðèñêà.
Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííàÿ ðàíåå çàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà Q â êîíñòðóêöèè
ÏÊÌÐ (12) îò p0 ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòü åãî êàê ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Q p( )0 ,
êîòîðîå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ìåðó ðèñêà (ñì. ïðèìåðû 1,
3–5). Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ìåðó ðèñêà, êîãäà íå èìå-
åòñÿ òî÷íîé èíôîðìàöèè î âåêòîðå ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 . Äîïóñòèì, èç-
âåñòíî ëèøü, ÷òî äàííûé âåêòîð ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó íåîïðåäåëåí-
íîñòè U , ò.å. p U0 Î . Òîãäà åñòåñòâåííî ñòðîèòü ìåðó ðèñêà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
íàèõóäøåé â ýòîì ìíîæåñòâå. Òàêèì îáðàçîì, ïî èñõîäíîé ìåðå ðèñêà r 0 âèäà
(10) è ìíîæåñòâó íåîïðåäåëåííîñòèU ñòðîèòñÿ åå ðîáàñòíàÿ êîíñòðóêöèÿ [18]:
r r0; ( ) [ ] : ( )U PX E X P Q U= Îsup { }, (19)
ãäå Q U Q p
p U
( ) ( )=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Î
co 0
0
U , Q p( )0 — ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èñõîäíîé
ìåðû r 0 (. ) , co — âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ îáîëî÷êà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé, êîãäà p0 îöåíèâàåò-
ñÿ ñâîèìè ïîêîîðäèíàòíûìè îöåíêàìè ñíèçó è ñâåðõó â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 51
âåêòîðîâ pl è pu . Òîãäà ìíîæåñòâî íåîïðåäåëåííîñòè U äëÿ p0 èìååò âèä:
U p p p p p pi l u
i
n
= ³ = £ £
ì
í
î
ü
ý
þ=
å: , ,0 1
1
. (20)
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïðåäñòàâèì ðîáàñòíûå âàðèàíòû ìåð ðèñêà èç ïðèìåðîâ 1–5,
îáóñëîâëåííûå êîíñòðóêöèåé (19).
Êàê èçâåñòíî [14], äëÿ ìíîæåñòâà íåîïðåäåëåííîñòè âèäà (20) âñå ðîáàñòíûå
êîíñòðóêöèè èç ïðèìåðîâ 1–5 ÿâëÿþòñÿ ÏÊÌÐ, ïðåäñòàâëåííûìè â ôîðìå
(10)–(13), äëÿ èäåíòèôèêàöèè êîòîðûõ äîñòàòî÷íî óêàçàòü òîëüêî èõ ñîäåðæà-
òåëüíûå ÷àñòè â âèäå ìàòðèöû B1 è âåêòîðà c1.
Ïðèìåð 1¢. Äëÿ ðîáàñòíîãî âàðèàíòà ñðåäíèõ ïîòåðü
B
I
I
1 =
-æ
è
ç
ö
ø
÷ , c
p
p
l
u
1 =
-æ
è
çç
ö
ø
÷÷ .
Ïðèìåð 2¢. Äëÿ ñëó÷àÿ íàèáîëüøèõ ïîòåðü áåç èçìåíåíèé B1 è c1 íå ñóùåñ-
òâóþò.
Ïðèìåð 3¢. Äëÿ ðîáàñòíîãî âàðèàíòà CVaRa
B I c
pu
1 1
1
= =
-
,
a
.
Ïðèìåð 4¢. Äëÿ ðîáàñòíîãî âàðèàíòà SCRM
B I c pi
ii
n
u1 1
11
= =
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
å,
l
a
,
ãäå a i , l i , i n=1, ,K , îïèñûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (15)–(17).
Ïðèìåð 5¢. Äëÿ ðîáàñòíîãî âàðèàíòà KRRM
B I c p
n
i
ii
n
u1 1
11 1
= =
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷Î =
å, max
( , , )l l
l
aK L
.
Îòìåòèì, ÷òî ïîäîáíîå ðàçâèòèå àïïàðàòà ÏÊÌÐ ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
äîñòàòî÷íî øèðîêèé êëàññ óñëîâèé íåîïðåäåëåííîñòè, íà÷èíàÿ ñ îöåíîê ñâåðõó
çíà÷åíèé ñ.â. è çàêàí÷èâàÿ ïîëíîé èíôîðìàöèåé îá èõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, êîòîðûå
çàòåì èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåð ðèñêà (10)–(13).
3. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÈ ÇÀÄÀ× ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ñ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÜÞ
Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÌÅÐ ÐÈÑÊÀ
Èññëåäóåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè èç ðàçä. 1. Äëÿ äèñêðåòíîãî êîíå÷íîãî ìíî-
æåñòâà W = { }w w1, ,K n ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåííîãî ðàíåå àïïàðàòà ÏÊÌÐ
â êà÷åñòâå àíàëîãà ïðîáëåìû (1) ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ äîñòà-
òî÷íî îáùóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è:
r 0 0( ( , . )) minf x ® ,
r di i if x i m( ( , . )) , , ,£ =1 K , (21)
x MÎ ,
ãäå r i i m(. ), , , ,= 0 1 K , — ÏÊÌÐ âèäà (10)–(13), êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ïî ñ.â.
f xi ( , )w , à di ³ 0, i m=1, ,K , — íåêîòîðûå ïàðàìåòðû.
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
Ïîêàæåì, ÷òî (21) ïîçâîëÿåò â óíèôèöèðîâàííîé ôîðìå ñôîðìóëèðîâàòü
ðàññìîòðåííûå ðàíåå çàäà÷è ÑÏ è ÐÎ. Íà÷íåì ñ çàäà÷ ÑÏ.
Òàê, äëÿ ïðîáëåìû (2) äîñòàòî÷íî â (21) îïèñàòü âñå r i (. ), i m= 01, , ,K , êàê
â ïðèìåðå 1, è ïðèíÿòü di = 0, i m=1, ,K . Äëÿ ïðîáëåìû (3) r 0 (. ) â (21) âûáèðà-
åòñÿ èç ïðèìåðà 1, à r i (. ), i m=1, ,K , — èç ïðèìåðà 2 ïðè di = 0, i m=1, ,K .
 ïðîáëåìå (4) âåðîÿòíîñòíûå îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíû-
ìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåðû ðèñêà VaRa (. ):
P f x VaR f xi i ii
{ }w w a a: ( , ) ( ( , . ))£ ³ Û £0 0, i m=1, ,K .
Êàê èçâåñòíî, ìåðàVaRa (. ) íåêîãåðåíòíà [11], ÷òî ïðèâîäèò ïðè åå ïðèìåíå-
íèè ê ïîòåíöèàëüíûì òðóäíîñòÿì (è ïðîòèâîðå÷èÿì), èíäóöèðîâàííûì èñõîä-
íîé ïîñòàíîâêîé çàäà÷è. Çà÷àñòóþ èìååò ñìûñë [3] çàìåíèòü ýòè îãðàíè÷åíèÿ ïî-
äîáíûìè, íî ñ èñïîëüçîâàíèåì CVaRa (. ):
CVaR f x
i ia ( ( , . )) £ 0, i m=1, ,K . (22)
Îãðàíè÷åíèÿ (22) èìåþò òåîðåòè÷åñêè õîðîøèå ñâîéñòâà, ïðè÷åì âûïîëíå-
íèå èñõîäíûõ îãðàíè÷åíèé çàâåäîìî ãàðàíòèðóåòñÿ
VaR f x CVaR f x
i ii ia a( ( , . )) ( ( , . ))£ £ 0, i m=1, ,K .
Òàêàÿ «CVaR-àïïðîêñèìàöèÿ» (22) èñõîäíûõ âåðîÿòíîñòíûõ îãðàíè÷åíèé
ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â êëàññå âûïóêëûõ àïïðîêñèìàöèé [2].  ñëó÷àå åå ïðèìåíå-
íèÿ ìîäèôèöèðîâàííàÿ çàäà÷à (4) ñâîäèòñÿ ê âèäó (21), ãäå r i (. ), i m=1, ,K ,
âûáèðàþòñÿ èç ïðèìåðà 3.
Çàìå÷àíèå 4. Çàäà÷è âåðîÿòíîñòíîé (êâàíòèëüíîé) îïòèìèçàöèè, âîçíèêàþ-
ùèå â ïðèëîæåíèÿõ ïî íàäåæíîñòè è áåçîïàñíîñòè ñèñòåì, ñòðàõîâàíèþ è äðóãèõ,
âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñâîäÿòñÿ ê çàäà÷àì ñ èñïîëüçîâàíèåì ÊÌÐ. Îíè íåâûïóêëû è
òðåáóþò èíûõ ïîäõîäîâ. Òàê, ïðè äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ýòè ïðîáëåìû ìîæ-
íî ñâåñòè ê çàäà÷àì ÷àñòè÷íî öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [19, 20].
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷è ÐÎ. Äëÿ ïðîáëåìû (5) âñå r i (. ), i = 0, 1, ,K m,
â (21) îïèñûâàþòñÿ, êàê â ïðèìåðå 2, ïðè di = 0, i m=1, ,K . Åñëè ïðè ýòîì âìåñòî
ôóíêöèè f x0 ( , )w èñïîëüçîâàòü ðàçíîñòü f x f0 0( , ) ( )*w w- , ãäå f 0
* ( )w =
= Îmin ( , ):{ }f x x M0 w , ïîëó÷èì ïðîáëåìó (6).
Ïðèâåäåì òðèâèàëüíûé ïðèìåð ÏÊÌÐ.
Ïðèìåð 6. Äëÿ ó÷åòà çíà÷åíèÿ ñ.â. X â íåêîòîðîì íîìèíàëüíîì ñöåíàðèè $w
â âèäå ÏÊÌÐ (10)–(13) äîñòàòî÷íî îïèñàòü ìàòðèöó B1 è âåêòîð c1 ñëåäóþùèì
îáðàçîì: B I1 = , c1 ñîñòîèò èç íóëåâûõ êîìïîíåíò ñ îäíîé åäèíèöåé, ñîîòâå-
òñòâóþùåé ñöåíàðèþ $w. Îáîçíà÷èì $ (. )r äàííóþ ÏÊÌÐ.
Çàìå÷àíèå 5. Ìåðà $ (. )r íå îïèñûâàåòñÿ íè îäíîé ÏÊÌÐ èç ïðèìåðîâ 1–5 çà
èñêëþ÷åíèåì ýêçîòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ, êîãäà âåðîÿòíîñòü íîìèíàëüíîãî ñöåíàðèÿ $w
ðàâíà 1.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðîáëåìà (7) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
r 0 0( ( , . )) minf x ® ,
$ ( ( , . ))r f xi £ 0, i m=1, ,K ,
(7 ¢)
r di i if x( ( , . )) £ , i m=1, ,K ,
x MÎ ,
ãäå r i (. ), i m= 0 1, , ,K , âûáèðàþòñÿ èç ïðèìåðà 2, à $ (. )r i — èç ïðèìåðà 6.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 53
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â çàäà÷å (7¢.) áîëüøå îãðàíè÷åíèé, ÷åì â (21), ïåðâóþ
ìîæíî ôîðìàëüíî âëîæèòü âî âòîðóþ, ñ÷èòàÿ, ÷òî èçíà÷àëüíî èìååòñÿ m m1 2=
ôóíêöèé äëÿ îãðàíè÷åíèé, â êîòîðûõ êàæäàÿ èç f xi ( , ))w ó÷èòûâàåòñÿ äâàæäû.
Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à (21) ôîðìàëüíî âêëþ÷àåò âñå ïåðå÷èñëåííûå ðàíåå ïîñòà-
íîâêè çàäà÷.
Çàìå÷àíèå 6.  íåêîòîðûõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷ èñïîëüçóþòñÿ òàê íàçûâàåìûå
îáîáùåííûå ìåðû äåâèàöèè (generalized deviation) D(. ) ñ.â. X [21], ñâÿçàííûå
ñ ÊÌÐ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì: D X X E X( ) ( [ ])= -r . Ïðè æåëàíèè
ïðèìåíèòü òàêóþ ìåðó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ÏÊÌÐ äëÿ ïðåîáðàçîâàííîé ôóíê-
öèè f x E f x0 0( , ) [ ( , )]w w- . Ïîýòîìó îïòèìèçàöèîííûå ïðîáëåìû ñ ìåðîé D(. )
åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëþ÷àþòñÿ â ïîñòàíîâêó çàäà÷è (21).
Ðàññìîòðèì äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ïðîáëåìó ëåãêîé ÐÎ, êîòîðàÿ, õîòÿ è íå
ñâîäèòñÿ ê âèäó (21), íî äîñòàòî÷íî áëèçêà ê íåé. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷à
(8) äîïóñêàåò ïåðåôîðìóëèðîâêó ñ èñïîëüçîâàíèåì ÏÊÌÐ êàê
wi i
i
m
xd d
=
å ®
1
min ( , ) ,
$ ( ( , . ))r i if x £ 0, i m=1, ,K ,
$ ( ( , . )) ( ) *r g0 0 1f x z£ + , (8¢)
r di i if x( ( , . )) £ , i m=1, ,K ,
x R kÎ , d ³ 0,
ãäå ìåðû r i (. ), i m=1, ,K , è $ (. )r i , i m= 0, ,K , îïèñûâàþòñÿ â ïðèìåðàõ 2 è 6
ñîîòâåòñòâåííî, $w — íîìèíàëüíûé ñöåíàðèé, z f x x R k* min ( , $ ) := Î{ }0 w ,
g ³ 0 — íåêîòîðûé ïàðàìåòð; w i m wi ii
m³ = =
=å0 1 1
1
, , , ,K — íåêîòîðûå âåñî-
âûå êîýôôèöèåíòû.
Äëÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ÏÊÌÐ ñëåäóþùèé áî-
ëåå îáùèé àíàëîã:
wi i
i
m
xd d
=
å ®
1
min ( , ) ,
r gi i if x i m( ( , . )) , , ,£ = 0 K , (23)
r di m i if x i m+ £ =( ( , . )) , , ,1 K ,
x R kÎ ³, d 0,
ãäå w i mi ³ =0 1, , ,K , wii
m =
=å 1
1
— íåêîòîðûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, g i ,
i m= 0, ,K , — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ïàðàìåòðû. Íàïðèìåð, äëÿ çàäà÷è (8)
îíè èìåþò âèä g g0 1= +( ) *z , g i = 0, i m=1, ,K .
Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ÏÊÌÐ ïîçâîëÿåò ôîðìàëüíî îïèñûâàòü øèðî-
êèé êëàññ çàäà÷ ÑÏ è ÐÎ. Ðàçíîîáðàçèå ïîñòàíîâîê íå îãðàíè÷èâàåòñÿ èñïîëüçî-
âàíèåì â íèõ òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé èëè ìèíèìàêñà. Ïðèìåíåíèå
äðóãèõ, ïðîìåæóòî÷íûõ, ìåð ðèñêà ñâÿçàíî ñ æåëàíèåì ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ, áîëåå
íàäåæíûå, ÷åì íàéäåííûå ñ ó÷åòîì ñðåäíèõ ïîòåðü, íî ìåíåå êîíñåðâàòèâíûå,
÷åì ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìèíèìàêñíîãî êðèòåðèÿ.
Ïðè èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ñ.â. àïïàðàò ÏÊÌÐ äàåò âîçìîæíîñòü ïðèìå-
íÿòü äîñòàòî÷íî øèðîêèé ñïåêòð ìåð, ïðåäñòàâëåííûõ, â ÷àñòíîñòè, âàðèàíòàìè
ìåð èç ïðèìåðîâ 3–5, ñ ó÷åòîì âîçìîæíîñòè âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ a j a, (. ), ,L i .
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
Ìåðà CVaR ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ðèñê ñ.â. êàê óñëîâíûå ñðåäíèå ïîòåðè íà
õâîñòå ðàñïðåäåëåíèÿ, à SCRM — ó÷èòûâàòü ðèñê íà âñåì ðàñïðåäåëåíèè ñ.â. êàê
ñðåäíèå ïîòåðè íà åãî ÷àñòÿõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè,
ïðåäñòàâëåííûìè ñïåêòðîì j(. ). Ê òîìó æå ê çàäà÷àì ìèíèìèçàöèè SCRM ñâî-
äÿòñÿ íåêîòîðûå ïðîáëåìû ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè [22].
 ñëó÷àå íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îöåíêè ðèñêà ìîæíî âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ðîáàñòíûìè âàðèàíòàìè ýòèõ ìåð èç ïðèìåðîâ 1¢–5¢.
Åñëè ôóíêöèè f x i mi ( , ), , ,w = 0 K , âûïóêëû ïî x, çàäà÷è (21) è (23) ÿâëÿþò-
ñÿ ïðîáëåìàìè âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è èõ ìîæíî ðåøèòü ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ìåòîäàìè [1]. Îäíàêî ïîèñê ðåøåíèé ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, åñëè îïè-
ñàííûå ôóíêöèè ëèíåéíû, ò.å. äëÿ çàäà÷ ëèíåéíîé îïòèìèçàöèè.
4. ÇÀÄÀ×È ËÈÍÅÉÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèè f x i mi ( , ), , ,w = 0 K , ëèíåéíû ïî x, ò.å. f xi ( , )w =
=< > -l x ai i( ), ( )w w , i m= 0, ,K , ãäå < × ×>, îçíà÷àåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå,
à ìíîæåñòâî M èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó, íàïðèìåð, â âèäå âûïóêëîãî ìíî-
ãîãðàííèêà. Âûïèøåì èñõîäíóþ çàäà÷ó (1)
< > - ®l x a0 0( ), ( ) "min"w w ,
< > - £ =l x a i mi i( ), ( ) , , ,w w 0 1 K ,
x M R kÎ Í .
 ýòîì ñëó÷àå çàäà÷ó (21) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:
r 0 0 0( (. ), (. )) min< > - ®l x a x ,
r di i i il x a i m( (. ), (. )) , , ,< > - £ =1 K , (24)
x M R kÎ Í .
Åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé-ñöåíàðèåâ W îïèñûâàåò äèñêðåò-
íîå êîíå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, òî âåêòîðû li ( )w è âåëè÷èíû a i ( )w ïðè i m= 0, ,K
ðàñïðåäåëåíû ïî n ñöåíàðèÿì ( , , )w w1 K n , è ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàòðèöàìè è âåêòîðàìè. Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
L
l l
l l
i
i ik
i n ik n
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( )
w w
w w
K
K K K
K
, a
a
a
i
i
i n
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
( )
( )
w
w
1
K , i m= 0, ,K ,
ãäå lij k( )w — j-ÿ êîìïîíåíòà li -ãî âåêòîðà â ñöåíàðèè w k , ñ ó÷åòîì êîíñòðóê-
öèè ÏÊÌÐ ïåðåïèñûâàåì çàäà÷ó (24) êàê
max , : min{ }< - > Î ®L x a p p Q x0 0 0 ,
max , : , , ,{ }< - > Î £ =L x a p p Q i mi i i id 1 K , (25)
x M R kÎ Í ,
ãäå di i m³ =0 1, , ,K , — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå âåëè÷èíû.
Îáîçíà÷èì äëÿ êàæäîãî ïîëèýäðàëüíîãî ìíîæåñòâà Qi , i m= 0, ,K , ìàòðèöó
è âåêòîð èõ ïðåäñòàâëÿþùèå êàê B ci i, , ò.å. Q p B p c pi i i= £ ³{ }: , 0 , i m= 0, ,K ,
îïèñûâàÿ ñòàíäàðòíóþ è ñîäåðæàòåëüíóþ ÷àñòè äëÿ B ci i, , i m= 0, ,K , ñîîòâåò-
ñòâåííî êàê B ci i
0 0, è B ci i
1 1, .  òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ çàäà÷à (25) èìååò âèä
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 55
max , : , min{ }< - > £ ³ ®L x a p B p c p x0 0 0 0 0 ,
max , : , , , ,{ }< - > £ ³ £ =L x a p B p c p i mi i i i i0 1d K , (26)
x M R kÎ Í ,
ãäå di i m³ =0 1, , ,K , — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå âåëè÷èíû.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó (23) ñ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè f xi ( , )w ,
i m= 0, ,K :
wi i
i
m
xd d
=
å ®
1
min ( , ) ,
r gi i i il x a i m( (. ), (. )) , , ,< > - £ = 0 K , (27)
r di m i i il x a i m+ < > - £ =( (. ), (. )) , , ,1 K ,
x R kÎ ³, d 0 ,
ãäå w i m wi ii
m³ = =
=å0 1 1
1
, , , ,K — íåêîòîðûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû,
g i i m, , ,= 0 K , — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ïàðàìåòðû.
Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé, èñïîëüçîâàííûõ äëÿ çàäà÷è (26), ïåðåïèøåì ïðîáëå-
ìó (23) â ñëåäóþùåì âèäå:
wi i
i
m
xd d
=
å ®
1
min ( , ) ,
max , : , , , ,{ }< - > £ ³ £ =L x a p B p c p i mi i i i i0 0g K ,
(28)
max , : , , , ,{ }< - > £ ³ £ =+ +L x a p B p c p i mi i i m i m i0 1d K ,
x R kÎ ³, d 0.
Òåïåðü ìîæíî ïîêàçàòü, êàê ïîèñê ðåøåíèÿ ïðîáëåì (26) è (28) ñâîäèòñÿ
ê ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ËÏ).
Òåîðåìà 1. Åñëè çàäà÷è (26) è (28) ñîâìåñòíû, òî èõ îïòèìàëüíûìè ðåøå-
íèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû x ðåøåíèé ( , , , )v v xm0 K è
( , , , , )v v xm0 2K d ñëåäóþùèõ ïðîáëåì ËÏ:
min ,( ,... , , )v v xm
c v
0 0 0< >,
- + £B v L x a
0 0 0 0
T ,
< > £ =c v i mi i i, , , ,d 1 K , (29)
- + £ =B v L x a i mi i i i
T , , ,1 K ,
x M v i miÎ ³ =, , , ,0 0 K ;
min ,( , , , , )v v xm
w
0 2K d d< >,
< >£ =c v i mi i i, , , ,g 0 K ,
- + £ =B v L x a i mi
T
i i i , , ,0 K , (30)
< >£ =+ +c v i mi m i m i, , , ,d 1 K ,
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
- + £ =+ +B v L x a i mi m i m i i
T , , ,1 K ,
x R v i mk
iÎ ³ ³ =, , , , ,d 0 0 0 2K ,
à çíà÷åíèÿ â ðåøåíèÿõ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 èç [14] è
ñîñòîèò â ïåðåõîäå ê äâîéñòâåííûì çàäà÷àì ËÏ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò
ïðîáëåì (26), (28) ñ ïîñëåäóþùåé çàìåíîé îãðàíè÷åíèé-íåðàâåíñòâ äëÿ
ìèíèìóìîâ ýêâèâàëåíòíûìè.
Ïîäñòàâëÿÿ â (29) è (30) ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ñîäåðæàòåëüíûõ ÷àñòåé ìàò-
ðèö è âåêòîðîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå ÏÊÌÐ, ìîæåì òåõíîëîãè÷íî
ðåøàòü çàäà÷è (24) è (27) êàê ïðîáëåìû ËÏ äëÿ âñåãî êëàññà ÏÊÌÐ.
Ïðèìåð 7. Ðàññìîòðèì îïèñàííóþ òåõíèêó äëÿ çàäà÷è äâóõýòàïíîãî ñòîõàñòè-
÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [1], çàäà÷à ïåðâîãî ýòàïà ñîñòîèò â
min ( , [ ( , )])x d x E Q x< > + w ,
Ax b x= ³, 0, (31)
ãäå Q x( , )w — îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîáëåìû âòîðîãî ýòàïà
min ,y q y< >,
Tx Wy h y+ = ³, 0. (32)
Êàê èçâåñòíî [1], äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñöåíà-
ðèåâ w i , i n=1, ,K , òàêàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé:
min , ,( , , , )x y y i i i
i
n
n
d x p q y
1
1
K < > + < >
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
å ,
Ax b x= ³, 0, (33)
T x W y h y i ni i i i i+ = ³ =, , , ,0 1 K .
Ìîäèôèöèðóåì òåïåðü ïîñòàíîâêó çàäà÷è (31), (32), çàìåíèâ â íåé ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå íà ÏÊÌÐ è äîáàâèâ â çàäà÷ó ïåðâîãî ýòàïà îãðàíè÷åíèå íà
ìåðó ðèñêà èç êëàññà ÏÊÌÐ. Îòìåòèì, ÷òî ïîäîáíûå îãðàíè÷åíèÿ â òàêèõ ïðî-
áëåìàõ èññëåäîâàëèñü â [23]. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðèì âìåñòî (31)
ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
min ( , ( ( , )))x d x Q x< > +r w0 ,
r w d1 1( ( , ))Q x £ , (31¢)
Ax b x= ³, 0.
ãäå r i i(. ), ,= 0 1, îïèñûâàþòñÿ â âèäå (10), (11) ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâàõ
Q p B p c pi i i= £ ³{ }: , 0 , i = 0 1, .
Èçó÷èì äâóõýòàïíóþ çàäà÷ó (31¢), (32).  êà÷åñòâå àíàëîãà (33) èìååì
min , max , : ,( , ,.... , )x y y p i i i
i
n
n
d x p q y B p c p
1
1
0 0< > + < > £
=
å ³
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
0 ,
max , : ,p i i i
i
n
p q y B p c p< > £ ³
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
£
=
å
1
1 1 10 d , (33¢)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 57
Ax b x= ³, 0,
T x W y h y i ni i i i i+ = ³ =, , , ,0 1 K .
Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ L =
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
q
qn
1
0 0
0 0
0 0
T
T
K , y
y
yn
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1
K , ïîëó÷àåì
min , max ( , : , )( , ,... , )x y y pn
d x y p B p c p
1 0 0 0{ }< > + < > £ ³L ,
max ( , : , )p y p B p c p< > £ ³ £L 1 1 10 d ,
(34)
Ax b x= ³, 0,
T x W y h y i ni i i i i+ = ³ =, , , ,0 1 K .
Òåïåðü, èñïîëüçóÿ (ñ íåêîòîðûìè óòî÷íåíèÿìè) òåîðåìó äëÿ çàäà÷è (26), ìî-
æåì ñâåñòè (34) â ñëó÷àå åå ñîâìåñòíîñòè ê ñëåäóþùåé çàäà÷å ËÏ:
min , ,( , ,... , , , )x y y v vn
d x c v
1 0 1 0 0{ }< > +< > ,
Ax b x= ³, 0,
T x W y h y i ni i i i i+ = ³ =, , , ,0 1 K , (35)
Ly B v v- £ ³
0 0 00 0T , ,
< >£c v1 1 1, d ,
Ly B v v- £ ³
1 1 10 0T , .
Çíà÷åíèÿ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ â ðåøåíèÿõ ñîâïàäàþò, à êîìïîíåíòû
( , , , )x y yn1 K ðåøåíèÿ ( , , , , , )x y y v vn1 0 1K çàäà÷è (35) åñòü ðåøåíèåì çàäà÷è (34).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå îïèñàíî ïðèìåíåíèå ìåð ðèñêà, êîòîðîå ïîçâîëÿåò îáúåäèíèòü ñòàí-
äàðòíûå ïîäõîäû ÑÏ è ÐÎ. Ïåðåõîä îò îäíîãî ïîäõîäà ê äðóãîìó îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ âûáîðîì ñîîòâåòñòâóþùåãî âàðèàíòà òàêèõ ìåð. Ðàññìîòðåíû âîçìîæíîñòè
àïïàðàòà ÏÊÌÐ äëÿ ïîñòðîåíèÿ øèðîêîãî êëàññà ìåð ðèñêà äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ
â ïîäîáíûõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷. Óäà÷íûé âûáîð ìåðû ðèñêà ïîçâîëèò äîñòè÷ü
ðàçóìíîãî êîìïðîìèññà ìåæäó ýôôåêòèâíîñòüþ ðåøåíèÿ (â ñìûñëå îïòèìèçèðó-
åìîãî êðèòåðèÿ) è åãî íàäåæíîñòüþ (â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè).
Ïîêàçàíî, êàê ïðîáëåìû ëèíåéíîé îïòèìèçàöèè ïðè íåîïðåäåëåííîñòè, ó÷è-
òûâàåìîé ñ ïîìîùüþ ÏÊÌÐ, ñâîäÿòñÿ ê äåòåðìèíèðîâàííûì çàäà÷àì ËÏ, ÷òî
ïîçâîëÿåò òåõíîëîãè÷íî ðåøàòü ïîäîáíûå çàäà÷è ñòàíäàðòíûìè ñðåäñòâàìè ËÏ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. S h a p i r o A . , D e n t c h e v a D . , R u s z c z y n s k i A . Lectures on stochastic programming:
modeling and theory. — Philadelphia: SIAM, 2009. — 436 p.
2. B e n - T a l A . , E l G h a o u i L . , N e m i r o v s k i A . Robust optimization. — Princeton:
Princeton University Press, 2009. — 542 p.
3. R o c k a f e l l a r R . T . Coherent approaches to risk in optimization under uncertainty // Tutorials in
Operations Research INFORMS. — 2007. — P. 38–61.
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6
4. K l a m r o t h K . , K o b i s E . , S c h o b e l A . , T a m m e r C h r . A unified approach for
different concepts of robustness and stochastic programming via non-linear scalarizing functionals //
Optimization. — 2013. — 62(5). — P. 649–671.
5. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — Ì: Íàóêà, 1976. — 240 ñ.
6. K o u v e l i s P . , Y u G . Robust discrete optimization and its sapplications. — Amsterdam:
Kluwer, 1997. — 357 p.
7. B e n - T a l A , N e m i r o v s k i A . Robust solutions of linear programming problems
contaminated with uncertain data // Mathematical Programming. — 2000. — 88(3). — P. 411–424.
8. F i s c h e t t y M . , M o n a c i M . Light Robustness / Ahuja R.K, Mohring R.H., Zaroliagis C.D.
(eds). Robust and online large-scale optimization. — Berlin: Springer, 2009. — P. 61–84.
9. B e n - T a l A . , B e r t s i m a s D . , B r o w n D . A soft robust model for optimizing under
ambiguity // Operations Research. — 2010. — 58(4). — P. 1220–1234.
10. S c h o b e l A . Generalized light robustness and the trade-off between robustness and nominal
quality // Mathematical Methods of Operations Research. — 2014. — 80(2). — P. 161–191.
11. Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance. —
1999. — 9(3). — P. 203–228.
12. Ê è ð è ë þ ê B . C . Î êîãåðåíòíûõ ìåðàõ ðèñêà è çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ // Òåîð³ÿ
îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — Ê: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2003. —
Âèï. 2. — Ñ. 111–119.
13. Ê è ð è ë þ ê B . C . Î êëàññå ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — C. 155–167.
14. Ê è ð è ë þ ê B . C . Ïîëèýäðàëüíûå êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà è îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè ïî ñî-
îòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — 50, ¹ 5. —
C. 85–103.
15. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Optimization of conditional value-at-risk // Journal of
Risk. — 2000. — 2(3). — P. 21–41.
16. A c e r b i C . Spectral measuers of risk: a coherent representation of subjective risk aversion //
Journal of Banking and Finance. — 2002. — 26(7). — P. 1505–1518.
17. K u s u o k a S . On law invariant coherent risk measures / Kusuoka S., Maruyama T. (eds.).
Advances in Mathematical Economics. — Tokyo: Springer, 2001. — 3. — P. 83–95.
18. Ê è ð è ë þ ê B . C . Ïîëèýäðàëüíûå êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà è îïòèìèçàöèÿ èíâåñòèöèîííîãî
ïîðòôåëÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 2. — C. 120–133.
19. Ê è á ç ó í À . È . , Í à ó ì î â À . Â . , Í î ð ê è í Â . È . Î ñâåäåíèå çàäà÷ êâàíòèëüíîé îïòè-
ìèçàöèè ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ê çàäà÷àì ÷àñòè÷íî öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2013. — ¹ 6. — C. 66–86.
20. Í î ð ê è í Â . È . , Ê è á ç ó í À . È . , Í à ó ì î â À . Â . Ñâåäåíèå çàäà÷ äâóõýòàïíîé âåðîÿò-
íîñòíîé îïòèìèçàöèè ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíûõ äàííûõ ê çàäà÷àì ÷àñòè÷íî
öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — 50, ¹ 5.
— C. 34–48.
21. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . , Z a b a r a n k i n M . Generalized deviations in risk
analysis // Finance and Stochastics. — 2006. — 10(1). — P. 51–74.
22. Ê è ð è ë þ ê B . C . Òåîðèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè, îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè è ïîëèýäðàëüíûå
êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — 50, ¹ 6. — C. 63–72.
23. A h m e d S . Convexity and decomposition of mean-risk stochastic programs // Mathematical
Programming. — 2006. — 106(3). — P. 433–446.
Ïîñòóïèëà 24.12.2014
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 59
|